segunda-feiraUma Breve Histria da Hiptese de Riemann Em agosto de , o grande matemtico David Hilbert inaugurou o Congresso Internacional de Matemtica realizado em Paris, apresentando uma lista de problemas que, segundo ele, ditariam o rumo dos exploradores matemticos do sculo . De todos os desafios lanados por Hilbert, o oitavo tinha algo de especial.

H um mito alemo sobre Frederico Barba-Ruiva, um imperador muito querido que morreu durante a Terceira Cruzada. Segundo a lenda, Barba-Ruiva ainda estaria vivo, adormecido em uma caverna nas montanhas Kyffhauser, e s despertaria quando a Alemanha precisasse dele. Conta-se que algum perguntou a Hilbert:

E se, como Barba-Ruiva, voc pudesse acordar anos, o que faria? Hilbert respondeu: Eu lhe perguntaria: Algum conseguiu provar a hiptese de Riemann?

Hilbert respondeu: Eu lhe perguntaria: "Algum conseguiu provar a hiptese de Riemann?"

Os matemticos sabem que a prova da hiptese de Riemann ter um significado muito maior para o futuro da matemtica do que saber se a equao de Fermat tem ou no tem solues. Este problema matemtico, procura compreender os objetos mais fundamentais da matemtica - os nmeros primos.

Esse nmeros so os tomos da aritmtica. So os nmeros indivisveis que no podem ser representados pela multiplicao de dois nmeros menores e a importncia destes nmeros, se deve a sua capacidade de gerar todos os demais nmeros. Observamos que cada uma das molculas do mundo fsico pode ser composta por tomos da tabela peridica e de forma anloga, uma lista de primos a tabela peridica do matemtico.

A busca pela origem secreta dos primos j dura mais de dois mil anos. Atualmente, oferecida uma recompensa de um milho de dlares para a soluo da hiptese de Riemann. Em , Andrew Wiles recebeu mil marcos por sua prova do ltimo teorema de Fermat, graas a um prmio oferecido por Paul Wolfskehl em .

Durante geraes, os matemticos estiveram obcecados pela tentativa de prever a localizao precisa do prximo nmero primo, produzindo frmulas que gerassem esses nmeros. Por exemplo, em , Euler observou que a expresso , produz nmeros primos para . Carl F. Gauss, teve uma ideia inovadora e deparou com uma espcie de padro ao fazer uma pergunta mais ampla buscando descobrir a quantidade de primos entre um e um milho em vez de localizar os primos com preciso. Apesar da importncia dessa descoberta, Gauss no a revelou a ningum, mas um de seus alunos, Riemann, foi quem realmente desatou toda a fora das harmonias ocultas por trs da cacofonia desses nmeros.

O pai de Riemann, que era o pastor de Quickoborn, tinha muitas expectativas em relao ao filho. Embora Bernhard Riemann fosse infeliz na escola, trabalhava firme e era muito dedicado a no decepcionar seu pai. Porm, tinha de lutar contra um perfeccionismo quase incapacitante. Schumalfuss foi quem encontrou uma maneira de animar o jovem a explorar sua obsesso pela perfeio, oferecendo a Riemann sua biblioteca, com uma tima coleo de livros de matemtica, onde o rapaz poderia escapar das presses sociais dos colegas. A famlia de Riemann era pobre, e o pai de Bernhard esperava que o filho tambm entrasse na vida clerical, o que lhe faria uma fonte de renda regular com a qual poderia sustentar suas irms. A nica universidade do Reino de Hanover que oferece a ctedra de teologia - a Universidade de Gttingen - no era um desses novos estabelecimentos, havendo sido fundada mais de um sculo antes, em . Assim, atendendo aos desejos de seu pai, Riemann rumou, em , para a mida Gttingen.

Em , George F. B. Riemann, com anos, foi eleito para a Academia de Cincias de Berlim. Como regra desta instituio, os novos membros deviam fazer um relatrio sobre o assunto que estava pesquisando. O seu relatrio era curto (foi publicado com pginas) e tinha por ttulo Sobre o quantidade de nmero primos que no excedem uma grandeza dada. Essas oito pginas de densa matemtica foram as nicas que Riemann publicou, em toda sua vida, sobre os nmeros primos, mas o artigo teria um efeito fundamental sobre a maneira como eram percebidos. Escondido neste documento de oito pginas, estava declarado o problema cuja soluo possui hoje uma etiqueta com o valor de um milho de dlares: a hiptese de Riemann.

Apesar de sua relevncia, temos uma escassa literatura em lngua portuguesa sobre o assunto. O presente trabalho uma pequena contribuio para aqueles que tenham interesse, ou mesmo curiosidade a respeito da funo zeta de Riemann, e no tenham acesso literatura estrangeira.

