• s* r w a s ^

Hajnal Imre

Matematikaifogalmak,tételekNyolcadik kiadás

P-l£:5matikai roga'nak, telol5k : h a jja l !nre :

137366

Mozaik Kiadó >> Szeged, 2000

Szerző:

HAJNAL IM R E

Lektorálták:

DR. SZENDREI JÁNOS

DR. URBÁN JÁNOS

DR. SCHARNITZKY VIKTOR

A z á b rá k a t V assné N ém eth K a ta lin k észíte tte .

Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorsítás, a inű bővített illetve rövidíletl változata kiadásának jogát is. A kiadó írásbeli engedélye nélkül

sem a teljes mű, sem annak része senimiféle formában (fotokópia, mikrofilm, vagy más hordozó) nem sokszorosítható.

MKM ENGEDÉLY SZÁM: 42.675/1993.Vin.ISBN 963 697 145 5

© COPYRIGHT MOZAIK OKTATÁSI STÚDIÓ - SZEGED, 1997

B e v e z e t é s

Ebben a könyvben összefoglaljuk és rendszerezzük a középiskolák matematika törzsanyagát, benne az egyetemi és főiskolai felvételi vizsgák elméleti anyagát. Ez a rendszerezés az egyetemi tanulmányokra készülők mellett azoknak is hasznos, akik bár nem akarnak mélyebben foglalkozni a matematikával, de világosan szeretnék látni ismereteik lényegét és töre­kednek a matematikai fogalmak, definíciók, állítások, tételek közötti logi­kai rend megértésére.

A matematikai sajátosságok, a matematikai gondolkodás elemeinek a megvilágftása és azok összefoglalása jól alkalmazható szilárd tudást nyúj­tanak. Ez elősegíti a sikeres érettségi, illetve felvételi vizsgát, amellett a mindennapok matematikájában is eligazít.

Ebben a bevezető fejezetben azokról az alapvető fogalmakról lesz szó, amelyek a matematikával való foglalkozás közben nap mint nap előfor­dulnak, de éppen a látszólagos egyszerűségük és hétköznapiságuk miatt nem szánunk kellő időt a végiggondolásukra. Ezek tudatos megértése azonban segíti azt, hogy a különböző fogalmakat ne csak azért használ­juk, mert „ezt kell megtanulnunk”, hanem saját magunktól is ráérezzünk a lényegülo^. A tanulás során ezzel nemcsak időt nyerünk, hanem egy- egy összefüggés felismerése is élményt jelent.Célunk a könyv módszerét is meghatározza. A fejezetek anyagát tömören foglaltuk össze. Az egyes anyagrészek bevezetése egy-két mondat. Arra a kérdésre, hogy mi indokolja a témával való foglalkozást és új fogalmak bevezetését, a részletes választ a tankönyvek adják meg.A könyv szerkezeti felépítését a tartalomjegyzéke világosan mutatja. Az egyes fejezetcímek meghatározzák a fejezet anyagát. így például a VII. fejezetben a függvényekkel foglalkozunk, ebben tárgyaljuk az exponen­ciális, a logaritmus és a trigonometrikus függvényeket is, holott ezek az V. illetve a XVII. fejezethez is kapcsolódnak. (Többféle kapcsolat más té­mánál is előfordulhat.)A könyv mindössze néhány megoldott feladatot tartalmaz, annyit, amennyi a fogalmak, tételelc vagy eljárások megéjtéséhez feltétlenül szükséges. Az ismeretek biztos alkalmazásához azonban kellő gyakorlat is kell, ezt további feladatok megoldásával lehet elérni.

BEVEZETES

Jelölések, olvasásuk

A matematikával való foglalkozás kezdetén megismertünk és megszoktunk néhány jelölést és néhány szakkifejezést. Már természetes­nek tekintjük, hogy számokat betűvel jelölhetünk, azt is, hogy például az1 és a 3 összehasonlításakor l<3-at írunk, amit így olvasunk: „1 kisebb mint 3” vagy „1-nél nagyobb a 3”. A <, >, = jelek könnyen érthetők. Tudnunk kell, hogy a jelek, jelölések mögött fogalmak, definíciók, utasí­tások vannak. Az összetett kifejezéseket - ha lehetséges - a definíciók fel- használásával, az utasítások végrehajtásával ajánlatos lépésről-lépésre egyszerűbbekké átalakítanunk. Gyakran többféle is lehet a lépések sor­rendje. Közülük a céljainknak legmegfelelőbbet (a leggazdaságosabbat) érdemes választanunk.

Példaként tekintsük a 2 ’ - 2 kifejezést Elsőként azt kell felismernünk, hogy ez az alak kénényezős szorzat. A továbbiakban kétféle m ódon dolgoz­hatunk tovább:

a) A szorzat mindkét tényezője pozitív egész kitevőjű hatvány. Ezek definíciója szerint: 2^=2 • 2 • 2=8,2® =32. A felírt szorzat: 8 • 32=256.

b) A szorzat mindkét tényezője hatvány és alapjuk azonos. A z azonos alapú hatványok szorzatára bizonyítottunk egy állítást (tételt), azt, hogy a szorzat egyenlő a közös alapnak a kitevők összegére em elt hatványával. Ezt alkalmazva: 23-2^ = 2^+^=2®. Ez a hatvány a p o zi­tív egész kitevőjű hatványok definíciója szerint: 2®=256.

A jelölések értelmét közérthető szavakkal is pontosan kell megfogal­maznunk. Néhány példa már megmutatja, hogy gondosan kell ügyelnünk szavaink értelmére.

1. Az lízi S3 jelölés azokat a számokat jelenti, amelyekre fennáll a -3^íz^3 egyenlőtlenség. Azt is mondhatjuk, hogy ezek nagysága legalább -3 és legfeljebb J, vagy azt, hogy ezek a számok nem kiseb­bek -3-nál és nem nagyobbak 3-nál.

2. A 2< | & I felírás azokat a számokat jelenti, amelyek eleget tesznek a £><“ 2 vagy a 2<b egyenlőtlenségnek, azaz azokat a számokat jelenti,amelyek kisebbek -2-nél vagy nagyobbak 2-nél.

3. Az lS c < 4 egyenlőtlenség azokat a számokat jelenti, amelyek nagysága legalább 1 és kisebbek 4-nél. Ezekre azt is mondhatjuk, hogy nem kisebbek 1-nél és kisebbek 4-nél.

A példák mutatják, hogy gondot kell fordítanunk a különböző értel­mű Jegfeljebb”, JegaJább”, valamint a ,Jcisebb”, ,/iem nagyobb”, „nagyobb", „nem kisebb” szavak helyes használatára. Ezeket a szavakat a matematikában is az anyanyelvi jelentésüknek megfelelően használjuk. Értelmüket a számegyenesen az 1. ábra szemlélteti, amelyen jelöljük azo-

BEVEZETES

0

kát a valós számokat, amelyek a) kisebbek mint 2 ,b ) nem nagyobbak mint2, c) nagyobbak mint 2, d) nem kisebbek mint 2. A Jegfeljebb 2” a £>)-nek felel meg a „legalább 2” a rfj-nek.

Az és, valamint a vagy kötősza- „vak használata nagy figyelmet kí­ván. Egy következő fejezetben, a matematikai logika alapjaiban, kü­lön is foglalkozunk a velük értel­mezett logikai műveletekkel.

Ismereteink alapján természe­tes kérdésként fogalmazzuk me& hogy az 1) iái á3 , 2) 2 < té l,3) l s e <4 egyenlőtlenség milyen számokra vonatkozik: Valós számokra, vagy csak egész számolaa, vagy racionális számokra? Valós számokra gondolva, a megfelelő számokat a 2. ábra számegyenesein szemléltettük. Ha az előző három egyenlőtlenségnek eleget tevő egész számokat keres­sük, akkor az azoknak megfelelő különálló pontokat a 3. ábra mutatja.

a )-

b)-

cj- d)-

0

1. ábra

D 01 3 1 i -4 - 3 - 2 - [ 0 1 2 3 4

0 . .i .. 2 31 c—

*■/

■’l - -5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 -11 O--- f

1---0

—t—1 4 - 4 -3 -2 -1 0

—1 _1 2 3

- A -4 5

2 ábra 3. ábra

A számokra vonatkozó feltételeket az egyenlőtlenséggel (vagy más ki­fejezéssel) együtt ajánlatos megadnunk. Ehhez célszerű megállapodnunk valamilyen egyszerű és rövid, de egyértelmű kifejezés- és jelölésmódban. Tudjuk, hogy erre nagyon alkalmas a halmaz fogalma, valamint a halma­zokkal kapcsolatos jelölésmódok.

Lehetséges, hogy az előző egyenlőtlenségekhez (vagy más kifejezés­hez) valamilyen problémával kapcsolatban jutottunk. Ekkor ez a problé­ma meghatározza azt, hogy milyen számokra kell gondolnunk: csak egész számokra, vagy racionális, vagy valós számokra, vagy pozitív számokra, vagy nemnegatív egész számokra stb. Ha nincs semmi olyan szempont, amely a számokra feltételt szabna, akkor valós számokra gondolunk. A valós számok halmaza az a legbővebb számhalmaz, amellyel a középiskolai matematika anyagban foglalkozunk.

BEVEZETES

Fogalmak - állítások (alapfogalmak, defíníciók - axiómák, tételek)

A matematikai ismeretek rendezését megkönnyíti, ha néhány példá­val megvilágítjuk a fogalmakat és értelmezésüket, valamint az ezekre vo­natkozó állításokat.A ) K legegyszerűbb fogalmakról is világos képet kell kialakítanunk, az

összetettebbeket pontosan kell értelmeznünk, definiálnunk kell.Példaként tekintsük a következőket:a) A pont, az egyenes olyan fogalmak, amelyeket a környezetünkben

lévő tárgyak érzékelhető tulajdonságaiból (például a tű hegyéből; a gondolatban kifeszített és meghosszabbított vékony drótból;.,,) elvonatkoztatással, absztrakcimal alakítottunk ki.

ö) Az la I jel az ö szám abszolútértékét jelöli. Ennek értelmezéséhez már ismernünk kell a pozitív szám, a 0, a negatív szám fogalmát. Az |ű | definíciója;

(ö, ha 0 S ű

-a , had < 0

Ez - anyanyelvűnk közhasználatú szavaival - azt Jelenti, hogy bár­mely nemnegatív szám abszolútértéke önmaga, negatív szám ab­szolútértéke pedig a szám ellentettje. A definíció szerint például: 171=7, 101 =0, | - 5 | - ~ ( - 5 ) = 5.

Az a) alatti példák mutatják, hogy vannak fogalmak, amelyek alapvető- ek és annyira egyszerűek, hogy ezeket nem tudjuk egyszerűbb fogalmak segít­ségével értelmezni, vagy nem érdemes arra törekednünk, hog)' ezeket egy­szerűbb fogalmakra vezessük vissza. Ilyen például a sík, az illeszkedés, a halmaz, .... fogalma is. Ezeket a fogalmakat tapasztalataink, megfigyelé­seink után elvonatkoztatással alakítjuk ki. Az ilyen fogalmakat nem értel­mezzük, nem definiáljuk, ezeket alapfogalmaknak tekintjük.

A b) alatt említettük a számok abszolútértékét. Ezt a fogalmat már értelmeznünk, definiálnunk kellett. A hatványfogalomhoz is definíciókat kell megadnunk. Definiáljuk a kört, parabolát, ... is és még nagyon sok más fogalmat is. Definícióval egy-egy lijabb fogalmat korábban megismert fogalmak segítségével értelmezünk.B) A fogalmak között kapcsolatokat találhatunk. Rájuk vonatkozó igaz

állításokat fogalmazhatunk meg. Közülük eg)'eseket közvetlen tapasz-

8

BEVEZETES

talataink alapján is felismerhetünk, másokhoz logikus gondolkodás­sal, több lépésből álló helyes következtetésekkel juthatunk.Példaként tekintsük a következőket:a) A pontokat és az egyeneseket vizsgálva azt tapasztalhatjuk, hogy

két pontra egyetlen egyenest illesztíietünk. Ez olyan állítás, ame­lyet igaznak fogadhatunk el. Ezt az állításunkat senki sem tudja megcáfolni, mindenki számára hihető, következményei nem vezet­nek ellentmondáshoz. Bizonyításával hiába próbálkoznánk, ha erőltetnénk, akkor az csak más szavakkal történő körülírás lenne. A ,^ é t pontra egyetlen egyenes illeszthető” állítás tömör, könnyen érthető. Ezt és az ehhez hasonló igaz állításokat alaptételeknek ne­vezzük, a matematikában azonban megszokottabb az axióma elne­vezés.

<x = ex.

4. ábra 5. ábra

A középiskolában axiómáknak tekintjük az egyállású, illetve a váltó­szögekre (4. ábra) vonatkozó igaz állításokat: „Az egyállású szögek egyenlő nagyságúak”, illetve „A váltószögek nagysága egyenlő”. (Könnyen sorolhat­nánk további axiómákat is.)b) Tekintsük a háromszög belső szögeit (5. ábra). Az ábrán látható /3

és f3’ váltószög, 7 és 7 ’ egyállású szög. Az előbb említett axiómák szerint /3 = j3’ és 7 = 7 ’, ezért az A csúcsnál lévÖ egyenes szög: a+0' + y’ = a+ ^ + y= í8 (f. így axiómák felhasználásával, logikai úton jutottunk el egy igaz állításhoz: „A háromszög belső szögeinek összege 7S0"’. Ezt az igaz állítást tételnek nevezzük, azt a gondolat­menetet amellyel ehhez az igaz állításhoz jutottunk, a tétel bizonyí­tásának.A z elmondottakat röviden összefoglaljuk:A matematikában szereplő fogalmak közül az alapfogalmakat, tapaszta­

lataink alapján, absztrakcióval alakítjuk ki, másokat definiálunk.A z axiómák a fogalmakra vonatkozó egyszerű, igaz állítások. Hogy mit

tekintünk axiómáknak, azt akkor lehet eldöntenünk, ha a témakörből már jelentős ismereteink vannak és az ismereteket rendszerezzük. Egy témakör ismereteinek rendszerezése többféle axiómarendszer alapján is történhet. (A középiskolában alapul vett axiómarendszer jóval bővebb, mint amelyet az igényes és szigorú matematikai tárgyalás kíván.)

A z axiómákból kiindulva - hefyes következtetésekkel - további igaz állítá­sokhoz juthatunk Ezeket tételeknek nevezzük, azt az eljárást pedig, ame­lyekkel ezekhez eljutunk, a tétel bizonyításának mondjuk.

A z alapfogalmak, definíciók - axiómák, tételek tudatos megkülönbözteté­se segíti a matematikai ismeretek közötti eligazodást. (Ezt a tagolást azon­ban nem szabad mereven tekintenünk.)

BEVEZETES___________________________________________________

Megjegyzések; L A tételek megfogalmazásánál azt kellene mondanunk, hogy ez a tétel

igaz, lia a l^izonyításánál felhasznált... tétel igaz, ez pedig igaz, ha a ... tétel is ig a z ,..., ez pedig igaz, ha az ... axiómák igazak. - Ezt a hosszú indoklást azonban nem érdemes (sőt felesleges is lenne) mindig m eg­fogalmaznunk. Csupán azért említettük, mert ez rámutat a helyes szemléletre.

n . A geometriában az ismeretek ilyen rendszerezését először Euklidész i.e. 300 körül végezte el. Az általa bevezetett axiómarendszerrel kap­csolatban a XIX. században kérdések merültek fel. Ezek vezették Bolyai Jánost, N.I. Lobacsevszkijt arra a gondolatra, hogy kidolgozza­nak egy nemeuldidészi geometriát. A geometria axiómarendszerét, a mai matematikai gondolkodásnak m egfelelően D. Hilbert dolgozta ki a XIX. század legvégén.

i n . Egy-egy fogalmat különböző módon megfogalmazva is definiálhatunk. Egy témakör kiilönbözö mélységű tárgyalásmódjánál az alapfogalmak között különbségek is adódhatnak. Megtörténhet, hogy egy témakör részletesebb és mélyebb tárgyalása esetén egyes fogalmakat már nem alapfogalmaknak tekintünk, hanem definiáljuk. Ezeket a megjegyzé­seinket egy-egy példával megvilágítjuk:

1. Tekintsük a paralelogrammákat.

a) Megszokott definíciójuk: Paralelogrammák o2 ok a né^’szögek, am e­lyeknek két-kéf oldaluk párhuzamos.

Ebből a definícióból kiindulva bizonyíthatjuk a következő tételt is: A paralelogrammák kél átlója felezi egymást.

Megtehetjük azonban azt is, hogy az előzőtől eltérő szövegezésű defi­nícióval értelmezzük a paralelogrammát.

b) Definícid: Paralelogrammák azok a négyszögek, amelyeknek a két átlója fe le d egymást.

Ebből a definícióból kiindulva bizonyíthatjuk, hogy a paralelogram­m ák szem közti oldalai párhuzamosak.

Mindkét definíció egyértelműen határozza meg a paralelogrammákat. Azt mondjuk, a paralelogrammákra adott előző két definíció ekvivalens. Közülük az elsőt gyakrabban használjuk, mert az szem léletesebb. Egy paralelogranmiára ránézve szembetűnőbb az, hogy a szemközti oldalai párhuzamosak, mint az, hogy átlóik felezik egymást.

10

2 . Tekintsük két pont távolságát.

a) A z és -ö pontok távolságát, az A B szakasz hosszát - amelyet d(A, B)-veI jelölünk - a középiskolai tárgyalásmódban alapfoga­lom nak tekintjük.

Részletesebb, - a középiskolainál alaposabb - tárgyalásmódban két pont távolságára deji/tídót fogalmazhatunk wiej.

___________________________________________ BEVEZETES

b) H a választunk egy hosszúságegységet, akkor bármely .4 és fi (A ^B ) pont távolságán, azaz az A B szakasz hosszmértékén olyan pozitív számot értünk, amelyre teljesül a következő két feltétel;a) egybevágó szakaszok mértéke egyenlő, b) egy AB szakasz mértéke egyenlő a C ponttal felbontott két szakasz, az^ lC és CB szakaszok mértékének az összegével (6. ábra).

E zek a megjegyzések azonban csak azok számára érdekesek, akik későbbi tanulmányaik során a matematika alapjaival is foglalkoznak.

Az előzőekben néhány példával rámutattunk arra, hogy a legegysze­rűbb matematikai ismeretekhez is újabb és újabb kérdések kapcsolódnak. Ezt természetesnek kell tekintenünk és törekednünk is kell arra, hogy gondolkodásunk mozgékony legyen.

Egy-egy matematikai probléma tisztázásának az a legjobb módszere, ha lényegre mutató kérdéseket fogalmazunk meg és azokra megfelelő vá­laszokat keresünk. Ezeket a kérdéseket szinte láncszerűen kapcsolhatjuk egymáshoz. Lehetséges, hogy a probléma tisztázásához szükséges kérdés­válasz gondolatsort nem találjuk meg azonnal. Arra is készen kell áll­nunk, hogy a megkezdett, de eredménytelennek mutatkozó elgondolást megszakítsuk, helyette új utat keressünk és arra is, hogy az egyik kérdésre adandó válaszhoz egy külön út vezet. Ha a kiinduló kérdés után lépésről- lépésre egyszerűbb ismeretekre vonatkozó kérdéseket tudunk megfo­galmazni és azokra megfelelő választ adni, akkor a problémát tisztáz­hatjuk.

Ez a módszer feladatok megoldásánál is célravezető.Példaként tekintsük a következő egyenlet megoldását:

|:t+2 |)= 0.

A megoldáshoz vezető egyik gondolatsor;

II

Átalakítással új alakra hozzuk az egyenletet? Megtehetnénk, de az új alak nem lesz egyszerűbb. M i a jellemzője a bal oldalon álló kifejezésnek? K éttényezSs szorzat. Hogyan lehet a szorzat 0? H a a tényezői között van 0.

Lehet-e t/i^+4 = 0? Nem, meri x^+4 > O.yí m áiodik tényező lehet-e 0? Két tag összegének kellene 0-nak lennie. A z egyik tag x --4 négyzetgyöke, a másik j;+2-nek az abszolútértéfce. Ezekre m it m ond a definíciójuk? A nemnegatív számok négyzetgyöke olyan nemnegatív szám a számok abszolút ért éke is nemnegatív szám. Ennek a két tagnak az összege hogyan lehet 0? Csak úgy, ha mindkettő 0. A z első tag m ikor lesz 07 H ax^ -4^ 0 , azaz x = - 2 vagy x = 2 . A második tag m ikor lesz 0? H a x+ 2-Q , akkor x - ~ 2 . A z x = - 2 valóban kielégíti az egyenletet? Igen, akkor 0 = 0 .A z x = - 2 a z egyetlen gyök?

Igen, mert más számnál ^x'^-4+ \x+2 \ /O .

A z egyenletnek egyetlen gyöke van, ez x = -2 .

E z a gondolatsor leírva hosszúnak tűnik, de végiggondolásához keve­sebb idő kell, mint elolvasásához.

Akiben kitartó munkakedv és tudásvágy van, az hozzáértő szakmai vezetés mellett hamar felismeri a matematikai gondolkodás sajátos voná­sait. Megszokja, hogy az ismereteket ne elszigetelten, önmagukban nézze, hanem az összefüggéseket keresse, ha kell akkor a felmerült problémát bontsa fel részeire. Közben gondolkodókészsége, memóriája fejlődik. Magától talál új utakat ismeretei bővítésre, szokatlan feladatok megoldá­sára.

BEVEZETES____________________________________________________

12

I. H a l m a z o k , h a l m a z m ű v e l e t e k

A gömbfelület legegyszerűbben megfogalmazott definíciója: azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek egy adott ponttői azonos távolságban vannak. A halm az fogalm a megkönnyítheti mondanivalóink megfogalmazá­sát.

Megtörténhet, hogy adott halmazokból valamilyen feltételnek m egfe­le lő újabb halmazhoz jutunk. Például: A 2 az egyetlen páros szám, amely prímszám. Azt mondjuk, hogy a páros számok halmazának és a prímszá­mok halmazának közös része a { 2 } .B t o r ^ s feltételeknek megfelelő halm a­zok keresését halmazok közötti műveletnek nevezzük.

A halmazzal kapcsolatos fogalmakat, jelöléseket, a halmazok mega­dását tisztáznunk kell. Értelmeznünk kell a halmazműveleteket és tuda­tosan is ismernünk kell e műveletek tulajonságait.

Fogalmak, halmazok megadása

A halmaz fogalmát körülírhatjuk (más szóval pl. sokaságnak nevez­hetnénk), példákkal megvilágíthatjuk, de nem tudjuk definiálni.A) A ,Jialmaz” és az „elem” alapfogalom. Egy halmazban minden eleme

csak egyszer szerepelhet. Egy halmazt általában nagy betűvel jelö-, lünk, az elemeit kapcsos zárójelbe tesszük.

B) a) Ha egy halmaznak véges sok eleme van, azaz, ha egy természetesszámmal megadhatjuk az elemeinek a számát, akkor azt véges hal­maznak mondjuk.Véges halmaz az is, amelynek egyetlen eleme sincs, azaz elemei­nek a száma 0. Ezt üres halmaznak nevezzük, jele; 0, vagy {}. (Megjegyezzük, hogy a {0} egyelemű halmaz, mert egyetlen eleme van, ez a 0 szám.)

öj Ha egy halmaznak végtelen sok eleme van, azaz ha az elemeinek a számát természetes számmal nem adhatjuk meg, akkor azt végtelen halmaznak mondjuk. Ilyen például: 4 = {pozitív egész számok}, B = {pozitív páros számok}.

13

HALMAZOK, HALMAZMŰVELETEK

C) Egy halmazt úgy adhatunk meg, hogya) megadunk egy olyan utasítást, amely alapján bármiről egyértelmű­

en eldönthetjük, hogy eleme-e a halmaznak, vagy nem eleme. Pél­dául; C= {az egyjegyű prímszámok}, 5€C , 6^ C stb.

b) véges halmazok elemeit felsorolhatjuk. Pl.: C = {2; 3; 5; 7}.D) A halmazokat szemléletessé tehetjük az ú.n. Venn-diagramokkal.

(Ezek Venn matematikus után kapták a nevüket.) A diagram csak jel­képezi a halmazokat. A Venn-diagram egy-egy síkidom (gyakran kör­lap), egyaránt jelképezhet végtelen vagy véges halmazt (7. ábra).

B = {pozitív páros számok} C - {2; 3; 5; 7}

7. ábra

E) Értelmeztük két halmaz egyenlőségét: Két halmazt akkor és csak akkor tekintünk egyenlőnek, ha az egyik halmaz elemei a másik halmaz elemei­vel azonosak, azaz az Aí és az halmaz akkor és csak akkor egyenlő, hO-X^M esetén azxSA/' is teljesül és ha_yíM, akkor AT is igaz.

A b)

A ^ H

H

( S >A C H

8. ábra

F) Bevezettük a részhalmaz és a valódi részhalmaz fogalmát.űj A z ^ halmazt a H halmaz részhalmazának nevezzük, ha a z ^ hal­

maz minden eleme a H halmaznak is eleme. Jelölése: A ^ H . (A definíció szerint b á r m e ly i í h a lm a z n á l és H qH .)

b) A z A halmazt a H halmaz valódi részhalmazának nevezzük, ha az A ( ^ 7 0) halmaz részhalmaza a H halmaznak, de nem egyenlő vele. Jelölése: A cH . (8, ábra)

14

HALMAZOK, HALMAZMŰVELETEK

Példa: Legyen: D = {3; 4; 5}, £ = {3; 4}, í ’-{3; 4; 5}. A definíciók ér­telmében: D ^F , E cF . (Természetes, hogy fennáll: D=F és helyes az E q F felírás is.)

Megjegyzés: Más jelölés is használatos. A részhalmaz jelölésére szokás az A c H , a valódi részhalmazra az jelölés is.

Halmazműveletek

A halmazműveletek közül - középiskolában - a legfontosabb három­mal foglalkozunk:

Unióképzés

Két (vagy több) halmaz uniójának nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek a két (vagy több) halmaz közül legalább az egyiknek e/emej. Az unióképzés Jele: u .

9. ábra

Az unióképzést halmazok egyesítésének is nevezzük, a halmazok unióját a halmazok Összegének is mondjuk. Két halmaz unióját a 9. ábra Venn-diagramja szemlélteti.

A definícióból következik, hogy az unióképzés kommutatív művelet'. A^B=BK}A, ugyanis mindkét sorrendben képezzük is az uniót, az ugyan­azt az egyesítést jelenti. Hasonló meggondolásból következik az uniókép­zés asszociatív tulajdonsága: (A u B )u C = A u(B uC ) =A u B u C . (A zárójel- pároktól független a kifejezés, ezért az el is hagyható.)

Metszetképzés

Két (vagy több) halmaz metszetének nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek mindkét (vagy valamennyi) halmaznak az elemei. A metszetképzés jele: n .

15

HALMAZOK, HALMAZMŰVELETEK

A halmazok metszetét a halmazok közös részének, vagy szorzatának is nevezzük. Három halmaz közös részét (metszetét) a 10. ábrán Venn- diagrammal szemléltetve láthatjuk.

A definícióból következik, hogy a metszetképzés kommutaiív művelet: ACiB=Br\A, ugyanis mindkét sorrendben képezzük is a közös elemeket, ugyanazokat kapjuk. A metszetképzés asszociatív tulajdonságú művelet: (Ar\B)f^C=Ar\{Br\C)=AriBr\C.

metszetük

10. ábraKét halmaz különbsége

A z ^ és a ő halmaz (ebben a sorrendben tekintett) különbségének ne­vezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek elemei az A halmaz­nak és nem elemei a B halmaznak. A különbség jelölése: (11. ábra).

11. ábra

16

HALMAZOK, HALMAZMŰVELETEK

KOMPLEMENTERHALMAZ

A 11/b ábrán B c A . A z ott látható y l\ö halmazról „szemléletesen” azt mondhatjuk,hogy az a ő halmazt kiegészíti az A halmazra. Latin nyelven á kiegészítő: „komplementer’', ezért az A \B halmait komple­menterhalmaznak nevezhetjük.Definíció: Egy H halmaznak legyen egy részhalmaza az A halmaz. Az A halmaz H halmazra vonatkozó komplementerének (komplementer halma­zának) nevezzük a H \A halmazt. Jelölése; 4 : (olvasd: „Az A halmaz H-ra vonatkozó komplementere”). Ha a H alaphalmaz egyértelműen felismer­hető, akkor az jelölés helyett a rövidebbZ (olvasd; ,,A felülvonás”) je­let is használjuk.A definícióból azonnal következik: H = 0 , 0 = H, A=A.

Számhalmazokkal gv-akran dolgozunk, ezért néhány számhalmazra egyezményes jelölést vezettünk be;

A természetes számok halmazának jele: IN,az egész .számok halmazának jele; Z,a racionális .számok halmazának jele; Q,a valós számok halmazának jele; R.

A pozitív egész számok halmazának szokásos jelölése: vagy Z Ezzel összhangban a negatív valós számok halmaza: R". stb.

A fogalmak és a halmazműveletek értelmezé,séből következnek: N c Z c Q c R ; IN'^=]N\{0}; Z = Z "u N ; R \Q = {irracionális számok}; az egész számokra, mint alaphalmazra vonatkozóan a természetes szá­mok halmazának komplementere a negatív egész számok halmaza;... stb.

Azoknak az x valós számoknak a halmazát, amelyekre fennáll az a£x^t> egj'enlötlenség, az [ö, b] zárt ínten'allumnak. amelyekre az a<x<b áll fenn, az ]a, b{ nyílt intervallumnak nevezzük.

A halmazokkal kapcsolatos ismeretek nagv'on hasznosak tárgyak osztályozásának szemléltetésénél, segítséget nyújthatnak bizonyos össze- számlálásoknál, függ\’ények értelmezési tartományának, énékkészletének felírásánál,... stb.

paralelogrammák:

tég la ­lapok

négyzetek

H

1 ^ ' 2 'o

5 / 4 9 )7 X 8 B

12. áb ra 13. ábra

17

HALM AZOK HALMAZMŰVELETEK

Néhány példa:1. A paralelogrammák osztályozását mutatja a 12. ábra.2. Az egyjegyű számok 2-vel, 3-mal való oszthatóságát a 13. ábra

Venn-diagramja szemlélteti. í í= {egyjegyű egész számok}, ^ = {egyjegyű páros számok}, {egyjegj'ű, 3-mal osztható szá­mok}. Az ábráról könnyen leolvashatjuk azt is, hogy hány eleme van az egyes halmazoknak.

3. A háromjegyű számok között hány olyan van, amely nem osztható sem 2-vel, sem 3-mal?

Készíthetnénk a 13. ábrához hasonló Venn-diagramot, de az ábrába nem írhatunk be annyi számot mint kellene. Értelemszerűen a H halmaz­nak 900, az A halmaznak 450, a B hahnaznak 300 eleme van. A Venn- diagramról látjuk, hogy a í í halmaz elemeinek számából, a 900-ból el kell vennünk az A és a 5 halmaz elemeinek a számát, azaz 450+300-at. Ekkor azonban a z A n B halmaz elemeinek a számát kétszer vettük el. Az n ő ­nek azok a számok az elemei, amelyek 6-tal oszthatók. Ilyen szám a 900- ból minden hatodik, azaz 150 ilyen szám van. Mivel ezt kétszer vettük el, a kivonás utáni különbséghez hozzá kell adnunk.

Azoknak a háromjegyű számoknak a száma, amelyek sem 2-vel, sem 3-mal nem oszthatók: 900-(450+300)+150=300.

Ezt a gondolatmenetet mindig alkalmazhatjuk, ha egy véges halmaz­ból bizonyos tulajdonsággal nem rendelkező elemeket kell kiválaszta­nunk, illetve összeszámlálnunk. Ez a módszer - hogy könnyen hivatkoz­hassunk rá - önálló elnevezést kapott, logikai szitának nevezzük.

4. A3+\Í4-x^ kifejezésnek milyent: értéknél van értelme és azoknál milyen értékeket vesz fel? A kérdés helyett mondhatjuk a követke­zőt: Határozzuk meg a valós számoknak azt a legbővebb részhal­mazát, amely az/(jc) = 3+^4-x^ függvény értelmezési tartománya le­het és határozzuk meg az értékkészleté.

Az értelmezési tartománya: -2^JcS2 (mert 0é 4-x^), értékkészlete: 3á/(x)á5 . Ugyanezt megadhatjuk más alakban: értelmezési tartománya: [-2; 2], értékkészlete: [3; 5].

18

II. A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI

A matematikai logika elemeit néhány mondat szerkezetének a vizsgá­latával vezetjük be.

Kijelentések, logikai értékük

Az egyszerű kijelentő mondatok között vannak olyanok, amelyekről egyértelműen eldönthetjük, hogy vagy igazak, vagy nem. Például:

Ez a négyszög paralelogramma. (A)Ma hétfő van (B)

Ha előttünk van egy négyszög, akkor arról egyértelműen megállapít­hatjuk, hogy az vagy paralelogramma, vagy nem az. Ugyancsak egyértel­műen eldönthetjük, hogy ma hétfő van, vagy nem. Ezt a „logika nyelvén” úgy mondjuk, hogy a „Ma hétfő van” állításról egyértelműen eldönthet­jük, hogy az igaz, vagy hamis.

Egy kijelentő mondattal kapcsolatban az Jgaz”-at, a „hamis”-at a mondat logikai értékének nevezzük.

„Nagyon szép a ruhád” is kijelentő mondat, de ez olyan szubjektív megállapítás, amely vitatható. Kinek-kinek, az ízlése szerint vagy igaz, vagy hamis állítás. Egyértelműen nem dönthetjük el.

„Számítsuk ki a 27 -37• 49 szorzatot!” Ez nem kijelentő mondat. Az a gondolat fel sem merülhet, hogy a logikai értékét keressük.

Azokat a kijelentő mondatokat, amelyekről egyértelműen eldönthetjük, hogy logikai értékük vagy igaz, vagy hamis, kijelentésekneH vagy állítások­nak nevezzük. (Régebben az ítélet elnevezés is használatos volt.)

Vannak olyan kijelentő mondatok, amelyekről csak feltevés alapján mondjuk, hogy azok logikai értéke vagy igaz, vagy hamis. Például az, aki a matematikában járatlan „A z összetett szám ok egyértelműen felírhatok prím ­szám ok szorzataként" kijelentésről nem tudja eldönteni, hogy az igaz vagy hamis állítás. Másokhoz hasonlóan azonban ö is feltételezheti az „igaz” logikai értéket.

19

A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI

Kijelentések a következők is:A 2 páros szám.A 2 prímszám.András este levelet ír.András este lemezt hallgat.Ennek a négyszögnek a két átlója felezi egymást. 12 osztható 7-tel.

(C)(D)(E)(F)(G)(H)

Megállapodás alapján, ha valamely kijelentés logikai értékét tekint­jük, akkor azt, a kijelentés két „függőleges” vonal közé írásával jelöljük. Például: |A kettő páros számi =i (igaz), 112 osztható 7-tel| =h (hamis). Rövidebben: |C | = i, \H \=h.

Logikai műveletek

(1): Nem igaz az, hogy a 12 osztható 7-tel.Ez egyszerűbb fogalmazásban: „12 nem osztható 7-tel”.Két vagy több kifejezésből összeállíthatunk újabbakat is. Például:

(2): A 2 páros szám és prímszám.(5): András este levelet ír vagy lemezt hallgat.

{4a)\ Ha ez a négy'szög paralelogramma, akkor a két átlója felezi egymást.

Matematikai tételeket gyakran fogalmazunk meg a (^)-hoz hasonló szerkezetű mondatokkal. Ismereteink alapján tudjuk, hogy a {4a) alatti igaz állítás akkor is igaz lesz, ha a benne szereplő két egyszerű állítást fel­cseréljük:

{4 b )\ Ha ennek a négyszögnek a két átlója felezi egymást, akkor ez paralelogramma.

A {4a) és a (4b) alatti igaz állításokat a matematikában megszokott szakkifejezéssel egy mondatban is összefoglaljuk:

(5): Egy négyszög akkor és csak akkor paralelogramma, ha a két át­lója felezi egymást.

Az előző megfogalmazások szerkezetének megfelelően logikai műve­leteket értelmezünk. Logikai műveletekről akkor beszélünk, ha kijelenté­

20

A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI

implikáció

seket úgy kapcsolunk össze eg>' új kijelentéssé, hogy az összetett kijelen­tés logikai értéke csak a komponensek logikai értékétől függ.

Logikai műveleteket és elnevezésüket először táblázatszerűen közöl­jük:

(1): n e m // negáció,(2): C ésD konjunkció,(5): E vag>' F diszjunkció,

(^a): h a a k k o r G 1(4b): ha G, akkorái J

(5): A akkor és csak akkor, ha G ekvivalenciaA középiskolai matematika anyagban ezzel az öt logikai művelettel

foglalkozunk. (További műveletek is értelmezhetők. - A jelenleg előírt vizsgák csak az első három ismeretét kívánják, de a középiskolai anyag alapos megértése igényli az implikációval és az ekvivalenciával való fog­lalkozást is.)

Megfogalmazzuk az említett logikai műveletek értelmezését és meg­vizsgáljuk, hogy a negáció hogyan változtatja meg az eredeti kijelentés lo­gikai értékét, a többi műveletnél pedig azt, hogy a kiinduló két kijelentés logikai értéke hogj'an határozza meg az összetett kijelentés logikai érté­két.

Megjegyzés: A következő összetett kijelentés: „Rosszul sikerült a dolgoza­tom, mert nehezek voltak a feladatok’' nem logikai művelettel keletkezett. Ennek az összetett kijelentésnek logikai értékét nem határozza meg egyér- teknűen a komponensek logikai értéke, azt is vizsgálni kell, van-e ok-oko- zati összefüggés a két kijelentés között.

Negáció

A negáció (= tagadás) egy kijelentés tagadása. A P kijelentés negá- ciója: „Nem igaz, hogy/".” J e lö l é s e :F.

Ha a P kijelentés logikai értéke igaz, akkor P logikai értéke hamis, ha P hamis, akkor P igaz. Ezeket egy táblázatban, a negáció műveletét definiáló értéktáblázatban összefoglaljuk.

p n p

i hh i

Ezt a negáció értéktáblázatának nevezzük.

21

A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI

Koi\junkció

A konjunkció (= összekapcsolás, együttállás) két egyszerű kijelentést az és kötőszóval kapcsol össze. A P és a ö kijelentés konjunkciójának jele: PA g (olvasd: „P és O”). Az és kötőszónak a konjunkciónál való ér­telmezése ugj'anaz, mint a mindennapi szóhasználatban. A P / \Q logikai értéke kizárólag akkor igaz, ha P logikai értéke is, Q logikai értéke is igaz. (A

és Ö”-nak megfelel a is, Q is”, a „P továbbá Q" fogalmazás is.)A konjunkció értéktáblázata:

iihh

Q

Ihih

P a Q

ihhk

Az értelmezésből következik, hogy a konjunkció kommutatív művelet, azazí* A ö = ö aP .

Kettőnél több állítás konjunkcióját is értelmezzük: A z ^ i^ ^ 2> állítások konjunkciója: A ^A A 2 A....A.Af,. Ennek logikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha minden egyes állítás logikai értéke is igaz. Az értel­mezésből az is következik, hogy a konjunkció művelete asszociatív: (v4j A ^ 2) AA-^=A-^ a (A2 A ^ 3) ~Ai A A 2 Aj4;5.

Dis:yunkeió

A diszjunkció (= elválasztás, szétválasztás) két egyszerű kijelentést a vagy kötőszóval kapcsol össze.

A vagy kötőszó használata figyelmet érdemel.„András aste levelet ír vagy lemezt hallgat. ’’ A mondat értelm e szerint

lehetséges, hog>' levelet ír, lehet, hogy lemezt hallgat, az is lehet, hogy levelet ír és közben hallgatja a lemezt. A „vagy” kötőszónak ezt a használatát „megengedő vagy”-nak nevezzük.

„M a 5 órakor kerékpározom vüQ! a televíziót nézem .’’ A mondat értelm e szerint vagy az egyik történik, vagy a másik, egyszerre nem tehetem mindkettőt. A „vagy^’-nak az ilyen használatát „kizáró vagy”-nak nevezzük. (Ha azt mondom: „Ma 5 órakor vagy kerékpározom, vagy a televíziót nézem'’, akkor a páros „vagy vagy ...” -gyal egyértelművé tettem a ,,kizáró vag>'”-ot. Ez azonban az emberek többségénél nem Uidatos.)

22

A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI

„Hétfőn vagy kedden elutazom. ” Most választó értelemben használtuk a „vagy”'Ot. Nem gondolok arra, hogy mindkét nap elutazom.

Mi most a „megengedő vagy”-gyal foglalkozunk, csak azzal értelm e­zünk logikai műveletet,

A diszjunkció két egyszerű kijelentést a megengedő vagy kötőszóval kapcsol össze. A P és a ö diszjunkciójának jelölése: Pv <2 (olvasd: vagy ö ”)- A P v < 2 kijelentést akkor tekintjük igaznak, ha a két kijelentés közül legalább az egyik igaz.

A diszjunkció értéktáblázata:

p Q P v ö

i i ii h ih i ih h h

Az értelmezésből következik, hoey a diszjunkció kommutatív művelet:p v ö = ö v p .

Kettőnél több állítás diszjunkcióját is értelmezzük: A z^ i, A 2, ... ,A ^ kijelentések diszjunkció]a: ^4, V /lj V ... Vyl„. Ennek logikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha a kijelentések közül legalább egy kijelentésnek igaz a logi­kai értéke. A z értelmezésből az is következik, hogy a diszjunkció asszocia­tív tulajdonságú művelet: (A iV A 2)'^A ^= A i\/ (A2 V A ^)= A i\/A 2 yA^.

Implikáció

Az implikáció a P és a ö kijelentésekből a ha P, akkor Q szerkezettel képezett összetett kijelentés. Jelölése: P^Q vagy P=»Ö- így olvassuk: „Ha P, akkor Q ” vagy ,yP implikálja Q-t”.

Az implikációt a ha ..., akkor ... kötőszavak feltűnően két részre ta­golják. AP~^Q implikációnál a P-t előtagnak, a Q-t utótagnak nevezzük.

Az implikáció logikai értékét, ha az előtag igaz, akkor az utótag logi­kai értéke határozza meg. Ha az előtag hamis, akkor az implikáció logikai értékére nem találunk természetesnek tűnő választ. Például: „Ha egj' négyszög rombusz, akkor az átlói egymásra merőlegesek.'’ Ha a négyszög nem rombusz, akkor lehetséges, hog>' az átlói egj'másra merőlegesek, de az is lehet, hogy nem merőlegesek. Alapos meggondolás arra vezet, hogy hamis előtag esetén az implikációt igaznak kell tekintenünk.

23

A MATEMATIKAI LOGIKA ALAPJAI

Az implikáció értéktáblázata:

iih

h

Q

Ih

ih

P^Q

Ihi

i

Az implikáció nem kommutatív {P^Q)+{Q-^P) és nem asszociatív művelet {{P^Q)-^R+{P^{Qi=R)). Ezt értéktáblázat készítésével láthatjuk be.

Ekvivalenda

Az ekvivalencia két kijelentésből, például a P-h6[ és a <2-t>ól képez­hető két implikációt koiyunkcióval kapcsol össze. P t?, Q ekvivalenciája:

^ {Q-*P)- Rövid jelölése: P-^Q vagy P^Q (olvasásuk: „P akkor és csak akkor, ha Q”, vagy „P szükséges és elegendő fettétele Q-nak’\

A z ekvivalenciát gyakran használjuk matematikai tételek megfogal­mazásánál.1. példa: Ismerjük a húrnégyszögek tételét és megfordítását.Tétel {P^Q ): Ha egy négyszög húrnégyszög, akkor két szemközti szögé­nek összege 180°.A tétel megfordítása {Q^P): Ha egy négyszög két szemközti szögének összege ISOf", akkor az a négyszög húrnégyszög.A tételt és megfordítását (a két implikációt) egy mondatban összefoglal­juk {P’ Q Y Egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha két szemközti szögének összege 180°.2. példa: Igaz a következő állítás: „Ahhoz, hogy egy háromszög derékszögű, legyen, szükséges és elegendő, hogy két hegyesszögére fennálljon a sina+sinii^coscL+cos^ egyenlőség. ” Ezt az ekvivalenciát felbonthatjuk két implikáció konjunkciójára: „Ha eQ> derékszögű, háromszög két hegyesszöge a, 15, akkor sina+sin0~cosa-^cosSi‘‘ és „Ha egy háromszög a,fS hegyesszögé­re fennáll a sina+sinl5 = cosa+coslS egyenlőség, akkor a háromszög derékszö­gű”. (Ha az a feladatunk, hogy bizonyítsuk be a példa eredeti állítását, akkor is ajánlatos a felbontás és a két implikációt külön-külön kell bizo­nyítanunk.)

24

A MA TÉMA TIKAI LOGIKA ALAPJAI

Az ekvivalencia értéktáblázatát a két implikáció konjunkciója segítsé­gével állítjuk össze:

p Q P-^Q Q^P {P^Q)^{Q-^P)

i i i i ii h h i hh i i h hh h i i i

Példáinkban egyszerű kijelentésekből olyan összetett kijelentéseket állítottunk össze, amelyek raonclanivalói értelmesek voltak. Az „András akkor és csak akkor ír este levelet, ha 12 osztható 7-tel” kijelentést nevet­ségesnek és értelmetlennek érezzük. Azonban ennek logikai értékét épp­úgy meghatározza az ekvivalencia értéktáblázata, mint más ,,énelm es" ek­vivalenciáét. A logikai tárgjalásnál eltekintünk a kijelentések tartalmától, csak a logikai értékükkel törődünk.

Logikai függvények

Ha A „Ma hétfő van” kijelentés mondatát hiányosan „Ma ... van” alak­ban írjuk, akkor az üresen hagyott helyre a hét napjai közül (hétfő, kedd, ..., vasárnap) bármelyiket írhatjuk. A beírás után kapott kijelentés logikai értéke vagy igaz, vagy hamis.

A „Ma ... van” mondatot és a hozzá hasonló „Egy valós szám kétsze­rese 25” (röviden 2x=25), Magyarországra értve „... megye székhelye Szekszárd” mondatot logikai függvénynek (az általános iskolában nyitott mondatnak) nevezzük. A logikai függvények értelmezési tartományai kü­lönbözők lehetnek (az előző példákban; a hét napjainak 7 elemíí halma­za; a valós számok halmaza; Mag>'arország megyéinek 19 elemű hal­maza), azonban bármely logikai függvény értékkészlete az {i, h} két­elemű halinaz,

25

III. A SZÁMOKRÓL

Ahogy a kisgyerekek először az 1, 2, 3, ... számokat ismerik meg, majd az ezekkel végezhető műveleteket, ugyanúgy a matematika történeti fejlő­dése is ezt az utat mutatja. Nekünk azonban sokkal gazdaságosabb, ha a történeti út helyett először a számfogalom kiterjesztését állítjuk előtérbe. Kiindulunk a pozitív egész számokból és megmutatjuk, hogy a m űveletek­kel hogyan válik szükségessé újabb számok bevezetése. A műveletekkel - részletesebben - csak utána foglalkozunk.

A számfogalom kialakulása

a) Tárgyak megszámlálása az 1, 2, 3,..., azaz a pozitív egész számok kiala­kításához vezetett.Pozitív egész számokkal összeadást, szorzást végezve is pozitív egész számokat kapunk eredményül.

b) Ha pozitív egész számokkal kivonást végzünk, akkor annak eredmé­nye lehet pozitív egész szám (például: 10-7 = 3), lehet 0 (például: 6-6=0) és lehet negatív egész szám (példul: 5-6 = -1).A 0, 1, 2, ... számokat természetes számoknak nevezzük. Halmazuk

jele: N.A ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... számokat egész számoknak nevezzük, hal­

mazuk jele: Z (N c Z).Egész számokkal szorzást végezve, az eredmény is egész szám.

c) Ha egész számokkal osztást végzünk, akkor első megállapításunk, hogy a 0-val való osztást nem tudjuk értelmezni. Ha 0-tól különböző számmal osztunk, akkor a hányados lehet, hogy egész szám (például

g8 : 2 =4) Jehet, hogy nem egész szám hanem törtszám, például 8 :5 = y .

Azokat a számokat, amelvek ~ alakúak, ha a és b egész számok (bi O),b

racionális számoknak nevezzük. A racionális számok hahnazát O-val jelöl­jük (N c Z c Q ) .

Megjegyzés; A racionális szó itteni jelentése: arányként, hányadosként írható.

26

A SZAMOKROL

A racionális számokat tizedestört alakban is felírhatjuk, például

= 1 6; 1 =0,75; - =0,3; - =0,285 714 stb. A véges tizedestörteket és az5 4 3 ^ 7

egész számokat is felírhatjuk végtelen tizedestörtként: 1,6 = 1,60; 7 = 7,0. A „szakaszos” végtelen tizedestörteket periodikus tizedestörtnek nevezzük.

Bármely racionális szám periodikus tizedestört alakban is felírható.Ugyanis ha az ci:ö osztásnál mindig lesz maradék, az legfeljebb 1, 2,

azaz legfeljebb (fc -l)- fé le lehet. Ezért elöbb-utóbb ism étlődő m a­radékhoz jutunk. A z ismétlődő maradéktól kezdve a hányadosban is ismét­lődő számjegy, illetve ismétlődő szakaszt kapunk. Ha egy periodikus tize- d estönben kizárólag a 9-es a végtelen sokszor ismétlődő számjegy, akkor

az más alakban is felírható. Például: 0 ,9= 1,Ó; 3,49 = 3,50. Mivel két egész szám osztásával nem kaphatunk olyan tizedestórtet, amelyben az ism étlő­

dő szakasz 9, a 0,9 helyett az 1,0 alakot, 3,49 helyett a 3,5Ö alakot használ­juk.

Állításunk fordítva is igaz: Bármely periodikus tizedestört felírható két egész szám hányadosaként.

A zagon dolat, hogyj:=0,17=0,171717... esetén 100x= 17,1717... és ezek17

99a: = 17 különbségéből adódik x = — , nincs kellően megalapozva. Ugyan­

is nem tudjuk, hogy végtelen tizedestörtekkel is ugyanúg>’ végezhetünk-e m űveleteket mmt véges -izedestörtekkel. Emiatt nem tudjuk, hogy a for­málisan történt 100-zal való szorzás és a különbségvétel helyes volt-e. Csak a határérték fogalmát és tulajdonságait ismerve lehetne szabatosan bizo­nyítani, hogy az így elvégzett műveletek eredménye helyes.

d) A nem periodikus végtelen tizedestörteket irracionális számoknak nevez­zük. Ezek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként.

Megjjegyzés: Az irracionális itt azt iclenti, hogy hányadosként nem írható fel.

irracionális szám például 1,4142... (az egységoldalii négj'zet átló­jának a hossza) is, 7t= 3,141592... is, irracionális szám a 0,1010010001... is, ha a tizedesvessző után álló 1-es számjegyek között rendre eggj'el több 0 áll.

Racionális számokkal összeadást, kivonást, szorzást, osztást (ha az osztó nem 0) végezve racionális számokat kapunk, de racionális számból gyököt vonva irracionális számot is kaphatunk. Irracionális szám például

Í5, is (de például racionális szám).Az alábbiakban bizonyítjuk, hogy a ^ irracionális szám. Annak a köz­

vetlen bizonyítása, hogy ^ végtelen nem szakaszos tizedestört, nehéz lenne. Helyette bebizonyítjuk, hogy i3 nem racionális szám, azaz nem

2 /

A SZAMOKROL

lehet két egész szám hányadosa. Az ilyen jellegíi bizonyítási módszert in- direkt bizonyításnak nevezzük.

Indirekt bizonyítási módszer

Az indirekt bizonyítási módszer lényege: Bizonyítani akarunk egy állí­tást. Feltételezzük az állítás ellenkezőjét és megvizsgáljuk, hogy az állítás felté­telezett ellenkezőjének mi lesz a következménye. Ha az derül ki, hogy ez el­lentmondáshoz vezet, alckor a feltételezés nem igaz, ezért az eredeti állításnak igaznak kell lennie.

Bizonyítani akarjuk, hogy Í3 irracionális szám. Feltételezzük az ellen­kezőjét, azaz azt, hogy racionális szám. Ekkor az felírható két egész

/—' ^szám hányadosaként. A feltételezés szerint legyen , ahol a, b egészb

szára, és — már nem egyszeriísíthető. A feltételezett állítást átala­

kítjuk:3=-

b ’

Ebből következik, hogy az egyenlőség jobb oldala is osztható 3-mal.

3\a^ 3|í? 9|a^ ^ 9|3í>2 ^ 3lí>“ 3|ö.

