hfB-formler-2017 www version - emu formelsamling … · 2. 3 Forord: ”Matematisk formelsamling HF...
Transcript of hfB-formler-2017 www version - emu formelsamling … · 2. 3 Forord: ”Matematisk formelsamling HF...
Hf B-niveau
Matematiskformelsamling
Denne udgave af Matematisk formelsamling Hf B-niveau er udgivet af Undervisningsministeriet og gjort tilgængelig på uvm.dk.
Formelsamlingen er udarbejdet i et samarbejde mellem Matematiklærerforeningenog Undervisningsministeriet, Styrelsen for Undervisning og Kvalitet, januar 2018
Kopiering til andet end personlig brug må kun ske efter aftale med Copy-Dan.
ISBN:978-87-603-3158-9
Forfattere: Gert Schomacker, Jesper Bang-Jensen, Bodil Bruun og Jørgen Dejgaard
2
3
Forord: ”Matematisk formelsamling HF B” er udarbejdet til brug for eksaminanderne ved den skriftlige prøve og i undervisningen på hf i matematik på B-niveau. Formelsamlingen indeholder de emner, der forekommer i læreplanen for matematik på B-niveau på hf inden for både kernestof og supplerende stof. For overblikkets skyld er medtaget formler for areal og rumfang af en række elementærgeometriske figurer. Endvidere indeholder formelsamlingen en liste over matematiske standardsymboler. Hensigten hermed er dels at give eleverne et hurtigt overblik, dels at bidrage til, at undervisere og forfattere af undervisningsmaterialer kan anvende ensartet notation, symbolsprog og terminologi. Listen over matematiske standardsymboler går derfor ud over kernestoffet, men holder sig dog inden for det matematiske univers i gymnasiet og på hf. En række af formlerne i formelsamlingen er kun anvendelige under visse forudsætninger (fx at nævneren i en brøk er forskellig fra 0). Sådanne forudsætninger er af hensyn til overskueligheden ikke eksplicit nævnt. Figurerne er medtaget som illustration til formlerne, og den enkelte figur anskueliggør ofte ét blandt flere mulige tilfælde. Betydningen af de størrelser, der indgår i formlerne, er ikke altid forklaret, men vil dog være det i tilfælde, hvor betydningen ikke følger umiddelbart af skik og brug i den matematiske litteratur.
Birte Iversen
Undervisningsministeriet, Styrelsen for Undervisning og Kvalitet,
Kontor for Prøver, Eksamen og Test Januar 2018
4
Indhold
Procent- og rentesregning 5
Indekstal 5
Proportionalitet 6
Brøkregler 6
Kvadratsætninger 7
Potensregneregler 7
Ensvinklede trekanter 8
Retvinklet trekant 8
Vilkårlig trekant 9
Analytisk geometri 10
Lineære sammenhænge 13
Andengradspolynomier 14
Logaritmefunktioner 15
Eksponentielt voksende funktioner 16
Eksponentielt aftagende funktioner 17
Potensfunktioner 18
Trigonometriske funktioner 19
Differentialregning 20
Afledede funktioner 21
Grupperede observationer 22
Ugrupperede observationer 23
Lineær regression 25
Kombinatorik 26
Sandsynlighedsregning 27
Binomialfordelingen 28