A Funo Zeta de RiemannRiemann estendeu a definio da funo Zeta de Euler para os nmeros complexos. Escrevendo , temos que:

Usando este resultado, juntamente com o teste de Weierstrass, segue-se que a funo zeta de Riemann dada por

analtica para . Podemos estender a analiticidade de , para e tambm para todo o plano complexo, exceto no ponto , onde ocorre o nico plo da funo , como ilustrado na figura abaixo:

A representao integral da funo zeta de Riemann dada pela proposio abaixo.

Proposio 1: Seja . Se , ento

onde a funo gama de Euler, definida por

Tambm possvel estender a funo zeta de Riemann para , obtendo a expresso

Notamos um aparente problema no ponto o qual pode ser resolvido da seguinte forma: Sendo , ento:

obtendo no ponto . Portanto, a funo est definida e analtica na faixa , com um plo simples em .

A relao funcional

vlida para o de fundamental importncia na teoria da funo zeta de Riemann cuja prova pode ser encontrada em .

A Conjectura ou Hiptese de Riemann

A famosa conjectura ou hipotese de Riemann est relacionada com os zeros da funo . Os zeros da funo zeta localizados em so chamados zeros triviais. Aquele grande matematico afirmou que a funo tem infinitos zeros na faixa , conhecida por faixa critica. J. Hadamard foi o primeiro a provar esta afirmao, em .

Uma das mais famosas questes em aberto da Matemtica a hiptese de Riemann sobre os zeros no triviais da funo zeta. A hiptese de Riemann estabelece que todos os infinitos zeros da funo , pertencentes a faixa critica , esto sobre a reta , que chamada de reta crtica.

Desta forma, os zeros no triviais da funo , de acordo com a conjectura de Riemann, so infinitos e da forma , com real. At o momento, nenhuma prova foi apresentada para esta conjectura. Este problema no um tipo de problema que pode ser abordado por mtodos elementares. J deu origem a uma extensa e complicada bibliografia.Riemann enunciou, tambm sem provar, a seguinte frmula assinttica para o nmero de zeros da faixa crtica, , ,

Uma prova rigorosa desta frmula foi dada, pela primeira vez, por H. V. Mangoldt em e pode ser vista em . Nove anos mais tarde, G. H. Hardy provou que existe uma infinidade de zeros sobre a reta . Mas, uma infinidade no significa que so todos. interessante notar que se a parte real de igual a , ento a funo de Riemann no admite nenhum zero sobre esta linha. Para ver uma prova deste fato, veja .

para

E. C. Titchmarsh mostrou em , que h zeros na regio e . Todos estes zeros esto sobre a reta crtica . Com o auxlio de supercomputadores, verificou que os primeiros trilhes de zeros esto sobre a linha crtica, sugerindo portanto, que a hiptese deve ser realmente verdadeira.

Os matemticos se referem ao problema de Riemann como uma hiptese, e no como uma conjectura, pela existncia de muitos resultados que dependem de sua soluo. A palavra "hiptese" tem uma conotao muito mais forte, pois representa uma premissa necessria que o matemtico aceita para poder construir uma teoria. Uma "conjectura", por outro lado, representa apenas uma previso do matemtico sobre o modo como o mundo se comporta. Muitas pessoas tiveram de assumir sua incapacidade de resolver o enigma de Riemann e decidiram adotar sua previso como uma hiptese de trabalho. Se algum conseguir transformar a hiptese em teorema, todos esses resultados pendentes sero validados. (A Msica dos Nmeros Primos, pp 19).

As estatsticas dos zeros da funo zeta de Riemann um assunto interessante devido a sua ligao com a hiptese de Riemann e com a distribuo dos nmeros primos. Os pesquisadores descobriram tambm que esta hiptese tambm est relacionada com a teoria de matrizes aleatrias e o caos quntico. Por exemplo, M. Berry apontou que as correlaes entre os zeros de so como as correlaes entre os nveis de energia de um sistema quntico catico. Alm disso, a regularizao da funo zeta de Riemann usada para regularizar sries divergentes que surgem na Teoria Quntica de Campos. Num exemplo notvel, a funo zeta de Riemann surge explicitamente no clculo do efeito Casimir (Atrao entre duas pequenas placas metlicas que esto muito prximas entre si, da ordem de vrios dimetros atmicos).

Outra questo envolvendo a hiptese de Riemann referente aos nmeros primos consecutivos. Se denota o simo nmero primo (de modo que e assim por diante), um resultado provado por Cramer em estabelece que a diferena entre dois nmeros primos consecutivos, , cresce "na mesma velocidade" que . Mais especificamente, existe uma constante real positiva de modo que vale a desigualdade

para todo suficientemente grande. Para provar este resultado, Cramer utilizou crucialmente a Hiptese de Riemann, de maneira que este resultado pode em princpio ser falso, caso a Hiptese tambm seja.

