Hidro informe

INFORME N° 02 “TRATAMIENTO DE DATOS”

UNASAM/FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Página 1

I. MARCO TEORICO

1.1. DATOS GENERALES

En el campo de la investigación científica es común la inquietud por

intentar expresar la evolución de un determinado fenómeno mediante una

serie de medidas, que la introduzcan al lenguaje de los números.

Al transcurrir el tiempo, el investigador tropieza con la dificultad de

encontrase en posesión de una gran cantidad de datos que, perdida su

actualidad, serán de muy poco provecho si no son sometidos a un

tratamiento adecuado.

La estadística se constituye entonces en una herramienta indispensable

para efectuar este tratamiento, a fin de obtener la máxima utilidad en las

aplicaciones prácticas a partir de los registros de diverso tipo de que se

dispone (en especial caudales y precipitaciones).

Son numerosas las definiciones de estadística, no correspondiendo aquí

presentar su nómina ni elegir una que resulte idónea. Si en cambio,

conviene distinguir dos ramas que han evolucionado en forma separada:

a. Estadística Descriptiva:

Es la que intenta obtener toda la información posible de los datos

recogidos, mediante su adecuado ordenamiento. Son producto de ella

las clasificaciones de datos en forma de tablas, procesamiento y archivo

programas de computación.

b. Estadística Matemática:

Pretende ir más lejos, basándose en comparaciones del fenómeno con

modelos probabilísticos teóricos, a fin de obtener una información que

no resulta evidente con el simple ordenamiento de los datos. En este

campo se ha desarrollado una teoría matemática, a veces muy

compleja, basada en la teoría de probabilidades, de la que la Estadística

matemática puede considerarse como una aplicación práctica.

Estos dos conceptos son de importante aplicación en el campo de la

hidrología, sobre todo la de superficie, por corresponder a ella los ciclos

más rápidos de circulación del agua.

[Estadística aplicada a la hidrología. Autor: Ing. Carlos D. SEGERER e Ing.

Rubén VILLODAS]



1.2. MEDIDAS DE DISTRIBUCIONES

Para describir ciertas características de un conjunto de datos, se pueden

usar números simples, llamados estadísticos, De ellos se puede obtener un

conocimiento más preciso de los datos, que el que se obtiene a partir de las

tablas y gráficas.

1.2.1. MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL

Se define una medida de tendencia central, como un índice de localización

central empleado en la descripción de las distribuciones de frecuencias.

En términos generales se tiene tres medidas: la µmedia, la mediana, y la

moda.

[Hidrología Estadística. Autor: Máximo, VILLON BEJAR. Pág. 94]

1.2.1.1. LA MEDIA ARITMETICA:

Dada la muestra compuesta de n datos: X1, X2, X3,…Xn; la media se define

como la suma algebraica de ellas, dividida entre el número de datos.

Cuando se calcula la media para una población, esta se denota por µ. Y

cuando se trata de una muestra por x .

n

x

n

xxxx

n

i

i

n

121 ...

Dónde:

x : Media muestral.

Xi: valor i-ésimo de la muestra.

n: número de datos de la muestra o población.


1.2.1.2. LA MEDIANA:

Es un único valor de un conjunto de datos que mide al elemento central de

ellos. Este único elemento de los datos ordenados, es el más cercano a la

mitad, o el más central en el conjunto de números. La mitad de los

elementos quedan por encima de ese punto, y la otra mitad por debajo de

él.

Sean: X1, X2, X3,…Xn datos ordenados por magnitud creciente o

decreciente. La mediana es el dato situado en el centro, es decir:

)2/1( nxMed , para n impar.



2

)12/()2/(

nn xxMed

, para n par.


1.2.1.3. LA MODA:

Es aquel valor que se repite más frecuentemente en un conjunto de datos,

se denota por Mo.


1.2.2. MEDIDAS DE DISPERSION

Las medidas de dispersión o variabilidad permiten observar cómo se

reparten o dispersan los datos a uno y otro lado del centro. Si la dispersión

es poca, indica gran uniformidad de los datos en la distribución. Por el

contrario, gran dispersión indica poca uniformidad.

1.2.2.1. RANGO:

Es una medida de distancia y representa la diferencia entre el mayor y el

menor de los valores observados, es decir:

.min.max xxR

.maxx: Valor máximo de los datos.

.m inx: Valor mínimo de los datos.

El rango o amplitud es una manera conveniente de escribir la dispersión,

sin embargo, no da medida alguna de la dispersión entre los datos con

respecto al valor central


1.2.2.2. VARIANZA:

1.2.2.2.1. VARIANZA POBLACIONAL(σ2):

La varianza poblacional, se define como la suma de cuadrados de las

desviaciones de os datos con respecto a la media, dividida entre el número

total de datos, es decir:

n

xn

i

i

1

2

2


1.2.2.2.2. VARIANZA MUESTRAL (S2):



Se obtiene dividiendo la suma de cuadrados de las observaciones de los

datos con respecto a la media, entre el número total de datos menos uno,

es decir:

11

2

2

n

xx

S

n

i

i


1.2.2.3. DESVIACION ESTANDAR(S):

La desviación estándar, se define como la raíz cuadrada positiva de la

varianza, es decir:

n

xn

i

i

1

2

2

(Desviación estándar Poblacional).

1

1

2

2

n

xx

SS

n

i

i

(Desviación estándar Muestral).

Generalmente en Hidrología se suele trabajar con información muestral

debido a que no se tiene información de toda la población.


1.3. CORRELACIÓN Y REGRESIÓN

1.3.1. CORRELACION (r):

La correlación se define como la asociación entre dos o más variables.

1.3.1.1. COEFICIENTES DE CORRELACIÓN(r):

Es el estadístico que nos permite medir el grado de asociación de dos

variables linealmente asociadas. Para el caso de una muestra está dada por:

yxyx

xy

SnS

yxnxy

SS

Sr

Dónde:

n

xx

S

n

i

i

x

1

2

n

yy

S

n

i

i

y

1

2



n

x

x

n

i

1

n

y

y

n

i

1

Variación de valores de r: -1<r < 1; describen los varios grados de

asociación.

Si x e y son independientes: Sxy= 0, Luego r = 0

1.3.1.2. COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN (r2):

Es la proporción o porcentaje, de la variación total de la variable

dependiente y, que es explicada o depende de la variable independiente x,

por lo cual, es un criterio para explicar la importancia de la variable

independiente dentro del modelo.

Además; 0 <r2< 1; de 0-100%.

1.3.2. REGRESIÓN:

1.3.2.1. REGRESION LINEAL SIMPLE:

En Hidrológica el modelo más simple y común, está basada en la suposición

de que dos variables se relacionan en forma lineal, como por ejemplo:

Caudales y precipitaciones de una misma cuenca

Precipitaciones de una estación, con precipitaciones de otra estación.

Caudal de una estación con caudal de otra estación.

Precipitación con la altitud de una cuenca

Este hecho, permite correlacionar estas variables para completar datos o

extender un registro.

Ecuación de regresión:

La ecuación general de la regresión lineal es: bxay

Dónde:

x = Variable independiente, variable conocida.

y = Variable dependiente, variable que se trata de predecir.

a = Intercepto, punto donde la línea de regresión cruza el eje y, es decir

valor de y cuando x = 0.

b = Pendiente de la línea o coeficiente de regresión, es decir, es la cantidad

de cambio de y asociada a un cambio unitario de x.

Estimación de los parámetros:

Dada la ecuación de regresión lineal bxay ; donde a y b son los

parámetros de la ecuación. El método más utilizado para la estimación de

los parámetros a y b es el de mínimos cuadrados.



Por tanto los parámetros estarán dadas por las formulas:

22

2

ii

iiiii

xxn

xyxxya

y

22

ii

iiii

xxn

yxyxnb

En los cálculos resulta más cómodo calcular b con la ecuación anterior para

b y luego calcula a como sigue:

xbya

1.3.2.2. REGRESION NO LINEAL SIMPLE:

Existen varias relaciones no lineales, que con un artificio adecuado pueden

reducirse a relaciones lineales, dentro de las cuales se pueden mencionar:

1.3.2.3. ANALISIS DE REGRESION:

Relaciones no

lineales

Relaciones

lineales

Donde

bxay

1 bxaw

yw

1

xbay

1 bway

xw

1

xaby xbaw 11 yw ln

baxy bzaw 1 yw ln

xz ln

2bxaxy bxaw

x

yw

Linealizando



Es una técnica determinística, que permite determinar la naturaleza de la

relación funcional entre dos o más variables, permite predecir los valores

de y = f(x) con un cierto grado de aproximación.

COMO REALIZAR EL ANALISIS DE REGRESION:

a) Seleccionar una función de relación correlativa, simple o múltiple, lineal o

no lineal

bxay , bxay

1

, xbay

1

, xaby ,

baxy , 2bxaxy

b) Estimación de los dos parámetros que miden el grado de asociación

correlativa.(r2 , r)

c) Prueba de significación de los parámetros estadísticos que miden la

asociación correlativa, para lo cual se aplica la prueba "t".

Para ello se plantea la siguiente hipótesis:

H0: r = 0

Ha: r ≠ 0

( r es el coeficiente de correlación poblacional y su valor varía entre -1 y 1)

Calculo de t calculado (tc):

Se utiliza la ecuación:

21

2

r

nrtc

Dónde:

r = Coeficiente de correlación.

n = Número de pares de valores.

Calculo de t tabular (tt):

El tt se obtiene de las tablas preparadas para este efecto, con un nivel de

significación α o una probabilidad de (1- α), y con un grado de libertad (ν =

n-2), donde n es el número de pares de valores.

Criterios de decisión:

Si tc tt , se acepta la hipótesis nula, por lo que r = 0, y por lo tanto

no hay correlación significativa.