Pascals trekant 30
Multiplikationstabel 31
Areal og omkreds, rumfang og overflade 32
Matematiske standardsymboler 33
Stikordsregister 38
5
Procent- og rentesregning
Begyndelsesværdi B Slutværdi S
(1) (1 )S B r
Vækstrate r (2) 1S
rB
Procentvis ændring p (3) % 100%p r= ⋅
Kapitalformel Startkapital K0
Rente p% pr. termin Kapital K efter n terminer
(4) 0 (1 )nK K r= ⋅ + , hvor 100
pr
Annuitetsopsparing Terminsindbetaling b Rentefod r Antal indbetalinger n Kapital A efter sidste indbetaling
(5) (1 ) 1nr
A br
+ -= ⋅
Annuitetslån Hovedstol G Rentefod r Antal terminsydelser n Terminsydelse y
(6)
1 (1 ) n
ry G
r -= ⋅- +
Indekstal
Værdi B S
Indekstal BI SI
(7)
S B
SI I
B S
B
IS B
I
6
Proportionalitet
x og y er proportionale Proportionalitetsfaktor k
(8) y k x y
kx
x og y er omvendt proportionale
(9) 1
y kx
x y k
Brøkregler
(10) b a b
ac c
⋅⋅ =
(11) bc
a a c
b
⋅=
(12) ab a
c b c=
⋅
(13) abcd
a d
b c
⋅=
⋅
(14) a c a c
b d b d
⋅⋅ =
⋅
(1)
(2)
y k x = ·
(2)
(1)
1y k
x= ⋅
7
Kvadratsætninger
(15) 2 2 2( ) 2a b a b ab+ = + +
(16) 2 2 2( ) 2a b a b ab- = + -
(17) 2 2( )( )a b a b a b+ - = -
Potensregneregler
(18) r s r sa a a +⋅ =
(19) r
r ss
aa
a
(20) ( )r s r sa a ⋅=
(21) ( )r r ra b a b⋅ = ⋅
(22) r r
r
a a
b b
(23) 0 1a
(24) 1r
ra
a
(25) 1 1a
a- =
(26) 1
r ra a
(27) r
s sra a
(28) a b a b⋅ = ⋅
(29) a a
b b=
(30) 12a a=
8
Ensvinklede trekanter
(31) 1 1 1a b ck
a b c
(32) 1
1
1
a k a
b k b
c k c
Retvinklet trekant
Pythagoras’ sætning (33) 2 2 2c a b
cosinus (34) cos( )b
Ac
sinus (35) sin( )a
Ac
tangens (36) tan( )a
Ab
B
A1
C
B1
A
C1
a1
c1
b1
b
c a
A
B
C
a
b
c
9
Vilkårlig trekant
Trekantens vinkelsum (37) 180A B C + + =
Trekantens areal T (38) 12
T h g
cosinusrelation (39) 2 2 2 2 cos( )c a b a b C
sinusrelation (40) sin( ) sin( ) sin( )
a b c
A B C= =
Trekantens areal T (41) 12
sin( )T a b C= ⋅ ⋅
g
h
A C
B
A
B
C
a
b
c
10
Analytisk geometri
Ligning for linjen l gennem (0, )Q b med
hældningskoefficient a
(42) y a x b= ⋅ +
Hældningskoefficient (stigningstal) a for linjen l gennem 1 1( , )A x y og 2 2( , )B x y
(43) 2 1
2 1
y ya
x x-
=-
Skæring med y-aksen
(44) 1 1b y a x= - ⋅
Ligning for linjen l gennem1 1( , )A x y med
hældningskoefficient a
(45) 1 1( )y a x x y= ⋅ - +
Hældningsvinklen v er vinklen fra førsteaksen til l regnet med fortegn
(46) tan( )a v=
Ligning for lodret linje (47) x k=
(1)
(2)
A x y( , )1 1
B x y( , )2 2
l
Q b(0, )
v
(1)
(2) x k =
k
11
Ortogonale linjer l og m (48) 1l m a c^ ⋅ =-
Afstand AB mellem to punkter
1 1( , )A x y og 2 2( , )B x y (49) 2 2
2 1 2 1( ) ( )AB x x y y= - + -
Midtpunkt M for linjestykke AB (50) 1 2 1 2,2 2
x x y yM
æ ö+ + ÷ç ÷ç ÷çè ø
Afstand dist(P,l) fra punktet
1 1( , )P x y til linjen l med ligningen y a x b= ⋅ +
(51) 1 1
2
| |dist( , )
1
a x b yP l
a
⋅ + -=
+
(1)
(2) m
l
y a x b= ⋅ +
y c x d= ⋅ +
A y( , )x1 1
B x y( , )2 2
(1)
(2)
(2)
(1)
M
