Matematikakoszegiiren.uw.hu/11 nyelvielokeszito/elokeszito.pdf5 1. HALMAZOK Halmaz – alapfogalom,...
53
1 Kőszegi Irén 2014 MATEMATIKA a nyelvi előkészítő osztály számára
Transcript of Matematikakoszegiiren.uw.hu/11 nyelvielokeszito/elokeszito.pdf5 1. HALMAZOK Halmaz – alapfogalom,...
1
Kőszegi Irén
2014
MATEMATIKA a nyelvi előkészítő osztály számára
2
3
Tartalom
1. HALMAZOK ............................................................................................................................................. 5
2. SZÁMHALMAZOK .................................................................................................................................... 8
3. HATVÁNYOK .......................................................................................................................................... 12
4. OSZTHATÓSÁG ...................................................................................................................................... 14
5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK.......................................................................................................................... 17
6. FÜGGVÉNYEK ........................................................................................................................................ 21
7. GEOMETRIA .......................................................................................................................................... 32
8. EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK ...................................................................................................... 47
9. ARANY DÁNIEL MATEMATIKAI TANULÓVERSENY ................................................................................ 52
4
5
1. HALMAZOK
Halmaz – alapfogalom, nem definiáljuk, úgy adjuk meg, hogy minden dologról, tárgyról
egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy egy adott halmazhoz tartozik vagy sem. A dolgok,
tárgyak a halmaz elemei.
Jelölések:
a halmazokat nagy betűkkel: A, B, H
az elemeket kis betűkkel, számokkal:a, b, c…,1, 2,..
a eleme az A halmaznak: 𝑎 ∈ 𝐴
b nem eleme az A halmaznak: 𝑏 ∉ 𝐴
Halmazok megadása:
1. az elemek felsorolásával: Pl.:𝐴 = {1,2,3,4}
2. az elemeket egyértelműen meghatározó utasítással, tulajdonsággal:
𝐴 = {𝑎𝑧 𝑒𝑔𝑦𝑗𝑒𝑔𝑦ű 𝑝𝑟í𝑚 𝑠𝑧á𝑚𝑜𝑘}
Halmazok egyenlősége: Két halmaz egyenlő, ha elemeik azonosak.
{𝑎𝑧 𝑒𝑔𝑦𝑗𝑒𝑔𝑦ű 𝑝𝑟í𝑚 𝑠𝑧á𝑚𝑜𝑘} = {2,3,5,7}
Üres halmaz- nincs eleme. Jele: ∅
Részhalmaz: Az A halmaz részhalmaza a B halmaznak, ha A minden eleme a B halmaznak
is eleme.
Jele:𝐴 ⊆ 𝐵.
Valódi részhalmaz: Az A halmaz valódi részhalmaza a B halmaznak, ha A részhalmaza a B-
nek és nem egyenlő vele. Jele: 𝐴 ⊂ 𝐵.
Megjegyzés: 𝐴 ⊆ 𝐴; ∅ ⊆ 𝐴
Példa: Add meg az 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} halmaz összes részhalmazát!
Megoldás: ∅; {𝑎}; {𝑏}; {𝑐}; {𝑎, 𝑏}; {𝑎, 𝑐}; {𝑏, 𝑐}; {𝑎, 𝑏, 𝑐}
Feladatok:
1. Melyik halmaz?
a. A 20 pozitív osztói.
b. A szép lepkék.
c. Osztályunk kitűnő tanulói.
d. Magyarország nagy városai.
2. Az alábbi halmazok közül add meg azokat, amelyek közül az egyik halmaz a másik
halmaz részhalmaza!
𝐴 = {1; 2; 3; 4}
𝐵 = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7,8}
𝐶 = {ℎá𝑟𝑜𝑚𝑠𝑧ö𝑔𝑒𝑘 ℎ𝑎𝑙𝑚𝑎𝑧𝑎}
𝐷 = {𝑠𝑧𝑎𝑏á𝑙𝑦𝑜𝑠 ℎá𝑟𝑜𝑚𝑠𝑧ö𝑔𝑒𝑘 ℎ𝑎𝑙𝑚𝑎𝑧𝑎}
𝐸 = {𝑡𝑟𝑎𝑝é𝑧𝑜𝑘 ℎ𝑎𝑙𝑚𝑎𝑧𝑎}
𝐹 = {𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑚á𝑘 ℎ𝑎𝑙𝑚𝑎𝑧𝑎}
6
3. Sorold fel az A={1,2,3,4,5} halmaz összes olyan részhalmazát, amelynek csak
prímszámok az elemei! Hány részhalmaza van az A halmaznak?
4. Töltsd ki a következő táblázatot:
Halmaz Összes részhalmaz Részhalmazok száma
∅
{𝑎}
{𝑎, 𝑏}
{𝑎, 𝑏, 𝑐}
{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}
Milyen összefüggést találsz a halmaz elemeinek a száma között és az összes részhalmazok
száma között?
5. Adott a 𝐻 = {−3;−1
2; 0; 1;
3
2; 2; 3; 4} halmaz. Írjuk fel H halmaz következő
részhalmazait:
𝐴 = {2 − 𝑛é𝑙 𝑘𝑖𝑠𝑒𝑏𝑏 𝑠𝑧á𝑚𝑜𝑘} =
𝐵 = {0 − 𝑛á𝑙 𝑛𝑒𝑚 𝑛𝑎𝑔𝑦𝑜𝑏𝑏 𝑠𝑧á𝑚𝑜𝑘} =
𝐶 = {1 − 𝑛é𝑙 𝑛𝑒𝑚 𝑘𝑖𝑠𝑒𝑏𝑏 𝑠𝑧á𝑚𝑜𝑘} =
Műveletek halmazokkal
Unió: Két halmaz uniója alatt értjük azoknak az elemeknek a
halmazát, amelyek legalább az egyik halmaznak elemei.
Metszet: Két halmaz metszete alatt értjük a közös elemek
halmazát.
Különbség: Az A és B halmazok különbsége az A olyan
elemeinek a halmaza, amelyek nincsenek a B halmazban.
A B
𝐴 ∪ 𝐵
AB
𝐴 ∩ 𝐵
B A
𝐴 ∖ 𝐵
7
Kiegészítő halmaz: Egy A halmaz kiegészítő halmaza az
alaphalmaz azon elemeinek a halmaza, amelyek az A halmaznak
nem elemei.
Feladatok: 1. Satírozd be a Venn-diagramon az alatta megadott halmazokat:
2. Add meg a Venn-diagramon besatírozott részt halmazművelettel:
3. Legyen 𝐴 = {2,4,5,7,8}, 𝐵 = {1,2,3,6,7,9} é𝑠 𝐶 = ∅. Határozd meg a következő
halmazokat: 𝐴 ∪ 𝐵; 𝐴 ∩ 𝐵; 𝐴 ∖ 𝐵; 𝐴 ∪ 𝐶; 𝐴 ∖ 𝐶.
4. Legyenek az A halmaz elemei 16 pozitív osztói, a B halmaz elemei 24 pozitív
osztói, a C halmaz elemei 18 pozitív osztói!
Határozd meg a következő halmazokat: 𝐴 ∪ 𝐵; 𝐴 ∩ 𝐶; 𝐵 ∖ 𝐶; 𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐶); 𝐴 ∖ 𝐶.
5. Ha 𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,4,5,6}, 𝐴 ∖ 𝐵 = {2,4,6}, 𝐴 ∩ 𝐵 = {1,3} , add meg az A és B
halmazokat.
6. Legyen az alaphalmaz 𝐸 = {6,7,10,13,14,16,25,26,40,50,75} é𝑠
𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐸|𝑥 𝑜𝑠𝑧𝑡ℎ𝑎𝑡ó 2 − 𝑣𝑒𝑙},
𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐸|𝑥 𝑜𝑠𝑧𝑡ℎ𝑎𝑡ó 4 − 𝑔𝑦𝑒𝑙},
𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐸|𝑥 𝑜𝑠𝑧𝑡ℎ𝑎𝑡ó 5 − 𝑡𝑒𝑙}.
Ábrázold Venn-diagrammal a halmazokat!
7. Adj meg két olyan halmazt, amelyek
a. metszete
b. különbsége
az alábbi halmaz: {−1,0,1}
8. Add meg és ábrázold Venn-diagrammal az alábbi halmazokat:
𝐴 = {20 − 𝑛á𝑙 𝑘𝑖𝑠𝑒𝑏𝑏 , 6 − 𝑡𝑎𝑙 𝑜𝑠𝑧𝑡ℎ𝑎𝑡ó 𝑝𝑜𝑧𝑖𝑡í𝑣 𝑒𝑔é𝑠𝑧 𝑠𝑧á𝑚𝑜𝑘},
A 𝐴
A B
A ∩ 𝐵
A B
A⧵ 𝐵
A
B A B
8
𝐵 = {15 − 𝑛é𝑙 𝑘𝑖𝑠𝑒𝑏𝑏, 3 − 𝑚𝑎𝑙 𝑜𝑠𝑧𝑡ℎ𝑎𝑡ó 𝑝𝑜𝑧𝑖𝑡í𝑣 𝑒𝑔é𝑠𝑧 𝑠𝑧á𝑚𝑜𝑘}
𝐶 = {3𝑛|𝑛 = 1,2,3}
a. Melyik igaz a következő állítások közül? 𝐴 ⊂ 𝐵, 𝐶 ⊂ 𝐵.
b. Határozd meg: 𝐴 ⧵ 𝐵, 𝐵 ⧵ 𝐶, 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶, 𝐶 ∩ 𝐴.
9. Legyen A={1,2,3,6,7}, B={2,5,7,9,10}, U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Ábrázold Venn-
diagramon az A, B, U halmazokat. Határozd meg az alábbi halmazokat!
𝐴 ∖ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴,̅ 𝐵 ∖ 𝐴̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
10. Határozd meg az A és B halmazokat, ha tudjuk, hogy
𝐴 ∪ 𝐵 = {2,3,4,5,6,7,10}
𝐴 ∖ 𝐵 = {2,3}
𝐴 ∩ 𝐵 = {4,10}.
11. Az A halmaznak 7 eleme van, a B halmaznak pedig 9. Legfeljebb hány eleme lehet
az 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵 é𝑠 𝐴 ∖ 𝐵 halmazoknak?
12. Az osztály fele egy kiránduláson evett fagylaltot. 9-en vaníliásat, 11-en csokist, 8-
an citromost rendeltek. Vaníliást és csokist 5-en, vaníliást és citromost 3-an,
csokist és citromost 4-en kértek. Mindháromból 2-en kértek. Hány fős az osztály?
2. SZÁMHALMAZOK
Természetes számok halmaza:ℕ={0,1,2,3,4,5…}
Műveletek: összeadás, szorzás. Bármely két természetes szám összege, szorzata
természetes szám.
Két természetes szám különbsége és hányadosa nem mindig természetes szám. Adj példát!
Egész számok halmaza:ℤ={…-3,-2,-1,0,1,2,3…}
Műveletek: összeadás, szorzás, kivonás. Bármely két egész szám összege, szorzata,
különbsége egész szám.
Két egész szám hányadosa nem mindig egész szám. Adj példát!
Racionális számoknak nevezzük azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám
hányadosaként.
Racionális számok halmaza:ℚ={𝑝
𝑞|𝑝, 𝑞 ∈ ℤ, 𝑞 ≠ 0}
Műveletek: összeadás, szorzás, kivonás, osztás. Bármely két racionális szám összege,
szorzata, különbsége, hányadosa racionális szám.
Ábrázold Venn-diagramm segítségével a számhalmazok közötti kapcsolatot!
9
Tizedes tört:
Valós számoknak nevezzük a racionális és az irracionális számokat, tehát a végtelen
tizedes törteket. A valós számok halmaza:
ℝ = ℚ ∪ {𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑙𝑖𝑠 𝑠𝑧á𝑚𝑜𝑘}
A valós számokat a számegyenesen ábrázoljuk. A számegyenes minden pontja egy-egy
valós számnak felel meg, és fordítva.
Intervallum: két adott valós szám közé eső összes szám halmaza.
[𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
[𝑎, 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℝ|𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
]𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ│𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
]𝑎, 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℝ│𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
…………………………………………………
Feladatok:
1. Melyik igaz a következő állítások közül? Válaszodat indokold!
a. Minden természetes szám egész szám.
b. Minden egész szám természetes szám.
c. Minden egész szám racionális szám.
d. Van olyan racionális szám, amelyik nem egész szám.
e. Minden valós szám racionális szám.
Végtelen tizedes törtek
szakaszos
(racionális számok)
tiszta
0,3333....
vegyes
0,4535353...nem szakaszos
0,1001000100001.....
(irracionális számok)
10
2. Ábrázold számegyenesen a következő intervallumokat!
[−1; 2]; ]1; 4]; [−2; 5[; ]1;∞[; ]−∞; 3]
3. Milyen értéket adj x-nek, hogy 𝑥−2
3 kifejezés
a. természetes szám,
b. egész szám,
c. negatív szám,
d. 0 legyen?
4. Melyik intervallum a következő halmazok közül?
a. 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ|−2 < 𝑥 < 4}
b. 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 2}
c. 𝐶 = {𝑥 ∈ ℚ|0 ≤ 𝑥 < 4}
5. Melyik igaz a következő állítások közül? Válaszodat indokold!
a. 3∈ [0; 3]
b. −2 ∈ ]−2; 0[
c. −7 ∉ ]−∞;0]
d. −3 ∉ ℕ
e. 1,3 ∈ ℤ
f. 2
5∈ ℚ
6. Töltsd ki a táblázatot!
Halmaz jelölés Intervallum Ábrázold számegyenesen! {𝑥 ∈ ℝ|−2 < 𝑥 ≤ 3}
]2,5] {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ 2}
]−∞, 1[
7. Adottak az 𝐴 = [−6,−1], 𝐵 = ]−3,4[ intervallumok. Határozd meg az alábbi
halmazokat:
𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∖ 𝐵, 𝐵 ∖ 𝐴
8. Legyen 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ 2}; 𝐵 = ]−∞, 3]. Ábrázold számegyenesen és add meg a
következő halmazokat:
𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∖ 𝐵, 𝐵 ∖ 𝐴
9. Adott 𝐴 = {𝑥𝜖ℤ|−2 ≤ 𝑥 < 5}, 𝐵 = [−3,2], 𝐶 = ]1,6], 𝐷 = ]−∞,−1[, 𝐸 = {𝑥𝜖ℝ|𝑥 ≥ −2} .
a. Ábrázold számegyenesen. Használj színes ceruzát! b. Add meg a következő halmazokat:
𝐴 ⧵ 𝐵, 𝐵 ⧵ 𝐶, 𝐶 ⧵ 𝐷, 𝐷 ⧵ 𝐸, 𝐸 ⧵ 𝐷, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐷, 𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐷,𝐷 ∩ 𝐸, 𝐵 ∪ 𝐶.
10. Legyen 𝐴 = {𝑥𝜖ℝ|2𝑥 − 3 ≥ 5}, 𝐵 = {𝑥𝜖ℝ|4 − 𝑥 ≤ 9}, 𝐶 = {𝑥𝜖ℝ|6𝑥 + 4 > 2𝑥 − 8}
Ábrázold a halmazokat a számegyenesen. Add meg az alábbi halmazokat:
𝐴 ∩ 𝐵; 𝐴 ∪ 𝐶; 𝐵\𝐴; 𝐶\𝐵
11
11. Végezd el a következő műveleteket:
a. −44: 11 + (−100 − 80): 9 − 5 ∙ 8
b. 4 − [3 − (5 − 2)]
c. (−56 + 11) ∶ 5 − 3 ∙ (−4)
d. {25 + [−35 + 10 − (−15 + 20) + 100] − 90} ∙ (6 − 3)
e. 7: 31
2− (−9) ∙
4
3
f. 2
5−3
4−1
3∙21
5+15
16:5
8
g. 2
3−5
6+
7
12+
1
24− 2
h. 1
3+2
7− 3
i. 9
16
7
20:
49
12
3
20
15
4
7
2
j.
1
3 + 2
54
3 −1
k.
2
3+1
41
6
l. (1 −3
21
2+1
6
) ∙ (1 −1
61
2−1
6
)
m. 4
8−
3
16+
5
80−
4
40∙6
20:6
40
n. 9
18−
4
36+
3
16:9
32− 2
o. (1 −1
4) (1 −
1
9) (1 −
1
16) (1 −
1
25) (1 −
1
36) (1 −
1
49) (1 −
1
64) ∙
∙ (1 −1
81) (1 −
1
100)
12. Mennyi 12
3é𝑠6
5 reciprokának szorzata?
13. Melyik az a szám, amely 7
3é𝑠
2
5 összegénél
3
5− 𝑑𝑒𝑙 nagyobb?
14. Ha 4 kg körte ára 600 Ft, akkor mennyibe kerül 3
4 kg körte?
15. Egy üzem 87 gőzmozdonyt készített. Ez a megrendelés 3
4 része volt. Hány
mozdonyt rendeltek az üzemtől?
16. Mennyi a 142
5− 𝑛𝑒𝑘 𝑎
4
9− 𝑒𝑑 része?
17. Melyik az a szám, amelyiknek 5
7-e 15
14?
12
18. Melyik nagyobb?
𝐴 = (1 +
16
12−16
) ∙ (1 −
16
12+16
) 𝑣𝑎𝑔𝑦 𝐵 = (1 +
12
12−16
) ∙ (1 −
12
12+16
)
3. HATVÁNYOK
Pozitív egész kitevőjű hatvány: 𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙∙∙ 𝑎⏟ 𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑎𝑏 𝑡é𝑛𝑦𝑒𝑧ő
, 𝑛𝜖ℕ, 𝑛 ≠ 0, 𝑎 ∈ ℝ
0 kitevőjű hatvány: 𝑎0 = 1, 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0
Megjegyzés: 00 𝑛𝑒𝑚 é𝑟𝑡𝑒𝑙𝑚𝑒𝑧𝑒𝑡𝑡
Negatív egész kitevőjű hatvány: 𝑎−𝑛 =1
𝑎𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ, n≠ 0, 𝑎 ∈ ℝ ∖ {0}
Azonosságok: Legyen 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ∖ {0},𝑚, 𝑛 ∈ ℤ
Azonos alapú hatványok szorzata: 𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
Azonos alapú hatványok hányadosa: 𝑎𝑛
𝑎𝑚= 𝑎𝑛−𝑚
Hatványnak hatványa: (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛∙𝑚
Azonos kitevőjű hatványok szorzata: 𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛
Azonos kitevőjű hatványok hányadosa: 𝑎𝑛
𝑏𝑛= (
𝑎
𝑏)𝑛
Feladatok:
1. Számítsd ki a következő hatványok értékét:
34; 23; −42; (−5)3; 3−2; 5−1 ; 1000; 10−3; 6−2; (−2)−4
2. Negatív hatványkitevő alkalmazásával írd fel a következő számokat:
1
2;1
9;1
32;1
64;1
25;1
10;1
100
kitevő
hatvány alapja 𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑡𝑣á𝑛𝑦
13
3. Végezd el a kijelölt műveleteket:
23 ∙ 24; 32 ∙ 35; 42 ∙ 4−6; 56 ∙ 5−4
4. Add meg a következő műveletek végeredményét:
a. 30 + (−3)0
b. 1 + (−2)0 − 3−1 + (−3)−2
c. 4−2 + 2−3
d. 2343 ∙ 234−3
e. (1
2)2+ (
1
3)2
f. (2
3)−1+ (
12
8)2
g. 2−3+2−4+2−5
2−4+5∙2−5
h. 4−13−4−12+3∙4−11
4−9+4−8−2∙4−10
i. 4−1 + (2
3)−2
j. 6−6 −8
3∙67
k. 2∙5−3+5−2
2
52−3
53
5. Végezd el a következő műveleteket:
a. 24 ∙ 23; 35 ∙ 3−4; 5 ∙ 53; 𝑎8 ∙ 𝑎−6
b. 26
24 ;104
105; 4−3
4−6; 𝑥5
𝑥−6
c. (5−4)2; (23)−4 ∙ (2−1)−5; (6−3)2 ∙ (64)3
d. 152 ∙ (1
25)2
; (−9
4)3∙ (8
3)3
e. (𝑥 ∙ 𝑦3)2; (𝑎−2 ∙ 𝑏3)4
f. 24∙6−3
47∙35
g. (3−4)2∙272∙124
6−7∙82
6. Melyik szám nagyobb?
a. 1020 𝑣𝑎𝑔𝑦 2010,
b. 269 𝑣𝑎𝑔𝑦 346.
7. Melyik halmaznak van több eleme?
𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ|22014 ≤ 𝑥 ≤ 22015} 𝑣𝑎𝑔𝑦 𝐵 = {𝑦 ∈ ℕ|𝑦 ≤ 22014}.
14
Számok normál alakja
Pozitív szám normál alakja az a két tényezős szorzat, amelynek egyik tényezője 1 és 10
közé eső szám, másik tényezője pedig 10 egy egész kitevőjű hatványa.
𝑥 = 𝑎 ∙ 10𝑘, 1 ≤ 𝑎 < 10, 𝑘 ∈ ℤ
1. Írd fel a következő számokat normál alakban:145; 6 000 000; 0,12345; 0,0023; 15,2
2. Írd át helyiértékes alakba: 4,35 ∙ 103; 5,1 ∙ 106; 1,23 ∙ 10−3
3. Számológép használata nélkül végezd el a kijelölt műveleteket és add meg az
eredményt normál alakban!
a. 5 ∙ 104 + 3 ∙ 105
b. 7 ∙ 10−3 ∙ 6 ∙ 104
c. 2,1∙10−4+4∙10−3
0,002
d. 5∙105−4∙107
3∙106
4. A fény terjedési sebessége 300 000 km/s. Mennyi idő alatt teszi meg a fény a Nap
és a Föld közötti távolságot, ha távolságuk 149,6 millió km?
5. Mekkora a fényévtávolság? (Mekkora utat tesz meg a fény 1 év alatt?)
4. OSZTHATÓSÁG
Legyen a és b természetes számok. Az a szám osztója a b számnak, ha van olyan c
természetes szám, melyre b=ac. Azt mondjuk, hogy b többszöröse a-nak.
Jelölés: 𝑎 ∣ 𝑏 (a osztja b-t); 𝑎 ∤ 𝑏 ( a nem osztja b-t)
Megjegyzés: A természetes számok halmazán egy szám osztói azok a számok, amelyek
maradék nélkül megvannak a számban.
Maradékos osztás tétele: Legyen a és b
természetes számok, a≠0, akkor van olyan p
és q természetes szám, amelyekre:
𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑞 + 𝑟, 𝑎ℎ𝑜𝑙 0 ≤ 𝑟 < 𝑎.
Pl: 35 = 8 ∙ 4 + 3, tehát a 35-ben a 8 megvan 4-szer, a maradék pedig 3.
6 ∣ 18,𝑚𝑒𝑟𝑡 18 = 6 ∙ 3
Megjegyzés: Minden szám osztható 1-gyel és önmagával. Ezeket a szám nem valódi
osztóinak nevezzük. A többi osztó, ha van, a szám valódi osztói.
15
Oszthatósági szabályok:Rendszerezzünk aszerint, hogy mit kell nézzünk, mikor keressük
egy szám osztóit:
az utolsó számjegy utolsó két számjegy utolsó három számjegy
számjegyek összege
oszthatóság 2-vel, 5-tel, 10-zel
oszthatóság 4-gyel, 25-tel,50-nel, 100-zal
oszthatóság 8-cal, 1000-rel
oszthatóság 3-mal, 9-cel
Pl: Vizsgáljuk meg az alábbi számokat a fenti szempontok szerint:
3642: Mivel az utolsó számjegy páros, ezért a szám osztható 2-vel. A számjegyek összege
15, ezért a szám osztható 3-mal is. Kérdés: Milyen számmal osztható még 3642?
2025: Utolsó számjegy 5, ezért a szám osztható 5-tel. Utolsó két számjegyből álló szám 25,
ezért a szám osztható 25-tel. A számok összege 9, tehát a szám osztható még 9-cel is.
