Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế: Phần 1 - Đại số...

143
Ì5NG ĐẠI HỌC KINH TỂ QUỐC DÂN BỘ MÔN TOAN Cơ BAN HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ■ TOÁN CẠO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TÊ (Phần i: Đại sô tuyên tính) NHÀ XUẤT BẢN ĐAI HỌC KINH TỂ QUỐC DÂN

description

LINK DOCS.GOOGLE:https://drive.google.com/file/d/0B7w57xpxgaT0OEd1OWtYRDg4R3M/view?usp=sharingLINK MEDIAFIRE:https://www.mediafire.com/?qd5fxzbv8lopd5h

Transcript of Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế: Phần 1 - Đại số...

  • 5NG I HC KINH T QUC DN B M N T O A N C B A N

    HNG DN GII BI TP

    T O N C O C PCHO CC NH KINH T(Phn i: i s tuyn tnh)

    NH XUT BN AI HC KINH T QUC DN

  • LI NI U

    Tip theo cun bi tp-Ton cao ep cho cc nh kinh t*, do Nh xut bn Thng ke n hnh nSm 200S, ln ny chng ti cho bin son cun Hng dn gii bi tp Ton cao cp cho cc nh kinh t.

    Mc ch ca cun sch nhm gip cho sinh vin c th t bc tt mn hc, hoc dng n lp thi ht bc phn, thi tuyn sinh du vo Sau i hc.

    Kt CU cun sch gm hi phn chnh tng ng vi ni dung ca gio trnh l thuyt v& cun bi tp. Trong mi bi hc, chng ti tm tt li cc khi nim v kt qu c bn cng cc v d miu. Hng dn phng php gii cc loi bi tp c tb, cui cng l cc bi tp v p s hoc gi cc bn t rn luyn.

    Hy vng cun sch s gip cc bn t hc v n tp tt mn hc 'Ton cao cp cho cc nh kinh t.

    Ln u bin son, cun sch khng trnh k h a thiu st, rt mong nhn c s gp ca bn dc v ng nghip a ln xut bn sau c hon thin hn.

    Mi kin gp xin gi v: B mn Ton c bn, Khoa Ton Kinh t, Trng i hc Kinh t Quc dn.

    T/Fax: (04) 6283007.Email: [email protected] chn thnh cm n!

    Trng B mn Ton Ca bn, H KTQD.

    NGUYN HUY HONG

  • Phn 1 I S TUYN TNH

    Ti bn ln th 3 (C sa cha b sung)

  • C h u n g 1

    K H N G GIAN VECT

    1. H phng trnh tuyn tnh tng qut

    A. Tm t t l thuyt v cc v d m uH phng trnh tuyn tnh tng qut gm m phng trnh v n n:

    ax, + al2x2 + + aInx = b, a2lx, + au x2 + - + a2nxn = b2

    a,x, + am2x2 + - + a x , = bm

    H tam gic:an x, + a,jX2 + + alnx = b,

    a22x2 + + a2nxD = bj

    annxo = bn, * 0 v ajj = 0 vi i> j.

    H dng tam gic c nghim duy nht.Cch gii: T phng trnh cui cng gii c n x, thay ngc ln cc phng trnh n tm cc n cn li, nghim ca h phcmg trnh l duy nht.

    V d 1: Gii h phng trnh:

    | 2 x ,+ x j - X, =5 X j + 3 X j = 7

    5x, =2

  • Gii. Ln lut tm gi t ca n x ,,x 2,x,. H phung trnh cho c nghim duy nht:

    H Mh thang:

    aMx, + a,jX2 + - + a ^ x , + - + alax = b,

    a H x 2 + - + a 2 x . + + a 2 . \ , =

    , ai 5tO,Vi = l,2 ,...,m ;m j.

    Cch gii:+ Chn l cc n chnh (s n choh bng s phnng

    trnh); l n t d o .+ Chuyn cc n t do sang V phi v gn cho chiog nhng gi a tn :

    Khi d, la thu uc h mi c dng tam gic vi cc n chinh, gii h ny ta uc:

    vy ta c nghim ca h phng trnh d cho c dng:

    (O p i.....

    V cc gi tr m ta gn cho cc n t do l tu nn b hnh thang c v s nghim .

    V d 2: Gii h phung trnh:

    + a ^ x , b.

    x*l ~ a Bl> xm2 - x - CT|

    2x, + 3 x 2 - X, + x 4 = 5 X j - X, -2x = -2

    2 x , - X, = 3

  • Gii: Chn x ,,x2,x , l cc n chnh; x4 l n c do, x4 * a , a e R.

    H phutmg trnh ds cho tng dong:

    2 x , + 3 x j - X, = 5 - a Kj - X , = - 2 + 2 a

    X, = 3 + a= -8 a + 8 X, = - 8 ( a - l )

    Xj = ( a + 3) + 2 a - 2 o x2 = ( 5 a - l )

    * j = ( a + 3) [x, = i ( a + !)

    Nghim tng qut: ( ^ ( a - l ^ ^ a - l ^ ^ a + l),*).

    Phng php kh n lin tip

    Cc php bin di tuong ng di vi h phng trnh tuyn tnh:

    i ch hai phung trnh trong h cho nhau;

    Nhan hai v ca mt phuong trnh ong h vi mt s khc khng;

    Cng v&o hai v ca mt phung trinh hai v tng ng ca mt phng trinh khc sau khi d nhn vi mt s.

    By gi chung ti n gii thiu phng php kh n lin tip Gauss d gii h phung trnh tuyn tnh tng qut

    Ni ng:

    Chuyn h phng trnh tuyn tnh tng qut v h tam gic hoc h hnh thang, bng cc php bin di tung dng di vi h phutmg trnh tuyn tnh.

    Ch :

    gii h phng trnh tuyn tnh ta thng bin i n ma trn m rng tng ng ca h phng nh .

  • Cch gii: Tng ng vi h phng nh tuyn tnh tng qut ta c ma trn m rng v khng mt tnh tng qut gi s a,, * 0.

    Bc 1: Kh n X, bng cch ly dng mt nhn vi v cngII

    vo dng i, i = 2,3,...,m.

    a!2 1. b , ' 'II _ a,nA = *22 a2 b2 ->

    0 ' a' t>;

    *aml a2 a^, o ai

    Bc 2: Kh n Xj (gi s a'^ * 0) bng cch ly dng hai nhn vi *

    - ri cng vo dng i, i = 3,4,...,m.

    C tip tc qu trnh n ta a c h phng iih cho v h tam gic hoc h hnh thang.

    Trong qu trnh s dng cc php bin i tong ng nu thy trong h phng trnh xut hin phng trnh dng:

    0x, + 0x2 +... + 0xn = b * 0 th kt lun h phng trnh cho v nghim;

    0x, + Ox, +... + 0xn = 0 th c th b phcmg trnh ny.

    V d 3: Gii h phung trnh:

    X + 2 y - 3z = 12 x - 3 y + z = 23 x - y - 2 z = 4

    '1. 2 3 r ' \ 2 -3 f '1 2 -3 r2 -3 1 2 - 0 -7 7 0 -> 0 -7 7 0

    ,3 -1 - 2 4J ,0 -7 7 K ,0 0 0 K

  • H phng trnh n tng ng vi h phng trnh: X + 2y - 3z = 1

    - l y + 72 = 0 Oz = 1

    H phng trnh cho v nghim.Vi d 4\ Gii h phng trnh:

    IX + y + z = 6 2x + y - z = 1 3x - y + 2 = 4

    Gii:' 1 1 1 6 ' ' 1 1 1 6 ^ ' 1 1 1 6 '2 1 - 1 1 > 0 1 1 1 - 0 -1 - 1 -11

    ,3 - ! 1 4 0 - 4 - 2 -14 0 0 10 30

    H phng trnh cho tng ng vi h sau: x + y + z = 6 X = 1

    - y - 3z = -1 1 o y = 2 10z = 3 0 [z = 3

    Vy h phng trnh c nghim duy nht (1,2,3).

    Vi d 5: Gii h phng trnh:-4x, - Xj + lOx, - 5x, = 0

    X, + 2x, - 2x, + X, = 0 - 2 x , + 3X j + 7 x , - 2 x 4 = 0

    Gii:'- 4 -1 10 -5 ' ' 1 2 -2 1 '

    1 2 -2 1 -4 -1 10 -5

    ,-2 3 7 -2 , ,-2 3 7 -2 ,

  • 1 2 -2 1 " 1 2 -2 1 1- 0 7 2 -1 * 0 7 2 -1

    .0 7 3 0 , ,0 0 I '

    H phuong trnh a cho tuong ng vi h phng trnh sau:

    X, + 2X j - 2Xj + X, = 0 7 X j + 2 x , - * 4 = 0

    Xj + x4 = 0

    Chn x ,,x ,,x , lccncMnh; x.lntdo.gnchox,, =a, VaeR.

    H phuong trnh bn tng ng vi h phng trnh sau:

    i x , + X , - 2 k , = - a X, = - a - 2a - - a X, - f a

    7 x , + 2 x , = a O ' K2 = | a *2 *= - f a

    [ * - X , = - a * - a

    ( 27 3 ^Vy nghim ca b phuoDg trnh l. I - 0 , - 0 , - a , a l , o e E .

    Ch : Mi h phaong trnh tuyn tnh thun nht c s phuong trnh t hn s n u c v stf nghim (c nghim khng tm tliuDg).

    B. BI tp

    Ib&l

    Gii cc b pbung trnh tuyn tnh sau bng phng php kb n lin p Gaus:

    2x+ 3y*5 3 x - y 9* +2y=4

    X - 2 v * 3

    2 x - y = 1 3 x -3 y =5

  • 3.

    5.

    7.

    9.

    l l

    13.

    15.

    8x - y =10 X + y + z =61 0 * -9 * =19 4. 2 x + y -z = 1

    1 9 II 00 J x - y + z =4

    X -6 y + 8 z = 0 * + 2 y -3 z = 13 x -4 y + 5 z =18 6. 2 * -3 y + z =22 * + 4 y -3 z =26 3 x - y -2 z =4

    2 x -3 y + 2z = 1 X -2 y + 3z =0J x - 5 y - 4 z =2 8. 2 x + 3 y -3 z =03x -4y+ 10z =1 4 x -3 y + 5z =0

    2x+ y -3 * =0 3x+2y+ z = 0 4x + 3y+5z = 0

    10.

    X - y - z = -2 2x +3y + 2z = 1 3x - 5 y - 4 z = -8

    -2x + 2y + 3z = 4

    X + y + z = 3 X, +X, = 4X +2y+3z 2

    12.2x3 + X, = 1 i

    2x+ 3y+ 2z = 0 3 x ,+ x ' =223x+ y +2z =4 4x, + X, =29

    x ,+ k , + x, = 6 x,+x,-x,+x. =-2

    x , + x ,+ x 4 =9 X, + x4 + X| =8

    14.X,-X ,-X, J-X, = 0 X,+Xj+X,-X4 = 2

    x4 + x, +Kj =7 X, - X j +x, -X, = 4

    X, - 2x, + 3xj - X, =2 2x, + X, - X, +3x4 1 4x, - 3 *j + SXj + x 4 =3

    16.

    X, - 4 x + 6 x , - 4 Xj = - 1 0

    -2x,+3x, - 4 x , + 5x 4 = 7 3x, + 2 X j - 5 \ , - 3 Xj = 7

  • 1 7 .

    1 9 .

    X, - 2 x 2 + 3 X j - 4 x 4 = 1

    2 x , - 3 x , + 4 x , - x 4 = 2

    3 x , - 5 x 2 + 7 x , - 5 x 4 = 3

    4 x , - 6 x 2 + 8 x , - 2 x 4 =4

    X, +3x2 -3 x , - 2x< = 0X, - 3 X j + 2 X j - 3 x 4 = 0

    2x, +3x2 - Xj - 5x4 = 04 x , - 3 x 2 - 2 x 3 - 1 0 x 4 = 0

    1 8 .

    20.

    X, + 2 x 2 + 3 x , + 4 x 4 = 0

    2x, +3Xj +4x3 + x4 =0 3 x , + 4 X j + X , + 2 x 4 = 0

    4 x , + Xj + 2 x j + 3 x 4 = 0

    X, - Xj + 2x, -3 x 4 =0 2 x , - 3 x j - X , + x 4 = 0

    - X , + 2 x 2 + 3 x , - 4 x 4 = 0

    3 x , - 4 x 2 + X, - 2 x = 0

    II. p s

    I. (x = -2, y = 3). 2. V nghim. 3. (x = 1, y = -2 , z = -1).

    4. (x = 1, y = 2, z = 3). 5. (x = 8, y = 4, X = 2). 6. V nghim.

    7. (x = -2 2 cc- l , y = - 1 4 a - l , z = a ) . 8. (x = 0, y = 0, z = 0).

    9. (x = 7 a , y = - l l a , z = a ) . 10. (x = - l , y = l, z = 0).

    I I . V nghim. 12. (x, =1, x2 =3, Xj =5, x4 =7).

    13. (x, = 1, Xj = 2, Xj = 3, x4 = 4).

    14. (x, =1, x2 =-1, X, =2 + a , x4 = a). 15. V nghim.

    16. (x, =2a, x2 = a +1, X, = a -1 , x4 = a ) .

    17. (x, = l + a - 1 0 p , Xj = 2 a - 7 p , X, = a , x4 = (3).

    18. (x, =Xj = x , = x 4 =0). 19.(x, =13a, x2 =0, X, = a , x4 =5a) .

    20. (x, = - 7 a + op, Xj = -5 a + 73, X, = a , x4 =p).

  • A. Tm t t l thuyt v cc v d mu nh ngha:+ Php cng hai vc t cng chiu:

    X = (x x 2,...,x);

    Y = (y y 2.....y).

    => X + Y = (x, + yXj + y2,...,x + y ).

    + Php nhn mt s vi vc t:

    X = (x ,,x ,.....x), a R.

    s a x = (ax ,,ax j.... ax).

    + Vc t khng:

    0. = (0,0,,0) n

    + Vc t i:

    Cho vc t X = (x ,,x 2,...,x), ta c -X = ( -x l, - x J,...,-x).

    l vc t i ca vc t X.Tnh cht:

    Vi X, Y, z e R ; a , p 6 R, ta c cc tnh cht sau:* X + Y = Y + X;

    * (X + Y) + Z = X + (Y + Z);

    X + 0=X;

    . X + (-X ) = 0;

  • * 1.x =X;

    * a(X + Y )-a X + a Y ;

    * (a + 0)X = aX + Y;

    * (a )x = a (p x ) = (ax).

    V d 1 : Xc dnh vc t X bit

    a. X = 2X, -X ,;

    b. 3X - 2X, + Xj = Oj.

    Gii:

    -x--BA-)v ty; X . 2 X . - X , w - i )

    b. 3X - 2X, + X, = 0 o 3X =2X, - X j

  • Khng gian con

    nh ngha: Mt tp hp khng rng L c R duc gi l khng gian con ca khng gian R nu n tho mn:

    i. L ng kn i vi php cng cc vc t (V X,Y eL th X + Y eL);

    ii.L dng ki i vi php nhn vc t vi s (V X eL ,V o eE th aX L).

    V d 2: Chng minh rng: L, = {X = (x,Xj):Xj =o ! khog gian con ca khng gian R 2.Gii:

    Hin nhin L, * 0 v 0j e L,.

    Ltfy X=(x,,Jtj),Y=(yyj) bt k 6 L, nen 3j= (\y ,= 0i> xi+ yi= 0

    =>X +Y =(x, + y ,,X j+ y ,)e L l. Mt khc, V X = (xxI ) c L a e E

    =>LX=(otx1)axJ)e L | v 0tXj =0.

    Vy theo nh ngha L, l khng gian con ca kbng gian RJ.

    V d 3: Tp vc ta sau dy c phi l khng gian con ca khng gian vc t R 3 khng?

    L = | x = ( x 1, X j , X j ) e R : X, + X j + x , = l | c R 5

    Oii: Hin nhin L * 0 v X = (l,0 ,0 )eL .

    Ly X = (x ,,x x 3),Y = (y,,y2,y5) b tk c L tc l: x ,+ x ,+ * ,= l ,

    y i+ y j + y} = 1 =>X + Y = (x, + y x 2+ y j ,x ,+ y ,) , ta c:

    (x1+ y1)+ (x J + yJ)+ (x , + yJ) = (x1+x2 + x ,)+ (y ,+ y J + y ,)= 2 5 l . =X + Y&L.

    Vy theo nh ngha th L khng l khng gian con ca khng gian R3.

  • B. Bi tp

    I. biXc nh vc t X t cc phng trnh sau:

    21. X = 2X, -3X j

    22. X = 3X, + 2Xj

    23. 2X = 3X, +Xj

    24. X = 3X, - 2Xj + 3X,

    25. X = 2X, +3Xj -2 X j

    26. 3 X - 2 X , - X j + 2 X , = 0

    vi X, = (1 ,-2 ),x 2 =(-2,1).

    vi X, = (l,-4 ) ,X 2 = (-3 ,6).

    vi X, = (l,2 ),X j = (-1,4).

    vi X, = ( l,0 ,- l) ,

    x 2 =( - 2,0,2), X, =(-1,1,0).

    vi X, =(1.3,1),

    X, =(-2,0,2),

    X, =(-2,3,2).

    vi X, =(-1,1,2),

    X, =(3,5,7),

    X, =(2,-1,4).

    n . p s

    21. X = (8,-7). 22. X = (-3,0). 23. x = (l,5).

    24. x = (4,3,-7). 25. x = (0,0,0). 26. x = (-1,3,1)

  • A. Tm tt l thuyt v cc vt d mu Php biu din tuyn tnh

    nh ngha: Vc t X e R" c gi l biu din tuyn tnh qua cc vc t n chiu XI,X 2,...,X1I1 nu n biu din dui dng:

    x = a ,x , +a,X +...+aX. d a , , a 2, . . . , a 111 6 R .

    Vi d 1: Tm X vc t X biu din tuyn tnh qua cc vc t cn li.

    x = ( 2 , - u ) , X, =(4,3,2), X2 = (-1 ,-2 ,-3 ).

