Határidős és opciós ügyletek

Határidős és opciós ügyletek

segédanyag

2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 2

IV. Opciók értéke lejárat előtt

• A lejárat pillanatai tehát igen egyszerűek, de a fő kérdés a lejárat előtti érték, árfolyam.

• Ez csak bonyolult összefüggésekkel adható meg, így a témát leegyszerűsítve tárgyaljuk.

• Miért bonyolult?– „Szokásos” eljárásunk, a várható pénzáramlás

becslése, majd az opció kockázatához illeszkedő tőke alternatíva költséggel történő diszkontálás nem vezet megoldásra.

– Az opció kockázata folyamatosan változik.• Érték = Árfolyam

– Hatékony árazódást tételezünk fel.– c és p érték is, (egyensúlyi) árfolyam is.

22


IV.1. Egyszerűsített megközelítés – a binomiális modell

• Mivel egy opció értéke közvetlenül nem megragadható, így olyan részek kombinációjával próbáljuk közelíteni, amelyek értéke ismert, vagy könnyen megadható.

• A binomiális modellben lényegében az alaptermék árfolyam-alakulásának tulajdonságait egyszerűsítjük azért, hogy a lejáratkori árfolyam végtelen lehetséges értéke helyett csak néhánnyal kelljen kalkulálnunk.– A részvény-árfolyamok alapvető tulajdonságait kell

egyszerűbb formára hoznunk• várható hozam + bolyongás

22


• A binomiális modell egyszerűsítése:

t

P

P0

t

P

P0

folytonos modelldiszkrét binomiális

modell

22


• Mindezek után olyan portfóliót állítunk össze, amelynek ugyan része az opció is, de mind a portfólió egésze, mind a többi része egzaktul megadható.

• Végül a portfólió és az „egzakt rész” különbségeként adódik az opció értéke.– Olyan portfóliót állítunk össze, amelynek T időpontbeli

értéke biztosan ismert.– Ezt úgy csináljuk, hogy a portfólióban lévő részvény

értékének változását „lefedezzük” az opció értékének változásával.

– Ismerjük tehát a portfólió jövőbeli értékét, amiből megadhatjuk a jelenbeli értékét.

– Mivel ismerjük P0-t, az egyetlen ismeretlen az opció jelenlegi (c vagy p) értéke lesz.

23


•Tekintsünk egy egyszerű példát!–jelenlegi részvényárfolyam (P) legyen 10$–vételi opció

• kötési árfolyam K=11$• lejárat T=1év, európai típusú

–a részvényárfolyam 1 év alatt 12,5$-ra növekedhet, vagy 8$-ra csökkenhet

10$

12,5$

8$

részvény: 10$opció: c

részvény: 12,5$opció: 1,5 $

részvény: 8$opció: 0

23


•Állítsunk össze a lejáratkori részvényárfolyamtól független értékű portfóliót!

–Célunkat x db részvény megvásárlásával és 1 db (ezen részvényre vonatkozó) vételi opció kiírásával (eladási kötelezettség vállalásával) próbáljuk elérni.

12,5 1,5 8

1

3

x x

x

1 112,5 1,5 2,67 8 2,67

3 3

–1/3 részvényből és 1 vételi opció kiírásából álló portfóliónk értéke 1 év múlva:

23


–Tudjuk tehát, hogy a portfólió jövőbeli értékét. 2,67$

–Egy ilyen portfólió összeállításának költsége – a portfólió jelenbeli értéke:

110$

3c

–Mindezek alapján c-t meghatározható.

(3,33 ) (1 ) 2,67

2,673,33

(1 )

2,673,33 0,738

(1 0,03)

f

f

c r

cr

c

24


•Binomiális értékelés több periódus esetén–Hasonló eljárás, mint egy periódus esetén.