1 1( , )A x y
2 2( , )B x y
(1)
(2)
l1 1( , )P x y
12
Ligning for cirkel med centrum i ( , )C a b og radius r
(52) 2 2 2( ) ( )x a y b r- + - =
Ligning for parabel med symmetriakse parallel med andenaksen
(53) 2 2( )y a x b x c a x h k= ⋅ + ⋅ + = ⋅ - +
Toppunkt T (54)
2
( , ) , ,2 4
hvor 4
b dT h k T
a a
d b ac
æ ö- - ÷ç= ÷ç ÷çè ø
= -
Skæringspunkter 1S og 2S med førsteaksen
(55) 1 2,0 , ,02 2
b d b dS S
a a
æ ö æ ö- - - +÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
(2)
(1)
rC a b( , )
(1)
(2)
x1 x2
T h k( , )
13
Lineære funktioner
Førstegradspolynomium, lineær funktion f
(56) ( )f x a x b
Hældningskoefficienten a (stigningstallet) ud fra 2 punkter på grafen
1 1( , )x y og 2 2( , )x y
(57) 2 1
2 1
y ya
x x
Skæring med y-aksen (58) 1 1b y a x
(1)
(2)
b 1
a
(1)
(2)
x1
y1
y2
x2
f
14
Andengradspolynomier
Andengradspolynomium p med nulpunkter (rødder)
1x og 2x
(59) 2
1 2
( )
( ) ( )
p x a x b x c
a x x x x
Nulpunkter (rødder) i p (60) 1 2
2
, ,2 2
hvor 4
b d b dx x
a a
d b ac
- - - += =
= -
Toppunkt T (61) ,2 4
b dT
a a
æ ö- - ÷ç ÷ç ÷çè ø
(1)
(2)
x1
p
x2
T
15
Logaritmefunktioner
Den naturlige logaritmefunktion
(62) ( ) ln( )f x x=
Grafen for den naturlige logaritmefunktion
(63)
Logaritmefunktionen med grundtal 10
(64) ( ) log( )f x x=
Grafen for logaritme- funktionen med grundtal 10
(65)
(1)
(2)
ln ( )x
1 e
1
(1)
(2)
log( )x
1 101
16
Eksponentielt voksende funktioner
Grafen for en eksponentielt voksende funktion f
1a> vækstraten 0r >
0k >
(66) ( )
(1 )
e , hvor ln( )
x
x
k x
f x b a
b r
b k a
(67) ( ) forf x x
(68) ( ) 0 forf x x
Fremskrivningsfaktoren a ud fra 2 punkter på grafen
1 1( , )x y og 2 2( , )x y
(69)
2 12 1 2 2
1 1
1x xx x y y
ay y
Skæring med y-aksen (70) 1
1x
yb
a
Fordoblingskonstanten 2T (71) 2 2 1T x x= -
(72) 2
log(2) ln(2) ln(2)
log( ) ln( )T
a a k= = =
(2)
(1)b
f
(2)
(1)
y1
x1 x2
2y1
T2
y b a= x
17
Eksponentielt aftagende funktioner
Grafen for en eksponentielt aftagende funktion f 0 1a< < vækstraten 0r <
0k <
(73) ( )
(1 )
e , hvor ln( )
x
x
k x
f x b a
b r
b k a
(74) ( ) 0 forf x x
(75) ( ) forf x x
Fremskrivningsfaktoren a ud fra 2 punkter på grafen
1 1( , )x y og 2 2( , )x y
(76)
2 12 1 2 2
1 1
1x xx x y y
ay y
Skæring med y-aksen (77) 1
1x
yb
a
Halveringskonstanten 12
T (78) 12
2 1T x x= -
(79)
12
1 1 12 2 2
log ln( ) ln( )
log( ) ln( )T
a a k
(2)
(1)
b
(2)
(1)
y1
x1 x2
y1
12
y b a= x
T12
18
Potensfunktioner
Potensfunktion (80) ( ) af x b x
Grafer for ( ) af x x
Bestemmelse af tallet a ud fra to punkter på grafen
1 1( , )x y og 2 2( , )x y
(81) 2 1 2 1
2 1 2 1
log( ) log( ) ln( ) ln( )
log( ) log( ) ln( ) ln( )
y y y ya
x x x x
Skæring med y-aksen (82)
1
1a
yb
x=
Når x ganges med tallet 1 xr , så ganges ( )f x med tallet 1 yr
(83) 1 (1 )ay xr r
Når x ganges med tallet k, så ganges ( )f x med tallet ak
(84) ( ) ( )af k x k f x
(2)