Ellentmondáshoz jutottunk, mert feltételeztük, hogy az ~ tört már nemb

egyszerűsíthető, de a feltételezésből az következik, hogy 3 j ű és 3 1 ö, ekkor

pedig ^ört egyszerűsíthető. Az ellentmondás oka a rossz feltételezés.

p nem lehet — -vei egyenlő, azaz nem lehet racionális szám. ' 3 tehát b

irracionális szám.

e) A racionális és az irracionális számok együtt alkotják a valós számo­kat. (Bármilyen szakaszt veszünk is fel, annak hosszúsága - egységnyi hossziiság birtokában - valós számmal adható meg.)Mivel a racionális számok periodikus (azaz szakaszos végtelen) ti­

zedestörtek, ezért azt mondjuk: Valós számoknak a végtelen tizedes­törtekkel megadható számokat nevezzük. A valós számok halmazának jele: R ( N c Z c O c R ) .

28

A SZAMOKROL

f) Középiskolában csak va- lós számokkal dogozunk. Vannak azonban olyan egyenletek is, amelyek megoldásának keresése további problémákat is felvet. Például: Létezik-e olyan szám, amely kielé­gíti az :t^+4 = 0 egyenle­tet? Ilyen valós szám

{Számok}

14. ábranincs. Vajon a valós számokon k£\'űl, másfajta számokat is értelm ezhe­tünk? Csupán közöljük: A számfogalom tovább bővíthető. Emiatt időn­ként hangsúlyoznunk kell azt, hogy a középiskolában szerzett ismere­teink valós számokra vonatkoznak. H a ezt nem tennénk, akkor az megtévesztő lenne, mert nem tudjuk, hogy a valós számokra vonat­kozó megállapításaink igazak-e a nem valós számokra is.

A természetes, az egész, a racionális, a valós számok halmazának Venn-diagramját - a nem valós számokra is gondolva - a 14. ábra szemlél­teti.

A valós számok és a számegyenes

A számegyenes segítségével kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést létesítünk egy egyenes pontjai és a valós számok között.

Egy egyenesen felveszünk két pontot. Az egyiket O-val jelöljük, en­nek a 0 felel meg, a másikat £-vel, ennek az 1 felel meg. Az OE vektor irá­nyítást ad a számeg>'enesnek (15. ábra).

Q o E P —í—

1

15. ábra

Cl

Az egyenes bármely P pontjához tartozó OP vektorra fennáll az OP=Cx OE, így bármely P ponthoz hozzárendelhetünk egy valós szá­

mot. Fordítva: Bármely Ct valós számot adunk meg, a cj • OE = OQ vektor meghatározza a számegyenes egy pontját, a O pontot.

29

A SZAMOKROL

A valós számok abszolútértéke

Egy a valós szám abszolűtértékének definíciója (a 8. oldalon, a beve­zetésben már említettük):

fl, haOáöf,

-a, ha<3 < 0.Az a szám abszolútértéke a számegyenesen az a számot je lö löd pont­

nak a O ponttól való távolságát jelenti.

Alapműveletek az egész számok körében

Pozitív egész számokkal alapműveleteket (összeadást, kivonást, szor­zást, osztást) már az álíaJános iskola alsóbb osztályaiban végeztünk. Természetes számokkal végzett alapműveleteknél egy kikötést kell meg­fogalmaznunk: 0-val történő osztást nem értelmezünk.

A negatív egész számok bevezetése után az összeadás és kivonás helyett összevonásról beszélünk. Ugyanis: -5'-(+6) = -5-6; 7+(+2) = 7+2; 5+(-8) = 5-8; - l - ( - 6) = - l+ 6. Két szám összevonásánál természetes mó­don adódik az eredmény (pozitív számnál a zsebünkben lévő pénzre gon­dolhatunk, negatív számnál adósságra).

Két szám összevonásánál,ű) ha azok azonos előjelűek, akkor a két szám abszolútértékét össze­

adjuk és az összeg előjele a közös előjel lesz (-5 -6 --1 1 ; 7+2=9),b) ha különböző előjelűek, akkor az abszolútértéküket vesszük, majd

a nagyobból kivonjuk a kisebbet és a különbség előjele a nagj'obb abszolútértékfl előjele lesz (5-8 = -3; -1+6=5).

Két pozitív szám szorzatának az előjelét természetes módon pozitív­nak tekintjük. Például: 3-4 = 12, 3*3 = 9, 3-2 = 6, 3-1 = 3. A szorzás lénye­géből következik az, amit e példák is mutatnak: ha a 3-mat (egy pozitív számot) rendre 1-gyel kisebb pozitív számmal szerzünk, akkor a szorzat rendre 3-mai kisebb (12, 9, 6, 3). Természetes kívánságnak érezzük, hogy ez így legyen, akkor is, ha az előző szorzatoknál a második tényező rendre tovább csökken. Ebben megállapodunk és ennek érteimében: 3 - 0 = 0, 3 • ("1) = -3, 3 • (-2) == - 6,... Ezt így fogalmazzuk meg; Egy pozitív és egy negatív szám szorzatának előjele negatív (abszolútértéke a két tényező abszolútéxtékenek a szorzata).

Az előzőek alapján; ... (-5)-3 = -l5 , (-5)-2 = -l0 , ( -5 )- l = -5. /yX látjuk, hogy ha a -5-öt (egy negatív számot) rendre 1-gyel kisebb pozitív

30

A SZAMOKROL

számmal szorzunk, akkor a szorzat rendre 5-tel nagyobb (-20, -15, -10, -5). Megállapodunk abban, hog) ez akkor is így lesz, ha a második té­nyező rendre tovább csökken. így (-5)-0=0, (-5 )-(- l)= 5 , (-5)-(-2) = 10, ... Röviden; Két negatív szám szorzata pozitív előjelű (a két tényező abszo­lútértékének szorzata).

A z előjeles számok szorzásánál az előjelekre vonatkozó „szabály” tömör megfogalmazása: Két azonos előjeM szám szorzata pozitív előjelű, két különböző előjelű szám szorzata negatív előjelű.

Az előbb alkalmazott gondolatot más esetben is alkalmazhatjuk, ezért lényegét külön is megfogalmazzuk, sőt külön névvel permanencia- elvnek nevezzük: Valamely számhalmazon érvényes tulajdonságtól azt kíván­juk, hogy az érvényes legyen egy bővebb számhalmazon is. (Elsőként a pozitív a és az 1 számokra igaz volt az, hogy az ab szorzatnál az a(b~l) szorzat a-val kisebb. A permanencia-elv alapján azt kívántuk, hogy ez a tulajdonság igaz legyen a b ^ l esetben is, tehát minden b-re.)

M e^egyzés! Két előjeles szám szorzatának az előjelét nemcsak a perma- nencia-elv alapján indokolhatjuk, hanem több más módon, például gyakor­lati példán keresztül is. (H a egy gazdasági társulásból két olyan ember távozik, akiknek 3 - 3 millió Ft adóssága van és azt magával viszi, akkor az Ő eltávozásukkal a társulás vagyona -2 • { -3 000 000) Ft-tal változik, azaz 6 000 000 Ft-íal nö.)

A szorzás és az osztás kapcsolatából (7-(-3) = -21, -21:7 =-3) követ­kezik, hogy két azonos előjelű szám hányadosa pozitív előjelű, két külön­böző előjelű szám hányadosa negatív előjelű.

Egy tört alakja megváltozik, de értéke azonos marad, ha számlálóját és nevezőjét azonos (0-tól különböző) számmal szorozzuk vagj' osztjuk;

^ = ~ (ö#0, c#0). Ezt az eljárást bővítésnek nevezzük, ha az - alakból té- b be b

rünk á t a l a k r a . Egyszerűsítésnek mondjuk, ha az — alakról az - - r e té- bc be b

rünk át.Két racionális szám összege (különbsége), szorzata, hányadosa (ha az

osztó nem 0) racionális szám:

a c ad+bc b * d ^

a c _ac b ' d ~ M ’

a c ad b d be

Alapműveletek egy racionális és egy irracionális számmal

Beláthatjuk, hogy egy 0-tól különböző racionális és egy irracionális szára összege (különbsége), szorzata, hányadosa irracionális.

Ezt indirekt úton bizonyítjuk: Tegyük fel, hogy az - racionális és az ab

31

A SZAMOKROL

irracionális szám összege a - racionális szám, azaz - +« = - . Ebbőld b d

c a bc-ad . . . , . , . ■ ■ot = - - — = -------- , azaz az irracionalis szám két egész szám hanyaaosad b bd

lenne, ami lehetetlen. A feltételezésünk hamis volt. — Hasonlóan bizo­nyítjuk, hog)' egj' 0-tól különböző racionális és eg\' irracionális szám szorzata és hányadosa is irracionális szám.

Két irracionális szám összege (különbsége) a számoktól függően vagy racionális, vagy irracionális.Például: (\'3+5) + (2--/3) = 7, ’,^+2^T=3^T

Két irracionális szám szorzata, hányadosa a számoktól függően vagy racionális, vag\' irracionális szám.Például: Í 3 - i É = i ’ = 6 , ^(3-fí= iU-. = 2, \Í5: iÍ3 =

r*' ♦ * • yA \2 ,7T, lg2 irracionális számoknak ez az írásmódja pontos értékeketjelöl. Tizedestört alakban csak a közelítő értéküket írhatjuk: ^2 = 1,414, tt = 3,14, lg2~ 0,301. Ennél többetmondó az irracionális számoknak egy alsó és egy felső értékkel történő közelítése:

1,414 < ’\^< 1,415 3,141 < 7 T < 3,142 0,3010 <lg2 < 0,3011

Az irracionális számokat tizedestörtekkel tetszés szerinti pontossággal közelíthetjük meg:

1,4142 1,4143 3,1415 <tt < 3,1416 0,3010 <ig2 < 0,3011 1,41421 <{2< 1,41422 3,14159 < ir < 3,14160 0,30103 < ig2 < 0,30104

Az összeadás és a szorzás tulajdonságai a valós számkörben

a) A valós számok összeadása kommutatív és asszociatív tulajdonságú.A kommutatív tulajdonság: a+b = b+a, azaz két tag összeadásánál a két t'dgot felcserélhetjük, az összeg nem változik.Az asszociatív tulajdonság: (a + ö)-t-c = a^(b +c), azaz több tag össze­adásánál a tagokat tetszés szerint csoportosíthatjuk (tetszés szerint társít­hatjuk).

b) A valós számok szorzása kommutatív és asszociatív tulajdonságú.A kommutatív tulajdonság: ab = ba, azaz két tényező szorzásánál a té­nyezőket felcserélhetjük, a szorzat nem változik.Az asszociatív tulajdonság: (ab)c ~a{bc), azaz több tényező szorzásá­nál a tényezőket tetszés szerint csoportosíthatjuk.

32

A SZAMOKROL

c) A valós számok szorzása az összeadásra nézve disztributív iulajdonságá: (a+b)c=ac+bc, azaz, ha valós számok összegét szorozzuk egy valós számmal, akkor ugyanazt kapjuk, mintha az összeg egyes tagjait külön-külön szorozzuk a szorzóval és a kapott szorzatokat összeadjuk. (Ha az ac+bc-t az {a+b)c alakban írjuk, akkor kiemelésről beszélünk.)

A számok írása, tizes és kettes alapú számrendszerek

Szánmnkra. megszokott a 25, 1998 írásmód. Ezek tízes alapú szám- rendszerben felírt s^m ok,

A számrendszerek lényege a megfelelő csoportosítás. A tízes alapú számrendszernél az egységekből 10-es csoportokat hozunk létre, a 10-es csoportokból 10 darab egy 100-as csoportot alkot, a 100-asokból 10 darab egy 1000-rest... stb. Ilyen csoportosítással és a csoportok számának helyi­érték szerinti felírásából alakult ki a tízes számrendszernek az az írás­módja, amelyet használimk. Az egész számok felírási módszere alkalmaz­ható törtszámok felírására is. Egy 10-es számrendszerbeli szám számje­gyeinek jelentését a következő példa mutatja:

5672,4 = 5.10^+6.102+7-10^+2-10°+4-ia^

Számrendszer alapszáma bármely egész szám lehet, amely 1-nél na­gyobb. A g (^GN\{0;1}) alapú számrendszerhez g darab jelet (számje­gyet) kell használnunk. A g alapú számrendszer

a -g^+b -^+c -g^-ul-g°+e-g-^

számát röviden (a 10-es alapú számrendszer írásmódjának megfelelően) abcd,e^ alakban írjuk. A számrendszer alapszámát közölnünk kell, azt indexként jelöljük.

A kettes alapú számrendszerben a 0 és az 1 számjegyeket használjuk. Például: 100012, 110112,...

A kettes alapú számrendszerben felírt számokat értelmük alapján írjuk át tízes alapú számrendszerbeli számokra:

10012= 1 • 2V0.2V0 - 2^1 • 2“= 8+0+0+1 = 9,1IOII2 = 1 ■ 2^+1. 2^+0 ■ 2^+1. 2^+1 ■ 2 = 16+8+2+1 = 27.

33

A SZÁMOKRÓL

Ha egy tízes alapú számrendszerbeli számot kettes alapú számrend­szerbe akarunk átírni, akkor keresnünk kell 2-nek azt a legmagasabb kite­vőjű hatványát, mely nem nagyobb a 10-es alapú számnál:

175 =128+47 = 128+32+8+4+2+1 == 1 . 2^+0 . 2^+1 ■ 2^+0 • 2'*+! -2^+1 ■ 2^+1 • 2^+1 • 2 = 10101111-,.

A számok normálalakja

A nagy, vagy kicsi számokat a 10 egész kitevőjű hatványainak a segít­ségével rövidebben felírhatjuk. Például: 5 800 000=5,8-10^. Ezt a szám normálalakjának nevezzük.

A pozitív számok normálalakjában a 10 egész kitevőjű hatványának szorzója az [1; 10[ intervallum egy száma. Tehát a 0<x szám normáíaíak- ja: x=iV.10*, ahol lsA^<10 és k e l . . Például: 34500=3,45-10^;0,000072 =7,2 •10'^. Negatív számok esetén figyelembe vesszük az elő­jelet- Például: -34500= -3,45 ■ 10\

34

rv. S z á m e l m é l e t i a l a p i s m e r e t e k

A számelm élet a matematika egyik nagyon régi ága. Ide soroljuk a középiskolai matematika anyagnak azokat a kérdéseit, amelyek az egész számok oszthatóságával, tényezőkre bontásával foglalkoznak, azokat az eljárásokat, amelyekkel számok legnagyobb közös osztóját, legkisebb közös többszörösét állapítjuk meg.

Az osztó, a többszörös, a prímszám fogalma

A 3 '4 = 12 példánál azt mondjuk, hogy 3 osztója 12-nek, azt is mondjuk, hogy 12 többszöröse 3-nak. A ( -2 ) ( - 5 ) = 10 alapján mondhatjuk, hogy -5 osztója 10-nek.

Az osztó fogalmát értelmezhetjük a természetes számok körében, de értelmezhetjük az egész számok körében is. Az osztó fogalmára építve állí­tásokat (tételeket) is megfogalmazunk. Ezek megfogalmazása könnyebb, ha az osztót a természetes számok körében értelmezzük. Ha valamilyen probléma vizsgálata azt kívánja, akkor áttérhetünk az egész számok köré­ben értelm ezett oszthatóságra.

Az osztó és az oszthatóság definíciója: A z a, b tennészetes számok esetén az a számot a b szám osztójának nevezzük, ha találunk olyan q természetes számot, amellyel fennáll az aq=b egyenlőség. Ekkor azt mondjuk: „a osztója b-nek”, vaw „b osztható a-val”. Ennek jelölése a \ b.Például 5 [35, mert 5 • 7 = 35; 7 10, mert 7 -0 -0 .

A z oszthatóság definíciója az egész számok körében: Az a, A egész számok esetén az a számot a b szám osztójának nevezzük, ha találunk olyan q egész számot, amellvel fennáll az a q = b egyenlőség. Például: 7 1 -1 4 , mert 7 - ( - 2 ) = - H .

Egy számnak az 1-en és önmagán kívüli osztóit a szám valódi osztói­nak nevezzük, (például: 12 osztói: 1, 2, 3, 4, 6,12; valódi osztói: 2, 3, 4, 6.)

A z a \b esetén, azt is mondhatjuk, hogy ű-nak többszöröse b, mert van olyan q természetes szám, amellyel fennáll az aq=b egj'cniőség.

A prímszám, összetett szám definíciója: Azokat a természetes számokat, amelyeknek pontosan két osztójuk van, prímszámoknak nevezzük. (Az első néhány prímszám: 2, 3, 5, 7,11,13,17,...)

Azokat az 1-nél nagyobb természetes számokat, amelyeknek kettőnél több osztójuk van, összetett számoknak mondjuk. (Az elsÖ néhány össze-

35

SZÁMELMÉLETI ALAPISMERETEK

tett szám: 4, 6, 8, 9, 10 ,12, 14.......Az 1 sem nem prím, sem nem összetettszám.)

A számelmélet alaptétele

Tétel: Bármely Összetett szám (a tényezők sorrendjétől eltekintve) egyértel­műen felbontható prímszámok szorzatára.

Először azt bizonyítjuk, hogy az összetett szám felbontható prímszá­mok szorzatára. Az biztos, hogy az összetett a szám feh'rható két, 1-néI nagyobb egész szám szorzatára. Ezek vagy prímszámok, vagy legalább az egyik tényező tovább bontható 1-nél nagyobb számok szorzatára. Ez a szorzat vagy prímtényezőkből áll, vagy' tovább bontható 1-nél nagyobb számok szorzatára, ... . Végül a szám felírható a pi, p j,—, P,% különböző prímtényezők segítségével. A többszörös prímtényezőket hatványként írva, kapjuk:

a=pl^p^iP^...pZ

ahol ttj, 0.2, pozitív egész számok.A felbontás egyértelműségét bizonyítjuk: Tegyük fel,

számnak kétféle fe tás nem különböző:

hogy az abontása is létezik. Belátjuk, hogy ez a kétféle felbon-

fm-

A bal oldalon álló szorzat osztható /?i-gyel, ezért a jobb oldalon álló szor­zat is osztható jPi-gyel. Ez csak úgy lehetséges, hogy a jobb oldalon álló prímtényezős szorzat egj'ik tényezője ispi, például Pi = qi- Mindkét oldalt osztjuk ezzel a prímszámmal. Ezt az eljárást tovább folytatjuk mindaddig, amíg az egyenlőség bal oldalán van prímszám. Végül az egyenlőségben az2 = prímszámok szorzata lehetetlen. Tehát az a összetett számot csak egy­féle prímtényezős felbontásban írhatjuk fel.

A prímtényezős felbontás praktikus elvégzését a következő példák mutatják:

990 2 i n 2 55 825 5495 3 396 2 11 165 5165 3 198 2 2233 755 5 99 3 319 1111 11 33 3 29 29

1 111

11 1

990 = 2 . 32.5-11 792 = 2''•3^.11 55 825=5--■7-11

36

SZÁMELMÉLETI ALAPISMERETEK

A legnagyobb közös osztó meghatározása

Két vagy több pozitív egész szám közös osztói azok a természetes szá­mok, amelyek minden számnak osztói. Közülük a legnagyobb nevezetes. Ez a legnagyobb közös osztó. Az a, 6 számok legnagyobb közös osztójának a jelölése: (a]b).

A legnagyobb közös osztó meghatározásánál felíijuk a számok prím­tényezős felbontását. A közös prímszámok mindegyikénél megkeressük a legkisebb hatványkitevőjűt. Ezeknek a legkisebb kitevőjű prímszámhatvá- nyoknak a szorzata lesz a számok legnagyobb közös osztója. Ha nincs közös prímszám, akkor a legnagyobb közös osztó 1.

Az előző prímtényezős felbontásokat felhasználva:

(990; 792) = 2-32-11 = 198, (990;55 825) =5 • 11 =55, (990; 792; 55 825) = 11

(Törteket a számláló és a nevező legnagyobb közös osztójával érdemes egyszerűsítenünk.)

Ha két szám legnagyobb közös osztója 1, akkor azokat relatív prímszá­moknak nevezzük. Relatív prím például 25 és 36, mert (25; 36) = 1.

A legkisebb közös többszörös meghatározása

Két vagy több pozitív egész szám közös többszöröse minden olyan szám, amely mindeg>'ik számnak a többszöröse. A pozitív közös többszö- rösök közül a legkisebb a nevezetes, ezt nevezzük a legkisebb közös több­szörösnek. A z a ,b számok legkisebb közös többszörösének jelölése: [a; b],

A legkisebb közös többszörös meghatározásánál felírjuk a számok prímtényezős felbontását és ezekben minden egyes prímtényezőnél meg- keiessük a legnagyobb hatványkitevőjűt. Mindezeket a legmagasabb kite­vőjű prímszámhatványokat összeszorozzuk, ezek szorzata lesz az eredeti számok legkisebb közös többszöröse.

Az előző prímtényezős felbontásokat felhasználva:

[990; 792] = 2 ■ 3^- 5 • 11 = 3960[792; 55 825] = 2^.3^ ■ 5^-7• 11 • 29 = 4 019 400[990; 792; 55825] = 2 ■ 3 .5^ • 7 ■ 11 • 29 = 4 019 400

(Törtek összevonásánál a közös nevezőnek a nevezők legkisebb közös többszörösét érdemes választanunk.)

37

V. H a t v á n y , g y ö k , l o g a r i t m u s

A fejezet rövid és vázlatos áttekintése: A 3 = 81 egyenlőségben három szám szerepel. Közülük kettő meghatározza a harmadikat.

a) A z alap 3, a kitevő 4, keressük a hatványt. Hatványozással határoz­zuk meg; 3‘*=81.

b) A k itevő 4, a hatvány 81, keressük az alapot. Gyökvonással kapjuk

meg: ^81=3c) Az alap 3, a hatvány 81, keressük a kitevőt. A logaritmuskeresés

m űveletével kapjuk: logjSl =4.

A hatványfogalom, a hatványozás azonosságai

a) H a egy számot többször veszünk szorzótényezöül, akkor ennek rövid írásmódja a hatvány: a - a -a = a ^ Értelmezzük a pozitív egész kitevőjű hatványokat.

b) A pozitív egész kite\’őjű hatványokra azonosságokai (lételeket) bizonyt- tunk.

c) A hatvány fogalmat kiterjesztjük; 0, negatív egész, törtkitevöjű hatvá­nyokat értelmezünk. Ez a permanencia-elv alapján történik.

Pozitív egész kitevőjű hatványok értelmezése:

Bármely számot, ha kitevője 1-nél nagyobb egész szám, annyiszor ve­szünk szorzótényezöül, ahányszor a kitevője mutatja.

a”=a’a 'a- ... -a aGR, íí€N \{0; 1}.

Az egymagában álló a-t nem tekintjük szorzatnak (vagy „egytényezős” szorzatnak mondjuk) azű^-t külön definiáljuk:

Bármely szám eisö hatványa önmaga: a^=a (űGR).

A pozitív egész kitevőjű hatványok azonosságai:

1. A z£f”a'* nGN"^) hatványok szorzásánál minden tényező azo­nos és összesen m+« tényező van. Ezért

(aER). (1)

38

HATVÁNY, GYÖK LOGARITMUS

Azonos alapú hatványokat tígy is szorozhatunk, hogy az alapot a kite­vők összegére emeljük.

a"'2. Az — (m GN"^, «GN^, a=? 0) hatványok osztásánál, ha n <m, aiidcor a

törtet a"-nel egyszerűsíthetjük. Ekkor a számláló eredeti m tényezőjé­ből ?7-nel kevesebb, azaz m -n marad. Ezért

cf'= a^-n (aG R \{0». (2)

Azonos alapú hatványokat úgy is oszthatunk, hogy a közös alapot a számláló és a nevező íiatványkitevőjének a különbségére emeljük.

3. Az {{f*Y azt jelenti, hogy az a'” alapot «-szer vesszük szorzótényezöül, azaz azonos apú hatványokat szorzunk: . .ű"* = a"" " így:

(«'")"=a'"" (űGR) (3)

Hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük.

Megjegyezzük, hogy az {a”'Y hatvány hatványozását jelenti, azonban

c t jelentése: az a alapot felemeljük az m" kitevőre, azaz cf' =A hatványozás nem kommutatív művelet, mert (például) 3^#23 és nem asz-

szociatív, mert azaz 8^2® 64#512.

4. Az {aby szorzat hatványa, az ab szorzatot kell n-szer szorzótényezöül vennünk. A szorzat tényezőit - a kommutatív és az asszociatív tulajdonság alapján - megfelelően átrendezhetjük: abab...ab~ = {cuL..a)(pb...b). Ezért

{a h f = a^h’ (ű,6 GR) (4)

Szorzat hatványa a tényezők hatványának a szorzata.

S. Az hatványnál az - törtet kell n-szer szorzótényezőül vennünk. b

A törtnek törttel történő szorzásából következik:

(« ,Ö G R ;ö/0) (5)

Hányados hatványozásánál külön hatványozhatjuk a számlálót és külön a nevezőt.

39

HATVANY, GYÖK. LOGARITMUS

A hatványfogalom kiterjesztése

Eddig a pozitív egész kitevőjű hatványokat értelmeztük. Az eddigiek

alapján 5 , 7‘ 4 olyan jelölések, amelyeknek nincs értelme.Az előzőekben a pozitív egész kitevőjű hatványokra megismertük az

(l)-(5) azonosságot. Szeretnénk értelmezni 0, negatív, törtkitevöjű hatvá­nyokat is. Apermanencia-elv alapján azt kívánjuk, az ezután értelmezen­dő 0, negatív és törtkitevőjű hatványokra is érvényesek legyenek az (l)-(5) alatti azonosságok. Ezért az öt azonosság figyelembevételével keressük a megfelelő definíciókat.

A 0 KITEVŐJŰ HATVÁNY ÉRTELMEZÉSE

Azt szeretnénk, hogy a 0 kitevőre is érvényes legyen az azonosság, azaz fennálljon a°a"=aP^’'=af’. H a ű^O, akkor ez csak úgy lehetséges, ha a®= 1. H a a =0, akkor 0® • 0" = D", 0® • 0= 0 . Ennek alapján 0'>-t tekinthetnénk 0-nak, 1-neL O -t egyértelműen nem definiálhatjuk.

H a a # 0 , akkor ű®=l értelmezés gondolata jónak tűnik, de addig nem fogadhatjuk el, míg (2)-{5) azonosságnál nem ellenőriztük. A z ellenőrzés helyett csak az eredményt közöljük: a vizsgálat az elgondolásunkat iga­zolja.

Definíció: ű°= l, {űGR\{0}), azaz bármely 0-tól különböző valós szám 0 kitevőjű hatványa 1.

A NEGATÍV EGÉSZ KITEVŐJŰ HATVÁNYOK ÉRTELMEZÉSE

fl"' 1A z azonosság m = 0 esetén — =a-". Ahatványozás (1) és

(3)-(5) azonosságai is mutatnák, hogy ez az értelm ezés megfelel.

Defíníciő: a '' = — (íj/0, « e N azaz bármely 0-tól különböző valós szám ír

negatív egész kitevőjű hatványa az ellentett kitevővel vett hatványának re- ciproka,

TÖRTKITEVÖJŰ HATVÁNYOK ÉRTELMEZÉSE

A perm anencia-elv alapján szeretnénk, ha az egyelőre nem értelm ezett

a ” -re is érvényes lerme a hatvány hatványozásának azonossága (A z k = 1 esetén a kitevő m , azaz egész szám, ezért most « € N + \{ 1 } ) . Ekkor

HL — i— I

= 0“ . Vegyük mindkét oldal «-edik gyökét: ű" = va'". Ezt m egfele­

lő

HATVANY, GYÖK LOGARITMUS

lő definíciónak gondolhatjuk. H a ezt elfogadjuk, akkor a - - =

= ^ . Ekkor a < 0 esetén yö^-nek nincs értelme, de 1/ö^-nak van értelme. Azért, hogy ezt az ellentmondást elkerüljük, kizárjuk az a < 0 esetet.

mH a a törtkitevö negatív, akkor gondoljuk — alakúnak, m, n pozitív

— j— ,

egész számok Ekkor á ” -ya-^= " . A z a = 0 esetet kizárjuk.

Definíció: Cí ='fa'” (0<a, m e Z , « £ N ^ \{ 1}), azaz egy pozitív a szám— -edik hatványa az a alapnak m-edik hatványából vont n-edik gyöke. n

Megjegyzés: A gondolatm enet folytatása az trradonális kitevőjű hatványok értelm ezése. Ez azonban nem középiskolai anyag.

A hatványfogalom kitetjesztésének szempontjaiból következik, hogy a pozitív egész kitevőjű hatványokra bizonyított Öt azonosság érvényes a 0, a negatív, a tört (továbbá az irracionális) kitevőjű hatványokra is.

A hatványfogalom kiterjesztése után foglalkoztunk az exponenciális függvérmyel. Ezt a FÜG G V ÉN Y EK című fejezetben vizsgáljuk.

A gyökfogalom, a gyökvonás azonosságai

A z n-edik gjök fogalma magában foglalja a négyzetgyök fogalmát is. A négyzetgyök azonban nagyon gyakran szerepel, ezért azt külön is defini­áljuk.

A négyzetgyök fogalma

.Valamely a nemnegatív szám négyzetgyöke olyan nemnegatív szám, a m é lj^ k a'négyzete az a szám.Például: iÍ9 = 3, mert 0<3 és 3^=9,

\ a \, mert Oá |a l és \ a\^=a^.

Az n-edik gyök fogalma

A számok n-edik gyökét páros és páratlan gyökkitevő esetén külön ér.teLniezzük:1. . A gyökkitevő páros szám: 2k (/cgN^). Valamely.ű nemnegatív szára

2fc-adik gyöke olyan nemnegatív szám, amelynek 2fc-adik hatványa a.

41

HATVANY. GYÖK, LOGARITMUS

Például: ^ = 2 , mert_0<2 és 2^= 16,ifa = |g | , mert Qg |qI és \a\^-a^.^-81 nincs értelmezve.

2. A gyökkítevő páratlan szám: 2/c+l (/ceN^), Valamely a valós szám 2/:+.l-edilí gyöfce öryaírszám,”amélynék 2fc+l-edik lTatványa

Például: =2, mert 2 = 32,/ ^ = - 2 , . m e r t (-2)^=-32....

.^rtelmezésünkbí91 következik:-mindkét esetben egyetlen, olyan.szám van, amely eleget tesz a definíciónak.....-

A gyökvonás azonosságai .

^ alábbiakban minden páros kitevőjű gyökjel alatt csak nemnegatív szám állhat.

1. Íab = Í a ^ , azaz a szorzat gyöiíét felírhatjuk a tényezők o-edÍk gyöké­nek szorzataként.Bizonyításához emeyűk«-edik hatványra az egyenlőség mindkét olda­lát: ab= ( i i ib y = i ia T iib y =ab.

2. ( = 0), azaz tört n-edlk gyöke felírható a számláló és a ne­

vező /i-edik gyökének hányadosaként.Hatványozással beláthatjuk, hogy a bal oldal «-edik hatványa egyenlő a jobb oldal n-edik hatványával.

3- azaza hatvány «-edik gyökét feh'rhatjuk.az alap_n-edik.gyö-kének hatványaként.A bal oldal átalakításával eljutunk a jobboldalon álló kifejezéshez:

4. azaz a gyöknek a gyökét felÍThatjuk úgy is, hogy a gyökje­lek alatti kifejezésből olyan kitevővel vonunk gyököt, amely az eredeti gyökkitevök szorzata.Bizonyításához emeljük «-edik hatványra az azonosság mindkét olda­lát; Az új egyenlőség mindkét oldalát emeljük Jt-adik hat­ványra: a = ('**^)"^;Azn-edik gyök azonosságaiból adódnak azonosságai is:

'(ab = '{aT(b,

VbEzeknek az azonosságoknak az alkalmazásával - sok esetben - egysze­rűbben vagy céljainknak megfelelőbben írhatjuk fel a négyzetgyökös kifejezéseket.

42

HATVANY, GYÖK, LOGARITMUS

KIEMELÉS A NÉGYZETGYÖKJEL ALÓL

V4<z^l2ű^= Í4a\a^+3) = ^ ^ ( ^ = 2 a ^ ia ^ + 3 .

Ha a négyzetgyökjel alatti kifejezést olyan szorzatként írhatjuk fel, amelynek egyik tényezője teljes négyzet, akkor annak négyzetgyökével szorozhatjuk a másik tényező négyzetgyökét. (A kiemelés körültekintéstkíván, ezt mutatja a következő példa: ^a^b+3a^= ia\b+3)' = IcI • Vö+3.)

BEVITEL A NÉGYZETGYÖKJEL ALÁ

Ha a négyzetgyök szorzóját négyzetreemeljük, akkor azzal szorozhat­juk a négyzetgyökjel alatti kifejezet. Fokozottan kell figj-elnünk olyan esetben, ha a négyzetgyökjel előtti tényező olyan betűs kifejezés, amely lehet pozitív is, negatív is:

2 a ^ =Í4a^(b+7), haOSa,

--^4a\b+7)l h a a < 0.

TÖRT NEVEZŐJÉNEK GYÖKTELENÍTÉSE

Ha egy tört nevezőjében négyzetgyök szerepel, akkor megfelelő bőví­téssel úgy alakíthatjuk át a törtet, hogy a nevezőjében ne legyen négyzet­gyök:L Ha a nevező egytagú, akkor a négyzetgyökös tényezővel ajánlatos bő­

vítenünk:

3 3^2 3^2 a

5^2 5(^2)^ 10 ’ 2 ^ 6x

2. Ha a nevező kéttagú, akkor olyan kéttagú kifejezést keresünk, amellyel bővítve a törtet, a nevezőben két tag különbségének és ugyanazon két tag összegének a szorzata lesz:

. 3 ( 2 ^ - ^ )3 - ^ (3-V5)(3+V5) 4 ’ 17

A gyökfüggvényekkel a FÜGGVÉNYEK című fejezetben foglalko­zunk.

43

HATVÁNY, GYÖK, LOGARITMUS

A logaritmus fogalma, azonosságai

Bármely pozitív szám egyértelműen felírható valamely 1-töl különbö­ző pozitív szám hatványaként. Egy számnak egy adott alapra vonatkozó hatványkitevöjét a szám adott alapú logaritmusának nevezzük.

A logaritmus fogalma

A b pozitív számnak az 1-től különböző pozitív a alapú logaritmu­sának nevezzük azt a hatványkitevöt, amelyre o-t emelve b-t kapjuk. Ezröviden: = b (0 <a é sa# l, 0 <í>).

3 ^Például: lo g ^ 7 = - mert 9^ =^9^= 3^=27,

logo i =-5, mert ű í'^= i (0< í?ésű /l).

A logaritmusra vonatkozó azonosságok

1. log^c = log^+logaC, azaz szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők lo­garitmusának összegével.Ennek bizonyításához tekintsük a c pozitív számokat és a szorzatu­kat. A logaritmus definíciója alapján:

h=a^°^, bc= a^°^\

A be szorzatot írjuk fel egyenlő alapú hatványok szorzataként is:

A kétféle felírásból következik:

^los^e_^log^+bg„e

Mivel bármely pozitív szám, az a (0<a és a# l) alap hatványaként csak egyféle módon állítható elő, ezért az említett azonosság igaz.

2. loga ~ - loga&-log(jC, azaz tört logaritmusa egyenlő a számláló és a ne-c

vező logaritmusának a különbségével.

Bizonyításához írjuk fel a - hányadost kétféle módon, a logaritmus fo-c

44

HATVANY, GYÖK, LOGARITMUS

galmának a segítségével is, az egyenlő alapú hatványok osztásával is.

cb _ iog -logjCc

A két egyenlőség összehasonlításával kapjuk a bizonyítandó azonos­ságot.

3. loggö* =A:*logaí>, azaz hatvány logaritmusa egyenlő az alap logaritmu­sának és a kitevőnek a szorzatával.A 6* hatványt írjuk fel a logaritmus fogalma segítségével is, hatvány hatványaként is:

A két egyenlőség jobb oldalának Összehasonlításával kapjuk az azo­nosságot.

4. A harmadik azonosságból és a törtkitevőjű hatvány értelmezéséből kö­

vetkezik a gyök logaritmusára vonatkozó azonosság; logal/^= ,

azaz gyök logaritmusa egyenlő a gyök alatti kifejezés logaritmusának és a gyökkítevönek a hányadosával.Függvénytáblázatunkban megtaláljuk a számok 10-es alapú logarit­

musát. Annak, valamint az előző azonosságoknak a segítségével rövideb­bé tehetjük az olyan Összetett kifejezések kiszámítását, amelyekben számok szorzata, hányadosa, hatványa, gyöke szerepel.

Áttérés más alapú logaritmusra

Ha ismerjük a számoknak egy adott alapú logaritmusát, akkor azok segítségével egy szám valamely más alapú logaritmusát is kiszámíthatjuk. Röviden azt mondjuk, hogy áttérhetünk más alapú logaritmusra.

Tekintsük adottnak a számok a alapú logaritmusát (0<ű és a /1 ). Ezek segítségével határozzuk meg egyx szám (0<j:) b alapú logaritmusát(0<b és é /1 ). A logaritmus fogalma alapján Az egyenlőségmindkét oldalának vegyük az a alapú logaritmusát. Az azonosságok alapján;

log^j: = logí,Jc-log^&.Ebből kapjuk:

\0gabazaz valamely szám új alapú logaritmusát megkapjuk, ha a szára régi ala­pú logaritmusát osztjuk az új alap ré ^ alapú logaritmusával.A logaritmusfüggvénnyel a FÜGGVÉNYEK fejezetében foglalkozunk.

45

BETŰS KIFEJEZÉSEK, NEVEZETES AZONOSÁGOK

VI. B e t ű s k i f e j e z é s e k , n e v e z e t e sAZONOSSÁGOK

Algebrai kifejezések

A betűs kifejezések sokfélék. Néhány példa:

5a^-3a+6

y(4c-3)^

i4r-3 |a^+Sa

(1 )

(2)

(3)

(4)

a (5)

3^-ey+3 (6)

(7)

(8)

lg(3a+5)9

Sa+ÜO

la+'{aí a + ^ — x^+1

x - ^

SÍn(3í:+5) ,t +3 5

(9)

(10)

(11)

(12)

A közöttük való tájékozódáshoz alakjukat megfelelő szóval (jelzővel) jellemezzük.

Beszélünk algebrai kifejezésekről és nem algebraiakról.A ) Algebrai kifejezéseknek azokat nevezzük, amelyekben betűknek (és

számoknak) csak összege (különbsége), szorzata (egész kitevőjű hat­ványa), hányadosa, gyöke szerepel (véges sokszor).A fentiek közül algebrai kifejezés az (1), (2), (4), (5), (7), (8), (10), (12).

B) Nem algebrai kifejezés a (3), (6), (9), (11).A /l . Az algebrai kifejezések közül azokat, amelyekben nem szerepel

betűs kifejezésből történő g>'ök\'onás, racionális kifejezéseknek mondjuk.A fentiek közül racionális algebrai kifejezés az (1), (4), (5), (7), (10), (12); nem racionális algebrai kifejezés a (2), (8), Ez utóbbiakat gyö- kös (vagy irracionális) algebrai kifejezéseknek mondjuk.

A/2. A racionális algebrai kifejezések közül azokat, amelyekben nincs betűs kifejezéssel történő osztás, racionális egész kifejezéseknek ne­vezzük.A fentiek közül racionális egész kifejezés az (1), (5), (7), (12); nem egész kifejezés a (4), (10). Ez utóbbiakat racionális algebrai tört- kifejezéseknek is nevezzük.Hangsúlyozzuk, hogy ezek az elnevezések a kifejezések alakját jel­

lemzik. Tudjuk, hogy az előbb említettek közül a (2) és a (3)-ra fennáll

14c-31. Az alakjuk miatt a bal oldali algebrai kifejezés, a jobb

oldali nem algebrai. A (4) és (5)-re igaz: ^ = a. Mindkét oldalon ra­

cionális kifejezés van, de a bal oldalon racionális tört, a jobb oldalon racionális egész kifejezés áll.

Minden racionális egész kifejezés felírható többtagú (polinom) alakban. Például; (3a~2ö)(4ű-3ö) = l2a^-Sab~9ab+6b'^ = \2a^-\lab+6b^,

vagy {2a+bf'-{2a+6b){a- — ) = 2a^-ab+Ab^.2

A többtagúak közé tartoznak az egytagú kifejezések is.Bevezettük az egytagú, többtagú kifejezések fokszámának a fogalmát.

Ha a rendezett egytagú kifejezésben egyetlen betű szerepel, akkor annak hatványkitevőjét nevezzük az egytagú fokszámának, ha több betű szerepel benne, akkor a benne szereplő betűk hatványkitevőinek az összegét ne­vezzük az egytagú fokszámának. Például: la^ harmadfokú, 4ab^c^ hatod­fokú, stb. (A 0-tól különböző számok fokszáma 0. A 0 számnak nincs fok­száma.)

Többtagú egész kifejezés (polinom) fokszáma azonos a legmagasabb fokszámű tagjának a fokszámával. Például: ötödfokú, Aa^+Sab^negyedfokú, -9x^yz‘* +2x z nyolcadfokú,... stb.

A kifejezések alakját - céljainknak megfelelően - gj-akran kell megvál­toztatnunk. Ha problémák, feladatok megoldása közben betűs kifejezé­sekkel dolgozunk, akkor azok alakját célszerű úg>’ változtatnunk, hogy az új alak előbbre vigye a megoldás menetét.

Nevezetes azonosságok

A leggyakrabban előforduló átalakításokat röviden felsoroljuk. A valós számokra vonatkozó (a+b)c = ac+bc disztributív tulajdonságnak fon­tos következményei az alábbiak;a) Ha b =x+y, akkor (l)-ből kapjuk:

{a+x+y)c=ac+xc-vyc (1)Ezt balról jobbra tekintve, mondhatjuk: Többtagú kifejezést egytagú­val szorozhatunk úgy, hogy az egytagúval szorozzuk a többtagú min­den tagját. Ugyanezt az átalakítást jobbról balra tekintve szorzattá alakításnak nevezzük. A jobb oldali tagokból kiemeltük a közös tényezőt.

46 47

BETŰS KlFEJEZESEK, NEVEZETES AZONOSÁGOK

b) Ha c =JC+>', akkor a disztributív tulajdonságból következik:

(a+b){x+y) = aK+ay+bx+by (2)

Többtagú kifejezést töbtagúval szorozhatunk úgy, hogy az egyik té­nyező minden tagját szorozzuk a másik tényező minden tagjával.A (2) jobb oldalából a tagok felcserélésével, csoportosításával és ki­emelésekkel jutunk a bal oldalhoz:

ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) = (a+b){x+y).

Ezt az eljárást csoportosítással történő szorzattá alakításnak mondjuk.Az alábbi azonos átalakítások egyszerűek és gyakoriak. Ezért azokat

érdemes külön megjegyeznünk. Igazolásuk természetes módon történik, például a (3) bizonyítása: (a+b}^=ia+b){a+b)=^a^+ab+ab+b^ = a +2ab-<rb .

{a+b)~=a^+2ab+b^, (3)(a+b)^=a^+3a^b+3ab\b^, (4)

(a+b+c)^=a^+b^+c^+2ab+2ac+2bc , (5)(a+ö)(a-ö) = ö^-6* , (6)

{a-b)(a^+ab+b^) = a^-b^, (7)(a+b)(a^-ab+b") = a^-b^ . (8)

A (6) és (7) átalakítás speciális esete egy általánosabb azonosságnak. Ezt is érdemes megjeg>'eznünk:

Ez n = 2 esetén a (6)-ot, íi = 3 esetén a (7)-et adja.A (8)-nak megfelelő általános azonosság:

{a^b)(a^-a^^-^b^a^-V- ... (fceN -)

Ez A: = l esetén a (8) alatti egyenlőség.Ha a felsorolt azonosságokat balról jobbra tekintjük, akkor ezek a

szorzatok rendezett többtagú (polinom) alaíaa hozását jelentik, Jobbról-bal- ra tekintve azt mutatják, hogy az ilyen többtagú kifejezések hogyan ala­kíthatók szorzattá.

Törtek egyszerűsítésének első lépéseként ajánlatos a számlálót is, a nevezőt is szorzattá alakítanunk.

Törtek közös nevezőre hozásánál a nevezők legkisebb közös többszö­rösét (azaz a közös nevezőt) a nevezők szorzattá alakítása után ajánlatos keresnünk.

A hatványokra, gyökökre, logaritmusokra vonatkozó azonos átalakí­tásokat az előző fejezetben tárgyaltuk.

VII. FUGGVENYEK

A négyzet területe egyetlen adattól függ. H a a négyzet oldalhossza a, akkor területe a . A négyzet területe egyváltozós függvény.

Aza,b oldalhosszúságú téglalap területe ab, ez kétváltozós függvény.

Középiskolában részletesen csak az egyváltozós függvényekkel foglal­koztunk.

H a a függvény fogalmának lényegét egyetlen szóval akarjuk kifejezni, akkor az a hozzárendelés lenne. E z az egyetlen szó azonban nem elég, a függvényfogalmat pontosan kell értelmeznünk és m ég néhány hozzákap­csolódó fogalmat is. Foglalkoznunk kell a függvények megadási módjával, szemléltetésükkel, ábrázolásukkal is.

A függvények jellem zésére különböző fogalmakat vezettünk be. Ezeket tudatosan is ismernünk kell.

Vannak olyan függvénytípusok, amelyekkel gyakran dolgozunk. Ezeket külön is tárgyaljuk.

A függvényfogalom, elnevezések

Adott két (nem üres) halmaz, jelöljük ezeket H-val és K-vaL Ha a H hal­maz minden egyes eleméhez valamilyen módon hozzárendeljük a K halmaz €gy~egy elemét, akkora hozzárendelést függvénynek nevezzük.

A 16. ábra olyan hozzárendeléseket szemléltet, amelyek a függvény fogalmának megfelelnek.

Kölcsönösen egyértelmű (vagy egy-egyértelmű) az a hozzárendelés, amely a H halmaz minden egyes eleméhez a K halmaznak pontosan egy elemét rendeli és a K halmaz minden elemét hozzárendeli a H egy-egy

48 49

FUGGVENYEK

eleméhez. Ilyet szemléltet a 16/c ábra. Az ilyen hozzárendelés „fordítva is függvény”

A H halmaz a függvény értelmezési tartománya.A függvények szokásos jelölése:/,^, h , ... Ha az/függvény értelmezé­

si tartományának egy elemét x-szeí jelöljük, akkor a K halmazból hozzá­rendelt elemet/(x)-szel jelöljük, ezt azx-hez tartozó helyettesítési érték­nek (vagy függvényértéknek) nevezzük.

A K halmaz a függvény helyettesítési értékeinek a halmaza (16/b, 16/c ábra), vagy annál bővebb halmaz (16/a ábra). A K halmazt képfial- maznak is mondjuk. Ha a K halmaz pontosan a függvény helyettesítési ér­tékeinek a halmaza (16/b,c ábra), akkor a képhalmazt a függvény érték- készletének nevezzük.

Az értelmezési tartomány és a képhalmaz elemei lehetnek számok, pontok, tá r ja k , idő, emberek, hőmérséklet, stb. A / / és a halmaz lehet különböze is, de lehet azonos is.

Leggyakrabban olyan függvényekkel dolgozunk, amelyeknek értelme­zési tartománya is, értékkészlete is a valós számok részhalmaza (azaz R, vagy annak egy valódi részhalmaza). Az ilyen függv'ényeket valós változó­jú, valós értékű függvényeknek, röviden R-*M (olvasd: „R nyíl R ”) típusú függvényeknek nevezzük. Ezeknél a függvényeknél az/(x) jelölést a hoz­zárendelési szabály szimbolizálására is használjuk.

A 16. ábrán Venn-diagramokkal szemléletessé tettük a hozzárendelé­si szabályokat.

Az R ^ R típusú függvényeknél a hozzárendelést úgynevezett „nyíldia­grammal”, azaz két párhuzamos számegj'enes segítségével is szemléltet­hetjük. Az egyik egyenes részhalmaza az értelmezési tartomány, a másik részhalmaza a képhalmaz. Nyilak mutatják a hozzárendelést (17. ábra).

1,5jc - 2

17. ábra

A leghasznosabb (ezért leggyakoribb) szemléltetés az (aj’) koordináta­síkon való ábrázolás. A függvény értelmezési tartományának x elemeihez kiszámítjuk az f{x) füg^ényértékeket és az (x; /(a:)) pontokat a koordiná- ta-rendszerben ábrázoljuk. Ezeknek a pontoknak a halmaza az/függvény képe vagy grafikonja. A grafikon egyenletes =/(x).

50

FÜGGVÉNYEK

Ha egy függvényt, a matematikai fogalma alapján pontosan akarunk megadni, akkor megadjuk értelmezési tartományát, a képhalmazát és a hozzárendelési szabályát. Például;

/ : R ^ R , X '-^ 3 x -7 , v a g \’/ : R -^ R ,f { x ) = 3 x - 7 ,

g : R ^ R \ g ( x ) = 3 ^ - ^ h - . R \ { 3 } ^ R , h ( x ) = ^x - 3

Találkozunk eg^'szerűbb megadási móddal is. Például;1

x ^ -4Ekkor a

függ\'ény értelmezési tartományának azt a legbővebb halmazt tekintjük,

amelyet — formula megenged. Ennek a függvénynek az értelmezésij r —4

tartomány; R \{ - 2 ; 2}. (Vannak ilyen jellegű kitűzött feladatok is; „Álla­pítsuk meg a következő ... kifejezés értelmezési tatományát*'.)

Az értelm ezésből következik, hogj' különbség van a z / függvény, a z / függvény X helyen vett/(a:) helyettesítési értéke, a függvény grafikonja és a grafikon>' ~f(x) egyenlete között, A fogalmi különbségeket ereznünk kell, de

ga különbségeket nem kell mindig hangsúlyoznunk, A szabadesés ■ ' ' ~ 2

9 81a za z i = í - „ k é p l e t e ” i.s függvény. A szabadesés tágyalásánál zavaró

lenne, ha megadnánk a függvény értelmezési tartományát és nyíllal je ­lölnénk a hozzárendelést.

Inverz függvények

A H halmazon értelmezett / függv'ény értékkészlete K és legyen az x ^ f { x ) hozzárendelés kölcsönösen eg>'értelmű, (A z/függ\’ény grafikon­jának y = fix) az egyenlete.) A kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésből következik, hog)' a K értékkészlet minden egyes eleme a H értelmezési tartomány eg>'etlen értékének a képe, azaz a hozzárendelés „fordít\'a” is függvény. Ez azt jelenti, hogy az / függvény „megfordításával” a K hal­maznak, mint értelmezési tartománynak minden egyes eleméhez hozzá­rendelhetjük a//halm aznak, mint képhalmaznak egj'-egy elemét;/(jí)Az ígj' kapott függvényt az/függ\'ény inverzének nevezzük, (Szokásos jelö- lé se ;/‘\ ennek olvasása; „/inverze ”,) A kétféle hozzárendelést a 18. áb­rán egy monoton növekvő folytonos függvény segítségével szemléltettük.

H a /e g y formulával megadott olyan függvény, amelynél a hozzáren­delés kölcsönösen egyértelmű, akkor az inverz függvényének formulájá­hoz úgy Juthatunk el, hogy az>- =f{x) alakból azx-et az>' segítségével kife­jezzük. Ebből azx és>’ betűk felcserélésével jutunk a megszokott alakhoz.

51

felcserélése a tengelyek felcserélését jelenti és ebből az következik, hogy az eredetj és az inverz függvény képe az v=x e ^ n e s r e (az I. és III. „egyed szögferezSjére) n é zv I^ g y L sn ík Tükör-

FÜGGVÉNYFJC ______________________

18. ábra 19. abraPélda: Azy=3cc+2 függvény inverzének meghatározása:

y~2 oaz X, j felcserélése után: v =

3 - ^ 3 3X 2

A z > -= 3 r + 2 é s a z y = ^ -_ egyenletű egyenesek egymásnak tükörké­

pei az>>=jc egyenesre nézve (19, ábra).

A függvények jellemzése

bevezettünk néhány fogahnat. (Ha a füeg- a k í s í értehnezési tartományát, értékkészletót

Egy-egy fflgÍvéi.y„éI

“ ''5' írtékei-

b) az értelmezési tartományában, vagy annak egy részén csökkenő novekvo, nemcsökkenő, nemnövekv&, csokfceno,

ha van, akkor a változó m dy értékei-

52

FÜGGVÉNYEK

d) van-e helyi minimuma, helyi maximuma, ha van, akkor az a változó mely értékeinél van;

e) periodikus-e a függvény, ha igen, akkor mi a periódusa',f) páros-e, páratlan-e a függvény, vagy nem is páros, nem is páratlan;

A vizsgálatokhoz a megfelelő fogalmakat pontosan kell ismernünk.a) Valamely / függvény zérushelyeinek nevezzük az értelmezési tartomá­

nyának mindazon jc értékeit, amelyeknél/(j:) = 0.b) A függvények menetének jellemzésére bevezettük a monoton csökke­

nés, növekedés, nemcsökkenés, nemnövekvés fogalmát. Ezek helyett azonban más elnevezéseket is használhatunk. Rendre mondhatjuk, hogy a függvény szigorúan csökkenő, szigorúan növekvő, csökkenő, növekvő. Ezek pontos értelmezését az alábbiakban foglaljuk össze és a 20. ábrával szemléltetjük.

