1 formler TrIgonomeTrI och - jamshidsanei.com€¦ · volym, skala och likformighet samt...

6

I kapitel 3 ska vi arbeta med area, omkrets och volym, skala och likformighet samt trigonometri.

TrIgonomeTrI och formler1

centralt innehåll

✱ Trigonometriska uttryck.

✱ Bevis och användning av trigonometriska formler.

✱ Olika bevismetoder inom matematiken.

✱ Algebraiska metoder för att lösa trigono-metriska ekvationer.

✱ Strategier för problemlösning.

7

1

15343274

77711275

4789

4789

4758

49

8947

8947

5849

55

4823

9867

8567

2388

7674

4

Inledande aktivitet

1

1 60°

30°

1/2

3 / 2

a) sin 30° c) tan 30°

b) cos 60° d) sin 30°cos 30°

2

x

yP (0,39; 0,92)

(1, 0)

67°

a) sin 67° c) sin (180° – 67°)

b) cos 67° d) cos (180° – 67°)

3

x

y

vv

Q (b, a)

P (a, b)

a) cos v

b) sin (90° – v )

c) sin (v + 360° )

d) cos (v – 360° )

TRIANGLAR OCH CIRKLARArbeta tillsammans två och två.

Bestäm, var och en, värdena med hjälp av figurerna. Jämför era svar och diskutera eventuella skillnader. Kontrollera sedan svaren till uppgift 1 och 2 med räknare.

8 1.1 TrigOnOmeTri Och TriAnglAr

1.1 Trigonometri och trianglar

enhetscirkeln och trianglarI kurs 3c arbetade vi i trigonometriavsnittet med enhetscirkeln och olika triangelsatser. Vi repeterar här några viktiga begrepp och samband innan vi går vidare.

rätvinkliga trianglar sin A = ab

motstående katet

hypotenusan

cos A = cb

närliggande katet

hypotenusan

tan A = ac

motstående katetnärliggande katet

A B

C

c

ab

vinkel A = sin –1 (a/b) = cos –1 (c/b) = tan –1 (a/c)

enhetscirkeln Med enhetscirkeln kan vi utöka de trigonometriska kvoterna till att gälla även trubbiga vinklar.

x

y

P (cos v, sin v)

v

(1, 0)

(0, 1)

(–1, 0) O

sin v = y-koordinaten för P

cos v = x-koordinaten för P

tan v = sin vcos v

då cos v ≠ 0

I figuren till höger ser vi attsin v = b och sin (180° – v) = bcos v = a och cos (180° – v) = – a

Symmetrin i enhetscirkeln ger oss två viktiga samband för vinklarsin v = sin (180° – v) cos v = – cos (180° – v)

x

y

P (a, b)

v(1, 0)

Q (–a, b)

v180°–v

1.1 TrigOnOmeTri Och TriAnglAr 9

Areasatsen: arean = a b sin C

2

Sinussatsen: sin A

a =

sin Bb

=sin C

c

Cosinussatsen: a2 = b2+ c2 – 2bc cos A

1101

1102

satser för godtyckliga trianglar

x

y

P

(1, 0)

v

Punkten P har koordinaterna (-0,57; 0,82). Bestäma) sin v b) cos v c) tan v d) v

a) sin v är punktens y-koordinat, 0,82 sin v = 0,82b) cos v är punktens x-koordinat, – 0,57 cos v = – 0,57

c) tan v = sin vcos v

= 0,82–0,57

≈ –1,44

d) v = cos –1 (–0,57) ≈ 125° eller sin–1 (0,82) ≈ 55° och v > 90° ger v = 180° – 55° = 125° sin v = sin (180° – v)

Svar: a) sin v = 0,82 c) tan v = –1,44 b) cos v = – 0,57 d) v = 125°

En triangel har två sidor som är 5 cm och 10 cm med mellanliggande vinkel v. Triangelns area är 20 cm2. Beräkna vinkeln v.

Areasatsen ger:

20 = 5 · 10 · sin v2

sin v = 0,8v1 = sin –1 (0,8) ≈ 53°v2 ≈ 180° – 53° = 127°

Svar: Vinkeln v är 53° eller 127°.

A B

C

c

ab

10 1.1 TrigOnOmeTri Och TriAnglAr

1103 Bestäm sin v, cos v och tan v om punkten P har koordinaterna

a) (0,559; 0,829) b) (0,34; 0,94)

x

y

P

(1, 0)

v

1104 För vilka vinklar i intervallet 0° ≤ x ≤ 180° är

a) sin x = 0,56 c) sin x = – 0,13

b) cos x = 0,12 d) cos x = – 0,89 ?

1105 För att beräkna höjden på Hanö fyr mätte en grupp elever upp sträckan 19,0 m på marken enligt figur. Fyrens diameter mättes till 5,0 m och vinkeln v uppskattades till 37° med hjälp av en stor gradskiva och en käpp.

Beräkna fyrens höjd h.

1106

A

B

C

D

4,0

8,5

6,0

7,0

a) Gör en enkel uppskattning av fyrhörningens area.

b) Beräkna fyrhörningens area.

c) Beräkna diagonalen BD.

A = 110,6°C = 77,6°

(cm)

1107 Sant eller falskt? Motivera.

”När vi bestämmer en vinkel i en triangel med sinussatsen så kan vi få två fall medan cosinussatsen alltid ger ett fall för vinkeln.”

1108 Beräkna triangelns

A

B

C18

24

56,4°

h

a) höjd h

b) area

c) omkrets. (cm)

1109 Bestäm utan räknare de vinklar i intervallet 0° ≤ v ≤ 180° som är lösningar till ekvationen

a) sin v = sin 56°

b) cos v = – cos 40°

c) sin v = – sin 58°

Motivera dina svar.

1110

x

y

P (a, b)

(1, 0)

Q

v

a) Vilka koordinater har Q, om P = (a, b)?

b) Vilka samband kan du visa med hjälp av koordinaterna för P och Q?

1111 Visa att sambandet (sin v)2 + (cos v)2 = 1 gäller för alla vinklar i intervallet 0° ≤ v ≤ 180°.

1.1 TrigOnOmeTri Och TriAnglAr 11

Aktivitet ✽ Undersök

Materiel: Gradskiva, linjal, räknareLös uppgifterna med hjälp av enhetscirkeln ovan.

1 I enhetscirkeln kan vi införa godtyckliga vinklar. Om v > 360° så är vridningen av radien större än ett varv och om v < 0° så har radien vridits i negativ riktning.

Bestäm värdet med din räknare och motivera resultatet med enhetscirkeln.

a) sin 30° c) cos 30° e) sin 750°

b) sin 390° d) cos –30° f) sin –330°

2 a) Vilket är det största respektive minsta värdet sin v kan anta? Vilka vinklar ger dessa värden?

b) Vilket är det största respektive minsta värdet cos v kan anta? Vilka vinklar ger dessa värden?

0,5 1

1

–0,5

0,5

–0,5

v = 30°

–30°390°

PQ

R S

Enhetscirkeln och symmetrier

3 Med hjälp av y-koordinaterna för punkterna P och Q (eller R och S) kan vi motivera sambandet sin v = sin (180° – v).

Med hjälp av vilka punkter och koordinater kan vi motivera sambandet

a) cos v = cos (– v)

b) sin v = – sin (180° + v) ?

4 Studera punkterna P, Q, R och S och deras symmetrier. Hitta och beskriv så många trigonometriska samband som möjligt med hjälp av punkternas koordinater.

12 1.2 TrigOnOmeTriSkA fOrmler

1.2 Trigonometriska formler

enhetscirkeln och formlerSambanden y = sin v , y = cos v och y = tan v är exempel på trigonometriska funktioner. Med hjälp av enhetscirkeln kan vi införa trigonometriska funktioner för godtyckliga vinklar.

x

y

v1

(1, 0)O

P

(cos v1, sin v1)

x

y

v2

(1, 0)

P (cos v2, sin v2)

O

x

y

(1, 0)

P (cos v3, sin v3)

v3O

Vinkel i tredje kvadranten Vinkel större än ett varv Negativ vinkel 180° < v < 270° v > 360° v < 0°

Definition

Om radien OP vridits en vinkel v i positiv eller negativ riktning gäller

sin v = y - koordinaten för P cos v = x - koordinaten för P

tan v = sin vcos v

där cos v ≠ 0

Om vi vrider radien OP ett helt varv i positiv eller negativ riktning så är vi tillbaka i samma läge, vilket t ex ger att

sin 40° = sin (40° + 360°) = sin (40° + 2 ∙ 360°) = . . .cos 150° = cos (150° – 360°) = cos (150° – 2 ∙ 360°) = . . .

Sinus- och cosinusfunktionerna är periodiska med perioden 360°.period

sin (v + n ∙ 360°) = sin v n heltal (0, ±1, ±2, ±3, . . . ) cos (v + n ∙ 360°) = cos v n heltal (0, ±1, ±2, ±3, . . . )

Period

sin v, cos v

1.2 TrigOnOmeTriSkA fOrmler 13

Symmetrin i enhetscirkeln ger oss

x

y

vvv

Q (b, a)

R (–a, b) P (a, b)

några viktiga samband.

P och R ger sin (180° – v) = sin v cos (180° – v) = – cos v

P och Q ger sin (90° – v) = cos v cos (90° – v) = sin v

I figuren intill utgår vi ifrån punkten P = (x, y). Symmetri ger koordinaterna för punkterna Q, R och S.

x

y

(1, 0)

Q (–x, y) P (x, y)

R (–x, –y) S (x, –y)

vv

P och S ger sin (– v) = – sin v y-koordinaterna har motsatta teckenx-koordinaterna är lika

cos (– v) = cos v

P och R ger sin (v + 180°) = – sin v Både y- och x-koordinaterna har motsatta tecken

cos (v + 180°) = – cos v

Några formler

Av formlerna får vi följande samband:

tan (v + 180°) = sin (v + 180°)cos (v + 180°)

= – sin v– cos v

= tan v

Detta betyder att tangensfunktionen har perioden 180°. Om cos v = 0, dvs då v = 90° + n ∙ 180°, är tan v inte definierad.

Tangensfunktionen är periodisk med perioden 180°.

sin (–v ) = – sin v sin (v + 180°) = – sin vcos (–v ) = cos v cos (v + 180°) = – cos v

tan (v + n ∙ 180°) = tan v n heltal (0, ±1, ±2, ±3, . . . )Period tan v


1201 Anta att du vet att sin 20° ≈ 0,34, cos 20° ≈ 0,94 och tan 20° ≈ 0,36.Bestäm utan räknare värdet ava) cos 740° b) tan (–160°) c) sin (–380°)

a) Vi drar bort 2 perioder. cos 740° = cos (740° – 2 · 360°) = cos 20° ≈ 0,94b) Vi lägger till 1 period. tan (–160°) = tan (–160° + 180°) = tan 20 ° ≈ 0,36c) sin (–380°) = sin (–380° + 360°) = sin (– 20°) = – sin 20° ≈ – 0,34

sin (–v ) = – sin v

1202 Använd enhetscirkeln för att bestämma

a) sin 90° c) sin 270°

b) cos 180° d) cos (–270°)

1203 Förklara varför sin 50° = sin 410°.

1204 Vad menas med att tangensfunktionens period är 180°?

1205 Bestäm utan räknare värdet av

a) sin 750° om sin 30° = 0,5

b) cos (–302°) om cos 58° ≈ 0,53

c) tan 400° om tan 220° ≈ 0,84.

1206

x

y

(0,91; 0,42)

O25°

(1, 0)

Bestäm med hjälp av figuren

a) sin 25° e) sin 155°

b) sin (–25°) f) cos 205°

c) cos 25° g) sin (90° – 25°)

d) cos (–25°) h) cos 65°

1207 Undersök påståendet med hjälp av räknare. Om det är sant, motivera varför.

a) sin 30° är lika med sin 210°

b) cos 70° är lika med cos 290°

c) tan 270° är ej definierat

d) sin 550°cos 550°

är lika med tan 10°

1208 sin 60° = 32

och cos 60° = 12

Beräkna exakt värdet av

a) sin 60° + sin 60°

b) sin (– 60°) – cos 30°

c) sin 60° · sin 60° + cos 60° · cos 60°

d) tan 600°

1209 I figuren har P koordinaterna (a, b).

x

y

(1, 0)

P (a, b)

S

Q

O

a) Bestäm koordinaterna för Q och S.

b) Visa att tan ( – v) = tan (180° – v).

1210 Visa sambanden med hjälp av enhetscirkeln.

a) sin v = cos (v + 270°)

b) cos v = – sin (v + 270°)


Trigonometriska identiteter En cirkel med radie r och medelpunkt i (a, b) har ekvationen

cirkelns ekvation r2 = (x – a)2 + (y – b)2

(0, 0)

x

y

v

P (cos v, sin v )

O

1

Enhetscirkeln, som har medelpunkten i origo, har ekvationen

(OP)2 = (cos v – 0)2 + (sin v – 0)2

Eftersom OP är 1 får vi att

1 = (cos v)2 + (sin v)2

Istället för (cos v)2 och (sin v)2 brukar man skriva cos2 v och sin2 v som uttalas ”cosinuskvadrat v” och ”sinuskvadrat v”.

Vi får en formel som gäller för alla vinklar v:

”Trigonometriska ettan”

Sambandet, som brukar kallas den ”trigonometriska ettan”, kan också skrivas

sin2 v = 1 – cos2 v cos2 v = 1 – sin2 v

identitet Den ”trigonometriska ettan” är ett exempel på en identitet, dvs det är en ekvation eller formel som gäller för alla värden på variabeln.

”Trigonometriska ettan” kan användas för att

◗ bestämma cos v om sin v är givet

◗ bestämma sin v om cos v är givet

◗ visa nya identiteter (formler)

sin2 v + cos2 v = 1


1211

1212

1213

Figuren visar en vinkel i

x

(1, 0)

y

v

tredje kvadranten. Bestäm värdet av sin vom cos v = – 24

25

Trigonometriska ettan på formensin2 v = 1 – cos2 v ger

sin2 v = 1 – – 24

25 2

= 49625

sin v = ± √ 49625

= ± √ 49√ 625

= ± 725

I tredje kvadranten är sin v < 0.Vi väljer därför det negativa värdet.

Svar: sin v = – 725

Visa att 1cos 2 v

= 1 + tan2 v

Bevisteknik:Förenkla det ena ledet så att det blir lika med det andra ledet. Börja med det led som ser mest komplicerat ut.