    Gii: G istnti k ,,k j sao cho: X = k ,X |+ k2X2.

    X biu din tuyn tnh qua cc vc t c% li th h phung trnh: 4k, - k , = 2

    3k, - 2kj = -1 2k, - 3kj = X

    phi c nghim. Ma trn m rng tng ng l:

    4 - 1 2 ' '4 -1 2 ' '4 - 1 2 '

    3 - 2 -1 - > 0 _ 5 452 - 0

    54

    s2

    , 2 -352 X - l J , 0 0

    X + 4

    H phng ttnh tng ng vi h phng trnh n l:4k, - k3 = 2

    - 4 k = - 4 2 20k2 = X + 4

    H phung ttnh chi c ngtitn kh-1 dintuyn tnh qua cc vc t cn li th =>A-

  • Tng quL gii bi ton nh trn la xt h phng irnh c ma trn h s vi cc CI l ta cc vc t cn li v CI he s t do l ta ca vc t X. Nu h phucmg trnh ny c nghim 'th X biu din luyn tnh qua cc vc l cn li, ngc li th khng.

    V du 2: Tim X d X biu din tuyn tnh qua cc vc t cn li.

    X = (X>2,5),X ,= (3 ,2 ,6), x 2 =(7,3,8), X, =(5,1,3).

    Gii: Xt h phcmg trnh c ma trn h s m rng sau:

    '3 7 5 X' '2 3 1 2 ' '2 3 1 2 '2 3 1 2 6 8 3 5 -* 0 - 1 0 -1

    6 * 3 5 , 3 7 s \ 1

    '2 3 1 2 ' '2 3 1 2 '- 0 -1 0 -1 0 -1 0 -1

    ,0 5 7 2X -6 0\ 0 7 2A.-11,

    H phng trnh lun c nghim vi mi gi l c a X. Vy VI mi X th X u biu din tuyn tnh qua cc vc t cn lt-

    S ph thuc tuyn tnh v c lp tuyn tmh ca ni h vc t

    Cho mt h gm m vc t n chiu:

    X X 2,...,X (1)

    Xt h thc:

    k,x, +lc,X,+... + kmXm=0, (2)

    Nu h thc (2) vit di dng thinh phin, theo inh ngha hai vc t bng nhau ta c h gm n phcmg trnb tuyn tnh thnn nhi vi mn k)1k2,...,kj-. Nu h phuong trnh tuyn tnh chun nht c v s nghim (tc c nghim khng tm thung) th h: vc t ph thuc tuyn tnh, cn nu h phng trnh ch c nghim duy ht l lm thng th h vc t c lp tuyn tnk

  • Vi d 3: Xt s c lp tuyn tnh v ph thuc tuyn tnh ca h vct sau:

    X ,= ( l ,- ! ,0 ) , X2 = (-2,1,-1), X, =(-3,2,-1).

    Gii: Xt h thc:

    k,x, + k,Xj + lc,x, = 0,H phng trnh tung ng l:

    ( k, - 2 k 2-3 k , =0 -k , + k3 +2kj =0

    -k j - kj =0

    ' 1 - 2 - 3 > ' - 2 - 3 ' -2 -3 '- 1 1 2 - 0 -1 -1 > 0 1 1

    1 1 0 1 1 0 0 0 ,

    H phng trnh tng dng:

    Jk 1- 2 k , - 3 k , =0 - k , - k , =0

    H hnh thang c v s' nghim. Vy h vc t cho ph thuc tuyn tnh.Ch : gii bi ton xt s c lp tuyn tnh, ph thuc tuyn tnh ca mt h vc t, ta xt h phng trnh tuyn tnh thun nht c ma trn h s vi cc ct tng ng l cc vc t ny vit theo dng ct. Thc hin cc php bin i s cp trn ma trn ny, nu ma trn cui cng c dng hnh thang th h vc t ph thuc tuyn tnh, nu c dng tam gic th h vc t c lp tuyn tnh.

    Vi d 4: Xt s c lp tuyn tnh v ph thuc tuyn tnh ca h vc t sau: X, = ( - 1,1, 2) X2 = ( - 2,1 - 1), X, = (3, - 1,1).

    Gii:Xt h thc; k ,x , + k ,x , + k ,x , = 0,.

  • Ma n h s tng ng:'~ \ -2 3 ' -1 -2 3 ' '-1 -2 3'

    1 1 -1 0 - 1 2 - 0 - 1 2

    'S

    T(N1 ->n1o o o

    Ma n cui c dng tam gic nn h vc t trn c lp luyn tnh. Ch : Trn dy mi chi l phng php gii bi ton theo nh ngha, cc phn sau ta c th xt bi ton ny theo phung php hng ca h vc t thng qua hng ca ma trn hay phng php dnh thc (nu s vc t bng s chiu ca vc t).

    Vi d 5: Tun X. h vc t sau l c lp tuyn tnh hay ph thuc tuyn tnh: X, = ( l ,-2 ,- l ) , X, =(-1,1,2), X, =(2,-3,*.).

    Gii:' \ -1 2 ' -2 1 -3

    ' \ -1 0 -1

    2 ' 1 -

    1 - 1 2 ' 0 -1 1

    - \ 2 X, ,0 > X + 2 0 0 X + 3

    Nu X + 3 = 0 o X = -3 th ma trn dng hnh thang, do h vc ta n l ph thuc tuyn tnh.

    Nu X + 3 * 0 X * -3 th ma trn c dng tam gic nn h vc t c lp tuyn tnh.

    V d 6: Chng minh rng h vc t Xp X ,, Xj ph thuc tuyn tnh m Xj khng th biu din tuyn tnh qua X ,,X ; th cc vc t X,, x : t l vi nhau.

    Gii. Do X ,,X ,,X 3 ph thuc tuyn tnh nn tn ti kr k ,,k j khng

    ng thi bng khng sao cho: k,x, + k2X2 + k,X3 = 0 (*)

    Mt khc, ta c kj = 0, v nu k, * 0 th t (*) ta c :

  • Ngha l, X, biu din tuyn tnh qua X,, X2 mu thun vi githil, suy ra k,x, + k ,x , =0 vi k ,,k , khng ng thi bng lchng,

    k khng mt tnh tng qut gi s k, * 0=> X, = - X,.*1

    B. Bi tpI. biTun s X vc t X biu din tuyn tnh qua cc vc t

    cn li:

    27. X = (2 ,-1 ,X), X, =(4,3,2), X, = (-1 ,-1 ,-3 ).

    28. x = (1,2,3), X, = (-!,2 ,X ), X, = (3 ,-2 ,-3).

    29. X = (1,3,5), X, =(3,2,5), X, =(2,4,7), x ,= (5 ,6 ,x ).

    30. x = (2,5,x), X, =(3,2,6), x ,= (7,3,9), X, =(5,1,3). Cc h vc t sau l dc lp tuyn tnh hay l [ thuc tuyn tnh:

    fx , = (2 .-1 .3 ) 1X, = (1.-2.3)

    x ' = ( - 4 , 2 , - 6 ) x 2 = (3 -2 ,1 )

    X, = (1,-1, 0) X, = ( -1 ,1 ,-2 )

    X , = (-2 ,1 ,-1 ) 34. X , = ( -2 ,1 ,-1 )

    X, = (-3 ,2 ,-1 ) X, = (3 ,-1 ,1 )

    X, = (1 ,2 ,3 ,4 ) X, - ( 1 , - 1 ,1 , - 1 )

    x j = (2,3,4,1) 36. x 2 = (2 ,1 ,0 ,-1 )X, = (3.4.1,2) X, = ( 3 ,- 6 ,5 ,- 4 )

    X, = (1,2,3,4) X, = (1,1,1,1)

    X , = (2,3,4,1) X , = (1 ,-1 ,-1 ,1 )

    X , = (3,4,1,2) X , = (1 ,-1 ,1 ,-1 )x 4 = (4,1,2.3) x = ( 1, 1, - 1, - 1)

  • Bin lun theo X c lp tuyn tnh, ph thuc la yn tinh ca h vct sau:

    43. Chng minh rng nu h vc t c lp tuyn

    tnh cn h vc t {X| t X ,,...,Xk,X} vi l < k m ph ihuc tuyn tnh th vc t X l t hp tuyn tnh ca cc vc t

    II. p s

    27. X = -24. 28. x = 3. 29. X *12. 3 0 . Khng tn ti X.

    31. Ph thuc. 32. c lp. 33. Ph thuc. 34. c lp.

    35. c lp. 36. Ph thuc. 37. c lp. 38. c lp.

    39. Ph thuc tuyn tnh vi X = -6.

    40. Ph thuc tuyn tnh vi X = 4.

    41. Ph thuc tuyn tnh vi X = -3.

    42. Ph thuc tuyn tnh VI X = 4.

    X, = (1.-2.-1)41. | x 2 =(-1 ,1 ,2 )

    X, = (2,-3, x)

    X, = (2 ,-3 ,-2 ,3 )42. X, = (-3,2,1, -2)

    X, = (1,-4 ,-3,X)

  • 4 . C s ca khng gian vc t

    A. Tm tt l thuyt v cc v d muC s ca mt khng gian vc t, to ca vc t trong mt c s+ H gm n vc t n chiu, c lp tuyn tnh uc gi l c s ca thng gian R \

    + Nu PpP,,...,?,, l mt C

  • Xt h thc: k,P| + kjPj + k,Pj = 0,.

    H thc trn tng uong vi h phng trnh:

    [k. + = 0 k, + k, = 0

    [k2 + k, = 0

    D dng thy rng h phng trnh ny c nghim duy nht k, = k j =k, =0. Suy ra h vc t p, = (1,1,0), Pj =(1,0,1), p, = (0,1,1)

    c lp tuyn tnh. Do d n l mt c s ca khng gian RJ.

    * To ca vc t X trong c s P|, P,, Pj l b ba s thc tho mn h phng trnh:

    l'a, + a 2 = 1 j a , + a , = 5

    { a , + a , = 2

    Bng phng php kh n lin tip ta tm duc nghim duy nht ca h phng nh l: a , = 2 ,a , = l ,a , = 3. Vy to ca vc t X trong c s P,,P2, Pj trn l (2,-1,3).

    V d 2: Chng minh rng h bn vc t: p, =(0,1,3,4), P2 =(1,0,2,3),

    Pj = (-3 ,-2 ,0 ,-5 ) , P4 =(4,3,-5,0) lp thnh mt ca s ca khng

    gian R. Tun to ca vc t X = (-5,-4,12,5) ongcs.

    Gii:

    Chng minh h bn vc t: p, =(o,l,3,4), Pj = ( l,0,2,3)

    = (3 ,-2 ,0 ,-5 ), P4 =(4,3,-5,0) l mt c s ca khng gian M\ Xt h thc:

    k.P. + k ^ + k ^ + k .P^O .

  • H thc trn tung dng vi h phung trnh: kj - 3lt, + k4 = 0

    k, - 2k, + k4 = 0 3k, + 2 k j + k< = 04k, + 3kj - 5k, = 0

    Gii h bng phng php kh n lin tip:'01

    10

    -3-2

    43

    -0

    01

    -2-3

    3 '4

    3 2 0 -5 3 2 0 -5k4 3 -5 0 , 4 3 --5 0 ,

    ' \ 0 -2 3 (1 0 --2 3 r l 0 -2 3 '0 1 -3 4

    -0 -3 4

    *0 1 -3 4

    0 2 6 -14 0 c 12 -22 0 0 12 -22,0 3 3 -12, ,0 c 12 -24, k0 0 0 -2>

    D thy h c nghim l k, = k, = k, = k4 = 0. Suy ra h bn vc t p, =(0,1,3,4),P2 =(1,0,2,3), p, = (-3 ,-2 ,0 ,-5 ),P4 =(4,3,-5,0) c

    lp tuyn tnh. Do d n l c s ca khng gian R .* To ca vc t X trong c s p,, P2> p,, p, l h thng bn s thc tho mn h phng trnh:

    a , - 3a, + a 4 = -5a, - 2a, + a 4 = -43a, + 2 a ; + a , = 124a, + 3(Xj - 5a, = 5

    Gii h bng phng php kh n lin tip:'o 1 - 3 4 - 5 ' '1 0 - 2 3 - 4 '1 0 - 2 3 - 4 '

    1 0 - 2 3 - 4 0 1 - 3 4 -5 0 1 - 3 4 -5 >

    3 2 0 - 5 12 3 2 0 - 5 12 0 2 6 - 1 4 2 44 3 - 5 0 5 . 4 3 - 5 0 5 , ^ 0 3 3 - 1 2 21>

  • '\ 0 3 - 4 ' 0 - 2 3 - 4 '

    0 1 - 3 4 - 5- >

    0 1 - 3 4 - 5

    0 0 12 - 2 2 3 4 0 0 12 - 2 2 3 4

    0 12 - 2 4 3 6 ; 0 0 - 2 2 /

    T ma trn cui ny ta d thy h phng nh cho c nghim duy nht l (a , = 1, a 2 = 2, a 3 = 1, a 4 = -1). Vy to ca vc t X

    trong c s p,, P,, p,, P4 n l (1,2,1,-1).

    C s ca khng gian connh ngha: Mt h vc t PpP,,...,Pr ca khng gian con L duc gi l c s ca n nu n tho mn hai iu kin sau:

    i. p ,,p ,,...,p c lp tuyn tnh;ii. Mi vc t X e L u biu din tuyn tnh qua h vc to

    p p pI * 2 "**T'Ch : Vi mi khng gian con L, n c th c nhiu c s khc nhau, luy nhin s vc t ong mi c s u bng nhau. Trn c s chng ta c nh ngha sau.nh ngha: S vc t ong mt c s ca khng gian con c gi l s chiu ca khng gian con d.V d 3: Cc tp vc t sau dy c phi l khng gian con ca khng gian vc t tng ng hay khng? Nu ng hy tm mt c s ca khng gian con .

    a. L| = x = ( x,,Xj ) : x2 = o c R 2;

    b. L j =X = ( X | , x 2>x 3) : x 2 = 2 x p x 3 = 3 x i c R .Gii:

    a. D dng chng minh c L, l khng gian con ca khng gian R- theo nh ngha ong ]. By gi ta tm mt co s ca khng gian con ny. Xt vc t X = (x ,,x j )e L, bt k. Khi ,

    X = (xl,xj) = (x,,0) = x,(l,0) Vx, R , ngha l vc t X = (x ,,)tj)eL,

  • bt k lun biu din tuyn tnh qu vc l p = (1,0). Mt khc, h ch gm mt vc t p = (l0) lun Hc lp tuyn tnh. Vy c s ca

    khng gian L, l p = (l ,0 ) j.

    b. Lj l khng gian con xin dr.h cho bn c t chng minh. By gi chng ta tm mt c s ca khng gian con .

    Xt vc t X=(x,,x,,x,)eL, bt ki.

    Khi , X=(x1,xj,x,)=(x1,2x1,3x,) = x1(l,2,3) Vx, e R, ngha l

    vc t X = (x ,,x j ,x ,)e Lj bt k lun biu din tuyn tnh qua vc t

    p = (1,2,3). Mt khc, h ch gm mt vc t p = (1.2,3) lun c lp

    tuyn tnh. Vy c s ca khng gian L, l p = (1,2,3).

    B. Bi tpI. biChng minh tng cc vct p,, P,,...,P to thnh c s ca khng

    gian R" v tm to ca vc t X trong c s :

    45. p, =(2,-1); ps = 1,-2); x = (4,l).

    46. p, =(3,-2); p2 = -4,5); x = (2 ,l).

    47. p, =(1,1,0); p2 = 1,0,1); p, =(0,1,1); x = (1,5,2).

    48. p, =(1,2,3); p,= -2,1,-1); p, =(-1,3,4); x = (6,-3,l)

    49. p, = (1,0,1,1); p2 = 1,1,0,1); Pj =(1,1,1,0);

    p.= 0,1,1,1); X = (6,9,8,7 ).

    SO. p, =(1,0,0,1); p2 = 1,2,0,0); p, =(0,1,3,0);

    p .= 0,0,i,4); X =(4,11,22,29).

    51 p, =(0,1,3,4); p2 = 1,0,2,3); p, =(-3,-2,0,-5);

    P, =(4,3,-5,0); X =(-5,-4,12,5).

  • Cc tp vc l sau y c phi l khng gian con ca khng gian vc t tng ng hay khng? Nu ng hy tm ml c s khng gian con .

    52. L, = x = (x ,,x ,) : Xj = o c R*.

    53. Lj = { x = (x ,.x j) : Xj =2x, c R2.

    54. Lj = {x = (x ,,x 2): X,XJ = 0 } c KJ.

    55. L, = { X = (x x 2): x ,= x * } c R 2.

    56. Lj = |x = (xp x2) : X, =ax, + b c R : .

    57. L6 = { X = ( x, , x, ) : x, + x2 =1}c R 2.

    58. L, = { x = (x ,,x 2,x ,) : Xj=aX|,Xj =ax2} c l 5.

    5 9 . L , = { x = ( x , , x j , x , ) : Xj = 2 x , , X, = 3 x , ) c R 5.

    60. L, = {x = (x ,,x j.x ,) : X, + Xj + X, =0} c RJ.

    61. L,0 = x = (x ,,x j,x ,): X, +Xj +x, = | c K].

    62. L|| = { x = (x ,.x ,,x ,) : Xj = XjX,

  • 5. H ng ca m t h vc t

    A. Tm tt l thuyt v cc v d mu

    Cho mt h gm m vc t n chiu x , ,x , ..... Xm. (1)

    nh ngha: C s ca mt h vc t l mt h con ca n tho mn hai diu kin sau:

    1. c lp tuyn tnh;

    2. Mi vc t ca h cho biu din tuyn tnh qua h con .

    Nhn xt:

    Mt h vc t c th c nhiu c s khc nhau, tuy nhin s vc t trong mi c s ca mt h vc t l bng nhau.

    nh ngha: Hng ca mt h vc t l s vc t ong mt c s ca h vc t d.