(1)
1
1
a < 0
a = 1
0 < < 1a
a > 1
19
Trigonometriske funktioner
Harmonisk svingning f (85) ( ) sin( )f t A t
2 1
2πT t t
Graf for harmonisk svingning f
med amplitude A og periode (svingningstid) T
(86)
( )2
(1)
T
20
Differentialregning
Differentialkvotienten 0( )f x for funktionen f i tallet 0x
(87) 0
00
0
0 0
0
( ) ( )( ) lim
( ) ( )lim
x x
h
f x f xf x
x x
f x h f x
h
Ligning for tangenten t til grafen for f i 0 0( , ( ))P x f x
(88) 0 0 0( ) ( ) ( )y f x x x f x eller y a x b= ⋅ +
hvor 0( )a f x og 0 0b y a x
Regneregler for differentiation (89) ( ( )) ( )k f x k f x
(90) ( ( ) ( )) ) ( )f x g x f x g x
(91) ( ( ) ( )) ) ( )f x g x f x g x
(92) ( ( ) ( ))
) ( ) ( ) ( )
f x g x
f x g x f x g x
(93) ( )( ) ( )f a x b a f a x b
(2)
(1)
f
tP
x0
f x( )0
21
Afledede funktioner
Funktion
Afledet funktion
( )y f x
( )dy
y f xdx
Lineær funktion (94) a x b⋅ + a
(95) k 0
Logaritmefunktion (96) ln( )x
11x
x
Eksponentialfunktioner (97) ex
ex
(98) ek x
ek xk
(99) xa
ln( )xa a
Potensfunktioner (100) ax
1aa x
(101) 11x
x
22
1x
x
(102) 12x x
121
21
2x
x
Trigonometriske funktioner (103) cos( )x
sin( )x
(104) sin( )x cos( )x
22
Grupperede observationer
Histogram
(105) Arealet af en blok svarer til intervallets frekvens
Histogram med ens intervallængder
(106) Højden af en blok svarer til intervallets frekvens
Sumkurve (107) 1Q : nedre kvartil, 25% -fraktilen
m : median, 50% -fraktilen
3Q : øvre kvartil, 75% -fraktilen
px
: p% -fraktilen
10%
10
2030
%
100%
Kumuleretfrekvens
Q1 m Q3
75
50
25
20
40
60
80
100%
Kumuleretfrekvens
xp
p
23
Ugrupperede observationer
(108) Observationerne afsat på en tallinje
Prikdiagram
(109) min: mindste observation
(110) max: største observation
Variationsbredde (111) max min-
(112) m: median (midterste observation, når antallet af observationer er ulige, ellers tallet midt mellem de to midterste observationer)
(113) 1Q : nedre kvartil
(medianen for den nederste halvdel af observationerne)
(114) 3Q : øvre kvartil
(medianen for den øverste halvdel af observationerne)
Kvartilbredde (115) 3 1Q Q-
(116) Boksplot, kassediagram
(boksens højde er uden betydning)
Kvartilsæt (117) 1 3( , , )Q m Q
Udvidet kvartilsæt (118) 1 3( , , , , )min Q m Q max
min
max
m
Q1
Q3
min Q1 m Q3 max
24
Outlier
(119) Observation, der ligger mere end halvanden kvartilbredde under nedre kvartil eller mere end halvanden kvartilbredde over øvre kvartil
Middeltal x for observations- sættet 1 2, , ... , nx x x
(120) 1 2 ... nx x x
xn
Spredning af en stikprøve
1 2, , ... , nx x x fra en population
(121)
2
1
( )
1
n
ii
x x
ns =
-=
-
å
2 2
1( ) ( )
1nx x x x
n
- + + -=
-
Venstreskæv fordeling (122) Middeltal mindre end medianen x m<
Ikke-skæv fordeling (123) Middeltal lig med medianen x m=
Højreskæv fordeling (124) Middeltal større end medianen x m>
x
x
x
25
Lineær regression