Ersätt tan v med sin vcos v

Högra ledet (HL) =

Trigonometriska ettan

= 1 + tan2 v = 1 + sin2 vcos2 v

= cos2 v + sin2 vcos2 v

= 1cos2 v

=

= vänstra ledet (VL) V.S.V. (vilket skulle visas)*

Visa att 1 – (sin x – cos x)2 = (sin x + cos x)2 – 1

Här kan det vara lämpligt att förenkla VL och HL var för sig tills vi ser att de är lika.VL = 1 – (sin x – cos x)2 = 1 – (sin2 x – 2 sin x cos x + cos2 x) == 1 – (1 – 2 sin x cos x) = 2 sin x cos x


HL = (sin x + cos x)2 – 1 = sin2 x + 2 sin x cos x + cos2 x – 1 == 1 + 2 sin x cos x – 1 = 2 sin x cos xVL = HL V.S.V.

* för denna typ av ”visa att”-uppgifter används ofta avslutningstexten V.S.V. (vilket skulle visas) för att visa att uppgiften är klar. Vi har tidigare infört förkortningen V.S.B. (vilket skulle bevisas) som också kan användas eftersom vi använder bevistekniker.


1214 Beräkna de möjliga värdena för sin v om cos v = 4/5.

1215 Vi vet att sin v = 6/10 och att 0° < v < 90°.

Bestäm det exakta värdet av cos v med hjälp av

a) Pythagoras sats och figuren

v

106

b) trigonometriska ettan.

1216 Beräkna det exakta värdet av cos v om

a) sin v = 513

och v ligger i första kvadranten

b) sin v = – 941

och v ligger i fjärde kvadranten.

1217 Visa att

sin x 1sin

sinx

x−

= cos2 x

1218 Visa att

cos2 v (tan2 v + 1) = 1

1219 Kan både sin v och cos v ha positiva värden om v är en trubbig vinkel?

1220 Beräkna det exakta värdet av sin v och tan v om cos v = –1/3 och 90° < v < 180°.

1221 Förenkla uttrycken

a) 1 2− sincos

xx

c) 12cos x

– tan2 x

b) sin x + cos2 xsin x

d) 1 – sin

cos

2

1x

x+

1222 a) Beräkna för x = 0° och x = 30° värdet på uttrycken sin2 x + tan x och 1 – cos x .

b) Kan sin2 x + tan x förenklas till 1 – cos x ? Motivera.

1223 Har de räknat rätt?

a) My fick:

sin x + cossin

2 xx

och rätt svar angavs till 1sin x

b) Steve fick:

cos (sin tan )cos

x x xx

++1

och rätt svar angavs till cos x.

1224 Skriv om uttrycket så det bara innehåller cos x.

a) cos 2 x – sin2 x

b) cos x + sin x ∙ tan x

1225 Visa att

a) tan2 v = sinsin

2

21v

v−b) (1 – sin2 A)(1 + tan2 A) = 1


1226Visa att

tan

cosx

x+ 1

2

=

11

+ sinsin

xx−

Vi börjar med VL, som ser mest komplicerat ut:

VL = tan x + 1

cos x 2

= sin xcos x

+ 1cos x

2

= sin x + 1

cos x 2

= (1 + sin x)2

cos2 x =

= (1 + sin x)2

1 – sin2 x = (1 + sin x)2

(1 + sin x) (1 – sin x) = 1 + sin x

1 – sin x = HL V.S.V.

Trigonometriska ettan konjugatregeln förkorta med (1 + sin x )

Visa att följande samband gäller.

1227 1 – cossin

2

1x

x+ = sin x

1228 (3 + cos x)(3 – cos x) = 8 + sin2 x

1229 1++tan

sin cosx

x x = 1

cos x

1230 cossin

xx1 −

– cossin

xx1+

= 2 tan x

1231 1 − sincos

xx

= cossin

xx1+

1232 sin coscos sin

x xx x2 2−

= tantan

xx1 2−

1233 tancos

2

1x

x− = 1

cos x + 1

2cos x

1234 1sin x

– 1tan x

= sincos

xx1+

1235 11 − sin v

+ 11 + sin v

= 22cos v

1236 tan sinsinx x

x−3 = 1

2cos cosx x+

Tips!Att lösa ”visa att”-uppgifter kan kräva olika strategier beroende på hur uppgiften ser ut, och övning ger färdighet. Ofta är det enklast att först förenkla det led som ser krångligast ut. Ibland är det enklast att skriva om båda leden och sedan visa det ”nya” sambandet. Som i all problemlösning är det viktigt att kunna stanna upp och utvärdera om man är på rätt väg.


Additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinusNär vi i nästa kapitel ska härleda derivator för trigonometriska funktioner behöver vi formler för sin (u + v) och cos (u + v).

Exempel Kan sin (u + v) vara lika med sin u + sin v?

Sätter vi u = 60° och v = 30° ser vi direkt att vi inte har likhet:

sin (u + v) = sin (60° + 30°) = sin 90° = 1

sin u + sin v = sin 60° + sin 30° = 32

+ 12

≈ 1,37

Vi behöver formler för sin (u ± v) och cos (u ± v).

Formlerna kallas additions- och subtraktionsformlerna och vi ger ett bevis för dem på nästa sida.

Additions- och subtraktionsformlerna

sin (u + v ) = sin u · cos v + cos u · sin v

sin (u – v ) = sin u · cos v – cos u · sin v

cos (u + v ) = cos u · cos v – sin u · sin v

cos (u – v ) = cos u · cos v + sin u · sin v

Med additions- och subtraktionsformlerna kan vi

◗ bestämma exakta sinus- och cosinusvärden

◗ härleda nya samband.

Vi kan då använda formlerna tillsammans med följande exakta värden för sinus och cosinus.

v sin v cos v

0° 0 1

30°1

2

√3

2

45°1

√2 =

√2

2

√2

2

60°√3

2

1

2

90° 1 0


Härledning av I figuren låter vi radien OP i enhetscirkeln vrida sig vinkeln v i positiv formeln för cos (u – v ) riktning och radien OQ vinkeln u, också i positiv riktning.

x

y

v

P (cos v, sin v)

O (1, 0)

u – vu

Q (cos u, sin u)

11

Vinkeln mellan OP och OQ blir då u – v.

1 Vi kan uttrycka ( PQ )2 på två olika sätt.

Avståndsformeln: d = √ (x2 – x1)2 + ( y2 – y1)2 ger

(PQ)2 = (cos u – cos v)2 + (sin u – sin v)2

Cosinussatsen: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A ger

(PQ)2 = 12 + 12 – 2 ∙ 1 ∙ 1 ∙ cos (u – v)

2 Uttrycken för ( PQ )2 sätts lika.

(cos u – cos v)2 + (sin u – sin v)2 = 1 + 1 – 2 · cos (u – v)

3 I vänstra ledet utvecklar vi kvadraterna.

cos2 u – 2 cos u · cos v + cos2 v + sin2 u – 2 sin u · sin v + sin2 v =

= 2 – 2 cos (u – v)

4 Vi utnyttjar ”trigonometriska ettan”.

1 – 2 cos u · cos v + 1 – 2 · sin u · sin v = 2 – 2 cos (u – v)

2 cos (u – v) = 2 cos u · cos v + 2 sin u · sin v

5 Formeln kan skrivas

cos (u – v) = cos u ∙ cos v + sin u ∙ sin v

De övriga formlerna för cos (u + v) och sin (u ± v) kan härledas med hjälp av subtraktionsformeln för cosinus och sambanden nedan som vi visat tidigare.

sin (– v) = – sin v sin v = cos (90° – v) cos (– v) = cos v cos v = sin (90° – v)

Vi lämnar härledningarna för de övriga formlerna som övningar.

1237

1238

Allmänt om formler Inom trigonometrin finns en mängd olika samband, satser och formler som du behöver lära dig att använda och hitta. I sammanfattningen sist i kapitlet (s. 43) finns de samlade.

Några av de vanligaste formlerna kan vara bra att kunna utantill. Formlerna är alltid lättare att komma ihåg om man förstår varifrån de kommer och hur de hänger ihop. Läs därför gärna igenom motiveringar och härledningar en extra gång.

Använd också formelbladet till det nationella provet när du övar så du lär dig hitta i det.

Visa sambandet cos (x + 270°) = sin xmed additionsformeln för cosinus.

cos ( u + v) = cos u cos v – sin u sin vcos ( x + 270°) = cos x cos 270° – sin x sin 270°

Enhetscirkeln gercos 270° = 0 och sin 270° = –1cos (x + 270°) = cos x · 0 – sin x · (–1) = sin x

x

y

(1, 0)

P (0, –1)

270°

Förenkla sin ( x + 45°) – sin ( x – 45°)Svara exakt.

sin (u + v) = sin u cos v + cos u sin v ochsin (u – v) = sin u cos v – cos u sin vsin (x + 45°) – sin (x – 45°) == sin x cos 45° + cos x sin 45° – (sin x cos 45° – cos x sin 45°) == 2 cos x sin 45° = 2 cos x ·

1

√ 2 = √ 2 · cos x

Tabell ger sin 45° = 1

√ 2 (eller

√ 2

2 )

2√ 2

= √ 2


1239 Vad ska det stå i stället för A och B?

a) sin (x + 25°) = A · cos 25° + B · cos x

b) cos (35° + y) = cos 35° · A – sin y · B

1240

1

1

a) Motivera med hjälp av enhetscirkeln att sin 180° = 0.

b) Visa med additionsformeln för sinus att sin (90°+ 90°) = 0.

1241 Förenkla och svara med två decimaler.

a) sin x ∙ cos 12° + sin x ∙ cos 12°

b) a + cos x ∙ sin 24° – (a – cos x ∙ sin 24°)

1242 Förenkla med hjälp av additions- och subtraktionsformlerna. Svara med två decimaler.

a) sin (x + 50°) – sin (x – 50°)

b) sin (43° + x) + sin (43° – x)

c) cos (x + 79°) + cos (x – 79°)

1243 Förenkla

a) sin (u + v) + sin (u – v)

b) sin (u + v) – sin (u – v)

c) cos (u + v) + cos (u – v)

d) cos (u + v) – cos (u – v)

1244 Visa att

cos (60° + x) + cos (60° – x) = cos x

1245 Visa med hjälp av subtraktionssatserna

a) cos (270° – v) = – sin v

b) sin (360° – x) = – sin x

1246 Använd formeln för cos (u – v) för att visa

cos (–v) = cos v .

1247 Bestäm det exakta värdet av cos 315° med hjälp av omskrivningen

cos 315° = cos (360° – 45°).

1248 Bestäm det exakta värdet av

a) sin 135°

b) sin 75°

1249 Beräkna cos (x – x) med hjälp av subtraktionsformeln. Förklara ditt resultat.

1250 Bestäm det exakta värdet av

sin (A + B) om

sin A = 35

, 90° < A < 180° och

sin B = – 513

, 180° < B < 270°

1251 Härled formeln för cos (u + v) genom att

byta v mot –v i formeln för cos (u – v).

1252 Visa att

sin ( ) sin ( )x h xh

+ −

kan skrivas

sin x · cos hh

− 1 + cos x · sin hh

1253 a) Härled formeln för sin (u + v) genom att i cos (u – v) ersätta u med 90° – u.

b) Hur får du sedan formeln för sin (u – v)?


Aktivitet ✽ Undersök

Exakta trigonometriska värden

halv kvadrat halv liksidig triangel

45°

halv kvadrat1

1

45°

2

60°

30°

halv liksidig triangel1

32

enhetscirkeln formler

0,5 1

1

–0,5

0,5

–0,5

cos (180° – v ) = –cos v sin (v + 180°) = – sin v

sin (180° – v ) = sin v cos (v + 180°) = – cos v

sin (–v ) = –sin v cos v = sin (90° – v )

cos (–v ) = cos v sin v = cos (90° – v )

sin (u + v ) = sin u · cos v + cos u · sin v

sin (u – v ) = sin u · cos v – cos u · sin v

cos (u + v ) = cos u · cos v – sin u · sin v

cos (u – v ) = cos u · cos v + sin u · sin v

Arbeta i par eller grupp

Hjälpmedel: Trianglarna, enhetscirkeln och formlerna ovan.

vinkel, v 0 ° 15° 30° 45° … 315° 330° 345° 360°sin vcos vtan v

2 Använd figurerna, enhetscirkeln och dess symmetrier samt formlerna och försök fylla i hela tabellen med exakta värden.

3 Jämför med en annan grupp. Har ni samma värden? Diskutera och motivera.

1 Gör en tabell, lik den nedan, med v, sin v, cos v och tan v.

Låt värdet på vinkeln öka med 15° i taget från 0° till 360°.


formler för dubbla vinkeln Om vi i additionsformlerna låter de två vinklarna vara lika stora, får vi några nya formler.

sin (u + u) = sin u · cos u + cos u · sin u

cos (u + u) = cos u · cos u – sin u · sin u

Efter förenkling får vi

Formler för ”dubbla vinkeln”

sin 2u = 2 sin u · cos ucos 2u = cos

2 u – sin 2 u

”Trigonometriska ettan” sin2 u + cos2 u = 1 kan skrivas

cos2 u = 1 – sin2 u och sin2 u = 1 – cos2 u

Använder vi detta kan vi skriva formeln för cos 2u på två andra sätt:

cos 2u = cos2 u – (1 – cos2 u) = 2 cos2 u – 1

cos 2u = 1 – sin2 u – sin2 u = 1 – 2 sin2 u

1254

Bestäm det exakta värdet av sin 2v om cos v = – 35

och v ligger i andra kvadranten.

sin 2v = 2 sin v cos v

Vi vet cos v och kan då beräkna sin v med trigonometriska ettan.

sin2 v = 1 – cos2 v = 1 – – 3

5 2

= 1625

sin v = ± 45

Vi väljer det positiva värdet eftersom sin v > 0 i andra kvadranten.

sin 2v = 2 sin v cos v = 2 · 45

· – 3

5 = – 24

25


1255 För en vinkel x gäller

sin x = 0,6 och cos x = 0,8

Bestäm följande värden utan att först bestämma x.

a) sin 2 x c) tan x

b) cos 2 x d) tan 2 x

1256 a) Bestäm med trigonometriska ettan möjliga värden på sin v om cos v = 0,5.

b) Bestäm möjliga värden på sin 2v om cos v = 0,5.

1257 Vi vet att sin v = – 13

och v ligger

i fjärde kvadranten.

a) Bestäm cos v.

b) Bestäm sin 2v.

