Guia1E_TeoremaExistenciaUnicidad
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7/17/2019 Guia1E_TeoremaExistenciaUnicidad
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Guía 1-ETeorema de Existencia y UnicidadDiego Vallejo, Melina Podestá, Eva Almirón
2do. Semestre 2015
¿Qué dice y para qué sirve el Teorema deExistencia y Unicidad de la solución de un
Problema con Valor Inicial?
7/17/2019 Guia1E_TeoremaExistenciaUnicidad
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Matemática III - 2◦ cuatrimestre 2015 guía 1-e teorema de existencia y unicidad 2
Existencia y Unicidad
Situación
Sea el siguiente
PVI: y = f (x, y) [ED]
y(x0) = y0 [CI]
De él sabemos que: a) Tiene solución y(x) y b) que esa solución y(x)
es única, cualquiera sea el punto (x0, y0) del plano R2.
Preguntas:
¿Pueden crear ejemplos? ¿Probar con di-ferentes condiciones iniciales?
1. Dadas dos soluciones particulares y1(x) e y2(x) de la ecuación di-
ferencial [ED] ¿pueden las gráficas de y1(x) e y2(x) cortarse en un
punto? ¿Recuerdan una pregunta similar en la guía 1C?
2. Vean la gráfica siguiente. ¿Qué relación le encuentran con las dospreguntas anteriores?
x0
y0
x
y
3. Para distintas condiciones iniciales [CI ] pero la misma Ecuación Di-
ferencial [ED ] ¿obtendremos necesariamente diferentes soluciones
particulares?
4. Supongamos que una EDO modela un problema económico de cre-
cimiento de un país. La solución buscada es
y(t) = “Salario Básico de un Empleado en función del tiempo”
Discutan en grupo: ¿Qué pensarían si encontramos una solución...
a) ... y luego comprobamos que no es la única?
b) ... y luego comprobamos que es la única?c) ... y luego no podemos verificar que sea la única?
Si una ecuación tiene solución o no, ¿sería útil saberlo antes de
realizar ningún cálculo?
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Matemática III - 2◦ cuatrimestre 2015 guía 1-e teorema de existencia y unicidad 3
Para responder a estas preguntas veamos el siguiente
⇒Teorema
Existencia y U nicidad de la solución de un PVI
(TEU)
Consideremos el siguiente
PV I :
y = f (x, y),
y(x0) = y0.
Si las siguientes dos funciones de dos variables:
f (x, y)
y su derivada ∂ f
∂ y(x, y)
son funciones continuas en un rectángulo R del plano xy que con-
tiene al punto (x0, y0), entonces, existirá una y solamente una fun-
ción de una variable y(x) definida en un intervalo que contiene al
punto x = x0 que es solución del PVI.
Para utilizar este teorema precisamos distinguir tres funciones dife-
rentes. La primera es f (x, y) una función de dos variables, cuyo dominio
está en R2. La segunda es su derivada
∂ f
∂ y(x, y), también definida en
todo el plano xy, o una porción del mismo. La tercera es la que más
nos interesa, la solución y(x) del problema, función de una variable
cuyo dominio está en la recta real R.
En S íntesis:
¿Cuáles son las condiciones del teo-rema?
H1: f (x, y) continua en un rectán-gulo R.
H2: ∂ f
∂ y continua en R.
H3: Hay un rectángulo R que de- be contener al punto (x0, y0)por donde pasa la solución.
Este Teorema nos garantiza que si se verifican sus hipótesis, dos so-
luciones distintas de la ED tendrán gráficas que no pueden cruzarse ni
tocarse.
Ejemplo
1. Consideremos el siguiente problema de valor inicial:
PV I 1 : y = 3 y
2/3
y(1) = 0,
¿Qué dice el Teorema? Comparemos
De la tabla vemos que:
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Matemática III - 2◦ cuatrimestre 2015 guía 1-e teorema de existencia y unicidad 4
Teorema: Ejemplo 1:
y = f (x, y)
y(x0) = y0.
y = 3 y2/3
y(1) = 0.
Rectángulo R ?
Cuadro 1: Comparación entre el Teore-ma y el Ejemplo 1
a) f (x, y) = 3 y2/3
b) el punto por donde pasa la función solución incógnita es (x0, y0) =
(1, 0).
c) El ejemplo no dice nada del Rectángulo... ¿qué podrías hacer?
¿Habrá algún rectángulo donde se cumplan las condiciones?