Em maio de 2000, o Clay Mathematics Institute (CMI) - ONG norte-americana que desenvolve e dissemina conhecimentos matemticos - ofereceu sete prmios no valor de um milho de dlares cada. Para receber a bolada, basta solucionar um dos problemas de matemtica propostos. Mas a riqueza no vem fcil; os problemas so considerados por um comit de matemticos como os mais complicados e mais importantes desta rea em nossos dias. Esta lista com problemas extremamentes difceis, contma hiptese de Riemann e conjectura de Poincar que foi resolvida pelo matemtico russo Grigory Perelmann, o qual recusou o prmio de milho de dlares.

A comunidade matemtica est esperando surgir outro Grigori Perelmann para solucionar o enigma de Hiptese de Riemann.

Referncias Bibliogrficas:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Hipotese-de-RiemannSantos, Jos Carlos. A Hiptese de Riemann - anos.Aguilera-Navarro, Maria Ceclia K. et. al. A Funo Zeta de Riemann.Du Sautoy, Marcus. A Msica dos Nmeros Primos: A histria de um problema no resolvido na matemtica. Trad. Diego Alfaro, Jorge Zahar Ed. Rio de Janeiro, .Borwein, P. et. ali. The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike. Springer, .Gostar de ler tambm:- George F. B. Riemann;- Uma Breve Histria do Clculo Fracionrio;- Uma Breve Histria das Matrizes e Determinantes;- A Funo Zeta de Euler;Postado por Prof. Paulo Srgio s 20:43 Enviar por e-mailBlogThis!Compartilhar no TwitterCompartilhar no FacebookCompartilhar com o PinterestHIPTESE DE RIEMANN