1258 Bestäm cos 2x om

a) cos x = 0,5 b) sin x = 23

1259 Fördubblas värdet på sinus om vinkeln fördubblas? Motivera.

1260 Punkten P på enhetscirkeln har

x-koordinaten – 2029

x

y

v

P

Bestäm exakt

a) cos 2v b) sin 2v

1261 Beskriv sambandet mellan additionsformlerna och formlerna för dubbla vinkeln.

1262 Visa att tan x = sin 2 x

1 + cos 2 x

genom att använda

a) formler

b) figuren nedan.

OA

B

x

x

1

(l.e.)

1263 Visa att sinsin

2xx

– coscos

2xx

= 1cos x

1264 Uttryck sin 3x i sin x, dvs skriv om sin 3x så det bara innehåller sin x.

1265 Visa att

sin 4 x + 2 sin 2 x = 8 sin x cos3 x

1266 Visa att

a) cos 2 x = 11

2

2

− tantan

xx+

b) sin 2 x = 21 2

tantan

xx+

c) tan 2 x = 21 2

tantan

xx−

26 1.3 BeViS Och BeViSmeTOder

1.3 Bevis och bevismetoder

Direkta bevis

bevis Ett bevis är ett logiskt resonemang som syftar till att visa att ett påstående är sant. I det här avsnittet ska vi titta närmare på några olika bevismetoder.

logik Matematisk argumentation bygger på logik. Logik, som är ett annat ord för slutledningskonst, är en gren både inom filosofi och matematik. Du har tidigare mött de två logiska symbolerna ⇒ och ⇔. De kan användas mellan två påståenden P och Q.

implikation P ⇒ Q P medför Q (men inte nödvändigtvis tvärtom)

t ex x = 3 ⇒ x 2 = 9 ( x 2 = 9 ger även x = – 3)

ekvivalens P ⇔ Q P är ekvivalent med Q ( P medför Q och Q medför P )

t ex x = 3 ⇔ x + 7 = 10

direkt bevis Den vanligaste formen av bevis kallas direkt bevis och utgår från ett antagande P och kommer fram till en slutsats Q via ett logiskt resonemang i ett eller flera steg.

Exempel Vi ska bevisa att kvadraten på ett jämnt tal är delbar med 4.

Vårt antagande är påstående P : x är ett jämnt tal Vår slutsats är påstående Q: x2 är delbart med 4

Vi ska visa att vår slutsats är sann, d v s att P ⇒ Q

Bevis

Ett jämnt tal kan skrivas x = 2n där n är ett heltalx2 kan då skrivas x2 = (2n)2 = 4n2 vilket är delbart med 4x är ett jämnt tal ⇒ x 2 är delbart med 4

V.S.B.

allmänt om bevis Inom matematiken har bevis en viktig roll.

En sats som är bevisad gäller så länge inte förutsättningarna ändras. Till exempel så vet vi att alla möjliga trianglar i planet har vinkelsumman 180°, eftersom den satsen är bevisad. När en sats är bevisad kan den användas för att bevisa nya satser och på så vis föra matematiken framåt. Det finns fortfarande många gamla och nya påståenden som ännu inte är bevisade och matematikernas uppgift är bl a att finna bevis för dessa.

1.3 BeViS Och BeViSmeTOder 27

1301

1302

Ska det vara en implikationspil (⇒) eller en ekvivalenspil (⇔) i rutan mellan påståendena? Motivera ditt svar.a) x = 4 x2 = 16b) 2x +3 = 9 x = 3

a) x = 4 ⇒ x2 = 16 Motivering: x = 4 medför att x2 = 16 men omvändningen gäller inte eftersom x2 = 16 medför att x = 4 och x = – 4

b) 2x + 3 = 9 ⇔ x = 3 Motivering: 2x + 3 = 9 medför att x = 3 och x = 3 medför att 2x + 3 = 9

Sats: Ett jämnt tal och ett udda tal har en produkt som är ett jämnt tal.a) Undersök satsen med några exempel.b) Bevisa satsen med ett direkt bevis. c) Gäller satsens omvändning?

a) T ex 2 ∙ 3 = 6 eller 6 ∙ 15 = 90b) Ett jämnt tal kan skrivas 2n där n är ett heltal

Ett udda tal kan skrivas 2k + 1 där k är ett heltal Produkten kan då skrivas

2n ∙ (2k + 1) = 2 ∙ n (2k + 1) vilket är ett jämnt tal eftersom n (2k + 1) är ett heltal.

V.S.B.c) Satsens omvändning blir:

Om produkten av två heltal är ett jämnt tal så är faktorerna ett jämnt tal och ett udda tal.

För att visa att satsens omvändning inte gäller räcker det med att hitta ett motexempel, t ex 8 = 2 ∙ 4.

Omvändningen gäller inte, vi har inte en ekvivalens.


1303 Ska det vara en implikationspil (⇒) eller en ekvivalenspil (⇔) i rutan mellan påståendena? Motivera ditt svar.

a) x > 0 x2 > 0

b) n är udda n = 2k + 1, k heltal

c) y = x + 2 y ′= 1

d) lg x = 2 x = 100

1304 P: 3x + 7 = x + 1

Q: x = – 3

a) Bevisa att P ⇒ Q

b) Bevisa att Q ⇒ P

c) Gäller ekvivalensen P ⇔ Q ?

1305 Bevisa att

a) summan av ett udda tal och ett jämnt tal är udda

b) produkten av två udda heltal är udda.

1306 Avgör om påståendet är sant och bevisa ditt svar.

Tre på varandra följande heltal har en summa som är delbar med

a) 3 b) 6.

1307 Sant eller falskt?

Om P ⇒ Q och Q ⇒ R så innebär det att P ⇒ R.

1308 Visa att sin (A + B) = 1

A B

C

1309 Pythagoras sats lyder:

Om en triangel är rätvinklig så är summan av kateternas kvadrater lika med hypotenusans kvadrat.

Låt A vara den räta vinkeln och bevisa med hjälp av cosinussatsen a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

a) Pythagoras sats

b) omvändningen till Pythagoras sats.

1310 Triangeltalen är 1, 3, 6, 10, 15, …

1 6 103

Kvadrattalen är 1, 4, 9, 16, 25, …

1 9 164

a) Skriv ett uttryck för det n:te triangeltalet och ett för det n:te kvadrattalet.

b) Undersök summan av två på varandra följande triangeltal. Formulera en slutsats.

c) Bevisa din slutsats.

1311 Bevisa att två på varandra följande jämna tal har en produkt som är delbar med 8.

1312 Nedan följer ett ”bevis” för att 4 = 3. Kan du hitta felet?

Anta att a + b = c.

Detta ger:

4a – 3a + 4b – 3b = 4c – 3c

4a + 4b – 4c = 3a + 3b – 3c

4(a + b – c) = 3(a + b – c)

4 = 3

1313 Bevisa att n3 – n är delbart med 3 för alla positiva heltal ≥ 0.


Indirekta bevisMånga gånger kan ett direkt bevis vara svårt att genomföra. Därför kan vi också behöva andra bevismetoder.

indirekt bevis I ett indirekt bevis utgår man från att det som ska bevisas är falskt och visar med hjälp av ett logiskt resonemang att antagandet då också måste vara falskt.

I indirekta bevis är det ofta praktiskt att använda ”motsatsen till ett påstående P” vilket betecknas ¬ P och utläses ”icke P”. Att P är falskt motsvaras då av att ¬ P är sant.

Man kan med grundläggande logiska regler visa att

P ⇒ Q ⇔ ¬ Q ⇒ ¬ P

Exempel Anta att följande är sant:

P: ”Det regnar” ⇒ Q: ”Jag är inne.”

Regeln ovan ger oss då att detta motsvarar:

¬ Q: ”Jag är ute” ⇒ ¬ P: ”Det regnar inte.”

Istället för att direkt bevisa att P medför Q kan vi visa att ¬ Q medför ¬ P .

1314

Bevisa med hjälp av ett indirekt bevis satsen: ”Om n2 är ett jämnt tal, så är n ett jämnt tal.”

Antagandet är P: n2 är jämnt.Slutsatsen är Q: n är jämnt.Vi bevisar P ⇒ Q genom att visa att ¬ Q ⇒ ¬ P , dvs vi ska visa att ¬ Q: n är ett udda tal medför ¬ P: n2 är udda.

n udda ger: n = 2k + 1 (k heltal)

n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 = 2m + 1 vilket är udda då m är ett heltal.

V.S.B.

m


När man ska bevisa en ekvivalens eller ett påstående används ibland en annan typ av bevis som liknar det indirekta beviset och kallas motsägelsebevis. Man utgår då från att påståendet eller satsen är falsk och visar att detta leder till en motsägelse.

Exempel Sats: Antalet primtal är oändligt många.

Bevisidé: Utgå ifrån att satsen är falsk och visa att det ger en motsägelse.

Bevis: Anta att antalet primtal är ändligt många: p1, p2, … , pn

Bilda talet N = p1 ∙ p2 ∙ . . . ∙ pn + 1.

Dividerar vi N med p1 ger det

p 1 · p 2 · p 3 · . . . · p n + 1p 1

= p2 · p3 · . . . · p n + 1p 1

vilket inte är ett heltal!

På samma sätt kan vi se att inget av våra primtal är delare till N.Om talet N inte är delbart med något primtal så måste N vara ett primtal.Detta ger en motsägelse mot att p1, p2, . . . , pn är alla primtal.Vårt antagande är felaktigt, antalet primtal är oändligt många.

V.S.B.

1315

motsägelsebevis

a, b och c är tre reella tal så att abc = –10.Visa med ett motsägelsebevis att minst ett av talen a, b eller c måste vara negativt.

Motsatsen till att minst ett av talen är negativt är att inget av talen är negativt.Om vi antar att alla talen är positiva ger detabc ≥ 0 vilket motsäger att abc = –10.Vi får motsägelse varför vårt antagande att alla talen är positiva är felaktigt. Minst ett av talen är negativt.

V.S.B.

Direkt bevis: Visa direkt att antagandet ger slutsatsen. P ⇒ Q

Indirekt bevis: Visa att om slutsatsen är falsk så är också antagandet falskt. ¬ Q ⇒ ¬ P ⇔ P ⇒ Q

Motsägelsebevis: Antag att påståendet/satsen är falsk och visa att det leder till en motsägelse.

Sammanfattning


1323 Visa med motsägelsebevis att om x är lösning till ekvationen x3 + 3x2 + 7x + 2 = 0 så är x < 0.

1324 Pythagoras sats lyder:

Om en triangel är rätvinklig så är summan av kateternas kvadrater lika med hypotenusans kvadrat.

Låt A vara den räta vinkeln och använd cosinussatsen

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

för att bevisa Pythagoras sats med ett indirekt bevis.

1325 Bevisa att om a 2 – 2 a + 7 är ett jämnt tal så är a ett udda tal.

1326 √ 2 är ett irrationellt tal, dvs kan inte

skrivas som ett rationellt tal ab

.

(a, b heltal, b ≠ 0)

Beviset är ett klassiskt motsägelsebevis.

Anta att √ 2 = ab

där ab

är heltal och

förkortat så långt det går.

Kvadrering av uttrycket ger: 2 = a 2

b 2 , vilket

ger 2b2 = a2 dvs a2 och a är delbara med 2.

Sätter vi a = 2k ger det 2b2 = 4k2 vilket kan skrivas b2 = 2k2, dvs också b måste vara delbart med 2.

Vi får en motsägelse mot vårt antagande, √ 2 måste vara irrationellt.

a) Förklara varför både a2 och a är delbart med 2 om 2b2 = a2 (a, b heltal).

b) Varför får vi en motsägelse?

1327 a och b är heltal. Bevisa att a2 – 4b ≠ 2.

1316 Vad är motsatsen, ¬P , till påståendet

a) P: n är jämnt

b) P: x + y ≥ 4

c) P: x = 2

d) P: minst ett barn är en flicka

e) P: alla kor kan flyga ?

1317 Antag att P: Det är sommar ⇒ Q: Vi spelar fotboll.

Formulera ¬ Q ⇒ ¬ P med ord.

1318 P: 0,5 x + 2 ≤ 6 ⇒ Q: x ≤ 8

a) Formulera med matematiska symboler ¬ Q ⇒ ¬ P .

b) Bevisa indirekt Q ⇒ P genom att bevisa att ¬ Q ⇒ ¬ P .

1319 ”Om produkten av två positiva reella tal är större än 100 medför det att minst en av faktorerna är större än 10.”

Satsen ovan är skriven på formen P ⇒ Q .

a) Formulera med ord satsen ¬ Q ⇒ ¬ P

b) Formulera med matematiska symboler ¬ Q och ¬ P

c) Bevisa med ett indirekt bevis att P ⇒ Q .

1320 Bevisa med ett indirekt bevis att om 3n +2 är udda så är n udda.

1321 Bevisa med ett motsägelsebevis att om

a) 22 godisbitar fördelas i 7 påsar så är det minst en påse som innehåller 4 godisbitar eller fler.

a) ab < 0 så är a eller b negativ.

1322 Beskriv skillnaden mellan ett direkt och ett indirekt bevis.


Historik

Grekerna införde beviset i matematiken

Thales från Miletos (ca 600 f Kr) är en av de första matematikerna i historien som vi vet namnet på. Han inte bara noterade matematiska fakta, som att bas-vinklarna i en likbent triangel är lika stora, han bevisade det också. Thales metoder utvecklades av Euklides på 300-talet f Kr.

Euklides berömda bok, Elementa, sammanfattade sin tids matematiska vetande. Med några självklara grundsatser (axiom) som utgångspunkt, ger Euklides bevis för ett stort antal satser, bl a Pythagoras sats och att antalet primtal är oändligt.

Euklides axiom gällande parallella linjer har genom historien varit omdiskuterat och väckt nyfikenhet. Genom att byta ut parallellaxiomet skapade man på 1800-talet nya geometriska system med andra regler. Ett av dessa visade sig lite oväntat bilda ramen för Einsteins relativitetsteori i början av 1900-talet.

Logikens gränser

Euklides metod, med några få axiom och en handfull logiska regler som alla satser kan härledas från, är tilltalande enkel. Metoden har i årtusenden varit en modell för matematiker inom olika områden.

