havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 1
description
Transcript of havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 1
Telproblemen overzichtelijk weergeven.
• Boomdiagram.• Wegendiagram.• Rooster maken.• Alle mogelijkheden systematisch uit schrijven.
Hoe maak je een boomdiagram ?
• Zoek uit hoeveel takken er bij de eerste keuze horen, deze takken vertrekken uit het beginpunt.
• Zet de keuzemogelijkheden langs de takken.• Zet de volgorde achter de laatste takken.
1.1
v.b. Tenniswedstrijd 2 gewonnen sets.1e set 2e set 3e set
N wint
N wint
N wint
N wint
N wintG wint
G wint
G wint
G wint
G wint
N-N
N-G-N
N-G-G
G-N-N
G-N-G
G-G
N-G-G
G-N-G
geef aan hoe G in 3 sets wint
1.1
Rooster maken
1211109876
111098765
10987654
9876543
8765432
7654321
654321som
Je gooit met een rode en een blauwe dobbelsteen
tel de ogen bij elkaar op, maak hiervan een rooster.
1.1
Systematisch de mogelijkheden noteren.
Er zijn 4 mogelijkheden om bij een worp met vier dobbelstenen in totaal 5 te gooien.
1112
1121
1211
2111
1.1
Halve competitie
Je speelt maar 1x tegen elkaar.
vb. Hoeveel wedstrijden spelen 4 teams
4 x 3 : 2 = 6 wedstrijden.
Hele competitie
Je speelt 2x tegen elkaar.
vb. Hoeveel wedstrijden spelen 4 teams
4 x 3 = 12 wedstrijden.
XXXXD
C-DXXXC
B-DB-CXXB
A-DA-CA-BXA
DCBA
XD-CD-BD-AD
C-DXC-BC-AC
B-DB-CXB-AB
A-DA-CA-BXA
DCBA
6 wedstrijden
12 wedstrijden
Je speelt niet tegen jezelf.
1.1
Wegendiagram
∙ ∙ ∙ ∙soep
cocktail
kip
ham
schnitzel
pizza
ijs
meloen
2 mogelijkheden 4 mogelijkheden 2 mogelijkheden
vermenigvuldigingsregel
2 x 4 x 2 = 16
1.2
De vermenigvuldigingsregelEen gecombineerde handeling die bestaat uit :
1. handeling I die op p manieren kan worden uitgevoerd2. en handeling II die op q manieren kan worden uitgevoerd3. en handeling III die op r manieren kan worden uitgevoerd
kan op p x q x r manieren worden uitgevoerd.
De vermenigvuldigingsregel of de somregelKan handeling I op p manieren en handeling II op q manieren,dan kan :
1. handeling I EN handeling II op p x q manieren.2. handeling I OF handeling II op p + q manieren.
1.2
Zonder herhaling
Uit 5 personen wordt er eerst een voorzitter gekozen en dan een secretarishet aantal manieren is
aantal = 5 x 4 = 20
eerst de voorzitter : keuze uit 5 personen
dan de secretaris : keuze uit 4 personen
1.2
Met herhaling
In Nederland zijn er nummerborden met 2 cijfers – 2 letters – 2 letters,hierbij zijn de klinkers A, E, I, O en U niet toegestaan.Het aantal mogelijke nummerborden is
aantal = 10 x 10 x 21 x 21 x 21 x 21 = 19.448.100
10 cijfers voor de eerste plaats
10 cijfers voor de tweede plaats
26 – 5 = 21 letters voor de derde plaats
26 – 5 = 21 letters voor de vierde plaats
enz.
1.2
Permutaties en faculteiten
Een ander woord voor rangschikking is permutatie
Het aantal permutaties van 3 uit 8,dus het aantal rangschikkingen van drie dingen die je uit 8 kiest, is 8 · 7 · 6
Het aantal permutaties van 4 uit 9 is9 · 8 · 7 · 6Het aantal permutaties van 9 uit 9 is9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1de notatie voor dit product is 9! (faculteit)Het aantal permutaties van 9 dingen is 9!