A természetes számokat osztályozhatjuk osztóik száma szerint:
A számelmélet alaptétele: Bármely összetett szám egyértelműen felbontható
prímszámok szorzatára.
Pl: Bontsd fel prímszámok szorzatára: 234 = 2 ∙ 32 ∙ 13
234 2 117 3
39 3 13 13
1
Természetes számok
1
Prím számok-két osztójuk van, 1 és önmaguk
Összetett számok-kettőnél több osztójuk van
16
Legnagyobb közös osztó: Két pozitív egész szám legnagyobb közös osztója a közös osztók
közül a legnagyobb. Jelölés: (𝑎, 𝑏)
Megkapjuk, ha a számokat prímtényezőkre bontjuk és a közös prímtényezőket az
előforduló legkisebb hatványkitevővel összeszorozzuk.
Legkisebb közös többszörös: Két pozitív egész szám legkisebb közös többszöröse a közös
többszörösük közül a legkisebb. Jelölés: [𝑎, 𝑏]
Megkapjuk, ha a számokat prímtényezőkre bontjuk és a közös és nem közös
prímtényezőket az előforduló legnagyobb hatványkitevővel összeszorozzuk.
Relatív prímszámoknak nevezzük azokat a pozitív egész számokat, amelyeknek
legnagyobb közös osztójuk 1.
Feladatok:
1. Ha a és b természetes számok, akkor melyik igaz a következő állítások közül?
Válaszodat indokold!
a. Ha a+b páros szám, akkor a és b páros.
b. Ha a+b páros, akkor a vagy b páros.
c. Ha a·b páros, akkor a és b páros.
d. Ha a·b páros, akkor a vagy b páros.
e. Ha egy szám osztható 3-mal, akkor osztható 9-cel is.
f. Ha egy szám osztható 9-cel, akkor osztható 3-mal is.
g. Bármely két prímszám különbsége páratlan szám.
h. Bármely, 2-nél nagyobb prímszám összege prímszám.
2. Fogalmazz meg szabályt 12-vel; 15-tel; 18-cal; 36-tal való oszthatóságra!
3. Osztható-e 9-cel a 102014 + 8 szám?
4. Lehet-e 2-nél nagyobb két prímszám összege prímszám?
5. Igazold, hogy az 𝑎𝑏𝑏𝑎̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ alakú számok oszthatók 11-gyel.
6. Igazold, hogy 7 ∣ 2𝑛+2 + 2𝑛+1 + 2𝑛, 𝑎ℎ𝑜𝑙 𝑛 ∈ ℕ.
7. Milyen számjegyet írjunk az ismeretlen számjegy helyére, ha:
a. 3 ∣ 23𝑥6̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
b. 4 ∣ 23𝑥8̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
c. 5 ∣ 261𝑥̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
d. 6 ∣ 357𝑥̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
8. Milyen számjegyek írhatók x és y helyére, ha:
12 ∣ 112𝑦5𝑥̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
15 ∣ 24𝑦7𝑥̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
18 ∣ 67𝑦8𝑥̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
9. Bontsd fel prímtényezők szorzatára a következő számokat: 630; 2520; 501;568.
17
10. Határozd meg a következő számok legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös
többszörösét!
a. 31500; 1650; b. 396; 168; c. 𝑎4 ∙ 𝑏2 ∙ 𝑐5 ∙ 𝑑; 𝑎3 ∙ 𝑐3 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑒2.
11. Mennyi (36,96) ∙ [36,96]
12. Egyszerűsítsd a következő törteket: 3780
198; 7875
2450; 364
338.
13. Legyen 𝐴 = {7𝑎8𝑏̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅| 15 ∣ 7𝑎8𝑏̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅}; 𝐵 = {7𝑥8𝑦̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅| 40 ∣ 7𝑥8𝑦̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅}.
Add meg 𝐴 ∪ 𝐵; 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∖ 𝐵 halmazokat!
14. Add meg azokat az x egész számokat, amelyre
a. 6
𝑥∈ ℤ
b. 5
𝑥−3∈ ℤ
15. Egy számlán 72 kg alma ára ₪47₪ Ft. Sajnos az első és az utolsó számjegy
olvashatatlan. Mennyibe került egy kg alma?
16. A Naprendszer három, a Naphoz legközelebbi bolygóinak
Napkörüli forgásideje megközelítőleg 88, 225, illetve 365 földi nap. Ha
egy bizonyos napon a Nap és a három bolygó egy egyenesen
helyezkednének el, hány év múlva fordulna elő újra a jelenség?
5. ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK
Algebrai kifejezést kapunk, ha betűket, számokat kötünk össze a négy alapművelettel.
Osztályozzuk:
a bennük szereplő betük száma szerint
egyváltozós kifejezés
Pl:3a, 4x2
kétváltozós kifejezés
Pl:2a-3b; x+5y
több változos kifejezés
Pl:xyz; 2x+4y-4z+t
18
Egytagú kifejezés: Pl. 3𝑥2𝑦
Két egytagú kifejezést egyneműnek nevezünk, ha csak együtthatójukban különböznek.
Polinom (többtagú egész kifejezés) Pl. 2𝑥2 + 3𝑥 − 1
Műveletek: összeadás, szorzás
Feladatok:
1. Végezd el a következő műveleteket:
a. 4a+3a; 5x-4x; 7xy+11xy-4xy; 2𝑥2 + 4𝑥2 − 5𝑥2.
b. 15𝑥 + 4 − [5 − (6𝑥 + 4) − (𝑥 + 6)]
c. 1
2𝑎3 −
2
3𝑎3 +
1
4𝑎3;
3
5𝑥2 −
5
3𝑥2.
d. 6 − {𝑥 − [2𝑥 − (𝑥 + 7)]}; (𝑥 + 𝑦 − 𝑧) − (𝑥 − 𝑦 + 𝑧) − (−𝑥 + 𝑦 + 𝑧).
e. 6𝑥2 + 4𝑥 − 3 + 5𝑥2 − 2𝑥 + 4; 8𝑥2 − 4𝑥 + 9 − (7𝑥2 − 2𝑥 + 6).
f. 5𝑎𝑏 + 2𝑎2𝑏 − 3𝑎𝑏 − 4𝑎2𝑏; 7𝑎2𝑏 − 3𝑎𝑏 + 5𝑎𝑏2 − (2𝑎2𝑏 − 3𝑎𝑏 +
6𝑎𝑏2).
g. 10𝑎𝑏2𝑐 − 4𝑎𝑏𝑐2 + 3𝑎2𝑏𝑐 + (5𝑎𝑏2𝑐 + 6𝑎𝑏𝑐2 − 7𝑎2𝑏𝑐)
h. 23
2𝑥2 + 1
5
3𝑥 − 5 − (
4
3𝑥2 − 5𝑥 −
3
2)
i. 3(𝑥 + 4) − 2(𝑥 − 3); 4(𝑥2 − 𝑥 + 2) − 5(𝑥2 + 4𝑥 − 3).
j. 4𝑥2𝑦 + 5𝑥𝑦2 − 2(𝑥2𝑦 − 5𝑥𝑦2); 6(𝑎 + 𝑏 − 𝑐) − 2(𝑎 − 𝑏 + 𝑐).
2. Végezd el az alábbi szorzásokat:
a. 2𝑎2𝑏3 ∙ 5𝑎3𝑏4; 6𝑎2𝑏3𝑐2 ∙ (−9𝑎4𝑏5𝑐3); 4
3𝑥2𝑦4 ∙
9
8𝑥3𝑦5.
b. −4𝑥3𝑦2 ∙ (−7𝑦5); 5
36𝑎2𝑏5 ∙
16
75𝑎4𝑏3; −
7
8𝑥3𝑦5𝑧4 ∙ (−
24
21𝑥2𝑦4𝑧2).
c. 𝑎(𝑎 − 𝑏); 2𝑎(3𝑎 + 2𝑏); 5𝑥2(𝑥 − 4); 2𝑥(𝑥2 − 4𝑥 + 3).
d. 4𝑥(𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 4); 1
2𝑥2 (
4
3𝑥 −
6
5); 3𝑎𝑏2(𝑎 − 𝑏).
e. (𝑎 − 2𝑏) ∙ (2𝑎 + 𝑏); (2𝑎 − 3𝑏) ∙ (3𝑎 + 2𝑏); (5𝑥𝑦2 − 1) ∙ (𝑥 + 𝑦).
f. (5𝑎 − 4𝑏) ∙ (2𝑎 + 5𝑏); (3𝑥2 − 𝑥 + 1) ∙ (2𝑥2 + 𝑥 − 5).
g. (6𝑥 − 𝑦2) ∙ (4𝑥2 + 𝑦).
h. 3𝑥2(𝑥 + 2) − (𝑥2 + 2) ∙ (𝑥 + 1) − (𝑥2 + 1) ∙ (𝑥 + 2) + 3(𝑥 + 4) ∙ (𝑥 − 2)
szerepel a kifejezésben tört, vagy sem
algebrai egész típúsú kifejezés-nincs benne olyan tört melynek nevezője ismeretlent tartalmaz
Pl:4x+4y-1
algebrai tört kifejezés-van a nevezőben ismeretlen
Pl: 𝑥−5
𝑥+2
19
i. 2(𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 1) − 3(𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 4);
j. 3(𝑥2 − 2) ∙ (𝑥 + 3) − 4(𝑥2 − 3) ∙ (𝑥 + 2).
Nevezetes szorzatok Két tag összegének és különbségének szorzata:
(𝒂 + 𝒃) ∙ (𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
Tanuld meg: Két tag összegének és különbségének szorzata egyenlő a két tag
négyzetének különbségével.
Feladatok:
3. Végezd el a kijelölt műveleteket:
a. (𝑥 + 1) ∙ (𝑥 − 1), (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 2); (𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 3);
b. (2𝑥 − 1) ∙ (2𝑥 + 1); (3𝑥 + 2) ∙ (3𝑥 − 2); (4𝑥 + 3) ∙ (4𝑥 − 3).
c. (2𝑥 − 𝑦) ∙ (2𝑥 + 𝑦); (2𝑥 + 3𝑦) ∙ (2𝑥 − 3𝑦); (3𝑥 + 4𝑦) ∙ (3𝑥 − 4𝑦).
d. (5𝑎 − 4𝑏) ∙ (5𝑎 + 4𝑏); (6𝑎 + 4𝑏) ∙ (6𝑎 − 4𝑏); (7𝑎 + 8𝑏) ∙ (7𝑎 − 8𝑏).
e. (1
2+ 𝑥) ∙ (
1
2− 𝑥); (2𝑥 −
2
3𝑦) ∙ (2𝑥 +
2
3𝑦); (
2
5𝑥 +
3
7𝑦) ∙ (
2
5𝑥 −
3
7𝑦).
f. (𝑥2 − 2) ∙ (𝑥2 + 2); (2𝑥2 − 3𝑦3) ∙ (2𝑥2 + 3𝑦3); (2𝑥2𝑦 − 3𝑥4) ∙ (2𝑥2𝑦 + 3𝑥4)
4. Írd fel két tényezős szorzat alakban:
a. 𝑥2 − 1; 𝑥2 − 4; 𝑥2 − 9; 𝑥2 − 16; 𝑥2 − 25; 𝑥2 −1
4.
b. 4𝑎2 − 9; 𝑎2 − 16𝑏2; 36𝑎2 − 81𝑏2; 4
9𝑎2 −
25
49𝑏2.
Két tag összegének négyzete:
(𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
Tanuld meg: Két tag összegének négyzete egy háromtagú összeg, amelynek
tagjai:
az első tag négyzete
a két tag szorzatának kétszerese
a második tag négyzete.
