علوم يدانشکده

فیزیکگروه آموزشی

کارشناسی ارشدي براي دریافت درجه نامهپایان

حالت جامدگرایش فیزیکي در رشته

عنوان:

بررسی تونل زنی کوانتومی ماکروسکوپی در پیوندهاي جوزفسون ذاتی

:راهنما استاد

پوردکتر محمد حمدي

:مشاور استاد

دکتر مقصود سعادتی نیاري

:پژوهشگر

ساناز ظهوري کاخکی

1395-بهمن

انازس: نام ظهوري کاخکی: دانشجو خانوادگی نام

ذاتیبررسی تونل زنی کوانتومی ماکروسکوپی در پیوندهاي جوزفسون :نامهپایان عنوان

پوردکتر محمد حمدي :راهنما استاد

نیاري دکتر مقصود سعادتیر: مشاو استاد

فیزیک: رشته کارشناسی ارشد ی:تحصیل مقطع

اردبیلی قمحق :دانشگاه حالت جامد: گرایش

158ات:صفح تعداد 13/11/95 دفاع: تاریخ علوم :دانشکده

اشــد بانســیل کمتــر اثرتونل زنی پدیده بسیار مهمی است که بیان می کند اگر یک ذره انــرژي اش از ارتفــاع ســد پت :چکیده

ی توانــد ها زمانی ممی تواند از سد تونل زده و عبورکند. این با فیزیک کالسیک مغایرت دارد. در فیزیک کالسیک ذره تن

ســته جمعــی و دباشــد. در پیونــد جوزفســون تونــل زنــی بــه صــورت از سد عبور کند که انرژي اش حداقل برابر ارتفاع سد

ه لحــاظ بــماکروسکوپی رخ می دهد. به این حالت تونل زنــی کوانتــومی ماکروســکوپی مــی گوینــد و بررســی ایــن پدیــده

الیی اسبه نرخ تونل زنی کوانتــومی ماکروســکوپی در ایــن پیونــدها از اهمیــت بــاولتاژ و مح -تاثیرش روي مشخصه جریان

م، نرخ تونــل زنــی در نظر می گیری Tما یک پیوندگاه جوزفسون را در دماي مشخص نامهپایانرخوردار است. که در این ب

ود دل هــاي موجــکوانتومی را براي آن به صورت تحلیلی محاسبه کرده و سپس معادالت حاکم بر این پدیــده را از روي مــ

ا ر ولتــاژ سیســتم -یوتري شبیه سازي می کنیم و مشخصه جریانبدست می آوریم. معادالت بدست آمده را به صورت کامپ

نهایتــا وســت آورده ولتاژ را بد -بدست می آوریم. با بررسی و تفسیر نتایج شبیه سازي تاثیر تونل زنی روي مشخصه جریان

نتایج حاصله را با نتایج تجربی موجود مقایسه خواهیم کرد.

جوزفسون، ابررساناي ذاتی، تونل زنی کوانتومی ماکروسکوپیابررسانایی، پیوند : هاواژه کلید

فهرست

اي بر ابررسانایی فصل اول: مقدمه

1

2 ................................................................................................. کشف ابررسانایی - 1-1

Ⅰ .................................................................................................. 3ابررساناهاي نوع - 1-2

Ⅰ ........................................................................... 4خواص مغناطیسی ابررساناهاي نوع - 1- 2- 1

Ⅱ .................................................................................................. 5ابررساناهاي نوع - 1-3

6 ........................................................................................................ معادالت لندن - 1-4

7 ................................................................................................ اولین معادله لندن - 1-4-1

7 ............................................................................................... دومین معادله لندن - 1-4-2

9 ......................................................................................... عمق نفوذ میدان مغناطیسی - 5- 1

BCS ....................................................................................................... 12نظریه - 1-6

13 ....................................................................................... زنی کوانتومی در فیزیکتونل - 1-7

13 .............................................................................................. زنیکاربرهاي تونل - 1-7-1

فصل دوم: پیوندهاي جوزفسون

17 18 ..................................................................................................... پیوندهاي تونلی - 2-1

18 ............................................................................................ تئوري میکروسکوپی - 2-1-1

BCS ................................................................................................... 20تقریب - 2-1-2

23 .............................................................................................. ظرفیت خازن پیوند - 2-1-3

24 ..................................................................................................... هاافت وخیز - 2-1-4

DC ................................................................................................. 25اثر جوزفسون - 2- 2

AC ................................................................................................. 29اثر جوزفسون - 2-3

زنی کوانتومی در حالت بدون میراي آهنگ فرار تونلهاي نیمه کالسیکی براي محاسبهفصل سوم: روش

و حالت میرایی کم

33

34 .................................................................................... مروري بر روش نیمه کالسیکی - 1- 3

34 ............................ زنی کوانتومیي آهنگ فرار تونلبراي محاسبه روش فاینمن در مکانیک کوانتومی - 1- 1- 3

38 .................................................................... (مکانیک ذرات) bounceروش اقلیدسی و - 3-1-2

] ي محاسبه - 3- 1- 3��� (�� ��

�����)

���� ��� ������� (��)�

]�

�� ...................................................................... 59

72 ............................................................................. در آهنگ فرار B ي ضریبمحاسبه - 3-1-4

77 ................................................................................ اثر میرایی روي تونل زنی کوانتومی - 3-2

77 ...................................................................................... روش انتشارگر کاهش یافته- 3-2-1

80 ............................................................................................................. مدل - 3-2-2

100 ............................................................................................... مورد میرایی کم - 2-3- 3

جوزفسون ولتاژ در پیوند- ي جریانسازي مشخصهگیري و شبیهفصل چهارم: نتیجه

105

106 .................................................... ي آهنگ فرار تونل زنی کوانتومی در پیوند جوزفسونمحاسبه - 4-1