Tabel med observerede data
(125)
x 1x 2x 3x …
nx
y 1y 2y 3y … ny
Regressionslinje
(126) Bedste rette linje, graf for ( )f x a x b= ⋅ +
Punktplot og bedste rette linje
(127)
Residual (128) Forskel mellem observeret y-værdi og tilsvarende y-værdi i model
Residualtabel (129)
x 1x 2x 3x … nx
Residual 1 1 1( )r y f x= - 2 2 2( )r y f x= - 3 3 3( )r y f x= - … ( )n n nr y f x= -
Residualplot (130)
Residualspredning (131) 2 2 2
1 2 ...
2nr r r
sn
+ + +=
-
(1)
(2)
modelpunkter observerede datapunkter
f
(2)
(1)x1
x2
x3
xn
r2
rn
r3
r1
26
Kombinatorik
Multiplikationsprincip Antal mulige måder at vælge både ét element fra N og et element fra M, hvor N består af n elementer og M består af m elementer
(132) n m⋅
Additionsprincip Antal mulige måder at vælge enten ét element fra N eller ét element fra M, hvor N består af n elementer og M består af m elementer
(133) n m+
Fakultet (134) ! ( 1) ( 2) 2 1n n n n= ⋅ - ⋅ - ⋅ ⋅ ⋅
Permutationer Antal muligheder for udvælgelse af r elementer blandt n elementer, når rækkefølgen har betydning
(135) !
( , )( )!
nP n r
n r=
-
Kombinationer Antal muligheder for udvælgelse af r elementer blandt n elementer, når rækkefølgen ikke har betydning
(136) !
( , )!( )!
nK n r
r n r=
-
27
Sandsynlighedsregning
Sandsynlighedsfelt med udfaldsrum U og sandsynligheder p
(137) ( , )U p
Udfaldsrum U med n udfald (138) Mængden af alle udfald
1 2{ , , , }nu u u⋅⋅⋅
Summen af alle sandsynligheder
(139) 1 2 3 ... 1np p p p+ + + + =
Sandsynlighedstabel (140) Udfald 1u 2u 3u … nu
Sandsynlighed 1p 2p 3p … np
Hændelse A med k udfald fra U
(141) Mængde af k udfald fra U
Sandsynlighed for hændelse A (142) Summen af de k udfalds sandsynligheder
Symmetrisk sandsynlighedsfelt
Alle sandsynligheder er lige store
(143) 1 2 3
1... np p p p
n= = = = =
Sandsynlighed for udvælgelse af et element fra A
(144) ( )k antal gunstige
p An antal mulige
= =
Sandsynlighed ved kombination af uafhængige hændelser A og B
(145) (både og ) ( ) ( )P A B P A P B= ⋅
Sandsynlighed ved kombination af hændelser A og B, som ikke har noget fælles udfald
(146) ( eller ) ( ) ( )P A B P A P B= +
28
Sandsynlighedsfordelings-tabel for en stokastisk variabel X
(147)
iX x= 1x 2x 3x … nx
( )iP X x= 1p 2p 3p … np
Søjlediagram. Højde af søjle svarer til sandsynlighed af udfald
(148)
Middelværdi af en stokastisk variabel X
(149)
1
1 1 2 2 3 3
( ) ( )n
i ii
n n
E X x P X x
x p x p x p x p
m=
= = ⋅ =
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅
å
Varians af en stokastisk variabel X
(150) 2
1
Var( ) ( ) ( )n
i ii
X x P X xm=
= - ⋅ =å2 2
1 1( ) ( )n nx p x pm m= - ⋅ + + - ⋅
Spredning af en stokastisk variabel X
(151) ( ) Var( )X Xs s= =
Binomialfordeling
Binomialfordelt stokastisk variabel X med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p
(152) ( , )X b n p
Binomialkoefficient ( , )K n r (153)( )
!( , )
! !