10 $

8 $

12,5 $

15,625 $

10 $

6,4 $

10 1,25

10 0,8

12,5 0,8

12,5 1,25

8 0,8

8 1,25

4,625 $

0 $

0 $

c1

15,625 4,625 10

0,822

y y

y

15,625 0,822 4,625 8,22

10 0,822 8,22

1

1

8,2212,5 0,822

1

2,29$

f

cr

c

0 $

2,29 $

12,5 2,29 8

0,509

z z

z

12,5 0,509 2,29 4,072

8 0,509 4,072

4,07210 0,509

1 0,03

1,137

c

c

c

24-25


•A megoldás pontosításához a részidőszakok számának növelése vezet, ez azonban megnehezíti a számítást.

•A binomiális modell segítségével az alaptermék árfolyamváltozásának folyamata könnyen megragadható, a paraméterek változtatásával bonyolultabb folyamatok is könnyen kezelhetők (az értékelési eljárás alapelve ekkor is hasonló).

26


•Binomiális értékelés – eladási opciók–példa: P0=50$, T=2év, KT=52$, rf=5%

50 $

40 $

60 $

72 $

48 $

32 $

50 1,2

50 0,8

60 0,8

60 1,2

40 0,8

40 1,2

0 $

4 $

20 $

72 48 4

0,167

x x

x

Kockázatmentes portfólió:x db részvény és 1 db eladási opció megvásárlása

0,167 72 12,02

0,167 48 4 12,02

12,020,167 60

1,05

1,42

p

p

1,42 $

48 4 32 20

1

y y

y

48 4 52

32 20 52

5240

1,05

9,52

p

p

9,52 $

60 1,42 40 9,52

0,405

z z

z

0,405 60 1,42 25,72

0,405 40 9,52 25,72

25,720,405 50

1,05

4,24

p

p

4,24 $

25


•Binomiális értékelés – amerikai opciók

50 $

40 $

60 $

72 $

48 $

32 $

0 $

4 $

20 $

1,42 $

9,52 $ 12 $

60 1,42 40 12

0,529

z z

z

0,529 60 1,42 33,16

0,529 40 12 33,16

33,160,529 50

1,05

5,13

p

p

5,13 $

1,42 $

25


IV.2. Általános megközelítés – a Black-Scholes modell

•A binomiális modellnél a diszkrét árfolyamváltozások bevezetése adta a megoldást.

•A folyamatos változat megoldását adja az ún. Black-Scholes-formula (képlet).

•A megoldáshoz vezető út szinte azonos:–kockázatmentes portfólió – részvény - opció

•A folyamatos forma miatt a levezetés magasabb fokú matematikai eszköztárat igényel. Ezért a téma tárgyalását leegyszerűsítjük, a levezetéstől eltekintünk.

26


• A Black-Scholes formula sztorija– „Az elmúlt három évtized egyik legfontosabb

áttörése volt a pénzügyekben.”• 1960-as évek végén egy különös háromtagú

társaság– Fischer Black– Myron Scholes– Robert C. Merton

Fischer Black

Robert Merton

MyronScholes


•Az alap-formula a lejáratig osztalékot nem fizető részvényre vonatkozó európai vételi opció értékét (c-t) adja meg, a többi opciós pozíció értékére ebből következtetünk majd.

•A Black-Scholes formula szerinti c-függvény jellege:

KT

c

P0

c

P0-KT

27


•A Black-Scholes formula szerintic-függvény képlete:

• P0 a részvény jelenlegi árfolyama• K0 az opció KT kötési árfolyamának jelenértéke rf kockázatmentes kamatlábbal diszkontálva

• N(d) a normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvény-értéke d-nél

27


•A Black-Scholes formula szerintic-függvény képlete:

a részvény (az alaptermék) volatilitása, azaz a részvény időegység alatti relatív szórása, ami megegyezik az időegységre vonatkozó hozam szórásával.

•N(d)-k hozzávetőleg annak a valószínűségét adják, hogy PT nagyobb lesz KT -nél és az opciót lehívják.

Valamekkora valószínűséggel rendelkezünk P0 értékű

részvénnyel

Valamekkora valószínűséggel

fizetünk K0 –t érte

)()( 2010 dNKdNPc

28


•Jegyezzük meg, hogy az opció értékét meghatározó tényezők között nem szerepel se a részvény bétája, se várható hozama.

