Guia de matematica

Matemática I FC-1001

MATEMÀTICA I

CIU-NUL CAMURI GRANDE, Sep - Dic 2011


Presentación

La guía práctica de matemáticas I del CIU (Ciclo de Iniciación Universitaria), aspira a

contribuir a la enseñanza - aprendizaje de esta asignatura, con un enfoque didáctico.

“La matemática es el lenguaje en el que Dios ha escrito el universo.” Galileo

Autores: Deninse Farias

Andrés Hernández


CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES

Trimestre: Sep.- Dic. 2011 Asignatura: Matemática I

Semana Fecha Contenidos Evaluación

1 Teoría de Conjuntos, notación, pertenencia, inclusión e igualdad de conjuntos, el conjunto vacío, unión e intersección de conjuntos, diferencia y complemento, producto cartesiano

2 Conjuntos numéricos, el conjunto de los números naturales (N), operaciones con números enteros (Z), el conjunto de los números racionales (Q)

3 El conjunto de los números irracionales (I), el conjunto de los números reales (R), ejercicios prácticos

4 Repaso y evaluación 1er Parcial 5 Potenciación y Radicación, Potencia de

exponente entero positivo, Radicación, Radicales semejantes, operaciones con radicales.

6 Expresiones Algebraicas, Elementos y tipos de expresiones algebraicas, expresiones algebraicas con signos de agrupación.

7 Producto de dos binomio, Polinomios, Ejercicios.

8 Repaso y evaluación 2do Parcial 9 Factorización, Casos básicos para la

factorización de polinomios,

10 Ejercicios propuestos

11 Ejercicios de repaso 3er Parcial 12 Entregas de calificaciones

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR

SEDE DEL LITORAL Departamento de Formación General

Y Ciencias Básicas


UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR

CICLO DE INICIACIÓN UNIVERSITARIA SEDE DEL LITORAL

MATEMÁTICA I

1. DATOS GENERALES

Asignatura:

Matemáticas I

Código:

FC - 1001

Departamento:

Formación General y Ciencias Básicas

Unidades crédito:

04

Horas semanales: 6 Trimestre: Sep – Dic 2010

AUTOR: DENINSE FARIAS, ANDRÉS HERNÁNDEZ

REVISADA: JOSE VILORIA

2. INTRODUCCIÓN Y JUSTIFICACIÓN

El propósito del CIU, es ofrecer un programa de formación para el ingreso a las

carreras universitarias que se dictan en la Universidad Simón Bolívar, con el fin de

facilitar, enriquecer y consolidar los conocimientos y la formación integral de los

aspirantes a estas carreras.

El plan de estudio presenta una secuencia de contenidos orientados al

desarrollo y consolidación de estrategias para resolver problemas geométricos y sobre

trigonometría. En tal sentido, el curso de Matemáticas III cierra este ciclo de

formación.

Se trata de una asignatura teórico-práctica, orientada a consolidar los

contenidos programáticos, no estudiados o no consolidados en el bachillerato. En esta

etapa se espera afianzar esos contenidos para que el estudiante desarrolle un

pensamiento lógico formal en la resolución de problemas de estos tópicos.


3. PROPÓSITO

Consolidar en los estudiantes conocimientos básicos, destrezas y habilidades

matemáticas para el éxito en las carreras universitarias seleccionadas y desarrollar en

ellos una actitud positiva hacia el estudio y hacia su persona que contribuya al

fortalecimiento de un profesional integral con un alto compromiso con el desarrollo del

país.

4. OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Desarrollar el razonamiento abstracto y concreto de los estudiantes

garantizando la comprensión de los problemas referente a Teoría de Conjuntos,

Conjuntos numéricos, expresiones algebraicas, potenciación y radicación, así como el

planteamiento de sus soluciones.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

1. Definir conceptos necesarios para resolver los diferentes tipos de ejercicios.

2. Identificar adecuadamente los símbolos a utilizar en la teoría de conjuntos.

3. Definir los diferentes tipos de conjuntos (Unión, intersección, Vacío, Diferencia,

complemento, producto cartesiano).

4. Identificar los diferentes tipos de conjuntos numéricos.

5. Realizar operaciones con los conjuntos numéricos.

6. Identificar las expresiones algebraicas.

7. Realizar operaciones donde se utilicen expresiones algebraicas.

8. Identificar los diferentes tipos de potencia.

9. Definir los elementos de una raíz.

10. Identificar cuáles son las propiedades de la potenciación y la radicación.

11. Realizar ejercicios donde se utilicen expresiones algebraicas usando raíces.

12. Realizar operaciones elementales usando raíces.

13. Realizar ejercicios donde se utilice la factorización.

14. Propiciar la participación en clases de los estudiantes para la resolución de

problemas.


5. CONTENIDO PROGRAMÁTICO

Capítulo 1 TEORÍA DE CONJUNTOS

Notación

Pertenencia, inclusión e igualdad de conjuntos

El conjunto vacío

Unión e intersección de conjuntos

Diferencia y complemento

Producto Cartesiano

Capítulo 2 CONJUNTOS NUMÉRICOS

El conjunto de los números naturales (N)

Definición y caracterización

Operaciones con números naturales

Insuficiencia de los números naturales

El conjunto de los números enteros (Z)


Operaciones con números enteros

Insuficiencia de los números enteros

El conjunto de los números racionales (Q)


Fracciones equivalentes

Operaciones con números racionales

2.3.4 Insuficiencia de los números racionales

2.4 El conjunto de los números irracionales (I)

2.4.1 Definición y caracterización

Aproximación de un número irracional

El conjunto de los números reales (R)

Definición

Representación gráfica de los números reales


Orden en el conjunto de los números reales

Capítulo 3 POTENCIAS Y RADICALES

Potencias

Radicales

Introducción de cantidades bajo el signo radical

Reducción de Radicales al mínimo común índice

Operaciones Radicales

Racionalización de un Monomio

Racionalización de un Binomio

Capítulo 4 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Expresiones Algebraicas

Elementos y tipos de expresiones algebraicas

Términos Semejantes

Expresiones Algebraicas con signos de agrupación

Producto de dos Binomios

Un Binomio por su conjugado

El cuadrado de un Binomio

Polinomios

Capítulo 5 FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Conceptos básicos

Casos básicos para la factorización

Ejercicios propuestos


7. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE

Por parte del profesor:

Iniciar el desarrollo de la clase dando definiciones, y posteriormente ejemplos

que van desde lo más simple hasta lo más complejo.

Por medio de lluvias de ideas los estudiantes realizaran un resumen de la clase

anterior.

Consignarles a los estudiantes distintos tipos de ejercicios para resolver en sus

casas y después corregir esos ejercicios en el pizarrón, en la siguiente clase.

Por parte de los alumnos:

Poner atención a la exposición dada por el docente sobre los contenidos

programáticos.

Participar activamente en clase a fin de aclarar cualquier duda que se le

presente.

Resolver ejercicios variados, aplicando la teoría vista en el aula de clases.

Prepararse para los exámenes parciales, resolviendo diversos ejercicios dados

por el profesor.

8. ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

El plan de Evaluación se organizara en la escala de 1 a 100 puntos. Se realizaran tres

evaluaciones departamentales durante el trimestre, en las semanas 4,8 y 11 con una

ponderación de 30, 30 y 25 puntos, respectivamente y 15 puntos para intervenciones

y asistencia

Actividades Puntuación

1ª evaluación 30

2ª evaluación 30

3ª evaluación 25

Examen final 15

Total actividades 100


9. BIBLIOGRAFIA BÁSICA

Buron Orejas, Javier (1993). Enseñar a aprender: Introducción a la metacognición.

