I PARALLELOGRAMMISi dice PARALLELOGRAMMA un quadrilateroavente i lati opposti paralleli a due a due.

Una particolarità del parallelogramma è chemantiene le sue caratteristiche anchequando viene deformato, o schiacciato.

A D

CB H K

In un parallelogramma ci sono due diagonali.

In un parallelogramma gli angoliopposti sono semprecongruenti.

A D

CB

A D

CB

Gli angoli adiacenti a uno stesso lato sono supplementari (laloro somma è uguale a 180°)

Ciascuna diagonale divide ilparallelogramma in due triangolicongruenti. Le due diagonali siintersecano sempre nel loro puntomedio.

Un particolare parallelogramma è il RETTANGOLO

Il rettangolo è un parallelogramma aventequattro angoli retti (di 90°).

Ciascuno dei lati può essere considerato la base, e l'altro diventeràcosì l'altezza del rettangolo.

base

alte

zza

A

C

D

B

O

base

alte

zza

Un rettangolo ha due diagonali, che si BISECANO (cioè si intersecano in unpunto che le divide in due parti uguali). Le due diagonali sono congruenti.

IL ROMBOIl rombo è un parallelogramma avente i quattro laticongruenti.

A

C

DB

alte

zza

Un rombo ha sempre due diagonali,che possono essere congruenti,oppure di diversa lunghezza (unadiagonale sarà in questo caso dettamaggiore, l'altra minore).

Le due diagonali del rombo sono sempreperpendicolari.

IL QUADRATO

Il quadrato è un parallelogramma avente quattrolati congruenti e quattro angoli retti.

A

B C

D

lato

diago

nale

Anche il quadrato ha duediagonali, che sono sempreperpendicolari e congruenti.

Ciascun lato può fare dabase, o da altezza.

CLASSIFICAZIONE GENERALE DEIQUADRILATERI

INSIEME DEI QUADRILATERI

INSIEME DEITRAPEZI

INSIEME DEI PARALLELOGRAMMI

RETTANGOLI QUADRATI ROMBI

CIRCONFERENZA E CERCHIOLa circonferenza (C) è una linea chiusa formata da tutti ipunti del piano posti alla stessa distanza da un puntointerno chiamato centro della circonferenza. La distanza frai punti e il centro prende il nome di raggio dellacirconferenza (r).

Il doppio del raggio (2r) si chiama DIAMETRO.

centro (C)

raggio (r)

Un punto può:a) essere esterno alla circonferenza

b) essere interno alla circonferenza

c) appartenere alla circonferenzacentro (C)

raggio (r)

L'insieme dei punti interni e di quelli che appartengono alla circonferenzaprende il nome di CERCHIO.

Si può anche dire che il cerchio è la parte di piano delimitato dalla suacirconferenza.

Consideriamo un cerchio come quello infigura.

Prendiamo due punti (A e B) dellacirconferenza.

AB

Ciascuna delle due parti in cui viene suddivisala circonferenza viene detto ARCO.Esso si indica con AB

Il segmento che unisce i punti A e B prende invece il nome di CORDA.

arco

arco

corda

I punti A e B sono chiamati estremi dell'arco o della corda.

La corda più grande di tutte è il DIAMETRO, che passa per il centrodella circonferenza.

Posizioni reciproche di una retta e di una circonferenza.

retta ESTERNA (se nessuno dei suoi puntiappartiene alla circonferenza)

TANGENTE: se un suo punto appartiene alla circonferenza

(cioè se la tocca solo in un punto)

SECANTE: se tocca lacirconferenza in due punti.

AF

E

DC

B

POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTIUn poligono si può inscrivere in una circonferenza, quando tutti i suoi verticiappartengono alla circonferenza stessa.

Il poligono si dice inscritto nella circonferenza, mentre la circonferenza si dicecircoscritta al poligono.

Il poligono è inscritto nellacirconferenza

La circonferenza ècircoscritta al poligono.

Un poligono si può inscrivere in una circonferenza se gli assi di tutti i suoilati si incontrano in un unico punto chiamato circocentro. Il circocentro è ilcentro della circonferenza circoscritta.

circocentro

assi dei lati

In altre parole, un poligono si puòinscrivere in una circonferenza aventeil centro coincidente con il suocircocentro, che è unico.

Consideriamo una circonferenza di centro O e raggio r, e un poligonoavente tutti i lati tangenti alla circonferenza.

Or

Circonferenza dicentro O

Poligono tangentealla circonferenza

Questo poligono si dice circoscritto alla circonferenza, mentre lacirconferenza è inscritta nel poligono.

Il centro della circonferenza è l'INCENTROdel poligono, cioè il punto di incontro dellesue bisettrici.

bisettrici del poligono.

Un poligono si può circoscrivere a una circonferenza se lebisettrici di tutti i suoi angoli si incontrano in un unico punto (oincentro) che sarà il centro della circonferenza inscritta.

in altre parole

Un poligono si può circoscrivere a una circonferenza avente ilcentro coincidente col suo incentro, che è unico.Il centro e il raggio (r) della circonferenza inscritta nel poligono sichiamano rispettivamente INCENTRO e APOTEMA (a) del poligono.

L'apotema (si indica con la a minuscola) diun poligono è il raggio della circonferenzainscritta nel poligono stesso.

apotema

circonferenza inscrittanel poligono

poligono circoscrittoalla circonferenza

E' sempre possibile inscrivere unacirconferenza in un poligono?

cioè... tutti i poligoni si possono circoscriverea una circonferenza?

NO

TRIANGOLI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI A UNACIRCONFERENZA.Poichè tutti i triangoli hanno un unico punto dove si incontrano i tre assi (circocentro) e ununico punto dove si incontrano le tre bisettrici (incentro), allora ne consegue che TUTTI ITRIANGOLI SI POSSONO INSCRIVERE E CIRCOSCRIVERE A UNA CIRCONFERENZA.