Hiperbola Completo
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7/21/2019 Hiperbola Completo
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La hipérbola
Matemáticas Preuniversitarias
Dra. Lourdes Palacios & M.I.B. Norma Castañeda
7/21/2019 Hiperbola Completo
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La hipérbola na hipérbola es el con!unto de todos los
puntos (x,y) en el plano" tales #ue la di$erencia positiva entre las distancias de (x,y) a un parde puntos $i!os distintos %los $ocos es i'ual auna constante.
(epresentamos a los $ocos como F(c,0) ) F’(-c,0) ) a
la constante como 2a. *i (x,y) representa un punto de
la hipérbola" #ue se muestra a continuaci+n,
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( ) ( ) a yc x yc x ----- ±=++−+−
( ) ( ) a yc x yc x ----- ±++=+−
( ) ---------
..-- a yc xa yccx x yccx x +++±+++=++−
-
--
------
a xccxa yccx x ++=+++
----
-
--
ac y xa
ac−=−
−
/--
-
-
-
=−
−ac
y
a
x
( ) cxa yc xa ...--- +=++
( )a
cxa yc x +=++ --
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0n el trián'ulo PCC1 de la $i'ura anterior
*ea b2=c2-a2
0ntonces
22 CC PC PC +<
22 CC PC PC <−ca -- <
ca <
3-- >− ac
/-
-
-
-
=− b
y
a
x
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0l e!e x #ue contiene dos puntos de la hipérbola sellama e!e transversal4 ele!e y" e!e con!u'ado.
Los puntos ( ± a,0) del e!etransversal son losvértices" ) el punto deintersecci+n de los e!es
(0,0)" se llama centro.
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n punto (x,y) está en la hipérbola con vértices
( ± a,0) ) $ocos ( ± c,0) si ) solo si satis$ace la
ecuaci+n
5 0n la cual b2=c2-a2.
5 Para toda hipérbola e6isten dos l7neas a las #ue lacurva se acerca cada ve8 más en sus e6tremos. 9 estasrectas se les denomina as7ntotas.
5 Debemos decir #ue las parábolas no tienen as7ntotas" por consi'uiente " una hipérbola no es" como podr7asuponerse al ver dia'ramas mal tra8ados" un par de
parábolas.
/-
-
-
-
=−b
y
a
x
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La hipérbola representada por
Multiplicamos el numerador ) el denominador por )obtenemos
:iene as7ntotas representadas por
;amos a suponer #ue
Para valores positivos de x %primer cuadrante. Para
un valor dado de x veamos la di$erencia d " entre las
ordenadas de los puntos de la hipérbola ) la recta.
/-
-
-
-
=−
b
y
a
x -- a xa
b y −±=
xa
b y ±=
-- a xa
b y −= x
a
b y =
( )----
a x xa
ba xa
b xa
bd −−=−−=
( )----
---
a x x
ab
a x x
a x x
a
bd
−+
=
−+
−−=
-- a x x ++
" o"
)
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9hora tenemos una constante en el numerador4 pero"
cuando los valores positivos de x son 'randes" ambostérminos del denominador son 'randes ) positivos.
Mientras ma)or es el valor de x" ma)or es el valordel denominador" ) " por consi'uiente d es menor. *7
d tiende a cero cuando aumenta x" lo cual demuestra#ue la recta es una as7ntota de la hipérbola. 0n elcaso de los otros tres cuadrantes se pueden emplearra8onamientos seme!antes para demostrar #ue sucede
los mismo en ellos.
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na $orma c+moda de tra8ar las as7ntotas es
'ra$icar ( ±
a,0) ) (0,±
b) %aun#ue el se'undo par de puntos no pertenece a la hipérbola ) tra8ar el
rectán'ulo determinado por los puntos. Las
dia'onales de ese rectán'ulo son las as7ntonas.
0n este caso ha) dos lados rectos #ue contienenlos $ocos ) son perpendiculares al e!e transversal.
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Propiedades de la hipérbola.