Kan all matematik härledas från en samling axiom? Svaret kom som en chock när den 25-årige österrikiske mate matikern Kurt Gödel 1931 visade att svaret är nej. Han visade att varje axiomsystem är ofullständigt, dvs innehåller påståenden vars sanningshalt inte går att avgöra inom systemet. För det krävs en mänsklig hjärna som kan gå utanför systemet och välja nya utgångspunkter. Kurt gödel (1906–1978) var en av

1900-talets stora matematiker.

Den första svenska översättningen av elementa gavs ut 1744.

Från Euklides till Gödel

1 Om vi ändrar på förutsättningarna så förändras också satserna. Gör följande tankeexperiment: Gå från en punkt på ekvatorn rakt norrut till nordpolen. På nordpolen vrider du dig 90° och

går rakt ner till ekvatorn och sedan rakt tillbaka till den punkt du startade.

a) Vilken figur beskriver din vandring?

b) Vilken vinkelsumma har din figur?

1.4 TrigOnOmeTriSkA ekVATiOner 33

1.4 Trigonometriska ekvationer

grundekvationerMed hjälp av enhetscirkeln har vi tidigare visat att de trigonometriska funktionerna kan ha samma värde för flera olika vinklar. Det måste vi ta hänsyn till när vi löser trigonometriska ekvationer.

Exempel 1 Vi undersöker ekvationen sin x = 0,721

x

(1, 0)

x1

y = 0,721

x2

PQ

O

I enhetscirkeln finner vi i intervallet 0° ≤ x < 360° två lösningar, x1 och x2.

Med hjälp av räknare får vi x1. x1 = sin–1 (0,721) ≈ 46,1°

Sambandet sin (180° – v) = sin v ger oss sedan x2.

x2 ≈ 180° – 46,1° = 133,9°

För båda radierna OP och OQ gäller att de hamnar i samma läge om vi vrider dem ett godtyckligt antal hela varv i positiv eller negativ riktning. Har vi inga begränsningar för vinklarnas storlek får ekvationen därför ett obegränsat antal lösningar.

Samtliga lösningar till ekvationen sin x = 0,721 kan skrivas:

x ≈ 46,1° + n ∙ 360° eller x ≈ 133,9° + n ∙ 360°, n är ett heltal.

Exempel 2 Vi undersöker ekvationen cos x = 0,659

x

y

(1, 0)

48,8°

x = 0,659

–48,8°

Räknaren ger x1= cos –1 (0,659) ≈ 48,8°

Sambandet cos (–v) = cos v ger x2 ≈ – 48,8°

De två lösningarna är markerade i enhetscirkeln intill.

Lägger vi till eller drar ifrån ett godtyckligt antal hela varv får vi alla lösningar:

x ≈ 48,8° + n ∙ 360° eller x ≈ – 48,8° + n ∙ 360°

Kortare skrivsätt: x ≈ ± 48,8° + n ∙ 360°

34 1.4 TrigOnOmeTriSkA ekVATiOner

Grundekvation för sinus

Allmänt gäller: Exempel

sin x = k, –1 ≤ k ≤ 1 sin x = 0,721

Låt v vara en lösning. Räknaren ger en lösning v ≈ 46,1°.

Då kan samtliga lösningar skrivas Samtliga lösningar är

x = v + n · 360° x ≈ 46,1° + n · 360°

eller eller

x = 180° – v + n · 360°, n heltal x ≈ 133,9° + n · 360°, n heltal

Grundekvation för cosinus

Allmänt gäller: Exempel

cos x = k, –1 ≤ k ≤ 1 cos x = 0,659

Låt v vara en lösning. Räknaren ger en lösning v ≈ 48,8°

Då kan samtliga lösningar skrivas Samtliga lösningar är

x = ± v + n · 360° x ≈ ± 48,8° + n · 360°

n heltal n heltal

Ekvationen tan x = k behandlas i nästa kapitel.

När vi löser trigonometriska ekvationer är det naturligt att använda räknare och t ex sin –1 k för att hitta en vinkel.

De flesta räknare har också olika solve-funktioner, och kraftfulla symbolhanterande räknare kan t o m lösa trigonometriska ekvationer fullständigt.

Använd gärna sådana funktioner för att kontrollera svaret eller komma vidare om du kör fast, men träna på lösningsmetoderna och försök förstå dem, så att du kan lösa ekvationerna utan hjälpmedel.


1401

1402

Ange med en decimal samtliga lösningar till följande ekvationera) sin x = 0,293 b) sin x = – 0,331

a) sin x = 0,293 Vi får två fall. Fall 1: Räknaren ger x = sin –1 (0,293) = 17,037...° ≈ 17,0°

x ≈ 17,0° + n ∙ 360° Fall 2: x ≈ 180° – 17,0° + n ∙ 360°

x ≈ 163,0° + n ∙ 360°

Svar: x ≈ 17,0° + n ∙ 360° eller x ≈ 163,0° + n ∙ 360°

b) sin x = – 0,331 Fall 1: x = sin –1 (– 0,331) ≈ –19,3°

x ≈ –19,3° + n ∙ 360° Fall 2: x ≈ 180° – (–19,3°) + n ∙ 360°

x ≈ 199,3° + n ∙ 360°

Svar: x ≈ –19,3° + n ∙ 360° eller x ≈ 199,3° + n ∙ 360°

x

y

(1, 0)

–19,3°199,3°

340,7°

Om vi i det första fallet vill svara med en positiv vinkel så kan vi lägga till en period. x ≈ – 19,3° + 360° = 340,7°

Ange med en decimal samtliga lösningar till följande ekvationera) cos x = 0,369 b) cos x = – 0,369

a) cos x = 0,369 b) cos x = – 0,369 x = cos –1(0,369) ≈ 68,3° x = cos –1(– 0,369) ≈ 111,7°

Vi får två fall. x = ± 68,3° + n ∙ 360° x = ± 111,7° + n ∙ 360°

Svar: a) x = ± 68,3° + n ∙ 360° b) x = ± 111,7° + n ∙ 360°


1403

1404

Undersök om ekvationen sin x = 0,42 har några lösningar i intervallet 720° < x < 900°. Arbeta med hela grader.

sin x = 0,42 ger

x ≈ 25° + n ∙ 360° eller x ≈ 155° + n ∙ 360°

För att hitta eventuella lösningar i intervallet 720° < x < 900° kan vi välja olika värden på n bland heltalen: . . . –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, . . .

Här prövar vi med n = 1, 2, 3, . . .

x ≈ 25° + n ∙ 360° ger då vinklarna 385°, 745°, 1 105°, . . .

x ≈ 155° + n ∙ 360° ger då vinklarna 515°, 875°, 1 235°, . . .

Svar: Inom intervallet 720° < x < 900° finns lösningarna 745° och 875°.

Lös ekvationerna och svara med en decimal. Använd räknarens samtliga decimaler eller minst en extra jämfört med noggrannheten i svaret.

a) sin x2

= – 0,520 b) cos (3x – 41,2°) = 0,316

a) sin x2

= – 0,520

Fall 1 Fall 2

x2

≈ –31,33° + n · 360°

x ≈ – 62,66° + n ∙ 720°

x2

≈ 211,33° + n · 360°

x ≈ 422,66° + n ∙ 720°

Båda leden (även perioden) multipliceras med 2.

Svar: x ≈ –62,7° + n ∙ 720° eller x ≈ 422,7° + n ∙ 720°

b) cos (3x – 41,2°) = 0,316 ger 3x – 41,2° ≈ ± 71,58° + n ∙ 360°

Fall 1 Fall 2

3x – 41,2° ≈ 71,58° + n ∙ 360°3x ≈ 112,78° + n ∙ 360°x ≈ 37,6° + n ∙ 120°

3x – 41,2° ≈ –71,58° + n ∙ 360°3x ≈ –30,38° + n ∙ 360°x ≈ –10,1° + n ∙ 120°

Svar: x ≈ 37,6° + n ∙ 120° eller x ≈ –10,1° + n ∙ 120°

Båda leden (även perioden) divideras med 3.


1405

41°–41°

139°

1

10,66

0,75

Använd figuren och ange två olika vinklar som ger att

a) sin x = 0,66 b) cos x = 0,75

Ange samtliga lösningar till ekvationen

c) sin x = 0,66 d) cos x = 0,75

Ange med en decimal samtliga lösningar till ekvationen.

1406 a) sin x = 0,789 b) sin x = – 0,342

1407 a) cos x = 0,439 b) cos x = – 0,780

1408 a) cos x = 0,351 c) 2 sin x = – 0,44

b) sin x = 0,351 d) 0,5 cos x = – 0,32

1409 a) cos 3x = 0,40 b) sin 2x = – 0,60

1410 a) cos x3

= – 0,28 b) sin x2

= –1

1411 Motivera med hjälp av enhetscirkeln varför ekvationerna sin x = 1,4 och sin x = –2 saknar lösningar.

1412 Jonna löser ekvationen cos 2 x = 0,5

och glömmer två saker. Vilka?

cos 2x = 0,5 2x = 60° + n ∙ 360° x = 30° + n ∙ 360°

1413 Ekvationen cos x = 1 har lösningen x = 0° + n ∙ 360°. Ange alla lösningar i intervallet 0° ≤ x ≤ 1 000°.

1414 Lös ekvationen fullständigt. Svara med en decimal.

a) sin (x – 51,0°) = 0,700

b) cos (x + 51,0°) = 0,700

c) sin (5x – 71,3°) = – 0,370

d) cos (0,5x + 33,3°) = 0,740

Undersök om ekvationen har någon lösning i det angivna intervallet. Arbeta med hela grader.

1415 a) cos x = 0,80 270° < x < 360°

b) sin x = – 0,70 0° < x < 270°

1416 a) sin x = 0,85 600° < x < 720°

b) 1 + cos x = 0,28 – 600° < x < – 480°

1417 Ange en ekvation som har

a) en lösning x ≈ 760°

b) samtliga lösningar x = ±30° + n ∙ 180°.

1418 Har sin 4 x = 0,5 fyra gånger så många lösningar som sin x = 0,5 i intervallet 0° ≤ x < 360° ? Motivera.

1419 Bestäm ekvationens lösning i det angivna intervallet. Svara i hela grader.

a) sin 2x = 0,61 450° ≤ x ≤ 900°

b) cos (4x + 11°) = 0,42 –90° ≤ x ≤ 90°

c) 14 – 2 cos 2x = 12,38 360° ≤ x ≤ 720°

1420 Undersök för vilka vinklar x som

a) sin 2 x = sin 70°

b) sin x = sin 3x

c) cos 2 x = cos (x – 30°)


ekvationer som omformas med formler

1421

1422

Lös ekvationerna med nollproduktmetoden, d v s genom faktorisering.a) 4x2 – x = 0 b) 5 cos2 x – cos x = 0

faktorisera!

a) 4x2 – x = 0 b) 5 cos2 x – cos x = 0 x (4 x – 1) = 0 cos x (5 cos x – 1) = 0

nollproduktmetoden: Om a · b = 0, så är a = 0 eller b = 0.

x = 0 eller 4 x – 1 = 0 cos x = 0 eller 5 cos x – 1 = 0 x = 1/4 cos x = 1/5

x = ± 90° + n · 360° som kan skrivas

x = 90° + n · 180°

eller

x ≈ ±78,5° + n · 360°

Svar: a) x = 0 eller x = 1/4 b) x = 90° + n · 180° eller x ≈ ± 78,5° + n · 360°

Lös ekvationen 2 sin 2x = sin x.

2 sin 2x = sin x Använd formeln sin 2x = 2 sin x cos x i Vl.

2 · 2 sin x cos x = sin x4 sin x cos x – sin x = 0 faktorisera Vl.

sin x (4 cos x – 1) = 0

x

y

90°

0°180°

–90°270°

sin x = 0 eller 4 cos x – 1 = 0

x = 0° + n · 360° cos x = 14

ellerx = 180° + n · 360° x ≈ ± 75,5° + n · 360°

Lösningarna till sin x = 0 kan sammanfattas medx = n · 180° (se figur)

Svar: x = n · 180° eller x ≈ ± 75,5° + n · 360°.


1423 Lös ekvationen cos2 x = 3 sin x – 3.

cos2 x = 3 sin x – 3 Använd formeln cos 2 x = 1 – sin 2 x i Vl.

1 – sin2 x = 3 sin x – 3

sin2 x + 3 sin x – 4 = 0 Sätt sin x = t

t 2 + 3t – 4 = 0

t = – 32

± √ 94

+ 4

t = 1 eller t = – 4

sin x = 1 sin x = – 4

x = 90° + n · 360° Saknar lösning, då –1 ≤ sin x ≤ 1.

Svar: x = 90° + n · 360°.

1424 För vilka x är

a) sin x = 0

b) cos x = 0

c) sin x ∙ cos x = 0 ?

Lös ekvationen, svara med en decimal.

1425 a) 2 sin x (sin x – 0,3) = 0

b) 1,5 cos x (0,5 – cos x) = 0

c) 4 cos x (2 sin x – 5) = 0

1426 a) 4 sin2 x – 3 sin x = 0

b) cos2 x = 5 cos x

1427 Skriv om vänsterledet i ekvationen

2 sin x ∙ cos x = 2

och förklara varför ekvationen saknar lösningar.

1428 Lös ekvationen

a) sin 2 x = 2 sin x

b) sin2 x + sin x – 2 = 0

Välj lösningsmetod och lös ekvationen.

1429 3 cos2 x = 2 sin x + 2

1430 5 sin 4x = 3 sin 2x

1431 5 cos 2x + 3 sin x – 4 = 0

1432 cos 2x + cos x + 1 = 0

1433 1 + 2 cos x + cos 2x = sin2 x

1434 Bestäm triangelns vinklar.

3a4a

2xx

1435 I triangeln ABC är

AB = 5 cm, BC = 6 cm och AC = 4 cm.

a) Beräkna vinklarna A och B med fyra decimaler.

b) Resultatet i a) antyder ett samband mellan vinklarna A och B. Formulera och bevisa detta.

40 1.5 TillämpningAr Och prOBlemlöSning

1.5 Tillämpningar och problemlösning När vi möter nya tillämpningar och problem är det extra viktigt med en god problemlösningsstrategi. Vi påminner med ett exempel om en strategi med fyra steg som du tidigare mött.

1501 En vinkels storlek kan bero av tiden,

t ex vid rotation. Radien OP med längden 3 l.e. vrider sig moturs med hastigheten 20° per sekund, se figur.a) Ställ upp en formel för hur

y-koordinaten för punkten P varierar med tiden t sekunder.

b) Hur lång tid under ett varv är y-koordinaten för punkten P ≥ 2?

a) När radien OP vrider sig kommer y-koordinaten för punkten P att variera mellan – 3 och 3. Vi ritar en figur för att lättare se hur vinkeln och y-koordinaten beror av tiden.