114 ......................................... هاهاي جوزفسون با درنظر گرفتن جفت شدگی بین الیهمحاسبات پیوند - 4-2

132 ................................................................................................................ گیرينتیجه

133 .............................................................................................................. منابع و مآخذ

WKB .................................................... 135 در آهنگ فرار با تقریب Bي ضریب محاسبه :1پیوست

,F (tي محاسبه :2پیوست t́) ......................................................................................... 137

140 .................................................... ي کنش کالسیکی نوسانگر هارمونیکی واداشتهمحاسبه: 3پیوست

ي انتگرالمحاسبه: 4پیوست

∆S =��

�

�∫ ∫ α(t − t́)

�

��

�

��[sec h� (ω�t) − sec h� (ω�t́)] �dt dt́ ............. 150

انتگرال ي محاسبه:5پیوست

∫ I(R, R, τ) dR = ∫ ∏ F�(�)(τ) exp − ∑

��(�)

(��,��,�)

ℏ dR �� .................................. 153

أ

فهرست تصاویر

cmH ......................................................................... 3 : وابستگی دمایی میدان بحرانی 1 – 1شکل

4 ..................................................................................... : منحنی مغناطش ابررسانا2 – 1شکل

11 .......................................................... : نفوذ میدان مغناطیسی به درون ابررساناي کپه اي3 – 1شکل

14 .......................................................................... ولتاژ دیود تونلی - مشخصه جریان: 4 – 1شکل

14 ...................................................... ي داخل هستهمنحنی انرژي برحسب فاصله براي ذره: 5 – 1شکل

15 .............................................................................. میکروسکوپ تونل زنی روبشی: 6 – 1شکل

از پیوند تونلی تقارنی(خط صاف) �Vي ولتاژ (خط تیره) و مشخصه ∆وابستگی دمایی انرژي گاف : 1 – 2شکل

BCS ................................................................................................. 21در تقریب کالسیکی

دامنه هاي مختلط جریان (c,d)وقسمت موهومی (a,b)وابستگی فرکانس به قسمت حقیقی: 2 – 2شکل

�∆)در پیوند تونلی تقارنی �I و جریان جفت کوپر �I اي شبه ذره = ∆� = را BCSدر تقریب (∆

22 ................................................................................................................ دهدنشان می

اي.نوع پله (b)نوع سطحی (a)دهد. نمایش شماتیک از انواع ساختارهاي پیوند تونلی را نشان می: 3 – 2شکل

نازك عایق تشکیل سد تونلی را : الیه4عایق ي :ضخامت الیه3:الکترود ابررسانشی 2ي دي الکتریک : ماده1

25 ................................................................................ ي الکترود ابررسانشی: شمارنده5داده است

26 ..................... ي دو در امتداد خط چینقطهي یک به نطول پیوندگاه جوزفسون با رفتن از نقطهالف: 4 – 2شکل

1- 2در طول خط مستقیم �ψ به �ψپارامتر نظم مختلط از بین مقادیر متغیري ازب: 4 – 2شکل

26 ....................................................................................... گذردمی ψ ي مختلطواقع در صفحه

2و 1. ترازهاي Vنمودار تراز انرژي یک پیوندگاه تونلی جوزفسون با ولتاژ معین اعمال شده : 5 – 2شکل

ب

28 ...................................................................................... انداز هم فاصله گرفته 2eVبه اندازه

�Iپیوندگاه ابرجریان شارشی اززي با مقاومت. مدل پیوندگاه جوزفسون در اتصال موا: 6- 2شکل = I� sin φ

31 ........................................................................................................................ است

<I ولتاژ دو سر پیوندگاه جوزفسون در : 7 – 2شکل �� ............................................................... 32

32 ......................................................... ولتاژ یک پیوندگاه جوزفسون –ي جریان مشخصه: 8 – 2شکل

49 ............................................ دهدپایدار بر حسب تابعی از مکان ذره را نشان میپتانسیل شبه: 1 – 3شکل

50 ........................................................................... دهدپتانسیل معکوس را نشان می: 2 – 3شکل

55 ......................................................... دهدپتانسیل پایدار را بر حسب مکان ذره نشان می: 3 – 3شکل

55 ........... دهد) را نشان می3-3براي پتانسیل شکل ( zکنش اقلیدسی بر حسب تابعی از پارامتر حقیقی : 4 – 3شکل

56 ........... دهد) را نشان می3-3یل شکل (براي پتانس zکنش اقلیدسی بر حسب تابعی از پارامتر حقیقی : 5 – 3شکل

56 ........... دهدرا نشان می zنقاط مختلف از یک مسیر در تابع فضایی پارامتري شده توسط متغیر حقیقی : 6 – 3شکل

112 ................................................................... شبیه سازي انرژي پتانسیل بر حسب فاز :1 –4شکل

113 ..................................................... شبیه سازي انرژي پتانسیل ماکزیمم بر حسب جریان :2 –4شکل

125 ..................................... زنی کوانتومی را بر حسب جریان خارجیسازي آهنگ فرار تونلشبیه :3 –4شکل

126 ........................ هاي مختلف �زنی کوانتومی بر حسب جریان براي شبیه سازي آهنگ فرار تونل :4 –4شکل

Qزنی کوانتومی بر حسب جریان در یک پیوند جوزفسون با سازي آهنگ فرار تونل: شبیه 5- 4شکل

127 .............................................................................................................. هاي مختلف

128 .................................................. ولتاژ براي یک پیوند جوزفسون- سازي نمودار جریانشبیه: 6- 4شکل

129 .......................................... 6- 4اي شکل ولتاژ قسمت دایره- ي جریاننمایی مشخصه: بزرگ 7- 4شکل