Si tc tt , se rechaza la hipótesis nula por lo que r ≠ 0, indicándose

que es significativo y por lo tanto existe correlación entre las

variables.

Estimación de los parámetros de la ecuación o función de regresión. (a, b).

1.4. COMPLETACION Y EXTENSIÓN DE DATOS

La extensión de información, es el proceso de transferencia de información

desde una estación con "largo" registro histórico a otra con "corto"

registro.

La completación de datos, es el proceso por el cual, se llenan "huecos" que

existen en un registro de datos. La completación es un caso particular de la

extensión.

A. TECNICAS:

a. Las técnicas que se utilizan para la completación, en orden de prioridad

son:

Regresión lineal simple, entre estas:

Correlación cruzada entre dos o más estaciones

Auto-correlación.

Rellano con criterios prácticos.

b. Para la extensión se usan modelos de:

Regresión lineal simple.

Regresión lineal múltiple.

B. PROCESO:

El proceso a seguir para la completación y extensión, es como se indica:

1. Obtener la serie de tamaño N1, a completar o extender (y1 , y2 , …, yn)

2. Seleccionar la estación, guarde una buena relación con la estación con la que

se está trabajando, y cuya longitud de la serie sea mayor, como por ejemplo :

N= N1+N2

(x1, x2, ….xN1, xN1+1, xN1+ 2 …, xN1+N2)

3. Seleccionar un modelo de correlación, en este caso, la ecuación de

regresión lineal.

4. Estimación de los parámetros (a, b, r)

5. Ecuación de completación o extensión.



Esta dada por la ecuación:

tyt

y

y

t

t

y

y

t

SrxxS

Sryy

xxS

Sryy

)(1

2

1

)(1

)(1

1

1

)(1

)(1

1

.1

Dónde:

- 11 xyy = Son los estimados de las medias.

- )(1)(1 , xy SS= Varianza.

- r = Coeficiente de correlación

- t = Variable aleatoria normal e independiente, con media

cero y varianza unitaria.

- = 0; Se usa en completación ( en este caso el ruido

aleatorio no es considerado)

- = 1; Se usa en extensión.( en este caso el ruido o factor

aleatorio si es considerado)

- ),( 21 NNf ; Corrige el sesgo en la varianza del proceso.

231

14

112

112

NNN

NNN

6. Criterios de confiabilidad.

Es verificar si estadísticamente está dentro de lo permitido; para esto se

procede de la siguiente forma:

a. Calculo del estadístico (tc):

Se utiliza la ecuación:

2

1

1

2

r

Nrtc

Dónde:

tc = Valor del estadístico t calculado.

r = Coeficiente de correlación.

N1 = Numero de pares de valores.



b. Calculo de tt :

El valor critico de t, se obtiene de las tablas t de Student (tt), con 95% de

probabilidad, o con un nivel de significación del 5%, es decir:

2.

025.02/

1NLG

c. Comparación de tc con el tt :

Si tc tt

r no es significativo, por lo tanto no hay

correlación significativa.

Si tc tt

r es significativa, por lo que sí existe correlación

significativa entre las variables yt y xt, y se pueden hacer uso

de la ecuación para la completación y extensión.

1.5. ANÁLISIS DE CONSISTENCIA

Cualquier cambio en la ubicación como en la exposición de un pluviómetro

puede conllevar un cambio relativo en la cantidad de lluvia captada por el

pluviómetro. El registro completo publicado representará condiciones

inexistentes. Un registro de este tipo se dice que es inconsistente.

[Hidrología para Ing. Civiles. Autor: Wendor Chereque Moran PUCP. Pág.

26]

El análisis de consistencia de la información hidrológica, se realiza mediante

los siguientes procesos.

- Análisis visual gráfico.

- Análisis doble masa.

- Análisis estadístico.

1.5.1. ANÁLISIS VISUAL GRÁFICO:

En coordenadas cartesianas se plotea la información hidrológica histórica,

ubicándose en las ordenadas, los valores de la serie y en las abscisas el

tiempo (años, meses, días, etc.)

Un gráfico de esta naturaleza sirven para analizar la consistencia de la

información hidrológica en forma visual, e indicar el periodo o periodos en

los cuales la información es dudosa, lo cual se puede reflejar como "picos"

muy altos o valores muy bajos, saltos y/o tendencias, los mismos que



deberán comprobarse, si son fenómenos naturales que si efectivamente

han ocurrido, o si son producto de errores sistemáticos. Para conocer la causa del fenómeno detectado, se pueden analizar de diversas

formas:

1. Cuando se tienen estaciones vecinas, se comparan los gráficos de las series

históricas, y se observa cual periodo varía notoriamente uno con respecto al otro.

2. Cuando se tiene una sola estación, esta se divide en varios periodos y se compara

la información de campo obtenida.

3. Cuando se tienen datos de precipitación y escorrentía, se comparan los diagramas,

los cuales deben ser similares en su comportamiento.

1.5.2. ANÁLISIS ESTADÍSTICO:

Después de obtener los gráficos construidos para el análisis visual, los

periodos de posible corrección, y los periodos de dados que se mantendrán

con sus valores originales se proceden al análisis estadístico de saltos, tanto

en la media, como en la desviación estándar.

1.5.3. ANÁLISIS DOBLE MASA:

Una forma de detectar las inconsistencias es mediante las curvas doble

másicas.

Una curva doble másica se construye llevando en ordenadas los valores

acumulados de la estación en estudio y en abscisas los valores acumulados

de un patrón, que consiste en el promedio de varias estaciones índice.

1.6. ANÁLISIS DE SALTOS

1.6.1. CONSISTENCIA DE LA MEDIA

El análisis estadístico consiste en probar, mediante la prueba t (prueba de

hipótesis), si los valores medios ( 21 , xx ) de las sub muestras, son

estadísticamente iguales o diferentes con una probabilidad del 95% o con

5% de nivel de significación, de la siguiente manera.

a. Cálculo de la media y la de la desviación estándar

2

12

1

1

11

)(1

1

1

11

1

1;

1

n

i

i

n

i

xi xxn

Sxn

x



2

12

1

2

21

)(2

2

2

22

1

1;

1

n

j

j

n

j

xj xxn

Sxn

x

Dónde:

xi = Valores de la serie del periodo 1.

xj = Valores de la serie del periodo 2.

21 , xx = Media de los periodos 1 y 2 respectivamente.

)(2)(1 , xx SS = Desviación estándar de los periodos 1 y 2 respectivamente.

n=Tamaño de la muestra (n1 +n2)

b. Cálculo del t calculado tc

Según:

d

cS

xxt 2121

Dónde:

021 (Por hipótesis, la hipótesis es que las medias son iguales)

Quedando:

d

cS

xxt

21

Además:

2

1

21

11

nnSS pd

Y

2

1

21

2

22

2

11

2

11

nn

SnSnS p

Siendo:

dS

= Desviación de las diferencias de los promedios.

pS= Desviación estándar ponderada.

c. Cálculo del t tabular tt

El valor critico de t, se obtiene de las tablas t de Student (tt), con 95% de

probabilidad, o con un nivel de significación del 5%, es decir:



2.

025.02/

21 nnLG

d. Comparación de tc con el tt

Si 21%)95( xxtt tc (estadísticamente) En este caso,

siendo las medias 21 xx estadísticamente, no se debe realizar

proceso de corrección.

Si 21%)95( xxtt tc (estadísticamente) En este caso,

siendo las medias 21 xx estadísticamente, se debe corregir la

información.

1.6.2. CONSISTENCIA DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR.

El análisis consiste en probar, mediante la prueba F, si los valores de la

desviación estándar de las sub-muestras son estadísticamente iguales o

diferentes, con un 95% de probabilidad o con un 5% de nivel de

significación, de la siguiente forma:

a. Cálculo de las varianzas de ambos periodos

2

1

2

2

2

)(2

2

1

1

1

2

)(1

21

1

1;

1

1

n

j

ix

n

i

ix xxn

Sxxn

S

b. Cálculo del F calculado tc

Según:

2

)(2

2

)(12

)(1

2

)(2

2

)(2

2

)(12

)(2

2

)(1

,

,

xx

x

x

c

xx

x

x

c

SSsiS

SF

SSsiS

SF

c. Cálculo del F tabular (valor critico de F ó Ft)

Se obtiene de las tablas F para una probabilidad del 95%, o con un nivel de

significación del 5%, y grados de libertad:



2

)(1

2

)(2

1

2

2

)(2

2

)(1

2

1

,1..

1..

,1..

1..

xx

xx

SSSinDLG

nNLG

SSSinDLG

nNLG

Dónde:

G.L.N = Grados de libertad del numerador

G.L.D = Grados de libertad del denominador.

d. Comparación del Fc con el Ft

Si )(2)(1%)95( xxtc SSFF (estadísticamente).

Si )(2)(1%)95( xxtc SSFF (estadísticamente), por lo que se debe

corregir.

1.6.3. CORRECCIÓN DE DATOS:


En los casos en que los parámetros media y desviación estándar de las sub-

muestras de las series de tiempo, resultan estadísticamente iguales, la

información original no se corrige, por ser consistente con 95% de

probabilidad. En caso contrario, se corrigen los valores de las sub-muestras

mediante las siguientes ecuaciones.

)...(

)...(

1)(1

)(2

2/

)(

2)(2

)(1

1/

)(

xSS

xxX

xSS

xxX

x

x

tt

x

x

tt

Dónde:

/

)(tX = Valor corregido de saltos.

tx = Valor a ser corregido.

o La ecuación )( se utiliza cuando se debe corregir los valores de la sub-

muestra de tamaño n1.

o La ecuación )( se utiliza cuando se debe corregir los valores de la sub-

muestra de tamaño n2.



1.7. ANÁLISIS DE TENDENCIA

Antes de realizar el análisis de tendencias, se realiza el analizas de saltos y

con la serie libre de saltos, se procede a analizar las tendencias en la media

y en la desviación estándar.