För en godtycklig vinkel v är koordinaterna för punkten P: (3 ∙ cos v, 3 ∙ sin v)

Efter t sekunder är vinkeln v = 20t v ökar med 20°/s

y-koordinaten för punkten P är då: y = 3 ∙ sin 20t Formeln ger att y varierar mellan – 3 och 3 då sin 20t varierar

mellan –1 och 1.b) y = 2 ger ekvationen 2 = 3 ∙ sin 20t sin 20t = 2/3 ger (20t )° ≈ 42° + n ∙ 360° eller (20t )° ≈ 138° + n ∙ 360° t ≈ 2,1 + n ∙ 18 eller t ≈ 6,9 + n ∙ 18

Tolkning: Under det första varvet är y = 2 vid t = 2,1 s och t = 6,9 s, dvs y ≥ 2 under 4,8 s. Detta upprepas varje varv, dvs var 18:e sekund.

Svar: a) y = 3sin 20t b) 4,8 s.

P

(3,0)(0,0)

x

y

O

1. Förstå problemet 2. Gör upp en plan P (3 · cos v, 3 · sin v )

3

x

y

O v

3. Genomför planen

4. Värdera

1502 Ett vattenhjul med radie 3 m snurrar 10 varv per minut.

a) Hur många grader/s vrider sig hjulet?

Hur lång tid tar det för hjulet att vrida sig så att punkten A förflyttas till

b) B c) C ?

A

B

C1,5 m

1503 För vilka vinklar i intervallet 0° ≤ v ≤ 360° är

a) cos v < – 0,5

b) 0 ≤ sin v < 0,5 ?

1504 Ekvationen 12 = 14 sin (k + x) + 5 har en lösning x = 2°. Vilket värde har k ?

1505 Peter påstår att n (1 – n)2 ≥ 0 för alla heltal n ≥ 1. Har han rätt?

1506 Ett pariserhjul med radien 30 meter snurrar ett varv på 3 minuter.

En person kliver på hjulet i dess nedersta läge vid marken.

Hjulet snurrar sedan i 5 minuter innan det stannar. Hur högt över marken är personen då?

1507 Bestäm största och minsta värde för uttrycket

a) 23 + 2sin x

b) 100

2,25 – 1,75 cos 2 x

1508 Finns det någon vinkel v som har samma tangensvärde som sinusvärde?

1509 Finn alla värden på a för vilka ekvationen

cos x = 2 a – 3

5har någon lösning.

1510 Beräkna summan utan hjälpmedel.

sin2 (10°) + sin2 (20°) + sin2 (30°) + . . . + + sin2 (90°)

1511 Visa att om A är en vinkel med

0° < A < 90° så är

1 +

1sin A

1 +

1cos A

> 5

(Skolornas Matematiktävling)

1512 Definition: En vinkel A är ”snäll” om både sin A och cos A är ett rationellt tal, dvs kan skrivas som ett bråk.

Bevisa eller motbevisa påståendet:

a) ”Om A är snäll, så är supplementvinkeln snäll.”

b) ”Om A är snäll, så är A/2 snäll.”

42 1 TrigOnOmeTri Och fOrmler

Aktivitet ✽ Diskutera

Diskutera i par eller grupp. Sant eller falskt?Motivera svaret.

Sant eller falskt?

1 Ekvationen cos v = 0,4 har två lösningar i intervallet 0° ≤ v ≤ 180°.

2 Vinklarna 28°, 152° och 388° har alla samma sinusvärde.

3 Om cos x = 0 så är sin x = 1.

4 Om cos v har värdet a så har cos (–v) också värdet a.

5 För alla vinklar i andra kvadranten är sin v > cos v.

6 tan (–v) kan skrivas –tan v.

7 sin (u + v) + sin (u – v) kan utvecklas och förenklas till sin 2u.

8 För alla värden på n < 2 så är (n + 1)2 < 9

9 I ett indirekt bevis utnyttjar vi att P ⇒ Q är logiskt ekvivalent med ¬ P ⇒ ¬ Q.

10 Lösningarna till ekvationen sin 2 x = 0,5 är också lösningar till ekvationen sin x = 0,5.

11 Ekvationen a sin 4 x – 1 = 2 saknar lösning då a < 3.

12 Om cos x = 14

så är cos 2 x = 78

13 cossin

2 xx

+ sin x kan förenklas till 1sin x

14 Ekvationen cos 3 x = cos x har lösningen

x = n · 90°.

1 TrigOnOmeTri Och fOrmler 43

EnhetscirkelnOm radien OP har vridits en vinkel v i positiv (moturs) eller negativ riktning (medurs), så gäller

x

y

(1, 0)

x

y

v

(1, 0)O

P(cos v, sin v) P (cos v, sin v)

vO

sin v = y-koordinaten för P

cos v = x-koordinaten för P

tan v = sincos

vv

, v ≠ 90° + n · 180°

De trigonometriska funktionerna är periodiska.

sin (v + n · 360°) = sin v, n heltal, perioden 360°

cos (v + n · 360°) = cos v, n heltal, perioden 360°

tan (v + n · 180°) = tan v, n heltal, perioden 180°

Trigonometriska formlersin (180° – v) = sin vcos (180° – v) = – cos vsin (– v) = – sin vcos (– v) = cos v

sin (90° – v) = cos vcos (90° – v) = sin v

Trigonometriska ettansin2 u + cos2 u = 1

Additions- och subtraktionsformlernasin (u + v) = sin u ∙ cos v + cos u ∙ sin vsin (u – v) = sin u ∙ cos v – cos u ∙ sin vcos (u + v) = cos u ∙ cos v – sin u ∙ sin vcos (u – v) = cos u ∙ cos v + sin u ∙ sin v

x

y(cos v, sin v )

v

(1, 0)

180° – v

–v

Sammanfattning 1

Formler för dubbla vinkelnsin 2u = 2 sin u ∙ cos ucos 2u = cos 2u – sin 2u = 2 cos 2u – 1 = 1 – 2 sin 2u

Bevis och bevismetoder

Direkt bevis:Visa direkt att antagandet ger slutsatsen.

Indirekt bevis:Visa att om slutsatsen är falsk så är också antagandet falskt.

Motsägelsebevis:Antag att påståendet/satsen är falsk och visa att det leder till en motsägelse.

Trigonometriska ekvationer

Grundekvationernasin x = k (–1 ≤ k ≤ 1)

En lösning ges av v = sin–1 (k)Samtliga lösningar ges av

x = v + n ∙ 360°

eller

x = 180° – v + n ∙ 360°

cos x = k (–1 ≤ k ≤ 1)

En lösning ges av v = cos–1(k)

Samtliga lösningar ges av

x = ± v + n ∙ 360°

Tillämpningar och problemlösning

Allmän problemlösningsstrategi

1 Förstå problemet

2 Gör upp en plan

3 Genomför planen

4 Värdera resultatet



Kan du det här? 1

MomentBegrepp som du ska kunna använda och beskriva

Du ska ha strategier för att kunna

Trigonometri och trianglar

Enhetscirkeln

sin v, cos v, tan v

sin–1 v, cos–1 v, tan–1 v

•använda enhetscirkeln för vinklar i intervallet 0° ≤ v ≤ 180°

•bestämma trigonometriska funktioners värden, exakt och med räknare

•bestämma vinklar.

Trigonometriska formler

Period (sin v, cos v, tan v)

Trigonometriska identiteter


Additions- och subtraktionsformler

Formler för dubbla vinkeln

•använda enhetscirkeln för positiva och negativa vinklar

•visa samband med hjälp av enhetscirkeln•beräkna trigonometriska värden och

vinklar med hjälp av formler•använda formler för att visa likheter.


Direkt bevis

Indirekt bevis

Motsägelsebevis

•genomföra bevis med olika metoder.


Trigonometriska ekvationer •lösa trigonometriska ekvationer och bestämma fullständiga lösningar

•finna lösningar i ett givet intervall•lösa ekvationer som kan omformas med

formler.


•lösa olika matematiska problem och tillämpningar.



Diagnos 1

Trigonometri och trianglar

1 a) Ange två olika vinklar som har samma sinusvärde.

b) Har vinklarna i a) samma tangensvärde?

2 Punkten P har koordinaterna (a, 2a).

x

y

P

(1, 0)

v

a) Bestäm vinkeln v.

b) Bestäm a.

Trigonometriska formler

3 Bestäm med hjälp av enhetscirkeln

a) cos 900° b) sin (–270°)

4 I vilka kvadranter i enhetscirkeln kan två vinklar ha samma

a) cosinusvärde b) tangensvärde?

5 Bestäm sin v om cos v = 0,40.

6 I figuren har punkten P koordinaterna (a, b).

a) Vilka koordinater har punkten Q ?

b) Visa att sin v = – cos (270° – v).

x

y

P (a, b)

v270°– v

Q

7 Varje uttryck i kolumn A kan förenklas till ett uttryck i kolumn B. Vilka uttryck hör ihop?

Nr A B

1 1 – sin2 x 1 + 2 sin x cos x

2 cos2 x (tan2 x + 1)1

cos x3 1 + tan2 x 1

4cos x

1 – sin2 x1

cos2 x5 (cos x + sin x)2 0

6 tan x · cos x + sin (–x) cos2 x


8 Anta att P: Det är soligt ⇒ Q: Vi äter glass. Formulera med ord ”¬ Q ⇒ ¬ P ”.

9 2 x + 3 ≥ 9 Visa med ett motsägelsebevis att x ≥ 3.


10 Lös ekvationen fullständigt

a) cos x = 0,5 d) cos 2 x = 1

b) sin x = – 0,24 e) cos (x – 30°) = – 0,12

c) sin x = sin 23° f) 2 sin 3x = 3

11 Finns det någon vinkel v så att

sin v = 0,1 och 600° < v < 700° ?

12 Lös ekvationen

a) sin 2 xcos x

= 1 b) 3 cos2 x – cos x = 0


13 Vilket är största respektive minsta värdet för sin v i intervallet 70° ≤ v ≤ 170° ?

14 För vilka värden på v är cos v växande?

Om du behöver repetera kan du fortsätta med Repetitionsuppgifter på sidan xxx.



Blandade övningar 1 A

Del I Utan räknare

1 Bestäm sin x – cos x då

a) x = 720° b) x = 540°

2 Ekvationen sin x = 0,26 har enligt räknaren en lösning x ≈ 15°. Vilka lösningar har ekvationen i intervallet 0° < x < 720° ?

3 Lös ekvationen 1 + cos x = 2.

4 Vad blir sin (sin–1 0,12) ? Motivera.

5 Vad är ¬ P om P är

a) x ≥ 32 b) sin x = 0,5 ?

6 P : x ≥ 2 och Q : 2x + 3 ≥ 7

a) Skriv ¬ P och ¬ Q med symboler.

b) Bevisa med ett indirekt bevis att P ⇒ Q

7 Förenkla cos (x – 90°) – cos (x + 180°).

8 Ordna följande tal i storleksordning:

a = sin 24°, b = cos 460° och c = sin 885°

Motivera ditt svar.

9 Visa hur sambandet

cos 2 A = 2 cos2 A – 1

kan fås ur likheterna

cos (u + v) = cos u cos v – sin u sin v och

sin 2 u + cos 2 u = 1. (NP)

10 Formulera med ord ¬ Q ⇒ ¬ P om P ⇒ Q motsvaras av ”Om ingen klarar provet blir ingen godkänd”.

11 Bestäm cos v då sin v = √ 23

och

90° < v < 180°.

12 Bestäm cos 2x om cos x = 14

13 Visa att

cos x ∙ sin 2x = 2 sin x – 2 sin3 x

14 Bevisa att sin v + cos v ≤ √ 2 för alla vinklar v.

15 Visa att

cos2 x1 – cos x

– cos xtan2 x

= cos2 xsin2 x

46 1 TrigOnOmeTri Och fOrmler46 1 TrigOnOmeTri Och fOrmler


Del II Med räknare

16 Lös ekvationen fullständigt. Svara med en decimal.

a) sin x = 0,83 b) cos 2x = – 0,12

17 Ange en ekvation som har en lösning

a) x ≈ 112° b) x ≈ –98°

18 Bevisa med ett direkt bevis att differensen mellan två udda tal är ett jämnt tal.

19 Vid en förenkling får Diana svaret1

tan x men facit säger

cos xsin x

Har Diana fått fel svar? Motivera.

20 Förenkla cos (a + b) + cos (a – b) och skriv sedan produkten 2 cos 75° ∙ cos 20° som en summa.

21 Punkten P har koordinaterna (a, b).

x

y

P (a, b)

v(1, 0)

Uttryck med hjälp av koordinaterna för punkten P

a) sin (v + 180°) b) cos (v + 270°)

22 Har ekvationen cos (0,4 x + 10°) = 0,4 någon lösning i intervallet 800° < x < 1 000° ? Motivera.

23 Har tan v något största värde? Motivera.

24 Bevisa att om n3 är ett udda heltal så är n ett udda heltal.

25 Anders påstår att det inte finns någon vinkel som har den egenskapen att sinusvärdet fördubblas om vinkeln fördubblas. Har Anders rätt?

26 Lös ekvationen

a) sin 5x = sin 4x

b) cos2 x = sin x + 1

Utredande uppgifter Den här typen av uppgifter brukar bedömas efter följande kriterier:

•vilkamatematiskakunskaperduharvisat

•hurvälduharförklaratdittarbeteochmotiveratdina slutsatser

•hurvälduharredovisatdittarbeteochgenomfört dina beräkningar.

27 a) Beräkna sin sincos

85 952 5

° °°

+

b) Beräkna värdet av uttrycket

sin ( ) sin ( )cos

90 902

° − °x xx

+ +

då x = 20° och då x = 42°.

Vad upptäcker du?

c) Undersök om uttrycket

sin ( ) sin ( )cos

90 902

° − °x xx

+ +

har värdet 1 för alla värden på vinkeln x.

28 Undersök antalet lösningar till ekvationen

a sin 2x = 5

då värdet på konstanten a varierar och

0° ≤ x ≤ 360°.

1 TrigOnOmeTri Och fOrmler 471 TrigOnOmeTri Och fOrmler 47


Del I Utan räknare

1 Ekvationen cos x = 0,64 har enligt räknaren en lösning x ≈ 50°.

Vilka lösningar har ekvationen i intervallet –360° < x < 360°?

