Általános relativitáselmélet és kozmológiaHraskó PéterA Budapesti M¶szaki Egyetemen a 2006-2007 tanévbentartandó kurzus anyaga

.

TORNÓC KIADÓ

TARTALOMJEGYZÉK 1Tartalomjegyzék1. A spe iális relativitáselmélet alapposztulátuma 32. A térid® 53. A sajátid® 74. A súlyos és a tehetetlen tömeg 85. A gravitá ió geometrizálása 106. A nemmetrikus sokaság. Tenzorok 117. A nemmetrikus sokaság. A Lie-derivált 158. A Riemann-geometria 189. Példa: A 2D gömb 2010.A kovariáns derivált 2311.A geodetikus egyenlet 2612.Példa: A 2D gömb (folytatás) 2813.A görbület 2914.A Riemann-tenzor tulajdonságai 3215.Példa: A 2D pszeudogömb 3516.Az általános relativitáselmélet térideje 3717.A szabadon mozgó tömegpont 4018.A fénysugarak a térid®ben 4219.A Nap körüli közelít® metrika a geodetikus hipotézis alapján 4420.Az ikerparadoxon a Föld gravitá iós terében 4721.A tömegpontok energiája a közelít® metrikában 4722.A fényelhajlás a közelít® metrikában 4823.A gravitá iós vöröseltolódás 5024.Elektrodinamika a relativitáselméletben 5525.Az energia-impulzus tenzor 5926.Az Einstein-egyenlet 6327.A entrálszimmetrikus statikus térid® 6728.A S hwarzs hild-megoldás 6929.A fényelhajlás a S hwarzs hild-metrikában 7030.A S hwarzs hild-térid® forgó koordinátarendszerben 72

TARTALOMJEGYZÉK 231.A körmozgás a S hwarzs hild-térid®ben 7332.A geodetikus pre esszió 7533.A perihélium vándorlás 7934.Az impulzusmomentum hatása a térid®re 8035.A S hwarzs hild-szingularitás természete 8236.A pontszer¶ sillag térideje 8537.Geodetikusok a pontszer¶ sillag téridejében 8838.A relativisztikus kozmológia alapfeltevései 9139.A standard modell 9340.A kozmológiai vöröseltolódás 9441.A Fridman-egyenletek 9942.A Fridman-egyenlet megoldása 10143.A Fridman-univerzum 10544.A horizont-probléma 106

1 A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET ALAPPOSZTULÁTUMA 3BevezetésAz általános relativitáselmélet a gravitá ió elmélete, amely a múlt század második évtizedében lépett New-ton általános tömegvonzási elmélete helyébe. A kurzus élja ennek az elméletnek az ismertetése.A spe iális relativitáselméletet Einstein 1905-ben hozta létre. Ez egy olyan "operá iós rendszer", amelyalatt a �zika egésze m¶ködik � a gravitá ió kivételével. Az általános relativitáselmélet ennek az "operá iósrendszernek" olyan általánosítása, amely feltehet®en már az egész �zikát m¶ködtetni tudja. Mivel ez az elméleta spe iális relativitáselmélet általánosítása, ezért a tárgyalását a spe iális relativitáselmélettel kell kezdeni.Felteszem azonban, hogy ezzel az elmélettel már mindenki találkozott, ezért sak az általánosítás szempontjábóllegfontosabb pontokat fogjuk felidézni.A következ® el®készít® lépés az általános relativitáselmélet matematikai apparátusának az áttekintése lesz,amely a di�eren iálgeometriába tartozik és az alkalmazási területe nagyon széles. Kifejezetten szép matematikaielméletr®l van szó, amelyben nem hosszadalmas számításokkal, hanem a fogalmi struktúra tisztázásával kellmajd els®sorban foglalkoznunk. Ezzel a matematikai elmélettel önmagáért is érdemes megismerkedni.Csak ezután kerülhet sor az általános relativitáselméletnek, mint �zikai elméletnek a tárgyalására. Azelmélet alapgondolatát azonban, amely a gravitá ió geometrizálása, még a matematikai elmélet el®tt ismertetnifogom azért, hogy világos legyen, miért éppen a di�eren iálgeometria az a matematika, amire szükségünk lesz.1. A spe iális relativitáselmélet alapposztulátumaAz alapposztulátum: A fénysebesség független a fényforrás sebességét®l és minden iner iarendszerben mindenirányban ugyanakkora.Az alapposztulátum kimondásakor feltételezzük, hogy mint minden sebességet, a fénysebességet is a "se-besség = út/id®" de�ní ió alapján határozzuk meg. A mérés te hnikai megvalósítása sokféle lehet. Az oda-vissza úton történ® mérés te hnikailag egyszer¶bb, ezt alkalmazta a XIX. században Fizeau a szaggatásos,Fou ault a forgótükrös módszerben. Az egyirányú mérés is lehetséges, de te hnikailag nehezebb megvalósítani.Legegyszer¶bb elvi változatát ld. a honlapomon a Relativitáselmélet alapfogalmai ím¶ írás 2. pontjában.Az alapposztulátum azt állítja, hogy ha egy nyugvó és egy egyenletes egyenesvonalú mozgást végz® vasútiko siban (ez két iner iarendszer) elvégezzük bármelyik fénysebesség-mérést, a fénysebességre ugyanazt a =2; 99792458 � 108 m=s számértéket kapjuk.I I’

Pozitív irány

V relatív sebesség=

1.ábraHa a fénysebesség a fényforráshoz képest lenne mindig ugyanakkora (ballisztikus elmélet), akkor ebben nemlenne semmi meglep®. Ebben az esetben ugyanaz lenne a helyzet, mint a pisztollyal (ez a fényforrás analogonja)és a kil®tt pisztolygolyóval (ez a fény megfelel®je): A golyó sebessége ahhoz a vasúti ko sihoz képest, amelybena pisztoly nyugszik, mindig ugyanakkora.Ebb®l az analógiából azonban az is következik, hogy ebben az esetben a fénysebességnek függenie kellenea fényforrás sebességét®l, a mozgó tükörr®l visszavert fény sebességének pedig függenie kellene a tükör se-bességét®l. Azonban a kísérletek és a sillagászati meg�gyelések (pl. a kett®s sillagoknál) ezt egyértelm¶en áfolják.A fény hullámtermészete alapján is az várható, hogy a fénysebesség � a hangsebességhez hasonlóan �ne a fényforráshoz, hanem ahhoz a közeghez (az éterhez) viszonyítva legyen állandó, amelyben terjed. Deakkor viszont azt nem lehet érteni, miért ugyanolyan nagyságú a közeghez képest különböz® sebességgel mozgóvasúti ko sikban (iner iarendszerekben). Ha ugyanis a fénysebesség az I vasúti ko siban pozitív irányban ,akkor az I ' -ben, amely az el®bbihez képest V sebességgel mozog ugyanabban az irányban, ( �V )-vel kelleneegyenl®nek lennie (a sebességösszeadás törvénye).

1 A SPECIÁLIS RELATIVITÁSELMÉLET ALAPPOSZTULÁTUMA 4Évtizedeken keresztül vitatták, hogyan lehetne összeegyeztetni a fénysebesség állandóságát az éterhipoté-zissel. Ez a vita ma is tanulságos, de els®sorban történeti érdekesség¶, mert a megoldást Einstein a spe iálisrelativitáselméletben az éterhipotézis keretein kívül találta meg. A továbbiakban sak ezzel az elmélettel fog-lalkozunk.Einstein arra gyanakodott, hogy talán a sebességösszeadás törvényével van valami baj és részletesen meg-vizsgálta, vajon tényleg univerzális érvényesség¶-e ez a törvény.I

I’ I’

I

Dl

Dl’

A A B

t1 t2

A y’ ’mozgó tömeg, amel nek sebessége -hez képest v,

-höz képest vI

I

V.Dt

2.ábraEgy egyenletes sebességgel mozgó test �t id® alatt az I és az I ' iner iarendszerhez képest különböz® hosszúutat tesz meg (ld. a 2.ábrát, amely most felülnézetben mutatja a párhuzamos sínen mozgó vasúti ko sikat a t1és a kés®bbi t2 pillanatban): �l0 = �l � V ��t (1.1)(amikor V ��t > �l, akkor �l0 negatív és a megtett út valójában j�l0j-vel egyenl®). Mivelv0 = �l0�t v = �l�t (1.2)az (1.1)-b®l valóban az következik, hogy v0 = v � V .A �l és a �l0 távolságot természetesen az I, ill. az I ' iner iarendszerben nyugvó távolságmér® eszközöksegítségével határozzuk meg, és az id®tartamokat is az I-ben és az I '-ben nyugvó órákról olvassuk le. Miértvagyunk benne olyan biztosak, hogy noha az I-ben és az I '-ben nyugvó méterrudak a megtett útra külön-böz® értéket adnak, az ugyanott nyugvó órák az út megtételéhez szükséges id®re mindig ugyanazt az értéketszolgáltatják? Hátha nem így van és valójában �t0 6= �t. Ekkor (1.2) helyett av0 = �l0�t0 v = �l�t (1.3)érvényes és nem lehet eleve kizárni, hogy történetesen a fény esetében ez a két arány megegyezzen egymással.Ha valóban ez a helyzet, akkor (1.1) helyett is ki kell találni valami újat, hiszen pl. már azt sem tudhatjuk,hogy a jobboldalon �t vagy �t0 áll-e (vagy valami egészen más).Einstein megmutatta, hogy (1.1) egy általánosabb formula olyan spe iális esete, amely sak végtelen fény-sebességnél lenne pontosan érvényes. Amikor a fénysebesség a véges , az általános formula a Lorentz-transz-formá ió: �t0 = �t� V= 2 ��lq1� V 2= 2 (1.4)�l0 = �l � V ��tq1� V 2= 2 : (1.5)A �l és a �l0 itt ugyanazt jelenti, mint korábban, a �t és a �t0 pedig az az id®, amely alatt a tömeg azA pontból a B-be jutott el az I-ben, ill. az I '-ben nyugvó órák mutatóállása alapján. A �l, �t és a �l0,

2 A TÉRID� 5�t0 párok közül egyik sem "valódibb" a másiknál. Tökéletesen egyenérték¶ek egymással, mert I és I ' kétegyenérték¶ iner iarendszer.Figyeljük meg a transzformá ió két fontos tulajdonságát:1) Amikor V � , a korábbi �t0 = �t �l0 = �l � V ��tképleteket kapjuk vissza.2) A sebességösszeadás törvényére av0 = �l0�t0 = �l � V ��t�t� V= 2 ��l = v � V1� V v= 2képletet kapjuk, amely vV � 2-nél a newtoni v0 = v � V sebességösszeadási törvényre, v = esetében pediga várt v0 = képletre vezet.A részletesebb analízis azt mutatja, hogy amikor egy testet valamilyen módon (rakétaként, vagy elektromostérben, ha töltött) gyorsítunk, sohasem érhetjük el a fénysebességet (a fénysebesség határsebesség).2. A térid®Eddig nem esett szó koordinátákról. Nem volt rájuk szükség, mert az alapposztulátum meg�gyelésekre és labo-ratóriumi mérések várható eredményére vonatkozik, ezekhez pedig nem kell koordinátarendszer. A méréseket ésmeg�gyeléseket mindig valamilyen vonatkoztatási rendszerben (V) végezzük el, ami létez® objektum (az eddigipéldákban vasúti ko si volt). Az iner iarendszer (I) olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben a meg�gyelésekszerint nem lépnek fel iner iaer®k.Koordinátarendszerre (K) az elméleti analízisben van szükség. A koordinátarendszert azonban � a vonat-koztatási rendszerrel ellentétben � sohasem realizáljuk, sak elképzeljük: gondoljunk sak a bolygómozgás tár-gyalására a newtoni me hanikában. Amikor azonban egy konkrét vonatkoztatási rendszerben történ® kísérletetanalizálunk, rendszerint olyan koordinátarendszert kell elképzelnünk, amelyben a szóbanforgó vonatkoztatásirendszer állandó koordinátákkal rendelkezik (a koordinátarendszert a választott vonatkoztatási rendszerhezrögzítjük: V ! K, V 0 ! K0 vagy I ! K, I 0 ! K0).Ha mondjuk a vonatkoztatási rendszerünk egy vasúti ko si, akkor gondolatban rögzíthetünk hozzá Des artes-koordinátákat például úgy, hogy az origót a ko si középpontjába helyezzük (de ez persze nem kötelez®, a 2.ábra elrendezésében élszer¶ a K és a K' origóját az AB egyenesre helyezni), az x-tengelyt párhuzamosnakválasztjuk a sínnel, a z-tengelyt pedig függ®legesen felfelé irányítjuk. Ez elegend® ahhoz, hogy egy mozgó testáltal adott id® alatt megtett �l utat számszer¶sítsük:�l =p�x2 +�y2 +�z2: (2.1)A �t mozgási id® számszer¶sítéséhez még az is szükséges, hogy a vasúti ko sit gondolatban s¶r¶n kitöltsükideális órákkal és azt, hogy a mozgó test mikor tartózkodik egy adott pontban, annak az órának a mutatóállásaalapján állapítsuk meg, amelyik ugyanabban a pontban van. Ha sak egy "központi" óránk lenne, akkor ennekaz id®pontnak a megállapításához jelek továbbítására lenne szükség, ami azért nem engedhet® meg, mert ajelterjedés törvényszer¶ségei sak az analízis végén válnak egyértelm¶vé.Ezzel rögzítettünk egy térid® koordinátarendszert, amely minden pontszer¶ és pillanatszer¶ eseményhezhozzárendel három térkoordinátát és egy id®pontot Ez utóbbit nevezzük koordinátaid®nek.A koordinátarendszer önkényes gondolati konstruk ió. A Des artes-koordináták helyett elgondolhatnánktetsz®leges görbevonalú koordinátarendszert is és sak azért választottuk éppen a Des artes-rendszert, mertkét pont távolságát ebben a koordinátarendszerben lehet legegyszer¶bben (a (2.1) képlet segítségével) kifejeznia pontok koordinátáin keresztül.Az eddigi el®írással azonban a koordinátaid®t még nem rögzítettük egyértelm¶en, ugyanis az órák feltétele-zett ideális voltából sak az következik, hogy azonos ritmusban járnak, de ett®l még különféle módokon lehetnekegymáshoz képest szinkronizálva.A szinkronizá ió megválasztását ugyanúgy a élszer¶ség diktálja, mint a Des artes-rendszerét. A legjobbaz, ha az alapposztulátumból indulunk ki. Ezt azért tehetjük meg nyugodtan, mert mint láttuk, az alapposz-tulátum tapasztalati ellen®rzése maga nem tételez fel koordinátarendszert, ezért nem áll fenn a ir ulus vitiosus(körben forgó hibás okoskodás) veszélye. Az alapposztulátum szerint a fénysebesség minden iner iarendszerben

2 A TÉRID� 6minden irányban , és iner iarendszerekben a koordinátaid®t mutató órákat ennek alapján szinkronizálhatjukössze a legegyszer¶bben egymással (Einstein-féle szinkronizá ió).A szétszórt órák egyikének az id®pontját azonban még mindig tetsz®legesen választhatjuk. Állapodjunk megabban, hogy ha az I ' iner iarendszer V sebességgel mozog a K és a K' közös x-tengelyének pozitív irányában,akkor a K és a K' origójában nyugvó két óra nulla koordinátaid®t mutasson, amikor a koordinátarendszereképpen fedik egymást.Az így választott koordinátarendszerben (Minkowski-koordináták) az alapposztulátumot nagyon egyszer¶enlehet matematikailag megfogalmazni. Tegyük fel, hogy abban a pillanatban, amikor K és K' origója éppen fediegymást (azaz t = t0 = 0-ban) az origóból fényjelet bo sátunk ki, amelyet valahol észlelünk. Az észlelés helyeés id®pontja K-hoz viszonyítva legyen x; y z; t, K'-hez viszonyítva pedig x0; y0 z0; t0. Azt a tényt, hogy afénysebesség mindkét koordinátarendszerhez viszonyítva ugyanaz a , azx2 + y2 + z2 = 2t2 () x02 + y02 + z02 = 2t02 (2.2)relá ió fejezi ki, amelyben , egymásból következést jelent.Ebb®l a képletb®l kiindulva lehet levezetni a Lorentz-transzformá iót, amely egy adott esemény vessz®sMinkowski-koordinátáit fejezi ki ugyanazon esemény vessz®tlen Minkowski-koordinátáin keresztül. A (2.2)következtében ennek a transzformá iónak összhangban kell lennie a 2t2 � x2 � y2 � z2 = F � ( 2t02 � x02 � y02 � z02)képlettel. Az F függvény, amely természetesen nem lehet nulla, függhet a képletben szerepl® összes változótól.Einstein azonban megmutatta, hogy ha a tér és az id® homogén (az üres térben nin s kitüntetett pont és id®-pont), akkor a keresett transzformá iónak lineárisnak kell lennie, ez F = 1-re vezet, és így a transzformá iónakaz er®sebb 2t02 � x02 � y02 � z02 = 2t2 � x2 � y2 � z2 (2.3)relá iót kell teljesítenie.A (2.3) analóg az x02 + y02 + z02 = x2 + y2 + z2 (2.4)relá ióval, amely azt fejezi ki, hogy a vessz®s és a vessz®tlen koordinátájú pont origótól mért távolsága egyenl®és így a koordinátarendszer origó körüli elforgatását (rotá ióját) írja le. Ha pl. az elforgatás az xy-síkban (az-tengely körül) történik, akkor innen x0 = x os'� y sin'y0 = x sin'+ y os'z0 = z 9>=>; (2.5)Hasonlóan, (2.3) a koordinátarendszer pszeudorotá ióját de�niálja, amelyben egy esemény origótól mért 2t2 � x2 � y2 � z2 "relativisztikus távolságnégyzete" állandó. Amikor a pszeudorotá ió nem érinti az id®t, pl.az xy síkban történik, akkor a t0 = t-vel kiegészített (2.5) írja le. Az xt síkbeli pszeudorotá ió képlete azonbanaz el®jelkülönbség miatt a következ®: t0 = t h�� x sh�x0 = � t sh�+ x h�y0 = y; z0 = z: 9>=>; (2.6)Az � sebességparamétert a K' K-hoz viszonyított V sebessége határozza meg. A K' origójában ugyanis mindenpillanatban x0 = 0, és ha ezt (2.6) 2. egyenletébe beírjuk, a K' origójának K-hoz viszonyított pályájára azx = tgh� � t egyenletet nyerjük, amelyb®l leolvasható, hogy V= = tgh�. Így � = ArthV= , ahonnan h� = 1q1� V 2= 2 ; sh� = V= q1� V 2= 2 :Ezt (2.6)-ba helyettesítve kapjuk a Lorentz-transzformá ió egyedi eseményekre érvényes képleteit1.Látjuk, hogy a 3D euklidészi geometriai tér és a spe iális relativitáselmélet térideje között párhuzam fedez-het® fel. Az alapvet® közös vonás az, hogy mindkett® metrikus sokaság.1A (1.4) és a (1.5) a Lorentz-transzformá ió eseménypárra felírt formája.

3 A SAJÁTID� 7A "sokaság" terminus azt fejezi ki, hogy az euklidészi tér és a térid® pontjai köl sönösen egyértelm¶enmegfeleltethet®k valós számhármasoknak ill. számnégyeseknek: az el®bbi háromdimenziós, az utóbbi négydi-menziós sokaság 2. A megfeleltetés végtelen sok különböz® módon megtehet®, minden megfeleltetés egy-egylehetséges koordinátarendszer. Újból hangsúlyozzuk, hogy a koordinátarendszert sak elképzeljük, a valóságbansohasem realizáljuk (nem is lehetne).A "metrikus" jelz® arra utal, hogy a sokaság bármely két pontja meghatározott "távolságnégyzetre" vanegymástól, amely mérés útján elvben meghatározható és ezért független a koordinátarendszert®l (invariáns).A távolságnégyzet képlete a geometriai tér esetében Des artes-koordinátákban, a térid® esetében Minkowski-koordinátákban a legegyszer¶bb: �l2 = �x2 +�y2 +�z2; (2.7)�s2 = 2�t2 ��x2 ��y2 ��z2 (2.8)(in�nitezimális intervallumokra � �! d). A (2.7) a 3D euklidészi térre vonatkozik, amelyben az "euklidészi"jelz® arra utal, hogy �l2 pozitív de�nit (a jobboldalon supa plusz áll). A (2.8)-ban nem ez a helyzet, ezért atérid® pszeudoeuklidészi sokaság.A �s2 el®jelét®l függ®en egy adott eseménypár vagy id®szer¶ (�s2 > 0), vagy fényszer¶ (�s2 = 0), vagytérszer¶ (�s2 < 0). Egy mozgó tömegponton egymás után bekövetkez® két esemény (vagyis a térid®beli pályakét tetsz®leges pontja) mindig id®szer¶ egymáshoz képest. Ez a határsebesség jellegéb®l következik.A térid® pontjait az összes elképzelhet® esemény alkotja, nem supán a valóságosan bekövetkez® események.Hasonlóan, a geometriai tér elemei azok a pontok, amelyekben lehetnek tárgyak, nem pedig sak a valóságostárgyak által elfoglalt pontok.3. A sajátid®A koordinátaid®t semmilyen óra sem mutatja, mert a koordinátaid® a többi koordinátához hasonlóan olyanmatematikai fogalom, amelyet sak elképzelünk. A valóságos órák által mutatott id® az adott óra sajátideje,amit � -val szokás jelölni (a továbbiakban valóságos órán mindig az ideális pontszer¶ óra határesetét fogjukérteni). A sajátid®nek ebben a de�ní iójában nin s utalás semmiféle koordinátarendszerre, ezért egy órapályájának két adott pontja között eltelt sajátid® minden koordinátarendszerben ugyanannyi: A sajátid®invariáns.Ha "leteszünk" egy órát egy I iner iarendszerben (vasúti ko siban), a sajátidejének a ritmusa meg fogegyezni a Minkowski-féle koordinátaid® ritmusával (Minkowski-koordinátákban a koordinátaid®t a nyugvó órákmutatják), de általában nem pont a koordinátaid®t fogja mutatni, mert nin s megfelel®en szinkronizálva. AzI-ben mozgó órák azonban a koordinátaid®nél lassabban járnak. Hányszor lassabban?A pontszer¶ óra pályáját K-ban azx = f(t); y = g(t); z = h(t)képletekkel írhatjuk le, amelyben t természetesen a koordinátaid®. A ~v(t) pillanatnyi sebesség nagyságát av2 = �dfdt�2 +�dgdt�2 +�dhdt �2képlettel számíthatjuk ki (a függvények olyanok, hogy v2 < 2).Képzeljük el azt a I ' iner iarendszert, amely a t pillanatbeli ~v(t) sebességgel mozog egyenletesen I-hezképest. Az óra a (t; t+dt)-ben az I '-ben nyugszik (pillanatnyi nyugalmi rendszer), így ezalatt a sajátidejének amegnövekedése az I ' koordinátaidejének, t0-nek a megváltozásával egyenl®: d� = dt0. A szóbanforgó szakaszonaz óra K'-beli elmozdulása nulla (dx0 = dy0 = dz0 = 0), ezért 2d�2 = 2dt02 = 2dt02 � dx02 � dy02 � dz02:De a jobboldalon álló kifejezés az in�nitezimális relativisztikus távolságnégyzet, amelynek értéke K'-ben ésK-ban ugyanannyi: 2dt02 � dx02 � dy02 � dz02 = 2dt2 � dx2 � dy2 � dz2: (3.1)2Ennek a megfeleltetésnek a lehet®sége egyáltalán nem nyilvánvaló és sak azért fogadjuk el, mert a megfeleltetésre épül® �zikaielméleteket a tapasztalat igazolja.

4 A SÚLYOS ÉS A TEHETETLEN TÖMEG 8Ha ezt az el®z® képletbe beírjuk, a jobboldalon kiemeljük 2dt2-t és négyzetgyököt vonunk, ad� = dtq1� ( _x2 + _y2 + _z2)= 2 = dtq1� v2= 2képletre jutunk. A pályájának azon in�nitezimális szakaszán tehát, amelyen a sebessége v-vel egyenl®, az óránd�dt =q1� v2= 2 (3.2)-szer kevesebb id® telik el, mint amennyi a koordinátaid® megváltozása (id®dilatá ió). Ez a válasz a "hányszorlassabban?" kérdésre.Ez a képlet közvetlenül nem ellen®rizhet®, mert a koordinátaid®t semmi sem mutatja, de vannak ellen®riz-het® következményei. Tegyük fel például, hogy két óra egy közös pontból indul és kés®bb újra találkozikegymással. Az indulás el®tt hozzuk a mutatóikat azonos állásba (szinkronizáljuk ®ket). Ugyanazt az id®tfogják-e mutatni a találkozásuk pillanatában?Legyen az órák pályája a K iner iarendszerbenx = fi(t); y = gi(t); z = hi(t) (i = 1; 2):Az indulás történjen a t = ta, a találkozás pedig a t = tb koordinátaid®ben (f1(ta) = f2(ta); : : : stb). Azórákon ezalatt ��i = Z tbta vuut1� 1 2 "�dfidt �2 +�dgidt �2 +�dhidt �2#dt (3.3)sajátid® telik el. Mivel általában ��1 6= ��2, a találkozás pillanatában és azután az órák nem ugyanazt az id®tfogják mutatni (óraparadoxon vagy ikerparadoxon).Ha spe iálisan az 1. óra végig nyugszik K-ban, akkor��1 = tb � ta ��2 < (tb � ta) = ��1;tehát azon az órán telik el a hosszabb id®, amelyik nem gyorsult.Ez a gondolatmenet jól szemlélteti a sajátid® és a koordinátaid® viszonyát. A sajátid®k azok, amiket meglehet mérni, de a mérés várható eredményét sak a koordinátaid® (és a helykoordináták) igénybevételével lehetkiszámítani.Az általános relativitáselméletben a (3.2) összefüggést majd lényegesen általánosítani kell, mert az ideálisórák járásának a ritmusát a gravitá ió is jelent®sen befolyásolja. Az óraparadoxon létezését a Global PositioningSystem m¶ködésében �gyelembe kell venni.A relativisztikus id®felfogás fontos eleme, hogy két különböz® helyen történ® esemény egyidej¶ségének nin s�zikai értelme. Ha koordinátaid®beli egyidej¶ségre (�t = 0) gondolunk, ez már egyedül abból is következik,hogy a koordinátaid® a koordinátarendszer eleme, és a koordináták általában nem �gyelhet®k meg. Másmegfogalmazásban: Ha K-ban �t = 0, akkor �x 6= 0 következtében minden egyéb K'-ben �t0 6= 0. Mivel K ésK' tökéletesen ekvivalens, mindkét állítás egyformán korrekt.Az egyidej¶ség kritériuma a sajátid® segítségével sem fogalmazható meg. Azt gondolhatnánk, hogy az el®bbtárgyalt esetben a mozgó órákon azok az eseménypárok, amelyekben a két óra ugyanazt az id®pontot mutatja,egyidej¶ek egymással. De ez nem elfogadható értelmezés, mert akkor az az esemény, amikor találkoznakegymással, nem lenne önmagával egyidej¶. Márpedig az egyidej¶ség fogalmába beletartozik, hogy mindenesemény egyidej¶ önmagával.4. A súlyos és a tehetetlen tömegAz m~a = ~F egyenlet baloldalán álló tömeg és az ~FG = �m~r� gravitá iós er®ben szerepl® tömeg �zikaidimenziója ugyanaz (kg), �zikai jelentése azonban teljesen különböz®.A gyorsulást szorzó tömeg azt mutatja meg, mennyire áll ellent egy adott test a különféle típusú er®k (agravitá iót is beleértve) gyorsító hatásának (tehetetlen tömeg, a továbbiakban ezt fogjuk m-el jelölni).A gravitá iós er®ben szerepl® tömeg azt fejezi ki, milyen mértékben veti alá magát egy adott test a gravitá- iós er® gyorsító hatásának (súlyos tömeg, alább m�-gal jelöljük).

4 A SÚLYOS ÉS A TEHETETLEN TÖMEG 9A tapasztalat szerint az m�=m arány független a testek anyagi min®ségét®l (és 1-el egyenl®, ha mindkéttömeget kg-ban mérjük). A kísérletek ezt nagy pontossággal igazolják (Eötvös Loránd torziós-inga kísérlete ésmodern változatai), de sak az általános relativitáselmélet ad rá magyarázatot.Miben nyilvánulna meg, ha a súlyos és a tehetetlen tömeg nem lenne egyenl®?1) A földfelszínen a szabadesés egyenletét m�z = �m�galakban kellene használnunk, ezért az a = m�m ggravitá iós gyorsulás nem lenne minden objektumra ugyanakkora (� 9:81m=s2)2) A matematikai inga körfrekven iáját az! =rm�m glképlet írná le, ezért a periódusid® függne attól, milyen anyagi min®ség¶ testet akasztunk az adott hosszúságúinga végére (Eötvös el®tt ezt a módszert használták az m�=m arány mérésére).3) Sérülhetne Kepler harmadik törvénye. Az R-sugarú körpályán kering® bolygó keringési frekven iájáta gravitá iós és a entripetális er® egyenl®ségéb®l határozhatjuk meg. Ha a súlyos és a tehetetlen tömegkülönbözhet egymástól, ezt az egyenl®séget azmR!2 = Gm�M�R2képlet fejezi ki (M� a Nap súlyos tömege), amelyb®l! =rm�m GM�R3 : (4.1)Ezt a képletet R3T 2 = m�m M�G4�2alakban is írhatjuk, amelyb®l látszik, hogy ha m�=m függ a bolygó összetételét®l, akkor az R3=T 2 arány lehetminden bolygóra különböz®.4) A szabadon kering® ¶rhajóban nem lenne súlytalanság. Spe iálisan körpályán kering® ¶rhajó keringésifrekven iáját (4.1) határozza meg, amelyben m és m� az ¶rhajó tehetetlen és súlyos tömege. Helyezzünk el egy(kis) m0 tehetetlen tömeg¶ próbatestet az ¶rhajó középpontjában a "leveg®ben". Ez sak akkor fog lebegvehelyben maradni (vagyis sak akkor tapasztalunk súlytalanságot), ha a saját!0 =rm0�m0 GM�R3keringési frekven iája megegyezik az ¶rhajóéval. Ennek feltételem0�m0 = m�m ; (4.2)ami azt fejezi ki, hogy a súlyos és a tehetetlen tömeg aránya legyen minden testre ugyanakkora. (Megjegyezzük,hogy pl. a Nap körül szabadon kering® ¶rhajóban ugyanúgy hat árapályer®, ahogy a Földön is, de ez saknagyméret¶ ¶rhajóban vezet a súlytalanság észrevehet® sérüléséhez.)Mind a négy példa azon a tényen alapul, hogy a � gravitá iós poten iálban mozgó testm�~r = �m�r� (4.3)mozgásegyenletéb®l m�=m = 1 esetén a mozgó test tömege kiesik.

5 A GRAVITÁCIÓ GEOMETRIZÁLÁSA 105. A gravitá ió geometrizálásaA kísérletekb®l nem derül ki, hogy az m� = m egyenl®ség pontosan vagy sak nagy pontossággal közelít®enigaz. Einstein abból a feltételezésb®l indult ki, hogy az egyenl®ség egzakt, ezért a gravitá iós mozgás (4.3)egyenletéb®l a tömeg mindig kiesik: �~r + ~r� = 0: (5.1)Amikor a tömegvonzáson kívül valamilyen más ~F er® is hat, akkor a mozgásegyenletm(�~r + ~r�) = ~F (5.2)alakú és a tömeg nem esik ki bel®le.Az (5.1)-gyel kap solatban Einstein arra �gyelt fel, hogy még egy olyan esetet ismerünk, amikor a mozgó testtömege kiesik az egyenletb®l: A szabad mozgás �~r = 0 egyenletét. Ebben a mozgó testnek egyetlen paraméteresem fordul el®, ezért a megoldása egy tisztán geometriai objektum, az egyenes (a térben és a térid®ben egyaránt).A mozgó tömeg paramétere (5.1)-ben sem fordul el®, ezért ennek az egyenletnek a megoldásai is lehetnektisztán geometriai objektumok: Einstein feltételezése szerint egy olyan térid® "egyenesei", amely görbült.A görbült sokaságok egyeneseit geodetikusnak hívják. Két adott pontot összeköt® vonalak közül az a geo-detikus, amely a legrövidebb. A gömb felületén pl. a geodetikusok a f®körök. Azt a hipotézist, amely szerinta tisztán gravitá iós mozgás a görbült térid® geodetikusain történik, geodetikus hipotézisnek hívjuk.Ezt a mozgást is tekinthetjük gyorsulásmentesnek, ha gyorsuláson, amelyet ebben az esetben ~A-val fogunkjelölni, az (5.1) baloldalát értjük: ~A = �~r + ~r�: (5.3)A gondolatmenetnek ebben a stádiumában ez a felfogás mesterkéltnek t¶nhet, de látni fogjuk, hogy a matema-tikailag részletesen kidolgozott elmélet szerint tényleg majdnem pontosan ezt a mennyiséget kell gyorsulásnaktekinteni.Az (5.1)-t tehát írhatjuk a tömörebb ~A = 0 alakban is, az (5.2)-t pedig, amely a tömegvonzáson kívül máser®t is �gyelembe vesz m~A = ~F (5.4)alakban. Az egyenleteknek ez a formája plasztikusan fejezi ki az alapgondolatot: A tömegvonzás nem valami-lyen er® hatásának, hanem a térid® görbültségének a következménye.Az általános relativitáselmélet ennek az új fogalmi keretnek a részletesen kidolgozott formája, amely akövetkez® két f® elemet tartalmazza:1) A matematikából átveszi azokat az eljárásokat, amelyek segítségével a térid® görbültségét jellemz® adatokfelhasználásával felírhatjuk az ~A gyorsulás képletét (a sebességvektor id®deriváltjának az általánosított alakját)és az ~A = 0 egyenletb®l (geodetikus egyenlet) meghatározhatjuk magukat a geodetikusokat. Kiderül, hogy (5.1)nagyon jó közelítése a pontos képletnek.2) Felállítja azt az egyenletet (Einstein-egyenlet), amely meghatározza a térid® görbületét a nagy tömegekkörül és megadja ennek az egyenletnek a Nap körül érvényes pontos megoldását (S hwarzs hild-megoldás).* * *Az általános relativitáselmélet természetesen nem sak a bolygómozgást, hanem a szabadesést is az új fo-galmak alapján tárgyalja. Szabadesésnél az (5.3) szerint Az = �z + g és ekkor Az = 0: A szabadon es®test gyorsulása a Föld tömege által begörbített térid®höz képest nulla (a pálya geodetikus). A földfelszínhezviszonyított gyorsulás azonban különbözik nullától: �z = �g.Amikor a test a talajon nyugszik, a földfelszínhez viszonyított gyorsulása nulla (�z = 0), ezért a térid®hözviszonyított gyorsulása Az = +g. Ezt a gyorsulást a talaj által (vagy az izmaink által, ha mi tartjuk a testet)a testre ható er® okozza, amely de�ní ió szerint az ~F (S) súlyer® negatívja: Fz = �F (S)z . Az (5.4) ekkor teháta jól ismert F (S)z = �mg összefüggésre vezet. * * *A gravitá ió geometriai felfogása új megvilágításba helyezi az iner iarendszerek státusát a �zikában.Az iner iarendszer olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben érvényes a tehetetlenség törvénye: Amikornem hatnak valódi er®k, a testek megtartják egyenletes egyenesvonalú mozgásukat vagy a nyugalom állapotát.Ez annyit jelent, hogy ha a Newton-egyenleteket iner iarendszerhez rögzített koordinátarendszerben írjuk fel,

6 A NEMMETRIKUS SOKASÁG. TENZOROK 11akkor a jobboldalon sak a valódi er®ket kell �gyelembe venni. És megfordítva: Ha a jobboldalra sak avalódi er®ket írjuk be, ezzel automatikusan feltételezzük, hogy a koordinátarendszerünk iner iarendszerhez vanrögzítve.Newton gravitá ió elméletében a Kepler-törvényeket az�~r = �GMr3 ~regyenletb®l vezetjük le. Mivel a newtoni felfogás szerint a gravitá ió valódi er® (azonosítható a forrása), atárgyalás sak iner iarendszerben érvényes. Ebben az elméletben tehát hallgatólagosan feltételezzük, hogyértelmes dolog legalább Naprendszer méret¶ ("globális") iner iarendszereket feltételezni, ami egyáltalán nemtermészetes feltevés, ha �gyelembe vesszük, hogy iner iarendszeren (vonatkoztatási rendszeren általában) aztaz objektumot értjük, amelyben a mozgást meg�gyeljük. Az általános relativitáselmélet tárgyalásmódja ebb®la szempontból sokkal realisztikusabb, mert � mint látni fogjuk, � ebben az elméletben a bolygómozgástárgyalásához elég lesz koordinátarendszert választani, vonatkoztatási rendszer kijelölésének a kérdése fel semmerül.Kisméret¶ ("lokális") iner iarendszerek azonban az általános relativitáselmélet szerint is léteznek. Ilyen pl.a kikap solt hajtóm¶vel forgásmentesen kering® ¶rhajó. Mivel az általános relativitáselméletben az m� = megyenl®ség pontosan teljesül, az el®z® fejezet gondolatmenete alapján az ilyen ¶rhajóban súlytalanság van.Láttuk, hogy a newtoni elmélet szerint a súlytalanságnak az az oka, hogy a gravitá iós er® és a entripetális er®egyenl®ségét kifejez® egyenletb®l a tömeg kiesik. Az általános relativitáselmélet szerint azonban a gravitá iónem er®, ezért logikusabb az a felfogás, hogy a szabadon forgásmentesen gravitáló ¶rhajókban azért maradnaka tárgyak a "leveg®ben", ha odatesszük ®ket, mert az ¶rhajó iner iarendszer (ekvivalen ia elv3). Ez a felfogásnin s ellentétben azzal, amit az iner iarendszerekr®l eddig is tudtunk. Egy ilyen ¶rhajó ugyanis a geodetikushipotézis szerint geodetikuson mozog, a gyorsulása ezért nulla ( ~A = 0), és eddig is úgy tudtuk, hogy azok avonatkoztatási rendszerek iner iarendszerek, amelyek nem gyorsulnak.Einstein arra az álláspontra helyezkedett, hogy az általános relativitáselmélet lokális iner iarendszerei pon-tosan abban az értelemben iner iarendszerek, ahogy azt a spe iális relativitáselméletben értjük: Minden �zikaijelenség szempontjából egyenérték¶ek egymással. Úgy is mondhatjuk, hogy tulajdonképpen ezek az iner ia-rendszerek azok, amelyekr®l a spe iális relativitáselmélet szól. Így pl. a relativitáselmélet alapposztulátumánaka szabadon forgásmentesen gravitáló ¶rhajókban kell pontosan teljesülnie: Akármilyen pályán mozogjon is egyilyen ¶rhajó, ha bármelyik standard fénysebesség mérést elvégeznénk benne azt tapasztalnánk, hogy a fényse-besség minden irányban pontosan . A relativitáselmélet ennél többet nem is állít általában a fénysebességr®l:A fényterjedést éppen úgy külön kell kiszámítani minden konkrét esetben, mint a tömegpontok mozgását.Az ekvivalen ia-elv egyik váratlan következménye, hogy a fénynek el kell hajolnia a gravitá ió hatása alatt.Ha az ekvivalen ia-elv igaz, akkor egy szabadon es® lift (Einstein lift) lokális iner iarendszer, amelyben a fényegyenes vonalban terjed. Tekintsünk egy olyan fénysugarat, amely a liftben vízszintesen (az esésre mer®legesirányban) terjed. Annak következtében, hogy a lift a földfelszínhez képest gyorsul, a földön nyugvó meg-�gyel®höz viszonyítva a fénysugár elhajol lefelé. Ez az elhajlás a lift g gyorsulásának a következménye, ezértugyanaz okozza, ami a gyorsulást: a Föld gravitá iós hatása4.A lokális iner iarendszerekben, amelyek prototípusa a tehetetlenségi mozgást végz® ¶rhajó, érvényben ma-rad az el®z® fejezetnek az a megállapítása, hogy a méretek növelésével egyre észrevehet®bbé válik az árapályer®hatása. Egy elegend®en nagyméret¶ ¶rhajóban a tömegközépponttól távol a tárgyak már nem maradnak egy-helyben lebegve, mert az árapályer® elmozdítja ®ket az ¶rhajó falaihoz képest. Az általános relativitáselméletképletei alapján ki lehet számítani, hogy egy adott méret¶ ¶rhajó milyen pontossággal tekinthet® iner iarend-szernek.6. A nemmetrikus sokaság. TenzorokA 3D euklidészi tér metrikus sokaság, mert bármely két pontja között jól meghatározott távolság van. Láttuk,hogy a spe iális relativitáselmélet szerint a pontszer¶ és pillanatszer¶ események 4D sokasága szintén metrikus,3Ez az elnevezés, amely az általános relativitáselmélet kidolgozásának nagyon korai szakaszában keletkezett, a súlyer® és atehetetlenségi er® "ekvivalen iájára" utal abból kiindulva, hogy mindkett® az m~A tagból származik.4Ezt a következtetést Einstein már 1907-ben, az általános relativitáselmélettel foglalkozó legels® ikkében levonta, de sak nyol évvel kés®bb, az elmélet teljes kidolgozása után tudta kiszámítani a Nap mellett elhaladó fénysugár elhajlási szögét. A fényelhajlásta meg�gyelések ma már százalékos pontossággal igazolják.

6 A NEMMETRIKUS SOKASÁG. TENZOROK 12mert bármely két eseményhez jól meghatározott négyestávolság négyzet tartozik. Adott mennyiség¶ egykom-ponens¶ gáz egyensúlyi állapotait a gáz két adata egyértelm¶en meghatározza, ezért ezek az állapotok 2Dsokaságot alkotnak, amely azonban nem metrikus: Két egyensúlyi állapot közötti "távolságnak" nin s �zikaiértelme.Az általános relativitáselmélet térideje is metrikus, mert a spe iális relativitáselmélet téridejének görbültváltozata. Célszer¶ azonban a görbült metrikus sokaságok matematikai elméletének ismertetését a nemmetrikussokaságok5 tárgyalásával kezdeni. Második lépésként vizsgáljuk majd meg, milyen új tulajdonságokra tesz szerta sokaság, ha "metrikus struktúra is van rajta".Az n-dimenziós sokaság pontjai köl sönösen egyértelm¶en megfeleltethet®k szám n-eseknek. Végtelen sokilyen megfeleltetés lehetséges, mindegyik felfogható egy-egy koordinátarendszerként a sokaságon.A sokaságon lehetnek görbék6, amelyeket minden koordinátarendszerben parametrikus formában a leg él-szer¶bb megadni: xi = xi(�) (i = 1; : : : ; n): (6.1)A baloldalon az xi koordináta, a jobboldalon xi(�) a � paraméter valamilyen függvénye. Ha a � = �(�)monoton függvény segítségével �-ról új � paraméterre térünk át, azxi = xi��(�)� � xi(�)görbe ugyanazokból a pontokból fog állni, mint a (6.1) görbe, matematikai szempontból mégis � mint mindjártlátni fogjuk � élszer¶ a két görbét különböz®nek tekinteni egymástól.Új koordinátarendszerre az xi0 = xi0(x1; x2; : : : ; xn) (i0 = 1; 2; : : : n) (6.2)típusú képlettel térhetünk át, amelyben a baloldalon xi0 megint koordináta, a jobboldalon xi0 (x1; x2; : : : ; xn)n-változós függvény. Az új koordinátákban ugyanannak a (6.1) görbének az egyenletexi0 = xi0(�): (6.3)A jobboldal az xi0�x1(�): : : : ; xn(�)� (6.4)összetett függvény rövidített jelölése.Ebben a néhány sorban az xi kett®, az xi0 három különböz® funk ióban lép fel, de ha az argumentumokatmindig részletesen kiírjuk, ez nem z¶rzavart, hanem kifejezett el®nyt jelent. Amikor az argumentumok kiírásanélkül is világos, melyik jelentésr®l van szó, az argumentumokat a rövidség kedvéért élszer¶ elhagyni.Tekintsük a (6.1) görbe két közeli, � és �+ d� paraméter¶ pontját, amelyekre dxi = xi(�+ d�)� xi(�). Agörbe � paraméter¶ pontjában az érint®vektor V i(�) komponenseit adx1V 1 = dx2V 2 = � � � = dxnV negyenl®ségek de�niálják. A törtek közös értéke nyilván arányos d�-val. Ha � legegyszer¶bb választásként �egyenl®nek vesszük ®ket d�-val, akkor az érint®vektorra aV i(�) = dxid� �� dxi(�)d� � (i = 1; : : : ; n) (6.5)képletet kapjuk. Hogyan változnak meg ezek a komponensek, amikor új paraméterre, vagy új koordinátarend-szerre térünk át?Mivel dd� = d�d� � dd� , a � paraméterre történ® áttérésnél a (6.5) komponensek d�d� -vel szorzódnak7. Azérint®vektor iránya tehát nem változik meg, mert az összes komponens ugyanazzal a számmal szorzódik, de5Az elfogadott név a "di�eren iálható sokaság", de ennek az elnevezésnek a megmagyarázásához olyan részletekre kellenekitérnünk, amelyekre a továbbiakban nem lesz szükségünk, ezért megmaradunk a ímbeli elnevezésnél.6A "görbe" terminus ebben az összefüggésben egyszer¶en "vonalat" jelent, mert mint látni fogjuk, az "egyenesség" és a "gör-beség" metrikus sajátosság.7Amikor pl. � = 2�, akkor minden komponens a kétszeresére n®, ami azt fejezi ki, hogy a � egységnyi megnövelésekorkétszerannyit mozdulunk el®re a görbén, mint a � egységnyi megnövelésekor. Azt azonban nem mondhatjuk, hogy a vektor hosszan®tt kétszeresére, mert a vektorok hossza (normája) metrikus sajátosság.

6 A NEMMETRIKUS SOKASÁG. TENZOROK 13az érint®vektor mégsem marad ugyanaz. Ezért élszer¶ a különböz® módon parametrált görbéket különböz®görbéknek tekinteni.Ha a (6.2) segítségével vessz®s koordinátákra térünk át, akkor az érint®vektor (6.5) komponensei aV i0 = dxi0d� = �xi0�xj � dxid� = �xi0�xj V j (6.6)szabály szerint változnak meg. Itt és a továbbiakban a kétszer el®forduló j-re összegzés értend®. A képletbenaz argumentumokat nem tüntettük fel, de a geometriai jelentés alapján könnyen rekonstruálhatók. A bal-és a jobboldal egyaránt �-függvény, a �xi0�xj -ben xi0 -n a (6.2) függvényt kell érteni (másképpen nem lehetne aderiválást elvégezni) és a deriválás elvégzése után az xj-ket xj(�)-val kell helyettesíteni.Kontravariáns vektornak az olyan U i szám n-est nevezzük, amely K �! K0 koordinátatranszformá iónálúgy transzformálódik, mint az érint®vektor: U i0 = �xi0�xj U j : (6.7)Mivel az U i0 -ket a a vessz®s koordinátákon keresztül kell kifejezni, a jobboldalon a vessz®tlen koordinátákbanismert U j-kben és a par iális deriváltban a vessz®tlen koordinátákat (6.2) inverze segítségével ki kell fejezni avessz®sökön keresztül. A �xi0�xj kétindexes n-változós függvények a transzformá iós koe� iensek. A koordinátákmaguk nem vektorkomponensek (mert xi0 6= �xi0�xj � xj), a koordinátadi�eren iálok azonban azok:dxi0 = �xi0�xj dxj : (6.8)Milyen bázisra vonatkoznak egy kontravariáns vektor komponensei? Az nyilvánvaló, hogy maguknak abázisvektoroknak a komponensei a következ®k: (1; 0; 0; : : :0), (0; 1; 0; : : :0).... (0; 0; 0; : : :1), vagyis az i-ikbázisvektor j-ik komponense ej(i) = Æji ; (6.9)ahol Æji a Krone ker-szimbólum. A kérdés azonban az, hogy ezek milyen görbéknek az érint®vektorai.A válasz az, hogy az i-ik bázisvektor az i-ik koordinátavonal érint®vektora, ha a koordinátavonalat magávalaz i-ik koordinátával parametráljuk (� = xi). Ennél a parametrálásnál ugyanis az i-ik koordinátavonal egyenletexj(�) = (� ha j = i j if j 6= i;ahol j az i-edikt®l különböz® koordináták konstans értéke a kiválasztott xi koordinátavonalon. Ha (6.5) szerintkiszámítjuk ennek a görbének az érint®vektorát, valóban (6.9)-t kapjuk.A sokaság minden pontjában a koordinátavonalak így de�niált érint®vektorai képezik a lokális koordinátabá-zist. Ez a bázis feszíti ki a ponthoz tartozó érint®teret. Ebben a pontban minden vektor ennek a lineáris térnekaz eleme.Az olyan egykomponens¶ mennyiségeket, amelyeknek az értéke független a koordinátarendszer megválasz-tásától, skalároknak nevezzük. Ha egy skalár eloszlását K-ban az f(x1; : : : xn) függvény írja le, akkor a K'-hözviszonyított eloszlását az f 0(x0) = f(x) (6.10)egyenlet határozza meg, amelyben a jobboldalon a vessz®tlen változókat ugyan sak ki kell fejezni a vessz®sökönkeresztül a (6.2) inverze segítségével (erre a helyettesítésre a további hasonló esetekben már nem fogjuk különfelhívni a �gyelmet).Egy skalárfüggvény �f�xi � �if par iális deriváltja új koordinátákra történ® áttérésnél így transzformálódik:�f 0(x0)�xi0 = �xj�xi0 �f(x)�xj :

6 A NEMMETRIKUS SOKASÁG. TENZOROK 14Azokat az Ui n-komponens¶ mennyiségeket, amelyek ennek a szabálynak megfelel®en transzformálódnak,kovariáns vektoroknak nevezzük: Ui0 = �xj�xi0 Uj : (6.11)A tenzorok fels® (kontravariáns) és alsó (kovariáns) indexeket tartalmazó sokkomponens¶ mennyiségek,amelyek úgy transzformálódnak, mint a megfelel® típusú vektorok direkt szorzatai. Pl.T i0j0: : k0 = �xi0�xl �xj0�xm �xp�xk0 T lm: : p: (6.12)A vektorok els®rend¶, a skalárok nulladrend¶ tenzorok.Kontrak iónak egy kontravariáns és egy kovariáns index egybeejtését értjük az egybeejtett indexekre történ®összegzéssel együtt. Pl T ij: : k-nak a 2. és a 3. indexre történ® kontrak iójaPnj=1 T ij: : j � T ij: : j-vel egyenl®.A kontrak ió m¶velete a kontrahált indexpárt skalárrá teszi, ezért pl. T ij: : j kontravariáns vektor. A (6.12)alapján ugyanis T i0j0: : j0 = �xi0�xl �xj0�xm �xp�xj0 T lm: : p = �xi0�xl T lm: : m;mert az összetett függvények deriválási szabálya következtében�xj0�xm �xp�xj0 = Æpm: (6.13)Egy V i kontravariáns és egy Ui kovariáns vektorból kontrak ióval a V iUi skalár képezhet®.Egy tenzor egy kiválasztott kovariáns vagy kontravariáns indexpárban akkor szimmetrikus (antiszimmetri-kus), ha a két index fel serélésekor változatlan marad (el®jelet vált). A tenzor akkor teljesen szimmetrikus(antiszimmetrikus), ha az összes index azonos típusú és a szimmetria (antiszimmetria) minden indexpárra tel-jesül. Ha a szimmetria (antiszimmetria) egy koordinátarendszerben igaz, akkor minden koordinátarendszerbenigaz: Az (anti)szimmetria koordinátafüggetlen tulajdonság, vagyis arra a �zikai mennyiségre jellemz®, amelyeta tenzor reprezentál.Minden kétindexes kovariáns és kontravariáns tenzor felbontható egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikustenzor összegére. Kovariáns tenzorra pl.Tij = T(ij) + T[ij℄; T(ij) = 12(Tij + Tji); T[ij℄ = 12(Tij � Tji): (6.14)Egy tenzor komponenseit sak egy koordinátarendszerben lehet önkényesen megadni, az összes többiben atenzor transzformá iós szabálya alapján kell ebb®l kiszámítani. Csak nagyon kivételes esetekben fordulhat el®,hogy a tenzor komponensei minden koordinátarendszerben ugyanazok maradnak, mint amiket megadtunk. Azilyen tulajdonságú tenzorokat invariáns tenzoroknak hívjuk.Nemmetrikus sokaságon az egyetlen invariáns tenzor az I ij egységtenzor, amelynek komponensei mindenkoordinátarendszerben a Krone ker-szimbólummal egyenl®k:I ij = Æij = (1 ha i = j0 ha i 6= j: (6.15)Ez így látható be: Ha K-ban Ikl = Ækl , akkor K'-benI i0j0 = �xi0�xk �xl�xj0 Ækl = �xi0�xk �xk�xj0 = �xi0�xj0 = Æi0j0valóban. * * *Miért olyan fontos mennyiségek a tenzorok? Azért, mert a tulajdonságaik alkalmassá teszik ®ket �zikaiobjektumok reprezentálására. A következ® két tulajdonságról van szó:

7 A NEMMETRIKUS SOKASÁG. A LIE-DERIVÁLT 151) Ha egy tenzor valamelyik koordinátarendszerben különbözik nullától (ezen azt értjük, hogy legalább azegyik komponense nem nulla), akkor egyik koordinátarendszerben sem nulla. Vagy megfordítva: Ha az egyik ko-ordinátarendszerben nulla, akkor mindegyikben az (a transzformá iós törvény homogén). A �zikai objektumokfüggetlenek attól, hogy milyen koordinátarendszert gondolunk el, ezért sak olyan matematikai mennyiségekkelreprezentálhatók, amelyeket nem lehet koordinátaválasztással lenullázni vagy nullából létrehozni.2) Egy �zikai objektum komponenseit egy adott koordinátarendszerben a koordinátarendszer és az objektumrelatív helyzete határozza meg. Ebb®l következik, hogy ha a K koordinátarendszerr®l egy másik K' koordi-nátarendszerre térünk át, akkor a K'-beli komponensek nem függhetnek attól, hogy egy vagy több lépésbentörtént-e az átmenet (kompozí iós tulajdonság ).A tenzorok transzformá iós szabálya rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Egy kontravariáns vektornál pl.V i0 = 8>>><>>>:�xi0�xj V j (ha K �! K0),�xi0�xk00 �xk00�xj V j (ha K �! K00 �! K0)Azért kapjuk mindkét esetben ugyanazokat a V i0 komponenseket, mert az összetett függvények deriválásiszabálya alapján a (6.13)-nál általánosabb �xi0�xk00 �xk00�xj = �xi0�xj (6.16)relá ió is igaz.A kompozí iós tulajdonság jelentését röviden így foglalhatjuk össze: A tenzorkomponensek értéke éppenazért változik meg, amikor egyik koordinátarendszerr®l egy másikra térünk át, mert az objektumok, amiketreprezentálnak, eközben semmit sem változnak.A tenzorok egy további fontos tulajdonságát példán illusztráljuk:Tegyük fel, hogy az U i = X ij: : klB: kj V l relá ióról tudjuk, hogy minden koordinátarendszerben igaz, és azU i; B: kj ; V l mennyiségek az indexeik helyzetének megfelel® tenzorok. Akkor X ij: : kl is az indexei helyzeténekmegfelel® tenzor.7. A nemmetrikus sokaság. A Lie-deriváltSkalármez®b®l par iális deriválással kovariáns vektormez®t kapunk. A nullánál magasabb rend¶ tenzormez®kpar iális deriválása azonban nem eredményez tenzormez®t. Pl.�V i0�xj0 = �xk�xj0 ��xk �xi0�xl V l! = �xk�xj0 �xi0�xl �V l�xk + �xk�xj0 �2xi0�xk�xl V l: (7.1)A jobboldal 1. tagja alapján a �V i�xj lehetne T ij típusú tenzormez®, a 2. tag miatt azonban nem az (a 2. tag sak akkor nulla, ha a K �! K0 koordinátatranszformá ió lineáris). Miért van az, hogy a V i par iális deriváltjanem tenzor?A par iális deriváltat a dV i(x) � V i(x+ dx) � V i(x) def= �V i�xj dxj (7.2)relá ió de�niálja. Ha a par iális derivált T ij típusú tenzor volna, akkor a dV i = T ijdxj következtében dV i-nekkontravariáns vektornak kellene lennie. De nem az, mert a V i(x + dx) és a V i(x) vektorkomponensek kétkülönböz® bázisra vonatkoznak: Az egyik az (x + dx)-belire, a másik az x-belire. Vektorjelleg¶ di�eren iáltakkor kapunk, ha a V i(x+ dx)-b®l a V i(x)-nek az (x+ dx) pontba alkalmasan transzportált alakját vonjuk le.Tegyük fel, hogy a V i(x) mez®n kívül adva van még egy W i(x) kontravariáns vektormez® is. Legjobb, haezt egy "fuvallatnak" (hirtelen széllökésnek) képzeljük el, amely a sokaság minden pontját egy másik közelipontba mozdítja el8 az xi �! ~x � xi + dxi = xi +W i(x)d"; (7.3)8Ez nem koordinátatranszformá ió, hanem ponttranszformá ió, amely az adott koordinátarendszerben helyezi át a pontokat.