A inveno do Clculo Diferencial e Integral provocou um dos maiores avanos no pensamento ocidental. O trabalho monumental realizado por Newton e Leibniz propiciou o avano da cincia em todas as suas reas. O matemtico suo Leonhard Euler (1707-1783) foi um dos pioneiros em aplicar os mtodos do Clculo a problemas de Teoria dos Nmeros dando origem Teoria Analtica dos Nmeros. Entretanto, o matemtico alemo G. F. B. Riemann (1826-1866) reconhecido como o verdadeiro fundador da Teoria Analtica dos Nmeros e como possuidor de uma das mentes brilhantes mais originais e profundas do sculo XIX. Riemann revolucionou a Anlise Matemtica, a Geometria e a Fsica Matemtica. Em Teoria Analtica dos Nmeros, bem como em outras reas da Matemtica, suas idias fundamentais ainda exercem uma profunda influncia. Variedades Riemannianas, Superfcies de Riemann, Equaes de Cauchy Riemann, Hiptese de Riemann, e muitos outros assuntos encontram-se entre seus trabalhos. Riemann possua uma intuio poderosa e precisa, mas apesar de sua genialidade e criatividade, sua vida foi extremamente modesta. Riemann morreu prematuramente de tuberculose. A sua timidez, a sua falta de habilidade como orador, e seu talento nato para a Matemtica, fizeram com que ele no seguisse a carreira de telogo, contrariando a vontade paterna. O matemtico alemo Lejeune Dirichlet (1805-1859) foi seu professor e exerceu grande influncia em seu trabalho. Em 1851, Riemann completou o doutorado sob orientao do grande matemtico alemo K. F. Gauss (1777-1855) que afirmou: Riemann possuidor de uma originalidade gloriosamente frtil. Um fato peculiar que a chave para alguns dos problemas contemporneos mais essenciais reside em uma conjectura feita por Riemann.Denominada de Hiptese de Riemann, essa conjectura representa um dos problemas mais importantes da Matemtica. Tudo comeou quando Euler definiu em 1740 uma funo denotada pela letra grega ( l-se zeta). A funo zeta de Euler associa a todo nmero real maior que 1 um novo nmero real . interessante notar que, substituindo s pelo nmero 2, Euler descobriu que (2) = 2/6. Ele observou que essa funo daria informaes sobre o padro dos nmeros primos e, assim, nascia a Teoria Analtica dos Nmeros, ou seja, o estudo dos nmeros primos por meio do Clculo aplicado investigao de propriedades de algumas funes complexas. Funes complexas so funes definidas no conjunto dos nmeros complexos que assumem valores complexos. No d para enxergar um grfico de uma funo dessas porque ele tem dimenso quatro. Porm, possvel com a ajuda de um bom software obter os grficos das partes real e imaginria de uma tal funo.Convm observar que existem inmeras funes zeta e alguns matemticos costumam dizer que Teoria dos Nmeros o estudo de funes zeta. Entretanto, qual a relao entre os nmeros primos e a funo zeta de Euler? Euler demonstrou o impressionante teorema que afirma que para qualquer nmero real s maior que 1, a funo zeta se expressa como um produto infinito de fatores da forma qualquer que seja o nmero primo p, ou seja,. Essa funo foi investigada por Riemann, detalhadamente, quando ele substituiu o nmero real s por um nmero complexo, o que tornou a funo zeta uma funo complexa. Ou seja , (s) o nmero complexo:, para Re(s) > 1.[Re(s) significa a parte real do nmero complexo.] A funo zeta no est definida para todos os nmeros complexos. Entretanto, Riemann percebeu, utilizando uma tcnica da Teoria das Funes Complexas, que era possvel estender a funo zeta para todos os nmeros complexos, exceto para o nmero z = 1. Assim, a funo zeta passou a ser chamada de funo zeta de Riemann. Em 1859, Riemann publicou um artigo brilhante de oito pginas, seu nico artigo em Teoria dos Nmeros, onde usava a funo zeta para investigar o padro dos primos. Seu objetivo era demonstrar a Conjectura de Gauss, hoje conhecida como Teorema do Nmero Primo, que afirmava que a quantidade de nmeros de primos entre 1 e x, quando x muito grande, aproximadamente x dividido pelo logaritmo natural de x, isto ,x / ln x. Embora Riemann no tenha obtido sucesso, o seu trabalho foi importantssimo para o desenvolvimento da Teoria Analtica dos Nmeros. Vrios resultados foram obtidos por ele quando da investigao das propriedades dessa funo. Riemann mostrou que propriedades dessa funo esto intimamente ligadas distribuio dos nmeros primos, ou seja, seqncia natural dos nmeros primos no conjunto dos nmeros inteiros positivos.Riemann esquematizou o caminho de futuros progressos dessa investigao em uma srie de conjecturas bem fundamentadas dentre as quais a famosa Hiptese de Riemann. Em 1896, o matemtico francs J. Hadamard e o matemtico belga C. J. de la Valle Poussin demonstraram, independentemente, o Teorema do Nmero Primo utilizando as idias desenvolvidas por Riemann. Consideremos a equao (s) = 0. Ento, qualquer nmero complexo s que resolva essa equao denominado um zero da equao. Riemann observou, primeiramente, que os inteiros negativos pares 2, -4 6, ... so zeros da funo. Depois observou que deveriam existir infinitos zeros complexos e, ento, estabeleceu de forma audaciosa a conjectura de que qualquer outro zero complexo da funo zeta possui parte real igual a , ou seja, tm a forma s = + b i. Portanto, todos os zeros da funo zeta que no so nmeros reais estaro na reta vertical x = . Essa reta geralmente chamada de reta crtica. A primeira coisa a observar que os zeros da reta crtica no so reais, colocam-se simetricamente em relao ao eixo real e tambm em relao prpria reta crtica. Essa a clebre hiptese de Riemann. sem dvida, um problema muito importante, pois o conhecimento dos zeros da funo zeta se traduz por um conhecimento mais profundo da distribuio dos nmeros primos. No primeiro semestre de 2004 a demonstrao dessa conjectura foi anunciada pelo matemtico francs Louis de Branges de Bourcia e se encontra sob exame por especialistas. Esse matemtico j anunciara outras vezes ter demonstrado essa famosa conjectura, mas erros foram encontrados em suas demonstraes. A Matemtica exerce grande fascnio nos homens e alguns milionrios, apesar de no serem matemticos, estimulam a pesquisa matemtica. Esse o caso do norte-americano, magnata de fundos de investimentos e amante da matemtica, Landon Clay, que criou em Cambridge, Massachussets, uma organizao sem fins lucrativos destinada a promover e financiar a pesquisa em Matemtica: o Clay Mathematics Institute (CMI).Em um encontro realizado no Collge de France em Paris, em maio de 2000, o CMI anunciou uma oferta de sete prmios, cada um no valor de um milho de dlares, pela descoberta de solues para cada um dos sete problemas considerados os mais importantes, mais difceis e mais desafiadores da Matemtica. Um pequeno comit formado pelos matemticos mais importantes da atualidade escolheu esses problemas que passaram a se chamar os Problemas do Milnio. A Hiptese de Riemann foi considerada um dos problemas do milnio, pois o problema mais importante da Matemtica ainda no resolvido que tem conseqncias em Fsica e profundas repercusses na Teoria da Informao como, por exemplo, na questo da segurana na Internet. Essas conseqncias, que representam um componente essencial da vida atual, sero o tema de nossa prxima coluna.

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