2 Ange samtliga lösningar till ekvationen sin 2 x = 0,5.

3

(cm)

4

v

5 3

Bestäm

a) sin v c) sin (90° – v)

b) cos v d) sin 2v

4 Bevisa att x ≥ 3 ger 6 ( x + 1) ≥ 24 med ett

a) direkt bevis b) indirekt bevis.

5 Anta att du vet att cos 40° ≈ 0,77. Bestäm då

a) cos 320° b) sin 50°

6 Förenkla sin (x + 90°) + cos (x – 180°).

Blandade övningar 1 B

7 Vilket av följande uttryck A – F kan förenklas till 1?

A (sin x + cos x)2

B (sin x – cos x)2

C (sin x + cos x)(sin x – cos x)

D cos x · (tan x · sin x + cos x)

E sincos

xx

+ cossin

xx

F 2(sin x + cos x) (NP)

8 Bestäm ett närmevärde till sin 110° om du vet att sin 20° ≈ 0,34 och cos 20° ≈ 0,94.

9 Bestäm värdet av sin v om v är en vinkel i tredje

kvadranten och cos v = – 23

10 Visa med ett motsägelsebevis att 1

1 + x 2 ≤ 1

för alla värden på x.

11 Visa att sin x – 2 sin3 x = sin x ∙ cos 2x

12 Ge exempel på en trigonometrisk ekvation som har lösningen x = n ∙ 120°.

13

(cm)

v1

2

För vinkeln v i figuren gäller att

sin cossin cos

v vv v

+⋅

= k · 5

Bestäm talet k.

48 1 TrigOnOmeTri Och fOrmler48 1 TrigOnOmeTri Och fOrmler


Del II Med räknare

14 Bestäm samtliga lösningar i intervallet 0° ≤ x < 360° till ekvationen cos x = 0,8.

15 För vilka v i intervallet 0° ≤ v ≤ 360° är

a) sin v = – 0,5 b) sin v ≤ – 0,5 ?

x

y

y = – 0,5

16 Ekvationen sin Ax = 0,1 har en lösning x = 20° . Vilket tal är A? Ge ett exempel.

17 Anta att a2 + b2 = c2. Kan a, b och c alla vara udda heltal?

18 Lös ekvationen fullständigt.

a) sin xcos x

= 0

b) 2 sin (4x – 32°) = 0,8

19 Beskriv ett samband mellan enhetscirkeln och trigonometriska ettan.

20 För vilka värden på a saknar ekvationen 2 cos 3x = 3a lösningar?

21 Bevisa att cos2 u – sin2 u + 3 ≤ 4

22 Härled en formel för sin 4x, ”kvadrupla vinkeln för sinus”. Anta att vi vet sin x och/eller cos x.

23 Lös ekvationen sin2 x

2 = cos x

24 Bevisa att om 4 är en delare till (a – 1) så är 4 en delare också till a2 +3.

Utredande uppgifter Den här typen av uppgifter brukar bedömas efter följande kriterier:

•vilkamatematiskakunskaperduharvisat

•hurvälduharförklaratdittarbeteochmotiveratdina slutsatser

•hurvälduharredovisatdittarbeteochgenomfört dina beräkningar.

25

b a

c

C

BA

a) En triangel har sidorna 6,0 cm, 7,0 cm och 8,0 cm. Bestäm triangelns minsta vinkel med cosinussatsen a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos A

b) På en internetsajt med matematikinnehåll finner Susanna formeln

a 2 = ( b – c )2 + 4 b c · sin2 A2

Visa att formeln ger samma resultat som i a).

c) Bevisa formeln i uppgift b)

26 Undersök lösningar till ekvationen sin 2x = a. Vad är största möjliga differens, i grader, mellan två intilliggande lösningar?

27 Bilda en ”enhetscirkel” med radien 2.

a) Vilka koordinater har en punkt på denna cirkel för en godtycklig vinkel v ?

b) Härled trigonometriska ettan med hjälp av en godtycklig vinkel v och koordinaterna för tillhörande punkt P.

1 TrigOnOmeTri Och fOrmler 491 TrigOnOmeTri Och fOrmler 49

252 Svar, ledtrådar och löSningar

SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGARSvaren står med svart text. Ledtrådar och lösningar med blå text.

1

1103 a) sin v = 0,829, cos v = 0,559 tan v = 0,829/0,559 ≈ 1,48

b) sin v = 0,94, cos v = 0,34 tan v ≈ 2,8

1104 a) x ≈ 34° och x ≈ 146°Ledtråd: x = sin–1(0,56) och sin (180°– x) = sin x

b) x ≈ 83°

c) Ingen lösning i intervallet.

d) x ≈ 153°

1105 h ≈ 16 mLedtråd:tan 37° = h

19 + 2,5

1106 a) Ca 40 cm2

b) 38 cm2

Ledtråd:Använd areasatsen två gånger.

c) 9,2 cmLedtråd:Använd cosinussatsen.

1107 Sant.Motivering:Trianglars vinklar ligger i intervallet 0° < v < 180°. I detta intervall finns två olika vinklar som har samma sinusvärde men bara en vinkel till varje cosinusvärde.

1108 a) 20 cmLedtråd:sin 56,4° = h/24

b) 180 cm2

c) 63 cmKommentar: Sidan BC beräknas med cosinussatsen.

1109 a) v = 56° och v = 134°Motivering:sin v = sin (180° – v)

b) v = 140°Motivering:cos v = – cos (180° – v)

c) Ingen lösning i intervallet.Motivering:sin v > 0 i hela intervallet.

1110 a) (–b, a)

b) sin (v + 90°) = cos v cos (v + 90°) = – sin v

1111 En punkt på enhetscirkeln har för vinkeln v koordinaterna (cos v, sin v)

x

y

v

P

(1, 0)

1

För en vinkel i första kvadranten ger Pythagoras sats direkt:

(sin v)2 + (cos v)2 = 1

I andra kvadranten kan vi utnyttja att sin v = sin (180° – v) cos v = – cos (180° – v)

vilket ger

(sin (180° – v))2 + (cos (180° – v))2 =

= (sin v)2 + (– cos v)2 =

= (sin v)2 + (cos v)2 = 1

dvs sambandet gäller för alla vinklar i intervallet. Kommentar: Vi kan även använda cirkelns ekvation eller avståndsformeln för att visa att sambandet gäller för alla vinklar.

1202 a) 1 b) –1 c) –1 d) 0

1203 Sinusfunktionen är periodisk med period 360° vilket ger att sin 50° = sin (50° + 360°) = sin 410°

1204 Om perioden är 180° innebär det att varje tangensvärde återkommer med ett intervall på 180°, t ex tan 10° = = tan 190° = tan 370° = …

1205 a) 0,5Lösning:sin 750° = = sin (750° – 2 · 360°) = = sin 30°

b) 0,53Lösning:cos (–302°) = = cos (–302° + 360°) = = cos 58°

c) 0,84Lösning:tan 400° = = tan (400° – 180°) = = tan 220°

1206 a) 0,42

b) – 0,42

c) 0,91

d) 0,91

e) 0,42Ledtråd:sin (180° – v) = sin v

f) – 0,91Ledtråd:cos (v + 180°) = – cos v

g) 0,91

h) 0,42

Svar, ledtrådar och löSningar 253

1207 a) Falskt.

b) Sant. Motivering:cos v = cos (– v) och cos 290° = cos (290° – 360°) = = cos ( – 70°)

c) Sant. Motivering:cos 270° = 0 vilket ger att

tan 270° = sin 270°cos 270°

ej ärdefinierat.

d) Sant. Motivering:sin 550°cos 550°

= tan 550° =

= tan (10° + 3 · 180°) = = tan 10°

1208 a) √ 3

b) – √ 3Lösning:

– √ 32

– √ 32

= – 2 √ 32

= – √ 3

c) 1

d) √ 3

1209 a) Q (– a, b) och S (a, – b).

b) Lösning: VL = tan (–v) = sin ( )

cos ( )−−

vv

=

= −ba

= − ba

HL = tan (180° – v) =

= sin ( )cos ( )

180180

°°

−−

vv

= ba−

= − ba

VL = HL

1210

x

y

P (a, b)

v

(1, 0)

270°

Q (b, –a)

a) Lösning: sin v = b, cos (v + 270°) = b

b) Lösning: cos v = a, sin (v + 270°) = – a

1214 sin v = ± 35

= ± 0,6

Lösning:

sin2 v = 1 – 45

2

sin2 v = 925

sin v = ± √ 9√ 25

= ± 35

1215 a) b) cos v = 45

= 0,8

1216 a) cos v = 1213

b) cos v = 4041

1217 Lösning:VL = sin x

1sin x

– sin x=

= 1 – sin2x = cos2x = HL

1218 Lösning:VL = cos2 v (tan2 v + 1) =

VL = cos2 v · sincos

2

2 1vv

+

=

= sin2 v+ cos2 v = 1 = HL

1219 Nej, för en trubbig vinkel (90° < v < 180°) är cos v negativ (andra kvadranten i enhetscirkeln).

1220 sin v = √83

, tan v = – √ 8

1221 a) cos x c) 1

b) 1sin x

Ledtråd:Förläng till gemensam nämnare.

d) cos x

1222 a) x = 0° ger sin2 0° + tan 0° = 0 1 – cos 0° = 0 x = 30° ger sin2 30° + tan 30° ≈ 0,83 1 – cos 30° ≈ 0,13

b) Nej.Motivering:Uttrycken har inte samma värde för alla vinklar x och är därför inte identiska.

1223 a) Ja.

Motivering:

sin x + cossin

xx

2

=

= sin cossin

x xx

2 2+ =

= 1sin x

b) Nej, Steves svar kan inte förenklas till cos x.Motivering: Prövning ger t ex att för x = 0° har Steves uttryck värdet 0 medan cos 0° = 1.

1224 a) 2 cos 2x – 1

b) 1cos x

1225 a) Lösning: HL = sin2 v

1 – sin2 v = sin2 v

cos2 v =

= tan 2v = VL

b) Lösning:VL = (1 – sin 2 v ) (1 + tan 2 v ) =

= cos 2 v 1 + sin 2 vcos 2 v

=

= cos 2 v + sin 2 v = 1 = HL

1227 Lösning: VL = 1 – cos

sin

2

1x

x+ =

= 1 – 11

2− sinsin

xx+

=

= 1 – (1 + sin x) (1 – sin x)1 + sin x

=

= 1 – (1 – sin x) = sin x = HL

1228 Ledtråd:Börja med VL och konjugatregeln.

1229 Ledtråd:Börja med att multiplicera båda leden med (sin x + cos x). Förenkla sedan HL.

1230 Ledtråd:Börja t ex med VL och skriv om på gemensamt bråkstreck.

1231 Ledtråd:Multiplicera först båda leden med cos x och sedan med (1 + sin x)


1232 Lösning:

VL =

sin coscos

coscos

sincos

x xx

xx

xx

2

2

2

2

2− =

= tantan

xx1 2−

= HL

1233 Lösning:

VL = tan2 x1 – cos x

=

= sincos ( cos )

2

2 1x

x x− =

= 11

2

2

−−

coscos ( cos )

xx x

=

= 12

+ coscos

xx

= 1cos x

+ 12cos x

=

= HL

1234 Lösning:

VL = 1sin x

– 1tan x

= 1sin x

– cos xsin x

=

= 1 – cos xsin x

=

= (1 – cos x) (1 + cos x)sin x (1 + cos x)

=

= 1 – cos 2 xsin x (1 + cos x)

=

= sin 2 xsin x (1 + cos x)

=

= sin x1 + cos x

= HL

1235 Ledtråd:Skriv först om VL så att nämnarna blir lika, (1 – sin v ) (1 + sin v ).

1236 Lösning:

VL = tan x – sin xsin3 x

=

=

sincos

sin

sin

xx

x

x

−3 =

=

1 1

2

cossin

xx

− =

1 – cos xcos x

(1 – cos 2 x) =

= 11 2

−−

coscos ( cos )

xx x

=

= 11cos ( cos )x x+

=

= 1cos x + cos 2 x

= HL

1239 a) A = sin x, B = sin 25°

b) A = cos y, B = sin 35°

1240 a)

1

1

P

ykoordinaten för P är sin 180° = 0.

b) Lösning:sin (90° + 90°) == sin 90° · cos 90° + + cos 90° · sin 90° == 1 · 0 + 0 · 1 = 0

1241 a) 1,96 sin xLösning:sin x · cos 12° + sin x · cos 12° = 2 · cos 12° · sin x ≈ 1,96 sin x

b) 0,81 cos x

1242 a) 2 sin 50° cos x ≈ 1,53 cos x

b) 2 sin 43° cos x ≈ 1,36 cos x

c) 2 cos 79° cos x ≈ 0,38 cos x

1243 a) 2 sin u · cos v

b) 2 cos u · sin v

c) 2 cos u · cos v

d) –2 sin u · sin v

1244 Lösning:VL = cos (60° + x) + cos (60° – x) = = cos 60° · cos x – sin 60° · sin x + + cos 60° · cos x + sin 60° · sin x == 2 cos 60° · cos x = 2 · 1

2 · cos x =

= cos x = HL

1245 a) Lösning:VL = cos (270° – v) = = cos 270° cos v + sin 270° sin v == 0 ∙ cos v + ( – 1) ∙ sin v == – sin v = HL

b) Lösning:VL = sin (360° – x) = = sin 360° cos x cos 360° sin x == 0 ∙ cos x – 1 ∙ sin x = – sin x == HL

1246 Ledtråd: Sätt u = 0°.

1247 √ 22

eller 1√ 2

1248 a) √ 22

b) √ 2 (√ 3 + 1)4

1249 cos (x – x) = 1Förklaring:cos (x – x) = cos 0° = 1

1250 – 1665

Ledtråd:Beräkna cos A och cos B med hjälp av trigonometriska ettan.