130 ............................................................................ سازي نمودار جریان جهشی: شبیه 8- 4شکل

131 ............................................................. ها برحسب جریانسازي طیف تعداد جهش: شبیه 9- 4شکل

ج

فصل اول:

ابررساناییمقدمه اي بر

د

2

کشف ابررسانایی - 1- 1

کامرلینگ اونس به هنگام مطالعه در آزمایشگاه لیدن کشف شد. اچ 1911ابررسانایی در سال

، K4از جیوه، مشاهده کرد که در دماي نزدیک به اينهالکتریکی نمو يدمایی مقاومت ویژه وابستگی

مقاومت دیگر K4دماهاي دسترس پذیر زیر يکند و در همهمیمقاومت نمونه ناگهان به صفر سقوط

رسید. آشکار بود مینکته مهم این بود که با کاهش دما، مقاومت ناگهان به صفر .قابل اندازه گیري نیست

صفر شده باشد که در آن زمان که نمونه باید دستخوش گذاري به حالت جدید با مقاومت الکتریکی

ناشناخته بوده است. این پدیده را ابررسانایی نامیدند.

ابررساناها، حداقل يتوان گفت که مقاومت ویژهمیجدید، گیريبا توجه به حساسیت وسایل اندازه

K2/4مس با خلوص باال در يبزرگی مقاومت ویژه يصفر است. در حالی که مرتبه Ω �� 10-24 دقت تا

برابر است. Ω �� 10-9 با

پس از کشف ابررسانایی در جیوه، این خاصیت در سایر فلزات مانند قلع، سرب، مدت کوتاهی

همچنین معلوم شد که تعداد زیادي آلیاژ و ترکیبات بین ایندیم، آلومینیوم، نیوبیوم و غیره یافت شد.

ابررسانا هستند.فلزي نیز

نامند. زمان کوتاهی پس از این می cTدماي گذار از حالت عادي به ابررسانایی را دماي بحرانی

کشف معلوم شد که نه تنها با گرم کردن نمونه، بلکه با قراردادن آن در میدان مغناطیسی نسبتا ضعیف،

وابستگی خوانند.میرا میدان بحرانی ماده کپه اي cmHمی توان ابررسانایی را از بین برد. این میدان،

با رابطه تجربی cmHدمایی

H��(T) = H��(0) [1- (TT�

� )�] ( )1 -1

حالت H-Tنشان داده شده است که نمودار فاز 1- 1. این وابستگی در شکل سازگاري خوبی دارد

ابررسانشی را نشان می دهد.

3

)cmH )Schmidt, 1997 وابستگی دمایی میدان بحرانی : 1-1شکل

T-H در ناحیه سایه خورده، هر نقطه در صفحه میدان بحرانی در صفر مطلق است. cmH)0( که در اینجا

(Schmidt, 1997) همخوانی دارد.با حالت ابررسانشی

Ⅰابررساناهاي نوع 1-2

اشندکه بمی عروف هستند، اولین نوع کشف شدهابررساناهاي نرم منوع اول ابررساناها که به عنوان

آنها تغییر حالت سریع از رسانایی يهمه يبراي ابررسانا شدن به پایین ترین حد دما نیاز دارند. مشخصه

باشد.میبه ابررسانایی و دیامغناطیس شدن کامل

هايرود. در میدانمیاز بین cBدر این نوع ابررساناها، خاصیت ابررسانایی در میدان بحرانی

، میدان cBشود و در میدان هاي بزرگتر از می، میدان مغناطیسی به طور کامل طرد cB کوچکتر از

کند. میمغناطیسی به طور یکنواخت به درون ماده نفوذ

دماهاي بحرانی بعضی عناصر ابررسانا به ترکیب شیمیایی ماده ، فشار و Ⅰدر ابررساناهاي نوع

گیرياندازهساختار بلوري آنها بستگی دارد. وقتی دماي بحرانی یک ابررسانا در حضور میدان مغناطیسی

ابد.یمیکاهش cTهرچه میدان مغناطیسی افزایش یابد مقدار شودمی

باشند که معموال در دماي اتاق مقداري میاز از دسته ابررساناها شامل فلزهاي خالص نوع اول

(Schmidt, 1997)دهند. میهدایت الکتریکی از خود نشان

4

Ⅰ خواص مغناطیسی ابررساناهاي نوع 1-2-1

قرار گرفته است. با افزایش 0Hبلندي در میدان مغناطیسی خارجی و طولی يفرض کنید استوانه

0H ، یعنی کند.تغییر نمیابتدا القاي داخل استوانهB=0 0باقی می ماند. وقتی کهH به مقدارcmH برسد ،

خواهد شد. 0B=Hکند و در نتیجه میشود و میدان به درون ابررسانا نفوذ میحالت ابررسانشی تخریب

.شوندمیزیر به یکدیگر مربوط يرابطهبا 0Hو میدان مغناطیسی Bالقاي مغناطیسی

B = H�+ 4πM )1 -2(

خواهد بود. 2- 1که منحنی مغناطش به صورت شکل گشتاور مغناطیسی واحد حجم است. Mکه

(Schmidt, 1997)منحنی مغناطش ابررسانا: 2- 1شکل

کنیم می) بررسی 4-1) و (3-1را با استفاده از معادالت (Ⅰخواص مغناطیسی بنیادي ابررساناي نوع

� = 0 )3-1(

)1-4( B = 0

توان به صورت معادله میدانیم خطوط میدان مغناطیسی پیوسته و بسته اند. این نتیجه را می

div B = 0

سمت سطح یعنی درون و بیرون ماده سطح باید در دوعمود بر Bهايشود مؤلفهمینوشت که نتیجه

عمودي در بیرون از سطح ياست و در نتیجه مؤلفه B(i)0=مساوي باشند. ولی، میدان درون ابررسانا

