Guia Rabisco: Distância entre dois pontos e vistasortogonais

Ana Flávia8943900

André Balieiro9365810

Murilo Cattaneo9763860

Rodrigo Buzoni9299296

2

3

O que é Distância?

A distância entre um ponto A e um ponto B é o comprimento do segmento AB - estadistância está fixada a uma unidade de comprimento.

Escrevemos d(A,B) para representar a distância entre A e B.

Você sabia?

• Sempre que você quiser descobrir qualquer distância entre dois objetos, o que vocêencontrará será um número real, finito e positivo.

• A distância entre qualquer coisa e ela mesma será sempre zero! Isto é, d(A,A) = 0

• Tanto faz se Maomé vai à montanha, ou se a montanha vai a Maomé. Com certezaa distância entre eles é a mesma! Ou, se você preferir: d(A,B) = d(B,A).

• Se pensarmos num triângulo qualquer, haverá um fato sobre ele: escolhido umde seus lados, a soma do comprimento dos outros dois será menor ou igual aocomprimento do lado escolhido! Este fato é conhecido como a desigualdade tri-angular. Em “matematiquês”, sendo ABC os vértices do triângulo, teremos qued(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B).

• Uma consequência do item anterior é que d(A,C)+d(C,B) = d(A,B) se, e somentese, C pertencer ao segmento AB. Por que?

4

Distância entre dois pontos

Na reta real, cada ponto pertencente à ela equivale a um número real. Seja xp onúmero real associado ao ponto P , escrevemos P = (xP ).

Definimos a distância entre A = (xa) e B = (xb) como sendo

d(A,B) = |xb − xa|

Figura 1: Eixo orientado com origem em O

No plano cartesiano, definimos a distância entre A = (x1, y1) e B = (x2, y2) da seguintemaneira:

Se AB é paralelo ao eixo das abscissas, então d(A,B) = |xb − xa|

5

Figura 2: Distância entre pontos alinhados e paralelos ao eixo das abscissas

Se AB é paralelo ao eixo das ordenadas, então d(A,B) = |yb − ya|

Figura 3: Distância entre pontos alinhados e paralelos ao eixo das ordenadas

Ora, e se AB não for paralelo a nenhum dos eixos?

6

Figura 4: Distância entre pontos não paralelos aos eixos

Neste caso, devemos recorrer ao teorema de Pitágoras! Primeiro, devemos imaginar umponto C de tal forma que o triângulo ABC seja retângulo. Podemos imaginar C = (xb, ya).

Figura 5: Distância entre pontos não paralelos aos eixos

Desta forma, a distância entre A e B será o comprimento da hipotenusa do triânguloABC. Note que AC é paralelo ao eixo das abscissas e CB é paralelo ao eixo das ordenadas.Portanto,

d(A,B)2 = d(A,C)2 + d(C,B)2

Isto é,d(A,B)2 = (xb − xa)

2 + (yb − ya)2

Por fim, conseguimos concluir que a distância entre A e B, neste caso, será:

d(A,B) =√

(xb − xa)2 + (yb − ya)2

Pergunta: Você consegue imaginar outro lugar para o ponto C de forma que otriângulo ABC ainda seja retângulo?

7

Ponto médio de um segmento

Agora que sabemos calcular uma distância entre dois pontos, e para que isso serve,será que conseguimos encontrar o ponto que divide o segmento AB em duas partes iguais?Este ponto que divide o segmento AB em dois é chamado de ponto médio de AB. Vamosentender melhor o que é o ponto médio!

Dado um segmento AB, é chamado de ponto médio o ponto que equidista de A e de B.

Em “matematiquês”:

C é ponto médio de AB se, e somente se, d(A,C) = d(C,B).

Figura 6: Segmento AB onde C é o ponto médio

Ora, basta usarmos o que aprendemos para calcular distâncias para encontrarmos ascoordenadas do ponto C em função das coordenadas de A e de B!