Bilbao: Ediciones mensajero

Hoffmann, Jorge G. (1998). Matemática. Caracas: Editorial Sphinx

Mendiola, Esteban. (1998). Matemática 7º. Caracas: Editorial Biosfera

Suárez Bracho, Estrella. (2002). Matemática 7º. Caracas: Editorial Santillana


Contenido

1 Teoría de Conjuntos 1

1.1 Notación ………………………………..................................... 1

1.2 Pertenencia, inclusión e igualdad de conjuntos…………….. 1

1.3 El conjunto vacío………………………………………………... 3

1.4 Unión e intersección de conjuntos…………………………….. 3

1.5 Diferencia y complemento……………………………………… 5

1.6 Producto Cartesiano……………………………………………. 6

2 Conjuntos Numéricos 8

2.1 El conjunto de los números naturales (N)……………………. 8

2.1.1 Definición y caracterización………………………………….. 8

2.1.2 Operaciones con números naturales……………………….. 9

2.1.3 Insuficiencia de los números naturales…………………….. 10

2.2 El conjunto de los números enteros (Z)………………………. 10


2.2.2 Operaciones con números enteros…………………………..12

2.2.3 Insuficiencia de los números enteros……………………….. 13

2.3 El conjunto de los números racionales (Q)…………………….14


2.3.2 Fracciones equivalentes………………………………………. 15

2.3.3 Operaciones con números racionales………………………. 15

2.3.4 Insuficiencia de los números racionales…………………….. 17

2.4 El conjunto de los números irracionales (I)……………………. 18

2.4.1 Definición y caracterización…………………………………… 18

2.4.2 Aproximación de un número irracional………………………. 19

2.5 El conjunto de los números reales (R)…………………………. 20


2.5.1 Definición……………………………………………………….. 20

2.5.2 Representación gráfica de los números reales…………….. 20

2.5.3 Orden en el conjunto de los números reales……………….. 21

3 Potencias y Radicales……………………………………………… 22

3.1 Radicales………………………………………………………….. 23

3.2 Simplificación de Radicales …………..………………………… 25

3.3 Introducción de Cantidades Bajo el Signo Radical…………… 25

3.4 Radicales Semejantes ………………………………………….. 26

3.5 Reducción de Radicales al Mínimo Común Índice…………… 26

3.6 Operaciones con Radicales ………………………………….... 27

3.7 Racionalización de un Monomio……………………………….. 31

3.8 Racionalización de un Binomio ……………………………….. 32

3.9 Sección de ejercicios ………….………………………………. 33

4 Expresiones Algebraicas 36

4.1 Tipos de Expresiones Algebraicas ………..…………………... 38

4.2 Términos Semejantes…………………………………………… 38

4.3 Expresiones Algebraicas con Signos de Agrupación.............. 39

4.4 Producto de dos Binomios …………………………………….. 40

4.4.1 Un binomio por su conjugado ……………………………... 40

4.4.2 El Cuadrado de un binomio ……………………………….. 40

4.5 Polinomios …………………………………………………..…… 41

5 Factorización de expresiones Algebraicas …………………… 43

5.1 Conceptos básicos ……………………………………………… 43

5.2 Casos básicos para la factorización de polinomios ………… 43

5.3 Ejercicios propuestos…………………………………………… 53


1

Capítulo 1 Teoría de Conjuntos Por un conjunto entendemos cualquier colección de objetos bien definidos.

Son ejemplos de conjuntos:

(i) el conjunto de todos los números reales positivos,

(ii) el conjunto de todos los estudiantes de la Sede del Litoral de la USB,

(iii) el conjunto de todos los países que han sido campeones mundiales de fútbol.

Los objetos que integran un conjunto, se denominan elementos del conjunto.

1.1 Notación Por lo general se usan letras mayúsculas para representar a los conjuntos, y letras

minúsculas para representar sus elementos. Si A es un conjunto y a, b, c, d, e son sus

elementos, escribimos A = {a, b, c, d, e} para definir al conjunto A. Esta manera de

definir al conjunto, nombrando explícitamente cada uno de sus elementos, se

denomina definición por extensión. Si un conjunto A está definido mediante una

propiedad P(x) que deben cumplir sus elementos x, escribimos A = {x: P(x)}, donde “:”

se lee “tal que". Esta forma de definir un conjunto se denomina definición por

comprensión.

Así, por ejemplo, el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} puede definirse por comprensión como

A = {x: 1 ≤ x ≤ 5, x 2 N}, siendo N el conjunto de los enteros positivos.

1.2 Pertenencia, inclusión e igualdad de conjuntos

Para señalar el hecho de que un objeto x es miembro de un conjunto A, se empleará

la notación

x A

Indicaremos que el objeto x no es miembro de A, escribiendo x A.


2

Ejemplos: 1) 2 {1, 2, 3}

2) Brasil {x: x es campeón mundial de fútbol}

3) 4 {x: x 2 – x – 2 = 0}

Dos conjuntos A y B son iguales si contienen los mismos elementos, denotándose

este hecho por A = B, es decir x A si y solamente si x B. Esto significa que la

igualdad de conjuntos no depende de cómo estén definidos los conjuntos, sino de si

tienen o no los mismos elementos.

Otra importante noción es la de inclusión de conjuntos.

Sean A y B conjuntos. Decimos que A está incluido en B si y solamente si cada

elemento de A es elemento de B, es decir, si x A entonces x B. Usaremos la

Notación A B para referirnos a esta situación y diremos que A es un subconjunto

de B. Obsérvese que todo conjunto A es subconjunto de sí mismo. Cualquier

subconjunto de A que sea diferente de A, es llamado subconjunto propio de A. Así,

si B es un subconjunto propio de A, escribiremos B A.

Ejemplos: 1) {1, 2, 3} {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

2) {x: x vive en Caracas} {x: x vive en Venezuela}

3) {x: x es un entero} {x: x es un número racional}

La relación A B no excluye la posibilidad de que B A. Si ambas relaciones se

dan simultáneamente, los conjuntos tienen los mismos elementos y se dice que son

iguales, lo cual se denota por A = B. Es decir,

A = B si y solamente si A B y B A


3

1.3 El conjunto vacío Consideremos el conjunto {x: x ≠ x}, es obvio que este conjunto carece de elementos.

Un conjunto como el anterior que no contiene elementos es llamado conjunto vacío, y

es denotado por Ø. Observe que el conjunto Ø es subconjunto de cualquier conjunto.

Ejemplos: 1) {x: x = 1 y x ≠ 1} = Ø

2) {x: x es un entero y 0 < x < 1} = Ø

3) {x: x es un número real y x 2 + 1 = 0} = Ø

El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A,

y se denotará ρ(A).

Entonces la relación B A es equivalente a decir B ρ (A).

Ejemplos:

1) Si A = {a, b}, entonces ρ (A) = {Ø, {a}, {b} ,A}

2) Si a A entonces {a} ρ (A)

1.4 Unión e intersección de conjuntos Consideremos dos conjuntos cualesquiera A y B. Denotamos por A ∩ B al conjunto de

todos los objetos que pertenecen simultáneamente a A y a B. Entonces

A ∩ B = {x: x A y x B}

A ∩ B es llamado intersección de A y B.


4

Ejemplos: 1) {1, 2, 4} ∩ {2, 3, 4} = {2, 4}

2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, ::: } ∩ {0,- 1, - 2, - 3, - 4, - 5; ::: } = {0}

3) {1, 5, 6} ∩ {2, 3, 4} = Ø

4) {x R: x 1} ∩ {x R: x 8} = {x R: 1 x 8}

5) {x R: x - 3} ∩ {x R: x 4} = {x 2 R : x 4}

Cuando A ∩ B = Ø, como en el ejemplo 3, se dice que los conjuntos A y B son

disjuntos.

Recuerde los siguientes hechos obvios acerca de la intersección de conjuntos:

i. A ∩ A = A

ii. Ley conmutativa de la intersección de conjuntos: A ∩ B = B ∩ A

iii. A ∩ Ø = Ø

iv. Si B A entonces A ∩ B = B

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Se define AUB como el conjunto conformado

por todos los elementos que pertenecen al conjunto A y todos los que pertenecen al

conjunto B.

El nuevo conjunto A U B es llamado unión de A y B.

Ejemplos:

1) {1, 2, 3, 5, 6} U {2, 3, 4, 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

2) {x R: x - 8} U {x R: x - 2} = R

3. {-2

1 , 0, 1, 2} U Ø = {-2

1 , 0, 1, 2}

Evidentemente se tienen los siguientes hechos sobre la unión de conjuntos:

i. A U A = A

ii. Ley conmutativa de la unión de conjuntos: A U B = B U A


5

iii. A U Ø = A

iv. Si B A entonces A U B = A

Otras propiedades importantes de la unión e intersección de conjuntos:

i. A ∩ B A y A ∩ B B

ii. A A UB y B A U B

iii. Leyes asociativas:

(A U B) U C = A U (B U C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

iv. A B si y solamente si A ∩ B = A

v. A B si y solamente si A U B = B

vi. A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

vii. A ∩ B = A U B si y solamente si A = B

1.5 Diferencia y complemento

Consideremos dos conjuntos cualesquiera A y B. Definimos A – B como el conjunto de

todos los elementos que están en A y no están en B. Esto es:

A – B = {x: x A y x B}

A – B es llamado diferencia de A y B.

Ejemplos:

1. {1, 2, 3} – {1, 4} = {2, 3}

2. {1, 2, 3} – {4, 5, 6} = {1, 2, 3}

3. {1, 2} – {1, 2, 4, 5} = Ø

4. {x: x es un entero} – {x: x es un entero par} = {x: x es un entero impar}


6

Nótense los siguientes hechos evidentes:

i. A –B A

ii. A – Ø = A

Cuando en un determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes

de uno dado U, se suele considerar a dicho conjunto U como conjunto universal o

referencial. Por ejemplo, si un conjunto es el de los números racionales, el conjunto

universal correspondiente es el conjunto de los números reales. Si consideramos

separadamente a los estudiantes de las diferentes carreras de TSU de la Sede del

Litoral de la USB, el conjunto universal en este caso será la totalidad de los

estudiantes de dicha sede.

Si A es un subconjunto del conjunto universal U, se define el complemento de A,

denotado por Ac, de la siguiente forma:

Ac

= { x : x U y x A }

Ejemplos:

1. Sea U el conjunto de todos los enteros. Sean A y B los conjuntos de los enteros

pares y de los enteros impares, respectivamente. Entonces Ac = B y B

c = A.

2. sean A = {x: x es un entero positivo} y B = {x: x es un entero negativo}.