N\ \1 <X^

Jy

X. <JT, -r

20. ábra

Ha az / függvény értelmezési tartományának egy intervallumában a változó bármely x^<x^ értékeinél a megfelelő függvényértékekre fennáll,

egyik elnevezés másik elnevezés

/(xi) >/(x2), akkor ott a függvény csökkenő szigorúan csökkenő

fix-) <f{x'^, akkor ott a függvény növekvő szigorúan növekvő

/(Xi)^/(X2), akkor ott a függvény nemnövekvő csökkenő

/(xi) á/(x2), akkor ott a függvény nemcsökkenő növekvő

A kétféle elnevezés közötti különbséget legjobban a konstansfüggvé­nyek jellem zése mutatja meg. Ezekre az első elnevezések szerint azt kell mondammk, hogy nemnövekvök és nemcsökkenök, a másik elnevezés szerint pedig azt, hogy csökkenők és növekvők.

c) Az/függvénynek m/rt/ffíumfl van a változó jc értékénél, ha a függvény az ott felvett/(x j értéknél sehol sem vesz fel kisebb értéket.

53

FÜGGVÉNYEK FUGGVENYEK

A z f függvénynek maximuma van a változó a:2 értékénél, ha az ott fel- vcttfixi) függvényértéknél a függvény sehol sem vesz fel nagyobb érté­ket.

d) Az/függvénynek helyi minimuma van a változó a értékénél, ha létezik az a-nak egy olyan környezete (azaz létezik olyan nyitott intervallum, amely tartalmazza a*t), hogy abban az/függvény az jc=a-nál felvett f{a) függvényértéknél kisebb értéket nem vesz fel.Az / függvénynek hefyi maximuma van a változó b értékénél, ha léte­zik ÍJ-nek olyan környezete, hogy abban az/függvény az x=í>-nél fel­vett/(&) függvényértéknél nagyobb értéket nem vesz fel (21, ábra).

a X , .Í2 X3V 1 h X

x ^ f i x )

X - a: maximum [x ,; X.]; csökkenő[a : csökkenő x - : zérushely

helyi minimum X4 : minimum[*i ■ növekvő [■4; ö [ : növekvő

helyi maximum X5 : zérushely21. ábra

e) A z x>-^f(x) függvényt periodikusnak mondjuk, ha létezik olyan0<p konstans, hogy minden ;ic-re (xeH ) fennáll x ^ e H és az f{x+p)=f(x) egyenlőség. Ha az ilyen/? számok között létezik legkisebb, akkor ezt a p konstanst az / függvény periódusának nevezzük (22. ábra).

periodikus függ\’ény. 2

-3 - 2 - 1 0 1 2 3i [ x ^ x t ö r t r é s z e )

2 2 ábra

f ) A z fJ í^ R ,x ^ f{ x ) f ü g g v é n y t n e v e z z ü k , habármelyjc {x^H ) értékkel eg>^tt -x is a függvény értelmezési tartományához tartozik és bármely j:-re/(-jc)=/(x). Páros függvény képe szimmetrikus a koordinátasík^ tengelyére.Az x>->fix) függvényt páratlan függvénynek nevezzük, habármely x(xeH ) értékkel e g ^ tt -x is az értelmezési tartományhoz tartozik és bármelyAC-re/(-jí) = ''/(x). Emiatt a páratlan függvény képe szimmetrikus a koordinátasík origójára (23. ábra).

Vannak függvények, amelyek folytonosak (például: f(x )-3 x + 7 ,

g(x) =x -3 ;c -9 ,...) és vannak amelyek nem folytonosak (például; ,

,... Vannak függvények, amelyek képén „törést” látunk, például az

]j:| függvény képén. A folytonosság, a törés fogalmát is pontosan kellene tisztáznunk, de ez a középiskolában nem törzsanyag.

Nevezetesebb függvénytípusok

Elsőfokú függvények, lineáris függvények

ElsÖfoküfüggvények:/: R-^R, f{x)=ax+b (a#0), konstans függvények: g-: R^-IR, g(j:) =c (c konstans).

Képük egyenes. Koordináta- geometriai ismereteinkből tudjuk, hogy az/(t) ~ax+b függvényeknél a az egyenes iránytangense, fc az y tengely metszete. A b^O esetén f(x)=ax az egyenes arányosság függvénye. Ugyanis a.zy=ax össze­függésben a zx ,y (xf0;yi=0) össze­tartozó értékeinek aránya az a ál­landó és az ilyen kapcsolatot ne­vezzük egyenes aránynak. A kons­tans függvények egyenese párhu­zamos azA: tengellyel (24. ábra).

y

- f + 4

1 ■ 1L----- •----- 1 ^

................................ .................... r

> = - 3

24. ábra

Másodfokú függvények

/ :R ^ R , f{x)=axK bx^ (ű#0).Képük parabola (25. ábra). A szélsőérték helyét teljes négyzetté kie-

h^-Aacgészítéssel kapjuk:

f{x)=a x+-2a Aa

54 55

FÜGGVÉNYEK FÜGGVÉNYEK

A szélsőérték a változó b

y — X" + 6a' 8x=-

2a

- -2a- + 8a- - 6 25. ábra

értékéhez tartozik. Ez a szélső­érték minimum, ha 0<a, maxi­mum, h a ű < 0.

Minimumnál a függyény csök­kenésből megy át növekedésbe, maximumnál növekedésből megy át csökkenésbe.

A z f(x)=a^+a„_jX ^^ + ...+a^+aQ (a „ /0 ) függvényt n-edfokú poli- nomfüggvénynek nevezzük. Közülük az x, x \ x” függvényeket hatvány- függvényeknek mondjuk.

A négyzetgyőkfíjggvény

/:(R\R>R,Képe: „félparabola”.Azx^ függvény a [0; oo[ intervallumon monoton növekedő. Ezen az

inteivallumon az hozzárendelési szabály kölcsönösen egyértelmű.Ezekből következik {azy=-x'^;x= '^;y=^átalakítással), hogy az

/:(R \R -)-R . /(x)=;c".g:(R\R-)->R, = ^

függvények egymásnak inverzei (26. ábra).A2 x*- a: és azxi-^^ függvények is egymásnak inverzei (27. ábra).

Abszolútérték-függvény

/ :R -R , f(x )= \x \.Képe „töröttvonal”. Néhány függvény képét 28. ábra mutatja.

Elsőfokú törtfiiggvények

Az elsőfokú törtfüggvények (vagy lineáris törtfüggvények) racionális törtfüggvények. Nevezőjükben elsőfokú kifejezés, számlálójukban pedig vagy elsőfokú kifejezés, vagy konstans áll. Általános alakjuk:

/: R \Hí *R, f(x) =ax+bcx+d

(c#0 és adébc).

A legegyszerűbb elsőfokú törtfüggvény az/;R\{0}^R,/(A:) = — (29. ábra),X

c ^vagy általánosabban: g{x ) = — (x=^0, c konstans). Ez a g(a:) = — a fordítottX X

arányosság függvénye, ugyanis az y = -~ Összefüggésben az (x#0,y#0)

Összetartozó értékeinek a szorzata állandó és az ilyen kapcsolatot nevez­zük fordított arányosságnak.

Exponenciális függvény

Az exponenciális függvény hozzáren­delési szabályában az alap 1-től külön­böző pozitív szám, a változó kitevőben van:

/:R-R^ f(x)=ü(0<a és ű#l).

A függvény folytonos és monoton, érték- készlete a pozitív számok halmaza.

Az a* függvény monoton növekvő, ha l< a, monoton csökkenő, ha 0<a<l (30. ábra). 30 .ábra

56 57

FÜGGVÉNYEK FUGGVENYEK

A logaritmusfíjggvény

/:R '^^R, f{x)=\og^x (0 <a és ai^l).

A függvény folytonos és monoton, értékkészlete a valós számok halmaza.A loggX függvény monoton növekvő, ha l<a, monoton csökkenő, ha

0< fl< l (31. ábra).3' = 2'

A valós számok halmazán az hozzárendelési szabály kölcsönösen egyértelmű. Ebből következik, hogy inverze létezik, A z y = a^, Jc = log„7 , y = \og^x átalakftásokkal az ugyanolyan alapú logaritmusfüggvényt kapjuk (32 ábra).

Trigonometrikus függvények

Trigonometrikus függvények ábrázolásánál az x változó valós szám, a szögeket azjc tengelyre radiánokban mérjük fel.

SINUSFÜG<;\'ÉNY

1], f(x) = siüx (33. ábra).

Páratlan függvény, periodikus, periódusa 2tt. Zérushelyei: x = kir, maxi-

COSINUSFÜGGVÉNY

1], f(x)=co^x (34. ábra).7TPáros függvény, periódusa 2 t. Zérushelyei: x= — + kT, Maximum helyei:

x = 2kTf, minimumhelyei: j : - ír+2A:7t (/cGZ).

TANGENSFÜG G\^NY

R \ >R, = (35. ábra).

Értékkészlete a valós számok halmaza. Páratlan függvény, periodikus, pe-7T

riódusa tt. Zérushelyei:.x:=/:7r. Nem folytonos, szakadása van azx= - + kTTZt

helyeken. A7 T _ 7T

2 ’ 2inter\'allumon folytonos, monoton növekedő.

55. ábra 36. ábra

58 59

FÜGGVÉNYEK FÜGGVÉNYEK

COTANGENSFÜGGVÉNY

/:(R\{/cTr})^R, ^ x )-c tg r (36. ábra).Értékkészlete a valós számok halmaza. Páratlan függvény, periodikus, pe-

TTriódusa tt. Zérushelyei; x= — +fcir. Nem folytonos, szakadása van azx=k-K

helyeken, A ]0; 7t[ intervallumon folytonos, monoton csökkenő.

Egy függvénnyel egymás után több transzformációt is végezhetünk. Ha az/függvény^.ic) hozzárendelési szabályából - 2 ’f(x-3)+4 lesz, akkor a transzformációk lépései: f{x), 2'f(x-3), -2-/(x-3), -2/(jc-3)+4. Azegyes transzformációk miatt az/függvény egyenletű grafikus képerendre a 3 egységgel az x tengellyel párhuzamosan jobbra tolódik, az y tengely irányában kétszeresére megnyúlik, az j tengelyre tükröződik, az v tengely irányában 4 egységgel felfelé eltolódik.

FüggvénytranszformációkFüggyénytranszformációkkal egy-egy függvénytípus valamely függvé­

nyéből, a hozzárendelési szabály bizonyos megváltoztatásával ugyanolyan típusú függvényeket állíthatunk elő.

A hozzárendelési szabályok megváltoztatása kétféle módon történ­het:

a) Q függvényérték megváltoztatásával,b) a változó megváltoztatásával.

Mindkét esetben 3-3 esetet vizsgálunk. Ezek:1. konstans hozzáadása,2. az előjel ellentetté változtatása,3. pozitív konstanssal történő szorzás.Az egyes esetekben a függ\'ény képének változását az alábbi táblázat­

ban foglaltuk össze.Az/függvény a: helyen vett helyettesítési értéke, azaz a függvényérték;

fix).

A függvényérték trans2forinádói A változó transzformációi

/(x)-i-c, a függvény képe az y tengellvel párhuzamo­san c l egységgel elto­lódik, ha 0< c, akkor felfelé, ha c < 0 , akkor lefelé

f{x+c), a függvény képe az x tengellyel párhuzamo­san 1 cl egységgel elto­lódik, ha 0 < c , akkor balra, ha c< 0 , akkor jobbra

- /(x ) , a függvény képe az x tengelyre tükröződik

/ ( -x ) , a függvény képe az;; ten­gelyre tükröződik

C'f (x) , a függvény képe az _v ten­gellyel párhuzamosan c-szeresére megnyúlik, ha 1 <c; összenyomó' dik, ha 0 < c < l ,

f ( c ’x), a függvény képe az jr ten­gellyel párhuzamosan1— -szeresere osszenyo-

módik, ha l< c ; megnyú­lik, ha 0 < c < l .

60 61

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSUK

VIII. E g y e n l e t e k , e g y e n l ő t l e n s é g e k , MEGOLDÁSUK

A z előttünk lévő = 66 egyenlethez kérdéseket kapcsolha­

tunk: „Melyek azok a számok, amelyek kielégítik?”, „Hogyan határoz­hatjuk meg 32 egyenletet kielégítő számokat?”

Felmerülhet azonban más kérdés is: „Milyen problém a vezetett ehhez az egyenlethez?” H a ez utóbbi kérdésre az a válasz, hogy olyan konvex sokszögnek kerestük az oldalszámát, amelynél az oldalak és az állók együtles szám a 66, akkor a legelső kérdésünket kiegészíthetjük: 3-nál nagyobb egész szám ok közül melyek azok, amelyek kielégítik az egyenletet?” Ugyanis legalább 4 oldalúnak kell lennie a sokszögnek, hogy legyen átlója és az oldalszáma csak egész szám lehet. Ennél a példánál a 3-nál nagyobb egész számok halmazát az egyenlet alaphalmazának nevezzük.

Minden egyenlethez (egyenlőtlenséghez) hozzátartozik az alaphalma­za. Ha ezt nem adjuk meg, akkor az egyenlet alaphalmazának a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát tekintjük, amelyet az egyenletben (egyenlőtlenségben) szereplő kifejezések megengednek.

Példák:1. {jr-3)(j:+2) = 0. Eimek az egyenletnek nem adtuk m eg az alaphal­

mazát. Mivel a benne szereplő kifejezés minden valós számra értel­mezve van, az egyenlet alap halmazának az R halmazt tekintjük. Az egyenlet gyökei: = 3, ~ “2-

2. (j:-3)(i-f-2) = 0, x S lN * . Az egyenlet alaphalmaza a pozitív egész szá­m ok halmaza, gyöke: =3.

3. 2 í= lfc+3 . A z eg>'enletnek nem adtuk m eg az alaphalmazáL A bal o l­dalán álló kifejezés minden valós számra értelm ezve van, a jobb oldalon álló -3^;c-re. A z értelmezési tartományok közös része a - 3 S a- számok halmaza, {Természetes, hogy az alaphalmaz ennél szűkebb halmaz is lehet. Például, ha ismertté válna az a probléma, amely az egyenlethez vezetett és az csak pozitív egész számokat engedne meg, akkor az egyenlet alaphalmaza N lenne.)

A) Az egyenlet két oldalán álló kifejezést egy-egy függvénynek tekintjük.Az egyenlet megoldásakor az alaphalmaznak mindazokat az számait

keressük, amelyeknél a két függvény helyettesítési értéke egyenlő, azaz amelyeknél/(jc)=^(;i). Ezeket az x értékeket az egyenlet gyökeinek, vagy ezek halmazát megoldáshalmaznak nevezzük.Példák:

1. Az egyenlet; = -\tc+í, -lájc.

A két függvény: /: f{x) = lg : [-!;«= h R ^ g(x) = ^ .

Az egyenletnek egyetlen gyöke van, azj: = 0, mert ennél az egyetlen1

számnál VO+1.

2. Az egyenlet: U+2| =3- | j:-1 |, j:£R .A két függvény: /: R-h^R, f(x) = \x+21; g: R^'R ^(;c) = 3 - 1 j: -1 | .Az egyenlet megoldása minden olyan ,í szám, amelyre x € [-2; 1], azazaz egyenlet megoldáshalmaza: [-2; 1], mert ennek az intervallumnakminden számánál/(x)=^(j:).

B) Az egyenletet tekinthetjük logikai függvénynek.

Az = Vjc-hÍ logikai függvény értelmezési tartománya a -1 áx szá­

mok ha maza, értékkészlete az {igaz, hamis} kételemű halmaz.Az egyenlet megoldásánál azokat az jc értékeket keressük, amelyek­

hez az igaz logikai érték tartozik. Ezeknek az x értékeknek a halmazát az egyenlet igazsághalmazának nevezzük.

Az előző egyenlet igazsághalmaza: 1= {0},Az f{x)^g{x), f(x)>g{x) egyenlőtlenségek lényegét értelemszerűen az

előzőekhez hasonlóan fogalmazhatjuk meg,A két különböző szemléletből két különböző szóhasználat adódik. Ha

az egyenletet (egyenlőtlenséget) logikai függvénynek tekintjük, akkor annak igazsághalmazát keressük. Ha eltekintünk a matematikai logika szemléletétől, akkor az egyenlet, egyenlőtlenség gyökeit, megoldásait, vagy megoldáshalmazát keressük.

Az egyenletek, egyenlőtlenségek fogalma Az azonosság fogalma

Az egyenletek, egyenlőtlenségek lényegét kétféle módon fogalmazzuk meg, azaz kétféle módon értelmezzük.

Az 5(x+3)=5x4-15 egyenlőség bal és jobb oldalának helyettesítési érté­ke bármely valós x számnál egyenlő. Ezt az egyenlőséget tekinthetjük

62 63

egyenletnek, alaphalmaza R, megoldása minden valós szám (megoldás­halmaza a valós számok halmaza). Erre az egyenlőségre azt is mondjuk, hogy a valós számok halmazán azonosság.

A z fix) =g^) egyenlőség egy H halmazon azonosság, ha a H halmaz bár­mely X éleménél a bal és a jobb oldalon álló kifejezés helyettesítési értéke azo­nos.Példák:

1. ^ = \ a \ egyenlet, megoldása minden valós szám, azonosság a valós számok halmazán.

2. ^ = a egyenlet, melynek megoldása minden nem negatív szám, azo­nosság a nemnegatív számok halmazán.

3 . azonosság a nemnegatív számokból képezett a, 6 számpá­rok halmazán.

4. sinji:=Vl-cos^ egyenlet, megoldása minden olyan x, amelyre Oásinj:, azaz 2kv^x^{2k-*-í)v {k e l.) , azonosság a 2kv&x^{2k+\)Tí számok halmazán.

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK. MEGOLDÁSUK___________

Egyenletek megoldása

Bármilyen szemlélettel tekintjük is az egyenleteket, a megoldásuk a fontos. Olyan eljárásokat, olyan átalakításokat kell keresnünk, amelyekkel úgy határozhatjuk meg az egyenletek, egyenlőtlenségek gyökeit, megol­dáshalmazát, hogy közben azok ne változzanak, azaz minden gyököt meg­kapjunk és ne juthassunk hamis gyökhöz.

A z egyenletekben szereplő ismeretlenek száma szerint beszélünk egy-, két-, három -,... vagy többismeretlenes egyenletekről.

Lehetséges, hogy az ism eretleneken kívül betűvel jelölünk megadott­nak tekintett számokat is. Ezeket a betűket paramétereknek nevezzük, az egyenleteket pedig paraméteres egyenleteknek. Ezeknél tisztáznunk kell, hogy melyik betű jelöl paramétert. (Például; ax+b~'=a'^+bx, a, b para­méter.)

A nagyon sokféle egyenlet közül a közös vonásokkal rendelkezőknek egy-egy jellem ző elnevezést adunk. Példaként néhány típust említünk:

Azokat az egyenleteket, amelyekben az ism eretlenek csak racionális egész kifejezései vannak, algebrai egyenleteknek nevezzük. Ezeken belül az ismeretlent tartalmazó tagok fokszáma szerint első-, másod-, «-ed fokú egyenleteket különböztetünk meg. Például

5x-7y=5, elsőfokú kétismeretlenes eg>'enlet,

:í+;q)=9, másodfokú kétismeretlenes egyenlet.

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK. MEGOLDÁSUK

(x~5)-+(y+l)2+(z+3)2 = 0, másodfokú háromismeretlenes egyenlet,

5x^+lx-9 = 0, egyismeretlenes másodfokú egyenlet (rendezett alakban).

A nem algebrai egyenletek közül egy-egy példát mutatunk a számunk­ra legfontosabb típusokból:

|i+ 21 + |j:-1 I =5, abszolúténékes egyenlet,

egyenlet,

-{x^-7x+14=2, gyötűj (eznégyzetgyökös) egyenlet,

2^-1=16, exponenciális egyenlet, lg{j:-2)-i-lg(3jc-l)=2, logaritmusos egyenlet,

2cos^x=4-7cosj:, trigonometrikus egyenlet (ez cosx-re nézve másodfo­kú egyenlet).

Az egyenletek sokfélesége miatt nem létezik olyan módszer, amely­nek alkalmazásával bármely egyenletet megoldhatnánk. A következők­ben néhány ötletet, néhány módszert mutatunk, amelyek hasznosak le­hetnek az egyenletek megoldásánál.

Vannak eg>>enletek, amelyek megoldása történhet az alább felsorolt módszerek valamelyikével, vagy többféle módszer együttes alkalmazá­sával.

a) Grafikus módszer.b) Az egyenlet alaphalmazának vizsgálata.c) Az egyenlet két oldalán álló kifejezések értékkészletének összeha­

sonlítása.d) Úgy rendezzük az egyenletet, hogy az egyik oldalán szorzat álljon

és az 0-val legyen egyenlő. Utána azt vizsgáljuk, hogy az egyes té­nyezők mikor lehetnek 0-k. Ezzel az eredeti egyenlet megoldását egyszerűbb egyenletek megoldására vezetjük vissza.

e) Vannak egyismeretlenes egyenletek, amelyekből az ismeretlent rendezéssel kifejezhetjük. (Az egyenlet rendezésére akkor is szük­ség lehet, ha az ismeretlent nem tudjuk rendezéssel kifejezni.)

f) Többismeretlenes egyenletrendszerek megoldásánál gyakran alkal­mazhatjuk a behelyettesítő módszert: Az egyik egyenletből kifejez­zük az egyik ismeretlent és behelyettesítjük az összes többi egyen­letbe. így eggyel kevesebb egyenletet kapunk, eggyel kevesebb ismeretlennel. Ha ez is többismeretlenes egyenlet, akkor ezzel a módszerrel tovább csökkenthetjük az ismeretlenek számát, mind­addig, amíg végül egyismeretlenes egyenlethez jutunk.

Van olyan egyenletrendszer, amely megoldható rövidebb úton is.Például az

x^^lxy = 7 x+xy - 4

64 65

egyenletrendszer megoldása egj'szerű és rövid, ha a különbségét vesszük az első és a második egyenlet kétszeresének. Ez X“- 2 t = —1, azaz (jc -l)-= 0 . Ebből 1, majd az egyik eredeti eg>-enletböl> =3. A z egyenlet­rendszer megoldása a zx = 1,> =3 számpár.

A másodfokú egyismeretlenes és az elsőfokú kétismeretlenes egyen­letrendszerek megoldásával külön és részletesen foglalkozunk.

A következőkben néhány egyenlet segítségével is megmutatjuk az em­lített módszerek lényegét.

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, MEGOLDÁSUK_________ _ EGYENLETEK EGYENLŐTLENSÉGEK, MEGOLDÁSUK

Az egyenlet alaphalmazának vizsgálata

A i/l“X = lg(jc-l) egyenletnél érdemes megvizsgálnunk a két függvényértelmezési tartományát. A bal oldalon álló V^-^értelmezési tartománya - lá x S l , a jobb oldalon álló lg (í-l) függvényé l<jc. A két értelmezési tartománynak nincs közös eleme, az egyenlet alaphalmaza üres halmaz, az egyenletnek nincs gyöke.

Grafikus módszer

A 37. ábra az = egyenlet grafikus megoldását mutatja. A

két görbe közös pontjának jí koordinátája az egyenlet gyöke:,c = 0.

37. ábra 38. ábra

Ez az egyenlet azonban olyan, hogy gyökét megtalálhatjuk ábrázolás nélkül is. Ugyanis ismerjük az exponenciális függvényt is, a négyzetgyök

f 1 Vfüggvényt is. A bal oldalon álló — függvény monoton csökkenő, a jobb

oldalon álló függvény monoton növekedő. Kizárólag a monoton csökkenésből és a monoton növekedésből már következik: ha az egyen­letnek van valós gyöke, akkor egyetlen gyöke van. Ekkor még mindig kér­déses, ha létezik az egyetlen gyök, akkor azt hogyan találjuk meg. Ennél az egyenletnél olyan egyszerűek az egyenletben lévő kifejezések, hogy könnyen felismerhetjük: az egyenletet ;c = 0 kielégíti. Ezért az egyenlet egyetlen gyöke:x=0.

A 38. ábra az |jc+2| = 3 - U - l | egveniet grafikus megoldása. Az egyenlet megoldáshalmaza: [ - 2; 1].

Az értékkészlet vizsgálata

Az (l+sÍru:)[3"COs(:í+^)] = 8 egyenletnél a két oldal értékkészletének

vizsgálata vezet a megoldáshoz. A jobb oldal értékkészlete 8, a bal olda­lon két tényező szorzata áll. A tényezők értékkészletét külön-külön vizs­

gáljuk. Az 1+sinx értékkészlete [0; 2], a 3- cos(j:+ ~) értékkészlete [2; 4].

Ezért a két tényező szorzata akkor és csak akkor lesz 8, ha l+siriA: = 2 ésTT 7T3-cos(jt:+- ) = 4* A siac = 1 és a c o s (a: + - ) = -1 egyenletek megoldását kell2r 3

vizsgálnunk. Ezekből x - —+2kir, illetve jc+—= 7r+2/7r, azaz x = — +21tt2 2 2

TT(fc,/eZ). Ezért az egyenlet megoldásai azx= - +2/cir (fceZ) számok.2

Szorzattá alakítás

Az :i^-45=9x-5x^ egyenlet 0-ra redukált x^+5j:^-9x-45 = 0 alakjának bal oldalát szorzat alakjában írjuk fel: ;c^(i:+5)-9(x+5)=0; (x+5)(x^-9)=0; (jc+5)(x+3)(x-3) = 0. A szorzat akkor és csak akkor 0, ha van olyan ténye­zője, amely 0. Ezért azx+5=0, x-3=0 és azx+3~0 egyenletek megoldását keressük. Az eredeti egyenlet gyökei: Xi~-5, 2= 3, x^= -3.

Rendezés

A z egyenlet „rendezésével” megváltoztatjuk az egyenlet alakját. Közü­lük ekvivalens átalakításoknak nevezzük azokat, amelyek során az egyen­letnek egyetlen gyökét sem veszítjük el és nem kapunk olyan gyököt (úgy­nevezett hamis gyököt), amely az eredeti egyenletnek nem gyöke. Az ekvivalens átalakításokkal kapott egyenleteket ekvivalens egyenleteknek mondjuk.

66 67

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, MEGOLDÁSUK EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSUK

Az egyenletek „rendezési szabályai” a mérlegelvből adódnak. Ha az egyenlet mindkét oldalához hozzáadjuk (vagy kivonjuk) ugyanazt a számot, ha az egyenlet mindkét oldalát szorozz«/c (vagy osztjuk) ugyanaz­zal a 0-tól különböző számmal, akkor az új alakú egyenlet ekvivalens az eredetivel.

A következő egyenletet a mérlegelven alapuló rendezéssel oldjukmeg:

(2x-3)3+l x+2 = í+x2 530;c-45+5-2a:-4=1(>+10j;

18;c = 54 x=3 .

Egyenlőtlenségek megoldásánál a mérlegelvet módosítanunk kell. Egyenlőtlenség mindkét oldalához is adhatunk konstanst, pozitív kons­tanssal is szorozhatjuk (vagy oszthatjuk) mindkét oldalát, az új egyenlőt­lenség ekvivalens az eredetivel.

Ha negatív konstanssal szorozzuk (vagy osztjuk) az egyenlőtlenség mindkét oldalát, akkor az egyenlőtlenség irányát ellenkezőjére kell változtat­nunk, csak ekkor marad változatlan az egyenlőtlenség megoldáshalmaza.

Ismeretlent tartalmazó tagot is hozzáadhatunk az egyenlet, egyenlőt­lenség mindkét oldalához, ha az nem változtatja meg az alaphalmazát.

Ha egyenletmegoldás közben ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szo­rozzuk az egyenlet mindkét oldalát, akkor az hamis gyökhöz vezethet, az osztás pedig gyökvesztéshez. Az ilyen átalakításokat - ha lehetséges - kerüljük el. Ha nem tudjuk elkerülni, akkor az átalakításokat különös gonddal végezzük. Az esetleges hamis gyököket ellenőrzéssel felismerhet­jük, a gyökvesztéseket azonban behelyettesítésekkel nem vehetjük észre.Példák:

I.Ix -U x~2

xn.

Az egyenletet úgy alakítjuk át, hogy ne tartalmazzon törteket. A ne­vezők legkisebb közös többszörösével szorozzuk az egyenlet mindkét oldalát. A legkisebb közös többszörös megkeresését segíti a nevezők szorzattá alakítása. Most az egyik nevező 7(x-2), a másik x-2, az egyenletet 7(;c“2)-vel szorozzuk. A kővetkezőkben kétféle úton halad­hatunk:a) Leírjuk a szorzás után kapott egj'enletet: jr+10-7jc+14 = 14 és nem

törődünk az eredeti egyenlet alaphalmazával. Megoldjuk az újon­nan kapott x^-lx+\0~a egj'enletet, amelyről nem tudjuk, hogy az eredeti egyenlettel ekvivalens-e. Most azx^-7jc+10=0 egyenlet két gyökerjti^S, X2 = 2. A kapott gyököket ellenőriznünk kell az eredeti

egyenletbe történő behelyettesítéssel. Most az derül ki, hogy az ere­deti egyenletnek;c2= 2 nem gyöke. Az eredeti egyenletnek egyetlen gyöke van:x=5.

b) A z új egyenlet alaphalmazának az eredeti egyenlet alaphalmazát te­kintjük'. jc"-7a:-1-10 = 0 (;c? 2). Ez az egyenlet ekvivalens az erede­tivel. A kapott jc 1 = 5, X2~2 gyökök közül a 2 nem eleme az egyenlet alap halmazának. így az egyenletnek egyetlen g>'öke van: j:=5. (Ha ennél a példánál nem 7(jc-2)-vel szoroztuk volna az eg>’enletet, hanem például 7(x-2)(j:-i-6)-tal, akkor ezzel a módszerrel is kap­tunk volna hamis gyököt, a z x = - 6-ot, mert ennél az x értéknél a szorzó 0.)

2. A zx^-4r = 0 egy'enlet helyes megoldása: x(x^-4) = 0, x{x~2)(x+2) = 0. Ebből: X] = 0, 2= 2, X3 = -2 .Ha valaki az eredeti egyenletet osztaná x-szel, akkor x"-4 = 0 egyen­lethez jutna és annak nem gyöke azx=0. Ez az osztás nem ekvivalens átalakítás, egy gyök „elveszett”.Ha egyenlőtlenséget olyan kifejezéssel szorzunk (vagy osztunk), amely is­

meretlent is tartalmaz, akkor arra is gondolnunk kell, hogy a betűs kifeje­zés lehet pozitív is, negatív is. Ezeket az eseteket külön-külön kell vizsgál­nunk. Arra is gondolnunk kell, hogy a betűs kifejezéssel történő szorzás (vagy osztás) meg\’áltoztatja-e az egyenlőtlenség alaphalmazát.Példa:

ar-n7x - j

Ha 3 < X, akkor 0 < x -3 , és ha ezzel szorozzuk az egyenlőtlenség mindkét oldalát, akkor pozitív számmal szorzunk, ezért 3x-l-7 > 2x-6. Ebből X > -13. Az egyenlőtlenség megoldáshalmaza a 3 < x feltételnek és a kapott -13 < x egyenlőtlenségnek megfelelő .számhalmaz közös része, ez az 3 < x számok halmaza.

Ha X < 3, akkor x -3 < 0, és ha ezzel szorozzuk az egyenlőtlenséget, akkor negatív számmal szorzunk, ezért 3x 4-7 < 2 t-6 , ebből x < -13. Az egyenlőtlenség megoldáshalmaza az x < 3 feltételnek és az x < -13 számhalmaznak a közös része. Ez azx < -13 számok halmaza.

Az eredeti egyenlőtlenség megoldáshalmaza a 3 <x vagy x < -13 számok halmaza. Ezt szemlélteti a 39. ábra.Mondhatjuk azt is, hog>' az egyenlőtlenség megoldása minden olyan x szám, amelyre x e (] -oo; -13 [ u ]3; 00 [),

- 1 3 0 1 —I— I -

3-(>■

39. ábra

68 69

Ha négyzetre emeljük valamely egyenlet két oldalán álló kifejezéseket, akkor az új egyenletet kielégítik az eredeti egyenletnek a gyökei, de ha­mis gyököket is kaphatunk. Szükséges az ellenőrzésükPélda:

A 3ir-l = ’ r ^ egyenlet alaphalmaza a -3 ^ x számok halmaza. Az egyenlet megoldásának gondolatmenetére két lehetőséget mutatunk.a) Az egyenletben szereplő négyzetg^'ököt megszüntethetjük, ha az

egyenlet két oldalán álló kifejezéseket négyzetre emeljük. Az egyen­let alap halmazán a bal oldalon lévS kifejezés negatív is lehet, az új egyenlet nem ekvivalens az eredetivel:

9x^-6x+l=x+3,ftc2-7v-2=0.

2Ennek a másodfokú egyenletnek a gyökei: jíi=l,X 2= - —. Az ellenör-

2zés (behelyettesítés) megmutatja, hogy az eredeti egyenletet nem

elégíti ki, azaz hamis gyök. Az eredeti egyenletnek egyetlen gyöke van :x= l.

b) Vizsgáljuk meg az egyenlet két oldalán álló kifejezésnek az értékkész­letét is. Ez a jobb oldali függvénynél a neninegatív számok halmaza, ezért a bal oldalon álló kifejezésre fenn kell állnia a 0 ^ 3 r - l egyenlőt­

lenségnek, azaz - Sx. Ez szűkebb halmazt jelent, mint amit korábban

alaphalmazként megállapítottunk, de ezt is tekinthetjük az eredeti egyenlet alaphalmazának. Ezzel a feltétellel emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát. Most mindkét oldal nemnegatív, ezért az

eredeti egyenlettel ekvivalens 9x^-7x-2 = 0 S jc) egyenlethez jutunk.

2 2Ennek formális megoldása után az jCi = 1, X2 = - - számok közül a - —

nem eleme az alaphalmaznak. Az egyenlet egyetlen g y ö k e : 1.

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSUK___________

Kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszerek megoldása

A kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszereket rendezéssel ax+by=c 1

dx+ey^f } alakra hozhatjuk.

A z egyenletrendszer két egyenlete lehel olyan, hogy az egyik egyenlet­ből következüc a másik, ekkor azt mondjuk, hogy az egyik egyenlet követ­kezménye a másiknak. Lehetséges az is, hogy a két egyeiilet ellentmondó. A következmény, illetve az ellentmondó egyenletekre egy-egy példa:

x+3y = 10 = 102)c+6y = 2 0 = 17

Két, egymástól független és egymásnak nem ellentmondó egyenletből álló kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszert megoldhatunk grafikusan is, algebrai módszerekkel is.

Grafikus módszer

A grafikus megoldásnál mindkét egyenletből kifejezzük y-t és a kapott kifejezéseknek megfelelő elsőfokú függvényeket egy koordináta-rendszer- ben ábrázoljuk. A két egyenes közös pontjának koordinátái mindkét egyenletet kielégítik, ezért a közös pont koordinátái adják meg az egyen­letrendszer megoldását.Példa:

x-2y=~^

___________EGYENLETEK EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSUK

x + y = -lj

+2, a függvények /: R-*R, /W = | +2

y = -x -lA két egyenes közös pontja

(40. ábra): M(-2; 1). Az egyenlet­rendszer megoldása: jii:=-2,y = 1..

Behelyettesíts módszer

g :R ^R , ^(x) = -x -l

Az algebrai megoldási mód­szerek egyike a behelyettesítő mód­szer. A z egyenletrendszer valame­lyik egyenletéből kifejezzük az egyik ismeretlent, A kapott kifejezést behelyettesítjük a másik egyenletbe. így egj'ismeretlenes egyenletet kapunk. Ezt megoldjuk. A kapott ismeretlen segítségével kiszámoljuk a másik ismeretlen értékét is.

x-2y = -A \ x+y = - l ] x = -y ~ \,

( - y - l ) - 2y = - 4 ,y = \ , x - - l - l = - 2 .

Az egyenletrendszer megoldása: x= -2 ,y = l.

70 71

EGYENLETEK EGYENLOTLENSEGEK MEGOLDÁSUK EGYENLETEK, EGYENLOTLENSEGEK, MEGOLDÁSUK

Egyenlő együtthatók módszere

Az egyenlő együtthatók módszerénél arra törekszünk, hogy az egyik ismeretlen együtthatója a két egyenletben egymásnak ellentettje legyen. Ha ezt elértük, akkor a két egyenletet összeadjuk. Egyismeretlenes egyenletet kapunk. Azt megoldjuk, majd a megkapott ismeretlent az egyik eredeti egyenletbe behelyettesítjük és kiszámítjuk a másik ismeret­len értékét is.Példa: 5:t+3>’ = 9

4t+7>’ = -2-20t-12>- = --36 2Qr+35>> = -10

23y = -46 y ^ - 2 ,

|.( -4 )1-5

Sr-6 = 9 ,3 .

Az egyenletrendszer megoldása: ;i: = 3, y = -2.H a az egyenletrendszer két egyenlete közül az egyik a másik követ­

kezménye, akkor grafikus megoldáskor a két egyenes egybeesik. Minden pontjuk közös pont, az egyenletrendszert végtelen sok számpár kielégíti. A két egyenlet helyett elég az egj'ikkel foglalkoznunk. Egyetlen elsőfokú két- ism eretlenes egyenletet végtelen sok számpár elégíti ki. Például az ;r-(-3>’ = 10 egyenletet kielégítik az x^ ^ l, > i= 3 ; j:2 = -5 , j*2 = 5 ; 0:3 = 0,4,

^3 = 3 ,2 ; bármely valós és a hozzátartozóy = — — számpár.

Ha az egyenJetrendszer két egyenlete egymásnak ellentmond, akkor grafikus megoldás keresésekor kél párhuzamos egyenest kapunk, közös pontjuk nincs. Nincs olyan számpár, amely mindkét egyenletet kielégítené. A z egyenletrendszernek nincs megoldása.

Másodfokú egyismeretlenes egyenletek megoldása

A másodfokú egyismeretlenes egyenleteket rendezéssel

ax^^bx+c~0 (ű^O)

alakra hozhatjuk. Ezt az alakot teljes négyzetté kiegészítés után szorzattá alakítjuk:

a b b^-4ac 4a^

= 0 .

Ha 0Áb^-4ac, akkor a jobb oldal felírható (^b^~4ac)^ alakban majd az ere­deti egyenlet bal oldala szorzattá alakítható:

ab

X + —2a

b-ib^-4ac x+-

2a

x+

X -

'^b^-Aac 2'

2a ^ _

b+ib^~4ac2ű

-b-ib'^-4ac'7a

- ennek alapjá

Aac

= 0 ,

= 0 ,

= 0 .

2a

alakban írjuk fel. Ezt a másodfokú egyenlet megoldóképletének nevezzük.A megoldóképlet keresése közben feltételeztük; 0áí>^-4űc. Ezt a

kéttagú kifejezést, amely a megoldóképletben a négyzetgyökjel alatt sze­repel, a másodfokú egyenlet diszkriminánsának nevezzük, ű~vel jelöljük.Ha 0<D, akkor az egyenletnek két különböző valós gyöke van,h a i)= 0, akkor az egyenletnek a két valós gyöke egyenlő (az egyenlet

megoldáshalmazának egyetlen eleme van),h a ö < 0, akkor az egyenletnek nincs valós gyöke.

A megoldóképlethez vezető szorzatban a két gj'ököt jelöljük röviden Aii-gyel, jt2‘Vel. Ekkor az egyenlet

a{x-Xi){x-X2) = Q

alakját a másodfokú egyenlet gyökíényezős alakjának nevezzük. Adott x^, Xj esetén ezzel a formulával könnyedén írhatunk fel olyan másodfokú egyenletet, amelynek jc 1, :2 a gyöke. (Az a szám, a 0-tól eltekintve, tetsző­leges valós szám.)

A másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggésekben a két gyök összegét, illetve szorzatát az együtthatók segítségével írjuk fel. Ezeket a másodfokú egyenlet rendezett alakjának és a gyöktényezős alak­nak átalakításával és összehasonlításával kapjuk meg.

a

WíP'+bx+c - 0 ,

= 0 , b c x^+ -x+ -a

a(^-xi)(x-x2) = 0 ,

a[)p'-ixi+x^x+xix2] = 0 .

72 73

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, MEGOLDÁSUK EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSEGEK, MEGOLDÁSUK

Az összehasonlításból következik:

a:i+X2 = - - , a

X^X2= - . a

Ezeket Viéte-formuláknak is nevezzük, (Megkaphatjuk ezeket úgy is, hogy a megoldóképlettel felírt két gyök összegét, illetve szorzatát vesz- szük.)

Másodfokú egyenleteket, egyenlőtlenségeket grafikus úton is megold­hatunk. Ehhez felhasználjuk a másodfokú függvényekre vonatkozó isme­reteinket (56. oldal).

Az or^+&c+c = 0 egyenlet grafikus megoldásánál ábrázoljuk az fi^)=ax^+bx*c függvényt, annak zérushelyei az egyenlet valós gyökei.

A másodfokú egyenlőtlenségek különböző megoldási lehetőségei közül egyfélét bemutatunk, közben megfogalmazzuk a megoldás lépéseit.

Azx^-4x+2>2x-3 egyenlőtlenséget 0-ra redukáljuk: x^-&c+5>0, majd a bal oldali kifejezéssel egyenletet írunk fel: =0, ezt megoldjuk,gyökei: Xi = l,X2= 5.

Vizsgáljuk a bal oldali kifejezésnek megfelelő/(.x:)=Jt^-6r +5 függvényt. Ennek képe olyan parabola, amely .!£ri = l-nél ésj:2=5-nél (zérushelyeinél) metszi az x tengelyt és - mivel a négyzetes tagjának együtthatója pozitív szám - minimuma van. Ezek alapján a koordináíasíkon már magunk elé képzelhetjük a parabolát. A z f(x)=x^-6x+5 parabola a ]-oo; 1[ interval­lumon pozitív, jci = l-nél 0, az ]1; 5[ intervallumon negatív, ; 2= 5-nél 0, az ]5; oo[ intervallumon pozitív.

Az egyenlettől és a függvény­től visszatérünk az eredetivel ekvi­valens ;c^-&c+5>0 egyenlőtlenség­hez. Az ezt kielégítő x értékek a ]-oo; 1[ vagy az ]5; » [ intervallum számai. Az egyenlőtlenség megol­dáshalmaza: M = ] - 0o; 1[ u ]5; 00 [.

Természetesen más megoldási mód is van. A 41. ábrán ábrázol­tuk az eredeti egyenlőtlenség bal oldalán és a jobb oldalán álló kife­jezéseknek megfelelő függvénye­ket. Az ábrán azt kell megkeres­nünk, hogy hol vannak azok zizx ér­tékek, amelyeknél x^-Ax+2'^2x-3>, azaz a jobb oldalnak megfelelő

egyenes pontjai milyen x értékek esetén vannak a parabola „alatt”. Az előző megoldáshalmazhoz jutunk.

Az x^-ía:+5>0 egyenlőtlenség megoldásánál a gyöktényezős (x-1)(j:-5)>0 alak is felhasználható. Ez a szorzat akkor és csak akkor nemnegatív, ha x - l< 0 és jc-5<0, vagy jc-l>0 és j-5 > 0 . Ebből adódik, hogy az egyenlőtlenség megoldása x < 1 vagy 5 <x.

Megjegyzés: Az a:^+bx+c=0 egyenlet hiányos is lehet, ha i = 0 vagy c=0. Ekkor a megoldóképlet alkalmazása nélkül, rövidebben oldjuk meg.

Ha 6=0, akkor azixc^+c=0 egyenlet gyökeit megkaphatjuk az ismeret­

len kifejezésével: x^ = cfX2~-

a- - , h a O á - £ .

1 a a

Ha c=0, akkor az ax^+bx=0 egyenletben szorzattá alakítunk:

.t(űj:+&) = 0, gyökei: Xi = 0,X2= - - .a

Szöveges egyenletek

A gyakorlat (a technika, gazdaság, tudomány) sok olyan problémát is felvet, amelynek tisztázása egyenletek felírásához vezet és azok megoldá­sát kívánja. (A tankönyvek ilyen jellegű feladatai az úgynevezett „szöve­ges egyenletek”.)

Az életből vett gyakorlati kérdéseknek a matematika nyelvén való megfogalmazása különböző módon történhet. Az egyes problémáknál a matematikai lényeget: a mennyiségek közötti összefüggéseket kell keresnünk. Ezek felismerését megkönnyíti, ha áttekinthetően rendezzük a problémá­ban szereplő adatokat. (Ez az adatok táblázatszerű felírásával is történ­het.)

Ha megtaláljuk a lényeget kifejező matematikai összefüggéseket, akkor ezzel megtaláltuk a probléma matematikai modelljét.

A kapott egyenlet megoldásához megfelelő módszert kell keresnünk. Az egyenletek sokfélesége miatt nem létezik olyan módszer, amely bár­mely egyenlet megoldásánál egyformán alkalmazható. Mutattunk mód­szereket és ötleteket, ezek ismerete hasznos, de sok esetben az eddig lá­tottaktól eltérő megoldási módot kell keresnünk.

74 75

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, MEGOLDÁSUK

Két szám számtani, mértani közepe

A számtani, mértani közép fontos fogalom. A matematika több terüle­tén is találkozunk velük, könyvünk több fejezetében is tárgyalhatnánk. Most a bevezető problémát úgy fogalmazzuk meg, hogy az „szöveges egyenlet”, ezért foglalkozunk velük ebben a fejezetben.

Két szám számtani közepe

Adott két szára, a é%b. Keressünk olyan számot, amely az egyiknél annyival nagyobb, mint amennyivel kisebb a másiknál.

A keresett számot jelöljük x-szel, ezért

x-a

x=

b-xa+b

Ezt a számot nevezzük az a és számtani (aritmetikai) közepének, A{a,b}-vo\ jelöljük. A statisztikában, a mindennapi életben átlagnak nevezzük. Ezekben az esetekben pozitív, negatív számoknak (pénznek, adósságnak) is vehetjük az átlagát. A matematikában két számnak többféle (számtani, m értani,...) közepét értelmezzük, és azok egymáshoz viszonyított nagyságával is foglalkozunk. Többféle közép esetén, azokat két pozitív számra értelmezzük.

Definíció: Két (pozitív) szám számiam közepének a két szám összegének a

felét nevezzük: A(a, b) = .

Két pozitív szám mértani közepe

Adott két pozitív szám, a és b. Keressünk olyan számot, amelynek az egyikkel való aránya megegyezik a másik számnak és a keresett számnak az arányával

A keresett számot jelöljük y-nal, ezért

1 = ^ a y ’y - iab .

Ezt az y számot nevezzük az a és 6 mértani (geometriai) közepének, G{a, í>)-vel is jelöljük.

Definíció: Két pozitív szám mértani közepének a két szám szorzatánaknégyzetgyökét nevezzük: G(a, b) =

A 42. ábra számegyenesén az a=2, í?=8 számoknak a számtani és a mértani közepét ábrázoltuk.

G(2;8) A(2;S)

0 , \ /

___________EGYENLETEK. EGYENLŐTLENSÉGEK, M E G O L D Á Sm

a ~ 2 b = 8

42. ábra

Számtani és mértani közép közötti összefü^és

Két pozitív szám számtani és mértani közepének összehasonlítása nevezetes egyenlőtlenséghez vezet. Bebizonyítjuk, hogy pozitív számok­ból álló bármely a, b számokra

a+b

Mivel az egyenlőtlenség mindkét oldala pozitív, a négyzetreemelés ekvi­valens átalakítás. A négyzetreemelés után rendezést végzünk:

Aab^a^+Tab+b^0úa^-2ab+b'^0 ^ ( a - b f

ami nyilvánvalóan igaz. Ezzel igazoltuk, hogy G(a,b)£A(a, b).Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, haa=b.

A G(a, b) elnevezése mutatja a geometriai kapcsolatát. Ezt ké­sőbb tárgyaljuk a 131. oldalon, de a 43. ábrán az a+b átmérőjű fél­körbe rajzolt derékszögű három­szög segítségével szemléletessé tesszük a számtani és mértani közép kö­zötti egyenlőséget.

43. ábra

76 77

EGYENLETEK, EGYENLOTLENSEGEK MEGOLDÁSUK

Egy pozitív számnak és reciprokának az összege

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségből azonnal adó­dik egy újabb nevezetes egyenlőtlenség. Vegyük egy pozitív számnak és a reciprokának a számtani, Uletve mértani közepét:

1ű+—a 1

a —

\ ű .

Ebből rendezéssel kapjuk

ű + - S 2 , a

azaz egy pozitív számnak és reciprokának az összege legalább 2.

E z nevezetes egyenlőtlenség. Tekinthetjük önmagában is, nem kell a számtani és mértani középhez kapcsolnunk. Más módon is bizonyíthatjuk,

ugyanis, ha 0< a , akkor az £ 2 egyenlőtlenség mindkét oldalát szoroz­

hatjuk a pozitív a számmal. A z egyenlőtlenségből a ^ -2 a - l£ 0 , (a-l)^ aO , amely minden valós a számra igaz. Azt is látjuk, hogy egyenlő­ség csak az a = 1 esetben van.

A számtani és mértani közép közötti kapcsolatot felhasználhatjuk mi­nimumok (vagy maximumok) keresése közben is.

Példa: A 400 cm^ területű téglalapok közül a minimális kerületűnek milyen hosszúak az oldalai?

A téglalap egyik oldalhosszát jelöljük x-szel. Mivel 400 cm^ területű,400a másik oldal hossza----- (44. ábra), A téglalap kerülete k= 2

a2az X függvénye, ennek a függvénynek keressük a minimumát.A téglalap kerületében a két

oldalhossz összege, a területében szorzata szerepel. A számtani és a mértani közép összehasonlításá­nak felírásánál is szerepel két szám összege, szorzata. írjuk fel az

400jc, ----- oldalhosszakkal a számta-

400x+-

400

EGYENLETEK EGYENLOTLENSEGEK, MEGOLDÁSUK

egyenlőtlenséget:

x+400

X ------=20.

A számtani közép a kerület negyede, ennek keressük a minimumát. A mértani közép konstans. Tudjuk, hogy a számtani közép legalább akkora mint a mértani közép, ami 20. A számtani közép ezt az értéket fel is veheti. Az egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a két szára egyenlő,

azaz hax = - í ^ . Ebből x^=400, jc=20. A téglalap másik oldala = 20, X 20

azaz az adott területű téglalap akkor lesz minimális kerületű, ha négyzet.

ni és mértani közepek közötti 44. ábra

78 79

SOROZATOK

IX. S o r o z a t o k

Ha egy függvény értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza, akkor ezt a függvényt valós számsorozatnak, röviden sorozatnak nevezzük.

A z értelmezésből következik, hogj' sorozatnak végtelen sok tagja van. Vannak feladatok, amelyekben egy sorozatnak csak véges számú tagja szerepel. Ezeket véges sorozatoknak nevezzük és megadjuk a tagok számát.

Egy sorozatot megadhatunka) formulával, például: a„ = n^-2 ( - 1; 2; 7; 14;...),b) rekurzív módon, példáui: = 3, = ö„_i(£’„_i+2) (3; 15; 255;...),c) valamilyen egyértelmű utasítással, például: „A tt értékét alulról kö­

zelítjük rendre 1-gyel több tizedesjeggyel” (3; 3,1; 3,14; 3,141;

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 fi ■?H—Mt-I— I—I—>f-

a.* í 4 S fi----1- t I----1- -

45. ábra

A sorozatok tagjait szemléltethetjük számegyenesen is, koordináta­síkon is (45, ábra),

A függvényekhez hasonlóan beszélhetünk m onoton csökkenő (bármely «-rea„>ű„ + ,), növekvő nemnövekvő nem-csökkenő sorozatokról.

Három sorozattal, a számtani, a mértani sorozattal és a négyzet­számok sorozatával külön, részletesen is foglalkozunk. Elsőként ezek defi­nícióját adjuk meg, majd megkeressük, hogy közvelleniil és röviden hogyan írhatjuk fel ezeknek a sorozatoknak az rz-edik tagját, az a„-e-l és az első n tag összegét, az 5„-et. .Az ezekre vonatkozó állítás függ az n pozitív egész számtól. Oszthatóságnál és más matematikai problémánál is találkozunk olyan állításokkal, amelyek az n pozitív egész számoktól függenek. Az

ilyen állítások bizonyításánál hasznos a teljes indukció módszerével történő bizonyítás.

T e lje s in d u k c ió

Teljes indukcióval o lp n állítást (sejtést) bizonyíthatunk, amely az n pozitív egész számoktól függ.A bizonyítás lépései:

a) Az állításról (sejtésről) előzetesen ellenőrzéssel (megfigyeléssel) belátjuk, hogy az állítás igaz « = 1-re.

b) Feltesszük, hogy az állítás valamely n pozitív egész számra igaz.c) Megnézzük, hogy az «-re feltételezett állításból következik-e, hogy

/j+l-re is igaz. Ha igaznak találjuk, akkor az állítás n-x6\ n-nl-re „öröklődik”, azaz n = 1-től kezdve minden pozitív egész számra igaz.

