GUÍA DIDÁCTICA · SUMA Y RESTA DE MONOMIOS SEMEJANTES Dos o más monomios son semejantes cuando...

I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO

GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA

¡HACIA LA EXCELENCIA… COMPROMISO DE TODOS…!

CÓDIGO:PA-01-01

VERSIÓN: 2.0

FECHA: 19-06-2013

PÁGINA: 1 de 17

Nombres y Apellidos del Estudiante: Grado: OCTAVO

Periodo: SEGUNDO - GUÍA 2

Docente: Duración:

15 horas

Área: Matemáticas

Asignatura: Matemáticas

ESTÁNDAR:2

Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.

INDICADORE DE DESEMPEÑO:

Resuelve situaciones problemas que requieren el uso de expresiones algebraicas.

EJE(S) TEMÁTICO(S): EXPRESIONES ALGEBRAICAS

MOMENTO DE REFLEXIÓN / CRECIMIENTO PERSONAL/ SEGÚN EL TEMA

“Vive como si fueras a morir mañana. Aprende como si fueras a vivir para siempre.” (Mahatma Gandhi,)

ORIENTACIONES

Lee atentamente la guía.

Sigue las instrucciones del docente. Resuelve las actividades en el cuaderno.

Aclara tus dudas.

EXPLORACIÓN

CONCEPTUALIZACION

SUMA Y RESTA DE MONOMIOS SEMEJANTES

Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Por ejemplo, 3x5y

7y - 5x

5y

7son monomios

semejantes.

Para sumar o restar dos o más monomios se requiere que estos sean semejantes. Para ello, se suman o se restan los

respectivos coeficientes de cada monomio y a continuación se pone la misma parte literal. A este proceso se le denomina reducción de términos semejantes.

Por ejemplo, al sumar los monomios 5x3y

4y 9x

3y

4se tiene:

5x3y

4 + 9x

3y

4 = (5 + 9)x

3y

4 = 14x

3y

4

Ejercicio resuelto

1. Determinar cuáles de las parejas de monomios son semejantes Justificar la respuesta.

En una mesa hay tres sombreros negros y dos blancos. Tres señores en fila india se ponen un sombrero al azar cada uno y sin mirar el color. Se le pregunta al tercero de la fila, que puede ver el color del sombrero del segundo y el primero, si puede decir el color de su sombrero, a lo que responde negativamente. Se le pregunta al segundo que ve solo el sombrero del primero y tampoco puede responder a la pregunta. Por ultimo el primero de la fila que no ve ningún sombrero responde acertadamente de que color es el sombrero que tenia puesto. ¿Cuál es este color y cual es la lógica que uso para saberlo?

http://citas-comunidad.com/mahatma%20gandhi.html




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a. a2b, 5a

2b b. 3bc, 3b

2c

3c. 9x

3y

5, -7x

3y

5 d.

𝟐

𝟑 𝒎𝟐𝒏𝟓, −

𝟓

𝟕𝒎𝟓 𝒏𝟐

SOLUCIÓN

aa2b, 5a

2b son monomios semejantes pues tienen la misma parte literal, es decir, las mismas letras acompañadas de

los mismos exponentes.

a. 3bc, 3b2c

3no son monomios semejantes pues aunque sus partes literales tienen las mismas variables, sus

exponentes son diferentes.

b. 9x3y

5, -7x

3y

5son monomios semejantes por tener la misma parte literal.

c. .𝟐

𝟑 𝒎𝟐𝒏𝟓, −

𝟓

𝟕𝒎𝟓 𝒏𝟐no son monomios semejantes pues sus partes literales son diferentes.

2. Reducir los términos semejantes en las siguientes expresiones

a. 8a + 5a b. 7x2y - 9x

2y c.