1.7.1. TENDENCIA A LA MEDIA (Tm)

La tendencia en la media Tm, puede ser expresada en forma general por la

ecuación polinomial:

....32 tDtCtBAT mmmmm

Y en forma particular por la ecuación de regresión lineal simple: tBAT mmm

Dónde:

t = Tiempo en años, tomado como la variable independiente de la

tendencia. (t = 1, 2, 3,…, n)

Tm = Tendencia en la media, para este caso:

Tm = /

)(tX Valor corregido de saltos es decir, datos a usarse para el cálculo

de los parámetros.

,...,,, mmmm DCBA= Coeficiente de los polinomios de regresión, que deben

ser estimados con los datos.

El cálculo de la tendencia en la media, haciendo uso de la ecuación tBAT mmm

y se realiza mediante el siguiente proceso.

a. Calculo de los parámetros de la ecuación de regresión lineal simple.

mmm BtTA .

b. Evaluación de la tendencia Tm

Para averiguar si la tendencia es significativa, se analiza el coeficiente de regresión

Bm o también el coeficiente de correlación R.

El análisis de R según el estadístico t, es como sigue:

1. Calculo de estadístico tc según: 21

2

R

nRtc

Dónde:

tc= Valor del estadístico t calculado.



n = Número total de datos.

R = Coeficiente de correlación.

2. Calculo de tt

El valor critico de t, se obtiene de la tabla de t Student, con 95% de probabilidad o

con un nivel de significación del 5%, es decir:

2.

025.02/

nLG

3. Comparación de tc con el tt :

Si Rtt tc %)95( no es significativo. En este caso, la tendencia no

es significativa y hay que corregir.

Si Rtt tc %)95( Si es significativo. En este caso, la tendencia es

significativa y hay necesidad de corregir la información de tendencia en la

media.

4. Correlación de la información.

La tendencia en la media se elimina haciendo uso de la ecuación:

)(/

)(

/

)(

tBAXY

óTXY

mmtt

mtt

Dónde:

/

)(tX =serie corregida de saltos.

mT = Tendencia en la media.

tY =Serie sin tendencia en la media.

Para que el proceso tX preserve la media constante, se devuelve el promedio de

las /

tX luego las ecuaciones anteriores toman la forma:

mmmtt

mmtt

TtBAXY

TTXY

)(/

)(

/

)(

Dónde:



mT : Es el promedio de la tendencia en la media o promedio de los valores

corregidos de saltos.

1.7.2. TENDENCIA A LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR:


La tendencia en la desviación estándar Ts, se expresa en forma general por la

ecuación polinomial:

....32 tDtCtBAT SSSSS

Y en forma particular, por la ecuación de regresión lineal simple: tBAT SSS

Dónde:

t = Tiempo en años (t = 1, 2, 3,…, n)

TS = Tendencia en la desviación estándar

Tm = )(tY Valor corregido d tendencia en la media, es decir, datos a usarse

para el cálculo de los parámetros.

,...,,, SSSS DCBA = Coeficiente de los polinomios de regresión, que deben

ser estimados con los datos

Para calcular y probar si la tendencia en la desviación estándar es significativa, se

sigue el siguiente proceso.

a. La información ya sin tendencia en la media Yt, se divide en periodos de datos

anuales.

b. Se calcula las desviaciones estándar para cada periodo de toda la información.

pY 2

1

12

1

2

11

1

p

ppP YYS

Dónde:

SP = Desviación estándar del año p, es decir e los datos mensuales del año p

Yp= Serie sin tendencia en la media

pY =Promedio de datos mensuales del año p (p = 1, 2, 3, ….., 12)



c. Se calculan los parámetros de la ecuación, a partir de las desviaciones estándar

anuales y el tiempo t (en años), utilizando las ecuaciones dadas para la tendencia

en la media.

d. Se realiza la evaluación de Ts siguiendo el mismo proceso descrito para Tm.

Si en la prueba R resulta significativo, la tendencia en la desviaron estándar es

significativa, por lo que se debe eliminar de la serie aplicando la siguiente

ecuación.

S

mt

tT

TXZ

/

)(

Dónde:

Zt = Serie sin tendencia en la media ni en la desviación estándar. Las

demás variables han sido definidas en párrafos anteriores.

Para que el proceso preserve la media y la desviación estándar constante, la

ecuación toma la forma:

mS

S

mt

t TTT

TXZ

.

/

)(

Dónde:

mS TT , Son los promedios de la tendencia en la desviación estándar y la

media respectivamente.

La serie Zt en una serie homogénea y consistente al 95% de probabilidad.

1.8. TABLA DE FRECUENCIAS

Los datos se clasifican de la siguiente forma:

a) Ordenar los datos en forma descendente.

b) Calcular el rango o la amplitud de la muestra con la siguiente ecuación.

𝑅 = 𝑋𝑚𝑎𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛

c) Calcular el número de intervalos de clase con la ecuación de Sturges .



𝑘 = 1.33 𝑙𝑛(𝑛) + 1

Dónde:

k: número de intervalo de clase. n: número de datos de la muestra.

d) Calcular la amplitud de cada intervalo de clase; con la siguiente fórmula.

∆𝑋 =𝑅

𝑘

e) Calcular los límites de clase de cada intervalo de clase.

𝐿𝐼𝑖 = 𝐿𝐼𝑖−1 + ∆𝑋 𝐿𝑆𝑖 = 𝐿𝐼𝑖 + ∆𝑋

Dónde: 𝐿𝑛: 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒. 𝐿𝑆1: 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 n 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒.

f) Calcular las marcas de clase.

𝑀𝑐𝑖 =𝐿𝐼𝑖 + 𝐿𝑆𝑖

2

g) Tabular la tabla de frecuencia.

N° de clase o intervalo de clase

Intervalo de clase

Marca de clase

𝑴𝒄𝒊

Frecuencia absoluta

𝒇𝒂𝒊

Frecuencia absoluta acumulada

𝑭𝒂𝒊

Frecuencia relativa

𝒇𝒓𝒊

Frecuencia relativa acumulada

𝑭𝒓𝒊

Función densidad empírica

𝒇𝒆𝒊 𝑳𝑰𝒊 𝑳𝑺𝒊

1 𝑛1

2 𝑛21

𝑛𝑘

k 𝐧

𝑛 = ∑ 𝑛𝑖

𝑘

𝑖=1

𝐹𝑟𝑖 = ∑ 𝑓𝑟𝑖

𝑘

𝑖=1

𝐹𝑎𝑖 = ∑ 𝑓𝑎𝑖

𝑘

𝑖= 1

𝑓𝑒𝑖 =𝑓𝑟𝑖

∆𝑋 𝑓𝑟𝑖 =

𝑛𝑖

𝑛



h) Graficamos las siguientes distribuciones:

Distribución de frecuencias absolutas.

Histograma de frecuencias absolutas. Polígono de frecuencias absolutas.

Distribuciones de frecuencias relativas.

Histograma de frecuencias relativas.

Polígono de frecuencias relativas.

Distribuciones de frecuencias absolutas acumuladas (ojiva).

Distribuciones de frecuencias relativas acumuladas (ojiva).

Función de densidad empírica.

Coeficiente de asimetría (sesgo).

a) Aplicaremos la siguiente fórmula:

𝒈 = 𝑪𝒔 =𝒏𝟐 × 𝒎𝟑

(𝒏 − 𝟏) × (𝒏 − 𝟐) × 𝒔𝟑

Para datos no agrupados:

𝑚3 =1

𝑛× ∑(𝑥𝑖 − 𝑥)3

𝑛

𝑖=1

Para datos agrupados:

𝑚3 =1

𝑛× ∑(𝑥𝑖 − 𝑥)3 × 𝑛𝑖

𝑛

𝑖=1

El resultado se tendrá que verificar con lo siguiente



𝑪𝒔 < 𝟎 ; Es una distribución sesgada a la izquierda (polígono de frecuencias

con cola más larga hacia la izquierda).

𝑪𝒔 = 𝟎 ; Es una distribución simétrica.

𝑪𝒔 > 𝟎 ; Es una distribución sesgada a la derecha ( polígono de frecuencias con

cola más larga hacia la derecha).

Medida de apuntamiento (curtosis).

a) Aplicaremos la siguiente fórmula:

𝑪𝒌 =𝒏𝟑 × 𝒎𝟒

(𝒏 − 𝟏) × (𝒏 − 𝟐) × (𝒏 − 𝟑) × 𝒔𝟒

Para datos no agrupados:

m4 =1

n× ∑(xi − x)4

n

i=1

Para datos agrupados:

m4 =1

n× ∑(xi − x)4 × ni

n

i=1

El resultado se tendrá que verificar con lo siguiente:

𝑪𝒌 < 𝟑 ; Es una distribución platicurtica (achatada o plana)

𝑪𝒌 = 𝟑 ; Es una distribución mesocurtica o moderada (curva normal)

𝑪𝒌 > 𝟑 ; Es una distribución leptocurtica (picuda o puntiaguda)

II. MATERIALES Y EQUIPOS

Plano digital de la cuenca del rio santa.

Computadora Intel Core i7.

Impresora hp laser 300.

Software AutoCAD 2014.

Software Microsoft Excel 2013.

Software Microsoft Word 2013.

Cuaderno de apuntes y lapiceros.