•Egy opciós jogot úgy kell felfogni, hogy „kicsit” már most megvettük a részvényt, amiért „kicsit” már fizettünk is, meg később is fogunk még.

•A diszkontált pénzáramláson alapuló megközelítés zsákutca, mert képtelenség kifejezni a kockázatot, és így ralt-ot, mert az a részvény árfolyam-változásával és az idő előrehaladtával folyamatosan változik.

• (Ezért nem tudták annyi ideig megoldani.)

28


•Mitől függ c értéke? Nézzük meg a képlet változóit!

Kötési árfolyam (KT)

Részvényárfolyam (P0)

Kamatláb (rf)

Lejáratig hátralévő idő (T)

Részvény volatilitása ()

Ha nő a akkor c értéke

nő

csökken

nő

nő

nő

28


• Indokoljuk meg az egyes változók hatásának okait!

•A kötési árfolyam hatása szinte nyilvánvaló, a többi tényező szerepének megértéséhez az opció értékét részértékekre bontjuk szét.

–Belső érték–Ingadozási érték–Részletfizetési érték

Időérték

28


•Belső érték–Az opció azonnali lehívása eredményezné.–Amennyivel mégis több az opció értéke, az ún. időérték.

c

P0

P0-KT

KT

29


KT

• Ingadozási értékc

P

c

P0-KT

P0

PT

E(PT)

29


P0KT

• Ingadozási érték és belső érték

P0-KT

Belső érték

c

P

c

PTE(PT)

29


•A részvényárfolyam lejáratig adódó kockázatossága pozitívan hat c értékére:

KT

c

P

P0 PT

KT

c

P

P0 PT

KTP0 PT

c

P

KT

c

P

P0 PT

30


• Az ingadozási érték tehát annál nagyobb, minél a részvény lejáratig hátralévő időre eső változékonysága.

• Mitől függ ez?–T-től–σ-tól–egészen pontosan

-től

KT

c

P

c

P0-KT

P0 PT

30


P0

PT=4

0 T t

P

P1

31


•Részletfizetési érték–Első érzetünkkel ellentétben c értéke nem a P0-KT belső értékhez „simul”, hanem a P0-K0 ún. módosított belső értékhez.–Ez azzal magyarázható, hogy az opció lehívása lényegében egy részletre történő részvényvásárlást jelent, ahol az első részlet c, a második részlet KT.–KT-nek viszont csak a jelenértékét kell számolnunk, hiszen később fizetjük:

31


K0 KT

c

P0

c

P0-KT

P0-K0

KT-K0

32


–A részletfizetési érték nyilván KT -től, rf-től és T-től függ, valamint a lehívás valószínűségétől is:

c

P0

c

P0-KT

KT-K0

Részletfizetési érték

KT

1

N(d)

d

32


•Összegezzük a három értékforrást!

KT

P0-KTBelső érték

c

P0

c

Részletfizetési érték

Ingadozási érték

KT-K0

Időérték

32




Kamatláb (rf)



Ha nő a akkor c értéke

nő

csökken

nő

nő

nő


•c értéke „ráérzésre”:

Nagy T és nagy σ

Nagy T és kis σ

Kis T és nagy σ

Kis T és kis σ

33


IV.2.2. Európai eladási opciók értéke lejárat előtt – a put-call paritás

• Az eladási opció értékét – az ún. put-call paritás segítségével – a vételiéből vezetjük le.

• A paritásos összefüggés felírásához két azonos eredményű (értékű) portfóliót állítunk össze, úgy, hogy az egyikben vételi, a másikban eladási opció szerepeljen.

34


KT

PT

KT

LC

PT

KT

PT

KT

LP

PT

KT

34


KT

K0

-K0

K0 P0

c

KT-K0

-P0

p=c-P0+K0

KT

p=c-P0

0 0c K p P

0 0p c K P 0 0p c P K

p 35


•Vázoljuk az eladási opcióknak is a belső, a részletfizetési és az ingadozási értékét!