1251 Lösning:cos (u + v) = cos (u – (– v)) == cos u · cos (– v) + sin u · sin (– v) == cos u · cos v – sin u · sin v

1252 —

1253 a) Lösning:Vi använder sambandencos (90° – x ) = sin xsin (90° – x ) = cos x

cos ((90° – u) – v) = = cos (90° – u) · cos v + + sin (90° – u) · sin vVL = cos (90° – (u + v)) = = sin (u + v)HL = sin u · cos v + cos u · sin v

b) Ledtråd:Byt ut v mot –v


1255 a) 0,96 c) 0,75

b) 0,28 d) 3,43 Ledtråd:

tan 2 x = sin 2xcos 2x

1256 a) sin v = ± √ 0,75 = ± √34

= ± √ 32

b) sin 2v = ±√ 32

Kommentar:Samma svar i a) och b) eftersom cos v = 0,5 ger specialfallet att sin 2v = sin v

1257 a) 83

≈ 0,94

b) – 2 √ 89

≈ – 0,63

1258 a) – 0,5Ledtråd:cos 2x = 2 cos 2x – 1

b) 19

1259 Nej.Motivering:Det räcker med ett motbevist ex 2 · sin 30° ≠ sin 60°

1260 a) − 41841

b) 840841

1261 Formlerna för dubbla vinkeln kan härledas från additionsformlerna genom att använda

sin 2 v = sin ( v + v)

och

cos 2 v = cos ( v + v)

1262 a) Lösning:

HL = sin 2 x1 + cos 2 x

=

=

21 2 12

sin coscos

x xx+ −

=

= sincos

xx

= tan x = VL

b) Lösning:

OA

B

x

1

1

2x

C

x

/\ BOC = 2 x (yttervinkel) BC = sin 2x, OC = cos 2x

tan x = BCOC1 +

= sincos

21 2

xx+

1263 Lösning:

VL = sin 2 xsin x

– cos 2 xcos x

=

= 2 2 12sin cossin

coscos

x xx

xx

− − =

= 2 2 12 2cos ( cos )cos

x xx

− − =

= 1cos x

= HL

1264 3sinx – 4 sin 3xLedtråd:sin 3x = sin (2x + x)

1265 Ledtråd:Visa att VL kan skrivas om till HL. Använd formlerna för dubbla vinkeln upprepade gånger. OBS! 4x är dubbla vinkeln till 2x.

1266 a) Lösning:

HL = 1 – tan2 x1 + tan2 x

=

= 1

1

2

2

2

2

− sincossincos

xxxx

+ =

=

cos2 x – sin2 xcos2 x

cos2 x + sin2 xcos2 x

=

= cos sincos sin

2 2

2 2

x xx x

−+

=

= cos 2x = VL

b) c) Ledtråd:Visa att HL kan skrivas om till VL på liknande sätt som i a).

1303 a) ⇒ Motivering:x > 0 medför att x2 > 0.Omvändningen gäller inte eftersom x2 > 0 också kan medföra att x < 0t ex 9 = (– 3)2

b) ⇔Motivering:n är udda ⇒ n = 2k + 1 och n = 2k + 1 ⇒ n är udda

c) ⇒Motivering:y = x + 2 medför y ′ = 1.Omvändningen gäller inte.Det finns flera funktioner vars derivata är 1. T ex y = x + 1.

d) ⇔Motivering:lg x = 2 ⇒ x = 100 och x = 100 ⇒ lg x = 2

1304 a) 3x + 7 = x + 1 ⇒ 2x = – 6 ⇒ x = – 3

b) x = – 3 ⇒ 2x = – 6 ⇒ 3x = x – 6 ⇒ 3x + 7 = x + 1

c) Ja. 3x + 7 = x + 1 ⇔ x = – 3


1305 a) Ett jämnt tal: 2n (n heltal)

Ett udda tal: 2k + 1 (k heltal)

Summan av ett udda och ett jämnt tal är ett udda tal

Bevis:

2 n + 2 k + 1 = 2 (n + k) + 1 = = 2 m + 1 ( m är ett heltal eftersom n och k är heltal)

Summan är ett udda tal. V.S.B.

b) Ledtråd:Utveckla produkten (2n + 1)(2k + 1) och motivera varför den är ett udda tal.

1306 a) Påståendet är sant.Bevis:n + (n + 1) + (n + 2) == 3n + 3 = 3(n + 1)3(n + 1) är delbart med 3.

b) Påståendet är falskt.Motbevis:2 + 3 + 4 = 9 9 är inte delbart med 6.

1307 Sant.Motivering:Symbolerna betyder”P medför Q som medför R”.”P medför alltså R”.

1308 A + B + C = 180° (vinkelsumma) A + B + 90° = 180° A + B = 90° sin (A + B) = sin 90° = 1

1309 a) Ledtråd:Visa att cosinussatsen ger att a2 = b2 + c2 om A = 90°.

b) Ledtråd:Visa att om a2 = b2 + c2 medför det att 2bc cos A = 0 och att A = 90°.

1310 a) Triangeltal: n ( n + 1)/2 kvadrattal: n2

b) Slutsats: Summan av två på varandra följande triangeltal är ett kvadrattal.

c) Ledtråd:Förenkla t ex (n – 1) n/2 + n ( n + 1)/2

1311 Lösning:n, m heltal ger produkten: 2n · 2(n + 1) = 2 · 2 · n (n + 1) = = 2 · 2 · 2 · mDen sista likheten motiveras avatt antingen n eller (n + 1) är ett jämnt tal. 8m är delbart med 8. V.S.B.

1312 I sista steget dividerar vi med a + b – c = 0. Division med noll är inte definierat.

1313 Ledtråd:Dela upp i två fall:n jämnt: 2k och n udda: 2k + 1.Visa att detta leder till att uttrycket kan faktoriseras till (2k – 1)2k(2k + 1) samt2k(2k + 1)(2k + 2) och motivera varför dessa uttryck är delbara med 3.

1316 a) ¬P : n är udda.

b) ¬P : x + y < 4

c) ¬P : x ≠ 2

d) ¬P : Inget barn är en flicka.

e) ¬P : Minst en ko kan inte flyga.

1317 Vi spelar inte fotboll ⇒ Det är inte sommar.

1318 a) ¬ Q : x > 8 ⇒ ¬ P: 0,5 x + 2 > 6

b) x > 8 ⇒ 0,5 x + 2 > 0,5 ∙ 8 + + 2 = 6

1319 a) ”Om inget av två positiva re-ella tal är större än 10 medför det att produkten är mindre än eller lika med 100.”

eller

”Om två positiva reella tal båda är mindre än eller lika med tio medför det att produkten är mindre än eller lika med 100.”

b) x och y är positiva reella tal. ¬ Q : 0 ≤ x ≤ 10 och 0 ≤ y ≤ 10 ¬ P : x y ≤ 100

c) Vi visar att ¬ Q ⇒ ¬ P. 0 ≤ x ≤ 10 och 0 ≤ y ≤ 10 ⇒ x y ≤ 100

1320 Lösning:P : 3 n + 2 udda¬ P : 3n + 2 jämntQ : n är udda¬ Q: n är jämntVi visar P ⇒ Q genom att visa ¬ Q ⇒ ¬ Pn = 2 k ( k heltal)3 n + 2 = 3( 2 k ) + 2 = 2(3 k + 1)2 (3 k + 1) är ett jämnt tal. V.S.B.

1321 a) Lösning:Anta: Ingen påse har 4 godisbitar eller fler. Totala antalet godisbitar är då maximalt 3 · 7 st vilket motsäger att det är 22 godisbitar.

b) Ledtråd:Visa att om både a och b är negativa eller ingen av dem så ger det att ab ≥ 0

1322 Antagande: P

Slutsats: Q

I ett direkt bevis visar man att P ⇒ Q genom att utgå från P och visa att slutsatsen Q är sann.

I ett indirekt bevis visar man att P ⇒ Q genom att istället visa att ¬Q ⇒ ¬P

1323 Ledtråd: Anta att x ≥ 0.Visa att VL > 0 varför x inte kan vara en lösning.

1324 Ledtråd: Anta att a2 ≠ b2 + c2 där a är hypotenusan. Visa att detta leder till att 2bc cos A ≠ 0 och att A ≠ 90°.

1325 Ledtråd:Använd ett indirekt bevis.Anta att a är ett jämnt tal 2n. Visa att (2n)2 – 2 ∙ 2 n + 7 är ett udda tal.


1326 a) Förklaring:2b2 är delbart med 2, då är a2 det med. Om a2 är jämnt så är a det med, se 1314.

b) Om både a och b går att dela med 2 motsäger det att a/b är förkortat så långt det går.

1327 Lösning:Anta att a2 – 4b = 2. Det ger a2 = 2(2b + 1), dvs a2 och a är jämna.Sätt a = 2c ger 4c2 – 4b = 2 2(c2 – b) = 1VL är ett jämnt tal, HL är 1 vilket ger motsägelse.

Historik: Från Euklides till Gödel

1 a) En triangel

b) 270°.

1405 a) x = 41° och x = 139°

b) x = 41° och x = – 41°

c) x = 41° + n · 360° eller x = 139° + n · 360°

d) x = ± 41° + n · 360°

1406 a) x ≈ 52,1° + n · 360° eller x ≈ 127,9° + n · 360°

b) x ≈ –20,0° + n · 360° eller x ≈ 200,0° + n · 360°

1407 a) x ≈ ± 64,0° + n · 360°

b) x ≈ ± 141,3° + n · 360°

1408 a) x ≈ ± 69,5° + n · 360°

b) x ≈ 20,5° + n · 360° eller x ≈ 159,5° + n · 360°

c) x ≈ –12,7° + n · 360° eller x ≈ 192,7° + n · 360°Ledtråd:Skriv först om till ekvationen sin x = –0,22

d) x ≈ ±129,8° + n · 360°

1409 a) x ≈ ± 22,1° + n · 120°Lösning:cos 3x = 0,40

3x ≈ ±66,42° + n · 360°x ≈ ± 22,1° + n · 120°

b) x ≈ – 18,4° + n ∙ 180° eller x ≈ 108,4° + n ∙ 180°Ledtråd:sin 2 x = – 0,60 ger2x ≈ – 36,87° + n · 360° eller2x ≈ 216,87° + n · 360°

1410 a) x ≈ ± 318,8° + n · 1080°

b) x = 540° + n · 720°Kommentar:Svaret kan även skrivasx = – 180° + n · 720°

1411 I enhetscirkeln är radien = 1. Största möjliga sinusvärde är 1 och minsta är – 1.

1412 Jonna glömmer att dela perioden 360° med 2. Jonna glömmer att även 2x = –60° + n · 360° ger en lösning.

1413 0°, 360°, 720°

1414 a) x ≈ 95,4° + n · 360° eller x ≈ 186,6° + n · 360°Ledtråd:x – 51,0° ≈ 44,4° + n · 360° eller x – 51,0° ≈ ≈ 180° – 44,4° + n · 360°

b) x ≈ – 5,4° + n · 360° eller x ≈ – 96,6° + n · 360°Ledtråd:x + 51,0° ≈ 45,6° + n · 360°eller x + 51,0° ≈ ≈ – 45,6° + n · 360°

c) x ≈ 9,9° + n · 72° eller x ≈ 54,6° + n · 72°Ledtråd:5x – 71,3° ≈ ≈ – 21,72° + n · 360° eller 5x – 71,3° ≈ ≈ 180° – (–21,72°) + n · 360°

d) x ≈ 17,9° + n · 720° eller x ≈ –151,1° + n · 720°

1415 a) x = 323°Ledtråd:Lös först ekvationen fullständigt. Pröva sedan för olika heltalsvärden på n vilka av lösningarna som ligger i intervallet.

b) x = 224°

1416 a) Saknar lösning i intervallet.

b) x = –584° och x = – 496°

1417 a) T ex sin x = 0,64Motivering:sin 760° ≈ 0,64

b) T ex cos 2x = 0,5

1418 Ja.Motivering:sin x = 0,5 har två lösningar i intervalletsin 4x = 0,5 har åtta lösningar i intervallet.

1419 a) 559°, 611°, 739°, 791°

b) –76°, –19°, 14°, 71°.

c) 378°, 522°, 558°, 702°

1420 a) x = 35° + n · 180° eller x = 55° + n · 180°Ledtråd:2x = 70° + n · 360° eller2x = 110° + n · 360°

b) x = 0° + n · 180° eller x = 45° + n · 90°Ledtråd:3x = x + n · 360° eller 3x = 180° – x + n · 360°

c) x = – 30° + n · 360° eller x = 10° + n · 120°


1424 a) x = 0° + n · 360° eller x = 180° + n · 360° vilket kan sammanfattas till x = n · 180°

b) x = ± 90° + n · 360° vilket kan sammanfattas till x = 90° + n · 180°Kommentar:Pricka in lösningarna i enhetscirkeln så blir det enklare att se hur de kan sammanfattas.

c) x = n · 180° eller x = 90° + n · 180° vilket kan sammanfattas till x = n · 90°Ledtråd:Lös ekvationen sin x = 0 och cos x = 0.

1425 a) x = n · 180° eller x ≈ 17,5° + n · 360° eller x ≈ 162,5° + n · 360°Ledtråd:sin x – 0,3 = 0 ger sin x = 0,3

b) x = 90° + n · 180° eller x = ± 60° + n · 360°

c) x = 90° + n · 180°Ledtråd:2sin x – 5 = 0 saknar lösning

1426 a) x = n · 180° eller x ≈ 48,6° + n · 360° eller x ≈ 131,4° + n · 360°Ledtråd:Bryt ut sin x

b) x = 90° + n · 180°Ledtråd:Skriv om till cos2x – 5cos x = 0 och bryt ut cos x

1427 Lösning:Formeln för dubbla vinkeln ger VL = sin 2x.sin 2x har största värde 1 varför ekvationen saknar lösningar.

1428 a) x = n · 180°Ledtråd:Ekvationen kan skrivas om till 2 sin x cos x – 2 sin x = 0 vilket ger sin x = 0 och cos x = 1.

b) x = 90° + n · 360°Ledtråd:Sätt sin x = t vilket ger en andragradsekvation.

1429 x = 270° + n · 360° eller x ≈ 19,5° + n · 360° eller x ≈ 160,5° + n · 360°Ledtråd:Använd trigonometriska ettan och sätt sedan sin x = t

1430 x = n · 90° eller x ≈ ± 36,3° + n · 180° Ledtråd:sin 4x = sin (2 · 2x) = = 2 sin 2x cos 2x

1431 x = 30° + n · 360° eller x = 150° + n · 360° eller x ≈ –11,5° + n · 360° eller x ≈ 191,5° + n · 360°

1432 x = 90° + n · 180° eller x = ± 120° + n · 360°

1433 x = 180° + n · 360° eller x ≈ ± 70,5° + n · 360° Ledtråd:Ekvation kan skrivas1 + 2 cos x + 2 cos2 x – 1 = = 1 – cos2xFörenkla och sätt cos x = t

1434 48,2°, 96,4°, 35,4°Ledtråd:Triangelns vinkelsumma ger 0° < 3x < 180°. Använd detta tillsammans med sinussatsen.

