HYDRAULIK Grundläggande ekvationer I · 2017-05-04 · VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I...
Transcript of HYDRAULIK Grundläggande ekvationer I · 2017-05-04 · VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I...
HYDRAULIKGrundläggande ekvationer I
Rolf Larsson, Tekn Vattenresurslära
För VVR145, 23 mars, 2016
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 2
NASA/ Astronaut Photography of Earth - Quick View
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 3
Innehåll
1. Introduktion; tillämpningar2. Klassificering av flöden3. Visualisering4. Laminär/turbulent strömning5. Angreppssätt6. Kontinuitetsekvationen7. Exempel
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 4
1. Introduktion; tillämpningar
• Vattenförsörjning (ledningar, pumpar ...)• Avloppsvatten (ledningar, pumpar ...)• Vattenkraft (dammar, kanaler, tunnlar...)• Infrastruktur (hamnar, vägar, järnvägar ...)• Översvämning
(Se separat fil med bilder)
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 5
2. Klassificering av flöden
Flöden klassificeras mht variation i
Tid:• Stationär strömning (varierar ej med tiden)• Icke-stationär strömning (varierar med tiden)• Kvasi-stationär strömning (varierar obetydligt med tiden)
Rum:• Likformig strömning (varierar ej i strömningsriktningen)• Olikformig strömning (varierar i strömningsriktningen)
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 6
Ex. Stationär (flöde Q konstant i tiden), likformig strömning
Ex. Stationär (flöde Q konstant i tiden), olikformig strömning
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 7
Ex. Ickestationär (flöde Q varierari tiden), likformig strömning
Ex. Ickestationär, olikformigströmning
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 8
3. Visualisering
Strömlinje (streamline): En linje vars tangent i varje punkt har samma riktning som hastighetsvektorn.
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 9
Strömrör (streamtube): En grupp av strömlinjer som tillsammans spänner upp ett imaginärt rör.
Av definitionerna följer: inget flöde genom strömrörets ”väggar”
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 10
Strömnät (flow net): Strömlinjer och potentiallinjer. T.ex. för grundvattenströmning.
Partikelbana (pathline): Definieras av en partikel som passivt följer med i flödet.Stråklinje (streakline): Erhålles om man kontinuerligt injicerar färg i en punkt i ett flöde.
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 11
4. Laminär/turbulent strömning
Laminär strömning• Flöde längs parallella linjer i skikt (grekiska laminae)
• Skjuvspänning bestäms av viskositet genom 𝜏𝜏 = 𝜇𝜇 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
Turbulent strömning• Oregelbundna, slumpmässiga rörelser• Skjuvspänning bestäms av turbulensens egenskaper• Strömingen genererar kraftig omblandning
(4.2)
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 12
Reynolds experiment illustrerar laminär/turbulent strömning
Strömningen visualiseras mha injicerat färgämne
Vid låga flöden: laminärt
Vid höga flöden: turbulent
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 13
Reynolds tal
• Reynolds generaliserade sina resultat genom att introducera ettdimensionslöst tal
Re VD VDρν µ
= =
Där
ν = µ/ρ, V=Q/A
ν = kinematisk viskositet (m2/s)µ = dynamisk viskositet (Ns/m2 = Pa s)D = längdskala (m) = (för rör) diameterV = medelhastighet (m/s)
(4.3)
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 14
Reynolds tal för rörströmning
• Laminar strömning: Re < 2000• Övergång: Re = 2000 to 4000• Turbulent strömning : Re > 4000
Två trösklar:Övre kritisk hastighet – övergång från laminär till turbulent strömningUndre kritisk hastighet– övergång från turbulent till laminär strömning
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 15
1. Parallella väggar Rc ≈ 1000 / D = avstånd mellan väggarna2. Bred kanal : Rc ≈ 500 /D = djup3. Strömning runt sfär : Rc ≈ 1 /D = sfärens diameter
Kritiskt Reynolds Rc
• Avgör vid vilka strömningsförhållanden som strömning gårfrån laminär till turbulent eller tvärtom
• Beror på geometrin
Re VD VDρν µ
= =
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 16
5. Angreppssätt
Lagrangesk betraktelse: Strömningen beskrivs med egenskaper för flödespartiklar (rörligt kooordinatsystem)
Eulersk betraktelse: Strömningen beskrivs via karakteristika i punkter (fixt kooordinatsystem)
Eulersk betraktelse är normalt mer användbar.
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 17
Fluidsystem och kontrollvolym
• Fluidsystem: viss “märkt” massa inom en sluten imaginär yta(Lagrangesk betraktelse)
• Kontrollvolym: viss fix volym inom en sluten imaginär (kontroll)yta(Eulersk betraktelse)
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 18
6. Kontinuitetsekvationen
m1 m2
Control volume
Fluid system volume
Baseras på principen om massans bevarande(conservation of mass)
• Stationär strömningρ1⋅V1⋅A1 = ρ2⋅V2⋅A2 (m1 = m2)
• Inkompressibel strömningV1⋅A1 = V2⋅A2 (4.4)or Q1 = Q2 (Q = V⋅A)
V: Medelhastighet (m/s)A: Tvärsnitts-area (m2) Q: Flöde (m3/s)
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 19
Kontinuitetsekvationen tillämpad på rörledningmed varierande diameter
• V1⋅A1 = V2⋅A2 eller Q1 = Q2
Q1=V1 ⋅ A1
Q1Q2
Q2=V2 ⋅ A2
Control volume
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 20
Strömning i grenledning
Q1 + Q2 + Q3 = 0eller
V1⋅A1 + V2⋅A2 + V3⋅A3 = 0(Q,V med olika tecken beroende
på flödesriktning)
Instationär kanalströmning
d(Vol)/dt = Q1– Q2Vol = Volym vatten i kanalenmellan sektion 1 och 2
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 21
7. Exempel
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 22
I1:When 0.0019 m3/s of water flow in a 76 mm pipeline at 20°C, is the flow laminar or turbulent?