    Mt s' tnh cht v hng ca h vc t

    Gi r l hng ca h (1), khi ta c:

    r < m, r < n; (hng khng vut qu s vc t v s' chiu ca vc t)

    Mi h con gm r vc t c lp tuyn tnh u l c s ca h vc t cho.

    Nu r = m (s vc t bng hng ca h vc t) th h vc t (1) c lp tuyn tnh^i

    Nu r < m (hng nh hn s' vc t) th h vc t (1) ph thuc tuyn tnh.

    tm hng ca mt h vc t ta c th lm nh sau:

    Cch 1. Tm mt c s bt k ca h vc t , hng ca h vc t l s vc t ong c s d.

  • Cch 2. Tim mt h con ln nht ca h vc t d ma dc lp tuyn tnh, s vc t ong h con l hng ca h vc t cho-

    Cc php bin i khng lm thaj di hng ca mt b vc t

    Php bin di thm, bt vc t:

    Xt hai h vc t:

    {X,,XJt...,X } ()

    {x x 2,...,x .,x } (b)

    Trong x = ^ a ,x , ,k h i hai h (a) v (b) c hng bngi-l

    nhau.

    Php bin i s cp:

    1. i ch hai vc t trong h;.

    2. Nhn mt vc t ca h vi mt s k * 0;

    3. Cng vo mt vc to ca h tch ca mt vc t khc ong cng h vi mt s bt k.

    V d I: Tm hng ca h vc t :

    X, = (2,-3) = (-4 ,6 )

    X, = (-3,4)

    Gii:

    Cch 1. D dng thy h hai vc t X,, X, c lp tuyn tnh do chng khng t l. Mt khc, X, = X ,+ 0X X, = ox, + X3, X, = -2X, + 0X j. Vy h hai vc t X,,X, l c s ca h ba vc t X ,,X ,,X j. Vy hng ca h vc t trn bng 2

  • Cch 2. Ta cng de dng thy rng h 3 vc t hai chiu X ,,X ,,X j l ph thuc tuyn tnh v s vc t trong h ln hn s' chiu. Mt khc, h hai vc t X,,Xj c lp tuyn tnh do chng khng t l v n l h vc t con c S vc t In nht c lp tuyn tnh. Vy hng ca h ca vc t cho bng 2.

    V d 2. Tm hng ca h vc t sau:

    X, = (2,-1,3,1)X, = (4,-2,6,2)X, = (6 -3,9,3)x = ( 1,1, 1, 1)

    Gii:

    D thy h hai vc t X,, X c lp tuyn tnh do chng khng t l. Mt khc ta li c, X| = X, + 0X4, X, = ox, + X4, Xj = 2X, + 0X4, X, =3X, + 0X. Theo nh ngha suy ra h hai vc t X,,X4 l mi c s ca h vc t cho. Vy hng ca h vc t XpXj.XjjX,, d cho bng hai.

    Ch : Trong chng ny mi chi gii thiu cch gii bi ton tm hng ca h vc t bng nh ngha, chng sau chng ta c th gii bi ton ny d dng hem thng qua hng ca ma n.

    V d 3: Bin lun theo k hng ca h vc t:

    fx , = (1 ,2 ,-3 )X ,= ( 0 , - l , - 2 )

    [x , = (2,3, k)

    Gii:

    Xt h thc: k,x, + k ,x , + kjX, = 0j.

  • Ma n h s tng ng:

    ' 1 0 2' 1 0 2 ' 1 0 2 '2 - 1 3 - > 0 -1 -1 - * 0 -1 -1-3 -2 k; ,0 -2 k + 6 0 k + 8

    D thy vi k * -8 th h ba vc t X,,Xj,X, c lp luyn tnh. Vi k = -8 th h ba vc t X pX.X , ph thuc tuyn tnh. Do , nu k * -8 th X pX j.X , c lp tuyn tnh v n l h ln nht c lp tuyn tnh nn hng ca h vc t d cho bng 3 , nu k = -8 th X pX j.X , ph thuc tuyn tnh m h hai vc t X,,X2 lun c lp tuyn tnh vi mi k v dy cng l h vc t ln nht dc lp tuyn tnh Dn hng ca h vc t l 2 .

    Kt lun, k * -8 th r(X X 2,X ,) = 3;

    k = -8 th r(X l,X j,X ,) = 2.

    V d 4: Cho 2 h vc t n chiu s v S c hng tung ng r(s ) v

    r(s '). Chng minh rng nu S c S ' th r ( s ) s r ( s ') .

    Gii:

    Gi c s ca h vc t Sl: x,Xj,...,X | v c s ca h vc t

    S' l |x f ,X j,...,X p |. Gi s r(S )> r(S ') = > p< m , mt khc v

    S c S ' nn h x,X !,,...,Xn c S ' suy ra mi vc t trong h

    x ,X j,...,X ^ du biu din tuyn tnh qua c s x f ,X ,. .. ,X '

    ca S', theo nh l v s ph thuc tuyn tnh h vc t |X ,X 2,...,Xn| l ph thuc tuyn tnh, iu ny mu thun vi

    {x|,xj,...,x^ ,} l mt c s ca h vc t s, (dpcm).

  • B Bi tp

    I. bi

    Tm hng ca cc h vc t sau v chi ra mt c s ca n:

    X, = (-1,3,-2)X, = (2 ,-3 )64 X, = (-4,6)

    X, = (-3,4)

    X, =(1,2,3,4)

    X, = (2,3,4,5)ooX, = (3,4,5,6)X. = (4,5,6,7)

    X, = (1.-2.3)68. Xj = (-1,3,2)

    X, = (2,-3,1)

    65.

    67.

    X, = (2,-4,2) X, = (3, -7 .4)

    X, = (1 ,2 ) x2 =(3,4)

    X, = (5 ,6 )

    69.

    X, = (2-1,3,1)Xj = (4,-2,6,2)X, = (6,-3,9,3)x ' = (1,1, 1,1)

    Bin lun theo k hng ca cc h vc t sau:

    X, = (1,2,-3) [X, = (2,-1,3)70. X, = (0 ,-1 ,-2 ) 71. X, = (-4 ,2 ,-6 )

    X, = (2,3,1c) [x, = (-2,k,-3)

    72. Cho 2 h vc t n chiu v s v S c hng tng ng r(s) v

    r(S'). Chng minh rng r{S,S'} r(S ) + r(S').

    n. p s64. r = 2. Cc c s l {x x ,} ; { x ,,x ,} .

    65. r = 2. Cc c s l {X,,Xj} ; {Xj.X,}; {x x ,} .

    66. r = 2. Cc c s l {X,,X2}; {X2,X,}; {x ,,x ,} .

    J

  • 67. r = 3. Mt c s l {XX2,X j -

    68. r = 2. Cc c s l bt k hai vct no ca h

    69. r = 2. Cccsl { x x 4}; {X2,X}; { x x ,} .

    70. k = -8 ,r = 2; k * - 8 ,r = 3.

    71. k = l,r = l; k * l , r = 2.

    72. Gi : chng minh tung t nhu v d 4.

  • Chng 2

    MA TRN V NH THC

    . Cc khi nim c bn

    A. Tm tt l thuyt v cc v d mu

    nh ngha: Ma trn l mt bng s dc xp c th t theo dng v ct. Mt ma trn c m dng v n ct uc gi l ma trn cp m X n .

    a M a !2 '\

    a in

    A = a 2l a 22 2n = K L^ i ^ m 2 in J

    Ma (rn : Ma trn i ca ma n A l ma trn cng cp m mi phn t ca n l s i ca phn t tcmg ng ca ma tro A.

    -A = ( - a J' /^niKn

    Ma trn chuyn v: Ma trn chuyn v ca ma trn A cp m X n l mi ma n cp n X m m cc dng ca n l cc CI tung ng ca ma trn A (hoc ngc li).

  • Ma trn bng nhau: Hai ma trn c gi l bng nhau thi v chi khi chng cng cp v cc phn t cc V tr tung ng ca chng i mt bng nhau.

    A - ( < L ,: B = K L

    fa =bA = B o | _ _

    [ i = l , m ; j = l , n

    Php cng ma trn v php nhn ma trn vi mt s

    nh ngha: Cho hai ma trn cng cp

    A b = K Lv a l mt s thc b t k,

    Tng ca hai ma trn A v B l mt ma trn cng cp m X n, dc k hiu v xc nh nh sau:

    A + B = (a,J + bs) _

    (cng cc phn t tng ng vi nhau')

    Tch ca s thc a vi ma trn A l mt ma trn cng cp m X n, c k hiu v xc nh nhu sau:

    a A = ( a ' v'mxn

    (nhn tt c cc phn t ca ma trn vi s thc a )

    Ch : Hiu hai ma n A v B c tnh nhu sau:

    A -B = A + (-B) = A + (-l)B

    V d 1: Cho hai ma n

    (2 -1 5^ (7 4 -10 ' |Ho 3 .J^-U , j

  • Tnh A + B, 3A, 2A -3B .

    Gii:

    A + B = 2 +7 - 1 + 4 5 + H ) = 9 3 - 5; (0 + 6 3 + 8 1 + 1 J {6 11 2 y

    B. Bi tpL bi

    1. Thc hin php cng cc ma trn v nhn ma trn vi mt s

    ' \ 2 3' 9 8 7 ' 1

    ooo1

    b. 4 5 6 + 2 5 -5 + 3 -4 5 -6

    Os'00 V 3 2 - 1J -2 3 ,

    -1 3 6 ' ' \ 0 0' -1 -2 '

    c. 6 2 -3 - 0 1 0 + 3 2 0 1

    -3 -3 2 , ,0 0 1, \ ' 0 ,

  • II. p s

    (0 o o

    l a . : b.lo o o

    4 - 6 16

    4 10 - 4

    ,4 6 16

    1 0 0' 0 I 0n n I

    2 . nh th c

    A. Tm tat l thuyt v cc v d mu

    Hon v ca n s t nhin du tin

    C n! hon v ca tp hp l,2 ,...,n } , mi hon v c biu din di dng

    trong a (i = l,n) l s t nhin ng v tr th i ong hon v ( 1 a , < n,O * a , nu i * j ).

    Nu i< j m 0L,>a1 th ta ni hai s a ,a to thnh mt cp nghch th.

    Hon v chn l hon v c s' nghch th chn, hon v l l hon v c s' nghch th l.

    nh l: Nu t mt hon V, ta di ch hai s v gi nguyn v tri cc s cn li th tnh chn - l ca hon v thay i.

    Vi d 1: Tm s nghch th ca hon v 1, 3, 5, 2, 4.

    Gii: Cc hon v c trong nghch th trn l: (3, 2),(5, 2).(5, 4). Vy hon v n c s nghch th l 3.

  • /a l l a . 3

    2 , 22 2n

    , a n.

    Lp tch ( - l ) h ala a3ai ...a , trong a , , a 2,...,a l mt hon

    v ca n s' t nhin u tin v h l s' nghch th ca hon v d. Tng ca n ! tch trn c gi l nh thc cp n ca ma trn A. K hiu: |a |, detA.

    V d 2: Xc nh du ca cc tch sau

    a. ana ,Jaa J,aw;

    b. aa :,a33aiJa;

    c. a,saMaaJ3a5l.

    Gii: a. Xt du ca tch bng cch tnh s nghch th ca hon v theo ch! s ct 1, 3, 5, 2, 4. Theo V d 2, ta tnh c hon v ny c

    3 nghch th, vy du ca tch l du (-) .

    b. Tng t, hon v 1, 2,3, 4, 5 c 0 nghch th, vy du ca

    tch l du (+).

    c. Hon v 5, 4, 3, 2,1 c cc nghch th

    ( 5 , 4 ) . ( 5 , 3 ) , ( 5 , 2 ) , ( 5 , l ) , ( 4 , 3 ) , ( 4 , 2 ) , ( 4 , l ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , l ) , ( 2 , l )

    S nghch th l 10, vy tch mang du (+).

    Quy tc tnh nh thc

    nh thc cp 1:

    A = (a) => det A = |A| = |a| = a.

  • nh thc cp hai bng tch hai phn l trn ng cho chnh tr di tch hai phn l trn ng cho ph.

    nh thc cp3:

    = ana 22a + a i2a 23a5l + a i5an a3J

    -aijajjBji -a ,2a21a -a |,a a a,j

    Quy lc ng cho:

    - Cc Ihnh phn mang du (+) gm: tch cc phn t nm trin ng cho ehnh; tch cc phn t nm trn cc ng song song vi ng cho chnh vi phn t nm gc di din.

    - Cc thnh phn mang du ( - ) gm: tch cc phn t nm trn ng cho ph; tch cc phn t nm trn cc ng song song vi dng cho ph vi phn t nm gc din.

    V d 3: A = ( - 3 ) => det A = - 3

    = 4 + 10 = 14

    1.4.(-l) +1.2.(-l) + 3.6.3-3.4.1 - J .6 .(- l) -2 .3 .(- l)

    1 2 3 3 4 - 1 1 6 -1

    = - 4 - 2 + 54-12 + 6 + 6 = 48.

  • I I 13 I .

    a Jl a a i . 1 .

    * l J a , -

    * . l a . 2 a

    - Phng php khai trin:

    + Phn b ca aa :

    II II VH aljl l.J| a ij-i ai.)*i aJ.

    ^il. j*l i-uai* *itlH *1*1

    .I .2 aw-.

    + Phn b di s ca at :

    A r ( - f M ,

    + Cng thc khai trin:

    d = aAll+ajJA + ... + a^Ail

    (cng thc khai trin theo dng i)

    d = alJAlj + aJJAJj + ... + a,,Al,

    (cng thc khai trin theo ct j)

  • Phung php bin di v dng tam gic: Dng cc tnh cht ca nh thc d bin i dinh thc v dng tam gic, sau p dng cng thc:

    d =

    a n a 2;

    0 a,

    0 0 - 1

    V d 4: Tnh nh thc sau bng hai phng php:

    d =

    3 5 7 21 2 3 4

    - 2 - 3 3 21 3 5 4

    Gii:Phng php khai trin: vic tnh ton dn gin hon, truc khi p dng cng thc khai trin, ca c th dng cc tnh cht ca nh Ihc bin i nh thc:+ Nhn dng 2 vi (-3 ) ri cng vo dng 1;

    + Nhn dng 2 vi 2 ri cng vo dng 3;

    + Nhn dng 2 vi (-1) ri cng vo dng 4;

    d =

    0 -1 -2 -101 2 3 40 1 9 10 = (

    0 1 2 0

    -2

    92

    -1010

    0

    = - ( -2 0 - 20 + 90 + 20) = -70.

    Phng php bin i v dang tain gic:

    + i ch dng 1 v dng 2:

  • d = -

    I 2 3 4 3 5 7 2

    - 2 - 3 3 21 3 5 4

    + Nhn dng 1 ln lut vi (-3), 2,(-I) ri cng vo dng 2, 3, 4:

    Nhn mt dng/ct ca nh thc vi mt s ct th nh thc mi nhn c bng dinh thc c nhan a;

    NU ta cng vo mt dng/ct ca nh thc tch ca mt dng/ct khc vi mt s' a tu th nh thc khng thay i;

    Nu ta i ch hai dng/ct ca nh thc cho nhau th nh thc di du;

    Nu h vc t dng/ct ca dinh thc ph thuc tuyn tnh th nh thc bng 0.

    Nhn xt: T tnh cht CUI ta suy ra nu nh thc khc khng ih h vct dng/ct ca n c lp tuyn tnh.

    d = -

    1 2 3 40 -1 - 2 -1 0

    0 1 9 100 1 2 0

    + Cng ln li dng 2 vi dng 3,4:

    d = -

    1 2 3 40 -1 -2 -10

    0 0 7 00 0 0 - 1 0

  • 246 427 327 1014 543 443 -342 721 621

    Gii:

    246 427 327 246 427 327 -427 246 427 -1001014 543 443 = 1014 543 443 -543 = 1014 543 -100

    -342 721 621 -342 721 621 -721 -342 721 -100

    246 427 I 246 427 1= -100 1014 543 1 = -100 1014-246 543 - 427 0

    -342 721 1 -342-246 721-427 0

    768 116 "4 ON 00 s.

    = -100.294-588 294 -2 1 1

    = -29400(768 + 232) = -29400000.

    V d 6: Chng minh dinh thc

    2 0 93 4 71 3 3

    chia ht cho 19, bit rng 209,347,133 chia ht cho 19.

    Gii: Ta nhan 100 vo ct 1,10 vo ct 2 ri cng vo ct 3

    2 0 200 + 9 2 0 2093 4 300 + 40 + 7 = 3 4 3471 3 100 + 30 + 3 1 3 133

    Trong nh thc sau khi bih i c ct 3 gm cc phn t u chia ht cho 19 (theo gi thit), o nh thc cha ht cho 19.

  • D =

    Gii:Nu X = 0 => D = 0. Gi s X * 0, nhn dng 1 v ct 1 vi X c:

    X X

    X X

    1 1 X X

    X X

    X X

    X X

    o XX 0

    Cng cc ct 2,3,....n vo ct u tin ta c:

    3 1 X X X X X 1 X X . . X X

    ( n - l ) x 0 X X X 1 0 X . X X

    1 (n - l)x X 0 . X X n -1 1 X 0 . X X

    X2 X( n - l ) x X X . 0 X 1 X X . 0 X

    (n - l)x X X X 0 1 X X . X 0

  • D = -

    1 0 0 . 0 01 - X 0 . . 0 0

    n - 1 1 0 - X . . 0 0X

    1 0 0 . . - X 01 0 0 . . 0 - X

    B Bi tpI. bi

    2. Tim s nghch th trong cc hon v saua. 2 , 1 , 3 , 5 , 4 ;

    b . 5 , 2 , 3 , 4 , 1, ,

    c. 9, 1, 8, 2, 7. 3, 6, 4, 5;

    d. 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1;

    e . 1 , 3 , 5 , . . . , 2 n - l , 2 , 4 , 6 , . . . , 2 u ;

    f. 2, 4, 6,...,2n, 1, 3, 5.... . 2 n - I .

    3. Trong cc hon v ca n s t nhin u tio

    a. Hon v no c s nghch th nb nh. Tnh s ,

    b . H o n v n o c s n g b c b r t h l n n h t . T n h s d .

