Halmaz, multihalmazalgtan1.elte.hu/downloads/eloadas/Halmaz1.pdfHalmaz típus 2020. 09. 28. 13:20...

Halmaz, multihalmaz

Halmaz féleségek

1. Halmaz

Gyümölcsök: {alma,körte,szilva,barack}

2. Multihalmaz

Állatok: {(macska,4),(rigó,2),(galamb,3)}

3. Intervallumhalmaz – diszjunkt

Óráim: {[8-10],[13-14],[16-20)}

4. Intervallumhalmaz

Események: {[9-11],[16-22],[17-18],[20-25]}

2020. 09. 28. 13:20Zsakó László: Halmazok 2/52

http://ikportal.inf.elte.hu:8080/ELTEInformatikaiKar/elte_ik_2.html

Halmaz típus

2020. 09. 28. 13:20

Értékhalmaz:

Az alaphalmaz (amely az Elemtípus által van meghatározva)

iteráltja („mely elemek lehetnek benne a halmazban”).

Az Elemtípus általában valamely véges diszkrét típus lehet,

legtöbbször még az elemszámát is korlátozzák (

Halmaz típus

2020. 09. 28. 13:20

Műveletek

metszet ()

unió ()

különbség (–)

komplemens

eleme (egy elem benne van-e a halmazban) ()

része (egyik halmaz részhalmaza-e a másiknak) ()

Zsakó László: Halmazok 4/52


Halmaz típus

2020. 09. 28. 13:20

Műveletek

Halmazba (elem hozzá vétele egy halmazhoz): H:=He}

Halmazból (elem elhagyása egy halmazból): H:=H–e}

Beolvasás (halmaz beolvasása)

Kiírás (halmaz kiírása),

Üres (üres halmaz létrehozás eljárás), vagy

Üres'Halmaztípus előre definiált konstans

Üres? (logikai értékű függvény).



Halmaz típus ábrázolása

2020. 09. 28. 13:20

Elemek felsorolása

Halmaz(Elemtípus)=Rekord(db: Egész,

elem: Tömb(1..MaxDb:Elemtípus))

A halmaz elemeinek felsorolásával adjuk meg a halmazt, annyi

elemű tömbben, ahány elemű éppen a halmaz (pontosabban

az első db darab elemében).




2020. 09. 28. 13:20

Beolvasás(Változó a: Halmaz(Elemtípus)):

Be: a.db [a halmaz elemszáma]

Ciklus i=1-től a.db-ig

Be: a.elem[i]

Ciklus vége

Eljárás vége.

Feltesszük, hogy a bemenetben minden elem egyszer van.

Műveletigény számítása:

A ciklus a halmaz elemeinek számaszor fut le, azaz a futási idő

a halmaz elemszámával arányos.




2020. 09. 28. 13:20

Kiírás(Konstans a: Halmaz(Elemtípus)):

Ki: a.db [a halmaz elemszáma]


Ki: a.elem[i]

Ciklus vége

Eljárás vége.







2020. 09. 28. 13:20

Üres(Változó a: Halmaz(Elemtípus)):

a.db:=0

Eljárás vége.


Nem függ a halmaz elemszámától.

Üres?(Konstans a: Halmaz(Elemtípus)):

Üres?:=(a.db=0)

Függvény vége.






2020. 09. 28. 13:20

Halmazba(Változó a: Halmaz(Elemtípus),

Konstans e: Elemtípus):

i:=1

Ciklus amíg i≤a.db és a.elem[i]≠e

i:=i+1

Ciklus vége

Ha i>a.db akkor a.db:=a.db+1; a.elem[a.db]:=e

Eljárás vége.


A ciklus a halmaz elemeinek számaszor fut le, azaz a futási

idő a halmaz elemszámával arányos.




2020. 09. 28. 13:20

Halmazból(Változó a: Halmaz(Elemtípus),


i:=1

Ciklus amíg i≤a.db és a.elem[i]≠e

i:=i+1

Ciklus vége

Ha i≤a.db akkor a.elem[i]:=a.elem[a.db]

a.db:=a.db-1

Eljárás vége.