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 23
I2:What is the maximum speed at which a spherical sand grain of diameter 0.254 mm may move through water (20°C) and the flow regime be laminar?
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 24
I4:Water flows in a pipeline composed of 75 mm and 150 mm pipe. Calculate the mean velocity in the 75 mm pipe when that in the 150 mm pipe is 2.5 m/s. What is its ratio to the mean velocity in the 150 mm pipe?
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 25
I5:Using the control volume in the fig. find the mixture flowrate and density if freshwater (ρ1 = 1000 kg/m3) enters section 1 at 50 l/s, while saltwater (ρ2 = 1030 kg/m3) enters section 2 at 25 l/s.
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 26
TACK FÖR IDAG!
HYDRAULIKGrundläggande ekvationer II
Rolf Larsson, Tekn Vattenresurslära
För VVR145, 30 mars, 2016
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 2
NASA/ Astronaut Photography of Earth - Quick View
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 3
Innehåll
1. Bernoullis ekvation (B.E.)2. Tillämpning (Venturimeter)3. Giltighet B.E. och energi-ekvationen4. Korrektionsfaktor α5. Exempel
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 4
1. Bernoullis ekvation (B.E.)
H: energihöjd (m)z: vertikal nivå relativt godtycklig referensnivå (m)p: tryck (Pa)ρ : densitet (kg/m3)V: hastighet (m/s) g: gravitationsacceleration (m/s2)
𝐻𝐻 = 𝑧𝑧 +𝑝𝑝ρ𝑔𝑔
+𝑉𝑉2
2𝑔𝑔= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
Härledning:- Baseras på Newton 2 (F = ma)- Se Hamill Proof 4.3
(4.23)
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 5
Bernoullis ekvation (B.E.)
De tre termerna i B.E. benämns:
H = (energi)höjd – ett mått på totalt (mekanisk) energiinnehållZ = geometrisk höjd – ett mått på lägesenergip/ ρg = tryckhöjd – ett mått på “tryckenergi”V2/2g = hastighetshöjd – ett mått på rörelseenergi
𝐻𝐻 = 𝑧𝑧 +𝑝𝑝ρ𝑔𝑔
+𝑉𝑉2
2𝑔𝑔= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝐻𝐻 = 𝑧𝑧 + 𝑝𝑝ρ𝑔𝑔
+ 𝑉𝑉2
2𝑔𝑔definierar energilinjen (energy line)
𝑧𝑧 + 𝑝𝑝ρ𝑔𝑔
definierar trycklinjen (hydraulic grade line)
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 6
𝐻𝐻 = 𝑧𝑧 + 𝑝𝑝ρ𝑔𝑔
+ 𝑉𝑉2
2𝑔𝑔definierar energilinjen (energy line)
𝑧𝑧 + 𝑝𝑝ρ𝑔𝑔
definierar trycklinjen (hydraulic grade line)
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 7
2. Tillämpning (Venturimeter) Jämför Figur 5.1 i boken !
H
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 8
B.E. 1 2
Kont. Ekv 1 2
V 1 A 1 = V 2 A 2
Med horis ledning z1 = z2 ger de två ekv ovan
z 1 +p 1ρg
+V12
2g= z 2 +
p 2ρg
+V22
2g
H =p 1ρg −
p 2ρg =
V22
2g −V12
2g
H
V 1 =2gH
A 1A 2
2− 1
Venturimeter forts.
Dvs eftersom Q = V1 A1 och A1, A2 är kändaså kan vi mäta flödet genom att mäta H
H =V12
2gA 1A 2
2
− 1
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 9
3. Giltighet B.E.
Bernoullis ekvation gäller• Längs en strömlinje• För en ideal fluid ( energiförluster försummas)• Stationärt flöde• Inkompressibelt flöde
Om vi inkluderar energiförluster och räknar över hela tvärsnitt så får vi Energiekvationen (mekanisk energi)
z 1 +p 1ρg +
�V12
2g = z 2 +p 2ρg +
�V22
2g + ℎ𝑓𝑓 12
Där hf 12 är energiförlust mellan 1 och 2, och hastigheterna är medelhastigheter i resp. sektion
(4.24)
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 10
4. Korrektionsfaktor α
Hastighetshöjden i e-ekv baseras på medelhastighet. Termen representerar transport av rörelseenergi. Den tecknas
312A
u dAρ∫
212
Quρ
3 2
2 3A A
u dA u dA
Qu u A
ρ ρα = =
ρ ρ
∫ ∫
Eftersom hastigheten varierar i tvärsnitt så gäller egentligen:
Korrektionsfaktorn α tar hänsyn till skillnaden enligt ovan
Se ekv 4.26: α = Σ(v3dA) / V3A
transport av rörelseenergi =
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 11
5. Exempel
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 12
I9:If crude oil flows through this pipeline and its velocity at A is 2.4 m/s, where is the oil level in the open tube C?
Z
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 13
I10*:Water is flowing. The flow picture is axisymmetric. Calculate the flowrateand manometer reading.
Z
1
B A
L R
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 14
I16* Channel and gate are 1 m wide (normal to the plane of the paper). Calculate q1, q2, and Q3.
Z2
3
1
VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 30 mar 2016 / 15
TACK FÖR IDAG!