Két tag különbségének négyzete:
(𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
Feladatok:
5. Végezd el a kijelölt műveleteket:
a. (𝑥 + 1)2; (𝑥 + 2)2; (𝑥 − 3)2; (𝑥 − 4)2; (𝑥 − 𝑦)2.
b. (2𝑥 + 6)2; (3𝑥 − 2𝑦)2; (4𝑎 + 3𝑏)2; (5𝑥 − 4𝑦)2.
c. (1
2𝑥 + 2)
2
; (4
5𝑥 +
3
2𝑦)
2
; (2
7𝑥 −
3
4𝑦)
2
; (5
2𝑥 −
3
4𝑦) .2
20
d. (𝑥2 + 2)2; (𝑥2 − 𝑦3)2; (2𝑥2 + 3𝑦2)2; (4𝑥𝑦3 − 3𝑥2𝑦5)2.
e. (1
3𝑥 −
5
2𝑦2)
2
; (9
4𝑥3𝑦4 +
2
3𝑥2𝑦3)
2
.
6. Melyik kéttagú kifejezés négyzete?
a. 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2; 𝑥2 − 2𝑥 + 1; 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2; 𝑝2 − 6𝑝 + 9.
b. 𝑥2 − 10𝑥 + 25, 𝑥2 − 8𝑥𝑦 + 16𝑦2; 4𝑥2 + 4𝑥 + 1;
c. 36𝑚4 + 12𝑚2𝑛 + 𝑛2.
7. Egészítsd ki a hiányzó részeket:
a. 𝑥2 + ____ + 4 = ( )2; 𝑥2 + _______ + 9𝑦2 = ( )2.
b. 𝑎2 + ______ + 9 = ( )2; 9𝑎2 − _______ + 16 = ( )2.
c. 4𝑥2 + _______ + 16𝑦2 = ( )2
d. 𝑎2 − 4𝑎𝑏 + ______ = ( )2
8. Végezd el a kijelölt műveleteket:
a. (𝑥 + 7)2 − (2𝑥 − 3)2 + (3𝑥 + 2) ∙ (3𝑥 − 2)
b. (3𝑥 − 2𝑦)2 + (2𝑥 + 3𝑦)2 − (4𝑥 − 𝑦) ∙ (4𝑥 + 𝑦)
c. (6𝑎 − 5)2 − (3𝑎 − 2) ∙ (3𝑎 + 5)
d. (2𝑥 + 4)2 + (5𝑥 − 3)2 − (7𝑥 + 2) ∙ (7𝑥 − 2).
9. Számold ki ügyesen (számológép használata nélkül)!
19 ∙ 21; 98 ∙ 102; 47 ∙ 53; 95 ∙ 105.
10. Melyik szám nagyobb:
2357 ∙ 2363 𝑣𝑎𝑔𝑦 23602?
11. Az ábrán látható telek területe 33 cm2.
Mekkora a kerülete?
Algebrai tört. Értelmezési tartomány.
Algebrai törtnek nevezzük két polinom hányadosát.
Algebrai tört értelmezési tartománya az a legbővebb részhalmaza a valós számok
halmazának, amelyen a kijelölt műveletek elvégezhetők. Mivel 0-val nem lehet osztani,
ezért kikötést teszünk a nevező miatt: nevező nem lehet 0.
12. Hol vannak értelmezve a következő kifejezések?
𝑥−3
2;
𝑥−3
𝑥+2;
2𝑥+3
3𝑥−4;
5𝑥−5
4𝑥+2; 𝑦+6
𝑦;
3
𝑥2+1.
13. Egyszerűsítsd a következő törteket:
a. 120
360;
33
121;
154
132;
720
1440.
21
b. 𝑥4
𝑥3;
𝑥6
𝑥4;
15𝑥7
5𝑥3; −10𝑥8𝑦3
5𝑥4𝑦2.
c. 𝑥2+3𝑥
𝑥;
5𝑥4−6𝑥3
𝑥2;
8𝑥7𝑦8−5𝑥5𝑦9
𝑥5𝑦6 .
d. 𝑥2−4
𝑥+2;
𝑥2−9
𝑥+3;
𝑥+5
𝑥2−25;
𝑥−7
𝑥2−49;
2𝑥+6
4𝑥2−36.
6. FÜGGVÉNYEK
Derékszögű koordináta-rendszer:
-két egymásra merőleges számegyenes
segítségével meghatározzuk bármely pont
helyzetét a síkon.
Jelölés: P(x;y)
Az (x;y) rendezett számpárt a pont
koordinátáinak nevezzük.
Feladatok:
1. Ábrázold a koordináta-rendszerben a következő pontokat: A(1;-4), B(-3,-4), C(2;5),
D(0;4), E(3;0).
2. Add meg az ábrán lévő pontok koordinátáit!
3. Add meg az összes olyan pontot a
koordináta-rendszerben, amelyeknek:
a. első koordinátája 0;
b. második koordinátája 0;
c. első koordinátája 4;
d. második koordinátája 0.
e. a második koordináta 2-vel kisebb, mint az
első.
f. az első koordináta fele a második koordinátának.
4. Rajzold meg a koordináta-rendszerben azoknak a pontoknak a halmazát,
amelyekre:
a. 1<x<2
b. -2<y<1
c. -1<x<2 és 0≤ 𝑦 ≤ 2
d. 𝑥 ∈ [1; 2]é𝑠 𝑦 ∈ ]−∞; 1]
22
Függvény fogalma, megadása, grafikon
Legyen A és B két nem üres halmaz. Függvénynek nevezünk egy megfeleltetést, amely az
A halmaz minden eleméhez egyértelműen hozzárendeli a B halmaz egy elemét.
Jelölés: 𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑥 ↦ 𝑓(𝑥).
A a függvény értelmezési
tartománya, jelöljük még: 𝐷𝑓
B a függvény képhalmaza. A
függvényképek halmaza a
képhalmaz részhalmaza, és
értékkészletnek nevezzük, jele:
𝑅𝑓
x a változó, f(x) = y a függvény
képe x-ben, vagy a függvény
értéke x-ben.
Függvény megadása: diagrammal; értéktáblázattal; szabállyal, képlettel.
Függvény grafikonja alatt értjük az (x;f(x)) rendezett elempárok halmazát, ahol 𝑥 ∈ 𝐷𝑓.
Ha 𝐷𝑓 é𝑠 𝑅𝑓 részhalmazai a valós számok halmazának, akkor a függvény grafikonja
ábrázolható a koordináta rendszerben, az így kapott ponthalmaz a függvény képe
(grafikonja).
Feladatok:
5. Melyik függvény a következő hozzárendelések közül? A függvények esetén add
meg az értelmezési tartományt és az értékkészletet! Melyik függvény kölcsönösen
egyértelmű megfeleltetés?
a. Az iskola minden osztályához hozzárendeljük az osztályfőnököt.
b. Az iskola tanáraihoz hozzárendeljük azokat az osztályokat, amelyekben tanítanak.
c. Osztályod minden tanulójához hozzárendeljük a szeme színét.
d. Minden magyar állampolgárhoz hozzárendeljük a személyigazolványuk számát.
e. Minden könyvhöz hozzárendeljük a szerzőjüket.
f. Minden egész számhoz hozzárendeljük a szám négyzetét.
g. Minden természetes számhoz hozzárendeljük az osztóit.
h. Minden egész számhoz hozzárendeljük az egész osztóinak számát.
i. A számegyenes minden pontjához hozzárendeljük a pont koordinátáját.
6. Egy héten keresztül minden reggel 7 órakor megmértük a teraszon a
hőmérsékletet. Az eredményeket az alábbi táblázatba írtuk.
hétfő kedd szerda csütörtök péntek szombat vasárnap
19° 20° 21° 20° 17° 16° 18°
Függvényt határoz meg? Ha igen, akkor ábrázold a függvényt!
23
7. Az alábbi ábrák közül melyik függvény? Válaszodat indokold!
8. Felhasználva a függvényhez rendelt diagramokat, határozzuk meg az összes olyan
függvényt, amelynek értelmezési tartománya A={1;2} halmaz, értékkészlete pedig
B={0;4}.
9. Adott 𝑓:ℕ → ℕ, 𝑓(𝑛) 𝑙𝑒𝑔𝑦𝑒𝑛 3𝑛 szám utolsó számjegye.
a. Számítsd ki 𝑓(0); 𝑓(1);… ; 𝑓(7) értékeket.
b. Igazold, hogy 𝑓(𝑛 + 4) = 𝑓(𝑛), 𝑏á𝑟𝑚𝑒𝑙𝑦 𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚é𝑠𝑧𝑒𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑧á𝑚 𝑒𝑠𝑡é𝑛.
c. Ábrázold grafikusan a függvényt!
Lineáris függvény, meredekség, zérushely
Legyen 𝑓:ℝ → ℝ , 𝑓(𝑥) = 𝑎, 𝑎ℎ𝑜𝑙 𝑎 𝑒𝑔𝑦 á𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑ó 𝑣𝑎𝑙ó𝑠 𝑠𝑧á𝑚. Az f függvényt állandó
függvénynek nevezzük.
Példa: 𝑓(𝑥) = 2, 𝑥 ∈ ℝ . A függvény grafikonja az x
tengellyel párhuzamos egyenes.
Az 𝑓:ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 ≠ 0, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ,
függvényt elsőfokú függvénynek nevezzük.
Példa: 𝑓(𝑥) = 2𝑥, 𝑥 ∈ ℝ. Ábrázoljuk a fűggvényt!
Készítsünk értéktáblázatot: x -1 0 1 2 3 4
f(x) -2 0 2 4 6 8
1. ÁBRA
2. ÁBRA 3. ÁBRA
24
A táblázatba csak néhány
értéket tüntettünk fel. Az
1. ábrán a számítógép
segítségével „sűrítettük”
a pontokat. Arra
következtettünk, hogy a
függvény grafikonja egy
egyenes.
Megjegyzés:
Mivel az elsőfokú
függvények grafikonja
egyenes, és az egyenest
egyértelműen
meghatározza két
különböző pontja, ezért elegendő az ilyen függvények ábrázolásánál két pontot felvenni a
táblázatban.
Legyen 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 ≠ 0 függvény.
Meredekség: Az a számot a függvény meredekségének
nevezzük, azt mutatja meg, hogy ha x-et 1-gyel növeljük,
akkor a függvény érték változása a. Jelölik még m-mel (3.
ábra).
A b az egyenes és az y tengely metszéspontjának második
koordinátája. Vagyis 𝑓(0) = 𝑏 (4. ábra).
Tengelymetszeteknek nevezzük a függvény grafikonjának a
tengelyekkel való metszéspontjait.
Az x tengelyen lévő metszéspontot zérushelynek
nevezzük, mert azt az x értéket jelenti, ahol a
függvény értéke 0.
Tehát, zérushelynek nevezzük az értelmezési
tartomány azon értékeit, ahol a függvényérték 0.
Meghatározása:
megoldjuk az 𝑓(𝑥) = 0 egyenletet.
Lineáris függvényeknek nevezzük azokat,
amelyeknek grafikonja egyenes, tehát az állandó
és az elsőfokú függvényeket.
1. ÁBRA 2. ÁBRA
3. ÁBRA
4. ÁBRA
25
Feladatok:
10. Ábrázold a következő függvényeket:
a. 𝑓1: {0,1,2,3} → {−3,−2,−1,0}, 𝑓1(𝑥) = −𝑥,
b. 𝑓2: ]−∞; 0] → [0;∞[, 𝑓2(𝑥) = −𝑥,
c. 𝑓3: ℝ → ℝ, 𝑓3(𝑥) = −𝑥,
d. 𝑓4: [0; 5] → [−5; 0], 𝑓4(𝑥) = −𝑥,
e. 𝑓5: [0; 3] → {5}, 𝑓5(𝑥) = 5.
11. Adott 𝑓(𝑥) = −1
2𝑥 + 7 .
a. Mennyi a függvény értéke -4-ben?(Mit rendel a függvény -4-hez?)
b. Hol veszi fel a függvény a 14 értéket? (Mihez rendeli a függvény a 14-et?)
c. Illeszkedik-e a függvény képére az A(2;6) pont?
d. Add meg a következő pontok hiányzó koordinátáit, ha tudjuk, hogy a pontok
illeszkednek a függvény, grafikonjára! B(___;5), C(-1;____), D(0;___), E(___,0).