III. DATOS HIDROLOGICOS

CAUDALES MEDIOS ANUALES DE LAS ESTACIONES: QUILLCAY, CHANCOS Y LLANGANUCO

AÑOS ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DICMEDIA

ANUAL

1954 11.29 9.98 11.89 7.23 4.79 3.33 3.65 3.02 2.91 4.02 4.60 6.26 6.08

1955 6.10 17.14 14.47 10.65 4.34 2.55 2.21 2.36 1.89 3.57 4.34 5.93 6.30

1956 8.14 11.73 16.49 10.61 5.06 2.43 2.15 3.16 1.97 3.22 4.32 5.63 6.24

1957 5.74 11.47 11.01 12.48 5.48 7.78 2.57 3.20 4.13 6.41 8.71 8.39 7.28

1958 8.95 11.96 9.88 8.63 6.77 4.88 4.23 4.35 4.44 5.60 8.61 10.16 7.37

1959 11.32 13.25 13.97 11.98 7.56 7.41 3.75 4.14 4.00 6.55 8.27 9.02 8.44

1960 9.60 9.77 15.84 15.02 10.05 7.24 5.32 5.93 4.32 7.08 9.21 12.72 9.34

1961 13.14 12.51 13.74 11.12 5.56 3.47 2.47 2.42 1.65 3.00 5.09 7.78 6.83

1962 15.96 17.80 18.43 11.87 5.55 4.05 3.59 3.61 3.63 5.68 5.59 5.28 8.42

1963 10.08 11.39 16.15 16.70 5.85 3.73 3.14 3.12 4.39 5.22 9.42 13.81 8.58

1964 12.71 12.50 12.39 10.20 6.16 4.16 4.40 4.47 3.21 5.41 7.72 5.98 7.44

1965 5.57 7.75 12.60 7.75 4.78 2.91 2.16 12.62 3.54 5.23 6.22 8.59 6.64

1966 9.91 11.21 9.10 7.56 6.95 5.46 5.69 5.07 5.99 6.66 8.03 7.76 7.45

1967 10.75 10.58 17.21 7.04 4.87 3.61 2.83 2.66 3.04 5.12 7.30 7.38 6.87

1968 9.88 8.12 9.56 5.55 3.67 3.00 2.71 2.54 3.50 5.14 5.78 5.75 5.43

1969 8.58 8.04 10.63 14.01 8.60 6.27 4.68 5.72 5.76 8.24 10.88 11.43 8.57

1970 11.17 12.69 11.82 8.51 6.57 4.89 3.69 3.29 3.55 5.53 7.92 8.47 7.34

1971 16.38 7.55 19.65 12.40 5.36 4.49 2.78 2.49 3.20 4.93 5.58 10.13 7.91

1972 11.35 15.65 12.73 7.75 5.45 4.36 3.70 3.70 3.77 4.24 6.51 6.47 7.14

1973 10.96 11.08 10.47 11.86 5.93 4.00 2.91 2.92 3.01 6.84 10.80 10.66 7.62

1974 13.77 15.44 14.58 9.38 4.82 3.24 2.91 2.72 2.64 4.32 7.14 6.79 7.31

1975 11.01 10.43 15.56 10.10 7.09 3.69 3.10 3.11 3.35 4.24 6.90 6.44 7.09

1976 9.52 10.30 11.32 9.34 5.99 4.04 3.53 3.05 3.58 6.85 7.56 8.86 7.00

1977 11.45 9.62 10.87 8.65 5.11 2.97 3.28 4.10 3.95 5.99 8.08 8.73 6.90

1978 8.08 9.13 8.82 7.74 5.67 4.17 3.76 3.19 4.70 4.90 6.97 9.68 6.40

1979 10.49 12.69 17.04 8.52 5.52 4.00 3.26 3.78 4.22 5.57 6.50 8.65 7.52

1980 8.62 8.98 7.83 7.06 4.95 4.93 3.08 3.92 5.92 6.31 10.84 11.57 7.00

1981 9.15 16.88 13.18 6.68 4.71 3.84 4.04 3.47 3.70 5.90 10.63 11.52 7.81

1982 12.32 13.61 7.72 7.15 6.07 5.07 2.79 2.87 3.86 0.82 12.10 12.98 7.28

1983 14.90 12.75 11.88 9.62 5.67 3.91 4.06 3.38 4.44 7.15 9.98 9.04 8.07

1984 7.37 15.08 13.98 8.57 5.81 3.74 2.67 2.97 3.33 5.73 5.61 8.12 6.92

MED. 10.46 11.84 12.93 9.73 5.83 4.31 3.39 3.79 3.73 5.34 7.65 8.71

DESV. 2.68 2.79 3.10 2.62 1.26 1.34 0.87 1.87 1.03 1.47 2.11 2.32

MAX. 16.38 17.80 19.65 16.70 10.05 7.78 5.69 12.62 5.99 8.24 12.10 13.81

MIN. 5.57 7.55 7.72 5.55 3.67 2.43 2.15 2.36 1.65 0.82 4.32 5.28

MEDIAS MENSUALES

REGISTRO HISTORICO DE DESCARGAS

ESTACION : QUILLCAY

CUENCA : QUILLCAY



AÑOS ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DICMEDIA

ANUAL

1954 11.22 10.05 11.76 7.60 5.42 4.12 4.40 3.84 3.74 4.73 5.25 6.73 6.57

1955 6.59 16.45 14.06 10.65 5.02 3.42 3.12 3.25 2.83 4.33 5.02 8.44 6.93

1956 8.41 11.62 15.87 10.62 5.66 3.31 3.66 3.96 2.90 4.02 5.00 6.17 6.77

1957 6.27 11.38 10.97 12.29 6.04 3.58 3.44 4.00 4.83 6.87 8.92 8.63 7.27

1958 9.13 9.14 9.96 8.85 7.19 5.50 4.92 5.03 5.11 6.14 8.83 10.21 7.50

1959 11.25 12.97 13.62 11.84 7.89 5.08 4.49 4.84 4.71 6.99 8.53 9.20 8.45

1960 9.32 9.87 15.29 14.55 10.12 7.61 5.62 6.47 5.00 7.46 9.67 12.50 9.46

1961 16.36 12.31 13.40 11.07 6.11 4.24 3.85 3.30 2.62 3.82 5.69 8.09 7.57

1962 15.39 16.48 17.60 11.74 6.07 4.76 4.35 4.37 4.38 6.21 7.03 6.75 8.76

1963 10.14 11.31 15.56 16.05 6.37 4.47 3.95 3.93 5.13 5.80 9.55 13.47 8.81

1964 12.49 12.30 12.65 10.25 6.64 4.86 5.07 5.13 4.01 5.98 8.04 6.49 7.83

1965 6.12 8.06 12.39 8.06 5.41 3.74 3.07 3.48 4.30 5.81 6.70 8.81 6.33

1966 9.99 11.15 9.27 7.89 7.35 6.02 6.22 5.67 6.49 7.09 8.36 8.07 7.80

1967 10.74 19.52 16.51 7.53 5.49 4.37 3.67 3.52 3.86 5.71 7.66 7.73 8.03

1968 9.96 8.39 9.68 6.10 4.42 3.82 3.56 3.41 4.27 5.73 6.30 8.06 6.14

1969 8.80 8.32 10.63 13.65 8.32 6.74 5.32 6.25 6.29 8.50 10.86 11.35 8.75

1970 11.12 10.35 10.85 12.20 8.26 6.02 5.86 5.70 4.40 6.24 8.40 9.07 8.21

1971 9.72 13.58 20.83 10.70 5.41 4.09 3.73 3.40 4.14 5.69 5.90 7.60 7.90

1972 9.68 10.85 17.76 6.79 5.15 3.72 3.66 3.77 3.76 4.95 6.94 7.63 7.06

1973 9.67 10.37 11.36 13.47 7.60 4.52 3.58 3.82 4.40 4.56 8.13 8.15 7.47

1974 11.01 11.61 13.24 10.97 4.87 4.30 3.52 3.37 3.50 4.72 6.42 8.41 7.16

1975 11.59 11.47 16.77 9.45 6.56 3.77 3.59 4.13 3.73 5.19 5.26 4.94 7.20

1976 8.04 12.63 13.44 15.97 6.62 4.66 4.22 4.32 5.86 8.86 8.93 9.03 8.55

1977 13.86 14.45 14.61 13.46 8.85 5.75 5.23 4.79 4.83 9.20 11.20 11.60 9.82

1978 13.40 18.00 15.20 10.60 9.20 6.70 5.38 5.43 6.42 6.63 8.93 11.87 9.81

1979 11.66 14.80 20.20 11.57 7.39 6.38 5.13 5.72 6.82 8.73 10.27 11.49 10.01

1980 12.31 14.56 11.23 10.31 6.13 5.90 4.81 5.02 8.30 11.74 4.85 11.78 8.91

1981 10.51 18.40 17.24 12.33 7.16 5.25 5.24 4.58 5.13 10.67 13.52 9.40 9.95

1982 10.94 17.62 14.44 12.55 7.94 6.24 4.20 4.68 5.67 10.38 12.66 14.87 10.18

1983 20.35 17.58 19.73 17.05 12.87 7.19 7.05 6.27 7.16 12.24 10.36 9.49 12.28

1984 9.72 15.80 20.60 14.10 6.88 4.25 4.27 4.65 4.99 7.08 6.39 11.31 9.17

MED. 10.83 12.95 14.41 11.30 6.92 4.98 4.46 4.52 4.83 6.84 8.05 9.27

DESV. 2.92 3.24 3.32 2.75 1.75 1.19 0.97 0.96 1.32 2.23 2.27 2.29

MAX. 20.35 19.52 20.83 17.05 12.87 7.61 7.05 6.47 8.30 12.24 13.52 14.87

MIN. 6.12 8.06 9.27 6.1 4.42 3.31 3.07 3.25 2.62 3.82 4.85 4.94

REGISTRO HISTORICO DE DESCARGAS

ESTACION : CHANCOS

MEDIAS MENSUALES

CUENCA : MARCARA