    4. Xc nh du ca cc ch sau d ifcb l thnh phn ca nhthc cp tng ng

    a ai3aMajia45aj2> b- aia2ai3aa!i;

    c ' a i6a 25a ]Ja43a s2a4i d. au a Da J,a

  • 5. Xc nh i, j, k d cc tch sau l thnh phn ca cc nh ihc cp tng ng vi du dt c

    1 (+)aiia25a32a4jajji b' (_)aDa2ia>ia45a5j>

    c - ( + ) a u a 22a 3 ia , a s5a M d . ( ~ ) a iia 2ja )5a 4a s ia 6k-

    6. a. Tun tt c chnh phn ca nh thc cp 5 mang du (+) c cha cc phn t ai:aMaa!;

    b. Tun tt c cc thnh phn ca dinh thc cp 4 cha phn t a 32

    v mang u (+).

    7. Trong nh thc cp n, xc nh u ca

    a. Tch cc phn t nm trn ng cho chnh;b. Tch cc phn ( nm n dng cho ph.

    8. Tnh cc nh thc cp 2 sau

    1 2 bb. ' ; c.

    3 41 c d

    cosa sin a a + b a bl

    'sin a -s in

    9na cosa a - b a + b| cosa cos

    cosa sin a; b.

    tg a1- L

    1 log^asin cos 1 tg o | log8b 1

    9. Tnh cc nh thc cp 3 sau

    0 1 1 1 2 3 J - I -1

    a 1 0 1 ; b. 4 5 6 ; . c- -1 l -1

    1 1 0 7 8 9 -1 - I I

    a b c a X X X a ad. b c a ; e. X b X ; f. i X a ;

    c \ b X X c a a X

  • X a a 1 s in a c o s a

    g- - a X a ; h. a sin p cosp ; i.- a - a X 1 siny COS

    a + x X X a1 +1 ab

    j- X b + x X k. ab b' + 1X X c + x ac bc

    x + y z y + z X z + x y

    ac bc

    10 Chng minh cc ng nht thc

    bf +c, e ,+ a , a, + b, b, c,a. b2+ c2 c ,+ a , a, + b2 = 2 a2 ba

    b ,+ c , c, + a3 8, + b, b, c,a, + b,x C| a, b, c,

    b. a2 + b2x a , - b j X b3 Cja, + b,x ajX + b. CI ai b c

    c. a 2 + bjX a,x + bj c2 = ( > - * ) a, b, C2a, +.b,x ajX + bj c) 3 b, c,X a a a

    a X a a

    a a X a

    a a a X

    X a a a- a X a a- a - a X a- a - a - a X

    I a bc

    b ca = ( b - ai c ab

    = (x + 3 a )(x -a )3;

    = x 4 + 6 a 2x 2 + a 4;

  • 11. Rt gn nh thc am + bp an + bq cm + dp cn + dq

    12. Chng minh rng1 1 1

    y X' y1 i

    13. Chng minh rng2 0 4

    chia ht cho X - y, y - z, z - X.

    5 2 7 2 5 5

    chia h't cho 17 bit rng cc s 204, 527,255 u chia ht cho 17.

    14. Nu cc s a,a2a,, b,bjb,, c,c,c, chia ht cho 7 th

    b, c,cng chia ht cho 7.

    b, c,

    15. Dng cc tnh cht ca nh thc tnh cc nh thc sau9 8 27

    13547 13647 42 84 12 15 18; b- ; c.28423 28523 45 60 14 16 18

    0 3 3d. 2 0 2 ;

    4 4 0

    1 i 1 1

    1 2 3 4g- 1 4 9 16

    1 8 27 64

    3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3

    1 1 2

    13 46 1010 20

    1 2 3 4 1 2 2 2- 1 0 3 4 2 2 2 2

    ; h. ; i.-1 -2 0 4 2 2 3 2-1 -2 -3 0 2 2 2 4

  • 1 4 4 4 1 1 1 1

    4 2 4 4 k.1 2 2* 2

    - 4 4 3 4 1 3 31 3

    4 4 4 4 1 4 42 4J

    16. Dng khai trin theo dng hoc theo ct tnh nh thc

    1 0 2 3 2 0 - 1 3 0 5 3 4 -2 0 - 1 7

    2 1 0|-2 3 15 0 61

    2 5 oi

    B-

    0 -1 -1|-1 -1 1

    b c d1-1 -1 1 0

    2 1 1 a|1 2 1 b|1 1 2 c| 1 1 1 1

    1 2 2 10 1 0 2|2 0 1 10 2 0 1

    b.

    h.

    1 2 3 42 0 1 03 4 1 24 1 2 3

    -3 1 00 4 9 ;1 2 0 3 0 2 1

    a 1 1 1b 0 1 1c 1 0 1

    d 1 1 0

    2 1 0 01 2 1 00 1 2 1*

    0 0 1 2

    X y 0 0 0

    0 X y 0 00 0 X y 00 0 0 X yy 0 0 0 X

  • 0 1 2 - 1a. -3 - 1 2 3

    3 1 6 1

    1 - 1 1 2 1 3 - 1 - 3

    c' -1 -1 4 3 -3 0 -8 -131001 1002 1003 10041002 1003 1001 1002e.1001 1001 1001 999 1001 1000 998 999

    1 2 3 4 5

    -1 0 3 4 5

    f. -1 -2 0 4 5

    -1 -2 -3 0 5

    -1 -2 -3 -4 0

    2 1 1 1 1

    1 3 1 1 1h. 1 1 4 1 1 ;

    1 1 1 5 1

    1 1 1 1 6

    2 1 0 0 0

    1 2 1 0 0

    i 0 1 2 1 0 ;0 0 1 2 !

    0 0 0 1 2

    1 2 3 4-3 2 -5 131 -2 10 4

    -2 9 -8 25

    30 20 15 12

    20 15 12 15

    15 12 15 2012 15 20 30

    1 1 1 f 1l 2 1 1 1

    g- 1 1 3 1 11 1 1 4 11 1 1 1 5

    I 2 2 2 22 2 2 2 2

    i. 2 2 3 2 22 2 2 4 22 2 2 2 5

    1 2 3 4 52 3 4 5 1

    k. 3 4 5 1 24 5 1 2 35 I 2 3 4

  • 18. Tnh nh thc cp n bila. au = m m i . j ) ;

    19. Tnh cc dih thc cp 0 sau d9y

    1 2 3 - 1 0 3 - I - 2 0

    -1 -2 -3

    1 - n I I ! - n

    ! 1-11

    1 -p

    1 n nn 2 nn n 3

    n n ri

    1 1i 0 I I 0

    I 1 I

    20. Poh ihc cp 11 thay i iiiC tio U i u tt c cc phn tca n?

    21. E>nh thc cp n thay i th no nu vit cc ct theo hi t Iigc li.

    2Z Cc phn t ca mt nh thc cfp 3 chi nha cc gi tr 0 v+l. tr ln nht ca nh thc

    c phn t ca mt nh hc cp 3 chi nhn cc gi tj 1 v -1. minh rng dnh thc chia lt cho 4.

    Cc phn l ca mt nh thc cp chi hn cc gi 111 1 v -1 d tr ln nht ca nh thc loi

    25. Bit A l ma trn vung cp n i iioa mn A' = -A , hy tnh nh thc ca A.

    26. Bi. 1 Irn vung cp 1 tUo uin |A |-kA |, hynh k

  • - t)p si2.a. N = 2, b. N = 7; c. N = 20; d. N = 36;

    n ( i - l ) n ( n + l )e. N = i _Z; f2 2

    3. a. i,2,3,...,n; s tghdi th l'N = 0;

    b n , n 2,1; snghichthl N = L ll!li2

    4. a. du ( - ) ; b. du (+ ); c. du ( - ) ,

    & du (+); e. u (- ) .

    5. 3. = 1, j = 4; b. i = 4, j = 2; c. i = 3, j = 6;

    d. (i = 6, j = 2,fc = 3)>(i=2, j = 3, k = 6),(i = 3, j = 6 ,k = 2 ).

    . a. 8 ,2 8 2 4 8 5 ,8 4 5 *5 5 ;

    b. a,I&2a n a4i )(e i Js 3>*xza ai )(a i4a a jja 4i )

    t . &. Du (+); b. Du ( - 1 ) ^ .

    8. a. d = -2 ; b. d = *d - bc; c. d = 1;

    d . d = COS 2 a ; e . d = 4 a b ; . d = s in ( a + ) ;

    p. - c o s a + B); li. d = ; ; i. d = 0 .' ' cos a

    9 .a . d = 2 ; b. d = 0 ; c. d = - 4 ;

    d. = 3abc- as - b1 - c 3; e. d = 2x3 - (a + b + c)x +abc;

    f. d = x - 3 a Jx + 2as; g. d = x +3asx;

    h. d = sin ( a - p) + sin (p - y) + a sin (y - a ); i. d = 0;

    j d = abc + (ab + bc + ca)x; k. d = 1 + a + bJ + c2.

  • 10. Hng dn: dng cc tnh cht ca nh thc bin di v tri. Tham kho v d 3 (trang 120 - gio trnh Ton cao cp cho cc nh kinh t, phn 1).

    a bl l (mq - np)

    c d

    12,13,14. Hng dn. dng cc tnh cht ca nh thc bin di nh thc v dng c mt dng/ct l bi ca nhn t cn chia ht.

    15. a. d = -1487600; b.d = -1260; c. d = 0;

    d. d = 48;

    g. d = 12;

    j. d = -24;

    16. a. 280;

    c. 275;

    e. d = 3 a - b + 2c + d;

    g . d = 4 - a - b - c ;

    i. d = 9;

    17. a. d = 0;

    d. d = -2639;

    g. d = 24;

    j. d = 6;

    18. a. d = 1;

    e. d = 48;

    h. d = 24;

    k. d = 12.

    b. d = 301;

    e. d = -18016;

    h. d = 394;

    k. d = 1875.

    f. d = l;

    i. d = -4;

    b. 52;

    d. 277;

    f. d = 2 a - b - c - d ;

    h. d = 5;

    j. d = x5 +>.

    c. d = -107

    f. d = 120;

    i . d = 12;

    b. d =(-1) n.

    19. a. d=n!; b. d = (-1)" 1 n!; c. d =0;

    d- d = n -1 nu n l; d = 1 - n nu n chn.

  • n ( n - l )

    21. Sai khc h s (-1) 2 .

    22. Gi s A : II 12 n

    a 2l a u a a a,

    .a.j =0;1, khi d ta c:

    31 J2 3 3 /

    d = aas an + a,ja,3a,, + a,,a,_,an al3aa3l -an a^ a ,, al2a2la < 3;

    T biu thc ca d ta d suy ra: Maxd = 2.

    23. Hng dn: tham kho V d 1 (trang 118 - gio trnh Ton cao cp cho cc nh kinh t, phn 1) chng minh trong trng hp tng qut.

    24. Maxd = 4.

    25. d = 0.

    26. +) Vi mi k nu |a | = 0;

    +) k = 1 nu |A| * 0 v n l;

    +) k '=l nu |A |* 0 vn chn.

  • A. Tm t t l thuyt v cc v d m u

    nh ngha: Cho hai ma trn A = (a,j) v B ^ b ^ ) Tch ca

    hai ma n A v B l ma trn c = AB c tp m X p, vi cc thinh phn dc xc nh nh sau:

    c.i = abji. = ab,k + a.,brl, + ... + , (i = 1,m; k = l,p).

    Ch :- Php nhn ch thc hin dc khi s CI ca ma trn ng tnlc

    bng s dng ca ma ri dng sau;- Cp ca ma n tch: s dng bng s dng cai ma uu ng

    trc, s ct bng s ct ca ma trn ng sau:- Php nhn hai ma trn khng c tnh Chat giao hon.V d 1: Tnh AB v BA:

    (2 1 '-2a. A =

    b. A =

    30

    ( \21

    3 l 0 4 2 3

    v B =

    Gii:

    a. AB ='2 r .3 -20 4 j v

    BA: khng tn ti do s' CI ca B khc s dng ca A.

    '2 1 0'1 -1 2

    ,3 2 1,

    / 2.1 + 1.: 2.5+ 3.6 ' ' 4 ;

  • ' ! 3 r 2 I 0'b. AB = 2 0 4 I I -1 2

    7V 3y 2 ! ;

    1.2 + 3.1 + 1.3 1.1 + 3 (- l)+ l-2 I 0 + 3.'J + I . | ' 2.2 + C. + 4.3 2.! + 0 .(- l) + 4.2 2.0--0.2 + 4

    [ j f2.l + 3.1 !.l + 2 ( - l ) + 3.2 10 + 2.2 + 3. i

    ( 8 0 ?> 6 10 413 5 7 i

    BA -2 1 0 ! - 2

    n2 o 4 1 1

    p .S + ! 2 * 0 ! 2.3 + ! .0 + 0.2 2.1 + i .4 + 0.3 = i.l-.2-1-2.! .3 -1 .0 + 2.2 .11.4 + 2 3

    b . i-J.i-i i.i .3 + 2.0 + 1.2 3.!+ 5.4 4 !.3 !

    4 6J . 7

    ! H i

    V a 2: T

  • B = 6A = = > A = -B = > A =--B J.36

    v B2 : 3 4 9)

    2 - 3 4 -9 9 2

    ( 3 4 9 2 - 3 4

    -9 9 2

    ' 3.3 + 4.2-9.9 3.4-4.3+ 9.9 3.9+ 4.4+ 9.2 ' -64 81 612 .3 -3 .2 -4 .9 2.4+ 3.3+ 4.9 2.9-3.4 + 4.2 = -36 53 14

    -9.3+ 9.2-2.9 -9 .4-9 .3+ 2.9 -9 9 + 9.4 + 2.2^ -27 -45 -4\

    Do A2 = 36

    '-64 81 61 ' '- 2 24-36 53 14 = -1 5336-27 -45 -41; 3* - L4

    V d 3: Tnh c !)Gii: Ta dng phng php quy np chng minh

    Tht vy ta c

    + Vdd n = 1 th

    1 1 0 1

    1 n 0 1

    (i n :>+ Vi n = 2 th :

    1 1 0 I : :: 1 n 0 1

    + Gi s mnh dng ti n = k > 3 ,k e Z ngha l c n )

  • chng mnh 1 1 0 1

    I k + 1

    Tht vy ta c:

    c ' H K X K r )!)( i"}

    Ma trn nghch o:

    nh ngha: Cho ma trn A vung cp n. Nu tn ti ma trn cng cp X sao cho AX = XA = E (E l ma trn n v), thl X c gi l ma trn nghch o ca ma trn A.

    Ma trn nghch o, nu c, l duy nht.

    K hiu: A"1.

    Ma trn ph hp: Ma trn ph hp ca ma trn A vung cp n

    A =

    cng l ma n vung cp n dc k hiu v xc nh nh sau:

    A =

    AA A*

    A

    - Anl... A

  • ong Au l phn b i s ca nhi: l a >: a .na '.rn A

    ( i = ! , m : j = t , i j .

    nh l: AA* = A'A - a |E

    iu tiin n ti ma trn lgMcb o; ca v m t mt UM tSn vung A c ma n nghch o l a (/. K.S ma Iia giictt o ca A duc xc nh bng cag thc:

    Cc p k m ! ipp tm asa ra a- Phuongphp!:

    + Buc 2: Tinh cc A v !> n OS a ,

    4 SVc '3: L.p A .

    PhCig php 2:+ Lap m tin c ghp c S3 l.Vi v asa ur! tte

    + Nu sa u a A c ma TB igch i> ' va: cc j t p bin s S0 cp di vi b vc l Bg ca ma &n H c f ? os* -3! ma Utt c v dg

    Khi ma i B m.i n nghch o ca m a- ACh : Phng php 2 chi ilbu > dBg cho ce ma Era Vc bn i s cp trn (iig ci ii din ra d iikn

  • 'z 2 2s

    A = | 1 3 ]

    I s 3 X,

    8. Tira tham s X sao cho A c roa trn nghch o;b. Vi = 4, hy tm ma trn aghcti o ca ma trn A.Gii:

    3 2 2a. Ta c a = = 9 + 6 + i 0 - 30 - 9 - 2A. = -23 + 7X;

    2 3Ma trn A c nghch o khi v ch khi a * 0 o t

    ty. Vi X - 4 th IA| = -23 + 7,4 = 5 t- 0 nn tn ii ma &n nghch o

    ATn cc phn b dai s:

    E ;P 4 .2 1

    A =(--)"

    - r

    5 4

    1 5 3

    - 9

    = 1

    = -1 2

    A = ( - i f

    AB = (- *

    A = ( - ') "

    2 23 1

    3 21 l|

    A2, = - i f

    Aa = ( - f

    Aa = ( - ! )

    = -4

    2 2| 3 3 2

    5 4

    3 2

    5 3

    = 2

  • Lp ma trn ph hp A ':

    A* =

    Vy ma n nghch o

    A"1 = 5

    9 - 2 - 4

    1 2 -1

    -12 1 7

    Mt s tnh cht ca ma trn nghch o:

    . (A-)- '= A ;

    |A - |= |A |- ;

    (AB)~' = B ',Ai.

    V d 5: Chng minh rng nu det(A) l mt s nguyn v |det(A)| 2

    thi A~' khng th c ton b cc phn t l s nguyn.

    Gii: Gi s A~' c tt c cc phs t du 1& s nguyn. Khi d theo nh ngha ca nh thc, |a _1| cng l mt s nguyn. Mt khc theo

    gi thit, |A| l s nguyn nn

    1A =|A|

    khng th l s nguyn =s> mu thun. Vy trong A"1 phi tn ti cc phn l khng phi u s nguyn.

    Phng trnh ma trn.AX = B v YA = B.

  • AX = B: YA = B :

    . x =>Y =

    A B;

    BA ;

    TH2: Nu A khng c ma trn nghch o th a v gii h phng trnh tuyn tnh vi cc n s l cc phn t ca ma trn phi tm (B c bao nhiu phn t th h c by nhieu phng trnh).