Het aantal permutaties van n dingen, dus het aantal rangschikkingen van n dingen is n!
n ! = n · (n -1) · (n -2) · (n -3) · …… · 4 · 3 · 2 · 1
GRhet aantal permutaties
van 6 uit 10 is optie nPr
10 nPr 6 = 151 200
1.3
Rangschikking
Het aantal rangschikkingen van 5 stripboeken en 3 romans
Je kunt 5 stripboeken en 3 romans op :
8! manieren op een boekenplank rangschikken.
4! · 5! manieren rangschikken als de stripboeken naast elkaar moeten staan.
2 · 5! · 3! manieren rangschikken als de stripboeken en ook de romans naast elkaarmoeten staan.
Beschouw de stripboeken als één groep• Je hebt dan 4 dingen (3 romans en 1 groep stripboeken) die je op 4! manieren kunt rangschikken.• Binnen de groep van de stripboeken zijn er telkens 5! rangschikkingen.• In totaal heb je 4! · 5! rangschikkingen.
1.3
Permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn
Het aantal permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn
(en de rest verschillend is) is
Zo kun je de letters van het woord ADRIANA op manieren rangschikken.
De letters van het woord ALESSANRA kun je opmanieren rangschikken.
n! p!
7! 3!
9! 3! · 2!
1.3
Combinaties
Is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang,dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7.
Het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als
spreek uit : ‘7 boven 4’
Het aantal combinaties van 4 uit 7, dus het aantal manieren om 4 dingen tekiezen uit 7 dingen zonder op de volgorde te letten
is
Hetaantal combinaties van r uit n, ofwel het aantal manieren om r dingen tekiezen uit n dingen zonder op de volgorde te letten,
is
7 4
7 4
n r
1.4
Combinaties vermenigvuldigen en optellen
Uit klas 4 vwo A wordt een comité van 5 leerlingen gevormdhet aantal mogelijke comités met
3 jongens is x = 29 920
3 jongens EN 2 meisjes, dus VERMENIGVULDIGEN
Minstens 4 jongens is x + x = 9207
4 jongens OF 5 jongens, dus OPTELLEN
12 3
17 2
12 4
17 1
12 5
15 jaar 16 jaar
jongen 8 4 12
meisje 10 7 17
18 11 29
17 0
3 van de 12 jongens
2 van de 17 meisjes
4 jongens + 1 meisje
5 jongens + 0 meisjes
1.4
Schema
Op hoeveel manieren kun je 5 dingen
kiezen uit 8 dingen.volgorde van belang ?
nee
aantal =
jaherhaling toegestaan ?
nee jaaantal = 8x7x6x5x4 aantal = 8x8x8x8x8
85
1.4
Rijtjes bestaande uit A’s en B’s
Dus er zijn = = 165 manieren Er zijn twee manieren om het eerste hokje te vullen en er zijn twee manieren om het volgende hokje te vullen, enzovoort.
Totaal zijn er 2 x 2 x 2 x …… x 2 = 211 = 2048 manieren
Het aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s is en ook
Het totale aantal rijtjes van 11 hokjes met in elk hokje een A of een B is 211
B A B A A B B B A B B
Het totale aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s vind je als volgt :
114
117
114
117
1.5
Routes in een rooster
Oost
Noord
A
B
C
∙
Hoeveel routes zonder omwegen zijn er mogelijk van A naar C via B ?
Van A naar B heb je te maken met een rijtje bestaande uit 1 N en 2 O’s
dat zijn = 3 mogelijkheden
Van B naar C heb je te maken met een rijtje bestaande uit 2 N’s en 3 O’s
dat zijn = 5 mogelijkheden
Het totale aantal manieren om van A via B naar C te gaan is dus
x = 3 x 5 = 15
∙
3 1
5 2
3 1 5 2
Van A naar BEN
van B naar Cdus
vermenigvuldigen.
∙
1.5
De driehoek van Pascal
• In de driehoek van Pascal is elk getal gelijk aan de som van de twee getallen die er schuin boven staan.
• Elk getal in de driehoek geeft het aantal routes om vanuit de top op die plaats te komen.
• In de 4e rij van de driehoek van Pascal staan de getallen
• De som van de getallen in de vierde rij is 24
4 0 4 1 4 2 4 3 4 4 , , , en
1
1 1
1 1
1 1
1 1
2
3 3
4 6 4
rij 0
rij 1
rij 2
rij 3
rij 4
1 = 20
2 = 21
4 = 22
8 = 23
16 = 24
1.5