12. Ábrázold a következő függvényeket:
a. 𝑓1(𝑥) = 3𝑥 − 4, 𝑥 ∈ ℝ;
b. 𝑓2(𝑥) =3
4𝑥 + 1, 𝑥 ∈ ℝ,
c. 𝑓3(𝑥) = −5𝑥 + 2, 𝑥 ∈ ℝ,
d. 𝑓4(𝑥) = −2
3𝑥 + 1, 𝑥 ∈ ℝ,
e. 𝑓5(𝑥) = 𝑥 + 3, 𝑥 ∈ ℕ,
f. 𝑓6(𝑥) = −3𝑥 + 2, 𝑥 ∈ ℤ,
g. 𝑓7(𝑥) =1
3𝑥 − 2, 𝑥 ∈ [−3; 3],
h. 𝑓8(𝑥) = 2𝑥 + 3, 𝑥 ∈ [−4; 1].
13. Ábrázold a következő függvényeket. Minden esetben add meg a függvény
értékkészletét, zérushelyét (számolással), metszetét az y tengellyel.
a. 𝑓1(𝑥) = 2𝑥 − 4, 𝑥 ∈ ℤ,
b. 𝑓2(𝑥) = −𝑥 +1
2, 𝑥 ∈ [−2; 3],
c. 𝑓3(𝑥) =3
5𝑥 − 3, 𝑥 ∈ [−5,10[,
d. 𝑓4(𝑥) = −2𝑥 + 4, 𝑥 ∈ [−2; 1].
14. Ábrázold ugyanabban a koordináta rendszerben a következő függvényeket. Milyen
kapcsolatot találsz a függvények grafikonjai között?
a. 𝑓(𝑥) =1
2𝑥, 𝑔(𝑥) =
1
2𝑥 + 1, ℎ(𝑥) =
1
2𝑥 − 2.
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥, 𝑔(𝑥) = 3𝑥, ℎ(𝑥) =1
2𝑥,
c. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2, 𝑔(𝑥) = −𝑥 − 2, ℎ(𝑥) = 2(𝑥 + 2).
26
Abszolútérték-függvény. Szélsőérték.
Egy szám abszolút értéke
egyenlő a szám nullától való
távolságával.
Vagyis, egy pozitív szám
abszolútértéke önmaga, egy
negatív szám abszolút értéke pedig a szám ellentetjével egyenlő. Ezt a következőképpen
fogalmazhatjuk meg:
|𝑥| = { 𝑥, ℎ𝑎 𝑥 ≥ 0−𝑥, ℎ𝑎 𝑥 < 0
Abszolútérték-függvény:
𝑓:ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = { 𝑥, ℎ𝑎 𝑥 ≥ 0−𝑥, ℎ𝑎 𝑥 < 0
.
A függvény legkisebb értékét a függvény minimumának nevezzük. Az értelmezési tartomány
azon elemét, amelyben a függvény felveszi a minimumát, minimumhelynek nevezzük.
A függvény legnagyobb értékét a függvény maximumának nevezzük. Az értelmezési tartomány
azon elemét, amelyben a függvény felveszi a maximumát, maximumhelynek nevezzük.
Feladatok:
15. Jelöld meg a számegyenesen azokat a számokat, amelyeknek abszolút értéke
a. 2,
b. kisebb 2-nél;
c. nagyobb 1-nél;
d. 1 és 3 között van.
16. Ábrázold közös koordináta rendszerben, a valós számok halmazán értelmezett
függvényeket! Milyen kapcsolat van a függvények grafikonjai között?(Hasonlítsd össze
mindegyiket az f1 grafikonjával!)
𝑓1(𝑥) = |𝑥|,
𝑓2(𝑥) = |𝑥 − 2|,
𝑓3(𝑥) = |𝑥 + 3|,
𝑓4(𝑥) = |𝑥| + 2,
𝑓5(𝑥) = 2|𝑥|,
𝑓6(𝑥) = −|𝑥|.
17. Ábrázold a következő függvényeket. Add meg a függvények értékkészletét!
𝑓(𝑥) =1
2|𝑥 + 2| − 4, 𝑥 ∈ [−4; 3],
𝑔(𝑥) = −|𝑥 − 4| + 3, 𝑥 ∈ [−2; 8],
ℎ(𝑥) = ||𝑥 + 2| − 3|, 𝑖(𝑥) = |||𝑥 − 1| − 1| − 1|.
27
Megjegyzés:
Függvény transzformáció: az az eljárás, amely során egy függvény grafikonját egy másik
függvény grafikonjából rajzolunk meg, geometriai transzformációk segítségével (eltolás,
nyújtás, összenyomás, tükrözés).
1. Eltolás az y tengely mentén:
g( x ) = f( x ) + c
A g függvény grafikonját megkapjuk, ha az f függvény grafikonját az y tengely mentén önmagával párhuzamosan eltoljuk c egységgel, ha c > 0 akkor pozitív irányba, ha pedig c < 0, akkor negatív irányba. Az értelmezési tartomány nem változik. A mellékelt ábrán c = 2.
2. Eltolás az x tengely mentén: g( x ) = f( x - a )
A g függvény képét úgy kapjuk meg, hogy f grafikonját az x tengely mentén a-val eltoljuk, ha a>0, akkor pozitív irányba, ha pedig a < 0, akkor negatív irányba. Az eltolás után az értékkészlet változatlan marad, de az értelmezési tartomány megváltozhat. A mellékelt ábrán a= 2.
3. Tükrözés az x tengelyre: g( x ) = - f( x )
A g függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy tükrözzük az f képét az x tengelyre. Az értelmezési tartomány és a zérushelyek nem változnak.
28
4. Tükrözés az y tengelyre: g( x ) = f( - x )
A g függvény grafikonját úgy kapjuk, hogy tükrözzük az f képét az y tengelyre. A tükrözés az értelmezési tartományt megváltoztathatja, de az értékkészletet nem.
5. Nyújtás (zsugorítás) az y tengellyel
párhuzamosan: g( x ) = c f( x )
A g függvény képét megkapjuk, ha az f grafikonját y tengely irányában c- szeresére megnyújtjuk, ha c>1, illetve összenyomjuk, ha 0 < c < 1. A transzformáció az értelmezési tartományt nem változtatja meg, de a függvényértékek c-szeresére változnak. A zérushelyeket nem változtatja meg. A mellékelt ábrán c=1/2.
6. Nyújtás (zsugorítás) az x tengellyel
párhuzamosan: g( x ) = f( ax )
A g(x) = f(ax) függvény grafikonját az f függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy az f képét az x tengely irányában 1/a- szeresére megnyújtjuk, ha 0 < a < 1, illetve összenyomjuk, ha a > 1. A transzformáció az értékkészletet nem változtatja meg. Az eredeti görbe és az y tengely metszéspontja helyben marad. A mellékelt ábrán a = 2.
7.
A g függvény grafikonja az f grafikonjából úgy állítható elő, hogy ott ahol az f értéke pozitív, azt a görbe darabot változatlanul hagyjuk, azt a részt pedig ahol az f értéke negatív, azt tükrözzük az x tengelyre.
29
8.
f grafikonjából g úgy állítható elő, hogy az x ≥ 0 értékekhez tartozó részt tükrözzük az y tengelyre, az x<0 értékekhez tartozó görberészt elhagyjuk.
Feladatok:
18. Ábrázold és jellemezd a következő, a valós számok halmazán értelmezett
függvényeket!
𝑓(𝑥) = |𝑥 + 1| − 2,
𝑔(𝑥) = 3|𝑥 − 2| + 1,
ℎ(𝑥) = −|𝑥| + 4,
𝑖(𝑥) = −|𝑥 + 3| + 5,
𝑗(𝑥) = −3|𝑥 − 2| + 1.
19. Melyik függvény grafikonját látod az alábbi ábrákon?
1. ÁBRA
2. ÁBRA
3. ÁBRA
4. ÁBRA
30
Másodfokú függvény.
𝑓:ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥2.
A függvény grafikonja:
parabola
Függvények monotonitása:
Egy függvényt szigorúan monoton növekvőnek nevezünk egy halmazon, ha a változók
növekedéséből következik a függvényértékek növekedése.
Egy függvényt szigorúan monoton csökkenőnek nevezünk egy halmazon, ha a változók
növekedéséből következik a függvényértékek csökkenése.
5. ÁBRA 6. ÁBRA
1. SZIGORÚAN MONOTON NÖVEKVŐ 2. SZIGORÚAN MONOTON CSÖKKENŐ
31
Feladatok: 20. Add meg: 𝐷𝑓 , 𝑅𝑓 , 𝑠𝑧é𝑙𝑠őé𝑟𝑡é𝑘𝑒𝑘,𝑚𝑒𝑛𝑒𝑡𝑒, zérushelyek.
21. Adott az 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2 − 2 függvény. a. Hol veszi fel a függvény a 2 értéket? b. Mennyi a függvény értéke 3-ban?
22. Ábrázold és jellemezd a következő, a valós számok halmazán értelmezett
függvényeket! Zérushelyeknek csak a száma érdekel, vagyis mennyi van!
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2, ℎ(𝑥) = 2𝑥2.
b. 𝑓(𝑥) = −𝑥2, 𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 1, ℎ(𝑥) = −3𝑥2.
c. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)2, 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)2, ℎ(𝑥) = 2(𝑥 + 3)2.
d. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)2 − 1, 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1, ℎ(𝑥) = 3(𝑥 − 1)2 − 4.
e. 𝑓(𝑥) = −1
2(𝑥 + 5)2+4, 𝑔(𝑥) = −2(𝑥 + 3)2 + 1.
23. Ábrázold és jellemezd (értékkészlet, szélsőérték, menete szempontjából) a következő
függvényeket:
a. 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 − 4)2 − 3, 𝑥 ∈ [2; 5],
b. 𝑔(𝑥) = −(𝑥 + 2)2 + 3, 𝑥 ∈ [−3; 0],
c. ℎ(𝑥) = |1
2(𝑥 + 1)2 − 2| , 𝑥 ∈ [−5; 3],
d. 𝑖(𝑥) = |𝑥2 − 2|, 𝑥 ∈ ℝ.
24. Melyik függvény grafikonját látod az alábbi ábrákon?
1. ÁBRA 2. ÁBRA 3. ÁBRA
32
7. GEOMETRIA
Alapfogalmak: Jelölés:
pont A, B, C,…
egyenes d, a, e,…
sík S, S1,…
illeszkedés 𝐴 ∈ 𝑑, 𝐵 ∉ 𝑑
Tapasztalat alapján igaznak fogadjuk el a következő állításokat (axiómák):
Az egyenes pontok halmaza.
Két különböző pontra egyetlen egyenes illeszkedik.
Egy egyenesre és egy rá nem illeszkedő pontra egyetlen sík fektethető.
Két metsző egyenesre egyetlen sík fektethető.
Mesélő ábrák
Egy adott pontra egyetlen egyenes illeszkedik,
amelyik párhuzamos az adott egyenessel.
SZÖGEK
AB=d
AB félegyenes
33
Csúcsszögek:nagyságuk egyenlő
Párhuzamos szárú szögek: száraik
párhuzamosak
34
Tétel: A párhuzamos szárú szögek nagysága egyenlő, ha mindkettő hegyes vagy tompaszög,
és kiegészítőszögek, ha az egyik hegyesszög a másik pedig tompaszög.
Merőleges szárú szögek: száraik páronként merőlegesek.
Tétel: A merőleges szárú szögek nagysága egyenlő, ha mindkettő hegyes vagy tompaszög, és
kiegészítő szögek, ha egyik tompaszög, a másik pedig hegyesszög.
Feladatok: 1. Egy egyenes 5 különböző pontja hány részre osztja az egyenest? Hány szakaszt
határoznak meg?
2. A 42 cm hosszú AB szakaszt a C pont A-tól kezdve 2:5 arányban, a D pont pedig 3:4
arányban osztja. Számítsd ki a C és D pont távolságát.
3. Az AB szakasz 30 cm hosszú, a BC szakasz hossza 2 dm. Mekkora az AB és az AC
szakaszok felezőpontjainak távolsága? Gondold át, hogy hány eset lehetséges! Készíts
ábrát!
4. Micimackó, Vuk és Csibész otthona egy egyenes út mentén található. Micimackó 1,4 km-re lakik Vuktól, Csibész és Vuk 600 m-re lakik egymástól. Milyen távolságra lehet Csibész és Micimackó?