7 A NEMMETRIKUS SOKASÁG. A LIE-DERIVÁLT 16képlet szerint (Lie-transzport), ahol d" in�nitezimálisan kis konstans. A fuvallat a görbéket is magával sodorja,az xi = xi(�) görbe � paraméter¶ pontját (7.3) szerint azxi = xi(�) +W i[x(�)℄d"koordinátájú pontba transzportálja. Ez az elsodort görbe parametrikus egyenlete. A � paraméter¶ pontbanaz érint®vektor eredetileg V i(�) = dxi(�)d� volt, a "fuvallat" ezt a~V i(�) = dxi(�)d� + �W i�xj dxj(�)d� d" = V i(�) + �W i�xj V j(�)d"érint®vektorba viszi át. Az érint®vektor azonban a kontravariáns vektor prototípusa, ezért megállapíthatjuk,hogy a W i(x) "fuvallat" egy tetsz®leges V i(x) vektormez®t a~V i(x) = V i(x) + �W i(x)�xj V j(x)d" (7.4)vektormez®vé változtatja át. As jelzi, hogy ~V i(x) az elsodort vektormez® ~xi = xi+dxi = xi+W i(x)d" pontbeliértéke, az x argumentum pedig azt mutatja meg, hogy melyik pontból került ide ez a vektormennyiség.Mivel V i(x + dx) és ~V (x) egyformán az (x+ dx) pontban van, ezért aDV i(x) � V i(x+ dx)� ~V i(x) (7.5)Lie-di�eren iál kontravariáns vektor. Az elmozdulásban lineáris pontossággalV i(x+ dx) = V i(x) + �V i(x)�xj dxj = V i(x) + �V i(x)�xj W j(x)d":Ha ezt és (7.4)-t (7.5)-be írjuk, a Lie-di�eren iálra aDV i = �W j �V i�xj � V j �W i�xj � d" (7.6)képletre jutunk.A V i kontravariáns vektormez® W -szerinti LWV i Lie-deriváltját a (7.2) mintájára a DV i def= LWV i � d"képlettel de�niáljuk. A (7.6) szerint innenLWV i =W j �V i�xj � V j �W i�xj : (7.7)A (7.7) Lie-derivált két okból különbözik zérustól: A V i(x) komponensek helyfüggése miatt (1. tag) ésa komponensek egymás közötti lineárkombinálódása miatt (2. tag). A skalármez®knek sak egy komponensevan, ezért a W "fuvallat" egyszer¶en áthelyezi az x-beli értéküket az ~x = x + dx pontba: ~f(x) = f(x). A sjelzi, hogy ~f(x) az elsodort skalármez® ~x = x+ dx pontbeli értéke, az x argumentum pedig azt mutatja meg,hogy melyik pontból került ide ez a skalármennyiség. Így lineáris pontossággalDf(x) � f(x+ dx)� ~f(x) = �f�xi dxi (7:3)= W i �f�xi d" def= LW f � ":Az f skalármez® Lie-deriváltja tehát az LW f =W i �f�xi (7.8)mez®, amelyr®l nyilvánvaló, hogy skalár, mert aW i kontravariáns és a �f�xi kovariáns vektormez® kontrak iója.Két kontravariáns vektormez® szorzatának Lie-deriváltjára érvényes a Leibniz-szabály, azazLW (U iV j) = �LWU i�V j + U i�LWV j�: (7.9)

7 A NEMMETRIKUS SOKASÁG. A LIE-DERIVÁLT 17Ez abból következik, hogy a szabály már a Lie-di�eren iálra igaz:D(U iV j) = (DU i)V j + U i(DV j): (7.10)Igazolás: A DU i és a DV j arányosak d"-nal, ezért d"-ban lineáris pontossággalD(U iV j) = U i(x + dx)V j(x + dx)� ~U i(x) ~V j(x) == ( ~U i +DU i) � ( ~V j +DV j)� ~U i(x) ~V j(x) = (DU i) ~V j + ~U i(DV j) = (DU i)V j + U i(DV j):Ez éppen a (7.10) relá ió.A Leibniz-szabály érvényességét két skalár, vagy egy skalár és egy vektor szorzatára pontosan ugyanígylehet igazolni. Nyilván feltehetjük, hogy bármilyen két tenzormez® szorzatára érvényes, és felhasználhatjuk azUi kovariáns vektormez® Lie-deriválási szabályának a megtalálására. A LW (V iUi) mennyiséget ugyanis kétmódon is kifejezhetjük. Egyrészt abból, hogy a kontrak ió skalár, a (7.8) alapján a W j �(V iUi)�xi -vel egyenl®.Másrészt a Leibniz-szabály felhasználásával az �LWV i�Ui+V i�LWUi� összegként is el®állíthatjuk. A két alakegyenlítéséb®l V i �LWUi ��W j �Ui�xj + Uj �W j�xi �� = 0;ahonnan V i önkényessége következtében kapjuk a kovariáns vektormez® Lie-deriválási szabályát:LWUi =W j �Ui�xj + Uj �W j�xi : (7.11)Most már könnyen fel lehet írni egy tetsz®leges tenzormez® Lie-deriváltját. Például a T ij: :k mez® Lie-deriváltjának a képlete azonos a V iU jZk szorzat-mez®ével, amit a Leibniz-szabály alapján állapíthatunk meg:LWT ij: :k =W l �T ij: :k�xl � T lj: :k �W i�xl � T il: :k �W j�xl + T ij: :l �W l�xk : (7.12)Gyakran el®fordul, hogy a koordinátarendszert meg tudjuk választani úgy, hogy a W i minden x-ben essenegybe a lokális koordinátabázis valamelyik (mondjuk m-ik) elemével: W i �= ei(m). A sillag az egyenl®ségjelenarra emlékeztet, hogy ez a relá ió kizárólag a választott K koordinátarendszerben érvényes. Ebben az esetbenei(m) = Æim következtében Le(m)T ij: :k �= �T ij: :k�xm : (7.13)* * *A élunk az volt, hogy a V i(x) par iális deriváltjának olyan változatát keressük meg, amely valamilyentenzor. A kontravariáns vektormez®k Lie-deriváltját pl. a DV i def= LWV i � d" képlettel de�niáltuk. A jobb-oldalon a d" skalár (szám), ezért LWV i bizonyosan kontravariáns vektormez® lesz, ha a Lie-di�eren iál az,aminek viszont az a feltétele, hogy a Lie-transzportált ~V i valóban vektor legyen az ~x koordinátájú pontban. Ezutóbbiban azonban nem lehetünk százszázalékig bizonyosak, ezért megnyugtató lesz, ha direktben igazoljuk,hogy LWV i valóban kontravariáns vektormez®.A (7.7) de�ní ióból ránézésre nem következik, hogy vektort határoz meg, mivel par iális deriváltak szere-pelnek benne, amelyek nem tenzoriális mennyiségek. A kontravariáns vektorLW 0V i0 = �xxi0�xm LWV mtranszformá iós törvénye azonban mégis teljesül, amint azt a következ® két sor mutatja:LW 0V i0 =W j0 �V i0�xj0 � (V !W ) = �xj0�xk W k �xl�xj0 ��xl �xi0�xmV m!� (V !W ) (6:16)=(6:16)= W l ��xl �xi0�xmV m!� (V !W ) = �xi0�xm �W l �V m�xl � (V !W )� = �xi0�xmLWV m:

8 A RIEMANN-GEOMETRIA 18A ~V i tehát tényleg kontravariáns vektormez® és ennek az az oka, hogy a Lie-di�eren iál de�ní iójában nin shivatkozás a koordinátarendszerre: Vond ki a vektormez® értékéb®l a kiválasztott pontban azt a vektort, amita "fuvallat" ebbe a pontba sodort. Akármilyen koordinátarendszert válasszunk is, a különbség komponensei sak attól fognak függeni, hogy milyen helyzet¶ a V vektormez® és a W "fuvallat" egymáshoz képest. Ezértkell a különbségnek új koordinátarendszerre történ® áttérésnél tenzormennyiségként transzformálódnia.A közönséges di�eren iált ezzel szemben nem lehet a koordinátarendszerre való hivatkozás nélkül megfogal-mazni: Vond ki a vektormez® értékéb®l a kiválasztott x+dx-koordinátájú pontban azt a vektormez®t, ami az xkoordinátájú pontban van. Ezt a különbséget a V vektormez® és az önkényesen választott koordinátarendszeregyüttesen határozza meg, ezért nem kötelez®, hogy tenzormennyiségként transzformálódjon.Az LW Lie-deriválás a di�eren iál-geometria egyik legfontosabb m¶velete. A geometriai jelentése: deriválása W i vektormez® mentén. V. I. Arnold A klasszikus me hanika matematikai módszerei . könyvében ezt írjaróla: "A Lie-deriváltat horgász-deriváltnak is hívják: A folyó a horgász el®tt elsodor mindenféle di�eren iál-geometriai objektumot, a horgász egyhelyben ül és di�eren iálja ®ket."* * *Noha a par iális deriválás általában nem tenzorképz® m¶velet, vannak a par iális deriváltaknak olyannevezetes kombiná iói, amelyek tenzorok.1) A Tij = �jUi � �iUj mennyiség kétszer kovariáns tenzor (a ��xi helyett a továbbiakban gyakran fogjukhasználni a �i jelölést is).Igazolás:Ti0j0 = �Ui0�xj0 � �Uj0�xi0 = �xk�xj0 �x�xk � �xl�xi0 Ul�� (i0 ! j0) == �xk�xj0 �xl�xi0 �Ul�xk + �xk�xj0 �2xl�xk�xi0 Ul � (i0 ! j0) = �xk�xj0 �xl�xi0 ��Ul�xk � �Uk�xj � = �xl�xi0 �xk�xj0 Tlk:Felhasználtuk, hogy az összetett függvény di�eren iálási szabálya alapján�xk�xj0 �2xl�xk�xi0 = �2xl�xj0�xi0 :2) Legyen Bij = �Bji antiszimmetrikus másodrend¶ kovariáns tenzor ésAijk = �iBjk + �jBki + �kBij � �iBjk + ikl:Az Aijk teljesen antiszimmetrikus, mert bármely két indexének fel serélésekor el®jelet vált (ezért ha két indexemegegyezik, akkor nulla). Belátjuk, hogy háromindexes kovariáns tenzor.Igazolás:Ai0j0l0 = �i0Bj0l0 + ikl: = �xl�xi0 ��xl ��xm�xj0 �xn�xk0 Bmn�+ ikl: = �xl�xi0 �xm�xj0 �xn�xk0 �lBmn++ �xl�xi0 ��xl ��xm�xj0 �xn�xk0 �Bmn + ikl: = �xl�xi0 �xm�xj0 �xn�xk0 Almn + � ��xi0 ��xm�xj0 �xn�xk0 �+ ikl:�Bmn:Ha a [ ℄ zárójelben a szorzatok deriválását elvégezzük, hattagú kifejezést kapunk, amely szimmetrikus azm$ nindex serével szemben. Mivel Bmn antiszimmetrikus, az egész kifejezés zérus, és Aijk valóban tenzorkénttranszformálódik.8. A Riemann-geometriaA metrikus sokaság abban különbözik a nemmetrikustól, hogy bármely két pontja között9 meghatározotttávolság van, amely a pontokat összeköt® legrövidebb vonal (a geodetikus) hosszával egyenl®. A távolságot a9Valójában ez így túl er®s állítás, de minden pontnak van olyan véges környezete, amelyre igaz.

8 A RIEMANN-GEOMETRIA 19gij metrikus tenzor(mez®) határozza meg, amelynek segítségével két egymáshoz in�nitezimálisan közeli (xi; xi+dxi) koordinátájú pont távolságnégyzetét adl2 = gijdxidxj (gij = gji) (8.1)kvadratikus forma határozza meg, amely a jól ismert dl2 = dx2 + dy2 + dz2 képlet általánosítása. A távol-ság a koordinátarendszert®l független tulajdonság, ezért dl2-nek invariánsnak kell lennie. Ebb®l következik,hogy � mivel dxi kontravariáns vektor, � gij-nek kovariáns tenzornak kell lennie, amelyr®l feltehetjük, hogyszimmetrikus.Természetes követelmény, hogy dl2 tetsz®leges dxi-k mellett pozitív legyen. Ha ez teljesül (a gij mátrixminden x-ben pozitív de�nit), akkor a sokaságot felfedez®jér®l Riemann-térnek (vagy Riemann-sokaságnak), asokaság bels® geometriáját pedig Riemann-geometriának hívjuk10.Az xi = xi(�) görbén a � = �1 és � = �2 paraméter¶ pontok által határolt szakasz ívhosszát azl = Z �2�1 dl = Z �2�1 qgijdxidxj = Z �2�1 d�rgij(x)dxid� dxjd� (8.2)képlet segítségével számíthatjuk ki.A metrika a metrikus sokaság bels® tulajdonsága. Ezen azt értjük, hogy a gij(x) tenzormez®t elvben tet-sz®leges pontossággal meg lehet határozni a sokaságon belül végzett mérések segítségével. Ennek az eljárásnakaz elvi sémáját a 2D "laposlények" világának a példáján lehet a legvilágosabban összefoglalni:1) A világ "bekoordinátázása" tetsz®leges koordinátákkal;2) Minél több objektum koordinátáinak minél pontosabb bemérése;3) Az objektumok közötti geodetikus kijelölése és hosszúságának megmérése;4) A gij(x) komponensek megválasztása úgy, hogy a távolságadatokat a (8.2) képlet a lehet® legpontosabbanreprodukálja.Ezzel az eljárással elvben tetsz®leges pontossággal meg lehet határozni a metrikus tenzort a világnak abbana tartományában, amelyre a mérések kiterjednek.A gyakorlatban ennyire részletes mérésekre sak ritkán van lehet®ség, viszont rendelkezésre állnak addi- ionális informá iók.A földi térképészet viszonylag pontosan követi a vázolt sémát, de az a körülmény, hogy háromdimenziósaklévén kitekintésünk van az égboltra, lehet®vé teszi a sillagászati informá iók igénybevételét. Azt például, hogya Föld egy gömb, a holdfogyatkozásoknál a Föld árnyékának az alakjából lehet kikövetkeztetni, a 2D gömbmetrikája pedig tisztán elméleti úton meghatározható (ld. a következ® fejezetet).A görbült térid® esetében a metrika els®dleges forrása elméleti (az Einstein-egyenlet megoldása), és a Nap-rendszer tartományában a bolygópályák és a fénysugarak azok a geodetikusok, amelyeknek a bemérésével azelmélet jóslata igazolható vagy áfolható. "Kitekintésre" éppúgy nin s lehet®ség, mint a "laposlények" esetében.Az euklidészi-tér a Riemann-tér spe iális esete. Euklidészi sokaságon található olyan koordinátarendszer(Des artes-koordináták), amelyben gij(x) = Æij , azazdl2 = �x1�2 + � � �+ �xn�2: (8.3)Spe iálisan két dimenzióban a síklap rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Görbült kétdimenziós felületen azonbannem vehet® fel olyan koordinátarendszer, amelyen gij(x) = Æij . Erre az észrevételre alapozzuk a "görbültség"fogalmát tetsz®leges dimenzióban: Egy n-dimenziós Riemann-tér akkor görbült, ha nem vehet® fel rajta olyankoordinátarendszer, amelyben (8.3) minden pontban igaz.A metrikus tenzor léte lehet®vé teszi, hogy minden V i kontravariáns vektorhoz kontrak ió segítségévelegyértelm¶en hozzárendeljünk egy kovariáns vektort, amit élszer¶ ugyanazzal a bet¶vel jelölni: Vi = gijV j . Ahozzárendelés valójában köl sönösen egyértelm¶, mert V i = gijVj . A gij mátrix minden koordinátarendszerbena gij inverze: gijgjk = Æjk: (8.4)Mivel Æik az egységtenzor komponense, a gij pedig kovariáns tenzor, (8.4) sak akkor lehet igaz minden koordi-nátarendszerben, ha gij minkét indexben kontravariáns szimmetrikus tenzor.10A relativitáselmélet téridejében a ds2 (a dl2 megfelel®je) inde�nit, ezért a térid® pszeudoriemann-sokaság. Látni fogjuk, hogya Riemann-geometria fogalmait és képleteit nagyon egyszer¶ lesz átvinni a térid®re.

9 PÉLDA: A 2D GÖMB 20Tekinthetjük úgy, hogyU i és Ui ugyanaz azU vektor kontravariáns és kovariáns komponensekkel megadva11.A �zikai jelentés szempontjából azonban nem mindegy, milyen típusú komponenssel dolgozunk: A �zikaijelentés meghatározott index-típushoz társul.Nemmetrikus sokaságon sak akkor lehet kontrak ióval két vektorból skalárt képezni, ha az egyik vektorkovariáns, a másik kontravariáns, ezért nem lehet skalárszorzatot de�niálni. Riemann-sokaságon két tetsz®legesU és a V vektor skalárszorzatán az U �V � (U �V) = gijU iV j (8.5)számot érjük. U és V akkor ortogonális egymásra, ha a skalárszorzatuk nulla.Egy vektor normája az önmagával képzett skalárszorzat négyzetgyöke: jUj = pU2. Az U és a V általbezárt szög koszinusza (U �V)=jUj � jVj-el egyenl®.A lokális koordinátabázis elemeinek egymás közötti skalárszorzata a metrikus tenzorral egyenl®:e(i) � e(j) = gkl ek(i) el(j) = gkl Æki Ælj = gij : (8.6)Tekintsük az xi(�) görbét és V i = dxid� érint®vektorát. A V hossznégyzeteV2 = gij dxid� dxjd� = dl2d�2 ; (8.7)amelyb®l látszik, hogy az érint®vektor akkor egységvektor, ha a görbe paramétere maga az ívhossz. Ha a �nem az ívhossz (és nem is arányos vele), akkor az érint®vektor hossza változik a görbe mentén.Legyen P a sokaság tetsz®leges pontja. Vegyük fel a KP koordinátarendszert úgy, hogy a koordinátákegyezzenek meg a koordinátavonalak ívhosszával (xi legyen egyenl® az i-k koordinátavonal (0; xi) szakaszánakel®jeles hosszával) mert ekkor e2(i)(P ) = 1 lesz, és a lokális koordinátabázis elemei P -ben legyenek ortogonálisakegymással. A lokális koordinátabázis ekkor ortonormált P -ben:gij(P ) = e(i)(P ) � e(j)(P ) = Æij : (8.8)A többi pontban a metrikus tenzor nem lesz (8.8) alakú (kivéve, ha a sokaság görbületlen).A KP -t vegyük fel úgy, hogy az origója legyen P -ben és fejtsük Taylor-sorba gij(x)-t az origo körül:gij(x) = Æij + �gij�xk ����P xk + 12 �2gij�xk�xl ����P xkxl + : : :Belátható, hogy KP mindig felvehet® úgy, hogy (8.8) mellett még a�gij�xk ����P = 0 (8i; j; k) (8.9)relá ió is teljesüljön (a magasabb par iális deriváltakat azonban már nem lehet nullának választani). Az ilyenkoordinátarendszert P -ben lokálisan Des artes koordinátarendszernek hívjuk.9. Példa: A 2D gömbFontos példaként határozzuk meg az a sugarú 2D gömb metrikáját. Mivel mi magunk háromdimenziósakvagyunk, a metrikus tenzort az el®z® fejezetben vázolt tisztán bels® eljárásnál egyszer¶bben, a háromdimenziósszemlélet alapján is meghatározhatjuk.Induljunk ki abból, hogy a geometriai terünk euklidészi (görbületlen), felvehet® benne Des artes-féle koor-dinátarendszer, amelyben dl2 = dx2 + dy2 + dz2: (9.1)Térjünk át polárkoordinátákra azx = r sin# os' y = r sin# sin' z = r os# (9.2)11Ha ki akarjuk hangsúlyozni, hogy a háromdimenziós geometriai tér vektoráról van szó, a félkövér szedés helyett a nyilathasználjuk.

9 PÉLDA: A 2D GÖMB 21képletekkel, amelyek di�eren iáljait (9.1)-be beírva adl2 = dr2 + r2(d#2 + sin2 #d'2) (9.3)képletre jutunk. Ebb®l leolvasható a 3D euklidészi tér metrikája polárkoordinátákban:grr = 1 g## = r2 g'' = r2 sin2 #: (9.4)A többi komponens nulla (itt és a továbbiakban a tenzoroknak sak azokat a komponenseit írjuk ki expli ite,amelyek nullától különböznek).Polárkoordinátákban a lokális koordinátabázis az e(r), az e(#) és az e(') elemekb®l áll, amelyek (8.6) és(9.4) szerint ortogonálisak egymásra, de nin senek 1- re normálva:e2(r) = 1 e2(#) = r2 e2(') = r2 sin2 #:A vektoranalízisben ehelyett többnyire a lokális ortonormált bázist használják, amelynek elemei a következ®k:e(R) = e(r) e(�) = 1re(#) e(�) = 1r sin#e('): (9.5)Mint látjuk, ennek a bázisnak az elemeit a megfelel® nagybet¶vel indexeljük. Mindkét bázis elemeire igaz, hogyérintik a nevükben szerepl® koordinátavonalat és a koordináta növekv® értékének irányába mutatnak (tehátpl. e(#) és e(�) "északról délre").Az a-sugarú gömb egyenlete r = a (dr = 0). ezért a 2D gömb ívelemnégyzete és metrikus tenzora akövetkez®: dl2 = a2(d#2 + sin2 #d'2) (9.6)g## = a2 g'' = a2 sin2 #: (9.7)A #; ' koordinátákat a 2D gömbön gömbi koordinátáknak fogjuk hívni. A lokális koordinátabázis a gömbötérint® e(#) és e(') elemekb®l áll, ®k feszítik ki minden pontban az érint®teret (innen származik az érint®térelnevezés). Helyettük is be lehet vezetni az 1-re normált (nagybet¶s) bázist.* * *A (9.7) metrika nyilván invariáns a z-tengely körüli elforgatásokra (amikor # = konstans és ' �! ' +konstans), de a gömbalak maga tetsz®leges tengely körüli elforgatásra szimmetrikus. Összhangban van-e ezzela (9.7) metrika?Amikor a gömböt valamelyik szimmetriatengelye körül in�nitezimális mértékben elforgatjuk, minden pontjaelmozdul. Ez az elmozdulás felfogható úgy is, mint egy alkalmasan választottW vektormez® "fuvallatának" ahatása abban az értelemben, ahogy err®l a 7. fejezetben volt szó. A (9.7) metrikus tenzor akkor van összhangbana gömbalak szimmetriájával, ha a Lie-deriváltja minden ilyen W szerint nullával egyenl®: LW gij = 0.Azokat a vektormez®ket, amelyek szerint a metrikus tenzor Lie-deriváltja nulla, Killing-mez®nek hívjuk ésa továbbiakban többnyire K-val jelöljük.A háromdimenziós szemléletünk lehet®vé teszi, hogy a 2D gömb bármely szimmetriájához tartozó Killing-mez® képletét felírjuk. A koordináta tengelyek körüli elforgatásnak megfelel® vektormez®k Des artes-kompo-nensei a következ®k: K(x) = (0; �z; y) K(y) = (z; 0; �x) K(z) = (�y; x; 0): (9.8)Mindhárom vektor mer®leges r-re (mert a skalárszorzatuk az r = (x; y; z) vektorral nulla), ezért e(#) és e(')lineárkombiná iói.Megmutatjuk, hogy az r = a gömbön a (9.8) mez®k Killing-mez®k, vagyis a (9.7) metrikus tenzor bárme-lyikük szerint vett Lie-deriváltja zérus. Ez a metrikus tenzor gömbi koordinátákban van felírva, ezért a (9.8)mez®ket is gömbi koordinátákba kell átírni (r = a-nál). Ez két lépésben történik:El®ször a V R = sin# os' V x + sin# sin' V y + os# V zV � = os# os' V x + os# sin' V y � sin# V zV � = � sin' V x + os' V y

9 PÉLDA: A 2D GÖMB 22tankönyvi képletek segítségével áttérünk polárkoordinátákra (ne felejtsük el a vektorkomponensek x; y; z argu-mentumait (9.2) segítségével polárkoordinátákon keresztül kifejezni!), majd pedig a (9.5) és aV = V re(r) + V #e(#) + V 'e(') = V Re(R) + V �e(�) + V �e(�)képlet segítségével ortonormált bázisról lokális koordinátabázisra:V r = V R V # = 1r V � V ' = 1r sin#V � (9.9)(a gömbön természetesen r = a).Most már sak türelmes behelyettesítés kérdése, hogy a (9.8) mez®k #; ' komponenseit felírhassuk:K(x) = (� sin'; � os' tg #) K(y) = ( os' � sin' tg #) K(z) = (0; 1): (9.10)Ezután az LW gij =W k �gij�xk + gkj �W k�xi + gik �W k�xj (9.11)képlet felhasználásával (amelyben most x1; x2 = #; ') könnyen igazolhatjuk, hogy a (9.10) mez®k mindegyikeKilling-mez®. A gij spe iális alakja a számítást nagyon leegyszer¶síti. ÍgyLW g## = 2a2�W#�# ;LW g'' = 2a2 �sin# os# �W# + sin2 #�W'�' � ;LW g#' = a2 �sin2 #�W'�# + �W#�' � ;és ezek mindhárom mez®re nullával egyenl®k.Spe iálisan az, hogyKz = e(') Killing-vektor, a metrika '-függetlenségének a következménye (ld. (7.13)-t):Ha a metrikus tenzor egyik komponense sem függ xi-t®l, akkor e(i)(x) Killing-mez®.Az utolsó lépés: A (9.11) lineáris W-ben, ezért a három K(x), K(y), K(z) mez® tetsz®leges lieárkombiná- iójára is igaz, hogy Killing-mez®. Ebb®l következik, hogy � a látszat ellenére � a (9.7) metrika összefér agömbi szimmetriával.Az eddigi gondolatmenetben a háromdimenziós szemléletünk alapján tudtuk megállapítani, hogy a (9.10)Killing-mez®k forgásszimmetriát írnak le. Hogyan jellemeznék ezt a szimmetriát a "laposlények", akiknek sak kétdimenziós szemléletük van, de jó matematikusok? Ez azért fontos kérdés, mert pl. a 3D gömbrevonatkozóan, amellyel a kozmológiában dolgunk akad, mi ugyanolyan helyzetben vagyunk, mint a laposlényeka 2D gömbre vonatkozóan.A feltett kérdésre úgy válaszolhatunk, hogy a forgásszimmetriát képletekkel is megfogalmazzuk. Ennekérdekében bevezetjük két vektormez® Lie-zárójelét az(A; B) def= LBA (9.12)de�ní ióval. Ezt a m¶veletet Lie-szorzatnak is nevezzük, mert rendelkezik a szorzás minden tulajdonságávalazon kívül, hogy nem szimmetrikus, hanem antiszimmetrikus a tényez®k fel serélésével szemben. Közvetlenszámolással belátható, hogy a háromK(x),K(y),K(z) Killing-mez® zárt algebrát alkot a Lie-szorzással szemben:(K(x); K(y)) =K(z) és iklikus permutá iói: (9.13)Ezek a képletek vektorok egyenl®ségét fejezik ki és így bármilyen koordinátarendszerben érvényesek. A leg-egyszer¶bben Des artes-koordinátákban ellen®rizhet®k.A (9.13) strultúra a �zikában és a matematikában mindenütt megjelenik, ahol forgásszimmetriáról van szó.A kvantumme hanikában például az impulzusmomentum operátorának a komponensei az[Lx; Ly℄ = i~Lz és iklikus permutá iói

10 A KOVARIÁNS DERIVÁLT 23kommutá iós relá ióknak tesznek eleget, amelyekben az [A; B℄ kommutátor is az operátorok antiszimmetrikusszorzata.A laposlények önállóan eljuthatnak arra a következtetésre, hogy a szimmetria, amit találtak, a (9.13)relá iókkal jellemezhet®. Az, hogy milyen szót találnak ki rá, az ® dolguk. De arra rájöhetnek, hogy a pontkörüli forgatás háromdimenziós általánosításáról van szó.A laposlényeknek azonban nem elég, ha igazolni tudják, hogy a K(x)K(y)K(z) mez®k, amelyeket a kezükbeadunk, Killing-mez®k: maguknak kell megtalálni ®ket. A következ® pontban fel fogunk írni egy egyenletet(Killing-egyenlet), amelyb®l a metrika ismeretében meg lehet kapni az összes Killing-mez®t.10. A kovariáns deriváltA 7. fejezetben láttuk, hogy a par iális deriválást módosítani kell ahhoz, hogy tenzort eredményezzen. Mindenilyen módosítás egy megfelel® transzportálást igényel. Riemann-téren a metrika lehet®vé teszi, hogy olyantranszportálást de�niáljunk, amely összhangban van a párhuzamos eltolásra vonatkozó intuitív elvárásainkkal.Legyen az xi koordinátájú P pont a sokaság tetsz®leges pontja, P pedig egy közeli pont �xi = xi + dxikoordinátákkal. Legyen adva P -ben egy tetsz®leges V(P ) vektor, amelyet önmagával párhuzamosan át kellhelyeznünk P -be. Jelöljük a P -b®l áthelyezett P -beli vektort V(P )-vel és a parallel transzportálás szabályátkeressük a �V i(P ) = V i(P )� �ijk(P )V k(P ) dxj (10.1)alakban. A második tagban a V k tényez® biztosítja, hogy kétszer hosszabb vektor parallel transzportáltjais kétszer hosszabb legyen. A �ijk konnexiós koe� ienseket úgy kell megválasztani, hogy a (10.1) paralleltranszportálást írjon le és a bel®le származó derivált legyen T ij típusú tenzor, amely �jV i módosítása.A továbbiakban követhetjük ugyanazt a gondolatmenetet, amely a Lie-transzporttól elvezetett a Lie-deriválthoz. A DV i(x) = V i(x+ dx)� �V i(x) (10.2)különbséget (kovariáns di�eren iál) a V i(x+ dx) sorfejtése és (10.1) segítségével aDV i(x) = ��V i�xj + �ijkV k� � dxj (10.3)alakban írjuk. A V vektormez® riV j kovariáns deriváltját a df(x) = �jf � dxj mintájára aDV i = rjV i � dxjképlettel de�niáljuk, ezért riV j = �V i�xj + �ijkV k; (10.4)és ugyanúgy, ahogy a Lie-deriváltnál tettük, a (10.4)-t általánosítjuk tenzorokra.Az f(x) skalármez® �f(x) parallel transzportáltja nyilván megegyezik f(x)-el, ezértDf(x) = f(x+ dx)� �f(x) = �f�xi dxirif = �f�xi : (10.5)Tenzormez®k szorzatára megint beláthatjuk a Leibniz-szabály érvényességét, és a 7. fejezet gondolatmenetétkövetve eljuthatunk a rjVi = �Vi�xj � �kjiVk (10.6)rlT ij: : k = �T ij: : k�xk + �ilmTmj: : k + �jlmT im: : k � �mlkT ij: : m (10.7)képletekhez.

10 A KOVARIÁNS DERIVÁLT 24Most meg kell választanunk a konnexiós koe� ienseket. El®ször is, a (10.6) alapján a (6.14) jelölés alkal-mazásával rjVi �riVj = �jVi � �jVi � 2�k[ji℄Vk:A 7. fejezetben láttuk, hogy a (�jVi � �jVi) különbség tenzor. A él az, hogy a kovariáns derivált is tenzorlegyen. A képletünk szerint ennek szükséges feltétele, hogy a �k[ij℄ mennyiség az indexeinek megfelel® tenzorlegyen. Ezért megköveteljük, hogy a �ijk = �i(jk) + �i[jk℄ felbontásban �i[jk℄ legyen tenzor. Ezt a tenzormez®t,amelyet torziónak hívunk, meg kell adnunk, és az általános relativitáselméletben nullának választjuk (ennek aválasztásnak a motivá iójára az elektrodinamika kap sán térünk majd ki).Az els® követelményünk tehát az, hogy a konnexiós koe� iens az alsó indexpárban legyen szimmetrikus.A második követelmény az lesz, hogy a transzportálási szabály legyen összhangban a skalárszorzattal. Ezena következ®t értjük: Az U(P ) és a V(P ) vektorok skalárszorzata a gij(P )U i(P )V j(P ) skalár. Ha ezt, mintskalárt, a P -be transzportáljuk, a �gij(P ) �U i(P ) �V j(P ) kifejezést kapjuk, amelyben �gij(P ) a P -beli metrikustenzor P -be transzportált értéke. A P -beli skalárszorzatot azonban úgy is érthetjük, hogy el®bb az U(P )-t ésa V(P )-t P -be transzportáljuk és az ottani gij(P )-vel képezzük a skalárszorzatukat. Megköveteljük, hogy askalárszorzat két módon értett transzportálása vezessen ugyanarra az eredményre, azaz teljesüljön az�gij(P ) � �U i(P ) � �V j(P ) = gij(P ) � �U i(P ) � �V j(P ) (8 U; V)relá ió.Az U és a V önkényessége miatt ez az relá ió a�gij(P ) = gij(P ) (10.8)egyenl®ség teljesülését követeli meg, amitDgij(P ) = gij(P )� �gij(P ) = 0 (10.9)alakban is írhatunk. A Dgij = rkgij � dxk de�ní ió alapján ez egyenérték¶ arkgij = 0 (10.10)egyenlettel, ami azt jelenti, hogy gij kovariáns konstans (kiemelhet® a kovariáns deriválás alól). Ha (10.10)baloldalát a kovariáns deriválás szabályai szerint kifejezzük a konnexiós koe� ienseken keresztül, a�gij�xk � �mklgmj � �mlj gim = 0 (10.11)egyenletrendszerre jutunk. Ebb®l kell a �-kat meghatározni.Az egyenletek száma n2(n+1)=2 és a �ijk = �ikj szimmetria miatt az ismeretlenek száma is ugyanennyi. A(10.11) nagyon könnyen megoldható. Az egyenletet még kétszer fel kell írni iklikusan permutált ijk indexekkelés valamelyik két egyenlet összegéb®l ki kell vonni a harmadikat. Megoldásként a�ijk = 12gil��glk�xj + �gjl�xk � �gjk�xl � (10.12)Christo�el-szimbólumot kapjuk. A 3D euklidészi térben például Des artes-koordinátákban gij = Æij következ-tében �ijk = 0, polárkoordinátákban pedig (9.4) alapján�r## = �r�#'' = � sin# � os#�'r' = 1r �r'' = �r sin2 #�#r# = 1r�'#' = tg #: (10.13)Láttuk, hogy a P ponthoz tartozó lokálisan Des artes-rendszerben teljesül a (8.9) egyenl®ség. A (10.12)mutatja, hogy emellett a �ijk(P ) = 0

10 A KOVARIÁNS DERIVÁLT 25is igaz. Ha azonban a �Ijk-nak lenne az alsó indexpárban antiszimmetrikus része (vagyis a �i[jk℄ tenzort nemválasztottuk volna nullának), akkor �ijk-t semmilyen koordinátatranszformá ióval sem lehetne eltüntetni.A (10.12) képletb®l leolvasható, hogyan transzformálódik a konnexiós koe� iens. Ennek érdekében a képle-tet vessz®s indexekkel írjuk fel, majd az összes vessz®s indexet kifejezzük vessz®tleneken keresztül:�i0j0k0 = 12gi0l0 ��gl0k0�xj0 + : : :� = 12 �xi0�xm �xl0�xn gmn! � � �xp�xj0 ��xp � �xq�xl0 �xr�xk0 gqr�+ : : :� :A [ ℄-ben a három derivált mindegyikét a szorzat deriválási szabálya alapján három taggá alakítjuk. A metrikustenzor deriváltját tartalmazó tagok összege a vessz®tlen �-val arányos taggá kombinálódik össze, a maradékhat tagból négy kiejti egymást, kett® pedig egyenl® egymással. Így végül a konnexiós koe� iensek transzfor-má iójára a �i0j0k0 = �xi0�xl �xm�xj0 �xn�xk0 �lmn + �xi0�xl �2xl�xj0�xk0 (10.14)szabályt kapjuk. A második tag miatt a konnexiós koe� iens nem tenzor, ezért lehet egy pontban koordináta-transzformá ióval eltüntetni egy szimmetrikus konnexiós koe� ienst.Most már ellen®rizhetjük, hogy a (10.4) valóban olyan tenzor-e, ahogy az indexei mutatják. Ehhez (10.4)-t vessz®s indexekkel kell felírni, és a jobboldalon minden vessz®s mennyiséget ki kell fejezni vessz®tlenekenkeresztül. Azt találjuk, hogy (10.4) valóban tenzor.Ezen ugyanúgy érdemes elgondolkozni, ahogy a Lie-deriválttal kap solatban tettük. A (10.4) jobboldalánsem a par iális derivált, sem a konnexiós koe� iens nem tenzor. Mivel értük el, hogy az egész kifejezés mégistenzor lett? Azzal, hogy a parallel transzportálás szabályát koordinátarendszert®l független módon, a (10.8)megkövetelésével rögzítettük. Ezt a feltételt ugyanis így lehet szavakban megfogalmazni: Ha a metrikus tenzortparallel transzportálással átvisszük egy közeli pontba, akkor a transzportált tenzor ugyanaz, mint amelyik máreredetileg is a szomszédos pontban volt.Hasonlítsuk most össze a Lie-deriválást és a kovariáns deriválást a metrikus tenzorra történ® hatásuk szem-pontjából. A metrikus tenzor kovariáns deriváltja "hivatalból" nulla, míg azLW gij =W l �gij�xl + glj �W l�xi + gil �W l�xjLie-derivált általában különbözik nullától. A kivétel az, ha W i Killing-mez®. Ezt használjuk fel arra, hogydi�eren iál egyenletet kapjunk a Killing-mez®kre.Mindenekel®tt megjegyezzük, hogy a Lie-deriválás képleteiben a par iális derivált mindenütt helyettesíthet®kovariáns deriválttal: �i �! ri (vagyis a �ijk-k mindig kiesnek). Ha ugyanis ezt a helyettesítést megtesszük,a Lie-derivált jobboldala továbbra is tenzor marad (tagonként). De ez az új tenzor minden P pontban egyenl®lesz a régivel, mert a P -hez tartozó lokálisan Des artes-koordinátákban �i = ri.Ha az el®z® képletben ezt a helyettesítést elvégezzük, és �gyelembe vesszük, hogy a metrikus tenzor kovariánskonstans, az LW gij = riWj +rjWi (10.15)egyenletre jutunk. A metrikus tenzor Killing-mez® szerinti Lie-deriváltja zérus, ezért ezek a mez®k kielégítik ariKj +rjKi = 0 (10.16)Killing-egyenletet. Megmutatható, hogy n dimenzióban maximálisan n(n + 1)=2 lineárisan független Killing-mez® létezhet. Azok a sokaságok, amelyek rendelkeznek ennyi független Killing-mez®vel, maximálisan szimme-trikusak. A 9. fejezetre visszalapozva láthatjuk, hogy a 2D gömb maximálisan szimmetrikus, ahogy egyébkéntelvárható is. Az euklidészi sík is maximálisan szimmetrikus, mert az x; y komponensekben felírtK(1) = (1; 0) K(2) = (0; 1) K(3) = (�y; x) (10.17)mez®k lineárisan függetlenek és kielégítik a Killing-egyenletet. A geometriai jelentésük: eltolás az x, ill. az yirányban és forgatás az origó körül.

11 A GEODETIKUS EGYENLET 2611. A geodetikus egyenletA) A párhuzamos elterjesztés egyenlete.Az el®z® fejezetben sak egymáshoz in�nitezimálisan közeli pontok közötti parallel transzportról volt szó.Legyen most P1 és P2 a sokaság bármely két pontja. Kössük össze ®ket egy tetsz®legesen választott L görbével,amelynek egyenlete és érint®vektora xi = xi(�) V i(�) = dxi(�)d� : (11.1)A P1-hez tartozzon a �1 paraméter, a P2-höz a �2. Adjunk meg egy U � U(�1) vektort P1-ben és a görbementén transzportáljuk önmagával párhuzamosan P2-be. Jelöljük a transzportált vektort U(�2)-vel és kérdez-zük, hogyan számíthatjuk ki a komponenseit.A transzportálás in�nitezimális lépések sorozatából áll. Ha már eljutottunk a � paraméter¶ pontig, akkora � + d� paraméter¶ pontban a vektort az U(�)-val párhuzamosan kell felvenni. Ezt a követelményt azU i(� + d�) = �U i(�) el®írás fejezi ki, amelyb®l aDU i(�) � U i(�+ d�) � �U i(�) = 0 (11.2)feltételre jutunk. Az U(�) � mint eddig mindig � az a (� + d�)-beli vektor, amely az U(�) vektorból adxj = dxjd� d� = V j(�) � d� szakaszon történ® parallel transzportálással kapható:�U i(�) = U i(�) � �ijk(�)V j(�)Uk(�) � d�(a továbbiakban többnyire nem fogjuk kiírni a � argumentumot, ha egy egyenlet minden tagja a � pontravonatkozik). Írjuk ezt és az U i(�+ d�) = U i(�) + dU i(�)d� � d� kifejtést (11.2)-be:DU i � �dU id� + �ijkV jUk� d� = 0:Ebb®l az egyenl®ségb®l kapjuk a párhuzamos elterjesztés egyenletét:DU id� � dU id� + �ijkV jUk = 0: (11.3)Ez egy n-ismeretlenes közönséges lineáris di�eren iálegyenlet rendszer, amelynek a megoldását az U i(�1) vektoregyértelm¶en rögzíti.Görbületlen sokaságon Des artes-koordinátákban�ijk = 0, dU id� = 0 és a görbe mentén végig U i = konstans.A párhuzamos transzportálástól pontosan ezt várjuk el.A DU id� mennyiséget az U abszolút deriváltjának nevezzük az L mentén. Az abszolút derivált kap solata akovariáns deriválttal a következ®:DU id� = dxjd� ��U i�xj + �ijkUk� = V j � rjU i: (11.4)Ez a képlet akkor alkalmazható, amikor az U mez® nem sak magán a L görbén, hanem a görbe valamilyenkörnyezetében is értelmezve van.Kössük össze most ugyanazt a két pontot egy másik görbével és transzportáljuk U-t P1-b®l P2-be ezen azúj görbén. Ugyanazt kapjuk a P2-beli vektorra, mint el®bb? A (11.3) egyenletb®l ez egyáltalán nem következikés a párhuzamos transzportálás eredménye különböz® utakon általában különböz® is lesz. Annak a kérdésnektehát, hogy "A P2-ben melyik vektor párhuzamos a P1-beli U-val?" nin s értelme: A Riemann-geometriábannem létezik távoli párhuzamosság.A parallel transzportálás fogalma azonban biztosítja, hogy két vektor skalárszorzata � és ennek következ-tében a vektorok normája � a transzportálás során állandó maradjon. A két különböz® úton transzportált

11 A GEODETIKUS EGYENLET 27vektornak ezért sak az iránya lehet különböz®. Az igazoláshoz azt kell belátni, hogy ha DA=d� is, DB=d� iszérus, akkor d(A �B)d� = 0. Skalármennyiségeknél azonban d=d� = D=d�, ezértd(A �B)d� = D(A �B)d� = A � DBd� +B � DAd� = 0 (11.5)valóban.A mondottakból következik, hogy ha a vektort zárt görbén transzportáljuk (P1 � P2, xi(�2) = xi(�1)),akkor a körbevitt vektor iránya általában megváltozik az eredeti vektor irányához képest.B) A geodetikus egyenlet.Az egyenest leggyakrabban azzal a tulajdonságával de�niáljuk, hogy két pont között ez a legrövidebb út.Az egyenes egy másik, ezzel ekvivalens tulajdonsága az, hogy az iránya állandó. Ez utóbbi tulajdonság pontosmegfogalmazása a következ®: A geodetikus az a görbe, amelynek (� + d�)-beli érint®vektora párhuzamos a�-beli érint®vektorával, azaz V i(�+ d�) = �V i(�): (11.6)Ez nem más, mint a párhuzamos elterjesztés feltétele, ezért (11.3) alapjándV id� + �ijkV jV k = 0; (11.7)vagy (11.1) behelyettesítésével d2xid�2 + �ijk dxjd� dxkd� = 0: (11.8)Ez a geodetikus egyenlet, egy n-ismeretlenes másodrend¶ közönséges nemlineáris di�eren iálegyenlet rendszer,amelynek megoldásait az xi(�1); �dxid� ��1 mennyiségek egyértelm¶en meghatározzák.A származtatás módjából következik, hogy a geodetikus egyenlet ®rzi az érint®vektor normáját.Megjegyezzük, hogy (11.6) jobboldalát megszorozhattuk volna egy (1 + b(�)d�) kifejezéssel, amelybenb(�) tetsz®leges függvény, mert a (� + d�)-beli érint®vektor ekkor is párhuzamos a �-beli érint®vektorral, sak a két vektor normája lenne különböz®. A (11.8) jobboldalán ekkor nulla helyett a b(�)dxid� kifejezésállna. Az elfogadott terminológia szerint azonban a b(�) = 0 választáshoz tartozó (11.8)-t nevezzük geodetikusegyenletnek.A párhuzamos elterjesztés egyenlete szempontjából a (11.1) görbe parametrálási módjának nin s jelent®sége:Ha az egyenlet a � paraméternél teljesül, akkor is teljesülni fog, ha a � = �(�) egyenlettel új � paraméterretérünk át. A magyarázat az, hogy a � paraméterrel felírt egyenletet úgy kapjuk meg, hogy (11.3)-t egyszer¶enmegszorozzuk d�d� -vel.A geodetikus egyenlettel más a helyzet. Ha (11.8)-t �d�d��2-tel megszorozzuk, a második derivált miattnem lehet az összes d�-val "egyszer¶síteni":d2xid�2 = d�d� dd� �d�d� dxid� � = �d�d��2 d2xid�2 + d2�d�2 dxid� :A geodetikus egyenlet megoldásait ezért valamilyen meghatározott parametrálásban kapjuk meg (a�n pa-raméter vagy spe iális paraméter). Az (el®jeles) ívhossz bizonyosan a�n paraméter. A (8.7) szerint ugyanis azívhosszhoz, mint paraméterhez tartozó érint®vektor normája a görbe mentén állandó (1-el egyenl®) és a geo-detikus egyenletr®l tudjuk, hogy ®rzi az érint®vektor normáját. Az ívhossz azonban sak akkor egyértelm¶enrögzített paraméter, ha megadjuk, hogy a görbe melyik pontjánál tekintjük nullának és mekkora a hossz-egység. Ezeket azonban önkényesen választhatjuk meg, mert a geodetikus egyenlet spe iálisan a � = a� + bátparametrálásra (a és b tetsz®leges állandó) invariáns.