A ciklus a halmaz elemeinek számaszor

fut le, azaz a futási idő a halmaz

elemszámával arányos.Zsakó László: Halmazok 11/52



2020. 09. 28. 13:20

eleme(Konstans e:Elemtípus,a:Halmaz(Elemtípus)):

i:=1

Ciklus amíg i≤a.db és ea.elem[i]

i:=i+1

Ciklus vége

eleme:=i≤a.db

Függvény vége.


A ciklus a halmaz elemeinek számaszor fut le, azaz a futási idő a

halmaz elemszámával arányos.




2020. 09. 28. 13:20

része(Konstans a,b: Halmaz(Elemtípus)):

i:=1

Ciklus amíg i≤a.db és eleme(a.elem[i],b)

i:=i+1

Ciklus vége

része:=i>a.db

Függvény vége.


A ciklus az A halmaz elemszámaszor fut le, az eleme függvény

pedig a B halmaz elemszámaszor, azaz a futási idő a két halmaz

elemszámának szorzatával arányos.




2020. 09. 28. 13:20

unió(Konstans a,b: Halmaz(Elemtípus)):

c:=a

Ciklus i=1-től b.db-ig

Ha nem eleme(b.elem[i],a)

akkor Halmazba(c,b.elem[i])

Ciklus vége

unió:=c

Operátor vége.


A külső ciklus a B halmaz elemszámaszor fut le, az eleme függ-vény pedig az A halmaz elemszámaszor,azaz a futási idő a két halmaz elemszámá-nak szorzatával arányos.




2020. 09. 28. 13:20

metszet(Konstans a,b: Halmaz(Elemtípus)):

c.db:=0


Ha eleme(a.elem[i],b)

akkor Halmazba(c,a.elem[i])

Ciklus vége

metszet:=c

Operátor vége.


A ciklus az A halmaz elemszámaszor fut le, az eleme pedig leg-rosszabb esetben a B halmaz elemszáma-szor, azaz a futási idő a két halmaz elem-számának szorzatával arányos.




2020. 09. 28. 13:20

Megjegyzések:

A megoldás alapvető problémája, hogy sehol sem ellenőrizhető, hogy a halmazban valóban csak a benne előfordulható elemek vannak.

Az így ábrázolt halmazok elemtípusára semmilyen megkötést nem kell tennünk, hiszen egy tömbben bármilyen elem elhelyezhető.

Arra sincs korlátozás, hogy mekkora lehet az alaphalmaz elem-száma, amiből a halmaz elemei származnak. Csak annyi a meg-kötésünk, hogy a konkrét halmazok elemszámát korlátozzuk.


A komplemens halmaz nem előállítható,

ha nem tároljuk az összes elemet.



2020. 09. 28. 13:20

Mi lenne, ha a halmaz elemeit rendezve sorolnánk fel?

Az eleme műveletben lehetne logaritmikus keresés, futási ideje a halmaz elemszámának logaritmusával arányos.

Az halmazba, halmazból műveletekben lehetne logaritmikus keresés, de az elemek mozgatása miatt marad a lineáris futási idő.

Az únió, metszet, része műveletek megvalósíthatók a ren-dezett sorozatok összefuttatási elvével, így azok műveletigénye a két halmaz elemszáma összege lehet.




2020. 09. 28. 13:20

Bittérkép – logikai vektor

Halmaz(Elemtípus)=Tömb(Min'Elemtípus..

Max'Elemtípus:Logikai)

A halmazt {igaz,hamis} elemekből álló vektorként értelmezzük,

ahol indexként használjuk az elem típusú értéket.

Az ilyen halmaz mindig rendezett halmaz.

Megjegyzés: az elemszám tárolása segíthet az üresség

vizsgálatán, de plusz teher a többi műveletben.