De acordo com os pontos da figura 6, temos que d(A,C) = d(C,B). Olhando para oseixos, temos que

|xc − xa| = |xb − xc| e |yc − ya| = |yb − yc|

Como os eixos estão orientados: xb > xc > xa e yb > yc > ya. Portanto,

xc − xa = xb − xc e yc − ya = yb − ya

Por fim, podemos concluir que

xc =(xb + xa)

2e yc =

(yb + ya)

2

8

Exercícios1. Calcule a distância dos pontos A e B:

(a) A = (2, 5) e B = (−1, 1)

(b) A = (−1, 7) e B = (0, 7)

(c) A = (√3, 0) e B = (

√−3,

√13)

(d) A = (1, 2) e B = (3, 4)

2. Desenhe todos os pontos que distam 4 unidades de medida da origem do planocartesiano.

3. Seja A = (4, 1) e a distância do ponto A ao ponto B sendo 2 unidades de medida.Em qual quadrante do plano cartesiano o ponto B pode estar?

4. Dado um segmento de reta AB onde A = (1, 3) e B = (5, 7), quais são as coorde-nadas do seu ponto médio?

5. Se M = (2, 5) for o ponto médio de do segmento de reta AB, quais são as coorde-nadas de A sabendo que o ponto B = (5, 5)?

6. O ponto A dista 30 unidades de comprimento do ponto B = (3, 4). Sabendo que Apertence à bissetriz do primeiro quadrante, encontre suas coordenadas.

7. Marque, no plano cartesiano, os pontos que equidistam dos pontos T = (2, 3) eU = (−1,−4). Quantos são? Que relação você observa entre esses pontos?

9

10

Vistas Ortogonais

Dizemos que uma reta é ortogonal a uma outra reta (ou a um plano) quando o ânguloformado entre eles é reto.

Você já notou que, às vezes, um mesmo objeto pode parecer diferente para duaspessoas que estão o observando de posições distintas? Isto é, a visão de quem observa,por exemplo, uma casa estando de frente para ela e a de quem a observa de lado sãodiferentes. Isso acontece porque as pessoas estão olhando para a casa de perspectivasdiferentes. Perspectiva é o modo através do qual alguma coisa é representada ou vista.

Ao nosso redor, existem variados objetos e seres tridimensionais, que são chamadosassim por possuírem três dimensões: altura, largura e comprimento. Quando tentamosdesenhar esses objetos no papel, encontramos certa dificuldade, já que a superfície do papelpossui apenas duas dimensões. Essa dificuldade pode ser contornada ao desenharmos oobjeto em perspectiva.

Figura 7: Exemplo de vista ortogonal de uma casa

11

Depois, podemos desenhar as vistas ortogonais, isto é, a vista superior, as vistaslaterais, a vista frontal e todas as vistas que forem necessárias para o entendimento doobjeto. As vistas ortogonais são maneiras de representar, em duas dimensões, os objetostridimensionais. Elas nos ajudam a compreender melhor os detalhes da forma e dasdimensões dos objetos.

DesafioDesenhe três vistas da sua casa ou de qualquer outro lugar que fique melhor pra você,

pode ser da parte da frente, da lateral, de trás; você quem escolhe. Se quiser, pode atédesenhar o lugar visto de cima, com o auxílio do computador da escola. Para isso, vocêpode ter o auxílio do Google Maps para ver como o lugar é visto do céu.

Rascunhe as vistas e, com o auxílio de uma trena, tire as medidas para que em sala,possamos fazer os desenhos em escala!

12

Referências• SILVA, Luiz Paulo Moreira. ”O que é distância entre dois pontos?”; Brasil Es-

cola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-distancia-entre-dois-pontos.htm. Acesso em 08 de outubro de 2019.

• Rede Escola Digital. “Geometria do Táxi - Distâncias”; Rede Escola Digital. Dispo-nível em: https://www.curriculointerativo.sedu.es.gov.br/odas/geometria-do-taxi-distancias-1. Acesso em 08 de outubro de 2019.

• SILVA, Luiz Paulo Moreira. “Exercícios sobre distância entre dois pontos”; Bra-sil Escola. Disponível em: “https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-distancia-entre-dois-pontos.htm”. Acesso em 29 de ou-tubro de 2019.

• Imenes, Luiz Marcio Pereira, and Marcelo Cestari Terra Lellis. Matemática. SãoPaulo: Scipione, 1997.