/. La curva es simétrica a ambos e!es" es decir" la
recta $ocal ) la mediatri8 del se'mento $ocal son
e!es de simetr7a.-. 0l punto de intersecci+n de las dos rectas antes
mencionadas es el centro de simetr7a de la curva"
el cual se conoce como centro de la hipérbola.
<. Intersecci+n con los e!es coordenados.
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Intersecci+n con los e!es coordenados
a Con el e!e x
*ea y=0 entonces x2 /a2=1 ∴ x=± a
9 partir de este resultado seobserva #ue en el e!e $ocal
e6isten dos puntos" V’(-a,0)"V(a,0) #ue se denominanvértices ) e#uidistan unadistancia a del centro.
b Con el e!e y
*ea x=0 entonces –y2 /b2=1" por lo tanto" y=± bi.
La intersecci+n con el e!e y es ima'inaria" por tanto" no ha) intersecci+ncon el e!e real ) la hipérbola no corta su otro e!e de simetr7a4 ) se leconoce como e!e con!u'ado de la hipérbola.
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Interpretaci+n 'eométrica de a" b ) c
Considere la $i'ura #ue se
muestra De la $i'ura se observa #ue
c2=a2+b2
a es la distancia media entre losdos vértices de la hipérbola"
semie!e transverso. se de$ine como e!e
con!u'ado" por tanto b representa la mitad de este e!e.
c se considera como unahipotenusa de un trián'ulocu)os catetos son a ) b" sede$ine como la semidistancia$ocal"
OF
b B B -2 =
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06centricidad de la hipérbola
*e conoce como excentricidad de la
hipérbola a la relaci+n #ue e6iste entre la
distancia $ocal ) la distancia entre losvértices.
a
ce
-
-
= a
ce
=donde e>1
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9s7ntotas de la hipérbola
Para una curva dadae6iste una recta #ue amedida #ue un puntode ella se ale!a delori'en" la distancia deese punto a la rectadecrece" es decir"tiende a cero4 a dicharecta se le denominaasíntota.
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0n la $i'ura se observa #ue las rectas dia'onales del rectán'ulo MN(*tienen por ecuaci+n
Por otro lado" de la ecuaci+n
9l despe!ar y de esta obtenemos
$actori8ando
0n esta =ltima ecuaci+n" el valor de y para valores mu) 'randes de x sereduce a
xa
b y ±=
/-
-
-
-
=−b
y
a
x
−±=
-
-
-/
xa x
ab y
-
-
/ x
a x
a
b y −±=
xa
b y ±=
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Puesto #ue tiende a cero4
de la curva siempre será menor #ue el valor de
sin embar'o el radicando
siempre será menor a uno" por lo tanto también será la ra78 cuadrada. De a#u7 #ue el valor
" #ue corresponde a la recta.
-
-
b
a
−-
-
/ x
a
-
-
/ x
a x
a
b y −±=
xa
b y ±=
De lo anterior se puede concluir #ue las dia'onales ) con ecuaciones " son
las as7ntotas de la curva. MR !
x
a
b y ±=
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Lado recto
La lon'itud de la cuerda #ue pasa por el $oco ) es
perpendicular a la recta $ocal se llama lado recto.
De la $i'ura observamos #ue
para obtener la mitad del lado
recto
9l sustituir el valor de x por c en la ecuaci+n
despe!ando y
F" y
=
//-
-
-
-
-
-
-
-
=−⇒=−b
y
a
c
b
y
a
x
−= /-
-
--
a
cb y
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sustitu)endo
*i ahora sustituimos el valor de y en la e6presi+n" tenemos " pero el lado recto es el
se'mento ) además por tanto" por lo cual concluimos #ue el valor
del lado recto está dado por
obteniendo
pero
-- aca
b y −=
--- bac +=
a
b yaab
a
b y
-
--- =⇒−+=
F" y =
F"
a
b=
-
FR F" "R +=
FR F" = F" "R -=
a
b "R
-
-=
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(ecta directri8 de la hipérbola
9nálo'amente a la elipse las correspondientes
rectas directrices están dadas por
" o bien"
es decir son simétricasca x
-
±=ca y
-
±=
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0cuaci+n ordinaria de la hipérbola con centro en
el ori'en ) e!e $ocal paralelo al e!e )
>ocos en el e!e y e#uidistantes al ori'en
0cuaci+n de la hipérbola
0cuaciones de las as7ntotas
xb
a y ±=
/-
-
-
-
=−b
x
a
y
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0cuaci+n ordinaria de la hipérbola con centro
$uera del ori'en ) e!e $ocal paralelo al e!e x
?ipérbola con centro $uera delori'en ) e!e $ocal paralelo ale!e x.