KT-P0

Belső érték

K0

KT

KT

KT-K0

p

P0

Ingadozási érték (+)

Részletfizetési érték (-)

1

N(d)

d

KT-P0

Belső érték

Részletfizetési érték (-)

Ingadozási érték (+)

35-36


•Mitől és hogyan függ p értéke?



Kamatláb (rf)



Ha nő a akkor p értéke

csökken

nő

nő

csökken

nem egyértelmű

36


IV.2.3. Osztalékot fizető részvényekre vonatkozó vételi és eladási opciók

értéke lejárat előtt

0P

1E DIV

2E DIV

TE DIV NE DIV 1NE DIV

36


• Eddigi értékelési módszerünkön csupán P0 értelmezésén keresztül kell változtatnunk.– Korrigáljuk a lejáratig fizetendő osztalékkal.

• (diszkontráta: rf vagy ralt?)

• A paritásos összefüggés is megváltozik:

37


IV.2.4. Amerikai típusú vételi opciók értéke lejárat előtt

•Bármikor lehívhatjuk, ezért a jog birtokosa előtt folyamatosan két lehetőség kínálkozik:–Lehívja

• Realizálja a (pillanatnyi) belső értéket: P0-KT

–Nem hívja le• Realizálja a (pillanatnyi) opciós értéket (eladja): c

•Nyilván a nagyobb érték mellett fog dönteni.

37


•Amerikai vételi opció osztalékfizetés nélkül

K0 KT

c

P0

c

P0-KT

P0-K0

KT-K0

•Láthatóan c mindig nagyobb a belső értéknél (P0-KT), így soha nem élnek a lehívás jogával, így a lehívhatóság joga értéktelen.

•c amerikai = c európai

37


•Amerikai vételi opció osztalékfizetéssel:

P0K0

c

KT

c

P0 DIV

P0 DIV -KT

P0 DIV -K0

P0 DIV + DIV(T)0 –KT

DIV(T)0

eladás lehívás•A korábbi lehívás mellett szólhat a T-ig kifizetésre kerülő osztalékok megszerzése.•c amerikai > vagy = c európai

38


IV.2.5. Amerikai típusú eladási opciók értéke lejárat előtt

• Itt is az a kérdés, hogy a belső érték vagy az opció pillanatnyi értéke a nagyobb-e:–Lehívja

• Realizálja a (pillanatnyi) belső értéket: KT-P0

–Nem hívja le• Realizálja a (pillanatnyi) opciós értéket (eladja): p

38


KT

KT

K0

p

K0 P0

p

• Látható, hogy alacsonyabb P0 esetén – az egyre csökkenő részletfizetési érték miatt – jobb a korábbi lehívás („hamarabb jut KT-hez”).

• p amerikai > vagy = p európai

eladáslehívás

•Amerikai eladási opció osztalékfizetés nélkül:

39


P0P0 DIVKT

KT

K0

p

K0

p

DIV(T)0 KT-(P0 DIV +DIV(T)0)= KT-P0 DIV -DIV(T)0

•Az osztalékfizetés hatására a korábbi lehívás motivációja gyengül. •p amerikai „kevésbé” > vagy = p európai

DIV(T)0 KT-(P0 DIV +DIV(T)0)= KT-P0 DIV -DIV(T)0

• Amerikai eladási opció osztalékfizetéssel: 39


IV.2.6. Opciók értékének meghatározása Black-Scholes táblázattal

• 1. lépés– volatilitás: 35,5%, lejáratig hátralévő idő: fél

év

• 2. lépés– KT=63$, P0=59$, rf=2,5% (fél évre)

• 3. lépés: táblázat: 8,2

40


• Azonban a piaci árfolyam 6,1$.– Mit rontottunk el?– A „piac” kb. 42%-os volatilitást becsül.– Ez az ún. visszaszámított volatilitás.

• Eladási opció:

40


„koc

káz

at”

„érték / ár”

T

0

0

P

K1

értéke"Táblázat " 0 Pc

00 PKcp

Határidős és opciós ügyletek

Documents

Transcript of Határidős és opciós ügyletek