    V d 6: Gii phng trnh ma n

    '3 2 2' 2 3'1 3 1 x = 4 5 6

    ,5 3 4 J 8 9,Gii: Ta c ma n nghch o ca ma trn

    (3 2 7.\

    l ma trn

    15

    9I

    -12

    - 0- I7

    Vy

    X-5

    ' 9 -2 - 4 ' ' \ 2 3> '-21 -24 -21'

    1 2 -1 4 5 61

    = 52 4 6

    -12 1 1 , J 8 9; ,41 37 33,

    Vi d 7; Gjjd phng trnh ma n'\ 2' '1 10'3 4 x = 15 225 6, ,23 34,

  • 'x + 2z y + 2t ' '7 10'3i 4z 3y+ 4t = !5 22

    v5x + 6z Sy + 6t, 34

    Phng .inh na Hn trn tho ta h phnt' Utah tuyn imh 4 Alt sau:

    X +2z = 7 3x + 4z =15 i;t + 6z =23 y

    27. Thc hin php nhan cc ma trn sau

    2c. (5 0 -2 ) 2 ; d.

  • b a

    l 1 1 1.

    (1 a c' 1 b b 1 c a

    1 2 2 4

    Tcosa -s in a c o sp -s inp '| ( s in a cosa J[sinp cosp

    s ? " j : 0 (1 1 0 1

    -2 -4 1 2

    (3 1 2 1 1 0

    ( 2 2 3 1 -1 0

    - I 2 1

    f 1 4 -3^ 1 -5 -3

    - 1 6 4

    ( 2 3^2 4 63 6 9

    ( - ] -2 4^ -1 -2 1 2 4

    28. Thc hin php ton sau:

    '3 -4 5' '3 29' '3 1 r '1 1 - f

    j 2 -3 2 18 k. 2 1 2 2 -1 I

    ,3 -5 1, ,0 -* ,1 2 3, , 1 0 1 ,

    '1 2 f / 2 3 r \ 2 1'1. 0 1 2 -1 1 D 0 1 2 ;

    3 1 > \ 1 2 --1, 3 1 1,

    -3 3 3 r 3 0

  • fl 1 1 1 N21 1 - 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 - 1 - 1 1

    C j '

    1(: :)29. Tnh AB-B A bit:

    a. Af l 2

    l = u -Kb. A =

    C. A :

    I 2-1 -1

    ( 1 3 1-1 1 0

    1)_

    1 1O -1

    feos a -s in a tesina cosa

    2 -3}B =

    [-4 1 I

    ( 2 2 iB = ;l - l o j

    \ { \ 2 rB = 0 1 2

    ,3 1 1;

    ' 2 1 0 ' "3 1 - 2 '

    II

  • a. A =

    '3 1 0'd. A = 0 3 1

    ,0 0 3,31. Ching minh lng nu cc ma trn A v B c tch AB, BA cng

    tn ti v AB = BA th A, B l 2 ma trn vung cng cp v ta c cc dng thc

    a. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2;

    b. A - - B 2 = (A -B )(A + B).

    32. Tch AB ca cc ma trn A v B s thay i nh th no nu

    a. i ch dng i v dng j ca ma n A;b. Nhn dng j ca ma n A vi s k ri cng vo dng i ca n;c. i ch ct i v ct j ca ma trn B;d. Nhn ct j ca ma trn B vi s k ri cng vo ct i ca n.33. Chng minh ng thc AB - BA = E khng th tho mn vi

    bt k ma trn A, B no.

    X2 - (a + d)X + (ad - bc)E = 0, trong E l ma trn n v, 0 l ma

    n khng cp 2.35. Cho X l ma n vung cp 2. Chng minh rng nu x = 0

    th X 2 = 0.

    36 Tim ma n nghch do (nu c) ca ma n sau

    34. Chng minh rng ma trn X =

  • d.( cosa 1 sina

    - s in a ^ eosa J

    \ 1 2 - 3 ' ' 2 2 3 '

    ] ; e. 0 1 2 ; f. 1 -1 0) o

    3 ' 6 9

    '1 2

    4 5

    J 8

    f l I 1 1

    1 1 - 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 - 1 - 1 1

    h.(\ 2 2 'l

    2 1 - 2

    2 -2 1

    (1 3 - 5 0 1 2 - 3 0 0 1 2 0 0 0 1

    37. Chng minh rng nu A = A*1 th A2" = E; A2*1 = A

    38. Chng minh rng nu AB = BA v |A| * 0 thi A ''B = BA'1.

    39. Chng minh rng nu I A| = 2 th cc phn t ca ma trn

    nghch o A"' khng th gm ton cc s nguyn.

    40. Cho A l ma trn vung cp n c |a | = 2. Hy tnh |a .

    41. Gii cc phng trnh ma n sau

    ' : ) - ( ? /

    :k :g- X

    0 0 0 0

    b. * ( - ;

    * K M ) G K :}-( :;h :h

  • 42. Gii cc phung trinh ma n sau' 2 2 3> ' 0 0'

    a 1 -1 0 x = 0 1 0

    -1 2 1, ,0 0 ,'5 3 1 '- 8 3 0'

    b. X 1 -3 -2 = -5 9 0

    ,-5 2 1 J -2 15 0,'3 1 f '6 2 - r

    c. 2 1 2 x = 6 1 12 3, ,8 -1 4 ,

    ' 2 -3 -1 4

    5 '-2 = 6

    14 -2>

    , 3 -1 Kl io -19 1 7 /

    '2 2 3' r 1 re. 1 -1 0 x = -1 0

    -1 2 1 1 -1V /

    (2 1 0 ( 9 38- X = :,3 0 l j o 3J

    '6 8 - 2 '3 4 - 1 ;

    ,9 12 -3,

    ( a + 12c b + 12d ' 9 a - 1 4 c 3 9 b - 1 4 d J ;

    n . p s

    27. a.5 1 3 10 3 6

  • a + b + c a2+b2+c! b: +2ac a + b + c b2+2ac a2+b2+c2

    3 a + b + c a + b + c

    f cos(a + P) -s in (a + P)'}* (sin(a + p) cos(a + P) ) '

    9 310 3

    O O O O

    8 ~6\ ^-21 24 J

    ' i 9 15^ -5 j 9 12 26 32

    (4 0 0 O'l0 4 0 00 0 4 00 0 0 4

    1 na O 1

    1 0 ' 2 r0 1 k. 6 1-1 8 -1

    ' l 0 0' '0 0 0'0 1 0 ; n. 0 0 0

    ,0 0 0 o,

    f 15 20\

    OO

    28. a. ; b.^20 35 J O o

    ' l 4 4^ oo

    c. 9 4 3 ; d. 0 1 0,3 3 4j o K

    1 x

    -1nu n l;

    " 2 f r i o^ ih. nu n l;

    - 3 2/ lo 0

    nu n chin;

    nu n chn;

    . 1"a" nan_l>l . 1^ c o s n a - s i n n a ^ j

    a " j ; j - l ^ s i n n a eos na J

  • ' 4 - 1 8 ' '0 0 0 'c. - 2 - 6 3 ; d . 0 0 0

    - 5 - 9 2 , , 0 0

    30.X y

    0 x - yb . x 2yJ ;{ - y x - 2 y j

    X 2 y

    3 y x + 3 y j d.

    X y z 0 X y

    0 0 X

    33. Hng dn: Chng minh rng tng cc phn t trn ng cho chnh ca AB - BA bng 0.

    35. Hung dn: s dng bi 34, ta c |x | = a d -b c = 0 cho nn

    X2 = (a + d)X. Lp lun cn li ginh cho bn c.

    36. a.

    c. 3A-';

    5 - 2

    -2 1

    [ co sa sinoA - s in o t cosa)

    ' 1 - 2 7 ' ( 1 - 4 - 3 'e . 0 1 - 2 ; f . 1 - 5 - 300

    - 1 6 4 ,

    g. 3A-';

    ( 1 2 2 } 2 1 - 2

    2 -2 1

  • 1 1 1 ' '1 -3 11 -38 '1 1 - 1 - 1 0 1 -2 71 -1 - -1 . j- 0 0 1 -2

    \ -1 - i -1, ,0 0 0 1 ,

    40. a| = 2"-'.

    c. v nghim;

    e. p b ; \-2 a - 2 b )

    >'(:S

    (11 3 'l b- (-24 -? }

    d v nghim;

    0 0 \0 0 /

    ; '1 -4 -3> '1 2 3^ ri 1 -=r

    42. a. 1 -5 -3 cr 4 5 6 ; c. 2 -1 1-1 6 4 , 7 8 9) ,1 0

    ( -3 ) 2 4 '

    3 4 -3 -5

    vi a2 + bc = 0;a b

    a -1 b10 -3a 3 -3 b ,

    h. b

    - avi a ; +bc = l.

  • 4. Hng ca ma trn

    A. Tm tt l thuyt v cc v d munh ngha: Hng ca ma n A l hng ca h vc ta ct ca n. Khiu: r(A).

    Ch : Php chuyn v lchng lm thay i hng ca ma trn. Do

    hng ca ma trn A =(a,;) bng hng ca h vc t ct v cng

    bng hng ca h vc t dng ca n

    r(A) = r(A f.A ....,A J) = r(A ,A ,...,A:).

    inh thc con ca ma trn: Trong ma trn A = (a u) , chng ta

    xc nh mt ma trn vung cp s bng cch ly cc phn t nm

    giao ca s dng v s ct bt k (s

  • Cc phng php tm hng ca ma trn- Phng php dinh thc bao quanh: Xul pht t mi dnh thc con D * 0 cp s ca ma n (thng bt u vi s = 2), ta xt cc nh thc con cp s +1 bao quanh D. NU khng tn ti cc nh thc ny, hoc tt c cc dnh thc ny du bng 0, th hng ca ma trn bng s. Ngc li nu tn ti mt nh thc con D cp s +1 bao quanh D khc 0 th ta lp li cch lm trn vi D.- Phng php bin i ma n: Dng cc php bin i s cp d bin di ma n ban u v dng ma ttn:

    B =

    X a,2 al .0 a22 . a* .

    0 0 a 0 0 0 0

    ,0 0 0 0 ,

    hng ca ma trn B v bng s.

    Ch :

    Nu m < n th B c dng hnh thang;

    Nu A l ma trn vung cp n th:

    r(A) = n IA| 5* 0;

    r(A )

  • Gii:- Phng php nh thc bao quanh: xut pht t nh thc cp 2:

    1 25 6

    Du = = -4 * 0

    ta kim tra hai nh thc cp 3 bao quanh:1 2 35 6 7 = 0 v D;;,4 = 9 10 11

    D,as =1 2 4 5 6 8 9 10 12

    = 0.

    Vy r(A ) = 2.- Phng php bin i ma n:

    ' l 2 3 4 ' 0) >

    ' \ 2 3 4 ' (2)r

    2 3 4 '5 6 7 8 0 -4 -8 -12 0 -4 -8 -129V 10 u 12/ 0< -8 -16 -24/ 0 0 0 0 /

    (1) Nhn ln lt dng 1 vi (-5 ), (-9 ) ri cng vo dng 2 v 3;

    (2 ) Nhn dng 2 vi (-2 ) ri cng vo dng 3.

    Ma trn sau khi bin i c hng bng 2, do r(A ) = 2.

    V d 2: Bin lun theo k hng ca ma n sau:(1 1 k '

    A = 1 k 1

    y- 1 1,Gii: Trc ht ta bin i ma trn A:

    1 k W i 1 k 0 k - l 1 -k -> 0 k -1 1 -k0 1 -k 1 - k 2J [o 0 (k + 2 ) ( l-k )

    (1) Nhn ln lt dng 1 vi (1),(k) ri cng vo dng 2 v 3;

    (2) Cng dng 2 vo dng 3.

    n 1 k ' /0)1 k 1

    1 V

  • Bin lun: Gi ma trn sau khi bin i l B. Ta c r(A) = r(B).

    B =1 1 k 0 k -1 1 -k

    0 (k + 2)(l - k)J

    TH ,:k = l: B =

    TH ,:k = -2 : B =

    ( \ 1 l 0 0 0

    0 0 0

    ( \ 1 - 2

    0 - 3 3 0 0 0

    => r(B) = I => r(A) = I;

    >r(B) = 2 ^ r ( A ) = 2;

    TH3:k * l , - 2 : k - l * 0 , ( k + 2 ) ( l - k ) * 0 ^ r ( B ) = 3=>r(A) = 3.

    ng dng kho st h VC t

    Cho h gm m vc t n chiu kho st h vct ny ta thc hin nh sau:

    1. Lp ma trn A vi cc ct (dng) ln lt t cc vc t

    2. Tm r(A) bng phng php tm hng ca ma n. Hng ca h vc t d cho bng hng ca ma trn A.

    3. Kt lun:

    Nu r < m th h vc t ph thuc tuyn tnh.

    Nu r = m th h vc t c lp tuyn tnh.

    Khi tm duc hng r(A) ca ma trn th ta cng c th tm c c s ca h vc t qua vic xc nh mt dinh thc con c s. C th ta c c s ca h vc t ny gm cc vc t c chi s l cc chi s' ct (dng) ca nh thc con c s tu theo cch lp ma trn theo ct hay dng.

  • X, = (1,-2, 1, 3) x 2 = (2, 3 ,-4 ,-1 ) X, = (5 ,-3 .-1 , 8)

    a. Tm bng ca h vc t trn, t kt lun h vc t c lp tuyn tnh hay ph thuc tuyn tnh:b. Chl ra mt c s ca h vc t v biu din cc vc t cn li (nu c) theo co s .Gii. Lp ma trn A nhn h vc t d cho lm h vc t ct

    ' 1 2 5 ' rl 2 5 ' 1 2 5' '1 2 5'-2 3 -3 0) 0 7 7 (J> 0 1 1 ) 0 1 1

    ->1 -4 -1 0 -6 -6 0 1 1 0 0 0

    ,3 8 -9 , 0 -7 -1 . 0 1 K ,0 0 0,

    (l) Nhn ln lut dng 1 VI 2 ,( - l) ,( -3 ) ri cng vo dng 2,3,4;

    Do s vc t ca h vc t bng 3 > 2 nn h vc t ph thuc tuyn tnh.b nh thc con c s ca ma trn A

    ( 2 5 \

    (2 ) Nhn ln lt dng 2, 3, 4 vi ,

    (3) Nhn ng 2 vi (-1 ) ri cng vo dng 3,4.

    . r(X 1,X j,X j,X 4) = r(A ) = r(B) = 2.

  • nn {X,, X J} lp thnh mt c s ca h vc t;

    Ta tm t)iu din ca cc vc t X, theo c s trn thng qua vic gii h phng trnh:

    fa, +2ct, =5 a ,= 3 a , =1

    X, =3X, + x 2.I 2 =1 - -

    V d 4: Tm hng ca h vc t sau:X, = (3, 0, 8) x 2 = (2,-3,4)X, = ( 5 , - U )

    Gii:Lp ma trn A nhn cc vc t ny lm cc vc t dng ta duc:

    ( 3 0

    A = 2 - 3 4 5 -3 X

    Tac Di = = -9 * 0 , D = |A| = -9X +108. Vy ta c:3 02 -3

    Nu x. = 12 th IA| = D|g = 0, do r(A) = 2; NU >.*12 th (Ai = D ^ 0, do r(A) = 3.

    V d 5: Tim gi tr ca tham s X sao cho vc t X viu din tuyn tnh qua cc vc t cn li ca h:

    X = (2, 3, X)X, = (1, 0, - 2 )

    x 2 = ( -2,1,-3)X, = (1, 1,-9)

    Gii:Ta xt ring h vc t X,,X j ,X j , trc ht ta i tm hng v mt

    c s ca h vc t ny:

  • ' 1 -2 1 1 -2 1Vi A = 0 1 1

    -2 -3 -9th D|

    1 -2 0 1

    = 1*0,|A | = 0 1 1 -2 -3 -9

    Vy Xp Xj l mt c s ca h vc t cho.

    vc t X biu din tuyn tnh qua h x , ,x , ,x , th cn v l n biu din tuyn tnh qua h c s X,,X2, ngha l cn v hng ca ma trn sau bng 2:

    ' \ -2 2'B = (x, X, x ) = 0 1 3

    -2 -3 X

    Ta c D " =1 -2

    0 1= l* 0 ,D =|B| = X + 25, Cho nn: r(B) = 2

    o X = -25.Vy p s l X = -25.

    B. Bi tpL bi

    43. Tm hng ca cc ma trn sau

    '1 2 3 ' '1 2 3 0 -1 '4 5 6

    ; b- 0 1 1 1 07 8 9 1 3 4 1 -1

    ,10 11 12.V /

    '1 2 3 4 ' , '2 0 2 0 2'2 3 4 1

    ; d.0 1 0 1 0

    3 4 1 2 2 1 0 2 14 1 2 3, 0 1 0 1 0

  • '2 1 11 2 ' 14 12 6. 8 2 '1 0 4 -1

    ; f.6 104 21 9 17

    11 4 56 5 7 6 3 4 1

    ,2 -1 5 -6 ; ,35 30 15 20 *

    2 1 1 1 1 n'\ 1 0 0 0 0"0 1 1 0 0 0

    1 3 1 1 2 1; h. 0 0 1 1 0 0

    1 1 4 1 3 10 0 0 1 1 0

    1 1 1 5 4 1/ 0 0 0 1 K44. Tim hng ca cc ma trn sau tu theo gi tr ca X

    ' l - x -12 6 ' \ X -1 2'a. 10 -19 -X 10 ; b. 2 -1 X 5

    12 -24 13-A. \ 10 -6 K\ / v

    ' \ \ -1 2''X 1 1 1'1 X 1 !

    2 - 1 X 5 .1 1 X 1

    1 10 -6 X\ /J 1 1 \

    1 2 3 4 1'-X 1 2 3 1

    1 X 2 3 4 11 -X 3 2 1

    ; f 1 2 X 3 4 12 3 -A. 1 1

    1 2 3 k 4 13 2 1 -X 1/ 2 3 4 * 1,

    45. Chng minh rng nu A, B l hai ma trn cng cp th

    r(A + B ) r(A ) + r(B).