1435 a) A ≈ 82,8192° B ≈ 41,4096°

b) A = 2BLedtråd:Använd cosinussatsen och sambandet cos 2x = 2 cos2 x – 1

1502 a) 60°/s

b) 1,5 s

c) 0,5 sLedtråd: Från A till C är vridningen 30° vilket med hjälp av a) ger svaret. Alternativt lös ekvationen y = 1,5 där y = 3 sin 60t

1503 a) 120° < v < 240°

b) 0° ≤ v < 30° och 150° < v ≤ 180°

1504 k kan ha värdet k = 28° + n · 360° eller k = 148° + n · 360°

1505 Ja.Motivering:För n = 1 är (1 – n)2 = 0För n ≥ 2 är (1 – n)2 > 0

1506 45 mLedtråd:Rita figur. På 5 min snurrar hjulet 5/3 varv eller 600°.

1507 a) Största värde = 25 Minsta värde = 21Ledtråd:– 1 ≤ sin x ≤ 1 ger – 2 ≤ 2 sin x ≤ 2

b) Största möjliga värde = 200 Minsta möjliga värde = 25

1508 Ja, v = n · 180°.Ledtråd:

sin v = sin vcos v

om sin v = 0

1509 –1 ≤ a ≤ 4Ledtråd:

–1 ≤ 2a – 35

≤ 1

1510 5Lösning:

sin2 10° + sin2 80° =

= sin2 10° + cos2 10° = 1

sin2 20° + sin2 70° =

= sin2 20° + cos2 20° = 1

sin2 30° + sin2 60° =

= sin2 30° + cos2 30° = 1

sin2 40° + sin2 50° =

= sin2 40° + cos2 40° = 1

sin2 90° = 1

1511 Lösning:

1 1 1 1+ +sin cosA A

=

= 1 + 1cos A

+ 1sin A

+ 22sin A

> 5

> 1 > 1 ≥ 2


1512 a) Lösning:Bevis:Supplementvinkeln är 180° – A.sin (180° – A) = sin Acos (180° – A) = – cos Advs om A är snäll så är supplementvinkeln det med.

b) Lösning:Motbevis:A = 90° ger att A är snäll då sin 90° = 1 och cos 90° = 0.A2

= 45° är inte snäll då

sin 45° = cos 45°= √22

är ett irrationellt tal.

Diagnos 1

1 a) T ex 40° och 140° Ledtråd: sin (180° – v) = sin v

b) Nej.

2 a) v ≈ 63,4°Ledtråd:tan v = sin v/cos v = 2

b) a ≈ 0,447Ledtråd:cos v

3 a) cos 900° = – 1Ledtråd:900° = 2 ∙ 360° + 180°

b) sin (–270°) = 1

4 a) 1:a och 4:e eller 2:a och 3:eLedtråd:

1:a kvadranten

2:a kvadranten

3:e kvadranten

4:e kvadranten

b) 1:a och 3:e eller 2:a och 4:e

5 sin v ≈ 0,92 eller sin v ≈ – 0,92Ledtråd:Använd trigonometriska ettan.

6 a) ( –b, – a)

b) Ledtråd:Utveckla HL med subtraktionssatsen för cosinus.

7 A1 – B6, A2 – B3, A3 – B4, A4 – B2, A5 – B1, A6 – B5

8 ”Vi äter inte glass medför att det inte är soligt.”

eller

”Om vi inte äter glass är det inte soligt.”

9 Lösning:Antag att x < 3. Detta ger att 2x + 3 < 2 ∙ 3 + 3 = 9 Vilket ger en motsägelse eftersom 2x + 3 ≥ 9.Antagandet att x < 3 är felaktigt, dvs x ≥ 3. V.S.B.

10 a) x = ± 60° + n · 360°

b) x ≈ – 14° + n · 360° x ≈ 194° + n · 360°

c) x = 23° + n · 360° x = 157° + n · 360°

d) x = n · 180°

e) x ≈ 127° + n · 360° x ≈ – 67° + n · 360°

f) Lösning saknas.

11 Nej.Ledtråd:Lös ekvationen sin v = 0,1 fullständigt och undersök för n = 1 och 2.

12 a) x = 30° + n ∙ 360° x = 150° + n ∙ 360°Ledtråd:Skriv om täljaren i vänsterledet med hjälp av formel för dubbla vinkeln och förkorta.

b) x = ±90° + n ∙ 360° x ≈ ± 70,5° + n ∙ 360°Ledtråd:Bryt ut cos x och använd nollproduktmetoden.

13 Största värdet = 1 ( v = 90°) Minsta värdet ≈ 0,17 ( v = 170°)

14 180° + n ∙ 360° ≤ v ≤ 360° + n ∙ 360°

Blandade övningar 1A

1 a) –1 b) 1

2 x ≈ 15°, x ≈ 165°, x ≈ 375°, x ≈ 525°

3 x = n ∙ 360°

4 0,12Motivering:sin–1 (0,12) ger vinkeln vars sinusvärde är 0,12 och sinus för denna vinkel är 0,12.

5 a) x < 32 b) sin x ≠ 0,5

6 a) ¬ P : x < 2 ¬ Q : 2 x + 3 < 7

b) Ledtråd:Visa att 2x + 3 < 7 ger att x < 2

7 sin x + cos x

8 b, c, aMotivering:Se enhetscirkeln.cos 460° = cos 100° < 0 sin 885° = sin 165° = sin 15° < sin 24°

9 Ledtråd:Sätt u = v = A

10 "Om minst en klarar provet blir minst en godkänd."

11 cos v = – √ 73

Ledtråd:Använd trigonometriska ettan. 90° < v < 180° ger att cos v < 0.

12 cos 2x = – 78

Ledtråd:cos 2 x = 2 cos2 x – 1

13 Ledtråd:Visa t ex att höger led kan skrivas om till vänster led. Börja med att bryta ut sin x.

14 Lösning:Motsägelsebevis:Antag att sin v + cos v > √ 2vilket ger (sin v + cos v)2 > 2Omskrivning ger vänster ledsin2 v + 2 sin v cos v + cos2 v = = 1 + sin 2 v ≤ 2 då sin 2 v ≤ 1 vilket motsäger antagandet, dvs sin v + cos v ≤ √ 2.


15 Ledtråd:Skriv om vänsterledet. Förläng den första termen med 1 + cos x och förenkla nämnaren till sin2 x.

Skriv om andra termen till cos3 xsin2 x

och sätt på gemensamt bråkstreck. Bryt ut cos2x i täljaren och förenkla.

16 a) x ≈ 56,1° + n ∙ 360° x ≈ 123,9° + n ∙ 360°

b) x ≈ ± 48,4° + n ∙ 180°

17 a) T ex sin x = 0,927

b) T ex cos x = – 0,139

18 Lösning:Om k och n är heltal kan differensen skrivas2 k + 1 – (2 n + 1) = 2 k – 2 n == 2(k – n) vilket är ett jämnt tal eftersom k – n är ett heltal.

19 Nej.Motivering:

1tan x

= 1

sin xcos x

= cos xsin x

20 cos 95° + cos 55°Ledtråd:Uttrycket kan förenklas till 2 cos a cos b

21 a) – b b) b

22 Nej.Motivering:x ≈ 141° + n ∙ 900°ellerx ≈ – 191° + n ∙ 900°

23 Nej.Motivering:

tan 89° = sin 89°cos 89°

≈ 57

tan 89,9° = sin 89,9°cos 89,9°

≈ 573

När v närmar sig 90° närmar sig cos v 0 och tan v växer obegränsat.

24 Ledtråd:Gör ett indirekt bevis och visa att om n är ett jämnt tal så är n3 ett jämnt tal.

25 Nej, Anders har fel.Motivering:En fördubbling av noll är noll vilket ger att vinklarna v = n ∙ 180° motsäger påståendet.Ledtråd:Lös ekvationen 2 sin x = sin 2 x.

26 a) x = n ∙ 360° och x = 20° + n ∙ 40°Ledtråd:5x = 4x +n ∙ 360° och5x = (180° – 4x)+ n ∙ 360°

b) x = n · 180° och x = 270° + n · 360°

27 a) 1

b) Värdet av uttrycket blir 1.

c) Uttryckets värde är 1 för alla x ≠ 90° + n ∙ 180°.

28 Ekvationen har

• 4lösningardå a > 5 och då a < –5.

• 2lösningardå a = 5 och då a = –5

• 0lösningardå –5<a < 5

Blandade övningar 1B

1 x ≈ – 310°, x ≈ – 50°, x ≈ 50°, x ≈ 310°Ledtråd:x ≈ ± 50° + n ∙ 360°. Pröva med n = –1, 0 och 1

2 x = 15° + n ∙ 180° x = 75° + n ∙ 180°Ledtråd:2x = 30° + n ∙ 360°2x = (180° – 30°) + n ∙ 360°

3 a) sin v = 3/5

b) cos v = 4/5

c) sin (90° – v) = 4/5

d) sin 2 v = 24/25Ledtråd:Använd formeln för sin 2 v.

4 a) x ≥ 3 ger att 6(x + 1) ≥ 6 · (3+ 1) = 24

b) Ledtråd:Visa att 6( x + 1) < 24 ger x < 3.

5 a) 0,77Ledtråd:cos 320° = cos (–40°)

b) 0,77Ledtråd:cos (90° – v) = sin v

6 0Ledtråd:Använd additions och subtraktionssatserna.

7 D

8 0,94Ledtråd:Använd additionsformeln för sinus och att sin (110°) = sin (90° + 20°)

9 sin v = – √ 53

Ledtråd:I tredje kvadranten är sin v < 0.

10 Ledtråd:Antag att 1

1 + x 2 > 1

och visa att det ger x2 < 0 vilket är omöjligt.

11 Ledtråd:Skriv t ex om VL genom att först bryta ut sinx och sedan använda formel för dubbla vinkeln.

12 T ex cos 3x = 1

13 k = 1,5

14 x ≈ 37° och x ≈ 323°Ledtråd:cos (37°) = cos (–37°) = = cos (–37° + 360°)

15 a) v = 210° och v = 330°

b) 210° ≤ v ≤ 330°

16 T ex A ≈ 0,287Ledtråd:sin–1 0,1 ≈ 5,379°A · 20° ≈ 5,379°Kommentar:Löser vi ekvationen sin 20 A = 0,1 får vi samtliga värden på A.


17 Nej.Motivering:Kvadraten av ett udda tal är udda. Summan av två udda tal är jämn, dvs om vi bara har udda tal så är VL jämn medan HL är udda, vilket ger motsägelse.

18 a) x = n ∙ 180°

b) x ≈ 13,9° + n ∙ 90° x ≈ 47,1° + n ∙ 90°

19 Enhetscirkelns ekvation är x2 + y2 = 1 vilket med x = cos v och y = sin v ger trigonometriska ettan.

20 a > 2/3 eller a < – 2/3Ledtråd:Lösning saknas om cos 3 x > 1 eller cos 3 x < – 1 , dvs 3 a /2 > 1 eller 3 a /2 < – 1

21 Ledtråd:Gör ett motsägelsebevis. Antag att VL > 4 och visa med hjälp av formel för dubbla vinkeln att det ger en motsägelse.

22 T ex sin 4x = = 4 sin x cos x (1 – 2 sin2 x)Ledtråd:Formeln för dubbla vinkeln ger sin 4x = 2 sin 2x cos 2x

23 x ≈ ± 65,5° + n ∙ 360°Ledtråd:Skriv om VL till (1 – cos2 x)/2 och sätt cos x = t

24 Ledtråd:a2 + 3 = (a – 1)(a + 1) + 4 Motivera varför HL är delbar med 4.

25 a) 46,6°

b) Formeln ger

sin A2

= √ 532

med lösning A = 46,6°

c) Ledtråd:Formel för dubbla vinkeln

cos A = 1 – 2 sin 2 A2

Kombinera detta med cosinussatsen.

26 180° om a = –1 eller a = 1.

27 a) (2 cos v, 2 sin v)

b) Ledtråd:Sätt in koordinaterna från a) i cirkelns ekvation x2 + y2 = 22

2

2102 a) Perioden är 360°/10 = 36°Kommentar:När x går från 0° till 36° så går 10x från 0° till 360°.

b) Perioden är

360°0,1

= 3 600°

2103 Ja, båda har perioden 360°/3 = 120°.

2104 a) 90°

b) 480°

c) 180°

d) 1 080°Ledtråd:

k = 13

2105 a) y

1x

90° 360°

y = 2 sin x

b) Största värde = 2 Minsta värde = –2

c) Amplituden = 2

2106 a) Amplitud = 4 Period = 360°

b) Amplitud = 100 Period = 144°

c) Amplitud = 50 Period = 72°Kommentar:Amplituden är alltid ett positivt värde, (största värdet – minsta värdet)/2.

d) Amplitud = 10 Period = 80°

2107 T ex y = 2,5 sin 1,8xLedtråd:360°

k = 200°

2108 a) b)

y2

x

y = 2 sin 4x

180°90°

2109 a) Kurvorna är identiska men förskjutna 90° i förhållande till varandra.

b) 45° < x < 225°

2110 a) y1

x

90° 360°

y = –sin x

b) Största värde = 2 Minsta värde = –2

2111 Ja, ekvationen har en lösning x = 90° + n ∙ 180°.Motivering:VL = HL = 0 om sin x = 0

2112 –1,2 < A < 1,2

2113 720°Ledtråd:x1 + x2 = 180° x3 = 360° – x2

x4 = 360° – x1

2114 3,3Ledtråd:11 ∙ 0,3 = 3,3

2115 0Ledtråd:sin 359° = sin (–1°) = – sin 1°sin 358° = –sin 2°, o.s.v. Addera par som blir 0.

2117 x ≈ 91,1°

2118 Två; graferna skär varandra på två ställen.

2119 Avläs t ex avståndet mellan två på varandra följande maxpunkter.

2120 a) 0 < a < 1Ledtråd:Linjen y = a ska skära y = sin x på två ställen.

b) a = 1

c) a > 1

1 formler TrIgonomeTrI och - jamshidsanei.com€¦ · volym, skala och likformighet samt...

Documents

Transcript of 1 formler TrIgonomeTrI och - jamshidsanei.com€¦ · volym, skala och likformighet samt...