2020. 09. 28. 13:20

Beolvasás(Változó a: Halmaz(Elemtípus)):

Be: N [a halmaz elemszáma]

Üres(a)

Ciklus i=1-től N-ig

Be: e; a[e]:=igaz

Ciklus vége

Eljárás vége.







2020. 09. 28. 13:20

Kiírás(Konstans a: Halmaz(Elemtípus)):

Ciklus i=Min'Elemtípus-tól Max'Elemtípus-ig

Ha a[i] akkor Ki: i

Ciklus vége

Eljárás vége.


A ciklus a halmaz lehetséges elemeinek számaszor fut le, azaz

a futási idő a halmaz elemtípusának számosságával arányos.

(Kiválogatás tétel)

Zsakó László: Halmazok

Mi lenne, ha tárolnánk a halmaz

legkisebb és legnagyobb elemét is?

20/52



2020. 09. 28. 13:20

Üres(Változó a: Halmaz(Elemtípus)):


a[i]:=hamis

Ciklus vége

Eljárás vége.







2020. 09. 28. 13:20

Üres?(Konstans a: Halmaz(Elemtípus)):

i:=Min'Elemtípus

Ciklus amíg i≤Max'Elemtípus és nem a[i]

i:=i+1

Ciklus vége

Üres?:=(i>Max'Elemtípus)

Függvény vége.





(Eldöntés tétel)

22/52



2020. 09. 28. 13:20

Halmazba(Változó a: Halmaz(Elemtípus),


a[e]:=igaz

Eljárás vége.






2020. 09. 28. 13:20

Halmazból(Változó a: Halmaz(Elemtípus),


a[e]:=hamis

Eljárás vége.






2020. 09. 28. 13:20

eleme(Konstans e:Elemtípus,a:Halmaz(Elemtípus)):

eleme:=a[e]

Függvény vége.






2020. 09. 28. 13:20

része(Konstans a,b: Halmaz(Elemtípus)):

i:=Min'Elemtípus

Ciklus amíg i≤Max'Elemtípus és

nem (a[i] és nem b[i])

i:=i+1

Ciklus vége

része:=i>Max'Elemtípus

Függvény vége.


A ciklus a halmaz lehetséges elemeinek számaszor fut le, azaz a

futási idő a halmaz elemtípusának

számosságával arányos. (Eldöntés tétel)




2020. 09. 28. 13:20

unió(Konstans a,b: Halmaz(Elemtípus)):


c[i]:=a[i] vagy b[i]

Ciklus vége

unió:=c

Operátor vége.



futási idő a halmaz elemtípusának számosságával arányos.


(Másolás – függvényszámítás tétel)

27/52



2020. 09. 28. 13:20

metszet(Konstans a,b: Halmaz(Elemtípus)):


c[i]:=a[i] és b[i]

Ciklus vége

metszet:=c

Operátor vége.



futási idő a halmaz elemtípusának számosságával arányos.


(Másolás – függvényszámítás tétel)

28/52



2020. 09. 28. 13:20

Megjegyzések:

Ennél az ábrázolásnál szigorú megkötés az, hogy a halmaz lehetséges elemei indexként használhatók legyenek!

Emiatt így például nem definiálható síkbeli pontok halmaza, szavak halmaza, …

Ha azonban a halmaz egy véges sokaságból veszi fel az elemeit, akkor ezek egy tömbbe elhelyezhetők és a továbbiakban ezen tömb indexeivel ábrázolhatjuk a halmazt!




2020. 09. 28. 13:20

STL set halmazosztály:

Műveletei:

• üres?

• üres

• eleme

• Halmazba

• Halmazból

• elemszám

• min



Multihalmaz típus

2020. 09. 28. 13:20

Értékhalmaz:

Az alaphalmaz (amely az Elemtípus és egy darabszám által van

meghatározva) iteráltja („mely elem hányszoros multiplicitással

van benne a multihalmazban”).