Megegyezzük, hogy van olyan állítás, amelynél azt találjuk, hogy n = 1-re nem igaz, de « =fc-ra igaz és ez onnan kezdve n-röl «-t-l-re öröklő­dik. Ekkoí ez az állítás A:-tól kezdve minden pozitív egész számra igaz.Példák:

1. Vizsgáljuk meg, hogy minden n pozitív egész számra igaz-e a27|10”+18rt+26 állítás.A vizsgálatot teljes indukcióval végezzük.a) H an = l, akkor 10"+18n+26= 10+18+26 = 54 és 27|54. Az osztható­

ság «= 1 esetén igaz.b) Feltesszük, hogy n esetén 27110''+l&z+26 igaz.c) Megnézzük, hogy a feltevésből következik-e az «+l esetre is a

271 io 'i+i+i8(„+i)+2ő állítás. A háromtagú kifejezést átalakítjuk: 10" ^+18(0+1)+26 = 10- l0"+18/i+18+26 = 10'’+9 • 10”+18n+18+26 = =(lO''+18tt+26)+9.10''+18=(IO''+18rt+26)+9(lO'’+2). A kéttagú ki­fejezés első része ab) alatti indukciós feltevés szerint osztható 27- tel, A 9(10'*+2) második tag nyilvánvalóan osztható 9-cel, a 10''+2 második tényező pedig 3-mal. (Ugyanis minden rt-re 10'' első számjegye 1, az összes többi pedig 0, ezért 10'*+2 első számjegye 1, az utolsó 2 és valamennyi közbülső 0. Számjegyeinek összege 3, osztható 3-mal.) A második tag osztható 9-3 = 27-tel, ezért az első és második tag összege is osztható 27-tel.A 27-tel való oszthatóság n ~ l esetén igaz volt és ez a tulajdonság «-ről «+l-re „öröklődik”. Tehát a 27j 10''+18n+26 állítás minden pozitív egész számra igaz.

SO 81

SOROZATOK SOROZATOK

2. A teljes indukció módszerével hasonlítsuk össze 3n~2, valamint az n} kifejezések értékeit az n pozitív egész számoknál, írjuk fel a két kifejezés értékeit az « = 1,2,3, 4,5 számoknál:

3n-2 rendre 1 ,4 ,1 ,10,13, tf- rendre 4, 9,16, 25.

Azt sejtjük, hogy 3So esetén 3n-2<n^. Ennek helyességét teljes indukcióval vizsgáljuk.a) Láttuk, hogy « = 3 esetén a 3n-2 állítás igaz.b) Feltesszük, hogy 3 <« esetén is igaz,c) Megnézzük, hogy n+1 esetén igaz-e a 3(n+l)-2<(n+l)^ egyenlőt­

lenség. Ez más alakban: (3n-2)+3<(w^)+2«+l. Mivel az indukciós feltevés szerint 3n-2<n^, ezért a bal oldalon álló 3 és a jobb olda­lon álló 2«+l-et külön hasonlítjuk össze. Ha 3<n, akkor minden n- re 3<2n+l. Ezekből következik, hogy a sejtett egyenlőtlenség 3<n esetén n-ről «+l-re öröklődik.Eredményünk: Ha 3^n , akkor 3n-2<n^.

Számtani sorozat

Számtani sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag különbsége ál­landó. Ezt a különbséget a számtani sorozat differenciájának nevezzük, jele d.A definíció alapján:

a„^i-a„ = d vagy

A számtani sorozat három szomszédos tagját felírhatjukvagy a^-d,

alakban is. Ez utóbbi alakból látszik, hogy a középső tag a két szomszédos tag (illetve a középsőhöz szimmetrikusan elhelyezkedő két tag) számtani közepe. (E sorozat ettől a tulajdonságától kapta a nevét.)

A számtani sorozat n-edik tagjának felírásánál a definícióból indulunk ki: a2 =üi+d, a-^=ü2+d=üi+2d, a^-a^+3d, ... . Ebből azt sejtjük, hogy an~ai+(n-l)d. Hogy ez helyes sejtés-e, azt a teljes indukció módszerével vizsgáljuk.

a) A sejtés n = 1-re igaz.b) Feltesszük,hogy«-reigaz:a„=ai+{n-l)d.

c) Megvizsgáljuk ?i+l-re igaz-e, hogy o„ + i=ai+(n+l-l)cí=űi+rtíí. Mivel a definíció és az indukciós feltevés alapján a„^i=a„+d= =ai+(n-i)d+d=ai+nd, a sejtésünk igaz. Ezért minden pozitív n számra fennáll:

a„--ai+{n-l)d.

A számtani sorozat első n tagjának az összegét Gauss gondolata alapján határozzuk meg. Felírjuk az első n tag összegét, majd ezt fordított sor­rendben is felírjuk és a megfelelő tagokat összeadjuk:

3-K 2-Wi J

25^ = (íii-H)„)+(íi24íí„.i)+... +(a„.i+a2)+(ű„+űi).

Minden számpárt felírunk a^ ületve a„ és d segítségévei:

2í'« = (ai^J+(ai+rf+a„-rf)+... +(ű„-rf+ai+íí)+(a„+ai),

Az összegben «-szer szerepel «!+«„ és d kiesik: 25„=(ai+ű„)«. Ebből 5„-t kifejezzük. A számtani sorozat első n tagjának összegére rövid formulát kapunk:

_ (ai+gJ/1 " 2

Az ű„-re kapott összefüggést behelyettesítve az S„ összeget felírhatuk űj, d és n segítségével is:

[2ai+{n-í.)d\n

Mértani sorozat

Mértani sorozatoknak nevezzük az olyan sorozatokat, amelyekben (a má­sodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag hányadosa állandó. Ezt a hányadost a mértani sorozat kvóciensének nevezzük jele q.A definíció alapján:

vagy

Megjegyzés: H a a mértani sorozat definíciójának tekintjük a sorozat a-i; a„=a„_]^ rekurzív megadását, akkor ez nem ekvivalens az elsőként

82 83

SOROZATOK

megadott definícióval. Ugyanis az első definíció alapján a sorozat tagjai között nem lehet 0, a rekurzív definíciónak m egfelel az a,; 0; 0; 0; ... sorozat is.

SOROZATOK

A mértani sorozat három szomszédos tagja felírható

a„ a„+i = a„q.

alakban. Ez mutatja, hogy Pozitív számokból álló mértanisorozatoknál a középső tag a két szomszédos tag (illetve a középsőhöz szimmetrikusan elhelyezkedő két tag) mértani közepe.

A mértani sorozat n-edik tagjának a felírásánál a definícióból indulunk ki: Ü2 =a^q, a/^= a^, ... EbbÖl azt sejtjük: Teljesindukcióval megvizsgáljuk, hogy ez a sejtés igaz-e.

a) A sejtés n = 1-re igaz.b) Feltesszük, hogy n-xe igaz:c) Megvizsgáljuk, hogy /2+1-re igaz-e: =cíi^. A definíció

és az indukciós feltevés alapján: ezért a sejtésünk helyes, minden pozitív egész n számra:

a„=ayff-^.

A mértani sorozat első n tagjának az összegét rövid és egyszerű alakban szeretnénk felírni. Ha az

. . . +ay(f''^+aif'^

egyenlőségnek mindkét oldalát szorozzuk g-val (^#1), akkor a szorzatban majdnem minden tag újból szerepel:

5„=tJi-Híi9+a^í2+ +íJi^-2 S„q=a-^q+ÜTq +aiq^+ ... ^a^cf^-^+ürcf.

Vegyük a második és az első egyenlőség különbségét:

S^q-S„=a]<f-aiS M -^)= a ,{cr-l)

Sn = - q-1

Ha q= 1, akkor a mértani sorozat első n tagjának az összege; S^= a^.H a egy számtani (illetve mértani) sorozatnak az első n tagjával dolgo­

zunk, akkor az a i,d (illetve q), n, a„, adatok közül hármat kell ismer­nünk, a hiányzó adatokat kiszámíthatjuk az íj ,-re és az 5„-re kapott össze­függések segítségével.

Kamatoskamat-számítás

A kamatoskamat-számítás kérdése mértani sorozathoz vezet. Ha t Ft-ot évi p % kamatlábbal kamatosan kamatozva a bankba teszünk, akkor az egy év múlva

í+-100

p ^ t !+■100

lesz, azaz -szorosára növekszik. A felnövekedett pénz a második év

során ugyancsak az 1+^j^ -szorosára növekszik. Ezt a számot g-val jelöl­

jük, kamattényezőnek nevezzük:

Pq ^ l +100

A bankba tett t Ft 1, 2, 3, 4, ... év múlva tq, tq^, tq^, tq" , ... lesz. Mértani sorozatot kaptunk, első tagja a betett pénz: t Ft, második tagja tq, harma­dik tagja ...

A bankba tett t Ft, évi p %-kal kamatozva n év alatt

T ^ tc f

Ft-ra növekszik fel.

A négyzetszámok isorozata

A négyzetszámok sorozatát az elnevezése meghatározza: a^=n^ (1; 4; 9; 16; ...).

A z ebő n négyzetszám összegének meghatározásához megfelelő ötletet kell keresnünk. Ha rendre képezzük az n = l, 2, 3, 4, 5 esetén a négyzet­számok összegének és az alapok összegének hányadosát, akkor „szabá­lyosság” tűnik fel:

1 1+4 1+4+9 1+4+9+16 1+4+9+16+25(l+n)« ■ 1 ’ 1+2 ’ 1+2+3 ’ 1+2+3+4 ’ 1+2+3+4+5

A J U 3 5 14 7 30 9 55 11A hányados más a l a k b a n ; ; - ^ = j ; ^ 0 ^ 2 ’ í s ' T

84 85

SOROZATOK

Az öt hányados nevezője 3, a számlálója pedig rendre 2n+\ alakú párat­lan szám. Ebből arra gondolhatunk, hogy az

S„ _2n+\{\+n)n 3

2_n{n+\)(2n*\)

összefüggés megadja a négyzetszámok összegét. Azt, hogy ez valóban minden «-re helyesen adja-e meg a négyzetszámok összegét, teljes induk­cióval vizsgáljuk.

a) A sejtés n = 1-re igaz.h) Feltesszük, hogy n-ie igaz.c) Megvizsgáljuk, hogy n+l-re igaz-e, azaz fennáll-e a kővetkező

összefüggés;C _ (n+l){n+2){2n+3)

^ •

Mivel 5„ + i=5^+(«+l)^ és felhasználva az indukciós feltevést:

„ w(n+l)(2n-f-l) . ^+1 _ ? ^5„+i =----------------- +(fi+l) = —— {2n +n+6n+6) = —— (2n +4n+3n+6) =

6 6 6

6 6

Ezzel bebizonyítottuk, hogy sejtésünk helyes volt, minden pozitív egész n számra az első n négyzetszám összege:

_ «{«+l)(2n+l)6 ^ -

X. G e o m e t r i a i a l a p i s m e r e t e k

A geometria alapfogalmai a körülöttünk lévő tárgyak (testek) érzé­kelhető tulajdonságaiból öíJízfrafccióvű/ alakultak ki.

Fogalmunk van a pontról, egyenesről, síkról, ... félegyenesről, sza­kaszról, szögről, ... . Tudjuk, hogy két szakasz vagy két szög összehasonlí­tásakor mit jelent a „kisebb”, az „egyenlő”, a „nagyobb”.

Két térelem (pont, egyenes, sík) kölcsönös helyzetének vizsgálata kí­vánja a metsző és a párhuzamos egyenesek, síkok tisztázását, valamint kü­lönböző esetekben a térelemek hajlásszögének és távolságának értelme­zését.

Két egyenes metsző, ha pontosan egy közös pontjuk van, párhuzamo­sak, ha egy síkban vannak és nem metszik egymást, kitérőek, ha nincsenek egy síkban. - Két párhuzamos egyenesnek vagy nincs közös pontja, vagy egybeesnek.

Két sík metsző, ha pontosan egy közös egyenesük van, párhuzamosak, ha nem metszik egymást. - Két párhuzamos síknak vagy nincs közös pont­ja, vagy egybeesnek.

Egy egyenes vagy illeszkedik a síkra (ekkor az egyenes minden pontja a síknak is pontja), vagy a síkot egy pontban metszi, vagy nincs a síkkal kö­zös pontja, ekkor az egyenes és a sík párhuzamos.

Szögek, forgásszögek, szögek mérése

Egy pontból kiinduló két félegyenes két szöget határoz meg. Közülük azt a szöget, amellyel dolgozunk, egyértelműen jelöljük körívvel vagy be­tűvel.

Nevezetes a teljesszög (amelynél a szög két szára egybeesik és a szög­tartomány a teljes sík), az egyenesszög (szárai egy egyenest alkotnak), a derékszög (a teljesszög negyedrésze).

Gondolhatunk arra, hogy a szöget az egy pontból kiinduló egybeeső két félegyenesből az egyik fken tartásával és a másiknak a közös végpont körüli elforgatásával kaptuk meg. Az így létrehozott szögeket forgásszö­geknek nevezzük. A forgatás két irányban történhet és egy teljes körülfor- gatás után is folytatható.

86 87

GEOMETRIAI ALAPISMERETEK

A forgásszögnél a forgatás irányított, ezt úgy jelöljük, hogy a körívet nyíllal látjuk el (46. ábra).

GEOMETRIAI ALAPISMERETEK

46. ábra

A forgásszögnél a kétféle irányítású forgásszöget pozitívnak, illetve negatívnak mondjuk. Pozitívnak azt a forgásszöget nevezzük, amelynél - a szög sflqára nézve - a forgatott szár az óramutató járásával ellentétes irányban forgott, az óramutatóval egyező forgásnál a forgásszög negatív.

A szögek nagyságát kétféle egységgel mérhetjük. A két egység a fok, valamint a radián.1. Egy fok, azaz 1°, a teljes szög 360-ad része. (Az egyenesszög 180° a

derékszög 90'’.)A 0“áo;ál80° szögeket szokás konvex szögeknek, a 180°<j8s360°

nagyságúakat konkáv szögeknek nevezni.2. A szögek nagyságát a hozzájuk tartozó körívhosszak segítségével is

mérhetjük. A z egységsugarú körben a középponti szöghöz tartozó körív­hosszat a szög ívmértékének nevezzük Az ívmérték egysége a radián.

47. ábra 48. ábra

A z egységsugarú körben annak a középponti szögnek az ívmértéke 1 radián, amelyhez egységnyi körívhossz tartozik. A hasonlósági transz­formáció tulajdonságából következik, hogy az 1 radiánnyi középponti szögnek az r sugarú körben r hosszúságú a köríve (47. ábra).

Az e^ségsugarú kör kerülete 2 t, ezért a kör kerületéhez tartozó 360“-os középponti szög 2-k radián.

Az a “-os szög ívmértékét or -rel jelöljük. Tudjuk, hogy egy körben a középponti szögek nagysága és a hozzájuk tartozó körívhosszak között egyenes arányosság van (48. ábra). Felírhatjuk a kővetkező aránypárt: a ° ; 360°=oí : 2-r, egyszerűbben: a °: 180“ = o-/ ?r.

Ebből az oi^=l radián ívmértékű szög fokokban mért nagyságára ov~ 57°17’44,8" adódik. Azonnal lá^uk azt is, hogy a 180°-os szögnek t

radián, a 90°-osnak ^ radián, az T-osnak — radián az ívmértéke.2 180

Az egyenes arányosságából következik, hogy az átszámításokhoz az alábbi formulák célszerűek:

Fokból radiánba történő számításhoz:

Radlánból fokba történő számításhoz:

Cir = 180=a°,

180° Otr

Szögpárok

Nevezetes szögpárok:Egyállású szögek: Két konvex vagy két konkáv szög szárai párhuzamo­

sak és páronként egyező irányúak. A z egyállású szögek nagysága egyenlő (49. ábrán pl. és 0:2) •

Váltószögek: Két konvex vagy két konkáv szög szárai párhuzamosak és páronként ellenkező irányúak. A váltószögek nagysága egyenlő (49. ábrán pl. oíi és y 2> vagy 0:2 és 71).

Ha két váltószög szárai egy-egy egyenesre illeszkednek, akkor azokat csúcsszögeknek nevezzük. Két metsző ep^enesnél a keletkezett négy szög közül a szemköztiek csúcsszögek, nagyságuk egyenlő (49. ábrán pl. öíj és 71 vagyai és ői).

Mellékszögek: Két konvex szög szárai párhuzamosak, egy-egy egyező irányú, egy-egy ellenkező irányú. A két mellékszög összege 180°. A mellék­szögeket 180“-ra kiegészítő szögeknek is nevezzük (49. ábrán pl. arj és /3i).

Két olyan szöget, amelyek összege 90°, egymás pótszögének is nevezzük (50. ábra).

A merőleges szárú konvex szögek szárai páronként egymásra merőle­gesek. Nagyságuk egyenlő, vagy egymást 180°-ra egészítik ki (50. ábra).

88 89

GEOMETRIAI ALAPISMERETEK GEOMETRIAI ALAPISMERETEK

Térelemek hajlásszöge

Két kitérő egyenes

Két kitérő egyenes hajlásszögén azt a szöget értjük, amelyet egy tetszőleges ponton átmenő, velük párhuzamos egyenesek alkotnak.

Síkra merőleges egyenes deiiníciója

Egy egyenes és egy sík akkor merőleges egymásra, ha az egyenes merőleges a sík minden egyenesére.

A definíció szerint egy e egyenes és egy S sík m erőlegességéhez az szükséges, hogy az e egyenes és az S sík valamerm>i egyenese 90“-os szöget záijon be. A z S sík végtelen sok egyenesének vizsgálata helyett, a követ­kező tétel alapján, elegendő az S sík két m etsző egyenesét tekintenünk.

SÍKRA MERŐLEGES EGYENES TÉTELE

Tétel: Ha egy egyenes merőleges a sík két egymást metsző egyenesére, akkor merőleges a sík minden egyenesére, azaz merőleges a síkra.

A tétel bizonyításához tekintsük az S síkot és annak két, egymást m et­sző a és b egyenesét (ű n ö =AÍ). Erre a két egyenesre m erőleges az e egye­nes: A /€ e , é lű és e lb (51. ábra). Bizonyítjuk, hogy az S sík tetszőleges c egyenesére is merőleges az e egyenes. H a M íc , akkor a m erőlegességet a c egyenes helyett a vele párhuzamos és ^Ví-re illeszkedő d egyenessel mu­tatjuk ki. (H a A /G c, akkor c - d . )

vegyünk egy o lyan /egyenest, amely a z a , b ,d egyeneseket rendre az A , B, D pontokban metszi ( /4 /B /Ó # M ).

Mivel e ia és E M =M G , az E A G háromszög egyenlő szárú: E A = G A , hasonlóan EB = GB.

Ezekből következik, hogy A B E í = A B G a, mert oldalaik páronként egyenlők. A z egybevágóságból a m egfelelő szögek egyenlősége is adódik: E B A < = G B A < .

Két oldal egyenlő hosszúságú és a közbezárt szög egyenlősége miatt az EBD és a GBD háromszög is egybevágó. Ezért ED = GD.

A z E D G háromszög egyenlő szárú és a z £ G alapjának felezőpontja A/, ebből következik, hogy az M D magasság merőleges az E G alapra, azaz a d és az e egyenes egymásra m erőleges.

E zzel bizonyítottuk, hogy az e egyenes m erőleges az S sík tetszőlege­sen felvett c egyenesére is, azaz m erőleges az S sík bármely egyenesére.

Egy P pontból az S síkra bocsátott merőleges egyenesnek a síkon lévő P ’ pontját (talppontját), a Ppontnak az S síkon lévő merőleges vetületének nevezzük.

Ha egy e egyeaes nem merőleges az 5 síkra, akkor pontjainak merőle­ges vetüiete egy e’ egyenes, ezt az e egyenesnek az S síkon lévő merőleges vetületének nevezzük {52. ábra).

Egyenes és sík h^lásszöge

Ha egy egyenes metszi a síkot, de nem merőleges rá, akkor az egyenes és a sík hajlásszöge az a szög, amelyet az egyenes a síkon lévő merőleges vetületével alkot. A két mellékszög közül (általában) a kisebbet tekintjük az egyeaes és a sík hajlásszögének (52. ábra).

Egy síknak és a vele párhuzamos egyenesnek a hajlásszöge 0°.

51. ábra

Vegyünk fel az e egyenesen, az S sík mindkét oldalán, az M ponttól egyenlő távolságra egy-egy pomot, az E-t és a G-t {EM = M G). A z S síkon

Két sík hajlásszöge

Két metsző sík hajlásszögének keresésénél a két sík metszésvonalának egy tetszőleges pontjában a két sík mindegyikén egy-egy merőlegest állí-

90 91

GEOMETRIAI ALAPISMERETEK GEOMETRIAI ALAPISMERETEK

tünk a metszésvonalra. A két sík hajlásszöge az a szög, amelyet ez a két egyenes hoz létre (53. ábra).Két párhuzamos sík hajlásszöge 0^ Nevezetes ponthalmazok

Térelemek távolsága

Pont és sík távolságán a pontnak és a síkon lévő merőleges vetületének a távolságát értjük. A P pont és az S sík távolságának a jelölése: d(P, S).

Erre a definícióra vezetjük vissza a síkkal párhuzamos egyenes, vala­mint két párhuzamos sík távolságát is.

Egy sík és a vele párhuzamos egyenes távolságán az egyenes egy tetsző­leges pontjának a síktól való távolságát értjük. Az S sík és a vele párhuza­mos e egyenes távolságának jelölése: d(e, S).

Két párhuzamos sík távolsága az egyik sík egy tetszőleges pontjának a másik síktól való távolsága (54. ábra).

d{P;S^)=d{e;S^)^ = d {S ,X )

54. ábra 55. ábra

Két kitérő egyenes távolságát is visszavezethetjük az előző fogal­makra.

Legyen a két kitérő egyenes e és /. Vegyünk fel az egyik (/) egyenesre illeszkedő és a másik (e) egyenessel párhuzamos S síkot (55. ábra). A két kitérő e^ en es távolságán az e egyenes és a vele párhuzamos S sík távol­ságát értjük. Ennek alapján megfogalmazhatjuk a következő definíciót:

Két kitérő egyenes távolsága annak a szakasznak a hossza (d{e, /)), amely a két kitérő egyenest metsző és mindkettőre merőleges egyenesen van, a két kitérő egyenes között. (Az 55. ábrán látható a PP' szakasz. Ezt, illetve az erre illeszkedő egyenest a két kitérő egyenes normáltranszverzá- lis-szakaszának, illetve normáltranszverzális-egyenesének nevezzük.)

A geometriai alakzatokat ponthalmazoknak is tekinthetjük. Vannaknevezetes vonalak, testek, amelyeket legkönnyebben ponthalmazkéntdefiniálhatunk. Néhány példa:a) A körvonal azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyek a sík egy

pontjától adott távolságban vannak. Ez a távolság a kör sugara. Ha az S síkon adott a O középpont és az r sugár, akkor

körvonal = {P | / ’e í'} .

b) A körlap azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyek a sík egy pontjától egy r távolságnál nem nagyobb távolságra vannak:

kéúap= {P \O P ^r,P ^S }.

A z az O középpontú körlap, amelynek P pontjaira OP^r, tartalmazza minden határ­pontját (mindazokat a ponto­kat, amelyekre OP=r). Az ilyen ponthalmazt zártnak ne­vezzük.Ha az ö középpontú körlap P pontjaira OP<r, akkor ennek a ponthalmaznak valamennyi pontja belső pont. Az ilyet nyílt ponthalmaznak nevezzük (56. ábra).

c) Agömbfelület egy adott O ponttól r távolságban lévő pontok halmaza:

gömbfelület = {P\OP=r}

d) Agömhiest egy adott ponttól adott távolságnál nem nagyobb távolság­ban lévő pontok halmaza:

gö rabtest ~ {P \O P ^r).e) A parabola azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyek a sík egy

adott egyenesétől, a v vezéregj'enestől (direktrixtől) és a sík egy adott pontjától, az F fókuszponttól (F^v) egyenlő távolságra vannak (57. ábra):

parabola- {P\d(P, v) =d(P, /O}-

ponthalmaz

56. ábra

92 93

GEOMETRIAI ALAPISMERETEK GEOMETRIAI ALAPISMERETEK

tünk a metszésvonalra. A két sík hajlásszöge az a szög, amelyet ez a két egyenes hoz létre (53. ábra).Két párhuzamos sík hajlásszöge 0°. Nevezetes ponthalmazok

Térelemek távolsága

Pont és sík távolságán a pontnak és a síkon lév6 merőleges vetületének a távolságát értjük. A P pont és az S sík távolságának a jelölése: d(P, S).

Erre a definícióra vezetjük vissza a síkkal párhuzamos egyenes, vala­mint két párhuzamos sík távolságát is.

Egy sík és a vele párhuzamos egyenes távolságán az egyenes egy tetsző­leges pontjának a síktól való távolságát értjük. Az S sík és a vele párhuza­mos e egyenes távolságának jelölése: d{e, S),

Két párhuzamos sík távolsága az egyik sík egy tetszőleges pontjának a másik síktól való távolsága (54. ábra).

54. ábra 55. ábra

Két kitérő egyenes távolságát is visszavezethetjük az előző fogal­makra.

Legyen a két kitérő egyenes e és/. Vegyünk fel az egyik (/) egyenesre illeszkedő és a másik (e) egyenessel párhuzamos S síkot (55. ábra). A két kitérő e^en es távolságán az e egyenes és a vele párhuzamos S sík távol­ságát értjük. Ennek alapján megfogalmazhatjuk a következő definíciót:

Két Idtérő egyenes távolsága annak a szakasznak a hossza {d{e, /)), amely a két kitérő egyenest metsző és mindkettőre merőleges egyenesen van, a két kitérő egyenes között. (Az 55. ábrán látható a PP' szakasz. Ezt, illetve az erre illeszkedő egyenest a két kitérő egyenes normáltranszverzá- lis'szakaszának, illetve normáltranszverzális-egyenesének nevezzük.)

A geometriai alakzatokat ponthalmazoknak is tekinthetjük. Vannaknevezetes vonalak, testek, amelyeket legkönnyebben ponthalmazkéntdefiniálhatunk. Néhány példa:a) A körvonal azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyek a sík egy

pontjától adott távolságban vannak. Ez a távolság a kör sugara. Ha az S síkon adott a O középpont és az r sugár, akkor

körvonal = {P | OP=r, Z’ £ 5}.

b) A körlap azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyek a sík egy pontjától egy r távolságnál nem nagyobb távolságra vannak:

kÖrlap= {Pl 0P ^ r,P G 5} .

Az az középpontú, körlap, amelynek P pontjaira OP^r, tartalmazza minden határ­pontját (mindazokat a ponto­kat, amelyekre OP=r). Az ilyen ponthalmazt zártnak ne­vezzük.Ha az O középpontú körlap P pontjaira OP<r, akkor ennek a ponthalmaznak valamennyi pontja belső pont. Az ilyet nyílt ponthalmaznak nevezzük (56. ábra).

c) Agömbfelület egy adott O ponttól r távolságban lévő pontok halmaza:

gömbfelület = {P | OP=r}

d) A gömbtest egy adott ponttól adott távolságnál nem nagyobb távolság­ban lévő pontok halmaza:

gömbtest = {Pl OPár}.e) A parabola azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyek a sík egy

adott egyenesétől, a v vezéregyenestől (direktrixtől) és a sík egy adott pon^’ától, az F fókuszponttól (F€v) egyenlő távolságra vannak (57. ábra):

parabola = {P k (P , v) =d{P, F)}.

ponthalmaz

56. ábra

92 93

GEOMETRIAI ALAFISMERETEK GEOMETRIAI ALAPISMERETEK

A fókuszpont és a vezéregyenes távolságát a parabola paraméterének nevezzük, p-vel jelöljük.

57. ábra 58. ábra

f) A z ellipszis azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyeknek két adott ponttól, az Fi, F2 fókuszpontoktól mért távolságuk Összege állandó és ez az állandó nagyobb a két fókuszpont távolságánál (58. ábra).

ellipszis = {P 1 PF^-^PF2 ~ állandó >^^1 2}.

A két fókuszponlra illeszkedő eg>'enes az ellipszis egyik szim-nietriatengelye. Ennek az ellipszissel két közös pontja van, az ezekkel meghatározott szakasz az ellipszis nagytengelye. Felének hosszát a-val jelöljük.

A nagytengely felezőm erőlegese az ellipszis másik szimmetriatenge­lye. A z ellipszis ebből kimetszi a CD szakaszt, ezt az ellipszis kistengelyé­nek nevezzük, felének hosszát ö-vel jelöljük.

A két tengely O metszépontja az elhpszis .szimmetria középpontja. Az OF, = 0 ^ 2 szakaszhosszakat c-vel jelöljük, c <a.

Tekintsük az AB nagytengely egyik végpontját. A szimmetria miatt A F ^-B F j. A z A pontra írjuk fel a definícióban szereplő összeget és alakít­suk úX\ÁFi-i^AF2 ^BF 2+AF2 =AB = 2a.

Mivel az ellipszis bármely pontjánál állandó a két fókuszponttól mért távolság összege, ezért az ellipszis bármely P pontjára PF-y+PF2~2a, így felírhatjuk:

ellipszis = {PI F f ’i+Pí'j=2í7 és FjFj < 2a).

A kistengely egyik végpontjánál a szimmetria miatt MivelCFj+CF2=2a, ezért CF^^^a. Az F^CO derékszögű háromszögből Pitagorasz tételével nevezetes összefüggést kapunk az ellipszis három adata közöU: a-~h^+c^.

H a Fj - F 2, akkor az ellipszis kör.

g) A hiperbola azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyeknek két adott ponttól, az Fy, F2 {Fi^F^ fókuszpontoktól mért távolságuk kü­lönbségének az abszolút értéke állandó és ez az állandó olyan pozitív szám, amely kisebb a két fókuszpont távolságánál (59. ábra).

hiperbola={P| iPFi-PFjl = állandó</’ í’2}-A két fókuszpontra illeszkedő egyenes a hiperbola egyik szimmetria-

tengelye. Ennek a hiperbolával két közös pontja van. Az ezek által megha­tározott A B szakaszt a hiperbola valós tengelyének nevezzük, felének hosszát fl-val jelöljük.

A z A B szakasz felezőpontja a hiperbola szimmetria középpontja, O- val jelöljük. A z F ^O -O F 2 szakaszhosszakat c-vel jelöljük, a< c.

A valós tengely felezőm erőlegese a hiperbola másik szimmetriatenge­lye. Ennek a hiperbolával nincs közös pontja. Bevezethetünk egy szakaszt, amely m egfelel az ellipszis kistengelyének. A valós tengely egyik végpont­jából c sugarú körzőnyílással metsszük el a szimmetriatengelyt. A kapott CD szakaszt a hiperbola képzetes tengelyének nevezzük, felének hosszát b-vel jelöljük.

59. ábra

Tekint.sük az A B valós tengely egyik végpontját. A szimmetria miatt A F 1 =BF 2. A z a pontra írjuk fel a definícióban szereplő különbséget; AF,_ - A F , ^AF^ -B F j A B ^ la .M ivel a hiperbola bármely pontjánál állandó a két fókuszponttól mért tá­volság különbségének abszolútértéke, ezért a hiperbola bármely P pont­jára I ~2«. így felírhatjuk:

hiperbola = (P l Ip P ^ -P P J = 2 a és F ^ F ,> 2a}.

A képzetes tengely megszerkesztésénél kapott A C O derékszögei háromszögből nevezetes összefüggést kapunk a hiperbola három adata között:

94 95

GEOMETRIAI ALAPISMERETEK GEOMETRIAI ALAPISMERETEK

A z em lített ponthalmazok énelm ezések, definíciók voltak. (A z ellip­szisnél és a hiperbolánál említést tettünk nevezetes adataikról is, továbbá egy összefüggésről, amely a definíciójukból következik.) A későbbiekben m ég további nevezetes ponthalmazokat is említünk, olyanokat is, amelyek valamilyen tétellel kapcsolatosak. Példaként említjük egy adott kört érintő adott sugarú körök középpontjainak ponthalmazát:

a) Egy adott O középpontú és r sugarú kört kívülről érintő adott d su­garú körök középpontjainak halmaza az adott körrel koncentrikus r+d sugarú kör (6 0 /a ábra).

b) Egy adott O középpontú és r sugarú kört belülről érintő adott d (d < r) sugarú körök középpontjának halmaza az adott körrel kon­centrikus r -d sugarú kör (60/b ábra).

b)

60. ábra

Ezek teljes m egértéséhez azonban ismernünk kell az egymást (kívül­ről, belülről) érintő kör értelm ezését és az ebből következő tételeket.

f M .'/ ( / / / / /

m

%m .

62. ábra

Ponthalmazok megadása számegyenesen, koordínátasíkon

1. Ponthalmazokat a számegyenesen valós számokból álló halmazokkal adhatunk meg. Például: [-7; -5], ]-3; 1[, [2; 4[, ] - l; 0 ]u [l; 2].

2. Ponthalmazokat a koordinátasíkon valós számpárokból álló halma­zokkal adhatunk meg. Ez koordináták, egyenletek, egyenlőtlenségek, ... megadásával történhet. A ponthalmazok szemléltetéséhez meg­felelő gondolatokat, ötleteket kell keresnünk. Ezekre néhány példa:a) y>0. Ez az egyenlőtlenség a koordináta-si'kon mindazokat a ponto­

kat jelenti, amelyek}' koordinátája pozitív (61. ábra).b) x á2 . A koordinátasíkon mindazokat a pontokat jelenti, amelyeke:

koordinátája nem nagyobb 2-nél (62. ábra).cj >'>0 és xS2. A koordinátasíkon mindazokat a pontokat jelenti,

amelyek x koordinátája nem nagyobb 2-nél és y koordinátája pozi­tív (63. ábra).

d) l< jcá4. A koordinátasíkon mindazokat a pontokat jelenti, amelyek X koordinátája 1-nél nagyobbak és nem nagyobbak 4-néí (64. ábra).

o.

64. ábra

e) l< x ^ 4 é s -1 S y< 2 .A megfelelő ponthalmazt a 65. ábra mutatja.f) (x-í)(y+2)^0. A szorzat csak úgy állhat fenn, ha x -laO és

vagy j:-láO ésy+2^0. Az első esetből következik: jcS 1 é sy ^ -2 . A második esetből .rá 1 é s y ^ -2 (66. ábra),

V

65. ábra 66. ábra

96 97

GEOMETRIAI ALAPISMERETEK GEOMETRIAI ALAPISMERETEK

g) x+y=4. Ez elsőfokú kétismeretlenes egyenlet, a koordinátasíkon egy egyenes a képe (67. ábra). Ponthalmazok távolsága

67. ábra

h) |jcl + lyl=4. A koordinátasík I. negyedében mindkét koordináta nemnegatív, ott az elözö egyenlethez jutunk. Emiatt a koordináta- sík I negyedében az előző ábra I. negyedében lévő szakasz lesz. Ha valamely (x,y) számpár kielégíti az egyenletet, akkor a (-JC, j ) számpár is kielégíti, ezért a II. negyedbeli kép az első negyedbeli­nek az y tengelyre vonatkozó tükörképe. A ( -x, - 3;) számpár is ki­elégíti az egyenletet, így a III. negyedbeli kép az I. negyedbelinek az origóra vonatkozó tükörképe. Mivel (jc, -y) is kielégíti az egyen­letet, így az I. negyedbeli szakaszt az;ic tengelyre tükrözzük, ez lesz a IV. negyedbeli kép (68. ábra).

i) =4. Az előző gondolatmenet alapján ebből az I. negyed­ben az x -y = 4, a II. negyedben a -x -y = 4 egyenlethez jutunk (ugyanis a negatív x koordináták abszolútértéke az ellentett érték lesz, a pozitív y koordináták abszolútértéke változatlan). Hasonló­an a III. negyedben az -x+;j=4, a IV. negyedben az ;£:+>-=4 egyen­letet kapjuk (69. ábra).

j) x^+y~ = 4. Ez a másodfokú kétismeretlenes egyenlet körnek az egyenlete (70. ábra).

yi

Két ponthalmaz távolságát szeretnénk értelmezni. Természetes, hogy egy A és egy B halmaz esetén a „két legközelebbi pontjuk” távolságát tekint­jük a két halmaz távolságának. (Ez az az úthossz, amelynél rövidebb úton nem juthatunk el az A halmaz egy pontjából a B halmaz egy pontjához.) A 71. ábrán látható ^ és fi ponthalmaz (két körlap) távolsága a PQ sza­kaszhossz. (P, Q a két kör középpontját összekötő szakasznak és a két körvonalnak a metszéspontja.)

Kérdés, hogy bármely két ponthalmaznak létezik-e két legközelebbi pontja?

A 71. ábrán látható két ponthalmaznak van két legközelebbi pontja (P és Q). Belátható, ha A és B kél 2árt halmaz és korlátos (azaz minde­gyikhez létezik olyan kör, térbeli ponthalmaznál gömb, amelyben a pont­halmaz minden eleme benne van), akkor a két ponthalmaznál létezik olyan P, Qpoiitpár, amelyek távolsága minimális. Ezt tekintjük a két ponthalmaz távolságának.

A távolságfogalom tetszőleges ponthalmazok esetében is értelmez­hető. Egy zárt és egy nyílt ponthalmaznál ugyan nem találunk olyan pont­párt amelyek távolsága a lehető legkisebb, de bármely két ponthalmaznál találhatunk olyan legnagyobb a számot, amelyre a két ponthalmaz bármely pontpárjának a távolsága nem kisebb mint ol Ezt az a számot tekintjük a két ponthalmaz távolságának. (Annak a bizonyítása, hogy létezik ilyen szám, nem középiskolai tananyag.)

- 7 -5 -3-o-

d{A^) =:

0 1

71. ábra 72. ábra

A 72. ábrán látható A és B ponthalmaznál ez az a szám 2, a két pont­halmaz távolsága 2 távolságegység.

70. ábra

98 99

GEOMETRIAI SZERKESZTESEK

XI. G e o m e t r i a i s z e r k e s z t é s e k

Geometriai szerkesztéseket körzővel és vonalzóval végzünk. A vonal­zók fajtája, illetve az eszközök használata megállapodás dolga. A z ókorban Euklidész, a geometriai ismeretek első rendezője olyan szerkesztéseket végzett, amelyeknél kizárólag körzőt és úgynevezett egyélű vonalzót hasz­nált. (A z egyélű vonalzónak egyetlen éle van, tehát nem lehet sem párhu­zamos, sem derékszöget bezáró két éle.)

Eukhdész tiszteletére - a geometriáiian - ma is euklidészi szerkesztési módnak nevezzük azt, amelynél az eszközöket kizárólag a kővetkezőkre használhatjuk:

a) A vonalzót két adott pontra illesztve meghúzhatjuk a rájuk illesz­kedő egyenest

b) Két pont távolságát körzőnyílásba vehetjük.c) Adott pont körül adott sugárral kört rajzolhatunk.d) Két egyenes metszéspontját meghatározhatjuk.e) Egyenes és kör metszéspontját meghatározhatjuk.f ) Két kör metszéspontjait meghatározhatjuk.

Euklidész szerkesztési eszközeit azonban módosíthatjuk. M i derékszö­gű vonalzót is használunk, a műszaki rajzban pedig további eszközök és sablonok is használhatók. A z ezekkel végzett szerkesztéseket azonban nem nevezhetjük euklidészi szerkesztéseknek.

Alap szerkesztések

A legegyszerűbb szerkesztéseket alapszerkesztéseknek nevezzük. Ezek a szögmásolás, a szakasz felezőmerőlegesének szerkesztése, a szögfelezés.

Tekintsük részletesen azt az eljárást, amellyel megszerkeszthetjük egy A B szakasz felezőmerőlegesét: v4 szakasz két végpontjából azonos körzőnyí­lással, a szakasz mindkét oldalán, egymást metsző köríveket rajzolunk (73. ábra). A z M i metszéspontokra illeszkedő f egyenes az AB szakasz fe­lezőmerőlegese.

Ez az utasítás kijelenti és nem bizonyítja, hogy azMiM2 egyenes felezi az AB szakaszt és merőleges rá. Ennek igaz voltát külön kell belátnunk. A bizonyítást indirekt módszerrel végezzük.

Tegyük fel, hogy az AB szakasznak és az M 1M2 egyenesnek a P met­széspontja nem azonos az AB szakasz felezőpontjával. A feltételezett

felezőpontot jelöljük Q-\z\. A z M^Q szakasz az AM^B egyenlő szárú háromszöget két részre bontja, az AM^Q és a BMiQ háromszögekre. E két háromszög oldalai páronként egyenlők, ezért ezek egybevágók. Emiatt egyenlők a megfelelő szögek is: AQMt<í=BQMi< és e két szög összege 180°, így külön-külön derékszögek, az M^Q szakasz tehát merőle­ges azA S szakaszra. Ugyanígy belátható, hogy az MjQ szakasz is merőle­ges az A B -it, ezért M 1QM2 nem töröttvonal, hanem az M 1M 2 egyenes egy szakasza. Ebből következik, hogy Q =P, azaz a P pont valóban felezőpont és az AÍiM2=/egyenes az AB szakasz felezőmerőlegese.

M { \

P

M,'>

B B

73. ábra

Hasonló gondolatmenettel adódik, hogy az / felezőmerőleges bármely M pontját tekintjük, az egj’enlő távolságra van a szakasz két végpontjától: AM ~BM . Azt is belátjuk, hogy az / felezőmerőleges pontjain kívül a síknak nincs olyan pontja, amely az A B szakasz végpontjaitól egyenlő távolságra van. Ugyanis, ha feltesszük, hogy N ^ f, akkor az ANP és a BNP háromszögekben az NP oldal közös, A P -B P és a közbezárt szög nem egyenlő, ezért

A fentiek alapján a szakasz felezőmerőlegesét a következő pont- p /halmazként is értelmezhetjük: A sík­ban egy szakasz felezőmerőlegese azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek a szakasz két végpontjától egyenlő távolságban vannak.

Térben egy szakasz két vég­pontjától egyenlő távolságban lévő pontok halmaza egy olyan sík, amely merőleges a szakaszra és azt felezi.

Hasonló módon konvex szögek szögfelezőit is értelmezhetjük pont­halmazként: Egy konvex szöget felező félegyenes a szög tartományában azok­nak a pontoknak a halmaza, amelyek a szög két szárától egyenlő távolságban varrnak (74. ábra).

100 101

GEOMETRIAI SZERKESZTESEK GEOMETRIAI SZERKESZTÉSEK

Szerkesztési feladatok végrehajtásáról

Szerkesztési feladatok megoldásánál elsőként vázlatrajzot készítünk. Ennek alapján - a ponthalmazokra és geometriai tételekre vonatkozó is­mereteink felhasználásával - a szerkesztést több lépésre bontjuk fel és azokat egymás után elvégezzük. Szükség lehet annak vizsgálatára, hogy elegendő-e egyetlen szerkesztés, vagy a kiindulási adatoktól függően több esetet is kell vizsgálnunk. A szerkesztési eljárás helyességét igazolnunk kell.

Vannak feladatok, amelyekben több feltételnek megfelelő alakzatot kell szerkesztejiünk. Ezeknél a feltételeket külön-külön vizsgáljuk, az egyes feltételeknek megfelelő ponthalmazokat külön-külön megkeressük, majd ezek közös részét vesszük.

A szerkesztési feladatok teljes elemzését diszkussziónak nevezzük.

Példa: Adott egy egyenes és tőle adott d távolságban egy pont. Szerkesszünk adott sugarú kört, amely érinti az adott egj'enest és áthalad az adott ponton.

A feladat szövege világossá teszi, hogy a szerkesztendő r sugarú, körnek két feltételt kell kielégítenie. Egyik feltétel, hogy érintenie kell az e egyenest. A másik feltétel az, hogy egyik kerületi pontja az adott P pont.

A szerkesztendő kör (körök) középpontjának az első feltétel alapján az adott egyenestől r tá­volságban kell Jejmie, a másik feltétel miatt a középpont és az adott P pont távolsága ugj'ancsak r (75. ábra).

A z első feltételnek megfelelő ponthalmaz az e egyenestől r tá­volságban lévő két párhuzamos egyenes, a másiknak megfelelő ponthalmaz a P pont körüli r sugarú kör­vonal. E két ponthalmaz közös részének pontjai azok, amelyek a feltéte­leknek megfelelő körök O középpontjai lehetnek.

A feladat megoldásánál, harf = 0, akkor egyetlen esetet kell vizsgál­

nunk, ha d /0 , akkor hármat, a zr>^ , r = ^ , r < ^ eseteket. (76. ábra).

A szerkesztendő körök száma a négy esetben rendre 2; 2; 1; 0.A szerkesztés lépéseit végiggondolva minden esetben igazolhatjuk

eljárásunk helyességét.

75. ábra

d^O

O,

r<i

Od'

7á ábra

Néhány nevezetes szerkesztés

Külön tárj^'alunk néhány nevezetes szerkesztést: Körhöz külső pont­ból szerkesztünk érintőt, két körhöz közös érintőt szerkesztünk, majd parabola, ellipszis, hiperbola pontjainak szerkesztésével foglalkozunk.1. Adott a k kör és a külső P pont (77. ábra). A kör érintőjére vonat­

kozó tétel alapján tudjuk, hogy az érintési ponthoz húzott sugár és az érintő egyenes egymásra merőleges. Thalész tételéből adódik, hogy az OP szakasz C felezőpontjából OC sugárral rajzolt kör áthalad az E ponton, ugyanis az OEP háromszög E csúcsánál lévő szög 90° (129. oldal).

77. ábra

A szerkesztés lépései: Az OP szakasz felezése, a C felezőpontból OC sugárral kör rajzolása. Ennek és az eredeti körnek a metszéspontjai lesznek az érintési pontok: E] és E^. A két érintő egyenes PE^, PE2. A

102 103

GEOMETRIAI SZERKESZTESEK GEOMETRIAI SZERKESZTESEK

tengelyes szimmetriából következik, hgy a két érintőszakasz egyenlő hosszúságú PEi =PEi.

2. Két körnek kétféle közös érintője lehet, a 78. ábra a) része külső, a í») ré­sze belső érintőket mutat. A közös érintők szerkesztését visszavezet­jük az előző szerkesztésre.

A z ábrán látható két körnek összesen négy közös érintője van. H a a két kör kölcsönös helyzete más, akkor a közös érintők száma kevesebb is lehet: 3; 2; 1 vagy 0 (pl. két koncentrikus körnek nincs közös érintője).

a) A külső érintőknél, ha a kisebb kör r2 sugarát gondolatban, csök­kentjük és mindig ugyanannyival csökkentjük a nagyobb kör sugarát is, akkor a közös érintő párhuzamosan eltolódik. Ha a csökkenés 2 lesz, akkor a nagyobb kör rj-r2 sugarúvá, a kisebb kör pedig az O2 középponttá zsugorodik,A szerkesztés lépései: Az Ox középpontú r i-/'2 sugarú körhöz az O2

külső pontból megszerkesztjük az érintő egyenest, majd ezt 12

távolsággal párhuzamosan eltoljuk.b) A belső érintőknél - az előző szerkesztéshez hasonlóan - a kisebb

kör sugarát r2-vel csökkentjük, a nagyobb kör sugarát rj-vel növel­jük.

A szerkesztés lépései: Az Oj középpontú ri+/-2 sugarú körhöz az O2

pontból megszerkesztjük az érintő egyenest, majd ezt T2 távolsággal párhuzamosan eltoljuk.

Az előbbi szerkesztések megfeleltek az euklidészi szerkesztési mód­szernek. Parabolát, ellipszist, hiperbolát azonban kizárólag körzővel és egyenes vonalzóval nem szerkeszthetünk, de véges számú tetszés szerinti sok pontjukat megszerkeszthetjük euklidészi módszerrel. Ha ezek elég sűrűn helyezkednek el, akkor kialakítják a vonal alakját.

Mindhárom vonalnál olyan pontokat kell keresnünk, amelyek megfe­lelnek definíciójuknak (93. oldal).3. A parabola pontjainak szerkesztésénél elsőként felvesszük a vezéregye­

nest és a parabola fókuszpontját. (Ehhez ismernünk kell a paraméte­rét.) Az F pontból a vezéregyenesre bocsátott merőleges a parabola szimmetriatengelye (79. ábra). A vezéregyenes és a tengely metszés­pontjával valamint a fókuszponttal meghatározott szakasz felezőpont­ja a parabola egyik pontja, tengelypontjának (7) nevezzük.A parabola további pontjainak szerkesztéséhez a vezéregyenessel pár­huzamos egyeneseket veszünk fel. Tekintsük az ábra a egyenesét. A d(a, v) távolságot körzőnyflásba vesszük és ezzel az a egyenest az F fó­kuszpontból elmetsszük. A k a p o tté i , ^2 pontok pontjai a parabolá­nak. Újabb pontokat is hasonlóan szerkeszthetünk.

adott

1 ^

T/ \d {a ,v)\

\ \ 1 1 \. 1L 1 X 1

A 2 \ I1 \ 1

1a\

79. ábra

4. A z ellipszis pontjainak szerkesztésénél az első lépés a tengelyek felvétele és a fókuszpontok kijelölése (80. ábra). Utána az OF2 szakaszon segédpontokat veszünk fel. Közülük tekintsük 5i-et. Mivel ASi+SjB=2a, a fókuszpontok egyikéből v45i, a másikból SíB sugarú, egymást metsző köríveket rajzolunk. Ezek Mj, A/2, M^, M4, metszés-

104 105

GEOMETRIAI SZERKESZTESEK

pontjai megfelelnek az ellipszis definíciójának, így pontjai az ellipszis­nek. Az 52, ^3,... pontokkal újabb pontokat szerkeszthetünk.

adott

80. ábra

5. A hiperbola pontjainak szerkesztésénél az első lépés a valós tengely és a fókuszpontok felvétele (81. ábra). Utána a valós tengely egyenesén az

szakaszon kívül segédpontokat veszünk fel. Közülük tekintsük 5i*et. Mivel = a fókuszpontok egyikéböM^i, a másikábólBS- sugarú, egymást metsző köríveket rajzolunk. Ezek M^, M- , M^, M 4, metszéspontjai megfelelnek a hiperbola definíciójának, így a hiperbolának pontjai. Hasonló módon további pontokat szerkeszthe­tünk.

adott

81. ábra

XII. G e o m e t r i a i t r a n s z f o r m á c i ó k

A z alakzatok tükrözését, eltolását, forgatását, nagyítását, ismeijük. Jellem ző tulajdonságaikban több közös vonást találunk. Ez indokolja, hogy közös nevet adjunk nekik: geometriai tram:^ortnációknak. nevezzük.

Egy fénykép nagyításánál az eredeti kép minden pontjának m egfelel a nagyított kép egy-egy pontja. A fénykép egy ponthalmaz, a nagyítás ennek a ponthalmaznak (értelmezési tartománynak) minden egyes elem éhez hozzárendeli a nagyított kép ponthalmazának egy-egy elemét.

A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek értelmezési tar­tománya is, értékkészlete is ponthalmaz.

Egymás után két (vagy több) geometriai transzformációt is végezhe­tünk. A transzformációk sorrendjét egyértelműen kell megadnunk. (A geometriai transzformációk egymásutánt elvégzését a transzformációk szorzatának is nevezzük.)

A z értelm ezési tartomány elem eit szokás tárgypontoknak is nevezni, az értékkészlet elem ei képpontok.

A sokféle geometriai transzformáció közül a középiskolában csak néhány egyszerűvel foglalkoztunk. A tárgyalt geom etriai transzformációk­nál a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű.

Egy geometriai transzformációnál elsőként a hozzárendelési szabályt adjuk meg. Ennek ismerete után a transzformáció lényeges tulajdonságait keressük. Ezek megtalálását és megfogalmazását segíti az invariáns alak­zat és a fixpont fogalmának bevezetése.

Ha egy geometriai transzformációnál valamely alakzat képe önmaga, akkor azt a transzformáció invariáns alakzatának nevezzük.

Egy geometriai t r a n s z f o r m á c i ó n a k az olyan pont, amelynek a képe önmaga. Ha egj’ alakzat valamennyi pontját külön-külön figyeljük és azok mind fixpontok, akkor az alakzatot a transzformáció fixalakzatának mondjuk. (Minden fixalakzat invariáns alakzat, de nem minden invariáns alakzatra mondhatjuk, hogy fixalakzat.)

Távolságtartó (egybevágósági) transzformációk

Távolságtartó (egybevágósági) transzformációknak azokat a transzformá­ciókat nevezzük, amelyeknél bármely két pont távolsága egyenlő a képük távolságával.