12 PÉLDA: A 2D GÖMB (FOLYTATÁS) 2812. Példa: A 2D gömb (folytatás)A 2D gömbön gömbi koordinátákban az ívelemnégyzetet és a metrikát (9.6) és (9.7) adja meg. A metrikábólkapható nemzérus konnexiós koe� iensek a következ®k:�#'' = � sin# os# �'#' = tg# (12.1)(itt és a továbbiakban a szimmetriaokokból megegyez® mennyiségek közül sak az egyiket tüntetjük fel). Ageodetikus egyenlet könnyen felírható: d2#d�2 � sin# � os#�d'd��2 = 0d2'd�2 + 2 tg# � d#d� � d'd� = 0: (12.2)A #(�), '(�) ismeretlen függvények nagyon bonyolult nemlineáris módon szerepelnek az egyenletben. Agömbi szimmetria azonban, amelyet a metrika alapján tisztán bels® eljárással is megállapítottunk, lehet®véteszi az egyenlet megoldását. Akármelyik P pontból akármilyen irányba kiinduló geodetikusról legyen is szó,a szimmetria lehet®vé teszi, hogy a koordinátarendszert úgy vegyük fel, hogy a P legyen az "egyenlít®n"(#P = �=2, a 'P tetsz®leges), és a kezd®irány legyen "egyenlít®-irányú": �d#d� ; d'd��P = (0; 1) (az 1 helyénállhatna bármilyen szám). A # = �=2; ' = �+ 'P (0 � � < 2�) (12.3)f®kör (az "egyenlít®") ekkor kielégíti (12.2)-t is, a kezdeti feltételeket is. Abból, hogy ez (12.2) megoldásakövetkezik, hogy �-nak a�n paraméternek kell lennie. Ez igaz is, mert � = l=a, ahol l a f®kör (0; �) szakaszánakívhossza, az 1=a pedig konstans (a a gömb sugara).Tekintsük most az e(') = (0; 1) bázisvektort a (#0; 0) koordinátájú pontban és vigyük körbe önmagávalpárhuzamosan a # = #0; ' = � (12.4)szélességi körön. Induláskor a vektor érinti ezt a szélességi kört. Megmutatjuk, hogy a körbevitel során kifordulaz érint® irányból.Ehhez a párhuzamos elterjesztés (11.3) egyenletét kell használnunk, amelyben mostV i = (V #; V ') = �d#d� ; d'd�� = (0; 1);ezért az egyenlet a következ®: dU#d� � sin#0 os#0 � U' = 0dU'd� + tg#0 � U# = 0:A kezd®feltétel U(0) = e(') = (0; 1).Di�eren iáljuk az els® egyenletet � szerint és dU'd� -t helyettesítsük be a másodikból:d2U#d�2 + os2 #0 � U# = 0:Ennek általános megoldása U#(�) = A � sin( os#0 � �) +B � os( os#0 � �):Ezt az els® egyenletbe írva kiszámítjuk U'-t:U'(�) = Asin#0 os( os#0 � �)� Bsin#0 sin( os#0 � �):

13 A GÖRBÜLET 29A kezd®feltételt az A = sin#0, B = 0 választás elégíti ki, tehátU(�) = �sin#0 � sin( os#0 � �); os( os#0 � �)�: (12.5)Az elfordulás �� szögét a os�� = e(') �U(2�)je(')j � jU(2�)jegyenletb®l lehet meghatározni, amelyb®l �� = �2� os#0:Képzeljük egy pillanatra, hogy a transzportálás id®ben történik (� = id®). A transzportált vektor kom-ponensei minden "pillanatban" ahhoz a ponthoz tartozó lokális koordinátabázisra vonatkoznak, amelyben avektor éppen van. A (12.5) mutatja, hogy a mindenkori bázishoz viszonyítva U(�) forgása negatív irányú (apozitív irányú forgás az e(1) � e(#)- ból a e(2) � e(') felé történik), ezért �� = �2� os#0.A vektor tehát valóban elfordul. A szemlélet azonban azt sugallja, hogy párhuzamos körbevitelnél egyszélességi kör mentén az érint®vektornak érint® irányúnak kellene maradnia. Az elfordulás szükségességér®l úgygy®z®dhetünk meg, hogy a síkon veszünk fel egy görbét és az egyik ponthoz tartozó érint®vektort önmagávalpárhuzamosan elmozgatjuk a görbe mentén. A transzportált vektor nyilván nem marad érint®irányú � ha saka görbe nem egyenes (geodetikus). A gömbön a szélességi kör nem geodetikus (kivéve, ha #0 = �=2), ezértszükségszer¶, hogy az érint®vektor transzportálásnál kimozduljon az érint®irányból.Ha a síkon is zárt görbét veszünk fel és az egyik pont érint®vektorát önmagával párhuzamosan körbevisszük,akkor persze a kiinduló pontba visszatérve újra az eredeti érint®vektort kapjuk. Ebben a tekintetben a gömbés a sík között nagy különbség van és ez � mint a következ® fejezetben részletesen szó lesz róla � a kontúráltal határolt felület görbültségének a különböz®sége a két esetben.A �� = �2� os#0 azonban más okból is paradoxális: Minél kisebb kör mentén (#0 �! 0) történik akörbevitel, annál nagyobb a szögelfordulás (j��j �! 2�). Ez a paradoxon annak következménye, hogy a# = 0 pont a #; ' gömbi koordinátarendszer szinguláris pontja. Ha a gömbön olyan K' koordinátarend-szert veszünk fel, amely ebben a pontban és környezetében reguláris, akkor ebben dolgozva megállapíthatjuk,hogy körbejárásnál az (e(#); e(')) lokális koordinátabázis pozitív irányban forog és a teljes körbevitel során+2� szöggel fordul el. A helyes �� szögelfordulást akkor kapjuk meg, ha a számítást K'-ben végezzük el,de az eredményt könnyen kitalálhatjuk. Az U K-hoz viszonyított szögelfordulásához még hozzá kell adni az(e(#); e(')) lokális bázis K'-höz viszonyított szögelfordulását:�� = �� + 2� = 2�(1� os#0): (12.6)Ahogy várjuk, #0 �! 0-nál �� �! 0.13. A görbületGauss volt talán az els®, aki elgondolkozott azon, hogy a geometriai terünk esetleg nem a síklap, hanem agörbe felület háromdimenziós analogonja. Tudta, hogy a kérdésre sak akkor tudunk válaszolni, ha megértjük,hogyan lehet tisztán bels® vizsgálatok alapján eldönteni a térr®l, hogy görbült-e vagy sem. Erre a kérdésre nekinem sikerült válaszolnia, de két dimenzió esetére megtalálta a megoldást.Mindenekel®tt azt vizsgálta meg, hogy a görbültségnek milyen kritériuma az, aminek alapján tisztán bels®mérésekkel (mai fogalmaink szerint a metrikus tenzor meghatározása útján) el lehet dönteni, hogy a felületgörbült-e vagy sem.A felület P pontjában, amelyben a görbületet vizsgáljuk, állítsunk mer®legest a felületre. A mer®legesenátfektetett síkok mindegyike egy-egy síkgörbében metszi a felületet. A síkok helyzetét egy ' szög határozzameg (0 � ' < �). Jelöljük a ' helyzet¶ sík által kimetszett görbe P -beli görbületi sugarát R(')-vel és tegyükfel, hogy R(') el®jelet vált, amikor a görbületi középpont a felület egyik oldaláról a másikra kerül át.Az R (el®jeles) maximuma és minimuma (Rmax és Rmin) nyilván kap solatos a felület görbültségével P -ben,de vajon milyen függvényüket kell választanunk? A merev keretre feszül® szappanhártya egyensúlyi feltételeaz, hogy az 1=2 � (1=Rmax + 1=Rmin) átlaggörbület legyen konstans. Az átlaggörbület azonban nem fejezhet®ki supán bels® adatok (a metrikus tenzor és par iális deriváltjai) segítségével. Ezt a henger példája mutatja,amely deformá ió nélkül hozható létre a síkból (görgetett felület), és ezért a metrikus tenzora ugyanaz, mint asíké. Az átlaggörbülete azonban különbözik nullától, mert sak az egyik görbületi sugara végtelen.

13 A GÖRBÜLET 30Gauss meg tudta mutatni, hogy bels® adatokkal sak a ma Gauss- görbületnek nevezettK = 1RmaxRmin (13.1)kombiná iót lehet kifejezni. Ha (mai jelölésekkel) felírjuk azt a képletet, amely a metrikus tenzoron keresztülkifejezi K-t megértjük, miért adta Gauss ennek a tételnek a Theorema Egregium (nagyszer¶ tétel) elnevezést:K(x1; x2)= 12g �2 �2g12�x1�x2 � �2g11�x22 � �2g22�x21 �� g224g2 "��g11�x1 ��2�g12�x2 � �g22�x1 ����g11�x2 �2#++ g124g2 ���g11�x1 ���g22�x2 �� 2��g11�x2 ���g22�x1 � +�2�g12�x1 � �g11�x2 ��2�g12�x2 � �g22�x1 ���� g114g2 "��g22�x2 ��2�g12�x1 � �g11�x2 ����g22�x1 �2#; (13.2)ahol x1 és x2 a felületi koordináták (tipográ�ai okokból használunk alulindexet) és g(x1; x2) � g11g22 � g212:Spe iálisan a sugarú gömbre K = 1=a2. Az olyan pontokban pedig, ahol a Gauss-görbület negatív (a kétgörbületi középpont a felület különböz® oldalára esik), nyeregpont van.Gauss kritériuma tehát a következ®: Egy kétdimenziós felület sak ott görbületlen, ahol a Gauss-görbületelt¶nik. Így pl. a henger Gauss-görbülete � az átlaggörbületével ellentétben � zérus, mert ehhez elég, ha sak az egyik görbületi sugara végtelen.Riemann azt ismerte fel, hogy Gauss elmélete azért olyan komplikált, mert nem elég az, ha a görbületetbels® méréssel meg lehet határozni: a de�ní ióját is tisztán bels® néz®pontból kell megadni. Gauss a 2Dfelület görbületét háromdimenziós eljárásal de�niálta, ezért nem sikerült neki az eredményeit n-dimenzióraáltalánosítani.Riemann új, tisztán bels® de�ní iója az volt, hogy egy n-dimenziós metrikus sokaság akkor görbületlen,ha felvehet® rajta Des artes-féle koordinátarendszer. Megadott egy négyindexes mennyiséget (ma Riemann-tenzornak nevezzük), amely a metrikus tenzoron és par iális deriváltjain keresztül van kifejezve és megmutatta,hogy ennek elt¶nése a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy a sokaságot le lehessen fedni Des artes-koordinátákkal.Kés®bb megmutatták, hogy Riemann kritériuma ekvivalens a következ®vel: A sokaság akkor és sakisakkor görbületlen, ha a vektorok nem változtatják meg az irányukat, amikor a sokaságon bármely zárt görbénönmagukkal párhuzamosan körbevisszük ®ket. A továbbiakban ezt a kritériumot fogjuk használni.Kétdimenziós felületen ez a kritérium egybeesik a Gauss-görbületen alapuló feltétellel. Ahhoz, hogy eztbelássuk, térjünk vissza az el®z® fejezet végére, a (12.6) képlethez. Amikor a kör, amelyen a vektort paralleltranszportáljuk, nagyon ki si (#0 �! 0), az elfordulás szögét a �� � �#20 = 1a2 � �f képlet határozzameg, amelyben �f annak az a#0 �! 0 sugarú in�nitezimális körnek a területe, amelynek peremén a vektortkörbevittük. Az 1=a2 azonban az a-sugarú gömb Gauss-görbülete, ezért�� = K ��f: (13.3)Ezt a képletet sak gömbre láttuk be, de minden felületre igaz, hogy amikor egy vektort egy in�nitezimáliszárt kontúron önmagával párhuzamosan körbeviszünk, az elfordulás szöge a Gauss-görbület és a kontúr általhatárolt terület szorzatával egyenl®. Ezért ha K nulla, akkor �� is nulla, és megfordítva.Fogalmazzuk meg most a vektor elfordulásán alapuló kritériumot az n-dimenziós Riemann-tér egy tetsz®le-ges P pontjában.A P pont legyen az egyik sú sa annak az in�nitezimális négyszögnek, amelynek további sú sai �P , ��P ésQ. A sú sok koordinátái a következ®k:�P ! xi +�ai;P ! xi; ��P ! xi +�ai +�bi;Q ! xi +�bi: (13.4)Legyen U(P ) tetsz®legesen választott vektor P -ben. Vigyük körbe önmagával párhuzamosan a négyszögoldalai mentén a P �a��! �P �b��! ��P ��a��! Q ��b��! P

13 A GÖRBÜLET 31sorrendben. A P -be visszaérve általában egy megváltozott U+�U vektorra jutunk.A (13.3) alapján várhatjuk, hogy a vektor megváltozása a kontúr által kifeszített felületelem nagyságávallesz arányos, ezért mindenekel®tt foglalkoznunk kell az n-dimenziós sokaságokba ágyazott kétdimenziós felület-elemek megadási módjával.A (13.4) pontok olyan felületelem sú sai, amelyet a�a, �b in�nitezimális elmozdulás-vektorok határoznakmeg. Háromdimenziós euklidészi terünkben például a �~a és a �~b által kifeszített paralelogramma területe a(�~a��~b) vektoriális szorzat abszolút értékével egyenl®, a felületelem helyzetét és vetületeinek nagyságát pedigennek a vektornak a komponensei adják meg.A felületelemhez azonban sak három dimenzióban lehet egyértelm¶en irányt rendelni. A (�~a��~b) vektor-szorzat komponensei ugyanis a �f�� = �a��b���a��b� mennyiségek, amelyek egy kétindexes antiszimmet-rikus tenzor komponensei, de helyettesíthet®k vektorral. Des artes koordinátákban a megfeleltetés szabálya akövetkez®: (�~a��~b)x = �fyz = �ay�bz ��az�by (és xyz iklikus pemutá iói).Magasabb dimenzióban azonban a kétindexes antiszimmetrikus tenzorok nem helyettesíthet®k vektorokkal12,ezért az általános esetben a �a, �b rendezett vektor pár által kifeszített felületelemet a�f ij = �ai�bj ��bi�aj (13.5)antiszimmetrikus tenzorral kell jellemeznünk.AzU megváltozására visszatérve azt várjuk tehát, hogy�U arányos lesz azzal a felületelemmel, amely körülazU-t körbevisszük. A párhuzamos elterjesztés (11.3) egyenletéb®l az is látszik, hogy�U azU komponenseivelis arányos. Mindezek alapján az U megváltozását a�U i = �12Ri:jklU j�fkl (13.6)alakban kell keresnünk (a �1=2 tényez® természetesen supán konven ió).Az Ri:jkl mennyiségek a Riemann-tenzor (vagy görbületi-tenzor) komponensei. A Riemann-tenzort a kon-nexiós koe� ienseken és par iális deriváltjain keresztül lehet kifejezni. Transzportáljuk el®ször U-t a P �a��!�P �b��! ��P úton ��P -be. A transzportálás második lépését a��U i( �P ) = �U i(P )� �ilj( �P ) �U j(P )�bl�ilj( �P ) = �ilj(P ) + ��ilj(P )�xk �ak?U i(P )� �ikj(P )U j(P )�ak = �U i(P )6U j(P )� �jkm(P )Um(P )�ak = �U j(P )6

képletek közül a második sor képlete írja le. Ez utóbbi jobboldalán �P -beli mennyiségek állnak, amelyeket atöbbi összefüggés behelyettesítésével fejezhetünk ki P -beli mennyiségeken keresztül. Ha a behelyettesítéseketelvégezzük és az eredményt a �a és a �b hatványai szerint rendezzük, akkor kvadratikus pontossággal az��U i( �P ) = U i � �ikjU j�ak � �iljU j�bl + "�ilj�jkmUm � ��ilj�xk U j#�ak�blképletre jutunk. A zárójelben az m összegzési indexet j-re seréljük, mert akkor U komponensei kiemelhet®k:��U i( �P ) = U i � �ikjU j�ak � �iljU j�bl � "��ilj�xk � �ilm�mkj#U j ��ak�bl:12Ez már a komponensek számából is látható. Egy kétindexes antiszimmetrikus tenzor független komponenseinek száma ugyanisn(n� 1)=2, egy vektoré pedig n. A két szám sak három dimenzióban egyforma.

14 A RIEMANN-TENZOR TULAJDONSÁGAI 32Ha U(P )-t a P �b��! Q �a��! ��P úton transzportáljuk ��P -be, ugyanerre a képletre jutunk azzal a különbséggel,hogy �a és �b fel serél®dik. A keresett �U-t �a;�b-ben kvadratikus pontossággal a két úton transzportáltvektorok különbsége adja13: �U i = �"��ilj�xk � �ilm�mkj#U j � (�ak�bl ��bk�al):A (13.5) alapján ezt a �U i = �"��ilj�xk � �ilm�mkj#U j ��fklalakban írhatjuk.Ez a képlet valóban olyan struktúrájú, mint (13.6), mégsem olvashatjuk le bel®le a Riemann-tenzort. A�fkl ugyanis antiszimmetrikus a k; l indexek fel serélésével szemben, a zárójelben lév® kifejezés azonban nem.Ezért ha ez utóbbi lenne a Riemann-tenzor, akkor �U i elt¶nése nem vonná maga után a Riemann-tenzorelt¶nését, mert a tenzor k; l-ben szimmetrikus része még lehetne zérustól különböz®. Ahhoz, hogy a Riemann-tenzor elt¶nése a �U = 0-nak ne sak elégséges, hanem szükséges feltétele is legyen, a zárójelben lév® kifejezésantiszimmetrikus részét kell Riemann-tenzornak tekinteni:Ri:jkl = ��ilj�xk � ��ikj�xl + �ikm�mlj � �ilm�mkj (13.7)�az antiszimmetrikus rész képzésénél fellép® 1/2 faktor szerepel (13.6)-ban�. Err®l a kifejezésr®l egyáltalán nemlátszik, hogy tenzor, mert sem a konnexiós koe� iensek, sem a par iális deriváltak nem transzformálódnaktenzorként. A képlet azonban minden koordinátarendszerben érvényes és a (13.6) szerint, amelyben U i vektor-komponens, �fkl pedig tenzorkomponens, ez sak akkor lehet így, ha Ri:jkl egyszer kontravariáns, háromszorkovariáns tenzor.A sokaság egy tartománya akkor és sakis akkor sík, ha a tartományban Ri:jkl = 0. A tenzorjelleg következ-tében az egyenl®ség vagy minden koordinátarendszerben igaz, vagy egyikben sem, ezért a görbültség léte vagynemléte a sokaság koordinátarendszert®l független tulajdonsága.A Riemann-tenzor tisztán kovariáns alakját természetesen azRijkl = ginRn:jkl képlet de�niálja. Megmutatha-tó, hogy Rijkl = 12 � �2gil�xj�xk + �2gjk�xi�xl � �2gik�xj�xl � �2gjl�xi�xk�+ gmn(�mil �njk � �mik�njl): (13.8)14. A Riemann-tenzor tulajdonságain-dimenziós sokaságon egy négyindexes tenzornak n4 komponense van, de ha a tenzornak vannak szimmetriái,a független komponensek száma ennél kevesebb.A Riemann-tenzornak három különböz® típusú szimmetriája van, amelyek (13.8)-ból olvashatók le:a) Rijkl = Rklij ("szimmetria")b) Rijkl = �Rjikl = �Rijlk = Rjilk ("antiszimmetria") (14.1) ) Rijkl +Riklj +Riljk = 0 (" iklikusság")Az Rijkl = �Rijlk antiszimmetria a Riemann-tenzor de�ní iójának a következménye. Az Rijkl = �Rjiklantiszimmetria abból következik, hogy körbevitelnél a vektorok hossza nem változik.Valóban, az (U + �U)2 = U2 egyenl®ség legala sonyabb rendben U � �U = 0-t jelent. Ha ide (13.6)-tbehelyettesítjük, a gmiUm ��U i = �12RmjklUmU j�fkl = 0relá ióra jutunk, amely tetsz®leges U-nál sak Rmjkl + Rjmkl = 0 mellett teljesülhet.13Ezzel az eljárással természetesen nem a P -beli, hanem a ��P -beli �U-t kapjuk meg. A P -ben érvényes képlet a ��P -beli képlett®labban különbözne, hogy a jobboldalon a konnexiós koe� ienseknek nem az xi-beli, hanem az (xi ��ai ��bi)-beli értéke állna.A két � különbsége azonban �a; �b-vel arányos és harmadrend¶ járulékot adna �U-hoz, amit nem szabad �gyelembe vennünk.

14 A RIEMANN-TENZOR TULAJDONSÁGAI 33A független komponensek számának meghatározásához vegyük észre, hogy Rijkl-nek három különböz®típusú komponense lehet.Az a-típusú komponensek legyenek azok, amelyekben minden index különböz®, mondjuk 1,2,3,4. A szim-metria és az antiszimmetria �gyelembevételével három független Rijkl komponens van, amely ezeket az indexettartalmazza: R1234, R1324 és R1423. A iklikusság miatt ezek közül sak kett® független, ezért n-dimenzióbanaz a-típusú független komponensek száma az n elemb®l alkotható negyedosztályú kombiná iók számának két-szeresével egyenl®: �a = 2��n4� = n(n� 1)(n� 2)(n� 3)12 :Ilyen komponensek sak n � 4-nél fordulhatnak el®. A �a el®bbi kifejezése ezt �gyelembe veszi, mert n < 4-nélelt¶nik.A b-típusú komponensek azok, amelyek három különböz® indexet tartalmaznak, amelyek közül az egyikkétszer fordul el®, például 1,1,2,3. Csak egyetlen ilyen független komponens van, pl. R1213. A b-típusúkomponensek száma �b = n��n� 12 � = n(n� 1)(n� 2)2 ;mert a kétszer el®forduló index n-féle lehet, a maradék két különböz® indexet pedig a többi (n � 1) indexb®lkell kiválasztanunk.Végül a -típusú komponensek azok, amelyek sak két különböz® indexet tartalmaznak, mondjuk az 1-t ésa 2-t. Ilyen független komponens sak egy van, pl. az R1212. A -típusú komponensek száma nyilván� = �n2� = n(n� 1)2 :A Riemann-tenzor független komponenseinek száma tehát n dimenzióban a következ®:Cn = �a + �b + � = 112n2(n2 � 1): (14.2)Az antiszimmetria következtében a Riemann-tenzorból kontrak ióval sak egy másodrend¶ tenzor képez-het®, amelyet Ri i-tenzornak neveznek:Rjl = Ri:jil = ��ilj�xi � ��iij�xl + �iim�mlj � �ilm�mij : (14.3)A (14.3)-ból nem nyilvánvaló, de a Ri i-tenzor szimmetrikus:Rjl = gikRkjil = gikRilkj = Rk:lkj = Rlj :További kontrak ióval kapjuk a Ri i-skalárt: R = gjlRjl = Rjj .Két dimenzióban a Riemann-tenzornak sak egy független komponense van, amely -típusú. Milyen kap- solatban van ez a K Gauss-görbülettel?Fejezzük ki mindenekel®tt a Riemann-tenzort olyan alakban, amelyben a tenzor komponensei az R Ri i-skalár megadásával rögzíthet®k. Az Rijkl nyilván felírhatóRijkl = (gikgjl � gilgjk) �Aalakban, mert a jobboldal kielégíti a Riemann-tenzor szimmetriáit és tartalmaz egy szabadon megválaszthatóA(x) függvényt. Kétszer egymás után kontrahálunk, eközben kihasználjuk, hogy (8.4) szerint gji = Æji és ezérta metrikus tenzor kontrak iója a dimenziószámot adja eredményül. Ezt kapjuk:Rjl = gjlA R = 2A;amelynek alapján Rijkl = 12(gikgjl � gilgjk)R (n = 2): (14.4)Spe iálisan gömb esetében R-nek konstansnak kell lennie. Ezt így láthatjuk be: Az R skalárfüggvény, így bár-milyen koordinátarendszer felhasználható a kiszámításához. Ezért akármelyik P pontban akarjuk kiszámítani

14 A RIEMANN-TENZOR TULAJDONSÁGAI 34R-t, a koordinátarendszert mindig felvehetjük úgy, hogy a P azonos helyzetben legyen a koordinátarendszerhezképest (pl. legyen mindig az origóban). Ha ezt tesszük, akkor a gömb pontjainak egyenérték¶sége miatt agij(P ), a �ijk(P ) és az Rijkl(P ) komponensek számértéke minden pont esetében ugyanaz lesz. Ebb®l akár(14.3), akár (14.4) alapján következik, hogy az R skalár minden pontban ugyanaz a szám.A 9. és a 12. fejezet képleteinek felhasználásával könnyen kiszámíthatjuk a Riemann-tenzor bármelykomponensét, így R-t is, és az R = 2=a2 képletre jutunk: A gömb esetében tehát a Ri i-skalár a Gauss-görbület kétszerese. Belátható, hogy ez a kap solat érvényes bármely kétdimenziós felületre: K = R=2. Ennek aképletnek a segítségével könnyen felírhatjuk a (13.2) képletet, amelynek Gauss nevéhez f¶z®d® eredeti levezetésema is méltán vált ki sodálatot.Amikor n > 2, a Riemann-tenzor el®állítható olyan alakban, amely lehet®vé teszi, hogy a független kom-ponensek egy részét az Rij komponensek értékének az el®írásával adhassuk meg. Ennek érdekében keressükRijkl-t az Rijkl = Aikgjl �Ailgjk +Ajlgik �Ajkgil + Cijkl (14.5)alakban, ahol Aij valamilyen szimmetrikus tenzor. Az els® négy tag rendelkezik a Riemann-tenzor szimmet-riatulajdonságaival, ezért Cijkl is ugyanilyen szimmetriájú. Válasszuk meg az Aij mennyiségeket a Ci:jil = 0feltételb®l. Ha ez teljesül, akkor Ri:jil = Rjl = A � gjl + (n� 2)AjlR = 2(n� 1)A;ahol A = Aii. Ezeket az egyenleteket megoldjuk Ajl-re:Ajl = 1n� 2Rjl � 12(n� 1)(n� 2)R � gjl;és ezt a megoldást visszaírjuk (14.5)-be:Rijkl = 1n� 2�Rikgjl �Rilgjk +Rjlgik �Rjkgil��� 1(n� 1)(n� 2)�gikgjl � gilgjk�R+ Cijkl : (14.6)Az (14.6) jobboldalán az 12n(n + 1) darab Rij mennyiség önkényesen megadható. n = 3-nál ez hat kom-ponenst jelent, ugyanannyit, amennyi a Riemann-tenzor független komponenseinek a száma (C3 = 6), ezértekkor Cijkl = 0. Térid®ben a Riemann-tenzor független komponenseinek a száma húsz, és Cijkl , amelyet Weyl-tenzornak hívnak, már nem feltétlenül zérus. Látni fogjuk, hogy az Einstein-egyenletek szerint az olyan térid®tartományokban, amelyekben nin s anyag (se része skék, se sugárzás formájában), a Ri i-tenzor zérus, de agörbület nem t¶nik el, mert a Weyl-tenzor különbözhet zérustól.A Riemann-tenzor komponensei között minden metrikánál fennáll armRi:jkl +rkRi:jlm +rlRi:jmk = 0 (14.7)relá ió, amelyet Bian hi-azonosságnak neveznek.Az azonosság geometriai jelentése a következ®: Képzeljünk el egy in�nitezimális téglatestet, amelynek alapjain a pozitív orientá iót úgy vesszük fel, hogy a lapokra kívülr®l ránézve a pozitív orientá ió egyöntet¶enaz óramutató járásával azonos (vagy egyöntet¶en azzal ellentétes) legyen. A lényeges pont itt az, hogy mindenél két szomszédos laphoz tartozik, és amikor a két lapot pozitív irányban kerüljük meg, az élen egyszer azegyik, másszor a másik irányban haladunk végig.Vegyünk fel P-ben egy U vektort, amelyet sorban mind a hat lap mentén pozitív irányban önmagávalpárhuzamosan körbeviszünk. Amikor olyan lap kerül sorra, amelynek P nem sú sa, a P -b®l kiinduló élmentén elvisszük a vektort a lap legközelebbi sú sába, majd a körbevitel után ugyanezen az élen visszahozzukP -be.Nyilvánvaló, hogy a leírt parallel transzportálási sorozat közben mindegyik él mentén a vektort pontosanugyanannyiszor transzportáljuk az egyik, mint a másik irányban, és ezért az eljárás végén P -ben ugyanazt az

15 PÉLDA: A 2D PSZEUDOGÖMB 35U-t látjuk viszont, amelyikb®l kiindultunk. Ezt a geometriai tényt fejezi ki a Bian hi-azonosság (a bizonyítástmell®zzük).A (14.7)-t az i; k indexpárban kontrahálva armRjl �rlRjm +riRi:jlm = 0azonosságra jutunk, amelyet a j; l indexpárban újra kontrahálva a gjlriRi:jlm = ri(gjlRijlm) = �riRimátalakítás után kapjuk a riGij = 0 Gij = Rij � 12gijR (14.8)kétszer kontrahált Bian hi-azonosságot, amely aGij Einstein-tenzor divergen iamentességét fejezi ki tetsz®legesRiemann-sokaságon (a riU i skalár a divU = �xUx + �yUy + �zUz divergen ia kovariáns megfelel®je). Ezmatematikai szempontból éppen olyan azonosság, mint a gij � gji � 0, sak fontosabb, mert divergen iáravonatkozik, és a divergen iákkal megmaradási tételek fejezhet®k ki. Látni fogjuk, hogy a Bian hi-azonosságnakaz energia és az impulzus megmaradásában lesz fontos szerepe.* * *Fejezzük ki a gij , gij , �ijk , Ri:jkl, Rijkl, Rjl valamint az R �zikai dimenzióját a koordináták dimenzióinkeresztül.Az xi dimenzióját jelöljük [i℄-vel és induljunk ki abból, hogy az ívelem hosszúság dimenziójú: [ds2℄ = L2.Ennek alapján könnyen igazolható, hogy minden geometriai dimenzióban[gij ℄ = L2[i℄[j℄ ; [gij ℄ = [i℄[j℄L2 ; [�ijk ℄ = [i℄[j℄[k℄[Ri:jkl℄ = [i℄[j℄[k℄[l℄ ; [Rijkl℄ = L2[i℄[j℄[k℄[l℄[Rjl℄ = 1[j℄[l℄ : [R℄ = 1L2 :Figyeljük meg, hogy R dimenziója tetsz®leges dimenziójú koordináták mellett minden geometriai dimenzióbanegyöntet¶en 1=L2-el egyenl®.15. Példa: A 2D pszeudogömbA 2D gömb görbültsége olyan egyszer¶, hogy nin s értelme külön foglalkozni vele. Vizsgáljuk meg inkábbhelyette a �x2 � y2 + z2 = a2 (z > 0) (15.1)felület tulajdonságait. Vezessük be a polárkoordinátákkal analóg �r; �#; ' koordinátákat azx = �r sh �# os' y = �r sh �# sin' z = �r h �# (�# � 0) (15.2)képletekkel, amelyekben a felület egyenlete �r = a, �# és ' pedig felületi koordináták.A 3D euklidészi térben a (15.1) által leírt felület forgási hiperboloid. Sokkal érdekesebb felületre jutunkazonban, ha azt tételezzük fel, hogy a (15.1) által meghatározott felület nem a 3D euklidészi térbe, hanem a3D pszeudoeuklidészi térbe van beágyazva, amelynek metrikájadl2 = dx2 + dy2 � dz2: (15.3)Ez a pszeudoeuklidészi tér supán matematikai segédeszköz, semmi köze a térid®höz. A bevezetését az indokolja,hogy � mint mindjárt látni fogjuk, � az ide beágyazott (15.1) felület metrikája pozitív de�nit, vagyis olyanfelület, amely elfogadható világ a "laposlények" számára, akiket egyáltalán nem érdekel, hogy a világuk mibevan beágyazva.Ha a (15.2)-b®l �r = a mellett kiszámítjuk a dx; dy; dz di�eren iálokat és behelyettesítjük ®ket (15.3)-ba, adl2 = a2(d�#2 + sh2 �#d'2) (15.4)

15 PÉLDA: A 2D PSZEUDOGÖMB 36ívelemnégyzetre jutunk, amelyb®l leolvashatjuk a felület metrikus tenzorát:g�#�# = a2 g'' = a2 sh2 �#: (15.5)Az összehasonlítás a (9.6), (9.7) képletekkel mutatja a közeli rokonságot a 2D gömbbel.Számítsuk ki a felületünk Gauss-görbületét! A K = R=2 képlet, valamint a (14.4) alapján i = k = �#,j = l = ' választás mellett K = R�#'�#'g�#�#g'' = R�#'�#'a4 sh2 �#:A számláló kiszámításához szükség van a konnexiós koe� iensekre, amelyek a következ®k:��#'' = � sh �# h �# �'�#' = � th �#: (15.6)A (13.8) szerint ekkor R�#'�#' = �12 �2g''� �#2 + g''(�'�#')2 = �a2 � sh2 �#:Ezt K képletébe behelyettesítve kapjuk a K = �1=a2 végeredményt.14A felületünk görbülete tehát éppenúgy konstans, mint a gömbé, sak negatív: minden pont nyeregpont. Eza tulajdonság indokolja a pszeudogömb elnevezést.Az analógia azonban még mélyebb: A pszeudogömb éppúgy maximálisan szimmetrikus felület, mint azeuklidészi sík és a gömb, de jobban hasonlít a síkhoz abból a szempontból, hogy a térfogata végtelen15. Ezt atulajdonságot emeli ki felület másik neve: Bolyai-sík.Az xyz koordinátákban a gxx = gyy = �gzz = 1 metrika �gyelembevételével könnyen igazolhatjuk, hogy aKi(a) = (0; �z; �y) Ki(b) = (z; 0; x) Ki( ) = (�y; x; 0)mez®k kielégítik a Killing-egyenletet. Ahhoz azonban, hogy a Bolyai-sík Killing-mez®i legyenek, érinteniük kella (15.1) felületet, vagyis mindhárom mez®nek ortogonálisnak kell lennie a (15.1) normálisára.Ha az (x; y; z) és az (x + dx; y + dy; z + dz) pont az f(x; y; z) = konst felületen fekszik, akkor �f�xdx +�f�y dy + �f�z dz = 0. A felület n normálvektora mer®leges erre a (dx; dy; dz) elmozdulás-vektorra: n � dx = 0.A két képlet összevetéséb®l kapjuk n kovariáns komponenseit16:(nx; ny; nz) = ��f�x ; �f�y ; �f�z� : (15.7)Esetünkben f(x; y; z) = �x2 � y2 + z2, így (nx; ny; nz) = 2 � (�x; �y; +z) és ekkor mindhárom K(:) vektormer®leges n-re: n �K(:) = niKi(:) = 0.A pszeudogömb térfogatát ugyanúgy lehet számítani, mint a gömbét. Az ívelemnégyzet a két esetben akövetkez®: dl2 = 8<:a2d#2 + sin2 # d'2 0 � # � � a gömbnél,a2d�#2 + sh2 �# d'2 0 � �# <1 a pszeudogömbnél. (15.8)A gömb esetében a (#; # + d#) sáv térfogata (felszíne) a # = konstans kör hosszának, 2�a sin#-nak és a sávad# magasságának szorzatával egyenl®. Az egész gömb "térfogatát" (felszínét) # szerinti integrálással kapjuk:V2 = Z �0 2�a sin# � a � d# = � 2�a2 os#���0 = 4�a2:A pszeudogömb esetében ugyanez az eljárással azt találjuk, hogy�V2 = Z 10 2�a sh �# � a � d�# =1:14Ezt az eredményt meg lehet kapni közvetlenül a gömbre vonatkozó megfelel® képletekb®l a z �! iz, a �! ia, # �! i�#helyettesítéssel (i a képzetes egység), mert a képletek a szóbanforgó változók komplex értékeinél is érvényesek.15Számunkra a gömbnek és a pszeudogömbnek felszíne van, de a "laposlények" szempontjából ez térfogatnak számít. Mivel anéz®pontunk els®sorban a laposlényeké, ezért ilyen esetekben a térfogat szót használjuk16Ebben a gondolatmenetben sak az n irányának van jelent®sége, ezért az n normájával nem foglalkozunk.

16 AZ ÁLTALÁNOS RELATIVITÁSELMÉLET TÉRIDEJE 37* * *Eddig azt hittük, hogy a háromdimenziós szemléletünk számára minden kétdimenziós felület hozzáférhet®.A Bolyai-sík esetében nem ez a helyzet: Képtelenek vagyunk elképzelni olyan felületet, amelynek ugyanolyanszimmetriái vannak, mint az euklidészi síknak és minden pontja nyeregpont. Ennek az az oka, hogy � mintHilbert 1900-ban bebizonyította, � a Bolyai-síkot nem lehet a 3D euklidészi térbe beágyazni.Ha a laposlényeknek a geometriai tapasztalat azt sugallja, hogy a világuk maximálisan szimmetrikus, akkora matematikusaik rá tudnak jönni, hogy a világuk görbülete konstans, és vagy pozitív (gömb), vagy negatív(pszeudogömb), vagy nulla (sík). De ha a világuknak sak elenyész®en kis részét népesítik be, akkor nagyonnehéz választaniuk a három lehet®ség között, mert a görbület sak elég nagy méret¶ tartományokban vehet®észre.Elhatározhatják például, hogy megmérik az r sugarú körök K(r) kerületét. Ha kisebbnek találják, mint2�r, akkor gömbön élnek (mert r = a# és K(r) = 2�a sin(r=a) < 2�r), ha nagyobbnak, akkor pszeudogömbön(mert r = a�# és K(r) = 2�a sh(r=a) > 2�r), ha pedig pont 2�r-nek, akkor eulidészi síkon. �k ezt úgy fejezikki, hogy az els® esetben a világuk zárt, a másodikban (és a harmadikban is) nyitott. De ez nagyon nehéz mérés,mert nagyon nagy köröket kell lemérni és � mivel a világuknak sak nagyon kis tartománya lakható, � nemis tudnak megnyugtatóan dönteni.Mi is ugyanebben a helyzetben vagyunk a saját Univerzumunkkal.16. Az általános relativitáselmélet téridejeA spe iális relativitáselmélet térideje pszeudoeuklidészi sokaság. Minkowski-koordinátákban az ívelemnégyzeta következ® ds2 = 2dt2 � dx2 � dy2 � dz2 � (dx0)2 � (dx1)2 � (dx2)2 � (dx3)2 � �ijdxidxj ; (16.1)ahol �ij = 8><>:1 ha i = j = 0,�1 ha i = j = 1; 2; 3,0 ha i 6= j (16.2)a Minkowski-szimbólum (az �00 helyett az �tt = 2�00 komponenst is fogjuk használni).A relativitáselmélet térideje a spe iális relativitáselmélet téridejének görbült változata, amelybends2 = gijdxidxj : (16.3)A metrikus tenzor most inde�nit, mert ds2 lehet akármilyen el®jel¶, s®t nulla is: Az általános relativitáselmélettérideje pszeudoriemann sokaság.A pszeudoriemann térid® geometriája lényegesen különbözik a 4D Riemann-tér geometriájától, de a for-mulák szintjén alig van eltérés közöttük: A Æij Krone ker-szimbólumot mindenütt az �ij Minkowski-szim-bólummal kell helyettesíteni, ahol metrikus tenzor értelemben fordul el® (és a latin idexekre az összegzésta 0,1,2,3 értékekre kell érteni). Így (8.8) jobboldalán a Krone ker-szimbólum helyébe Minkowski-szimbólumkerül. A lokális koordinátabázist ekkor pszeudoortonormáltnak hívjuk. Az ott megfogalmazott tétel tehát mosta következ®: A térid® bármely P pontjához választható olyan koordinátarendszer, amelybengij(P ) = �ij és �gij�xk = 0����P vagy �ijk(P ) = 0 (8i; j; k) (16.4)(lokálisan Minkowski-koordináták). A görbületlenség Riemann-féle kritériuma (13. fejezet) pedig a következ®lesz: A térid® akkor görbületlen, ha felvehet® rajta Minkowski-féle koordinátarendszer (vagyis olyan koordiná-tarendszer, amelyben mindenütt gij = �ij)A Riemann és a pszeudoriemann sokaság közötti különbség abszolút, mert a Riemann-sokaság és a térid® ametrikus tenzor g determinánsának el®jelében különbözik egymástól, és ez az el®jel koordinátatranszformá ióvalnem változtatható meg. Ezt így lehet belátni:

16 AZ ÁLTALÁNOS RELATIVITÁSELMÉLET TÉRIDEJE 38A gi0j0 = �xk�xi0 �xl�xj0 gkl képletben tekintsünk minden tényez®t mátrixnak: g0 = Mg(M)T 17. A jobboldalimátrixszorzatban Mik = �xk�xi0 , a T pedig transzponálást jelent. Ismeretes, hogy mátrixok szorzatának deter-minánsa egyenl® a determinánsok szorzatával és MT =M , ezért g0 =M2g, amelyb®l következik, hogy g0 és gel®jele nem különbözhet egymástól.A Riemann-sokaságon g > 0, mert lokálisan Des artes-koordinátákban g = 1 és minden ponthoz találhatóilyen koordinátarendszer. Hasonlóan, a térid®n g < 0, mert lokálisan Minkowski-koordinátákban g = �1 ésminden ponthoz tartozik ilyen koordinátarendszer.A g el®jelének invarian iája azonban nem zárja ki, hogy a térid® bármely kiválasztott pontjában a metrikustenzort egy alkalmas koordinátatranszformá ióval az �ij , egy másik koordinátatranszformá ióval pedig az �0ij =��ij alakra lehessen hozni, mert a két tenzor determinánsa egyenl® egymással. Belátható azonban, hogy ha ametrikus tenzort koordinátatranszformá ióval egy pontban több különböz® diagonális alakra lehet hozni, akkora pozitív és a negatív elemek számának a különbsége (szignatúra) mindegyik diagonális alakban ugyanannyi.Az �ij szignatúrája -2, az �0ij -é +2, ezért sak az egyik diagonális alak lehetséges. Az már konven ió kérdése,melyik lehet®séget választjuk18.A radikális újdonság a Riemann-geometriához képest az, hogy a térid®ben három különböz® típusú vektorlétezik: id®szer¶ (V2 > 0), térszer¶ (V2 < 0) és fényszer¶ (V2 = 0). Az érint®vektor típusa szerint avilágvonalak (így nevezzük a térid®beli görbéket) szintén lehetnek id®szer¶ek, térszer¶ek vagy fényszer¶ek, ésa típus változhat, ahogy haladunk a világvonalon.A geodetikusokon azonban V2 állandó, ezért minden geodetikus határozottan az egyik típushoz tartozik.Mindegyik típus kielégíti a geodetikus egyenletet és a kezd®feltételként megadott V i(�1) = �dxid� ��1 határozzameg, milyen típusú lesz a megoldás. * * *Összefér-e ez a térid® az ekvivalen ia-elvvel?Az ekvivalen ia-elv szerint minden szabadon forgásmentesen gravitáló ¶rhajó egy I lokális iner iarendszer.A �zikai jelenségek nyelvén ez azt jelenti, hogy súlytalanság van, a nyugvó giroszkópok tengelye folyamatosanaz ¶rhajó falának ugyanarra a pontjára mutat, a fénysebesség minden irányban -vel egyenl®. Matematikai-lag pedig annyit jelent, hogy � mint minden iner iarendszerben � az ¶rhajóban is felvehetünk Minkowski-koordinátákat, amelyeket a 2. fejezetben írtunk le. Elképzelünk egy XYZ koordinátarendszert, amelynek azorigója valahol az ¶rhajó közepén van és a koordinátarendszerben nyugvó ideális órákat, amelyeket annakalapján szinkronizálunk, hogy a fénysebesség minden irányban -vel egyenl®. Ebben a koordinátarendszerbentermészetesen gij = �ij .A térid® azonban, amelyben az ¶rhajó mozog, általában görbült, ezért nem létezik benne olyan koordi-nátarendszer, amelyben a gij = �ij egyenl®ség mindenütt teljesül. Ahhoz azonban, hogy az ¶rhajó lokálisiner iarendszer legyen elegend®, ha ez a relá ió az ¶rhajóban érvényes.Pontosítsuk ezt a követelményt! Tegyük fel, hogy a gij = �ij egyenl®ség pontosan teljesül az XYZ koor-dinátarendszer origójában és ha gij-t az origó körül Taylor-sorba fejtjük x; y; z szerint, akkor a Taylor-sorbannem lépnek fel lineáris tagok (�gij=�xkj0 = 0):gij(x; y; z) = �ij+12 � �2gij�x2 ����0 x2 + �2gij�y2 ����0 y2 + �2gij�z2 ����0 z2 + 2 �2gij�x�y ����0 xy + 2 �2gij�x�z ����0 xz + 2 �2gij�y�z ����0 yz�+: : :(a gij argumentumában a t id®t mindenütt elhagytuk). Ha ez teljesül, akkor egy kisméret¶ ¶rhajóban gij � �ijEz a matematikai kritériuma annak, hogy az ¶rhajó lokális iner iarendszer legyen19.A térid®ben az XYZ koordinátarendszer origója egy G geodetikust ír le, amelyet az ¶rhajó világvonalánakfogunk tekinteni. Ez a geodetikus id®szer¶, vagyis V2 > 0. Ezt abból állapíthatjuk meg, hogy G egyenlete aválasztott koordinátarendszerben t = �; x = 0; y = 0; z = 0; (16.5)17Az A mátrix determinánsa A.18A Riemann és a pszeudoriemann sokaság abszolút különböz®sége ebb®l a tételb®l is következik.19A kidolgozott elméletben meghatározható, hogy egy adott jelenség szempontjából egy adott méret¶ ¶rhajó milyen pontossággaliner iarendszer.

16 AZ ÁLTALÁNOS RELATIVITÁSELMÉLET TÉRIDEJE 39amelynek érint®vektora V = (V t; V x; V y; V z) = (1; 0; 0; 0):Így V2 = �ijV iV j = �tt = 2 > 0.A geodetikus hipotézis szerint a szabadon mozgó objektumok geodetikusokon mozognak. Ezt most ponto-síthatjuk azzal, hogy a pályának id®szer¶ geodetikusnak kell lennie.Az eddigi gondolatmenet lényegét tömören így foglalhatjuk össze: Ha az ekvivalen ia-elv igaz, akkor atérid® minden id®szer¶ G geodetikusához található olyan koordinátarendszer, amelybengij(G) = �ij és �gij�xk ����G = 0 vagy �ijk(G) = 0 (8i; j; k): (16.6)A térid® tehát akkor fér össze az ekvivalen ia-elvvel, ha matematikailag igazolható, hogy a pszeudoriemanntérid® minden G id®szer¶ geodetikusához található olyan koordinátarendszer, amelyben (16.6) teljesül.Megmutatható, hogy ilyen koordinátarendszer tényleg mindig van. A (16.6)-t kielégít® koordinátákatFermi-koordinátáknak hívjuk. Ez a matematikai tétel a (16.4)-ben egyetlen P pontra megfogalmazott tételáltalánosítása egy G geodetikusra.Az ¶rhajó mozgását pl. a Nap körül természetesen nem a Fermi-koordinátákban, hanem polárkoordináták-ban tárgyaljuk, amelynek az origója a Nap középpontjában van. A G ebben a koordinátarendszerben savar-vonal az x0 tengely körül. A Fermi-koordinátákat az ¶rhajósok használják az ¶rhajón belül végzett �zikaikísérleteik matematikai leírásához.A párhuzamos elterjesztés (11.3) egyenlete a G-n történ® elterjesztésnél Fermi-koordinátákban a �ijk(G) = 0következtében a dU id� = 0 egyenletre redukálódik. Mivel (16.5) szerint � = t, ezért a G-n az elterjesztés a t id®függvényében történik. Ha tehát egy origóbeli vektor XY Z komponensei id®ben állandók (ez a helyzet pl. agiroszkóp tengelyének az irányával), akkor a G különböz® pontjaihoz tartozó vektorok a párhuzamos elterjesztésértelmében párhuzamosak egymással és bármelyik másik koordinátarendszerben is kielégítik a párhuzamoselterjesztés egyenletét (amelyben ez az egyenlet már korántsem redukálódik egyszer¶ deriválásra a világvonalparamétere szerint).Ez vonatkozik természetesen az XYZ koordinátarendszer bázisvektoraira is az origóban. Mivel ezek azirányok folyamatosan (minden t-ben) ugyanabban a pontban dö�k át az ¶rhajó falát, ezért az egész ¶rhajórais igaz, hogy az orientá iója id®ben a parallel transzportálás szabályának megfelel®en változik.Röviden: Amikor egy ¶rhajó forgásmentesen halad, akkor parallel transzportálódik a pályáját leíró G geode-tikuson.Ebben a megállapításban a forgásmentesség azt jelenti, hogy az ¶rhajóban (az I lokális iner iarendszerben)nyugvó giroszkópok állandón az ¶rhajónak ugyanarra a pontjára mutatnak, vagy � más szavakkal � az¶rhajóban nem lép fel entrifugális és Coriolis er®. Az így értelmezett forgásmentességet fou ault-i értelembenvett forgásmentességnek nevezzük, mert Fou ault nevezetes ingakísérletében a Föld forgását abból állapítottameg, hogy a kísérlet vonatkoztatási rendszerében fellépett Coriolis er®, amely forgatta az inga pályasíkját.Létezik egy másik, küls® értelemben vett forgásmentesség is: Az, ha az ¶rhajó orientá iója állandó a sillagoséghez képest. Ezt kopernikuszi értelemben vett forgásmentességnek fogjuk hívni. Amikor sak forgásmentességetmondunk, mindig fou ault-i értelemben értjük.A spe iális relativitáselméletben az objektumokhoz (gondolatban vagy valóságosan) rögzített ideális óraáltal mutatott id®t sajátid®nek neveztük és � -val jelöltük. Ezt a de�ní iót az általános relativitáselméletben isfenntartjuk. A sajátid® fogalmát a Fermi-koordinátákra alkalmazva megállapíthatjuk, hogy a Fermi-koordiná-tarendszer t koordinátaideje azonos a G geodetikus sajátidejével, mert mindkett®t az XYZ Fermi-koordinátákorigójában nyugvó ideális óra mutatja (vagy mutatná, ha tényleg ott lenne).A Fermi-koordinátarendszer tengelyeit elképzelhetjük a Des artes-tengelyekhez hasonlóan egymásra mer®le-ges egyenesekként(ld. a 3. ábrát, amelyen természetesen a z-tengelyt már nem tudtuk ábrázolni). A G geodeti-kus maga a t tengely. A metrikus tenzor sak ezen a tengelyen egyenl® pontosan �ij -vel, de a tengely valamilyenvéges kis környezetében jól közelíthet® a Minkowski-szimbólummal. A koordinátarendszerben feltüntettük az¶rhajó térid®beli helyzetét két sajátid®-pillanatban.