Entonces Ac = {0} U B

La operación de calcular el complemento de un conjunto satisface las relaciones

dadas a continuación, denominadas Leyes de Morgan:

i. (A U B)c = A

c ∩ B

c

ii. (A ∩ B)c = A

c U B

c

1.6 Producto Cartesiano Sean A y B conjuntos. El producto cartesiano A £ B es el conjunto de todos los pares

ordenados (a, b) tales que a 2 A y b 2 B. Entonces


7

A x B = {(a, b): a A y b B}

Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {a, b, c}. Entonces

A x B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2 a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3,c),

(4, a), (4, b), (4, c), (5, a), (5, b), (5, c)}

Ya que el producto cartesiano está formado por pares ordenados, se tendrá que

A x B = B x A si y solo si A = B


8

Capítulo 2

Conjuntos Numéricos

2.1 El conjunto de los números naturales (N)

Históricamente los primeros números que aparecen en la vida del hombre son los

números naturales: 1, 2, 3, :::, que le sirvieron en situaciones donde requirió

representar cantidades cuando necesitó contar. Independientemente de lo que se

tenga, si varios elementos están relacionados por una o varias propiedad(es) P, existe

un número natural que representa la cantidad que se tiene. Así en situaciones, como

por ejemplo:

2.1.1 Definición y caracterización. Un concepto de número natural no existe, sin embargo, observándolos podemos

decir:

Definición: Los números naturales son aquellos números positivos con parte decimal

nula (cero). El conjunto de los números naturales es infinito y se representa como:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, :::}


9

Caracterización: Los números naturales se caracterizan por tener dos propiedades:

son positivos y con parte decimal nula (cero).

Si requerimos identificar si un número h se encuentra en N debemos verificar que éste

tenga las dos únicas propiedades de un número natural, en este caso si el número h

esta en N se dice que éste “pertenece a" N y esta situación se representa como:

h N

Caso contrario, h “no pertenece a" N se expresa como:

h N

Esta última situación ocurre cuando h no cumple con alguna de las dos características

que posee el conjunto de los números naturales.

2.1.2 Operaciones con números naturales.

Dos operaciones están definidas en el conjunto de los Números Naturales (N), son

estas:

1. Adición: si a y b son dos números naturales se define el nuevo número natural,

como:

Propiedades de la adición: i. Para todo par n, m N se tiene que: n + m = m + n. (Conmutativa)

ii. Para todo n N se tiene que: n + 0 = n = 0 + n . (Elemento Neutro)

iii. Para todo grupo de números naturales, por ejemplo a, b, c, d N se tiene

que: (a + b) + (c + d) = a + (b + c) + d = a + (b + c + d) = (a + b + c) + d.

(Asociativa)


10

2. Multiplicación: si a es un número natural y se suma b-veces se define el

nuevo número natural, como:

Propiedades de la multiplicación: i. Para todo par n, m N se tiene que: n · m = m · n. (Conmutativa)

ii. Para todo n N se tiene que: 1 · n = n = n · 1.(Elemento Neutro)

iii. Para todo grupo de números naturales, por ejemplo a, b, c, d se tiene que:

(a · b) · (c · d) = a · (b · c)· d = a · (b · c · d) = (a · b · c) · d. (Asociativa)

Consecuencia directa de la definición tenemos que para todo número natural n se

tiene que:

n · 0 = 0 = 0 · n. (Todo número multiplicado por cero resulta cero)

2.1.3 Insuficiencia de los números naturales.

La siguiente situación evidencia el hecho que N es insuficiente, en efecto, dados

cualesquiera dos números naturales a y b, ¿cuál es el número natural c tal que

a + c = b? Esta situación, por ejemplo, está dada por:

7 + c = 3 c = ?

En virtud de esto último se hace necesario contar con un nuevo conjunto que de

respuesta a esta situación y cumpla con todo lo válido en el conjunto de los números

naturales.

2.2 El conjunto de los números enteros (Z) A partir del conjunto de los números naturales (N) se construye un nuevo conjunto, el

de los números enteros, el cual se obtiene de manera que para cada número natural n


11

se define el número entero – n (conocido como el negativo correspondiente a n). Con

la particularidad que si n = 0 entonces – n = – 0 = 0.

2.2.1 Definición y caracterización.

Definición: Los números enteros son aquellos números positivos o negativos

con parte decimal nula (cero). Este es un conjunto numérico infinito y se representa

como:

Z = {····,–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ····· }

Observe que este conjunto contiene al conjunto de los números naturales o en forma

equivalente se dice que los números naturales están contenidos en Z, esto se expresa

como:

N Z ò equivalentemente Z N

Caracterización: Así tendremos que si un número p es entero entonces tiene parte

decimal nula (cero) y es:

Positivo

Negativo ò

p =0

Así tenemos por ejemplo que los siguientes números son enteros: –306, 4, 2008, 0,

–3333, esto se expresa como:

–306 Z, 4 Z, 2008 Z, 0 Z, –3333 Z

Con estos números podemos dar respuesta a la anterior situación planteada:

7 + c = 3 c = – 4


12

Con este conjunto podemos plantear o representar situaciones como por ejemplo:

La temperatura T en una madrugada en Los Teques es 70C bajo cero,

T = –70C.

Tengo deuda de 5.023 Bs.; -5.023 Bs.

El litoral guaireño se encuentra a una distancia de 19 Km. de Caracas; d=19

Km.

2.2.2 Operaciones con números enteros. Al igual que en N, en el conjunto de los números enteros se definen de la misma

manera las operaciones de adición y multiplicación, con las siguientes leyes de

signos:

Para la adición:

Si dos números enteros a y b tienen el mismo signo, al sumarlos se obtiene el

nuevo número entero, el cual posee este signo. Así por ejemplo:

(– 4) + (–19) = –23 (dos negativos)

37 + 15 = 52 (dos positivos)

Si dos números enteros a y b tienen diferente signo, el número que resulta al

sumarlos a + b, adquiere el signo de aquel que tenga mayor valor absoluto. Así

por ejemplo:

–19 + 4 = (–19) + 4 = 4 + (–19) = 4 – 19 = –15 (–19 con mayor valor absoluto)

8 –6 = 8 + (–6) = (–6) + 8 = –6 + 8 = 2 (8 con mayor valor absoluto)

Esta operación en Z cumple cada una de las propiedades de la adición en N y

adicional a estas cumple otra:


13

Propiedad de Elemento Opuesto: para cada número entero n existe su elemento

opuesto –n, salvo el caso que n = 0, donde su opuesto es el mismo. Con esta

propiedad se tiene que:

n + (–n) = n – n = 0 = (–n) + n = –n + n

Para la multiplicación:

Al multiplicar dos números enteros a y b, distintos de cero y con el mismo

signo, resulta un nuevo número entero ab siempre positivo. Así por ejemplo:

(–5) · (–17) = 85 (dos enteros negativos)

12 · 16 = 192 (dos enteros positivos)

Si multiplicamos dos números enteros a y b, distintos de cero y con diferentes

signos, obtenemos siempre un nuevo entero negativo. Así por ejemplo:

8 · (– 7) = (– 7) · 8 = – 56

(– 9) · 9 = 9 · (– 9) = – 81

En esta operación se cumplen cada una de las propiedades de la multiplicación en N.

Adicional a éstas se define una propiedad que involucra ambas operaciones (adición y

multiplicación):

Propiedad distributiva: para todo trío de números enteros a, b y c se cumple que:

a · (b + c) = a · b + a · c = b · a + c · a = (b + c) · a

2.2.3 Insuficiencia de los números enteros. Una situación que pone en evidencia el hecho de que Z es insuficiente es la siguiente:

dados cualesquiera dos números enteros a y b, ¿cuál es el número entero c tal que


14

a · c = b? Esta situación, por ejemplo está dada por:

(– 4) · c = 3 c = ?

Consecuencia de ello es necesario un nuevo conjunto con el que se pueda dar

respuesta a esta situación y cumpla con todo lo válido en el conjunto de los números

enteros.

2.3 El conjunto de los números racionales (Q)

Buscando un nuevo conjunto con el que se pueda dar respuesta a la anterior

situación, pero sin perder el trabajo desarrollado hasta ahora, tenemos que:


Definición: Los números racionales son aquellos números positivos o

negativos, incluyendo el cero, con parte decimal nula (cero), finita o infinita periódica.

Este es un conjunto numérico infinito y se representa como:

Q = {n

m: m, n Z, con n ≠ 0} (también conocidos como fracciones)

Expresión decimal de un racional: Para cada número racional n

m , existe su

expresión decimal (ED), dada por:

ED = cociente de m ÷ n:

Así, por ejemplo, se tiene que:

1. Para 4

7 su expresión decimal es: - 1,75. (Parte decimal finito)


15

2. Para 9

25 su expresión decimal es: 2,777... (Parte decimal infinita periódica)

3. Para 3

42 su expresión decimal es: - 14. (Parte decimal nula)

2.3.2 Fracciones equivalentes.

Si dos números racionales b

a y

n

m tienen la misma expresión decimal entonces ellos

son equivalentes, la equivalencia se maneja como igualdad y se expresa como:

mbnan

m

b

a

Ejemplos:

1. 4

3 y

32

24 son equivalentes ya que 3 · 32 = 96 = 4 · 24.

2. 10

12 y

4

5 no son equivalentes ya que 12 · 4 = 48 ≠ 50 = 10 · 5.