A távolságtartás azt jelenti, hogy bármely szakasz képe az eredetivel azonos hosszúságii szakasz. Ebből következik, hogy minden távolságtartó

106 107

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK GEOMETRIAI TRANSZÉORMACÍOK

transzformációnál szö^ képe ugyanolyan nagyságú szög (azaz a távolság­tartó transzformáció szögtartó is). Következik az is, hogy egyenes képe egyenes.

’ b) adott: O c) adott; O és aadott: [

■<P ’

d) adott: v

P ‘

82. ábra

A síkon végzett távolságtartó transzformációk közül nevezetesek (82. ábra):

a) Tengelyes tükrözés (egy egyenessel, a tengellyel adjuk meg),b) középpontos tükrözés (eg>' ponttal, a középpottal adjuk meg),c) pont körüli elforgatás (egy ponttal, a középpottal és az elforgatás

szögének nagyságával, irányával adjuk meg),d) eltolás (egy vektorral adjuk meg).Ezek hozzárendelési szabályát a 82. ábráról leolvashatjuk. (Az ábra

azt is mutatja, hogy a középpontos tükrözést 180“-os elforgatásnak is te­kinthetjük.)

A síkon végzett távolságtartó transzformációk közül egy síkidom körüljárási irányát a tengelyes tükrözés ellenkezőjére változtatja, a többi nem változtatja meg.

A tér távolságtartó transzformációi közül közismertek:a) Síkra történő tükrözés (egy síkkal adjuk meg),b) középpontos tükrözés (a kép lényeges tulajdonságaira jellemzőbb a

forgatva tükrözés elnevezés; egy ponttal, a középponttal adjuk meg),c) az egyenes (tengely) körüli forgatás (egy egyenessel, a tengellyel és a

forgatás szögének nagyságával, irányával adjuk meg),d) eltolás (egy vektorral adjuk meg).£gy síkra történő tükrözés hozzárendelési szabálya: Ha eg>' pont a síkon

van, akkor tükörképe önmaga. (A sík pontjai fixpontok.) Ha egy P pont nem illeszkedik az S síkra, akkor a pontból merőlegest bocsátunk a síkra, talppontja T (83. ábra). A T pontra tükrözzük a F pontot. A kapott P' pont a P pontnak az S síkra vonatkozó tükörképe.

adott: f és a

P ’y-

Q=Q.

■*P

S3. ábra

Egy tükör előtt állva, saját tükörképünk a tükör síkjára történő tükrö­zéssel jön létre. (A tükörkép nem ,,sík-kép”, az is test.) Tükörképünkön a bal és a jobb oldal felcserélődik.

A tengefy köríiii forgatás hozzárendelési szabálya: Ha egy pont a tenge­lyen van, akkor a képe önmaga. (A tengely pontjai fixpontok.) Ha egy P pont nem illeszkedik a t tengelyre, akkor a képe azon az 5 síkon van, amely merőleges a t tengelyre és illeszkedik a P pontra (84. ábra). Ezen az 5 síkon, a tengellyel alkotott O metszéspont körül, elforgatjuk a P pon­tot az adott forgásszög irányában és a szög nagyságával. A kapott F' pont lesz a / ’ pont képe.

Tengely körüli forgatás­sal forgástesteket, forgásfelü­leteket hozhatunk létre. Pl. egy kört az egyik átmérője körül forgatva gömböt ka­punk; egy tengely körül egy metsző egyenest forgatva egy forgáskúp palástjához jutunk (85. ábra),

A középpontos tükrözés (for­gatva tükrözés), valamint az elto­lás hozzárendelési szabálya ugyan­az mint a síkon.

Távolságtartó transzformációk egymásutáni végzése is távolságtartó (egybevágósági) transzformáció.

Alakzatok egybevágósága

Két alakzatot egybevágónak nevezünk, ha van olyan távolságtartó transz- formáció, amellyel az egyik alakzatot a másikba vihetjük á t (A távolságtartó transzformációkat egybevágósági transzformációknak is nevezzük.) Az egybevágóság jele; =

A z értelmezés alapján, ha két alakzat egybevágóságát akarjuk belátni, akkor keresnünk kell olyan távolságtartó transzformációt, amely az egyik alakzatot a másikba viszi át. Ez nehéz munka lehet, de vannak síkidomok,

m 109

GEOMETRIAI TRANSZFORMACIOK

amelyek egybevágóságát a jellem ző adataik alapján könnyen eldönthetjük. Ezt háromszögeknél, sokszögeknél külön tárgyaljuk.

Két háiomszög egybevágó, ha belátjuk, hogy teljesül rájuk a követke­ző feltételek egyike. (Ekkor a két háromszög minden megfelelő adata egyenlő, tehát a többi feltétel is teljestil.)

Két háromszög egybevágó, haa) oldalaik hossza páronként egyenlő,b) két-két oldaluk hossza páronként egyenlő és az ezek által bezárt szögük

is egyenlők,c) egy-egy oldaluk hossza és a rajtuk lévő két szögük páronként egyenlők,d) két-két oldaluk hossza páronként egyenlő és közülük a hosszabb oldal­

lal szemközti szögek egyenlők.

C ”

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

Állításaink közül az elsőt bizonyítjuk. Adott az AB Ci. és az A ’B ’C \ úgy, hogy A B = A W ,A C = A ’C ’, B C = B ’C \ Azt kell belátnunk, hogy ekkor létezik olyan egybevágósági transzformáció, amely az egyik háromszöget a másikba viszi át.

A két háromszög körüljárási iránya ellenkező (86. ábra). Felveszünk egy i tengelyt, erre tükrözzük aZv4BCA-et, képe az A '’B"C”i (ez azonos körüljárási irányii a z ^ ’JS’C i-gel).

A ”B "C ’\ - e t eltoljuk azv4’!á'vektorral, a képe a z ^ ’S "’C"’A. A feltételek sz&nnt A B = A ’'B"^A’B ”’= A ’B ’. Ezért az A B '' ’C ”'^-et az pont körül elforgathatjuk tigy, hogy a B ’" pont a jS’-be kerüljön. Ekkor - mivel A C = A ’‘C ’’= A ’C ”‘= A ’C ’ és B C = 5 '’C ”= B ”’C"’=-B’C’ - a C ”’ pont a C’-be kerül. Ezért valóban A B C a = ^ ’B'C'í. (H a két háromszög egyező körüljá­rású, akkor az egyik a másikba egy eltolással és egy forgatással átvihető.)

Hasonló gondolatm enetettel bizonyítható a további három eset is.

Két sokszög egybevágóságának megállapításához megfelelők az aláb­bi feltételek:

Két sokszög egybevágó, haa) megfelelő oldalaik hossza egyenlő és megfelelő szögeik is egyenlők,

b) megfelelő oldalaik hossza egyenlő és megfelelő átlóik hossza is egyenlő.

.í^lításaink bizonyításánál a két sokszöget az átlóikkal háromszögekre bontjuk és a sokszögek egybevágóságát visszavezetjük háromszögek e^bevágőságára.

Alakzatok szimmetriája

A különféle szimmetriákat a távolságtartó (egybevágósági) transzfor­mációk ismeretében értelmezzük.

Egy síkbeli alakzatot tengelyesen szimmetrikusnak nevezzük, ha az alakzat síkjában létezik olyan tengely, amelyre történő tükrözésnél az alakzat képe önmaga (87. ábra).

h\ \ y*3

__

57. ábra

Egy alakzat középpontosan szimmetrikus, ha létezik olyan pont, amely­re történő tükrözésnél az alakzat képe önmaga (88. ábra, ^b) tengelyesen is szimmetrikus).

88. ábra 89. ábra

Egy alakzat síkszimmetrikus, ha létezik ofyan sík, amelyre vonatkozó tükrözésnél az alakzat képe önmaga (89, ábra).

110 111

GEOMETRIAI TRANSZFORMACÍOK

Egy sld k zzt forgásszimmetrikus, ha létezik olyan of=fc*360°-tól külön­böző forgatás, amely az alakzatot önmagába viszi át. A forgatás lehet tengely körüli forgatás, a síkban pont körüli forgatás (8 7 /a a = 90°; 87 /c a =72”; 8 8 /b « = 6 (T ).

A háromszögek közül tengelyesen szimmetrikusak az egyenlő szárú háromszögek. (A z egyenlő oldalúnak három szimmetriatengelye van.) Négyszögek között tengelyesen szimmetrikus m inden négyzet, m inden tég­lalap, minden deltoid. (Szimmetriatengelyeik száma rendre: 4; 2; 1.) Az egyenlő szárú trapézok között is varrnak tengelyesen szimmetrikusak, azonban minden paralelogramma m egfelel az egyenlő szárú trapéz defim'- dójának, de nem mind tengelyesen szimmetrikus trapéz.

Középpontosan szimmetrikus háromszög nem létezik. A négyszögek közül a paralelogrammák középpontosan szimmetrikusak.

M inden szabályos sokszög tengelyesen szimmetrikus (az n oldalúak- nak n szinmietriatengelye van). A páros oldalszámú, szabályos sokszögek középpontosan is szimmetrikusak.

A szimmetria segítségével beláthatjuk, hogy egy szakasz felezőm erőle­gese szimmetriatengelye a szakasznak, ezért a két végpon^ától egyenlő távolságban lévő pontok halmaza.

Párhuzamos szelők tétele és megfordítása

Háromszögek egybevágóságát felhasználjuk a párhuzamos szelők tételének bizonyításában is.

Tétel: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor egyik száron keletkezett szakaszok aránya egyenlő a másik száron keletkező megfe­lelő szakaszok arányával

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

90. ábra 91. ábra

a) A 90. ábrán látható módon méijük fel a szög egyik szárára az A B ^C D szakaszokat és a végpontjaikra illesszük az egymással párhu- zamosv4>l’, B B \ CC\ D D ’ egyeneseket, Az^l és C ponton át hiízzunk párhuzamos egyeneseket a szög másik szárával, így létrejönnek a z ^ i, Cl pontok. Az AEW^aSCDCia, mertv4fi = CD és a párhuzamosság

miatt a rajtuk lévő két szög e^enlő . Emiatt A 4 i=CCi. Mivel egy paralelogrammában a szemközti oldalak egyenlök;^ 'ö '=C ’r>’.

b) A szög egyik szárára olyan két szakaszt mérünk fel, amelyek aránya racionális szám: FR:QS=p\q (91. ábra). Végpon^aikra illesszük az egymással párhuzamos PP\ R R \ QQ‘, SS’ egyeneseket. Mivel PR:p=QS:q, ezért a PR szakaszt, illetve a szakaszt osszuk felp, il­letve q egyenlő részre. így a PR szakaszp és a QS szakasz q egyenlő hosszúságú rövid szakaszból áll. Ezek végpontjaka is illesszünk a PP’- vel párhuzamos egyeneseket. Az előbb bizonyított állítás szerint ezek a P ’R ’ és a szakaszokatp és q egyenlő hosszúságú rövid szakaszra bontják, ^zéxi P ’R'-.Q’S ’=px}, 3Z2ízPR:QS=P’Q’:Q‘S ’.

c) Abban az esetben is bizonyítható a tétel, ha az egyik szárra felmért két szakasz PR.QS aránya irracionális szám. (Ez nem középiskolai feladat.)

A tétel megfordítása: Ha két egyenes egy szög száraiból olyan szakaszokat vág le, amefyek aránya mindkét száron egyenlő, akkor a két egyenes párhuza­mos (92. ábra).

'a bizonyításhoz az OA:AB == OA’:A'B’ arányból indulunk ki és feltesszük, hogy az A A \ BB’ egyenesek nem párhuzamosak.Ezért ^ ' - v e l olyan párhuzamost húzunk, amely illeszkedik 5-re. Ez a másik szögszárat a pontban metszi. Az A A ’ és a BBi párhuza­mos egyenesekre a párhuzamos szelők tétele értelmében OA:AB=OA’\A ’Bi. Ezt az alakot összehason­lítjuk a kiinduló aránnyal. Következik: B^=B’. Tehát a feltevésünk hely­telen volt, 2lzA A ’ a B B ’ egyenesek valóban párhuzamosak.

Az előzőekhez csatlakozik e ^ új álh'tás, amelyet párhuzamos szelősza­kaszok tételének szoktunk nevezni:Tétel; Egy szög szárait metsző párhuzamos egyenesekből a szárak által kimet­szett szakaszok aránya megegyezik a párhuzamosok által az egyik szárból kimetszett szakaszok arányával (93. ábra).

Állításunk bizonyításá­hoz vegyünk fel egy egyenest, amely z z A pontra illeszkedik és párhuzamos az OA ’ egye­nessel (ekkor egy paralelog­ramma is keletkezik), majd a B csúcspontú, ÓBB’ szögtar­tományban lévő párhuzamos egyenesekkel írjuk fel a pár­huzamos szelők tételét:

92 ábra

93. ábra

112 113

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

OA\OB=B’B”£ ’B. A paralelogramina tulajdonságainak felhasználásával: OA\OB=A’A-£B.

Szakasz adott arányú felosztása

A párhuzamos szelők tétele alapján megszerkeszthetjük azt a pontot, amely egy adott szakaszt m \n arányban oszt két részre.

A 94. ábrán látható ^ -------------módon az A B szakasz egyik végpontjából, az A pontból kiindulva félegyenest húzunk, arra egy tetszőleges szakaszt m -szer, majd «-szer felm é­rünk. A z A P szakaszt a Q pont m :n arányban osztja.Megszerkesztjük a P B sza­kasszal párhuzamos és Q-ta. illeszkedő egyenest m egadott arányban osztja; A O .O B - m \n .

94. ábra

ez az A B szakaszt a

Hasonlósági transzformációk

Középpontos hasoníóság

A középpontos hasonlósági transzformáció hozzárendelési szabálya: Adott a középpontos hasonlósági transzformáció O középpontja & egy X (ki^O) szám. A középpont képe önmaga (^pont). Ha egy Ppont nem illesz-kedik a középpontra, akkor ü P pont képe az O pontból kiinduló \O P vektor P ’végpontja (95. ábra).

Ha X = l, akkor a transzformá­ció minden ponthoz önmagát ren­deli, azaz minden pont fixpont, ha X = -l, akkor a transzformáció kö­zéppontos tükrözés.A középpontos hasonlósági transz- formáció tulajdonságai:

1, Egyenes képe egyenes.Ha egy egyenes illeszkedik a

középpontra, akkor a képe önma­ga (invariáns alakzat).

0 = 0 ’^ -. x = 2P

P ’

^Q'

95. ábra

Ha egy egyenes nem illeszkedik a középpontra, akkor a képe olyan egyenes, amely párhuzamos az eredetivel.

Ennek belátásához tekintsük az O középpontú 0 < \ arányú kö­zéppontos hasonlósági transzformációt (96, ábra). A z e egyenes F, Q, R pontjaira, illetve azok képpontjára fennáll; O P ’= \O P , O Q ’= \O Q , O R ’= \O R . Vajon a P ’, Q \ R ’ pontok is egy egyenesen vannak? A hozzárendelés szabályából következik;

X= O P’OP

O Q ’OQ X= O P ’ OR'

OP OR

^ első aránypárból a párhuzamos szelők tételének megfordítása alapján az következik, hogy a P Q egyenessel párhuzamos a P ’Q ’ egyenes, a másodikból pedig az, hogy a P R egyenessel párhuzamos a P ’Q ’ egyenes. A Ö, pontok egy egyenesre illeszkednek és a P ’Q \ P ’R ’ egyenesek vele párhuzamosak, valamint illeszkednek a P' pontra. Emiatt a P ’Q' és a í ' ’/?'egyenesek egybeesnek, azaz a P ’Q' egyenesnek pontja az R ’ pont.

2. Szög képe azonos nagyságú szög.E z az előző megállapításunkból következik. Ugyanis egy szög két szá­

rának a képe az eredeti szögszárra vagy illeszkedik, vagy vele párhuzamos. A szög és annak a képe egyállású szögpár, így azok nagysága azonos.

97. ábra

3. Bármely szakasz képének és az eredeti szakasznak az aránya állandó. Ez az állandó a hasonlóság arányának az abszolútértéke ( IX | ),

A 97. ábráról a párhuzamos szelöszakaszok tétele alapján P ’Q ’P Q = O P ’:O P = \.

4, H a e ^ sík illeszkedik a középpontra, akkor a képe önmaga. H a a sík nem illeszkedik a középpontra, akkor a középpontos hasonlósági transzformáció egy vele párhuzamos síkba viszi át.

Hasonlósági transzformáció és tul^donságai

Hasonlósági transzformációnak olyan geometriai transzformációt neve­zünk^ amely középpontos hasonlóság és távolságtartó (egybevágósági) transz- formáció egymás utáni elvégzésével jön létre. (A transzformációk sorrendjét ismernünk kell.)

114 IIS

GEOMETRIAI TRANSZFORMACIOK GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

A kétféle transzformáció tulajdonságaiból adódnak a hasonlósági transzformáció tulajdonságai:

1. Egyenes képe egyenes.2. Szög képe azonos nagyságú szög (a hasonlósági transzformáció szög­

tartó).A \ arányú hasonlóság transzformáció bármely szakasz hosszát IX j - szorosára változtatja (a hasonlósági transzformáció aránytartó).

Bizonyítható, hogy ha valamely transzformáció minden szakasznak a hosszát ű-szoTosára (0<o) változtatja, akkor az hasonlósági transzformá­ció és annak aránya a.

Alakzatok hasonlósága

Két alakzatot hasonlónak nevezünk, ha van olyan hasonlósági transz­formáció, amellyel az egyik alakzatot a másikba vihetjük át. A hasonlóság jele: ~

Vannak alakzatok, amelyek hasonlóságát a jellemző adataik alapján könnyen eldönthetjük.

Két háromszög hasonló, ha belátjuk, hogy teljesül rájuk a kővetkező feltételek egyike (ekkor a többi feltétel is teljesül).

Két háromszög hasonló, haa) megfelelő oldalaik hosszának aránya egyenlő,b) két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és az ezek által közrefogott szögek

nagysága egyenlő,c) két-két szögük páronként egyenlő,d) két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és közülük a hosszabb oldallal

szemközti szögek egyenlŐeJcÁllításaink közül az e l­sőt bizonyítjuk. Adott azA B C i, és 3z A ’B ‘C ’a úgy, hogy fennálljon

= A C :A ‘C ’. A két há­romszög körüljárási irá­nya azonos.

A z A ’C ’ oldalhosz- szat az A pontból kiin­dulva felméijük az A Cfélegfenesre (98. ábra). A kapott Q pontra illesszünk a B C egyenessel párhuzamos egyenest, ez az A B egyenest B j pontban metszi. A szerkesztés miatt A B C a ~ A B iC iií, az egyik a másikból középpontos hasonlósággal átvihető.

98. ábra

A kialakított ábráról a párhuzamos szelők tétele, majd a párhuzamos szelőszakaszok tétele alapján; A B :A B i= A C :A ’a ,B C iB ^ C i =A C :A ’C .

Ezeket hasonlítsuk össze a feltételek m egfelelő aránypárjával. Az elsőből A ’B ’=^ABi-eX, a másodikból fi'C ’=j?iCi-et kapjuk. Ezért

A zA S C i-b öI kozéppontos hasonlósággal létrehoztuk a z ^ j C i^ - e t és abból egybevágósági transzformációkkal létrejön a z A ’B ’C \ . Emiatt való­ban 'CV

Hasonló gondolatmenettel bizonyítható a további három eset is.

Két sokszög hasonlóságának megállapításához alkalmasak az alábbi feltételek:

Két sokszög hasonló, haa) megfelelő oldalaik és megfelelő átlóik hosszának aránya állandó,b) megfelelő oldalaik aránya egyenlő és a megfelelő szögeik is egyenlők.

Hasonló síkidomok területének aránya

A következőkben a hasonlóság X arányát pozitív szánmak tekintjük (0<X ). H a a hasonlóság aránya negatív, azt tekintsük -l*X -n ak . Ez egy X arányt! hasonlósági transzformációval és egy középpontra tükrözéssel állít­ható elő. A középpontos tükrözés nem változtatja meg a terület nagyságát.

A X arányti hasonlósági transzformáció az a alapú és m magasságú háromszögből \ a alapú és \m magasságú háromszöget hoz létre. Az ere­deti háromszög területét jelöljük í-vel, a transzformáció utáni képének a területét í'-vel.

^_am ^ ,_ X a -X m 'h?am t - — , /

Átalakítva: t ’\t->}.Sokszöget háromszögekre bontva a sokszög területe a háromszögek

területének összege. Ahogy háromszögekre, úgy sokszögekre is igaz, hogy bármely sokszög t területét a X arányú hasonlósági transzformáció X í-re változtatja. (A területek aránya X .)

Bizonyítható az is, hogy hasonló síkidomok területének aránya a hasonlóság arányának a nemzete.

116 117

VEKTOROK. VEKTORMŰVELETEK

xni. V e k t o r o k , v e k t o r m ű v e l e t e k

A sebességet, erőt, ... az iránya és nagysága jellemzi. Ezeket a fogal­makat már a XVU. században egy nyíllal szemléltették, amely mutatja ar irányt és a nyíl hossza pedig a sebesség, az e r ő , ... nagyságát. Ebből alakult ki a vektor fogalma.

A vektorok irányított szakaszok, hosszuk a vektor abszolútértéke. (Az egységvektor abszolútértéke 1.)

Egyállású vektoroknak nevezzük azokat, amelyekhez találhatunk olyan egyenest, amely mindegyikkel párhuzamos.

Két vektor egyenlő, ha abszolútértékük egyenlő, egyállású ak és irá­nyuk azonos. A 99. ábra egyállású vektorokat mutat, k ö z ü lü k = P Ö = v , |vl =3.

A nullvektor abszolútértéke 0, bármely vektorral egyállású (iránya tetsző­leges).

Ha két vektor abszolútértéke egyenlő, egyállásúak és ellentétes irá- nyúak, akkor azokra azt mondjak, hogy egymásnak ellentettjei {AB = -RS).

Egysíkúaknak nevezzük azokat a vektorokat, amelyekhez találhatunk olyan síkot, amely mindegyikkel párhuzamos.

Gyakran hasznos, ha a pontokat egy rögzített pontból, az ún. vonat- koztatási pontból kiinduló vektorokkal határozzuk meg. Ezeket a vekto­rokat az adott nontból induló helyvektoroknak nevezzük (100. ábra).

A

Műveletek vektorokkal

A vektorok között műveleteket értelmezünk. Tömören közöljük a definíciókat, majd belátjuk az ezekből következő tulajdonságokat.

Vektorok ö s s z e g e z é s e

Két vektor összeadásánál egy pontból kiindulva felmérjük az egyik vektort, majd ennek a vé^ontjába a másik vektort. Összegük az a vektor, amely az első kezdőpontjából a második véQsontjába mutat ( 101. ábra),

b---------------------- b b

101. ábra

Két vektor Összeadása kommutatív művelet. Ugyanis ha az ábrán, látha­tó a és b vektort egy P pontból mindkét sorrendben egymásután felmér­jük, akkor egy paralelogramma alakul ki. Az a-i-b vektor mindkét esetben a paralelogrammának az az átlója, amely a P pontból indul ki.

Több vektor összeadása esetén először két vektort összegezünk, majd ehhez az összegvektorhoz hozzáadunk egy újabb vektort stb.

A vektorok összeadása asszociatív művelet, ezt beláthatjuk a 102. ábrá­ról.

Több vektor összeadása esetén a vektorok egymás utáni felmérésével, a vektorok „egymáshoz fűzésével" szerkesztjük meg az összegvektort.

b

i

99. ábra 100. ábra

Két vektor különbsége

Két vektor, az h, h vektorok a-b különbségén az a+(-b) összeget értjük, azaz az a vektorhoz hozzáadjuk a b vektor ellentettjét.

m 119

VEKTOROK. VEKTORMŰVELETEK VEKTOROK, VEKTORMŰVELETEK

Két vektor különbségének a megszerkesztése történhet a definíció alapján (103/a ábra), de a különbségvektort megszerkeszthetjük úgy is, hogy a két vektort egy pontból kiindulva mérjük fel. A két vektor különb­sége a kivonandó végpontjából a kisebbítendő végpontjába mutató vektor (103/b ábra).

b )

103. ábra

Vektor szorzása számmal

Vektoroknak számmal (skalárral) történő szorzását több lépésben értel­mezzük:

Ha a v e k to r nullvektor, akkor bármilyen X (X eR ) számmal szorozzuk, a szorzat nuUvektor. (Ha a = 0, akkor Xa=0.)

Ha és X (X eR) számmal szorozzuk, akkor Xa olyan vektor, amely­nek abszolútértéke 1X | ■ 1 a 1 és iránya

0 < \ esetén a iránya,\< 0 esetén a irányával ellentétes,\ = 0 esetén Xa = Oj iránya tetszőleges.

A definíció alapján vektornak számmal történő szorzása nyújtást (1< IXI) vagy zsugorítást ( | X | < 1) jelent (104. ábra).

Számmal történő szorzással egy állású vektorhoz jutunk. Ez fordítva is igaz; Ha adott egy nem nuUvektor, akkor vele egyállású bármely vektor előállítható annak számszorosaként.

Az értelmezésből következnek a számmal történő szorzás tulajdon-ságaL-

a) a(|8a) = (a^)a,b) aa+0a.=c) a(a+b) = aa+ctb.

Az a) és b) alatti állítás közvetlenül az é r t e lm e z é s b ő l következik. A c) alatti tulajdonságra mondhatjuk, hogy vektor számmal történő szorzása a vektorösszegzésre nézve disztributív. Ezt az állítást a 105. ábra alapján középpontos hasonlósággal láthatjuk be.

Az a, b vektorokból az előző értelmezések alapján képezett v==aa-h|0b

vektort az a, b vektorok lineáris kombinációjának nevezzük.Vektorok összeadásánál, kivonásánál, számmal történő szorzásánál

úgy végezhetünk formai átalakításokat, mint a számokkal felírt betűs kife­jezéseknél. Például: (7 a -5 b )-2 (a -3 b )= 7 a -5 b -2 a + 6 b = 5 a + b .

A vektor számmal történő szorzásának ism erete alapján m egkereshet­jük a (a?íO) vektorral egyállású és azonos irányú egységvektort. Mivel az a vektor abszolútértéke az | a | szám, ezért ha ezzel a szánmial szoroz­zuk az a , egységvektort, akkor az a vektort kapjuk; |a |a ^ = a. Az egyen­

lőséget szorozhatjuk -val, azaz oszthatjuk az | a | számmal, így

Két vektor skaláris szorzata

Két vektor skaláris szorzatán a két vektor abszolútértékének és hajlás­szögük cosinusának szorzatát értjük. A yj (0“§ íJá l8 0 “) hajlásszöget bezáró a, b vektorok skaláris szorzata: ab= [a| [blcosíp. Ez szám, ezért kapta az így értelmezett szorzat a „skaláris” jelzőt.

1. Két vektor skaláris szorzata kommutatív. ab = ba. Ez a definícióból következik, ugyanis mindkét skaláris szorzat ugyanannak a három számnak a szorzata, számok szorzása pedig kommutatív művelet.

2. Vektorok skaláris szorzata nem asszociatív.Tekintsük az (ab)c szorzatot. Az ab skaláris szorzat, azaz egy szám, így az (ab)c szorzat a c vektornak egy száraszorosa, az a(bc) szorzat pedig az a vektornak egy számszorosa. Általában (ab)c^a(bc).

3. Skaláris szorzatot egy valós számmal úgy is szorozhatunk, hogy a számmal az egyik tényezőjét szorozzuk: X(ab) = (Xa)b = a(Xb), ez a skaláris szorzás definíciójából következik.

4. Bármely a, b, c vektorokra fennáll az (a+b)c = ac+bc azonosság, azaz a skaláris szorzás a vektorösszeadásra nézve disztributív.

120 121

VEKTOROK, VEKTORMŰVELETEK VEKTOROK, VEKTORMŰVELETEK

Egy vektor önmagával való skaláris szorzatát a vektor négyzetének mondjuk. Ekkor a két vektor hajlásszöge 0'’. Ezért a“= I a I Átalakítva:|a |=V a^ , azaz egy vektor abszolútértéke a vektor négyzetének négyzetgyöke.

Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor pozitív, ha egyik sem nullvektor és hajlásszögük0°Sip<9(f.

Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor negatív, ha egyik sem nullvektor és hajlásszögük 90°< ips 18Cf.

Ha két vektor merőleges egymásra, akkor skaláris szorzatuk 0, mert ekkor cos90°=0.

Ha két vektor skaláris szorzata 0, akkor az ab = |al |b | cos^ miatt vagy cos^= 0, azaz a két vektor merőleges egymásra, vagy a vektorok között van nullvektor. A nullvektor iránya azonban tetszőleges, ezért a két vektor hajlásszögét tekinthetjük 90°-nak is.

Ezeket az állításokat egy tételben foglaljuk össze: Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor 0, ha a két vektor merőleges egymásra.

Megjegyzés: Két vektor skaláris szorzatának az értelm ezéséhez egyes ter­mészeti törvények leírása, bizonyos fizikai ismeretek adták az Ötletet. Más fizikai törvények leírása kél vektor szorzásának m ásféle értelm ezését kívánja. Ezl a másféle értelmezést két vektor vektor! szorzásának nevez­zük. A két definíció különböző, alkalmazási területük is eltérő.

Vektorok felbontása

Ha adott a, b nem egyáliású két vektor, akkor a velük egysíkú bármely v vektor egyértelműen felbontható a, b vektorokkal eg/állású összetevőkre, azaz egyértelműen meghatározható olyan valós számpár, hogy fennálljon y-aa+^h.

106. ábra 107. ábra

A felbontást a 106. ábra mulatja. A z a, b ,v vektorokat a P pom ból kiindulva felmérjük. A z a, b vektorok egyenesével és a v végpontjára illesz­

tett párhuzamos egyenesekkel paralelogrammát alakítunk ki. Ebből adó­dik: v=3a+2b.

Ha adottak az a, h, c nem egysíkú vektorok, akkor a tér bármely v vektora egyértelműen felbontható az adott vektorokkal egyáliású összetevőkre, azaz egyértelműen meghatározható olyan oc, 0, y valós számhármas, hogy fennáll­jon v=aa-Hi8b+7 C

A felbontást a 107. ábra mutatja. Két-két vektorra illeszkedő síkokkal kiindulva paralelepipedont szerkesztünk. Élvektorai segítségével kapjuk: v=3a+2b+c

Vektorok a koordinátasíkon

A koordinátasíkon helyvektorokkal, illetve azok koordinátáival dolgozunk. A helyvektorok vonatkoztatási pontja az origó. A két tenge­lyen egy-egy alapvektort (bázisvektort) veszünk fel. Ezek az (1; 0), illetve a (0:1) pontba mutató egységvektorok, jelölésük: i, illetve j. A P(x,y)pontba mutató helyvektor: OF=A:i+>'j. Az (x, y) számpárt egyaránt mondjuka Ppont, valamint az OP helyvektor koordinátáinak

A helyvektorokkal végzett műveleteknél a vektorok koordinátáival dolgozunk. Vegyük fel az A(xyy{), B{x2,y 2) pontokba mutató a{xi,y-^, b(jC2,72) helyvektorokat.a) Két vektor összege:

a+b = (Jcii+>'ij)+(jf2»+>’2j) = (íi+-í 2)i+(yi+y2)j'

Helyvektorok összegének koordinátái az egyes helyvektorok megfelelő koordinátáinak összege.

b) Két vektor különbségének koordinátáit hasonló gondolatmenettel kap­juk meg:

a-b=(xi-;c2)i+(yi-y2)j.

Ha két helyvektor különbségének a koordinátáit keressük, akkor a kivo­násnál szereplő két vektor sorrendjében vesszük a megfelelő koordináták különbségét.

c) Egy vektor \ (Xe R) konstansszorosa:

\a=}>x-ii+\yi}.

Egy helyvektor konstansszorosának koordinátái az eredeti vektor koordi­nátáinak konstansszorosa (108. ábra).

122 123

VEKTOROK v e k t o r m ű v e l e t e k

d) Két vektor skaláris szorzata a derékszögű koordináta-rendszerben:

ab=( ii+>’il)(x2Í+>’2Í)= ií2Í + i>'2>j+-*2yití+)'iy#, mivel i^= f= 1 és í j=0,

&b=x^2+yiy2-

Két vektor skaláris szorzata a megfelelő koordinátáik szorzatának az összege.

e) 90°-kal elforgatott helyvektor koordinátái:Az a(x,y) helyvektort az origó körül pozitív, majd negatív irányban 90°-kal elforgatjuk. Az új helyvektorokat a+gokkal, a_9o-kal jelöljük (109. ábra):

a+9ö*=-yi+jy. a-9ff>= yi~4-

Ha az elforgatás irányát nem tekintjük, akkor a 90°-os elforgatással kapott új vektor koordinátáira azt mondhatjuk, hogy az eredeti vektor két koordinátája felcserélődik és az egyik koordináta előjele ellenkezőjére változik.

108. ábra 109. ábra

XIV. S í k i d o m o k r a v o n a t k o z ó ISM ERETEK

Háromszögek

Alapvető ismeretek

Egy háromszöget három megfelelő adatával adhatunk meg. A három­szög oldalai és szögei közül a három meghatározó adatot nég^éle módon választhatjuk ki. Egyértelműen megadhatjuk a háromszöget

a) három oldalával,b) két oldalával és a közbezárt szögével,c) egy oldalával és megadott helyzetű két szögével (vagy mindkét

szög a megadott oldalon van, vagy az egyik a megadott oldalon, a másik vele szemben),

d) két oldalával és a hosszabb oldallal szemközti szögével.

A háromszög bármely két oldalának Összege nagyobb a harmadik oldalánál: a+i>>c, a+c>b, b+c>a. Ugyanez más megfogalmazásban; A háromszög bármely oldalhossza nagyobb mint a másik két oldalhossz különbségének abszolútértéke: a > \b -c \,h > \a ~ c \,c > \b -a \.

Ha e ^ háromszögben két oldal egyenlő hosszúságú, akkor a velük szemközti két szög is egyenlő. A tétel megfordítva is igaz: Ha egy három­szögben két szög egyenlő, akkor a szemközti oldalhosszak is egyenlők.

Egy háromszögben két oldal közül a hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van (a rövidebb oldallal szemben kisebb szög van). A tétel megfordítása is igaz.

A háromszög belső szögeinek összege 180°.A tétel bizonyításához a 110. ábrán zz. A pontra illeszkedő és flC-vel

párhuzamos egyenessel szögpárokat hozunk létre (|S=/3’ váltószűgek, 7 ='y’ egyállású szögek). A z ^ csúcsnál esrenesszög keletkezik: a+/3’+V = 180“. Ugyanez az állítás más megfogalmazásban: A háromszög bármely Icülső szöge egyenlő a nem m ellette lévő két belső szög összegével. Ebből már

124 125

s ík id o m o k r a v o n a t k o z o i s m e r e t e k

következik, hogy a három külső szög összege 360"', ugyanis b+ t+ ip - = 2(a+ ^ + Y )= 2 '180”.

s ík id o m o k r a v o n a t k o z ó i s m e r e t e k

c

B

111. ábra

A háromszög nevezetes vonalai és pontjai

SZÖGFELEZŐK, BEÍRHATÓ KÖR

A háromszög szögfelezőinek a belső szögek szögfelező félegyeneseit nevezzük. (Gyalaan csak a félegyenesek háromszögön belüli szakaszával foglalkozunk.)

A háromszög három szögfelezője egy pontban metszi egymást. Ez a met­széspont egyenlő távolságra van a háromszög három oldalegyenesétől, ezért ebből a pontból, mint középpontból olyan kört szerkeszthetünk, amely érinti a háromszög mindhárom oldalát (oldalszakaszát). Ez a háromszög beírt köre.

90"-

113. ábra

Áliításimk bizonyításához használjuk fel a szögfelező tulajdonságát (111. ábra): Azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek egyenlő távolságra vannak a szög két szárától (a háromszög két oldal egyenesétől). Az/o, és az

szögfelező M metszéspontjára fennáll; d{M , b) =d{M , c) és d{M , c) = = d (M ,a ). Ebből következik; d {M ,b )= d (M ,a ), azaz a z /» és a z s z ö g ­felezők M metszéspontja egyenlő távol van az a és a oldalegyenestöl, tehát az Af pont elem e a z /y szögfelezőnek is, így a három szögfelező való­ban egy pontban metszi egymást.

A szögfelező tulajdonsága alapján az előző m ódon beláthatjuk, hogy a háromszög egyik belső szögének és a nem m ellette lévő két külső szögének felezője is e ^ pontban metszi egymást (112, ábra). E z a pont a három­szögön kívüli és ez egyenlő távolságra van a háromszög három oldalegye­nesétől. Ebből a pontból, mint középpontból szerkeszthetünk olyan kört, amely érinti a háromszög három oldalegyenesét. Ezt a kört a háromszög hozzáírt körének nevezzük. Három ilyen kör létezik.

A háromszög e ^ belső és a m ellette lévő külső szögének felezője egy­másra merőleges. Általánosabban; egy szögnek és a közvetlenül m ellette lévő mellékszögének szögfelezője egymásra m erőleges. Az állítás igazolása a 113, ábráról leolvasható.

Háromszögben egy belső szög szögfelezője a szemközti oldalt a szomszé­dos oldalak arányában osztja két részre.

« CA 114, ábra A B C há­

romszögénél a z ^ pont körül az A C oldalt leforgatjuk az A B oldaleg>'enesére. Lét­rehozzuk a C ’BC háromszö­get: C ’BCi.~ABDí^. A pár­huzamos szelők tétele alap­ján: CD'DB^C'A-AB. Mivel

C D :D B = b :c .

Ezzel igazoltuk a fenti állításunkat.

OLDALFELEZŐ MERŐLEGESEK, KÖRÉ ÍRT KÖR

A háromszög három oldalfelező merőlegese egy pontban metszi egymást. Ez a metszéspont egyenlő távolságra van a háromszög három csúcspont­jától, ezért ebböi a pontból mint középpontból olyan kört szerkeszthe­tünk, amely átmegy a háromszög három csúcspontján. Ezt a háromszög köré írt körének nevezzük.

Tudjuk, hogy a szakaszt felező merőleges azoknak a pontoknak a halmaza, am e­lyek egyenlő távolságra van­nak a szakasz két végpontjá­tól. A z A B szakasz felezőm e­rőlegese sa e, a. B C oldal felezőm erőlegese az / eg>'e- nes (115. ábra). Metszéspont­juk M . Erre fennáll d {M ,A )^ d {M ,B ) és

126 127

s ík id o m o k r a v o n a t k o z o i s m e r e t e k SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISMERETEK

d{M, B )= d{M , C). Ebből következik: d{M, A)=^d(M, C). tehát az e és az f felezőm erőlegesek M metszéspontja elem e a zA C oldal felezőm erőlegesé­nek is. így a három oldalfelező merőleges valóban egy pontban metszi egymást. Ez a metszéspont (a háromszög köré írt körének középpontja) hegj'esszögű háromszögeknél a háromszög belsejében van, torapaszögűek- nél a háromszögön kívül, derékszögűeknél az átfogó felezőpontja.

IVUGASSÁGVONALAK, MAGAS S.4GP0NT

A háromszög magasságvonalának az egyik csúcsból a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőlegest nevezzük. Ennek azt a szakaszát, amely a csúcspont és a szemközti oldal egyenese között van, a háromszög magasságának mondjuk.

A háromszög három magasságvonala egy pontban metszi egymást. Ezt a pontot a háromszög magasságpontjának nevezzük.

Állításunk igazolásához az A B C háromszög mindhá­rom csúcsára illesszünk a szemközti oldallal párhuza­mos egyenest (116. ábra). íg>' kialakul az Á ’B ’C' három­szög. A párhtazamosok húzá­sával paralelogrammák ke­letkeznek. Segítségükkel be­láthatjuk: A B = B ’C = C A ’ stb, a C pont az A ’B ’ szakasz fe le ­zőpontja stb. A z A B C három­szög magas.ság\'onalai s z A ’B ’C ’ háromszög oldalfelező merőlegesei, így az A B C három.szög magasságvonalai egy pontban metszik eg\'másí.

A magasságpont hegyesszöglí háromszögeknél a háromszög belsejé­ben, tompaszögűeknél a háromszögön kí%Tjl van, derékszögű háromszögnél a derékszög csúcspontja,

SÚLYVONALAK, SÚLYPONT

A háromszög súlyvonalának az egyik csúcspontot és a szemközti oldal felezőpontját összekötő szakaszt nevezzük.

A há/vmszög három súlyvonala egy pontban metszi egymást. Ezt a pontot a háromszög súlypontjának nevezzük, ez a súlyvonalakat 2:) arány­ban osztja két részre. (A hosszabb rész a csúcs felől van.)

A tétel bizonyításához tekintsük az A B C háromszöget (117- ábra). Az A C és B C oldalak F„ illetve felezőpontját összekötő szakasz, a párhuza­mos szelők tételének megfordítása következtében, az A B oldallal párhu­zamos, /íf iC i-F jfjC A é s ^ C :F^C ~ = 2 :1 miatty45 \ :1.

VC ' 116. ábra

C

A z A F 2, súlyvonalak metszéspontja S. Kialakult két hasonló háromszög; M egfelelő oldalaik aránya egyenlő:AS:SF2=AB:F^F^-^2\Í.

Gond olatraenetünkben bármely két súlyvonal szere­pelhet, ezért a harmadik súly­vonal is ebben az S pontban (a súlyvonalat 2:1 arányban osztó pontban) metszi az elő­ző kettőt.

A z említett négyféle ne­vezetes vonalnak mindegyi­kére jellem ző volt, üogy met-szésponq’aik egy-egy neveze- ^ Btes pontot határoznak meg.E z négyféle nevezetes pont: 117. ábraa beírt kör, a köré írt kör kö­zéppontja, a magasságpont, a súlypont. A háromszögek egy további nevezetes vonala a középvonal. (Ehhez nem kapcsolódik nevezetes pont.)

KÖZÉPVONALAK

A háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a háromszög középvonalának nevezzük.

A háromszög bármely középvonala párhuzamos a harmadik oldallal és hossza fele a harmadik oldal hosszának.

Ezt az áUítást a súlyvonalakra vonatkozó tétel bizonyítása közben már igazoltuk (a 117. ábra segítségével).

Derékszögű háromszögekre vonatkozó ismeretek

THALÉSZ TÉTELE

Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a körvonal bármely más pontjával akkor derékszögű háromszöget kapunk

A 118/a ábráról leolvasható a bizonyítás gondolatm enete. A z A O C a

is, a BOCü is egyeniöszárú, ezért az azonos betűkkel jelölt szögek egyen­lők. A z ABC-, belső szögeinek összege: a+ 0+ (a+ p) = 18(f, a+/3=90°. A há­romszög valóban derékszögű.

A 118/b ábráról azt is megállapíthatjuk, hogy egy faelső ponttal képezett ABFi^ tompaszögű, ugyanis M -nél derékszög van, így a P*-nél lévő külső szöge 90“-náI nagyobb. H asonlóan beláthatjuk, hogy egy F* külső ponttal létrehozott A B P ,^ háromszögnek a P* csúcspontjánál hegyesszöge van (118/c ábra).

128 129

SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISMERETEK SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISMERETEK

A tétel megfordítása; Ha egy AB szakasz valamely C pontból derékszög­ben látszik, akkora C pont az AB átmérőjű körnek egy kerületi pontja.

Mivel az előzőek alapján az A B átmérőjű kor pontjaiból az A B sza­kasz 90‘=-os szögben, belsS pontjaiból 90°-nál nagyobb, külső pontjaiból 90“-nál kisebb szög alatt látszik, a C pont csak az^J5 átmérőjű körön lehet.

Thalész tétele és megfordítása egyetlen mondatbati is megfogalmaz­ható: A síkon azoknak a pontoknak a halmaza, amelyekből egy adott AB szakasz derékszög alatt látszik, az A B átmérőjű körvonal, kivéve az AB átmérő két végpontját (119. ábra).

B

m

\a

a120. ábra

PITAGORASZ TÉTELE

Derékszögű háromszögben a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével

A tétel (egyikféle) bizonyításánál az az alapgondolat, hogy két egybe­vágó négyzet területéből, azaz egyenlő területekből azonos nagyságú terü­leteket veszünk el. Ekkor a maradék területek is egyenlő nagyságúak.

A z eredeti két négyzet a+b oldalhosszúságú. Ezeket a 120. ábrán látható m ódon (gondolatban) részekre vágjuk. Mindkettőből - különböző módon -elveszünk 4-4 egybevágó derékszögű háromszöget, ezek befogója

a és b, átfogója c. A ba! oldalinál a maradék terület á^+b\ A jobb oldalinál a maradék olyan négyszög, amelynek minden oldalhossza c és belátható, hogy minden szöge 90”. A négyszög tehát négyzet, területe c , Ezért a^+b^-c^.

A tétel megfordítása: Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldalának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. (A harmadik oldal a háromszög átfogója.)

Tegyük fel, hogy a. k, l, m oldalhosszúságú háromszögnél k^+P'=m^. Vegyünk fel egy derékszögű háromszöget, amelynek befogója k és l, átfo­góját jelöljük m ’-vel. Mivel ez derékszögű háromszög, fennáll:Ezt összehasonlítjuk a feltétellel: m =w i’-höz Jutunk. Ebből az következik, hogy a fe, /, m oldalhosszúságú és a k, l, m ’ oldalhosszúságú háromszög egy­bevágó. Tehát az a í, w oldalhosszúságú háromszög, amelynél k^+P—rrí , derékszögű.

ARÁNYOSSÁGI TÉTELEK (MAGASSÁGTÉTEL, BEFOGÓTÉTEL)

A derékszögű háromszöget az ^átfogóhoz tartozó magassága két kis derékszögű háromszögre bontja (121. ábra). Szögeikből következik, hogy az eredeti és a két kisebb derékszögű háromszög hasonló: ABC a ~CBTa~ACT í . A megfelelő oldalhosszak aránya egyenlő. Ezek felírásával nevezetes eredményekhezjutunk.

K C B T ésyíCT’hasonló háromszögekből a megfelelő befogók aránya: CT\BT= TA : CT, más jelöléssel: m :x=y :m. Ebből

m'^=xy. vagy m = '^xy.

Ezt a tételt a derékszögű háromszög magasságtételének nevezzük: Derék­szögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani közepe az átfogó két szeletének.

A z ABC és a CBT hasonló háromszögből az átfogó és a megfelelő be­fogók aránya-.AB:BC=BC\BT, más jelöléssel: c\a=a .x. Ebből

hasonlóana~=cx, b^ = cy.

vag>’vagy

a = fcx, b = {cy.

Ezt az eredményt a derékszögű háromszög befogótételének nevezzük: Derékszögű háromszögben az egyik befogó mértani közepe az átfogón lévő merőleges vetületének és az átfogónak.

A befogó tételekből könnyen eljutunk Pitagorasz tételéhez. Ugyanis d^=cx és b^^cy, összegük d^+b^=cx+cy^c{x+y)^c\

130 131

SÍKIDOMOKRA VONATKOZO ISMERETEK SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISMERETEK

Sokszögek

Bármely háromszöget tekintünk, ha annak kiválasztjuk két tetszőleges pontját, akkor a két ponttal együtt a háromszöghöz tanozik a két pontot összekötő szakasznak minden pontja is. Van m ásféle síkidom, test is amelynek megvan ugyanez a tulajdonsága. Ennek a tulajdonságnak önáUó elnevezést adunk. Bevezetjük a konvex, konkáv alakzatok fogalmát.

122. ábra 123. ábra

Azokat az alakzatokat (ponthalmazokat) ne\>ezzük k o n vex alakzatoknak, amelyek bármely két pontjukkal együtt a két pontot összekötő szakasz vala­mennyi pontját is tartalmazzák ( 1 2 2 /a áb ra).

Konkáv alakzatok (ponthalmazok) azok, amelyeknek nem minden pont­párjára igaz az, hogy az összekötő szakaszukat teljes egészében tartalmazzák^ azaz amelyek nem konvex alakzatok (122/b ábra).

Sokszögek átlói, szögei

A z n-oldaJú konvex sokszög bármely csúcsából n-3 átló húzható és a sok-, .. n(n-3) szögnek összesen - atloja van.

A 123. ábra szem léletesen is mutatja, hogy konvex sokszög egyik csú­csából, saját magán és a két szomszédos csúcson kívül minden más csúcs­hoz húzhatunk átlót. Az egy csúcsból húzható átlók száma 3-mal kevesebb a csúcsok számánál, n. oldalúnál « -3 .

Ez az n csúcsból összesen n {n -3 ) átlót jelentene, de ebben a szorzat­ban minden átló kétszer szerepel, ezért a sokszög átlóinak száma az előző szorzat fele.

A z n-oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege (n-2)180°.Az egyik csúcsból húzható átlók a konvex sokszöget n-2 háromszögre

bontják. Azok belső szögeinek (n-2)180° összege adja az n-oldalú konvex sokszög belső szögeinek összegét.

Más módszerrel (pl. a teljes indukció módszerével) az is bizonyítható, hogy n-oldalú konkáv sokszögek belső szögeinek az összege is (^-2)180°. Összefoglalva: Bármely n-oldalú sokszög belső szögeinek összege (n-2) 180°

Konvex sokszögek külső szögeinek összege 360°.A sokszög minden csúcsánál a belsÖ szög és egy Jnilsö szög összege

180“, n csúcsnál az összeg « • ISO'’. Ebben azonban szerepel a belső szögek («-2)180P összege is. A külső szögek összege; n • 180^-(«-2)180’ =360'’.

Azokat a sokszögeket, amelyeknek minden oldala egyenlő hosszúságú és minden szöge egyenlő nagyságú, szabályos sokszögeknek nevezzük.

A szabályos sokszög valamennyi szögfelezője egy pontban metszi egy­mást. Ez a pont a szabályos sokszög köré írt és a sokszögbe beírt körnek a középpontja. Ha ezt a pontot összekötjük a szabályos n-oldalú sokszög csúcspontjaival, akkor n darab egybevágó, egyenlő szárú háromszöget ka­punk.

Négyszögek, osztályozásuk

Valamennyi né^szög belső szögeinek Összege 360°. (Ez következik a sokszögek belsö szögeinek összegére bizonyított tételből is.)

Azok a négyszögek, amelyeknek van két párhuzamos oldala, trapézoknak nevezzük Azok, amelyeknek két-két oldala párhuzamos, paralelogrammák.

Azok a nép/szögek, amelyeknek két-két szomszédos oldaluk egyenlő hosz- szúságú, deltoidok.

Paralelogramm á k

A paralelogrammák megszokott definíciója: azok a négyszögek, ame­lyeknek szemközti oldalaik párhuzamosak.

Ebből a definícióból fontos állítások (tételek) következnek. Ezeket a paralelogrammák tulajdonságainak is nevezzük. Ilyenek például: Szem­közti oldalaik egyenlő hosszúak,..., átlóik felezik egymást,... stb.

Ezeknek a tételeknek a megfordítását is bizonyíthatjuk. Például: Ha egy négyszögben a szemközti oldalak egyenlő hosszúak, akkor azok pár­huzamosak, a négyszög paralelogramma.

a) A z A B C D négyszög paralelogramma; A B || CD és BC [ A D (124 /a ábra). A z A C átló meghúzásával váltószögek keletkeznek, az azonos betűvel jelzett szögek nagysága egyenlő : ^ C i = CZMa, mert egy oldal és a rajta fekvő két szög egyenlő. A z egybevágóságból következik a m egfelelő oldalak egyenlősége: A B = CD és B C =A D .

b) A P Q R S négyszögben P Ö =i?S és QR=^FS (124/b ábra). A P i? átlóval két háromszöget kapunk, ezek oldalhosszai páronként egyenlők, tehát P Q R a =RSP/í. Emiatt a m egfelelő szögek egyenlők, ezeket azonos

132 133

SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISMERETEK s ík id o m o k r a v o n a t k o z ó i s m e r e t e k

betűkkel jelöljük. A szögek eg>-enl5sége miatt P Q j[ RS és QR || PS. Emiatt a négyszög paralelogramina.

a) A B \\C D é s B C \\A D D._____________ -C

b) PQ = RS és QR = PSS ,--------------

124. ábra

A tételek és megfordításaik alapján a paralelogrammákra több ekvi­valens definíciót fogalmazhatunk meg:

Azok a négyszögek paralelogrammák, amelyeknek- szemközti oldalai párhuzamosak,- szemközti szögei egyenlők,- két szomszédos belső szögénél a szögösszeg 180'",~ szemközti oldalai egyenlő hosszúak,- két szemközti oldala párhuzamos és egyenlő hosszú,

két átlója felezi egymást,- van szimmetriaközéppontja.

A paralelogramma definíciója a fentiek egyike. Ha azt az egyet definí­ciónak tekintjük, akkor abból kiindulva bizonyíthatjuk az Összes többi állí­tást, akkor azok már tételek.