0cuaci+n de la hipérbola
0cuaciones de las as7ntotas
2 FF
( ) ( )/
-
-
-
-
=−
−−
b
# y
a
$ x
( )$ xb
a# y −±=−
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Coordenadas de los elementos #ue la constru)en
( )# a$V "2 −
( )# c$ F "
+
( )# c$ F "2 −
aVV -2
= b- c FF -2 =
a
b "R
-
-=
a
ce =
;értices >ocos 0!e trans
verso
0!e con !u'ado
Distancia$ocal
Ladorecto
06centricidad
( )# a$V "
+
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0cuaci+n ordinaria de la hipérbola con centro
$uera del ori'en ) e!e $ocal paralelo al e!e y
?ipérbola con centro $uera delori'en ) e!e $ocal paralelo ale!e y.
0cuaci+n de la hipérbola
0cuaciones de las as7ntotas
2 FF
( ) ( )/
-
-
-
-
=−
−−
b
$ x
a
# y
( )$ xb
a# y −±=−
7/21/2019 Hiperbola Completo
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Coordenadas de los elementos #ue la constru)en
( )a# $V −"2
( )c# $ F +"
( )c# $ F −"2
aVV -2 = b- c FF -2 =a
b "R
-
-=
a
ce =
;értices >ocos 0!e trans
verso
0!e con !u'ado
Distancia$ocal
Ladorecto
06centricidad
( )a# $V +"
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0cuaci+n 'eneral de la hipérbola
La ecuaci+n 'eneral de la hipérbola cu)os e!es de simetr7a son paralelos a los e!es
coordenados está dada por
en ella es condici+n necesaria #ue el producto xy=0" ) #ue los coe$icientes % ) C de las
variables x ) y sean de si'nos contrarios ) di$erentes de cero.
9 partir de su ecuaci+n 'eneral" si se completan cuadrados tenemos lo si'uiente.
o bien"
3-- =+++− F &y 'xCy %x 3
-- =+++− F &y 'x %xCy" o bien"
F C
& % '
C & yC
% ' x % −−= −− + ..--
----
F %
'
C
&
%
' x %
C
& yC −−=
−−
+
..--
----
7/21/2019 Hiperbola Completo
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0n cual#uiera de las dos ecuaciones" el valor del se'undo miembrodetermina el lu'ar 'eométrico #ue representa.
C9*@ /
C9*@ -
C9*@ <
>0" o bien" >0" el lu'ar 'eométrico
#ue representa es la hipérbola.
" o bien" "se tendrá un punto
en el plano.
F C
&
%
'−−
--
F %
'
C
& −−
..
--
3..
--
=−− F C
&
%
'3
..
--
=−− F %
'
C
&
0" o bien" 0" no representa el lu'ar
'eométrico llamado hipérbola.
F C
&
%
'−−
--
F %
'
C
& −−
--
7/21/2019 Hiperbola Completo
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0!emplo
De la ecuaci+n 'eneral x2-*y2+0x+1=0. Determina la posici+n
de su e!e transversal ) las coordenadas del centro.
*oluci+n
>actori8amos términos comunes (x2+10x) -*y2=-1
Completamos cuadrados
>actori8amos ) simpli$icamos
Multiplicamos por /A<
Concluimos #ue su e!e transversal es paralelo al e!e y. Las coordenadas del centro C(-
,0) por tanto" se encuentra $uera del ori'en.
(x+) 2 -*y2=
-
-
-
-
-/3/
-/3/3
+−=−
++ y x x
( )/
C.
E--
=−+ y x