Con esto podemos decir que dado cualquier número racional (fracción) existe su

fracción equivalente irreducible la cual se obtiene simplificando a este, como por

ejemplo:

3

4

3

2

3

2

32

2

48

64 246

4

6

Así, en vez de trabajar con 48

64, trabajaríamos con su equivalente irreducible

3

4.

2.3.3 Operaciones con números racionales. En este conjunto están definidas las mismas operaciones de adición y multiplicación,

sin perder lo desarrollado anteriormente.


16

1. Adición: Para cualesquiera dos racionales de la forma b

a y

n

m se define la suma

de ellos como:

En el caso particular que tengan igual denominador (n = b) se tiene:

Esto nos lleva a que esta operación también puede definirse llevando cada sumando a

fracciones equivalentes que tengan igual denominador. Como por ejemplo:

Propiedades: Las mismas que para la adición en Z : Conmutativa, asociativa, elemento neutro (el cero) y elemento opuesto.

2. Multiplicación: Para cada par de racionales b

a y

n

m, se define la multiplicación

entre ellos como:

Propiedades:

Acá también se tienen las mismas propiedades de la multiplicación en Z agregándole

la propiedad de elemento inverso, esta es:


17

Para cada n

m Z (distinto del cero) existe su inverso dado por:

En virtud de ello se tiene particularmente que “al multiplicar un racional por su inverso

resulta la unidad (1)":

Adicional a estas operaciones también se define:

3. Cociente: Para cada par de racionales, se define el cociente de b

a entre

n

m

(para n

m≠ 0) como el nuevo racional dado por:

De la misma definición podemos deducir o ver la división como una multiplicación:

2.3.4 Insuficiencia de los números racionales.

Con este conjunto no es posible dar respuesta a la siguiente situación: ¿Cuál es el

racional que al multiplicarlo por él mismo resulta otro? Esto se expresa como:


18

Por ejemplo:

r 2 = 2

1 r = ?

Sea r = b

aentonces r 2 =

2

12

b

a=

2

1=

2

2

b

a=

2

1

Por tanto b

adebe ser tal que:

a2 = 1 y b2 = 2 Para la primera igualdad se tiene que a = 1 ò a = – 1, pero no hay respuesta para la

segunda igualdad.

2.4 El conjunto de los números irracionales (I)

La existencia de números con parte decimal infinita y no periódica como por ejemplo

el número evidencia el hecho de que hay un conjunto de números con estas

características.


Definición: El conjunto de los números irracionales se define como aquel donde todos

sus números tienen parte decimal infinita no periódica y se denota por el símbolo .

Son ejemplos de números irracionales los siguientes:

e, ,5,7,,2 3 etc.

De la definición se deduce que”los conjuntos y Q son disjuntos", lo que quiere decir

que no tienen elementos en común. Esto se expresa como:

Q ∩ = Ø


19

Se cumple siempre que:

La operación entre un número racional y un irracional resulta un número

irracional.

La operación entre dos números irracionales distintos resulta un número

irracional.

Algunos números irracionales pueden obtenerse en forma geométrica, como por

ejemplo:

2.4.2 Aproximación de un número irracional. Con el objetivo de dar un valor aproximado de un número irracional que resulte de una

operación se tiene que existen dos maneras de aproximar un número irracional:

Defecto: se consideran los primeros decimales.

Exceso: considerando los primeros decimales el último se incrementa en uno.

Así por ejemplo se tiene que:

a) 7 + 5 = 7 + 2, 236 = 9, 236 (Usando aproximación por defecto con tres

decimales).

b) 7 + 5 = 7 + 2, 24 = 9, 24 (Usando aproximación por exceso con dos decimales).

Con estos dos conjuntos se plantea lo siguiente:


20

2.5 El conjunto de los números reales (R)

2.5.1 Definición.

Definición: El conjunto de los números reales se denota como R y se define

mediante la unión de los números racionales y los irracionales. Es decir:

R = Q U

En este nuevo conjunto están definidas cada una de las operaciones dadas en los

anteriores conjuntos y sus propiedades. Es un importante conjunto ya que CASI

TODO curso de matemática esta basado en él.

2.5.2 Representación gráfica de los números reales.

Los números reales pueden ser representados mediante la conocida recta real:

En ella cualquier número real tiene su lugar.

Ejemplo: Al representar los números reales: 3

10,81,11,

2

1 3 , se tiene que:


21

2.5.3 Orden en el conjunto de los números reales. Con esta recta se induce en los números reales un orden el cual consiste en: Si a, b y

c son números reales ubicados en la recta real como

Entonces se cumple que:

b “es menor que" c ya que está a la izquierda de c en la recta real y se expresa

como b < c. También se tiene que b < a y c < a.

a “es mayor que" c ya que está a la derecha de c en la recta real y se expresa

como a > c. También se tiene que a > b y c > b.


22

Capítulo 3 Potencias y Radicales El producto de n veces un mismo valor a puede expresarse en forma resumida como:

n

vecesnaaaa .

La expresión de la derecha la llamamos potencia, la base será el valor a y el exponente el entero positivo n. Presentamos un conjunto de propiedades de las potencias que llamamos potenciación. Para Rba, y Zmn, se cumple que:

i) aa1 ii) mnmn aa .

iii) mnmn aaa . iv) mn

a

a am

n

siempre que 0a .

v) na

na 1 siempre que 0a vi) m

m

b

am

ba

vii) mmm

baba .. viii) n

a

bn

b

a

Otra propiedad es que todo número real 0a elevado a la cero es uno, es decir

10a para todo 0a

Esto es consecuencia de otras propiedades, en efecto: si 0Rn entonces

10n

n

a

annaa


23

Como algunos ejemplos se tienen:

1) www

w ww 1114314

3

2) kkkk dxdxdxdx 2102.2.5222525 .1616..4..4..

3) 12

4

26

22

6

2

2

6

48

862

42

862 2

.

2

.

1.20622

..

..2

.

....

y

z

y

z

y

z

z

y

xz

zyx

xz

zyxzyx

3.1 Radicales

Se plantea el siguiente problema ” dados Ra y 1Zn ¿qué valor debe tener b

para que; abn?.”

La solución existirá sólo en los siguientes casos:

1-. Cuando 0n entonces 1a y el problema tiene como solución cualquier número

real excepto el cero ya que 10b para todo 0b .

2-. Si n es par entonces 0a , ya que kb2 jamás es negativo.

3-. Para el caso en que n es impar no importa el valor de a. Ante este problema surge la pregunta; ¿Qué forma tiene b?. La siguiente definición da respuesta a esta pregunta.

Para Rba, y 1Zn , se tiene que n aab n

1

si y sólo si abn (según

el valor de b). La expresión n a se conoce como un radical y se lee “raíz n-ésima de a”

y está definida; para todo valor real a cuando n es impar y sólo para 0a cuando n

es par. Al valor n se le llama índice de la raíz y al valor a lo llamamos cantidad

subradical ó radicando. Sólo cuando particularmente el índice es 2 ( 2n ), éste se sobreentiende leyéndose “raíz cuadrada de” y se lee la cantidad subradical. Cuando el índice es 3 se lee “raíz cúbica de” y se lee la cantidad subradical. Consecuencia de esta definición se tiene

que 00n y 11n .

En esta definición, el valor b existe en los casos 2 y 3. Es por ello que aseguramos por ejemplo que:


24

a) 3 ”no existe”, ya que 2n (es par) pero 03a .

b) 5 3 es un número real.

Proposición: Para todo 0Rx ( x es un real no negativo) entonces

2

xx .

Así por ejemplo se tiene que:

22

244 ; 2

23

2

4

92

49

49

; 2

55

Cuando se tiene la expresión; n am. , el valor m se le conoce como el coeficiente de

ese radical. Además se desprende el siguiente conjunto de propiedades de los radicales al cual llamamos Radicación:

Para Zmn, y Rba, se tiene que:

i) n mkm

n k aa . ii) n a - n a siempre que n sea impar

iii) n

m

aan m iv) aan n siempre que n sea par.

v) mnn m aa .

vi) aan n siempre que n sea impar

vii) nnn baba .. viii) n

n

b

anba

siempre que 0b

A continuación damos algunos ejemplos donde se aplican diversas de estas propiedades:

1) 3.205.3.25.3.25.3.25.3.21200 22424 21

24

2) 3

21

21

2

1

8

138

1 1.3

3 3

3

3

3

xxxxx

3) 38

2324

234 ... yxyxyx


25

Una herramienta que se desprende de esto, para el caso particular; 2n y 0a

existe un real no negativo c tal que 2ca entonces cca 2

. En función de

esto se tiene por ejemplo que:

1-. 24 , ya que 224 y por tanto 2242

.

2-. 53

259

, ya que 2

53

5

3259

2

2

y por tanto 532

53

5

3259

2

2

.

3.2 Simplificación de Radicales. Simplificar un radical consiste en aplicarle a éste todas las posibles propiedades de la radicación de manera que se obtenga un radical de expresión más simple. En un

anterior ejemplo se aplicó radicación al radical 1200 . Esto nos dice que este radical

se simplificó llevándolo a la forma más simple; 3.20 , este proceso también es

conocido como reducción de un radical a su forma más simple. 3.3 Introducción de Cantidades Bajo el Signo Radical. Este es el proceso inverso a la simplificación de radicales. Para introducir un

coeficiente numérico o literal bajo el signo radical, se eleva dicho coeficiente a la

potencia que indique el índice del radical, quedando la correspondiente potencia en

forma multiplicativa en la cantidad subradical. Cuando el coeficiente de un radical es 1

el radical es entero, lo que nos dice que al introducir el coeficiente dentro de un

radical se obtiene un radical entero.