3

4 𝑚2 𝑛3 −

5

7 𝑚2 𝑛3 d. 7𝑎 + 10𝑏 − 9𝑎 − 𝑏 e. 𝑥𝑦2𝑧5 −

5

6 𝑥𝑦2𝑧5 +

1

2 𝑥𝑦2𝑧5

SOLUCION

a. a + 5a = (8+5) a= 13a b. 7x2y - 9x

2y= (7 - 9)x

2y = -2x

2y

b. ( 3

4 𝑚2 𝑛3 −

5

7 𝑚2 𝑛3)= (

3

4 −

5

7 ) 𝑚2 𝑛3=

1

8 𝑚2 𝑛3

c. 7𝑎 + 10𝑏 − 9𝑎 − 𝑏 = (7 − 9)𝑎 + (10 − 1)𝑏 = −2𝑎 + 9𝑏

d. 𝑥𝑦2𝑧5 −5

6 𝑥𝑦2𝑧5 +

1

2 𝑥𝑦2𝑧5 = (1 −

5

6+

1

2 ) 𝑥𝑦2𝑧5 = −

4

6 𝑥𝑦2𝑧5 = −

2

3 𝑥𝑦2𝑧5

3. Reducir los términos semejantes en las siguientes expresiones. Luego, encontrar el valor numérico

si 𝒙 = −𝟐 𝒚 = 𝟓

a. 10xy - 17xy b. −2

3 𝑥2𝑦 +

4

9 𝑥2𝑦

SOLUCION

a. (10xy - 17xy)= (10 – 17) xy= -7 xy

b. Si x=-2 y y=5, se tiene:-7xy=-7(-2)(5)=70

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

Para multiplicar dos o más monomios se deben tener en cuenta las siguientes leyes:

Ley de signos: en el producto de dos o más factores, si la cantidad de factores negativos es par, el resultado es una

cantidad positiva; pero si la cantidad de factores negativos es impar, el resultado es una cantidad negativa.

Ley de coeficientes: el coeficiente de un producto de dos o más factores, es el producto de los coeficientes de cada

uno de los factores.

Ley de exponentes: para multiplicar dos o más potencias de igual base, se deja la misma base y se suman los

exponentes.

Ejercicio resuelto

1. EFECTUAR LOS SIGUIENTES PRODUCTOS:

a. (−8𝑋2𝑌3) (5𝑋4𝑌2) b. (-lla5b

2c)(-5a

3b

4c

2)(2a

2b

7c

9) c. (-10x

ay

a+l)(x

a+2b

4)(-8a

3b

4)

d.( −1

2 𝑚2 𝑛2) (−

3

4 𝑚5 𝑛) ( −

4

5 𝑚 𝑛7 )

SOLUCION

A. (−8𝑋2𝑌3) (5𝑋4𝑌2)= (-8)(5)(X2+4

y3+2

)= −40𝑥6𝑦5




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B. (-11a5b

2c)(-5a

3b

4c

2)(2a

2b

7c

9)= 110a

10b

13c

12

C. (-10xay

a+l)(x

a+2b

4)(-8a

3b

4)= (-10)(1)(-8) (x

a+a+2y

a+l a

3b

4+4)= 80x

2a +

2 y

a +

1 a

3b

8

D. .( −1

2 𝑚2 𝑛2) (−

3

4 𝑚5 𝑛) ( −

4

5 𝑚 𝑛7 )= (−

1

2) (−

3

4 )(−

4

5) m

8 n

10=

3

10 m

8 n

10

2. Encontrar una expresión algebraica para determinar el área del rectángulo de la figura

SOLUCION

El área de un rectángulo se determina por el producto de su base por su altura. Así, la expresión que determina el área

de la figura 3 es:

(4x2y

3)(5xy

4) = 20x

3y

7

3. Encontrar una expresión algebraica para determinar el volumen del paralelepípedo de la figura.

DIVISIÓN DE MONOMIOS

Para efectuar la división entre dos monomios se deben tener en cuenta las siguientes leyes:

• Ley de signos: el cociente entre dos cantidades de igual signo es positivo y el cociente entre dos cantidades de signo

diferente es negativo.

• Ley de coeficientes: el coeficiente de un cociente es el cociente de los coeficientes de cada una de las expresiones

que lo componen.

• Ley de exponentes: para dividir potencias de igual base, se deja la misma base y se restan los exponentes.

EJERCICIO RESUELTO

1. Efectuar los siguientes cocientes

a. −8𝑥5𝑦8

4𝑥2𝑦3 b.

3

4 𝑚3 𝑛7

5

7𝑚2𝑛7

c. 121𝑥3𝑎𝑦2𝑏

−11𝑥𝑎𝑦𝑏

SOLUCION

Aplicando la ley de signos, coeficientes y exponentes para la división entre monomios, se tiene:

𝑎.−8𝑥5𝑦8

4𝑥2𝑦3= (

−8

4) (𝑥5−2𝑦8−3) = −2𝑥3𝑦5

4𝑥2𝑦3

5𝑥𝑦4

4𝑎2𝑏2

5𝑎𝑏3

2𝑎3

SOLUCIÓN

El volumen de un paralelepípedo se determina por el producto de sus tres

dimensiones. Así, la expresión que determina el volumen de la figura 4 es:

(2a3)(4a

2b

2)(5afo

3) = 40a

6b

5




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b.