(e)0=ابررسانا nB .است. که به این معنی است که خطوط میدان مغناطیسی بر سطح ابررسانا مماسند

5

که یکی از نتایج این خاصیت این است که یک ابررسانا در میدان مغناطیسی خارجی، نزدیک به

سطح خود حامل جریان الکتریکی است. رابطه بین جریان سطحی و میدان مغناطیسی در سطح ابررسانا

را می توان به صورت

j���� = �

�� [n× H�] )5-1(

بردار یکه در امتداد عمود بر سطح است. nنوشت که در آن

شود. میدر سطح ابررسانا به طور کامل تعیین 0H به کمک میدان مغناطیسی surfj جریان سطحی

این جریان سطحی خودبه خود آن چنان مقداري به خود می گیرد که میدان مغناطیسی حاصل از آن در

درون ابررسانا با میدان خارجی، مساوي و در راستاي مخالف آن است. این جریان موجب میدان کل صفر

(Schmidt, 1997)در درون ابررسانا می شود.

Ⅱابررساناهاي نوع 1-3

شوند. وقتی مینشان داده c2Bو c1Bدو میدان بحرانی وجود دارد که آنها با Ⅱ ابررساناهاي نوعدر

گیرد و ماده به طور کامل میباشد، نفوذ شار مغناطیسی صورت ن c1Bکه میدان اعمال شده کمتر از

د، شار مغناطیسی در ماده به باالتر باش c2Bابررسانا است. وقتی که میدان مغناطیسی از میدان بحرانی

باشد، ماده در یک c2Bو c1Bکند و ماده حالت معمول خود را دارد و وقتی میدان بین میطور کامل نفوذ

حالت مخلوط و به نام حالت گردابی است.

در حالت گردابی ضمن آنکه ماده داراي مقاومت الکتریکی صفر است، شار مغناطیسی هم به درون

کند. به عبارت دیگر در این محدوده، رشته هاي میکروسکوپی ایزوله اي که گردشاره نامیده میفوذ آن ن

.کندمیشود، به درون ماده نفوذ می

ها ها، آنشود که ابرجریانمیحالت مخلوط با شبکه اي از مغزهاي عادي در داخل ابررسانا مشخص

شعاع هر مغز عادي در حدود طول همدوسی گویند. میکنند، به این مغزهاي عادي گردشاره میرا احاطه

6

ξ است که یکی دیگر از طول هاي مشخصه ابررسانایی می باشد. اگر طول همدوسی بزرگتر از عمق نفوذ

از نوع دو باشد، ابررسانا از نوع یک خواهد بود. ولی اگر طول همدوسی کمتر از عمق نفوذ باشد، ابررسانا

به جز عناصر وانادیوم، تکنیتوم و نیوبیوم ابررساناهاي نوع دوم شامل آلیاژها و ترکیبات فلزي .خواهد بود

هستند.

کشف شده است با نام پرووسکاتیس (سرامیک هایی با اکسید فلزي که ابررساناهایی که به تازگی

باشند. عناصر این میب شده اند) متعلق به این گروه معموال به نسبت دو اتم فلز با سه اتم اکسیژن ترکی

گروه داراي دماي بحرانی بزرگتر از عناصر نوع اول هستند که سازوکار ابررسانایی آنها به روشنی معلوم

نیست.

1985در ابررساناي کوپرات (اکسید مس)، دماي بحرانی به طور باورنکردنی باال است، تا سال

138کلوین بود. امروزه باالترین دماي بحرانی بدست آمده در فشار محیط، 23بحرانی باالترین دماي

کلوین می باشد.

Dehasتوسط 1930اولین ترکیب ابررساناي نوع دوم، آلیاژي از بیسموت و سرب بود که در سال

که در عناصر نوع دوم تغییر ساخته شد. اختالف ابررساناهاي نوع اول و دوم در این است Vegedو

افتد. میحالت از رسانایی به ابررسانایی به شکل تدریجی و به صورت مخلوط از دو حالت اتفاق

دهد، در حالی که در میبه میدان مغناطیسی خارجی اجازه نفوذپذیري ايابررساناهاي نوع دوم تا اندازه

(Schmidt, 1997) ابررساناي نوع اول همچنین وضعیتی وجود ندارد.

ندنمعادالت ل 1-4

-میاستفاده ايبراي بررسی رفتار ابررسانا در میدان الکترومغناطیسی خارجی، از مدل معروف دوشاره

هاي آزاد ابررسانا به دو گروه تقسیم شده اند: الکترون الکترون يکنیم. در این مدل فرض می شود همه

7

هاي آزاد عبارت استچگالی کل الکترون. �nهاي عادي با چگالی و الکترون �nهاي ابررسانشی با چگالی

�n: از + n�= n . با افزایش دما از صفر تاcT ، چگالیn� از n یابد.به صفر کاهش می

فرض کنید میدان الکتریکی و مغناطیسی آن چنان ضعیفند که هیچ تأثیر محسوسی بر چگالی

در همه جا یکسان است. رابطه بین جریان، میدان �nالکترون ابررسانشی ندارند. فرض کنید چگالی

شود.میالکتریکی و میدان مغناطیسی در این مورد خطی است و با معادالت لندن توصیف

معادله لندن اولین 1-4-1

هاي ابررسانشی در میدان الکتریکی عبارت است از معادله حرکت الکترون

n�m ���

�� = n�eE )1-6(

چگالی عددي ابرشاره است. �nسرعت ابرشاره و ��، بار الکترون eجرم الکترون، mکه در آن

است، داریم �j� = n�e v چون چگالی ابرجریان

E = �

��(Λj

s ) )1-7(

که در آن

Λ = �

���� ( 8-1 )