n nK n r
r r n r
æ ö÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç -è ø
(154) ( , ) ( , )K n r K n n r= -
Sandsynlighedsfunktion for binomialfordelt stokastisk variabel X
(155) ( ) ( , ) (1 )r n rP X r K n r p p -= = ⋅ ⋅ -
Middelværdi m (156) n pm= ⋅
Spredning s (157) (1 )n p ps= ⋅ ⋅ -
(1)
(2)
x1 x2 x3 xn.. .
29
Statistisk usikkerhed i stikprøver
Antal elementer i stikprøven n 95% konfidensinterval for populationens sandsynlighedsparameter p estimeret ud fra stikprøveandelen p
(158)
ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 )ˆ ˆ2 ; 2
p p p pp p
n n
é ù⋅ - ⋅ -ê ú- ⋅ + ⋅ê úê úë û
Normalfordelingsapproksimation til binomialfordelt stokastisk variabel X med middelværdi
n pm= ⋅
og spredning
(1 )n p ps= ⋅ ⋅ -
(159)
(1)
� � ��� ��2� ��3� �� 2� �� 3� ��
normale udfald
Exceptionelleudfald
Exceptionelleudfald
(1)
� � ��� ��2� ��3� �� 2� �� 3� ��
68,27%
95,45%
99,73%
30
Pascals trekant (160)
K(0,0)
K(1,0) K(1,1)
K(2,0) K(2,1) K(2,2)
K(3,0) K(3,1) K(3,2) K(3,3)
K(4,0) K(4,1) K(4,2) K(4,3) K(4,4)
K(5,0) K(5,1) K(5,2) K(5,3) K(5,4) K(5,5)
K(6,0) K(6,1) K(6,2) K(6,3) K(6,4) K(6,5) K(6,6)
K(7,0) K(7,1) K(7,2) K(7,3) K(7,4) K(7,5) K(7,6) K(7,7)
K(8,0) K(8,1) K(8,2) K(8,3) K(8,4) K(8,5) K(8,6) K(8,7) K(8,8)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
31
Multiplikationstabel (161)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220
12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240
13 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260
14 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280
15 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300
16 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320
17 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340
18 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360
19 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380
20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
Røde tal: Kvadrattal
32
Areal og omkreds, rumfang og overflade af geometriske figurer
Trekant
h højde g grundlinje
A areal 12A hg
Parallelogram
h højde g grundlinje
A areal A hg
Trapez
h højde a, b parallelle sider
A areal 12 ( )A h a b
Cirkel
r radius
A areal 2πA r
O omkreds 2πO r
Kugle
r radius
O overflade 24πO r
V rumfang 34
3πV r
Cylinder
h højde r grundfladeradius
O krum overflade 2πO rh
V rumfang 2πV r h
Kegle
h højde s sidelinje r grundfladeradius O krum overflade πO rs
V rumfang 213
πV r h
g
h
A C
B
g
h
b
h
a
r
r
r
r
h
r
h s
33
Matematiske standardsymboler
Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.