Así por ejemplo:

2 a = a.22 = a4

Otro ejemplo que se presenta al hacer entero el radical 3a2 3 2ba

3a2 3 2ba = 3 2323a ba = 3 2633 baa =3 827 ba

Asegurando que a4 y 3 827 ba son dos radicales enteros.


26

3.4 Radicales Semejantes. Dos o más radicales son semejantes cuando, reducidos a su forma más simple, tienen

el mismo índice y la misma cantidad subradical. Así como ejemplo tenemos que:

1. Son semejantes los siguientes radicales: 5 32x y 5 32.4 x .

2. Pese a que los siguientes no cumplen la condición para ser semejantes

x243 y 4

27 3x

Para este ejemplo (no siempre es posible) podemos aplicarle reglas de radicación al primero

..3.3.3243243 44 54 xxxx

Siendo éste último semejante al radical; 4

27 3x .

Nota: Si de entrada dos o mas radicales no cumplen la condición de ser semejantes, entonces pueda que al aplicarles propiedades de radicación no lo resulten. 3. No son semejantes los radicales

ba. y ba .25 4

En efecto, al simplificar el segundo se tiene que; bababa ..5..5..25 2423 .

3.5 Reducción de Radicales al Mínimo Común Índice Esta operación tiene por objeto convertir dos o más radicales de distinto índice en

radicales equivalentes a los dados, que tengan el mismo índice, para ello se aplica la

siguiente REGLA:

Ejemplos: En cada caso reduzca al mínimo común índice:

Se halla el mínimo común múltiplo de los índices, quien será el índice común, y

se eleva cada cantidad subradical a la potencia que resulta de dividir el índice

común entre el índice de su radical.


27

1. Para; 6 5.yx y

39

2a.

El mínimo común índice (m.c.m entre 6 y 3) es 6. Este es el índice común. Por tanto, se tienen los siguientes radicales semejantes correspondientes:

6 56 5 .. yxyx

681

62

93

9

422 aaa

2. Para; 3 , 3 3a , 4 2 .

El mínimo común múltiplo de los índices (2, 3 y 4) es 12. Este es el índice común. Entonces tendremos:

1212 672933

12 812 423 2 .8133 aaa

1212 34 822

3.6 Operaciones con Radicales. Existen sólo tres operaciones con radicales: adición, producto y cociente. Cada una de ellas se realiza según la igualdad o no de sus índices.

Adición o Suma de Radicales. La suma de dos o más radicales está definida sólo cuando éstos son semejantes, es decir que para sumar radicales sus índices deben ser iguales y además deben tener la misma cantidad subradical. Al sumar dos radicales sólo debemos sumar algebraicamente sus coeficientes, resultando un radical con el mismo índice y el mismo radicando que los radicales que se suman. En caso de que falle la igualdad de los índices y/o la de sus radicándos la suma queda expresada. Lo anterior se traduce en cuatro casos:

-. mnmn ybxaybxa .... . Siempre que mn y yx .

-. nnnn ybxaybxa .... . Pese a que tienen iguales índices pero yx .

-. mnmn ybyaybya .... . Ya que tienen radicándos iguales pero mn .


28

-. nnn xbaxbxa ).(.. . Ya que tanto los índices son iguales como sus

cantidades subradicales. Además es inmediato el hecho que la suma de una expresión no radical z con un

radical, m wt. igual queda expresada, es decir:

mm wtzwtz ..

En virtud de que los radicales son expresiones reales se tiene que para esta operación se cumplen cada una de las propiedades de la suma de números reales.

Ejemplo: de ser posible efectúe cada operación.

1-. 3333 .5.16.6 babababa

2-. 4

2134

23

444234 444

2344

23

3.3.23

3.23.333.23.33483.33

3-. axaxxax .34.3.4

Producto o Multiplicación de Radicales. La multiplicación de dos o más radicales está definida según la igualdad o no de sus índices, en virtud de ello se presentan dos casos: Con igual índice: Si dos o más radicales con igual índice se encuentran multiplicando se procede a multiplicar los respectivos coeficientes, resultado que da el nuevo coeficiente. El radical que resulta tiene el mismo índice y el radicando es el producto de todos los radicándos. Esto se traduce en la siguiente regla:

nnn wuabwbua .....

Observe que en este caso, efectuar esta operación equivale a aplicar la propiedad vii) de la radicación. Ejemplos: en cada caso efectúe el producto de radicales.

1-. 3 723 223 5 .5.2..5.2 xyxyx


29

2-. 6 56 56

6 26 46 46 23 46 4

7.6.7.6

7...67..2..3

bxyabaxy

abbaxyabybax

3-. 26.36.18.2.36

31

31

31

El producto de radicales igual hereda todas las propiedades del producto de números reales. Con índices diferentes Para el producto de radicales con diferentes índices se multiplican los coeficientes y todos los radicales se reducen al mínimo común índice, expresándose como un producto de radicales de igual índice. Ejemplos: en cada caso efectúe el producto de radicales.

1-. 1010 51010 96.202.3.202.4.3.5

2-. 36 12214

36 6236 4336 946 2

439 343

..64.3

2...32...2..2

aya

ayyaayaya

3-. 6 13

346 25

346 33 5

34 .108.2..32..3 xxxxx

Cociente o División de Radicales. Cuando se tiene un cociente de dos radicales decimos que también estamos ante una división de radicales, bien sea tengan éstos igual o diferentes índices. Esta nueva operación se define análogamente como en la anterior multiplicación de radicales, donde se presentan dos casos: Con igual índice: Ante un cociente de dos radicales donde estos poseen el mismo índice decimos que esto lo vemos también como una división de radicales con igual índice, es decir:

nn

n

n

wbuawb

ua..

.

.

Esta operación se efectúa; primero dividiendo los respectivos coeficientes y obteniéndose un nuevo radical donde el índice es el mismo, y su radicando es el


30

cociente o resultado de dividir el radicando del radical n a entre (sobre) el radicando

del radical n b , es decir que:

nnn

n

wubaw

u

b

a

wb

ua..

.

.

Nota: Observe que en este caso la operación corresponde (equivale) a la ya estudiada propiedad viii) de la radicación. Así por ejemplo se tiene que:

1-. 334

3

33

3

2

3.5

2

3.2.5

16

24.5

16

24.5. También

33

3

3

5,1.51624.516

24.5

2-. 732

3

72

341

7 42

7 3

..

2

1..

3.2

3

..6

..3

ay

x

y

xa

ay

xa

3-. 44

4

44

45

20

5

20

5

20m

n

mn

n

mn

n

mn

Con índices diferentes Para el cociente (división) de dos radicales con diferentes índices se procede de forma similar que para el caso de la multiplicación de radicales con diferente índice; primero se dividen los coeficientes y los radicales se reducen al mínimo común índice, expresándose como un cociente de radicales de igual índice.

Ejemplos: en cada caso efectúe el cociente o división de radicales.

1-. 666

3

6

6 3

66,2.2

3

8.2

3

2.2

3.6

2.12

3.6

2.12

2-. 24

2

6

246

46

24 6

24 46

24 32

24 223

8 2

12 23

8 2

6 23.....

y

x

y

yx

y

yx

y

yx

y

yx

y

yx


31

Racionalización de Numeradores o Denominadores. Este es un proceso que permite, en un cociente, eliminar expresiones radicales encontradas en el numerador o denominador. Estudiaremos dos casos: Monomio y binomio. En cada caso el proceso es el mismo, se trate de racionalizar el numerador o el denominador. 3.7 Racionalización de un Monomio. Es el caso que se presenta al querer eliminar del numerador (o denominador) el único

sumando, siendo éste un radical, es decir rDenominado

.n wu o

n wu.

Numerador,

respectivamente. Consiste en multiplicar el cociente dado por un cociente de radicales (equivalente a la unidad (1)), que tenga el mismo radical en el numerador que en el

denominador; 1n

n

a

a, de manera que la cantidad subradical a multiplicada por la

cantidad subradical w del radical a eliminar resulte una potencia con exponente igual

al índice del radical a eliminar n , es decir que al racionalizar: El numerador:

adorNuevoDeno

Mu

adorNuevoDeno

awu

a

a

adorDeno

wuwu n nn

n

nnn

min

.

min

..

min

.

rDenominado

.

adorNuevoDeno

Mu

min

.

El procedimiento es el mismo si se quiere racionalizar el denominador. Ejemplos. Racionalice cada numerador.

1-. 33

3 3

3

33 2

3

33 23 2

...

.

ax

a

ax

a

ax

aa

a

a

x

a

x

a

2-. 4 254 234 24 23

4 44

4 23

4 234 24 2

.

3

..

..3

..

..3

.

...3..3

yx

xy

yxx

yx

yxx

yx

yx

yx

x

yx

x

yx

Ejemplos. Racionalice cada denominador.


32

1-. ba

ba

ba

ba

ba

ba

baba .3

.2.5

.3

.2.5

.3

2.5

.3

2.5

2

2-. 2

5 35 3

5 55

5 34

5 34

5 34

5 25 25 7 3

81

.3.