5. Az AB és BC szakaszok közös része a CB szakasz. Mekkora az AD szakasz, ha AB = 10 cm, CD = 12 cm és CB = 4 cm?
6. Adott 4 kollineáris pont A,B,C,D. Add meg a 4 pont sorrendjét, ha AB=3, AD=4, AC=5 és BD=CD=1!
7. Egy egyenesen adott egy O pont és 4 szakasz, úgy hogy OA = OB = 5 cm, AD=BC=3 cm. Add meg a CD szakasz hosszát!
8. Az ábrán az 𝛼 = 32°15′ . Mekkora a többi jelölt szög? Indokold meg minden esetben állításodat! Van-e az ábrán az adott szögekkel egyenlő szög? Ha igen, melyik és miért?
9. Az 𝛼 = 23°14′. Mekkora a szög potszöge? 10. Az 𝛼 é𝑠 𝛽 szögek mellékszögek. Mekkorák a szögek, ha 𝛼
szög 24° -kal nagyobb, mint 𝛽? 11. Egy szög háromszor akkora, mint a mellékszöge. Mekkora a
szög? 12. Mekkora szöget zár be az óra két mutatója
a. 3 órakor; b. 7 órakor; c. fél nyolckor.
35
13. Négy szög együtt egyenesszöget alkot, továbbá mindegyik szög az előzőnél 10°-kal
nagyobb. Számítsd ki a szögek nagyságát.
14. Rajzolj két merőleges szárú szöget, úgy hogy mindkettő legyen tompaszögű! Mit tudsz mondani a két szög nagyságáról?
15. Két merőleges szárú szög közül az egyik 45°-os , a másik tompaszög. Mekkora a tompaszög? Készíts ábrát!
16. Öt szög együtt teljesszöget alkot (360°-os szög). Mindegyik szög az előzőnél 15°-kal nagyobb. Számítsuk ki a legkisebb szög nagyságát!
PONTHALMAZOK
Tétel: A szakasz felező merőlegesének minden pontja
egyenlő távolságra van a szakasz két végpontjától, és
fordítva, ha egy pont egyenlő távolságra van egy szakasz
két végpontjától, akkor rajta van a szakasz felező
merőlegesén.
Tétel: Egy szög szögfelezőjének pontjai egyenlő
távolságra vannak a szög száraitól, és fordítva, ha egy
pont egyenlő távolságra van a szög száraitól, akkor rajta
van a szögfelezőn.
FELADATOK
1. Add meg egy d egyenestől 2 cm távolságra lévő pontok halmazát. 2. Add meg egy d egyenestől legfeljebb 2 cm távolságra lévő pontok halmazát. 3. Add meg egy d egyenestől legalább 2 cm távolságra lévő pontok halmazát.
SZAKASZ FELEZŐ MERŐLEGESE
SZÖGFELEZŐ
36
4. Adott három pont a síkon. Add meg a három ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmazát. Van-e olyan eset, amikor üres halmazt kapsz?
5. Adott két egyenes, a és b. Add meg a két egyenestől 2 cm távolságra lévő pontok halmazát.
6. Adott két egymásra merőleges egyenes. Add meg a két egyenestől legfeljebb 2 cm távolságra lévő pontok halmazát.
7. Adott két metsző egyenes. Add meg a két egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmazát.
8. Add meg egy háromszög minden oldalegyenesétől egyenlő távolságra levő pontok halmazát.
HÁROMSZÖGEK
Három nem egy egyenesre illeszkedő pont háromszöget határoz meg.
Osztályozás:
oldalak szerint
szögek szerint
Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180°.
1. HEGYESSZÖGŰ HÁROMSZÖG:
MINDEN SZÖG HEGYESSZÖG
2. DERÉKSZÖGŰ
HÁROMSZÖG: VAN
DERÉKSZÖGE
3. TOMPASZÖGŰ HÁROMSZÖG:
VAN TOMPASZÖGE
2. •EGYENLŐ SZÁRÚ
HÁROMSZÖG: VAN KÉT
EGYENLŐ OLDALUK
3. •SZABÁLYOS VAGY
EGYENLŐ OLDALÚ
HÁROMSZÖG: MINDEN
OLDAL EGYENLŐ
1. •ÁLTALÁNOS HÁROMSZÖG: AZ
OLDALAK NEM EGYENLŐK
37
A háromszög külső szögeinek nevezzük a belső
szögek mellékszögeit.
Tétel: A külső szög egyenlő a nem mellette levő két
belső szög összegével.
Tétel: A háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek
vannak.
Következmény: Az egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei
egyenlők.
Következmény: A szabályos háromszög minden belső szöge 60°.
Tétel megfordítása: Egy háromszögben egyenlő szögekkel
szemben egyenlő oldalak vannak.
Tétel: Bármely háromszögben a hosszabb oldallal szemben nagyobb szög fekszik, és fordítva.
Tétel: Háromszög egyenlőtlenség: A háromszög bármely két oldal hosszának összege nagyobb
a harmadik oldalnál.
Következmény: A háromszög bármely oldala nagyobb a másik két oldal különbségének
abszolút értékénél.
Háromszögek szerkeszthetősége: Ha a,b,c pozitív számokra teljesülnek az alábbi
egyenlőtlenségek 𝑎 + 𝑏 > 𝑐, 𝑏 + 𝑐 > 𝑎, 𝑎 + 𝑐 > 𝑏, akkor az a,b,c hosszúságú szakaszokkal
háromszög szerkeszthető.
A HÁROMSZÖG NEVEZETES VONALAI
38
Tétel: A háromszög magasságvonalai egy pontban
metszik egymást, ezt a pontot a háromszög
magasságpontjának nevezzük.
Tétel: A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik
egymást. Ez a pont a háromszög súlypontja. A
súlypont mindegyik súlyvonalat 1:2 arányban oszt
két részre, a hosszabbik rész másik végpontja a
háromszög csúcsa.
Tétel: A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban
metszik egymást. Ez a pont a háromszög köré írt kör
középpontja.
Tétel: A háromszög szögfelezői egy pontban metszik
egymást. Ez a pont a háromszögbe írt kör középpontja.
TERÜLET, KERÜLET A háromszög területe egyenlő az oldal és a hozzá tartozó magasság szorzatának felével.
A háromszög kerülete a három oldal hosszának összege.
A háromszög területét még kiszámíthatjuk, ha adott mind a három oldal hossza, a Héron
képlettel:
𝑇 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) , ahol 𝑠 =𝑎+𝑏+𝑐
2.
39
Feladatok: 1. Adott egy olyan egyenlőszárú háromszög, amelynek két 62°-os szöge van. A szára vagy
az alapja a hosszabb? 2. Mekkorák a derékszögű háromszög szögei, ha egyik külső szöge 120°? 3. Egy háromszögben két szög aránya 2:5. Ha a harmadik szög 80°, mekkorák a háromszög
szögei? 4. Mekkora a háromszög külső szögeinek összege? Állításodat indokold! 5. Egy egyenlő szárú háromszög egyik belső szöge a külső szögek összegének tizedrésze.
Mekkorák a háromszög szögei? 6. Egy háromszög szögeinek aránya 1:2:6. Mekkorák a háromszög szögei? 7. Egy háromszög oldalainak aránya 2:3:5. Mekkorák az oldalak hossza, ha a kerülete
46 cm?
8. Egy háromszög egyik szöge fele a másiknak, és ennek 3
4
része a harmadik szög. Mekkorák a háromszög szögei? 9. Az alábbi ábrán vannak-e egyenlő szögek? Ha igen,
miért? 10. Van-e olyan háromszög, amelyben a magasságpont a
háromszög egyik csúcsa? Válaszodat indokold! 11. Rajzolj egy olyan háromszöget, amelynek a
magasságpontja a háromszögen kívül van! 12. Egyenlő szárú háromszög egyik csúcsához tartozó
magassága a másik szárral 12°-kal kisebb szöget alkot, mint az alapon levő szög. Mekkorák a háromszög szögei?
13. Egy háromszög oldalaira teljesül, hogy a<b<c. A háromszög két szöge 92°és 36°. Melyik oldal fekszik a harmadik szöggel szemben?
14. Egy egyenlő szárú háromszög két oldala: a. 3 cm, 7 cm b. 4 m, 80 dm
Mekkora lehet a harmadik oldal? Melyik nagyobb szög: az alapon fekvő vagy a szár szög? 15. Melyik igaz az alábbi állítások közül? Válaszodat indokold! a. A háromszögbe írt kör középpontja a súlypont. b. Van olyan háromszög, amely esetén a beírt kör középpontja rajta van egyik magasságon. c. A szabályos háromszögben a magasságpont, a beírt kör, a körülírt kör középpontja, a
súlypont egybeesik. d. Ha két háromszög területe egyenlő, akkor a két háromszög egybevágó. e. Ha két háromszög egybevágó, akkor területük egyenlő. 16. Egy háromszög egyik oldala 1,8 m, a másik 0,7 m. Hány méter a harmadik oldal, ha
mérőszáma egész szám? 17. Egy mezőn egyenesen sétálva megteszünk 27 m-t, majd elfordulunk valamerre, és
tovább gyalogolunk 52 m-t, végül egy újabb irányváltoztatás után visszatérünk a kiindulás pontjába. Legalább mennyit kell még gyalogolnunk, ha tudjuk, hogy a távolság méterben mérve egész szám?
18. Igazold, hogy bármely háromszögben az a oldal és a b oldalhoz tartozó magasság által bezárt szög egyenlő a b oldal és az a oldalhoz tartozó magasság által bezárt szöggel.(Keress jellegzetes szögpárt.)
40
19. Egy háromszög két oldala 6 cm és 9 cm. Mekkora a 6 cm-es oldalhoz tartozó magasság, ha 9 cm-eshez 4 cm- es magasság tartozik?
20. Igazold, hogy a háromszög súlyvonala a háromszöget két olyan háromszögre bontja, amelyeknek területe egyenlő!
21. Mekkora az ABC háromszög területe, ha F és D felezési pontok, G és E negyedelő pontok? Az AGE háromszög területe 3 cm2.
22. Egy háromszög oldalai 4 cm, 7 cm és 9 cm hosszúak. Mekkora a területe? Ki tudod számítani a beírható kör sugarát? (kösd össze a beírható kör középpontját a csúcsokkal, így a háromszöget felbontottad 3 kisebb háromszögre.) Fogalmazd meg általánosan az eredményt!
NÉGYSZÖGEK
Trapéz: olyan négyszög, amelynek van párhuzamos
oldalpárja.
Tulajdonság: A trapéz ugyanazon a száron fekvő szögei
kiegészítő szögek.
Húrtrapéz: van szimmetria tengelye (az alapokra merőleges
egyenes).
A húrtrapéz szárai egyenlők.
A húrtrapéz alapon fekvő szögei egyenlők.
41
Sajátos trapézok
Paralelogramma: olyan trapéz, amelyben a szemközti
oldalak párhuzamosak.
Tétel:Paralelogramma tulajdonságai:
szemközti oldalai egyenlők;
szemközti szögei egyenlők;
egymás melletti szögek kiegészítő szögek;
átlók felezik egymást.
Fordított tétel: Ha egy négyszögben valamelyik az alábbi tulajdonságokból teljesül,
a szemközti oldalak párhúzamosak; a szemközti szögek egyenlők; egymás melletti szögek kiegészítő szögek; szemközti oldalak egyenlők, két szemközti oldal egyenlő és párhúzamos; átlók felezik egymást
akkor a négyszög paralelogramma.
Téglalap: Olyan paralelogramma, amelynek van egy
derékszöge.
Tehát a téglalap rendelkezik a paralelogramma minden
tulajdonságával. Sorold fel őket!
Plusz tulajdonság: A téglalap átlói egyenlők.
42
Rombusz: A rombusz olyan paralelogramma, amelynek két szomszédos
oldala egyenlő.
A rombusz rendelkezik a paralelogramma minden tulajdonságával.
Sorold fel őket!
Plusz tulajdonság: A rombusz átlói merőlegesek egymásra és felezik a
szögeket .