A középpontos szimmetriával kapcsolatos állítást, illetve definíciót részletesen megmutatjuk;a) A z ABCD paralelogrammának mindkét átlóját meghúzzuk

(125/a ábra). Váltószögek keletkeznek, az azonos jelölésíí szögek nagysága egyenlő. Találunk két háromszöget, amelyben egy oldal és a rajta fekvő két szög egyenlő. Ezek egybevágóak: ABOa = CZ)Oa, így a megfelelő oldalak egyenlők: BO=OD é^AO=OC. Az O pont a para­lelogramma szimmetriaközéppontja.

R - - S 'a) D

S ^ Q ’

Q = P ’

R = P ’

S = R ’Q - s

b) A P Q R S négyszög középpontosan szimmetrikus, ezért a P’Q’R ’S ’ képé­nek csúcspontjai valamilyen sorrendben a P, Q, R, S pontok. Mi lehet a P pont P ’ képe? A P pont nem lehet, mert akkor a szimmetriakö­zéppont is a P pont lenne, A P' képpont P-vel szomszédos (pl. Q) pont sem lehet (a feltételezést a 125/b ábra mutatja), mert ekkor a szimmetriaközéppont a PQ oldalfelezöpontja lenne, de ez felezné az RS oldalt is. A négyszög szemközti oldalai metszenék egymást, ez hurkolt négyszög.

A P ’ képpont csak a P ponttal szemközti R pont lehet. A szimmet­riaközéppont a PR átló felezőpontja, ez a QS átló felezőpontja is (125/c ábra). A középpontos szimmetria a PQ oldah az RS oldalba viszi át, ezek párhuzamos szakaszok. A négyszög szemközti oldalai párhuzamosak, a négyszög paralelogramma.Az a) és b) alattiakat összefoglalja a tétel: Egy négyszög akkor és csak

akkor paralelogramma, ha középpontosan szimmetrikus.Ha a paralelogramma minden oldala egyenlő hosszúságú, akkor az

rombusz, ha minden szöge egyenlő (90°), akkor téglalap.Ha a paralelogramma minden oldalhossza egyenlő és minden szöge

egyenlő (9(í), akkor az szabályos négyszög, az a négyzet.

A paralelogramma, a trapéz középvonala

Né^szögek szemközti oldalainak felezőpontját összekötő szakaszt a négyszög középvonalának nevezzük.

A paralelogramma két szemközti oldalának felezőpontját összekötő középvonala párhuzamos a másik két oldallal és azokkal azonos hosszúságú.

A 126. ábra alapján ezt azonnal beláthatjuk, hiszen -dzAF- és ŐFj sza­kaszok párhuzamosak és egy enlő hosszúak, ezért ABFJ^i paralelogramma,

A trapéz két szárának felezőpontját összekötő középvonala párhuzamos a trapéz párhuzamos oldalaival és hossza a párhuzamos oldalak hosszának számtani közepe.

125. ábra

126. ábra

Ennek belátásához az ABCD trapézt tükrözzük a BC szár felező­pontjára (127. ábra). A z A D ’A ’D paralelogrammát kapjuk, alapja a trapéz

134 135

két párhuzamos oldalának az összege. A z középvonalának a hossza űt+c, ez a trapéz középvonalának a kétszerese. A trapéz középvona­

lának a hossza: P \F i~ .

SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISMERETEK_______________________

Kör

A körérinto és tétele, a parabola érintője

A kör érintője olyan egyenes, amely a kör síkjában van és a körrel ponto­san egy közös pontja van.

T étellé kör érintője merőleges az érintési pontjához húzott sugárra.Ennek igazolásához vegyük fel a körnek az egyik érintőjét és húzzuk

m eg az érintési ponthoz tartozó sugarat. (12S/a ábra). Tegyük fel, hogy az e érintő és az OE sugár nem merőleges egymásra. Bocsássunk m erőlegest az O középpontból az e érintőre, ennek talppontját jelöljük T-vel. Ez körön kívüli pont. A z O E T derékszögű háromszög, a derékszög csúcspontja T, ezért a háromszögnek OE az átfogója. Ezzel ellentmondáshoz jutottunk, mert 0 £ = r és r<O T , mert T külsS pont. Az ellentmondás oka a feltevé­sünk. A kör érintőjének m erőlegesnek kell lennie az érintési pontjoz húzott sugárra.

A kör érintőjének a körrel egyetlen közös pontja van, az összes többi pontja a körhöz képest küIsÖ pont. E z a kör defúuciójából következik, külön említenünk felesleges.

Ha két körnek pontosan egy közös ponlja van, akkor azt monduk, hogy a két kör érinti egymást.

A z egymást érintő két kör közös pontja azon az egyenesen van, amely a két középpontra illeszkedik. Ez a két kör szimmetriatengelye, (H a a közös pont nem illeszkedne a szimmetriatengelyre, akkor a két körnek két közös pontja lenne.)

K ét kör kétféle m ódon érintheti egymást:

1. A z egyik körnek az érintési ponttól különböző pontjai a másik körön kívül vannak (128/b ábra). A két kör „kívülről érinti” egymást. Középpontjuk távolsága a két sugár összege.

2. A kisebb sugarú körnek az érintési ponttól különböző pontjai a nagyobb sugaró kör belső pontjai (128/c ábra). A kisebb sugarú kör „belülről érinti” a másik kört A két középpont távolsága a két sugár különbsége (h a r i> fj , akkor

A parabola érintőjének értelmezésekor nem elég azt mondanunk, hogy az olyan egyenes, amelynek a parabolával egyetlen közös pontja van, ezt szemléletesen mutatja a 129/a ábra. A szemlélet alapján elfogad­juk, hogy a parabola a síkot „két részre vágja”.

A paralMla érintőjének definiálása előtt a sík pontjait három osztály­ba soroljuk (129/b ábra):

a) Azok a pontok, amelyek a parabola pontjai.b) Azok a pontok, amelyek a síknak abban a nyílt tartományában

vannak, ahol a fókuszpont is van. Ezeket a parabola belső pontjai­nak nevezzük.

c) Azok a pontok, amelyek a síknak abban a nyílt tartományában vannak, ahol nincs a fókuszpont. Ezeket a parabola külső pontjai­nak nevezzük.

_____ __________________SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISMERETEK

128. ábra

Definíció: A parabola érintője olyan egyenes, amelynek a parabolával egyet­len közös pontja van és az összes többi pontja a parabola külső pontja.

*2 Körben kerületi és középponti szögek

A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara (azok félegyenese). Egy középponti szög a körvonalból egy körívet, a körlapból egy körcikket határoz meg,

A kör kerületi szögének nevezzük mindazokat a konvex szögeket, ame­lyeknek a csúcsa a kör kerületén van és két száruk vagy két húr, vagy egy húr és egy érintő.

136 137

SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISMERETEK SÍKIDOMOKR4 VONATKOZÓ ISMERETEK

A középponti szög, a körív hossza, a körcikk területe

Egy körben a középponti szögek nagysága és a hozzájuk tartozó körív­hosszak egyenesen arányosak.

Egy körben a középponti szögek nagysága és a hozzájuk tartozó körcikkek területe egyenesen arányosak,

a) H a az űj = a-, középponti szögeket és a hozzájuk tartozó I2 ívhossza­kat, fi, területű körcikkeket tekintjük (130/a ábra), akkor azok a kör O középpontja körüli elforgatással egymásba átvihetők. Az egybevá­gósági transzformáció következtében oíi = o>2 esetén a hozzájuk tartozó ívhosszak is, körcikk területek is egyenlők: ii= Í 2 és

b) Legyen az a, 0 középponti szögek aránya racionális szám, azaz

( p 6 N + és ^£1N +), más alakban:^ = ^ .

Osszuk fel az a középponti szöget p , a ;8 középponti szöget q egyenlő részre (130/b ábra), ekkor a kapott p , illetve q darab kis szög egyenlő nagyságú. Tudjuk, hogy az egyenlő középponti szögekhez egyenlő ívhosszak és egyenlő kördkkterületek tartoznak ezért egj'enes ará­nyosság áll fenn;

c) Bebizonyítható az is, hogy ha a középponti szögek aránya irracionális szám, akkor is egyenes arányosság áll fenn a középponti szögek, a m egfelelő ívhosszak, körcikkterületek között, (E z nem középiskolai anyag.)Ezzel igazoltuk a fenti tételeket.

Középponti és kerületi szögek tétele

Egy körben az azonos ívhez tartozó középponti és kerületi szögek aránya 2:1. Ha a középponti szöget u-val, a hozzátartozó kerületi szöget a-val jelöljük, akkor íű = 2 o í.

B ő

131. ábra

A kerületi szögeket többféle m ódon vehetjük fel. Az egyes eseteknek m egfelelő módon külön-külön bizonyítjuk a tételt. A 131. ábra rajzai egy- egy lehetőséget mutatnak, a bizonyítás gondolatm enete leolvasható róluk. A z egyszerűbb esetekben két-két sugár segítségével egyenlő szárú három­szögeket alakítunk ki és felhasználjuk azt, hogy egyenlő oldalakkal szem ben egyenlő szögek vannak. A későbbi esetekben az előzőekre is hivatkozunk.

a) A z A O egyenes a kerületi szöget két részre bontja; a^oti+aj. Az A O F é sA O Q egyenlő szárú háromszögek O-nál lévő külső szögeit is felírjnk. Ebből o = 2ai+2a2=2a.

b) A z A O félegyenessel a ,, űj szöget hozunk létre; a=a-^~a2. A z kerületi szög a PQB köríven nyugszik, a hozzátartozó középponti szög 2a^. H asonló módon a QB körív középponti szöge a 2cí2. A PQ ívhez tartozó középponti szög; w = 2a i-2o íj= 2a .

c) A zA O B egyenlő szárú háromszög szimmetriatengelye az OF egye­nes, ez felezi az 01 középponti szöget és A O F derékszögű három­szög.

d) A körvonal nagyobb részét kitevő vastag vonallal rajzolt körív he­lyett figyeljük a vékony vonallal rajzolt A ö körívet. A z ehhez tarto­zó kerületi szög a ’ = 180-a , középponti szög 2a’. A z a kerületi szöghöz tartozó középponti szög: w =360‘’-2{180'’-ű í)= 2a .

e) H a az érintő szárú kerületi szög 90®, akkor a hozzátartozó közép­ponti szög 180°.

Kerületi szögek tétele, látószögkörív

Egy körben az ugyanahhoz az ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők

E z a tétel következik a középponti és kerületi szögek tételéből, vala­mint abból, hogy egy körívhez egyetlen középponti szög tartozik, A tétel alapján nevezetes ponthalmazt értelmezhetünk.

138 139

SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISMERETEK SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISMERETEK

/3 = 90' >90^

'B B A

132. ábra

A síkon azoknak a pontoknak a halmaza, amelyekből egy adott AB sza­kasz adott (0°<a<180'’) szögben látszik, két szimmetrikus körív, a látószög- körív. A z adott szakasz a két szimmetrikus körív közös húrja. Ennek végpont­jai nem tartoznak a látószögkörívhez (132. ábra).

A látószögkörív szerkesztési eljárását a 133. ábra mutatja. Ennek első lépése a szakasz egyik végpontjára a látószög felmérése, majd ennek szárára merőleges félegyenes szerkesztése, ez metszi ki az A B szakasz felezőmerőlegeséből a látószögkörív középpontját. Ebből megrajzoljuk a körívet, majd azt tükrözzük az AB egyenesre.

Azt, hogy így m egfelelő ponthalmazhoz jutunk a 134, ábra. alapján lát­hatjuk be. Ugyanis, a szerkesztés következtében biztos, hogy a körív L pontjaiból íz A B szakaszt a megadott a szöggel látjuk, a köríven belüli pontokból a látószög a-nál nagyobb (mert a P ^ B háromszög F^-nél lévő külső szöge nagyobb az L-nél lévő belsÖ szögnél) és a köríven kívüli pontokból a látószög a-nál kisebb.

P,

133. ábra 134. ábra

Négyszögek és a kör

Azokat a konvex négyszögeket, amelyeket minden oldala egy körnek egy- egy húrja, húrnégyszögeknek nevezzük.

Azo l^t a konvex négyszögeket, amelyeknek minden oldala egy körnek cgy-^Sy érintője, érintőnégyszögeknek nevezzük

A húrn^ szögek tétele és megfordítása

Tétel; Bármely húrnégyszög két szemközti szögének az összege 180°.

b)

135. ábra

A tétel igazolásához a 135/a ábra húrnégyszögének két átellenes csú­csához meghúzzuk a sugarakat. így az a és 7 kerületi szögekhez, a húr­négyszög két szemközti szögéhez tartozó középponti szögek is láthatók. Ezek együttesen teljes szöget alkotnak; 2a-i-2 7 = 3 6 0 “, így oí-^7 = 180°

A tétel megfordítása: Ha egy négyszög két szemközti szögének összege 180° akkor az húrnégyszög.

Ennek igazolásához tekintsük az A B C D négyszöget (135/b ábra) amelyről tudjuk: 0+ 7 = 1 8 0 “, vagy 7 = 180“-tt, A négyszög D , yl, B csúcs­pontja meghatároz egy kört, de erről m ég nem tudjuk, hogy áthalad-e a C csúcsponton. A körvonal valamely P pontjából a BD átló látószöge 180”- a = 7 , mert BADP húrnégyszög. Mivel a látószögkörív azoknak a pontoknak a halmaza, amelyekből egy szakasz megadott szög alatt látszik, a DPB körív egyik pontjának kell lennie a C pontnak, mert ormán is 7 a látószöge a BD átlónak. (A szimmetrikus köríven nem lehet a C pont, mert akkor az AB C D négyszög konkáv lenne.)

A tétek és megfordítását összefoglaljuk: Egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180°.

Az érintőnégyszögek tétele

Bármely érintőnégyszögben a két-két szemközti oldal hosszának az összege egyenlő.

140 141

s ík id o m o k r a v o n a t k o z o i s m e r e t e k SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISMERETEK

Ez i^ilvánvalóan követ­kezik abból az elem i tételből, hogy az O középpontú kör­höz egy külső A pontból hú­zott A £ és A H érintőszaka­szok hossza egyenlő, mert az A O egyenes ezek szimmetria­tengelye.

Az AB C D érintőnégy­szögben (136. ábra) A E -A H , B H =B G , C G = CF D F =D E , Felírjuk a szemközti oldal­hosszak összegét:

B

C

136. ábra

AB +C D ^AH+BH+CF+DF A D +B C =AE+DE+CG+BG.

Figyelembe véve az előző egyenlőségeket, valóban a szemközti oldal­hosszak Összege egyenlő.

Bizonyítható, hogy a tétel megfordítása is igaz: Ha egy konvex nég; >szög- ben két-két szemközli óldal hosszúságának az összege egyenlő, akkor a négy­szög érintőnégyszög.

A tétel és megfordítása összefoglalva: Egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha a két-két szemközti oldal hosszantik az összege egyenlő.

A körhöz húzott érintő- és szelőszakaszok tétele

138. ábra

Mivel a P pontra illeszkedő bármely szelőnél (138. ábra) is fennáll ez az összefüggés, ezért ha egy körhöz egy külső pontból tetszőleges szelőket húzunk, akkor az egyes szelőkön a P ponttól a körrel alkotott m etszéspon­tokig terjedő szakaszok szorzata egyenlő; PA • PB ^ PQ • PR.

A körhöz egy külső pontból húzott érintőszakasz mértani közepe annak a két szakasznak, amelyek a külső pontra illeszkedő bármely szelőn a ponttól a körrel alkotott metszéspontig terjednek

A körhöz a külső P pontból egy érintőt és egy szelőt húzunk (137. ábra). A z érintési pont JE, a szelő és a kör két m etszésp on tja i, i5. Az A E szakasz meghúzásával kialakul a PEA^,. Ez és a PBE^ hasonló, mert a P pontnál lévő szögük egyenlő, a B, valamint az E pontnál lévő kerüieti szögek pedig z z A E körívhez tartoznak. Ezért PEA n-PBEn. A m egfelelő

oldalaik aránya egyenlő: PEiPA ^PB:PE, PE^^PA 'PB, P E -^ P A ^PB.

142 143

SÍKIDOMOK TERÜLETE

XV. S í k i d o m o k t e r ü l e t e

Néhány síkidom területének (néhány test térfogatának) meghatározá­sához kész utasítások, „képletek” vannak, amelyek egyszerűen alkalmaz­hatók. Az igényes gondolkodás azonban azt kívánja, hogy a terület (térfogat) fogalmáról is legyen elképzelésünk, értsük a „képletek” mögötti összefíiggéseket is.

A terület fogalma

Sokszögek területmérésénél minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív számot. A hozzárendeléshez kell egy területegység.

Megállapodunk abban, hogy területegység az a négyzet, amelynek oldalai 1 hosszúságegységek.

A sík minden sokszögéhez úgy rendeljük a terület méröszámát, egy pozitív számot, hogy teljesüljön az alábbi két feltétel;

a) A z egybevágó sokszögekhez ugyanazt a számot rendeljük, azaz megkí­vánjuk, hogy az egybevágó sokszögek területének azonos mérőszáma legyen.

b) Ha egy sokszöget véges számú sokszögre feldarabolunk, akkor az egyes részek területének az összege az eredeti sokszög területével azonos le­gyen.

Sokszögek területének meghatározása

Téglalap területe

Kizárólag az em lített elvárások alapján keressük meg az a, b oldal­hosszúságú téglalap területét.

Tekintsünk két olyan téglalapot, amelyek alapja a, az egyik magassága a másiké (í>i területük illetve T,.

A i>, m a g a s s á téglalapot az alappal párhuzamos szakaszokkal« egy­

bevágó téglalapra bontjuk. Egy-egy kis téglalap alapja a, magassága ,

területe

A 139. ábrán látható m ódon a területű téglalapban —t magasságú

téglalapokat képezünk.

a) Lehetséges, hogy a egész számú többszöröse, így a -et ugyan­

azzal az egész számmal szorozva T2-t kapjuk.

b ) Lehetséges, hogy nincs olyan egész szám, amely segítségével egyenlő­séget állapíthatunk meg, de találunk olyan egész számot, am ellyel szo-

lozva -et a szorzat A^-nél kisebb, de azt 1-gyel nagyobb számmal

szorozva Í7,-nél nagyobb számot kapunk. Ugyanezt Tj-vel is megfogal­mazhatjuk.

139. ábra

A két esetet összefoglaljuk: Találhatunk olyan k egész számot, amellyel fennállnak az alábbi egyenlőtlenségek:

.*1 ^ 2 < (^+1) ^ és (*+1) ^

Átalakítva:

n n n

A z egyenlőtlenségeket a 140. ábra számegyenesén szem léletessé tesszük. Nyil­vánvalóan

n n n

1

n-Q-

kn h. - Ti

<1

1< — 140. ábra

A z n(n e N*) számot tetszőlegesen nagynak választhatjuk, ezért az —

bármely pozitív egész szám reciprokánál kisebb nemnegatív szám. Ilyen szám csak a 0 lehet, ezért a

h ^ hb, T,

144 145

SÍKIDOMOK TERÜLETE

egyenlőséghez jutunk. Szavakkal megfogalmazva: H a két téglalap egy-egy oldala egyenlő hosszúságú, akkor a területük aránya egyenlő a másik oldal- hosszuk arányával.

Ennek a tételnek a segítségével az 1 oldalú négyzet területéből elju- tünk az a, oldalhosszúságú téglalap területéhez.

a) A 141. ábra szerint az 1 oldalú, Ti = l területű

SÍKIDOMOK TERÜLETE

négyzet és az 1 alapú a magasságú, területű téglalapra felírjuk az

előző arányt: y = ^ ■

EbbSl T^^a. 141. ábra

A 142. ábra szerint az a alapú, 1 magasságú, T2, - a területű és az a alapú b magasságú T te­rületű téglalapra az elő-

zDarany: ~ ■

Ebből T ^ab.

A z a,b oldalhosszúságú téglalap lerülete: T=ab.

Paralelogrammák területe

\T .= a T

142. ábra

Bármely paralelogrammát átalakíthatunk (átdarabolhatunk) vele egyenlő területű téglalappá.

143. ábra

A 143. ábrán látható módon az ABCD paralelogrammával meghatá­rozott AB és CD párhuzamos egyenesek egyikére felmérjük az AB hosszúságú szakasszal megegyező szakaszt és kialakítjuk a z ^ ’B'C'D' téglalapot. A zAA 'D 'D négyszög eg>' vektorral történő eltolással átvihető a B B ’C'C négyszögbe. Ez a két négyszög egybevágó és mindkettőnek közös része a BA’D ’C négyszög. Ezt a közös részt elvesszük az egybevágó két négyszögből. A maradékok területe egyenlő, azaz T^^cd = Ta 'B'cd '-

Ezzel beláttuk, hogy bármely paralelogramma egyenlő területű egy ugyanakkora alaphosszúságú és ugyanakkora magasságú téglalappal. A paralelogrammák területe: T^am.

Háromszögek területe

A 144. ábrán látható módon az ABC háromszöget tükrözzük az AB oldal F felezőpontjára. Az eredeti háromszög és a tükörképe együtt egy paralelogramma. MlveXABCc^s^BAC’i , a háromszög területe a paralelog­

ramma területének fele. A Mromszög területe: t = (vagy t ^ )•

Trapézok területe

A zA B C D trapézt tükrözzük a BC oldalfelező pontjára (145. ábra). Az eredeti trapéz és tükörképe paralelogrammát alkot. A trapéz területe a paralelogramma területének fele.

Az ábra jelölésével a trapéz területe: T=

Sokszögek területe

Sokszögek területét háromszögekre bontjuk és azok területének összege adja a sokszög területét. (A háromszögekre bontás tetszőleges lehet.)

Szabályos sokszögek területének meghatározásánál a csúcspontokat a szabályos sokszög középpontjával ajánlatos összekötnünk. így annyi egybe­vágó, egyenlő szárú háromszöget kapunk, ahány oldalú a szabályos sokszög.

A z előző felsorolások csak alapgondolatok a sokszögek területének meghatározásához és ezek csak a lehető legegyszerűbb eljárási módokat adják. Sok esetben a matematika más területén szerzett ismeretekre is szükségünk van, hogy az előbb látott összefüggéseket felhasználhassuk.

146 147

SÍKIDOMOK TERÜLETE

Például, ha egy háromszög két oldalát és a közbezárt szögét ismerjük (azaz a, b, y adott), "akkor trigonometriai ismeretekkel jutunk el a háromszög te-

űfcsin7 2rületének t = felírásához.

A kör területe

A körbe és a kör köré szabályos sokszögeket írunk. A beírt sokszögek területe kisebb a kör területénél, az érintösokszögek területe nagyobb a kör területénél. Ha a szabályos sokszögek oldalszámát növeljük, akkor a be­írt sokszögek területe növekszik, az érintősokszögek területe csökken. A kö­zépiskolai matematikai anyagon túlmenő ismeretekkel bizonyíthatjuk, hogy az oldalszámok minden határon túli növelésével a körbe írt szabályos sokszögek területe és a kör köré írt szabályos sokszögek területe egyetlen szá­mot fog közre. Ez a szám a kör területének mértékszáma.

Ezt a gondolatmenetet az a- lábbiakban az egységsugarú körnél mutatjuk meg « = 4 ,6, 8 oldalú sza-

T,. T.6>érintösokszögek területét Tg-cal jelöljük.

Az egységsugarú körbe és a kör köré szabályos 4 oldalú sokszöget (négyzetet) írunk (146. ábra). Megállapítjuk területüket: t^=2 , T4 - 4 .

1 '\/V ‘ J

\ ^

147. ábra148. ábra

f— I

b) Szabályos hatszögek területe (147. ábra): íö=6ía= 2,59807...;

= = 4,46410... .

c; Szabályos nyolcszögek területe (148. ábra): fg=8fA=8 - — " ^

= 2,82842...; rg = 8TA = 8-tg22.5"-3,31370... .

Az oldalszámok növelését tovább folytathatnánk. A kapott eredményeket egy táblázatban összefoglaljuk:

_____ ________________________________ SÍKIDOMOK TERÜLETE

n~ 4 n = 6 n= 8

22.59807...2.82842...

< a kör területe< a kör területe< a kör területe

< 4< 3,46410...< 3,31370...

A bal oldali számoszlop növekvő, a jobb oldali csökkenő. Bebizonyítható, hogy a két számsorozat egyetlen számot határoz meg. Ez a szám: 3,14159...] irracionális szám. Ezt ir-vel jelöljük, (megszokottan, századrészre kerekít­ve 7 T » 3 ,1 4 ). Ez a 7T az egységsugarú kör területe.

Az egységsugarú körből az r sugarú kört r arányú hasonlósági transz- formációval kapjuk meg. A z r sugarú kör területe: T^r^i:.

Megjegyzés: Azt a módszert, amelynek alapgondolatát a kor területének meghatározásánál láttunk a „kétoldali közelítés” módszerének nevezzük. Ez általánosan alkalmazható módszer síkidomok területének értelm ezé­sére.

A kör részeinek területe

Körcikk területe

Az r sugarú körben az a;°-os középponti szöghöz tartozó körcikk terü­letének kiszámításához felhasználjuk a középponti szögek és a körcikk te­rületek közötti egyenes arányosságot (138. oldal). Az a° középponti szöget a teljes szögei állítjuk arányba. Az ennek megfelelő körcikk a teljes kör, területe rV . Ezért fennáll:

: 360" = í : í TT,

t = J ^ o360° “ 360

148 149

SÍKIDOMOK TERÜLETE

Mivel a középponti szögek és hozzájuk tartozó ívhosszak között is eg>’e- nes arányosság van, fennáll az i\2n := t’.r'T! arányosság is. Ebböí a körcikk területe;

í =ír XVI. T e s t e k t é r f o g a t a , f e l s z í n e

Körszelet területe

Körszelet területét egy körcikk és egy háromszög területének a segítsé­gével határozhatjuk meg. A 149. ábra mutatja, hogy a körszelet területét megadhatja a körcikk és a háromszög területének a különbsége, de az is lehet, hogy az összege adja meg.

15Q. ábra

Körgyűrű területe

Kör^űrüt határoz meg a koncentrikus R és r sugarú kör. Ennek szélessége: R~r=d, területe Ezt átalakítjuk:

t = {R+r)ÍR-r)Tr = 2 ^ (i?-r)7r = 2 ^ áir.

A két sugár számtani közepét jelöljük p-val, ekkor t=2pi^d. A a p számtani középpel, mint sugárral rajzolt körnek a kerülete (150/a ábra). Ezt a körgyűrű középvonalának nevezzük. A körgyűrű területére mondhatjuk azt is, hogy a középvonalának és a szélességének a szorzata adja meg,

A 150/b ábrán kör^ümcikket látunk. A két sugár által bezárt a középponti szöggel felírhatjuk az a : 360° =ti r&aríicikk''hör&üra arányosságot. Ebből a körgyűrűcikk területére adódik, hogy az a középvonalának és a szélességének a szorzata.

Ebben a fejezetben azt vizsgáljuk, hogy a testek térfogatát, felszínét hogyan határozzuk meg. A testek különböző osztályainál különböző m ód­szerekkel kell dolgoznunk.

Testek osztályozása

I. A testek felszínének meghatározásához ad áttekintést a következőosztályozás:a) Vannak testek, amelyeket kizárólag sokszögek határolnak. Ezeket

poliédereknek nevezzük.b) Vannak testek, amelyeket síkidomok és görbült felületek vagy csak

görbült felületek határolnak (például henger, kúp, gömb,...). Ezek között vannak olyanok, amelyek görbült felületét a síkba kiteríthet­jü k (például a hengerpalást, kúppalást) és vannak olyanok, ame­lyek görbült felülete nem teríthető ki a síkba (például a gömbfe­lület).

A testek felszínét - a testektől függően - különböző módon határoz­zuk meg.

a) Ha a test poliéder, ?tVkov felszíne a testet határoló sokszögek területé­nek az Összege.

b) Ha a testet síkidomok és olyan görbült felületek határolják, ame­lyeket a síkba kiteríthetünk, akkor a felszín meghatározásakor a kiterí­tett felület területét kell meghatároznunk.

c) Ha a testet olyan görbült felület határolja, amelyet síkba nem terít­hetünk ki, akkor felszínének meghatározásához más eljárást kell ke­resnünk. (Ez meghaladja a középiskolai matematikai ismeretein­ket.)

II. A térfogatmeghatározás módja azt indokolja, hogy a középiskolábantárgyalt testek közül az alábbi csoportokat különítsük el.

Hengerszerű testek

Egy síkidom kerületén önmagával párhuzamosan körülvezetünk egy olyan egyenest, amelynek a síkidom síkjával esetlen közös pontja van. Az így

150 151

TESTEK TÉRFOGATA, FELSZÍNE

kapott palástfelületet az eredeti síkidom síkjával és egy vele párhuzamos síkkal elmetsszük. A körülhatárolt térrészt hangerszerü testnek nevezzük (151. ábra).

Az alaplap és a fedőlap síkjának a távolsága a hengerszerű test magassága. A körülvezetett egyenesnek az alaplap és a fedőlap közötti szakaszát a test alkotójának mondjuk.

a) Ha a hengerszerű test alapja sokszög, akkor hasábnak, ha az alap­lapja kör, akkor körhengernek, röviden hengernek nevezzük.

b) Azokat, amelyeknél a körülvezetett egyenes merőleges az alaplap sík­jára, egyenes hengerszerü testnek nevezzük, amelyeknél a körülveze­tett egyenes nem merőleges az alaplap síkjára, azok/errfe henger- szerű testek.

Az egyenes hasábok közül azokat, amelyeknek az alapjuk szabályos sokszög, szabályos hasáboknak, vagy oszlopoknak mondjuk.

Az egyenes hasábok között nevezetes a téglatest, ezt hat téglalap hatá­rolja. Azt a testet, amelyet hat paralelogramma határol, külön névvel paralelepipedonnak nevezzük. (A téglatest speciális paralelepipedon, a kocka speciális téglatest.)

Az egyenes körhengtTtforgáshengemek is mondjuk.

TESTEK TÉRFOGATA, FELSZÍNE

Kúpszerű testek

Kúpszerű testek azok, amelyeket megkaphatunk lígy, hogy síkidom kerületén kőrülvezetünk egy egyenest, amely állandóan illeszkedik egy adott pontra, a síkidom síkján kívüli csúcspontra (152. ábra).

A csúcspontnak az alapíktól való távolsága a test magassága. A csú­csok és az alaplap kerületi pontjait összekötő szakaszok a kúpszerű test alkotói.

H a a kúpszerű test alaplapja sokszög, akkor gúlának, ha az alaplapja kör, akkor kúpnak nevezzük.

Ha a kúp minden alkotója egyenlő hosszúságú, akkor azt egyenes kúp­nak is mondjuk, forgáskúpnak is nevezzük. Ha a kúp nem minden alkotója azonos hosszúságú, akkor ferde kúpnak mondjuk.

Ha egy gúla minden oldalélé egyenlő hosszúságú, akkor azt érdemes külön is hangsúlyoznunk, ebből további fontos tulajdonságok is következ­nek.

Azt a gúlát, amelynek az alaplapja szabályos sokszög és minden oldalélé egyenlő hosszúságú, szabályos gúlának nevezzük.

A háromoldalú gúlát tetraédernek (négylapúnak) nevezzük. Szabályos tetraédernek azonban azt a háromoldalú gúlát nevezzük, amelynek minden lapja (nemcsak az alaplapja) szabályos háromszög. (A szabályos tetraéder m inden é le azonos hosszúságú.)

Ha egy kúpszerű testet az alaplapjával párhuzamos síkkal két részre vágjuJc (153. ábra), ak­kor a csúcs felőh rész az eredeti testtel hasonló, az alaplap felőli testet „csonka kúpszerü testnek” nevezzük. így gúlából csonkagúlá­hoz, kúpból csonkakúphoz jutunk.Ezek magassága az alap-, illetve fedőlap síkjának a távolsága.

A csonkakúp két körlapjának középpontjára illeszkedő egyenest a csonkakúp tengelyének nevezzük. Ha a csonkakúp létrehozható egyenes kúpból, akkor a csonkakúpot is egyenes csonkakúpnak mondjak.

Ha valamely kúpszerű testet az alaplapjával párhuzamos síkkal elmet­szünk, akkor az alaplap és a síkmetszet között középpontos hasonlóság van, ennek centruma a test csúcspontja.

Ismerjük a hasonló síkidomok területe és a hasonlóság aránya (a megfelelő szakaszhosszak aránya) közötti összefüggést: Hasonló síkido­mok területének aránya a hasonlóság arányának a négyzete.

A kúpszerű testeknél felírjuk az alaplap és a vele párhuzamos síkmet­szet területének az arányát. A hasonlóság aránya a csúcstól mért távolsá­gok aránya, azaz az eredeti test és a levágott kis test magasságának az aránya. Ezek alapján a 153. ábra jelöléseivel:

T \ t = h f - . m ^ .

Az alaplapot is tekinthetjük síkmetszetnek, ezért az arány lényege: Kúp- szeiű testeknél a párhuzamos síkmetszetek területének az aránya egyenlő a csúcstól mért távolságok négyzetének az arányával.

153. ábra

152 153

TESTEK TÉRFOGATA, FELSZÍNE TESTEK TÉRFOGATA, FELSZÍNE

A gömb

A gömbfelület egy adott ponttól megadott távolságban lévő pontok hal­maza, - Forgástestként értelmezve: Ha egy kört valamelyik átmérője körül forgatunk, akkor gömböt kapunk.

A definícióból következik, hogy a gömb minden síkmetszete kör. A z adott gömb r sugara és a metsző síknak a gömb középpont­jától való d távolsága meghatá­rozza a síkmetszet kör p sugarát(154. ábra): p = . A legna­gyobb sugarú síkmetszet akkor jön létre, ha a metsző sík illeszkedik a gömb középpontjára. Ezt a gömb főkörének nevezzük. (Sugara r.)

A térfogat fogalma

Poliéderek térfogatmérésénél minden poliéderhez hozzárendelünk egy pozitív számot. A hozzárendeléshez kell egy térfogategység.

Megállapodunk abban, h o ^ térfogategységnek azt a kockát tekmtjük, amelynek az élei 1 hosszúságegységek

Minden poliéderhez úgy rendeljük a térfogat méroszámát, egy pozitív számot, hogy teljesüljön az alábbi két feltétel:

a) Egybevágó poliéderekhez ugyanazt a számot rendeljük, azaz megkíván­juk, hogy az egybevágó poliéderek azonos térfogatúak legyenek.

b) Ha egy poliédert véges sok poliéderre feldarabolunk, akkor a részek tér­fogatának az Összege az eredeti poliéder térfogatával azonos legyen.

Testek térfogatának meghatározása

Téglatest térfogata

A terület fogalma alapján a téglalap területének meghatározását a 144. oldalon táigyaltuk. Ahhoz hasonló gondolatmenettel, kizárólag a térfogatra em lített elvárások alapján keressük a téglatest térfogatát.

Tekintsünk két téglates­tet, mindkettő alaplapja egy a, b oldalhosszúságú téglalap, az egyik magassága Ci, a m á­siké C2 (c, < 0,), térfogatuk K , illetve V .

A Cj magasságú téglates­tet az alaplappal párhuzamos síkokkal n egybevágó tégla­testre bontjuk, Egy-egy kis téglatest alaplapja a, h oldal­hosszúságú téglalap, magas-

c, ysága , térfogata .

Cl

k + 1

155. ábra

A 155. ábrán látható m ódon a térfogatú téglatestben magasságú

téglatesteket képezünk.Találhatunk olyan k egész számot, amellyel fennállnak a következő

egyenlőtlenségek;

Azzal a módszerrel, amelyet a téglalap területének meghatározásánál alkalmaztunk, bebizonyíthatjuk, hogy ezek az egyenlőtlenségek egyetlen számot határoznak meg és fennáll az alábbi arány:

‘'2 _ ü c, Fi ’

azaz, ha kél téglatest alaplapja egybevágó, akkor magasságuk aránya egyenlő a térfogatuk arányával.

Ennek a tételnek a segítségével az 1 élhosszúságü kocka V, = 1 térfo­gatából eljutunk a z a , b , c élhosszúságú téglatest térfogatához.

a) Hasonlítsuk össze az 1 élhosszúságú K, = 1 térfogatú kockát az 1 oldalhosszúságú négyzet alaplapú és a magasságú téglatesttel. A tétel értelmében; a : l = Ebből V^-a.

b ) Tekintsük azt a két téglatestet, amelyek alaplapja az 1, ű oldal- hosszúságú téglalap és az első magassága 1, térfogata V-^=a, a második magassága b, térfogata V.. Ezekre; ebből V^^ab.

c) Vegyük azt a két téglatestet, amelyek alaplapja az a, b oldalhosszú­ságú téglalap, és az egyik magassága 1, térfogata V^=-ah, & másik magassága c, térfogata V. Ezekre a m egfelelő arány: c:l = V:ab, ebből V^abc.

^ a, b, c élhosszúságú téglatest térfogata: V=abc. (Ezt megfogalmaz­hatjuk úgy is: Téglatestek térfogata az alapterületük és magasságuk szorzata.)

154 155

TESTEK TÉRFOGATA, FELSZÍNE

156. ábra

Háromoldalú egyenes hasáb térfogata

Báimely háromoldalú egyenes hasáb alaplapját, az ABC három­szöget, a 156. ábrán látható mó­don kiegészítjük BCDE téglalap­pá. A háromszög magasságának a meghúzásával a téglalapot n é ^ háromszögre bontjuk. Közöttük2-2 egybevágó: BGAs^=AEBii, és CGAn = A D C a . Gondolatban képezzünk a téglalappal - mint alap­lappal - olyan téglatestet, amelynek magassága megegyezik a háromolda­lú egyenes hasáb magasságával. Ezt a téglatestet az alaplap négy három­szöge segítségével négy darab háromoldalú egyenes hasábnak tekinthet­jük. Közülük 2-2 egybevágó. A négy közül a EGA és a CGA alaplapú együttesen az eredeti háromoldalú egyenes hasáb. Ennek térfogata - az egybevágóság miatt - a téglatest térfogatának a fele:

r / ^ V b c D E Q R S U „ -T . ™ - TV „^ A B C P Q R -------------2 ----------------------Y ------- ~ ^

A háromoldalú egyenes hasábok térfogata az alapterületük és magassá­guk szorzata.

Egyenes hasábok térfogata

Mivel bármely sokszöget felbonthatunk háromszögekre, bármely egyenes hasábot felbonthatunk háromoldalú egyenes hasábokká. Az eredeti egyenes hasáb térfogata a háromoldalú egyenes hasábok térfoga­tának az összege. Ha a háromszögek területét fj, í„-nel jelöljük, akkor a háromoldalú egyenes hasábok térfogatának összege: fim+Í2 + .. .+f„m = (íi+í2+ - A háromszögek területösszege az alaplap sokszög T területe. Ezért az egyenes hasábok térfogata: V= Tm, azaz az alapterületűk és magasságuk szorzata.

Az egyenes körhenger térfogata

Az egyenes henger térfogatát egyenes hasábok segítségével, kétoldali közelítéssel határozzuk meg. Az alaplapjába, azaz az r sugarú körbe és a kör köré egy-egy szabályos sokszöget írunk. Oldalszámuk rendre o =4 ,... . Az/I oldalúak területe t^, illetve T„. Ezekre, mint alapokra állítsunk egy-^gy ^ magasságú egyenes hasábot. Ezek térfogata t„m, illetve 7„m. Minden n-re fennáll: t„m < T jn .

TESTEK TÉRFOGATA, FELSZÍNE

Az n oldalszám növelésével a sorozat növekvő, a T„ sorozat csök­kenő. Ezekkel találkoztunk a kör területének keresésekor. Ott már lát- tuk, hogy ezek a kör területét határozzák meg, az r sugarú körnél ^v -i. Ezért az egyenes henger térfogata: V=j^irm, azaz az egyenes henger alapterü­letének és magasságának a szorzata.

Ferde hasáb térfogata

Ferde hasábok térfogatának keresésekor beláthatjuk, hogy bármely hasábhoz létrehozhatunk egy vele azonos térfogatú és azonos alapterületű, azonos magasságú egyenes hasábot. Ennek bizonyítása azonban hosszadal­mas.

Ferde hasábok térfogatát az ún. Cavalien-elv (olv. Kavaliéri) segítsé­gével határozzuk meg. Ha ezt a XVII. század elején megfogalmazott elvet a matematika mai igényességével nézzük, akkor az kiegészítésre szorul, de azoknak a testeknek a térfogatszámításánál, amelyekkel mi találkozunk, jól alkalmazható.

A Cavalieri-elv: Ha két testhez van olyan sík, hogy valamennyi vele pár­huzamos sík belőlük páronként azonos területű síkmetszeteket vág ki, akkor a két test egyenlő térfogatú.

A Cavalieri-elv következtében a T alapterületű és m magasságú hasá­bok térfogata egyenlő (157. ábra), mert az alaplappal párhuzamos sík­metszetek egybevágó (azonos területű) síkidomok. A Cavalieri-elv alap­ján azonban nemcsak ezek a hasábok, hanem minden T alapterületű m magasságú hengerszerű test térfogata azonos. Közöttük van a T alapterü­letű, m magasságú egyenes hasáb is. Ennek térfogatát már ismerjük: V=Tm. A gondolatmenetünkböl következik, hogy bármely Talapterületű, m magasságú hengerszerü test térfogata: V= Tm.

D F

158. ábra

Tetraéder térfogata

Tetszőleges ABCD tetraédert hasábbá egészíthetünk ki. A 158. ábra szerint illesszünk a B, valamint a C csúcsra egy-egy .4D-vel párhuzamos

156 157

TESTEK TÉRFOGATA, FELSZÍNE

egyenest. Ezeken vegyük fel az E, iletve az F pontot úgy, hogy fennálljon AD = BE^C F.

Az ABCDEF háromoldalú hasáb alaplapja a T területű ABC három­szög, ez azABCD tetraéder alaplapja is. (A tetraéder alaplapja bármelyik lapja lehet.) A hasáb m magassága azonos a tetraéder v45C alapjához tar­tozó magasságával, ez az ABC és aDEF párhuzamos síkok távolsága.

A tetraédert hasábbá egészítettük ki, de azt is mondhatjuk, hogy az ABCDEF háromoldalú hasábból a BCD síkkal levágtuk az ABCD tetraé­dert. A maradék testet a CDE síkkal még két tetraéderre vágjuk. Ezzel a háromoldalú hasábot az ABCD, a DEFC és a BCDE tetraéderre bontot­tuk. E három tetraéder térfogata együtt a hasáb térfogata: V=Tm. A következőkben belátjuk, hogy a három tetraéder térfogata egyenlő.

TESTEK TÉRFOGATA. FELSZÍNE

a) Hasonlítsuk össze az ABCD és a DEFC tetraédert. Mindkettő azonos alapterületű és azonos m magasságú. Ezt a két tetraédert azonos te­rületű alaplapjukkal helyezzük egy síkra (159. ábra). A csúcsoktól d távolságban metsszük ezeket az alaplapokkal párhuzamos síkkal, a síkmetszetek területét jelöljük íi-gyel, illetve Í2-veL A gúlák alappal párhuzamos síkmetszeteire vonatkozó arány szerint: T:ti=m^:(f, illet­ve T:t2 ^ní^'J^. Nyilvánvaló: íi=Í2 és bármely íí-nél azonos a két sík­metszet területe. A Cavalieri-elv alapján a két tetraéder azonos térfo­gatú: V ^ c D = D E F C -

b) Hasonlítsuk össze az ABCD és a BCDE tetraédert. Tekintsük alapte­rületüknek az ABD, illetve EDE háromszögeket. Ezek azonos terüle- tűek, mert az ABED paralelogrammából a BD átló meghúzásával keletkeztek. Magasságuk azonos: a C csúcsnak az ABDE síktól való távolsága. Az előző gondolatmenethez hasonlóan a Cavalieri-elv alapján a két tetraéder térfogat egyenlő: Vabcd^ ^ bcde-A két összehasonlításból következik: V,A B C D ' B C D E - Mivel a

három tetraéder térfogat együtt a hasáb V - Tm térfogata, ezért a három­

oldalú gúlák télfogata: ^ alapterület és magasság szorzatának

harmadrésze.

Gúlák térfogata

Ha a gúla nem háromoldalú, akkor a sokszög alaplapot háromszögek­re bontjuk. A háromszögek íj, ..., területének összege a sokszög T te­rülete, azaz a gúla T alapterülete. A háromoldalú gúlák térfogatának az összege

azaz bármely gúla térfogata az alapterület és a magasság szorzatának a harmadrésze.

Kúpok térfogata

Tekintsünk egy T alapterületű m magasságú kúpot. Alapkörébe és a kör köré írjunk szabályos sokszögeket. Ezek segítségével a kúpban és kúp köré olyan gúlákat képezhetünk, amelyek térfogatával két oldalról közre­foghatjuk a kúp térfogatát.

A kör területének (és a henger térfogatának) keresésekor látott mód­

szerrel eljuthatunk a kúp térfogatához. Ez — , azaz az alapterület és a

magasság szorzatának harmadrésze.Más módszerrel, amely túlmeg>' a középiskolai matematika anyagon,

bizonyíthatjuk, hogy bármely kúpszerű test térfogatát ugyanígy határoz­hatjuk meg.

Hengerszerű testek térfogata, felszíne

Az előző fejezet alapján már tudjuk, hogy bármely hengerszerű test télfogatát megadja az alapterüle­tének és magasságának a szorzata:

V= Tm .A hengerszerű testek palástját

a síkba kiteríthetjük. Ha az egy’e- nes hengerszerű testek palástját, ^ egák alkotójuk mentén „felvág­juk”, és a síkba kiterítjük, akkor 160. ábraolyan téglalapot kapunk, amelynek egyik oldala az alaplap K területe, a másik oldala a hengerszeru test magassága (160. ábra). A palást területe:

158 159

TESTEK TÉRFOGATA. FELSZÍNE TESTEK TÉRFOGATA. FELSZÍNE

Pt=^Km. A palást területének és az aiapterület kétszeresének összege adja a test felszínét.

A z egyenes hengerszem testek felszíne:

A =2T + T m .

Ennek alapján néhány speciális test felszíne:Egyenes henger felszíne: A='2j 'ir+2r-irm, a téglatest felszíne: A - 2{ab +ac+bc), a kocka felszíne: A = ^ .

Kúpszerű testek térfogata, felszíne

Az előzőekből tudjuk, bármely kúpszerű testnek a térfogatát megadja az aiapterület és a magasság szorzatának harmadrésze:

Tm

A kúpok alaplapja kör, térfogatuk felírható V= alakban.

A kúpszerű, testek felszíne az alapterület és a palást területének összege:

A = T + P.

A gúlák palástja háromszögek­ből áll, területének m e^atározá- sához a háromszögek területét kell összegeznünk.

Az egyenes kúp (forgáskúp) palástját egyik alkotójánál „felvág­va" és kiterítve, körcikket kapunk (161. ábra). Az r sugarú és a alko- tójú kúp kiterített palástja olyankörcikk, amelynek sugara a, ívhossza az alapkör Zttt kerülete.

„ 2 n r aA palást területe: P= ^ =nra.

A z egyenes kúp felszíne:

A = P"K + ríTű .

161. ábra

Csonkagúla, csonkakúp térfogata, felszíne

A csonkagúlák, csonkakúpok térfogatának keresésénél a teljes gúla (kúp) térfogatából elvesszük a levágott, hasonló gúla (kúp) térfogatát (162. ábra). Ezt a különbséget úgy ajánlatos átalakítanunk, hogy a cson­kagúla (csonkakúp) térfogatát saját adatainak a felhasználásával írjuk fel.

Az eredeti teljes test alapterülete: T, magassága;

térfogata:3

a hozzá hasonló, levágott test alapterülete; í,magassága; mj,

térfogata: V2 = tm-,

A csonkagúla (csonkakúp) két alapterülete: T, t,magassága: m -m i-m ^,

térfogata: V=Vi~V2.Jelöljük a hasonlóság arányát X-val:

f r

f t ', X^= — vagy T = X \ X=

m

A teljes gúla térfogata:

Ez speciális esete egy általánosabb tételnek: Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának a köbe.

160 161

TESTEK TÉRFOGATA, FELSZÍNE TESTEK TÉRFOGATA, FELSZÍNE

A csonkagúla (csonkakúp) térfogata:

v= Fi-K2=X3F2-K2 = K2(X^-1)= (X-1)(XVX+1).

A X-1 tényezőt mj-vel, a X^+X+l-et í-vel szorozzuk és átalakításokat végzünk:

V= — (X«Í2~m2)(X^Í+X/+0“ ~ 3 3

T + ^ f+ í/ í

A csonkagúlák, csonkakúpok térfogatára egyszerű alakot kaptunk;

V = j ( T ^ ^ + i ) .

A csonkakúpnál szokásos jelölések: T = R \, ezért a csonkakúp tér­fogata;

V = y (R^tt+^R^'irP'Tr+rTr),

V = ^(R h R r+ > ^).

Csonkagúlák, csonkakúpok felszíne a két alapterület és a palást terüle­tének az összege:

A= T + t+P.

Csonkagúláknál 3Z alaplapok hasonló sokszögek, a palást trapé­zokból áll.

Csonkakúpoknál a két alaplap kör. Felszínük v4=iíV+í^Tr+P alak­ban írható fel, palás^'uk a síkba kiteríthető.

Az egyenes csonkakúpok ki­terített palástja körgyűrűcikk (163. ábra).

Ennek középvonala 2 ^ tt, szélessége az egyenes csonkakúp a alkotója.

A palást területe: (R+r)Tra.A z egyenes csonkakúp felszíne:

A = Fí f(+r^T:+{R+r)T(a.

162

163. ábra

Gömb térfogata, felszíne

A gömböt két egybevágó részre, azaz két félgömbre vágjuk és egy fél­gömbnek keressük a térfogatát.

A félgömböt a síkmetszetével, mint alaplappal egy síkra helyezzük. A Cavalieri-elv alkalmazására gondolunk és vizsgáljuk az alapsíkkal párhu­zamos síkmetszeteinek területét. Az alapsíktól valamely d (0^d< r) távol-s^ b an keletkező síkmetszete sugarú kör, a síkmetszet területe;ir^-á^)w=r^TT-cí^Tr. Ezt tekinthetjük egy körgyűrű területének, az r és a d sugarú koncentrikus körök határolják (164. ábra).

164. ábra

Vegyünk egy r sugarú és r magasságú egyenes hengert. Ebből vegyünk el egy egyenes kúpot, amely r sugarú, r magasságú és alalapjával felfelé fordított. Felismerhetjük, hogy a maradék testnek az alapsíkkal párhuza­mos síkmetszetei mindig azonos területűek a gömb megfelelő síkmetsze­teivel, d távolságban: r^Tr-d\. A Cavalieri-elv alapján ennek a két testnek egyenlő a térfogata:

^félgömb ^henger ^kúp

Ennek kétszerese a teljes gömb térfogata:

V = ^ .

A gömbfelszín m e^atározása több olyan problémát vet fel, amely megoldásához a középiskolai ismeretek nem elegendők. A gömbfelület nem teríthető ki a síkba. Bizonyítható, \ io ^ a gömb felszíne:

A = 4r^ir.

163

TESTEK TÉRFOGATA, FELSZÍNE

XVII. T r i g o n o m e t r i a i i s m e r e t e k

165. ábra 166. ábra

Ezt megnyuglatóan nem tudjuk igazolni, de igyekszünk szem léletessé tenni.

Egy körbe páros oldalszámú szabályos sokszöget írunk. Ezt a 165. áb­rán látható m ódon az AB átmérőre m erőleges F^Qi, P 2Q 2 húrokkal szim ­metrikus trapézokra bontjuk. A kör és a sokszögÁÖ átmérő körüli megfor- gatásával gömböt és egyenes csonkakúpokat hozunk létre. (A „legfelsőt” és a „legalsót” is tekinthetjük csonkakúpnak, a kisebb kör sugara 0.)

Bebizonyítható, hogy minden egyenes csonkakúppalásthoz találhatunk azonos területíl hengerpalástot. A P-^PiQiQi trapézzal létrehozott egyenes csonkakúppalásttal egyenlő területű hengerpalást sugara az FO szakasz (a húr felezőpontját a középponttal összekötő szakasz). A csonkakúp és a henger magassága azonos. (A 166. ábra jelölésével a palástok egyenlősége:

(R+r)Tra=2‘F O m i, ugyanis és ebből - . O F ^ m ' . a . )

A csonkakúppalástok helyett kapott valamennyi hengerpalást azonos suga­rú és a magasságuk összege a gömb 2r átmérője.

A göm bfelületet csonkakúppalástokkal, majd azonos sugarú henger- palástokkal közelítettük meg. A gondolat áttekinthető és egyszerű. Azori- ban igazolnunk kellene, hogy ez a közelítés valóban elvezet a gömb felszí­néhez. E z az igazolás meghaladja a középiskolai tananyagot.

A derékszögű háromszögek trigonometriája

Mindazok a derékszögű háromszögek hasonlók, amelyeknek az egyik hegyesszöge azonos na^ságú. Ezekben a megfelelő oldalak aránya egyenlő. Az arányoknak önálló elnevezést adunk.

