Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 1

Primera Unidad Didctica

INTRODUCCIN AL LGEBRA GUIA DIDCTICA 1 - (1 PARTE ) Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 2 NDICE Pg. INTRODUCCIN4 CAPACIDADES5 DESARROLLO TEMTICO 1. Introduccin al Algebra 1.1. Teora de exponentes.6 1.2. Productos notables. 14 1.3. Factorizacin. 17 2.Ecuaciones con una incgnita 2.1Ecuaciones lineales20 2.2 Ecuacionescuadrticas24 2.3 Mtodos de resolucin de ecuacin cuadrtica 25 2.2.1. Por factorizacin 2.2.2.Por complementacin de cuadrados 2.2.3.Por la frmula general 3. Ecuaciones lineales3.1Tipos de sistemas.36 3.2Ecuaciones lineales con dos y tres variables. 44 4. Ejercicios y problemas de aplicacin. 4.1Ejercicios51 4.2Problemas 5. Desigualdades5.1 Inecuaciones de primer 55 5.2 Inecuaciones segundo grado56 5.3Mtodos58 5.3.1. Mtodo del punto crtico 5.3.2. Uso de discriminantes. 5.4 Inecuaciones orden superior.61 6. Problemas aplicativos. 63 6.1 Ejercicios y problemas63 Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 3 7. Introduccin a la programacinlineal.65 7.1Pasos para resolver 66 7.2Ejercicios y problemas 76 8. Problemas de aplicacin y programacin.79 8.1 Ejercicios 8.2 Problemas 9. Examen parcial N 01 BIBLIOGRAFA ANEXOS Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 4 INTRODUCCIN Estimado (a) estudiante: Laformacinprofesional delestudiantedeadministracinrequieredelosconocimientosy habilidades matemticas, para la bsqueda y solucin de problemas que se presenten en su mercadodetrabajo.Estaprimeraunidadsepresentacomounaherramientadeapoyoal estudiantequeleproporcionarlosconceptosyhabilidadesmatemticasfundamentales para su aplicacin en las asignaturas sustantivas de su perfil profesional. Usted ser capaz de platear y resolver problemas de ecuaciones, con la finalidadque utilice estastcnicasenlasolucindeproblemasdeaplicacinenlasmateriasdelosciclos sucesivos. El conocimiento que obtenga de esta unidad y su activa participacin en el desarrollo de ella, lepermitircomprenderlaimportanciadelasmatemticasenelcontextolaboral,adems de su aplicacin por medio de modelos matemticos en las PYMES de la comunidad. No olvide que el aprendizaje se logra con la perseverancia en el estudio y nosotros sabemos que usted es capaz de lograrlo, con dedicacin, constancia y amor a su carrera lograr xitos en esta unidad. xitos! Jos Haro B. Maritza Luna V. Rocio Lpez P. Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 5 CAPACIDADES a)Operacorrectamentevaloresenconjuntosdenmerosnaturales,enteros,racionales, reales. b)Realizaoperacionesdeadicin,sustraccin,multiplicacin,divisinyfactorizacinde expresiones algebraicas. c)Modelayresuelveproblemasdeaplicacindelosprocesosdeunaempresautilizando ecuaciones con una, dos y tres variables. d)Resuelveproblemasbsicosaplicandoinecuacioneslinealesycuadrticasconuna variable. e)Toma decisiones al plantear y resolver problemas aplicativos dentro de una empresa con programacin lineal. Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 6 DESARROLLO TEMTICO Sesin Nro 1: 1.1 TEORIA DE EXPONENTES MOTIVACION: COMPRAS POR INTERNET Actualmentelosnegociosestnencontrandounaliadomuy importante. Los clientes utilizan la Web para efectuar operaciones de comprassin asistir a las tiendas comerciales, pueden ver sus registrosdepreciosactuales.Adems,loscostosporestemedio son cada vez ms bajos, lo que permite a los centros comerciales en lnea reducir los costos a los clientes y darles mayores ofertas por su dinero.Para enero del ao 2010 se estima que en el Per existirn 20000 clientesqueharnusodeesteservicioyqueelcrecimiento mensual ser de 2% para los siguientes aos. 1.Cuntos clientes de compras por Internet existirn en el mes de febrero de 2010? 2.Cuntos clientes de compras por Internet existirn en el mes de junio de 2010? 3.Cuntos clientes de compras por Internet existirn despus de t mesesa partir de enero de 2010? Expresinalgebraica.-Eselconjuntodeletrasynmerosinterrelacionadosentresi, mediante operaciones de adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin o por algunas combinaciones entre ellos. Ejemplos: a) 5x4b) 8x2+5x-4c) 28x Trminoalgebraico.-Esaquelconjuntodeletrasynmerosinterrelacionadosentres, mediantelasoperacionesdemultiplicacin,divisin,potenciacinyradicacinoporalguna combinacin entre ellas. Ejemplos: a)-4x3yzb) x5c) ( )x100 Partes de un trmino algebraico -5x4 Valor absoluto y valor relativo.- El valor absoluto de un nmero es su valor sin considerar su signo; en tanto que su valor relativo, es su valor considerando su signo. Ejemplos: 1) nmero = 4 ( VA = 4yVR = 4)2) nmero =- 4(VA = 4y VR = -4 ) Suma algebraica A)Trminosdeigualsigno.-Seescribeelsignoigual,seguidodelasumadelosvalores absolutos de los trminos. Ejemplos 1)4 + 6 = 102) 6 8 = 14

Exponente Signo Parte Literal Coeficiente Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 7 B)Trminosdesignosdiferentes.-Seescribeelsignodelmayoryserestaelmayorvalor absoluto y el menor valor absoluto. 1) 4 + 6= 22) 6 10 = 4 , observamos que la resta se hace siempre:10 6 Valornumricode expresionesalgebraicas.-Es el resultado que se obtiene al reemplazar la parte literal de una expresin algebraica por los valores arbitrarios atribuidos a sus letras. Ejemplo : Determinar el valor numrico de X = ( )( )( ) c p b p a p p ; si a = 9; b = 4; c =16 y p =24. Solucin.- Reemplazando valores: X=( )( )( ) 24 24 9 24 4 24 16 = \24 (15) (20) (8)= 240 Potenciacin Consideremos: Conclusin En la potenciacin en general podemos definir:a a a ... a = se lee: a elevado a la n ( n veces).n es un nmero natural que se llama exponente.a es un nmero cualquiera que se llama base. Lo anterior nos sugiere las siguientes propiedades: Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 8

Reglas de los Exponentes: -Para multiplicar factores exponenciales que tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes. Ejemplo: -Para multiplicar factores que tienen base diferente y exponentes iguales, el exponente se queda igual.Ejemplo:( )8 4 242x x xx= = -En divisin, si tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes, se restan los exponentes. Las variables m y n son enteros positivos , m > n.Ejemplo: -En suma y resta, solo se procede si son trminos similares, en otras palabras lo que difiere es su coeficiente numrico. Reglas Bsicas de Exponentes: Regla:Ejemplo: an Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 9 Radicales Un radical es una expresin en la forma: nb Cada parte de un radical lleva su nombre, El ndice debe ser un entero positivo. Para una raz cuadrada, el ndice 2 es usualmente omitido. Propiedades de los Radicales: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 10 Ejemplo: Variados: - xpamp p ppam = ...... (x radicales) - xbnxamxbnam= - xa a21... =(x radicales) - xbnamxxbnam= - mnpaxmn pax = - xbnxamxbnam= - abcdq pdncdmbcd a b c d q p n m = Recordar: -Todo nmero elevado a cero es igual a la unidad: a0= 1 -Para multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes: a5. a 3= a8 -Para dividir potencias de la misma base, se restan lo exponentes: a5/ a 3= a2 -Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes: (a5)3 = a15 -Una potencia con exponente negativo ser lo mismo que uno partido por la misma potencia conexponente positivo: a- 5= 1 / a5 -Una potencia con exponente fraccionario, equivale a una raz: a3/4= Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 11 1) 32x + 5= 37 2) 5x + 3= 25 3) 21 + x= 42 - x

4)8 212= x

5) 1 56 52=+ x x 6) 3x. (32)x= 93

7) 10x/ 103= 8) 1000 . 10x= 9)6 2161 2= x 10)x xa a =3 5 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 11. Determinar: a) ) 7 ( 77 711 3+ +nn nb*) m mm m3 ) 3 ( 5) 3 ( 5 311 3+++ + 12. Calcular: a) 1 11 1 +b ab a b)(a-1 + b-1)(a + b)-1 c*) 2 21 1 +b ab a ab 13. Determinar:a) 7 32 3) 3 ( ) 35 () 45 ( ) 21 ( b) 2 9 43 3 630 14 1580 35 21x xx x c*) 7 8 9 62 5 13 37 30 2 621 15 14 10x x xx x x 14. Hallar: a*) 1 2 31145231 |.|

\|+ |.|

\|+ |.|

\| b) 31112 25322551(((

|.|

\| +(((

|.|

\|+ |.|

\| 15. Calcular: a) 2 22 316 84 2+ + +n mn m mxxb*) ( )nn

222232 2) 4 ( 16 16. Determinar: a) ( ) { }7 / 3 2 / 7 3 / 8 2 b*)( ) { }8 / 7 5 / 12 3 / 5 4 17. Determinar:a*) n mm nn my xy x+ b) 322242++++nnn nn naa ACTIVIDAD 1.1 Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 12 18. Reducir:a*) 6 2 12 5 4 k k kb) ac bc c - b xa c ab b ax x 19. Simplificar: a) 3 43 433

yx

xyyx b*) 5 35 3 3 5

xx x x 1.Reducir : bb ab 2 a b a183 . 16 . 6+ + a) 2 b) 4 c) 6 d) 8e) 12 2.Reducir :veces n .... n n nveces n ..... n n nn n n2n2n2n+ + + n e Z; n > 2a) 1 b) n c) n-1d) nne) nn 3.Simplificar :| |yy2y3yyyxx x((((

a) xy b) x c) x-y d) yxe) 1 4.Calcular el valor de:5 , 03233192) 2 , 0 ( 221C(((

|.|

\|+ + |.|

\|=a) 1/8b) 1/4c) 1/2 d) 16e) 8 5.Simplificar :x 1 x 3 xx2 2 2) 6 ( 5 + + a) 3b) 1c) 0d) 3xe) 10 6.Simplificar : n1 n 2 n2 n 24 42 5 + a) 2nb) 2-nc) 22/n d) n2 / 1 e) 1 7.Reducir :n3 n3 n 32 n3 n 37 n 1 n4 . 2 8 S+++ +||.|

\|= a) 2b) 4c) 16d) 8ne) 2n

8.Simplificar :abc b a a c bc b a) b .( ) a () a . b ( a) a/b b) b/a c) 1/abd) abe) 1 9.Simplificar :1xx1xx0x2 2 / xx((((((

(((

a) x-2xb) x-xc) x2x d) xxe) x4x

10. Resolver :nx n 2 xn x n xx xx xS++=+ + a) x-x b) x c) xn d) xx e) 1/x 11. Siaa=4 .Calcular :

8 / 11 a 2a1 aaa a||.|

\|++ + a)242b) 252c) 262d) 272e) 282

12.El valor de x que satisface la ecuacin exponencial es : x 2 32753 x 29125= a) 3/2b) 2/3c) 7/5 d) 5/7e) 1 13.Resolver : x)31(27913 = a) 1b) 2c) 1 d) 2e) 3 14.Resolver : 511 x245 = a) 2b) 3c) 1 ACTIVIDAD 1.1.1 Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 13 d) 1e) 5 15.Hallar x de :2x82481

21= a) 1/4b) 3c) 13 d) 10e) 2 16.Se al ecuacin : 4 x2 55 x26 x24 x3 25 x3+ +++=+ + el valor de x que la verifica es : a) 0b) 4c) 4 d) 1e) 1/4 17.Hallar x si : 6 ) 1 x () 1 x () 1 x () 1 x ( 3 =++++ a)1 2 + b)2 c)2 2d)1 2 e) 22 18.Resolver : .. .......... x 3 x 3 x 3 x + + + = a) 2b) 8c) 6 d) 4e) 16 19.Calcular : 3xx2Si : 2121 xx = a) 8b) 16c) 4 d)2 e) 42 20.Resolver :( )322xx 2 = e indicar el valor numrico de :2 x + a)2 2 + b)10 c)2 3d)4 4 + e)2 5 21.Calcular : 2 x1 x E++ =Si : 2721 x1 xx =++ a) 81b) 243c) 9 d) 27e) 2 22.Resolver : 33) 2 x () 2 x () 2 x ( =+++ a)233 + b) 33 c)233 d)2 3 e)2 3 + 23.Hallar x de :2) 2 x (2 2 x+ = a)2 b)2 2 c)2 4d) 22 e) 1 22 1.Hallar: a*) 1 23 / 1 2 / 13 227 4 b) 131412271811251|.|