حالت شود درهاي ابررسانشی است. از این معادله نتیجه می) قانون دوم نیوتون براي الکترون7-1معادله (

تغییرات فضایی ممکن در پتانسیل يابررسانا میدان الکتریکی وجود ندارد. در این جا از همهدرون ایستا،

ایم.هاي ابررسانشی چشم پوشی کردهشیمیایی الکترون

دومین معادله لندن 2- 4- 1

پردازیم. در حقیقت میدان میبین ابرجریان و میدان مغناطیسی در یک ابررسانا ياکنون به رابطه

کند. باید ببینیم نفوذ می )آنگستروم 500- 1000(در حدود مغناطیسی به عمق کمی از سطح جسم

کند. ، در فضا چگونه تغییر می H(r)میدان مغناطیسی

8

است. چگالی انرژي جنبشی s0Fفرض کنید انرژي آزاد ابررسانا در میدان مغناطیسی صفر،

ارت است از ابرجریان عب

W��� = �����

�

� =

����

����� )1-9(

با توجه به معادله ماکسول

curl H = ��

� j� )1-10(

شود) به این صورت می9-1معادله (

W��� = ��

�� (curl H)� )1-11(

λ ایمرا به این صورت تعریف کرده

λ� = ���

������ )1-12(

چگالی انرژي مغناطیسی در نقطه اي از ابررسانا

)1 -13( U = H�

8π�

، عبارت است از انرژي آزاد کل ابررسانا، شامل انرژي جنبشی ابرجریان و انرژي میدان مغناطیسیپس

)14-1 ( dv ∫[H� + λ�(curl H)�] �

��+ s0= F sHF

شود. این انتگرال روي کل حجم ابررسانا گرفته می

برابر خواهد بود sHFدهیم. تغییر حاصل در نسبت میH را به تابع )δH)r تغییر کوچک

δ FsH = �

�� ∫(2H. δH + 2 λ� curl H. curl δH)dv (15-1)

را کمینه کند یعنی sHFتابعی است که H(r) تابع

� FsH = 0 (16-1)

9

با استفاده از اتحاد

a . curl b = b . curl a – div[a× �] )1 -17(

)، داریم16-1) و (15-1و ترکیب (

∫[H + λ�(curl curl H)]. δH dV − ∫ div[curl H × δH]dv = 0 )1-18(

) را می توان به صورت18-1گاوس، جمله دوم ( يبنابر قضیه) صفر است، 18-1انتگرال دوم در (

∮[curl H × δH].ds

ولی میدان در سطح ثابت است، و با میدان خارجی شود.که انتگرال روي سطح ابررسانا گرفته می نوشت.

صفر است.δH(r) برابر است. بنابراین در آن جا

رسیم به معادله اکنون می

∫[H + λ�(curl curl H)]. δH dV = 0 )1 -19(

این معادله در صورتی صادق است که جمله داخل کروشه صفر باشد. ،δH(r) براي تغییر دلخواه

شودمیدان مغناطیسی درون ابررسانا به این صورت می يبه این ترتیب معادله

H + �� curl curl H = 0 )1-20(

(Schmidt, 1997) که این دومین معادله لندن است.

عمق نفوذ میدان مغناطیسی 1-5

10

گیریم. براي آگاهی از چگونگی نفوذ میدان مغناطیسی در یک ابررسانا، معادالت لندن را به کار می

منطبق است. x = 0 يگیریم که سطح آن بر صفحهیک برش نیمه نامتناهی از ابررسانا را در نظر می

ي لندن هسمت دهی شده است. از دومین معادل zدر راستاي محور 0Hمیدان مغناطیسی خارجی

کنیم. استفاده می

)1-21( H + �� curl curl H = 0

) را به شکل زیر بازنویسی 21-1توان (است، می curl curl H = - ∇�Hبا توجه به تقارن مسأله و این که

کرد

���

��� - ���H = 0 )1 -22 (

از:شرایط مرزي عبارتند

H(0) = H )1 -23 (

H(∞) = 0 )1-24(

) به صورت زیر است1-22پاسخ (

H = H0 e��

�� (25 -1)

یابد. دهد که با افزایش فاصله از سطح ابررسانا، میدان مغناطیسی کاهش میاین رابطه نشان می

شوداست. این طول، عمق نفوذ میدان مغناطیسی لندن خوانده می �طول کاهش مشخصه

λ = (���

������)

��� )1 -26(

کند. نفوذ می �استتاري، از سطح تا عمق در نتیجه ابرجریان

11

در واقع ابرجریان به صورت زیر است

j� = (�

��) curl H )1 -27(

) داریم1-27) در (1-25و با جایگذاري (

j� = ���

��� e

����

(28 -1)

بستگی دارد. �nوابسته به دماست، زیرا به λگیریم نتیجه می) 1-26?? (

توان نشان دادمیزیر را با فرمول تجربی λ وابستگی دمایی

λ(T) = �(�)

[��(�

��)�]

��� )29-1(

است. 0H: نفوذ میدان مغناطیسی به درون ابررساناي کپه اي. میدان در سطح 3-1شکل

(Schmidt, 1997)

12

BCSنظریه 1-6

فلزي ياي شبکهههاي آزاد و یونبین الکترونتواند به علت برخورد یک فلز معمولی می يمقاومت ویژه

ون امل و بدکشبکه ها درتوان با مدل کالسیکی توجیه کرد زیرا الکترونبه وجود آید. ابررسانایی را نمی

توانمی وانتومیابررسانایی را فقط با مدل مکانیک ک يدهند. پدیدهارتعاش گرمایی، برخورد انجام می

امل کلوري بکند در شبکه یک کوانتومی، موج الکترونی که در شبکه حرکت میضیح داد. در مدل مکانتو