Az a hegyesszög szögfüggvényeinek definícióit a 167. ábrán látható derékszögű háromszög jelöléseivel írjuk fel;

asm a= —

c

bCOSo:= —

C

_ szöggel szemközti befogó átfogó

a bc tg a= — .

o a

90 -cr

= csinci

Ha egy derékszögű háromszöget két adatával (két oldalával, vagy egy oldalával és egy hegyesszögéveí) egyértelműen megadunk, akkor az összes hiányzó adatát kiszámíthatjuk.

A hegyesszögek szögfüggvé­nyei között összefüggések vannak.Ezek közvetlenül következnek az előző definíciókból. A 167. ábrán látható derékszögű háromszög a 0=’<a<90° szögekre már magya­rázza az összefüggéseket.

a) sin^ot-HCos a = 1, ugyanis a = c • sina, & = c • cosa és Pithagorasz tételé­ből (c*sino:)V(c-cosa)^=c^. Az egyenlőséget c^-tel osztva kapjuk: Bármely hegyesszög sinusának és cosinusának négyzetösszege 1.

, . sina0) ^ “ szöggel szemközti befogó c-sina, a szög mel­

letti c >coso!.

b = c c o s a

167. ábra

c) tga=-Ctga

, ez közvetlenül adódik a defmícióból.

164 165

TRIGONOMETRIAI ISMERETEK TRIGONOMETRIAI ISMERETEK

d) sino; = cos(90“-a), azaz egy szög sinusa egyenlő a pótszögének cosinu- sával és tga = ctg(9(f-Q;), azaz egy szög tangense egyenlő a pótszögé­nek cotangensével.

Nevezetes szögek szögfüggvényei

Egységnyi befogókkal tekintsünk egy egyenlő szárú derékszögű há­romszöget. Átfogója Pithagorasz tételével kiszámítható: i/z (168/a ábra).

Az egyenlő oldalú háromszög oldalai 2 egység hosszúak. Magasságá­nak megrajzolásával olyan derékszögű háromszöget kapunk, amelynekhegyesszögei 30°, 60°. Pithagorasz tételével kiszámítjuk a magasságát: {3 (168/b ábra).

A kapott derékszögű háromszögekből felírhatjuk 45°, illetve 30°, 60“ szögfüggvényeinekj70ttí05 értékét. Ezeket egy táblázatban foglaljuk össze:

sin cos tg ctg

30° 12 2 3

45° Í21 1

2 2

60° ^3 12 2 3

b) \/ ' \

2 / ' ^

/ío ’i, f \1 1

768. ábra

Szögfüggvények általános értelmezése

A koordináta-rendszer origója körül forgatott egységvektorral bármely pozitív vagy negatív szö­get létrehozhatunk. Ennek segítsé­gével értelmezzük a forgásszögek szögfüggvényeit:

Definíciók:1. A z a szög sinusa, a koordináta-

síkon, az i egységvektortól a szöggel elforgatott egységvektor y koordinátája (169. ábra).

2. Az a szög cosínusa, a koordinátasíkon, az i egységvektortól a szöggelelforgatott egységvektorx koordinátája (169. ábra).A két definíció alapján, ha az a szöggel elforgatott egységvektort

a-val jelöljük, akkor a = i-c 0 S Q !+ j 'S Í n a . Az a vektor koordinátái: a(coso:; sina).

A tg, ctg szögfüggvényekre két-két definíciót adunk, ezek ekvivalen­sek.

3. a) tga = (cosoí#0, azaz —+A:7t, fcGZ).cosa 2

b) A z a szög tangense, a koordinátasíkon, annak a pontnak az y koor­dinátája, amelyet az a szöggel elforgatott egységvektor egyenese az ori­gó körüli egységsugarú kör (}; 0) pontjához húzott érintőből kimetsz (170. ábra).

COSOL3. a) ctgcí = —— (sina#0, azaz a / ki^, kG'Z). sin ex.

b) A z ot szög cotangense, a koordinátasíkon, annak a pontnak az x koor­dinátája, amelyet az a szöggel elforgatott egységvektor egyenese az ori­gó körüli egységsugarú kör (0; 1) pontjához húzott érintőből kimetsz (171. ábra).

(ó ; i )

169. ábra

Megjeg>'zés: Ezek a definíci­ók teljes összhang’ban vannak a hegyesszögek szögfíiggvé- nyeinek azzal z z értelm ezé­sével, amelyet a fejezet e le ­jén derékszögű háromszögek oldalainak arányaival adtunk meg. Ug)'anis, ha a 172. áb­rán egy I. negyedbeli a he- gyesszöget tekintünk, akkor az ott látható A { T f i , A^T^O, A-P'^0, ... derékszögű három­szögek hasonlók. Ezekből az 172. ábra

166 167

TRIGONOMETRIAI ISMERETEK TRIGONOMETRIAI ISMERETEK

a hegyesszöggel szemközti befogó és az átfogó aránya: sina.

A különböző szögek szögfüggvényéríékeinek meghatározását a szög nagyságától függően három részben tárgyaljuk.A ) YÍ3i 0°^a<360°, akkor a szögfüggvényértékei a definíció alapján hatá­

rozhatók meg. A gyakorlati lépéseket az alábbi táblázat összefoglalja:

Negyed

II.

IIL

IV.

Szög

0°<a<9(r

9(f

90^<a<180°

180°

180° < a <270°

270=

270°<a<360°

A táblázatból kikereshető

a

m ‘’-a

a - 180=

360°-a

A szögfüggvények előjele

sm

0

-1

cos

0

tg

0

nincs ér­telmezve

nincs ér­telmezve

ctg

nincs ér­telmezve

nincs ér­telmezve

0

B) Ha 360^ S g í, akkor megkeres­sük azt az of-360°íí (n6 N) szö­get, amely a [0"; 360°[ interval­lumban van. Ezt legkönnyeb­ben úgy találjuk meg, hogy a-t elosztjuk 360-nal. Az osztást a hányados utolsó egész helyiér- tékű- jegyéig végezzük. Az ekkor kapott maradék a [0“;360°[ intervallumban van.Ennek szögfüggvényértékeit az előzőek szerint határozzuk meg.

C) Negatív forgásszögek szögfüggvényértékeinek megállapítását vissza­vezetjük pozitív szögek szögfüggvényeinek meghatározására. A 173. ábráról látható tengelyes szimmetria alapján:

sin(-a) = -sina, cos(-a) = cosof.

A tg és a ctg szögfüggvények definícióiból következik:

tg (-a) = -tga, ctg(-a) = -ctga.

A szögfüggvények közötti kapcsolatok

A hegyesszögek szögfüggvényei között fennálló kapcsolatokat már láttuk (165. oldal). Kérdéses, hogy tetszőleges szögek esetén is igazak-e ezek. Ezt külön kell vizsgálnunk. A következőkben megmutatjuk, hogy minden olyan szögre igazak, amelyekre a megfelelő szögfüggvények értelmezve vannak.a) sin^Qi+cos^ce=l, minden a-ra.

1. Ugyanis az a szöggel elforgatott e = coso:-i+sino;-j egységvektor négyzete 1. A koordinátáival felírt vektorok skaláris szorzata sze­rint e^=cosV+sin^o:. Ezért cos^a+sin^a = 1.

2. Asin^a+cos^a=l-böI sino; = iTl-cos^a és cosa= ^l-sin^a csak az I. negyedbeli szögeknél írható fel. Más szögek esetén a Isinal = = y i-c o s^ , Icosal = i/l“sin^a alakot írhatunk sina, cosa előjelét az dönti eí, hogy az a szög a koordinátasík melyik negyedében van.

b) A hegyesszögeknél látott tga’= összefüggés a szögfüggvények ál-cosa

talános értelmezésénél definíció, ha cosor / 0. Hasonlóan ctga =

ha sina / 0.

cosasina

c) Hegyesszögek tangensének, cotangensének értelmezéséből követke­

zett . Ez a szögfüggv'ények általános értelmezéséből is kö-ctga

vetkezik, azonban most feltétel: a # ír

d) sincn = cos(90°-o;) minden szögre.Ennek belátásához forgassuk el az a = cosai + sinaj vektort negatív

irányban 90'’-kal. A kapott új vektort jelöljük b-vel (174. ábra). Ennek hajlásszöge a-9(f, ezért b == cos(a-90°)i + sin(o:~90"')j,

A 90°-kai elforgatott vektorok koordinátáiról tudjuk, hogy felcseré­lődnek és az egyik előjelet vált. Most a negatív irányban történő forgatás miatt az eredeti vektor első koordinátájának az ellentettje lesz az új vek­tor második koordinátája: b = sinai - cosaj.

168 169

TRIGONOMETRIAI ISMERETEK TRIGONOMETRIAI ISMERETEK

A b vektort kétféle módon írtuk fel. A megfelelő koordinátáik e- gyenlök: sina = cos(a-90°) és -cosa = sin(a-90“). A negatív szö­geknél megismert összefüggések alapján:sin(a-90°) = -sin[-(a-90°)] == -sin(90‘’-a ) és cos(a-90°) = = cos(90°-q:), ezért valóban:

sina =cos(90“-a:),cosa = sin (90°-a).

yia = c'oiűfi + 5!/! a j

Ij = ce-j (a - W") i f + sin (a - 90‘’)j

b = sin a i - C05 a j

174. ábra

Ezek hányadosából - ahol ennek van értelme - következik a tgoí = ctg(90P-a) összefüggés is.

Az általános háromszög trigonometriája

A bal oldalak egyenlőségéből következik:

űsinií =/7SÍna. asin(8 = ösin(lS0°-a),

A sin szögfüggvény értelmezése alapján siti(180'’-a)= sina, ezért

asin/3-í>sino!.

Ugyanahhoz az egyenlőséghez jutottunk. Ez átalakítva:

a : 6 = sina : sinj9.

Ezt az összefüggést nevezzük siniistételnek: Bármely háromszögben az oldalak úgy aránylanak egymáshoz, mint a szemközti szögek sinusa.

Megjegyzés: H e ^ e s - és tompaszögű háromszögekre bizonyítottuk, de derékszögűekre is igaz. Ugyanis 51090“ =1 raiati a sinustételből az ismert aráidhoz jutunk: heg>'esszög sinusa a derékszögű háromszög szöggel szem ­közti befogójának és az álfogónak az aránya.

Egy általános háromszöget három (m egfelelő) adattal adhatunk meg. Ezek meghatározzák a háromszög minden (eddig ism eretlen) adatát. Ezek kiszámításához m egfelelő összefüggéseket kell keresnünk.

Összefüggés a háromszög két oldala és a szemközti két szöge között Sinustétel

Az általános háromszög egyik magasságának a meghúzásával derék- szögű háromszögeket alakítunk ki (175-176. ábra). Ezekből kifejezhetjük a magasságot:

a)

m^=asinl3 m^ = &sintx

h)

m;; = űsin|3m;, = 6sin(180“-Q:).

Összefüggés a háromszög három oldala és egy szöge között Cosinustétel

AAz ABC háromszög C csúcsá­

ból induló CB vektort Jelöljük a- val, CA-\ b-vel (177, ábra). Nyil­vánvaló: c = a - b. Fehérjük a c vektor négyzetét:

c^=(a-b)^ c^=ű“-HÖ“- 2 -a-b c^=a^ + 6^-2c£'COS7

Ezt az összefüggést nevezzük cosinustételnek: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegé­ből kivonjuk e két oldal és a közbezárt szög cosinusának kétszeres szorzatát.

Azt, hogy a háromszög megadásának alapeseteiben melyik tétel segít­ségével melyik hiányzó adatot számíthatjuk ki a legkönnyebben, az alábbi táblázatban foglaljuk össze:

170 171

TRIGONOMETRIAI ISMERETEK TRIGONOMETRIAI ISMERETEK

A háromszöget meghatározó adatok

(alapesetek)

Egy oldal és két szög (a két szög a harmadi­kat is meghatározza)

Két oldal és a nagyob­bal szemközti szög

Két oldal és az általuk bezárt szög

Három oldal

A legegyszerűbben alkalmazható

tétel

sm

sm

cos

cos

A legkönnyebben kiszámítható hiányzó adat

hiányzó oldal

a kisebbik oldallal szemközti szög

a harmadik oldal

egy szög

M eaegyxés: A sinustétel és a cosinustétel nem független egymástól. Az egyikből, m egfelelő átalakításokkal, eljuthatunk a másikhoz. (Például, ha a cosinustételben helyett a \ú r í^ + c o s ^ ) - \ írunk és további m egfelelő átalakításokat végzünk, eljutunk a sinustételhez.) Ez azonban csak logikai érdekesség. A gyakorlati számítások akkor könnyűek, ha a két tétel közül a m egfelelőbbet választjuk ki.

Összefüggés a háromszög egy oldala, szemközti szöge és a köré írt körének sugara között

Egy háromszöget egyértelmű­en három (megfelelő) adatával ad­hatjuk meg, azonban egy oldala és a szemközti szöge meghatározza a körülírt körének sugarát. Ezt ele­mi geometriai ismereteinkből tud­juk: egy adott szakasz és egy adott szög meghatározza a látószögkörí­vet. Ennek alapján a 178. ábrán az ABC általános háromszög mellett létrehozzuk az A ’BC derékszögű háromszöget. Ezeknek közös az a oldala, a szemközti szögük a. (tom­paszögű háromszögnél X8íf-a;). Az A'BC derékszögű háromszögből:

sina= . Ez az összefüggés minden háromszögben fennáll.

178. ábra

További trigonometrikus összefüggések

A szögfüggvények definíciói alapján nagyon sokféle trigonometriai összefüggést írhatunk fel. Közülük a legfontosabbak:

Addíciós tételek (összegezés! tételek)

Két szög szögfüggvényeinek is­meretében szeretnénk kiszámítani két szög összegének, különbségé­nek szögfü^ényeit. Az adott sina, cosa, siniS, cosjS segítségével feh'ijuk cos(a-)S). cos(a+j3), sin(oí“/3), sin(a-H|8) értékét.a) A koordinátasíkon felvesszük

az a hajlásszögű a, és a *3 haj­lásszögű b e^ségvektort. A 179. ábrán kialakul az szög is.

a = cosQ'i+sinQrj, b = cos/3i+sinjÖj.

Az ab skaláris szorzatot íijuk fel kétféle módon. Elsőként a skaláris szorzat definíciója alapján, másodikként a koordinátái segítségével:

ab= |a | ■ Ibi -cosía-zS) = cos(a-/3),ab= (coso;i-i-sincvj)(cos/3i+sin^j) = cosa-cos/S+sina'SinjS.

A két alak összehasonlításával kapjuk:

cos(ci'-^) = cosa. ■ ítos/3 +sin(x-sm^.

b) A negatív szögekre ismert cos(-(3) = cos]3 és sm (-^) = -ún3 összefüe- gések felhasználásával kapjuk;

cos(a+l3) = cos[a-(-^)] = cosa • cos(-/3) + sina ■ sin(-/3) = = cosa • COS0 - sin a • sin^.

c) A sin(o!-^)-hoz a pótszögek közötti sin7 =cos(9( f - 7 ) összefüggés fel- használásával juthatunk el:

íínfoí-^J = cos[9(r-(a-^)] = cos[(90^-a)+/3] = =cos(90°-Q!)cos^ - sin(90°-o!)sin,8 == sxna. • cos^ - cosa 'Sin^.

172 173

d) A sin(a+i8) meghatározásához újból negatív szöget veszünk segítségül:

= sin[a-(-|S)] = sina-cos(-i3) - cosa-sin(-i3) ==sina' cos^ + cosa • sin^.

e) tg(o!+i3) felírása a definíció alapján történhet. Ajánlatos olyan átalakí­tást végeznünk, hogy a sin, cos szögfüggvények helyett tg szögfügg­vényhez jussunk. Ezt elérjük, ha a tört számlálóját is, nevezőjét is osztjuk cosa-cos/3-val (coso:-cos;3/0).

sin(o;+;3) _ sina*cosj3+cosa-sing _^ cos(a+/3) cosa-cos/3-sina-sin/3

sina • cosj3 cosa • sini3- +

TRIGONOMETRIAI ISMERETEK_________________________________

_ COSQ’ COSIS cosa-cosjS tga+tg^ cosa*cos|8 sina-sing cosa ■ cos|8 coso: • cos0

Negatív szögek segítségével kapjuk:

l^tga^tg^

Szög kétszeresének szögfúggvényei

Két szög összegének speciális esete a két szög egyenlősége: oí + oí = 2a. Az addíciós tételek segítségével 2a szögfüggvényeit is felírhatjuk;

í in 2 o := s in (o d + a ) = sino:* c o s a + co so í- s in a == Isinoí-cosoL

Hasonló gondolatmenettel kapjuk:

cos2ot= cos~a. - sin^a,

2/?atg2a =

xviiL K o o r d i n á t a -g e o m e t r i a i ISM ERETEK

A koordináta-rendszer kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést létesít a sík pontjai és a rendezett számpárok k özött Ha vektorokkal a koordiná- tasíkon végzünk műveleteket, akkor koordinátáikkal (rendezett számpá­rokkal) számolhatunk. (Középiskolában derékszögű koordináta-rendszer- ben dolgozunk.)

A koordináta-geometriában geom elriai feladatokat úgy fogalmazunk meg, hogy megoldásuknál számpárokkal dolgozhassunk. A problémákat igyekszünk vektorok segítségével megoldani, majd a vektorműveleteknek m egfelelően vektorkoordinátákkal számolunk.

Szakasz felezőpontja, m:n arányú osztópontja

Szakasz felezőpontja

A koordináta-rendszerben meg­adunk egy szakaszt és keressük a felezőpontját.a) Pvi A B szakasz végpontjainak

helyvektorai; a(xi,yi).Keressük az F felezőpont f(x,y) helyvektorát.A felezőpont tulajdonságából következik (180. ábra):

■ ->

- A B b-a a+b f= a + — =an------ = ------ .

Az f helyvektor ismeretében áttérünk a koordinátákkal történő szá­molásra.

b) A z AB szakasz végpontjainak koordinátái; B{x2,y 2), a felező­pont koordinátái: F{x,y).

A kapott — eredménynek megfelelően a vektorok koordinátái­

val műveleteket végzünk (lásd 123. oldal). Az F(x,y) felezőpont koor-

174 175

KOORDINÁTA-GEOMETRIAJ ISMERETEK

dinátái:í= X1+X2

2

Eredményünk tömör Összefoglalása:

A felezőpont helyvektora a+b

A felezőpont koordinátái __ X1+J2

Szakasz min arányú osztópontja

Az AB szakasz végpontjainak helyvektorai: a{xi,yi), h{x2,y'^- A sza­kaszt ^zAP.'PB^m-.n arányban osztóPpont helyvektora: p(x,y).

A zA S szakaszt -gondolatban - osszuk félm+n részre (181. ábra). Ha a P pontot úgy jelöljSc ki, hogy az m+n darab szakasz közül az^4 pont fe-

m'AÍBlől m, a 5 pont felől n legyen, akkor és így A P = ---------.

^ m+nA P osztópont p helyvektora:

m 'Á B m (b-a) ma-i-íza-i-mb-ma na+mb > = a+ -■ =a+— -----—=---------------------- = ----------- .p = a+AP = a+-

m+n m+n m+n m+n

181. ábra 182. ábraA z A B szakasz végpontjai v4(xi,7 i), B{x2,y2) az m\n arányú osztópontja:

P(x^). A vektorok koordinátáival műveleteket végezve, kapjuk:m+n

nyi+my2m+n

KOORDINÁTA-GEOMETRIAI ISMERETEK

Összefoglalva: ^ 5 szakasz m:n arányú P osztópontjának

helyvektora koordinátái

p= /ja+mbm+n

nxi+mx2m+n

m *m y2m+n

Megjegyzés;1. Ha azm :« arány 1:1, akkor a P osztópont a felezőpont.2. A harmadoló pontokból kettő van (182. ábra). A zA -hoz közelebbi

Q pon trav4ö :ö5= l:2 és helyvektora; q= . A zA -t6 \ távolabbi

(B-hez közelebbi) R pontra; AR :R£ =-2:l, helyvektora: r = .

Háromszög súlypontja

Az elemi geometriából ismer­jük a háromszög súlyvonalának definícióját és a súlypontra vonat­kozó tételt. Ezeket most felhasz­náljuk.

Az ABC háromszög há­rom csúcspontjának helyvektora: a(-ri,yi), A há­romszög S súlypontjának helyvek­tora s(x,_y).

Felírjuk az A csúcspontból ki­induló súlyvonal másik végpontjá­nak, p-nek a helyvektorát, majd az AF szakaszt 2:1 arányban osztó S pont helyvektorát (183, ábra):

183. ábra

f= b+cs=-a+2f a+b+c

A háromszög csúcspontjai: A(xi,yi), B(x2,y 2), C(x2,y 3), súlypontja S(x,y). Az s helyvektorra kapott összefüggésnek megfelelően a koordi-

J76 177

KOORDINÁTA-GEOMETRIAI ISMERETEK KOORDINA TA-GEOMETRIAI ISMERETEK

\nátákkal műveleteket végzünk. A súlypont koordinátái; ;c = -

X^+X2+X2,3

yi+yi+y^^ 3 '

összefoglalva: .4z ABC háromszög S súlypontjának

helyvektora koordinátái

s=-a+b+c X1+.V2+X3

>’i+y2+y3v =

Vektor hossza, két pont távolsága

K é t vektor skaláris szorzatának tárgyalásánál (lásd 122 oldal) megál­lapítottuk, hogy egy vektor hossza, azaz abszolútértéke a vektor négyzeté­n e k négyzetgyöke: l a | = ^ . Az helyvektorokkal meg­a d o t t á abszolútértéke, az szakasz hossza (184. á b r a ) : ^ = U ^ l -

Az A B szakasz >'].)>B{x2,y:i) végpontjainak koordiná­táival is felírjuk a szakasz hosszát, azaz a két pont távolságát. (Ezt d- vel is szoktuk jelölni.) A felíráskor felhasználjuk, hogy a koordinátái­val megadott vektorok skaláris szorzata a megfelelő koordináták szorzatának az összege (lásd 124.oldal): d=AB = Í{x2-x^f+(yi-yiY- (A d távolság az ábra alapján Pithagorasz tétellel is meghatároz­ható.)

Összefoglalva:

A z A B abszolútértéke:

184. ábra

Az AB szakasz hossza, két pont táx’olsága:

Az egjenes helyzetét jellemző adatok

Két különböző pont egyértelműen meghatároz egy egyenest. Ha az egyenesnek csak egy pontját adjuk meg, akkor helyzetének egyértelmű megadásához még valamilyen további adatra is szükségünk van.

A koordinátasíkon egy egyenes helyzetét egyértelműen meghatározza: egy pontja és egy irányvektora, egy pon^’a és egy normálvektora, egy pontja és irányszöge,egy pontja és az iránytangense (ha létezik iránytangense).

Az irányvektor, normálvektor, írányszög, irán^langens fogalmát defi­niálnunk kell.

Definíciók;Egy egyenes irányvektora az egyenessel egyállású bármely vektor, amely

nem nuUvektor. Jele: v(vj^;v2).A koordinátasíkon egy egyenes normálvektora az egyenesre merőleges, a

nuUvckíortól különböző bármely vektor. Jele: n{A\ B).A koordinátasíkon egy egyenes irányszöge az egyenesnek és az x tengely­

nek a 185. ábrán jelzett hajlásszöge. Ezt tanácsos -90°<o:á9(f inter\'aUum- ban lévőnek tekintenünk.

A koordinátasíkon egy egyenes irányszögének tangensét (ha létezik), az egyenes iránytangensének nevezzük. Jele: m=tga. { A z x tengelyre merőle­ges egyeneseknek nincs iránytangensük.)

185. ábra 1S6. ábra

d=AB = i{x2-x^'^+iy^-ylf ■Az előző fogalmak közötti összefüggéseket egy példa segítségével mu­

tatjuk meg:

m 179

Adott azA(-5; -1), B(-2; 3) pontokra illeszkedő egyenes (186. ábra). Egyik irányvektora Áe=v(3; 4 ) . de e n n e k minden c (c /0) konstansszorosa

is irányvektor. így irányvektorok a (6; 8), (-3; -4), (1; 1 ).... koordinátájú

vektorok is.Egy egyenes bármely irányvektorából norm.álvektort kapunk, tia azt

90°-kal elforgatjuk. (Ekkor a két koordinátája felcserélődik és az egjak előjelet vált.) Az ábra AB egyenesének egyik normálvektora n(4; -3), de normálvektorai a ( -4; 3), (8; - 6), (-16; 12) ,... koordinátájú vektorok is.

A 186. ábrán a v(3 ; 4) vektornál is láthatjuk az egyenes a irányszögét. Az m iránytangens ennek tangense, így ez felírható az irányvektor koordi­

nátáiból: "I = ^ • A tangenstáblázatból történő visszakereséssel megkapjuk

az egyenes irányszögét (m = l ,333-ből a=53°7’).

KOORDINÁTA-GEOMETRIAI I S M E R E T E K ___________________ KOORD1NATA-GEOMETRIA1 ISMERETEK

m . á b r a

Általában:A v(vj; V2) irányvektorú- egj'enes egyik normálvektora: n(v2, -vi),

iránytangense: m (vi#0).

Az A (ii;yi), B(x2;yi) pontokra illeszkedő egyenes (187. ábra) egyik irányvektora v(x2-x::>'2-}i), egyik normálvektora: n(y2' yhXrX 2), iránytan-

gense:m= (xi#.£2)-X2-X1

Az m iránytangensű egyenes (188. ábra) egyik irányvektota: v(l, m), egyik normálvektora: n(m; - 1).

Egyenesek párhuzamosságának, merőlegességének feltétele

Me^izsgáljuk, hogy párhu2amos, valamint egymásra merőleges egye­nesek irányvektora, normálvektora, irányszöge, iránytangense között milyen kapcsolat van.

Tekintsük az e ’ és e” egyeneseket, Irányvektoruk v’ illetve v”, normál­vektoruk n ’, illetve n”, irányszögük a ’, illetve c/’, iránytangensük m i l l e t ­ve m ” (189. ábra).

I. Ha a két egyenes párhuzamos, akkor v’=c-v” (c konstans, c#0), n’=c*n” (c konstans, ct^O), or’= a ”. Mivel a tangensfüggvény a ]-90P; 90‘’[ intervallumban monoton (növekvő); m ’- m ”.Fordítva is fennáll; Ha az irányvektorokra, normálvektorokra, irány- szögekre, iránytangensekre fennáll az előző feltételek egyike, akkor a két egyenes párhuzamos.Az iránytangenssel nem rendelkező eg>'enesek merőlegesek az x tengelyre, azok egymással párhuzamosak.

n . Ha az e’ és az e” egyenes merőleges egymásra, akkor az irányvekto­raik is 90P-OS szöget zárnak be. Ezért a két egyenes merőlegességének feltétele az, hogy a v’, v” skaláris szorzata 0 legyen. Mivel v’=vi’i+v2’j; v” =vi”i+v2”j, skaláris szorzatuk (koordinátáikkal számolva); Vj’vi”+ +V2’v2”= 0. Ezt úgy alakítjuk át, hogy az m ’, m ” iránytangenshez jus­sunk (ha azok léteznek):

1, , S , » _ 2 _ 1 _ ^V2V2 ---V-iV-i , — ----V2Vl

, azazm '= -

Szavakkal megfogalmazva: Ha két egyenes egymásra merőleges és mind­kettőnek van iránytangense, akkor a két iránytangens egymásnak ellenkező előjelű reciproka.

m181

KOORDINATA-GEOMETRIAI ISMERETEK

Előző gondolatmenetünk megfordítható; Ha két egyenes iránytangense egymásnak ellenkező előjelű reciproka, akkor a két egyenes merőleges egy­másra.

Ha két egyenes közül az egyiknek nincs iránytangense, és a másik iránytangense 0, akkor a két egj’enes egymásra merőleges. (Az első merő­leges az ten g e ly re , a másik párhuzamos vele.)

Egyenes egyenlete, vonal egyenlete

Két különböző pont, vagy egy pont és valamilyen más adat egyértel­műen meghatároz egy egyenest. További pontokról hog>'an dönthető ei, hogy azok illeszkednek-e az egyenesre, vagj' nem?

Összefüggést kell keresnünk az egyenest meghatározó adatok és az egyenes tetszőleges pontja között. A megfelelő összefüggést az egyeneí egyenletének nevezzük.

A z egyenes egyenlete olyan egyenlet, amelyet az e^enes bármely pontjá­nak a koordinátái kielégítenek és nem elégítik ki az olyan pontok koordinátái, amelyek az egyenesnek nem pontjai.

Az egyenes egyenletének a fogalmát általánosítjuk. Bevezetjük a vo­nal egyenletének fogalmát.

Egy vonal (egyenes, kör, parabola,...) egyenletének olyan egyenletet neve­zünk, amelyet a vonal bármely pontjának a koordinátái kielégítenek és nem elégítik ki az olyan pontok koordinátái, amelyek a vonalnak nem pontjai.

Az egyenes egyenletének felírása

Egy egyenest többféle módon adhatunk meg. Az a célszerű, ha az egyenes egyenletét -elsőként - egy pontjának és normálvektorának az ismeretében írjuk fel.

Normálvektora adott

Adott az egyenes Po(jco;yo) pontjának ro(A:o;yo) helyvektora és n(A-,B) normálvektora (190. ábra). Az egyenes egy tetszőleges P{x\y) pontjának helyvektora r(j:;y).

Az egyenes egy irányvektora a PoP=r-ro vektor, PoP= (jí-JCo)'+()'"yo)j---->Az egyenes n normálvektora és PqP irányv-ektora egymásra merőleges,

182

KOORDINÁTA-GEOMETRIAI ISMERETEK

skaláris szorzatuk: n(r~ro) =0. Ezt az egj'enes vektoregyenletének nevezzük. Koordináták segítségével érdemes átalakítanunk:

04i+őj)[(x-.ío)i+(y-yo)j]= 0.A{x-X(j)+B(y-yQ) = Q,

Ax+By = ^ 0+5^0

Az utolsó sorban az egyenes normálvekiorának koordinátáival felírt egyenletének olyan egyszerű az alakja, hogy ezt érdemes emléke­zetünkben tartani, A következők­ben ennek segítségével írjuk fel az egyenesek egyenletét:

Például: A Po(5; -3) pontra illeszkedő n(-2; 7) normálvektorú egye­nes egyenlete azonnal felírható: -2i:+7>' = -10-21, rendezve: 2r-7>'=31.

Irányvektora adott

Ha az egyenest a í ’o(a:(];>'o) pontjával és v(vi; v ) irányvektorával adjuk meg, akkor is Ax+By =AxQ+ByQ alakot használjuk az egyenlet felírásá­hoz. Ugyanis most n{v2, -Vi). Az irányvektor koordinátái segítségével felírt egyenlet:

V2Í-V i>’ = VaTo-Vi)-Q vagy V2(x-Xo) -Vi(y->'a) = 0.

Például; A Fo(“4; 1) pontra illeszkedő v(-3; 2) irányvektorú egj'enes egyenletének felírása: n(2; 3), 2t+3y= -8+3, rendez\’e; 2x+3y=-5.

Iránytangense adott

Ha az egyenest a Pnixaiyo) pontjával és m iránytangensével adjuk meg, egyenletének feh'rásához akkor is használhatjuk az Ax+By-Axq+Byq alakot. Ugyanis most v(l; m), n(m; -1), ezért az egyenes egy'enlete:

ez rendezve:mx-y = mxc-yQ,

y-yü = (^-Xü)‘

Erre azt mondjuk, hogy ez az egyenes iránytényezős alakja. (Érdemes meg­jegyeznünk.)

m

KOORDINÁTA-GEOMETRIAI ISMERETEK

Például: APg(5; -2) pontra illeszkedő és m =3 irán^angensű egyenes egyenlete:^+2=3(x-5), Tendezve:y=3r-17. Ez az utóbbi alak általánosan:

y = mx+b,

ebben az alakban x együtthatója az iránytangens, a konstans b az y ten­gely metszete.

Két pontja adott

Ha az egyenest két pontjával, a Fi(xi,yj), F2(^2’,y 2) pontokkal adjuk meg, akkor egyik irányvektora: v(x2-xi;y2~yi), egyik normálvektora:

iránytangense: m {xi¥^x^.X2-X1

Egyenletének alakjai:

<y2-yi>-{ 2-xi)y=(y2-yi)xHx2-x-i)yi, (y2-yi)(x-xi)-{x2-xi)(y-yi) = 0.

Speciális helyzetű j e n e s e k egyenlete

Az n(/4; B) normálvektorú és a Po(0; 0) origóra illeszkedő egyenes egyenlete: vir+5y = 0. (Az egyenlet­ben a konstans tag 0.)

Az X tengellyel párhuzamos és a/*o(«oíyo) pontra illeszkedő egye­nes egyenes egyik normálvektora: n(0; 1), egyenlete: y=;yo (191. áb­ra).

Az y tengellyel párhuzamos és a P\{xy\y^ pontra illeszkedő egye­nes egyenes egyik normálvektora: n(l; 0), ezek egyenlete: jc-jcj. 191. ábra

Az egyenes és az elsőfokú kétismeretlenes egyenlet

Bármilyen helyzetű az egyenes, bármilyen adatokkal határoztuk meg, az egyenes egyenlete elsőfokú kétismeretlenes egyenlet. Rendezéssel az

Ax+By+C = 0

184

KOORDINÁTA-GEOMETRIAI is m e r e t ^

alakra hozhatjuk. Ebben az alakban A , B sa. egyenes normálvektorának két koordinátája: n{A, B). A z A , B , C együtthatók között 0 is lehet. (Az ( A ^ ) számpár (0;0) nem lehet.)

Megmutatjuk, hogy bármilyen elsőfokú kétismeretlenes egyenletet adunk meg, az egy egyenesnek az egyenlete.

HaABCi^O, akkor az.í4a:+^+C=0 egyenlet általános helyzetű egyenes egyenlete (az egyenes nem illeszkedik az origóra, egyik tengellyel sem párhuzamos).

Ha ^ = 0 és 5C#0, akkor By+C = 0, =konstans az x tengellyel párhu­zamos egyenes egyenlete.

H a 5 = 0 és.f4C/0, akkor At+C=0, x=konstans azy tengellyel párhu­zamos egyenes egj'enlete.

Ha C = 0 és akkor az origóra illeszkedő egyenesegyenlete.

H a ^ = 0, C=Oés 5 /0 , akkor í^=0,>>=0 az;c tengely egyenlete.Ha 5= 0 , C=0 é s ^ / 0, akkorXr=0,A:=0 az_y tengely egyenlete.

Két egyenes metszéspontja, két vonal közös pontjai

Két egyenes metszéspontjának koordinátái mindkét egyenes egyenle­tét kielégítik. így a metszéspont koordinátái a két egyenletből álló elsőfo­kú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása. A metszéspont koordi­nátáinak meghatározása az egyenletrendszer megoldását kívánja.

Ez a gondolatmenet azt is megadja, hogy két vonal (egyenes és kör; két kör; parabola és egyenes; ...) közös pontjainak a koordinátáit a két vonal egj'enletéböl álló egyenletrendszer megoldásával kapjuk meg.

Kör egyenlete, a kör és a másodfokú kétismeretlenes egyenlet

Adott a C(u; v) középpontú és r sugarú kör (192, ábra). A közép- ponttól a körvonal bármely -P(,x;^) pontja r távolságban van. Ezért CP== i(x-u)^+(y-vf=r. Ez rendezett alakban:

(x-u)'^+(y~v)'^ = r . (1)

185

KOORDINA TA-GEOMETRLAI ISMERETEK

J iEzt az egyenletet az («; v) kö­

zéppontú r sugarú körvonal min­den pontjának a koordinátái kielé­gítik és más pont koordinátái nem elégítik ki. Ez az egyenlet a kör egyenlete.

Az (1) alak mutatja, hogy bár­mely kör egyenlete másodfokú kétis- meretlenes egyenlet. Kérdéses azon­ban, hogy bármely másodfokú két- ismeretlenes egyenlet körnek az egyenlete-e.

A másodfokú kétismeretlenes egyenletek általános alakja:

Ax^+By~+Cxy+Dx+Ey+F=0. (2)

A kör egyenletének (1) alakjából látjuk, hogy abban nem szerepelhet j^- os tag és azt is látjuk, hogy P , együtthatója eg>'enlö. Ezért, hogy a (2) kör egyenlete legyen, az egj'ütthatóira szükséges a C = 0 és az A =B feltétel. A (2) alakú egyenlet helyett csak az

Ax^+Ay^+Bx+Cy+D = 0 (A^O) (3)

alakú másodfokú kétismeretlenes egyenletek állíthatnak elő kört. Azt még külön kell vizsgálnunk, hogy ezek valóban elÖállítanak-e kört. Hogyan juthatunk el a (3) alakú egyenletből az (1) alakú egyenlethez? A (3) egyenletet elosztjuk yl-val majd teljes négyzetté kiegészítésselpróbálkozunk:

B C Dx‘ +y + — x+— y + ~ = 0,A

^ 1 2 cx + ----2A

+

A

DH----A

2

cJ C - I- ------------

2 ^ .

+

,

44- 442

B^+C--4AD44^ (4)

Ez az egyenlet akkor és csak akkor állít elő kört, ha a jobb oldalán (az A nek m e^elelö helyen) pozitív szám áll, azaz B^+C^>4AD.

Összefoglalva: Egy másodfokú kétismeretlenes egyenletnek három fel­tételt kell teljesítenie, hogy az kör egyenlete legyen:

1. A z egyenlet ne tartalmazzon xy~os tagot.

m

KOORDlNATA-GEOMETRIAl ISMERETEK

2. A z egyenletben az j^-es és az y^-es tag együtthatója (0-tól különböző) azonos szám legyen,

3. Teljes négyzetté kiegészítéssel az (x-u'f-+(y-v)~~r^ alakra átalakítva^ a jobb oldalon pozitív szám álljon.

A z előzőekben a (3) alakú egyenletet átalakítottuk (4) alakúra. Ez lehetővé teszi, hogy a kör középpontjának (w; v) koordinátáit és r sugarát

H Cfelírjuk a (3) alakú egyenlet eg)'ütthatői segítségével; u = “ - 7 7 , v - ~ 24

.Ezt az eredményt azonban felesleges megjegyeznünk. Az

átalakítás gondolatm enete a fontos, annak módszerét kell ismernünk.

Két kör metszéspontja, kört érintő egyenes

Az eddig áttekintett koordináta-geometriai ismeretek sokféle módon alkalmazhatók. A következőkben két olyan példát mutatunk, amelyek megoldásának gondolatmenete újdonságot nem jelent, de tanulságait érdemes megjegyeznünk.

(x -4 )2 + (y -5 )2 = 10

+ (V+ 1)2= 13

2 x - 3 y = 14

\ \0 ' ^ ' '

P i a ; -4)

194. ábra

(a— 1)2 + 1)2 = 25

193. ábra

1. Határozzuk meg az (jc-l)"+(v+l)^=25 és az (jt:-4)^+(y-5)^ = 10 egyenle­tű körök közös pontjainak koordinátáit (193. ábra).Már láttuk (185. oldal), hogy hasonló feladatoknál a két egyenletből álló egyenletrendszert kell megoldanunk:

(x-l)V(y+l)2 = 25

(.x-4)2+(y-5)2=10

rendezve xKy'^-2x.+2y= 23

x V - 8 i - l í ^ ’=-31

Ha a két egyenlet különbségét vesszük, akkor elsőfokú kétismeretle­nes egyenlethez jutunk, ez 6x+12y = 54, egyszerűbben: x+2y = 9. Ez

187

KOORDINATA-GEOMETRIAI ISMERETEK

egyenes egyenlete. Ennek szemléletes értelmet adhatunk, ugyanis a két kör metszéspontjainak koordinátái kielégítik mindkét másodfokú egyenletet és azokx+2>' = 9 következményét. így ez a két kör metszés­pontjaira illeszkedő eg>'enes egyenlete. A két kör metszéspontja az

j^+/-2x+2y = 22> 1

x+2y = 9 Jegyenletrendszer megoldása: M i(l; 4), MjÍS; 2)

2. írjuk fel az (x+l)^+(y+l)^=13 egyenletű kör ?o(l; -4) pontjához tarto­zó érintőjének egyenletét (194. ábra).Mivel az érintési ponthoz tartozó sugár és az érintő egyenese egymás­ra merőleges, megkeressük a sugár irányvektorát. Ez azonos az érintő normálvektorával.

A / ’oCl; "4) ponthoz tartozó sugár irányvektora: CPo(2; -3),A P o (l‘. "4) ponthoz tartozó érintő noimálvektora; CFo(2; -3).

Az érintő egyenlete: 2x-3y= 14.

A parabola csúcsponti egyenlete

Mi olyan paraboláknak az egyenletével foglalkozunk, amelyek tenge­lye párhuzamos a koordináta-rendszer egyik tengelyével.a) Elsőként olyan helyzetű parabolát tekintünk, amelynek tengelye azy

tengely, tengelypontja az origó és a parabola a koordináta-rendszer I. és II. negyedében van (195. ábra). Az ilyen parabolát már egyértel-

tnfíen meghatározza ap paramétere. Fókuszpontja: F(0; y ).

Egyenletének felírásához a definíciója a kiindulópont: d{P',F)~diP-,v),- t

Jl. . p 1X +1

A z egyenlet mindkét oldalán távolságok szerepelnek, ezek nem lehet­nek negatív számok, így mindkét oldal négyzetre emelésével ekviva­lens átalakítást végzünk:

2 2 x^-*y^-py+— =y'^+py* ~ .

Rendezve7py=x- a vagy y=

1

188

KOORDINÁTA-GEOMETRIAl ISMERETEK

Ezt az origó tengelypontú F(0; y ) fókuszpontú/?amí>oto tengelyponti

vagy csúcsponti egyenletének nevezzük.

b) A z előző parabolát tükrözzük az a: tengelyre (196. ábra). E transzfor­

máció miatt ennek egyenlete:y = - ^ ^ x^.2p

1c) Az elsőként tárgyalty = —— x egyenletű parabolát tükrözzük az y=x2p

egyenesre, ekkor a parabola tengelye az x tengely lesz (197. ábra). Ennél a tükrözésnél a két tengely és azx ,y koordináta felcserélődik.

Az ilyen helyzetű parabola egyenlete; x= — rendezve: =2p

d) Az előző parabolát tükrözzük azy tengelyre (198. ábra). A transzfor­máció miatt ennek a parabolának az egyenlete: =

19& ábra

A z előzőekben tárgyalt parabolákat eltoljuk a koordinátasíkon egy (u; v) vektorral. Ekkor, az új helyzetben, a tengelypontjuk a T{u; v) pont

m

KOORDINATA-GEOMETRIAI ISMERETEK KOORDINÁTA-GEOMETRIAI ISMERETEK

lesz. Ha ezeket az új helyzetű parabolákat -v) vektorral toljuk el, akkor visszajutunk az eredeti helyzetű parabolákhoz. Ennél a „visszato­lásnál” minden Pix\y) pontból P’{x-w,y-v) lesz. Ennek a P ’ pontnak a koordinátáiban szereplő x ,y zz eltolt új helyzetű parabolák koordinátái. A P ' pontok kielégítik az eredeti helyzetű parabolák egyenletét. Ezért fel­írhatjuk az egyenletüket.

d)

199. ábra

A 199. ábra a) - d) részén láthatók az eredeti helyzetből (u; v) vektor­ral eltolt parabolák. Ezek egyenletei, rendre:

a) y-v =2p

(x-uf . b) y-v = ~ ix -u f .

d) (y-v f=-2p{x-uf.

A parabola és a másodfokú függvény

A másodfokú függvények tárgyalásánál a grafikus képük ;v=ax^+&jc+c egyenletű vonalára azt mondottuk, hogy azok azy tengellyel párhuzamos tengelyű parabolák. Ez igaz, de az is szükséges, hogy megvizsgáljuk azt, vajon a grafikus kép pontjai eleget tesznek-e a parabola definíciójának. Most ezt megtesszük.

Megvizsgáljuk, hogy minden >’=ajc^+öjc+c (űí^O) egyenletből elju­

tunk-e az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabolák y~v=zr~2p

y-v=- egyenletéhez.

A z y=ax^+bx+c egyenletben teljes négyzetté kiegészítést és további átalakításokat végzünk:

y=a(x^+— x)+c, a

y = a

y = a

b^-4acy+— -----------

4a

í ^ ' >• 1 b ]2a 41^ J

• b 2 b

+c,

x+-

x+-

2a

2a

4a+c=a x+-

2a

2 k2b -4ac 4a

Ebből az alakból már látjuk, hogy valóban eljutottunk azy tengellyel pár­huzamos tengelyi parabolák egyenletéhez. Megállapíthatjuk a parabola jellemző adatait is:

k [2p P = 2\a\ ’

u = --2a

v = -b^-4ac

4a

Ezzel a gondolatmenettel vált megalapozottá az az állításunk, hogy a másodfokú függvények képe parabola.

Parabolát adott pontjában érintő egyenes egyenlete

A parabola érintőjét értelmeztük (137. oldal). Az érintő egyenletének fe lírást egy példán mutatjuk be.

íijuk fel az_y= ^ parabola Pq(4\ 2) pontjához tartozó érintő egyen­

letét (200. ábra).Az érintő egy pontja adott:

Pq(4\2). Egyenletének felírásához > = szükségünk van egy további adat­ra. Legkönnyebbnek az iránytan- gensének meghatározása látszik.^rányvektorának, normálvektorá­nak két koordinátája van.) Az iránytangens egyetlen adat és az y tengellyel párhuzamos egyenesek­nek nincs iránytangensük, az iránytangenssel dolgozva nem jut­hatunk olyan egyeneshez, amelypárhuzamos ennek a parabolának 200. ábra

y = X - 2

m = 1

190 191

KOORDINATA-GEOMETRlAI ISMERETEK

a tengelyével. (Ilyen egyenes nem érintője a parabolának).íijuk fel aPg(4; 2) ponton áthaladó m iránytangensű egyenes egyenle­

tét és tekintsük paraméternek m-et:

8y = mx-Am+2

Az egyenletrendszer megoldása adja a parabola és az m iránytangensű egyenesek közös pontjainak koordinátáit. Egyísmeretlenes paraméteres másodfokú egyenlethez jutunk:

x^ = na-^m+2,8

jc^-8mx+16(2m-l) = 0,

Most az érintő egyenes iránytangensét keressük, ezért a parabolának és az egyenesnek csak egy közös pontja lehet. Az m param,éternek olyan ér­tékét kell keresnünk, amelynél az egyenletnek csak e ^ gyöke van. Azt az m értéket kell megkeresnünk, amelynél az egyenlet diszkriminánsa 0.

64m^~64(2m-l) = 0, m^-2m+l = 0,

m = l,

APq{4; 2) pontra illeszkedő érintő egyenes iránytangense: m = l, egyenle­te >-=x-2.

A matematikai ismeretek mellett, azok biztos és gyors alkalmazásához megfelelő gyakorlat is kell. A fogalmak és tételek közötti kapcsolatok is­merete nélkülözhetetlen a matematikai problémák felismeréséhez, fela­datok megoldásához, de a kellő gyakorlat biztosítása további elmélyült munkát kíván.

XIX. K O M B I N A T O R I K A

Lényeges felismerésekhez vezethetnek a lehetséges esetek, esem é­nyek elem zései, a lehetséges sorrendre, lehetséges kiválasztásra adandó h ely ^ válaszok is. Tekintsük például a következő feladatokat;

Öt darab tárgyat 4 dobozba helyezünk. A többféle lehetőség vizsgála­tából megfogalmazhatunk-e valamilyen általános érvényű igaz állítást?

Hányféle sorrendben válthat jegyet egy pénztámáJ 6 ember?Két különböző teremben, eltérő témáról, egyidejűleg folyik egy-egy

előadás. Hányféle módon választhat 6 ember, ha mindegyikőjük meg akaija hallgatni az előadások egyikét?

Ezek egyszerűeknek látszó kérdések, de vizsgálatuk általános érvényű igaz állítások felismeréséhez is vezethetnek.

A matematika kombinatorikának nevezett fejezete - többek között - az ilyen típusú feladatokkal is foglalkozik.

A matematikai problémák megoldásához mozgékony és alkotó gondol­kodás kell, és természetesen megkönnyíti a megoldást a problémakörhöz kapcsolódó matematikai fogalmak, tételek ismerete. 4 kombinatorikai fel­adatok megoldásához főleg hajlékony gondolkodás, sokféle ötlet szükséges, a „formális” matematikai ismeretek („képletek”) gyakran m ellékessé váinak.

A kombinatorikai problémák köziú a középiskolában csak néhány na­gyon egyszerűvel foglalkozunk.

A „skatulya-elv”

a) Négy doboz van előttünk, azokba 5 tárgyat szándékozunk elhelyezni. Próbálkozás nélkül Is felismerhetünk egy igaz állítást: Legalább egy dobozba legalább két tárgyat kell tennünk. (Ezt indirekt titon igMolha^uk. Ugyanis, ha erőkbe se tennénk legalább kettőt, akkor mindegyikbe legfeljebb csak egyet tehetnénk és ekkor legfeljebb négy tárgyat helyezhetünk el.)Ezt a magától értetődő igaz állítást ,,5to/«/)í<i-e/v'"'-nek nevezzük. Álta­lános megfogalmazása:Ha n dobozba n+1 darab tárgyat teszünk, akkor legalább egy dobozba

legalább kettőt keli elhelyeznünk.b) Az előzőekhez hasonlóan, ha 4 dobozba 9 tárgyat helyezünk, akkor

legalább egy dobozba legalább hármat kell tennünk.A skatulya-elv általánosabb megfogalmazása:Ha n dobozba nk-vl darab tárgyat szándékozunk elhelyezni, akkor lega­

lább egy dobozba k-^1 -et kell termünk.

192 193

KOMBINATORIKA

Megjegyzés:1. Nyilvánvaló, hogy ebből az utóbbi megfogalmazásból k = l esetén az

előzőt kapjuk.2. A skatulya-elv magától értetődő állítás, külön elnevezést mindössze

azért kapott, hog\' feladatok megoldása közben röviden tudjiink rá hi­vatkozni. (Például: „Igaz-e, hogy 25 ember között mindig van leg­alább 3, aki azonos hónapban született?” A válasz: skatulya-elv alapján igaz.” Most « = 12 hónap, ez a 12 „skatulya” és fc=2.)

A logikai szita

1. A kétjegyű természetes számok között hány darab olyan van, amely nem oszható sem 2-vel, sem 3-mal, sem 5-tel?a) A kétjegyű természetes számok 90 elemű halmazát tekintsük H

alaphalmaznak és Venn-diagrammal ábrázoljuk a 2-vel osztható, a3-mal oszható, az 5-tel osztható számokból álló részhalmazait, az A , B, C részhalmazokat (201. ábra). Feladatunk szerint a

halmaz elemeinek a számát kell meghatároznunk. Ez 24, azaz 24 kétjegyű szám nem oszható sem 2-vel, sem 3-mal, sem 5-tel.

H14 lö 22 26 2%

32 34 38 44 46 .■52 56 58 62 64 68 74 76 82 86 88 92

18 24 36 42 48 54 66 72 78 84 96

21 27 33 39 51 57 63 69 81 87 93 99

II 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 4953 59 61 67

201. ábra

A kívánt elem ek összeszámlálását köímvíivé tette a Venn-diagrammal történt szemléltetés. Ezt a módszert azonban nehezen alkahnazhatnánk, ha az alaphölmaznak négy (vagy több) tulajdonsággal nem rendelkező elem einek a számát kellene meghatároznunk. Ezért az előző példa segítsé­gével más módot is keresünk a három tulajdonsággal nem rendelkező ele­mek számának a meghatározására.

ö) Az összeszámlálás lépései a következők; a) A z alaphalmaz

Meghatározzuk az A részhalmaz elemeinek a számát, ez 45 (mert a 90 szám közül minden második osztható 2-vel), ugj’anígy a B rész­halmaz elemeinek száma 30, a C részhalmazé 18. Nyilvánvaló, hogy az egy tulajdonsággal rendelkező elemek nem lehetnek a

H\{A\JB\JC) halmaz elemei. Ezek elemeinek csökkentjüka //.alaphalmaz elemeinek számát; 90-(45-^30-1-18).

y ) A különbség azonban nem adja meg a keresett számot, mert az AC\B, BC\C, Cf\A részhalmazok elemeinek a számát kétszer vettük el. Ezek elemszámát, azaz a két tulajdonsával rendelkezők számát is meghatározzuk. A zA H B halmaz elemei a 2-vel és 3-mal, azaz 6-tal oszthatók, ezek száma 15. A B O C halmaz elemeinek a száma 6, a CDA halmazé 9. Ezek összegét hozzáadjuk az előbbi különbséghez: 90-(45+30-H 8)+(15+6+9).