\|+ |.|

\|+ |.|

\| 2.Calcular: a*) 13812425 16+b) 14625243008 , 0 3.Simplificar: a*)| | { }21/5 1/2 3 1) m ( m m b) n 2 n n 4 - n4 2 2+ 4.Computar: a) 5 2 3 432 8b) 46 55 105 , 0154 818 12|.|

\|xx 5.Determinar: a) 1 2 1 2 52 1 1 2 37 2 7 27 2 7 2+ + ++ + +m m m mm m m mx xx x b) ( )5 33 15 3 527 39 3 9 Autoevaluacin 1.1 1Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 14 6.Calcular: a) nn n nn n n n n nc b ac b c a b a + ++ + b) 5 203 4 62 22 2 2 7.Simplificar: a)abc b a a c bc b ab aa b+ ) ( ) () ( b) nn nn21 34 42++ 8.Calcular: a*) p q q px x +++ 1111 b*) z y xx+ ++ + + z x z y y xz y5 3 2450 180 300 9.Efectuar: )` |.|

\|548422 2cb acb acb a a)( )| |1 ) 1 ( ) 1 ( + + + +b a b bb a ba ab 10. Calcular: a)22 2 2) 2 10 (2 4 2 6nn nxx x + b)2 2 2) 2 ( 2 ) 5 , 0 ( 25 , 21x xnn n 11. Simplificar: a)b aaa b b aabb b a1 ) ( b) nn nn n1 1 21 2 1 33 33 3+ ++ +++ 12. 13. 14. 4x + 2x + 1 - 80 = 0 15. 2x + 3 + 4x + 1 = 320 16. 9x + 1 + 3x + 2- 810 = 0 17. 2x + 2y= 32 23x - 5y= 16 18. 3x = 3y 4x . 4y= 256 19. 5x = 5y. 625 2x. 2y= 256 20. Simplificar: a) 12 4 26 2 3 2ab b ab a b*) 5 , 05 / 4 3 / 2321271)`|.|

\|+ |.|

\| 21. Calcular:a)323 13 26 62323 )`+ |.|

\|+ |.|

\| b) 1 3 39215121 |.|

\|+ |.|

\|+ |.|

\| 22. Hallar x en: a) 16 481 3 =xb)6561 322=x*c) 2444 8 =x 23. Hallar x en: a) x3 22 += 2048b) 32278491= |.|

\||.|

\| x x

Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 15 *c) 16934431= |.|

\| x 24. Hallar x en: a) 3393 27 =+xb) 293327 3 +=x xc) 27 9424 x= 25. . Seale verdadero (V) o falso (F) I. Si (-2)x = -8, entonces x = 3 II.Six5 = 35, entonces x = 3 III. Six2 = 42, entonces x = 4 a) VVVb) FFVc) VVF d) VFVe) FVF Universidad Cesar VallejoMatemtica Superior I 16 MOTIVACION - INTRODUCCIN: 01. BINOMIO AL CUADRADO. ( Trinomio Cuadrado Perfecto) *(a+b)2 = a2 + 2ab +b2

*(a - b)2 = a2 -2ab +b2

02. SUMA POR DIFERENCIA(Diferencia de Cuadrados ) * (a+b)(a-b) = a2 - b2 03. BINOMIO AL CUBO *(a+b)3 = a3 + 3a2 b +3ab2 +b3 forma desarrollada *(a - b)3 = a3-3a2 b +3ab2 - b3 *(a+b)3 = a3 + b3 +3ab(a +b) forma semidesarrollada *(a - b)3 = a3 -b3 -3ab(a - b) 04. BINOMIO POR TRINOMIO(Suma o Diferencia de cubos ) * (a+b) (a2 - ab +b2 ) = a3 +b3 * (a - b) (a2 +ab +b2) = a3 - b3

05. BINOMIO CON UN TERMINO COMUN * (x+b)(x+d) = x2 + (b+d)x + bd 06. PRODUCTO DE BINOMIOS * (ax+b)(cx+d) = acx2 + (ad+bc)x +bd 07. TRINOMIO AL CUADRADO * (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bcforma desarrollada * (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)forma semidesarrollada 1.2. PRODUCTOS NOTABLES Productos Notables o Identidades Algebraicas:Son productos indicadosquetienenunaformadeterminadadeloscualesse puede recordar fcilmente su desarrollo sin necesidad de efectuar laoperacin,llamadastambinEQUIVALENCIASNOTABLES.Las ms importantes son: Universidad Cesar VallejoMatemtica Superior I 17 08. TRINOMIO AL CUADRADO * (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3a2b + 3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3c2b+6abc * (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c) Escribir el resultado de 1. 2) 3 ( + p 2. 2 2) 1 ( x 3. 2 3 2) ( by ax + 4. 2) ( bn am+ 5. 6.( )22( ) a b a b + + 7.( )22( ) a b a b + 8.) )( ( y x y x +9.) 1 )( 1 (2 2x x + 10.) )( (3 2 3 2by ax by ax + 11.) )( ( bn am bn am +12.) )( ( z y x z y x + + + 13.) 3 )( 3 ( + x x14.) 6 )( 6 ( + m m15.) 4 )( 4 ( +x xa a 16.) )( (3 2 3 2b a b a + 17.) )( ( y x y x + 18.) )( (21212121a a a a + ACTIVIDAD 1.2Universidad Cesar VallejoMatemtica Superior I 18 1.Reducir :402) 6 x (2x ) 2 x )( 1 x )( 4 x )( 5 x ( + + + + + a) 0b) 13 c) 13x (x+6) d) 91e) x (x+6) 2.Calcular :3 4843 232 2 432 2 4 E +||.|

\| + + = a) 2b) 3c) 1d) 4e) 9 3.Calcular el valor numrico de :16 8y )4y4x )(2y2x )( y x ( 2 E + + + + =Para :x = 8 ;y = 6 a) 2b)2 2 c)2 4 d) 8e)2 8 4.Si : 4x1x = +; calcular :

x12xx11 E + + =a) 16b)2 2 c) 3 2d)2 e) 4 5.Si para : 0 y x = + se verifica :y x3y 3 x 33y3x = + + +Entonces el equivalente de : 9 2xyes : a) 1b) 0c) xd) ye)9y 6.Sabiendo que se verifica la relacin : 2) b a ( ) b x 2 a )( b x 2 a ( = + + + Reducir : b x 2 a) b x )( a x (E+ ++ +=a) 0 b) xc) 2x d) 2x e) abx 7.Calcular :||.|

\|+++||.|

\|+=1 x 26 yxyxy x3 xyE 2 - 5 y2 5xpara=+ = a) 1 b) 1,5c) 2 d) 2,5 e) 3 8.Sabiendo que : x 2 23 2 x = +Calcular el valor numrico de : 8 / 1) x 2 (2 xE+=a) 0b) 4 c) 2d) 3e) 5 9.Si :7nanbnbna= + ; el valor de : n nn nb ab aE+= es : a) 3b) 3 c)2 d) 2 e) N. A. 10. Hallar el valor numrico de:310 3 6310 3 6 S + = a) 1 b) 2 c) 2 d)2 2 e) 4 11. Si a y b verifican la relacin :) 1 b )( 1 a ( 12) b a ( + + = + +Calcular : ) 1 b (2b) 1 a (2aR= a) 1b) -1c) d) -1/2e) -2 12. Se cumple :z y 2 x4z y1y x1+ +=+++ Calcular : 2) z x (z2z x2xN+ + +=a) 1b) -1c) 1/2d) -1/2e) 1/4 13. Si:{ } N q ; p ; n ; m c ,tal que : II .... 24x 2q2px2n2mI ..... 6xpqxmn= = + Calcular :xpqxmn a) 3b) 0c) 1d) 2e) 4 14. Si : 37 1 x + = ; 136 y = Calcular el valor numrico de : 83xx2x3y 5y2yE++= a) 1/3b) 2/3c)3 d) 4/3e) 5/3 15. Si a y b verifican las ecuacionesACTIVIDAD 1.2.1Universidad Cesar VallejoMatemtica Superior I 19 103) 12b2a () 1310 (310 1 ab= + = Hallar : 474) b a (4) b a ( E + = a) 3b) 4c) 6d) 8e) 10 16. Calcular p para que la igualdad ) z y (x ) z y x ( ) p z y x ( P2 2 22 2 2 2 2 2+ ++ + + + + =Se convierta en una identidad. a) x+y+z b) 2(xy+xz+yz)c) x2+y2+z2 d) xy+xz+yze) xyz 17. Si :a + b + c = 0; abc = 4Calcular el valor numrico de :E = ab(a + b)4 + ac(a + c)4 + bc(b + c)4 a) 32 b) 48 c) 52 d) 72e) 36 18. Si :x 3 12x = +Calcular : 7x 13)2x3x )(8x x ( 20E+ +=a) 5b) 10 c) 1 d) 25 e) 4 19. Si se cumple que : x2 3x + 1 = 0 Calcular :5x3x5x7xE+ = a) 7 b) 2c) 3d) 4e) 6 20. Calcular m para que el trinomio : F(x,y) = mx2 + 3mxy + 9y2

Tengarazcuadradaexacta,eindicarelvalorde:m2m a)2 4 b) 2c) 8 d)2 3e) 12 21. Hallar el valor numrico de :E = (a2 b2) [(a2 + b2)2 a2b2]Sabiendo que :1 2 a3+ =1 2 b3 =a) 9b) 2 4c) 2 6d) 6e) 1 22. Sabiendo que :(a+b+c)2 (a2+b2+c2) (ab+ac+bc) = 2 Hallar :a2 + b2 + c2,siendo: ab+ac+bc = 1 a) 2b) 1c) 1 d) 1/2e) 1/2 23. Si : {x ; y ; z} c Rtal que :x2 + y2 + z2 + 14 = 2(x + 2y + 3z)Hallar el valor de :3z3y3xxy z ) z y x (S+ + + += a) 1 b) 2c) 3 d) 4 e) 5 24. Si :3 32 4 x + =Calcular : ) 6 x )( 6 x ( x P + =a) 6b) 9 c) 3d) 2 e) 0 1. Escribir el resultado de : 1) 2) 1 ( + x2)) 10 )( 11 ( + a a3)) )( ( a x x a + 4) 2 2) 3 1 ( x +5)) 2 1 )( 2 1 ( xy xy + 6)) 1 )( 1 ( a a + 7) 8)) 3 )( 3 (2 2y y y y + 9) 2 1 2) ( +y xc b10)) 2 )( 2 (7 7+ a a11)) )( (n m n mb a b a + 12) 2) (n my x 13)) 2 )( 2 ( c b a c b a + + 2. Simplificar: ||.|

\|+ |.|

\| |.|

\|+221 1 1xxxxxx 3. Si : a+b=3yab=1. Hallar el valor de:5 5a b + 4. Si : x2 +2y2= m+n y 2xy=m-n Hallar:x4 +4y4 AUTOEVALUACIN 1.2 Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 20 5.Hallar el valor de: 2 2 2 2) c b a ( ) c a ( ) c b ( ) b a ( + + + + + + +Si:7 c b a2 2 2= + + a) 5b) 6 c) 7d) 8e) 9 6.Efectuar:

3 6 3 3 6 3n m m m . n m m m + a) m b) nc) 2md) 2n e) 1 7.Si:yz 8 yz 2 x yz 2 x = + +Calcular:yz 2 x yz 2 x + a) 3b) 2c) 1 b) 1/2 e) 1/3 8.Si:x ) 2 3 ( ) 1 x (2+ = +Calcular: 1 x) 1 x (F42 2++= a) 2b) 3c) 4 d) 2 e) 3 9.Si:0 c b a3 3 3= + +Calcular: ) c b )( c a )( b a (abc 27 c b aP3 3 3+ + + + += a) 0b) 1 c) 3 d) 3e) 1 10. Efectuar: ) 4 x )( 3 x )( 5 x )( 2 x ( ) 3 x )( 2 x )( 4 x )( 1 x ( + + + + + 56 ) 10 x x ( 22 2+ + a) 5x 20b) 3(x 10) c) 1 d) x2+3x-84e) 0 11. Efectuar: 12 4 2 2 4 2 2 3 3 2 2b ) b b a a )( b ab a )( b a )( b a )( b a ( + + + + + a) a12 b) a12c) 2b12 d) a24 e) 2a12 12.Si se cumple que: (a + b + c)2 = 3 (a2 + b2 + c2) donde : {a ,b , c} c R, hallar el valor de: 2 22 2c 3 a 2) b 3 a 5 ( 4T+= a) 2b) 4c) 8d) 16 e) 32 13. Si :2 c ; 2 b ; 2 a3 6= = = . Calcular: 3 3 3 3) c b a ( ) b a c ( ) a c b ( ) c b a ( H + + + + + = a) 12b) 24c) 48d) 64 e) 128 Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 21 . 01.FACTOR COMN ( ) a x y ax ay + = + 02.FACTOR POR AGRUPACIN DE TRMINOS ax bx ay by x(a b) y(a b) (a b)(x y) + + + = + + + = + + 03.DIFERENCIA DE CUADRADOS. ( )( )2 2a b a b a b + = 04.BINOMIO CUADRADO PERFECTO ( )( )22 222 222a b a ab ba b a ab b+ = + + = + 05.SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS ( )( )( )( )3 3 2 23 3 2 2a b a b a ab ba b a b a ab b+ = + + = + + 06.Generalizando ( )( )1 2 3 2 2 1 n n n n n n na b a b a a b a b ab b = + + + + +( )( )1 2 3 2 2 1 n n n n n n na b a b a a b a b ab b + = + + + +07.TRINOMIO DE LA FORMA 2x bx c + + . 21 2x bx c (x )(x ) o o + + = + + Ejemplos: Factorizar las siguientes expresiones. 2x 3x 10 + Pasos: 21 2x 3x 10 (x )(x ) o o + = + 1 23 o o + = 1 2* 10 o o =En este ejercicio es fcil ver que los valoresson:1 25y 2 o o = =por lo tanto la solucin es:2x 3x 10 (x 5)(x 2) + = + . 1.3 FACTORIZACIN DE POLINOMIOS Factorizar un polinomio es el primer mtodo para obtener las races o ceros de la expresin. Para factorizar se comienza con una regla que te permite desarrollar la destreza, para aplicarla a ejercicios de mayor dificultad Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 22 08.FACTORIZACIN POR COMPLETACIN DE CUADRADOS. ( )22ax bx c x | | + + = + +con a | = , b2 a| = , 2bc4a = 09.Para cualquier polinomio que tenga races enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que un polinomio tienes races enteras es encontrar valores de x nmeros enteros que al sustituirlos en el polinomio nos da cero.Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto grado tiene cuatro races enteras,,, y se factoriza as:

1.Factorizar: 1.1.a a +2 1.2.yz xy 1.3. 3 53 m m 1.4. 2 3 235 7 ax x a 1.5. 9 3 63m m m + 1.6. 26 9 m m+ 1.7. 2 2) 1 ( ) 1 )( 1 ( 4 ) 1 ( 4 + + + m m n n 1.8. 229 29s rsr+ + 1.9. 2 2) ( ) ( 2 y x y x x x + + + + 1.10. 2 29 4 v u 1.11. 4 6 29 1 w v u 1.12. 4941 a 1.13. 12144910 6a x 1.14. m nb a2 4225 1.15. 412 4+ + a a 1.16. 4 2 4 89 6 v v u u + + 1.17.10 32 + m m 1.18.6 72+ + c c 1.19.304 8 + y y 1.20. 4 44b a + 1.21. 8 8a b 1.22. 53 48 u u e dx cx bx ax + + + +2 3 41x2x3x4x( )( )( )( )4 3 2 12 3 4x x x x x x x x a e dx cx bx ax = + + + +ACTIVIDAD 1.3Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 23 1.Indique el nmero de factores primos lineales de :P(x;y) = x8y + 3x7y + 2x6y + 6x5y a) 1b) 2c) 3 d) 4e) 48 2.Indicar un factor primo de :F(x;y) = x3 + x2 + x2y + y2 + 2xy a) x2+yb) x2+y2+yc) x+y2 d) xy+x2+y2e) x2+x+y 3.Indicar un factor primo de :F(x;y) = (x+y) (xy+z) (x2y2) x y a) x-yb) x+y+1c) z-x-y d) z-1e) xy-z 4.Indicar la suma de factores primos de :F(x;y) = x2 + x y2 y + x2y xy2

a) 2x+2y+2b) x+2yc) 2x+2 d) 2x+ye) 2x-2y 5.Factorizar los polinomios :F(x) = 9x2 25G(x;y) = 8x3 y3

R(x;y) = x9 + x6 x3y2 y2

6.P(x,y)comosumadefactoresprimostiene: 4 4) y ; x (y 64 x P + =a)xy 8 x 22+b) 2 2y 16 x 2 +c) 2x 2d) 2 2y 8 x 4 + e) 2x 4 7.Indique un divisor del polinomio : F(x;y) = (x+y)3 + 2xy (1-x-y) 1 a) x+yb) x-y+1 c) x2+y2-x+y+1d) x2+y2-x-y+1 e) x2+y2 -x+y-1

8.Factorizar los polinomios : F(x) = 15x2 + 14x 8G(x;y) = 21x2 31xy + 4y2

R(x) = 8x4 2x2 3 9.La expresin :R(x) = 8x2 mx 15Se factoriza : (8x + a) (bx 5)Indique : a + b + m a) 41b) 33c) 34 d) 40e) 3910. Indicareltrminoindependientedeunodelos factores primos del polinomio :P(x) = 3x8 + (15a 2b)x4 10ab a) 5b) 2a c) b d) 2b e) 3a 11. Factorizar :P(x,y,z,w) = (w+x) (w+y) (x+z) (y+z)Indicar un factor primo.

a) w+zb) x+y+z+wc) x-y d) x+ye) x-y+z-w 12. Al factorizar :P(x) = (x+1)(2x+1)(3x+1)+(x+1)2+x+x2

Presenta un factor primo de la forma :(a+1)x +aHallar la suma de los valores que tomaa. a) 5 b) 2 c) 1d) 3 e) 8 13. Al factorizar :R(x,y,z) = (6x+7y+18z) (x+3y+3z) + 3y2

Indiquelamayorsumadecoeficientesobtenidaen algn factor primo.

a) 20 b) 11 c) 21 d) 32 e) 17 14. Factorizar:92x 24x) x (P + + = eIndicarla sumadelostrminosindependientesdelos factores primos. a)1b) 2c) 3d)6e) 10 15. Factorizar e indicar un factor primo de: |.|

\|+ + +2ab b2a 33b 93aa)|.|

\| b 32a b)|.|

\|+ b 32ac)( ) b 3 a+d)|.|

\|2b 32ae)( ) b 3 a 16. Factorizar322x 924x 30 + eindicarun trminoindependienteyelcoef.principaldeuno de ellos. a)10 y -8b) 10 y 3c) 8 y 3d)6 y 4 e) 11 y -12 17. Factorizareindicareltrminoindependientede uno de los factores primos de grado n en :mx 10n mx 7n 2 mx) x (P ++++=a)0 b) 1c) 2 d) 3e) 4 ACTIVIDAD 1.3.1Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 24 18. Factorizar : 2 2) y , x () 2 y ( 3 ) 2 y )( 3 x ( 2 ) 3 x ( A = Luegodarcomorespuestalasumadelos trminos independientes de cada factor primo. a)5b) -5c) 2d)-2e) -8 19. Luego de sumar los factores primos de:)2a 2 ax 62x 2 ( ax2)2a ax 32x () a , x (F + + + = se obtiene : a) 2) a x ( 2 b) 2a ax 32x 2 +c) )2a ax2x ( 2 + d) 2a ax 32x + e)2a ax2x + 20. Un factor primo repetido en : 5 x ) 6 x )( 5 x ( ) 7 x )( 6 x )( 5 x () x (P + + + + + + + + = es : a)(x+5)b) (x+6)c) (x+7)d)(x+8)e) (x+18) 21. Factorizar : 4y 542y2x 154x 4) y ; x (R + = e indicar un factor primo lineal.

a)(x+6y)b) (2x+3y) c) (3x+2y)d)(y+6x)e) 6x+y2 22. Factorizar:92x 24x) x (P + + = eIndicarla sumadelostrminosindependientesdelos factores primos. a)1 b) 2c) 3d) 6e) 10 23. Factorizar :M(x) = (ac-bdx)2 + x(bc+ad)2 Indiquelasumadecoeficientesdelosfactores primos obtenidos.

a) a2-b2-c2+d2 b) a2-b2+c2-d2 c) a2+b2-c2-d2 d) d2-c2+b2-a2 e)a2+b2+c2+d2 24. Factorizar2b2a ) a x ( b 2 ax 22x) b , a , x (P + + + + + =e indicar la multiplicidad de un factor primo. a)1b) 2c) 3 d) 4 e) 5 25. Sealar la suma de los factores primos de:2)2c2b (2a )2c2b ( 24a + + a)a+b+cb) 2a+3b+4c c)a+b-cd) 4a e) 0 2.Factorizar las siguientesexpresiones: 1) 3 4 4 5abx bx ax x + 2) 2 2 5 3 3 2 2 5 3r q p r q p r q p + 3)252 m4) 4 2 2 449 70 25 y y x x + +5) 2 42 1 x x + +6)uv v u u 15 12 92 2 3 +7)2566 4 2 c b a8) 2 4 230 25 9 uv v u +9) 2 4 8 12 16 20a a a a a a + + 10) 4 3 5 711 7 3 a a a a + 11)400 412+ u u 12) 4 3 5 711 7 3 a a a a + 13) 224b aba+ 14)m ab bx a b a ab b a2 2 2 3 24 8 5 6 3 + + + 15) 5 4 2 5 3 3 5 3 4 5 5 2 5 4 32 c b a c b a c b a c b a c b a + + + + 16)30 52 3 4 + + x x x x17)3 22 x x18)) ( ) ( ) (2 2 2b a c a c b c b a + + 19)) )( ( ) )( (2 2 2 2y x z x z x y x 20) 2 4 2 2 3) ( ) ( x x x x + +AUTOEVALUACIN 1.3 Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 25 3.Cuntos factores de primer grado admite la expresin: 4 42 3 5 + a a a4.En cuntos factores se descomponen la expresin: 13 7 764 ab b a 5.Proporcionar la suma de factores al factorizar la expresin 2 2 2 2 2) ( 4 ) 1 2 ( b a ab b c a + + + + en 4 factores. 6. La suma de los factores de: :2 2 3 2 2 2 2es z xy z xy yz x z y x + 7. Al factorizar el polinomio: 16 8 22 2 2+ + x z yz y xLa suma algebraica de los trminos independientes de los factores primos es: 8. Al factorizar 1 2 22 3 4 5 + + x x x x x se obtuvo una expresin de la forma: |) 1 ( ) 1 ( + x xHallar o+| 9. La suma de los Factores de 2 2 2) 1 2 ( ) 1 ( + + + x x x al factorizar es: 10.Cuntos factores se obtienen al factorizar x6-m6 ? Saber no es suficiente; tenemos que aplicarlo. Tener voluntad no es suficiente: tenemos que implementarla. (Tonatihu) Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 26 Sesion Nro. 02 MOTIVACIN Milagros, una costurera, dice: Gast los 2/7 de lo que tena en comprar telas y S/. 20 ms en hilos, quedndome con la quinta parte de lo que tena y S/. 16 ms. Cunto tena Milagros? Lasecuacionesseconviertenenidentidadessloparadeterminadosvaloresde la(s) incgnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuacin. El ingreso total de una cafetera con base en la venta de x cafs especialesestdadoporr=2.25xysuscostostotalesdiarios estn dados por c = 0.75x + 300.Cuntoscafsespecialessenecesitanvendercadadapara obtenerelpuntodeequilibrio?EnotraspalabrasCundoelingreso es igual a los costos? Rpta. 200 cafs especiales. 1.1.ECUACIONES 1.1.1.DEFINICION Unaecuacinesunaproposicinqueindicaquedos expresionessoniguales.Lasdosexpresionesqueconforman 2. ECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS Es una expresin algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuacin debe tener al menos una variable o letra, llamada incgnita. Qu es una ecuacin? DEFINICIONES Qusolucin planteas?

Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 27 unaecuacin son llamados sus lados o miembros, y estn separadaspor el signo de igualdad. Ejemplo: Ejemplo de ecuaciones a.x + 2 = 3 b.x2 + 3 x + 2 = 0 c. 64 = yy d.w = 7 - z Cadaecuacincontienealmenosunavariable,queesunsmboloquepuedeser reemplazado por un nmero cualquiera de un conjunto de nmeros diferentes: x, y, z .... Nmeros y se conocen como constantes, ya que son nmeros fijos: 2, 3, .... Lasecuacionesseconviertenenidentidadessloparadeterminadosvaloresde la(s) incgnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuacin. Ejemplo: Laecuacin:3X-8=10slosecumpleparaX=6,yaquesisustituimos dicho valor en la ecuacin quedar la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que X=6eslasolucindelaecuacindada.Dehecho,eslanicasolucin.Si usramos, por ejemplo, X = 2, resultara -2 = 10 (un absurdo) Una ecuacin puede tenerninguna, una o varias soluciones. Ejemplo: -5x 9 = 1 es una ecuacin con una incgnita con una solucin, x = 2 -X2 + y2 + 5 = 0 es una ecuacin con dos incgnitas sin solucin, pues la suma de dos cuadrados es un nmero positivo, a partir del cual no se puede obtener 0 sumndole 5. -2x + 3y = 15 es una ecuacin con dos incgnitas que tiene infinitas soluciones, como: x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15. 1.2.ECUACIONES LINEALES1.2.1.DEFINICION Unaecuacinlinealenlavariablexesunaecuacinque puede escribirse en la forma: ax + b = c donde a, b y c son constantes y a = 0 Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 28 Tambin se le conoce como ecuacin de primer grado o ecuacin de grado uno, ya que la potencia ms alta de la variable que aparece en la ecuacin es la primera. Ejemplo: Resolver -5x 6 = 3x -2(p + 4) = 7p + 2 - 648 923 7=+ x x Para resolver una ecuacin de primer grado se recomienda que las incgnitas estn en un mismo miembroy las cantidades numricas o conocidas enel otro y as se podr despejar ms fcil. Ejemplo: Resolver(a + c) x + x2 = (x + a) 2para x 1.2.2.ECUACION COSTOS, INGRESOS Y UTILIDADES Todo negocio, consiste bsicamente en satisfacer necesidades ydeseosdelclientevendindoleunproductooserviciopor ms dinero de lo que cuesta fabricarlo.La ventaja que se obtiene con el precio, se utiliza para cubrir los costos y para obtener una utilidad. Lamayoradelosempresarios,principalmente depequeasempresasdefinensuspreciosde ventaapartirdelospreciosdesus competidores, sin saber si ellos alcanzan a cubrir loscostosdesusempresas.Laconsecuencia inmediataderivadadestasituacinesquelos negocios no prosperan. Conocer los costos de la empresaesunelementoclavedelacorrecta gestinempresarial,paraqueelesfuerzoyla energa que se invierte en la empresa den los frutos esperados. Porotraparte,noexistendecisionesempresarialesquedealgunaformano influyan en los costos de una empresa. Es por eso imperativo que las decisiones a tomarsetenganlasuficientecalidad,paragarantizarelbuendesenvolvimientode las mismas. Veamos un ejemplo: Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 29 Ejemplo: Muebles IKASA vende en su sede del centro de Lima muebles de oficina, en donde se tienen los siguientes costos de un modelo nuevo que se est ofreciendo en esta sede: COSTOS FIJOS Alquiler del local de ventas S/ 1,900 Sueldos y jornales vendedora S/800 Energa elctricaS/400 TelfonoS/100 ImpuestosS/473 Honorarios Contador S/827 TOTAL S/4,500 COSTOS VARIABLES Costo por unidad de cada juego de muebles S/ 1,500 Porotro lado, el juego de muebles se estvendiendo aS/. 2.000. En este primer mes la gerencia se ha propuesto una utilidad de S/. 20.000. Por lo tanto, cuntos juegos de muebles debe vender para obtener la utilidad propuesta? Solucin: Cul es nuestra incgnita?........................................................................ As, sea x:............................................................................................... Por lo tanto, la inversin total para dicha cantidad de juegos de muebles es EstainversinsedenominaCostoTotalytalcomotehasdadocuenta,sise produce x unidades entonces la inversin es igual a: ...... .......... .......... .......... .......... ... .......... .......... .......... .......... + =TotalCPor otro lado, teniendo en cuenta la venta decada par de zapatos a: Venta:Cada juego de muebles se vende a S/. 2,000 por lo cual si se venden un total de x muebles, se obtendr un ingreso de: Dicha cantidad se denominaIngresoTotaly por lo cual se dice que, si se vende x unidades entonces el ingreso total es igual a: ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... =TotalIUniversidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 30 Teniendoencuentaello,porlosxjuegosdemueblequeproduceyvendese obtendr una ganancia de: ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... =TotalGPor otro lado, la gerencia se ha propuesto obtener un ganancia total de S/. 20.000. Por lo tanto reemplazando: 000 20 ....... .......... .......... .......... .......... .......... .......... = =TotalGAs el nro. de juegos de muebles a producir y comprar es:..................... EJEMPLOS DE APLICACIN: 1.Elexcesodeldobledeunnmerosobre18esigualaltripledelnmero disminuido en 10. Cul es el nmero? Resolucin: -Sea x el nmero -El exceso del doble del nmero sobre 18 es: 2x 18 -El triple del nmero disminuido en 10 es: 3(x 10) -Luego, segn el enunciado 2x 18 = 3(x 10) Resolviendo: 2x 18 = 3x 30 .12 = x. Por tanto.El nmero es 12. 2.Se tienen dos nmeros, el mayor excede al menor en 15 unidades. Si al menor se le aumenta sus 3/4, resultara lo mismo que la mitad del mayor Resolucin: Recuerda que: Si A excede a B en 15, entonces: .A + B = 15. -Sean los nmeros: # menor = x # mayor = x + 15 -Segn el enunciado ( )215432#43#+= += |.|

\|+xx xmayorsus menor Resolviendo4x + 3x = 2(x + 15) 7x = 2x + 30 5x = 30 .x = 6. -Luego los nmero son: .21 15 66= + ==# mayor# menor. Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 31 ACTIVIDAD 2.1 Instrucciones.Acontinuacintepresentamosalgunosejerciciosde aplicacin en cada uno de ellos t mismo eres el protagonista. 1.0.2x = 7 2.3y = 0 3.2x 4x = -5 4.5x = 10 15 5.3 2x = 4 6.5x 3 = 9 7.2 x + 3 = 8 8.7x + 7 = 2(x + 1) 9.6z + 5z 3 = 41 10.2(p 1) 3(p 4) = 4p 11.t = 2 2[2t 3(1 t)] 12. 5x = 2x 6 13. 75y 76 = 2 4y 14.7 + 94x =2x

15. 3x 4 =5x 16.q = 23q 4 17. 2x + 3x= 7 18.3x + 5x 5 = 51 + 5x 19. 91 x 241 x2194 x43 x +++ =+ 20. 21. 105 x 83x 43x 741 x58 x 3 =+ 22. 1 x31 x2=+ 23.03 x113 x 213=+ 24.01 x 6x 61 x 32 x 3=+ 25.xx x =+ 1 )32 41 (3423 26.0252 x3= ++ 27. x 6x 7 3131x 49x 38x 27 = + 28. x323x5= 29.0x 25 x 23 x4 x=++ 30.07213x 241x 121x 91x 81= + + +31. x 141141x1x 78145x 43 + = 32.25 , 1x 6 , 15x 8 , 03= 33. x 5 , 11637x 6 , 05= + Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 32 1.Resolver : 4 - [2 x - (4-2x)-5]= x + (-5 + 2x) a) 15b) 16c) 4d) 3e) 8 2.Hallar x de : { } 8 )) x ( ( x 3 ) 2 x ( 3 ) 4 x 2 ( 7 x 2 + = + + a)-7/5 b) 22/7 c) 6/7d)-6/11 e) 6/11 3.Si al resolver : 4x (2x+3) (3x-5) = 49 (6x-1) (x+2) se obtienelafraccin irreductiblex = a/bentonces a + bes :

a)12b) 15c) 10 d) 14e) 13 4.Calcular x de:3(x - 4) + (x+3).(x-7) = (x+5)2 3 e indicar el valor numrico de:

7 x1 x E++ = a)16b) -4c) -5d) 6 e) 9 5.Hallar x de : 53 x42 x15x 761 x3x 2 += ++ a) 12/19 b) 76/25 c) 4/19d) 4 e) -2 6.Resolver : 1 x32 x41x32) 1 x (21 =||.|

\| + + a) 4/3 b) 4/3c) 2/3 d) 1/9 e) 1/9 7.Hallar x de la ecuacin :

06x 5513 x217261 x313= +||.|

\| ++||.|

\| a) 2/7b) 4/7c) 6/7d) 7/2e) 4/7 8.Hallar x que verifique la ecuacin: (2x3).(x2 + x 2) = 2x(x.x) x(x 5) + 6 a) 1/12b) 12 c) 0 d) 1 e) 1 9.Resolver para x : 2 a 3 x21a1 a =||.|

\|+ a)a b) a/2 c) 2ad)-a e) 3a 10.Resolver : 23 4 1 x x x + - - = A) 3B) 4 C) 5D) 6E) 7 11. Resolver la ecuacin se reduce a 1er grado en x.

ax2 + 2x + a = 5x2 3ax + 4 ; (a e R) a) 1b) 16 c) 15/17d) 1/17e) 1/9

12.En la ecuacin :x2 + 6x m = 0 Hallar m, si una raz es -2. a) -2b) -6c) -8 d) -4e) 4 13.Si en la ecuacin: x2 5ax + 3a = 0; unade las races es 2. Indicar el valor queadopta a. a) -5b) 5 c) -4/3 d) 4/7e) -4/7 14. Resolver para x :

2a2x ) 1 a ( a2) x a ( + = + a) 21 a +b) 21 a c) ad) a-1 e) 2a 1 15. Resolver para x : a(x-a) + 2bx = b.( b+2a+x ) a) a+2ab+bb) a+b c) 2b2a +c) abe)22b2a + + 16. Hallar x :

2b ) b 3 a 2 ( x2a ) b 2 a 3 ( x = a) a+bb) a-bc) ab d) 2b2a +e) b a2b2a++ 17. Resolver para x :

ab2a2bba b xab a x = + + a) 1 b) abc) a-bd) 2(a-b)e) 2(a+b) 18. Resolver en x : 01 bxa1 axa=+ a) b a2+b) b aa 2c) b a 23+ d) b 2 ab+e) b a1+ ACTIVIDAD 2.1.1Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 33 19. Resolver para x :2abb ab 2 a 2b xa x+ =+++ a) a+b b) a-bc) 1 d) 2b2a e) b ab a+ 20. Hallar x de :

aa x) a x ( a2xa x1 +=+++ a) 2a 1 b) 21 a + c) 2a

d) 1 a1 a+e) 1 aa+ 21. Para que valor de x en trminos de a y b se obtieneA = B donde : | |2x ) b x )( a x ( B) a x ( b ) b x ( a 2 A + + =+ + + = a) b aab+ b) b aab 3+c) b aab 3 d) b aab 3+e) b aab+ 22. Indicar el valor de x que haya posible la igualdad : ) 5 x (522x42 x) 1 x (32 =+ a)7 b) 8c) 9d)10 e) 11 23. Despejar el valor de x para que verifique : 2 x 48531 x 242 x1 x++ =++++ a)1/4 b) 1/2 c) 2/3d)1/5 e) 5/2 24. Hallar x de :xa) x b ( bb) x a ( a=+ a)a+b b) a-bc) ad)b e) ab 25. Resolver :2x12112111 =+++ a)1/3 b) 3c) 2/3d)-3 e) -1 26. Resolver para x : 2b2ab abxab 2b aax += ++ a) 2b2a+ b) 2b2ac) 2b2a 2 + d) 2b 22a+ e) 2b2a 2 27. Resolver la ecuacin :

x 6 x 3 x 2 + + = e indicar el valor numrico de :x2) 3 x ( E = a) 12 b) 1 c) 33 d) 9 e)Dosanterioresson correctas 28. Resolver la ecuacin :

71x 3 x x 9 + = +a) 1/7b)7 c) 1/49 d) 71 e) 4929. Indique el valor de x que verifique la igualdad : x ) 4 x 3 x ( x ) 3 x 3 x )( 5 x 3 x (2 2 2 2+ + + = + + + + a) 0b) 1 c) d) 1/2e) 2 30. Hallar x de :

0 x ;7 x43x 27 x433 x 243x 21 =/+++=+ a) 6b) 4c) 9d) 12e) 10 31. Hallar x para obtener A = B donde : 4 x529 x3 x 2323 xB4 x525 x3 x 2327 xA ++ += ++ += a)-3/7b) 7/3 c) 3/7d)7/3e) 10 32. Si una de las soluciones de la ecuacin dada es ab : x21 ba x1 ab x=+++++ lo correcto es : a) ab(a+b) = 1 b)2b aab=+ c) ab(a+b) = 2d) ab(a+b) = 2e) ab+a+b = 2 33. En la ecuacin : | |2x ) b x )( a x ( ) a x ( b ) b x ( a 2 + + = + + + Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 34 Se obtiene para x el valor :

a) b aab 4 b) b aab 3 c) b aab 3+ d) b aab 5+ e) b aab+ 34. Hallar x si : (a -1) (x+a) 2a(a-1) = 2a(x-a) a)a b) -ac) 2ad)a + 1e) a 1 35. Resolver para x : 2a2x ) 1 a ( a2) x a ( + = + a) 21 a +b) 21 a c) ad)a - 1e) 2a 1