Veamos las hipótesis o condiciones:
H1: f (x, y) = 3 y2/3 continua en R. La función 3 y2/3 es una Concepto previo: ¿Cuándo una potencia xr
es discontinua o no se puede calcular?composición de una raíz cúbica con una potencia cuadrática y
por lo tanto es continua en todo el planoR
2
H2: ∂ f
∂ y = 2 y−1/3 =
2
y1/3 =
23√
y es una función racional. Por Concepto previo: Una función racional es
un cociente, cuyo numerador y cuyo denomi-nador son polinomios. No existen cuando el
polinomio del denominador vale cero. ¿Por-qué?
lo tanto posee una discontinuidad en los punto (x, y) de R2
donde y = 0, o sea es discontinua en todo punto del eje x.
H3: Sobre el rectángulo R:
(*) debe contener al punto (x0, y0) = (1, 0)
(**) Y por H2: no debe contener puntos del eje x .
Estas últimas dos condiciones (*) y (**) son imposibles de
cumplir al mismo tiempo ya que ( x0, y0) = (1, 0) es un punto
del eje x .
Por lo tanto, no se verifican las hipótesis, y el Teorema no
nos brinda información sobre el
PV I 1 :
y = 3 y2/3
y(1) = 0.
¿Podemos resolver el PVI? La ecuación y = 3 y2/3 es una ecua-
ción de variables separables.
d y
dx
= 3 y2/3
1
3 y2/3d y = 3dx
1
3 y2/3d y = 3
dx
3 y1/3 = 3x + C
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Matemática III - 2◦ cuatrimestre 2015 guía 1-e teorema de existencia y unicidad 5
La solución general será:
y(x) = (x + C)3 y aplicando la condición
y(1) = 0
(1 + C)3 = 0 por lo tanto C = −1
y la particular queda:
y(x) = (x − 1)3
Pueden verificar que además admite otra solución no conte-
nida en la solución general: la solución y(x) = 0 que también
verifica que y(1) = 0.
−1 0 1 2 3−2
−1
0
1
2
3
4
(1, 0)
y = 0
y = (x − 1)3
x
y
El PVI1 admite dos soluciones. Existesolución y no es única.
Conclusión: El PVI1 posee solución. Sin embargo no es única.
Hay dos diferentes:
a) y1(x) = 0 yb) y2(x) = (x − 1)3
Y entonces.. . ¿Se contradice el teorema?
Una más.. . ¿Qué cambiaría del análisis anterior si tuviéramos el
siguiente PVI:
PVI1-BIS:
y = 3 y2/3
y(1) = 1.
?
En otras palabras: ¿es aplicable el Teorema de Existencia y Unici-
dad para (x0, y0) = (1, 1)?
Y... ¿para qué otros puntos (x0, y0) podrías aplicar el Teorema?
2. Consideremos el siguiente problema con valor inicial
PV I 2 :
y = (1 + y2),
y(0) = 0.
¿Qué dice el Teorema? Comparemos Cuadro 2: Comparación entre el Teore-ma y el Ejemplo 2
Teorema: Ejemplo 1:
y = f (x, y)
y(x0) = y0.
y = 1 + y2,
y(0) = 0.
Rectángulo R ?
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De la tabla vemos que:
a) f (x, y) = 1 + y2
b) el punto por donde pasa la función solución incógnita es (x0, y0) =
(0, 0).
c) Nuevamente el ejemplo no dice nada del Rectángulo. ¿Podés
encontar un rectángulo donde se cumplan las condiciones?
Veamos las hipótesis o condiciones:
H1: f (x, y) = 1 + y2 continua en R. La función 1 + y2 es un
polinomio y por lo tanto es continua en todo el plano R2
H2: ∂ f
∂ y = 0 + 2 y es un polinomio, y por lo tanto es continua en
todo el plano R2.
H3: Sobre el rectángulo R que debe contener al punto (x0, y0) =
(0, 0)... podría ser cualquiera, por ejemplo
el rectángulo de 10 por 20 unidades centrado en el origen (0, 0)
Ya que si H1 y H2 se cumplen en todo el plano, entonces secumplen en cualquier rectángulo en el plano.
Por lo tanto, se verifican las hipótesis, y el Teorema nos garantiza
que el
PV I 2 :
y = 1 + y2
y(0) = 0.
tendrá solución y(x) y esta solución es única.
¿Podemos resolver el PVI? La ecuación y = 1 + y2 es una ecua-
ción de variables separables.
En efecto1
1 + y2 dy = dx
Integrando obtenemos Concepto previo: Derivada de la función Arco Tangente
arctan( y) = x + C
donde C es una constante arbitraria. Por lo tanto Concepto previo: Definición de la Tangente
y(x) = tan(x + C) solución general
Utilizando la condición inicial y(0) = 0: Concepto previo: Dominio de la Tangente.¿Dónde es discontinua?
tan(0 + C) = 0
encontramos que C = 0 (o C = nπ para cualquier entero n ). Asíque la solución particular es y(x) = tan(x).