دهد.در هیچ جهتی برخورد انجام نمی

هاي اصلی ابررسانایی مواد تا آن زمان ي جنبهه شدکه دربردارندهئاي ارا، نظریه1972در سال

BCS يه گردید و نظریهشریفر ارائین، لیون کوپر و رابرت شد. این نظریه توسط جان باردبرشمرده می

شود که مخفف حروف اول اسم آنهاست. براساس این نظریه، زمانی که ارتعاشات حرارتی پایین نامیده می

در میان ماده تحت اعمال آیند که قادر خواهند بود هایی در میها با یکدیگر به صورت زوجباشند، الکترون

ها برخورد ها و اتمش و تأثیر متقابل داشته باشند یا به الکترونیک میدان الکتریکی، بدون اینکه واکن

کنند. ارتباط الکترون ها به نمایند، حرکت کنند. این زوج ها همگی در یک فاز با سایر زوج ها حرکت می

کند یکدیگر نیاز به فرآیند به خصوصی دارد، زیرا آنها ذراتی با بار منفی هستند و طبیعت آنها اقتضا می

یکدیگر را دفع کنند. که

کند که بخشی گذرد به نحوي عمل میدر یک ابررسانا وقتی که یک الکترون از نزدیکی یون ها می

کند. انتقال اندازه حرکت اثر فیزیکی جابجایی شبکه را به دنبال از اندازه حرکتش را به شبکه منتقل می

کند. الکترون دوم، اثر این هم سویی به هم نزدیک میمثبت محلی را دارد به نحوي که تعدادي از بارهاي

-میشود، وضعیتش طوري تغییر یون ها را احساس کرده و به سوي این بار مثبت تشدید شده کشیده می

13

اي باعث گیرد. این فرآیند دو مرحلهکه اندازه حرکتی که توسط الکترون اول داده شده بود را پس می کند

شود.الکترون میي اندك بین دو جاذبه

ها غلبه کرده و تواند بر نیروي دافعه بین الکتروناي میدهد که چنین جاذبهنشان می BCS ينظریه

آنقدر ضعیف به حالتی مقید که به عنوان جفت کوپر معروف است را تولید کند. چنین جفت هایی

در واقع هر جفتی یک شوند. کیب میهاي دیگر تراند که پی در پی شکسته و با شریکیکدیگر پیوسته

توانند در کند. ناحیه اي که شامل تعداد زیادي الکترون دیگر است که میناحیه بزرگ فضایی را اشغال می

شدگی شرکت کنند. اگر بیشترین تعداد الکترون در فرآیند جفتیدگی شرکت نمایند، سیستم فرآیند جفت

ترین پیوستگی دست خواهد یافت.به قوي

الکترون ناشی - هاي الکتروناین است که در زیر دماي بحرانی، واکنش BCS ياصلی نظریه يایده

ي مختلف، یک زوج الکترون( زوج الکترون کوپر) را ایجاد هااز تبادل بین دو الکترون با اسپین ها و تکانه

ها به صورت هم فاز با این زوجنمایند که برآیند اسپین خالص آنها صفر است. تحت یک میدان الکتریکی،

کنند. بنابراین مقاومت الکتریکی صفر در این حالت ها، بدون اینکه تداخلی رخ دهد حرکت میسایر زوج

شود.حاصل می

زنی کوانتومی در فیزیکتونل 1-7

طور افتد بهمکانیک کوانتومی است. آنچه در مقیاس کوانتومی اتفاق می يزنی کوانتومی شامل حوزهتونل

هاي ماکروسکوپیک مجسم شده است، مشخص قابل مشاهده نیست، اما براي درك بیشتر، در اندازه

دهد.زنی در مکانیک کالسیک رخ نمیتونل بنابراین

زنی کاربرهاي تونل 1-7-1

دهندکه دیودها قطعات نیمه رساناي الکترونیکی هستندکه این امکان را به جریان می: دیود تونلی

وابسته به ناحیه تهی، بین نیمه يسازوکار این قطعه در یک جهت بیشتر ازجهت دیگر برقرار شود.

14

تواند به قدر کافی براي تونل ها کامال آالییده شوند، ناحیه تهی میباشد. وقتی اینمی pو nرساناي نوع

زنی بسیار قابل توجه بایاس مستقیم اعمال شود جریان حاصل از تونل کمی زدن باریک شود پس اگر

.خواهد بود

(Likharev, 1986). .ولتاژ دیود تونلی -مشخصه جریان :4-1شکل

ناپایدار یک اتم براي تشکیل يعبارت است از انتشار ذرات و انرژي از هسته :واپاشی رادیو اکتیو

.شودهسته انجام میزنی کوانتومی ذره به خارج از یک حالت پایدار، این پدیده در اثر تونل

(Likharev, 1986). داخل هسته. يبراي ذرهمنحنی انرژي برحسب فاصله :5-1شکل

ها را برخورد و رفتار الکترون يزنی کوانتومی پدیدهتوان با استفاده از تونلمی رسانش کوانتومی:

- کند، قسمت بازتابیدهموج الکترون آزاد به آرایه اي از چند سد برخورد می يتوضیح داد. وقتی یک بسته

15

کند. در نتیجه مواردي با صددرصد عبور وجود دارد. این نظریه موج با قسمت عبور کرده تداخل می ي

هاي درون مستطیلی کاملی تشکیل دهد، الکترون يآرایه ،کند که اگر هسته با بار مثبتپیش بینی می

شود.زنند و این کار منجر به رسانایی باال میبه عنوان الکترون آزاد تونل میفلز

رساناها را به ما سطح فلزات و بعضی نیمه يبرداري و مطالعهامکان تصویر :زنیمیکروسکوپ تونل

وقتی سوزن کند. بین تونل زنی کوانتومی با فاصله عمل می يگیري از رابطهدهد. این وسیله با بهرهمی

گیري جریان میکروسکوپ خیلی نزدیک به سطح فلزي که تحت ولتاژ بایاس است، قرار گیرد. با اندازه

بین سطح فلز و سوزن را يزنی بین سوزن و سطح هستند، می توان فاصلههایی که در حال تونلالکترون

که با اعمال ولتاژ در دوسر این به طوريشود پیزوالکتریک انجام می ياین کار توسط میله اندازه گرفت.