3

4 𝑚3 𝑛7

5

7𝑚2𝑛7

= (3

4

5

7

) 𝑚3−2𝑛7−7 =21

20𝑚

c. . 121𝑥3𝑎𝑦2𝑏

−11𝑥𝑎𝑦𝑏 = ( 121

−11) (𝑥3𝑎−𝑎𝑦2𝑏−𝑏) = −11𝑥2𝑎 𝑦𝑏

2. Encontrar una expresión algebraica para determinar la base del rectángulo de la figura

3. Encontrar una expresión algebraica para determinar la altura del paralelepípedo de la figura si tiene un

volumen igual a 𝟐𝟒𝒙𝟒𝒚𝟑.

ADICION Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

ADICION DE POLINOMIOS

para sumar dos o más polinomios, primero se agrupan y luego, se reducen sus términos semejantes.

Ejercicio resuelto

Resolver las siguientes sumas de polinomios:

a. (7x - 2y + 5) + (2x - 3y + 11)

b. (5a2 - 9a + 7) + (5a - 15a

2 - 11) + (-13 - 17a

2 + 4a)

c. (𝟑

𝟒𝑿𝟐 −

𝟓

𝟔𝒀𝟐 + 𝟏) + (−

𝟑

𝟖𝒀𝟐 −

𝟐

𝟓𝑿𝟐 −

𝟕

𝟗)

SOLUCION

a. (7x - 2y + 5) + (2x - 3y + 11)

= 7x - 2y + 5 + 2x - 3y + 11

(7x + 2x) + ( - 2y - 3y) + (5 + 11) Se agrupan los términos semejantes.

= (7 + 2)x + (- 2 - 3)y + (5 + 11) Se reducen.

= 9x - 5y + 16

b. (5a2 - 9a + 7) + (5a - 15a

2 - 11) + (-13 - 17a

2 + 4a)

= 5a2 - 9a + 7 + 5a - 15a

2 - 11 - 13 - 17a

2 + 4ª

= (5a2 - 15a

2 - 17a

2) + (-9a + 5a + 4a) + (7 - 11 - 13)

= (5 - 15 - 17)a2 + (-9 + 5 + 4)a + (7 - 11 - 13)

= -27a2 - 17

c. (𝟑

𝟒𝒙𝟐 −

𝟓

𝟔𝒚𝟐 + 𝟏)+(−

𝟑

𝟖𝒚𝟐 −

𝟐

𝟓𝒙𝟐 −

𝟕

𝟗)

=𝟑

𝟒𝒙𝟐 −

𝟓

𝟔𝒚𝟐 + 𝟏 −

𝟑

𝟖𝒚𝟐 −

𝟐

𝟓𝒙𝟐 −

𝟕

𝟗

=(𝟑

𝟒𝒙𝟐 −

𝟐

𝟓𝒙𝟐) +(−

𝟓

𝟔𝒚𝟐 −

𝟑

𝟖𝒚𝟐)+( 𝟏 −

𝟕

𝟗)

=−𝟕

𝟐𝟎𝒙𝟐 −

𝟐𝟗

𝟐𝟒𝒚𝟐 +

𝟐

𝟗

2xy

10𝑥5𝑦4 SOLUCIÓN=

La base del rectángulo de la figura 5 se determina por el cociente entre su área

y su altura. Así, la expresión que determina la base del rectángulo es:

_I0x5y

4 =5𝑥4𝑦3

2xy

4𝑦2 3𝑥2

𝑽 = 𝟐𝟒𝒙𝟒𝒚𝟑

𝟐𝟒𝒙𝟒𝒚𝟑

(3𝑥2)(4𝑦2)= 2𝑥2𝑦

SOLUCIÓN

La altura del paralelepípedo de la figura 6 se determina por el cociente entre su

volumen y el producto de sus otras dos dimensiones. Así, la expresión que

determina la altura del paralelepípedo es:




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Para sumar dos o más polinomios, también se suelen ordenar y escribir uno debajo del otro, de tal manera que los

términos semejantes queden en una misma columna.

Ejercicio resuelto

1. Resolver (𝟗𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 −𝟏

𝟐)+(−𝟏𝟑𝒙 + 𝟓𝒙𝟑 − 𝟏𝟕𝒙𝟐 +

𝟓

𝟒)

SOLUCION

Se ordenan los polinomios de forma descendente, ubicando los términos semejantes uno debajo del otro. Así, la suma

𝟗𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 −𝟏

𝟐

𝟓𝒙𝟑 − 𝟏𝟕𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 +𝟓

𝟒

_______________________________

𝟏𝟒𝒙𝟑 − 𝟏𝟗𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 +𝟑

𝟒

2. Calcular el perímetro de la figura

SUSTRACCION DE POLINIMIOS

Para restar dos polinomios se suma el primer polinomio con el opuesto del segundo.