¿Cuál es el dominio de esta función? La función tan(x) no está
definida para los valores de x = . . . ,−3π
2 ,−π
2 , π
2 , 3π
2 , . . . , k π
2 , . . .
con k impar. La porción continua que pasa por (0, 0) es la que
está en el Dominio D = (−π
2 , π
2 )
−π − π
2 0 π
2π
−4
−2
0
2
4
(x0, y0)
x
y
y = tan(x)
Existe solución y es única para el PVI26 /10
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3. Consideremos ahora
PV I 3 :
y = x2 + y2,
y(1) = 1.
¿Qué dice el Teorema? Comparemos Cuadro 3: Comparación entre el Teore-ma y el Ejemplo 3
Teorema: Ejemplo:
y = f (x, y)
y(x0) = y0.
y = x2 + y2,
y(1) = 1.
Rectángulo R ?
De la tabla vemos que:
a) f (x, y) = x2 + y2
b) la función buscada pasa por (x0, y0) = (1, 1).
c) Tampoco ahora el ejemplo dice nada del Rectángulo. ¿Podés
encontar un rectángulo donde se cumplan las condiciones?
Veamos las hipótesis o condiciones:
H1: f (x, y) = x2 + y2 continua en R. La función x2 + y2 es un
polinomio y por lo tanto es continua en todo el plano R2
H2: ∂ f
∂ y = 2 y es un polinomio, y por lo tanto es continua en todo
el plano R2.
H3: Sobre el rectángulo R que debe contener al punto (x0, y0) =
(0, 0)... podría ser cualquiera, por ejemploel rectángulo de 3x3 que contenga al punto (1, 1).
Por lo tanto, se verifican las hipótesis, y el Teorema nos garantiza
que el
PV I 2 :
y = x2 + y2
y(1) = 1.
tendrá solución y(x) y esta solución es única.
¿Podemos resolver el PVI ? Veamos...
Verificá que la ecuación y = x2 + y2 no es separable ni tam-
poco se puede escribir como lineal.
¿Y algún otro método de guías anteriores? Cuál?
En grupo discutan qué pueden hacer para graficar la solución
y obtener el valor de y(2). ¿Podemos verificar lo anterior median-
te wolframalpha?
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Ejercitación
1. Analizar la existencia y unicidad de la solución (mediante el TEU) yluego resolver y graficar la solución para cada uno de los siguientes
PVI:
a)
y = y√
x
y(1) = e−2/3
b)
y = 6xy2/3
y(2) = 27
c)
y = 6xy2/3
y(1) = 0
2. Mostrar que
y = y
x y(0) = y0
tiene:
a) infinitas soluciones si y0 = 0
b) ninguna solución si y0 = 0
Interpretá gráficamente.
¿Sirve el TEU para realizar esta actividad?
3. Estudiar para cada PVI (sin resolverlo) y graficar:
i) para qué puntos (x0, y0) el TEU es aplicable,
ii) para qué puntos (x0, y0) el TEU no es aplicable.
¿Qué se puede afirmar en cada caso i), o ii) ?
a)
y = 6x2 y1/2
y(x0) = y0
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Concepto previo: |x| función valor absolu-to o módulo de x. Derivada del valor absolutode x.
b)
y = | y| y(x0) = y0
c)
y = x ln( y − 2)
y(x0) = y0
4. Consideren el problema de valor inicial
y = e−x2
y(0) = 1
a) ¿Pueden escribir la antiderivada
e−x2dx como combinacíón de Concepto previo: Funciones elementales:
polinomios, seno, coseno, exponencial, loga-ritmo, sus inversas y sus combinaciones.
funciones elementales?
b) Vean que sí existe e−x2
dx aunque no la podamos escribir como
combinación de funciones elementales (pueden utlizar el Teore-
ma Fundamental del Calculo, pueden recordar el enunciado al
final de esta Guía 1-E) Concepto previo:
La integral definida x
0 e−t2dt:
a) es función de x,
b) no es función de t,
c) es distinta de la Integral indefinida e−x2
dx
c) ¿podemos asegurar que no tiene solución? ¿o que sí la tiene?
d) Verifiquen la solución del PVI puede escribirse:
y(x) = 1 + x
0e−t2
dt
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R e p a s o d e M a t e m á t i c a I
Teorema Fundamental del Cálculo
⇒Teorema
(Teorema Fundamental del Cálculo) Si f es una función conti-
nua en un intervalo [ a, b] y
F(x) = x
a f (t)dt ,
entonces podemos obtener la derivada de F así:
F (x) =
x
a f (t)dt
= f (x)
Es decir la derivada de F (x) es el integrando evaluado en x : f (x)
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