دهد. هم زنی رخ میتوان ارتفاع نوك سوزن را تنظیم کرد و این کار براي تثبیت جریان تونلمیله می

شود. دقت گیري ولتاژ متغیر با زمان در دوسر میله، امکان تصویربرداري فراهم میچنین با اندازه

است. 0.001nmمیکروسکوپ تونل زنی در حد

(Likharev, 1986).میکروسکوپ تونل زنی روبشی :6- 1 شکل

16

گرمایونی الکترون هاي داخل فلز تا يگرمایونی است. در پدیده ياین پدیده شبیه پدیدهگسیل سرد:

توانند از سطح فلز کنده شده و جدا ، وقتی به این الکترون ها گرما داده شود، میشوندسطح فرمی پر می

هاي داخل فلز میدان الکتریکی اعمال شود شکل پدیده گسیل سرد، وقتی به الکترون شوند. ولی در

شود.شود و امکان تونل زنی براي الکترون ها فراهم میپتانسیل آنها عوض می

دوم:فصل

جوزفسونپیوندهاي

18

پیوندهاي تونلی 2-1

و شروع شد 1960در سال (Giaever, 1960) بررسی پیوندهاي جوزفسون با پیشنهاد ایوار گایور

پیشگویی جوزفسون با . پیوندهاي تونلی ي نوبل را دریافت کردندجایزه ن جوزفسونابرای ه همراهها ببعد

گرفت. براي اولین بار مورد آزمایش و مشاهده قرار

ها با انواع دیگر، هنوز ساختارهاي تونلی بیشترین مطالعه و مهمترین علیرغم رقابت قابل توجه این پیوند

کاربردها را دارند.

از هم جدا )I(ي نازك عایقکه توسط یک الیه باشدشامل دو الکترود ابررسانشی می )SIS(پیوند تونلی

ها با احتمال کم و غیر تا اینکه الکترون ي چند نانومتر استمحدودهدر Idي عایق ضخامت الیهاند. شده

��p~10(صفر − زنی کوانتومی از میان سد انرژي تونل يبوسیلهاز یک الکترود به الکترود دیگر )، ��10

کنند.ایجاد شده توسط عایق، نفوذ می

T( ها در حالت عادي الکترودشود که ناشی می زمانی ،) غیر صفر nGنرمال( ينفوذ از یک رسانا >

T�( هستند و در اثر جوزفسون در حالت ابررسانشی)T < T�( .هستند .(Likharev, 1986)

تئوري میکروسکوپی 2-1-1

توسط کوهن، فالیکاو و فیلیپس پیشنهاد شد 1961در سال " تونلی هامیلتونین" استفاده از روش

(Cohen & et al, 1962). دیگران این روش تنها به ساختن پیشگویی جوزفسون کمک نکرد بلکه به

Φ(t)براي حالت 1963اجازه داد که تئوري حالت جامد میکروسکوپی اثر را در سال = ثابت

(Ambegoakar & Baratoff, 1963) براي یک فرآیند دلخواه 1966و در سالΦ(t) کامل

.(Werthamer, 1966; Larkin & Ovchinnikov, 1966)کنند

است. φیک تابع سینوسی از فاز SIطبق این تئوري در موارد ثابت، ابرجریان

شودبه فرم زیر نمایش داده می cIجریان بحرانی

19

I� = V� G� )-2

1(

و مساحت Idضخامت باي بین الیه اي فلزات و دما بستگی دارد( اما به ماده الکترود تنها به �Vکه

و A، تقریبا مستقل از دماست ولی به مساحت پیوند �G. رسانایی پیوند عادي بستگی ندارد) Aپیوند

�Gوابسته است. یعنی Idبه ضخامت بین الیه اي مخصوصا ∝ exp(���

��حدود چند دهم �d. که ثابت (

نانومتر است.

ي دهد. براي محاسبهنتایجی در یک فرم خیلی پیچیده می ،این تئوريدلخواه (�)Φبراي مورد

ي زیر انجام شود، بایستی تبدیل فوریه (�)Φي جریان از تابع شناخته شده

exp{ ��

�} = exp{

��

�} ∫ W(ω) e����

�� dω , Θ̇ ≡ ω� =

��

ℏ V� )2-2(

توان مؤلفه هایی از جریان تونلی را بدست آوردمی W(ω)بعد از بدست آوردن تابع

I�(t) = Im∫ dω� �

��∫ dω� W(ω�)

�

�� W(ω�) I� ( ω� +

��

� ) e� [ (�����)�� �̇] )3-2(

I�(t) = Im∫ dω� �

��∫ dω� W(ω�)

�

�� W⋆(ω�) I� ( ω� +

��

� ) e� [ (�����)� ] )-2

4(

و کامال توسط خود وابسته نیست، (�)Φبه دینامیک فاز �,�I (ω)، توابع مختلطW(ω)در مقایسه با

اند. براي فهمیدن معنی فیزیکی آنها یک مورد ویژه را در نظر بگیریم زمانی که ولتاژ پیوند تعیین شده