Négyzet: − olyan téglalap,amelynek szomszédos oldalai egyenlők.
− olyan rombusz amelynek van egy derékszöge.
A négyzet rendelkezik a téglalap és a rombusz tulajdonságaival.
Sorold fel őket!
Deltoid
A deltoid olyan négyszög, amelynek két-két szomszédos oldala egyenlő.
A négyszögek osztályozása:
43
TERÜLETEK
Feladatok: 1. Melyik állítás igaz és miért?
a. Minden paralelogramma trapéz.
b. Van olyan trapéz, ami deltoid.
c. Minden deltoid paralelogramma.
d. Ha egy négyszög szemközti szögei egyenlők, akkor a négyszög paralelogramma.
e. Van olyan rombusz, amelynek egyik átlója egyenlő az oldal hosszával.
2. Egy trapéz szemközti szögei 68°és 105°. Mekkora a másik két szög?
3. Egy trapéz két szöge 72°és 118°. Mekkora a másik két szög?
4. Egy derékszögű trapéz derékszögű szára 8 cm. Ha egyik alapja 18 cm és egyik szöge
45°, mekkora a trapéz másik két oldala?
5. Egy paralelogramma egyik szöge a mellette lévő szög háromötöde. Mekkorák a
paralelogramma szögei?
6. Egy rombusz egyik átlója az oldallal 24°-os szöget zár be. Mekkorák a rombusz szögei?
7. Hány fokosak a paralelogramma belső szögei, ha egyik belső szöge egyenlő egy másik
belső szög kétharmadával?
8. Mekkora egy négyzet oldala, ha területe egyenlő a 16 cm és 9 cm oldalú téglalap
területével?
9. Egy téglalap alakú kert kerülete 50 m. oldalainak aránya 2:3. Mekkora a kert területe?
10. Egy paralelogramma két oldala 5 cm és 8 cm, a rövidebb oldalhoz tartozó magassága
6 cm. Mekkora a másik magasság?
44
11. A mellékelt ábrán egy vasúti töltés
keresztmetszete látható. Mekkora a területe, ha
az adatok méterben adottak?
12. Egy 60 cm és egy 80 cm hosszú pálcika
segítségével (átlók) deltoid alakú sárkányt
készítünk. Mekkora lesz a sárkány területe?
13. Egy négyzet oldalát 5 cm–el megnöveljük, így területe 625 cm2. Mekkora volt az eredeti
négyzet oldala?
14. Egy trapéz magassága 5,4 cm, alapjainak arány 3:5. Mekkorák az alapok, ha a területe
81 cm2?
SOKSZÖGEK. SZABÁLYOS SOKSZÖGEK
Az n-oldalú konvex sokszög átlóinak száma: 𝑛(𝑛−3)
2.
Az n-oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege:(𝑛 − 2)180°.
Szabályos sokszögek azok, amelyeknek oldalai és szögei egyenlők.
Feladatok: 1. Hány átló húzható egy konvex sokszög egy csúcsából? Igazold az átlók számára
vonatkozó képletet!
2. Igazold a konvex sokszög belső szögeinek összegére vonatkozó képletet!
3. Hány átlója van egy konvex hatszögnek, nyolcszögnek, tizenkétszögnek? Mennyi
ezeknek a sokszögeknek a belső szögeinek összege?
4. Hány átlója van annak a konvex sokszögnek, melynek belső szögeink összege 1440°?
5. Mekkorák a konvex hatszög szögei, ha azok úgy aránylanak egymáshoz, mint
1:2:3:5:6:7?
6. Mekkora a szabályos ötszög, hatszög, nyolcszög, tízszög belső szöge?
45
7. Egy szabályos sokszög egyik szöge 160°.Hány oldalú a sokszög?
GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK
Geometriai transzformációk azok a függvények, amelyeknek értelmezési tartományuk és
értékkészletük ponthalmaz.
Minden geometriai transzformáció esetén a következő tulajdonságokat nézzük:
fixpont létezése (olyan pont, amelynek képe önmaga)
invariáns alakzatok (olyan alakzatok, amelyeknek pontjai nem fix pontok, de az alakzat
képe önmaga)
egyenestartó (egyenes képe egyenes)
távolságtartó (szakasz és képének hossza megegyezik)
szögtartó (szög és képének nagysága ugyanaz)
Tengelyes tükrözés: az a geometriai transzformáció,
amely
a sík egy t egyenesének minden pontjához
önmagát rendeli,
és a sík t-re nem illeszkedő P pontjához
hozzárendeli a P’ pontot, úgy hogy a PP’ szakaszt
a t egyenes merőlegesen felezze.
Középpontos tükrözés: (a fenti definíció mintájával és a mellékelt
ábra alapján próbáld meg te megfogalmazni, hogy mit nevezünk
középpontos tükrözésnek).
Pont körüli forgatás: Adott a sík egy O pontja és nagyságával és
irányával egy ∝ szög.
Pont körüli forgatásnak nevezzük azt a geometriai
transzformációt, amely
az O ponthoz önmagát rendeli
a sík minden más A pontjához hozzárendeli azt az A’
pontot, amelyre OA=OA’ és AOA’∢ nagysága és iránya az
elforgatás szögével (𝛼) egyezik meg.
Feladat: Milyen tulajdonsággal rendelkeznek a fenti transzformációk? Miért nevezzük őket
egybevágósági transzformációknak?
Egy alakzatot szimmetrikusnak nevezünk, ha van olyan geometriai transzformáció, amelynél
az alakzat képe önmaga.
46
Feladatok:
1. Tükrözz egy háromszöget egyik oldalegyenesére, egyik csúcsára!
2. Tükrözz egy háromszöget egyik oldalának felezőpontjára. A két háromszög együtt
milyen síkidomot határoz meg? Válaszodat indokold!
3. Szerkessz egyenlőszárú háromszöget, ha adott a szimmetria tengelye és azon levő
csúcsa, és a másik két csúcson áthaladó egy-egy egyenes!
4. Adott egy konvex szög és szárai között egy pont. Szerkessz olyan egyenest, amely
átmegy a ponton úgy, hogy a pont a szög szárai közötti szakaszt felezi.
5. A derékszögű koordinátarendszerben egy paralelogramma két szomszédos csúcsa
A(-2,5), B(-4, -2). Határozd meg a másik két csúcs koordinátáit, ha tudjuk, hogy a
paralelogramma átlói az origóban metszik egymást.
6. A derékszögű koordináta rendszerben egy háromszög csúcsai A(-1, 1), B(4,3), C( -3, 5).
Forgasd el a háromszöget az origó körül – 90°-kal. Add meg a képháromszög csúcsainak
koordinátáit.
7. Két vagy több geometriai transzformáció egymás utáni elvégzését a transzformációk
szorzatának nevezzük. Legyen a koordináta síkon az f transzformáció az y tengelyre
való tükrözés, a g transzformáció pedig a K(2;1) pontra tükrözés. Adottak az A(2,4),
B (- 1;2) pontok. Adjuk meg a pontok képét a következő transzformációk után:
a. f b. g c. fg d. gf
Mit tapasztaltál az utolsó két transzformáció esetén?
8. Nevezz meg egy olyan síkbéli alakzatot, amelynek végtelen sok szimmetria tengelye
van.
9. Milyen szimmetriákkal rendelkezik egy szabályos sokszög? Vegyél először egy
szabályos 5 szöget, majd egy szabályos 6 szöget. Tudnál általánosítani?
10. Melyek a tengelyesen szimmetrikus négyszögek?
11. Van középpontosan szimmetrikus háromszög?
12. Melyek a középpontosan szimmetrikus
négyszögek?
13. Milyen szimmetriákkal rendelkezik a mellékelt
ábra?
14. Ketten felváltva tesznek egy téglalap alakú asztalra
egy-egy tíz forintost mindaddig, amíg már nem fér
rá több. Az érmék legfeljebb csak érintkeznek, nem
fedik egymást. Az nyer, aki az utolsó forintost teszi
az asztalra. Igaz-e, hogy mindig a kezdő játékos
nyer, ha okosan játszik?
47
15. A mellékelt ábrán egy
biliárdasztal látható. Milyen
irányban kell ellökni az E golyót,
hogy a BC oldalról
visszapattanva (más oldalt nem
érintve) eltalálja az F golyót? Adj
szerkesztési eljárást!
8. EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK
Értelmezhetjük az egyenleteket úgy, hogy az egyenlőség két oldalán egy-egy függvény áll. Az
egyenlet értelmezési tartománya vagy alaphalmaza a két függvény értelmezési
tartományának közös része (metszete).
Az egyenlet megoldásának vagy gyökének nevezzük az alaphalmaz azon elemeit, amelyeknél
a két függvény azonos értékeket vesz fel. Azt szoktuk mondani, hogy az egyenlet gyöke az az
eleme az alaphalmaznak, amely kielégíti az egyenletet.
Ha az egyenletet az alaphalmaz minden eleme kielégít, akkor az egyenletet azonosságnak
nevezzük.
MEGOLDÁSI MÓDSZEREK
I. Grafikus megoldási módszer Az egyenlet értelmezéséből adódik ez a módszer. Ábrázoljuk közös koordináta rendszerben az
egyenlet két oldalán álló függvényt és keressük az alaphalmaz azon elemeit, amelyek a két
függvény metszéspontjainak első koordinátái.
Előnye a módszernek, hogy akkor is alkalmazhatjuk, ha algebrai módszerekkel nem tudjuk
megoldani az egyenletet.
Hátránya a módszernek, hogy a pontatlan ábrázolás miatt nem lehetünk biztosak a gyökök
pontos leolvasásában. A leolvasott eredményeket mindig ellenőrizni kell. Általában arra
használjuk a módszert, hogy megmondjuk a gyökök számát, esetleg megadunk intervallumot,
amelyben vannak.
48
Példa: Oldjuk meg grafikusan:
|𝑥 − 2| = 4𝑥 − 11
II. A mérlegelv Néha hasznos, ha a megoldás előtt az egyenleteket rendezzük. A rendezésnél figyelnünk kell,
arra, hogy az átalakított egyenletnek pontosan azok a gyökei legyenek, mint az eredeti
egyenletnek. Ezeket az átalakításokat ekvivalens átalakításoknak, az egyenleteket pedig
ekvivalens egyenleteknek nevezzük.
A mérleg elvet használjuk az egyenletek rendezésénél. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet gyöki
nem változnak, ha:
az egyenlet mindkét oldalához hozzáadjuk, vagy kivonjuk ugyanazt a számot
az egyenlet mindkét oldalát szorozzuk, vagy osztjuk ugyanazzal a 0-tól különböző
számmal
Figyelem: Ne szorozzuk, osszuk az egyenletet ismeretlennel. Szorzás esetén hamis gyököt
kaphatunk, osztás esetén gyököt veszíthetünk.
Megjegyzés: Egyenlőtlenség esetén hasonlóan járunk el azzal a különbséggel, hogy ha negatív
számmal szorzunk egy egyenlőtlenséget, akkor az egyenlőtlenség iránya megváltozik.
Feladatok: 1. Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket:
a. 𝑥2 − 3 = 𝑥 − 1
b. 𝑥2 − 1 = |𝑥 + 1|
c. 𝑥2 − 1 = −|𝑥 − 2| + 1
d. (𝑥 + 3)2 = 𝑥 + 5
e. (𝑥 − 3)2 + 1 = −|𝑥 − 1| + 1
2. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán:
a. 5(𝑥 + 19 − 7 = 3(𝑥 − 2) − 4,
b. 3(𝑥 − 4) − 2(𝑥 + 2) = 4,
c. 4(x+5)-(3x-6)=3x+2,
d. 𝑥−1
2−𝑥−2
3=1
6,
e. 2𝑥−1
3−5−2𝑥
2+𝑥
4= 13 − 6𝑥,
f. 𝑥+4
4−2𝑥−1
6=𝑥+12
8− 5 + 𝑥,
g. 7−𝑥
11+2𝑥−14
3=3+𝑥
10−𝑥−6
2−
𝑥
14,
h. 2𝑥+3
5+5𝑥−4
3− 2 = 0,
49
i. 𝑥+1
2+𝑥+3
9=1
6,
j. 3𝑦+1
12−5𝑦−1
6=𝑦+5
4− 2,
k. 13+𝑥
7+3𝑥−16
3= 𝑥 +
10
3,
l. (𝑥 + 1)(𝑥 + 3) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 2) + 11,
m. (𝑥 + 2)(2𝑥 − 1) − 13 = (2𝑥 + 1)(𝑥 − 3),
n. (𝑥 + 1)2 + (𝑥 − 3)2 = (𝑥 − 1)2 + (𝑥 + 3)2,
o. (3𝑥 + 2)2 + (4𝑥 − 1)2 = (5𝑥 + 7)2,
p. (2𝑥 − 3)(2𝑥 + 3) − (2𝑥 − 5)2 = 𝑥 + 3.