őj A kapott számot még módosítanunk kell. Ugyanis amikor az alap­halmaz 90 eleraszámát csökkentettük 45 +30+18-cal, akkor az y in s n c halmaz elemeinek számát, azaz a három tulajdonsággal rendelkezők számát háromszorosan vettük el, a 15+6+9 hozzáadá­sával pedig háromszorosan adtuk hozzá. Ezért az előző kifejezést a z ^ n s n c halmaz elemeinek a számával, azaz 3-mal csökkente- nünk kell. így a három tulajdonsággal nem rendelkező számok da­rabszáma:

90-(45 +30+18) + (15 + 6 + 9 )-3 = 24.

Az előző feladatnak és megoldásának általánosabb megfogalmazása:N számú elem közül hány darab az olyan elem, amely nem rendelkezik az

a^ a-2, 03 tulajdonság egyikével sem?A keresett darabszámot jelöljük «-nel, az űj tulajdonsággal rendelkezők számát Af^(űi)-gyel, az űj tulajdonsággal rendelkezők számát A (ű2)-vel, ..., az és Ü2 tulajdonsággal rendelkezők számát A (<jia2)-vel, az ai és Ű3 tulajdonsággal rendelkezők számát A^(öiű3)-mal, ..., az és űj és 03 tulajdonsággal rendelkezők számát Nia^a-^a^ymdX. Ekkor

n = N - [M«i) +M «2) +M<33)J+ [A (öiíí2)+M «2ű3) +A^(«ia3)]-Nia^a^:^).Bizonyítható, hogy N számú elem közül azoknak a száma, amelyek az

a^, a-i, Ű3, Ű4 tulajdonságok egyikével sem rendelkeznek:

n=N -[W(űi)+iV(ö2)+M í23)+A^(fl4)] ++ [Niaiü^) +AXííi<23) +N{aiü^ + ' (02 4) +N{a-iaí)'\ -- +iV(űiŰ2Ű4) +N{aia. a ) +N{aja^ai)\ ++ iV(űjÖ2Ö3a4)

Hasonlóan történő összeszámlálási módot bizonyíthatunk több tulaj­donság esetén is. (A páratlan számú tulajdonságoknak eleget tevő ele­mek számát negatív, a páros számú tulajdonságokénak eleget tevő elemek számát pozitív előjellel kell vennünk.)

Ezt a módszert, amellyel most megkerestük, hogy egy halmaz elemei közül a megadott tulajdonságokkal hány eleme nem rendelkezik, logikai szitának nevezzük.

________________________________ _____________ KOMBINATORIKA

194 195

KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Sorrendi kérdések (permutációk, a permutációk száma)

2. Hányféle sorrendben válthat jegyet egy pénztárnál 6 ember?A pénztár előtt álló 6 ember bármelyike elsőként válthat jegyet.

Ez 6 lehetőség. Bárki is az első, a második jegyváltó a többi 5 ember egyike. Ez 6 '5 lehetőség. A harmadik jegyváltó a kimaradt 4 ember bármelyike lehet, ez 6 ■ 5 • 4 lehetőség. A negyedik jegyváltó a 3 ember közül az egyik, ezzel a lehetőségek száma 6 -5 *4-3. Az ötödik jegy­váltó a 2 ember egyike, a hatodik már csak egyetlen ember lehet. A 6 ember lehetséges sorrendjeinek száma 6 ■ 5 • 4 • 3 • 2 ■ 1.

Az előző szorzat áttekinthető, de felírása hosszú. A hasonló alakú szorzatokra ajánlatos bevezetnünk egy új elnevezést és egy rövid jelö­lést. Az első 6 pozitív egész szám szorzatát elnevezzük ,,6 /a/cíoriá/íj”- nak és így Jelöljük: 6!. (6! = l-2-3-4*5-6 = 720) - A pénztárnál a 6 ember 6! =720 különböző sorrendjének számát jelöljük: Ps-tal: Pf = 6\ = 120.

A faktoriális fogalmának definíciója;Az első n pozitív egész szám szorzatát „n faktoriális”-nak nevezzük és n!

jellel jelöljük: n!= 1 ■2-3...{n-l)n.

A definícióból következik: n!=(n-})!n. Megállapodunk abban, hogy 1! = J. Azt szeretnénk, hogy az (« -l)!n= n! egyenlőség igaz legyen n = l esetén is, ezért abban is megállapodunk, hogy 01-1.3. Hányféle sorrendben válthat jegj'et eg>' pénztárnál négy nő és két

férfi, ha a nők egymás közötti és a férfiak egymás közötti sorrendjét nem különböztetjük meg?

A pénztár előtt álló 4 nő, 2 férfi jegyváltásánál, ha csak a nők és férfiak lehetséges sorrendjeit nézzük, akkor azok száma kevesebb lesz, mint a 6 ember 6! -féle sorrendje, U ^an is a nők helyén a 4 nő egymás között 4! sorrendben állhat és a férfiak helyén a 2 férfi 2! sorrendben. Ezért, ha a nők egymás közötti és a férfiak e^-más közötti lehetséges sorrendjeit nem tekintjük, akkor minden különböző helyzet 4! -2!-szo- rosan szerepel a 6! esetben. Az egymástól különböző lehetséges

sorrendek száma: — ^ = 15.4!-2!

Az előző két feladatnál valahány elem ( ember, tárgy, ....) elrendezé­sének, sorrendjének lehetőségeit vizsgáltuk. A sorrend megváltoztatását latin eredetű szóval permutálásnak nevezzük, egy-egy sorbaállítást pedig egy-eg>'permutációnak. Ha az elemek száma « = 6, és ezeket^, B , F-fel jelöljük, akkor ezek cg}' permutációja ABCDEF, egy másik permutációja ABEFCD, .... A 6 elem egy-egy permutációja egy-egy „rendezett elem-ha­tos”.

A 2. feladatnál a 6 embert egy 6 elemű halmaznak tekinthetjük és a permutációk számát keressük. A feladat lényege:

Egy n elemű halmaz permutációit, vagyty az n különböző elemmel felír­ható „rendezett n-eseket” képezzük és megállapítjuk ezek számát.

A 2. feladatnál n=6, A látott gondolatmenetet n elemű hal­maznál is alkalmazhatjuk, ezért az a sejtésünk, hogy az n elemű halmaz permutációinak a száma7^„=n!.Állításunkat teljes indukcióval bizonyítjuk.

a) n = l esetén az állítás igaz. (Egyetlen elemet csak 1! = 1 módon ál­líthatunk sorba.)

jSj Feltételezzük, hogy n elem permutációinak száma: ni.y ) Megvizsgáljuk, vajon következik-e a feltételezésből az, hogy /i + l

elem permutációinak a száma (« + l)!. Ez valóban következik, ugyanis a sorrendbe állításnál az első elemet /2 + 1 féle módon vá­laszthatjuk, utána n elemünk marad és azok permutációinak a száma (a feltételezés szerint) n!. Ezért az összes lehetőség; («-(-l) ■«! = («-hl)!, — Ezzel sejtésünket igazoltuk, n különböző elem permutációinak a száma: P„ =n!

A 3. feladat a nők és a férfiak sorrendjének az összeszámlálását kí­vánta 4 nő és 2 férfi esetén. Ekkor nem beszélhetünk halmazról. (Hal­maznak ugyanis nincsenek azonos elemei.)

A 4 nő és 2 férfi egy sorrendje például NNNNFF. Mivel most ismét­lődő elemek is vannak, ezek lehetséges sorrendjeit ismétléses permutáció­nak nevezzük. Ezek számát is P-vel jelöljük, de kettős indexszel látjuk el. Az alsó index az összes elemek számát mutatja, a felső index külön-külön felsorolja azt, hogy az egyformákból hány darab van. 4 nő és 2 férfi esetén — a nők és férfiak sorrendjét tekintve - az ismétléses permutációk

száma; = A z a gondolatmenet, amellyel ehhez

eljutottunk, általánosítható.Ha n darab tárgyunk van és közöttük darab egyforma, n i darab

más, de szintén egyforma, ..., újabb darab ismét egyforma {n^+n2 - akkor az n tárgy ismétléses permutációinak száma:

nni

Megjegyzés; Példaként feKrJuk a) a z a , b , c , d 4 elemű halmaz elem einek a permutációit, b) 2 fehér és 3 sárga golyó ism étléses permutációit. A felírá­suknál következetesen szem előtt kell tartanunk valamüyen rendszeressé­get. A következőkben azt a rendet követjük, hogy az első, m ásodik,... e le­met mindaddig a helyén tartjuk, ameddig lehet, a cseréket a sorrend végén kezdjük, onnan szüktóg szerint haladunk előre. (Ez a lexikon címszavainak rendezési elve.)

m 197

KOMBINATORIKA

a) abcd abdc acbd acdb adbc adcb

b) ffsss fsfss fssfs fsssf

bacd badc bead bed a bdac bdca

sffsssfsfssfssf

cabd cadb cbad cbda cd ab cdba

ssffsssfsf

dabcdacbdbacdbcadeabdeba

sssff

Kiválasztási és sorrendi kérdések (variációk, a variációk száma)

4. Úszóversenyen 8 versenyző indul és az első három helyezettet arany-, ezüst- illetve bronzéremmel díjazzák. Ha mindenki egyformán esé­lyes, akkor hányféle módon lehetséges az első három díj elérése?

Az első helyezett a 8 versenyző bármelyike lehet, ez 8 lehetőség. A második helyezett a többi 7 versenyző egyike lesz, ezzel az első két helyre 8-7 lehetőség van. A harmadik helyre a kimaradt 6 ember bár­melyike kerülhet, így az összes lehetőségek száma 8 - 7-6=336.Ezt a kiválasztási és sorbaállítási eljárást variálásnak nevezzük. Az

előbbi példában 8 elem harmadosztályú variációinak a számát határoztuk meg. Ezt K-vel és kettős indexszel jelöljük, az alsó az összes elem számát jelöli, a felső index a kiválasztott és sorbaállítandó elemek számát. Ennél a feladatnál =8 ■ 7 • 6=336. - Általában:

Ha egy n elemű halmaz elemeiből lígv' képezünk k hosszúságú elemsoro­zatokat, hogy azok sorrendje is fontos és minden elemet csak egyszer válasz­tunk, akkor ezt variálásnak mondjuk. Az így kapott elemsorozatokat variáci­óknak nevezzük Ezek száma:

| / * = « ( / z - l ) ( í í - 2 ) , . . ( « - ^ + l) , (tón).Ezt az elfízü feladat megoldásának gond óla (menete alapján láthatjuk be. (Ott « = 8 , volt.) Az első helyre az « elem bármelyikét helyezhetjük, a lehetőségek száma n, a másodikra a maradék « - l elem bármelyike kerül­het, ezért az első két helynél a lehetőségek száma « (« -1 ) , hasonlóan az e l­ső három helynél n{n - l)(/j -2). Amikor a /c-adik, azaz az utolsó helyre aka- r;unk egy elem et kiválasztani, azt az n darabnál már k - 1-gyel kevesebbi51, azaz R -( /c -l)= R -^ + l elem ből választhatjuk. Ezért az összes lehetőség számát a A: tényezőből á lló /i(/z- l)(/i-2 ).„ (« -fc+ l) szorzat adja.

5. Az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 számjegyekkel hány darab háromjegyű számot írhatunk fel?

Ez a feladat hasonló az előzőhöz, azonban most nincs kizárva az, hogy egy-egy elemet többször is felhasználjunk. (Az előző feladat ér­telme ezt kizárta.)

m

KOMBINATORIKA

A háromjegyű szám első jeg>'e a 8 számjegy bármelyike lehet, a második jegye is, a harmadik jegye is. Ezért a 8 számjegy segítségével Összesen 8 •8-8 = 8^=512 darab háromjegyű számot írhatunk fel. (Közülük néhány: 111, 112, 121, 122,..., 887, 888.)Ebben a feladatban 8 elemből 3-mat úgy választottunk ki, hogy azok

sorrendje is fontos volt és a számjegyek többször is szerepelhettek. Az ilyen kiválasztásokat és rendezéseket ismétléses variációknak nevezzük. 8 elem 3-mad osztályú ismétléses variációinak a száma = gjg_mek ismétlődését a felső indexben az (i) mutatja.) Általában:

Ha egy n elemű halmazból úgy képezünk k hosszúságú elemsorozatokat, hogy azok sorrendje is fontos és egy elem többször is szerepelhet, akkor az ifyen kiválasztásohit és rendezéseket ismétléses variációknak nevezzük. Ezek száma: , .

Ugyanis a k hely mindegyikére az n elem bármelyike kerülhet, ezért az« lehetőséggel A: -szór kell számolnunk; n-n-n - ... -n =

Megjegyzés: Példaként felírjuk az a, b, c, d elem ek a) másodosztályú variációit, jSy másodosztályú ismétléses variációit.Számuk: K /= 4 - 3 = 12, j3j = 16.

ab ba ca da A) aa ba ca daac be eb db ab bb eb dbad bd cd de ac be cc de

ad bd cd dd

Kiválasztási kérdések (kombinációk, a kombinációk száma)

6. Hánj^éle módon lehetséges 8 tanuló közül - sorrendet nem tekintve - hármat kiválasztani? (Hányféle módon adhatunk 3 tanulónak egy- egy azonos ajándékot?)

A hasonló kérdések nagyon gyakoriak, ezért már régen kialakul­tak önálló elnevezések és jelölések. A kiválasztásokat kombinációk­nak (a latin combinatio szóból), az eljárást kombinálásnak nevezzük.

8 elemből 3 elem kiválasztási lehetőségeinek a számát a ír á sm ó d ­

dal jelöljük, így olvassuk: „S 3 ”. Másik jelölésmód; Cg, olvasása: „8 elem 3-ad osztályú kombinációinak száma”.

í 81A alakú számokat „binomiális együtthatóknak” nevezzük. Ezt

az elnevezést az a tétel indokolja, amelyet a következő fejezetben tár­gyalunk.

199

KOMBINATORIKA

Tudjuk, ha 8 elemből 3-mat úgy választunk ki, hogy azok sorrend­je is fontos, akkor a lehetőségek száma: 8 ■ 7 • 6. A kiválasztott 3 elem­nek 3!-féle sorrendje lehetséges. Ezért a 8 -7 -6 szorzatban minden egyes kiválasztás 3!-szorosan szerepel. Ha a sorrendtől eltekintünk,

8 7 6akkor 8 elemből 3 elem lehetséges kiválasztásának száma:

Ezért3!

8-7-63!

= 56.

8 tanuló közül hármat 56-féle módon választhatunk ki, ha a kiválasz­tás sorrendjére nem vagyunk tekintettel.Az előző gondolatmenetet alkalmazhatjuk n különböző elem fc-ad

osztályú kombinációinak a számára is.

Az utóbbi törtet érdemes (rt-A:)!-sal bővítenünk:

t n (n -l)...(« -fc+ l) ( n - k ) ( n - k - l ) . . 3 - 2 1ki (n~k)\ k \(n-k)\

A z n elemű halmaz k elemű részhalmazait az n elem k-ad osztályú kom- binácóinak nevezzük. Ezek száma tehát:

[ n i _ n(w-l)...(n-A :+l) _ «!k fc! k \ (n -k ) \ '

Nevezetes összefüggések a binomiális együtthatók között:

a) Az értelmezéséből azonnal következik az

n n

e^enlöség. Ugyanis n elemből pontosan annyiféleképpen választ­hatunk ki fc elemet, ahányféleképpen választhatjuk a kimaradó n-k elemet.

0 '0b) Külön megjegyezzük, hogy = 1. Ez következik az

n\k\{n-k)\

egyenlőségből is és az előző kapcsolatból is. Ugyanis

n' n n0 n - 0 n

200

KOMBINATORIKA

c) A binomiális együtthatók között fennáll az' n -t- n _ n-l-1 '. f c , k+1^

összefüggés. Ezt bizonyíthatjuk egyrészt kombinatorikus gondolattal, másrészt a kiválasztások számának felírásával és algebrai átalakítás­sal, (Ez utóbbi formális számolás.)

rt+1A kombinatorikai gondolat:íc+1

jelenti« -i-1 elemből k+ l elem

elem (például) n darab kisbe-kiválasztásainak számát. Legyen azn + tű és egyetlen nagybetű. Ezek közül válasszunk ki k+l darabot úgy, hogy oc) kiválasztjuk az egyetlen nagybetűt és a többi n elemből k da­rabot, nem választjuk ki a nagybetűt és az n darab kisbetűből Jlc+1

darabot választunk. Az összes kombináció száma az oc) alatti ” n összege.alatti

és a

Megiegyzés! Példaként felírjuk az a, b, c, d, e elem ek közül a) 2 elem nek 3 elemnek a. lehetséges kiválasztásaitEzek száma:

űc) ab ac ad ae

bebdbe

cdce

5

2

de

= 10.

/Jj abc acd bed cde abd ace bee abe ade bde

Együttes számuk:5 5 6

+ =

2 3 3= 20.

7. Hányféle módon lehetséges 8 tanuló között 3 egyforma ajándék szét­osztása, ha egy tanuló több ajándékot is kaphat?

Ez a kérdés lényegesen eltér az előzőtől, hiszen egy kiválasztott tanuló 2-3 ajándékot is kaphat. Az ilyen kiválasztásokat ismétléses kombinációknak nevezzük. Most ezek -vei jelölt számát elég könnyen meghatározhatjuk:

oc) Lehet, hogy 3 tanuló 1-1 ajándékot kap, ez lehetőség. ^) Le­

het, hogy 2 tanulót kell kiválasztanunk és az egyik 2, a másik 1 aján­

dékot kap a kiválasztások száma de ezt 2-vel szoroznunk kell.

mert kettőjük közül bármelyikük lehet az, aki 2 ajándékot kap. y ) Lehet, hogy egy tanuló kapja a 3 ajándékot. Ez összesen;

= 120 lehetőség.' 8 ' '8 ' •2+ ’8 '+3 2 1

201

KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

A z ismétléses kombinációk általános feladata; n elemből úgy keli kivá­lasztanunk k darabot, hogy többszörös kiválasztás is lehetséges. A z ismét­léses kombinációk számát az eddigiektől eltérő ötlettel határoz hatjuk meg. Bizonyítható, hogy ez

" kA bizonyítás gondolatmenetét az előző feladat más módszerrel

történő megoldásával mutatjuk meg:Képezzünk egy jelsorozatot, amelyben szerepel a 8 név, mindegyi­

ket /?-nel jelöljük és szerepel a 3 ajándék, ezeket ű-val jelöljük. A ta­nuló neve után {n után), ha kapott ajándékot, akkor a-t ímnk, ha nem kapott, akkor a következő nevet (egy újabb n-ei) írjuk, (így, ha példá­ul az első tanuló 2 ajándékot kapott és a negyedik 1-et, akkor a jelso­rozat: naannnannnn.) Minden jelsorozat n-nel kezdődik és mind­egyikben 8 darab n és 3 darab a van. Ez összesen 8+3 jel. Mivel min­dig n az első jel, az azt követő 8+ 3-1 jel között kell megkeresnünk azt a 3 helyet, ahol a 3 darab a állhat. A 8+3-1 jelből kell kiválaszta-

1 0 'nunk 3 darabot. Ez

8+3-1 3

= 120 lehetőség.

Az előzőekben „klasszikusnak” nevezhető háromféle feladatot lát­tunk. Nem szabad azonban arra gondolnunk, hogy a kombinatorika csak az eddigiekhez hasonló sorrendi, kiválasztási problémákkal foglalkozik. Néhány további feladattal igj'ekszünk megvilágítani a kombinatorikai problémák sokféleségét.

Binomiális tételKéttagú kifejezések hatványának rendezeti polinom alakban történő

felírásánál felhasználhatjuk a kombinációk számának kiszámítási módját, írjuk fel rendezett polinom alakban az {a+bY hatványt. A definíció

(ű+í))'‘ = (a+Zj)(ü!+ö)(íí+í))(a+í?).Minden tényezőből minden lehetséges módon kell egv-egy tagot össze­szoroznunk. A rendezett polinom alakban milyen tagokhoz jutunk?ce) A 4 tényező közül mindből az a tagot választjuk (b-t egyikből sem),

ekkor a szorzat Egyetlen ilyen tagot kaphatunk.li) A 4- tényező közül 3-ból választjuk az a tagot és 1-ből a b tagot. Szorza­

tuk a^b. Mivel a 4 tényező közül egyetlenből választottuk a b~t, ilyen41 lehetséges, ezért az így kapott tagok összege:választás1

411

a^b.

A 4 tényező közül 2-ből választjuk a-t és 2-ből b-t, szorzatuk c^b^.

Ilyen tag módon nyerhető, összegük: 21,2a^b

öj A 4 tényező közül 1-ből választjuk o-t és 3-ból b-t, szorzatuk ab^. Ilven' ' ' f 4 '

módon nyerhető. Összegük;tag ab\

ej A 4 tényező közül egyikből sem választjuk a-t és 4-ből b-t, szorzatuk

Egyetlen ilyen tagot kapunk, ezt írhatjuk

Tudjuk

rendezett polinom:'4

0

= 1, ezért az aj esetben helyett

b" alakban is.

is írhatunk. A

{a+br = '4a%+ '4 '

a V + [4^ abH 41 .2 ^ .3J 4

b \

Az {a+bf hatvány rendezett polinom alakja « = 1 ,2,3 esetén közismert, azok is felírhatok a kombinációk segítségével:

{a+bY =

i a + b f =

{ a ^ b f =

íj +

'2 ' ' 2ab +

' 20 1 2

'3 'a^+ 3 a^b+ 3'

0 1 .2 .

2

ab~+ b^

Teljes indukciót alkalmazva bebizonyítható, ha a kitevő bármely n természetes szám, akkor az {a+b)’' rendezett polinom alakja;

ia+bT = n " n n « - 2ö^+...+ n n0 1 2 rt- 1 n

ff .

Ezt a tételt binomiális tételnek nevezzük. (Az elnevezés magyarázata: a

kéttagú kifejezés latin neve binom. Az ^ alakú számok innen kapták a

binomiális együttható elnevezést.)A binomiális tétel ho.sszadalmas felírását rövidíthetjük, Ugj'anis

így minden tagban írhatunk a, b tényezőt. A kitevők összege valamennyi tagban n. A binomiális eg\'üttható felső száma mind az n + 1 tagban n, az alsó szám 0-tó( «-ig megy. Az összegzést a görög D (szigma) betűvel jelöljük és „futó index”-szel látjuk el, ez 0-tól rt-ig megy. Segítségükkel a két kitevő is felírható;

( f l+ Ö ) ' ' =

Ez a binomiális tétel röviden felírt alakja.

202 203

KOMBINATORIKA

8. Rendezett polinom alakban írjuk fel az (a-2)^ hatványt.

KOMBINATORIKA

( ű - 2)^= (P -r 0.^-2+ a^-2^- 0^.2^+

7 ‘1 2 3, 4_

ű3.2"-

7 'ű^.25+ 1'

5. 6a>2^-2’=

=ű'^-7a^-2+21a^-4-35ű^-8+35ű^-16~21fl^-32+7a.64-128 = =ű'^-14ű^+8435-280a'^+560ű3-672a^+448ű-128.

Pascal-háromszög

írjuk fel az {o+ft)'* hatvány rendezett polinom alakjából « = 1, 2,3 ,... kitevő esetén az egyes tagok együtthatóit. Szabályosságot vehetünk észre. Ez különösen feltűnő lesz, ha az együtthatókat háromszög alakú elrende­zésben írjuk és kiegészítjük {a+h)'^= 1-gyel.

11 1

1 2 1 1 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 ................................................ 1

Az együtthatóknak ezt az elrendezését Pascal-féle háromszögnek ne­

vezzük. Ebben minden sor első és utolsó száma 1 (mert = =1).[OJ [fij

A további számokat „gépiesen” is megkaphatjuk. Egy sor két szomszédos számát összeadjuk és ezt az összeget a következő sorba újuk, a két szám közötti üres rész alatti helyre. Ez a „szabály” a binomiális együtthatóknak abból a kapcsolatából következik, amelyet a 201. oldal c) megjegyzésében tárgyaltunk.

Egy halmaz részhalmazainak száma

9. Határozzuk meg az n elemű halmaz részhalmazainak számát. Az összeszámlálásra két lehetőséget is mutatunk.a) Ha az n elemű halmaz összes részhalmazának a számát keressük,

akkor számításba kell vennünk az üres halmazt, az 1 elemű rész­

halmazait, a 2 elemű ré sz h a lm a z a it,a A: elemű részhalmazait,...,

az n elemű részhalmazát. Ezek száma rendre; n n n0 i

1 j 2n n

) ► 1 n

Összegük adja a részhalmazok számát:n + n + n + ... + ' n ’’ + ... + n0 1 2 k n

Felismerhetjük, hogy az (1+1)" hatványból ezt kapjuk, ha a bino­miális tétel szerint polinom alakban írjuk fel. Mivel (1+1)"=2", az n elemű halmaz részhalmazainak száma 2".

b) Gondoljunk egy halmazra és közben tekintsük annak egy részhal­mazát. Például gondoljunk az {a, b, c, d, e , f \ hat elemű halmazra és annak például az {a, c,/} részhalmazára. Az elemeket írjuk le sorban és minden elem alatt Jelöljük, hogy az eleme-e a kiválasz­tott részhalmaznak vagy nem eleme. Ha eleme, akkor írjunk alá egy + jelet, ha nem eleme, akkor egy 0-t.

a b c d e f + 0 + 0 0 +

Minden részhalmazt két elemből (+, 0) képezett „rendezett-hatos- sal” jellemezhetünk. Ezért az eredeti kérdésünket más módon is megfogalmazhatjuk; Kétféle jelből hányféle módon tudunk 6-ot kivá­lasztani és sorrendbe rakni ügy, hogy azok minden lehetséges sorrend­ben szerepeljenek? Az 5. példában ezt a kérdést vizsgáltuk. (Elne­veztük ismétléses variációnak.) A lehetséges esetek száma: 2 , azaz 6 elemű halmaz részhalmazainak száma 2®, az n elemű halmaz részhalmazainak száma 2”.

10. Határozzuk meg az {a, b, c, d} halmaz részhalmazainak a számát, ír­juk fel a részhalmazokat,A részhalmazok száma: 2" = 16. A részhalmazok: 0 , {ű}, {/?}-, {c}, {d}, {a,b\ , {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {a,b,c}, {a,b,d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}.

H . Hányféle módon választhat 6 ember, ha mindegyikük meg akarja hallgatni a két különböző teremben egyidejűleg folyó két előadás egyikét?A lehetőségek száma azonos a 6 elemű halmaz részhalmazainak szá­mával: 2 = 64. (Az emberek eg)' része („egy részhalmaza”) az egyik terembe megy, a többiek a másikba.)

204 205

KOMBINATORIKA

Két példa, tanulságok

12. Egy pénztár előtt 6 ember áll. Mindegyikük egy-egy 500 Ft-os jegyet akar vásárolni. Közülük 3-nak 500 Ft-osa van, 3-nak 1000 Ft-osa. A pénztárban nyitáskor nem volt pénz. Hányféle sorrendben állhat sor­ba a 6 ember úgy, hogy senkinek se kelljen várnia a visszajáró pén­zére?Természetes, hogy a jegy\'áltók közül elsőnek 500 Ft-ossal, az utol­sónak 1000 Ft-ossal kell fizetnie.a) A második ember már

1000 Ft-ossal is fizethet, ek­kor a harmadiknak újból 500 Ft-ossal kell fizetnie, majd a negyedik egyaránt fizethet 500 vagy 1000 Ft- ossal. Az ötödik ember már meghatározott. (A hatodik embernél a sorrend már nem kérdéses.) Ez két sor­rendi lehetőség.

Megtörténhet, hogy az első ember után a második is 500 Ft-ossal fizet és a har­madik 1000 Ft-ossal. Ekkor a negyedik fizethet vagy 500, vagy 1000 Ft-ossal. ígyaz ötödik ember már meghatározott. Ez két újabb sorrendi lehető­ség.

Lehetséges, hogy a második és a harmadik ember is 500 Ft-os- sal fizet és a többiek 1000 Ft-ossal. Ez egyetlen lehetőség.

így a kívánt módon történő fizetések sorrendjére, összesen öt­féle sorrendi lehetőség van. A lehetséges sorrendeket a 202. ábra mutatja.

Áttekinthetőbb és rövidebb lesz a sorrendi lehetőségek össze- számlálása, ha jobb szemléltetési lehetőséget keresünk.

a) Q b)F H

D 1 -,'T '1 'G1m-----A-

203. ábra

1

206

KOMBIMATORIKA

b) Az 500 Ft-ossal történő fizetést jelentse a kiinduló ponttól jobbra induló egységnyi szakasz és az 1000 Ft-ossal történő fizetést egy felfelé induló egységnyi szakasz.

Elsőként 500 Ft-ossal kell fizetni, ezért egy P ponttól jobbra húzunk egy szakaszt (203/a ábra), majd ennek az A végpontjából haladhatunk felfelé is, jobbra is. A z új végpontokból (5-ből, C-ből) a továbbhaladást mérlegelnünk kell. Nyilvánvaló, hogy egyetlen esetben sem lehet, hogy addig a pénztáros több 1000 Ft-ost kapjon, mint ahány 500 Ft-ost már kapott, ezért a P ponttól jobbra haladó félegyenessel 45°-os szöget bezáró félegyenes fölé nem kerülhet szakasz, illetve végpont. így kialakul a 203/a ábra. A hat ember­nek megfelelő hat szakasszal a Q pontba jutunk. Kérdésünk az, hogy hányféle úton juthatunk el a P pontból a Q pontba jobbra és felfelé haladva.

Az összeszámlálás könnyű, ha meggondoljuk, hogy a z ^ pontba egyetlen úton lehet eljutni, a B pontba is, a C pontba is, de a Z) pontba mehetünk B-bŐl is, C-ből is, tehát a lehetőségek száma l-i-l = 2. Az £" pontba egyetlen út vezet, a G pontba azonban D-ből is, £-ből is eljuthatunk, ez 24-1=3 lehetőség. Egy-egy újabb pont­nál megnézzük, hogy oda melyik két pontból vezet út és az odave­zető lehetséges utak számát összeadjuk. A Q ponthoz vezető utak lehetséges száma 5. Ezt az összeszámlálási módot mutatja a 203/ö ábra.A feladat a hat ember lehetséges sorrendjének a számát kérdezte.

Az előzőekben azt tisztáztuk, hogy a hat ember 5-féle sorrendben fi­zethet 500, illetve 1000 Ft-ossal. Az 500 Ft-ossal fizető három ember lehetséges sorrendje 3!. Az 500 Ft-ossal fizetők minden egyes sor­rendjéhez az 1000 Ft-ossal fizető három ember 3! lehetséges sorrend­je közül bármelyik tartozhat.

Az embereket is tekintve összesen 5 ‘3! *3!, azaz 180 sorrend le­hetséges.

A feladatok mutatják a kombinatorikai problémák sokféleségét. A megoldások körültekintő gondolkodást, változatos ötleteket kívánnak. Van olyan probléma, amelynek megoldását segíti a más módon való megfogalma­zása. Egy-egy megfelelő rajz, vagy menetelő modell is hasznos lehet (például a 203. ábra, a 7. példa jelsorozata).

13. Történetileg is érdekes az úgynevezett „königsbergi hidak” kérdése. Königsberg városában a Pregel folyónak, szigeteinek, XVIÍl. század­beli’ hídjainak vázlatos rajza a 204/a ábra. Lehetséges-e, hogy valaki a város egyik pontjából elindulva a város 7 hídján pontosan egyszer végig­megy és visszatér a kiindulási pontjához?

207

KOMBINATORIKA

a) t>)

204. ábra

A probléma lényegét zavarja a város, a folyó, a hidak említése. Megtehetjük, hog>' a szárazföldi részeket (a partokat, szigeteket) egy- egy ponttal jelöljük és az ezeket összekötő vonalak a hidakat jelképe­zik. így a sokkal áttekinthetőbb 204/í? ábrához jutunk. Ennek alapján a „königsbergi hidak” kérdését más módon is megfogalmazhatjuk: Megrajzolhatjuk-e az ábrát úgj', hogy egy pontból kiindulva minden vo­nalon pontosan egyszer haladjunk végig és közben a papírról ne emeljük fel a ceruzánkat?

A rajz ellcészítésénél induljunk ki egy pontból. Onnan vonalat há­zunk egy ponthoz, majd újabb vonal, pont, újabb vonal, pont ... fel­váltva követik egymást. Végül vissza kellene jutnunk a kiindulási ponthoz, ezért minden pontban páros számú vonalnak kellene össze­futnia. Az ábrán viszont azt látjuk, hogy a pontokban páratlan számú vonal fut össze. Emiatt a kívánt módon nem készíthetjük el az ábrát, azaz a „königsbergi hidakon” a kívánt módon való áthaladás lehetetlen.

A 204/Ö ábra áttekinthető és megkönnyítette a kérdés tisztázását. Az Ilyen ábrázolás hasznos. Az ilyen áhrát grájhak nevezzük.

Gráfok (fogalmak, elnevezések)

Gráfnak nevezzük pontoknak és éleknek eQf halmazát, ahol élekre pon­tok illeszkednek úgy, hogy minden élre legalább egy, legfeljebb két pont illesz­kedik.

A 205. ábrán néhány gráfot látunk. A gráfok pontjait egyszerűen pon­toknak vagy csúcsoknak nevezzük. A gráf pontjait nagy betűkkel vagy v , V2, V3, ...-mai, éleit e , €2, £3, ...-mai jelöljük. Ha eg>' élre két pont illeszkedik, akkor azt mondjuk, hogy az él két pontot köt össze.

b) c)

KOMBIN A TORI KA

Az a) alatti gráf P, Q pontját az e él köti össze.A b) alatti ábrán a v- , vj pontot három él köti össze. Ezeket párhuza­

mos éleknek nevezzük.A c) alatti gráf éiére egyetlen pont illeszkedik. Ennek az élnek a

két végpontja azonos. Az ilyen élt hurokélnek nevezzük.A gráf egy pontjára illeszkedő élek számát a fokszámának, rövi­

den ybtó/zííí: nevezzük. A hurokéit úgy tekintjük, hogy kétszeresen illesz­kedik a pontjára.

A z a) alatti gráf P, Q pontjának fokszáma 1-1, a b) alatti gráfnál a v , csúcs foka 3-3, a c) alattinál a V2, csúcs fokszáma 3-3, a csúcsé 2,

a V4 csúcsé 4, av^ csúcsé 1.

Gráfoknál a pontok és az élek száma között összefüggés van. Ugyanis a fokszámok meghatározásánál az élek mindkét végpontját figyelembe vesszük. Ezért általánosan igaz állítás:

Bármely gráfban a fokszámok összege az élek számának kétszerese. En­nek az állításnak következménye: egy grájban a páratlan fokszámú csúcsok száma páros szám. (Ugyanis csak így lehet a fokszámok összege páros szám.)

14. Előfordulhat-e az, hogy 9 tagú társaságban mindenki pontosan há­rom embert ismer? (Az ismeretségek kölcsönösek.)

Készíthetünk olyan gráfot, amelynek csúcsai embereket, élei is­meretségeket jelentenek. A példának megfelelő gráf 9 csúcsú lenne és minden csúcsnak 3 lenne a fokszáma, azaz páratlan fokúból 9 lenne. Ez ellentétes az előző állításunkkal. Ilyen gráf nincs.

Lehetetlen tehát, hogy 9 tagú társaságban mindenkinek pontosan 3 ismerőse legyen.Ha egy gráfban nincs sem párhuzamos él, sem hurokéi, akkor azt egy­

szerű gráfnak nevezzük.Ha egy gráfnak minden pontját pontosan egy-egy él köti össze a gráf

Összes többi pontjával, akkor azt teljes gráfiiak nevezzük.

a) b)

20á ábra

209

KOMBINATORIKA

A 206. ábra mindkét gráQa 5 csúcspontú teljes gráf. Látszólag külön­bözők. Megfigyelhetjük azonban, hogy mindkettő pontosan ugyanazt fe­jezi ki. (Ha a gráf csúcsai kis gömbök, élei gumiszalagok lennének, akkor a h) alatti gráf „középső” gömbjét lefelé húzva megkapjuk az öj alatt lát­ható rajzot.) Az ilyen gráfokra vezetjük be a következő elnevezést:

Két gráfot izomorfnak nevezünk, ha pontjaik és éleik kölcsönösen egyér­telműen és illeszkedéstartóan megfeleltethetők egymásnak.

A 207. ábra a) alatti, h) alatti grá:^ai is izomorfak.a) b )

AA I7

207. ábra

Útnak nevezzük a gráf egymás­hoz csatlakozó éleinek olyan sorát, amely egyetlen ponton sem megy át e ^ n é l többször (208. ábra).

Összefüggőnek nevezünk egy gráfot, ha bármely pontjából bár­mely pontjába vezet út. (A 209. ábra a) alatti grá^a összefüggő, b) alatti nem összefüggő.)

Vonalnak nevezzük a gráf csúcsainak és éleinek azt a sorát, amelyben az élek a megfelelő csúcsokat kötik össze és az élek nem ismétlődnek (210. ábra).

b )

V|

210. ábra

A 210/í) ábrán a V2 pontú ei, e-i, élű gráf egy vonala: v , e , vj, £2. Vj, £3, V2, egy másik vonala: V2, e , v-y, e-,, V2, ^3, v .

Külön nevet kapott az a vonal, amelynek kezdő és végpontja azonos és amelyben a gráf minden éle szerepel. Ezt Euler-vonalnak nevezzük. A „kö- nigsbergi hidak” kérdése tömören fogalmazva: Van-e a 204/i ábrán lát­ható gráfnak Euler-vonala? Bizonyítás nélkül közlünk egy tételt: Egy ösz- szefuggő grájhak akkor és csak akkor van Euler-vonala, ha minden pontja páros fokszámú.

210

KOMBINATORIKA

Körnek nevezzük a gráf csúcsainak és éleinek egy olyan részhalmazát, amelyek a 211/a ábrán látható módon illeszkednek. A 21\/b ábrán a vas­tagon húzott élek egy-egy kört határoznak meg. Belátható, ha egy össze­függő gráf tartalmaz kört és elhagyjuk a kör egy élét, akkor is összefüggő gráfot kapunk.

2 1 1 . á b ra 212. ábra

Fának nevezzük azt az összefüggő gráfot, amely nem tartalmaz kört. (A 212. ábra két fát mutat.) Fákra vonatkozó néhány tétel:

Á f á k bármely két pontját egyetlen üt köti Össze.Ha egy fának bármely élét elhagyjuk, akkor a gráf már nem összeföggő.Ha egy fának bármely két olyan pontját összeköljiik, amely között eddig

nem volt él, akkor a gráf már tartalmaz kört.

Középiskolában csak a gráfokhoz kapcsolódó alapvető fogalmakkal és a legegyszerűbb tételekkel foglalkozunk. Ez a kevés ismeret alig utal a gráfelmélet jelentőségére. Csak közöljük, hogy elektromos hálózatok, autópályák, hírközlési rendszerek tanulmányozása, tervezése és sok más gazdasági, ipari probléma jól modellezhető gráfokkal.

A fogalmak, tételek ismerete nélkülözhetetlen a matematikai problé­mák felismeréséhez, feladatok megoldásához. Az ismeretek biztos és gyors alkalmazásához azonban megfelelő gyakorlat is kell. Ez további el­mélyült munkát kíván.

211

TARTALOMJEGYZÉK

BEV EZETÉS..................................................................................................................................5Jelölések, olvasásuk.........................................................................................................ő

Fogalm ak - állítások(alapfogalmak, definíciók - axiómák, tételek).........................................................S

I. HALM AZOK, HALM AZM ŰVELETEK.................................................................... 13Fogalmak, halmazok m egadása.................................................................................13H alm azm űveletek........................................................................................................ ..Í5

U nióképzés....................................................................................................... ..Í5M etszetképzés....................................................................................................Í5Két halmaz különbsége................................................................................. ..J6

Komplementerhalmaz..................................................................... ..17

II. A M ATEM ATIKAI LOGIKA ALAPJAI.................................................................... 19Kijelentések, logikai értékük..................................................................................... 19Logikai m űveletek........................................................................................................ 20

N egácíó............................................................................................................... 21Konjunkció........................................................................................................ 22D iszjunkció....................................................................................................... 22Im plikáció......................................................................................................... 23Ekvivalencia..................................................................................................... 24

Logikai függvények...................................................................................................... 25

III. A SZÁ M O K R Ó L............................................................................................................... 26A számfogalom kialakulása....................................................................................... 26

Indirekt bizonyítási m ódszer........................................................................ 2 8A valós számok és a szám egyenes........................................................................... 29A valós számok abszolútértéke................................................................................ 30

Alapműveletek az egész számok körében.............................................. 30Alapműveletek egy racionális és egy irracionális szám m al............... 31Az összeadás és a szorzás tulajdonságai a valós számkörben........... 32

A számok írása, tízes és kettes alapú számrendszerek...................................... 33A számqk normálalakja.............................................................................................. 34

IV. SZÁM ELM ÉLETI ALAPISM ERETEK................................................................... 35A z osztó, a többszörös, a prímszám fogalm a....................................................... ..35A szám elm élet a lap tétele .......................................................................................... ..36A legnagyobb közös osztó meghatározása........................................................... ..37A legkisebb közös többszörös meghatározása.......................................................37

V. H ATVÁNY, GYÖK, LOGARFTM US......................................................................... 38A hatványfogalom, a hatványozás azonosságai................................................... 38

Pozitív egész kitevőjű hatványok értelm ezése....................................... 38A pozitív egész kitevőjű hatványok azonosságai................................... 38A hatványfogalom kiterjesztése.................................................................. 40

A 0 kitevőjű hatvány értelm ezése................................................ 40A negatív egész kitevőjű hatványok értelm ezése.................... 40Törtkitevőjű hatványok értelm ezése........................................... 40

A gyökfogalom, a gyök\’onás azonosságai............................................................. 41A négyzetgyök fogalm a................................................................................. 41

A z n-edik gyök fogalma.............................................................................................. 41A gyökvonás azonosságai........................................................................................... 42

Kiem elés a négyzetgyökjel a ló l..................................................... 43

212

Bevitel a négyzetgyökjel alá.......................................................... ...43Tört nevezőjének gyöktelenítése................................................ ...43

A logaritmus fogalma, azonosságai....................................................................... ...44A logaritmus fogalma................................................................................... ...44A logaritmusra vonatkozó azonosságok.................................... ................44Áttérés más aJapú logaritmusra............................................................... ...45

VI. BETŰS KIFEJEZÉSEK, NEVEZETES AZONOSSÁGO K............................ ...46Algebrai kifejezések................................................................................................... ...46N evezetes azonosságok...............................................................................................47

VII. F Ü G G V É N Y E K ............................................................................................................. ..49A függvényfogalom, elnevezések........................................................................... ..49Inverz függvények..........................................................................................................57A függvények jellem zése.......................................................................................... ..52N evezetesebb függvénytípusok................................................ ................................55

Elsőfokú függvények, lineáris függvények...............................................55Másodfokú függvények..................................................................................55A négyzetg>'ökfüggv'ény..................................................................................56Abszolútérték-függvény.............................................................................. ..S6Elsőfokú tö r tfü ^ é n y e k ............................................................................. ..57Exponenciális függvény..................................................................................57A logaritmusfüggvény.....................................................................................S8Trigonometrikus függvények.......................................................................58

Sinusfüggvény.................................................................................... ..58Cosinusfügg\'ény.................................................................................59Tangensfüggvény............................................................................. ..59Cotangensfüggvény......................................................................... ..60

Függv'énytranszformációk........................................................................................

VUI, EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK,M E G O L D Á SU K ..........................................................................................................«Az egyenletek, egyenlőtlenségek fogalma........................................................... ..< 2

A z azonosság fogalm a...............................................................................................Egyenletek m egoldása.................................................................................................^

Grafikus módszer..........................................................................................A z egyenlet alap halmazának vizsgálata................................................. ..67A z értékkészlet vizsgálata.......................................................................... ..<57

Szorzattá alakítás...........................................................................................R endezés..........................................................................................................

Kétism eretlenes elsőfokú egyenletrendszerek m egoldása...............................70Grafikus m ódszer.......................................................................................... ..71Behelyettesítő m ódszer..................................................................................71Egyenlő együtthatók m ódszere................................................................. ..72

Másodfokú egyismeretlenes egyenletek m egoldása........................................ ..72Szöveges egyenletek................................................................................................... ..^5Két szám számtani, mértani közepe........................................................................76

Két szám számtani közepe...........................................................................76Két pozitív szám mértani k özep e............................................................. ..76Számtani és mértani közép közötti összefüggés....................................77Egy pozitív számnak és reciprokának az összege..................................78

IX. SO R O Z A T O K ..................................................................................................................Teljes indukció.............................................................................................................Számtani sorozat.........................................................................................................Mértani sorozat...........................................................................................................

213

Kamatoskamat-száraítás............................................................................... 85A négyzetszámok sorozata........................................................................................ 85

X. G E O M E TR L^ ALAPISM ERETEK ........................................... .............................. 87Szögek, forgásszögek, szögek m érése.................................................................... 87Szögpárok....................................................................................................................... 89Térelem ek hajlásszöge............................................................................................... 90

Két kitérő egyenes.......................................................................................... 90Síkra m erőleges egyenes definíciója......................................................... 90

Síkra merőleges egyenes lé te le ..................................................... 90Egyenes és sík hajlásszöge............................................................................ 91Két sík hajlásszöge.......................................................................................... 91

Térelem ek távolsága................................................................................................... 92N evezetes ponthalmazok........................................................................................... 93Ponthalmazok megadása számegyeneseii, koordinátasíkon.......................... 96Ponthalmazok távolsága............................................................................................. 98

XI. GEOM ETRIAI SZERKESZTÉSEK......................................................................... 100Alapszerkesztések........................................................................................................100Szerkesztési feladatok végrehajtásáról..................................................................102Néhány nevezetes szerkesztés..................................................................................103

XII. GEOM ETRIAI TRANSZFORM ÁCIÓK............................................................... 107Távolságtartó (egybevágósági) transzformációk................................................ 107

Alakzatok egybevágósága.............................................................................109Alakzatok szimmetriája................................................................................111Párhuzamos szelők tétele és megfordítása.............................................112Szakasz adott arányú felosztása................................................................ 114

Hasonlósági transzformációk...................................................................................114Középpontos hasonlóság............................................................................. 114Hasonlósági transzformáció és tulajdonságai........................................115-Alakzatok hasonlósága.................................................................................116Hasonló síkidomok területének aránya.................................................. 117

XDI. VEKTOROK, VEKTORM ŰVELETEK.............................................................. 118Műveletek vektorokkal..............................................................................................119

Vektorok összegezése...................................................................................119Két vektor különbsége..................................................................................119Vektor szorzása számmal.............................................................................120Két vektor skaláris szorzata........................................................................ 121

Vektorok felbontása................................................................................................... 122Vektorok a koordinátasíkon..................................................................................... 123

XIV. SÍKIDOMOKRA VONATKOZÓ ISM ERETEK...............................................125Három szögek.................................................................................................................125

Alapvető ism eretek........................................................................................125A háromszög nevezetes vonalai és ponl^'ai.............................................126

Szögfelezők, beírható k ör.............................................................. 126Oldalfelezőmerőlegesek, köré ín kör.........................................127Magasságvonalak, m agasságpont................................................ 128Súlyvonalak, súlypont......................................................................128Középvonalak............................................................. ;..................... 129

Derékszögű háromszögekre vonatkozó ism eretek...............................129Thalész tétele ..................................................................................... 129Pitagorasz té te le ................................................................................130Arányossági tételek (magasságtétel, befogótétei)..................131

214

Sokszögek......................................................................................................................132Sokszögek átlói, szögei.................................................................................132Négy'SzÖgek, osztályozásuk......................................................................... 133Paralelogrammák.......................................................................................... 133A paralelogramma, a trapéz középvonala.............................................135

K ör................................................................................. ..................................................136A körérintő és tétele, a parabola érintője..............................................136Körben kerületi és középponti szögek................................................... 137A középponti szög, a körív hossza, a körcikk területe.......................138Középponti és kerületi szögek téte le .......................................................138Kerületi szögek tétele, látószogkörív.......................................................139Négyszögek és a kör.....................................................................................141A húrnégyszögek tétele és megfordítása................................................141A z érintőnégyszögek té te le ........................................................................141A körhöz húzott érintő- és szelőszakaszok tétele................................142

XV. SÍKIDOM OK TE R Ü L E T E ........................................................................................ 144A terület fogalm a........................................................................................................1 ^Sokszögek területének meghatározása................................................................ 144

Téglalap területe............................................................................................144Paralelograrrmiák területe.......................................................................... 146Háromszögek területe..................................................................................147Trapézok területe......................................................................................... 147Sokszögek területe........................................................................................ 147

A kör területe...............................................................................................................A kör részeinek területe............................................................................................149

Körcikk területe.............................................................................................149Körszelet területe......................................................................................... ISOKörgyűríi területe......................................................................................... 150

XVI. TESTEK TÉRFOGATA, FELSZÍN E.................................................................. 151Testek osztályozása.................................................................................................... 151

Hengerszerű testek.......................................................................................151Kúpszeríi testek..............................................................................................152A göm b............................................................................................................. 154

A térfogat fogalm a..................................................................................................... 154Testek térfogatának m eghatározása.....................................................................154

Téglatest térfogata........................................................................................ 154Háromoldalú egyenes hasáb térfogata................................................... 156Egyenes hasábok térfogata......................................................................... 156Az egyenes körhenger térfogata............................................................... 156Ferde hasáb térfogata..................................................................................157Tetraéder térfogata......................................................................................157Gúlák térfogata............................................................................................. 159Kúpok térfogata.............................................................................................159

Hengerszerű testek térfogata, felszíne..................................................................159Kúpszerű testek térfogata, felsz ín e.......................................................................1^^Csonkagúla, csonkakúp térfogata, felsz íne.........................................................161Gömb térfogata, felszíne.......................................................................................... 1^3

XVII. TRIGONOMETRIAI ISMERETEK....................................................................165A derékszögű háromszögek trigonometriája..................................................... 165N evezetes szögek szögfiiggvényei.......................................................................... 166Szögfüggvények általános értelm ezése................................................................ 166A szögfüggvények közötti kapcsolatok................................................................ 169

225

A z általános háromszög trigortometriája.............................................................. 170Összefüggés a háromszög két oldala és a szemközti két szöge közöttSinustétel........................................................................................................... 170Összefüggés a háromszög három oldala és egy szöge közöttC osinustétel..................................................................................................... 171Összefüggés a háromszög egy oldala, szemközti szöge és a köré írtkörének sugara között................................................................................... 172

További trigonometrikus összefüggések............................................................... 173Addíciós tételek (összegezési tételek)......................................................173Szög kétszeresének szögfüggvényei......................... !............................... 174

X V n i. KOO RDINÁTA-GEO M ETRIAI ISM ERETEK.............................................175Szakasz felezőpontja, m:n arányú osztópontja................................................... 175

Szakasz felezőpontja..................................................................................... 175Szakasz m:n arányú osztópontja................................................................ 176

Háromszög súlypon^a................................................................................................ 177Vektor hossza, két pont távolsága.......................................................................... 178A z egyenes helyzetét jellem ző adatok...................................................................179Egyenesek párhuzamosságának, merőlegességének fe lté te le .......................181Egyenes egyenlete, vonal egyenlete.......................................................................182A z egyenes egyenletének feKrása........................................................................... 182

Normálvektora adott.....................................................................................182Irányveklora ad ott......................................................................................... 183Iránytangense adott....................................................................................... 183Két pontja a d o tt .............................................................................................184Speciális helyzetű egyenesek egyenlete.................................................. 184

A z egyenes és az elsőfokú kétismeretlenes egyenlet........................................ 184Két egyenes metszéspontja, két vonal közös pontjai........................................ 185Kör egyenlete, a kör és a másodfokú kétismeretlenes egyenlet....................185Két kör metszéspontja, kört érintő egyenes.........................................................187A parabola csúcsponti egyenlete............................................................................ 188A parabola és a másodfokú függvény................................................................... 190Parabolát adott pontjában érintő egyenes egyenlete....................................... 191

XIX. KOM BINATO RIKA.................................................................................................... 193A „skatulya-elv” ...........................................................................................................193A logikai sz ita ............................................................................................................... 194Sorrendi kérdések (permutációk, a permutációk száma)...............................196Kiválasztási és sorrendi kérdések (variációk, a variációk szám a)................198Kiválasztási kérdések (kombinációk, a kombinációk szám a).......................199Binomiális tétel............................................................................................................. 2Ö2Pascal-háromszög...................... .................................................................................. 204Egy halmaz részhalmazainak szám a......................................................................204Két példa, tanulságok................................................................................................. 206Gráfok (fogalmak, elnevezések)............................................................................. 208

Kiadja a M ozaik Kiadó, 6723 Szeged, Debreceni u, 3/B.; Tel,: (62) 470-101 E-mail: kiadD @ m ozaik.info.hu • Homepage: www.m ozaik.info.hu •F ele lős kiadó: Török Zoltán Nyomdai előkészítés: Imosoft Kft. • Homepage: www.im osoft.hu • Grafikus: Deák Ferenc Készült a Szegedi Kossuth Nyomdában • Felelős vezető: Gera Imre 2000, június • Raktári szám: M S -3 105