81

.3.

.3

.3

.3

.3.

1

.3.

1

.3

1

c

c

cc

c

cc

c

c

c

ccccc

3.8 Racionalización de un Binomio. Es el caso en que de un cociente se quiere eliminar del numerador o denominador la

suma (o diferencia) entre dos radicales de índice 2, es decir ba o entre un

radical de índice 2 y un sumando no radical, es decir ba ó ba . Consiste en

multiplicar por un cociente equivalente a la unidad (1) que contenga el conjugado de la suma a eliminar (el conjugado de nm es nm ), tanto en el numerador como en el

denominador, es decir que al querer racionalizar: El numerador.

adorNuevoDeno

ba

adorNuevoDeno

ba

ba

ba

adorDeno

ba

adorDeno

ba

minminminmin

22

El denominador.

ba

adorNuevoNumer

ba

adorNuevoNumer

ba

ba

ba

Numerador

ba

Numerador22

Ejemplo. Racionalice cada numerador.

1-. 65.3

1

2.35.3

45

25.3

25

25

25

3

25

3

2522

2-. 15235

5

15235

3.47

327.5

327

327

327

5

327

5

32722

35152

5

Ejemplo. Racionalice cada denominador.


33

1-.

3

3.2

3

3.2

3.3

3.2

3

3

3

2

3

222

x

xx

x

xx

xx

xx

x

x

x

x

x

x

2-. 2231

223

2.49

223

223

223

223

223

223

1

223

122

3.9 Sección de ejercicios.

1-. Simplifique los siguientes planteamientos aplicando todas las posibles propiedades de potenciación y/o radicación.

i) 3243 43 yy ii 3

13x iii)

6 3 2a

iv)

2

124

3

136

yx

yx v)

3

2

2

3

a

b

b

a vi) 3

254

1

yx

vii) 22

3 54 2

dc

ba viii) 3 128 ix)

3

3

1

2

3

y

y

x) 337 105 yxxy xi) 3 1267327 zyx xii) 0203 43 yy

xiii) 301

423

222

222 xiv)

321x xv) 2

5

2

1

23 xx

xvi) 3 128 xvii)

3

3

1

2

3

y

y xviii) 4 8581 sr

2-. Transforme los siguientes radicales en enteros radicales.

i) 483 ii) 3 1282

1 iii) ba 250

iv) 751082

1ba v) 6125

5

3mn vi) 5 11232

5

2yx

vii) 3 82128.2 yxxy viii) ba5 ix) 22

1

x) 223 aa xi) bayx 35 32 xii) 3 22 baab

xiii) 3 224 mm xiv) 4 382 aba


34

3-. En cada grupo de radicales efectúe la reducción al mínimo común índice.

i) 6 33 2 7,4,5 bayxx ii) 643 7,5,3,2

iii) 10 35 24 7,2,3 xba iv) 15 235 23 5,3,2 xaxaab

v) 6 454 32 3,8 maxa vi) 9 76 33 2 5,2, myx

vii) 43 8,4,3 viii) 9 56 33 2 4,2

1,3 xba

ix) 10 275 43 2,3,2 yxxam x) bababa ,, 3

4-. Resuelva cada una de las siguientes adiciones.

i) 240230292 ii) 54

35

2

152

iii) nmmnmnnm 2222 94162 iv) 333 26

12

3

22

3

1

v) 333 112114

111

5

3 vi) 75263243175

vii) 80058033204450 viii) bababa 73

5-. Efectúe cada uno de los siguientes productos.

i) 32.215 ii) 33 5012.156

5 iii) 6.3

iv) 333 204.156

1.453 v) 63 243.

9

1

2

3.

3

1

2

1 vi) 4 33 22 32. baba

vii) 5 43 2 164

3.4

3

2nmm viii) 10

2

5

16

1.4.2

xxx ix)

3 22. xx

6-. Efectúe las siguientes divisiones con radicales.

i) 3264 ii) x

xy

3

32

1

iii) xyyx 34

375 32

iv) 3 2

3 5

2.4

163

a

a v)

3

2

3

10

2

1

6

5 vi) 3 239 xx

vii) 9 23 4 273 mm viii) 23 2

10

14

3

2aab ix)

4 322

6 543

.3

18

zyx

zyx


35

7-. En cada caso racionalice el numerador.

i) 3

2 ii)

4

x iii) 3

3

2

iv) ab

ba v)

2

23 vi)

32

15

vii) 12

25 viii)

252

24 ix)

22

22

x

x

8-. En cada caso racionalice el denominador.

i) 2

3 ii)

3 35

6

x iii)

4 3255

1

xa

iv) 523

3 v)

32

2 vi)

252

24

vii) 7354

725 viii)

73

732 ix)

22

22

x

x

x) baba

baba


36

Capítulo 4 Expresiones Algebraicas En el estudio de situaciones relacionadas a cualquier área (social o no social) es frecuente el uso de símbolos para representar un (o los) elemento(s) de un conjunto y en el primer capítulo se dijo que usualmente la letra x representa cualquier elemento del conjunto. Se establece universalmente que para representar: un conjunto se usan letras mayúsculas y minúsculas para sus elementos. También se presenta la necesidad de expresar alguna propiedad numérica (o no) que deben cumplir o satisfacer los elementos pertenecientes a un conjunto, esta situación la hemos llamado, en el estudio de la Teoría de conjuntos, “la propiedad del conjunto”. Así por ejemplo se tiene que si el conjunto E contiene todos los pares positivos se representa como:

,,,,,,

NnnxxZxE

12108642

.2 0:

Para el caso en que los elementos de un conjunto numérico específico C satisfacen

una propiedad numérica P en el primer capítulo se estableció que lo expresamos como:

)( : xPxC

Donde )(xP es una condición que debe satisfacer cada Cx . Así por ejemplo:

23 : xxC

Es el conjunto donde si Cx entonces la propiedad P que éste debe cumplir es que “si le sumamos 3 resulta 2”. Es inmediato que este es el conjunto unitario formado por el elemento -1, es decir que:

1 23 : xxC


37

Por otra parte, de lo estudiado en los capítulos 2 y 3 se puede deducir que todo número real n pudiese expresarse de infinitas formas. Así por ejemplo; el 3 puede expresarse como: 1-. La suma del 2 y el 1. Pudiendo expresar 123 ó 213 .

2-. La mitad de 6 y escribimos 2

63 .

3-. El doble de 5 menos 7 y esto lo expresamos 75.23 .

En función de esto podemos plantear expresiones donde se vinculen, mediante operaciones numéricas, números constantes con letras (una o varias) que representan números, es decir por ejemplo para expresar:

1-. “Los enteros positivos pares” usamos la expresión; x2 con Zx .

Entendiéndose que x2 es la expresión que indica los enteros pares. Estos también son conocidos como los múltiplos de 2. 2-. “El triple del cuadrado de un número menos la mitad de otro” usamos:

23 2 x

y.

3-. “La cuarta parte de cualquier número impar” usamos; 4

12n.

4-. “La diferencia de dos cuadrados” usamos; 22 xa

Llamamos expresión algebraica a todo planteamiento por medio de una o varias operaciones numéricas se relacionen números y/o letras que representan números. Son algunos ejemplos los anteriores y los siguientes:

1-. yxyx 253 2.

2-. axxa 15 23

3-. yy 273

En el particular caso en que se tiene una expresión algebraica donde hay varios sumandos llamamos término a cada sumando. En cada término sus elementos se multiplican entre ellos y cada uno de estos a su vez se les llama factores. El siguiente

es un ejemplo de un término; 33 ..55 zmmz .

Sus factores son tres: -5, m y 3z .


38

4.1 Tipos de Expresiones Algebraicas. Una suma de expresiones algebraicas se clasifica según el número de términos que ésta posea, y la llamamos:

Monomio: si posee un solo término. Son tres ejemplos:

3

5

6 2 yx

; 53a ; 1a

a.

Binomio: si solo contiene dos términos, como ejemplos tenemos los siguientes 2:

12

37 x ;

345 xyzy

Trinomio: para los que en total poseen tres términos. Así como ejemplo damos los siguientes dos trinomios.

zxx z

xy 393 2 ; 342

Establecemos que cada término contiene: un coeficiente (con su respectivo signo), el cual en algunos términos puede ser número o letras(s) y una o varias variables, cada una con su respectivo exponente. El coeficiente siempre está multiplicando a la (o las) variable (o variables) y cuando no aparece se sobreentiende que es la unidad (1). Existen sólo dos tipos de términos; los llamados independientes, que no tienen variable alguna (se pueden ver como que tienen variable con exponente cero), son solo coeficientes, y los términos dependientes que contrariamente si aparecen con variables. Ejemplo. Para las siguientes expresiones algebraicas determine sus coeficientes.

i) 342.

Sus coeficientes son: 1, -4, y -3. Además 2 y 4 son sus términos dependientes

y -3 el independiente.

ii) 34

3

5xyz

x

y.