EJERCICIOS RESUELTO

1. Resolver las siguientes restas de polinomios:

a. (-6x

4 + 8x

3 – 17x + 5) - (-15x

4 – 12x

2 + 17x - 24)

b. (5

6𝑚2 −

3

8𝑚 + 3)-(

7

9𝑚2 −

5

12𝑚 −

1

3)

Solución

2,2𝑥 − 3𝑦

0,5𝑥 − 9

1,3𝑥 + 3.8𝑦 + 7,5 1,3𝑥 + 3.8𝑦 + 7,5 2,2𝑥 − 3𝑦 0,5𝑥 − 9

4𝑥 + 0,8𝑦 − 1,5

SOLUCIÓN:

En la figura se ilustra polígono con sus longitudes.

El perímetro del polígono está dado por

(1,3𝑥 + 3.8𝑦 + 7,5)+(2,2𝑥 − 3𝑦)+ (0,5𝑥 − 9)Que puede resolverse

como:

_________________ Luego el perímetro está dado por la expresión 4𝑥 + 0,8𝑦 − 1,5

Sumar el primer polinomio con el opuesto del segundo, equivale a plantear la resta y

aplicar las leyes de signos con el polinomio sustraendo. Así,

(9𝑎 − 5𝑏 + 2) - (11𝑎 −7b+10)

=9𝑎 − 5𝑏 + 2 − 11𝑎 + 7𝑏 − 10

A L G O IMPORTANTE




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a. (-6x

4 + 8x

3 – 17x + 5) - (-15x

4 – 12x

2 + 17x - 24) Se le suma el opuesto

-6x4 + 8x

3 – 17x + 5+15x

4 + 12x

2 -17x + 24 se reducen términos semejantes

9x4 + 8x

3 + 12x

2 -34x + 29

b. (5

6𝑚2 −

3

8𝑚 + 3)-(

7

9𝑚2 −

5

12𝑚 −

1

3)

5

6𝑚2 −

3

8𝑚 + 3 -

7

9𝑚2 +

5

12𝑚 +

1

3

1

18𝑚2 −

1

24𝑚 +

10

3

2. Encontrar una expresión algebraica para determinar el área sombreada de la figura

Al igual que en la suma, para restar dos polinomios también se suelen ordenar y escribir uno debajo del otro, de tal manera que queden los términos semejantes en una misma columna.

Ejercicio resuelto

Plantear y resolver una resta de polinomios:

De x3 - 9x + 6x

2 - 18 restar 9x

2-39+7x

3

SOLUCIÓN

(x3 - 9x + 6x

2 - 18) - (9x

3- 39 + 7x

3)Se plantea la resta.

x3 + 6x

4 - 9x - 18

-7x3

- 9x2 + 39 Se escriben los polinomios en orden, ubicando los términos semejantes

-6x3

- 3x2- 9x + 21

Luego, =( x3 - 9x + 6x

2 - 18) - (9x

2- 39 + 7x

3)= -6x

3 - 3x

5 - 9x + 21

SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Los signos de agrupación se utilizan para reunir términos o expresiones algebraicas relacionadas por las diferentes operaciones aritméticas. Las expresiones contenidas entre ellos, indican que estas deben considerarse como una sola

cantidad.

Los signos de agrupación más utilizados son los paréntesis (), los corchetes [ ] y las llaves { }.

Los signos de agrupación se suprimen de dentro hacia fuera, teniendo en cuenta las siguientes propiedades:

SOLUCIÓN

El área sombreada de la figura está dada por la diferencia de las áreas de

cada rectángulo. Esto es A1-A2

(17m2 + 13mn - 5n

2) - (11 m

2 + 8mn —2n

2)

= (17m2 + 13mn - 5n

2) + (-llm

2 -8mn + 2n

2)

= 17m2 + 13mn - 5n

2 - llm

2 -8mn + 2n

2

= 6m2 + 5mn - 3n

2

Luego, la expresión algebraica que determina el área de la figura sombreada

6m2 + 5mn - 3n

2

17m2 + 3mn - 5n

2

17m2 + 13mn - 5n2

11 m2 + 8mn —2n

2

A

A




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• Si el signo de agrupación está precedido de un signo más (+), las cantidades que están dentro de él permanecen con

el mismo signo.

• Si el signo de agrupación está precedido de un signo menos (-), las cantidades que están dentro de él cambian de

signo.