Példa: Állatok: {(macska,4),(rigó,2),(galamb,3)}



Multihalmaz típus

2020. 09. 28. 13:20

Műveletek

metszet () (értékek metszete, multiplicitások minimuma)

unió () (értékek uniója, multiplicitások összege)

max (értékek uniója, multiplicitások maximuma),

különbség (–) (értékek különbsége, multiplicitások

különbsége; nincs benne egy elem, ha a multiplicitások

különbsége 1-nél kisebb)



Multihalmaz típus

2020. 09. 28. 13:20

Műveletek

eleme (egy elem benne van-e a multihalmazban) ()

benne (egy elem legalább adott multiplicitással benne van-e

a multihalmazban)

multiplicitás (egy elem hányszoros multiplicitással van

benne a multihalmazban)

része (egyik multihalmaz részhalmaza-e a másiknak) ()

mindközös? (a két multihalmaz az elemek multiplicitásától

eltekintve azonos-e)



Multihalmaz típus

2020. 09. 28. 13:20

Műveletek

Multihalmazba (elem hozzávétele egy multihalmazhoz):

H:=He,1}

Multihalmazból (elem elhagyása egy multihalmazból):

H:=H–e,1}

Beolvasás (multihalmaz beolvasása)

Kiírás (multihalmaz kiírása),

Üres (üres multihalmaz létrehozás eljárás), vagy

üres? (logikai értékű függvény).



Multihalmaz típus ábrázolása

2020. 09. 28. 13:20

Elemek felsorolása

Típus Halmazelem=Rekord(érték: Elemtípus, multi: Egész)

Multihalmaz(Elemtípus)=Rekord(db: Egész,

elem: Tömb(1..MaxDb:Halmazelem))

Egy felsorolásként adjuk meg a multihalmazt, annyi elemű

tömbben, ahány elemű éppen a multihalmaz (pontosabban az

első db darab elemében).



Multihalmaz típus

2020. 09. 28. 13:20

PéldaTípus Fajta=Rekord(érték: Szöveg,

multi: Egész)

Állomány=Multihalmaz(Fajta)

Változó A: Állomány

A:=Állomány(("nyúl",3),("kecske",5))




2020. 09. 28. 13:20

Beolvasás(Változó a: Multihalmaz(Elemtípus)):

Be: a.db [a multihalmaz elemszáma]


Be: a.elem[i].érték,a.elem[i].multi

Ciklus vége

Eljárás vége.


A ciklus a multihalmaz elemértékeinek számaszor fut le, azaz a futási idő a multihalmaz elemszámával arányos.




2020. 09. 28. 13:20

Kiírás(Konstans a: Multihalmaz(Elemtípus)):

Ki: a.db [a multihalmaz elemszáma]


Ki: a.elem[i].érték,a.elem[i].multi

Ciklus vége

Eljárás vége.


A ciklus a multihalmaz elemértékeinek számaszor fut le, azaz a futási idő a multihalmaz elemszámával arányos.




2020. 09. 28. 13:20

Üres(Változó a: Multihalmaz(Elemtípus)):

a.db:=0

Eljárás vége.


Nem függ a multihalmaz elemszámától.

üres?(konstans a: Multihalmaz(Elemtípus)):

Üres?:=(a.db=0)

Eljárás vége.

Műveletigény számítása: Nem függ a multihalmaz elemszámától.




2020. 09. 28. 13:20

Multihalmazba(Változó a: Multihalmaz(Elemtípus),


i:=1

Ciklus amíg i≤a.db és a.elem[i].érték≠e

i:=i+1

Ciklus vége

Ha i≤a.db akkor

a.elem[i].multi:=a.elem[i].multi+1

különben a.db:=a.db+1; a.elem[a.db].érték:=e

a.elem[a.db].multi:=1

Eljárás vége.


Arányos a multihalmaz elemszámával.Zsakó László: Halmazok 40/52



2020. 09. 28. 13:20

Multihalmazból(Változó a: Multihalmaz(Elemtípus),


i:=1

Ciklus amíg i≤a.db és a.elem[i].érték≠e

i:=i+1

Ciklus vége

Ha i≤a.db akkor

Ha a.elem[i].multi=1 akkor

a.elem[i]:=a.elem[a.db]; a.db:=a.db-1

különben a.elem[i].multi:=a.elem[i].multi-1

Eljárás vége.