Tiene como coeficientes: 35

y 1. Es un binomio donde sus términos sólo son

dependientes. 4.2. Términos Semejantes. En una misma expresión algebraica dos o más términos se dicen semejantes si sólo difieren en sus coeficientes, es decir que contienen las mismas variables cada una


39

con el mismo respectivo exponente. En particular dos o más términos independientes son semejantes. Así por ejemplo los siguientes son tres términos semejantes;

w

xm4

7 ; w

xm

3

4

y w

xm42

Cuando en una misma expresión algebraica existen varios términos semejantes, sólo los coeficientes de éstos se suman algebraicamente, quedando de éstos un sólo termino con las mismas variables. A continuación damos dos ejemplos de expresiones algebraicas que contienen algunos términos semejantes.

1-. 5252

655252

215252

52

773372

xtytyxxtytyxtyxtxyytx

2-. 3

3

3

33

33

3

2

342

2

51

42

2

54

x

z

x

z

x

z

x

zzx

x

z

x

z

x

z

Nota: dentro de una misma expresión algebraica la suma de sus términos no semejantes no se efectúa sino que queda expresada.

4.3. Expresiones Algebraicas con Signos de Agrupación.

Los signos de agrupación, es decir: paréntesis (), corchetes [ ] y/o llaves encontrados en una expresión algebraica se usan para: elevar, a un exponente, toda (o parcialmente) una expresión algebraica ó agrupar parte de ella. Así como ejemplo se tienen las siguientes expresiones algebraicas con signos de agrupación:

1-. 33274 xyyx 2-. 2

53w 3-. yxxxx 53.42 23

Cuando se quiere desarrollar una expresión algebraica que está planteada con signos de agrupación el objetivo es suprimir (eliminar) estos símbolos. Para lograr esto se debe tomar en cuenta que si: -. Un signo (+ ó -) y/o una expresión algebraica precede a un signo de agrupación que sólo agrupa una serie de términos, éste multiplica a cada término encontrado dentro. Así como ejemplos se tienen:

1-. 333 35432743274 xyxxyyxxyyx .

2-. xyxxxyxxxxyxxxyxxxx 525342534253.42 3333323 .


40

-. Una expresión algebraica encerrada dentro de un signo de agrupación y que está elevada a un exponente se aplican las leyes de potenciación. Así por ejemplos se tienen:

1-. 2530953.55.3353.5353 2222wwwwwwww .

2-. 244

2

4

2018

204

18

45

18

225

292

25

9

81

4

81

4

81

4

81

4

3

4

3

2

3

2

yxx

y

x

y

yx

y

xy

y

xy

y

xy

y

4.4. Producto de dos Binomios.

Al tener la multiplicación o producto de dos binomios éste se desarrolla via la propiedad distributiva, es decir.

nbmbnamanmba .....

Se presentan dos casos muy particulares que su desarrollo se conoce como los productos notables: 4.4.1 Un binomio por su conjugado.

Para un binomio ba su conjugado es el binomio dado por; ba y viceversa. En virtud de ello planteamos el siguiente caso particular;

22. bababa

Es por ello que como ejemplo se tiene:

1-. 623233 2555.5 xxxx

2-. 22

2

2

2933

.3

yxm

xym

xym

xym

4.4.2. El Cuadrado de un binomio.

Es otro caso particular entre un binomio ba multiplicado por él mismo, el cual tiene el siguiente desarrollo específico.

222..2 bbaaba


41

222..2 bbaaba

El primero se le llama “el cuadrado de una suma” y el segundo “el cuadrado de una diferencia”. 4.5. Polinomios.

Se destacan las expresiones algebraicas que son sumas de términos donde la variable o las variables sólo aparecen en el numerador y con exponente entero no negativo. Llamaremos polinomio a toda suma algebraica de esta forma, es decir, un polinomio es toda suma algebraica donde cada término es un número real (coeficiente) por una(s) variable(s) que están multiplicándose entre si, cada una con exponente un entero no negativo. Así por ejemplo tenemos los siguientes polinomios:

342 ;

345 xyzzy ; yxx xy 72 3

5

93

Donde el primero es un trinomio de una sola variable, el segundo es otro trinomio y tiene tres variables y el tercero es un polinomio de dos variables. En este curso se tiene gran interés sólo en el estudio de polinomios de una sola variable, como por ejemplo:

435 ; 49 2

y xxxxx 725 324

4

3

Para trabajar con estos polinomios es necesario que estos se encuentren debidamente ordenados. El orden en un Polinomio. El orden de un polinomio se establece por la forma en que sus términos van colocados; diremos que un polinomio está ordenado en forma creciente si sus términos están colocados de menor a mayor exponente y de estar en forma contraria se dice que está ordenado en forma decreciente. Aquellos polinomios que una vez ordenados le falten términos se consideran polinomios incompletos. Todo polinomio no ordenado debe ordenarse de alguna manera y si además es incompleto debe completarse. Ejemplo. Ordene en forma decreciente los anteriores tres polinomios.

Para; 435. Se trata de un polinomio ya ordenado en esta forma, sólo que es

incompleto. Por tanto;


42

43.0.0.043 23455

Para; 49 2. Este también está ordenado decrecientemente y es incompleto y se

tiene;

4.0949 22

Para; xxxxx 725 324

4

3

. No está ordenado pero es completo.

275

275725

2

434

23

4

4324

4

3

33

xxx

xxxxxxxx

x

xx

El grado de un polinomio será el mayor de los exponentes de la variable. Es por ello que, por ejemplo, el grado del polinomio:

275 2

434 3

xxx x es 4.

4.0949 22 es 2.

Y el de 435 es 5.


43

Capítulo 5 Factorización de Expresiones Algebraicas. En este capítulo el objetivo es reescribir una expresión algebraica como la multiplicación o producto de varias expresiones llamadas factores. Para ello aclaremos una serie de vocablos inherentes al tema.

5.1 Conceptos básicos

Factores: llamada así a todas las expresiones algebraicas que se encuentran

multiplicándose entre sí y que al desarrollar ese producto resultan la primera

expresión. Por ejemplo: al factorizar 652 xx resulta 3.2652 xxxx

ya que al desarrollar el producto 3.2 xx se obtiene la primera expresión.

Además los factores son 2x y 3. x .

Factorar: consiste en factorizar o descomponer en factores una expresión

algebraica.

Factorar un monomio: todos los elementos en un monomio son factores y se

pueden hallar por simple inspección. Por ejemplo, los factores del monomio

537zc son tres: 5y ,37 cz .

Factorar un polinomio: no todos los polinomios se pueden factorizar. Nosotros

acá sólo nos avocaremos a aquellos que si se puedan factorizar y

estableceremos el estudio de la factorización de polinomios por casos.

5.2 Casos básicos para la factorización. a) Factor común monomio: cuando todos los términos ó sumandos de una

expresión algebraica (pueda que sea o no un polinomio) tienen un factor común. En esta situación se determina el Máximo Común Divisor entre los coeficientes, y con respecto a la parte literal, se toman las letras comunes en toda la expresión algebraica con sus menores exponentes respectivos. Y se coloca multiplicando a la suma de los términos que resten.


44

Ejemplos: 1. Factorar aba2 . Para esta situación el factor común es “ a " ya que es el único

factor, con el menor exponente, que se repite en toda la expresión algebraica y la

expresión factorizada queda entonces como: baaaba .2

2. Factorar 4322 561428 yxxyx . Para esta situación el factor común es 214x ya que:

224332224322 147.2....7.27.2.7.2561428 xxDCMxyxyxyxxyx

Y la expresión factorizada es: 2224322 42.14561428 yxxyxyxxyx

3. Factorar 5

2

23

4323 23256

x

yb

xy

baxb

yxab

. Acá se tiene que xbDCM

2

.. y por lo tanto:

43

232

5

2

23

4323 2

25623

256 3

x

y

xy

bay

abx

b

x

yb

xy

baxb

yxab

b) Factor común un binomio: la situación que se presenta es una expresión con

una cantidad par de términos, los cuales “adecuadamente” se agrupan en pares de

manera que de cada par sacar el factor o factores comunes y el binomio que éste

quede multiplicando sea la misma en cada término, es decir que el binomio es un

factor común.

Ejemplos:

1. Factorar bxmambax 33 . Para esta situación agrupamos

bxmbmaaxbxmambax 3333 y de cada par agrupado sacamos el

respectivo factor común:

xmbmxabxmambax .3.33

Y finalmente se observa y saca el binomio como factor común.

baxmbxmambax 3.33


45

2. Factorar 232 2233 xyxyyxxy . Para esta situación al agrupar obtenemos

tres pares.

322232 22332233 yxyxyxxyxyxyyxxy

Ahora de cada par saco su factor común:

yxyyxxyxxyxyyxxy ..2.32233 2232

Y finalmente se saca el binomio como factor común y queda la factorización:

2232 23.2233 yxyxxyxyyxxy

c) Diferencia de cuadrados. En este caso se presenta la diferencia entre dos términos al cuadrado. Procediendo a expresarla como el producto de la suma de las bases por su diferencia.

Ejemplos:

1. Factorar 22 mx . Como es una diferencia entre dos cuadrados, respetando el

orden de los términos, decimos que directamente la factorización es:

mxmxmx .22

2. Factorar 256c . En este ejemplo directamente no es una diferencia entre dos cuadrados, sin embargo la podemos expresar como tal y queda:

2236 525 cc

Y la factorización es:

5.525 336 ccc

d) Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.