    46. Chng minh rng nu A, B c cng s' dng th

    r(A|B) r(A) +r(B).

  • 47. Cho A l ma trn vung cp n, n i l . Hy tfnh hng ca A trong cc trng hp sau:

    a .'r(A ) = n;

    b. r ( A ) s n - 2 ;

    c. r( ) = n - l .

    48. Cho A v B l 2 ma trn tho mn diu kin AB = BA.a. Chng minh A v B l 2 ma trn vung cng cp;b. Chng minh nu cc dng ca AB dc lp tuyn tnh th cc

    dng ca ma trn A cng dc lp tuyn tnh;c. Chng minh nu cc ct ca ma trn B ph thuc tuyn tnh th

    cc ct ca ma trn AB cng ph chuc tuyn tnh.

    ng dng hng ma trn kho st h VC l49. Xt s dc lp tuyn tnh v ph (huc tuyn tnh ca h vc t

    50. Vi nhQng gi tr no ca X th vc t X l t hp tuyn tnh ca cc vc ta cn li

    X, = (1,-2,3,-4,1) j x j = (2,-3,4 -1,2)

    ' ' X, - (3 ,-5 ,7 ,-5 ,3) x = (4,-6,8,-2,4)

    X, = (1,-2,3,-4) X, = (2 ,-3 ,4 ,-1) X, = (3 ,-5 ,7 ,-5) x 4 = (4, -6,8, -2)

    *- X, = 3,7,8) X, = (1.-6.1)

    X = (7 ,-2 ,X) X, = (2,3,5)

    X =(1,3,5) b X, = (3 ,2 ,5) x 2 = (2,4,7)

    X, = (5.6A)

    X = (l,8 ,5 ,x )C. X, = (-6 ,7 ,3 ,-2 )

    x 2 = (1.3.2,7)

  • X (5,9.x)X, = (4,4,3)X, = (7,2,1)X, = (4,1.6)

    X = (5,2.x)X, (3,2,6)X, (7,3,9)X, - (5,1,3)

    51. Tm hng v 1 CO s ca h vc t sau

    X = (X, 2, 5) X, = (3, 2. 6) X, = (7. , 9) X, = (5, 1, 3)

    X = ( u y ) X, = (2,2,3,1) Xj = (5,3,7,5)

    X, = (2,1.3,!) X, = (1,2,0,1) X, - (-1.1,-3,0)

    X, (5,2,-3,1) X, - (4,1,-2,3)X, = (1,1-1,-2) X, = (3,4,-1,2)

    X, = (1,-1,0,0)x 2 = (0,1, - 1,0)X, = (1,0,-1,1)X, = (0,0,0,1)X, = (3 ,-5 .2 ,-3 )

    b.

    d.

    X, = (1,2,3,4)X, = (2,3,4,5) X, = (3,4,5.6)X, - (4,5,6,7)

    X, = (2,0,1,3,-1) X, = (1,1,0,-1,1) X, = (0,-2,1,5,-3) X, = (1,-3,2,9,-5)

    X, = (2,-1,3,5)X, = (4,-3,1,3)X, = (3-2,3,4)X, = (4,-1,15,17) X, = (7 -6,7,0)

    52. Tim hng v 1 c s ca h vc t sau v biu din cc vc t cn li qua cc vc ta ca ca s

    X, = (2,3,-4,-1) x, = (2,3,5, -4,1)a X, = (1,-2,1,3) b x 2 = (1, - 1,2,3,5)

    IX, = (5,-3,-1,8) X, = (3,7,8,-11.-3)X, = (3 8,-9,-5) [x , = (1,-1,1,-2,3)

  • X, = (1,-3,0,1,-2) c Ix , = (2,1,-3,2,-5)

    X, = (4,3,-1,1,-1)X* = (1,5, 2,-2,6)

    53. Qk> m vc t n chiu x , , x , .....X . Gi s h vc t ny dc lptuyn tnh. Nu ta thm vo mi vc t ny thnh phn th (n +1) thi m

    vc t (n +1) chiu cn c lp tuyn tnh hay khng?

    54. Cho m vc t n chiu Gi s h vc t ny ph

    thuc tuyn t&ih. Nu ta bt mi vct ny thnh phn th ( n - 1) thm vct (n - 1) chiu cn ph thuc tuyn tnh hay khng?

    n . p s

    43.a. r = 2; b. r = 2; c. r = 4; d. r = 3;

    e. r = 2; f .r = 2; g. r = 4; h. r = 5.

    44. a. r = 1 nu x = l; r = 2 nu X = -1; r = 3 nu x * l;

    b. r = 2 nu x = 3; r= 3 nu x * 3 ;

    c. r = 3 vi VX;

    d. r = 1 nu X = 1; r = 3 nu X = -3; r = 4 nu X * 1 v X * -3;

    e. r = 3 nu X = 0, - 2, - 4; r = 4 nu X * 0, - 2, -4 ;

    f. r = 3 ni X = 1, 2, 3; r = 4 niiX = 4; r = 5 nu X * 1, 2,3, 4.

    47. a. Ta lun c AA =|A |E nn suy ra |a ||a ' | = |aA*| = |A|",

    n h n g v r(A) = n cho nn |A|*0, v vy |a " |* 0, suy ra r(A) = n;

    b. Gi A' = (a ) , trong A,J l phn b i s ca aj. V A v

    l nh thc cp n -1 cho nn Aj = 0,Vi = l . . .n ,j = l...n (do

  • r(A) s n - 2 nn mi nh thc con cp ln hn n - 2 u bng 0).

    Vy r(A) = 0.

    c. Ta c r(A) = 11-1, khng mt tnh tng qut gi s l nh thc con c s ca A. Hin nhin rng * 0 cho nn CI cui cng ca A* khc ct khng. Bn hy t chng minh lng cc ct l ,2 , . . . ,n - l ca A' du l bi ca ct thn, do r(A*) = l-

    49. a. Ph thuc tuyn tnh; b. Ph thuc tuyn tnh.

    50.a. X = 15; b. x*12; c. x = 15; d. 3X;

    e. V X; f. 35L g. x = 6; h. x = 6;

    51. a. r = 2; {x,, X j}; b. r = 2; { x X2};

    c. r = 3; {X2, Xj, X4}; d. r = 2; {x X2};

    e. r = 3; {X X 2,X 3}; f. r = 3; {X X 2,X 3}.

    52. a. {Xp x 2}; X3=X,+3X2; X = 2 X , - X 2;

    b. { x x 2, x 4}; XJ = 2 X ,-X ;

    c. {X X 2,X 3}; X4 = -X, -X j + Xj.

    53. Cn c lp tuyn tnh.54. Cn ph thuc tuyn tnh.

  • Chng 3 H PHNG TRNH TUYN TNH

    . H phng trnh C ram er

    A. Tm tt l thuyt v cc v d munh ngha: H phng trnh Cramer l h phng trnh gm nphng trnh n n c dng:

    a|X, + + - + anx = Kvi nh thc ca ma trn h s khc 0, tc l det(A) * 0, y

    (1)

    A =

    an anlll a 22

    V nl a n2

    Phng php ma trn

    |det(A )*0

    V b' Xj bj

    vi x = , B =

    A ,VI det(A) * 0 => 3A"1, nn h c nghim duy nht:

    X = A~'B. (3)

  • V d I. Gii h sau bng phong php ma trn| 3x - 2y + z = 4

    2x + 3 y - z = 1 -x + y +3z = -3

    Gii: H n c vit dng ma trn AX = B, vi:'3 - 2 r / \ X ' 4 '

    A = 2 3 - 1 , x = y , B = 1

    -1 1 3 , -3 ,

    Ta c det A =3 - 2 1

    2 3 - 1

    - 1 1 3

    = 45 * 0 nn h trn l h Cramer.

    ( Ma trn nghch o ca ma trn A l: A~' =

    p dng cng thc (3) ta c:' 1

    -L _-L)43 45

    19 9

    _ x 1145 45 /

    9 45 . 45 9

    x = y =A -'B = - i 1 = - .

    Vy nghim duy nht ca h l ^ x = , y = z = j.

    Phng php nh thc (Quy tc Cramer)nh l: H Cramer (1) c nghim duy nht dc xc nh bi cng thc:

    (4)

    trong d:d - l nh thc ca ma trn h s;d (j = l,2,...,n) l nh thc nhn dc t nh thc d khi thay ct th j bng ct h s t do.

  • VI d 2: Gii h sau bng quy tc Cramer3x -2 y + z = 4 2x + 3y - 2

  • 8.

    10.

    3x + y -2 z = 6 6x + 3 y -7 z =16 15x + 2y+ z =16

    X, + Xj + 2 x , + 3 x 4 = 1

    3 x , - Xj - X, - 2 x 4 * - 4

    2 x , + 3 X j - Xj - x4 = - 6

    X, + 2 x j + 3 x , - x 4 = - 4

    X, + 2 x j + 3 x j + 4 x 4 = 5

    2 x ,+ Xj + 2 x , + 3 x 4 = 1

    3 x , + 2 x , + X, +2xt = 1 4 x , + 3 x 2 + 2 x , + x 4 = - 5

    6x,+9xj+33x, + 15x4 = 6 7x,+7x,+35x, + 14x = 7 8 x , + 4 x , + 1 2 x , + 8 x < = - 1 2

    9x,+9xj+27x,+36x4 =-27

    30 x, +40x, + 5x, + 1 0 x < + 15 = 0 2 4 x , + 4 0 x 2 + 1 2 x , + 2 0 x

  • X, +2X j+3x,+ 4x4+ 5Xj =13 2x,+ x , + 2x ,+3xJ +4xJ =10

    14. |2x,+2x,+X , +2x4 + 3x, =11 2x, +2Xj +2x, + x4 +2xs = 6 2 x ,+ 2 x ,+ 2 X j + 2 x 4 + Xj = 3

    n. p sI. (x = l, y = 2, z = -2 ). 2. (x = 2, y = -2 ,z = 3).

    3. (x = l, y = 1, z = l). 4. (x = 0, y = 0, 2=0).

    5. (x = l, y = 1, z = - l ) . 6. (x = -3, y = 2, z = l).

    , ( _ n 53 _ 4 _ 77i7 , r 17,X = 5 l X _ 5 r X = 5 l )

    o f _ 17 _ 15 _ 9 _25'1

    9 . (x , = - 2 , X , = 2 , X, = - 3 , x 4 = 3 ) .

    f . . 5 _ 7 7 9 i N ' h 8, x 4 , x s x 4}I I . (x, = -2 , Xj = 0, X, = 1, X, = -1).

    12. (x ,= l, x ,= - 1 , x ,= l , x4 = - l ) .

    ( c _ 1 _ 7 _ 49i13. X, = -3, Xj = -5 , X, = -1, x4 = - j , X, = y j .

    14. (Xj = Of *2 = 2, X, = 2, x4 =0, Xj = 3).

  • A. Tm tt l thuyt v cc v d mnCc dng biu din ca h phirong trah tuyn tnh tng qst

    Dng khai trin:

    Mt h phung trnh tuyn tnh tng qut gm m phoong trnh vin n s l h c dng:

    3||X, + &12X2 + *" + aiBX * a2]X| + anx2 + + tt^x, bj

    ami*i + a .2x2 + ... + aM* = b

    Dng ma trn:

    Ma trn m rng ca h (1) l:

    (1)

    ' an a. b , '

    A = a22 ato b,

    ,.m) am2 a K ,

    Chrng: A = (A I B).

    Nu vit cc n s di dng ma vn ct X :

    trnh (1) c th vit di dng ma trn: AX = B.

    th b phng

  • Dng vc l

    H ( 1 ) cn uc vit di dng:

    X, Af + X jA , + + XA' = B.

    V b' trong d: A c = a 2i . B = b2

    in kin c nghim:

    nh l Cronecker Capelli: iu kin cn v mt h phng trnh tuyn tnh c nghim l hng ca ma trn m rng bng hng ca ma trn h s.

    T nh l trn ta c kt qu sau:

    + Nu r(A) * r(A) th h phng trnh v nghim;

    + Nu r(A) = r(A) = n (n l s n) th h phng trnh c nghim duy nht;

    + Nu r(A) = r(A) = r < n th h phng trnh c v s nghim. Khi h phng trnh tng ung vi h phng trnh c s ca n.

    H phng trnh ca s c xc nh theo nh thc con c s ca ma trn h s, nu dnh thc con c s l D** j th h phng trnh

    c s gm r phng trnh i,,i,

    V d 1: Gii h phng trnh:2x, - x2 +

  • Gii: Xt ma trn h s v ma trn m rng ca h:' 2 -1 3 - 7 ' 2 - 1 3 -7 5'

    A = 6 -3 1 -1 , A = 6 - 3 1 -1 71 5 -13. ,-2 1 5 -13 3,

    Tnh hng ca ma trn h s v ma trn m rng:

    Ta c D?;1 ^ ^-3 1

    bao quanh nh thc ny l:

    = 8 * 0 , cc nh thc con cp 3 ca A vi A

    2 -1 3 -1 3 -7 -1 3 5Di23 =*-'123 6 -3 1 = 0, D - -3 1 -1 = 0 D = -3 1 7

    - 2 1 5 1 5 -13 1 5 3=0

    nn r(A) = r(A) = 2 < 4 suy ra h c v s nghim.

    V D * 0 suy ra h phng trnh co s ca h ds cho l:

    {2 x , - X, + 3 x , - 7 x 4 = 5

    6 x , - 3 x j + Xj - x 4 = 7

    v ta cng c Xj ,Xj l hai n chnh; x ,,x4 l hai n t do.

    Chuyn cc s hng cha n t do sang v phi ng thi gn cho chng cc gi tr tu : X, = a ,x 2 =p, (a , e R) ta duc mt b Cramer vi hai n x ,,x 3 :

    - X j + 3 X j = 5 - 2 a + 7

    [ - 3 x j + Xj = 7 - 6 a + p

    -4 + 4a -

    Theo quy tc Cramer ta c 22 + SP

  • Vy nghim tng qut ca h cho l:

    _ _ - 4 + 4 a - p 2 + 5p [ x , = o , x 2 = ^ M, x , = - y g , x 4 = p

    V d 2: Gii h phuong trnh

    |2 x , - Xj + 3 x , - 7x = 5

    6 x , - 3 X j + X, - X, = 7

    - 6 x , + 3 x , + 7 x j - 1 0 x 4 = 2

    Gii: Xt ma trn h s v ma trn m rng ca h:

    " 2 -1 3 - 7 ' '2 -1 3 -7 5'A = 6 -3 1 -1 , A = 6 -3 1 -1 7

    .-6 3 7 -19, 3 7 -19 2,

    Tnh hng ca ma trn h s v ma trn m rng:

    -1 3T ac D,, _3

    quanh nh thc ny l

    = 8 * 0 , cc nh thc con cp 3 ca A bao

    = 0 .

    2 -1 3 -1 3 -7D123 =yuj 6 -3 1 = 0, D = -3 1 -1

    -6 3 7 3 7 -19

    nn r(A ) = 2.

    Cc nh thc con cp 3 ca bao quanh nh thc ny l

    D = 0 .D " = 0, nhng D =- 1 3 5

    - 3 1 7

    3 7 2

    = 8 'nn r(A) = 3.

    Suy ra r(A ) * r(A), vy h v nghim.

  • V d 3: Gii v bin lun h phng trnh:

    IX +2y + 3z = 4 -2x+ y - z = 1 mx - y + 2z = 2Gii: Ma trn h s ca h l:

    ' 1 2 3 ' 1 2 3A = -2 1 -1 . |A |= -2 1 -1

    -1 2 , m -1 2

    Nu m = 3 th h d i cho tr thnh

    15- 5m.

    X +2y+3z =4 -2x + y - I * 1 3x - y +2z =2

    ' 1 2 3 ' 1 1Khi d, ta c A -2 1 -1

    DM - 2 l H * 0-,3 -1 2 ,

    1 1

    05 mt nh thc con ca A bao quanh D|j l D jj = |a | >

    '(A ) = 2.

    Xt ma trn m rng:

    = -1 3 * 0 .

    M A chi c 3 dng nn t(a ) = 3, suy ra r(A )* r(A ).

    Vy h v nghim.

    Nu m * 3 => |a | * 0, khi h cho l h Cramer.

    r 1 2 3 4> 2 3 4A = -2 1 -1 1 c D = 1 -1 1

    .3 -1 2 2, -1 2 2

    0 nn

  • T h r niii. ti -1______ ____( 13 7 m - 8 2 m 19 |J neo quy tc Cramer ta c X , y = , z = - .[ 5 (m - 3) 5 ( m - 3 ) 5 ( m - 3 ))

    VI d 4: Tlm iu ln ca tham s h sau c nghim duy nht v m nghim .

    X - y +2z = 3 2x + my + 3 z = 1

    3x+ 3y + z =4

    Gii:iu kin mt b phixxi trnh tuyn tfnh c nghim duy nht

    l r(A ) = ( a ) = n | a # 0 ( d l s n ca h).

    1 -1 2' 1 -1 2Tac A = 2 m 3 =>|A| = 2 m 3

    .3 3 3 3 1

    4Vy iu kin ca tim ca m l - m - 4 O I H - -

    Khi m * t c |A| * 0. Do , h cho l h Cramer.

    _ _ . _____ . 5m + 32 -20 5m-2

  • 18.

    2 x ,+ 3 x 2+ 4x , + 5 x < = 6 J x , + 4 X j + 5 X j + 6 x 4 = 7

    4 x , + 5 x j + 6 x , +7x, = 8

    X, + 2 x 2 + 3 x j + 4 x 4 = 5

    6 x , + 7 x 2 + 8 x , + 9 x 4 = 10

    1 lx , + 1 2 x j + 13x3 + 1 4 x 4 = 1 5

    16x,+ 1 7 x 2 +18x,+ 1 9 x 4 = 2 0

    19.

    20.