36. Hallar la solucin de la ecuacin :

1 axx 31 xa x+=++ si esta se reduce a una ecuacin lineal. a) 7/5b) 7/3 c) 3/7 d) 2/3e) 1/7 ACTIVIDAD 2.2 Instrucciones.Acontinuacintepresentamosalgunosejerciciosde aplicacin en cada uno de ellos t mismo eres el protagonista. 1.La edad de Juan aumentada en 8 es 27 Cul es la edad de Juan? 2.El doble del dinero que tengo disminuido en 70 es 48. Cunto es el dinero que tengo? 3.El triple de la suma de un nmero de empleados de una empresa con 6 es 48 Cul es el nmero de empleados? 4.El nmero de hombres es 5 veces el nmero de mujeres, si en total hay 42 personas, entre hombres y mujeres Cuntas mujeres hay? 5.Elnmerodehombreses5vecesmsqueelnmerodemujeres,sientotal hay 42 personas entre hombres y mujeres, Cuntos hombres hay? 6.El exceso de 15 sobre 8 es igual al exceso de A sobre 2. Cunto vale A 7.El dinero que tengo aumentado en su mitad es 45 Cunto tengo? 8.Hallar un nmero, tal que al agregarle 432 obte Al retirarse 14 personas de unareuninseobservaquestaquedadisminuidaensus 92partes. Cuntas quedaron? 9.A Gildder le preguntan la hora y responde: Quedan del da 9 horas menos que las ya transcurridas. Qu hora es? 10.Hernn tiene el doble de dinero que Gladis y el triple que Mara. Si Hernn regalara$14aGladysy$35aMara,lostresquedaranconigual cantidad. Cunto dinero tiene cada uno? Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 35 11.Qu nmero es aquel cuyo exceso sobre 17 equivale a la diferencia entre los 53 del nmero y sexta parte del mismo? 12.Al comprar 3 Kg. de tomates y 4 Kg. de papas, una duea de casa pag $ 119. Cunto vale el kilo de tomates, sabiendo que es $ 14 ms caro que el kilo de papas? AUTOEVALUACIN 2.1 1.El precio alcanzado por cierto tipo de obras de arte en una subasta, P (x) en miles de soles., est relacionado con el nmero de asistentes que estn interesados en su adquisicin, a travs de la siguiente expresin: P (x) = 5x+ 50 si 0 x 10. Si el precio es de 95 mil soles cual es el numero de asistentes? 2.Doce es excedido por 18 en la misma medida que el nmero es excedido por su triple. Hallar el exceso de 20 sobre el nmero. 3.TenaS/.85,gastciertasumayloquemequedaeselcudruplodeloque gast Cunto gast? 4.El martes gan el doble de lo que gan el lunes, el mircoles el doble de lo que gan el martes, el jueves el doble de lo que gan el mircoles; el viernes S/. 30 menos que el jueves y el sbado S/. 10 ms que el viernes. Si en los 6 das he ganado S/. 911 Cunto gan el mircoles? 5.Subiendo laescalerade tresen tres, Rosa da6pasos ms quesubiendo de cinco en cinco. Cuntos peldaos tiene la escalera.? 6.Comprelcudrupledelnmerodecaballosquedevacas.Sihubiera comprado5caballosmsy5vacasmastendraeltripledenmerode caballos que el de vacas. Cuntos caballos y cuntas vacas compr? 7.Se compran 25 lpices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por ello $ 16.900. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, ms $ 20ycadalpizcuestaeldobledecadagoma,ms$8.Cuntocuesta cada material? 8.Una persona puede pintar una muralla en 5 horas, otra lo hace en 6 horas y una tercera persona tarda 12 horas en pintar la misma muralla. Cunto tardaran si la pintaran entre las tres? 9.Calcularcuatronmerosconsecutivostalesquelatercerapartedela sumadelosmayoressea10unidadesmenosquelasumadelosdos primeros. 10. La entrada para una funcin de teatro al aire libre vale $ 60, adultos, y $ 25, nios. La recaudacin arroj un resultado de 280 asistentes y fue de $ 14.000. Cuntos nios asistieron a la funcin? Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 36 2.2ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO MOTIVACIN Enunafruterasevendenunpromediode55 kilogramos por da cuando el precio es de S/ 9 por kilogramo.Lasventasaumentan4kilogramos diariosporcadaS/.0.50quesedisminuyeenel precio. Encontrando un ecuacin para el ingreso X nmero de disminuciones Soles Ingreso055(9)=495 1(55 + 4x1)(9- 0.50x1) = 501.5 2(55 + 4x2)(9- 0.50x2) = 504 x(55 + 4x)(9- 0.50x)= 495 5 . 8 22+ + x x As la ecuacin par el ingreso sera:495 5 . 8 22+ + = x x ingreso. Cunto le ingresa sielpreciollegundaaS/.5.5?.Cuntofueelprecio,undaenquehuboun ingreso de S/ 490? Es un tipo de ecuacin particular en la cual la variable o incgnita est elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Qu es un ecuacin cuadrtica?

Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 37 LlamadastambinecuacionesCUADRTICAS,sonaquellasecuacionesque presentan la siguiente forma general: 02= + + c x b x a . . . . . . . . . . . (1) R c b a y a c = , , 0 donde a , b y c son llamados coeficientes y que pueden ser reales o complejos (1). El coeficiente a se llama coeficiente cuadrtico o de segundo grado. El coeficiente b se llama coeficiente lineal o de primer grado y El coeficiente c se llama trmino lineal. Si los coeficientes a, b y c son diferentes de cero, la ecuacin de segundo grado se llamacompletaysibcoambos,sonceros,laecuacindesegundogradose llama incompleta. As dado: a , b y c 0 entonces : ax2 + bx + c = 0 se llama ecuacin de segundo grado completa. Toda ecuacin de segundo grado presenta dos races o soluciones, llammoslas, x1yx2. Estas races se pueden obtener mediante dos mtodos: 1.2.3.METODOS DE SOLUCION: 1.2.3.1. METODO DE LA FORMULA GENERAL: Delaecuacin 02= + + c x b x asededucelaformulacinclsicaquedespejala variable: aac b bx242 = . . . . . . . . . . . (2) siendo: aac b bx2421 + = . . . . . . . . . . . (3) aac b bx2422 = . . . . . . . . . . .(4) Sedefinelacantidadsubradical:b24accomoeldiscriminante(invariante Caracterstico) de la ecuacin cuadrtica y se le denota por :, luego: ac b 42 = A . . . . . . . . . . . . . . . . .(5) Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 38 1.2.3.2. METODO DE FACTORIZACION: Consiste en factorizar el polinomio de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 siempre ycuando se pueda. Los pasos de este mtodo son los siguientes: Setrasladantodoslostrminosaunslomiembrodejandoelotromiembro igual a cero. Se factoriza este miembro por el mtodo del aspa simple. Para obtener las races de la ecuacin, se iguala cada factor a cero. Discusin de las races de una ecuacin de segundo grado. Las races x1y x2 de unaecuacin de segundo grado:ax2+bx +c =0, a0 dependen de la discriminante dado por (5) as: Primer caso: Si > 0 entonces las races x1 y x2 son reales y desiguales. Ahora bien en este caso se presentan dos situaciones: a) si es un cuadrado perfecto las races x1 y x2 son racionales. b) si no es un cuadrado perfecto las races x1 y x2 son irracionales conjugadas. Segundo caso: Si = 0 entonces las races x1 y x2 son reales e iguales (races dobles) donde: abx x22 1 = =. . . . . . . . . . . . . . . .(6) Tercer caso: Si < 0 entonces las racesx1 y x2 son complejos y conjugados. 1.2.4.PROPIEDADESDELASRACESDEUNAECUACINDE SEGUNDO GRADO. Sealaecuacindesegundogrado:ax2+bx+c=0,a0ysusracesx1yx2 tendremos las siguientes propiedades: a) Suma de races: abx x = +2 1 . . . . . . . . . . . . . . ..(7) b) Producto de races: Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 39 acx x =2 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(8) c) Diferencia de races: aac bx x422 1= . . . . . . . . . . . .(9) d) Suma de cuadrados de las races: 2222212aac bx x= + . . . . . . . . . . . .(10) e) Identidad de Legendre aplicada a las races: 2 122 122 1. 4 ) ( ) ( x x x x x x = + . . . . .(11) CONSTRUCCINDEUNAECUACINDESEGUNDOGRADO CONOCIENDO SUS RACES: Conociendolasdosracesx1yx2deunaecuacindesegundogrado,estase construye empleando la suma y el producto de dichas races. Luego la ecuacin que dio origen a x1 y x2 es : 0 ) . ( ) (2 1 2 12= + + x x x x x x . . . . . . .(12) llamada tambin : forma cannica de la ecuacin de segundo grado. O bien : 02= + P Sx x siendo: 2 1x x S + = y 2 1.x x P = 1.2.5.PROPIEDADES ADICIONALES DE LAS RACES: *Laecuacindesegundogrado::ax2+bx+c=0, a0tieneraces simtricas (races de igual valor pero de signo contrario) si y solo si : 2 1x x = de all que : 02 1= + x x entonces 0 = b. . . . . . . . . . . . . . . (13) Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 40 *Laecuacindesegundogrado::ax2+bx+c=0, a0tieneraces recprocas (una de las races es la inversa de la otra) si y solo si: 211xx = de all que : 1 .2 1= x xentonces c a=. . . . . . . . . . . . . . .(14) RAZ NULA: Dada la ecuacin de segundo grado : ax2 + bx + c = 0, a0, si esta presenta una raz nula (x=0) entonces: 0 = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(15) RAZ UNIDAD: Dada la ecuacin de segundo grado : ax2 + bx + c = 0, a0, si esta presenta una raz unidad (x=1) entonces : 0 = + + c b a . . . . . . . . . . . . . . . .(16) Soluciones de una ecuacin cuadrtica 1.2.6 Solucin por completacin de cuadrados.Este mtodo es el ms antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuacin cuadrtica. Se supone que la ecuacin: ,con a0 ,es equivalente a la ecuacin cuadrtica: (1). Sumandoen ambos miembros de la ecuacin (1), se obtiene: Para resolver la ecuacin cuadrtica, puede usarse cualquiera de los siguientes mtodos:Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 41 Extrayendo raz cuadrada en ambos miembros de la ltima igualdad (lo cual tiene sentido solo si), se obtiene: ,de donde(2). La frmula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuacin cuadrtica (1), que es equivalente a la ecuacin :. Casos especiales Lasecuacionesdesegundogradodelostipossiguientessellamanincompletas porque les falta uno de los trminos : : 1er. Caso: ax2 + bx = 0 2do. Caso:ax2 + c = 0 Se pueden resolver aplicando lafrmulageneral, pero es ms cmodo resolverlas despejando directamente la x. En el primer caso,ax2 + bx = 0 (ax + b)x = 0 (hemos factorizado) Unasolucin esx = 0y laotra seobtieneresolviendo la ecuacin linealax+b=0. Por ejemplo: 3x2 + 5x = 0 (3x + 5)x = 0 3x+5=0 x =0,despejando x concluimos que las soluciones son: x = 0yx = 5/3. En el segundo caso, ax2 + c = 0 ax2 = c x2 = c/a Por ejemplo: 3x2 - 17 = 0 3x2 = 17 Tipos de soluciones: Reales e imaginarias Una ecuacin cuadrtica puede generar tres tipos de soluciones, tambin llamadas races, a saber: -Dos races reales distintas-Una raz real (o dos races iguales)-Dos races imaginarias distintasElcriterioqueestableceladiferenciaentreestoscasoseselsignodel discriminante. Se define al discriminante D como: D = b2 - 4.a.c Sieldiscriminanteespositivo,entonceslarazcuadradaesunnmerorealyse generan dos races reales distintas Sieldiscriminanteescero,larazescero,yambasracesresultanelmismo nmero. Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 42 Si el discriminante esnegativo, laraz cuadradaes imaginaria, producindose dos races imaginarias o complejas. Ejemplos de verificacin de las soluciones Acontinuacinseresolvernalgunosejemplosquemostrarntodosloscasos posibles ya mencionados. 1.- Resolver: - 5x2 + 13x + 6 = 0 2.- Resolver: 6x - x2 = 9 3.- Resolver: -6x + 13 = - x2

Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadrticas 1.Ellargodeunasalarectangulares3metrosmayorqueelancho.Siel ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el rea seduplica. Halle el rea original de la sala. Supngase que: x = ancho de la sala // El largo es 3 metros mayor que el ancho, as que: x+3=largodelasala.//Elreadeunrectnguloeslamultiplicacinde ambos: x. (x + 3 ) = rea de la sala. Tngase en cuenta que estos son los datos iniciales. Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, as que, luego del aumento quedan: x + 3 = nuevo ancho de la sala x + 5 = nuevo largo de la sala (x + 3 ).(x + 5) = nueva rea de la salaLa nueva rea es el doble de la primera, as que planteamos la ecuacin: (x + 3 ).(x + 5) = 2 . x. (x + 3 ) Se efectan las multiplicaciones: x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x Se pasa todo al primer miembro: x2 + 5x + 3x + 15 - 2x2 - 6x = 0Se simplifica: - x2 + 2x + 15 = 0Esta es la ecuacin a resolver. Se aplica la resolvente y resulta: x1 = 5 y x2 = - 3. La solucin x = -3 se desecha, ya quexeselanchodelasalaynopuedesernegativo.Setomacomonica respuesta que el ancho original era 5 metros. Mirando las condiciones iniciales, se deduce que el largo es: x + 3 = 8 metros. As que el rea original era 8m.5m = 40 m2. Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 43 2.Halleelreaypermetrodeunatiendacomercial deformadeuntrngulo rectngulomostrado.Lasdimensionesestn en metros Sieltringuloesrectngulo,entoncessecumpleelTeoremadePitgoras:"El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". La hipotenusaeselladomayor(2x-5)ylosotrosdossonloscatetos;seplantea entonces la ecuacin: (x + 3 )2 + (x - 4)2 = (2x - 5 )2 Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene: x2 + 2.3.x + 32 + x2 - 2.4.x + 42 = (2x)2 - 2.(2x).5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 - 8x + 16 = 4x2 - 20x + 25 Reagrupando: x2 + 6x + 9 + x2 - 8x + 16 - 4x2 + 20x - 25 = 0Finalmente: -2 x2 + 18x = 0Esta es la ecuacin a resolver Las races de la ecuacin son x1 = 0 y x2 = 9. La solucin x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sera -4 m, lo cual no es posible. La solucin es entonces, x = 9. Deestamanera,eltringuloquedaconcatetos12metrosy5metrosycon hipotenusa 13 metros. El rea de un tringulo es base por altura sobre 2; la base y la altura son los dos catetos que estn a 90 , por lo tanto el rea es A = 12 . 5 / 2 = 30 m2. El permetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m. 3.LaempresaNailS.A.quesededicaala produccindezapatos,tieneuncostofijomensualde S/. 300 y un costo variable por unidad producida de S/. 10.Adems,sesabequesuingresoestdadopor:

( ) x x , x I 100 1 02+ = dondex eselnmerodeartculosqueproduceyvendelaempresa mensualmente. (Recordemos que( ) ( ) ( ) x C x I x U = ) a)Determinar la utilidad mensual de la empresa en funcin dex . b)Hallar la utilidad que obtendr la empresa si produce y vende 200 artculos. Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 44 4.Usted de solucin a lo siguiente Enuncomerciosepuedenencargarespejos enmarcados a medida. El precio es de 3 000 soles porm2deespejoy500solesporm.linealde marco. Calcula las dimensiones del espejo que se puede comprar por 2280 soles. c) d) ACTIVIDAD 2.2 1.Resolver: a)(x + 2)(x 1) = 0 b) (2x + 1)(4 3x) = 0 c)10x2 x 3 = 0 d)5x2 7x + 2 = 0 e) f)6x2 11x 7 = 0 g)3x2+ 8x 6 = 0 h)-x2 11x = 0 i)2x2 21x = 0 j)(x + 3)2 = (x 1)2 + 28 k)10 202= + x x l)x x x = + + 4 8 42 m)1 2 2 3 3 42 2+ = + + + x x x x x n) Qusolucin planteas? Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 45 1.Resolver la ecuacin :2 x x - = A) 4B) 5 C) 6D) 7E) 8 2.Resolver : 2 1 2 x x - + = A) 5B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 3.Resolver : 20 X X + = A) 12B) 14C) 16D) 12 E) 20 4.Hallar la menor solucin de: 2 42 8xx-=+ A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -5 5.Si: x2 nx +36 = 0, admite como races a: x1 . x2,tal que : 125x1x12 1= + encontrar el valor de n . a) 25b) 18c) 12d) 24e) 15 6.Resolver:3x2 + 5x 12 = 0 indicar una de lassoluciones: a) 1/3b) 2/3c) 5/3 d) 4/3e) N.A. 7. Resolver :4x2 13x + 3 = 0e indicar la mayorsolucin: a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 1/4 8. En la siguiente ecuacin, hallar la suma de races : x(x + 2) + 5=3(2 - x) + x 4 a) -2b) -3c) -4 d) -5 e) 4 9. Calcular m en la ecuacin: (m + 1)x2 - (m + 8)x + 10 = 0 Para que la suma de races sea 9/2. a) 1 b) 2c) 3d) 4e) 5 10.Resolver la ecuacin:x2 7x + 12 = 0 y dar como respuesta el producto de las races dividido entre la suma de las races. a) 127b) 712c) 127d) 712e) 1 11.Calcular a en la ecuacin: (a + 4)x2 - (a + 3)x + 10 = 0 Para que la suma de races sea 6/7. a) 1b) 2 c) 3 d) 4e) 5 12.Cules de las siguientes ecuaciones presenta como races a: 3 x ; 3 x2 1 = = ? a) x2 + 3x + 1 = 0d) x2 + 3x + 3 = 0 b) x2 + 9 = 0e)0 3 x2= +c) x2 3 = 0 13.Resolver : 5 x14x+= . Indicar la mayor raz: a) 1 b) -1 c) -4 d) 4e) 5 14.Si en la ecuacin: x2 5ax + 3a = 0; unade las races es 2. Indicar el valor queadopta a. a) -5b) 5 c) -4/3 d) 4/7e) -4/7 15.En la ecuacin:x2 (m + n)x + 2m + 2 = 0 tiene por races a :x1 = 2 yx2 = 3 Hallar: m - n a) -1b) -2 c) 1d) 2e) 3 16. Resolver : . Dar una raz. A) 3/5B) 5/3C) 25/3 D) -25/4E) N.A. 17. Resolver :Indicando la menor de sus races. A) 0 B) 1C) 7/3D) -7/3E) N.A. 18. Indica una raz de: A) 3 B) -4C) 1 D) -2E) N.A. 19. Resolver e indicar la menor raz:

A)B) C) D) E) N.A. 20. Resolver indicando la mayor raz: A)B) C) D) E)N.A. 29x 625 =23x 7x =2(3x 4) 64 + =2x 8x 4 0. + + =4 2 3 + 4 2 3 4 2 3 4 3 +2x(x 1) 5 3x = 1 412 1 414 + 1 414 1 41 ACTIVIDAD 2.2.1Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 46 Instrucciones.Acontinuacintepresentamosalgunosejerciciosde aplicacin en cada uno de ellos t mismo eres el protagonista. 2.EltallerartesanalLapastorcitaS.A.estespecializadoenlaproduccinde ciertotipodejuguetesdemadera.Loscostosdefabricacin,C(x)ensoles, estnrelacionadosconelnmerodejuguetesfabricados,x,atravsdela siguiente expresin: ( ) 250000 2000 102+ + = x x x C El precio de venta de cada juguete es de 8000 soles. a) Plantear la funcin de ingresos que obtiene el taller con la venta de los juguetes producidos. b) Plantear la funcin de beneficios, entendidos como diferencia entre ingresos y costos de fabricacin. c)Cuntos juguetes debe fabricar para tener 650 000 de beneficios? 3.El costo total para un fabricante esta conformado por costos indirectos fijos de $20mascostosdeproduccinde$50porunidad.Sienelpresentemesel fabricantehatenidoporcostostotaleslasumade$200200,culhasidoel numero de unidades fabricadas? 4. LaempresaElPorvenir.S.A.haestimadoquelosingresosylosgastos anuales(ensoles)quegeneralafabricacinyventadexunidadesdeun determinado producto, vienen dados por las funciones:

( )( ) + + =+ =700000 12000 4436000 2822x x x Cx x x I Determina, justificando las respuestas: a) la funcin que define el beneficio anual. b) el nmero de unidades que hay que vender para que el beneficio sea 300000.

5.AlguienregalaUS$525pararepartirlosentrelosniosdeComasdelcuartoaodelnivelprimariodeuncentroeducativo.Como25niosestaban ausentes, cadauno de los nios presentes obtuvo US 0,50 ms. De cuntos nios se compona el cuartoao del nivel primario? 6.Dmaris compr cierto nmero de objetos en $ 300. Podra haber comprado 10 objetosms,sicadaunohubiesecostado$5menos.Cuntosobjetos compr Dmaris? 7.LaedaddeLilianaerahace6aoslarazcuadradadelaedadquetendr dentro de 6 aos. Determina la edad actual. 8.FranciscotienedosaosmasqueAugustoylasumadeloscuadradosde ambas edades es 130 aos. Hallar ambas edades. Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 47 9.Se quiere hacer una caja de 50 cm3 de volumen con una cartulina cuadrada. Parahacerlasecortanenlasesquinascuadradosde2cmdelado.Cunto mide el lado de la cartulina cuadrada? AUTOEVALUACIN2.2 1.A tiene 3 aos ms que Juan y el cuadrado de la edad de Alberto aumentado enelcuadradodelaedaddeJuanequivalea317aos.Hallarambas edades. 2.Hallarelmayordecinconmerosenterosconsecutivos;sabiendoqueel exceso de la suma de los tres menores sobre la suma de los dos mayores es 28. 3.ParacerrarlafincaElMajeoquetieneformarectangularde4.2m2se han utilizado 260 m de alambre. Halla las dos dimensiones del rectngulo. 4.La produccin de alcachofas en un invernadero, Q(x) en kg., depende de la temperatura, x en C, segn la expresin: Q(x) = (x + 1)2 (32 x) Calcularculeslatemperaturaptimaamantenerenelinvernaderopara tener una produccin de 5324 kg. 5.Laentidad financieraCrecer lanza al mercado un plan de inversin cuya rentabilidad,R(x)enmilesdesoles.,vienedadaenfuncindela cantidad que se invierta, x en miles de soles., por medio de la siguiente expresin: R(x) = 0.001x2 + 0.5x + 2.5. Deducir razonadamente qu cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente en dicho plan si la rentabilidad es de 65 mil soles. 6.Gerardo,ungranjero,obtieneunbeneficiodexsoles.porcada(x+5) huevosqueponesugallina.Sisubeneficiofuede84soles,determinael nmero de huevos que puso su gallina. 7.El rea de una parcela rectangular mide 37.500 m2. Si la base de la parcela mide 100m ms que su altura, cules son sus dimensiones? 8.Sequiereaprovecharunantiguoestanquecircularde13mdedimetro para hacer una piscina rectangular que tenga un lado 7 m ms que el otro y ladiagonaldelrectngulocoincidaconeldimetrodelestanque.Cules sern las dimensiones de la piscina? 9.El exceso del triple de un nmero sobre 42 equivale al exceso de 286 sobre el nmero. Cul es el nmero? Cualquier cosa que valga la pena tener merece que se trabaje por ella. (Andrew Carnegie) Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 48 Sesion Nro. 03 Sistema de Ecuaciones Roxana invirti en total de 20 000 soles en tres inversiones, al 6%, 8% y 10%. La gananciatotal anual fue de 1 624 soles. Si se sabe que la ganancia de la inversin al 10% fue el doble de laganancia delainversinal6%,cuntoinvirtiRoxanaencadatipode inversin? 1.INTRODUCCIN Era el final del verano de 1949. El profesor de Harvard Wassily Leonief, estaba introduciendocuidadosamentelaltimadesustarjetasperforadasenel computador MarkII de la universidad. Las tarjetas contenan informacin sobre la economadelosEstadosUnidosdeNorteamricayrepresentabanuntotalde 250,000piezasdeinformacinproducidasporlasagenciasdeEstadsticasdel TrabajodeE.U.A.trasdosaosdeintensalabor.Leontiefhabadivididola economaNorteamricaen500sectores,talescomolaindustriadelcarbn,la industria automovilstica, comunicaciones y as sucesivamente. Para cada sector, haba escrito una ecuacin lineal que describa de cmo este distribua su salida hacia otros sectores de la economa. Debido a que Mark II, uno de los computadores ms grandes de aquella poca, no poda manejar los sistemas resultantes de 500 ecuaciones con 500 incgnitas, Leontief destil el problema a un sistema de 42 ecuaciones con 42 incgnitas. ProgramarelcomputadorMarkIIparalasecuacionesdeLeontiefhaba requerido varios meses de esfuerzo y l estaba ansioso por ver cunto llevara al computador resolver el problema. El Mark IIzumb y parpade durante 56 horas antes de producir finalmente una solucin. Leontief, quien obtuvo el precio nbel de economa en 1973, abri una puerta a unanuevaerademodelosmatemticoseneconoma.Susesfuerzosen Harvarden1949marcaronunodelosprimerosusossignificativosdelusode Qusolucin planteas? MOTIVACIN

Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 49 las computadoras para analizar lo que en entonces era un modelo matemtico a gran escala. Debidoalagrancantidadmasivadedatosimplicados,losmodelosson generalmentelineales,esdecirseescribencomosistemasdeecuaciones lineales. Los cientficos e ingenieros trabajan ahora en problemas mucho ms complejos quelosquesepodanimaginarhacealgunasdcadas.Hoyellgebralineal tiene un valor potencial para los estudiantes en muchos campos cientficos y de negocios que cualquier otra materia de las matemticas y en este texto se dar las bases para un trabajo posterior en muchas reas importantes. 2. Unaecuacinlinealconlasvariablesx1,x2,...,xnesunaecuacinquepuede escribirse de la forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b(1) donde b y los coeficientes a1, a2,..., an son nmeros reales o complejos. Enlosejerciciosdeestetexto,nnormalmenteestentre2y5.Enlos problemas de la vida real, n puede ser 50 5000 incluso mayor. Msen general unSistema de mecuaciones con n incgnitas, osimplemente unsistemalineal,esunconjuntodemecuacioneslineales,cadaunaconn incgnitas y se puede denotar como: 11 1 12 2 1 121 2 22 2 2 21 1 2 2......................................n nn nm m mn n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b+ + + =+ + + =+ + + =(2) Cuando n es pequeo, es usual designar a las incgnitas con las letras x, y, z, t.. Obsrvese que el nmero de ecuaciones no tiene por qu ser igual al nmero de incgnitas. 3x 2y + z t = 2 y + z + 2t = 1 x + y 3z + t = 0 CONCEPTO DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES El subndice n puede ser cualquier entero positivo. Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 50 Es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 4 incgnitas. Loscoeficientesdelaprimeraecuacindelsistemasonlosnmeros3,-2,1,-1. El trmino independiente de la misma es el 2. Enunsistemadeecuacionesde2variablescon2incgnitaspodemostener geomtricamente las siguientes posibles soluciones. (a) (b)(c) tenemos: (a) nica solucin (b) ninguna solucin(c) infinitas soluciones Es decir: Decimos que un sistema lineal es consistente si tiene unasolucin o bien un nmero infinito de soluciones; un sistema es inconsistente si no tiene ninguna solucin. 3. Podemos clasificar los sistemas atendiendo al nmero de sus soluciones: 1.Incompatible: No tiene solucin. 2.Compatible: Tiene solucin TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIN DE SISTEMAS Un sistema de ecuaciones lineales tiene ya sea: -Ninguna solucin, o-Exactamente una solucin, o -Un nmero finito de soluciones Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 51 a.Compatible determinado: nica solucin b.Compatible indeterminado: Infinitas soluciones. Ejemplos: verificar que; x +y = 3 2x + 2y = 8 x +y = 3 x -y = 1 x +y = 3 2x + 2y = 6 Discutirunsistema.Esaveriguarsitieneonotienesoluciny,casode tenerla, saber si es nica o si no lo es. Es decir, es establecer si es compatible oincompatible,yencasodesercompatible,siesdeterminadoo indeterminado. 4. Los conocimientos adquiridos sobre matrices facilitan la escritura de un sistema de ecuaciones lineales de manera ms reducida. Consideremos un sistema como el (1), escrito en forma clsica. En l se pueden considerar las siguientes matrices: |||||.|

\|=mn m mnna a aa a aa a aA... 2 1... ... ... .........2 22 211 12 11 |||||.|

\|=nxxxX...21 |||||.|

\|=ncccC...21 El sistema (1) se puede escribir en forma matricial, as: A . X = C (3) Si en el sistema [1] consideramos las siguientes matrices: |||||.|

\|=121111...naaaA|||||.|

\|=222122...naaaA ... |||||.|

\|=mnnnnaaaA...21

|||||.|

\|=ncccC...21 El sistema se escribir en forma vectorial de la siguiente forma: A1 - x1 + A2 - x2 + ... + An - xn = C (4) Consideremos el sistema : Incompatible. No tiene solucin Compatible determinado. nica solucin Compatible indeterminado. Infinitas soluciones TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIN DE SISTEMAS Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 52 4 2 5 30 2 46 2= = += + z y xz y xz y x

se tiene que

|||.|

\|=1 5 32 4 11 1 2A |||.|

\|=4061 5 32 4 11 1 2B Aeslamatrizdeloscoeficientesdeorden3x3.Beslamatrizampliadade orden 3x4. El sistema se puede escribir de las siguientes formas: Forma matricial: |||.|

\|=|||.|

\||||.|

\|4061 5 32 4 11 1 2zyx Forma Vectorial: |||.|

\|=|||.|

\| +|||.|

\|+|||.|

\|406121541312z y x Observemos que en el sistema: 3x + 2y 3z + t = -8 x +y + 2z t = 4x +y +z + 2t= 7 el elemento S=(1,1,13,2) es solucin, ya que se verifica

e Comprubes .748) 2 (211) 3 (123) 1 (112) 1 (113|||.|

\|=|||.|

\| +|||.|

\|+|||.|

\|+ |||.|

\| 5. Dossistemasdeecuacionessonequivalentessitodasolucindelprimeroes solucin del segundo y viceversa (No es necesario que tengan el mismo nmero de ecuaciones). Los sistemas son equivalentes x + 3y = 6 2x -y = 5yx + 3y = 6 x -y = 2 3x 2y = 7 SISTEMAS EQUIVALENTES Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 53 Ambos son compatibles determinados y su solucin es: x=3, y=1 Nosvamosareferiraunsistemadeecuacionesespecialmentefcilesde resolver,alasqueluegoreduciremostodoslosdemssistemas:todo sistema de ecuaciones lineales resultar ser equivalenteaalgunosde los sistemas escalonados de este modo surge: Ejemplo 1 Solucin nica.Resolver el sistema2 2 53 3 21= + = + += +z y xz y xz y x Solucinpara resolver escribiremos el sistema como una matriz aumentada. |||.|

\|2 2 1 53 1 3 21 1 1 1 entonces se obtiene sucesivamente |||.|

\|2312 1 51 3 21 1 11 3 31 2 252F F FF F F |||.|

\| 3117 6 03 1 01 1 11 3 36F F F + |||.|

\| 31125 0 03 1 01 1 1 3 3251F F |||.|

\| 25 3111 0 03 1 01 1 13 2 23 1 13F F FF F F + |||.|

\|25 325 1625 281 0 00 1 00 1 12 1 1F F F |||.|

\|25 325 1625 121 0 00 1 00 0 1 Entonces tendramos que: 2512,2516,253= = = x y z Setratadeunsistemacompatibledeterminado,esdecirposeeunanica solucin. Ejemplo 2Nmero infinito de soluciones. Resolver el sistema: METODO DE ELIMINACIN DE GAUSS-JORDAN Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 54 30 12 7 224 6 5 49 3 2= + += + += + +z y xz y xz y x Solucin A fin de resolver escribiremos el sistema como una matriz aumentada. |||.|

\|30 12 7 224 6 5 49 3 2 1 entonces se obtiene sucesivamente. |||.|

\|30 12 7 224 6 5 49 3 2 11 3 31 2 224F F FF F F |||.|

\| 12 6 3 012 6 3 09 3 2 1 2 3 3F F F + |||.|

\| 0 0 0 012 6 3 09 3 2 1 2 22 1 1312F FF F F |||.|

\| 0 0 0 04 2 1 01 1 0 1 Luego, el sistema ha quedado de la siguiente forma: 4 21= += z yz x esto es: z yz x2 41 = + =esta ser una solucin sea cual sea el valor dezestas soluciones se escriben como: 9 e + z z z z ) , 2 4 , 1 (Las soluciones del sistema se hallan dando valores arbitrarios al parmetroz .Esto es un sistema compatible indeterminado. Ejemplo 3.Sistema inconsistente. Resolver el sistema: 1 8 4 23 4 21= + += + += + z y xz y xz y Solucin La matriz ampliada del sistema es: |||.|

\| 1328 4 24 2 11 1 0 haciendo operaciones elementales se tiene: |||.|

\| 1328 4 24 2 11 1 0 2 1F F |||.|

\| 1238 4 21 1 04 2 1

1 3 32F F F |||.|

\| 5230 0 01 1 04 2 1 Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 55 Observemosquelaltimaecuacines:5 0 0 0 = + + z y x ,locualesimposible porque5 0 = Se observa que el sistema es incompatible o inconsistente. Ejemplo 4. Resuelve e interpreta geomtricamente el sistema: Solucin: En primer lugar, lo resolvemos mediante el mtodo de Gauss: Laltimaecuacinesimposible.Elsistemaesincompatible. Geomtricamente, el sistema representa tres planos que se cortan dos a dos, pero sin ningn punto comn a los tres. Ejemplo 5. En unareunin hay 22 personas,entre contadores, administradores y secretarias. El doble del nmero de administradores ms el triple del nmero de secretarias, es igual al doble del nmero de contadores. a) Con estos datos, se puede saber el nmero de contadores que hay? b) Si,adems,sesabequeelnmerodecontadoreseseldobledelde administradores, cuntos contadores, administradores y secretarias hay? Solucin: a)Llamemosxal nmero de contadores,yal de administradores yzal de secretarias. Como hay 22 personas, tenemos que: x +y +z = 22 )`= + = += + 3 2 6 25 44 3z y xy xz y x11 0 0 09 74 311 0 0 09 1 7 04 1 3 13 2 6 25 0 4 14 1 3 1a aa aa1 2 31 21= + += = + ||||.|

\| ||||.|

\| ++z y xz yz y xUniversidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 56 Con el otro dato, planteamos otra ecuacin:2y + 3z = 2x Solo con estos datos no podemos saber el nmero de contadores (ni el de administradores,nieldesecretarias)quehay.Esunsistemacompatible indeterminado;comotenemostresincgnitas,paraquepuedaser compatible determinado, necesitamos otra ecuacin. b)Aadiendo una tercera ecuacin con el dato que nos dan, planteamos el sistema: Por tanto, hay 12 contadores, 6 administradores y 4 secretarias. ACTIVIDAD 3.1 I.-AplicandoelmtododeeliminacindeGauss-Jordan,resuelvelos sistemas:126 66 114 18 220 9 66 23 220 3 222 320 3 2 222== = = =)`= + =)`= + = +)`== + + = + +xy yzy yy zz yz yy xz y xz y xUniversidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 57 1) x yx y+ = = `)3 74 5 6 2) x yx y+ = = `)3 42 1 3) 2 4 27 5 11x yx y = =`) 4) x yx y4 573 41+ = = `) 5) 2334553 23x yx y+ = =`) 6) x yy x+==`)234212423 7) xyx y x+= + =`)352 3 9 ( ) 8) = + = += 11 4 2 311 2 4 34 2z y xz y xz y x 9) = + = + += + +10 329 2 531 4 2z y xz y xz y x 10) = + = += 11 4 2 311 2 4 34 2z y xz y xz y x 11) = + += + = +13 2 22 4 30 3z y xz y xz y x 12)x y zx y zx y z+ + = = + =`)113 2 152 3 13) = + += = +7 4 32 2 32 2 2z y xz y xz y x 14)= + + = + = + +2 5 93 3 5 21 4 5z y xz y xz y x 15) = + = += + +3 5 405 2 3z y xz y xz y x Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 58 Resolver los siguientes problemas 1)Elmer,alumnodelaUCV,obtuvo,enuncontrolqueconstabade3preguntas, una calificacin de 8 puntos. En la segunda pregunta sac dos puntos ms que en la primera y un punto menos que en la tercera. a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuacin obtenida en cada una de las preguntas. b) Resolver el sistema. 2)EnelhotelLaBellaDurmientetienehabitacionesdoblesysencillas.Entotal hay 50 habitaciones y 87 camas. Cuntas habitaciones tiene de cada tipo? 3)Sergio, unoficinista,compra30 objetosentre lpices y bolgrafos con un costo de1.24soles.Siloslpicescuestan25solesylosbolgrafos60solesCunto bolgrafos y lpices compr Sergio? La clave del xito depende slo de lo que podamos hacer de la mejor manera posible. -H.W. Longfellow Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 59 1.Resolver el sistema :

{13 y 8 x 95 y 4 x 7= += . Indique :y x a) 2b) 1/4 c) 4 d) 1/2 e) 8 2.Resolver el sistema :