AÑO ENE. FEB. MAR. ABR. MAY. JUN. JUL. AGO SET. OCT. NOV. DICMEDIA

ANUAL

1954 5.67 3.58 4.13 3.52 2.55 1.95 1.83 2.22 2.34 1.63 1.84 6.73 3.17

1955 2.08 3.36 5.11 3.84 2.39 1.97 2.01 1.91 1.63 1.51 1.85 2.17 2.49

1956 2.08 3.82 3.28 2.45 2.05 1.80 1.69 1.78 1.98 2.32 3.08 4.78 2.59

1957 3.47 3.85 3.75 3.62 3.29 2.66 2.74 2.52 1.89 2.23 3.20 4.04 3.11

1958 4.77 4.40 4.67 4.21 3.59 3.01 2.63 2.51 2.74 2.06 3.10 3.67 3.45

1959 4.62 5.07 5.34 3.95 5.41 1.54 1.48 1.76 1.68 1.73 1.95 3.43 3.16

1960 3.95 4.63 4.19 3.56 2.75 3.20 2.73 2.40 1.83 2.17 2.67 3.45 3.13

1961 3.95 2.56 2.87 3.00 2.70 2.67 2.04 1.57 1.25 1.23 1.75 2.34 2.33

1962 3.83 5.32 4.52 3.16 1.96 1.76 1.60 1.57 1.63 1.78 2.07 2.52 2.64

1963 2.63 2.64 4.83 4.15 2.08 1.89 1.70 1.91 1.58 1.90 2.57 3.57 2.62

1964 4.34 4.05 3.56 3.20 2.49 1.69 1.74 1.51 1.36 1.43 2.27 2.26 2.49

1965 2.34 3.35 3.57 2.76 2.23 1.79 1.67 1.71 1.89 2.49 3.15 3.94 2.57

1966 4.03 4.71 3.56 3.14 2.87 2.38 2.65 2.74 2.57 2.46 3.03 3.21 3.11

1967 3.17 4.47 4.50 2.68 2.11 1.85 1.57 1.47 1.61 1.80 2.83 3.27 2.61

1968 3.33 3.38 2.73 2.92 2.06 2.87 1.70 1.57 1.84 2.02 2.62 3.39 2.54

1969 3.83 3.57 4.10 3.87 3.11 2.45 2.65 2.09 2.15 2.78 3.42 3.85 3.16

1970 4.17 3.97 3.89 3.92 2.97 2.32 2.53 1.86 2.24 2.31 2.65 3.07 2.99

1971 3.54 4.49 5.23 3.80 2.46 2.19 1.81 1.43 1.58 2.13 2.48 3.15 2.86

1972 3.00 3.88 4.96 4.58 2.87 2.19 3.11 2.07 1.84 2.07 2.96 3.79 3.11

1973 4.95 5.20 5.51 4.70 2.94 2.35 2.06 2.10 1.85 2.39 3.11 3.07 3.35

1974 3.68 3.67 4.21 3.64 2.54 1.77 1.34 1.43 1.21 1.74 3.01 2.90 2.60

1975 3.20 3.60 5.23 3.56 2.31 1.58 1.70 1.66 1.12 1.49 2.95 2.29 2.56

1976 3.07 3.78 4.04 3.38 2.27 1.87 1.98 1.83 1.91 2.92 5.82 3.73 3.05

1977 4.55 4.33 4.80 4.04 2.52 2.13 2.08 2.64 1.97 2.57 3.10 3.49 3.19

1978 4.29 5.14 4.25 3.48 3.14 2.32 1.92 1.93 1.85 2.21 2.73 3.87 3.09

1979 4.90 4.31 5.15 3.94 3.01 2.60 2.14 2.08 2.11 2.84 3.69 4.88 3.47

1980 3.86 4.60 4.04 4.08 3.14 3.25 2.33 2.46 3.57 3.11 3.55 4.55 3.55

1981 4.17 5.08 4.89 3.50 2.89 2.95 2.35 2.10 2.03 2.82 3.46 3.72 3.33

1982 4.17 4.60 4.36 3.82 2.85 2.54 2.03 2.00 1.93 2.32 6.22 4.12 3.41

1983 5.98 5.81 6.23 4.69 3.87 3.02 3.04 3.25 3.30 3.69 5.11 3.80 4.32

1984 2.85 5.89 5.75 4.22 2.74 2.00 1.85 2.16 2.07 2.72 3.14 3.50 3.24

MED. 3.82 4.23 4.43 3.66 2.78 2.28 2.09 2.01 1.95 2.22 3.08 3.57

DESV. 0.94 0.82 0.82 0.57 0.67 0.50 0.47 0.43 0.54 0.55 1.03 0.90

MAX. 5.98 5.89 6.23 4.70 5.41 3.25 3.11 3.25 3.57 3.69 6.22 6.73

MIN. 2.08 2.56 2.73 2.45 1.96 1.54 1.34 1.43 1.12 1.23 1.75 2.17

REGISTRO HISTORICO DE

DESCARGAS MEDIAS MENSUALES M3/S

ESTACION : LLANGANUCO

CUENCA : LLANGANUCO



CAUDALES MEDIOS ANUALES (m3/s)

QUILLCAY CHANCOS LLANGANUCO

1954 6.08 6.57 3.17

1955 6.30 6.93 2.49

1956 6.24 6.77 2.59

1957 7.28 7.27 3.11

1958 7.37 7.50 3.45

1959 8.44 8.45 3.16

1960 9.34 9.46 3.13

1961 6.83 7.57 2.33

1962 8.42 8.76 2.64

1963 8.58 8.81 2.62

1964 7.44 7.83 2.49

1965 6.64 6.33 2.57

1966 7.45 7.80 3.11

1967 6.87 8.03 2.61

1968 5.43 6.14 2.54

1969 8.57 8.75 3.16

1970 7.34 8.21 2.99

1971 7.91 7.90 2.86

1972 7.14 7.06 3.11

1973 7.62 7.47 3.35

1974 7.31 7.16 2.60

1975 7.09 7.20 2.56

1976 7.00 8.55 3.05

1977 6.90 9.82 3.19

1978 6.40 9.81 3.09

1979 7.52 10.01 3.47

1980 7.00 8.91 3.55

1981 7.81 9.95 3.33

1982 7.28 10.18 3.41

1983 8.07 12.28 4.32

1984 6.92 9.17 3.24

AÑOSCAUDAL MEDIO ANUAL



IV. RESULTADOS DEL TRATAMIENTO DE DATOS

4.1. COMPLETACIÓN Y EXTENSIÓN DE DATOS

“Se tomaron los datos a partir de 1970 hasta 1984 y se contaban con datos completos”.

4.2. ANÁLISIS VISUAL Y GRÁFICO

4.2.1. ESTACIÓN QUILLCAY (SERIE HISTORICA)

Se puede observar que hay valores muy bajos entre 1989 y 1991.

4.2.2. ESTACIÓN CHANCOS (SERIE HISTORICA)



4.2.3. ESTACIÓN QLLANGANUCO (SERIE HISTORICA)

4.3. ANÁLISIS DE DOBLE MASA

AÑOS

MEDIA ANUAL

QUILLCAY ACUMULADO

QUILLCAY CHANCOS

ACUMULADO

CHANCOS LLANGANUCO

ACUMULADO

LLANGANUCO

PROMEDIO

ACUMULADOS

1954 6.08 6.08 6.57 6.57 3.17 3.17 5.27

1955 6.30 12.38 6.93 13.50 2.49 5.65 10.51

1956 6.24 18.62 6.77 20.27 2.59 8.24 15.71

1957 7.28 25.90 7.27 27.54 3.11 11.35 21.60

1958 7.37 33.27 7.50 35.04 3.45 14.80 27.70

1959 8.44 41.71 8.45 43.49 3.16 17.96 34.39

1960 9.34 51.05 9.46 52.95 3.13 21.09 41.69

1961 6.83 57.88 7.57 60.52 2.33 23.41 47.27

1962 8.42 66.30 8.76 69.28 2.64 26.06 53.88

1963 8.58 74.88 8.81 78.09 2.62 28.68 60.55

1964 7.44 82.32 7.83 85.92 2.49 31.17 66.47

1965 6.64 88.97 6.33 92.25 2.57 33.74 71.65

1966 7.45 96.42 7.80 100.04 3.11 36.86 77.77

1967 6.87 103.28 8.03 108.07 2.61 39.47 83.61

1968 5.43 108.72 6.14 114.21 2.54 42.00 88.31

1969 8.57 117.29 8.75 122.96 3.16 45.16 95.14

1970 7.34 124.63 8.21 131.17 2.99 48.15 101.32

1971 7.91 132.54 7.90 139.07 2.86 51.01 107.54

1972 7.14 139.68 7.06 146.12 3.11 54.12 113.31

1973 7.62 147.30 7.47 153.59 3.35 57.47 119.45

1974 7.31 154.61 7.16 160.75 2.60 60.07 125.14

1975 7.09 161.70 7.20 167.96 2.56 62.62 130.76



1976 7.00 168.69 8.55 176.51 3.05 65.67 136.96

1977 6.90 175.59 9.82 186.33 3.19 68.86 143.59

1978 6.40 181.99 9.81 196.14 3.09 71.95 150.03

1979 7.52 189.51 10.01 206.15 3.47 75.42 157.03

1980 7.00 196.51 8.91 215.06 3.55 78.97 163.51

1981 7.81 204.32 9.95 225.02 3.33 82.30 170.55

1982 7.28 211.60 10.18 235.20 3.41 85.71 177.50

1983 8.07 219.67 12.28 247.48 4.32 90.03 185.72

1984 6.92 226.58 9.17 256.65 3.24 93.27 192.17

“Escogemos como estación modelo la estación QUILLCAY por tener menos

quiebres”.

Realizamos un nuevo diagrama doble masa, teniendo en cons ideración a la

estación QUILLCAY como estación base.