Arányos a multihalmaz elemszámával.Zsakó László: Halmazok 41/52



2020. 09. 28. 13:20

eleme(Konstans e: Elemtípus,

a: Multihalmaz(Elemtípus)):

i:=1

Ciklus amíg i≤a.db és ea.elem[i].érték

i:=i+1

Ciklus vége

eleme:=i≤a.db

Függvény vége.


Arányos a multihalmaz elemszámával.




2020. 09. 28. 13:20

multiplicitás(Konstans e: Elemtípus,


i:=1

Ciklus amíg i≤a.db és ea.elem[i].érték

i:=i+1

Ciklus vége

Ha i≤a.db akkor multiplicitás:=a.elem[i].multi

különben multiplicitás:=0

Függvény vége.






2020. 09. 28. 13:20

benne(Konstans e: Halmazelem,


i:=1

Ciklus amíg i≤a.db és e.értéka.elem[i].érték

i:=i+1

Ciklus vége

benne:=i≤a.db és e.multi≤a.elem[i].multi

Függvény vége.






2020. 09. 28. 13:20

része(Konstans a,b: Multihalmaz(Elemtípus))

i:=1

Ciklus amíg i≤a.db és benne(a.elem[i],b)

i:=i+1

Ciklus vége

része:=i>a.db

Függvény vége.


A külső ciklus az A, a benne műveletben levő belső ciklus a B multihalmaz elemszámaszor fut le, azaz a futási idő a két multi-

halmaz elemszáma szorzatával arányos.




2020. 09. 28. 13:20

unió(Konstans a,b: Multihalmaz(Elemtípus)):

c:=a


j:=1

Ciklus amíg j≤a.db és

b.elem[i].értéka.elem[j].érték

j:=j+1

Ciklus vége

...




2020. 09. 28. 13:20

...

Ha j>a.db akkor c.db:=c.db+1

c.elem[c.db]:=b.elem[i]

különben c.elem[j].multi:=c.elem[j].multi+

b.elem[i].multi

Ciklus vége

unió:=c

Operátor vége.


A külső ciklus az A, a belső ciklus a B multihalmaz elemszámaszor fut le,

azaz a futási idő a két multihalmaz elemszáma szorzatával arányos.




2020. 09. 28. 13:20

max(Konstans a,b: Multihalmaz(Elemtípus)):

c:=a


j:=1

Ciklus amíg j≤a.db és

b.elem[i].értéka.elem[j].érték

j:=j+1

Ciklus vége

...




2020. 09. 28. 13:20

...

Ha j>a.db akkor c.db:=c.db+1

c.elem[c.db]:=b.elem[i]

különben ha b.elem[i].multi>c.elem[j].multi

akkor c.elem[j].multi:=b.elem[i].multi

Ciklus vége

max:=c

Operátor vége.


A külső ciklus az A, a belső ciklus a B multihalmaz elemszámaszor fut le,

azaz a futási idő a két multihalmaz elemszáma szorzatával arányos.




2020. 09. 28. 13:20

metszet(Konstans a,b: Multihalmaz(Elemtípus)):

c.db:=0

Ciklus i=1-tõl a.db-ig

j:=1

Ciklus amíg j≤b.db és

b.elem[j].értéka.elem[i].érték

j:=j+1

Ciklus vége

...




2020. 09. 28. 13:20

...

Ha j≤b.db akkor

c.db:=c.db+1; c.elem[c.db]:=a.elem[i]

Ha b.elem[j].multi

Halmaz, multihalmaz

Halmaz, multihalmazalgtan1.elte.hu/downloads/eloadas/Halmaz1.pdfHalmaz típus 2020. 09. 28. 13:20...

Documents

Transcript of Halmaz, multihalmazalgtan1.elte.hu/downloads/eloadas/Halmaz1.pdfHalmaz típus 2020. 09. 28. 13:20...