V(t) : ثابت است Vپیوند = V�

Φ = Θ = ω� t + const )-2

5(

خیلی ساده است W(ω) ) تابع 2-2(يوطبق رابطه

W(ω) = �(ω) )-2

6(

20

دهدمی )4-2() و 3-2(که براي این مورد ك استاتابع دلتاي دیر (ω)�که تابع

I� = Re I� (��

�) sin ϕ + Im I� (

��

�) cos ϕ )7-2(

I� = Im I� (��

�) ,

��

�=

�

ℏ V� )8-2(

sinي تنها شامل جمله �Iطبق تئوري میکروسکوپی، ابرجریان ϕ ي شود بلکه همچنین جملهنمیcos ϕ

) �I ( ي شبه ذرهقسمت موهومی مؤلفهرا دارد. �

ℏ Vدهد. ، ولتاژ وابسته به جریان عادي را می�

انداز طریق توابع گرین تعریف شدهI�,� (ω) توابع

I� (ω) = G� (2Π�e)�� ∫ dω� �

��∫ dω�

�

��(tanh

ℏ��

����+ tanh

ℏ��

���� ) ImF�(ω�)

×ImF�(ω�) (ω� + ω� − ω + jo)�� )9-2(

I� (ω) = G� (2Π�e)�� ∫ dω� �

��∫ dω�

�

��(tanh

ℏ��

����+ tanh

ℏ��

���� ) ImG�(ω�)

×ImG�(ω�) (ω� + ω� − ω + jo)�� + const )10-2(

�Gنیست بلکه تمام مؤلفه هاي جریان متناسب با �RE I� (0) I=توان دیدکه تنها جریان بحرانیمی

.)Likharev, 1986(به خواص الکترودها وابسته است. NRIهستند بنابراین

BCS تقریب 2-1-2

توسط باردن، کوپر و (Bardeen & et al, 1957) کالسیکی ي زیر از تئوريهاي شناخته شدهتنها فرم

شیفر هستند:

F (ω) = � ∆(�)

[∆�(�)� ℏ�(��� �)�]�

��

G (ω) = �� ℏ�

[∆�(�)� ℏ�(��� �)�]�

��)11-2 (

عبارت BCSدر تئوري . انرژي گاف است (T)∆که ∆(�)

�� ��تابع عمومی از

�

Tc

به صورت خط ∆است. نمایش

است. آمده1 - 2شکل تیره در

21

را )10-2(و )9-2(هاي کلی ) بر حسب فرمBCS )2-11 نتایج اصلی جایگذاري تقریب 1 - 2شکل

:دهدهاي مشابه را نشان میبا الکترود "تقارنی"از پیوند براي مهم ترین مورد

∆�(T) ≈ ∆�(T) = ∆(T) (Poulsen, 1973; Harris, 1974; Harris, 1975 ).

) کامال ساده است1 - 2شکل وابستگی دمایی جریان بحرانی(

V� ≡ I� R� = �

� ∆(�)

� tanh

∆(�)

��� �)12-2(

از پیوند تونلی تقارنی(خط صاف) در تقریب �Vي ولتاژ خط تیره) و مشخصه( ∆وابستگی دمایی انرژي گاف :1-2شکل

(Likharev, 1986). .نشان داده شده است BCSکالسیکی

T) در یک فرم ساده در ارتباط با 2-2شکل ((�) �,�I ها براي ولی فرمول = تواند بیان شود( در می 0

Tها، کاربردهایی در عمل این بیان ≲ هستند) ��0.5

eR� Re I� (ω ) = ∆(0) × �K(α), x < 1

x��K(x́), x > 1)31-2 (

eR�Im I� (ω ) = ∆(0) × �o , x < 1

x��K(x́), x > 1)14-2 (

22

eR� Re I� (ω ) = ∆(0)sign(ω) × �K(x) − 2E(x) , x < 1

(2x − x��)K(x��) − 2xE(x��) , x > 1 )51-2(

eR�Im I� (ω ) = ∆(0)sign(ω) × �0 , x < 1

2xE(x́) − x��K(x́) , x > 1 )61-2(

Family name: Zohouri Kakhki Name: Sanaz

Title of Thesis : Investigation of Macroscopic Quantum Tunneling in Intrinsic Josephson

Junctions

Supervisor: Dr. Mohammad Hamdipour

Advisor: Dr. Maghsoud Saadati Niari

Graduate Degree M.Sc.

Major: Physics Specialty: Solid State

University: Mohaghegh Ardabili Faculty: Sciences

Graduation date: 95/11/13 Number of pages: 158

Abstract: Tunneling effect is a very important phenomenon, which states if a particles with energy less than the height of a barrier can tunnel and pass though the barrier, which violate the classical physics. In classical physics a particle can only pass through the barrier when its energy is at least equal to the height of the barrier. This tunneling phenomenon which is absolutely quantum effect, has essential role in the decay of unstable nuclei and has many applications including tunnel diode and the scanning tunneling microscope (STM). In this paper we study the tunneling in Josephson junction. Josephson junction is a system in which two superconducting layer separated by an insulating layer with a thickness in the range of nanometers. In this system tunneling occurs collectively in the macroscopic scale. This case is called macroscopic quantum tunneling and investigating this phenomenon because of its effect on current-voltage characteristics of system has great importance. In this paper we consider a Josephson junction connected to the voltage V then we calculate the quantum tunneling rate.

Kywords: Josephson Junction, Quantum tunneling rate, Superconductivity.

University of Mohaghegh Ardabili

Faculty of Sciences

Department of Physics

Thesis submitted in partial fulfilment of the requirements for the degree of

M.Sc. in Solid State Physics

Title:

Investigation of Macroscopic Quantum Tunneling in Intrinsic Josephson

Junctions

Supervisor:

Dr. Mohammad Hamdipour

Advisor:

Dr. Maghsoud Saadati Niari

By:

Sanaz Zohouri Kakhki

February – 2017