ACUMULADO QUILLCAY

ACUMULADO CHANCOS

ACUMULADO LLANGANUCO

6.08 6.57 3.17

12.38 13.50 5.65

18.62 20.27 8.24

25.90 27.54 11.35

33.27 35.04 14.80

41.71 43.49 17.96

51.05 52.95 21.09



57.88 60.52 23.41

66.30 69.28 26.06

74.88 78.09 28.68

82.32 85.92 31.17

88.97 92.25 33.74

96.42 100.04 36.86

103.28 108.07 39.47

108.72 114.21 42.00

117.29 122.96 45.16

124.63 131.17 48.15

132.54 139.07 51.01

139.68 146.12 54.12

147.30 153.59 57.47

154.61 160.75 60.07

161.70 167.96 62.62

168.69 176.51 65.67

175.59 186.33 68.86

181.99 196.14 71.95

189.51 206.15 75.42

196.51 215.06 78.97

204.32 225.02 82.30

211.60 235.20 85.71

219.67 247.48 90.03

226.58 256.65 93.27

4.4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO



4.4.1. ESTACIÓN QUILLCAY

AÑOS MEDIA ANUAL

X1 S1 X2 S2

1954 6.081

7.330 1.094 7.286 0.442

1955 6.296

N1 16

1956 6.243

N2 14

1957 7.281

N1-1 15

1958 7.372

N2-1 13

1959 8.435

S1 2̂ 1.1962

1960 9.342

S2 2̂ 0.1957

1961 6.829

1962 8.420

PRUEBA DE FISHER NIVEL DE SIGNIFICANCIA DEL 95%

1963 8.583

v1 15

1964 7.443

v2 13

1965 6.643

Ft 2.53

1966 7.449

1967 6.866

NUMERADOR 20.487

1968 5.433

DENOMINADOR 28

1969 8.570

1970 7.342

Sp 0.855

1971 7.912

1/N1 0.0625

1972 7.140

1/N2 0.071

1973 7.620

1974 7.313

Sd 0.313

1975 7.085

1976 6.995

Fc 0.164

1977 6.900

1978 6.401

Tc 0.269

1979 7.520

Tt (95%) 1.701

1980 7.001

1981 7.808

1982 7.280

1983 8.065

1984 6.915

X1 PROM 7.248 X2 PROM 7.397

4.4.2. ESTACIÓN CHANCOS

AÑOS MEDIA ANUAL

X1 S1 X2 S2

1954 6.572

7.634 0.866 9.854 1.066

1955 6.932

N1 22

1956 6.767

N2 8



1957 7.268

N1-1 21

1958 7.501

N2-1 7

1959 8.451

S1 2̂ 0.749

1960 9.457

S2 2̂ 1.135

1961 7.572

1962 8.761


1963 8.811

v1 21

1964 7.826

v2 7

1965 6.329

Ft 3.43

1966 7.798

1967 8.026

NUMERADOR 23.687

1968 6.142

DENOMINADOR 28

1969 8.753

1970 8.206

Sp 0.920

1971 7.899

1/N1 0.045

1972 7.055

1/N2 0.125

1973 7.469

1974 7.162

Sd 0.380

1975 7.204

1976 8.548

Fc 1.515

1977 9.819

1978 9.813

Tc 1.465

1979 10.013

Tt (95%) 1.701

1980 8.912

1981 9.953 1982 10.183 1983 12.278

1984 9.170

X1 PROM 7.614 X2 PROM 8.884



4.4.3. ESTACIÓN LLANGANUCO

AÑOS MEDIA ANUAL

X1 S1 X2 S2

1954 3.166

2.860 0.331 3.320 0.448

1955 2.486

N1 21

1956 2.593

N2 9

1957 3.105

N1-1 20

1958 3.447

N2-1 8

1959 3.163

S1 2̂ 0.109

1960 3.128

S2 2̂ 0.200

1961 2.328

1962 2.643


1963 2.621

v1 20

1964 2.492

v2 8

1965 2.574

Ft 3.15

1966 3.113

1967 2.611

NUMERADOR 3.792

1968 2.536

DENOMINADOR 28

1969 3.156

1970 2.992

Sp 0.368

1971 2.858

1/N1 0.048

1972 3.110

1/N2 0.111

1973 3.353

1974 2.595

Sd 0.147

1975 2.558

1976 3.050

Fc 1.831

1977 3.185

1978 3.094

Tc 0.251

1979 3.471

Tt (95%) 1.701

1980 3.545

1981 3.330

1982 3.413

1983 4.316

1984 3.241

X1 PROM 2.800 X2 PROM 3.202



4.5. ANÁLISIS DE TENDENCIA

4.5.1. ESTACIÓN QUILLCAY

CALCULO DEL RCALCULADO:

𝑹𝑪𝑨𝑳𝑪𝑼𝑳𝑨𝑫𝑶 = √𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟔 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟒𝟒𝟗𝟒𝟖𝟗𝟕

4.5.2. ESTACIÓN CHANCOS

𝑹𝑪𝑨𝑳𝑪𝑼𝑳𝑨𝑫𝑶 = √𝟎.𝟑𝟖𝟕𝟏 = 𝟎. 𝟔𝟐𝟐𝟏𝟕𝟑𝟔𝟎𝟗



4.5.3. ESTACIÓN LLANGANUCO

𝑹𝑪𝑨𝑳𝑪𝑼𝑳𝑨𝑫𝑶 = √𝟎.𝟐𝟒𝟖𝟗 = 𝟎. 𝟒𝟗𝟖𝟖𝟗𝟖𝟕𝟖𝟕

1.1. TABLA DE FRECUENCIAS

1.1.1. DESCRIPCIÓN DE DATOS ESTADÍSTICOS DE QUEROCOCHA

a) Ordenamos los datos en forma descendente

AÑO CAUDAL Q (m3/s)

1973 2.43

1982 2.41

1993 2.37

1983 2.34

1987 2.19

1998 2.08

1985 2.07

1978 2.06

1970 2.02

1981 2.01

1995 2.00

1980 1.97

1986 1.96

1992 1.85

1975 1.80

1971 1.80



1990 1.78

1977 1.78

1994 1.76

1974 1.71

1984 1.68

1972 1.67

1991 1.52

1979 1.43

1976 1.39

1989 1.31

b) Calcular el rango o la amplitud de la muestra.

Rmáx 2.43

Rmin 1.31

R 1.12

c) Calcular el número de intervalos de clase con la ecuación de Sturges y

la amplitud de cada intervalo de clase.

n 26 Δx 0.187271191

k 5.3332684 REDONDEANDO: 6

DESV.ESTANDAR = 0.307

PROMEDIO = 1.900

d) Tabular la tabla de frecuencia

K INTERVALO DE

CLASE MARCA

DE CLASE FRECUENCIA ABSOLUTA

F. ABS. ACUMULADA

FRECUENCIA RELATIVA

F. REL. ACUMULADA

FUNCION DE DENSIDAD EMPIRICA

Lim. Inf. Lim. Sup. 1.216 0 0 0 0

1 1.31 1.50 1.403 3 3 0.12 0.12 0.62 2 1.50 1.68 1.591 3 6 0.12 0.23 0.62

3 1.68 1.87 1.778 7 13 0.27 0.50 1.44

4 1.87 2.06 1.965 6 19 0.23 0.73 1.23 5 2.06 2.25 2.152 3 22 0.12 0.85 0.62

6 2.25 2.43 2.340 4 26 0.15 1.00 0.82

2.527 0

0

0



3 3

7

6

3

4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1.403 1.591 1.778 1.965 2.152 2.340

Fre

cue

nci

as A

bso

luta

s

Descarga(m3/seg)

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS ABSOLUTA

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000

FREC

UEN

CIA

AB

SOLU

TA

MRACA DE CLASE

Polígono de Frecuencia Absoluta



3

6

13

19

22

26

0

5

10

15

20

25

30

1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000 2.200 2.400 2.600 2.800

Fre

cue

nci

a ab

solu

ta a

cum

ula

da

Descarga (m3/s

Frecuencia Absoluta Acumulada

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000

FREC

UEN

CIA

REL

ATI

VA

MRACA DE CLASE

Polígono de Frecuencia Relativa



FUNCION NORMAL

Q prom 1.90

DESV.ESTANDAR 0.30650655

K INTERVALO DE

CLASE MARCA

DE CLASE

FUNCION DENSIDAD

TEORICA NORMAL

Lim. Inf. Lim. Sup.

1.216 0.10814

1 1.31 1.50 1.403 0.35061

2 1.50 1.68 1.591 0.78260

3 1.68 1.87 1.778 1.20262

4 1.87 2.06 1.965 1.27230

5 2.06 2.25 2.152 0.92668

6 2.25 2.43 2.340 0.46467

2.527 0.16041

0

0.12

0.23

0.50

0.73

0.85

1.00

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000

Fre

cue

nci

a ab

solu

ta a

cum

ula

da

Descarga (m3/s

Frecuencia Relativa Acumulada



FUNCIÓN EXPONENCIAL

K INTERVALO DE

CLASE MARCA

DE CLASE FUNCION

EXPONENCIAL

Lim. Inf. Lim. Sup.

1.216 0.277523701

1 1.31 1.50 1.403 0.251471843

2 1.50 1.68 1.591 0.227865538

3 1.68 1.87 1.778 0.206475218

4 1.87 2.06 1.965 0.187092862

5 2.06 2.25 2.152 0.169529977

6 2.25 2.43 2.340 0.153615765

2.527 0.139195461

0.00000

0.20000

0.40000

0.60000

0.80000

1.00000

1.20000

1.40000

0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000

FUN

CIO

N D

E D

ENSI

DA

D N

OR

MA

L

MARCA DE CLASE

FUNCION DE DENSIDAD NORMAL



FUNCIÓN DE GUMBEL

k

Intervalo de Clase Marca de

Clase 𝛼=0.78*σ β=X-0.45*σ

w=(x-β)/𝛼

Función

de Gumbel

Lim. Inf. Lim. Sup.