{5 y 5 x 2485 y 18 x 6 = = . Indique : y.x 1 a) 1/2 b) 1/6c) 4 d) 1/9 e) 6 3.Resolver el sistema : {14 y 4 x 25 y 2 x 3= += . Indique : y x a) 1/2b) 9c) 4 d) 8 e) 6 4.Dado el sistema := += ) 2 ( .......... 8 y 2 x 6) 1 ( .......... 1 y 3 x 4. Hallar : x + y a) 1b) 2 c) 3d) 4 e) 5 5.Al resolver el sistema : 5x 4y = -14 2x + 3y = K Sehallaqueyeseltripledex,entonces K es : a) 15b) 2 c) 22 d) 18 e) 21 6.Halle el valor de xy del sistema : 14 y 3 x 2 = + ............... (1) 4x 9y = -56 ................ (2) a) 12 b) 5,2c) 7,5 d) 8 e) 4,5 7.Resolver el siguiente sistema :x + y = m 3xy .................(o) x3 + y3 = nxy.................(|)Y dar como respuesta 3xy en funcin de m y n a) m 3n m3 b) nm3 c) 3m n3 d) 1e) 0 8.Halla x.y en : 4x -5y + 5= 2x - 8y + 9 3x +8y - 6= 2y- 2x + 1 a) -1/2b) 6 c) -2d) -6e) 2/3 9.Halla x en :2(x + 3)+3(y + 2)=18 3(x + 4)+4(y + 3)=36

a) -12 b) 12c) -6d) 0e)6 10.Hallar :x + yen :== (2) ..........21y50 x53y50 - x(1) .......... 2yx5y 3x a) 9188b) 9688 c) 9887 d) 9888 e) 88 11.Dado el sistema : + =+ =+ =) z x ( 36 xz 13) z y ( 18 yz 5) y x ( 12 xy 5 Hallar :x + y + z a) 2b) 19 c) 4d) 20 e) 8 12.Dar como respuesta xy al resolver : = = + + +1 y x 0 y 20 x 20 5 y x a) 16 b) 9115c) 916d) 4e) 2 13. Resolver: 5 2 y 4 5 x 33 2 y 3 5 x 2= += + . Indique : y x a) 81 b) 4 c) 9 d) 1 e) 25 14.Resolver el sistema: 2x 3y + z = 11 5x y 2z = -10 . Hallar : xyz 2y + 3z = 6 a) 3 b) 4c) 12d) 24e) -24 15.Sea el sistema compatible determinado: (3m + 1)x + my = 2 12x + 3y= 1. Indicar lo correcto: a) m 2b) m 1c) m 3 d) m -1e) m -2 16.Sea el sistema indeterminado: (a + 1)x + (b + 2)y = 12 2x + 3y = 4. Indicar: a + b a) 2b) 5c) 7 d) 12e) 3 ACTIVIDAD 3.1.1Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 60 17. Determine el valor de k para que el sistema : (k + 1)x + y = 3 2x + (k - 1)y = 1sea incompatible. a) 2 b) 3c) - 3 d) - 2 e) Hay dos correctas 18.Resolver : 4 2 y 3 x 3 = + + 12 2 y 2 3 x 4 = + + +. Indicar:x - y a) 1b) -1c) 0d) -2 e) 2 19. Hallax.y en : 5x +8y - 3= 3x + 5y + 5 3x +7y - 8= 2y-x +6 a) 2 b) 8 c) 20 d) 6 e) 10 20. Determine a + p de modo que el sistema : (a - 1) x + 4y = 10 2x + (p + 1) y = 5 tenga infinitas soluciones. a) 5b) 7 c) 6 d) 3 e) 9 21. Si :ay xxy=+; bz xxz=+;cz yy z=+ donde : a, b, c = 0. Entonces el valor de xes : a) 1) bc ac ab ( abc+ +b) 1) bc ac ab ( abc 2+ + c) 1) bc ac ab ( abc 2 + d) 1) ab ac bc ( abc 2 + e) abc(ab bc - ac) 22.Cmo debe ser la dependencia entrea y b para que el sistema : x + y = 3 ax + by = 5b 5x 3y = 7 tenga solucin nica?

a) 3a=5b b) a=b c) b=2a d) 3b=5a e) a=2b 23. Indicar el valor de x al resolver :

c z y x 2 zb z y x 2 ya z y x 2 x= + + += + + += + + +Si : a + b+ c =16 a) a-10b) a+16c) a-4 d) a-8e) a+12 24. Despus de resolver :

5 5 5 y 5 x 5 y 5 x25 5 y 25 x 5 y x = + ++ = + + + Seale el valor de xy . a) 249b) -750 c) 285d) 432 e) 125 25.El valor que debe drsele a k en el sistema: 13k - ky = 29 7k + kx = 51 para que xe y sean igualeses: a) 2 b) 4c) 6d) 8e) 10 26.Hallar el valor de c en el sistema: 3x - 2y = c 2x + 3y = c sabiendo que el valor de x excede en 12 al de y. a) 25 b) 36 c) 37 d) 39 e) 40 27.Para qu valores de a y b el sistema : (a + b)x + (a - b) y = 15 (2a-3b)x + (2a-5b)y = 2b tiene por solucin :x = 3,y = - 7 Indicar : b/a a) 6 b) 10 c) 20 d) 20e) 3 28.Para qu valor de k el sistema : (2k + 1) x + 5y = 7 (k + 2) x + 4y = 8es incompatible. a) 2b) 3/2c) 3d) -3/2e) Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 61 Sesin Nro. 04 EJERCICIOS DE APLICACIN 1)En La tienda El Recuerdo donde venden antigedades hay 12 candelabros de 2 y 3 brazos. Si para utilizarlos se necesitan 31 velas, cuntos candelabros hay de cada tipo? 2)Ernestoinvirti en total de 20 000 soles en tres inversiones, al 6%, 8% y 10%. Lautilidadtotalanualfuede1624soles.Sisesabequelautilidaddela inversinal10%fueeldobledelautilidaddelainversinal6%,cuntose invirti en cada tipo de inversin? 3)El nmero de pasajeros de una lnea de mnibus es de 1 000. Si el pasaje de nio cuesta S/. 0.50, el de adulto S/. 1.20 y el ingreso total obtenido del cobro de los pasajes es S/. 1 042.5, cuntos nios y cuntos adultos utilizaron dicha lnea de mnibus? 4)Enunaresidenciadeestudiantessecompransemanalmente110heladosde distintossabores:vainilla,chocolateynata.Elpresupuestodestinadoparaesta compra es de 540 euros y el precio de cada helado es de 4 euros el de vainilla, 5 euroseldechocolatey6euroseldenata.Conocidoslosgustosdelos estudiante, se sabe que entre helados de chocolate y de nata se han de comprar el 20% ms que de vainilla. a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuntos helados de cada sabor se compran a la semana. b)Resuelve,medianteelmtododeGauss,elsistemaplanteadoenelapartado anterior. 5)Un ama de casa adquiri en el mercado ciertas cantidades de papas, manzanas y naranjas a un precio de 1.00, 1.20 y 1.50 soles/kg., respectivamente. El importe total de lacomprafueron 11.60soles.El peso total de lamisma9kg. Adems, compr 1 kg. ms de naranjas que de manzanas. a) Plantear un sistema para determinar la cantidad comprada de cada producto. b) Resolver el problema. 6)Una compaa mezcla 4 tipos de maz para abastecer sus pedidos. En la siguiente tabla se muestran las caractersticas de cada tipo de maz: TIPO DE MAIZKG. POR SACOMATERIAL DAADO (KG. POR SACO) I503 II402,5 III403 IV302 Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 62 Cuntossacosdecadatipodebenmezclarseparaabastecerunpedidode20 sacosdemazquecontenga900Kg.Y56dematerialesdaados,sisedesea tener el mayor nmero posible de sacos del tipo IV? 7)Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metalesA,ByC.El primer lingote contiene 20 g del metalA,20 g delBy 60 delC.El segundo contiene 10 g deA,40 g deBy 50 g deC.El tercero contiene 20 g deA,40 g deBy 40 g deC.Queremos elaborar, a partir de estos lingotes, uno nuevo que contenga 15 g deA, 35 g deBy 50 g deC. Cuntos gramos hay que coger de cada uno de los tres lingotes? 8)Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan 3,56 euros. Se sabe que el preciodelcuadernoeslamitaddelpreciodelrotuladoryque,elpreciodela carpetaesigualalpreciodelcuadernomsel20%delpreciodelrotulador. Calcula los precios que marcaba cada una de las cosas, sabiendo que sobre esos precios se ha hecho el 10% de descuento. Sugerencia. Considera el siguiente cuadro. AUTOEVALUACIN 4 1)Enunaconfiteraenvasanlosbombonesencajasde250gr.,500gr.y1kg. Ciertodaseenvasaron60cajasentotal,habiendo5cajasmsdetamao pequeo (250 gr.) que de tamao mediano (500 gr.). Sabiendo queel precio del kg.debomboneses4.00soles.yqueelimportetotaldelosbombones envasados asciende a 125.00 soles: a) Plantear un sistema paradeterminar cuntas cajas se han envasadodecada tipo. b) Resolver el problema. 2)Elpreciodeentradaaciertaexposicinesde2.00soles.paralosnios,5.00 para los adultos y 2.50 para los jubilados. En una jornada concreta, la exposicin fu visitada por 200 personas en total, igualando el nmero de visitantes adultos aldeniosyjubiladosjuntos.Larecaudacindedichodaascendia73.500 soles. a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar cuntos nios, adultos y jubilados visitaron la exposicin ese da. b) Resolver el problema. Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 63 3)Un carpintero fabrica sillas, mesas para caf y mesas para comedor. Se necesitan 10 minutos para lijar una silla, 6 para pintarla y 12 para barnizarla. Se necesitan 12minutosparalijarunamesaparacaf,ochoparapintarlay12para barnizarla.Senecesitan15minutosparalijarunamesaparacomedor,12para pintarlay18parabarnizarla.Lamesadelijadoestdisponible16horasala semana,lamesadepintura11horasalasemanaylamesadebarnizado18 horas Cuntas unidades de cada mueble deben fabricarse por semana de modo que las mesas de trabajo se ocupen todo el tiempo disponible? 4)Unacafeteraestudiantiltiene24mesas,x mesascon4asientoscadauna,ymesascon6asientoscadaunayz mesascon10asientoscadauna.La capacidad total de asientos de la cafetera es de 148. Con motivo de una reunin estudiantil especial, seemplearn lamitad de lasx mesas, un cuartode lasymesas y una tercera parte de laszmesas, para un total de 9 mesas. Hallarx , yyz . 5)Un comerciante compr dos relojes distintos por $ 3.000 y los vendi por $ 3.225 Cunto pag por cada reloj si en la venta del primero gan un 20% y en la del segundo perdi un 5%? 6)Unejerciciorealizadoenclaseconstade16cuestiones.Elprofesorsuma5 puntosporcadarespuestacorrectayresta3puntosporcadacuestinno contestada o mal contestada. Si un alumno ha obtenido 32 puntos en el ejercicio, cuntas cuestiones ha contestado correctamente? 7)La Twins Electronics Inc. (TEI) produce tres nuevos modelos de computadoras: 1, 2y3.Comopartedelprocesodeelaboracin,estosproductospasanporla planta tcnica y por la planta de ensamblaje. Los tiempos empleados por unidad en cada una de estas plantas se muestra en la siguiente tabla: ModeloPlantaPlanta de ensamblaje 130 minutos0,5 horas 212 minutos2 horas 336 minutos2 horas Tiempo total empleado en un mes en cada planta 116 horas370 horas Cuntasunidadesdecadamodeloprodujolaempresasiobtuvounautilidad mensual de 37 500 dlares, sabiendo que las ganancias obtenidas por la venta de losmodelos1,2y3fueronde200,50y100dlaresporunidad, respectivamente?Asumirquesevenditodalaproduccin.Resolverlos siguientes problemas, empleando el mtodo de eliminacin gaussiana. 8)Un Administradordebe seguir una dieta con base a tres tipos de alimentos. Los porcentajes de requisitos diarios de protenas, carbohidratos y hierrocontenidos en cada gramo de tres tipos de alimentos aparecen en la siguiente tabla: Universidad Cesar Vallejo Facultad de Ciencias Empresariales Matemtica Superior I 64 Alimento 1Alimento 2Alimento 3 Porcentaje de protenas 1068 Porcentaje de carbohidratos 10126 Porcentaje de hierro 5412 Indique cuntos gramos de cada tipo de alimento debe incluir el nutricionista en lacomidaparacubrirconexactitudlosrequisitosdiariosdeprotenas, carbohidratos y hierro (100% de cada uno). La persona que realmente quiere hacer algo encuentra la forma de hacerlo. Los dems encuentran razones y excusas.