    1 2 x , + 9 x 2 + 3 x j + 1 0 x 4 = 1 3

    4 x , + 3 x j + Xj + 2 x 4 = 3

    8X + 6 X j +2x, + 5 \t = 7 16x,+12x2+4xj+ 9 x 4 = 1 3

    2 x , + x 2 - Xj - x 4 + Xj = 1

    X, - Aj + x 3 + x 4 - 2 x s = 0

    4 x ,+ 5 x 2- 5 x 3- 5 x 4+ 7 x 5 = 3

    3 x ,+ 3 X j - 3 x 3 - 3 x 4 +4xs = 2

    Gii v bin lun cc h phng trnh sau:

    21.

    23.

    kx+ y + 2 =1 X + k y + z =1 X + y + kz =1

    (k + l)x+ y + X +(k + l)y+

    22.kx+ y + z = 1 X + ky+ z = k X + y + kz = k 2

    = 1 = k

    X + y +(k + l)z = k

    kx +ky+ (k + l)z =k24. 1 kx +ky+ (k - l) z =k

    [(k + l)x + ky + (2k + 3)z =1

  • Tm diu kin ca cc tham s cc h sau c nghim duy nht v tm nghim .

    (k - l)x - ky + (k + l)z = k - l 25. I (k -2 )x + (k - l)y + (k -2 )z = k

    [(2 k - l)x + (k - l)y + (2 k -])z = k

    2 x + y + 3 z = 0

    26.

    28.

    30.

    31.

    32.

    4x- y +7z =0

    X +ky + 2z =0

    k x , + x 2 + X, + x 4 = 1

    X, +kx2+ x3 + xt =1

    X, + x2 +kXj + x4 =1

    X, + Xj + x3 + k x 4 =1

    8x, +6xj+3x,+2x4 =5

    12x,+3x2+ 3X j-3x4 =2 4x , +5x2+2xj + 3x4 =3

    k x , + 4 X j + X, + 4 x , = 2

    '2x, + 3Xj + Xj +2x4 =3

    4x, + 6 x 2 +3x,+ 4 x 4 =5

    6x, + 9Xj +5x, +6x4 =7 8x, +12x, + 7xj + kx4 = 9

    6X | + 8Xj - 5Xj " x 4 9

    -2x, +4Xj + 7x, +3x4 =1

    -3x,+5xJ + 4x, + 2x4 =3 -3x,+7x,+17x, + 7x4 =k

    _ c y + b z = a

    a z + C X = b

    bx -ay =c

    27.

    29.

    kJx + 3 y + 2 z = 0

    kx - y + z =08x + y + 4z =0

    kx, + Xj + X, + x 4 = 1

    X, +kx, + X, + x 4 = kX, + x 2 + k x , + X, = k J

    X, + Xj + Xj + kx4 = k

    x -a y + a2z = a x-b y+ b 2z =b x -c y + cJz = c

  • U p s6

    15. (x, = a X, =p,x, = 2 |3 -a,x4 =1).

    16. (x, =12a,Xj =-13 + 38a,x, = -7 ,x4 =a).

    17. (*| = -3 + a + 23i X, = 4 -2 a -3 P ,x , = a ,x 4 =p).

    18. (x, = -3 + a + 2p, Xj = 4 - 2ot - 3P, X, = a, x4 = 3).

    19. (x, = a , X j =(3,x, = ]-4 a -3 P ,x 4 =l).

    _ 1 + 1 + 3a + 3p- 5y _n _ x , = ^ , x , = -------- ------- ,x , = a ,x 4 = p,x1=Yj.2. \x , = -Lj L,x2 = ----- ----

    J k * l ___________ 12 1 .- 1 . : x = y = z = |k*-2 k + 2

    + k => 1: Nghim lne aut c+ k = 1: Nghim tng qut ca h l:

    (x = l - o t - p ,y = a ,z = p), (ot.eR);

    + k = -2 : H v nghim.

    a * ! * ' 1 . , - i . y ' , [ k * - 2 ^ k + 2 k + 2 k + 2

    + k = I : Nghim tng qut ca h l:

    (x = l - a - p , y = a ,z = p), (a .peR );

    + k = -2 : H v nghim.

    k * 00 - 2 ~ k' 2k 1 _ k 1+2k - k - 0 k(k + 3)y _ k ( k - l ) z ~ k(k + 3) )[k * -

    + k = 0 hoc k = -3 thl h v nghim.

  • + k = 0 :(x = l,y = a ,z = 0), (o e R ) .

    25. k * l : X( _ 2k; -2 k + l k 2k: -2 k + l 1 r -2 (k -1) , y k - l z _ 2(1 - k)

    26. k * - l : (x = y = z = 0).

    2 7 . |kk ^ : ( x = y = Z = 0).

    28. ; ' , - . - a r }

    i ' - . . . . - . k + 2k + 2 k +k-I29. : X, = ------- r ,x , = ------ ,

    ' ' ' ' k + 3 2 k + 32kn ; k3+3k2+2k + l'l

    X, = ,x , = -------- -------------- .5 k+3 k+3 J

    30. Khng tn ti k.

    31. Khng tn ti k.

    32. Khng tn ti k.

    ( c2 + b2 - a 2 a2+ c: - b 2 a2 + b2- c J33. abc* 0: x = -----77------ ,y = ----- r -------,z-- -----

    ^ 2bc 2ca 2ab

    fa * b34. i b * c :(x = abc,y = ab + bc + ca,z = a + b + c).

    c * a

  • A. Tm tt l thuyt v cc v d munh ngha: H phng nh tuyn tnh thun nht l h c dng:

    al.*. + a x 3 + + a,x = 0ax, + a22X2 + + a2x = 0

    + am2X2 + - + a,xn = 0

    (1)

    Ma n h s ca h (1) l:

    'a

    A =

    Kho st h thun nht

    + Nu r(A) = n (hng ma trn h s bng s n) th h thun nht c nghim duy nht, l nghim tm thng;

    + Nu r(A ) < n (hng ma n h s nh hn s n) th h thun nht

    c v s nghim.

    nh l: iu kin cn v d mt h phng trnh tuyn tnh thun nht c nghim khng tm thng l hng ca ma trn h s ca n nh hn s n.

    H qu 1: Mt h phng trnh tuyn tnh thun nht vi s phng trnh bng s' n c nghim khng tm thng khi v chi khi nh thc ca ma trn h s bng khng.

    H qu 2: Mi h phng trnh tuyn tnh thun nht vi s phng trnh nh hn s n u c nghim khng tm thung.

  • nh ngha: Mi c s ca khng gian nghim ca mt h phng trnh tuyn tnh thun nht duc gi l mt h nghim c bn ca n. nh l: Khi r(A ) = r< n thl -khng gian nghim ca h phung trnh tuyn tnh thun nht (1) l mt khng gian con n - r chiu ca khng gian R", tc l mi h nghim c bn ca h phucmg trnh (1) gm n - r nghim.Ch : Khi h phng trnh tuyn tnh thun nht c v s nghim, th n c v s h nghim c bn. Vic tm ra mt h nghim c bn no ph thuc vo vic ch dnh cc n chnh v vic la chn n - r vec t dc lp tuyn tnh - r chiu lm cc b s thc gn ch cc n t do.

    Thut ton xc nh b nghim c bn ca h thun nht1. Tm nghim tng qut ca h thun nht;2. Cn c vo hng ca ma trn h s r(A) d xc nh s

    nghim trong h nghim c bn l: n - r(A).3. Xc nh cc nghim trong mt h nghim c bn.Trong bc 1 ca thut ton trn, th vic chi nh cc n chnh v

    cc n t do da v vic chn nh thc con ca s ca ma trn h s: Cc n chnh l cc n tng ng vi chi s cc ct ca ma n h s to thnh dinh thc con c s, cc n cn li l cc n t do.

    Trong bc 3 ca thut ton, cho n gin chng ta thng ly cc vc t n v E, =(1,0,...,0),E2 =(0,1,...,0),.-.,E^ =(

  • Gii:

    Ma n h s ca h phng nh l:

    '3 2 1 3 5'6 4 3 5 79 6 5 7 9

    .3 2 0 4 8,

    A = c D" =

    cc nh thc con cp 3 ca A bao quanh nh thc ny l:

    1 3 5 2 3 5 3 3 5D345 =123 3 5 7 = 0, D"5 = 4 5 7 = 0, DI4 =123 6 5 7 = 0

    s 7 9 6 7 9 9 7 9I 3 5 2 3 5 3 3 5

    D345 =134 - 3 5 7 = 0, DU =124 4 5 7 = 0, Dus =124 6 5 7 = 00 4 8 2 4 8 3 4 s

    suy ra r(A ) = 2.

    Chn D " * 0 lm nh thc con c s ca ma trn h s. Khi 6 ta c h phng trnh c s ca h cho l:

    3 x , + 2 x 2 + x 3 + 3 x 4 + 5 x 5 = 0

    [ 6 x , + 4 x 2 + 3 x , + 5 x 4 + 7 x 5 = 0

    Cng do D " * 0 nn n chnh ca h phng trnh l x4,x ,; cc n cn li l cc n t do. t X, = a , X, = p, X, = y; a,p, R v chuyn v ta ue:

    [3 x a + 5 x 5 = - 3 a - 2 ( 3 - y

    |5 x + 7 x s = - 6 a - 4 p - 3 y

    y l h Cramer vi hai n s' x4,xs.

  • ot = 0,P = l,Y = 0=>x4 = - - , x , =-=>P,2 2

    a = l,P = 0,Y = 0=> x4 = - , x 5 = -= > p, = 4 4

    a = 0,p = 0,y = l= > x4 =-2,X j = 1 => Pj =(0,0,1,-2,1).

    Suy ra mt h nghim c bn ca h phung trnh d cho l:

    Mi lin h vi h khng thun nhtTng ca mt nghim ring ca h phung trnh tuyn tnh khng

    thun nht v nghim tng qut ca h thun nht lin kt vi n la nghim tng qut ca h phng trnh tuyn tnh kKng thun nht (hoc hiu gia nghim tng qut ca h phng trnh tuyn tnh khng thun nht vi mt nghim ring ca n l nghim tng qut ca h thun nht lin kt vi n).

    Vi d 2:a. Tun nghim tng qut ca h phng trnh:

    b Tim mi h nghim c bn ca h phng nh tuyn tnh thun nht lin kt.

    {**. = ( ^ 4 ) P = (o,l,O ,-|,0P,=(O,O,l.-2,l)

    2 x , + 7 x 2 + 3 X j + X, = 6

    3x, + 5 x 3 + 2 x , +2x< = 4

    9x, + 4 x j + Xj + 7 x 4 = 2

  • Gii:a. Ma trn he st v ma trn md rOng ca he tren l:

    \

    Tac D =

    '2 7 3 r '2 7 3 1 6'A = 3 5 2 2 , A = 3 5 2 2 4

    ,9 4 1 7 ,9 4 1 7 2

    2 73 5

    = -1 1 /0 , v cc dinh thfc bao quanh n l:

    = 0.

    2 7 3 2 7 1 2 7 6

    O 5 5 II 3 5 2 II

    88O"oII 3 5 2 = 0, D = 3 5 49 4 1 9 4 7 9 4 2

    Vy r(A) = 2, = 2; Vy he tren c nghiem, chpn D{*0lm dinh thic con co s ca ma trn he s6, khi d hf phuong trinh ca s6 ca he thun nht l:

    {2x,+7*j+3x, + x4 =6 3x,+5x2+2xj+2x4 =4Chon cc n x,,x2 l cc n chnh v x ,,x4 l cc n tu do. Dt

    x, = a , x, = p, ( a .P e R ) ta dupc h$ phuong trinh:

    |2 x ,+ 7 x j = 6 - 3 a - p |3x, +5x, = 4 -2 c t-2 P

    Gii he ny theo quy tic Cramer ta duoc:

    a - 9 p - 2 -5 a + P+10 X , _ 11 X j ~ 11

    Vy nghim tng qut ca he phuong trinh d cho l:

  • b. T kt qu trn, by gi chng ta ly mt nghim ring ca h ng

    vi a = 0 , = 0 l ^ , 0 , o j . hiu gia nghim tng qut v

    nghim ring ny s l nghim tng qut ca h thun nht lin kt:

    _ -9 .. -5 a + _ a)I* ' M x = n ' x = a -x = p } .

    Vy h nghim c bn ca h t thun nht lin kt c 2 vc t l:

    B. Bi tpI. biTm nghim tng qut v mt b nghim co bn ca mi h sau:

    + 2x, - Xj = 0 + 9 x j - 3 x , =0

    37.

    39.

    2 x i - 3 X j + X j = 0

    X, + Xj + Xj = 0

    3x, - 2 X j + 2 X j = 0

    X| + 3Xj +2x, =0 2x, - X, +3x, =0 3x, - 5x, + 4Xj =0 X, + 1 7 x , + 4 x j = 0

    X, + Xj + Xj + x 4 + X j 3 x ,+ 2 x ,+ Xj + x4 +x, 4 X , + 3x + 2 x ,+ 2 x4 + * j 5x,+4xj+3xj + 3 x , - x 5

    x I *1 - 2 x2- 3 x, = 0 | -2 x ,+ 4 x j+ 6 x , =0,

    x, +2xj + 3x ,+4x4 =0 2x, +3Xj +4Xj + 5x4 = 0 3 x ,+ 4 x ,+ 5 x , + 6 x 4 =040.

    = 0

    = 0

    = 0

    = 0

    2x, - 3 x j + 3 x , - 2 x 4 = 0

    2x, - 3 x 2 + 3 x , - 2 x 4 = 0

    4Xj +1 lX j - 1 3 x j + 1 6 x 4 = 0

    7x, - 2x, + X, + 3x4 =0

  • X, - x 2 + X j - X,, + X j = 0

    2 x , + x 2 - x , + 2 x , - 3 x s = 0

    3 x , - 2 x 2 - X j + x - 2 x 5 = 0

    2 x , - 5 x 2 + X , - 2 x 4 + 2 x 5 = 0

    Tm nghim tng qut ca h phng nh tuyn tnh khng thun nht v mt h nghim c bn ca h phng trnh tuyn tnh thun nht lin kt tng ng.

    43.

    45.

    46.

    X, + 2 x 2 + 3 x , - x 4 = 1

    3 x , + 2 x 2 + X j - x = 1

    2 x , + 3 x , + X j + x 4 = 1

    1

    44.

    X, + 3 x 2 + 5 x , + 4 x 4 = 2

    2 x , + 6 X j + 4 x , + 3 x 4 = 3

    3 x , + 9 x 3 + 3 x , + 2 x 4 = 4

    4 x , + 1 2 x 2 + 8 x , + 6 x 4 = 6

    X, + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 5 x 5 = 0

    X, - 2 x 2 - 3 x , - 4 x 4 - 5 x 5 = 2

    X, + 4 x 2 + 6 x 3 + 8 x 4 + 1 0 x 5 = - 1

    2 x , + 2 x 2 + 3 x , + 4 x 4 + 5 x 5 = 1

    5 x , - 5 x 2 + 5 x 3 + 5 x 4 - 1 0 x 5 = 0

    2 x , + x2 - Xj - x 4 + x 5 = 1 3 x , + 3 x 2 - 3 x , - 3 x ^ H 1 \ 5 = 2

    4 X | + 5 x 2 - 5 x 3 - 5 x -!- 7 x , = 3

    47. Cho h 3 phng trnh tuyr. tinh ca hai n, chng minh rng nu h c nghim th nh thc ca I-.-. trn m rng bng khng.

    48. Cho h phcmg trnh tuyn unh thun nht c 3 phung trinh 3 n tho mn iu kin A' = -A , jhng minh rng h trn c nghim khng tm thng.

    49. Cho A, B l cc ma irn n s' ca 2 h phng trnh tuyn tnh, gi s AB = BA, chng rrunti ng nu ma trn no c cc dng c lp tuyn tnh th h phng nh tng ng c mt nghim duy nht.

  • so. Cho h phng trnh tuyn tnh thun nht c ma trn h s l A, chng minh rng nu h cc vc t ct ca A c lp tuyn tnh thi h phng trnh ny chi c nghim tm thng.

    II. p s

    36. (*, = 2 a + 3p,xJ =*,x1 = p);P1 = ( 2 , 1 , 0 ) ^ =(3,0,1).

    37. (x, = - j a . x = - j a fxJ = a j ;P = (-4,-l,S).

    38. (x, = a + 2p,Xj = -2 a -3 P ,x , = a,x 4 =p);

    p, =(2,-3,0,l),Pj =(1,-1,-1,1).

    39. (x, = 0 ,x , = 0 ,x , =0).

    p, =(3,19,17,0); p2 =(-13,-20.0,17)

    41. (x, = a + p, Xj = -2 a - 2(3, Xj = a , x4 = p, Xj = 0 ) ;

    p, =(1,-2,1,0,0); p2 =(1,-2,0,1,0).

    42. (x, = o , X j = 0,x, =0,x4 = 5 a ,x s = 4a);

    p = (1,0,0,5,4).

    ; ;P =(15,-1,13).>

    ,x3 a ,x 4

  • 44. (x , = a , X j = ,Xj = 6 - 5 a - 1 5 p , x 4 = - 7 + 6 a + 18)

    p, = (1 ,0 ,1 ,-1 ); p ,= (0 ,1 ,-9 ,11).

    3a + 4P + 5y +145. I X, =1, X, = --------- ------------ , Xj = a , x4 = p , Xj = y l ;

    p, = jo ,- |, l ,0 ,o ) ; p2 =(0,-4,0,1,0); p, = o ,- |,0 ,0 ,l) .

    46~ (x , = ^ p , x 2 = - + 3? - S , x3 = a , x 4 = , x5 = Tj ;

    p,= (0,1,1,0,0); p2= (0,1,0,1,0); p, 0,0,1 J.

    47. Gi A, A l ma ttn h stf v ma n h s m rng ca h phong trnh ny. V h ny c nghim nn theo nh l Cronecker - Capelli ta c r(A ) = r(A). Nhung A l ma trn cp 3x2 nta

    r(A ) 2 , do d r (Aj 2, suy ra |j = 0 (Ti sao?).

    48. Do A' = -A nn ta c |A '|= |-A |, nhung v A^A'! v

    |-A | = (-1)5 |A| = -|A | cho nn ta c |a | = - |A |, suy ra |a | = 0, vy h phcmg trnh tuyn tnh thun nht c nghim khng tm thng.