1.22 0.2391 1.7229 -2.1198 0.0084

1 1.31 1.50 1.40 0.2391 1.7229 -1.3365 0.3541

2 1.50 1.68 1.59 0.2391 1.7229 -0.5532 1.2781

3 1.68 1.87 1.78 0.2391 1.7229 0.2301 1.5014

4 1.87 2.06 1.97 0.2391 1.7229 1.0135 1.0561

5 2.06 2.25 2.15 0.2391 1.7229 1.7968 0.5876

6 2.25 2.43 2.34 0.2391 1.7229 2.5801 0.2938

0 2.53 0.2391 1.7229 3.3634 0.1399

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000 2.200 2.400 2.600 2.800

FUN

CIO

N E

XP

ON

ENC

IAL

MARCA DE CLASE

FUNCION EXPONENCIAL



RESUMEN

0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

1.4000

1.6000

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

FUN

CIO

N G

UM

BEL

MARCA DE CLASE

Función de Gumbel



La función que más se ajusta a los datos de la estación Querococha es la función

gumbel.

1.1.2. DESCRIPCIÓN DE DATOS ESTADÍSTICOS DE OLLEROS

a) Ordenar los datos CORREGIDOS en forma descendente

ORDEN AÑOS M. ANUAL

1 1982 7.185

2 1988 6.590

3 1970 6.231

4 1973 6.023

5 1983 5.928

6 1992 5.665

7 1987 5.649

8 1978 5.455

9 1975 5.288

10 1971 5.277

11 1985 5.177

12 1993 4.993

13 1974 4.823

14 1986 4.722

0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

1.4000

1.6000

0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

MARCA DE CLASE

Función de Gumbel FUNCION DE DENSIDAD NORMAL

FUNCION EXPONENCIAL Polígono de Frecuencia Relativa

FUNCION DE DENSIDAD EMPIRICA



15 1972 4.718

16 1990 4.584

17 1995 4.576

18 1980 4.508

19 1981 4.444

20 1976 4.396

21 1994 4.391

22 1977 4.327

23 1979 4.277

24 1984 4.260

25 1989 4.134

26 1991 3.929

b) Calcular el rango o la amplitud de la muestra.

Rmáx 7.185

Rmin 3.929

R 3.256

c) Calcular el número de intervalos de clase con la ecuación de Sturges.

n 26

k 5.3332684 6

d) calcular la amplitud de cada intervalo de clase; con la siguiente fórmula.

Δx 0.54263889

k Lim inf. Lim sup.

1 3.929 4.472

2 4.472 5.014

3 5.014 5.557

4 5.557 6.100

5 6.100 6.642

6 6.642 7.185



e) Tabular la tabla de frecuencia

K

Intervalo de Clase

Marca de

clases

Frecuencia Absoluta

F. Abs Acum.

Frecuencia Relativa

F. Rel. Acum.

Densidad relativa

Lim. Inf. Lim. Sup.

0 3.387 3.929 3.658 0 0 0 0

1 3.929 4.472 4.200 8 8 0.30769 0.30769 0.56703

2 4.472 5.014 4.743 7 15 0.26923 0.57692 0.49615

3 5.014 5.557 5.286 4 19 0.15385 0.73077 0.28351

4 5.557 6.100 5.828 4 23 0.15385 0.88462 0.28351

5 6.100 6.642 6.371 2 25 0.07692 0.96154 0.14176

6 6.642 7.185 6.914 1 26 0.03846 1.00000 0.07088

7 7.185 7.728 7.456 0 0 0 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

4.200 4.743 5.286 5.828 6.371 6.914

Fre

cue

nci

as A

bso

luta

s

Descarga(m3/seg)

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS ABSOLUTA



0

8

7

4 4

2

1

00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2.635 3.335 4.035 4.735 5.435 6.135 6.835 7.535

Fre

cue

nci

a ab

solu

ta

Descarga (m3/s)

Polígono de Frecuencia Absoluta

0

8

15

19

23

2526 26

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Fre

cue

nci

a ab

solu

ta a

cum

ula

da

Descarga (m3/s

Frecuencia Absoluta Acumulada



0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

4.200 4.743 5.286 5.828 6.371 6.914

Fre

cue

nci

a R

ela

tiva

Descarga(m3/seg)

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS RELATIVA

0

0.307692308

0.269230769

0.1538461540.153846154

0.076923077

0.038461538

00

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

2.635 3.335 4.035 4.735 5.435 6.135 6.835 7.535

Fre

cue

nci

a R

ela

tiva

Descarga (m3/s)

Polígono de Frecuencia Relativa



0

0.115384615

0.307692308

0.653846154

0.846153846

0.9615384621 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Fre

cue

nci

a ab

solu

ta a

cum

ula

da

Descarga (m3/s

Frecuencia Relativa Acumulada

0

0.567029592

0.496150893

0.2835147960.283514796

0.141757398

0.070878699

00

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Fun

cio

n d

e D

en

sid

ad E

mp

iric

a

Descarga (m3/s)

Función Densidad Empirica

Series1



FUNCION NORMAL

k Intervalo de Clase

Marca de Clase 1/((2*π)^(0.5)*σ) ((Xi-

X)/σ)^(2)

Función

Normal Lim. Inf. Lim. Sup.

0 3.3865 3.9292 3.6578 0.4818 2.8653 0.0000

1 3.9292 4.4718 4.2005 0.4818 1.0762 0.2813

2 4.4718 5.0144 4.7431 0.4818 0.1460 0.4479

3 5.0144 5.5571 5.2858 0.4818 0.0747 0.4641

4 5.5571 6.0997 5.8284 0.4818 0.8623 0.3131

5 6.0997 6.6424 6.3710 0.4818 2.5088 0.1374

6 6.6424 7.1850 6.9137 0.4818 5.0142 0.0393

7 7.1850 7.7276 7.4563 0.4818 8.3785 0.0073

0.0000

0.2813

0.44790.4641

0.3131

0.1374

0.0393

0.00730.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.0000 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000

Función Normal

Función Normal




k Intervalo de Clase

Marca de Clase λ=1/X Función

Exponencial Lim. Inf. Lim. Sup.

0 3.9292 3.9292 3.6578 0.1976 0.0959

1 3.9292 4.4718 4.2005 0.1976 0.0862

2 4.4718 5.0144 4.7431 0.1976 0.0774

3 5.0144 5.5571 5.2858 0.1976 0.0695

4 5.5571 6.0997 5.8284 0.1976 0.0625

5 6.0997 6.6424 6.3710 0.1976 0.0561

6 6.6424 7.1850 6.9137 0.1976 0.0504

7 7.1850 7.1850 7.4563 0.1976 0.0453

0.0959

0.0862

0.0774

0.0695

0.0625

0.0561

0.05040.0453

0.0000

0.0200

0.0400

0.0600

0.0800

0.1000

0.1200

0.0000 2.0000 4.0000 6.0000 8.0000

Función Exponencial




FUNCIÓN DE GUMBEL

k

Intervalo de Clase

Marca de Clase 𝛼=0.78*σ β=X-0.45*σ

w=(x-β)/𝛼 Función

de Gumbel

Lim. Inf. Lim. Sup.

0 3.9292 3.9292 3.6578 0.6459 4.5816 -1.4302 0.0991

1 3.9292 4.4718 4.2005 0.6459 4.5816 -0.5900 0.4599

2 4.4718 5.0144 4.7431 0.6459 4.5816 0.2502 0.5534

3 5.0144 5.5571 5.2858 0.6459 4.5816 1.0903 0.3718

4 5.5571 6.0997 5.8284 0.6459 4.5816 1.9305 0.1943

5 6.0997 6.6424 6.3710 0.6459 4.5816 2.7706 0.0911

6 6.6424 7.1850 6.9137 0.6459 4.5816 3.6108 0.0407

7 7.1850 7.1850 7.4563 0.6459 4.5816 4.4510 0.0179

0.0991

0.4599

0.5534

0.3718

0.1943

0.0911

0.04070.0179

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.0000 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000

Función de Gumbel

Función de Gumbel



EN RESUMEN:

la función que más se ajusta a los datos de la estación olleros es la función

gumbel.

1.1.3. DESCRIPCIÓN DE DATOS ESTADÍSTICOS DE QUILLCAY

a) Ordenamientos de forma descendente

ORDEN AÑO MEDIA ANUAL

1 1970 8.97

2 1982 8.41

3 1992 8.28

4 1973 8.19

5 1980 8.08

6 1978 7.64

7 1987 7.56

8 1983 7.53

9 1986 7.49

10 1993 7.48

11 1971 7.47

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 2 4 6 8

Marca de clase

Función de Densidad

Función Normal


Función de Gumbel



12 1981 7.45

13 1988 7.43

14 1994 7.24

15 1995 7.14

16 1974 7.08

17 1991 7.04

18 1990 7.03

19 1976 6.92

20 1989 6.77

21 1972 6.73

22 1975 6.50

23 1977 6.47

24 1979 6.14

25 1985 5.90

26 1984 5.11

b) Calculo del rango o la amplitud de la muestra.

𝑹 = 𝑿𝒎𝒂𝒙 − 𝑿𝒎𝒊𝒏

Rmáx 8.97

Rmin 5.11

R 3.86

c) Calcular el número de intervalos de clase con la ecuación de sturges

𝒌 = 𝟏. 𝟑𝟑 𝐥𝐧(𝒏) + 𝟏

n 26

k 5.333268396 6

d) calcular la amplitud de cada intervalo de clase; con la siguiente fórmula.

∆𝑿 =𝑹

𝒌

ΔX 0.6425

e) Calcular los límites de clase de cada intervalo de clase

k Lim. Inf. Lim. Sup.

1 5.11 5.75

2 5.75 6.40

3 6.40 7.04

4 7.04 7.68

5 7.68 8.32



6 8.32 8.97

f) calcular las marcas de clase.

k Marca de clase

1 5.43

2 6.07

3 6.72

4 7.36

5 8.00

6 8.64

g) Tabular la tabla de frecuencia.

k Intervalo de Clase Marca de Clase

Frecuencia Absoluta

Frecuencia Abs. Acum.