.,.,.,. mængde på listeform 5,0,3,10 2,4,6,...
mængden af naturlige tal 1,2,3,...
mængden af hele tal ..., 2, 1,0,1,2,...
mængden af rationale tal tal, der kan skrives pq , ,p q
mængden af reelle tal
tilhører / er element i 2
;a b lukket interval 1;3 |1 3x x
;a b halvåbent interval 1;3 |1 3x x
;a b halvåbent interval 1;3 |1 3x x
;a b åbent interval 1;3 |1 3x x
er en ægte delmængde af 1,2,3 N
fællesmængde A B
Foreningsmængde A B
\ mængdedifferens \A B
A komplementærmængde \U A
Ø den tomme mængde
disjunkte mængder ØA B
mængdeprodukt 10;10 10;10
”og” i betydningen ”både og” (konjunktion)
2 5x y
”eller” i betydningen ”og/eller” (disjunktion)
2 5x x
A B
A B
A B
U A
A B
34
Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.
”medfører”, ”hvis … så” (implikation)
22 4x x= =
”ensbetydende”, ”hvis og kun hvis” (biimplikation)
2 4 2 2x x x= =- =
1
n
ii
a
1 2 ... na a a 4
2 2 2 2 2
1
1 2 3 4i
i
!n n fakultet, n udråbstegn ! 1 2 ... for 1n n n
0! 1=
( )f x funktionsværdi af x ved funktionen f
( ) 2 1f x x , så er (4) 3f = .
Dm( )f definitionsmængden for f
Vm( )f værdimængden for f
log( )x logaritmefunktionen med grundtal 10
log( ) 10yy x x
ln( )x den naturlige logaritme- funktion
ln( ) e yy x x
ex den naturlige eksponential- funktion ex betegnes også exp(x)
xa eksponentialfunktionen med grundtal a, 0a
xb a kaldes undertiden for en eksponentialfunktion eller en eksponentiel udvikling
ax potensfunktion
ab x kaldes undertiden for en potensfunktion eller en potens- udvikling
| |x numerisk (absolut) værdi af x | 3 | 3 , | 7 | 7
| |x betegnes også abs(x)
sin( )x sinus
cos( )x cosinus
tan( )x tangens sin( )
tan( )cos( )
xx
x=
35
Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.
1sin ( )y- omvendt funktion til sinus1
1
1
sin ( ) sin( )
sin (0,5) 30
sin betegnes også Arcsin
y x x y
1cos ( )y- omvendt funktion til cosinus1
1
1
cos ( ) cos( )
cos (0,5) 60
cos betegnes også Arccos
y x x y
1tan ( )y- omvendt funktion til tangens 1
1
1
tan ( ) tan( )
tan (1) 45
tan betegnes også Arctan
y x x y
0
lim ( )x x
f x
grænseværdien af ( )f x
for x gående mod 0x 8lim 1 3x
x
lim ( )x
f x
grænseværdien af ( )f x for x gående mod
1lim 0x x
0
( )
for
f x a
x x
( )f x går mod a
for x gående mod 0x 1 3for 8x x+
( )
for
f x a
x
¥
( )f x går mod a
for x gående mod 0 forxe x- ¥
x x-tilvækst 0x x x
,y f funktionstilvækst for ( )y f x 0( ) ( )y f f x f x
,y f
x x
differenskvotient for
( )y f x 0
0
( ) ( )f x f xy f
x x x x
0 )f x differentialkvotienten for ( )y f x i 0x 0
00
0
0 0
( ) ( )) lim
lim lim
x x
x x
f x f xf x
x x
f y
x x
f afledet funktion af ( )y f x betegnes ( ), , ( ),d
f x y f xdx
2( ( )), , , 3 1d df dy
f x xdx dx dx
( )nf den n’te afledede funktion af ( )y f x
(2) ( )f x skrives ofte ( )f x , y
eller 2
2
d y
dx
36
Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.