17 A SZABADON MOZGÓ TÖMEGPONT 40ct=ct

x

y

G

03.ábraAz ¶rhajósok a gyorsuló (nem geodetikuson mozgó) ¶rhajóban is ugyanúgy rögzítenek koordinátarendszerta kabinjukhoz, mint a szabadon gravitáló ¶rhajóban. Az origóban a metrikus tenzor most is a Minkowskiszimbólummal lesz egyenl®, de a konnexiós koe� iensek különbözni fognak zérustól és tehetetlenségi er®krevezetnek. Az a bizonyítás ugyanis, amellyel be tudjuk látni a Fermi-koordináták létezését, sak geodetikusokraérvényes.Ebb®l látszik, mennyire nem triviális az a következtetésünk, hogy a pszeudoriemann térid® összefér azekvivalen ia elvvel. A 2D gömbre vonatkozóan például az itt tárgyalt matematikai tétel azt jelenti, hogy olyankoordinátarendszer létezik, amelyben egy adott f®kör mentén gij = Æij és �ijk = 0, de a f®körrel párhuzamosszélességi körökhöz ilyen tulajdonságú koordinátarendszer nem található. A szemlélet számára egyáltalán nemevidens a két eset közötti különbség. * * *Az ekvivalen ia-elvnek fontos szerepe van az általános relativitáselmélet �zikai interpretá iójában. Akkorhasználható eredményesen, amikor olyan kérdésre keressük a választ, amely a térid® kis tartományára vonatko-zik. Ilyenkor többnyire élszer¶ a szóbanforgó tartományt egy "véletlenül éppen ott lév®" lokális iner iarendszerbelsejének tekinteni és koordinátarendszerként az ehhez tartozó Fermi-koordinátákat választani.Láttuk például, hogy a spe iális relativitáselmélet iner iarendszereiben Minkowski-koordinátákban a sa-játid® megváltozását a 2d�2 = 2dt2 � dx2 � dy2 � dz2 = ds2képlet határozza meg. Az ekvivalen ia-elv alapján ennek a képletnek érvényben kell maradnia az általános re-lativitáselmélet lokális iner iarendszereiben is Fermi-koordináták használata esetén. Mivel azonban mind ds2,mind d� invariáns, ezért a 2d�2 = ds2 = gijdxidxj (16.7)egyenl®ség valójában minden koordinátarendszerben érvényes bármely id®szer¶ világvonal bármely in�nite-zimális szakaszára.Az id®szer¶ világvonalakat leggyakrabban a sajátid®vel parametráljuk: xi = xi(�). EkkorV2 = gijV iV j = gij dxid� dxjd� = gijdxidxjd�2 = ds2d�2 = 2 = konstans;ezért a geodetikus egyenletben független változóként szabad � -t használni (a sajátid® a�n paraméter).17. A szabadon mozgó tömegpontA szabad tömegpontok id®szer¶ geodetikusokon mozognak, amelyeket a sajátid®vel parametrálunk. A geode-tikus V i = dxid� (17.1)

17 A SZABADON MOZGÓ TÖMEGPONT 41érint®vektora a tömegpont négyessebessége. Mint láttuk, V2 = 2. Ez ugyanaz a négyessebesség, amelyet aspe iális relativitáselméletben vezetnek be. Egy I lokális iner iarendszerben ugyanis, amely éppen "keresztezi"a tömegpont pályáját, a geodetikusnak az a rövid szakasza, amely I-n belülre esik, az ekvivalen ia elv alapjánegyenes vonal (más szakaszok más lokális iner iarendszerekben egyenesek), és az I-hez rögzített Minkowski-koordinátákban d� = dtq1� v2= 2. Ennek megfelel®en20V i = (V 0; V x; V y; V z) = dtd� �dx0dt ; dxdt ; dydt ; dzdt� == � =q1� v2= 2; vx=q1� v2= 2; vy=q1� v2= 2; vz=q1� v2= 2 � :A spe iális relativitáselméletben a négyesgyorsulást az A = dVd� képlettel de�niálják. Ez a mennyiségazonban sak Minkowski-koordinátákban vektor. Az általános relativitáselméletben négyesgyorsuláson logikusaz A = DVd� Ai = DV id� (17.2)abszolút deriváltat érteni. Most is igaz azonban, hogy � az ekvivalen ia-elvvel összhangban � lokális iner ia-rendszerben a két de�ní ió egybeesik (mert �ijk = 0).A négyessebesség és a négyesgyorsulás ortogonális egymásra: V �A = 0. Ez abból következik, hogy egyrésztV2 = 2 következtében dV2d� = 0, másrészt a Leibniz-szabály alapján dV2d� = 2V � dVd� = 2V �A.A szabad tömegpont geodetikuson mozog, ezért V kielégíti aDV id� = dV idt + �ijkV jV k = 0 (17.3)geodetikus egyenletet, amit tömören A = 0 alakban is írhatunk: A szabadon gravitáló test négyesgyorsulásanulla. Pontatlanul ugyan, de ezt az elvet az 5. fejezetben már megfogalmaztuk.Hogyan lehet kiszámítani az xi = xi(�) geodetikus pálya ismeretében a tömegpont energiáját? Ahhoz, hogya kérdésre válaszolni tudjunk, a geodetikus mozgásállandók tétele szükséges. Ez a tétel azt mondja ki, hogy haK Killing-mez®, akkor a (V �K) skalár értéke a geodetikuson állandó:dd� (V �K) = 0:Igazolás: Legyen W tetsz®leges vektormez®. Akkordd� (V �W) = dd� (V iWi) = Dd� (V iWi) = DV id� Wi + V iDWid� ;ugyanis skalárra való hatásnál d=dt = D=dt. Az els® tag a geodetikus egyenlet következtében zérus. A másodiktagban W abszolút deriváltja áll, amit (11.2) segítségével átalakítunk:dd� (V �W) = V iV jrjWi = 12V iV j(rjWi +riWj) (10:15)= 12V iV jLW gij : (17.4)Amikor W =K Killing-vektor, akkor a jobboldal nulla és megkapjuk a bizonyítandó állítást.Megjegyezzük, hogy a bizonyítás tetsz®leges típusú geodetikusra érvényes, ha a deriválás a�n paraméterszerint történik.A me hanikából ismeretes, hogy a mozgásállandók szimmetriákhoz köt®dnek (Noether-tétel), a Killing-mez®k pedig a térid® szimmetriáit jellemzik. Ezt a kap solatot kell felhasználnunk a megmaradó mennyiségekazonosítására.Az energia az a mennyiség, amely akkor marad meg, amikor a körülmények id®ben állandók (a Lagrange-függvény nem függ expli ite az id®t®l). A térid®ben ennek olyan szimmetria felel meg, amelyhez id®szer¶Killing-mez® tartozik. Ilyenkor a koordinátarendszert élszer¶ úgy választani, hogy ez a Killing-mez® legyen a20Magához a mozgó tömegponthoz tartozó Fermi-koordinátákban természetesen V i = ( ; 0; 0; 0).

18 A FÉNYSUGARAK A TÉRID�BEN 42lokális koordinátabázis e0 eleme, mert � mint a 7. fejezetben láttuk � a metrikus tenzor ekkor nem függ akoordinátaid®t®l: �gij�x0 = 0 (8i; j): (17.5)Az ehhez tartozó megmaradó mennyiség (V � e(0)) = V0: A szabadon gravitáló tömegpont E energiája anégyessebesség nulladik kovariáns komponensével arányos.Amikor a test iner iarendszerben nyugszik (V i = Æi0), az energiája Minkowski-koordinátákban m 2-telegyenl®. Ez a feltétel rögzíti az arányossági tényez® értékét m -nek: W = m V0. Ez a képlet minden koordiná-tarendszerben érvényes akkor is, amikor az energia nem marad meg és a mozgás nem geodetikus. Az id®szer¶Killing-szimmetria ugyanis sak az energia képletének a megtalálásához kellett.Az m V0 képlet a newtoni me hanika mv2=2 kinetikus energia képletének felel meg az általános relativi-táselméletben, de � mint látni fogjuk � magában foglalja a nyugalmi energiát és a gravitá iós poten iálisenergiát is.Megszoktuk, hogy az energia sak additív konstans erejéig van meghatározva, mert mindig energiaváltozássalvan dolgunk. Az általános relativitáselméletben azonban magának az energiának is határozott �zikai jelentésevan, ugyanis � mint látni fogjuk � lényegében az energia az, ami a térid® görbületét létrehozza. Ezért azenergia nullával egyenl®, amikor nem hoz létre görbületet, és ez kizár bármiféle önkényes additív állandót. Azm V0 képlet megfelel ennek a feltételnek.Egy másik fontos megmaradó mennyiség az ~L impulzusmomentum, amelynek Lz komponense akkor maradmeg, amikor a körülmények nem változnak a z-tengely körüli elforgatáskor. Válasszuk a K koordinátarendszertúgy, hogy a koordináták között szerepeljen a ' azimutszög. Ha a K-ban a metrikus tenzor egyik komponensesem függ '-t®l, akkor e(') Killing-mez®, amelyhez a V' megmaradó mennyiség tartozik. Az Lz tehát arányosV'-vel.Sík térid®ben r; '; z hengerkoordinátákban a metrikus tenzorg00 = 1; grr = �1; g'' = �r2; gzz = �1;így V' = �r2V ' = �r2 d'd� . Másrészt Lz = mr2 d'dt , ezért Lz = �m V'.Ez a példa jól illusztrálja, hogy noha V vektor sak egy van, a kontravariáns és a kovariáns alak �zikaijelentése különböz®: V ' a szögsebesség, V' az impulzusmomentum z-komponense.18. A fénysugarak a térid®benA) A geometriai optikai közelítés.Az általános relativitáselmélet szerint a fénysugarak elhajlanak a Nap körül meggörbült térid®ben21. Agörbültség azonban a látható fény hullámhosszának megfelel® méretekben egyáltalán nem vehet® észre, ezértaz általános relativitáselméletben a fény terjedését geometriai optikai közelítésben kell tárgyalni.A geometriai optikai közelítésben a térid® valamilyen tartományára kiterjed® fényhullámot olyan síkhullám-nak képzeljük el, amelynek terjedési iránya, frekven iája, amplitúdója és polarizá iója a térben és az id®bennagyon lassan változik. Ezt a lassú változást a térid® görbültsége okozza, amely úgy fejti ki a hatását, minthaa teret 1-hez közeli, alig észrevehet®en változó törésmutatójú közeg töltené ki.Ilyen feltételek mellett a fényhullámnak a tér minden pontjában minden pillanatban meghatározott (x)fázisa van22 és a fény fénysugarak mentén terjed.A tér adott pontjában (rögzített (x1; x2; x3) -nál) a fázis változási sebessége a körfrekven ia:� �t = �! vagy � �x0 = �! : (18.1)A minusz el®jel annak a konven iónak a következménye, hogy a fázist akkor tekintjük növeked®nek, amikora fénysugár terjedési irányában haladunk, és ennek következtében az id® el®rehaladtával egy adott pontba a21A jelenségr®l már volt szó az 5. fejezet végén.22A fázist azért jelöljük -vel, hogy ne lehessen összetéveszteni a ' azimutszöggel. A geometriai optikában egyébként, ahol afázis egy spe iális skalármez® szerepét tölti be, a "fázis" elnevezés helyett szokásosabb az "eikonál" nevet használni.

18 A FÉNYSUGARAK A TÉRID�BEN 43fénysugár egyre kisebb és kisebb fázisú pontjai kerülnek. A +!= mennyiség aki = � � �xi (18.2)(négyes) hullámvektor nulladik kovariáns komponense. A három térszer¶ komponens a � hullámhosszal kap so-latos, mert azt határozza meg, hogy milyen gyorsan változik a fázis, amikor adott id®pillanatban elmozdulunka fénysugár mentén.A k térszer¶ komponenseinek és a hullámhossznak a kap solatát a lokális iner iarendszerek segítségévelrögzíthetjük. Ha ugyanis a hullámtér egy kis kiterjedés¶ tartományát egy "éppen ott lév®" I lokális iner ia-rendszer Fermi-koordinátáira vonatkoztatjuk, akkor k2x + k2y + k2z = �2�� �2. Az I-ben az ekvivalen ia elvalapján a fénysebesség minden irányban -vel egyenl®, amit a �� = , vagyis az !2= 2 � k2x � k2y � k2z = 0egyenl®ség fejez ki. Ez utóbbit kiki = 0 (18.3)alakban is írhatjuk, amely már tetsz®leges koordinátarendszerben érvényes (nem sak I-ben Fermi-koordiná-tákban). A k vektor tehát fényszer¶.B) A fénysugarak.Mivel a (x) mez®, a k(x) is az. Az els® skalármez®, a második vektormez® a térid®nek abban a tartományá-ban, amelyet a fényhullám elfoglal. A fénysugarak a k(x) mez® áramvonalai: Azok az xi = xi(�)23 görbék,amelyek minden pontjukban érintik a k mez®t, azaz V i = dxid� érint®vektoruk a görbe minden pontjában ak mez® irányába mutat. A leg élszer¶bb az, ha az xi(�) parametrálását úgy választjuk, hogy az érint®vektorlegyen egyenl® k-val: V i(�) = ki(x)jx=x(�). A fénysugarak egyenlete ekkor a következ®:dxid� = ki(x): (18.4)Az általános esetben ez egy nagyon bonyolult nemlineáris egyenletrendszer az xi(�) függvényekre, mert ajobboldalon a k(x) argumentumában xi-n az xi(�) függvényeket kell érteni.Most már könnyen igazolhatjuk, hogy a fénysugarak geodetikusok, azaz eleget tesznek adV id� + �ijlV jV l = 0geodetikus egyenletnek. De még a bizonyítás el®tt írjuk át ezt az egyenletet egy másik, élszer¶bb alakba.Ennek érdekében helyettesítsük a V-t k-val. A második tagban ez minden további nélkül megtehet®, az els®tazonban el®bb át kell alakítani: dV id� = �ki�xl dxld� = �ki�xl kl:A geodetikus egyenletet tehát így írhatjuk: kl��ki�xl + �ijkkj� = 0;azaz klrlki = 0: (18.5)Ezt az egyenletet kell igazolnunk.Vegyük a klkl = 0 egyenl®ség xj szerinti par iális deriváltját. Mivel�j(klkl) = rj(klkl) = (rjkl)kl + kl(rjkl) = 2klrjkl;ezért klrjkl = 0: (18.6)23A paraméter azért jelöltük �-vel a szokásos � helyett, mert a � ebben a fejezetben a hullámhossz jele.

19 A NAP KÖRÜLI KÖZELÍT� METRIKA A GEODETIKUS HIPOTÉZIS ALAPJÁN 44Azonban rjkl = �kl�xj � �mjlkm (18:2)= � �2 �xj�xl � �mjlkm (18:2)= �kj�xl � �mlj km = rlkj :Helyettesítsük ezt (18.6)-ba: klrlkj = 0. Ha ezt az egyenletet gij-vel megszorozzuk és kihasználhatjuk, hogygij átemelhet® a rl-n, a bizonyítandó (18.5)-re jutunk.A fénysugarak tehát valóban geodetikusok, amelyek fényszer¶ek, mert k érint®vektoruk (18.3) szerint fény-szer¶.Kérdés: Miért nem lehet ezt a következtetést levonni abból, hogy a fény fotonokból áll, a fotonok pedigrésze skék, amelyek a geodetikus hipotézis alapján geodetikuson mozognak, és mivel a sebességük , a pályájukfényszer¶ geodetikus?Azért nem, mert a fotonok nem része skék, hanem � a kvantumelmélet szerint � "kett®s természetük"van: Mindig egészben (része skeként) keletkeznek és nyel®dnek el, de a Maxwell-egyenleteknek megfelel®enelektromágneses hullámként terjednek. Amikor tehát a terjedésükr®l van szó, semmiképpen sem lehet része s-kéknek tekinteni ®ket.C) A fázisfelületek.Ha egy adott t = t0 pillanatban rátekintünk a hullámtérre, akkor a (x; y; z; t0) � 0(x; y; z) függvény aztmutatja meg, hogy az x; y; z koordinátájú pontban mekkora a hullám fázisa. A fázisfelületek a 0 = konstansfelületek.A k térszer¶ komponensei a fázisfelületek normálvektorai. Ezt így lehet igazolni: Legyen az (x; y; z) és ahozzá közeli (x+ dx; y + dy; z + dz) pont ugyanazon a 0 = konstans fázisfelületen, azaz legyend 0 = � 0�x dx+ � 0�y dy + � 0�z dz = 0:A (18.2) alapján ezt a képletet kxdx+ kydy + kzdz = 0 alakban is írhatjuk. Mivel a (dx; dy; dz) komponens¶vektor a választott fázissíkban van, ez a relá ió valóban azt bizonyítja, hogy a ~k hármasvektor ortogonális afázissíkra. Ez a vektor azonban egyben a t0 pillanatban felrajzolt fénysugár érint®vektora is, ezért a fázissíkokés a fénysugarak minden adott pillanatban ortogonálisak egymásra.Ha tehát adott t0-ban egy kiválasztott fénysugarat követünk, akkor mindig a fázissíkokra mer®legesenhaladunk és az egymástól 2� konstansban különböz® fázissíkok között éppen egy hullámhossznyi utat teszünkmeg. A fényelhajlás tárgyalásánál ezt a tényt fogjuk majd kihasználni.19. A Nap körüli közelít® metrika a geodetikus hipotézis alapjánA Nap körüli térid® metrikáját az Einstein-egyenletek alapján fogjuk majd pontosan kiszámítani. Ebben afejezetben korlátozottabb élt t¶zünk ki: Azt kívánjuk megmutatni, hogy a Kepler-pályákat lehet geodetiku-soknak tekinteni. Másképpen megfogalmazva ugyanezt: Megpróbáljuk "kitalálni" a térid® metrikáját abból akövetelményb®l kiindulva, hogy a bolygópályák legyenek geodetikusok. A gondolatmenet a következ® lesz:1. El®ször felírjuk a spe iális relativitáselmélet sík téridején a geodetikusok egyenleteit � a szabad tömeg-pontok mozgásegyenleteit, � polárkoordinátákban.2. Ezekben az egyenletekben elvégezzük azt a módosítást, amely a� = �GMr (19.1)gravitá iós poten iálban mozgó tömegpont mozgásegyenleteivé változtatja ®ket.3. Megkeressük azt a legegyszer¶bb metrikus tenzort, amely mellett ezek az egyenletek geodetikus egyenlettéválnak.

19 A NAP KÖRÜLI KÖZELÍT� METRIKA A GEODETIKUS HIPOTÉZIS ALAPJÁN 45Polárkoordinátákban a geodetikus egyenletek általános alakja a következ®:d2td�2 + �tij dxid� dxjd� = 0d2rd�2 + �rij dxid� dxjd� = 0d2#d�2 + �#ij dxid� dxjd� = 0d2'd�2 + �'ij dxid� dxjd� = 0; (19.2)amelyekben xi = (x0; x1; x2; x3) = ( t; r; #; '). Tömegpontok mozgásáról lévén szó paraméterként a sajátid®thasználjuk.A sík térid® metrikája polárkoordinátákban a következ®:g00 = 1 2 gtt = 1; grr = �1; g## = �r2; g'' = �r2 sin2 #: (19.3)Az ehhez tartozó konnexiós koe� iensek közül azok, amelyek a t indexet tartalmazzák mind nullák, a többikonnexiós koe� iens pedig a (10.13)-ban található meg.Az (19.2) els® egyenletében az összes konnexiós koe� iens zérus, ezért dtd� = konstans. A ds2 = 2d�2 = 2dt2 � dl2 = (1� v2= 2) � 2dt2 képletb®l leolvasható, hogy a konstans 1=q1� v2= 2-el egyenl® és a sebességállandóságát fejezi ki. A d� és a dt arányossága miatt (19.2) többi egyenletében � helyettesíthet® t-vel:d2rdt2 � r�d#dt �2 � r sin2 # �d'dt �2 = 0 (19.4)d2#dt2 � sin# os# �d'dt �2 + 2r drdt d#dt = 0 (19.5)d2'dt2 + 2r drdt d'dt + 2 tg# d#dt d'dt = 0: (19.6)A � gravitá iós poten iálban mozgó tömegpont (nemrelativisztikus) mozgásegyenletei ezekt®l az egyenle-tekt®l két pontban különböznek.El®ször is a t-szerinti deriválás helyett vissza kellene állítani a � -szerinti deriválást, mert a gravitá iósmozgásban � a körmozgás kivételével, � v 6= konstans. A bolygómozgás esetében azonban v � , ezért nagypontossággal d�dt = 1 és a geodetikus egyenletekben mégis meg lehet hagyni a t-szerinti deriválást.Az (19.4) baloldalához továbbá hozzá kell adni a d�dr tagot. Ez azonban sak akkor van így, ha a súlyosés a tehetetlen tömeg egyenl®. Ellenkez® esetben az új tag hozzáadása el®tt (19.4)-t be kellene szorozni azm tehetetlen tömeggel és ezután kellene az m� d�dr tagot hozzáírni. Az így el®álló egyenlet már biztosan nemtisztán geometriai objektumot � geodetikust � írna le.De els® látásra még m = m� mellett sem kapunk geodetikus egyenletet! Ha ugyanis (19.4)-ben a jelzettátalakítást elvégezzük, a d2rdt2 � r�d#dt �2 � r sin2 # �d'dt �2 + d�dr = 0 (19.7)egyenletre jutunk, amelyben az utolsó tag nem a geodetikus egyenletek szerkezetének megfelel® �rij dxidt dxjdtalakú, mert hiányzik bel®le a két sebesség szorzata. Amikor azonban a � paramétert t-vel közelítjük, a sebességt-komponense dtdt = 1-el egyenl®, ezért a d�dr tagot tekinthetjük �rtt�dtdt�2 = �rtt-nek: �rtt = d�dr . A metrikustenzort tehát úgy kell megválasztani, hogy teljesüljön a�rtt = 12grr �2�grt�t � �gtt�r � = d�dr (19.8)

19 A NAP KÖRÜLI KÖZELÍT� METRIKA A GEODETIKUS HIPOTÉZIS ALAPJÁN 46relá ió.Logikus feltenni, hogy a statikus Nap körüli térid® geometriája is statikus, ezért �grt�t = 0, és így grr = �1következtében �gtt�r = 2d�dr , ahonnan gtt = konstans + 2�. A konstansot 2-nek kell választani abból akövetelményb®l kiindulva, hogy r �!1-nél gij menjen át a sík térid® (19.3) metrikus tenzorába. Így végülg00 = 1 2 gtt = 1 + 2� 2 = 1� rgr ; (19.9)ahol rg = 2MG 2 (19.10)az M -tömeg¶ Nap gravitá iós sugara.A metrikus tenzor többi komponense ugyanaz, mint (19.3)-ban, ezért az ívelemnégyzet a következ®:ds2 = �1� rgr � 2 dt2 � dr2 � r2d#2 � r2 sin2 # d'2 == �1� rgr � 2 dt2 � dx2 � dy2 � dz2 == �1� rgr � 2 dt2 � dl2: (19.11)Mint látjuk, közelít® tárgyalásunkban a metrikus tenzort a � gravitá iós poten iál határozza meg. Anewtoni gravitá ió elméletben ez a � � mint minden poten iál � sak additív konstans erejéig van rögzítve.A g00-ban azonban ilyen szabadság nin s, mert az additív állandót meghatározza az a követelmény, hogy avégtelenben g00 tartson 1-hez.Az (19.11) metrikájú térid® görbült, mert a Riemann-tenzornak vannak zérustól különböz® komponensei:R0:r0r = rgr3 R0:#0# = � rg2r R0:'0' = �rg sin2 #2r : (19.12)Az (19.11)-b®l leolvasható metrikus tenzor determinánsa sak az r > rg tartományban negatív, ahogy atérid®n lennie kell (16. fejezet), ezért az r < rg tartományban (19.11) biztosan hibás. Ezen nem lep®dhetünkmeg, hiszen a bolygók, amelyek pályáiból (19.11)-t kiolvastuk, mind az r � rg tartományban mozognak. ANap tömegére ugyanis rg értéke mindössze 2.7 km (a Föld tömegével számolva kb. 1 m-t kapnánk).Az rg ki sisége miatt (19.11) szerint a térid® görbülete a bolygópályák tartományában nagyon ki si (bárigazából nin s mihez viszonyítani, mert a sík térid®re a Riemann-tenzor komponensei nullák). Ez azért lehetsé-ges, mert a bolygópályák maguk majdnem egyenesek, amikor a térid®ben szemléljük ®ket. Itt ugyanis nemzárt görbék, hanem olyan " savarvonalak" a t-tengely körül, amelyek menetmagassága (�) sokkal nagyobb,mint a sugara (r). A földpálya esetében pl. � = 1 év, r = 7:6 fényper , így �=r � 10�5, ami egy 1 kmmenetmagasságú, 1 m sugarú savarmenetnek felel meg.Az rg=r arány közvetlenül összefügg a bolygók sebességével. Egy köralakú bolygópálya sugarát az mv2=r entripetális er® és az mMG=r2 gravitá iós er® egyenl®sége határozza meg, amelyb®lv2 2 = 12 rgr : (19.13)Ez az egyenl®ség nagyságrendileg az ellipszis alakú pályákra is érvényes.Kérdés: Mekkora a Föld felszínén nyugvó test négyesgyorsulása?A képleteink a Föld körüli metrikára is érvényesek, ha M -n a Föld tömegét értjük. A földfelszínen nyugvótest négyessebessége V i = � dtd� ; drd� ; d#d� ; d'd� � � (1; 0; 0; 0);ezért Ai = DV id� = �itt. Csak az i = r komponens különbözik zérustól, amelynek az értéke a földfelszínen(r = R) a (19.8) képlet alapján Ar = d�dr = GMR2 = +g: A 4. fejezet el®zetes meggondolásában ezt némileghomályosan úgy fogalmaztuk meg, hogy a földfelszínen nyugvó test gyorsulása "a térid®höz képest" +g-velegyenl®.

20 AZ IKERPARADOXON A FÖLD GRAVITÁCIÓS TERÉBEN 4720. Az ikerparadoxon a Föld gravitá iós terébenA 3. fejezetben szó volt az ikerparadoxonról és arról, hogy a (3.3)-t az általános relativitáselméletben ál-talánosítani kell. Ezt most megtesszük.Indítsunk rakétát a földfelszínr®l függ®legesen fölfelé és tegyük fel, hogy a rakéta T ideig tartó függ®legesirányú utazás után érkezik vissza a starthelyre. A Föld forgásától az egyszer¶ség kedvéért tekintsünk el. Apálya egyenlete az el®z® fejezetben használt koordinátarendszerben, amelyet most a Földre vonatkoztatunk, akövetkez®: r = R+ h(t); h(t) � 0; h(0) = h(T ) = 0(R a földsugár). A rakétán eltelt sajátid®t a (3.3) következ® általánosítása fejezi ki:��1 = Z T0 d� = 1 Z T0 ds = 1 Z T0 s�1 + 2� 2 � 2dt2 � dr2 == Z T0 dts1 + 2� 2 � 1 2 �drdt�2 = Z T0 dts1� 2MG 2�R+ h(t)� � 1 2 �dhdt �2:A földfelszínen ezalatt ��2 = Z T0 dtr1� 2MG 2Rsajátid® telik el.A visszaérkezés után a Földön maradó ikertestvér �� = ��2 ���1 id®vel lesz id®sebb, mint az utazó. Azel®bbi két képlet alapján�� = 1 2 Z T0 dt �dhdt �2 � 2MG h(t)R�R+ h(t)�r1� 2MG 2R +s1� 2MG 2�R+ h(t)� � 1 2 �dhdt �2 �� 1 2 Z T0 dt "12 �dhdt �2 � gR � h(t)R+ h(t)# ; (20.1)ahol g = MG=R2 a gravitá iós gyorsulás a földfelszínen. A h(t) pályától függ®en �� bármilyen el®jel¶ lehet,ezért � a spe iális relativitáselmélettel ellentétben � nem bizonyos, hogy a Földön maradó testvér lesz azöregebb.A (20.1) képlet helyességét a NASA a GP-A (Gravity Probe A) programja 70 : 106 relatív pontossággaligazolta.Megmutatható, hogy két egymáshoz képest id®szer¶ eseményt összeköt® id®szer¶ világvonalak közül ageodetikuson a leghosszabb a sajátid®. A NASA kísérletben a két esemény a rakéta indulása és visszaérkezésevolt. Ha a hajtóm¶ sak nagyon rövid ideig m¶ködött (vagyis a rakéta saknem végig geodetikuson mozgott),akkor a rakétán elhelyezett órán telt el hosszabb id®.21. A tömegpontok energiája a közelít® metrikábanTekintsünk egy kisméret¶ objektumot, amely szabadon gravitál az xi = xi(�) geodetikuson. Az energiáját azE = m V0 = m g0jV j = m g0j dxjd�képlettel számíthatjuk ki (17. fejezet). A geodetikus mozgásállandók tétele alapján ez az energia mozgásállandó,mert a (19.11) metrika nem függ a t koordinátaid®t®l.Esetünkben gij diagonális és a Naptól távol g00 = (1 + 2�= 2), ezértE = m �1 + 2� 2 � dx0d� : (21.1)

22 A FÉNYELHAJLÁS A KÖZELÍT� METRIKÁBAN 48A dx0d� -t ki lehet fejezni a gravitá iós poten iálon és a ~v hármassebesség dldt nagyságán keresztül.d� = 1 qgijdxidxj = 1 qg00�dx0�2 � dl2 == 1 sg00 �� dldx0�2 � dx0 = 1 s�1 + 2� 2 �� v2 2 � dx0:Mivel 2�= 2 = �rg=r, a (19.13) szerint 2�= 2 és v2= 2 a bolygómozgás tartományában azonos nagyságrend¶és sokkal kisebb 1-nél, ezért ezekben lineáris pontossággal24d� = 1 �1 + 12 �2� 2 � v2 2�� dx0;és ennek alapján dx0d� = 1 + (2�� v2)=2 2 = �1� 2�� v22 2 � : (21.2)Ezt beírjuk (21.1)-be és � mint eddig � az rg=r-ben és v2= 2-ben sak a lineáris tagokat tartjuk meg:E = m 2�1 + 2� 2 ��1� 2�� v22 2 � = m 2 + mv22 +m�: (21.3)Mint látjuk, közelít® metrikánk szerint a bolygó energiája a newtoni energia és a nyugalmi energia összegévelegyenl®. A newtoni �zikában ehhez hozzáadhatnánk egy tetsz®leges konstansot, mert a poten iális energia sak additív konstans erejéig van meghatározva. Ezt most nem tehetjük meg, mert � a g00 része, amihez nemadható hozzá semmi.22. A fényelhajlás a közelít® metrikábanA Nap körüli tartományban a fényterjedésnek két alapvet® sajátossága van: A frekven ia állandósága és afényelhajlás.A frekven ia állandósága a tömegpont energiájánakmegmaradásához hasonlóan annak következménye, hogya (19.11) metrika független t-t®l. A geodetikus mozgásállandók tétele alapján ekkor az érint®vektor kovariánsnull-komponense mozgásállandó. A fénysugarak geodetikusok, érint®vektoruk null-komponense pedig k0 = != ,ezért a fénysugarakon a frekven ia valóban állandó.Fenyelhajlás azért következik be, mert a � = 2�=k hullámhossz ak2 = gijkikj = g00k20 � k2 = 0képlet következtében, amelyben g00 = 1=g00, függ az r koordinátától:k = 1pg00 � ! = �1 + rg2r� � ! (22.1)(diszperziós formula).Képzeljük most azt, hogy a térid®nk sík, viszont a fény olyan átlátszó közegben terjed, amelyben a disz-perziós formula azonos (22.1)-gyel. A törésmutatót a k = n � ! képlet de�niálja, ezért n(r) = (1 + rg=2r), afénysebesség pedig 0(r) = =n(r) = (1 � rg=2r). A fénysugár az optikailag s¶r¶bb közeg felé hajlik el, ezérta fényelhajlás ebben az ekvivalens optikai feladatban az origó felé történik és ugyanakkora, mint a Nap körülielhajlás a gravitá ió hatása alatt.24Az x� 1-ben lineáris közelítésben p1 + x � 1+x=2 és 1=(1 +x) � 1�x. Az els®t négyzetreemeléssel, a másodikat (1 +x)-eltörtén® beszorzással ellen®rizzük �gyelembe véve, hogy x2 az x mellett elhagyható. Ezek az (1 + x)a � (1 + ax) általános képletspe iális esetei. Az � helyett a továbbiakban mindenütt egyenl®ségjelet írunk.

22 A FÉNYELHAJLÁS A KÖZELÍT� METRIKÁBAN 49(a) (b)

Z Z

X X

r r

F F

F ‘

4.ábraA 4a. ábra a zavartalanul terjed® (n = 1) sugárzást ábrázolja. A függ®leges egyenesek a konstans fázisúsíkok metszetei az y = 0 síkkal, az F egyenes a vizsgált fénysugár, amely �-ban ( élparaméter) metszi az-tengelyt. A fénytörés hatása abban nyilvánul meg, hogy a fázissíkok a fénysugár mentén haladva lassanelfordulnak az óramutató járásával egyirányban: Ezt a 4b. ábrán illusztráljuk az F fénysugár tartományában,ahol a fázissíkok egyenes szakaszok. A fénysugár is megváltozik, az új F 0 fénysugár mindenütt mer®leges azelfordult fázissíkokra.

dc

A

BC

D

AB = d / k(z+dz)y

CD = d / k(z)y

Y

y + dy

z

z+dz

F

5.ábraA fényelhajlás szögét jelöljük �-vel. Ez dimenziótlan szám (radián), ezért az rg=� függvénye, amely a feladategyetlen dimenziótlan paramétere. A fényelhajlás a Nap közelében elhaladó fénysugarak segítségével mérhet®meg, ezért �-t a Nap geometriai sugarával vehetjük egyenl®nek: � = 700.000 kilométer. Mivel rg = 3 km,rg=� � 10�5 � 1. Célszer¶ tehát a �-t az rg=� szerint hatványsorba fejteni: � = a0+a1(rg=�)+a2(rg=�)2+: : : .Amikor azonban rg = 0, akkor nin s fényelhajlás, ezért a0 = 0, a lineárisnál magasabb rend¶ tagok pedigelhanyagolhatók. Így � = a1 rg� és a feladatunk az a1 konstans meghatározása.A számítás az 5. ábra alapján végezhet® el, amelyen a két in�nitezimálisan közeli fázissík-szakasz a és a + d fázishoz tartozik. Az általuk bezárt d� szöget kell mindenekel®tt kiszámítanunk. Az rg=�-banlineáris pontosságú számításnál megtehetjük, hogy a két szakaszt együtt kissé elfordítjuk az óramutató járásávalellentétesen úgy, hogy a -hez tartozó szakasz legyen párhuzamos a z-tengellyel. A d� ugyanis, amit így kapunk,arányos marad rg=�-val, a hiba pedig, amit a beforgatással elkövetünk, még ehhez képest rg=� rend¶ (mivel azelforgatás szöge maga arányos rg=�-val) és sak az a2-ben jelentkezik.Az 5. ábrán ezt az elforgatást azzal vettük �gyelembe, hogy az A és a C pontok sak a z-koordinátábankülönböznek egymástól, az x koordinátájuk, amit nem tüntettünk fel, azonos. Az AB és a CD távolság

23 A GRAVITÁCIÓS VÖRÖSELTOLÓDÁS 50d =k = �� d =2�-vel egyenl®. A (22.1) következtében AB > CD, ez az oka annak, hogy a két fázissíkd� = ��z � 1k(z)� � d szöget zár be egymással. Itt��z � 1k(z)� = ddr � 1k(r)� � drdz (22:1)= ddr �1� rg2r� � ! � drdz = rg2r2 � ! � zr = rg2 � ! � os#r2 :Mivel rg-ben lineáris pontossággal számolunk, ebben a képletben az rg-t szorzó mennyiségeket az F torzítatlanfénysugár alapján kell meghatározni. Így =!-t 1=k-val kell helyettesíteni:d� = rg2 � os#r2 � d k :A torzítatlan fénysugáron továbbá d = k � dx, vagyis ebben a képletben d =k = dx:d� = rg2 � os#r2 � dx:A F-n továbbá 1r = os#� ; x = � tg #; dx = � d# os2 #;ezért végül d� = rg2� os# � d#;amelynek integrálja a teljes F mentén a következ®:� = rg2� Z �=2��=2 os# � d# = rg� : (22.2)Ez a fényelhajlás szögének rg=� legala sonyabb rendjében számított értéke (a1 = 1), amelynek kiszámításához� mint látjuk, � elegend® az F elhajlásmentes fénysugár ismerete.Az általános eljárás a fényelhajlás meghatározására azon alapul, hogy a fénysugarak fényszer¶ geodetikusoka térid®ben. Ebb®l kiindulva megkapható az F 0 görbe r = r(#) egyenlete, amelyb®l meghatározható a �szög. Amikor azonban rg=� << 1 az itt követett eljárás egyszer¶bb, mert nem igényli az r = r(#) függvénymeghatározását.A közelít® metrika szerint tehát a fényelhajlás szöge a Nap körül rg=� � 0:8"-el egyenl®. Látni fogjuk, hogya pontos metrika kétszer nagyobb elhajlási szögre, a1 = 2-re vezet (29. fejezet).23. A gravitá iós vöröseltolódásA gravitá iós vöröseltolódás a Doppler-e�ektussal rokon jelenség, ezért a tárgyalását a Doppler-e�ektussalkezdjük.A) Az akusztikai Doppler-e�ektus.Az akusztikai Doppler-e�ektusnak két határesete van: Az egyikben az adó, a másikban a vev® nyugszikahhoz a közeghez képest, amelyben a hangsebesség minden irányban u-val egyenl®.

23 A GRAVITÁCIÓS VÖRÖSELTOLÓDÁS 51h h

Ta

Ta’

Ta

T ’v

Tv

Tv

t t

Z Z

Z=konst. - Vt

Z=konst. - Vt

Z=konst. + ut

Z=konst. - ut

Az adó nyugszik a közegben A vevõ nyugszik a közegben6.ábraA 6. ábrán a baloldalon rajzoltuk fel azt az esetet, amikor az adó nyugszik a közeghez képest: Az adópályája z = 0, a vev®é z = konst:�V t. Amikor V > 0, a vev® közeledik, ellenkez® esetben távolodik az adótól.Az ábra a közeledésre vonatkozik.A hanghullámok konstans fázisú pontjait a z = konst:+ut egyenesek ábrázolják. Olyan fázispontok pályájáttüntettük fel, amelyek 2� fázisban különböznek egymástól, azaz éppen egy periódussal követik egymást anyugvó közegben.Mivel az adó is nyugszik a közeghez képest, ez a periódus az adó hangjelének Ta periódusidejével egyenl®.Az e�ektus abban áll, hogy a vev® egy másik, T 0v periódusú jelet érzékel. A vessz® jelzi azt, hogy a vev® az,ami mozog a közeghez képest.A Ta és a T 0v kap solatát úgy kaphatjuk meg, hogy a besatírozott háromszög h magasságát kifejezzük minda z = konst:� V t, mind a z = ut+ konst: függvények segítségével:h = u � (Ta � T 0v); h = V � T 0v:A két kifejezés egyenlítéséb®l T 0v = Ta1 + V=u (23.1)�0v = �a � (1 + V=u); (23.2)ahol természetesen � = 1=T a frekven ia.A 6. ábra jobboldala arra az esetre vonatkozik, amikor a vev® nyugszik a közegben. Ekkorh = u � (T 0a � Tv); h = V � T 0a;Tv = (1� V=u) � T 0a (23.3)�v = �0a1� V=u: (23.4)Mint látjuk, mindkét esetben igaz, hogy a közeledés következtében a vev® magasabb frekven iát érzékel, mintamilyet az adó kibo sát, de a különbség mértéke a két esetben különböz®, azaz nem sak a relatív sebességt®lfügg.B) A longitudinális optikai Doppler-e�ektus.Ez az el®bb tárgyalt akusztikai e�ektus pontos optikai megfelel®je. Mivel a fény vákuumban terjed (éternem létezik), a 6. ábra két rajza most sak abban különbözik egymástól, hogy egyszer az adó, egyszer pedig avev® nyugalmi rendszerében felvett Minkowski-koordinátákban tárgyaljuk ugyanazt a jelenséget.A képleteket két okból kell módosítani. Egyrészt u-t -vel kell helyettesíteni, másrészt pedig �gyelembekell venni, hogy a mozgó vev®, ill. a mozgó adó vonatkoztatási rendszerében az id® ritmusa más, mint nyugvópartnerében, és a mozgó objektum sajátidejével egyezik meg.

23 A GRAVITÁCIÓS VÖRÖSELTOLÓDÁS 52Amikor pl. az adó nyugszik, a mozgó vev® nem a (23.1) periódusid®t fogja észlelni, hanem annyiszorkisebbet, ahányszor lassabban telik a vev® sajátideje az adóénál (vagyis az adó nyugalmi rendszerének koor-dinátaidejénél). Ezt úgy vehetjük �gyelembe, hogy (23.1) jobboldalát megszorozzuk q1� V 2= 2-tel:T 0v = Taq1� V 2= 21 + V= = Ta �s1� V= 1 + V= (23.5)�0v = �a �s1 + V= 1� V= : (23.6)A (23.3) képlettel ugyanígy kell eljárni, de ehhez el®bb T 0a- re kell megoldani:T 0a = Tv1� V= :A jobboldalt megint q1� V 2= 2-tel szorozzuk, egyszer¶sítünk p1� V= -vel és a kapott képletet megoldjukTv-re: Tv = T 0a �s1� V= 1 + V= (23.7)�v = �0a �s1 + V= 1� V= : (23.8)Mindkét esetben ugyanazt a képletet kaptuk, ezért a vessz®ket el is hagyhatjuk: Az optikai esetben aDoppler-e�ektust egyedül az adó és a vev® relatív sebessége határozza meg. Ez nem is lehet másképpen,hiszen a fényterjedésnek nin s közege (éter nem létezik), és ezért a két eset supán a koordinátarendszermegválasztásában különbözik egymástól.A sajátid® korrek iót elvben természetesen az akusztikai e�ektusnál is �gyelembe kell venni, de ez még akkorsem vezetne a két eset egyenérték¶ségére, ha a korrek ió jelent®s volna, mert az, hogy a "Doppler-partnerek"közül melyik nyugszik a közeghez képest, nem koordináta-választás kérdése.25C) A tranzverzális Doppler-e�ektus.Az optikában a sajátid® és a koordinátaid® különböz®sége miatt olyankor is felléphet frekven iaeltolódás,amikor az adó és a vev® távolsága állandó. Ez az eset pl. akkor, amikor a vev® körmozgást végez az adó körül.Ezt a jelenséget nevezzük tranzverzális Doppler-e�ektusnak.Az akusztikában ilyenkor nin s e�ektus (Tv = Ta), de az optikában �gyelembe kell venni, hogy a körmozgástvégz® vev® lokális vonatkoztatási rendszerében az id® lassabban telik, mint az adó nyugalmi rendszerében, ésennek következtében Tv = Taq1� V 2= 2;�v = �aq1� V 2= 2 : (23.9)25A (23.6), (23.8) képleteket az akusztikus Doppler-e�ektustól függetlenül Lorentz-transzformá ióval is megkaphatjuk annakalapján, hogy az != mennyiség a k négyesvektor k0 = k0 komponensével egyenl® (Minkowski koordinátákban). Mivel továbbák2 = 0, ezért kz = �k0 attól függ®en, hogy a fény a z-tengely pozitív vagy negatív irányában terjed.Legyen a határozottság kedvéért Ia $ K, Iv $ K0. Ekkor K' negatív z-irányban mozog K-hoz képest, kz = +k0, és aLorentz-transzformá ió szerint k00 = k0 + V kzq1� V 2= 2 = 1 + V= q1� V 2= 2 k0 =s1 + V= 1� V= k0:A k0 = !a= , k00 = !v= következtében ez azonos a (23.6) képlettel (és természetesen a (23.8)- al is).

23 A GRAVITÁCIÓS VÖRÖSELTOLÓDÁS 53Ezekben a képletekben a V sebesség az adó nyugalmi rendszerében felvett Minkowski-koordinátákban ér-tend®. A koordinátarendszer azonban önkényesen választható, és a gravitá iós vöröseltolódásra gondolva érde-mes a jelenséget forgó Minkowski-koordinátarendszerben is letárgyalni, amelyben az adó is és a vev® is nyugszik.Els® lépésként az x; y helyett hengerkoordinátákat vezetünk be, amelybends2 = 2dt2 � dr2 � r2d'2 � dz2;és itt térünk át konstans = V=rv szögsebességgel forgó koordinátarendszerre at = t0; r = r0; ' = '0 +t; z = z0 (23.10)képletekkel, amelyekben az ívelemnégyzet a következ®26:ds2 = 2�1� r022 2 � dt02 � 2r02 dt0 � d'0 � r02d'02 � dz02: (23.11)A továbbiakban a vessz®t elhagyjuk. A metrikus tenzor a következ®:gtt = 2g00 = 2�1� r22 2 � ; gt' = �r2; g'' = �r2; gzz = �1: (23.12)A (23.12) metrika nem függ t-t®l, ezért a geodetikus mozgásállandók tétele szerint a fény � frekven iája aterjedés során állandó. A kérdés az, hogyan függ össze ez a � az adó által kibo sátott �a és a vev® által észlelt�v frekven iával.A vev® most nyugszik az adóhoz képest, de ez supán a koordinátarendszer spe iális választásának a követ-kezménye és nem jelentheti azt, hogy �v egyenl®vé válik �a-val. A sajátid®k ugyanis továbbra is különböznekegymástól, sak ez most más matematikai formában jelenik meg.A sajátid® a d�2 = ds2= 2 képleten keresztül függ össze a koordinátaid® dt megváltozásával. Nyugvóobjektumokra ez az összefüggés a következ®: d� = pg00 dt: (23.13)A sajátid®ben és a koordinátaid®ben mért frekven iák 1=d� -val és 1=dt-vel arányosak, ezért�a� = dtd�a = 1pg00(ra) ; �v� = dtd�v = 1pg00(rv) :Ha ezekb®l kizárjuk �-t, megkapjuk a kap solatot a �a és a �v között:�v = �a �sg00(ra)g00(rv) : (23.14)Amikor az adó az origóban nyugszik, ahogy feltettük, g00(ra) = 1 és így�v = �apg00(rv) = �ap1� r2v2= 2 :Ez azonos a (23.9)-el, mert V = rv.A tranzverzális Doppler-e�ektus kétfajta tárgyalásából levonható f® tanulság az, hogy ugyanaz a frekven- iaeltolódás, amely az els® tárgyalásban a relatív mozgás következményeként jelenik meg, a második tárgyalásimódban (amikor relatív mozgás nin s) a g00-k különböz®sége miatt lép fel.D) A gravitá iós vöröseltolódás.Nyugodjon az adó egy h magasságú torony földszintjén, a vev® pedig a torony fels® emeletén27. Ha a(23.14) származtatását újra átgondoljuk láthatjuk, hogy erre az esetre is érvényes, sak g00-n a (19.9)-t kellérteni, amelyben �(r) = �GM=r a Föld gravitá iós poten iálja:�v = �as1 + 2�a= 21 + 2�v= 2 :26Ez a metrika a térid®nek sak sak az r0 < = tartományát fedi le, mert ezen kívül a szignatúrája nem fér össze a térid®ével(16. fejezet).27A ténylegesen elvégzett kísérletben (Paund és Rebka, 1960) a torony magassága kb. 20 méter volt.

23 A GRAVITÁCIÓS VÖRÖSELTOLÓDÁS 54Esetünkben h� R �gyelembevételével�a = �GMR = �gR; �v = � GMR+ h = �g R2R + h � �gR(1� h=R);ahol R a földsugár, g = GM=R2 pedig a gravitá iós gyorsulás. Így 1= 2 legala sonyabb nemelt¶n® rendjében1 + 2�a= 21 + 2�v= 2 = 1� 2gR= 21� 2gR(1� h=R)= 2 = 1� 2gh= 21� 2gR(1� h=R)= 2 � 1� 2gh 2 ;ezért �v = �a�1� gh 2 � :Látjuk, hogy �v < �a, a fény a vörös felé tolódik el, ezért kapta az e�ektus a vöröseltolódás nevet28. De perszeha az adót és a vev®t fel seréljük, "kék eltolódást" kapunk.A relatív frekven iaeltolódás a következ®:���a = �a � �v�a = gh 2 :Ez nagyon kis érték, az említett kísérletben kb. 2 � 10�15-tel volt egyenl®.Hangsúlyozzuk, hogy mialatt a fény az adóból a vev®be jut, nin s frekven iaváltozás (� =konstans). Akibo sátott és a meg�gyelt fény frekven iája azért különbözik egymástól, mert a koordinátaid® és a sajátid®közötti kap solat az adó és a vev® helyén nem ugyanaz.A gravitá iós vöröseltolódásnál nem létezik olyan természetes néz®pont, amelyb®l a frekven iaeltolódás avev® és az adó relatív mozgásának a következményeként lép fel. Ezért fogalmaztunk úgy, hogy ez a jelenségrokon a Doppler e�ektussal, de nem azonos vele.E) Kap solat az ikerparadoxonnal.A földszintr®l elindított �a frekven iájú fényt az emeleten �v < �a frekven iájúnak találják. Ezt úgy islehet interpretálni, hogy az emeleten az id® gyorsabban telik, mint a földszinten. A �v < �a egyenl®tlenségugyanis annyit jelent, hogy ha pl. 2� fázisváltozás alatt a földszinten 1 másodper telik el, akkor az emeletenugyanezt a fázisváltozást mondjuk 2 másodper alatt regisztrálják. A fény frekven iája azonban a két emeletközött állandó (� = konstans), ezért ez sak úgy lehetséges, ha az emeleten a sajátid® gyorsabban telik, minta földszinten. Általánosabb formában ezt úgy is ki lehet fejezni, hogy "a gravitá ió lassítja az id® múlását"(mert a földszinten "nagyobb a gravitá ió").Az ikerparadoxonnak ezért van egy újabb változata: Az ikerpár egyik tagja felmegy egy magas toronyba.Ott üldögél valamennyi ideig. Amikor újra lejön a földszintre, id®sebb lesz, mint a testvére, aki végig aföldszinten támasztotta az ajtófélfát. Ha azonban az emeleten az el®bbi testvér üldögélés helyett a fényhezközeli sebességgel rohangál elérheti, hogy a lejövetele után �atalabb legyen, mint a földszinten álldogáló testvére.A (20.1) képlet két különböz® el®jel¶ tagja ezt a két tényez®t, a magasságot és a sebességet veszi �gyelembe.F) A gravitá iós vöröseltolódás és az energiamegmaradás tétele.A fotonok egészben keletkeznek és nyel®dnek el. A keletkez® és az elnyel®d® fotonok energiája azonbankülönböz®, mert h�a és h�v nem egyenl® egymással. Nem jelenti-e ez az energiamegmaradás sérülését?Ugyanez a kérdés a Doppler-e�ektussal kap solatban is feltehet®. A longitudinális e�ektust tartva szemel®tt rögtön látjuk, mir®l van szó.A �a frekven ia az adó nyugalmi rendszerében, a �v frekven ia a vev® nyugalmi rendszerében érvényes.Ennek megfelel®en a h�a az adó nyugalmi rendszerében, a h�v pedig a vev® nyugalmi rendszerében egyenl® afoton energiájával, és ez a két nyugalmi rendszer mozog egymáshoz képest. Az energiamegmaradásnak azonbanegyetlen vonatkoztatási rendszeren belül kell teljesülnie és ezzel nin s is baj: Az adó nyugalmi rendszerébenpéldául a vev® által elnyelt foton frekven iája is �a-val, és a vev® energiájának megnövekedése is Wa = h�a-valegyenl®, ami pontosan ugyanannyi, amennyivel az adó energiája sökkent.28Eredetileg a frekven iaeltolódást a Nap színképében szerették volna kimutatni. Mivel a sugárzás a Nap felszinéhez képest"felfelé" terjed, ezért vöröseltolódást kellett volna kapni. A intenzív h®mozgás azonban ebben az esetben elmossa a várhatóe�ektust.

24 ELEKTRODINAMIKA A RELATIVITÁSELMÉLETBEN 55A gravitá iós vöröseltolódásnál ugyanez a helyzet. Az energiamegmaradással annyira nin s probléma, hogya (23.14) alapképletet az energiamegmaradás tételéb®l kiindulva is meg lehet kapni.Tekintsük el®ször az adóban egy foton keltési folyamatát. Jelöljük K-val a 19. fejezetben használt koordi-nátarendszert, amelyben g00 = 1+2�= 2. Az adó energiája K-ban Wa = ma V0-al egyenl® (17. fejezet). Mivelaz adó nyugszik K-ban a V-nek sak a V 0 kontravariáns komponense különbözik zérustól: V 0 = dx0d� (23:13)= pg00(ra) . Így V0 = g00V 0 = pg00(ra) és az adó energiája a foton emissziója el®tt ma 2pg00(ra)-val egyenl®.A foton emissziója következtében ez az energia le sökken. A fényforrás azonban mozdulatlan marad, ezértaz energiaveszteség ma sökkenése következtében lép fel: ma �! ma ��ma. A keletkez® foton frekven iájátK-ban továbbra is �-vel jelöljük, ezért a K-beli energiamegmaradás következtében h� = �ma 2pg00(ra).Nézzük most ugyanezt a folyamatot az adó nyugalmi rendszeréb®l, amelyben a koordinátaid® az adó sa-játidejével egyezik meg, ezért g00 = 1. Ennek következtében itt V0 = ma 2, és az adó energiájának sökkenése�ma 2. A fotonenergiát ehhez a koordinátarendszerhez viszonyítva �a-val jelöltük, ezért az energiamegmara-dást most a h�a = �ma 2 képlet fejezi ki. A két képletb®l �ma 2-t kizárva kapjuk a� = �apg00(ra)képletet, és ugyanezt a gondolatmenetet a vev®re alkalmazva a� = �vpg00(rv)képletre jutunk.A két képletben azért használhattuk ugyanazt a �-t, mert a foton h� energiája a � állandósága következtébennem változik, mialatt a foton az adóból a vev®be jut el. Ha a két utóbbi képletb®l �-t kizárjuk, valóban (23.14)-re jutunk29.24. Elektrodinamika a relativitáselméletbenA) S¶r¶ség és árams¶r¶ség.Tekintsünk egy gáz- vagy folyadékáramlást, amelynek K-beli része skes¶r¶sége és árams¶r¶sége � és ~J = �~v.� és ~v makroszkópikus szempontból in�nitezimálisan ki siny, de még mindig nagyszámú része skét tartalmazótérfogatra átlagolt mennyiségek, a helykoordináták és az id® függvényei. Minden térfogatelemhez hozzáren-delhetjük a hozzá tartozó része skék K' pillanatnyi nyugalmi rendszerét, amely K-hoz képest ~v sebességgelmozog. A K'-ben természetesen ~J 0 = ~v 0 = 0. A Lorentz-kontrak ió következtében a kiválasztott része skékáltal elfoglalt térfogatelem a pillanatnyi nyugalmi rendszerben a legnagyobb, a s¶r¶ség a legkisebb, ezért�0 = � �q1� v2= 2: (24.1)Ezek a képletek összeférnek azzal, hogy a ~J = (J1; J2; J3) árams¶r¶séget és a �-t egyetlen j négyesvektorbafoglaljuk a j = ( �; j1; j2; j3) = ( �; J1; J2; J3)képlet szerint. A j neve: négyes árams¶r¶ség. A j0 komponensben azért szerepel a szorzó, hogy az összeskomponensnek egyöntet¶en árams¶r¶ség legyen a dimenziója.Az igazolást a spe iális relativitáselméletben végezzük Minkowski koordinátákban. Tegyük fel, hogy a koor-dinátarendszert úgy választottuk, hogy ~v az 1. tengely irányába mutasson. A négyesvektorok transzformá iós29A gravitá iós vöröseltolódást gyakran azzal magyarázzák, hogy a foton frekven iája a poten iális energiájának változásakövetkeztében sökken �a-ról �v-re, mialatt az adóból a vev®be jut el. Ez a "magyarázat" minden alapot nélkülöz.