En este caso el proceso de factorizaciòn consiste primero en completar al trinomio

original de manera conveniente para lograr un trinomio cuadrado perfecto (esto se

logra sumando y restando un mismo término); sin embargo, al obtener el trinomio

cuadrado prefecto se genera también una diferencia de cuadrados la cual se debe

factorizar para completar el proceso.


46

Ejemplos:

1. Factorar 4224 yyxx . Para obtener 22

..2 BBAA se observa que:

2222224224 . yyxxyyxx

Lo que nos dice que; 2xA , 2yB y que además debemos sumar y restar 22 yx para

obtener BA ..2 , es decir

22222

22222222

22222222224224

.

...2

...

yxyx

yxyyxx

yxyxyyxxyyxx

En vista que 222 . xyyx se tiene una diferencia de dos cuadrados que al factorizar

xyyxxyyx

xyyxxyyxxyyxyyxx

2222

222222224224

.

.

2. Factorar 4248 294 nnmm . Tratando de que aparezca 22

..2 BBAA ,

en la expresión se observa que 248 24 mm y

224 nn quedando:

nmnmnmnm

nmnmnmnm

nmnnmmnnmm

224224

2222424224

242224244248

52.52

52252

25.2.22294

3. Factorar 24 4by . Se observa que 2224 Ayy y

222 24 Bbb entonces para

que en la expresión aparezca 22

..2 BBAA sumamos y restamos

BAby ..22..2 2 y resulta:

24224222242

422424242242284

22.2222

422..22..224

ybbyybbyybby

bybybybybyby

e) Trinomio de la forma ax2 + bx + c. Sólo en el caso en que 0..4

2cab es

posible que este trinomio se pueda factorizar. Presentándose dos situaciones:


47

i) Para 1a . Buscar dos enteros positivos nm y (distintos de cero) tales que

ellos sumados ó restados resulten b y al mismo tiempo multiplicados den c , y

encontrados ellos se colocan sin signo así;

nxmxcbxx . 2

Colocándole el signo de b al mayor de ellos. Y el signo del otro dependerá del

signo de c ; siendo éste igual al del mayor si 0c (positivo) y distinto en el

caso contrario ( c sea negativo).

ii) Para 1a . Se debe multiplicar y dividir el polinomio por el valor a , es decir;

a

cbxaxacbxax

2.2

Y luego de desarrollar el numerador, en el 2do término hacer axbabx . resultando

a

acaxbax

a

acaxbxacbxax

..2222

Llamar axy , para tener;

a

acybycbxax

.22

Y aplicarle a todo el numerador la parte i). Quedando:

a

naymax

a

nymycbxax ..2

Donde de los factores (uno o ambos) en el numerador de la derecha se sale el valor a como factor común, el cual se cancela con el denominador, resultando finalmente:

1211

..2 .1211 nxamxacbxaxa

nxamxaa

Ejemplos:

1. Factorar 1.22 tt . En vista que 00441.1.42..422

cab se aplica

el caso i); donde para 1y 1 nm se tiene que 1m.y 2 nnm y se tiene que:

1 .1 1.22 tttt


48

En vista de que m y n son iguales, b es negativo y c es positivo, la factorización

queda;

22 11 - .1 - 1.2 ttttt

2. Factorar 63 214 yy . Este no es un polinomio de grado 2 pero si hacemos 3yx

entonces 6232 yyx luego se tiene;

214214 263 xxyy

Y se cumple que 0100..42

cab . Ahora estamos en el caso i) donde

7y 3 nm se tiene que 21m.y 4 nmn y se tiene que

7 .3 214214 263 xxxxyy

Y como 0b y 0c entonces

7 .3 - 214214 263 xxxxyy

Luego como 3yx se tiene finalmente;

7 .3 - 7 .3 - 214 3363 yyxxyy

3. Factorizar 6136 2 hh . Chequeamos que 025..42

cab . En vista de que

16a multiplicamos;

6

36)6.(1336

6

6136.6222

6136hhhh

hh

Llamando hx 6 :

6

36).(1322

6136xx

hh

Luego 4y 9 nm ya que 36m.y 13 nmn . Y se tiene

6

)4 .(9 2 6136xx

hh

Y como b y c son positivos entonces

)23.(32

6136

6

)23.(32.2.3

6

)23.(2.32.3

6

)4 6.(9 h 6

6

)4 .(9 2

hh

hh

hh

hhhxx


49

f) Cubo Perfecto de Binomios. Para que una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra sea el cubo de

un binomio, tiene que cumplir las siguientes condiciones:

a) Tener cuatro términos.

b) Que el primero y el último término sean cubos perfectos.

c) Que el segundo término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer

término multiplicado por la raíz cúbica del último término.

d) Que el tercer término sea el triple de la raíz cúbica del primer término por el

cuadrado de la raíz cúbica del último. Si todos los términos de la expresión son

positivos, la expresión dada es el cubo de la suma de las raíces cúbicas de su primer

y último término, y si los términos son alternativamente positivos y negativos, la

expresión dada es el cubo de la diferencia de dichas raíces.

Ejemplos:

1. Factorar 1 + 12a + 48a2 + 64a

3. Veamos si se cumplen las condiciones expuestas

anteriormente:

La raíz cúbica de 1 es 1.

La raíz cúbica de 64a3 es 4a

3 · (1)2 · (4a) = 12a , que es el segundo término.

3 · (1) · (4a)2 = 48a

2 , que es el tercer término.

Como todos los signos son positivos, la expresión dada es el cubo de (1 + 4a)3.

2. Factorar a9 –1 8a

6b

5 + 108a

3b

10 –216b

15. Veamos si se cumplen las condiciones

expuestas anteriormente:


50

La raíz cúbica de a9 es a

3.

La raíz cúbica de 216b15

es 6b5.

3 · (a3)2 · (6b

5) = 18a

6b

5 , que es el segundo término.

3 · (a3) · (6b

5)2 = 108a

3b

10 , que es el tercer término.

Como todos los signos se van alternando, la expresión dada es el cubo de

(a3 – 6b

5)3.

Caso 9: Suma o Diferencia de Cubos Perfectos. Para este caso se tienen que tomar en cuenta las expresiones siguientes:

a3 + b

3 = (a + b) · (a

2 – ab + b

2)

a3 – b

3 = (a – b) · (a

2 + ab + b

2)

De acuerdo con las fórmulas anteriores, tenemos dos reglas a considerar: Regla 1: La suma de dos cubos perfectos. Se descompone en dos factores: primero, la suma de sus raíces cúbicas y segundo, el

cuadrado de la primera raíz menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de

la segunda raíz.

Ejemplo:

Factorar x3 + 1.

La raíz cúbica de x3 es x.


Según la regla, tenemos: x3 + 1 = (x + 1) · (x

2 – x + 1)


51

Regla 2: La diferencia de dos cubos perfectos. Se descompone en dos factores: primero, la diferencia de sus raíces cúbicas y

segundo, el cuadrado de la primera raíz más el producto de las dos raíces, más el

cuadrado de la segunda raíz.

Ejemplo:

Factorar a3 – 8.

La raíz cúbica de a3 es a.


Según la regla, tenemos: a3 – 8 = (a – 2) · (a

2 + 2a + 4)

Caso 10: Suma o diferencia de dos potencias iguales. Para estudiar este caso se tienen que considerar:

an – b

n es divisible por (a – b) siendo n par o impar.

an + b

n es divisible por (a + b) siendo n impar.

an – b

n es divisible por (a + b) cuando n es par.

an + b

n nunca es divisible por (a – b).

Leyes a considerar: a) El cociente tiene tantos términos como unidades tiene el exponente de las letras en

el dividendo.

b) El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo

entre el primer término del divisor y el exponente de “a" disminuye una unidad en cada

término.

c) El exponente de “b" en el segundo término del cociente es 1, y este exponente

aumenta una unidad en cada término posterior a éste.

d) Cuando el divisor es (a – b) todos los signos del cociente son +, y cuando el divisor

es a + b los signos del cociente son alternativamente + y –.


52

Ejemplos:

1. Factorar m5 + n

5.

Para m5 + n

5 = (m + n) · (m

4 – m

3n + m

2n

2 – mn

3 + n

4)

2. Factorar m5 – n

5.

Para m5 – n

5 = (m – n) · (m

4 + m

3n + m

2n

2 + mn

3 + n

4)

3. Factorar m7 – 1.

Para m7 – 1 = (m –1) · (m

6 + m

5 + m

4 + m

3 + m

2 + m + 1)


53

5.3 Ejercicios propuestos Caso 1: Factor común monomio. Soluciones


54

Caso 1: Factor común polinomio. Soluciones


55

Caso 2: Factor común por agrupación de términos.


56

Caso 3: Trinomio cuadrado perfecto.


57

Caso 4: Diferencia de cuadrados perfectos.

Soluciones


58

Caso 5: Trinomios cuadrados perfectos por adición y sustracción.

Soluciones


59

Caso 6: trinomio de la forma “x2 + ax + b”.

Soluciones


60

Caso 7: Trinomios de la forma ax2 + bx + c.

Soluciones


61

Caso 8: Cubo perfectos de binomios

Soluciones


62

Caso 9: Suma o diferencia de cubos perfectos

Soluciones


63

Caso 10: Suma o diferencia de dos potencias iguales

Soluciones

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