    49. V cc tch AB v BA u tn ti cho nn A c cp mXn vB c cp n X m. Nhung ta li c AB = BA cho nn m = n, ngh l c i A v B u l cc ma trn vung. Do d nu ma trn no c cc dng dc lp tuyn tnh th b phng trnh tcmg ng l h Cramer do nh thc ca ma trn d khc khng, suy ra diu phi chng minh.

    50. Gi : Vit h phng trnh di dng mt dng thc vc t ct v s dng phng php phn chng d cbng minh.

  • 4. Mt s m hnh tuyn tnh trong phn tch kinh t

    A. Tm tt l thuy't v cc v d mu M hlnh cn bng.th trng

    Xt m hnh cn bng th trng n hng ho lien quan, ta k hiu: Q l lung cung hng ho i,Qd l luqg cu i vi hng ho i,Pi l gi hng ho i.Vi gi thit cc yu t khc khng thay di, hm cung v

    hm cu tuyn tnh c dng nhu sau:Hm cung ca hng ho i:

    Q = a .0 + a ,iP ,+ a 2P2+ - " + a P . (i = u .......n ).

    Hm cu di vi hng ho i:

    Qdi = b ,0 + b iPi + b ,2P j + + b p ( ' = ! 2 ">

    M hnh cn bng th trng n hng ho c dng nh sau:

    Q* = ai0 + aiP. + a,2Pj + - + amPn Q* = b,0 + b,iPi + b.P + " +bmp,Qu = Qdii = l,2......n

    T h phng trinh ny ta suy ra h phuong trnh xc nh gi cn bng:

    al0 + a,,p, + auP + - + amP" = bio + b|iPi + b,,p2 + + b,pn

    *> + a2'Pl + a Pl + + anPn = b + blPl + b P + + b2nP"

    a 0 + an,p. + aP + " + aP" = b" + b.'Pl + bn2P2 + t>mP

  • t clk =a,i blt vi i = l,2,...,n v k =0,1,2,...,n laduch:

    C|P. + C,2P2 + - + c,.pB = -c,0 C2.P| + C22p + + c2pn = -CJ0

    l c n,p, + c 2p2 + - + CnrPn = - c . o

    Gii h phng trnh tuyn tnh (1) ta xc nh duc gi cr bng ca tt c n hng ho, sau thay vo hm cung (hoc hm cu) ' xc nh c lng cn bng.V d 1: Gi s th trung gm 2 mt hng: hng ho 1 v hng ho 2, VI hm cung v hm cu nh sau:

    Hngho 1: Q = - l + 6p,; Qd, = 8 -p , +2p2.

    Hng ho 2: Qs2= - 4 + P2; Q,u = IO + 2 p ,-2p ,.H phng trnh xc nh gi cn bng:

    | - l + 6p, = 8 -p , +2p2 7 p ,-2 p j =9[~4 + p, =10 + 2 p ,-2 p j -2p, +3pj = 14

    Gii h phng trnh ny ta tm dc gi cn bng ca mi loi hng ho:_ 55 _ 116

    Thay gi cn bng vo cc biu thc hm cung ta xc dinh due lngcn bng:

    Vi d 2: Gi s th trng gm 3 mt hng: hng ho I, hng ho 2 v hng ho 3, vi hm cung v hm cu nh sau:

    Tm gi v s lng ca ba loi mt hng trong trng thi can bng.

    = , 313 = _ 48 Q| = l + 6p. = ; Q j= 4+ p, = . ' ' 17 2 17

    Q sl = - 2 0 + p, - 0 ,5 P ; ,

    Q,2 = -10 + 2p;Q , 3 = -10 + P ;

    Q d , = 80 - - 2P| - P) Q = 50 - 2p.Q d 3 = 90 - 2p, - p,

  • Gii:H phng nh xc dinh gi cn bng l:

    -20 + p , - 0 , 5 p j = 8 0 - 2 p , - p ,

    j - 1 0 + 2 p 2 = 5 0 - 2 p ,

    [ - 1 0 + p , = 9 0 - p, - 2 p ,

    3p, - 0 , 5 p 2 + p , = 1 0 04p, = 60

    .p, + 3pj = 100

    Gii h phuong trnh ny ta c (p, = 39,0625, P j = 15,p, = 20,3125).

    Thay cc gi tr trn vo biu thc hm cung ta c lng cn

    Q, = -20 + p, - 0,5 p 2 = 11.5625, Qj = -10 + 2 p 2 = 20,

    Q ^ = - I 0 + f t = 1 0 ,3 1 2 5

    MA hnh cn bng kinh t v mGi Y l tng thu nhp quc dn v E l tng chi tiu k hoch

    ca nn lcinh t, ng thi cn bng c biu din di dng phng

    Trong mt nn kinh t ng, tng chi tiu k hoch ca ton b nn kinh t gm cc thnh phn sau:

    C: Tiu dng ca cc h gia nh;G: Chi tiu ca chnh ph;I Chi tiu cho u t ca cc hng sn xut.Ta gi s I = I0> G = G0 c' nh cn tiu dng ca cc h gia nh

    ph thuc vo thu nhp di dng hm bc nht (gi l hm tiu dng):

    C = aY + b (0 < a < 1, b > 0)..M hlnh cn bng kinh t v m c dng h phng trnh tuyn

    tnh:

    bng:

    trnh:Y = E.

    Y = c + I0 + G 0Y C = a Y + b

  • Gii h phng trnh ny ta xc dinh c mc thu nhp cn bng v mc tiu dng cn bng ca nn kinh t:

    Nu tnh thu thu nhp th hm tiu dng s thay di nhu sau:C = aYd +b,

    trong Yd l thu nhp sau thu. Gi t l thu thu nhp l t (biu din dng thp phn), ta c:

    Y = Y -tY = ( l- t)Y , c = a(l - t)Y + b.

    Mc thu nhp quc dan v tiu dng cn bng l: b + l + o . g b + a ( l- tx i +G)

    l - a ( l - t ) l - a ( l - t )VI d 3: Nu C = 250 + 0,85Y; I0 = 250; G0 = 300 (tnh bng triu USD) th ta tnh dc mc thu nhp cn bng v mc tiu dng cn bng l:

    Nu nh nc thu thu thu nhp mc 10% th t = 0,1. Khi d mc can bng nh sau:

    M hnh Input - Output ca LeontiefTrong mt nn kinh t hin i, vic sn xut mt loi sn phm

    hng ho di hi phi s dng cc loi hng ho khc nhau trong c cu cc yu t sn xut, vic xc nh tng cu i vi sn phm ca mi ngnh sn xut trong tng th nn kinh t l quan ng, n bao gm:

    _ b + 1+G0 - b + a(l0 +Gp) 1 -a l - a

    c =

    Y = 250 + 250 + 300------- ------------= 53331-0,85

    250 + 0,85(250 + 300) _ 47g31-0,85

    (triu USD);

    (triu USD).

    (triu USD);

    5 250+0,85(1-0,1X250 + 300) 1-0,85(1-0,1)

    = 2854 (triu USD).

  • Cu trung gian t pha cc nh sn xut s dng loi sn phm cho qu trinh sn xut;

    * Cu cui cng t pha nhng ngi s dung sn phm i tiu dng hoc xut khu, bao gm cc h gia dinh, nh nc, cc t chc xut khu...

    Xt mt nn kinh t c n ngnh sn xut: ngnh 1,2..... n. thuntin cho vic tnh chi ph cho cc yu t sn xut, ta biu din lng cu ca tt c cc loi hng ho dng gi n, tc l do bng tin. Tng cu v sn phm hng ho ca mi ngnh (i = 1,2,...,n) l:

    x.= x i+ x li +...**,+b,trong d Xi l tng cu i vi hng ho ca ngnh i; Xjfcli gi tr hing ho ca ngnh i m ngnh k cn s dng cho vic sn xut; bi l gi tr hng ho ca ngnh i cn cho tiu dng v xut khu.

    Cng thc nu trn c th vit li di dng:

    X = ^ LXI + X J+ +--x+bj ; (i = l,2 ......n).X, X,

    t:

    a *= ( i,k = 1 .2 .......n). (2)

    ta uc h phung trnh:X, = a NX| + aM2Xj + + al0xn + .b, X j ^21 X| + X j + ** + j n X B + b j

    x = a,x, + a ^ x , + - + ax + bn

    ( l - a ) x , - a !2x 2 ---------- a , . x . = b,

    a21x, + ( l - a a )x 2 -------- a2x = b2

    a.,x, - a3x2 ---------0 ~ 0 X = b

    (3)

  • H phng nh (3) c th vit di dng ma trn nh sau:(E -A )X = B (4)

    trong :

    'a *aii ain'/ \

    X|( L \ t>,

    A = 2, 22 a2 ; x = x2 ; B =b,

    A , a2 IU1 >E l ma trn dn v cp n.

    Ma n A dc gi l ma trn h s k thut', ma trn X l ma trn lng cu, cn B l ma trn cu cui cng. Ma n E - A c gi l ma trn Leonlief. Ma trn nghch do ca ma trn. E - A c th tnh xp xi theo cng thc: (E -A )"1 =E + A + A2 + - + A, cn ma

    trn tng cu X c tnh theo cng thc X = (E - a ) B.

    V d 4: Quan h trao i sn phm gia 3 ngnh sn xut v cu hng ho c cho bng sau (n v tnh: triu USD):

    Ngnh cung ng sn phm (Output)

    Ngnh s dng sn phm (Inputs) Cu cui

    cng1 2 3

    1 15 50 20 402 60 15 50 103 20 20 30 10

    Trong bng s liu trn, mi dng ng tn mt ngnh sn xut; mi ct gia dng tn mt ngnh vi danh ngha l ngi mua sn phm.

    Hy tnh tng cu i vi sn phm ca mi ngnh v lp ma trn h s ky thut.Gii:Tng cu:


BCTC QUY I.2018 (HOP NHAT).p… · (3) Du án Hoàng Huy Riverside tai Phuöng Thugng Lý, Quan Hòng Bàng, Tp. Hái Phòng (goi là du án "Hoàng Huy Riverside"): Xây dung khu

BCTC QUY I.2018 (HOP NHAT).p… · (3) Du án Hoàng Huy Riverside tai Phuöng Thugng Lý, Quan Hòng Bàng, Tp. Hái Phòng (goi là du án "Hoàng Huy Riverside"): Xây dung khu

Tuyến yên tuyến giáp

Tuyến yên tuyến giáp

Biên dịch: Hoàng Việt Huy | Hiệu đính: Nguyễn Thành Trungnghiencuuquocte.net/wp-content/uploads/2013/12/... · 2015-07-03 · đứng đầu Châu Âu và trở thành

Biên dịch: Hoàng Việt Huy | Hiệu đính: Nguyễn Thành Trungnghiencuuquocte.net/wp-content/uploads/2013/12/... · 2015-07-03 · đứng đầu Châu Âu và trở thành

TỔNG QUAN DỰ ÁN KHU ĐÔ THỊ HOÀNG HUY RIVERSIDE · 2019. 10. 7. · KỀHOÀNG HUY RIVERSIDE Dự án Hoàng Huy Reversidegồm:325 nhà liền kề, biệt thự và hỗn

TỔNG QUAN DỰ ÁN KHU ĐÔ THỊ HOÀNG HUY RIVERSIDE · 2019. 10. 7. · KỀHOÀNG HUY RIVERSIDE Dự án Hoàng Huy Reversidegồm:325 nhà liền kề, biệt thự và hỗn

K33103227 trần huy hoàng bài 11 chương 3 tin học 12

K33103227 trần huy hoàng bài 11 chương 3 tin học 12

images1.cafef.vnimages1.cafef.vn/download/300715/ish-bao-cao-quan... · Hoàng Xuân Hoàng Thi Hoàng Thi Hoàng Thi Hoàng Manh Hoàng Thi Hoàng Vän Hoàng Phuong Hoàng Quác

images1.cafef.vnimages1.cafef.vn/download/300715/ish-bao-cao-quan... · Hoàng Xuân Hoàng Thi Hoàng Thi Hoàng Thi Hoàng Manh Hoàng Thi Hoàng Vän Hoàng Phuong Hoàng Quác

Bẹp - daohoavien.comdaohoavien.com/TRUYEN - ngon tinh co dai/2016-Ebook-oppload/Hoàng... · 1 Hoàng Hậu Ðè Bẹp Hoàng Thư çng Tác giả: Xuân Huy Cẩm Y. Thể loại:

Bẹp - daohoavien.comdaohoavien.com/TRUYEN - ngon tinh co dai/2016-Ebook-oppload/Hoàng... · 1 Hoàng Hậu Ðè Bẹp Hoàng Thư çng Tác giả: Xuân Huy Cẩm Y. Thể loại:

Bài tập điện kỹ thuật lớp thầy Trần Thanh Trang - Nguyễn Đình Huy Hoàng

Bài tập điện kỹ thuật lớp thầy Trần Thanh Trang - Nguyễn Đình Huy Hoàng

Công ty C Đầu tư D chính Hoàng Huystatic1.vietstock.vn/edocs/6049/TCH_20180418_BVS.pdf · Công ty Cổ phần Đầu tư Dịch vụ Tài chính Hoàng Huy Mã giao dịch:

Công ty C Đầu tư D chính Hoàng Huystatic1.vietstock.vn/edocs/6049/TCH_20180418_BVS.pdf · Công ty Cổ phần Đầu tư Dịch vụ Tài chính Hoàng Huy Mã giao dịch:

Công ty thang máy Huy Hoàng | Thang máy gia đình cao cấp cabin-thang... · 2018-12-18 · CONG CO NHAP KHÅU HUY HOANG báO tri gia phuc vu các ho gla dinh, biet thg, van

Công ty thang máy Huy Hoàng | Thang máy gia đình cao cấp cabin-thang... · 2018-12-18 · CONG CO NHAP KHÅU HUY HOANG báO tri gia phuc vu các ho gla dinh, biet thg, van

dudumanman.files.wordpress.com€¦  · Web viewVăn án: Kỷ Huy Hoàng là võ lâm thần thoại. Sinh thời là thần thoại, chết rồi cũng vẫn là thần thoại.

dudumanman.files.wordpress.com€¦  · Web viewVăn án: Kỷ Huy Hoàng là võ lâm thần thoại. Sinh thời là thần thoại, chết rồi cũng vẫn là thần thoại.

Catalogue Khóa Huy Hoàng 2016 - 2017 (New)

Catalogue Khóa Huy Hoàng 2016 - 2017 (New)

Thuyết minh Đồ án Nền Móng - Nguyễn Đình Huy Hoàng

Thuyết minh Đồ án Nền Móng - Nguyễn Đình Huy Hoàng

TẠP CHÍ ISSN 2525 - 2208 - kttvqg.gov.vnkttvqg.gov.vn/upload/news/25339_Thang-3-2017.pdf · Hoàng Anh Huy: Ứng dụng mô hình hồi qui tuyến tính để thiết lập mối

TẠP CHÍ ISSN 2525 - 2208 - kttvqg.gov.vnkttvqg.gov.vn/upload/news/25339_Thang-3-2017.pdf · Hoàng Anh Huy: Ứng dụng mô hình hồi qui tuyến tính để thiết lập mối

OU - Bài tập + lời giải Mạng điện khu xây dựng - Nguyễn Đình Huy Hoàng (Thầy Trần Thanh Trang)

OU - Bài tập + lời giải Mạng điện khu xây dựng - Nguyễn Đình Huy Hoàng (Thầy Trần Thanh Trang)

hcma2.hcma.vn · Lê Thi Thu Giang Huynh Vän Giàu Nguyên Thanh Håi Nguyên Thi Ngqc Hanh I-Iúa Huy Hoàng Luong Quang Huy Lê Thi Thùy Linh Nguyên Thi Kim Ngân Lê NgQC Nghïa

hcma2.hcma.vn · Lê Thi Thu Giang Huynh Vän Giàu Nguyên Thanh Håi Nguyên Thi Ngqc Hanh I-Iúa Huy Hoàng Luong Quang Huy Lê Thi Thùy Linh Nguyên Thi Kim Ngân Lê NgQC Nghïa

OU - BTL Tường Cừ Chắn Đất - Nguyễn Đình Huy Hoàng - Thầy Dương Hồng Thẩm

OU - BTL Tường Cừ Chắn Đất - Nguyễn Đình Huy Hoàng - Thầy Dương Hồng Thẩm

thuviensonla.com.vnthuviensonla.com.vn/uploads/news/2015_06/dm-sach-dc-moi... · Web view11. NGUYỄN HUY HOÀNG. Chuẩn hóa đội ngũ hiệu trưởng trường trung học cơ

thuviensonla.com.vnthuviensonla.com.vn/uploads/news/2015_06/dm-sach-dc-moi... · Web view11. NGUYỄN HUY HOÀNG. Chuẩn hóa đội ngũ hiệu trưởng trường trung học cơ

º¿ng Anh P1-K1,ql1,k9,n2,n3... · Bùi Thi Lan Hucyng Trinh Ðäng Huy Thi Huyên Hoàng Thi Huyên Pham Duy Khánh Vü Hông NgQC Pham Thi Nhi Hoàng Thi Oanh Nguyên Nam Phuong

º¿ng Anh P1-K1,ql1,k9,n2,n3... · Bùi Thi Lan Hucyng Trinh Ðäng Huy Thi Huyên Hoàng Thi Huyên Pham Duy Khánh Vü Hông NgQC Pham Thi Nhi Hoàng Thi Oanh Nguyên Nam Phuong

Nhớ về Sàigòn xưa huy hoàng (Hòn Ngọc Viễn Đông) · PDF fileNhớ về Sàigòn xưa huy hoàng (Hòn Ngọc Viễn Đông) Boulevard Bonard ... Phòng Thông Tin cho

Nhớ về Sàigòn xưa huy hoàng (Hòn Ngọc Viễn Đông) · PDF fileNhớ về Sàigòn xưa huy hoàng (Hòn Ngọc Viễn Đông) Boulevard Bonard ... Phòng Thông Tin cho