24 ELEKTRODINAMIKA A RELATIVITÁSELMÉLETBEN 56törvénye alapján ekkor j0 = j00q1� v2= 2j1 = +v j00q1� v2= 2j2 = j20 = 0 j3 = j30 = 0: (24.2)Az els® egyenlet (24.1)-gyel, a többi ~J = �~v-vel azonos. Két tetsz®leges iner iarendszer közötti Lorentz-transz-formá ió mindig felbontható két lépésre úgy, hogy a közbens® rendszer legyen a pillanatnyi nyugalmi rendszer,ezért (24.2)-b®l az is következik, hogy j két tetsz®leges iner iarendszer közötti átmenetnél is négyesvektorkéntviselkedik.A j négyesvektor jellege mellett szól a ���t + div ~J = 0 (24.3)kontinuitási egyenlet is, amely � a Gauss-tételen keresztül � azt fejezi ki, hogy bármely adott v térfogat-ban30 az Nv = Zv � dv része skeszám sak ki- és beáramlás következtében változhat (lokális része skeszámmegmaradás): dNvdt = Zv ���t dv = � Zv div ~J � dv = � Zs ~J � ~n ds (24.4)(~n a határfelület küls® normálisa, ds a felületelem). Ha az integrálást kiterjesztjük a teljes térre, akkor ajobboldali felületi integrál elt¶nik (mert minden reális �zikai rendszer térbeli kiterjedése véges) és a (24.4)képlet a része skeszám megmaradását fejezi ki.A négyesvektor-jelölésben (24.3) azt fejezi ki, hogy j négyesdivergen iája zérus:�ji�xi = 0 (vagy �iji = 0): (24.5)A kontrak ió skalár jellege miatt ebb®l a felírási módból nyilvánvaló, hogy a kontinuitási egyenlet Lorentz-invariáns: Ha fennáll egy iner iarendszerben, akkor az összes többiben is érvényes.Megjegyezzük, hogy a része skeszám megmaradhatna árams¶r¶ség nélkül is úgy, hogy a része skék világvo-nala a tér egy pontjában megsz¶nik és ugyanabban a pillanatban megjelenik egy másikban. Nyilvánvaló azon-ban, hogy az egyidej¶ség relativitása miatt a többi iner iarendszerben a része skeszám megmaradása sérülne.A relativitáselméletben ezért a megmaradási tételeket általában lokálisnak tekintjük, kontinuitási egyenlettelfogalmazzuk meg ®ket, amelyben a szóbanforgó megmaradó mennyiség s¶r¶ségén kívül az árams¶r¶sége isszerepel.A j négyesvektor jellege az ekvivalen ia-elv következtében természetesen az általános relativitáselméletbenis megmarad. A (24.5) matematikai formája azonban riji = 0-ra változik, de ezt az egyenletet az ekvivalens�(p�g � ji)�xi = 0 (24.6)alakban is fel lehet írni. A g a metrikus tenzor elemeib®l képzett determináns, amelyr®l tudjuk (16. fejezet),hogy a térid® esetében negatív. Az átalakításhoz a�kki = 1p�g �p�g�xi (24.7)képletre van szükség, amelynek az igazolására nem térünk ki. Ha ezt elfogadjuk, akkor látható, hogyriji = �ji�xi + �kkiji = 1p�g �(p�g � ji)�xi : (24.8)30Itt a térfogatot is ugyanúgy v-vel jelöljük, mint a sebességet, de ennek nem szabad zavart okoznia.

24 ELEKTRODINAMIKA A RELATIVITÁSELMÉLETBEN 57Mindaz, amit ebben a pontban a s¶r¶ségr®l és az árams¶r¶ségr®l mondtunk, vonatkozik a töltéss¶r¶ségreés a töltések árams¶r¶ségére is. A jelölést sem változtatjuk meg. A továbbiakban a töltések árams¶r¶ségét istöbbnyire egyszer¶en sak árams¶r¶ségnek fogjuk hívni.B) A Maxwell-egyenletek a spe iális relativitáselméletben.A relativitáselmélet posztulátumai azt követelik, hogy adiv �0 ~E = � (24.9)rot ~B � 1 2 � ~E�t = �0 ~J (24.10)div ~B = 0 (24.11)rot ~E + � ~B�t = 0 (24.12)Maxwell-egyenletek legyenek Lorentz-invariánsak. Ezen azt értjük, hogy ezt az alakjukat ®rizzék meg, amikoraz egyik iner iarendszerr®l a másikra áttérve a térid® koordináták transzformálására a Lorentz-transzformá ióthasználjuk. Az áttérésnél azonban nem sak a koordinátákat, hanem az ~E; ~B térmennyiségeket és a �; ~J töltés-és árams¶r¶séget is transzformálni kell. Ez utóbbiakról megállapítottuk, hogy a j négyesvektor komponensei,tehát rájuk is a Lorentz-transzformá ió alkalmazandó. A térmennyiségekr®l azonban sak annyit tudunk, hogyhármasvektorok, és ebb®l nem állapítható meg, hogyan kell ®ket transzformálni, amikor mozgó vonatkoztatásirendszerre térünk át.Az ~E és a ~B �zikai objektumok a térid®ben, ezért 4D tenzorként kell transzformálódniuk (6. fejezet).A kétindexes antiszimmetrikus tenzorok négy dimenzióban éppen hat független komponenssel rendelkeznek,amelyek könnyen beazonosíthatók ~E és ~B komponenseivel úgy, hogy a Maxwell-egyenletek minden iner iarend-szerben teljesüljenek, méghozzá áttetsz®en egyszer¶ alakban: A tértenzort F ij -vel jelölve (F ij = �F ji) az F 0�komponenseket�1 E�-val, az F�� komponenseket�B -val kell azonosítani (�� az 123 iklikus permutá iója).Az azonosítást mátrixalakban is felírjuk (az els® index a sorindex, a második az oszlopindex, és a mátrixels® sorát és oszlopát nulladiknak tekintjük):F ij = 0BBBBBBBBBB�

0 �1 E1 �1 E2 �1 E31 E1 0 �B3 B21 E2 B3 0 �B11 E3 �B2 B1 01CCCCCCCCCCA ; (24.13)

és F0� = �F 0�, F�� = F�� következtébenFij = 0BBBBBBBBBB�

0 1 E1 1 E2 1 E3�1 E1 0 �B3 B2�1 E2 B3 0 �B1�1 E3 �B2 B1 01CCCCCCCCCCA : (24.14)

A képletekben az 1,2,3 index természetesen helyettesíthet® x; y; z-vel.A tértenzoron és a négyes-árams¶r¶ségen keresztül kifejezett Maxwell-egyenletek a következ®k:�jF ij = ��0ji (24.15)�iFjk + �jFki + �kFij = 0 (i 6= j 6= k) (24.16)

24 ELEKTRODINAMIKA A RELATIVITÁSELMÉLETBEN 58��i � ��xi�. Mindkét sor 4-4 egyenletet tartalmaz: A (24.15) a (24.9) és a (24.10) egyenletet, a (24.16) amaradék kett®t.A (24.15) és a (24.16) baloldala a Lorentz-transzformá iókkal szemben tenzor, mert ekkor a �xi�xj0 transz-formá iós koe� iensek konstansok (a Lorentz-transzformá ió lineáris a koordinátákban) és ezért a deriválásalól kihozhatók (ld. a 7. fejezetet). Ha tehát a Lorentz-transzformá iókra korlátozódunk, akkor (24.15) és(24.16) tenzoregyenlet, amely Minkowski koordinátákban minden iner iarendszerben ugyanolyan alakú és vagymindegyikben igaz, vagy egyikben sem. Ezt értjük azon, hogy ezek az egyenletek invariánsak a Lorentz--transzformá iókkal szemben. Ez érvényes az eredeti (24.9) - (24.12) egyenletekre is, amelyek sak formájukbankülönböznek a (24.15), (24.16) tenzoregyenletekt®l. A tenzoregyenleteknél azonban ez az invarian ia nyilván-való, a (24.9) - (24.12) esetében azonban, amelyek nem tenzoregyenletek, nem nyilvánvaló.A (24.15)-t par iálisan deriválva a �i�jF ij = ��0�iji (24.17)egyenletet kapjuk. A baloldal a �i�j = �j�i szimmetrikus és az F ij = �F ji antiszimmetrikus tenzor kon-traháltja és ezért azonosan � vagyis tetsz®leges F ij esetén � zérus, tehát a jobboldalnak is nullának kelllennie. A jobboldali �iji kifejezés azonban nem azonosan zérus, hiszen könnyen megadható olyan töltés- ésárams¶r¶ség, amelynél nem t¶nik el. Ha azonban ezeket a s¶r¶ségeket (24.15) jobboldalára beírjuk, �i�jF ij � 0következtében önellentmondó egyenletrendszerre jutunk. A �iji = 0 lokális töltésmegmaradás ilymódon aMaxwell-egyenletek integrálhatósági feltétele, ezért a Maxwell-egyenletek mellett nem szükséges még külön isposztulálni.C) A Maxwell-egyenletek a pszeudoriemann térid®ben.Görbült térid®ben a (24.15) sak akkor marad tenzoregyenlet, ha a par iális deriválást kovariáns deriválássalhelyettesítjük. A (24.16)-nál erre nin s szükség, mert a 7. fejezet végén megmutattuk, hogy a baloldal � annakellenére, hogy par iális deriválásokat tartalmaz � harmadrend¶ kovariáns tenzor. Ennek következtében ez azegyenlet általánosan invariáns, azaz tetsz®leges koordináta transzformá iókkal szemben meg®rzi a matematikaialakját. Az általános relativitáselméletben tehát a Maxwell-egyenletek a következ®k:rjF ij = ��0ji (24.18)�iFjk + �jFki + �kFij = 0 (i 6= j 6= k): (24.19)A (24.18) baloldalát más alakban is fel lehet írni. ArjF ij = �F ij�xj + �ijkF kj + �jjkF ik (24.20)jobboldalán a második tag �ijk szimmetriája és F kj antiszimmetriája miatt zérus, a harmadikban pedig alkal-mazhatjuk a (24.7) képletet. Így rjF ij = 1p�g �(p�g F ij)�xj : (24.21)Ezt felhasználva (24.18) a �(p�g F ij)�xj = ��0p�g ji (24.22)alternatív formába írható át.A (24.18) tenzoregyenlet, amely vagy minden koordinátarendszerben igaz, vagy egyikben sem, azonbana matematikai formája nem ugyanaz minden koordinátarendszerben. Ez a (24.22)-b®l látszik világosan: Azegyenletben ugyanis expli ite szerepel a metrikus tenzor determinánsa, amely a különböz® koordinátarend-szerekben különböz® módon függ a koordinátáktól. Az ilyen tulajdonságú tenzoregyenleteket általánosan ko-variánsnak hívják.Ha (24.22)-t xi szerint par iálisan deriváljuk, a baloldalon nullát, a jobboldalon pedig (24.6) szerint azárams¶r¶ség kovariáns divergen iáját kapjuk. Ezért a görbült térid®ben is igaz, hogy a töltésmegmaradás aMaxwell-egyenletek integrálhatósági feltétele.

25 AZ ENERGIA-IMPULZUS TENZOR 59A (24.18) azonban a (24.15)-nek nem az egyedül lehetséges olyan általánosítása, amely (1) sík térid®ben a(24.15)-be megy át és (2) a töltésmegmaradás az integrálhatsági feltétele. Egy másik ugyanilyen tulajdonságúáltalánosítás például a rj(F ij + �RijklFkl) = ��0ji egyenlet, amelyben � egy tetsz®leges hosszúságnégy-zet dimenziójú állandó. A rj operátor itt is antiszimmetrikus tenzorra hat, és mivel (24.20) tetsz®legesantiszimmetrikus tenzorra érvényes, ez az egyenlet is átírható (24.22) alakba és ezért bel®le is következik atöltésmegmaradás.Ha azonban az ekvivalen ia-elvet is �gyelembe vesszük, ilyen általánosításra nin s lehet®ség. Az elv ugyanisazt követeli meg, hogy a G id®szer¶ geodetikusokhoz rögzített lokális iner iarendszerekben Minkowski koor-dinátákban a Maxwell-egyenletek a spe iális relativitáselméletben megismert (24.15)-(24.16) alakjukban legye-nek érvényesek. Az (24.18) alak a �ijk(G) = 0 következtében eleget tesz ennek a feltételnek. A Riemann-tenzorttartalmazó általánosítások azonban megsértik az ekvivalen ia-elvet, mert Ri:jkl(G) 6= 0.Megállapíthatjuk tehát, hogy az ekvivalen ia-elv az, amely lehet®vé teszi a Maxwell-egyenletek egyértelm¶általánosítását pszeudoriemann térid®re. Ez a konklúzió érvényes minden olyan �zikai törvényre, amelyetels®rend¶ par iális di�eren iálegyenletekkel lehet matematikailag megfogalmazni.A 7. fejezetben a �i[jk℄ torziót nullának választottuk és azt ígértük, hogy a választás motivá iójára azelektrodinamika kap sán térünk majd vissza. Ha megengednénk, hogy a torzió lehessen nullától különböz®,akkor azt is meg kellene mondanunk, hogyan lehet kiszámítani. Einstein például 1925-ben felvetette azt agondolatot, hogy a torziót esetleg összefüggésbe lehet hozni az Fjk elektromágneses tértenzorral. Ez volt azels® Einstein végülis sikertelen er®feszítéseinek sorában, amelyben egységes térelméletben próbálta egyesítenia gravitá iót és az elektrodinamikát.25. Az energia-impulzus tenzorEbben a fejezetben a spe iális relativitáselméletr®l lesz szó. Csak a fejezet legvégén utalunk majd rá, hogy azáltalános relativitáselméletben milyen módosításokra van szükség.Az el®z® fejezet A. pontjában az árams¶r¶séggel kap solatban megállapítottuk, hogy a relativitáselméletszerint a megmaradási tételek lokálisak, kontinuitási egyenlet írja le ®ket. Foglalkozzunk most az energiameg-maradással. A kontinuitási egyenlet ekkor a w energias¶r¶séget és az ~s energiaáram-s¶r¶séget tartalmazza:�w�t + div~s = 0: (25.1)Az energia sak zárt rendszerben marad meg, ezért w(~r; t)-nek tartalmaznia kell az összes energiafajtát, amelya t pillanatban az ~r pontban jelen van, és természetesen ugyanez vonatkozik az ~s(~r; t)-re is. Az árams¶r¶ségtulajdonságai alapján arra gondolhatnánk, hogy a négy ( w; ~s) komponens négyesvektort alkot, de ez nin sígy. Az energias¶r¶ség és a része skes¶r¶ség (vagy a töltéss¶r¶ség) között ugyanis van egy egészen alapvet®különbség: Egy adott dv térfogatelemben a � � dv része skeszám (vagy töltés) invariáns (� � dv = �0 � dv0),a w � dv energia ezzel szemben a térfogatelemben felhalmozott négyesimpulzus null-komponensének -szerese(ezért w � dv 6= w0 � dv0)31. Ahhoz, hogy ez utóbbit az egyik koordinátarendszerb®l a másikba átszámíthassuk,a térfogatelem Lorentz-kontrak ióján kívül az ott felhalmozott ~g � dv impulzust is �gyelembe kell venni.A ~g vektor három komponense egy-egy impulzuss¶r¶ség: gx az x-irányú, gy és gz az y és z-irányú impulzuss¶r¶sége. Zárt rendszerben az impulzus komponensei megmaradó mennyiségek, és ahhoz, hogy a megmaradásuklokális legyen, �gyelembe kell vennünk mindhárom impulzuss¶r¶ség árams¶r¶ségét, amelyeket ~�x, ~�y, ~�z-velfogunk jelölni. Az x-irányú impulzus megmaradását leíró kontinuitási egyenlet például a következ®:�gx�t + div ~�x = 0; (25.2)vagy részletesebben �gx�t + ��xx�x + ��xy�y + ��xz�z = 0:31A � és a w transzformá iója közötti különbség teljesen nyilvánvalóvá válik, ha ��dv-n egy dv térfogatú kisméret¶ test atomjainaka számát, w �dv-n pedig az energiáját értjük. Az atomok száma teljesen független a koordinátarendszer negválasztásától, az energiaazonban megváltozik, ha az új koordinátarendszerben más lett a test mozgásállapota.

25 AZ ENERGIA-IMPULZUS TENZOR 60Hasonlóan írható fel a kontinuitási egyenlet az y és a z komponensre is.Összesen 16 mennyiségünk van (négy s¶r¶ség és négy, egyenként három komponenst számláló árams¶r¶ség),amelyeket élszer¶ 4� 4-es mátrixként felírni:T ij = 0BBBBB� w sx= sy= sz= gx �xx �xy �xz gy �yx �yy �yz gz �zx �zy �zz1CCCCCA (25.3)A -ket úgy helyeztük el, hogy minden mátrixelem energias¶r¶ség dimenziójú legyen. Mint rendesen, a T ijels® indexe a sorindex. Az els® sort és oszlopot nulladiknak tekintjük (mert i; j = 0; 1; 2; 3).A T ij minden sorában a nulladik elem valamilyen s¶r¶ség (vagy annak -szerese), a többi három pedig ahozzá tartozó árams¶r¶ség. Ezek a mennyiségek zárt rendszerekre mind megmaradnak, ezért minden i-heztartozik egy kontinuitási egyenlet: �jT ij = 0: (25.4)i = 0-nál ez a képlet a (25.1) energiamegmaradással, i = 1-nél a (25.2)-vel egyezik meg. A (25.4) és a (24.3)összevetése azt sugallja, hogy T ij második indexe éppen úgy kontravariáns vektorindex, mint a j árams¶r¶ségfels® indexe. Az el®z® fejezetben láttuk, hogy egy s¶r¶ség és a hozzá tartozó árams¶r¶ség négyesvektor jellegeszorosan összefügg az elemi térfogat Lorentz-kontrak iójával, ami természetesen minden árams¶r¶ségnél fellép.Térjünk át most a sorokról a nulladik oszlopra. Ha a T i0 elemeket dv-vel megszorozzuk, az elemi térfogatbanfelhalmozott négyesimpulzus komponenseit (pontosabban ezek -szeresét) kapjuk. Ebb®l már sejthet®, hogyT ij els® indexe is kontravariáns vektorindex.Mindezek alapján T ij-t másodrend¶ kontravariáns tenzornak kell tekintenünk, amelyet energia-impulzustenzornak neveznek. Az energia-impulzus tenzor a �zika egyik legfontosabb fogalma.A rendszer energiáját és impulzusát aW = Z w dv = Z T 00 dv p� = Z g� dv = 1 Z T�0 dv (25.5)integrálok határozzák meg, amelyekben a teljes térre integrálunk. Ezek a mennyiségek megmaradnak. Abizonyítás ugyanúgy történik, mint a része skeszám megmaradásának igazolása a 25. fejezet A. pontjában. AP = (P 0; P x; P y; P z) = (W= ; px; py; pz) a rendszer teljes négyesimpulzusa.A ��� tenzor �zikai jelentésének tisztázásához jelöljünk ki egy v térfogatot és számítsuk ki a térfogatotkitölt® közeg impulzusának változási sebességét addt Zv g� dv = Zv �g��t dv = � Zv div ~�� dv = � Zs (~�� � ~n) ds: (25.6)képlet segítségével. Az átalakításoknál a kontinuitási egyenletet, valamint a Gauss-tételt használtuk. Az s a vtartomány határfelülete, amelynek küls® normálisa ~n.Mivel ~�� az impulzuss¶r¶ség � komponensének az árams¶r¶sége, a (~�� �~n) az egységnyi felületen id®egységalatt távozó impulzus � komponensével egyenl®. Az integrál és a negatív el®jel következtében a jobboldal azegységnyi id® alatt beáramló teljes impulzus � komponense.Ennek a beáramló impulzusnak (az impulzus árams¶r¶ségének általában) két lehetséges formája van: Tör-ténhet er®hatás vagy konvek ió utján. Rugalmas közegekben az er®hatás útján történ® impulzusárams¶r¶séga feszültség. Ez de�ní ió szerint akkor pozitív, amikor a küls® normális irányában hat, ezért ekkor a ���-banaz er®hatást �gyelembe vev® rész a rugalmasságtanból ismert feszültségtenzor negatívja. Folyadékokban ésgázokban az er®hatást nyomásként fogjuk fel, amely mindig pontosan a bels® normális irányában hat. Ekkor��� = +pÆ��, mert (25.6) utolsó alakjában a negatív el®jel az ~n küls® normálisból �~n bels® normálist sinál.Els® példaként írjuk fel a ~V (x; y; z; t) sebességgel áramló ideális folyadék energia-impulzus tenzorát nemre-

25 AZ ENERGIA-IMPULZUS TENZOR 61lativisztikus közelítésben (vagyis a V 2= 2 rend¶ tagok elhanyagolásával):T ijf = 0BBBBB��(V 2=2 + 2 + u) �(V 2=2 + 2 + h)Vx= �(V 2=2 + 2 + h)Vy= �(V 2=2 + 2 + h)Vz= � �Vx �V 2x + p �VxVy �VxVz � �Vy �VyVx �V 2y + p �VyVz � �Vz �VzVx �VzVy �V 2z + p1CCCCCA (25.7)A w = �(V 2=2 + 2 + u) energias¶r¶ség a mozgási, a nyugalmi és a nemrelativisztikus bels® energia összege,amelyben u az egységnyi tömegre jutó nemrelativisztikus bels® energia. Azt várnánk, hogy az energiaárams¶r¶sége w~V -vel egyenl®, de a w helyén a �(V 2=2 + 2 + h) kifejezés szerepel, amelybenh = u+ p=� (25.8)az egységnyi tömegre jutó entalpia32.A magyarázathoz írjuk fel (25.1)-t integrális alakban:ddt Zv ��V 22 + 2 + u� dv = � Zs ��V 22 + 2 + h� ~V � ~n ds:Nemrelativisztikus esetben a tömeg külön megmarad, amit a���t + div(�~V ) = 0 (25.9)kontinuitási egyenlet fejez ki. Ennek ddt Zv � dv = � Zs �~V � ~n ds:integrális formáját kihasználhatjuk az el®z® egyenlet egyszer¶sítésére. Ha (25.8)-t is �gyelembe vesszük, addt Zv ��V 22 + u� dv = � Zs ��V 22 + u� ~V � ~n ds� Zs p~V � ~n dsegyenl®ségre jutunk.A baloldalon a nemrelativisztikus (a nyugalmi energiát nem tartalmazó) energia növekedési sebessége áll akijelölt v térfogatban. A jobboldal mutatja, hogy ez két összetev®re vezethet® vissza. Az els® a mozgási és abels® energia beáramlási sebessége, a második pedig a nyomás id®egység alatt végzett munkája a térfogatbabeáramló közegen. Ha ~s-ben a h entalpia helyett az u bels® energiát használnánk, ez utóbbi tag hiányozna.A ��� komponensek �zikai jelentése nyilvánvaló: A �xy komponens például gxVy-nal egyenl®, ami az xirányú impulzuss¶r¶ség y irányú árams¶r¶sége. Ez tisztán konvektív járulék, amit az áramló közeg szállítmagával. A �xx-ben a gxVx konvektív járulékon kívül a nyomás hatását is �gyelembe kell venni az impulzus-áramlásra, amint azt a (25.6) képlet kap sán tisztáztuk.A (25.7) mintájára a nyugvó ideális gáz energia-impulzus tenzorát is felírhatjuk nemrelativisztikus közelítés-ben. Az ideális gáz attól ideális, hogy a része skék közötti köl sönhatás poten iális energiája elhanyagolható,ezért az energia-impulzus tenzor komponenseit egyedül a molekulák sebességeloszlása határozza meg.A (25.7)-beli ~V most a sebességeloszlás átlaga, amely nyugvó gáz esetében nullával egyenl®. Az ener-gias¶r¶ség a nyugalmi és az átlagos mozgási energia összege:T 00g = � 2 + 12�v2:12v2 = u az egységnyi tömegre jutó bels® energia s¶r¶sége a (nemrelativisztikus) termodinamikában, a felül-húzás pedig átlagolást jelent a molekulák sebességeloszlására. A g alulindex az ideális gázra utal.32Vegyük �gyelembe, hogy 1=� az egységnyi tömegre jutó (fajlagos) térfogattal egyenl®, és a V térfogatú közeg entalpiájaH = U + pV .

25 AZ ENERGIA-IMPULZUS TENZOR 62Az ideális gázban továbbá sx = �( 2 + h)vx. Nyugvó gázban vx = Vx = 0, ezért T 0�g = 0.Az impulzuss¶r¶ség x komponense gx = �vx = 0, és így T�0g = 0.A ��� �zikai jelentése a g� = �v� impulzuss¶r¶ség áramának � komponense, ezért ��� = �v�v� . De nyugvógázban kitüntetett irány hiányában termodinamikai egyensúlyban � 6= � esetén v�v� = 0, míg v2x = v2y = v2z =13v2. Így �xx = �yy = �zz = 13�v2 = 23�u:A ��� ílymódon diagonális mátrix, és az ideális gáz E = 32pV állapotegyenlete, valamint a �u = E=V követ-keztében a diagonális elemei a nyomással egyenl®k, ahogy várható.Nyugvó közeg esetében tehát T ijnyugvó = 0BBBBB�w 0 0 00 p 0 00 0 p 00 0 0 p1CCCCCA (25.10)amelyben w = �( 2+u). Amennyiben a közeg ideális gáz, a nyomás és a bels® energia között fennáll a p = 23�uállapotegyenlet.Harmadik példánk az elektromágneses mez® energia-impulzus tenzora. Az elektrodinamikából ismeretes,hogy w = �02 E2 + �02 H2;~s = ( ~E � ~H);~g = 1 2 ( ~E � ~H) = ( ~D � ~B);��� = Æ��w � �0E�E� � �0H�H� :

9>>>>>>=>>>>>>; (25.11)Az ~s a Poynting-vektor, ��� pedig a Maxwell-féle feszültségtenzor negatívja.Az Fij tértenzor segítségével ezek az összefüggések egyetlen képletbe tömöríthet®k:T ijem = �0�14�ijFklF kl � F ikF j: k� : (25.12)Ennek alapján könnyen igazolható, hogy az elektromágneses mez® energia-impulzus tenzora spúrtalan:Tem � T iem i = 0: (25.13)Termodinamikai egyensúlyban lév® sugárzási térben (h®mérsékleti sugárzás) az energia-impulzus tenzornakmegint (25.10) alakúnak kell lennie, mert ebben a �zikai rendszerben sin s kitüntetett irány. Az energias¶r¶ségekkor természetesen (�0E2=2 + �0H2=2) � wr . A (25.13) következtében azonban T 00 + T xx + T yy + T zz = 0.Minkowski-metrikában T 00 = T 00 = wr, T xx = �T xx = ��xx = �p stb., ezért wr = 3p. H®mérsékletisugárzásnál ez az állapotegyenlet felel meg az ideális gáz �u = 32p állapotegyenletének.Van-e általános re ept az energia-impulzus tenzor meghatározására? Ha ismerjük a rendszer Lagrange-függvényét, akkor igen, de erre az eljárásra nem térünk ki.Az energia-impulzus tenzor fontos tulajdonsága, hogy szimmetrikusT ij = T ji: (25.14)A T ijf , T ijg , T ijem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal33. A 3 � 3-as T�� = ��� almátrix szimmetriája a fe-szültségtenzor jól ismert tulajdonsága és annak következménye, hogy az impulzusmomentum megmaradását iskontinuitási egyenlet írja le (az impulzusmomentum megmaradási törvénye is lokális).33A Tf esetében a szimmetria is sak o(v2= 2) pontossággal teljesül.

26 AZ EINSTEIN-EGYENLET 63A T 0� = T�0 egyenl®ség azt fejezi ki, hogy a sta ionér zárt rendszerek teljes ~p impulzusa mindig nulla (vagyisegy zárt rendszernek sak akkor lehet nullától különböz® impulzusa, ha mozog). Valóban, zárt rendszerbenfennáll a (25.1) relá ió. Ha a rendszer még sta ionér is, akkor �w�t = 0 és ezért div~s = 0. Ha az energia-im-pulzus tenzor szimmetrikus, akkor ~s= = ~g, tehát div~g = 0. De akkor ~p-nek egy tetsz®leges ~n egységvektorravetett ~p � ~n vetülete zérus, ugyanis~p � ~n = Z (~n � ~g) dv = Z �grad(~n � ~r) � ~g� dv == Z �div�(~n � ~r)~g�� (~n � ~r) div~g� dv: (25.15)Az utolsó integrál második tagja div~g = 0 miatt zérus, az els® pedig a Gauss-tétel segítségével végtelen sugarúgömbre vett felületi integrállá alakítható, amelyen minden véges kiterjedés¶ rendszer ~g impulzus s¶r¶sége zérus.Így ~p � ~n = 0, amib®l ~n tetsz®legessége miatt következik ~p = 0.Az elmondottak többsége nyilvánvaló módosítások után érvényes marad az általános relativitáselméletbenis. A (25.4) helyébe a riT ij = 0 (25.16)képlet lép, a (25.12)-ben pedig a Minkowski-szimbólumot a metrikus tenzorral kell helyettesíteni. A (25.5)képletek azonban a gravitá iós energia és impulzus miatt komolyabb változtatást igenyelnek, de ezzel a kérdés-körrel nem tudunk foglalkozni.26. Az Einstein-egyenletMindeddig nem foglalkoztunk azzal a kérdéssel, hogy a tömegek milyen törvény szerint alakítják maguk körüla térid® geometriáját. Az Einstein-egyenlet erre a kérdésre ad választ.Newton gravitá iós elméletében az analóg probléma az adott � tömegeloszláshoz tartozó � gravitá ióspoten iál megkeresése. Az elmélet szerint a két mennyiséget a4� = 4�G� (26.1)Poisson-egyenlet kap solja össze egymással, amelynek végtelenben elt¶n® megoldása a�(~r; t) = �G Z d3x0 �(~r 0; t)j~r � ~r 0j (26.2)integrál. Az integrálhoz természetesen sak az az ~r 0 tartomány ad járulékot, amelyben a tömegs¶r¶ség külön-bözik zérustól. Ha az ~r meg�gyelési pont nagyon messze van a tömegeloszlástól, akkor az ilyen ~r 0 pontokraj~r � ~r 0j � j~r � ~R(t)j, ahol ~R(t) a tömegeloszlás egy bels® pontjának a koordinátája a t pillanatban. Ekkor�(~r; t) = � GMj~r � ~R(t)j (26.3)az ~R-ben lév® M tömeg¶ tömegpont gravitá iós poten iálja. Abban a spe iális esetben, amikor a tömegpontaz origóban nyugszik �(~r) = �GMr : (26.4)A 19. fejezetben láttuk, hogy amikor �= 2 � 1, a gravitá iós er® hatása helyettesíthet® a térid® geo-metriájának módosításával úgy, hogy g00-t, amely a spe iális relativitáselméletben 1-el egyenl®, �1 + 2� 2 �-reváltoztatjuk. Ha nem a �-t, hanem g00-t tekintjük alapmennyiségnek, (26.1)-t a4g00 = 8�G 2 � (26.5)alakban élszer¶ felírnunk.

26 AZ EINSTEIN-EGYENLET 64A (26.3), (26.4) egyenletekben M a newtoni gravitá iós mez®t létrehozó test súlyos tömege. Az általánosrelativitáselméletben sak egyfajta tömeg van, ezértM -n ezt kell értenünk. De van egy másik lehet®ség is: Az,hogy ne a tömeget, hanem az energiát tekintsük a gravitá ió forrásának, amely egy nyugvó M tömeg¶ testesetében az M 2 nyugalmi energiával egyenl®. Ha valóban ez a korrekt felfogásmód, akkor (26.5) jobboldalána �-t w= 2 = T00= 2-ként kell értelmezni, amelynek a nyugvó testre vett integrálja a tömeg.A dönt® érv, amely emellett az interpretá ió mellett szól az, hogy az energias¶r¶ség eleget tesz egy lokálismegmaradási törvénynek � a (25.1) kontinuitási egyenletnek �, a tömegs¶r¶ség azonban sak a newtoni�zikában elégíti ki a (25.9) kontinuitási egyenletet, a relativitáselméletben nem. Képzeljük el, hogy a (26.3)vagy a (26.4) képletet egy izolált mikrorésze skére, mondjuk egy radioaktív ZXA atommagra alkalmazzuk,amely �-része ske kibo sátásával a Z�2Y A�4 magra bomlik. A bomlás pillanatában a rendszer tömege mX -r®l(mY +m�)-ra sökken, aminek következtében a gravitá iós poten iál a bomlás helyét®l tetsz®legesen nagy rtávolságra hirtelen �GmX=r-r®l �G(mX +m�)=r-re n®. Az ilyen végtelen sebességgel terjed® hatás azonbanelkerülhet®, ha a gravitá ió forrása nem a tömegs¶r¶ség, hanem az energias¶r¶ség, mert a bomlás során azenergia lokálisan megmarad (a nyugalmi energia egy része alakul át mozgási energiává).A (26.5)-t tehát logikus átírni a 4g00 = 8�G 4 T00 (26.6)alakba. A feladatunk az, hogy ennek olyan általánosítását találjuk meg, amely tenzoregyenlet, és newtonihatáresetben ezt az egyenletet � vagyis (26.1)-t � adja vissza.Els® pillanatra a feladat egyszer¶nek látszik: Nem kell mást tenni, mint a 00 indexpárt ij-vel helyettesíteni,és a 4 Poisson-operátort négydimenziós megfelel®jével, a � = riri = gijrirj d'Alembert operátorral he-lyettesíteni. De ez a próbálkozás értelmetlen egyenletre vezet, mert rigjk = 0 következtében �gij = 0.A metrikus tenzornak ez a tulajdonsága reménytelenné teszi annak a kifejezésnek próbálgatással történ®megtalálását, amely gij maximálisan másodrend¶ par iális deriváltját tartalmazza és (26.6) baloldalának azáltalánosítása lehetne. Mivel (26.6) általánosításában a jobboldalnak Tij-t kell tartalmaznia T00 helyett, akeresett kifejezésnek szimmetrikus kétindexes tenzornak kell lennie.A Riemann-geometria elmélete azonban tál án kínál egy ilyen kifejezést, az Rij Ri i-tenzort, amelyb®lképezhet® még egy, a gijR. Szóba jöhetnének még az Rij hatványait tartalmazó tenzorok, mint pl. a gklRikRlj ,de ezek a metrikus tenzor második par iális deriváltját az els®nél magasabb hatványon tartalmazzák, és ezértteljesen valószín¶tlen, hogy a newtoni limeszben vissza tudják adni (26.6)-t34.Van természetesen még egy másodrend¶ szimmetrikus tenzor, ami szóba jöhet: maga a gij . Így végül arraa következtetésre jutunk, hogy a keresett egyenlet baloldalán az Rij , a gijR és a gij konstans koe� iensekkelképzett kombiná iója állhat. Ha azonban az Rij -t szorzó koe� iens inverzével végigszorozzuk az egyenletet,akkor az Rij koe� iense 1 lesz, viszont a jobboldalon jelenik meg egy szorzófaktor. Ezért az általánosságmegszorítása nélkül kereshetjük az egyenletet azRij + �Rgij � �gij = �Tijalakban, amelyben �, � és � meghatározásra váró konstansok.Célszer¶bbnek fog bizonyulna azonban Rij helyett a (14.8)-ban felírtGij = Rij � 12gijREinstein-tenzorral dolgozni, ezért inkább aGij + �Rgij � �gij = �Tij (26.7)alakból indulunk ki.Az �-t azonban nullának kell választanunk. Ezt a következ® négylépéses gondolatmenettel láthatjuk be:1) A téregyenletet átírjuk vegyes komponensekbe:Gij + �RÆij � �Æij = �T ji :2) Képezzük (26.7) mindkét oldalának kontrak ióját. Mivel Æii = 4 ésGii = Rii � 12ÆiiR = �R; (26.8)34Ennek a sejtésnek a helyességét Cartan az Einstein-egyenlet felállítása után hét évvel be is bizonyította.

26 AZ EINSTEIN-EGYENLET 65a Ri i-skalárra az R = �T + 4�4�� 1 (26.9)kifejezést kapjuk, amelyben T = T ii .3) A ri operá ió alkalmazásával vegyük a vegyes komponensekben felírt téregyenlet négyesdivergen iáját:riGij + �rjR = �riT ij :A (14.8) Bian hi-azonosság szerint riGij = 0, az R skalárra pedigrjR = �jR (26:9)= �4�� 1�jT;ezért �4�� 1�jT = riT ij :4) Térjünk át végül lokális iner iarendszerre, ahol ez az egyenlet�iT ij = �4�� 1�jTalakú. De az ekvivalen ia-elv alapján (25.4) szerint a baloldalnak nullának kell lennie, és mivel arra nin sáltalában ok, hogy �jT t¶njön el, az �-nak kell zérusnak lennie. Így végül azRij � 12gijR� �gij = �Tij (26.10)egyenletre jutunk.A � konstans a kozmológiai állandó. Az elnevezés arra utal, hogy ez a tag sak az Univerzumra mint egészrevonatkozó feladatokban játszik szerepet, a Naprendszer tárgyalásánál azonban elhagyható. Az egyenletb®l lát-szik, hogy a �zikai dimenziója az R dimenziójához hasonlóan inverz hosszúságnégyzet, és � mint a kozmológiatárgyalásánál látni fogjuk � 1=p� � 103 Mp az Univerzum leírásában fellép® karakterisztikus távolság35. ANaprendszer tárgyalásánál az egyenletnek ezt a tagját ugyanazért nem kell �gyelembe venni, amiért egy háztervezésénél nem kell számításba venni a Föld sugarát. A továbbiakban ezért a gravitá iós téregyenletet azRij � 12gijR = �Tij (26.11)alakban fogjuk használni mindaddig, amíg át nem térünk a kozmológia tárgyalására.Visszaadja-e ez az egyenlet a lassan mozgó testek határesetében Newton gravitá ió elméletét? A kérdésmegválaszolásához élszer¶ (26.11)-t kissé átalakítani. Ha mindkét oldalt kontraháljuk, R = ��T -t kapjuk, ésezt az egyenletbe visszahelyettesítve az Rij = ��Tij � 12gijT� (26.12)alternatív alakra jutunk.A newtoni határesetre történ® áttérés szempontjából lényeges, hogy dimenzióokokból � arányos 1= 4-nel.Ez így látható be: A (26.11) szerint [�℄ = [Rij ℄=[Tij ℄. Lokális Minkowski koordinátákban [Rij ℄ = 1=m2 (14.fejezet), [Tij ℄ = J=m3 = kg=m � s2, tehát [�℄ = s2=m � kg. A � kifejezésére sak két természeti állandó állrendelkezésre, a gravitá iós állandó és a fénysebesség, ezekkel kell a három mértékegység, az m, a kg és a shatványát egyenl®vé tenni a két oldalon. Mivel [G℄ = N �m2=kg2 = m3=kg � s2, ezért� = k � G 4 ;ahol k dimenziótlan konstans.Newton gravitá ió elmélete a v � , vagy � másképpen � a �! 1 határesetnek felel meg. A G-tnyugvó testekre vonatkozó mérések alapján de�niálták (Cavendish-kísérlet), ezért maga nyilván nem függ a351 Mp � 1 megaparse = 3,262 millió fényév.

26 AZ EINSTEIN-EGYENLET 66fénysebességt®l. A 19. fejezetb®l tudjuk, hogy a metrikus tenzorban a newtoni határesetnek az 1= 2 szerintikifejtés els®, 1= 2-tel arányos tagja felel meg. Ami az energia-impulzus tenzort illeti, ehhez a legnagyobbjárulékot a 2-tel arányos nyugalmi energia adja. A (26.12) szerkezete pont ennek a helyzetnek felel meg. Haa jobboldalon Tij és T vezet® rendje 2, akkor Rij -ben a vezet® rend 1= 2, amely a metrikus tenzor 1= 2-telarányos járulékaiból számítható ki.Írjuk fel (26.12)-t ebben a rendben. A jobboldalon el®forduló gij-ket ekkor �ij -vel kell közelíteni. A Tijkomponensei a T00 = � 2-n kívül nullák, ezért T = � 2. Így (26.12) három egyenletre esik szét:R2 00 = �2 � 2 (26.13)R2 �� = Æ�� �2 � 2 (26.14)R2 �0 = 0: (26.15)R2 ij az 1= 2-tel arányos járulék a Ri i-tenzorhoz. Legyen gij = �ij + hij , ahol h00-ról tudjuk, hogy 1= 2 rend¶és tegyük fel, hogy h�� is 1= 2 rend¶, h�0 pedig 1= 2-nél magasabb rend¶ (1= 3 vagy ennél is magasabb).Alább ez a feltevés igazolódni fog.Az R2 jl-hez a (14.3) képlet h-ban lineáris tagjai adhatnak sak járulékot:R2 jl = 12�ik [�j�khil + �i�lhjk � �j�lhik � �i�khjl℄: (26.16)A jobboldalon természetesen sak az 1= 2 rend¶ tagokat kell meghagyni. A képletben x0 szerinti deriváltak isel®fordulnak. A metrikus tenzor id®függését az égitestek mozgása okozza, amely a newtoni határesetben lassú.Ezt úgy kell �gyelembe venni, hogy a �0 = 1 �t kifejezést 1= rend¶nek tekintjük és ezért R2 ij számításánál a�0-t tartalmazó tagokat elhagyjuk.Ha (26.13), (26.14), (26.15) baloldalát ezen a módon kifejezzük hij-n keresztül, az124h00 = �2� 2 (26.17)12[���� h � � � ��h� + ����h � ����h00℄ = Æ�� � �2� 2 (26.18)egyenleteket kapjuk (a kétszer el®forduló görög index összegzést jelent 1,2,3-ra). A harmadik egyenlet 0 = 0-ként teljesül, mert R2 �0 = 12[���� h 0 +4h�0℄ és ez valójában 1= 2-nél magasabb rend¶ kifejezés.Mivel a vizsgált rendben 4h00 = 4g00, a (26.17) nem más, mint a (26.5) egyenlet: A (26.11) tehát tartal-mazza Newton gravitá ió elméletét anélkül, hogy szándékosan beépítettük volna. A teljes formai egyezéshez supán annyit kell tenni, hogy �-t 8�G= 4 alakban írjuk, ami k = 8� választásnak felel meg. Ez nem új �zikaifeltevés, hanem supán annak a megállapodásnak a fenntartása, hogy két nyugvó tömegpont közötti gravitá- iós er®ben az m1m2=r2 kifejezést szorzó számot (nem pedig ennek valahányszorosát) tekintjük gravitá iósállandónak.Így végül (26.11) a következ® alakban írható:Rij � 12gijR = 8�G 4 Tij : (26.19)Ez a téregyenlet (Einstein-egyenlet) a geodetikus hipotézissel mint mozgásegyenlettel együtt alkotja az általánosrelativitáselméletet.Megjegyezzük, hogy a jobboldalon az energia-impulzus tenzor az összes jelenlév® anyagtípus (része skékés elektromágneses sugárzás) járulékát tartalmazza a gravitá iós energián és impulzuson kívül. Az egyenletanalízise azt mutatja, hogy ez utóbbiakat az egyenlet baloldala tartalmazza impli it módon.Mint látjuk, Einstein nem a newtoni elmélet korrek ióján keresztül jutott el az általános relativitáselmé-lethez. A newtoni elméletnek supán néhány általános vonását használta fel. A (26.1) newtoni téregyenletszerkezete az Einstein-egyenletben is tükröz®dik annyiban, hogy az egyenlet baloldala a térmennyiségre hatómásodrend¶ di�eren iáloperátor, a jobboldala pedig a mez® forrása. A forrás azonban átértelmezésre szorult:

27 A CENTRÁLSZIMMETRIKUS STATIKUS TÉRID� 67Nem a tömeg, hanem az energia-impulzus tenzor a gravitá ió forrása. A baloldali di�eren iáloperátor lehetségesformáját a Riemann-geometria szinte egyértelm¶en determinálja, az einsteini megközelítés teljesít®képességeebben mutatkozik meg a legélesebben. A matematikailag még fennmaradó lehet®ségeket, amelyek a máso-dik par iális deriváltakat az els®nél magasabb hatványon tartalmazzák, a newtoni határesettel való egyezéskövetelménye sz¶ri ki.Ha a (26.19) Einstein-egyenlet kovariáns divergen iáját képezzük, a baloldalon a Bian hi-azonosság követ-keztében azonosan nullát kapunk. Ha a Tij kovariáns divergen iája nem lenne zérus, az egyenlet önellentmondólenne, ezért a rjT ij = 0 egyenlet az Einstein-egyenlet integrálhatósági feltétele. Lokális iner iarendszerben ezaz energia és az impulzus lokális megmaradását fejezi ki, ami ilymódon az Einstein-egyenlet következménye.Az analógia a Maxwell-egyenlettel és a töltésmegmaradással nyilvánvaló.Az Einstein-egyenlet általánosan invariáns abban az értelemben, ahogy ezt a terminust a 24. fejezetbende�niáltuk. Az egyenlet azért nem lehet semmiképpen sem általánosan kovariáns, mert az általánosan kovariánsegyenletekben a metrikus tenzort ismertnek tekintjük, míg az Einstein-egyenletnek maga a gij metrika azismeretlene. Az egyenlet általános invarian iájából következik, hogy ha ismerjük az egyenlet valamilyen gij(x)megoldását, akkor ennek a megoldásnak minden gk0l0 = �xi�xk0 �xj�xl0 gij koordinátatranszformáltja is megoldás. Azegyenlet tehát nem választ ki megoldásként egyetlen konkrét koordinátarendszert sem, hanem sak a koordi-nátarendszereknek azt a halmazát, amely a térid®n felvehet®. Ezt viszont a térid® bels® geometriája határozzameg. Ez a bels® geometria az, amit az Einstein-egyenleten keresztül az energia-impulzus tenzor meghatároz.Az Einstein-egyenletet általában együtt kell használni a különböz® típusú része skék és terek dinamikaiegyenleteivel. Ha pl. a térid®ben sak elektromágneses mez® van, akkor a feladat teljes egyenletrendszere azEinstein-egyenletb®l és a (24.18), (24.19) Maxwell-egyenletekb®l áll (ji = 0 mellett). Ezek össze satolt egyenle-tek, mert az Einstein-egyenlet jobboldalán a (25.12) energia-impulzus tenzor áll, amely az Fij elektromágnesestenzortól függ. A (24.19)-ben pedig szerepel a metrikus tenzor, amely eredetileg az Einstein-egyenlet isme-retlene. Ez az egyenletrendszer egészében általánosan invariáns annak ellenére, hogy az elektrodinamikábanönmagában a (24.19) általánosan kovariáns egyenlet.27. A entrálszimmetrikus statikus térid®Az Einstein-egyenletek általános invarian iája következtében az egyenlet a térid® geometriáját határozza meg,és nem korlátozza azt, hogy a térid®n hogyan vegyük fel a koordinátarendszert. Logikus feltételezni, hogy egygömbszimmetrikus statikus sillag körül a térid® geometriája olyan, hogy felvehet® rajta olyan koordinátarend-szer, amely ezt a szimmetriát tükrözi. Ezt a lehet®séget bizonyára élszer¶ kihasználni.Ha egy pillanatra visszanyúlunk Newton gravitá ió elméletéhez és a metrika helyett gravitá iós poten iálragondolunk, akkor ezek a tulajdonságok a gravitá iós poten iálban úgy nyilvánulnak meg, hogy a poten iálfüggetlen a t id®t®l és polárkoordinátákban a legegyszer¶bb, mert sak egyetlen térkoordinátától, az r-t®lfügg. Feltételezhetjük, hogy a metrikával ugyanez a helyzet: Ha a metrikus tenzor komponensei függetlenekt-t®l és sak r-t®l függenek, akkor az r = 0 origó egy gömbszimmetrikus statikus objektum középpontja. Haígy gondolkozunk nem járunk messze az igazságtól. Csak azt kell még �gyelembe venni, hogy az általánosrelativitáselméletben nem egyetlen �(r) függvényt, hanem a metrikus tenzor tíz komponensét kell kiszámítani.Az Einstein-egyenlet megoldását mindenesetre azzal kezdjük, hogy a négy koordinátát t; r; #; '-nek ne-vezzük el. Ezzel azonban nem érünk el sokat, mert magában az egyenletben semmi sem utal arra, hogy a tid®koordináta, r; #; ' pedig polárkoordináták. A koordináták természetét úgy lehet rögzíteni, hogy az ívelem-négyzet � a metrikus tenzor, � bizonyos tulajdonságait el®írjuk és az Einstein-egyenletek olyan megoldásaitkeressük, amelyek az el®írásnak eleget tesznek. Nyilván olyan el®írással kell próbálkoznunk, amely megfelel azel®z® bekezdésben megfogalmazott várakozásnak.Mindenekel®tt fel kell tennünk, hogy a metrika, amelyet megoldásként kapunk, megfelel® szignatúrájú (16.fejezet). Ebb®l kiindulva megállapíthatjuk, hogy az a koordináta, amelyet t bet¶vel jelölünk, akkor lesz az id®,ha a koordinátabázis e(t) eleme id®szer¶ négyesvektor. Mivel e(t) � e(t) = gtt, ez annyit jelent, hogy gtt-nekpozitívnek kell lennie. Ezután megkövetelhetjük, hogy a gij-k ne függjenek t-t®l.Egy sillag statikussága azonban többet jelent, mint a paramétereinek id®beli állandósága. Ha egy rögzítetttengely körül állandó szögsebességgel forog, akkor a paraméterei id®ben állandók, mégsem statikus. Erre azesetre a sta ionér elnevezést használjuk. A forgás ténye természetesen befolyásolhatja a sillag által létrehozottmetrikát. Vezethet olyan járulékra a metrikus tenzorban, amely el®jelet vált, amikor a forgás irányát azellenkez®jére változtatjuk. Mivel a szögsebesség d'dt -vel egyenl®, akkor is ugyanilyen változást kell kapnunk

27 A CENTRÁLSZIMMETRIKUS STATIKUS TÉRID� 68az ívelemnégyzetben, amikor dt-t �dt-vel helyettesítjük. Nyilván a 2gtrdtdr + 2gt#dtd# + 2gt'dtd' járulékilyen tulajdonságú. A forgás természetesen befolyásolhatja az ívelemnégyzet többi részét is, de az bizonyos,hogy ha gtr, gt#, gt' bármelyike különbözik zérustól, akkor a sillag forog36. Statikus sillag téridejében ezértgtr = gt# = gt' = 0.A gömbszimmetriát azzal a feltevéssel építjük be a keresett metrikába, hogy a t = konstans, r = konstansegyenletekkel meghatározott kétdimenziós felület metrikája legyen egyenl® az r sugarú gömbfelület r2(d#2 +sin2 # � d'2) metrikájával, azaz legyene(#) � e(#) = g## = �r2; e(') � e(') = g'' = �r2 sin2 #; g#' = 0(a negatív el®jel oka az, hogy a két bázisvektor térszer¶). Az ívelemnégyzetnek ez a része határozza megaz r koordináta geometriai jelentését: A t = konstans, r = konstans gömb felülete 4�r2-el egyenl® (vagy at = konstans, r = konstans, # = �=2 kör hossza 2�r.)A gömbszimmetriához az is hozzátartozik, hogy az r-koordinátavonalak legyenek ortogonálisak az r =konstans gömbökre. A keresett megoldásra ezt a tulajdonságot is kirójuk:e(r) � e(#) = gr# = 0 e(r) � e(') = gr' = 0:Mindössze két komponens maradt rögzítetlenül, gtt és grr. Amikor a következ® fejezetben felírjuk azEinstein-egyenleteket, látni fogjuk, hogy ezeket már nem lehet önkényesen megválasztani. Azt azonban megkell követelnünk, hogy � miután biztosítottuk az r koordináta megfelel® geometriai jelentését, � ezek azelemek sak r-t®l függjenek.Célszer¶ a két tenzorkomponensre spe iális jelölést bevezetni:gtt = 2 � A(r) grr = �B(r): (27.1)Ha t helyett az x0 = t id®koordinátát használjuk, akkorg00 = A(r): (27.2)A szignatúra megköveteli, hogy mind A(r), mind B(r) legyen pozitív. Ezenkívül azt is elvárjuk, hogy a sillagtól végtelen távol a metrika tartson a sík térid® metrikájához polárkoordinátákban:limr!1A(r) = 1 limr!1B(r) = 1: (27.3)Végeredményben tehát a metrikát ads2 = A(r) 2dt2 �B(r) dr2 � r2(d#2 + sin2 # � d'2) (27.4)alakban kereshetjük, a statikus entrálszimmetrikus térid®t pedig de�niálhatjuk azzal, hogy ez olyan térid®,amelyben felvehet®k a koordináták úgy, hogy az ívelemnégyzet (27.4) alakú legyen. Azokat a koordinátákat,amelyekben a metrika (27.4) alakú, S hwarzs hild-koordinátáknak nevezzük.Az A(r) geometriai jelentésének a megállapítására tekintsünk egy objektumot, amely a S hwarzs hild-koordinátákban nyugszik (r; # és ' egyaránt konstans). A ds2 = 2d�2 összefüggés alapján ekkor d� =pA(r) �dt. Az A(r) tehát a nyugvó órák sajátideje és a koordinátaid® közötti kap solatot határozza meg. Abból,hogy r �! 1-nél A(r) �! 1 következik, hogy a t S hwarzs hild koordinátaid® a végtelen távoli meg�gyel®sajátidejével egyezik meg.Tekintsük most valamelyik r-koordinátavonalat (t; # és ' konstans). Az ívhossz négyzete dl2 = B(r)dr2 ,ezért a koordinátavonal (r; r + dr) szakaszának a hossza nem dr-rel, hanem dl = pB(r) � dr-rel egyenl®. Eznem mond ellent az r korábban megállapított geometriai jelentésének, amely szerint az r = konstans gömbfelszíne 4�r2 (a f®körök hossza 2�r), hanem a t = konstans geometriai tér görbültségének a következménye.36A metrikában akkor is felléphetnek ilyen tagok, ha a sillag ugyan nem forog, de a koordinátarendszer forog. A (23.11) metrikaesetében ez volt a helyzet. A (23.11)-ben az utal a koordinátarendszer forgására, hogy az ívelemnégyzet sak az r0 < = végessugarú körön belül érvényes. Attól a metrikától, amelyet ebben a fejezetben keresünk, megköveteljük, hogy az egész geometriaitérben legyen érvényes. Ezért ha a gt� = 0 feltételt nem rónánk ki, biztosan forgó sillag téridejére jutnánk, amit most nemakarunk (ld. a 34. fejezetet).