3. Oldd meg az egyenletet:12𝑥̅̅ ̅̅ ̅ + 1𝑥2̅̅ ̅̅ ̅ + 𝑥12̅̅ ̅̅ ̅ = 1011.
4. Oldd meg az egyenleteket:
a. 𝑥−1
1000+𝑥−2
999+⋯+
𝑥−1000
1= 1000,
Segítség: Írd az egyenletet a következőképpen:
(𝑥 − 1
1000− 1) + (
𝑥 − 2
999− 1) +⋯+ (
𝑥 − 1000
1− 1) = 0
b. 𝑥−1
2+𝑥−2
3+⋯+
𝑥−2014
2015+ 2014 = 0.
5. Oldd meg az egyenlőtlenségeket. A megoldásokat intervallum formában add meg.
a. 1
2𝑥 −
1
3𝑥 <
1
4𝑥 −
1
6,
b. 𝑥+1
3−1
2≥𝑥
6,
c. 𝑥
2−𝑥
3+ 2 ≤
𝑥
6+1
5,
d. 𝑥−2
5−𝑥+3
4<𝑥−1
2−𝑥+2
6,
e. 2𝑥
3−3𝑥+2
4+ 𝑥 > −
𝑥−1
2+4𝑥
3,
f. (𝑥 − 1)2 + 7 ≥ (𝑥 + 4)2,
g. (𝑥 − 2)2 + 2𝑥 + 1 ≥ (𝑥 + 2)2 + 10,
h. 2(𝑥 − 1)2 − 7 ≥ (𝑥 − 2)2 + (𝑥 + 3)2,
i. 2
𝑥+3< 0,
j. 3
2𝑥−5≤ 0,
k. −4
5−3𝑥> 0,
l. 𝑥−2
𝑥+3≥ 0,
m. 𝑥+5
3−2𝑥< 0,
n. 𝑥−6
7−2𝑥≥ 0,
o. 𝑥−5
𝑥+2≤ 0,
50
SZÖVEGES FELADATOK A szöveges feladatok megoldásánál a következőkre figyelj:
értelmezd a szöveget,
válaszd meg az ismeretlent, vagy ismeretleneket,
szöveg alapján írj fel egyenletet,
oldd meg az egyenletet,
ellenőrizd a kapott eredményt a szöveg alapján,
adj szöveges választ.
Feladatok:
1. Osszuk 84-et két részre, úgy, hogy arányuk 4
3 legyen.
2. Daninak nyulai és galambjai vannak az udvaron. Kati megkérdezte, hogy hány nyula és
hány galambja van. Dani azt mondta, hogy állatainak 15 fejük és 34 lábuk van. Meg
tudja –e ebből Kati az állatok számát?
3. Sárkány országban 2 és 3 fejű, 2 lábú sárkányok élnek. A farsangi bálon a ceremónia mester, aki szerette a matematikát, összesen 81 fejet és 66 lábat számolt össze. Megkérte a gazdáját, hogy számítsa ki, hogy hány kétfejű és hány háromfejű sárkány volt a bálon. Vajon hogy oldotta meg a feladatot?
4. Egy tanyán háromféle állatot tartanak - nyulat, kecskét és libát. A kecskék száma feleannyi, mint a nyulaké, akik viszont 15-tel kevesebben vannak, mint a libák.
a. Hány állat van a tanyán, ha 18 nyúl van? b. Hány nyúl van, ha a tanyán lévő állatoknak összesen 190 lábuk van?
5. Anna és Bea pénzének aránya 3:5. Ha Bea ad Annának 500 Ft-ot, akkor az arány2:3 lesz. Mennyi pénzük volt eredetileg?
6. Dani 3 nap alatt elolvasott 331 lapot egy könyvből. A második nap 10%-kal többet
olvasott, mint az első nap, a harmadik nap pedig 10%-kal többet, mint a második nap.
Hány oldalt olvasott a harmadik nap?
7. Három ládába összesen 460 alma van. Az első ládában lévő almák száma a második
ládában levő almák 3
4-e. A harmadik ládában 1
1
2-szer több alma van, mint az elsőben.
Hány alma van mindegyik ládában?
8. Dani elköltötte zsebpénzének 2
7− 𝑡 füzetekre, 320 Ft-ért vett egy golyóstollat. Mennyi
pénze volt, ha vásárlás után még a pénze egyharmada volt meg?
9. Dani elköltötte pénzének 3
5-ét, majd a maradék
3
4-ét és még 340 Ft-ot. Mennyi pénze
volt, ha 140 Ft-ja maradt?
10. Hány óra van, ha a mai napból az eltelt idő 5
3-a maradt még nap végéig?
11. Egy anyuka és két gyermeke életkorainak összege 60 év. Hány évesek, ha Dani
háromszor olyan idős, mint Gabi, az anyuka pedig kétszer annyi, mint gyerekei együtt?
12. Dani most 4 éves, apja 28. Hány év múlva lesz az apa életkora kétszerese a Dani
életkorának?
13. Egy matek versenyen 10 feladatot kellet megoldani. Minden jól megoldott feladatért
5 pont járt, és minden nem megoldott feladatért levontak 3 pontot. Dani hány
feladatot oldott meg jól, ha 34 pontja volt?
51
14. Egy iskola sport csarnokában, ha minden padban 5-en ülnének, akkor még kéne 8 pad,
ha pedig minden padban 6-an ülnének, akkor 2 pad üresen marad. Hány pad volt a
teremben és hány tanulója volt az iskolának?
15. Év elején egy osztály 3
7-e lány volt. Évközben jött még 4 lány, ekkor az osztály fele volt
lány. Hányan voltak az osztályban az év elején?
16. Egy kertet 4 nap alatt kerítettek be. Az első nap elhasználták a drót 1
3-t és még 90 m-t.
Második nap a maradék 1
3-t és még 60 m-t. A harmadik nap a maradék
1
3-t és még
20 m- t. A negyedik napra 40 m maradt. Hány méter drótot használtak?
17. Egy kamionba 330 db fenyő és tölgydeszkát raktak fel. A tölgydeszkák súlya 220 kg-mal
kevesebb, mint a fenyődeszkák súlya. Tudva azt, hogy egy fenyődeszka súlya 5,6 kg a
tölgydeszka súlya 9,2 kg, hány darab fenyődeszkát raktak a kamionba?
18. Egy kétjegyű számban a tízes helyiértéken álló szám négyszer nagyobb, mint az
egyesek száma. Ha a számból kivonunk 54-et, akkor a számjegyek felcserélődnek.
Melyik ez a szám?
19. Egy szállodában 88 darab két és háromágyas szoba van. Hány két és háromágyas szoba
van a szállodában, ha összesen 198 férőhely van?
20. Két autó egy időben és helyről indul ellentétes irányba. 4 óra múlva 580 km-re lesznek
egymástól. Mekkora a sebessége a két autónak, ha egyik sebessége 13 km/h-val
nagyobb?
21. Egy munkát egy asztalos 30 óra alatt fejez be. A munka hányad részét végzi el 1 óra
alatt?
22. Egy munkát egy munkás 4 óra alatt végez el, egy másik pedig 6 óra alatt. Hány óra alatt
végzik el együtt a munkát?
23. Dani egy munkát 8 óra alatt, Gabi pedig 12 óra alatt végezné el egyedül.
a. Ha reggel 9 órakor együtt kezdik a munkát, akkor, mikor fejezik be?
b. Mikor lesz készen Gabi a munkával, ha 9 órakor együtt kezdenek, de Dani csak
4 órát dolgozik?
52
9. ARANY DÁNIEL MATEMATIKAI TANULÓVERSENY
1. Az a, b pozitív valós számokra az 𝑎 + 𝑏, 𝑎 − 𝑏, 𝑎𝑏, é𝑠𝑎
𝑏 kifejezések értéke növekvő
sorrendben1
4,3
4,4
3, é𝑠
7
4.. Melyik ez a két szám? 2013/2014
2. Az ABC háromszögben a B csúcsnál lévő szög 60°-os. Az A csúcshoz tartozó belső
szögfelezőt a C csúcshoz tartozó belső, illetve külső szögfelező rendre az E, illetve F pontban
metszi. Mekkora az EC és az FE szakaszok hosszának aránya? 2013/2014
3. Az a és b nullától különböző valós számokra teljesül az alábbi összefüggés:
𝑎3 + (3𝑎2 + 1)𝑏 + (3𝑏2 + 1)𝑎 + 𝑏3 = 0
Mennyi lehet az 𝑎
𝑏 hányados értéke? 2012/2013
4. A 2011, 2012, 2013,2014 számok közül melyek írhatók fel kettő vagy több egymást
követő pozitív páratlan szám összegeként? 2012/2013
5. Hány olyan különböző (egymással nem egybevágó) háromszög van, amelynek két
oldala 2 cm és 7 cm hosszúságú, és a harmadik oldalhoz tartozó súlyvonal cm-ben vett
mérőszáma is egész szám? 2012/2013
6. Egy esküvői vacsorán egy hat fős asztaltársaság tagjai közül néhányan ismerik egymást.
A násznagy megkérdezi az asztaltársaság tagjait, hogy hány személyt ismernek az asztalnál
ülők közül. Az első öt válaszadó által kimondott öt szám mindegyike különbözik egymástól.
Hány embert ismerhet a hatodik személy az asztalnál ülők közül? (Az ismeretségeket
kölcsönösnek tételezzük fel.) 2012/2013
7. Milyen arányban osztják az ABCDEF szabályos hatszög AC és BF átlói egymást?
2011/2012
8. Az N pozitív egész szám pozitív osztóinak a szorzata 3595. Határozzuk meg az N szám
utolsó számjegyét! 2011/2012
9. .Mely x és y pozitív egész számokra igaz az alábbi egyenlőség?
𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑥 − 6𝑦 − 25 = 0 2011/2012
10. Hány olyan hatjegyű természetes szám van, amelynek 2011-gyel való osztási maradéka
2010? 2010/2011
11. Az ABCDEF hatszögre igaz, hogy minden szöge 120°-os, AB oldala 2 cm, BC oldala 7 cm,
CD oldala 3 cm és DE oldala 4 cm hosszú. Milyen hosszúak az EF, illetve FA oldalak?
2010/2011
12. Hány pozitív osztója van a
(−1)0 ∙ 1 + (−1)1 ∙ 2 + (−1)2 ∙ 3 + (−1)3 ∙ 4 + ⋯+ (−1)2007 ∙ 2008 + (−1)2008 ∙ 2009
összegnek? 2009/20010
13. Igaz-e, hogy 2009 + 22010 prímszám? 2009/2010
53
IRODALOMJEGYZÉK
Fuksz Éva-Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény matematikából 9-10. évfolyam
Maxim Kiadó 2009
Juhász István, Orosz Gyula, Paróczay József, Szászné-dr. Simon Judit:Matematika 9. Az
érthető matematika Nemzeti Tankönyvkiadó 2009
Czapáry Endre, Czapáry Endréné, Csete Lajos, Hegyi Györgyné, Iványiné Harró Ágota,
Morvai Éva, Reiman István: Geometriai feladatok gyűjteménye
Nemzeti Tankönyvkiadó 2006
Árki Tamás, Konfárné Nagy Klára, Kovács István, Trembeczki Csaba, Urbán János: Sokszínű
matematika, Feladatgyűjtemény Mozaik Kiadó 2009