AB linjestykket AB
| |AB længden af linjestykket AB
AB cirkelbuen AB
| |AB længden af cirkelbuen | |AB
”er parallel med”
”er vinkelret på” l m læses også ”l og m er ortogonale”
A vinkel A 110A eller 110A=
ABD vinkel B i trekant ABD
retvinklet trekant
midtnormalen n for linjestykket AB
bh højden fra B på siden b eller dens forlængelse
A
BC
D
hosliggendekatete til v
modståendekatete til v
hypotenuse
v
A B
n
A
B
C
a
b
chb
37
Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.
bm medianen fra B på siden b
Bv vinkelhalveringslinjen for vinkel B
trekant ABC’s omskrevne cirkel
trekant ABC’s indskrevne cirkel
A
B
C
a
b
cmb
A
B
C
a
b
cvB
A
B
C
A
B
C
vC
38
Stikordsregister A additionsprincip 26 G grupperede observationer 22 afledet funktion 21, 35 grænseværdi 35 afstand mellem - punkter 11 H halveringskonstant 17 - punkt og linje 11 harmonisk svingning 19 amplitude 19 histogram 22 andengradspolynomier 14 hældningskoefficient 10, 13 annuitetslån 5 hændelse 27 annuitetsopsparing 5 højde 32, 36 areal højreskæv 24 - af cirkel 32 - af parallelogram 32 I ikke-skæv 24 - af trekant 9, 32 indekstal 5 - af trapez 32 indskreven cirkel 37 B binomialkoefficient 28 K kapitalformel 5 boksplot 23 kegle 32 brøkregler 6 kombinationer 26 konfidensinterval 29C cirkel 12, 32 kugle 32 cosinus 8, 34 kvadratsætninger 7 cosinusrelation 9 kvartil 22, 23 cylinder 32 L lineær funktion 13D differenskvotient 35 lineær regression 25 differentialkvotient 20, 35 linjens ligning 10 lodret linje 10E eksponentialfunktioner logaritmefunktioner 15 - aftagende 17 - voksende 16 M median (trekant) 37 ensvinklede trekanter 8 median (statistik) 22, 23, 24 middeltal 24F fakultet 26, 34 middelværdi 28 fordoblingskonstant 16 midtnormal 36 fremskrivningsfaktor 16, 17 midtpunkt 11 førstegradspolynomium 13 multiplikationsprincip 26
39
N nedre kvartil 22, 23 S sandsynlighed 27, 28, 29 normalfordelingen 29 sinus 8, 34 nulpunkt 14 sinusrelation 9 skalafaktor 8O omskreven cirkel 37 spredning 24, 28, 29 omvendt proportionalitet 6 stokastisk variabel 28, 29 ortogonale linjer 11 stokastisk usikkerhed 29 overflade af sumkurve 22 - cylinder 32 symboler 33 - kegle 32 søjlediagram 28 - kugle 32 outlier 24 T tangens 8, 34 tangent til graf 20P parabel 12 toppunkt 12, 14 parallelogram 32 trapez 32 Pascals trekant 30 trigonometriske 19, 21 p% -fraktil 22 permutationer 26 U uafhængige hændelser 27 potensfunktion 18, 21, 34 udfaldsrum 27 potensregneregler 7 udvidet kvartilsæt 23 prikdiagram 23 ugrupperede observationer 23 procentregning 5 proportionalitet 6 V variationsbredde 23 Pythagoras’ sætning 8 varians 28 venstreskæv 24R regneregler for differentiation 20 vinkelsum i trekant 9 regression, lineær 25 vilkårlig trekant 9 regressionslinje 25 vinkelhalveringslinje 37 residual 25 vinkler 36 residualspredning 25 vækstrate 5, 16, 17 retvinklet trekant 8, 36 rod, rødder 14 Ø øvre kvartil 22, 23 rumfang af - cylinder 32 - kegle 32 - kugle 32