28 A SCHWARZSCHILD-MEGOLDÁS 69A (27.4) metrikához tartozó konnexiós koe� iensek a következ®k:�00r = A02A�r00 = A02B �rrr = B02B �r## = � rB �r'' = � rB � sin2 #�#r# = �'r' = 1r �#'' = � sin# os# �'#' = tg #: (27.5)A vessz® r szerinti deriválást jelöl. A 0 és a t index¶ komponensek átszámítása a �zikai dimenzió alapjánnagyon egyszer¶ (4.9/2 feladat). Pl. �rtt = 2�r00.28. A S hwarzs hild-megoldásEgy véges a sugarú statikus gömbszimmetrikus sillag téridejét az r > a küls® tartományban S hwarzs hild-térid®nek nevezzük. S hwarzs hild-koordinátákban a metrika a sillagon kívül is, belül is (27.4) alakú, de A(r)és B(r) a két esetben különbözik egymástól. A sillagon kívül vákuum van, ahol Tij = T = 0, ezért r > a-nálaz Einstein-egyenlet vákuummegoldását kell megtalálnunk.Célszer¶ a vákuumegyenlet vegyes komponensekben felírtGij = Rij � 12ÆijR = 0alakját használni. A Ri i-tenzor komponenseit a 14. fejezet és a (27.5) alapján lehet felírni. A nemdiagonáliskomponensek mind nullák, ezért az Einstein-egyenletek a következ®k (0; 1; 2; 3 � t; r; #; '):Gtt = 1B �B0rB � 1r2�+ 1r2 = 0; (28.1)Grr = � 1B � A0rA + 1r2�+ 1r2 = 0; (28.2)G## = G'' = � A002AB + A04AB �A0A + B0B �� A02rAB = 0 (28.3)Az A(r) és a B(r) meghatározásához elég az els® két egyenlet. Az egyenletrendszer mégsem túlhatározott,mert levezethet® variá iós elvb®l37, és a variá iós egyenletek mindig kompatibilisek egymással. Ezért a Gtt = 0,Grr = 0 egyenletekb®l kapható A; B biztosan nullává teszi G##-t és G''-t is.A megoldás menete a következ®: Képezzük aGtt �Grr = 1rB �A0A + B0B � = 0 (28.4)különbséget, amelyb®l A0A + B0B = 0: (28.5)A (28.2)-ben A0=A-t �B0=B-vel helyettesítve a� 1B ��B0rB + 1r2�+ 1r2 = 0egyenletre jutunk, amelyet �r� 1B�0 � 1B + 1 = 0alakban is írhatunk. Ennek az egyenletnek az általános megoldása1B = 1� C1r ;37Hilbert megmutatta, hogy az Einstein-egyenletek az L = R � p�g Lagrange-függvényb®l származtathatók.

29 A FÉNYELHAJLÁS A SCHWARZSCHILD-METRIKÁBAN 70ahol C1 tetsz®legesen választható integrá iós konstans. A (28.5)-t (AB)0 = 0 alakban is fel lehet írni, amelyb®lAB = C2 (a C2 újabb konstans), és így A = C2B = C2 �1� C1r � :A (27.3) követelményb®l C2 = 1, és ha meg akarjuk tartani a gravitá iós állandó elfogadott de�ní ióját, akkorC1 = 2MG= 2 = rg .Így végül A(r) = 1� rg=r B = 11� rg=r : (28.6)A sillag körül az ívelemnégyzet végleges alakja tehát a következ®:ds2 = (1� rg=r) 2dt2 � 11� rg=r dr2 � r2(d#2 + sin2 # � d'2): (28.7)Ezt a metrikát S hwarzs hild-megoldásnak nevezzük.Ha a (28.7) egzakt megoldást összehasonlítjuk (19.11)-el látjuk, hogy a metrikus tenzor determinánsánakaz el®jelével a 0 < r < rg tartományban sin s probléma, mert g � det gij = �1 . A szignatúra is mindenütt�2. Az r = rg azonban mégis különleges, mert grr(rg) =1. A 0 < r < rg intervallumban továbbá sérül az akövetelmény, hogy A és B legyen pozitív. Ebben a tartományban grr = �B > 0 (és gtt = A < 0), ezért az el®z®fejezet érvelése szerint nem a t-t, hanem az r-t kell id®koordinátának tekinteni. Mivel a metrika függ r-t®l,ebben a tartományban a S hwarzs hild-koordináták nem tükrözik a térid® statikusságát. A (28.7) megoldásazonban r < rg-nél is kielégíti az Rij = 0 Einstein-egyenletet.Emlékezzünk most vissza, hogy rg rendkívül kis sugár. A Nap esetében például alig 3 km, míg a Napgeometriai sugara a � 700 000 km. Az r = rg-nél fellép® S hwarzs hild-szingularitásnak tehát a Nap körülitérid® tartományban nin s jelent®sége és a sillagoknál általában ez a helyzet. A sillagon belül pedig A-ra és B-re (28.7) már nem érvényes. (Az asztro�zikában természetesen a bels® sztatikus gömbszimmetrikusmegoldásokat is vizsgálják a sillag energia-impulzus tenzorára tett különböz® feltevések alapján.)A (27.5) felhasználásával könnyen megkaphatjuk a S hwarzs hild-megoldáshoz tartozó konnexiós koe� ien-seket: �00r = ��rrr = rg2r(r � rg)�r00 = rg(r � rg)2r3 �r## = �(r � rg) �r'' = �(r � rg) sin2 #�#r# = �'r' = 1r �#'' = � sin# � os# �'#' = tg #: (28.8)A S hwarzs hild-megoldáshoz tartozó Riemann-tenzort legáttekinthet®bben az R : : klij : : típusú komponensei-vel lehet felírni: R : : 0101 : : = R : : 2323 : : = �rgr3R : : 0202 : : = R : : 0303 : : = R : : 1212 : : = R : : 1313 : : = rg2r3 : (28.9)29. A fényelhajlás a S hwarzs hild-metrikábanEmlékeztetünk rá, hogy a 22. fejezetben hogyan számítottuk ki a fényelhajlás szögét a Nap körül a közelít®metrikában. A k2 = gijkikj = (1� rg=r)�1k20 � k2x � k2y � k2z = (1� rg=r)�1(!= )2 � k2 = 0egyenletet megoldottuk a k =qk2x + k2y + k2z hullámszámra:k = 1p1� rg=r � ! � (1 + rg=2r) � ! :

29 A FÉNYELHAJLÁS A SCHWARZSCHILD-METRIKÁBAN 71Mivel a törésmutatót a k = n � ! diszperziós formula de�niálja, ezért a térid® görbülete ugyanolyan szög¶fényelhajlást okoz, mint az n(r) = (1 + rg=2r) törésmutatójú közeg. Azt találtuk, hogy ez a szög � = rg=�radián.Az elhajlási szög számítását a S hwarzs hild-metrika alapján nem kell megismételnünk, ha a k =qk2x + k2y + k2zés az ! közötti összefüggést megint sikerül k = n(r) � ! alakra hoznunk.Ennek érdekében az r radiális koordináta helyett egy alkalmasan választott r = q(r0) függvény segítségévelolyan új r0 koordinátát vezetünk be, amelyben a S hwarzs hild-metrika ads2 = h(r0) 2dt2 � f(r0)[dr02 + r02(d#2 + sin2 # d'2)℄ = h(r0) 2dt2 � f(r0)(dx02 + dy02 + dz02)alakot veszi fel. A szögletes zárójelben itt az euklidészi tér (9.3) ívelemnégyzete áll 3D polárkoordinátákban,amely a jól ismert (9.2) képletek segítségével alakítható át az ívelemnégyzet Des artes-koordinátákban felírtformájába. Ebben a koordinátarendszerben (izotróp koordináták)k2 = 1h(r0)k20 � 1f(r0) (k2x0 + k2y0 + k2z0) = 1h(r0)k20 � 1f(r0)k2:A k2 = 0 feltételb®l most a k =sf(r0)h(r0) � ! (29.1)diszperziós formulát kapjuk, amely a kívánt alakú az n(r0) =pf(r0)=h(r0) e�ektív törésmutatóval.Az f(r0) függényt a ds2 = h(r0) 2dt2 � f(r0)(dr02 + r02d#2 + r02 sin2 # d'2) (29.2)ívelemnégyzet és a (28.7) S hwarzs hild-ívelemnégyzet összehasonlításával határozhatjuk meg. Ebb®l nyilván-való, hogy f(r0)-nek az f(r0)dr02 = B(r)dr2 (29.3)f(r0)r02 = r2 (29.4)egyenleteket kell kielégítenie. A fels®t az alsóval elosztvadr0r0 =pB(r) � drr :Ezt könny¶ integrálni: r0 = CeZ dr �pB(r)=r = C �r � rg=2 +qr(r � rg)� :A C integrá iós konstansot válasszuk meg abból a feltételb®l, hogy a Naptól távol ne legyen különbség r és r0között: limr!1 r0=r = 1. Ez C = 1=2-nél teljesül. Az egyenletet r-re megoldva kapjuk a q(r0) függvényt:r = r0 �1 + rg4r0�2 � q(r0):Ezt és (29.4)-t felhasználva f(r0)-re és h(r0)-re azf(r0) = r2r02 = �1 + rg4r0�4 ;h(r0) = A(r)jr=q(r0) = 0�1� rg4r01 + rg4r0 1A2 :

30 A SCHWARZSCHILD-TÉRID� FORGÓ KOORDINÁTARENDSZERBEN 72képleteket kapjuk. Ezeket (29.1)-be beírva rg-ben lineáris pontossággal ak = �1 + rgr � � ! képletre jutunk38. A közelít® metrikában érvényes (22.1)-t®l ez abban különbözik, hogy rg helyébe 2rg-t kellírnunk. Nyilván ugyanezt kell tennünk a (22.2) képletben is39:� = 2rg� : (29.5)Ez a fényelhajlás képlete rg=� legala sonyabb rendjében a S hwarzs hild-metrika alapján.A (19.11) közelít® metrikát a pontos S hwarzs hild-metrikából B(r) = 1 helyettesítéssel kapjuk. Mint a 19.fejezetben láttuk, a v � sebesség¶ bolygómozgás tárgyalásánál ez igen jó közelítés. A fényelhajlás � szögéhezazonban az A(r) és a B(r) járuléka egyaránt rg=�-val egyenl®.30. A S hwarzs hild-térid® forgó koordinátarendszerbenA koordinátarendszer választása önkényes. Néha el®nyös a magányos sillag sztatikus téridejét konstans ! szög-sebességgel forgó koordinátarendszerben tárgyalni. A S hwarzs hild-koordináták (t; r; #; ') és a forgó S hwarz-s hild-koordináták (t0; r0; #0; '0) között a kap solat a következ®:t = t0; r = r0; # = #0; ' = '0 + !t: (30.1)Az ívelemnégyzet:ds2 = "A(r0)��r0! �2 � sin2 #0# 2dt02 � 2!r02 sin2 #0 dt0d'0 �B(r0)dr02 � r02(d#02 + sin2 #0 d'02); (30.2)amelyb®l leolvashatók a metrikus tenzor komponensei.A forgó S hwarzs hild-koordináták szignatúra-okokból (16. fejezet) a térid®nek sak azt a tartományátfedik le minden #0-nél, amelybenA(r0)� (r0!= )2 = 1� rg=r0 � (r0!= )2 > 0:Amikor !2 > 27 2=4r2g ilyen tartomány nem létezik. Ennél kisebb körfrekven iánál azonban az rg < r < 1tartományon belüli valamilyen (rmin; rmax) tartományban a (30.2) metrika szignatúrája megfelel a térid®ének.A metrika érvényességének korlátozása r < rmax-ra a szignatúra alapján a koordinátarendszer forgásának ajele38.A vessz®s koordinátarendszerben a konnexiós koe� ienseket (28.8)-b®l lehet kiszámítani a (10.14) képletsegítségével. A transzformá iós koe� iensek a (30.1) egyszer¶sége miatt szintén nagyon egyszer¶ek. A kontra-variáns és a kovariáns indexeket transzformáló koe� iensek közül a zérustól különböz®k a következ®k:�t0�t = �r0�r = �#0�# = �'0�' = 1; �'0�t = �!;�t�t0 = �r�r0 = �#�#0 = �'�'0 = 1; �'�t0 = +!:Ezek a koe� iensek nem függenek a koordinátáktól, ezért (10.14) második tagja nulla: A (30.1) transzformá- ióval szemben a konnexiós koe� iensek tenzorként viselkednek.Négy dimenzióban összesen 40 különböz® konnexiós koe� iens lehet. S hwarzs hild-koordinátákban (28.8)szerint ebb®l sak 9 különbözik nullától. Ezek egy kivételével a vessz®s koordinátákban is érvényesek (pl.�r0#0#0 = �r## = �(r0 � rg)). Az egyetlen kivétel a következ®:�r0t0t0 = �rtt + !2�r'' = (r0 � rg)� 2rg2r03 � !2 sin2 #0� = (r0 � rg)�MGr03 � !2 sin2 #0� : (30.3)38A S hwarzs hild-metrikában a diszperziós összefüggés függ a ~k vektor irányától, a radiális e(r) irányban más, mint az erremer®leges #, ' irányban. Az ebb®l származó nehézséget kerültük el az izotróp koordináták bevezetésével.39A � helyébe természetesen �0 kerül, de a kett® között a különbség a C = 1=2 választás következtében �� rg-nél elhanyagolható.

31 A KÖRMOZGÁS A SCHWARZSCHILD-TÉRID�BEN 73Ezen kívül a vessz®s koordinátákban öt olyan konnexiós koe� iens van, amelyek S hwarzs hild-koordinátákbannullák: �'0t0r0 = !(�''r � �ttr); �r0t0'0 = !�r''; �#0t0'0 = !�#'';�'0t0#0 = !�''#; �#0t0t0 = !2�#'': (30.4)31. A körmozgás a S hwarzs hild-térid®benNewton gravitá ió elmélete szerint az r sugarú körpályán kering® bolygó körfrekven iáját az! =rMGr3 (31.1)formula határozza meg, amelyet forgó polárkoordinátarendszerben a legegyszer¶bb levezetni. Ha a koordináta-rendszer ! szögsebességgel forog, akkor a bolygó a # = �=2 síkban annál az r- nél lehet nyugalomban, amelybenaz mr!2 entrifugális er® éppen kiegyenlíti a GmM=r2 tömegvonzási er®t (az m� = m egyenl®ség esetén).Mi lesz az analóg formula az általános relativitáselméletben? Ahhoz, hogy a kérdésre válaszolhassunk, megkell találnunk a geodetikus egyenletnek olyan megoldását, amely (a nem forgó) S hwarzs hild-koordinátákbanr = konstans, # = �=2, ' = !t alakú. A térid®ben ez a geodetikus egy konstans sugarú és menetmagasságú savarvonal, amelynek szimmetriatengelye a t-tengely.A feladatot azonban most is forgó koordinátarendszerben lehet a leggyorsabban megoldani. A kérdést úgykell feltenni, hogy a konstans ! körfrekven iával forgó S hwarzs hild-koordinátarendszerben milyen r0(= r)-néllesz egy nyugvó tömegpontt0 = t0(�); r0 = konst:; #0 = �=2; '0 = konst: (31.2)G világvonala geodetikus.A geodetikus egyenletben a�n paramétert kell használni, ezért választottuk (31.2)-ben paraméterként asajátid®t, amelyr®l tudjuk, hogy a�n paraméter. Ennél a paraméternél a (31.2) világvonal érint®vektora akövetkez® V = (V t0 ; V r0 ; V #0 ; V '0) = �dt0d� ; dr0d� ; d#0d� ; d'0d� � = �dt0d� ; 0; 0; 0� :A G azonban a forgó koordinátarendszerben nyugvó test világvonala, amelyen (30.2) szerintd� = dt0 pg0000 = dt0qA(r0)� (r0!= )2:A gyök alatti kifejezés a világvonalon konstans, ezért a t0 is a�n paraméter.A képleteink sokkal egyszer¶bbek lesznek, ha a � helyett a t0-vel parametráljuk G-t. A geodetikus egyenletekkor dV i0dt0 + �i0j0k0V j0V k0 = 0; (31.3)az érint®vektor pedig, amelyet ide be kell helyettesíteni, a következ®:V = (V t0 ; V r0 ; V #0 ; V '0) = �dt0dt0 ; dr0dt0 ; d#0dt0 ; d'0dt0 � = (1; 0; 0; 0): (31.4)A behelyettesítés a négy �i0t0t0 = 0relá ióra vezet. Az el®z® fejezet képletei szerint ebb®l kett® azonosan teljesül, mert �t0t0t0 = �'0t0t0 = 0. Azi0 = #0-höz tartozó egyenletben �#0t0t0 = !2�#'' = �!2 sin#0 os#0, ezért ez az egyenlet #0 = �=2 következtébenszintén automatikusan teljesül. Csak az i0 = r0-höz tartozó �r0t0t0 = 0 egyenlet az, amely feltételt ró ki r0-re. A(30.3) szerint #0 = �=2 mellett r0 6= rg esetén ez a feltétel pontosan a (31.1) newtoni összefüggésre vezet ! ésr0(= r) között.Azonban nem minden r megengedett. A (31.2) világvonalon ugyanis (30.2) szerint a sajátid®t, mint márláttuk, a d� = dt0pA(r0)� (!r0= )2; (31.5)

31 A KÖRMOZGÁS A SCHWARZSCHILD-TÉRID�BEN 74képlet határozza meg, amely (31.1) teljesülése esetén !2 =MG=r03 = 2rg=2r03 következtében ad� = dt0r1� 3rg2r0 (31.6)formulára redukálódik, amelyben a vessz®k el is hagyhatók. Ebb®l az összefüggésb®l látszik, hogy sak azr0 > 3rg=2 sugarú körpályák id®szer¶ geodetikusok. Az égitestek geometriai sugara általában sokkal nagyobb,mint 3rg=2, ezért ez a feltétel nem jelent korlátozást a bolygópályákra. Látni fogjuk azonban, hogy rg azM tömeg¶ fekete lyuk sugara, ezért a (31.6)-t �gyelembe kell venni még akkor is, ha a fekete lyukon kívüli(r > rg) tartományra korlátozódunk. A fekete lyuk körül sak az r > 3rg=2 sugarú körökön keringhetnektömegpontok. Az r = 3rg=2 sugarú kör fényszer¶ geodetikus, amelyen fény tud sak keringeni a fekete lyukkörül. Az rg < r < 3rg=2 sugarú körök pedig térszer¶ geodetikusok, amelyeken nem keringhet se tömegpont,se fény. * * *A (31.1) képlet egybeesése a newtoni gravitá ió elméletben és az általános relativitáselméletben természe-tesen nagyon impresszív tény, különös tekintettel arra, hogy nem korlátozódik az r � rg tartományra, aholelvárható, hogy az általános relativitáselmélet nagyon pontosan visszaadja az általános tömegvonzás newtonielméletének eredményeit. Az egybeesés jelent®ségét mégsem szabad túlértékelnünk. A newtoni felfogásban ra bolygó és a Nap középpontjának térbeli távolságát jelenti, az általános relativitáselméletben azonban sakaz egyik a végtelenül sok lehetséges radiális koordináta közül. Ha mondjuk izotróp koordinátákat használtunkvolna, akkor az ! és az izotróp koordináták r radiális koordinátája között az! = 1(1 + rg=4r)3rMGr3összefüggést kaptuk volna, amely sak r � rg esetén megy át a newtoni (31.1)-be.De van-e egyáltalán invariáns geometriai jelentése a térbeli távolságnak két olyan egymástól anyagi értelem-ben független objektum között, mint mondjuk a Föld és a Mars? Létezik-e határozott geometriai jelentésselbíró térbeli távolság két megadott id®szer¶ világvonalon mozgó tömegpont között?A kérdésre sak akkor válaszolhatnánk igennel, ha a két világvonalon egyértelm¶en (a koordinátarendszerválasztásától függetlenül) ki lennének jelölve az egyidej¶ pontpárok, mert ekkor minden ilyen pontpár térbelitávolsága egyenl® lenne a qjg��dx�dx� j (�; � = 1; 2; 3) di�eren iális kifejezés integráljával a két pontotösszeköt® (térszer¶) geodetikus mentén.Az általános relativitáselméletben azonban két különböz® helyen történ® esemény egyidej¶ségének éppenúgy nin s �zikai értelme, mint a spe iális relativitáselméletben (3. fejezet). Ezért (nagyon spe iális eseteketkivéve42) nem létezik egyértelm¶ térbeli távolság a két egymástól anyagi értelemben független világvonalonmozgó tömegpont között.Vajon nem jelenti-e ez a negatív konklúzió azt, hogy az általános relativitáselmélet hiányosan írja le avalóságot? Csak akkor jelentené ezt, ha az elmélet keretei között nem lehetne leírni azokat a méréseket,amelyekb®l térbeli távolságokat határozunk meg. De az ilyen mérések mind tárgyalhatók az általános relativi-táselmélet keretei között.Konkrét példaként vizsgáljuk meg a Föld-Mars távolság meghatározását élzó eljárást. A Marson elhelyezettrádió adó-vev® a földi rádiójeleket azonnal továbbítja minden irányba, így azokat a Földön is lehet észlelni.Tegyük fel például, hogy a földi jelek �t = 700 szekundum múlva érkeznek vissza a Földre. Ebb®l arrakövetkeztethetünk, hogy a kísérlet id®pontjában a Mars-Föld távolság ��t=2 = 105 millió kilométer volt.Ez valóban egy távolság, de a newtoni �zikai világkép értelmében, amely szerint a tér geometriája euklidészi,kiegészítve azzal a feltevéssel, hogy abban a globális iner iarendszerben, amelyben a bolygómozgást leírjuk (5.fejezet), a fénysebesség minden irányban � 300:000 km/s-mal egyenl®.Vegyük észre azonban, hogy a 105 millió kilométert nem valamilyen hosszúság etalon segítségével mértükmeg, hanem egy olyan mérés adataiból számítottuk ki, amelyben kizárólag sajátid® intervallumot mértünkpontos óra (azaz id®etalon) segítségével40. Ezt a közvetlenül megmért 700 szekundumot a bolygópályák pálya-40Csillagászati egységen (CSE) a Nap-Föld távolságot értjük, de 1984 óta ezt is sajátid® meghatározásra vezetik vissza: A sil-lagászati egység annak a perturbálatlan körpályának a sugarával egyenl®, amelyen egy elhanyagolható tömeg¶ test 2�=k középnapalatt tesz meg egy fordulatot a Nap körül, ahol k = 0; 017 202 098 95. Megjegyezzük, hogy egy rg-nél nagyobb sugarú gömbszim-metrikus sillag körüli körpályának van jól meghatározott sugara, amely a körpályán és az origó világvonalán tetsz®leges módonkijelölt két pont közötti geometriai távolsággal egyenl®.

32 A GEODETIKUS PRECESSZIÓ 75elemeinek az ismeretében az általános relativitáselmélet segítségével ki tudjuk számítani, éspedig pontosabban,mint a newtoni általános tömegvonzás és a fény terjedésére tett el®bb említett ad ho feltevés alapján.Az ilyen és ehhez hasonló mérések valójában persze maguknak a pályaelemeknek minél pontosabb meg-határozását élozzák. Ha az összes mérési adatot az általános relativitáselmélet segítségével minden bolygóesetében határozott koordinátarendszerben (pl. S hwarzs hild-koordinátákban) sikerül egyetlen jól meghatáro-zott világvonalban tömöríteni, akkor kijelenthetjük, hogy a meg�gyelések igazolják az elméletet. Ezek közötta mérések között azonban nem lesz közvetlen távolság-meghatározás. Ezért amikor pl. bolygók közötti távol-ságokról beszélünk, ami persze többnyire nagyon élszer¶ szóhasználat, mindig világossá kell tenni, milyenkontextusban értjük.Az általános relativitáselmélet szerint két pont térbeli távolságának sak akkor lehet invariáns értelme, haugyanahhoz az anyagi testhez tartoznak. Egy egykristály két pontja közötti távolság meghatározása vissza-vezethet® a pontok közötti elemi ellák leszámlálására, vagyis a térbeli távolságot ebben az esetben nem egysajátid®kre vonatkozó mérésb®l kapjuk meg a távolság valamilyen többé-kevésbé önkényes de�ní iója alapján.Egy merev rúdnak tehát van meghatározott hossza, amelyet nyugalmi hossznak nevezünk. Ha a rúd (vagybármilyen hosszúkás alakú test) szabadon mozog, Fermi-koordinátákban a nyugalmi hossz a végpontok koor-dinátáiból képzett �x2 +�y2 +�z2 kifejezés négyzetgyökével egyenl®.32. A geodetikus pre esszióVegyük most �gyelembe, hogy a körpályán kering® testnek (¶rhajónak) térbeli orientá iója is van. Hogyanváltozik ez az orientá ió, amikor az ¶rhajó forgásmentesen kering?Szó volt róla (16. fejezet), hogy forgásmentességen két elvileg különböz® dolgot érthetünk. Egy ¶rhajó(lokális vonatkoztatási rendszer) akkor mozog fou ault-i értelemben forgásmentesen, ha az ¶rhajóban nem hatsemmiféle tehetetlenségi er®, kopernikuszi értelemben pedig akkor forgásmentes, ha az orientá iója változatlana sillagos éghez képest. Mindaddig, amíg a tárgyalásunk a Naprendszerre korlátozódik, nyilván sak fou ault-i értelemben vett forgásmentességr®l lehet szó. A továbbiakban el®ször (az A. és a B. pontban) err®l azesetr®l lesz szó, és ezért forgásmentességen azt fogjuk érteni, hogy az ¶rhajóban m¶köd® giroszkópok tengelyefolyamatosan a falnak ugyanarra a pontjára mutat. Ebb®l az is következik, hogy az ¶rhajó orientá iója helyettbeszélhetnénk egy ugyanolyan pályán kering® giroszkóp orientá iójáról, de a valóságos helyzethez közelebbmaradunk, ha egyszerre tekintjük mindkett®t: Az ¶rhajót a benne nyugvó giroszkópokkal.A) Az orientá ió a newtoni �zika szerint.A newtoni �zika szerint a körpályán kering® forgásmentes ¶rhajó orientá iója a entrális égitesthez (mondjuka Földhöz) képest olyan, hogy az ¶rhajóról nézve a Föld keringési iránya és periódusa ugyanolyan, mint az¶rhajó keringési iránya és periódusa a Földr®l nézve (7. ábra). A Hold keringése pl. nem forgásmentes, mertmindig ugyanazt az oldalát fordítja a Föld felé, vagyis ugyanolyan körfrekven iával forog, mint amilyennelkering. Ezt a forgást a Holdon elhelyezett giroszkópokkal ki is lehetne mutatni.

7.ábraHa az ¶rhajó keringését polárkoordinátákban írjuk le, akkor a pálya egyenlete r = konstans, az ¶rhajóorientá ióját pedig két (széls®) pontja által kijelölt U vektor (vagy az ¶rhajóban lév® giroszkóp tengelyének az

32 A GEODETIKUS PRECESSZIÓ 76iránya) határozza meg. Ezt a vektort a keringési síkban élszer¶ kijelölni, ezért a lokális koordinátabázisban azUr és az U' komponensekkel jellemezhetjük. Amikor az ¶rhajó a newtoni �zika szerint forgásmentesen kering!(> 0) körfrekven iával pozitív irányban, az orientá ióját meghatározó vektor ugyan sak ! körfrekven iávalforog a lokális polárkoordináta-bázishoz képest ellenkez® (negatív) irányba. "Valójában" persze a lokális koor-dinátabázis az, amelyik az "¶rhajó alatt" pozitív irányban elfordul, amikor az ¶rhajó végighalad a körpályán,de matematikailag ezt a tényt a vektor negatív irányú forgását kifejez®Ur = U � sin!t; rU' = U � os!t (32.1)képletek írják le, amelyekben U tetsz®leges konstans. Emlékeztetünk rá, hogy azt a forgásirányt kell pozitív-nak tekintenünk, amelyik az ala sonyabb sorszámú lokális báziselemet forgatja be a magasabb sorszámúba.Polárkoordinátákban x1; x2; x3 = r; #; ', ezért a pozitív forgásirány az e(r) bázisvektort forgatja be a e(')bázisvektor irányába.Megint élszer¶ lesz majd forgó koordinátarendszert használni, amelyben az ¶rhajó nem végez keringést,de az orientá iója ugyanúgy változik, mint a nyugvó koordinátarendszerben. Ha a komponenseket vessz®vellátjuk el, a (32.1) érvényben marad és a forgó (vessz®s) koordinátarendszerben nyugvó (a vessz®tlenben kering®)¶rhajó newtoni forgását írja le.B) Az orientá ió az általános relativitáselmélet szerint.Az általános relativitáselméletben az ¶rhajó orientá ióját úgy határozhatjuk meg, hogy a párhuzamos elter-jesztés egyenletével megvizsgáljuk, hogyan változik az U vektor orientá iója az el®z® fejezetben meghatározottG geodetikus mentén.El®legezzük meg a számítás eredményét! Azt fogjuk találni, hogy a forgás negatív irányú marad, de akörfrekven iája !-ról le sökken az = !r1� 3rg2r (32.2)körfrekven iára.Az igazoláshoz a bolygópálya érint®vektorát be kell helyettesíteni a párhuzamos elterjesztésdU i0d� + �i0j0k0V j0Uk0 = 0egyenletébe. A � paraméter itt tetsz®leges lehet (11. fejezet), de most is a � = t0 választás a leg élszer¶bb. Azérint®vektort ekkor a (31.4) képlet adja meg, amelynek felhasználásával a párhuzamos elterjesztés egyenlete akövetkez®: dU t0dt0 + �t0t0r0 � Ur0 = 0dUr0dt0 + �r0t0t0 � U t0 + �r0t0'0 � U'0 = 0dU#0dt0 + �#0t0t0 � U t0 + �#0t0'0 � U#0 = 0dU'0dt0 + �'0t0r0 � Ur0 + �'0t0#0 � U#0 = 0: (32.3)Az egyenletrendszer felírásánál sak a nemzérus �-kat vettük �gyelembe. Azonban a körpálya síkjában # = �=2,és ennél a #-nál �#0t0t0 = �#0t0'0 = �'0t0#0 = 0. Ekkor azU = e(#) = (0; 0; 1; 0)konstans vektor nyilvánvalóan kielégíti az egyenletet. Ez a megoldás azt mutatja, hogy � mint várható, � apályasíkra mer®leges vektor orientá iója id®ben állandó.Az el®z® fejezetben a geodetikus körpályán az ! és az r kap solatát a �r0t0t0 = 0 egyenletb®l határoztukmeg. Mivel az ¶rhajó, amelynek az orientá ióját vizsgáljuk, ezen a geodetikuson mozog, a (32.3)-ban a �r0t0t0konnexiós koe� iens is nulla.

32 A GEODETIKUS PRECESSZIÓ 77A megjelölt négy konnexiós koe� iens elhagyása után a második és negyedik egyenlet sak az Ur0 és azU'0 komponenst tartalmazza41: dUr0dt0 + �r0t0'0U'0 = 0dU'0dt0 + �'0t0r0Ur0 = 0:Ebben az egyenletrendszerben a két � koe� iens a vizsgált körpályán konstans érték¶, ezért ha az els® egyen-letét deriváljuk t0 szerint, és a dU'0dt0 -t a második egyenletb®l ide behelyettesítjük, ad2Ur0dt02 � �r0t0'0�'0t0r0Ur0 = 0egyenletre jutunk, ami nem más, mint a lineáris harmonikus osz illátor di�eren iál-egyenlete. A frekven ianégyzete a (��r0t0'0�'0t0r0) mennyiséggel egyenl®. Ha a Christo�el-szimbólumok értékét ide behelyettesítjük,valóban (32.2) négyzetét kapjuk. Az általános relativitáselmélet szerint ezzel az szögsebességgel forog akörpályán kering® objektum a pálya síkjában.Ez a forgás negatív irányú. Abban a pillanatban például, amikor U'0 maximális, Ur0 pedig nulla, a másodikegyenlet mindkét tagja nulla, az els®b®l pedigdUr0dt0 = ��r0t0'0U'0 = +!(r � rg)U'0 > 0;vagyis a pozitív '-tengely irányába mutató vektor a pozitív r-tengely irányába kezd befordulni. Ez valóbannegatív irányú forgás.Az általános relativitáselmélet szerint tehát a fou ault-i értelemben forgásmentesen kering® ¶rhajó kisebbszögsebességgel forog negatív irányban a lokális koordinátabázishoz képest, mint amennyi szükséges ahhoz, hogya newtoni esetre jellemz® orientá ióját megtarthassa. Mialatt például egy negyed kört tesz meg, a newtoniesetben 90Æ-t, az általános relativitáselmélet szerint pedig ennél kevesebbet forog visszafele. Ezt a tényt úgy ismegfogalmazhatjuk, hogy az ¶rhajó a newtoni esethez képest w = !� körfrekven iával forog pozitív irányban.Ezt a jelenséget nevezzük geodetikus pre essziónak (8. ábra)..

8.ábraA geodetikus pre esszió elvben a Naprendszeren belül meg�gyelhet® jelenség. Ha például egy szivar alakú¶rszondát poláris körpályára42 állítanának a Föld körül úgy, hogy a hossztengelye éppen akkor mer®leges aföldfelszínre, amikor mondjuk az Egyenlít® fölött halad át, és a keringés fou ault-i értelemben forgásmentes,akkor egy id® múlva már a földfelszínnel párhuzamos helyzetben haladna át az Egyenlít® fölött. Az "egy id®41Az U-nak lesz még Ut0 komponense is, amelyet Ur0 ismeretében a (32.3) els® egyenletéb®l lehet meghatározni. A pre essziótazonban az Ur0 ; U'0 komponensek írják le.42Az olyan pályát hívják polárisnak, amely árhalad a sarkok fölött.

32 A GEODETIKUS PRECESSZIÓ 78múlva" azonban rendkívül hosszú id®, mert a geodetikus pre esszió szögsebessége nagyon ki si, kb. 6,6 szög-másodper /év. Egy ilyen kis szögelfordulát praktikusan nem lehet földi objektumokhoz viszonyítva megmérni,de az álló sillagokhoz képest talán igen. Ehhez azonban el®bb meg kell vizsgálni, mit mond a newtoni �zikaés az általános relativitáselmélet a fou ault-i értelemben forgásmentesen kering® objektumok orientá iójáról a sillagos éghez viszonyítva. Röviden: A fou ault-i értelemben forgásmentes objektumok egyáltalán forognak-ekopernikuszi értelemben, és ha igen, milyen szögsebességgel?C) Az orientá ió a sillagos éghez képest a newtoni �zikában.A newtoni �zikában nem különböztetik meg egymástól a fou ault-i és a kopernikuszi értelm¶ forgást, vagyistermészetesnek tekintik, hogy a iner iarendszerek orientá iója állandó a sillagos éghez képest. A newtoni �zi-kában ezek az iner iarendszerek természetesen globálisak. Tapasztalatilag valamilyen pontossággal ez ténylegígy van, hiszen Fou ault ingakísérletében az inga lengési síkja olyan szögsebességgel forgott a Pantheon falaihozképest, amilyen ebb®l a feltevésb®l következik43. Ennél jóval pontosabb igazolásul szolgál az a tény, hogy abolygók mozgása az álló sillagok hátterén igen jól egyezik az általános tömegvonzás elméletéb®l számítottmozgással.Világosan kell azonban látni, hogy a fou ault-i és a kopernikuszi értelm¶ forgás fogalma logikailag függet-len egymástól, mert kiderülhetett volna, hogy mondjuk az inga lengési síkja egyáltalán nem forog a Pantheonfalaihoz képest annak ellenére, hogy a Pantheonnak magának az orientá iója folyamatosan változik a sillagoséghez viszonyítva. A két forgás ekvivalen iája nem következik Newton naprendszer-elméletéb®l, mert kozmoló-giai természet¶, és a newtoni gravitá ió elméletben pontosan ugyanolyan ad ho hipotézis, mint a súlyos és atehetetlen tömeg feltételezett egyenl®sége.A fou ault-i és a kopernikuszi forgás posztulált ekvivalen iájából következik, hogy Newton gravitá ió el-méletében azokban a lokális vonatkoztatási rendszerekben (¶rhajókban) nem hatnak iner iaer®k (vagyis azoknem forognak fou ault-i értelemben), amelyeknek az orientá iója állandó a sillagos éghez képest (vagyis ame-lyek kopernikuszi értelemben sem forognak). Ekkor ugyanis a globális newtoni iner iarendszerekhez képest isállandó az orientá iójuk, ezért entrifugális és Coriolis-er® biztosan nem hat bennük, az origójuk gyorsulásábólszármazó m~a = m!2r3 ~r tehetetlenségi er®t pedig kisméret¶ ¶rhajóban az m� = m feltevés következtében agravitá iós er® kompenzálja (ld. a 4. fejezetet).D) Az orientá ió a sillagos éghez képest az általános relativitáselmélet szerint.De vajon milyen körfrekven iával forog a sillagokhoz viszonyítva az általános relativitáselmélet szerint afou ault-i értelemben forgásmentesen kering® ¶rhajó?Erre a kérdésre az általános relativitáselmélet éppúgy nem tud válaszolni, mint a newtoni általános tömeg-vonzási elmélet, mert ez utóbbihoz hasonlóan nem a kozmosz egészének, hanem a Naprendszernek a leírásáraszolgál. Azonban az általános relativitáselmélet még pontosabban írja le a bolygók mozgását az álló sillagokhátterén, mint Newton elmélete, ami arra utal, hogy a Naprendszer egésze feltehet®en nem végez forgást a távoligalaxisokhoz és kvazárokhoz képest. Matematikailag ezt úgy fejezhetjük ki, hogy a Nap körüli S hwarzs hild-koordinátákban ezeknek a nagyon távoli kozmikus objektumoknak a pozí iója id®ben állandó. Ezt a feltevéstaz általános relativitáselmélet keretei között természetesen éppen úgy nem lehet igazolni, mint a newtoni gra-vitá ió elméletben a fou ault-i és a kopernikuszi forgás ekvivalen iáját, de a relativisztikus kozmológiábanremélhet®en be lehet majd bizonyítani.Most válaszolhatunk a kérdésre: Amennyiben a feltevésünk igaz, akkor az általános relativitáselmélet szerinta fou ault-i értelemben forgásmentesen kering® ¶rhajók a geodetikus pre esszió w körfrekven iájával forognak a sillagos éghez képest. Ha ugyanis a sillagok fénysugara valóban állandó helyzet¶ a S hwarzs hild-koordináták-hoz viszonyítva, akkor az ¶rhajó mozgását a következ®képpen interpretálhatjuk: Az ¶rhajó� körfrekven iávalpre esszál a lokális koordinátabázishoz képest, ez utóbbi pedig +! körfrekven iával forog "az ¶rhajó alatt" a sillagok �x meg�gyelési irányához képest. A két körfrekven ia (� + !) algebrai összege ezért egyenl® az¶rhajó forgási sebességével a sillagos éghez képest. Ez pedig éppen a geodetikus pre esszió w körfrekven iája.A geodetikus pre esszió igazi jelent®sége a sillagos éghez viszonyított pre esszióban nyilvánul meg, mert anewtoni felfogás szerint ilyen pre essziónak egyáltalán nem kellene lennie. Ez a különbség élesen rávilágít arra,43Ha az álló sillagokhoz rögzített koordinátarendszer iner iarendszer, akkor a klasszikus me hanika szerint az inga síkja �szélességi körön 24= sin j�j óra periódusid®vel forog a földfelszínen nyugvó tárgyakhoz képest. A pólusokon ez, mint várható,pontosan 24 óra. Az Egyenlít®n azonban a lengési sík állandó helyzet¶.

33 A PERIHÉLIUM VÁNDORLÁS 79hogy a fou ault-i és a kopernikuszi értelm¶ forgás két különböz® fogalom, amelyeket már a newtoni �zikábanis következetesen meg kellene különböztetni egymástól.E) A GP-B kísérlet.A NASA GP-B kísérletében, amely több mint 40 éves el®készítés után 2004 április 20-n kezd®dött44, ageodetikus pre essziót egy távoli referen ia sillaghoz (kvazárhoz) viszonyítva mérték. Mint láttuk, az ígykapható pre essziónak sak akkor kell megegyeznie az általános relativitáselmélet alapján számított w-vel, haigaz az a kozmológiai hipotézis, hogy a S hwarzs hild-koordináták nem forognak a távoli égi objektumokhozképest. A kísérlet tudományos fázisa összesen 352 napig tartott (nem folyamatosan) és mára már befejez®dött,de a kísérlet eredményét eddig még nem publikálták45.F) A geodetikus pre esszió az ¶rhajósok szemszögéb®l.Van a geodetikus pre essziónak egy különös aspektusa, amelyre érdemes még kitérni. A határozottságkedvéért tegyük fel, hogy az ¶rhajó a Nap körüli körpályán kering, a koordinátaid®ben mérve ! körfrekven iával.Vajon milyen körfrekven iával látják az ¶rhajósok keringeni maguk körül a Napot? Csak arra gondolhatunk,hogy nem ugyanezzel, mert (31.6) szerint a sajátidejük különbözik a koordinátaid®t®l. Ha a sajátid®benkifejezett mennyiséget sillag alulindexszel jelöljük meg, akkor tehát!� = ! � dtd� = !p1� 3rg=2r :De ez sak akkor lenne a helyes válasz, ha nem lenne geodetikus pre esszió. A geodetikus pre essziónak ugyanisaz a következménye, hogy mialatt az ¶rhajó a Nap körül egy teljes kört tesz meg, az ¶rhajósok számára a Napmég nem tett meg egy teljes kört, hanem az !-nál kisebb = !p1� 3rg=2r frekven iával kering az ¶rhajókörül. Az ¶rhajósok szerint tehát a Nap körülöttük� = � dtd� = !körfrekven iával kering, vagyis pontosan ugyanannyival, amennyivel az ¶rhajó kering a Nap körül (koordinátai-d®ben számolva): A geodetikus pre esszió hatása pontosan kompenzálja a sajátid®ét.A körfrekven iák ráadásul mérhet®k is, és az egyenl®ség elvben kísérletileg is vizsgálható. Az ¶rhajósokáltal mért körfrekven ia a sajátidejükre vonatkozik, ezért nyilvánvalóan mérhet®. Ha pedig az ¶rhajó keringésiperiódusát egy olyan monitor szondáról �gyeljük meg, amely a keringési sík középpontjára állított mer®legesennyugszik a Naptól nagyon messze, akkor az ilyen szonda sajátidejében mért körfrekven ia !-val egyenl® annakkövetkeztében, hogy a S hwarzs hild-koordinátaid® megegyezik a végtelen távoli meg�gyel® sajátidejével.Írjuk fel még befejezésül annak a w� körfrekven iának a képletét, amellyel az ¶rhajósok látják forogni magukkörül a sillagos eget: w� = !� �� = ! 1p1� 3rg=2r � 1! :33. A perihélium vándorlásA Kepler-törvények szerint a bolygópályák rögzített ellipszisek. A tömegvonzás newtoni elméletének egyiklegfontosabb bizonyítéka, hogy levezethet®k bel®le a Kepler-törvények, feltéve, hogy eltekintünk a bolygókegymásra gyakorolt hatásától a Naptól származó sokszorta nagyobb vonzóer® mellett. Ebben a közelítésbenigaz, hogy a bolygópályák a térben rögzítettek és a perihélium, amely a pálya Naphoz legközelebb es® pontja,a Napból mint entrumból nézve az égbolton mindig ugyanazt a helyet foglalja el az álló sillagokhoz képest.A bolygók egymásra gyakorolt vonzása következtében azonban a Kepler-törvények nem teljesülnek egészenpontosan és a perihélium nem marad mindig ugyanott. A perihélium vándorlás a Merkúrnál �gyelhet® meg alegjobban, mert az összes bolygó közül (a Plutót leszámítva) ennek a bolygónak a pályája a legelnyújtottabb.44A szonda 642 km magasan majdnem pontosan köralakú poláris pályán kering. A földrajzi pólusokon áthaladó pálya szerepéremég visszatérünk.45Az értékel® munka állását a http://einstein.stanford.edu/ honlapon lehet �gyelemmel kísérni.

34 AZ IMPULZUSMOMENTUM HATÁSA A TÉRID�RE 80A 19. század közepén Leverrier kiszámította az összes bolygó perturbáló hatását a Merkúrra, amelyek akis perturbá iók additivitása alapján összegz®dnek. Azt találta, hogy a perihéliumnak évszázadonként 527ívmásodper el kellene eltolódnia az ekliptika mentén az álló sillagokhoz viszonyítva, de a ténylegesen meg-�gyelt eltolódást ennél 38�-el nagyobbnak találta46. Kés®bb S. New omb tovább pontosította a számításokat,és arra az eredményre jutott, hogy a Newton elmélete alapján számított eltolódási sebesség 534�/évszázad,a meg�gyelt érték pedig 575�/évszázad. A meg�gyelés és a számítás közötti eltérés (41 � 2:1)�/évszázad, amérési hiba sokszorosa. Ahhoz, hogy ezt a pontosságot kell®en méltányolhassuk, jusson eszünkbe, hogy aNap és a Hold látszólagos átmér®je 30', saknem ötvenszer akkora, mint az egy évszázad alatt felgyüleml® 41ívmásodper nyi anomália.Az elkövetkez® évtizedek során az anomáliát a legkülönböz®bb feltevések alapján próbálták megmagyarázni,de nem sikerült elfogadható magyarázatot találni. Az általános relativitáselmélet a perihélium vándorlás prob-lémáját automatikusan megoldja. A S hwarzs hild-térid®ben felírt geodetikus egyenletnek ugyanis azok amegoldásai, amelyek kissé eltérnek a köralaktól, lassan forgó ellipszisként interpretálhatók. Az egy keringésiperiódusra jutó eltolódásra a �' = 3� � 2GM 2 � 1a rad/fordulat (33.1)képletet kapjuk, amelyben a a bolygópálya nagytengelye. Ha (33.1)-t a Merkúrra alkalmazzuk és a szögelfor-dulást ívmásodper /évszázadra számítjuk át, 42.95-t kapunk eredményül, ami ugyanolyan additív járulékot ada perihélium pre essziójához, mint egy-egy bolygó.34. Az impulzusmomentum hatása a térid®reHa nagyon messzir®l nézünk rá egy magányos sillagra, tömegpontnak látjuk. A térid®nek azt a tartományát,amely a sillag méreteihez képest nagyon nagy, de kozmológiai skálán (vagy az álló sillagok egymás közöttitávolságához viszonyítva) in�nitezimálisan ki sinek tekinthet®, le lehet fedni Minkowski-koordinátákkal, amelyválasztható úgy, hogy a sillag nyugodjon benne. Ebben a koordinátarendszerben a sillag energiájaW =M 2-tel egyenl®.Most élszer¶ lesz egy kis id®re megint különbséget tenni a tehetetlen és a súlyos tömeg között. A nyugalmienergiában szerepl® tömeg a tehetetlen tömeg, amelynek nin s köze a gravitá ióhoz. Ezért a tömegpont- sillagnyugalmi energiájában szerepl® M a sillag tehetetlen tömege.Másrészt a sillag S hwarzs hild-metrikában fellép® tömegét mindeddig kizárólag a gravitá ióval összefüg-gésben értelmeztük, ezért már eddig is meg kellett volna különböztetnünk a tehetetlen tömegt®l és M�-galkellett volna jelölnünk. Legyen tehát mostantól rg = 2M�G= 2.Milyen kap solatban áll egymással a kétféle tömeg?Ahhoz, hogy erre a kérdésre válaszolhassunk, ki kell jelölnünk egy nagyon nagy (elvben végtelenhez tartó)sugarú gömböt, és a S hwarzs hild-metrika �gyelembe vételével ki kell számítanunk a gömbön belüli teljesenergiát, azaz W -t. Az elmélet erre a számításra ad egy általános re eptet, amelyet azonban nem tudunkismertetni.A számítás a teljes energiára a W =M� 2 eredményt adja, amib®l következik, hogy M� =M : A súlyos ésa tehetetlen tömeg egyenl®sége a sillagra is érvényes.A kétfajta tömeg egyenl®sége az elmélet alapfeltevése volt, amely a geodetikus hipotézisben került kihasz-nálásra. A geodetikus hipotézis a próbatestek mozgására vonatkozik, amelyek maguk nin senek hatással atérid® geometriájára. Ez a hipotézis azonban sak az egyik összetev®je az elméletnek, a másik a metrikameghatározására szolgáló Einstein-egyenlet. Az elmélet bels® konziszten iája megköveteli, hogy az Einstein-egyenlet se mondjon ellent a súlyos és a tehetetlen tömeg egyenl®ségének. Mint látjuk, az elmélet ebb®l aszempontból ellentmondásmentes.A tömegpontoknak (része skéknek) a nyugalmi tömegükön kívül van még egy bels® jellemz® tulajdonságuk,a spinjük. A spin olyan impulzusmomentum, amely a tömegpont nyugalmi rendszerében sem t¶nik el. Az álta-lános relativitáselméletben a bels® energia számításához hasonló eljárással meg lehet határozni a tömegpontnaktekintett sillag J spinjét is. A S hwarzs hild-térid®re a számítás J = 0-t ad. 1963-ban R. P. Kerr földerítette46Ha a perihélium helyzetét az ekliptikai hosszúsággal adjuk meg, az álló sillagokhoz viszonyított eltolódáshoz még hozzá kelladni 5037�-t. Ennyivel mozdul el az ekliptikai hosszúság kezd®pontja � a tavaszpont, � a földtengely pre essziója következtébenegy évszázad alatt ellenkez® irányban.