Frecuencia Relativa

Frecuencia Rel. Acum.

Densidad Empirica Lim. Inf. Lim. Sup.

1 5.11 5.75 5.43 1 1 0.038 0.038 0.05986232

2 5.75 6.40 6.07 2 3 0.077 0.115 0.11972463

3 6.40 7.04 6.72 6 9 0.231 0.346 0.3591739

4 7.04 7.68 7.36 12 21 0.462 0.808 0.7183478

5 7.68 8.32 8.00 3 24 0.115 0.923 0.17958695

6 8.32 8.97 8.64 2 26 0.077 1.000 0.11972463

N 26



h) Polígono de frecuencias absolutas

k Intervalo de Clase Marca de

Clase Frecuencia Absoluta

Frecuencia Abs.

Acum.

Frecuencia Relativa


Densidad Empirica

Lim. Inf. Lim. Sup.

4.4675 5.11 4.78875 0 0 0 0 0

1 5.11 5.7525 5.43125 1 1 0.03846154 0.03846154 0.05986232

2 5.7525 6.395 6.07375 2 3 0.07692308 0.11538462 0.11972463

3 6.395 7.0375 6.71625 6 9 0.23076923 0.34615385 0.3591739

4 7.0375 7.68 7.35875 12 21 0.46153846 0.80769231 0.7183478

5 7.68 8.3225 8.00125 3 24 0.11538462 0.92307692 0.17958695

6 8.3225 8.965 8.64375 2 26 0.07692308 1 0.11972463

8.965 9.6075 9.28625 0 0 0 0 0

N 26

1

2

6

12

3

2

0

2

4

6

8

10

12

14

5.43 6.07 6.72 7.36 8.00 8.64

fre

cue

nci

as a

bso

luta

s

Descarga (m3/seg)

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS



0

1

2

6

12

3

2

0

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

frec

uenc

ias

abso

luta

s

Descarga (m3/seg)

POLIGONO DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS



i) Polígono de frecuencias absolutas acumuladas

j) histograma de frecuencias absolutas

K Intervalo de Clase Marca de

Clase Frecuencia Absoluta

Frecuencia Abs.

Acum.

Frecuencia Relativa


Densidad Empirica

Lim. Inf. Lim. Sup.

1 5.11 5.7525 5.43125 1 1 0.03846 0.03846 0.05986

2 5.7525 6.395 6.07375 2 3 0.07692 0.11538 0.11972

3 6.395 7.0375 6.71625 6 9 0.23077 0.34615 0.35917

4 7.0375 7.68 7.35875 12 21 0.46154 0.80769 0.71835

5 7.68 8.3225 8.00125 3 24 0.11538 0.92308 0.17959

6 8.3225 8.965 8.64375 2 26 0.07692 1 0.11972

01

3

9

21

24

26

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

fre

cue

nci

as a

cum

ula

das

Descarga (m3/seg)

POLIGONO DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS ACUMULADAS



k) polígono de frecuencias absolutas

k Intervalo de Clase Marca

de Clase

Frecuencia Absoluta

Frecuencia Abs.

Acum.

Frecuencia Relativa


Densidad Empirica

Lim. Inf. Lim. Sup.

4.4675 5.11 4.78875 0 0 0 0 0.00

1 5.11 5.7525 5.43125 1 1 0.03846154 0.03846154 0.06

2 5.7525 6.395 6.07375 2 3 0.07692308 0.11538462 0.12

3 6.395 7.0375 6.71625 6 9 0.23076923 0.34615385 0.36

4 7.0375 7.68 7.35875 12 21 0.46153846 0.80769231 0.72

5 7.68 8.3225 8.00125 3 24 0.11538462 0.92307692 0.18

6 8.3225 8.965 8.64375 2 26 0.07692308 1 0.12

8.965 9.6075 9.28625 0 0 0 0 0.00

0.03846

0.07692

0.23077

0.46154

0.11538

0.07692

0.00000

0.05000

0.10000

0.15000

0.20000

0.25000

0.30000

0.35000

0.40000

0.45000

0.50000

5.43125 6.07375 6.71625 7.35875 8.00125 8.64375

FREC

UEN

CIA

S R

ELA

TIV

AS

Descarga (m3/seg

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS RELATIVAS



l) polígono de frecuencias absolutas acumuladas

00.038461538

0.076923077

0.230769231

0.461538462

0.1153846150.076923077

00

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

fre

cue

nci

as r

ela

tiva

s

Descarga (m3/seg

POLIGONO DE FRECUENCIAS RELATIVAS

00.038461538

0.115384615

0.346153846

0.807692308

0.923076923

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

fre

cue

nci

as r

ela

tiva

s ac

um

ula

das

Descarga (m3/seg

POLIGONO DE FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULADAS



m) Función e densidad empírica:

FUNCIÓN NORMAL

Qprom 7.23

S 0.824

k


Clase Función Normal(Fx)

Lim. Inf. Lim. Sup.

4.47 5.11 4.79 0.48414 8.78370 0.00599

1 5.11 5.75 5.43 0.48414 4.76994 0.04459

2 5.75 6.40 6.07 0.48414 1.97208 0.18061 3 6.40 7.04 6.72 0.48414 0.39012 0.39834

4 7.04 7.68 7.36 0.48414 0.02406 0.47835

5 7.68 8.32 8.00 0.48414 0.87391 0.31276 6 8.32 8.97 8.64 0.48414 2.93966 0.11134

0.00

0.06

0.12

0.36

0.72

0.18

0.12

0.000.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

DEN

CID

AD

EN

PIR

ICA

Descarga (m3/seg

FUNCION DE DENCIDAD EMPIRICA

1

√2π ∙ 𝑠

𝑒−12

(𝑥−�̅�

𝑠)

2



8.97 9.61 9.29 0.48414 6.22131 0.02158


k


Clase λ=1/X


Lim. Inf. Lim. Sup.

4.47 5.11 4.79 0.138295 0.071

1 5.11 5.75 5.43 0.138295 0.065

2 5.75 6.40 6.07 0.138295 0.060

3 6.40 7.04 6.72 0.138295 0.055

4 7.04 7.68 7.36 0.138295 0.050

5 7.68 8.32 8.00 0.138295 0.046

6 8.32 8.97 8.64 0.138295 0.042

8.97 9.61 9.29 0.138295 0.038

0.005990.04459

0.18061

0.39834

0.47835

0.31276

0.11134

0.021580.00000

0.10000

0.20000

0.30000

0.40000

0.50000

0.60000

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00

dis

trib

uci

on

no

rmal

funcion normal



FUNCIÓN GUMBEL

k


Clase 𝛼=0.78*σ β=X-0.45*σ w=(x-β)/𝛼

Función de Gumbel Lim. Inf.

Lim. Sup.

0 3.9292 3.9292 3.6578 0.6459 4.5816 -1.4302 0.0991

1 3.9292 4.4718 4.2005 0.6459 4.5816 -0.5900 0.4599

2 4.4718 5.0144 4.7431 0.6459 4.5816 0.2502 0.5534

3 5.0144 5.5571 5.2858 0.6459 4.5816 1.0903 0.3718

4 5.5571 6.0997 5.8284 0.6459 4.5816 1.9305 0.1943

5 6.0997 6.6424 6.3710 0.6459 4.5816 2.7706 0.0911

6 6.6424 7.1850 6.9137 0.6459 4.5816 3.6108 0.0407

7 7.1850 7.1850 7.4563 0.6459 4.5816 4.4510 0.0179

0.071

0.065

0.0600.055

0.0500.046

0.0420.038

0.000

0.010

0.020

0.030

0.040

0.050

0.060

0.070

0.080

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00

dis

trib

uci

on

no

rmal

Descarga (m3/seg

FUNCION EXPONENCIAL



n) Superposición de funciones.

La función que más se ajusta a los datos de la estación Quillcay es la función

normal

0.5435

0.3181

0.1398

0.05450.02070.00770.00290.00110.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.0000 2.0000 4.0000 6.0000 8.0000 10.0000

Función de Gumbel

Función de Gumbel

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 2 4 6 8 10

Marca de clase

Función de Densidad

Función Normal


Función de Gumbel



II. DISCUSION DE RESULTADOS

Cuando se realizó en Análisis Visual gráfico no se observó ningún salto ni tendencia

resaltante en ninguna de la Estaciones (Querococha, Olleros y Quillcay), esto se

confirmó realizando los análisis estadísticos de consistencia y tendencia de los

mismos, cuando resultaba que no se realizaba ninguna corrección de datos.

III. CONCLUSIONES

3.1. Las lecturas de caudales medios anuales de las estaciones Querococha,

Olleros y Quillcay son correctas.

3.2. La función que más se ajusta a los datos de la estación Olleros es la función

Gumbel.

IV. BIBLIOGRAFIA REFERENCIADA

4.1. Ing. Carlos D. SEGERER e Ing. Rubén VILLODAS. ”Estadística aplicada a la

hidrología”. Pág. 123

4.2. REYES CARRASCO, Luis V. “HIDROLOGIA BÁSICA”, Editorial del CONCYTEC,

Lima-Perú, 1992.

4.3. VILLON BEJAR, Máximo. “HIDROLOGIA”, Publicaciones del Instituto

Tecnológico de Costa Rica, 2º Edición, 2002.

4.4. VILLON BEJAR, Máximo. “HIDROLOGIA ESTADISTICA”, Instituto Tecnológico

de Costa Rica, 3º Edición, Lima-Perú, 2005. Pág. 94-103, 270-275.

4.5. CHEREQUE MORAN, Wendor. “HIDROLOGIA PARA INGENIEROS CIVILES”,

PUPC. Pág. 26.

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