34 AZ IMPULZUSMOMENTUM HATÁSA A TÉRID�RE 81a nullától különböz® impulzusmomentumú gömbszimmetrikus sillag körüli térid® geometriáját (Kerr-térid®),amelynek metrikája az R. H. Boyer és R. W. Lindquist által kés®bb bevezetett koordinátákban a következ®:ds2 = �1� rgr�2 � 2dt2 � �2� dr2 � �2 d#2���r2 + a2 + rgra2�2 sin2 #� sin2 # � d'2 + 2rgra�2 sin2 # d' � dt;� = r2 � rgr + a2; rg = 2GM 2 ;�2 = r2 + a2 os2 #: (34.1)Az rg pozitív , az a pedig tetsz®leges el®jel¶ hosszúság dimenziójú állandó.

9.ábraA Kerr-megoldás tengelyszimmetrikus térid®t ír le (a metrika nem függ '-t®l), amelynek a # = �=2 síkszimmetriasíkja. A metrika a t koordinátaid®t®l sem függ, de gt' 6= 0 miatt a térid® nem statikus, hanemsta ionér (27. fejezet). A (34.1) eleget tesz az Rij = 0 egyenleteknek. A sillag nyugalmi energiája M 2-telegyenl®, impulzusmomentuma pedig z-irányú, és a nagysága J =M a.A (34.1) metrikát nem korlátozzák a szignatúrával kap solatos feltételek valamilyen rmax-nál kisebb rértékekre, ezért az a koordinátarendszer, amelyben ez a metrika érvényes, nem forog (ld. a 30. fejezetet).A sillagoknak a forgásuk következtében van zérustól különböz® spinjük. Egy gáz halmazállapotú sillagnakazonban nin s határozott szögsebessége: A Nap felületének különböz® pontjai sem forognak pontosan ugyanaz-zal a szögsebességgel. A sillag impulzusmomentuma azonban határozott szám, amely ráadásul az energiáhozhasonlóan mozgásállandó.Ez a jól de�niált impulzusmomentum az, ami befolyással van a térid® geometriájára és ezen keresztülhatással van a geodetikus pályákra és a geodetikus pre esszióra is. A geodetikus pre essziót élszer¶ ebb®la szempontból két összetev®re bontva tárgyalni, amelyekre különböz® elnevezést vezettek be. A "geodetikuspre esszió" elnevezést sak arra a komponensre használják, amely J = 0-nál is fellép (ezt tárgyaltuk a 32.fejezetben). A J-vel arányos komponenst az angol drag terminussal jelölik47.A 32. fejezetben láttuk, hogy a geodetikus pre esszió a pálya síkjában, vagyis a pálya síkjára mer®legestengely körül történik. A dragnek nevezett pre esszió tengelyének a helyzetét a sillag spinjének az iránya47A teljes és némileg pontatlan elnevezés: "drag of the oordinate system". A "drag" szótári jelentése húzás, vonszolás. Azelnevezés arra utal, hogy a központi égitest forgása "magával ragadja" a sillag körüli lokális iner iarendszereket is.

35 A SCHWARZSCHILD-SZINGULARITÁS TERMÉSZETE 82határozza meg: A drag olyan tengely körül történik, amely a spin irányával közös síkban fekszik. Ezen a síkonbelül a drag tengelyének az iránya és szögsebessége függ az ¶rhajó (giroszkóp) pillanatnyi helyzetét®l (r-t®lés #-tól). A 9. ábrán a nyilak iránya mutatja, hogy adott #-nál milyen � szöget zár be a drag szögsebességea sillag forgástengelyével. A nyilak hossza a szögsebességgel arányos. Ez utóbbiról megmutatható, hogyarg 2r3 p1 + 3 os2 #-val egyenl®.Amikor az ¶rhajó a sillag forgástengelyére mer®leges pályán kering (# = 90Æ), a geodetikus pre esszióés a drag forgástengelye párhuzamos egymással: Mindkét pre esszió a keringés síkjában megy végbe, ezértnem analizálhatók külön-külön. Poláris pályán azonban, amelyik a földrajzi pólusok felett halad át, a kétpre esszió szögsebesség-vektora mer®leges egymásra: A geodetikus pre esszióé mer®leges a pályasíkra, a dragszögsebességvektora pedig a pályasíkban fekszik benne (9. ábra). Ennek alapján lehetségessé válik a kétfajtajárulék különválasztása.Ezért kering a GP-B ¶rszonda poláris pályán. A drag megmérése azonban így is rendkívül nehéz feladat,mert a szögsebessége mindössze 0,041 szögmásodper /év (szemben a geodetikus pre essszió 6,6 szögmásodper /év szögsebességével).35. A S hwarzs hild-szingularitás természeteA 28. fejezetben már felhívtuk a �gyelmet a S hwarzs hild-szingularitásra, amely a (28.7) S hwarzs hild-ívelemnégyzet szingularitása az r = rg sugárnál. Megjegyeztük, hogy a sillagok rg gravitá iós sugara sokkalkisebb a geometriai sugaruknál, ezért a sillagok esetében ennek a szingularitásnak nin s jelent®sége.Azonban léteznek (vagy legalább is létezhetnek) olyan kozmikus objektumok is, amelyeknek a geometriaisugara kisebb a gravitá iós sugaruknál � ezeket fekete lyukaknak nevezzük. A határozottság kedvéért tegyükfel, hogy a sillag mérete sokkal kisebb, mint rg . Ebben az esetben az objektumot magát pontszer¶nek tekin-thetjük.A (28.7) ívelemnégyzet pontszer¶ objektum esetében minden r > 0 sugárnál megoldása az Einstein-egyenleteknek, de a S hwarzs hild szingularitás miatt szétesik egy bels® Si (r < rg) és egy küls® Se (r > rg)S hwarzs hild-megoldásra, és felmerül a kérdés, hogy milyen a kap solat a kett® között.Tegyük fel például, hogy valamilyen r0 > rg sugárnál kezd®sebesség nélkül "elejtünk" egy tömegpontot.Ez nyilván elkezd gyorsulva zuhanni a entrum felé, de vajon mi történi vele, amikor elér az r = rg sugárhoz?Megáll? Visszapattan? Vagy háborítatlanul zuhan tovább?A helyes válaszhoz meg kell találnunk azt a entrális (# és ' konstans) G geodetikust, amelyen a zuhanástörténik. Ezt két egyenérték¶ formában adhatjuk meg: Az r-t kifejezhetjük akár a � sajátid®, akár a t koor-dinátaid® függvényében.El®ször a sajátid® függvényében határozzuk meg a G egyenletét. A feladatot a newtoni �zikában is, az álta-lános relativitáselméletben is az energiamegmaradás segítségével oldhatjuk meg; azm~a = ~F Newton-egyenletre,illetve a geodetikus egyenletre ekkor nin s szükség.A gondolatmenet els® lépése az, hogy az energiát két olyan tag összegére bontjuk, amelyek analógok anewtoni me hanika kinetikus és poten iális energiájával. Az energia W = m V0 képlete alapján az energiahelyett a V0-lal dolgozunk. Ennek a (V0)2 = (g00V 0)2 = A2(V 0)2négyzetét lehet a jelzett módon felbontani.A G geodetikusV érint®vektorának sak a V 0 és a V r komponense különbözik zérustól, amelyek a � sajátid®egyenl®re ismeretlen függvényei. A 16. fejezetb®l tudjuk, hogy V2 = 2. A (28.7) metrika felhasználásával ezaz egyenlet a következ®: A(r)(V 0)2 �B(r)(V r)2 = 2;amelyb®l A(V 0)2-t behelyettesíthetjük az el®z® képletünkbe:(V0)2 = A �B(V r)2 + 2� = (V r)2 +A 2 (35.1)(kihasználtuk, hogy a S hwarzs hild-metrikában AB = 1). A jobboldalon az els® tag a kinetikus, a második apoten iális energia szerepét játssza.A következ® lépés az, hogy ezt az egyenletet megoldjuk V r = drd� -ra:drd� = �qV 20 (r) �A(r) 2: (35.2)

35 A SCHWARZSCHILD-SZINGULARITÁS TERMÉSZETE 83Azért választottuk a negatív gyököt, mert a entrum felé es® (befutó) megoldást keressük.A V0 � mint tudjuk � mozgásállandó, ezért V0(r) = V0(r0). Feltevés szerint r0-ban a kezd®sebesség nulla,ezért (35.1) szerint V0(r) = V0(r0) = + pA(r0) (35.3)(a pozitív négyzetgyököt kellett vennünk, mert V0 = AV 0 = Ad( t)d� és itt mindkét tényez® pozitív). Ha ezt(35.2)-be helyettesítjük, a drd� = � p[A(r0)�A(r)℄ = � rrgr0 � r0 � rr (35.4)egyenletre jutunk.Az egyenlet a változók szeparálásával könnyen integrálható:� = �1 rr0rg Z rr0 dr0r r0r0 � r0 = +1 r r0rg �pr(r0 � r) + r02 ��2 + ar sin r0 � 2rr0 �� : (35.5)Ez az integrál egészen r = 0-ig véges, az r = 0-hoz tartozó értéke �max = �2rr0rg � r0 :A S hwarzs hild-szingularitásnak tehát nin s hatása a entrum felé zuhanó tárgyakra. Ha a zuhanó objek-tum nem tömegpont, hanem ¶rszonda, benne ¶rhajósokkal, akkor az r = rg ponton történ® áthaladásnál az¶rhajósok nem vesznek észre semmi különöset. Abban a pillanatban azonban, amikor az órájuk mutatója a�max-hoz ér, az ¶rhajó be sapódik a kisméret¶, de a méreteihez képest hatalmas tömeg¶ entrális égitestbe.A geodetikusok � és az ¶rhajó � további sorsáról sak a entrális égitest materiális tulajdonságainak azismeretében lehetne többet mondani.r r

t

t(r)

r0 r0rg rg

t

tmaxt( )r

J =

j

konstans

= konstans

10.ábraDe tanulságos lesz a zuhanó tömegpont mozgását megvizsgálni a t koordinátaid® függvényében is. Azérint®vektor fogalma alapján (6. fejezet) d( t)=V 0 = dr=V r, ezért kiindulhatunk adtdr = 1 � V 0V r (35.6)egyenletb®l. A jobboldali tört számlálójábanV 0(r) = g00(r)V0(r) = 1A(r)V0(r) = rr � rg V0(r) (35:3)= pA(r0) rr � rg :A nevez®ben V r = drd� , amely (35.4)-b®l vehet®. Így adtdr = �1 pA(r0) �rr0rg � rr � rgr rr0 � rdi�eren iálegyenletre jutunk, amelynek megoldásat = �1 pA(r0) �rr0rg � Z rr0 dr0 r0r0 � rgr r0r0 � r0 : (35.7)

35 A SCHWARZSCHILD-SZINGULARITÁS TERMÉSZETE 84Ez a kifejezés sak az rg < r � r0 intervallumban határozza meg a t(r) függvényt, mert amikor r0 �! rg+0, azintegrál logaritmikusan divergál (tartalmaz egy ln 1=(r � rg) faktort). Centrális id®szer¶ geodetikusok perszea 0 < r < rg tartományban is léteznek, de mivel r �! rg � 0-nál szintén divergálnak, nem lehet tudni, hogymelyikük a (35.7) geodetikus folytatása.A �(r) függvény és a t(r) geodetikus kvalitatív viselkedése a 10. ábrán látható. Mindkett® ugyannak azobjektumnak ugyanarra a mozgására vonatkozik. Hogyan egyeztethet®k össze egymással?Folyamodjunk egy nagyon egyszer¶ példához! Az euklidészi síkon az x; y Des artes-koordinátákban azívelemnégyzet képlete dl2 = dx2 + dy2. A geodetikusok egyenesek. Ha az ívhosszal parametráljuk ®ket, akkorkielégítik a geodetikus egyenleteket, amelyek most a d2xd�2 = d2yd�2 = 0-ra redukálódnak.Vezessük be a �; � új koordinátákat az x = �; y = 1�egyenletekkel. Az új koordinátákban az ívhossz képlete dy = �d�=�2 következtébendl2 = d�2 + 1�4 d�2:Ez a metrika az � = 0 vonalon szinguláris.Tekintsük most a G geodetikust, amely Des artes-koordinátákban egyenes és azx = 1p2 � �+ b; y = 1p2 � �egyenletek írják le (11a ábra). A b tetsz®legesen választható konstans. Ha a paramétert kizárjuk, a G egyenletey = x� b. A G-n dx2 + dy2 = d�2, ezért � valóban az egyenes ívhossza (el®jeles értelemben: y = 0-nál � = 0,és ett®l a ponttól két irányban távolodva � �! �1).Ugyanez a geodetikus a (�; �) koordinátákban a� = 1p2 � �+ b; � = p2�egyenletekkel írható le. Ha a � paramétert kizárjuk, akkor G-re az � = 1� � b egyenletet kapjuk (11b ábra).

(a) (b)

y h

xb b

-b

x

11.ábraA példa mutatja, hogy egy folytonos geodetikust két nem teljes részre lehet bontani azzal, ha olyankoordinátákra térünk át, amelyekben az ívelemnégyzetnek (metrikus tenzornak) valamilyen szingularitása van.Vagy megfordítva: Egy részekre bontott geodetikus egységét esetleg vissza lehet állítani olyan koordinátákbevezetésével, amelyekben a metrika mindenütt reguláris. Az olyan szingularitást, amely új koordinátákratörtén® áttéréssel megszüntethet®, koordináta-szingularitásnak hívjuk.

36 A PONTSZER� CSILLAG TÉRIDEJE 85A 27. fejezetben a S hwarzs hild-koordinátákat úgy választottuk meg, hogy maximálisan simuljanak a térid®sztatikusságához és gömbszimmetriájához. Az A(r) �! 1 el®írással azt is megköveteltük, hogy a entrumtólelég messze (a bolygópályák tartományában) a t koordinátaid® és a � sajátid® között ne legyen észrevehet®különbség. Nyilván sak ilyen koordinátaválasztás mellett kaphatjuk vissza az általános relativitáselméletb®lnagy pontossággal a newtoni gravitá ió elmélet eredményeit. Valószín¶leg ezzel a követelménnyel kényszerítet-tük rá öntudatlanul a koordinátarendszerre azt, hogy r = rg-nél a metrikus tenzorban szingularitás keletkezett.Ha a diagnózisunk helyes, akkor bizonyára át lehet térni a S hwarzs hild-koordinátákról olyan új koordináták-ra, amelyben a metrikának sak az r = 0-ban van valódi szingularitása, amely a tömegpont ott-létével függössze, a entrális geodetikusoknak azonban r > 0-nál sehol sin s szakadása.Ezt valóban meg lehet tenni. Az eljárás kul slépése az a követelmény, hogy az új koordinátarendszerbena entrális befutó geodetikusok legyenek koordinátavonalak, és a rajtuk futó koordinátaid® legyen a sajátid®.Úgy is mondhatjuk, hogy a S hwarzs hild-koordináták t koordinátaideje helyébe az új koordinátarendszerbena � sajátid® lép. Az új koordinátarendszerben ezért a 10a. ábra fogja ugyanazt a szerepet betölteni, amit aS hwarzs hild-koordinátákban a 10b. ábra játszott, és a metrikus tenzor minden r > 0-nál reguláris lesz. Azilyen módon konstruált koordinátarendszert Lemaitre�Finkelstein koordinátáknak hívjuk.A S hwarzs hild koordinátáknak azonban a S hwarzs hild-szingularitáson kívül van még egy hiányossága:Nem fedik le teljesen a tömegpont egész téridejét. Azt, hogy ez mit jelent, a következ® fejezetben fogjuk látni.A Lemaitre-Finkelstein koordinátákban a metrika ugyan reguláris a S hwarzs hild-szingularitás helyén, de atömegpont téridejének ezek a koordináták is sak ugyanazt a részét fedik le, mint a S hwarzs hild-koordináták.Ennek az az oka, hogy az új koordinátarendszert egyedül a befutó entrális geodetikusokra alapoztuk. Akövetkez® fejezetben látni fogjuk, hogy be lehet vezetni új koordinátákat úgy, hogy ne sak a befutó, hanem akifutó geodetikusok is koordinátavonalak legyenek. Ezek a koordináták le fogják fedni a sillag teljes téridejét,amelyr®l kiderül, hogy olyan tartományai is vannak, amelyekre a S hwarzs hild-koordináták nem terjednek ki.36. A pontszer¶ sillag téridejeA) Az u; v koordináták.Az el®z® fejezetben mondottuk, hogy ha az id®szer¶ befutó entrális geodetikusokat választjuk új koordi-nátavonal-seregnek, akkor nem lép fel koordinátaszingularitás, de az új koordinátarendszer sem fedi le az egésztérid®t. Ezért most két új koordinátavonal-sereget vezetünk be, amelyek a entrális ki- és befutó fényszer¶geodetikusokból állnak (12. ábra). Ezek éppúgy nem teljes geodetikusok, mint a 10b. ábrán felrajzolt geode-tikus. A t koordinátaid® helyett most is be kell majd vezetnünk rajtuk olyan új parametrálást, amelynek afüggvényében � a 10a. geodetikusához hasonlóan � már egészen az origóig kiterjednek.r

u1

v1

v2

v3

u2

u3

ct

rg

P

12.ábra

36 A PONTSZER� CSILLAG TÉRIDEJE 86A (35.6) érvényes a fényszer¶ geodetikusokra is. A V2 = A(V 0)2 � B(V r)2 normanégyzet azonban mostnulla, ezért V 0=V r = �pB(r)=A(r) = �1=A(r), és ígyd( t)dr = � 1A(r) = � rr � rg : (36.1)Az Se-re fogunk korlátozódni, ahol r > rg , és ezért a fels® el®jel a kifutó (dt > 0 �! dr > 0), az alsó a befutó(dt > 0 �! dr < 0) geodetikusokhoz tartozik.Behelyettesítéssel könnyen ellen®rizhet®, hogy a két megoldás-sereg a következ®: t = r + rg ln r � rgrg + rgu � r� + rgu; (36.2) t = �r � rg ln r � rgrg + rgv � �r� + rgv; (36.3)ahol u; v két tetsz®legesen választható integrá iós konstans ésr� = r + rg ln r � rgrg (r > rg): (36.4)A fels® egyenlet a kifutó, az alsó a befutó geodetikusokat írja le. A 12. ábra mutatja, hogy az Se mindenpontján (minden adott #, ' mellett) egy kifutó és egy befutó fényszer¶ geodetikus halad át. A pont új u; vkoordinátája az az u és v szám, amely ezeket a geodetikusokat meghatározza. Az ábrán a P pont új koordinátáipl. P (u2; v1). A S hwarzs hild-koordinátákról azu = 1rg ( t� r�); v = 1rg ( t+ r�) (36.5)képletek segítségével lehet áttérni az új u; v koordinátákra.B) Az U; V Kruskal�Szekeres koordináták.Az u; v koordináták még nem azok, amelyek a 12. ábra geodetikusait teljessé teszik. Err®l könny¶ meg-gy®z®dni. Ha pl. kiválasztjuk az egyik befutó geodetikust (v = konstans), és az u új koordinátával az egész�1 < u < 1 tartományt bejárjuk, a kiválasztott geodetikusnak sak az ábrán felrajzolt (r > rg) részénhaladunk végig. Ennek az az oka, hogy a teljes u; v koordinátasík sak az Se-t foglalja magában.Vezessük be azonban az u helyett az U , a v helyett a V koordinátákat azU = e�u=2 = e(r�� t)=2rg =sr � rgrg e(r� t)=2rg ; (36.6)V = e+v=2 = e(r�+ t)=2rg =sr � rgrg e(r+ t)=2rg (36.7)képletekkel. A lépés, amit ezzel megteszünk, jó irányban történik. A (36.6), (36.7) transzformá ió ugyanis ateljes u; v síkot (vagyis Se-t) a teljes U; V síknak sak az els® negyedére képezi le, mert az exponen iális függvényaz exponens minden értékénél pozitív. Az U; V koordináták ezért alkalmasak arra, hogy ha majd megengedjük,hogy negatív értékeket is felvehessenek, a fényszer¶ entrális geodetikusokat egész terjedelmükben magukbanfoglalják.C) Az ívelemnégyzet.Az U=konstans, V=konstans koordinátavonalak fényszer¶ geodetikusok, hiszen azonosak az u=konstans,v=konstans koordinátavonalakkal. A metrikus tenzornak ezért ( a g## és a g'' komponenseken kívül) sak agUV komponense különbözhet zérustól. Ha ugyanis lenne � mondjuk � nemzérus gUU komponense, akkorazokon az U -geodetikusokon, amelyeken V; #; ' konstans, ds2 = gUUdU2 6= 0 volna, de a koordinátavonalfényszer¶sége miatt ez nem lehetséges. Ígyds2 = 2gUV dUdV � r2(d#2 + sin2 #d'2): (36.8)

36 A PONTSZER� CSILLAG TÉRIDEJE 87Az r-t itt természetesen ki kell még fejezni az U; V koordinátákon keresztül. Ennek érdekében szorozzuk összeegymással (36.6)-t és (36.7)-t: UV = r � rgrg er=rg : (36.9)Ez az egyenlet kifejezi az UV szorzatot az r függvényeként. Nem nehéz igazolni, hogy ez a függvény az r mindenpozitív értékénél invertálható, és így egyértelm¶en meghatározza az r = r(UV ) függvényt, amely azonban nemfejezhet® ki elemi függvények segítségével. A (36.8)-ban az r-n ezt az r(UV ) függvényt értjük.A (36.6), (36.7) transzformá iók és a S hwarzs hild-metrika ismeretében ki lehet számítani gUV -t48, amelyet(36.9)-be írva a ds2 = �4r3gr e�r=rgdUdV � r2(d#2 + sin2 #d'2) (36.10)ívelemnégyzetre jutunk.D) A kiterjesztés.Ezt az ívelemnégyzetet az Se-ben érvényes (36.6), (36.7) koordináta transzformá ióval kaptuk a (28.7)S hwarzs hild-ívelemnégyzetb®l. Ennek következtében (36.10) az U > 0, V > 0 tartományban kielégíti azEinstein-egyenleteket. De amikor az egyenletbe beírjuk a (36.10) ívelemnégyzetben szerepl® metrikus tenzortés megállapítjuk, hogy kielégíti az egyenletet, sehol sem kell kihasználni az U; V változók számértékét. Ezértez a metrika minden olyan U; V -nél megoldása az Einstein-egyenletnek, ahol az ívelemnégyzet reguláris.Ránézésre megállapítható, hogy a (36.10)-ben szerepl® metrikus tenzor komponensek minden olyan U; Vértéknél regulárisak, amelyekhez az r(UV ) függvény pozitív r értéket rendel. Az r = rg sem kivétel. Ezt atartományt az r(UV ) = 0 görbe határolja, amelynek egyenlete (36.9) szerint UV = �1. Ez egy-egy hiperbolaaz U; V koordinátasík 2. és 4. negyedében. Mint várható, az 1. negyed, amely az Se képe, beletartozik ebbea tartományba.U

V

r1

r=0

r=0

r=rg

r=r g

r2

r3

t1

t =02

t3

t= ¥-

J =

j

konstans

= konstans

t=+

8

13.ábraAz U; V koordinátasíknak ez az UV = �1 hiperbolák által határolt része a pontszer¶ sillag teljes téridejéneka térképe (13. ábra). Ezt a térid®t Kruskal�Szekeres térid®nek hívjuk. Két olyan tartománya van, amelybenUV > 0: Az eredeti U > 0, V > 0 és az U < 0, V < 0. Az els®t Se1-el, a másodikat Se2-vel fogjuk jelölni.48A (36.6) és a (36.7) az új koordinátákat fejezi ki a régieken keresztül, ezért a gUV kontravariáns komponenst tudjuk velükkiszámítani: gUV = �U�t �V�t gtt + �U�r �V�r grr;ahol gtt = 1=(A 2) és grr = �1=B. Ezután gUV = 1=gUV .

37 GEODETIKUSOK A PONTSZER� CSILLAG TÉRIDEJÉBEN 88Ugyan sak két olyan tartománya van, amelyet az r = 0 határol, az U < 0, V > 0, és az U > 0, V < 0,amelyeket Si1-el és Si2-vel jelölünk. A továbbiakban a tartományokat szektoroknak fogjuk hívni.Az Se1-ben a (36.6) és a (36.7) segítségével felrajzolhatjuk az r = konstans > rg és a t = konstans koor-dinátavonalakat. A két egyenletet összeszorozva kapjuk (36.8)-t, amelyb®l látható, hogy az r koordinátavonalakaz UV = konstans > 0 hiperbolák. Az egyenletek hányadosát képezve pedig aV=U = e t=rg (36.11)egyenletre jutunk, amely szerint a t = konstans koordinátavonalak entrális egyenesek.A t S hwarzs hild koordinátaid®t úgy vezettük be, hogy legyen egyenl® a végtelen távoli meg�gyel® sajáti-dejével. Ezt jól meg lehet érteni a 13. ábra alapján: Legyen a t1 és a t2 koordinátavonal metszéspontja azr3 koordinátavonallal P1 és P2. Ha r3 elég nagy, akkor ennek a koordinátavonalnak a P1P2 szakaszán elteltsajátid® majdnem pontosan (t2 � t1)-el egyenl®.A Nap körüli térid®ben ez a követelmény biztosította, hogy a S hwarzs hild-koordinátaid® sak nagyonkis mértékben térjen el a földi órák sajátidejét®l és ennek következtében a newtoni �zika abszolút idejét®l.Most látjuk, hogy amikor a központi égitest sugara kisebb rg-nél, ez az ártalmatlannak látszó követelménymegakadályozza, hogy a S hwarzs hild-koordináták az egész térid®t lefedjék.A (36.6), (36.7) kis módosításával a többi három szektorban is be lehet vezetni S hwarzs hild-koordinátákat,amelyekben a ds2 (28.7) alakú. A szükséges változtatások a következ®k:� Se2-ben mindkét egyenlet jobboldalán az el®jel negatívra változik.� Si1-ben (36.6) jobboldala, és mindkét egyenletben a gyök alatti kifejezés �1 szorzót kap.� Si2-ben (36.7) jobboldala, és mindkét egyenletben a gyök alatti kifejezés �1 szorzót kap.Ha a (36.10)-ben szerepl® metrikus tenzort ezeknek a képleteknek a segítségével áttranszformáljuk r; tkoordinátákra, mindhárom esetben a (28.7)-t kapjuk. Megjegyezzük, hogy a (36.9) képlet a (36.6)-ban ésa (36.7)-ben végrehajtott változtatások ellenére eredeti formában érvényes mindegyik szektorban. Ezt hall-gatólagosan már kihasználtuk azzal, hogy a Kruskal�Szekeres térid® határát ennek a képletnek az alapjánállapítottuk meg.Ezek alapján az U; V tengelyeken r = rg , az U tengelyen t = �1, a V tengelyen t = +1. A t = konstanskoordinátavonalak mindegyik szektorban az origón áthaladó egyenesek, a t mindegyik szektorban a (�1; +1)intervallumban változik. Az r = konst koordinátavonalak hiperbolák, Se1-ben és Se2-ben az r koordináta az(rg ; +1), az Si1-ben és az Si2- ben pedig a (0; rg) intervallumban változik.Mondottuk, hogy a Kruskal�Szekeres térid® a pontszer¶ sillag teljes térideje. Ezen azt értjük, hogy ebbena térid®ben nin s olyan geodetikus, amely ne ezen a térid®n belül kezd®dne és végz®dne (geodetikus teljesség).A (36.6), (36.7) transzformá ióhoz hasonló tulajdonságú transzformá ióval az egész U; V koordinátasíkot lelehetne képezni egy új X; Y koordinátasík 1. negyedére, de ennek nem lenne sok értelme, mert nin s olyangeodetikus, amely "kilógna" az 1. negyedb®l.37. Geodetikusok a pontszer¶ sillag téridejébenA) A fényszer¶ entrális geodetikusok.A Kruskal�Szekeres koordinátákban a fényszer¶ entrális geodetikusok az U = konstans, V = konstanskoordinátavonalak. Az Se1-ben ezek azonosak az u = konstans, v = konstans vonalakkal, amelyek a (36.2)és a (36.3) szerint a kifutó, illetve a befutó fénysugarakat írják le. A 14. ábrán ennek megfelel®en rajzoltunknyilat a koordinátavonalakra, amelyek mentén a fénysugarak terjednek. A nyilak iránya a folytonosság alapjánminden szektorban ugyanaz, de sak Se1-ben igaz, hogy a V = konstans vonalak befutók, az U = konstansvonalak pedig kifutók.A fénysugarak irányítottsága határozza meg a fénykúp helyzetét és jelöli ki a jöv®beli és a múltbeli fénykú-pot. A Kruskal�Szekeres koordinátákban rögzített # és ' mellett bármely P ponthoz tartozó jöv®beli fénykúpbelseje a 2. negyed, a múltbeli fénykúp belseje pedig a 4. negyed (ha a koordinátarendszer origóját P -benképzeljük el)49. A P -n természetesen nem entrális fénysugarak is haladnak keresztül. A entrális fénysugarakat49Ha V = (V U ; V V ; 0; 0) egy id®szer¶ entrális világvonal érint®vektora, akkor V2 = 2gUV V UV V -nek pozitívnak kell lennie.Mivel gUV < 0, ezért V UV V < 0, tehát vagy V V > 0; V U < 0, vagy megfordítva. Az egyik eset jelöli ki a jöv®beli, a másik amúltbeli fénykúpot. Az Se1-ben a t koordinátaid®t úgy választottuk, hogy a t növekedési iránya egyezzen meg a sajátid® növekedésiirányával. A 13. ábráról leolvasható, hogy pl. az r = konst: id®szer¶ világvonalakon a V V > 0; V U < 0 érint®vektor mutat a t ésa � növekedési irányába, vagyis a jöv®beli fénykúpba.

37 GEODETIKUSOK A PONTSZER� CSILLAG TÉRIDEJÉBEN 89tartalmazó térképen a teljes fénykúpnak sak a entrális metszetét tudjuk ábrázolni, amelyet a fénykúp két entrális irányú alkotója határol.U

V

r=0

r=0

r=rg

r=r g

t= ¥-

J =

j

konstans

= konstans

t=+

8

A

C

B

fénykúp

jövõbeli múltbeli

Se1Si1

Se2 Si2

14.ábraB) Az id®szer¶ világvonalak.Az id®szer¶ világvonalak minden P pontjukban a P -hez tartozó múltbeli fénykúp belsejéb®l a jöv®belifénykúp belseje felé haladnak. Ez az irány felel meg a sajátid® növekedési irányának. A 14. ábrán felrajzoltunknéhány entrális id®szer¶ világvonal szakaszt, amelyeken a nyíl a sajátid® növekedésének az irányába mutat.Az U; V koordinátákban a jöv®beli fénykúpot a P -n áthaladó r = konstans világvonal érint®je két részrebontja. Ez az érint® választja el egymástól a entrális kifutó és befutó irányokat. Egy id®szer¶ világvonalnaklehetnek kifutó és befutó részei. A feldobott k® geodetikusán pl. egy kifutó szakasz után egy befutó részkövetkezik.Az U; V koordinátatengelyek pontjaiban az r = konstans vonal maga a koordinátatengely, ezért a pozitívV -tengelyen minden id®szer¶ világvonal befutó, a pozitív U -tengelyen pedig kifutó irányú.A nem entrális világvonalak ábrázolásához a 14. ábra koordinátarendszere, amely konstans #-hoz és '-heztartozik, nem elegend®. Az r = konstans, # = �=2 körön kering® objektumok világvonala például sak a# = �=2-höz tartozó U; V térképeken látható: Ez minden rögzített '-nél egy pontsorozat az r = konstanshiperbolán Se1-ben.C) A fekete lyuk.Az Si1-b®l semmilyen id®szer¶ világvonalon sem lehet kijutni a sajátid® növekedési irányában, mert afénykúp úgy érinti az Si1-t határoló pozitív V - és negatív U -tengelyt (mindkett®n r = rg), hogy a jöv®belirésze teljesen belülre, a múltbeli része teljesen kívülre esik. A fénysugarak ugyan sak bezárva maradnak Si1-ben, amint az legalább a entrális fénysugarakra vonatkozóan a 14. ábra alapján megállapítható. Ennekkövetkeztében azok a fényszer¶ vagy id®szer¶ világvonalak, amelyek Se1-b®l vagy Se2-b®l Si1 be vezetnek azr = rg sugáron (azaz a pozitív V - vagy a negatív U -tengelyen) keresztül, egész további terjedelmükben Si1-nbelül maradnak.Röviden ezt úgy foglalhatjuk össze, hogy az Si1 térid® tartomány fekete lyuk, ahonnan "nem tud kijönnisemmi"50. Azokról az eseményekr®l tehát, amelyek a fekete lyuk tartományában történnek, nem "szivároghatki" semmilyen informá ió: A fekete lyuk határa mögé kívülr®l nem láthatunk be. Ezért nevezik ezt a határteseményhorizontnak.A fekete lyukban r < rg következtében a (27.4) S hwarzs hild-ívelemnégyzetben A és B negatív, ezértitt az r a koordinátaid®, a t pedig térszer¶ koordináta. A 14. ábra alapján megállapítható, hogy a entrálisid®szer¶ világvonalakon a sajátid® növekedési irányának r folyamatos sökkenése felel meg. Ez minden id®szer¶világvonalra igaz. Az id®szer¶ világvonalak az r = 0 id®pillanatban véget érnek, ez véges sajátid® alatt50A kvantumme hanika �gyelembevételével ez a következtetés módosulhat, mert a kvantumme hanika szerint a fekete lyukfeltehet®en folyamatosan emittál elektromágneses hullámokat és része skéket (Hawking-sugárzás). A feltételes mód használatátaz indokolja, hogy ma még nin s megoldva a kvantumme hanika és az általános relativitáselmélet egyesítése egyetlen elméletben.

37 GEODETIKUSOK A PONTSZER� CSILLAG TÉRIDEJÉBEN 90következik be51.D) A fehér lyuk és a második küls® S hwarzs hild-tartomány.Az Si2 felületén a fény és a tömegpontok sak kifele haladhatnak keresztül, ezért ezt a szektort gyakran"fehér lyuknak" hívják.Az Se2 "második küls® S hwarzs hild-szektor" az Se1 pontos mása. Egy pontszer¶ sillagnak elvben mindkétküls® szektorban lehet bolygórendszere. A két küls® szektor között azonban nem lehetséges "utazás", mert akett®t összeköt® minden világvonalnak van térszer¶ szakasza ("féreglyuk").Külön tárgyalást igényel az az eset, amikor egy sillag rohamos összehúzódás (kollapszus) következtébenválik kisebbé a saját gravitá iós sugaránál. Megmutatható, hogy az ilyen sillag térideje sak az Se1 és az Si1szektorokat tartalmazza.E) Rádiójelek a fekete lyuk közeléb®l.Mozogjon egy ¶rszonda olyan pályán, amely az Se1 küls® S hwarzs hild-tartományból átvezet a feketelyukba. Közben sajátid®ben mérve !� = konstans frekven ián folyamatosan rádiójelet sugároz, amelyet egykonstans r � rg ; #; '-ben parkoló monitor-¶rhajó állandóan vesz. Milyen ! frekven iájúnak észleli a sugárzást?

15.ábraA 15. ábrán felrajzoltuk a szonda és az ¶rhajó trajektóriáját. Az ábrán szaggatott vonallal jeleztük a kifutó(U = konstans) fényszer¶ geodetikusokat, amelyeken a rádiósugárzás terjed. Ezek a sugarak sak az U > 0tartományban jutnak el a monitor-¶rhajóhoz. Miután a szonda átlépett az U < 0 negyedbe, a jelei az r = 0szingularitásban végz®dnek.A monitor olyan messze van a szingularitástól, hogy a sajátideje praktikusan megegyezik a t S hwarzs hild-koordinátaid®vel. A szonda � sajátidej¶ pontjából emittált sugárzás abban a t sajátidej¶ pontban éri el amonitort, amely ugyanazon az U = konstans koordinátavonalon fekszik, mint a � sajátidej¶ pont: a � = F (t)függvényt az U = konstans egyenlet határozza meg.Legyen a szonda pályájának egyenlete U = G(�) V = H(�);a monitor pályája pedig (36.6), (36.7) alapjánU = g(t) =sr � rgrg er=2rg � e� t=2rgV = h(t) =sr � rgrg er=2rg � e t=2rg ;51Mivel a fekete lyukban az r a koordinátaid®, ezért az ¶rhajó "kormányzásával" nem lehet elérni, hogy az ¶rhajó kikerülje azr = 0-t. A küls® S hwarzs hild-szektorban sem lehetséges, hogy egy adott t id®pont ne következzen be egy "örökélet¶" ¶rhajópályáján. Az ¶rhajó megfelel® kormányzásával azonban a fekete lyukat el lehet kerülni.

38 A RELATIVISZTIKUS KOZMOLÓGIA ALAPFELTEVÉSEI 91ahol r = konstans. Az U = konstans egyenlet G(�) = g(t), amelyet � -ra megoldva olvashatjuk le az F (t)függvényt.A szonda pályáján a � = 0 esemény legyen az, amikor a pálya metszi a V -koordináta tengelyt (a V = V0pontban). Az Se1-be es® szakaszon ezért � < 0. A metszéspont közelében G(�) = ��� > 0, H(�) = V0+�� <V0, tehát � és � pozitív konstans. Ebben a tartományban G(�) = g(t) következtében� = F (t) = � e� t=2rg ( pozitív konstans).Ez a képlet azt fejezi ki, hogy a monitoron észlelt sugárzás frekven iája t-függ®:!(t) = !� d�dt = !� dFdt = konstans � e� t=2rg :Válasszuk a t = 0 kezd®pontot úgy, hogy az a sugárzás, amely ekkor ér a monitorhoz, olyan kis negatívsajátid®pillanatban � a V -tengelyhez nagyon közel � emittálódott, amikor a közelítésünk már érvényes.Ekkor !(t)!(0) = e� t=2rg :A monitor ¶rhajón tehát t > 0-nál a jel frekven iájának exponen iális sökkenését tapasztalják. A sökkenésnagyon gyors, mert az id®állandója nagyon ki si: Azzal az id®vel egyenl®, amely alatt a fény sík térid®ben 2rgtávolságot tesz meg. A jel véges számú osz illá ió után monoton sökkenve sz¶nik meg.* * *Ezzel a fejezettel lezárjuk az általános relativitáselmélet ismertetését és áttérünk a relativisztikus kozmoló-gia alapjainak a megtárgyalására az általános relativitáselmélet szemszögéb®l. A mérési módszerekre és akozmológiának azokra az aspektusaira, amelyekhez a része ske�zika is szükséges, nem térünk ki. Ezekr®l FreiZsolt és Patkós András könyvében lehet olvasni (In�á iós kozmológia, Typotex 2005).38. A relativisztikus kozmológia alapfeltevéseiA relativisztikus kozmológia kiindulópontja Einsteinnek az a hipotézise, hogy azRij � 12gijR� �gij = 8�G 4 Tij (38.1)gravitá iós téregyenlet az Univerzum egészére is alkalmazható.Einstein tett még két további feltevést is: Az átlagolási hipotézist és a kozmológiai elvet.Az átlagolási hipotézis szerint a téregyenlet jobboldalán Tij-n az Univerzum térben kisimított anyags¶r¶ségé-nek energia-impulzus tenzorát kell érteni. Ez a kisimított energia-impulzus tenzor a (38.1) egyenleten keresztüla Világegyetem kisimított metrikáját hozza létre, amelyen az anyag lokális s¶r¶ség-egyenetlenségei (galaxisok,egyedi sillagok) "helyi gy¶r®déseket" okoznak.Az átlagolási hipotézis nagyon er®s feltevés. Az Univerzum egy P pontjában ugyanis a "kisimítást" a Pkörüli valamilyen nem túl nagy térfogartra ( ellára) vett átlagolásként értelmezhetjük. Az Einstein-egyenletnemlinearitását �gyelembe véve azonban az átlagolt (kisimított) mennyiségeket tartalmazó téregyenlet, amelyetaz Einstein-egyenlet átlagolásával kapunk, általában nem lehet azonos az átlagolt mennyiségeket tartalmazóEinstein-egyenlettel, mert egy szorzat átlaga nem egyenl® az átlagok szorzatával. PéldáulRij = ��ilj�xi � ��iij�xl + �iim � �mlj � �ilm � �mij 6= ��ilj�xi � ��iij�xl + �iim � �mlj � �ilm � �mij :A �-k pedig maguk sem egyenl®k az átlagolt metrikus tenzorból képzett Christo�el-szimbólumokkal. A to-vábbiakban azonban mégis kizárólag kisimított mennyiségekkel és az ®ket tartalmazó Einstein-egyenletekkelfogunk dolgozni.A kozmológiai elv azt mondja ki, hogy a kisimított térben minden pont és minden irány egyenérték¶. Ez azelv megfelel annak a felfogásnak, hogy a Föld, a "mi" lakóhelyünk, nem kitüntetett helye az Univerzumnak.Matematikailag ez a feltevés úgy fogalmazható meg, hogy a kisimított geometriai tér maximálisan szimmetrikus(10. fejezet). Három geometriai dimenzióról lévén szó ez hat független Killing-mez® létezését tételezi fel.

38 A RELATIVISZTIKUS KOZMOLÓGIA ALAPFELTEVÉSEI 92A kisimítás el®tti valóságos Univerzumban természetesen a helyek és az irányok nem egyenérték¶ek. Mamég nem tudjuk elég megbízhatóan, hogy milyen skálán (és hogyan) kell az átlagolást elvégezni ahhoz, hogy akozmológiai hipotézis teljesüljön52.Ha a geometriai tér kétdimenziós volna, a kozmológiai elv a kisimított Univerzumra három lehet®ségetengedne meg: A 2D gömböt (9. és 12. fejezet), a 2D pszeudogömböt (15. fejezet), valamint a 2D euklidészisíkot, amelyek kétdimenziós maximálisan szimmetrikus sokaságok. Tekintsük át ezek 3D megfelel®it!Induljunk ki egy hipotetikus 4D metrikus sokaságból, amelyen az x; y; z; u koordinátákat vesszük fel.A) A 3D gömb.Tegyük fel el®ször, hogy ez a sokaság euklidészi:dl2 = dx2 + dy2 + dz2 + du2: (38.2)Ebben az esetben az x2 + y2 + z2 + u2 = a2 (38.3)egyenlettel meghatározott felület 3D gömb.Vezessük be ezen a gömbön a �; #; ' 3D gömbi koordinátákat azu = a os�; z = a sin� os#; y = a sin� sin# sin'; x = a sin� sin# os'0 < �; # < �; 0 � ' < 2� (38.4)képletekkel. A (38.3) ekkor azonosan teljesül. Ha pedig ezeket a kifejezéseket beírjuk (38.2)-be, megkapjuk a3D gömb ívelemnégyzetét 3D gömbi koordinátákban:dl2 = a2 �d�2 + sin2 �(d#2 + sin2 # � d'2)� : (38.5)A �; #; ' koordináták origójában � = # = 0. Az origót a 3D gömb bármely pontjában felvehetjük. A (38.5)metrika segítségével meggy®z®dhetünk róla, hogy a � koordinátájú pont origótól mért r távolsága r = a�-velegyenl®53, az origó körül felvett r sugarú 2D gömb felszínét pedig azS2 = 4�a2 sin2 � = 4�a2 sin2 raképlet határozza meg54. Ebb®l következik, hogy a 3D gömbön a 2D gömb felszíne az r növekedésével lassabbann®, mint 4�r2 (vagyis lassabban n®, mint a 3D euklidészi térben).A teljes 3D gömb térfogata a (�; � + d�) vastagságú gömbhéjak S2(r) � dr = S2(�) � a � d� térfogatánakintegráljával egyenl®: V3 = Z �0 4�a2 sin2 � � ad� = 2�2a3:B) A 3D pszeudogömb.Tegyük fel most, hogy a hipotetikus 4D sokaság pszeudoeuklidészi:dl2 = dx2 + dy2 + dz2 � du2: (38.6)Akkor a �x2 � y2 � z2 + u2 = a2 (u > 0) (38.7)egyenlettel meghatározott felület a 3D pszeudogömb.Vezessünk be a 3D pszeudogömbön a ��; #; ' 3D pszeudogömbi koordinátákat au = a h ��; z = a sh �� os#; y = a sh �� sin# sin'; x = a sh �� sin# os'0 � �� <1; 0 < # < �; 0 � ' < 2� (38.8)52Az átlagolási eljárásban nem sak az okoz gondot, hogy az egyenlet nemlineáris, hanem az is, hogy az átlagolás a térbeli ellákratörtén® integrálással történik, a ellákra való felosztáshoz viszont a pontos metrika ismerete szükséges.53A kiválasztott pontot az origóval összeköt® sugár mentén d# = d' = 0, ezért az ívhossz a dl = a � d� integrálja.54A �= konstans gömbön a metrika dl2 = a2 sin2 �(d#2 + sin2 # � d'2), és azt tudjuk, hogy ez egy a sin� sugarú gömb ívelem-négyzete.

39 A STANDARD MODELL 93képletekkel. A (38.7) ekkor azonosan teljesül. Ha pedig ezeket a kifejezéseket beírjuk (38.6)-ba, megkapjuk a3D pszeudogömb ívelemnégyzetét 3D pszeudogömbi koordinátákban:dl2 = a2 �d��2 + sh2 ��(d#2 + sin2 # � d'2)� : (38.9)A ��; #; ' koordináták origóját a 3D pszeudogömb bármely pontjában felvehetjük. A (38.9) metrika segítségé-vel meggy®z®dhetünk róla, hogy a �� koordinátájú pont origótól mért r távolsága r = a��-vel egyenl®, az origókörül felvett r sugarú 2D gömb felszínét pedig az�S2 = 4�a2 sh2 �� = 4�a2 sh2 raképlet határozza meg. Ebb®l következik, hogy a 3D pszeudogömbön a 2D gömb felszíne az r növekedésévelgyorsabban n®, mint 4�r2. A teljes 3D pszeudogömb térfogata végtelen: �V3 =1.C) A 3D euklidészi tér.Végül a 4D hipotetikus sokaságon az u = konstans egyenlettel jelöljünk ki egy 3D hiperfelületet. Akáreuklidészi, akár pszeudoeuklidészi a beágyazó 4D sokaság, ennek a 3D felületnek a metrikája euklidészi:dl2 = dx2 + dy2 + dz2 = dr2 + r2(d#2 + sin2 # � d'2): (38.10)A 9. és a 15. fejezetben követett eljárással nem nehéz igazolni, hogy mindhárom sokaság maximálisanszimmetrikus, mert van hat lineárisan független Killing-mez®je.Vezessük be a k indikátort a következ® de�ní ióval:k =8><>:+1 gömb esetében,�1 pszeudogömb esetében,0 euklidészi sík esetében. (38.11)A k felhasználásával a három eset összefoglalható így:k � (x2 + y2 + z2) + u2 = a2dl2 = dx2 + dy2 + dz2 + k � du2: (38.12)A 3D gömb és pszeudogömb (38.5), (38.9) ívelemnégyzetének ismeretében kiszámíthatjuk a konnexiós koe�- ienseket és a Riemann- görbületet. A továbbiakban sak a Ri i-skalárra lesz szükségünk, amelyre azR = k � 6a2 (38.13)képletet kapjuk55.39. A standard modellA standard modellben feltesszük, hogy a kisimított térid®ben felvehet® olyan koordinátarendszer, amelyben azívelemnégyzet ds2 = 2dt2� dl2 alakú, és dl2 az el®z® fejezet valamelyik maximálisan szimmetrikus geometriaiterének ívelemnégyzete. Azonban megengedjük, hogy a geometriai tér skálája függjön a t koordinátaid®t®l.Ezen azt értjük, hogy két nyugvó (rögzített térkoordinátájú) pont térbeli távolsága az id® múlásával változhat56.A (38.5), (38.9) esetében ez annyit jelent, hogy az a hosszúság dimenziójú paraméter függhet t-t®l, a (38.10)-benpedig a jobboldal tartalmazhat egy b(t) dimenziótlan szorzótényez®t:ds2 = 2dt2 � dl2 = 8>>><>>>: 2dt2 � a2(t) �d�2 + sin2 �(d#2 + sin2 # � d'2)� ha k = +1 2dt2 � a2(t) �d��2 + sh2 ��(d#2 + sin2 # � d'2)� ha k = �1 2dt2 � b2(t) �dr2 + r2(d#2 + sin2 # � d'2)� ha k = 0: (39.1)55n-dimenziós gömbre és pszeudogömbre R = k � n(n � 1)=a2. Ebb®l visszakapjuk a két dimenzióra vonatkozó már ismertképleteket.56A 2D gömb esetében ez a változó sugarú léggömb geometriájának felel meg, amikor polárkoordinátákat rajzolunk rá.

40 A KOZMOLÓGIAI VÖRÖSELTOLÓDÁS 94Az a(t) és a b(t) függvényeket az Einstein-egyenletb®l kell meghatározni. Ezt a három ívelemnégyzetet közösnéven Robertson�Walker (RW) metrikának hívják. A k = 1 univerzumot zártnak, a másik kett®t nyitottnaknevezzük.Mindhárom ívelemnégyzetre jellemz®, hogygtt = 2 = konstans; gt� = 0 (39.2)(� � mint mindig � a térszer¶ koordináták indexe). Az ilyen tulajdonságú koordinátarendszert szinkron-rendszernek nevezik (a metrikát magát pedig szinkron-metrikának).A szinkron-rendszer megkülönböztet® tulajdonsága, hogy az x� = konstans koordinátavonalak geodeti-kusok, amelyeken a t koordinátaid® a�n paraméter. Ezeknek a koordinátavonalaknak az érint®vektora alokális koordinátabázis e(t) eleme, ezért az állítás igazolásához azt kell belátni, hogy De(t)dt = 0. Mivelei(t) = Æit = (1; 0; 0; 0), ezért Dei(t)dt = �ijkej(t)ek(t) = �itt, és a (39.2) teljesülése esetén ez a négy Christo�el-szimbólum valóban zérus57.A tétel fontos következménye, hogy RW-koordinátarendszerben az izolált tömegpontok nyugodhatnak, merta világvonaluk ekkor geodetikus. A relativisztikus kozmológiában feltesszük, hogy a galaxisok, amelyek akozmológiában tömegpontoknak tekinthet®k, nagy pontossággal nyugszanak a RW koordinátarendszerben. Atovábbiakban ezt a feltevést a nyugvó objektumok hipotézisének58 fogjuk nevezni.A relativisztikus kozmológiának tehát az Einstein-egyenletek alkalmazhatóságán kívül három alapfeltevésevan: Az átlagolási és a kozmológiai hipotézis, valamint a nyugvó objektumok hipotézise.A RW-metrikához tartozó konnexiós koe� iensek közül a továbbiakban nem lesz szükségünk azokra, ame-lyeknek az indexei között nem szerepel a koordinátaid®. A k = �1 esetben a többi nemzérus koe� iens akövetkez®: �t�� = � _aa 2 g�� ; ��t� = _aaÆ�� : (39.3)A g�� a (39.1) ívelemnégyzetben a [ ℄ zárójeles részben fellép® metrikus tenzor.A Ri i-tenzor komponensei közül sak Rtt-re lesz szükség. A k = �1 esetbenRtt = � 3�a 2a: (39.4)A Ri i-skalárra az R = �k 6a2 � 6( _a2 + a�a) 2a2 (39.5)képletet kapjuk59. A (39.3), (39.4), (39.5) képlet a k = 0 esetben is érvényben marad, ha a(t)-t b(t)-velhelyettesítjük.40. A kozmológiai vöröseltolódásA 22. fejezetben láttuk, hogy a Nap körüli térid®ben a fénysugarak ! frekven iája a terjedés során állandómarad, mert a metrika nem függ a koordinátaid®t®l. A bizonyítás a geodetikus mozgásállandók tételén alapult(17. fejezet). A gondolatmenet a következ® volt:A fénysugarak fényszer¶ geodetikusok, amelyek érint®vektora a k hullámvektor. Írjuk fel a (17.4) összefüg-gést ezekre a geodetikusokra: dd� (k �W) = 12kikjLW gij : (40.1)A � a fénysugár a�n paramétere, aW pedig tetsz®leges vektormez®. HaW-ként a lokális koordinátabázis e(0)elemét választjuk, akkor k �W = k � e(0) = k0 = ! : (40.2)57Ezek a Christo�el-szimbólumok �gtt=�xi és �gt�=�t típusú deriváltakat tartalmaznak, amelyek (39.2) következtében nullák.58Nem általánosan használt elnevezés.59Amikor a nem függ t-t®l, az R-re innen a (38.13) negatívját kapjuk. Ennek az az oka, hogy a RW-ívelemnégyzetben a dl2negatív el®jellel szerepel, vagyis a metrikus tenzor g�� komponensei a (38.5), (38.9) megfelel® komponenseinek a negatívjai. MivelR minden tagja páratlan számú metrikus tenzor-komponens szorzatát tartalmazza, ezért a g�� �! �g�� helyettesítésnél az Rel®jele is megváltozik.

40 A KOZMOLÓGIAI VÖRÖSELTOLÓDÁS 95Így d!d� = 2kikjLe(0)gij (7:13)= 2kikj �gij�x0 = 12kikj �gij�t ; (40.3)és ez a kifejezés valóban zérus, ha a metrika nem függ a koordinátaid®t®l.A RW metrika azonban függ a t koordinátaid®t®l, ezért a fénysugár frekven iája a terjedés során változik.Milyen gyorsan?A térbeli koordinátarendszer origóját mindig választhatjuk úgy, hogy rajta legyen a vizsgált fénysugáron.Ekkor a fénysugár entrális: k# = k' = 0, és sak k0 és k� különbözik zérustól (a határozottság kedvéért ak = +1 geometria esetét tárgyaljuk, de a gondolatmenet érvényes a másik két geometriára is). Mivel g00 = 1és g�� = �a2(t), a (40.3) most a következ®:d!d� = 2 (k�)2 � ddx0 ��a2� = � (k�)2 a � dadt :A fénysugarak azonban fényszer¶ geodetikusok, ezért k érint®vektoruk fényszer¶:k2 = gijkikj = �k0�2 � a2 (k�)2 = 0:Ennek következtében (k�)2 = 1a2 �k0�2 ;és így d!d� = �1a � �k0�2 dadt :A két k0 tényez® egyikét a k0 = k0 = != képlet alapján !-n keresztül fejezzük ki, a másikat az érint®vektork0 = dx0d� = dtd� kifejezésével helyettesítjük. Ezt kapjuk:d!d� = �!a � dad� ;ahonnan dd� (!a) = 0: (40.4)A fénysugár mentén tehát az ! �a szorzat értéke az, ami változatlan. Ha a változik, akkor ! az 1=a-val arányosváltozást szenved.A változás hatása a távoli galaxisok spektrumvonalainak a helyzetében jelentkezik. A fény, amit most ittmeg�gyelünk, �t koordinátaid®vel korábban indult el a galaxisból. Ha a galaxis elég messze van, a frekven iájaezalatt észrevehet®en megváltozott, ezért egy alkalmasan kiválasztott kémiai elem atomjának spektrumábanegy meghatározott spektrumvonal !0 meg�gyelt frekven iája különbözni fog ugyanezen spektrumvonal ! frek-ven iájától a kibo sátás pillanatában. Ezt az ! frekven iát mi a saját laboratóriumi kísérleteinkb®l ismerjük,ezért meg tudjuk határozni a frekven ia megváltozásának a nagyságát. Az emittált és az észlelt frekven iáttermészetesen az emittáló és az észlel® galaxis sajátidejében kell érteni, de a RW metrika szinkron jellege kö-vetkeztében ezek a sajátid®k megegyeznek a koordinátaid®vel, mivel a nyugvó objektumok hipotézise szerinta galaxisok nyugszanak a RW koordinátákban. A tapasztalat szerint !0 mindig kisebb !-nál. Ez a jelenség akozmológiai vöröseltolódás.Az ! és az !0 kap solatát (40.4) szerint az !0a0 = !a egyenl®ség írja le, vagyis az !=!0 hányados az a0=aaránnyal egyenl®, ahol a0 az a(t) függvény értéke most (a mai állapotban60), a pedig ugyanezen paraméterértéke az emisszió pillanatában. Vöröseltolódásról lévén szó a0 > a.Az ! helyett többnyire a � = 2� =! hullámhosszal dolgoznak. A (40.4) szerint a=� = a0=�0, azaz�0� = a0a ; (40.5)és ez az arány a tapasztalat szerint nagyobb 1-nél. Az eltolódás mértékének a jellemzésére az = �0 � �� (40.6)60A mai állapot az angol present epo h kifejezés magyar megfelel®je.

40 A KOZMOLÓGIAI VÖRÖSELTOLÓDÁS 96paramétert használják.Meg lehet-e mondani a z mért értéke alapján, hogy milyen l0 távolságra van most (a mai állapotban) az agalaxis, amelynek a fényét analizáltuk?A gondolatmenet, amely elvezet a z és az l0 közötti összefüggéshez, két lépésb®l áll. A z-t el®ször azona �t koordinátaid® intervallumon keresztül fejezzük ki, amennyi alatt a fény a vizsgált galaxisból elérkezetthozzánk, majd pedig �t-t kap solatba hozzuk l0-lal61.Ha az a(t) függvényt az Einstein-egyenlet megoldásából ismerjük, akkor �t-t az = a0a(��t) � 1egyenletb®l számíthatjuk ki. Ha a(t)-t nem ismerjük, és a z, amit mértünk, 1-hez képest ki si, akkor sorfejtésthasználhatunk, amelyben a(t)-t két empirikusan meghatározandó konstanson keresztül fejezzük ki.Fejtsük sorba 1=a(��t)-t az 1=a0 érték körül:1a(��t) = 1a0 + ddt �1a�����0 � (��t) + 12 d2dt2 �1a�����0 � (��t)2 + : : :ddt �1a�����0 = � _a0a20 ; d2dt2 �1a�����0 = ��a0a20 + 2_a20a30 ; (40.7)ahol _a0 és �a0 az a(t) els® és második deriváltja a mai állapotban.Ezt a sorfejtést használva z = _a0a0�t+ "� _a0a0�2 � �a02a0# �t2 + : : :Vezessük be a H = _a0a0 (40.8)Hubble-konstansot és a q = ��a0a0_a20 = � �a0H2a0 (40.9)lassulási paramétert. Ekkor z = H ��t+�1 + 12q� � (H ��t)2 + : : : (40.10)Ezek a képletek a k = �1 RW-metrikára vonatkoznak, mert (39.1) szerint sak ezekben szerepel az a(t)függvény. Azonban a k = 0 esetben is a dimenziótlan b(t) helyett bevezethetünk hosszúság dimenziójú a(t)-ta b(t) = a(t)=a0 de�ní ióval, amelyben az a(0) � a0 értéke tetsz®legesen választható (vagyis megállapodunkbenne, hogy a mai állapotban legyen b = 1). Ekkor a képleteink már mindhárom esetben érvényesek.Legyen a vizsgált galaxis � (vagy ��, vagy r=a0) koordinátája �g . A nyugvó objektumok hipotézise szerintez állandó érték. A RW-metrika alapján a galaxis l(t) térbeli távolsága62 az origótól (t®lünk) a(t) � �g-velegyenl®. Mivel az origó bárhol lehet és az a(t) függvény növekv®, ez a képlet azt fejezi ki, hogy a galaxisoktávolodnak egymástól: az Univerzum tágul63. Ha a mai állapotban a távolság l0, akkor l(t)=a(t) = l0=a0 = �gkövetkeztében l(t) = l0a0 � a(t): (40.11)Ezt a képletet a t szerint deriválva és a mai állapotra áttérve az_l0 = Hl0 (40.12)61Valójában ez is sak közbens® forma. Az l0-t ugyanis a sillagok fényességén alapuló távolsággal kell helyettesíteni, mert sakez utóbbinak van invariáns geometriai jelentése (ld. a 31. fejezetet).62"Távolságon" itt természetesen az RW koordinátaid®ben egyidej¶ pontok közötti távolságot értjük.63Az Univerzum tágulása a RW koordinátákhoz képest nyugvó "szabadon lebeg®" galaxisok közötti távolságnak, valamint a fényhullámhosszának a növekedésében jelentkezik. Egy szilárd test két pontja közötti távolság azonban nem változik meg. Pontosabban:Az Univerzum tágulása következtében a két pont között nyújtó feszültség lép fel, amelyet a pontokat összetartó er® legalábbisrészben kompenzál. Egy ideális méterrúd két végpontja közötti 1 méteres távolság a tágulás közben is pontosan 1 méter marad.

40 A KOZMOLÓGIAI VÖRÖSELTOLÓDÁS 97képletre jutunk, amely ugyanazzal a H konstanssal bármely két galaxisra érvényes. A képletnek ez az univerzálisérvényessége azzal kap solatos, hogy a galaxisok közötti távolság növekedése nem a galaxisok saját mozgásának,hanem a metrikus tenzor id®függésének a következménye.Dimenzióanalízisnél természetesen [H ℄ = 1=s, de a H számértékét nem 1=s-ben szokás megadni:H = 71� 3 kms � 1Mp :Ezt a vegyes dimenziót (40.12) sugallja. Azt fejezi ki, hogy a mai állapotban két egymástól 1 Mp távolságralév® galaxis távolodási sebessége 71 km/s-mal egyenl®. Ennek az értéknek 1=H � 15 milliárd év felel meg.cg

M G

G0

M0

a(- t)D

a(0)=a0a fénysugár

MG=lM G =l0 0 0 16.ábraAz l0 és a �t kap solatára áttérve megjegyezzük, hogy RW koordinátákban (szinkron koordinátákbanáltalában), amelyekben ds2 = 2dt2 � dl2, a fénysebesség minden irányban -vel egyenl®. A fénysugáronugyanis ds2 = 0, ezért dl=dt = . Ez azonban nem különösebben hasznos észrevétel, mert a metrikus tenzordl2-ben szerepl® komponensei a t koordinátaid® függvényei, és ennek következtében �t 6= l0= .A szituá iót a 16. ábrán illusztráltuk, amely gömbi (k = 1) geometriára vonatkozik. Amikor a vizsgáltgalaxis fénye a G pontból elindult felénk, az a(t) skálaparaméter értéke a(��t) volt (gömbi geometriánál a(t)a gömb sugarával egyenl®). A fénysugár folyamatosan növekv® sugarú gömbön terjedt, és most, amikor az M0pontban meg�gyeljük, a sugár a mai állapotnak megfelel® a0-lal egyenl®.Ha a 3D gömbi koordinátarendszer origójátM0-ban (a mi Galaxisunkban) vesszük fel, akkor a fénysugárona # és a ' értéke végig megegyezik azzal az értékkel, amely irányból a fény megérkezik hozzánk (a fénysugár entrális). Ezért két közeli pontja között ds2 = 2dt2 � a2(t)d�2 = 0, vagyis d� = � � dt=a(t). A G és az M0között a t a (��t; 0) intervallumban, a � pedig a (�g ; 0) intervallumban változik, ezért integrálással a�g = Z 0��t dta(t)képletre jutunk. Ha ezt a0-lal megszorozzuk, az l0 = a0�g képlet alapján megkapjuk az l0 és a �t kap solatátmeghatározó l0 = a0�g = Z 0��t dt a0a(t)

40 A KOZMOLÓGIAI VÖRÖSELTOLÓDÁS 98egyenletet, amely � ha az a(t)-t ismerjük, � tetsz®leges �t-nél használható.A sorfejtéses módszerben az a0=a(t)-t vehetjük (40.7)-b®l: a0=a(t) = 1+H � t+ : : : Az integrálást elvégezvea Hl0 = H ��t+ 12 (H ��t)2 + : : :képletre jutunk. A kiírt rendre korlátozódva innen kifejezhetjük (H ��t)-t:H ��t = Hl0 � 12 �Hl0 �2 ;és ezt beírhatjuk (40.7) els® tagjába. A második tagban az adott pontossággal H ��t = Hl0= -re korlátozód-hatunk. Így ezt kapjuk: z = Hl0 � �1 + 12(1 + q)�Hl0 �+ : : :� :Ez a képlet fejezi ki a Hubble-törvényt, amely szerint az l0 távolság legala sonyabb rendjében z arányos l0-lal:z � 1 Hl0: (40.13)Ez a sorfejtésen alapuló tárgyalás évtizedekig elegend® volt a meg�gyelések értelmezéséhez, mert sokáig sak z � 0; 1 nagyságrend¶ vöröseltolódásokat �gyeltek meg. Ma már z � 1 s®t 1-nél nagyobb eltolódásokat isészlelnek, ezek analízisére a fenti sorfejtés már nem alkalmas.Történeti megjegyzés: A gravitá iós és a kozmológiai vöröseltolódás � mint láttuk � bizonyos szempont-ból pont ellentéte egymásnak. A gravitá iós vöröseltolódásnál a fény frekven iája a terjedés során állandó, és ameg�gyelt frekven iaváltozás oka az, hogy a sajátid® a tér különböz® pontjaiban különböz® módon függ a koor-dinátaid®t®l. A kozmológiai vöröseltolódásnál ezzel szemben a sajátid® mindenütt egyenl® a koordinátaid®vel,viszont a frekven ia a terjedés során nem marad állandó.Másrészt a 23. fejezetben láttuk, hogy a gravitá iós vöröseltolódás a Doppler-e�ektussal van szoros kap- solatban. A kétfajta vöröseltolódás ellentétes természetéb®l ezért az is következik, hogy a kozmológiai vörös-eltolódás nem rokonítható a Doppler-e�ektussal. A Doppler-e�ektusnál a frekven iaváltozás oka az, hogy azadó és a vev® különböz® sebesség¶ mozgása miatt a sajátidejük különböz® módon függ a koordinátaid®t®l.A kozmológiai vöröseltolódásnál ezzel szemben a nyugvó objektumok hipotézise szerint mind az adó, minda vev® galaxis nyugalomban van, és a frekven ia változása a fény terjedése közben az Univerzum tágulásakövetkeztében jön létre.Amikor azonban Hubble a múlt század húszas éveiben felismerte, hogy a vöröseltolódás annál nagyobb,minél távolabbi galaxis spektrumát vizsgálja, és feltételezte, hogy a hullámhossz relatív megváltozása arányos atávolsággal (Hubble-törvény), még nem gondolhatott változó metrikájú térid®re, és a sík térid®ben bekövetkez®Doppler-e�ektussal magyarázta a jelenséget. A gondolatmenetét így rekonstruálhatjuk:A (23.6), vagy a vele azonos (23.8) képletb®l indulhatunk ki, amelyben �0-t most �0-ra kell átjelölnünk,és távolodásról lévén szó a V el®jelét meg kell változtatnunk. Tegyük fel továbbá, hogy a galaxisok sebességesokkal kisebb a fénysebességnél. A V= legala sonyabb rendjében ekkor �0 = �(1 � V= ), vagy �0=� = �=�0következtében ��0 = 1� _l :Feltételeztük, hogy V -n a meg�gyelt galaxis sebességét kell érteni az emisszió pillanatában, amikor l távolságravolt t®lünk: V = _l. Ezt a képletet átrendezhetjük a�0 � ��0 = 1 _ll! � l (40.14)alakba. Ez a képlet akkor van összhangban Hubble-nak azzal a feltevésével, hogy a baloldal arányos a fényforrástávolságával, ha az _l=l hányados univerzális állandó: A galaxisok annál gyorsabban távolodnak t®lünk, minélmesszebb vannak. Ezt a következtetést vonta le Hubble a meg�gyeléseib®l.Pontosított formában ( _l=l = konstans helyett _l0=l0 = konstans) ez utóbbi következtetés a standard modell-ben is megmaradt, de a Hubble-törvény sak a nem túl távoli galaxisokra bizonyult érvényesnek (a (40.14) bal-oldalán a nevez® ekkor helyettesíthet® �-val). A standard modell néz®pontjából azonban a Doppler-e�ektusonalapuló meggondolás a részleges egybeesések ellenére sem fogadható el.

41 A FRIDMAN-EGYENLETEK 9941. A Fridman-egyenletekMost meg kell vizsgálni, hogy a RW metrika kielégíti-e az Einstein-egyenleteket, és ha igen, milyen a(t) mel-lett. A RW metrikában egyedül ez a függvény az ismeretlen, ezért az Einstein-egyenletek közül egyet kellkiválasztanunk64. A (38.1) egyenlet Rtt � 12R� � = 8�G 4 T tt (41.1)komponensét választjuk. A (39.4), (39.5) alapján némi átrendezéssel ez az egyenlet az_a2 = 8�G3 2 T tt a2 + � 23 a2 � k 2 (41.2)alakra hozható, amelyben nem fordul el® �a.A T tt konkretizálásához el kell döntenünk, milyen fajtájú anyag járulékát vesszük �gyelembe. A mai állapot-ben a szem sés (tömeges) anyag dominálja az Univerzumot, mégis �gyelembe kell vennünk az elektromágnesessugárzást is, mert az így kapható egyenletek megoldásából kiderül, hogy korábban az Univerzumnak voltsugárzás-dominált korszaka is. A RW metrikában g0i = Æ0i, ezért T tt = T 00 = T 00 az energias¶r¶séggel egyenl®:T tt = w = � 2 + wr; (41.3)ahol � a tömegs¶r¶ség, wr pedig a sugárzási energia s¶r¶sége (ld. a 25. fejezetet). A (41.3) felírásánál azt iskihasználtuk, hogy a nyugvó objektumok hipotézise szerint a szem sés anyagot alkotó galaxisok nyugszanak aRW koordinátarendszerben, ezért ennek az "ideális gáznak" a p nyomása és u bels® energiája nulla.A (41.3)-t (41.2)-be helyettesítve kapjuk az� _aa�2 = 8�G3 2 �� 2 + wr�+ � 23 � k 2a2 (41.4)els® Fridman-egyenletet65.Ebben az egyenletben azonban � és wr is ismeretlen függvény, amelyek a kozmológiai-hipotézis következ-tében sak t-t®l függhetnek, a térkoordinátáktól nem. A (41.4)-n kívül ezért még két további egyenletre vanszükség, hogy a három a(t), �(t), wr(t) függvényt kiszámíthassuk.A szem sés anyag a tömegpont-galaxisokból áll, amelyek nyugszanak a RW koordinátákban, és az Uni-verzum tágulása következtében az a(t)-vel arányosan távolodnak egymástól. Ennek következtében egy ki-választott galaxis- soport által elfoglalt (vagyis rögzített koordinátájú pontokat tartalmazó) térfogat a3(t)-velarányosan n®, és a �(t) ennek megfelel® mértékben sökken:�(t) = �0 � a30a3 : (41.5)A jobboldalon �0 a tömegs¶r¶ség a mai állapotban. Ez az egyenlet a �(t)-t visszavezeti a(t)-re, ezért már sakegy további egyenletre van szükségünk.Ez a még hiányzó egyenlet lehet a tíz Einstein-egyenlet (41.1)-t®l független komponense, vagy a komponen-sek alkalmas kombiná iója. A legjobb választásnak a (38.1) Einstein-egyenletek kontrak iójával kapható�R� 4� = 8�G 4 T (41.6)bizonyul, amelyben T = T ii = � 2 nem tartalmaz sugárzási járulékot, mivel (25.13) szerint az elektromágnesesmez® energia-impulzus tenzorának kontrak iója nulla. Ez az a lépés, ahol kihasználjuk, hogy az elektromágnesesmez®nek van nyomása, mert különben az energia-impulzus tenzorának kontrak iója nem lehetne nulla.Az R-t (39.5)-b®l vehetjük, és a benne szerepl® _a2-t helyettesíthetjük (41.2) jobboldalával. Ezután kisátalakítással az �a = �4�G3 2 �� 2 + 2wr�a+ �3 2a (41.7)64A S hwarzs hild-metrikában két ismeretlen függvény volt, A(r) és B(r), amelyeket az R00 = 0, Rrr = 0 Einstein- egyenletekb®lhatároztunk meg.65Fridman ezt a wr = 0, � = 0 esetre vezette le, de a nyomást nullától különböz®nek tekintette.

41 A FRIDMAN-EGYENLETEK 100egyenletre jutunk. Ez a második Fridman-egyenlet.A (41.7) helyett azonban választhatnánk a rjT ij = 0 egyenlet valamelyik komponensét, mert err®l azegyenletr®l tudjuk, hogy az Einstein-egyenletek következménye. ArjT 0j = 0 (41.8)komponens a lokális energiamegmaradással függ össze, és ez a világos �zikai jelentés a (41.8) választása mellettszól a (41.7)-tel szemben, amelynek nin s ilyen közvetlen �zikai értelme.Nem lenne nehéz kifejezni (41.8)-t az a(t), �(t), wr(t) változókon keresztül66, de némileg egyszer¶bben lehetugyanahhoz az egyenlethez eljutni a (41.4) és a (41.7) átalakításával. Ez a lehet®ség abból következik, hogy(41.8) az Einstein-egyenletek következménye.Az eljárás az, hogy (41.4)-t deriváljuk t szerint, és az így kapott egyenletben �a-t a (41.7) jobboldalávalhelyettesítjük. Ezután türelmes átalakítások után aza � ddt �a3� 2�+ ddt �a4wr� = 0 (41.9)egyenletre jutunk. A (41.5) szerint azonban az els® tag zérus, ezért végül (41.4) és (41.5) mellett harmadikegyenletként a ddt �a4wr� = 0 (41.10)egyenletre jutunk, amelyb®l wr(t) = wr0 � a40a4 : (41.11)A wr0 a sugárzási energias¶r¶ség értéke a mai állapotban. A (41.11) a wr(t)-t visszavezeti a(t)-re.A (41.5) és a (41.11) felhasználásával (41.4)-t az� _aa�2 = 8�G3 2 ��0 2 �a0a �3 + wr0 �a0a �4�+ � 23 � k 2a2 (41.12)alakra hozhatjuk, amelyben már sak az a(t) ismeretlen. A továbbiakban ezt az egyenletet nevezzük Fridman-egyenletnek.Térjünk vissza befejezésül a (41.9) egyenletre, amely a (41.8) kifejtett alakja. Az egyenlet valóban azenergiamegmaradással függ össze, de nem azt fejezi ki, hogy a galaxisok tömegében és a sugárzási térbenfelhalmozott energia állandó. Az egyenlet átírható addt ��� 2 + wr� a3� = � _aa2wralakra. Ha a jobboldalon nulla állna, az egyenlet azt fejezné ki, hogy egy kijelölt galaxis soport által elfoglalttáguló térfogatban a nyugalmi energia és a sugárzási energia összege id®ben állandó. A jobboldal azonbankülönbözik nullától és ez azt mutatja, hogy a metrika id®függése következtében _a > 0-nál az szóbanforgótérfogatban az energia sökken, a sugárzási tér � amelynek az energias¶r¶ség mellett nyomása is van � munkátvégez a térid®n. Mivel a térid® a dinamika egyik szerepl®je, nem is várhatjuk, hogy a tömeges anyagnak és asugárzási mez®nek az energiája külön is megmaradjon.66A gondolatmenet a következ®: rjT 0j = �jT 0j + �jjlT 0l + �0jlT lj :Az energia-impulzus tenzorra vonatkozó informá iókat a 25. fejezet tartalmazza. Ez a tenzor diagonális, ezért a fenti képletben sak a (39.3)-beli �-k fordulnak el® (�000 = 0). ÍgyrjT 0j = 1 ��tT 00 + 3 _aaT 00 � _aaT�� � :Itt T 00 = � 2+wr, és mivel (25.13) szerint Tem = 0, ezért T�� = �T 0em 0 = �wr (�gyelembe vettük, hogy a "galaxis-gáz" nyomásanulla). Ezt kihasználva rjT 0j = 1 ��t(� 2 +wr) + _aa (3� 2 + 4wr)� = 1 a4 �a � �t(a3� 2) + �t(a4wr)� ;amit (41.8)-ba helyettesítve valóban (41.9)-re jutunk.

42 A FRIDMAN-EGYENLET MEGOLDÁSA 101Az energia sökkenés sebességét a (41.10)-b®l lehet legkönnyebben leolvasni. Írjuk eztddt �a3wr1=a � = 0alakban, amelyb®l látszik, hogy a kiszemelt, rögzített koordinátájú pontokat tartalmazó térfogatban a sugárzásienergia 1=a(t)-vel arányosan sökken. Egységnyi térfogatra számolva a sökkenés 1=a4-nel arányos.A kozmológiai vöröseltolódás annak következménye, hogy a Világegyetem tágulása következtében a frek-ven ia sökken: � � 1=a. Most látjuk, hogy nem sak a frekven ia, hanem a sugárzási energia is sökken:Minden rögzített koordinátájú pontokat tartalmazó térfogatban a sugárzási energia mennyisége minden adottfrekven ián a frekven iával arányosan változik: Er � �.Ez a konklúzió összefér a fotonképpel. Ha feltesszük, hogy a sugárzási tér különböz® frekven iájú fotonokbóláll, akkor a fotons¶r¶ség 1=a3-nal arányosan, az egyes fotonok energiája pedig az " = h� képlet szerint akozmológiai vöröseltolódás következtében 1=a-val arányosan sökken.Történeti megjegyzés: Einstein eredeti elgondolása az volt, hogy az Univerzum statikus 3D gömb, vagyisa "mai állapot" örökké fennáll (Einstein-univerzum). Ha a (41.4), (41.7) Fridman-egyenleteket erre az esetrespe ializáljuk (a = a0, _a = �a = 0, � = �0, wr = wr0 = 0), akkor a8�G3 �0 + � 23 � 2a20 = 0; �4�G3 �0 + �3 2 = 0egyenletekre jutunk. Ha feltesszük, hogy a sillagászati meg�gyelésekb®l ismerjük �0-t, ezekb®l az egyenletekb®lkiszámíthatjuk a0-t és �-t.Einstein azonban eredetileg nem írta be a �gij� tagot a téregyenletébe, és ezért az el®bbi egyenleteket is a�-t tartalmazó tagok nélkül kapta meg. Így viszont a két egyenlet ellentmond egymásnak. Ez az ellentmondássugallta Einsteinnek a kozmológiai állandó bevezetését az elméletbe.Kés®bb az is kiderült, hogy az Einstein-univerzum instabil, ezért a továbbiakban nem foglalkozunk vele.42. A Fridman-egyenlet megoldásaA �0, a wr0 és a � dimenziós mennyiségek: [�0 2℄ = [wr0℄ = J=m3, [�℄ = 1=m2. Vezessük be helyettük az m,r, � standard dimenziótlan mennyiségeket, amelyek a mai állapotra vonatkoznak:�0 = m 3H28�G; wr0 = r 3H2 28�G ; � = � 3H2 2 (42.1)([�0G℄ = [H2℄ = 1=s2). A (41.12) Fridman-egyenlet ekkor a következ® alakot ölti:� _aa�2 = H2 �m �a0a �3 +r �a0a �4 +��� k 2a2 : (42.2)Ebben az egyenletben azonban nem mindegyik paraméter független egymástól, mert a három paraméteregyértelm¶en meghatározza k-t. Ahhoz, hogy ezt belássuk, írjuk fel az egyenletet a mai állapotban, amikora = a0, _a = _a0 és � _aa�2 = H2, és rendezzük úgy, hogy a k-t tartalmazó tag a baloldalra kerüljön:k 2a20 = H2[m +r +� � 1℄: (42.3)Ebb®l látszik, hogy a geometriát az = m +r +� (42.4)összeg egyértelm¶en rögzíti: k =8><>:+1 ha > 1,�1 ha < 1,0 ha = 1. (42.5)

42 A FRIDMAN-EGYENLET MEGOLDÁSA 102A (42.3)-ból az is látható, hogy ha k = �1, akkor67a0 = Hpj� 1j : (42.6)A (40.9)-ben de�niált lassulási paraméter is kifejezhet® a három paraméteren keresztül. Ehhez a (41.7)második Fridman-egyenletett kell a mai állapotra felírni:�a0a0 = �4�G3 2 �� 2 + 2wr0�+ �3 2:A (42.1) és a q = ��a0=H2a0 de�ní ió alapján innenq = 12m +r ��: (42.7)Térjünk vissza a (42.2) Fridman-egyenlethez és fejezzük ki benne k 2-t (42.3) segítségével az paraméte-reken keresztül:1H2 � _aa�2 = m ��a0a �3 � �a0a �2�+r ��a0a �4 � �a0a �2�+� �1� �a0a �2�+ �a0a �2 : (42.8)Ennek az els®rend¶ közönséges nemlineáris di�eren iálegyenletnek a megoldása adja meg az a(t) függvényt astandard modellben.Az Univerzum mai állapota tömeg-dominált, mert r � m (wr0 � �0 2). A korábbi állapotokban azonbana sugárzás energiája összemérhet®, s®t nagyobb is volt, mint a része skéké. Amíg a h®mérséklet magasabb volt,mint kb. 104 K, az elektromágneses sugárzás és a töltött elemi része skék intenzíven köl sönhatottak egymással,és a sugárzás termikus egyensúlyban volt a része skékkel. Kés®bb, a h®mérséklet sökkenésével a töltött elemirésze skék semleges atomokat képeztek, amelyek lényegesen gyengébben hatnak köl sön a sugárzással. Ett®lkezdve � és wr egymástól függetlenül változott, a sugárzási tér le satolódott az anyagról.Az el®z® fejezetben láttuk, hogy bármely, adott koordinátájú pontokat tartalmazó térrészben a szem sésanyag energiája (a galaxisok nyugalmi energiája) id®ben állandó, a sugárzási tér energiája azonban 1=a(t)-vel arányosan sökken. Ennek következtében a sugárzás a mai állapotban már sak a 2; 7 K h®mérséklet¶háttérsugárzásként van jelen, amelynek energiatartalma elhanyagolható a része skéké mellett.A (42.8) további analízisénél ezért az r paramétert nullának vesszük. Ennek következtében a megoldást amai állapottól visszafelé sak addig érvényes, amíg ez a közelítés elfogadható. Az alább következ® matematikaianalízisben azonban ezt a korlátozást nem vesszük �gyelembe.A matematikai analízis érdekében vezessünk be új dimenziótlan független és függ® változót azx = Ht; y = a0arelá iókkal. A pont továbbra is a t szerinti deriválást fogja jelölni, az x szerinti deriválás jele pedig a vessz®lesz. Ekkor _y = �a0 _aa2 = � _aay;azaz _aa = � _yy = �Hy0y : (42.9)A (42.8) Fridman-egyenlet ezekben a változókban r = 0-nál a következ®:(y0)2 = y2 �my3 + (1�� �m)y2 +�� : (42.10)Az egyenlet a változók szeparálásával integrálható:x = � Z dyypmy3 + (1� � �m)y2 +� : (42.11)67Amikor k = 0 az a0 skálafaktor értéke tetsz®legesen választható.

42 A FRIDMAN-EGYENLET MEGOLDÁSA 103Ez a képlet a keresett y(x) függvény inverzét határozza meg, de ez supán apró kényelmetlenséget jelent.A (42.11)-ben a határokat nem rögzítettük, mert a megválasztásuk függ aP (y) = my3 + (1�� �m)y2 +� (42.12)polinóm nullhelyeit®l. Csak annyi bizonyos, hogy a(t) pozitivitása miatt az integrálási tartomány nem terjedhetki a negatív y-tengelyre.Tegyük fel, hogy az paraméterek olyanok, hogy P (y)-nak nin s nullhelye a pozitív y-tengelyen. A neve-z®beli y szorzótényez® miatt az integrál y = 0-nál divergál, ezért nem választhatjuk integrálási tartománynaka (0; y) tartományt. A (42.10) egyenletet azonban az (y; 1) választással is kielégítjük:x = � Z 1y dyypP (y) : (42.13)Az egyenlet x-szerinti deriválásával könnyen meggy®z®dhetünk róla, hogy a fels® el®jelhez tartozó megoldásbanaz egész pozitív y tengelyen y0 < 0, az alsó el®jelhez tartozóba pedig y0 > 0. Mivel a � 1=y, a fels® el®jelnéla(t) az id® monoton növekv®, az alsónál monoton sökken® függvénye. A kozmológiai vöröseltolódással ezért sak a fels® el®jel van összhangban.A határok alapján megállapítható, hogy ebben a megoldásban y �!1-nél x �! 0, és y �! 0-nál x �!1.Mivel t � x és a � 1=y, ezért az a(t) skálafaktor t �! 0-nál nullához tart (Nagy Robbanás), a t növekedésévelpedig monoton n®.A fels® el®jelhez tartozó megoldást a 17. ábrán láthatjuk.y �!1-nél68 P (y) �! my3, ekkorx �! 1qm Z 1y dyy5=2 = 23qm � 1y3=2 ;vagy másképpen Ht �! 23qm � aa0�3=2 :Az a(t) függvény tehát t �! 0-nál t2=3-ként indul: a(t) � t2=3. Ne felejtsük el azonban, hogy wr elhanyagolásamiatt nagyon kis id®knél a megoldásunk már biztosan érvénytelen.

(a) (b)

a(t)

a0

tt0

y(x)

x

M

0 017.ábray �! 0-nál P (y) �! �. Válasszunk egy olyan � számot, hogy y < �-nál P (y) jól közelíthet® �-val.Ekkor y < �-nál x = Z 1y dyyqP (y) �! 1q� Z �y dyy + Z 1� dyyqP (y) = 1q� [� ln y +A℄;68Amikor a �! jel nem számok, hanem függvények között áll, akkor "aszimptotikusan egyenl®t" jelent: Amikor t �! t0-nálf(t) �! g(t), akkor ez úgy értend®, hogy az f(t)=g(t) hányados 1-hez tart. Ha eközben a függvények maguk végtelenhez tartanak,a különbségük lehet véges.

42 A FRIDMAN-EGYENLET MEGOLDÁSA 104ahol az A konstans. A másik változópárban ugyanez:Ht �! 1q� �ln aa0 +A� ;ahonnan a(t) �! konstans � eq� �H � t:t �!1-nél tehát (pozitív �-nál) a tágulás exponen iális, minél nagyobb a kozmológiai állandó, annál gyorsabb.Jelenlegi ismereteink szerint m = 0; 3, � = 0; 7 69, vagyis P (y) = 0; 3y3 + 0; 7. A pozitív y-tengelyenez seholsem nulla, ezért a diszkutált megoldás éppen a ma valóságosnak gondolt helyzetre vonatkozik. Alassulási paraméter q = m=2 � � = �0; 55, ezért úgy látszik, hogy a mai állapotban a tágulás már agyorsuló szakaszban van. A 17b. ábrán ennek megfelel®en helyeztük el a mai állapothoz tartozó M pontot. ANagy Robbanás óta eltelt id®t a megoldás ismeretében úgy számíthatjuk ki, hogy megkeressük azt az x = x0-t, amelynél y(x0) = 1 és elosztjuk H-val. Jelenleg ezt az id®t kb. 13,7 milliárd évre be sülik. Ez ugyankoordinátaid®, de a standard modellben a galaxisokon a Nagy Robbanás óta eltelt sajátid® is ugyanennyi.Amikor 6= 1, az a0-t (42.6)-ból számíthatjuk ki.A geometriát meghatározó = r + m + � azonban esetünkben éppen 1-gyel egyenl®, ami a k = 0 síktérbeli geometriának felel meg (a térid® azonban görbült!). Az a0 ekkor önkényesen választható. Elgondol-koztató, hogy a b®vül® tapasztalati anyag egyöntet¶en az euklidészi univerzumot favorizálja. Ha megengedjükmagunknak azt a luxust, hogy univerzumok anszambljában gondolkozzunk, ez nyilván végtelenül valószín¶t-len70. De még ha erre nem is vetemedünk, akkor sem tekinthetjük ezt puszta véletlennek: Valószín¶leg létezikegy ma még felderítetlen szempont vagy törvény, amely megköveteli az euklidészi jelleget.A kozmológiai állandó problémája:Mint látjuk, mai ismereteink szerint a kozmológiai állandóra szükség van ahhoz, hogy a meg�gyeléseketa standard modell keretei között értelmezni tudjuk. Ugyanakkor a kozmológiai állandó a standard modellegyetlen olyan paramétere, amelynek az értékét a kozmológiától függetlenül, a kvantumtérelméletben ki kellenetudni számítani.Vigyük át a kozmológiai állandót tartalmazó tagot a (38.1) Einstein-egyenlet jobboldalára. Ha bevezetjüka T�ij = 4�8�Ggij � �� 2gij � w�gijenergia-impulzus tenzor jelleg¶ mennyiséget, ezt az egyenletetRij � 12Rgij = 8�G 4 (Tij + T�ij)alakban is felírhatjuk, ami mutatja, hogy a kozmológiai állandó egy spe iális energia-impulzus tenzor járulékánakfelel meg. A �� e�ektív tömegs¶r¶séget és a w� e�ektív energias¶r¶séget a (42.1) de�ní iók segítségével kife-jezhetjük a standard modell paraméterein keresztül:���0 = w�wm0 = �m :A kvantumtérelmélet szerint a vákuum�uktuá iók néven ismert jelenség következtében a különféle része s-kéket leíró kvantumterek energia-impulzus tenzorának vákuumbeli várható értéke lehet zérustól különböz®, és hanem zérus, akkor konstans�gij alakúnak kell lennie. A kozmológiai állandó ezért valóban lehet kvantumtérel-méleti eredet¶. A konstans értékét azonban még a renormált kvantumtérelméletben sem sikerült mindezideigkiszámítani. Ebben áll a kozmológiai állandó problémája.A 25. fejezet energia-impulzus tenzoraival való összevetés alapján megállapíthatjuk, hogy a w�gij alakpozitív �-nál pozitív energias¶r¶séget és negatív nyomást jelent. Megjegyezzük még, hogy a �� tömegs¶r¶ség,69A (42.1) alapján ehhez 1=p� � =H � 103 Mp tartozik.70Ezt nevezik a �nomhangolás problémájának, amelyet a standard modellben megoldatlannak tekintenek. Egyebek között enneka hiányosságnak a megoldására dolgozták ki az in�á iós modellt, amely nagyon ki koordinátaid®knél lép a standard modell helyébe.

43 A FRIDMAN-UNIVERZUM 105amely folytonosan tölti ki a teret a Naprendszerben, a bolygók mozgására is hatással van. Azonban a kozmoló-giai meg�gyelések által megkövetelt értéke olyan ki si, hogy ez a hatás elhanyagolható (ld. a 26. fejezetet).A (42.11) megoldást ugyanígy lehet diszkutálni tetsz®leges m � 0 és � mellett. A megoldás jellegét aP (y) = 0 egyenlet pozitív gyökei határozzák meg. A gyökök számától és jellegét®l (egyszeres vagy többszörösgyök) függ®en nagyon különböz® a(t) görbéket kapunk. Az általános analízist azonban mell®zzük. Történetijelent®sége miatt azonban egy esetet még megvizsgálunk: Az r = � = 0-hoz tartozó Fridman-univerzumot.43. A Fridman-univerzumHa r mellett még � is nulla, akkor = m (42:1)= �0=�kr, ahol�kr = 3H28�G (43.1)a kritikus tömegs¶r¶ség. A (42.5) szerint az Univerzum 3D gömb, ha > 1 (�0 > �kr), 3D pszeudogömb, ham < 1 (�0 < �kr) és 3D eukidészi tér, ha m = 1 (�0 = �kr).A (42.11) megoldás most x = Z dyy2qmy + 1�m : (43.2)Amikor 0 < m < 1, akkor a gyök alatti kifejezés a pozitív valós y-tengelyen végig pozitív, és így az el®z®fejezethez hasonlóan a megoldás olyan, hogy y(x) monoton sökken®, a(t) pedig monoton növekv®. y �!1-nélmost is x � 1=y3=2 és ezért t �! 0-nál a(t) � t2=3. y �! 0-nál azonban mostx �! 1q1�m Z �y dyy2 + Z 1� dyyqmy + 1�m = 1q1�m �1y +A� ;ezért Ht �! 1q1�m � aa0 + 1� ;tehát t �!1-nél az a(t) függény aszimptótája egy pozitív iránytangens¶ egyenes.Ha m > 1, akkor a pozitív y1 = m � 1m (42:6)= 2mH2a20 > 0 (43.3)-nál P (y) elt¶nik: qP (y) =qm �qy � y1. A (43.2) nevez®jében ez integrálható szingularitás. Mivel azonbany < y1-nél P (y) < 0, ezért a (43.2)-beli integrálást az y > y1 tartományra kell korlátozni:x = 8>>>>>><>>>>>>: 1qm Z 1y dyy2py � y1 if 0 � x � xmxm + 1qm Z yy1 dyy2py � y1 if xm � x � 2xm; (43.4)amelyben xm = 1qm Z 1y1 dyy2py � y1 = 1y3=21 qm Z 11 duu2pu� 1 = �4y3=21 qm : (43.5)Ezt a megoldást a 18. ábrán rajzoltuk fel.

44 A HORIZONT-PROBLÉMA 106

(a) (b)

a(t)

am

tT

y(x)

xxm

y1

2xm0 018.ábraItt T = 2xm=H , am = a0=y1. A (43.3) és a (43.5) alapján ebb®l következik, hogy T = �am2 . �0 > �kresetben tehát az Univerzum története Nagy Robbanással kezd®dik és véges id® után Nagy Összeroppanássalér véget.Mivel T � xm � 1=qm, az összeroppanás annál hamarabb következik be, minél nagyobb a tömegs¶r¶ség(az m): A tömegs¶r¶ség a felületi feszültség szerepét játssza, amely összehúzni igyekszik az Univerzum 3Dgömbjét, de ez a hatás sak � > �kr-nál elég a kezdeti tágulás megfordítására. Az el®z® fejezet utolsó képletepedig azt mutatja, hogy a (pozitív) kozmológiai állandó (az �) szétfeszíteni igyekszik az Univerzumot71 . AzEinstein-univerzumban (41. fejezet) a két hatás éppen kompenzálja egymást.Végül �0 = �kr-nál m = 1, ezért x = Z 1y dyy5=2 = 32y3=2 ;vagyis a(t) = a0�2Ht3 �2=3 :Az Univerzum ekkor folyamatosan lassulva tágul.Mint látjuk, a Fridman-modellben szoros összefüggés van a tér geometriája és az Univerzum terminálisviselkedése között: 8><>:3D gömb (k = 1) Nagy Összeroppanás3D pszeudogömb (k = �1) Folyamatos tágulás: a(t) �! t3D euklidészi tér (k = 0) Folyamatos tágulás: a(t) �! t2=3:Amikor � (és/vagy r) is különbözik zérustól, ez a szoros kap solat megsz¶nik, pl. gömbi (k = +1) geo-metriájú univerzum sem végz®dik minden esetben Nagy Összeroppanással. A Nagy Robbanás sem kötelez®kezdet: Ha � > 1 és m nem túl nagy, akkor mind t �! +1, mind t �! �1 irányban az Univerzumfolyamatosan tágul, és közben a(t) minimumon halad keresztül.Spe iális m, � kombiná iónál az is el®fordulhat, hogy a limt!�1 a(t) határesetek valamelyikében a(t) �!a1 > 0, vagyis a megoldás a megfelel® irányban aszimptotikusan az Einstein-univerzumhoz tart.44. A horizont-problémaA kozmológiai háttérsugárzásról a 42. fejezetben már volt szó. Most a háttérsugárzással összefügg® u.n.horizont-problémát ismertetjük.71A T�00 = �� 2 komponens ugyanúgy pozitív szám, mint a galaxisok tömegével kap solatos � 2 tömegs¶r¶ség, amely a tágulásellen dolgozik. Lényeges különbség azonban, hogy �� nem arányos 1=a3-nal és a T��� térszer¶ komponensek nem nullák, hanemnegatív mennyiségek. Ezek az eltérések magyarázzák, hogy a 00 komponens hasonlósága ellenére a T�ij � vagyis a � � nem sökkenteni, hanem növelni igyekszik a geometriai tér a(t) skálafaktorát.

44 A HORIZONT-PROBLÉMA 107A �; t koordinátarendszerben fogunk dolgozni72, amelyben a galaxisok világvonalai a standard modellbena t-tengellyel párhuzamos egyenesek. A � = konstans világvonalat G�-vel jelöljük. A "mi" Galaxisunk (areferen ia galaxis) a � = 0-hoz tartozó G0.A �; t térkép (19. ábra) nagyon kényelmes, de � mint a térképek általában, � torzít. A galaxisok, amelyekgeodetikusai a térképen az egymással párhuzamos � = konstans egyenesek, a t koordinátaid® növekedésévelvalójában távolodnak egymástól. A helyzet hasonló a Föld térképeihez hengeres projek ióban, amelyeken ahosszúsági körök párhuzamosak egymással.J =

j

konstans

= konstans

cr

c0

c

Gc0

Gcr

G0

t0

t

tr

0

F

19.ábraMelyek azok az események, amelyeket a mai állapotban ("most", t0-ban) elvben meg�gyelhetünk? Ezeka � = 0, t = t0-hoz tartozó múltbeli fénykúp pontjai, vagyis azok a "fényl® események", amelyeknek a fényet = t0-ban ér el hozzánk, a G0 világvonalra. Szigorúan véve t0 nem egy matematikai értelemben vett pillanat,hanem egy sz¶k id®intervallum, amely azonban a kozmológiai id®skálán akkor is egy pillanatnak tekinthet®, hasok millió földi évre terjed ki. Ezért a továbbiakban a t0-t valóban egyetlen pillanatnak fogjuk tekinteni.A szóban forgó múltbeli fénykúp egy 3D hiperfelület, amelyet a t0 pillanatban a � = 0 koordinátájú pontbaminden irányból érkez® fénysugarak, mint "alkotók", rajzolnak ki. Ezeken a fénysugarakon # = konstans és' = konstans, a t és a � közötti összefüggés pedig a fényszer¶ségds2 = 2dt2 � a2(t)d�2 = 0feltétele alapján �(t) = Z t0t dt0a(t0) (0 � t � t0): (44.1)A Fridman-egyenlet Nagy Robbanással induló megoldásai (r 6= 0-nál is) olyanok, hogy legalábbis a táguláskezdeti szakaszában a(t) = A � t� (0 < � < 1): (44.2)A tárgyalás egyszer¶sítése érdekében feltesszük, hogy ez a függvényalak még a mai állapotban is érvényes. Az"alkotó-fénysugarak" egyenlete ekkor a következ®:�(t) = (1� �) �A �t1��0 � t1��� : (44.3)Ezek a fényszer¶ geodetikusok a Nagy Robbanás pillanatában (t = 0-ban) a�(0) = (1� �) �At1��0 � �0 (44.4)koordinátájú pontból indulnak el, és mialatt elérnek "hozzánk" (a � = 0 pontba), sak azokat a G� világvo-nalakat metszik, amelyeken 0 < � < �0. Ennek következtében a � > �0 koordinátájú G� világvonalakról a t0id®pontig nem juthat el hozzánk semmiféle informá ió.72A � jelölés használata nem jelenti azt, hogy zárt univerzumra korlátozódunk: A � helyett használhatnánk ��-t vagy r-t is.Akármelyik geometriáról legyen is szó, sak a tágulási szakasszal foglalkozunk.

44 A HORIZONT-PROBLÉMA 108A világvonalaknak ezt a két tartományát a G�0 világvonal választja el egymástól. Ez a G0 világvonal t0pillanatához tartozó része ske-horizont (ld. a 19. ábrát, amelyen F a G0 világvonal t0 pontjához tartozómúltbeli fénykúp alkotója). Pontosabban, ez a vonal a része ske-horizontnak a kiválasztott #; ' irányba es®alkotója. A teljes része ske-horizont ugyanis egy 3D henger a G0 mint tengely körül, amelynek t = konstansmetszetei gömbök. Ezeknek a gömböknek az R(t) sugara a része ske-horizont sugara a t pillanatban.A (44.2) és a (44.4) alapján R(t0) = a(t0) � �0 = 1� �t0:Mint várható, t0 növekedésével ez a távolság n®. Azok az események, amelyek ezen az R(t0) sugarú gömbönkívül történtek, nem befolyásolhatták a G0-n (a "mi" Galaxisunkon) addig végbement eseményeket.Foglalkozzunk most már a háttérsugárzással, amelyr®l úgy tudjuk, hogy a tr � 300 000 év "koordinátaid®pillanatban" satolódott le az anyagról és azóta háborítatlanul terjed. Nézzünk abba a #; ' irányba amelyre a19. ábra vonatkozik. A háttérsugárzás, amely ebb®l az irányból érkezik hozzánk, azt a képet közvetíti, amelya G�r világvonalon volt érvényes a tr koordinátaid® pillanatban.Helyezzük át most magunkat gondolatban erre a G�r világvonalra, és tekintsük ezt referen ia-geodetikusnak.A 19. ábráról leolvasható, hogy az adott #, '-nél a G�r geodetikus tr pillanatához tartozó része skehorizontugyan sak a G�0 világvonal, ezért a G�r geodetikus tr pillanatához tartozó része ske-horizont sugara a (44.3),(44.4) alapján R0(tr) = a(tr) � (�0 � �r) = 1� �tr: (44.5)Másrészt, a sugárzás le satolódásának a pillanatában a G�r a G0-tólL(tr) = a(tr) � �r � a(tr) � �(tr) = At�r � (1� �)A �t1��0 � t1��r � = 1� � �t0� trt0�� � tr� (44.6)távolságra volt.Milyen �� szög alatt látjuk "mi" az ehhez a ponthoz tartozó R0(tr) sugarú része ske-horizontot? A ��nagyságrendileg azzal a legnagyobb szöggel egyenl®, amely alatt az L(tr) (nagy) távolságból egy (kis) R(tr)szakaszt látunk: �� � R(tr)L(tr) = trt0(tr=t0)� � tr = 1(t0=tr)1�� � 1 :Ha t0 � 13; 7 � 109 év, tr � 3 � 105 év, akkor t0=tr � 4 � 104. Ha a 42. fejezet alapján elfogadjuk, hogy � = 2=3,akkor �� � 2; 88 � 10�2 rad = 1; 65Æ:A �� nyílásszög¶ térszög nagysága 2� � �� szteradián, ezért az éggömbön 4�=2��� � 70 olyan különböz®irány található, amelyek fénykúpjai a sugárzás le satolódása idején nem fedték át egymást.Általában úgy tekintik, hogy a standard modell következményeként a különböz® tartományokból különböz®tulajdonságú háttérsugárzásnak kellene érkeznie. Mivel azonban ilyet nem tapasztalunk, ezt a standard- modellhibájának tekintik. Ez a horizont-probléma. A �nomhangolási problémával kap solatban már említett in�á iósmodell feltehet®en ezt a problémát is megoldja. Eszerint a modell szerint a sugárzás paraméterei mindenirányban azonosak, de az egy-két foknál �nomabb skálán a paraméterek �uktuálnak. A meg�gyelések eztigazolják is.De vajon a része skehorizontok léte a standard modellben biztosan azt jelenti-e, hogy az Univerzumot kitölt®anyag bármely adott koordinátaid® pillanatban felbomlik olyan tartományokra, amelyek korábban sohasemhatottak egymásra? A 19. ábra �; t térképén a része skehorizontok tényleg elkülönítik a galaxisokat egymástól,de mint tudjuk, ez a térkép torzít: A galaxisok térbeli távolsága a t sökkenésével sökken, és t = 0-ban, a NagyRobbanás pillanatában, nullával egyenl®. Ezért talán nem zárható ki, hogy a Nagy Robbanás maga hozza létreazt a korrelá iót, ami a háttérsugárzás egynem¶ségét biztosítja minden irányban.