EJERCICIO RESUELTO

Simplificar las siguientes expresiones. Suprimir los signos de agrupación y reducir los términos semejantes:

a. 7x - {6x - 11y + [-13x + 21y - (32x - 5y)]}

b. −𝒎𝟑 + {𝟓

𝟗𝒏𝟑 − [

𝟒

𝟓𝒎𝟑 − (

𝟏𝟎

𝟕𝒎𝟑 + 𝒏𝟑)]}

SOLUCION

a. 7a - {6x - 11y + [-13* + 21y - (32x - 5y)}}

= 7x - {6x- 11 y + [- 13x + 21y – 32x + 5y]} Se suprimen los paréntesis.

= 7x - {6x -11y – 13x + 21 y – 32x + 5y} Se suprimen los corchetes.

= 7x- 6x +11y + 13x- 21y + 32x- 5y Se suprimen las llaves.

= 46x- 15y Se reducen los términos

b. −𝒎𝟑 + {𝟓

𝟗𝒏𝟑 − [

𝟒

𝟓𝒎𝟑 − (

𝟏𝟎

𝟕𝒎𝟑 + 𝒏𝟑)]}

−𝒎𝟑 + {𝟓

𝟗𝒏𝟑 − [

𝟒

𝟓𝒎𝟑 −

𝟏𝟎

𝟕𝒎𝟑 − 𝒏𝟑]}

−𝒎𝟑 + {𝟓

𝟗𝒏𝟑 −

𝟒

𝟓𝒎𝟑 +

𝟏𝟎

𝟕𝒎𝟑 + 𝒏𝟑}

−𝒎𝟑+𝟓

𝟗𝒏𝟑 −

𝟒

𝟓𝒎𝟑 +

𝟏𝟎

𝟕𝒎𝟑 + 𝒏𝟑

−𝟏𝟑

𝟑𝟓𝒎𝟑 -

𝟏𝟒

𝟗𝒏𝟑

COMBINACIÓN DE SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

Para operar polinomios que incluyen suma y resta simultáneamente, se debe tener en cuenta la simplificación de

signos de agrupación y la reducción de términos semejantes.

EJERCICIO RESUELTO

Plantear y resolver las operaciones indicadas en cada uno de los siguientes enunciados:

a. De 7a2 + 3ab – 10b

2 restar la suma de 3a

2 - 11 ab - 20b

2con -14a

2 + 15ab + b

2.

b. De la suma de x2y - 10xy

2con -5x

2y + 1 restar la suma de -11xy

2- 5 con -9x

2y + 7

c. Restar 0,8x2 - 7,9y

2 de la suma de 4,6y

2 - 10,1x

2 con x

2 - 5y

2.

SOLUCIÓN

Se plantea cada enunciado utilizando signos de agrupación:

a. 7a2 + 3ab - 10b

2 - [(3a

2 - 11 ab - 20b

2) + (-14a

2 + 15ab + b

2)]

= 7a2 + 3ab - 10b

2- [3a

2 - 11áb - 20b

2 - 14a

2 + 15ab + b

2]

= 7a2 + 3ab - 10b

2 - 3a

2 + 11ab + 20b

2 + 14a

2 – 15ab - b

2

= 18a

2 - ab + 9b

2

b. [(x2y - 10xy

2)+( -5x

2y + 1)] –[(-11xy

2- 5)+ (-9x

2y + 7)]

=[x2y - 10xy

2 -5x

2y + 1] –[-11xy

2- 5-9x

2y + 7]

= x2y - 10xy

2 -5x

2y + 1 +11xy

2+ 5+9x

2y + 7

= 5x2y + xy

2-1MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Para multiplicar un monomio por un polinomio se debe aplicar la propiedad distributiva para la suma. Es decir, se debe multiplicar el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta las leyes para la

multiplicación de monomios.




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Ejercicio resuelto

Efectuar los siguientes productos:

a. 𝟑𝒙𝟐 𝒑𝒐𝒓 𝟖𝒙𝟑 − 𝟕 b. (𝟏𝟏𝒂𝟐𝒏)(−𝟓𝒂𝟑 + 𝟗𝒂𝟐𝒏 − 𝟕𝒂𝒏 + 𝟐)

SOLUCION

MULTIPLICACIÓN DE DOS POLINOMIOS

Para multiplicar dos polinomios, se multiplican cada uno de los términos del primer polinomio por cada uno de los

términos del segundo polinomio, teniendo en cuenta las leyes para la multiplicación de monomios. Luego, se reducen

términos semejantes.

Efectuar Los Siguientes Productos:

a. 7x2 - 5xy + 3y

2por 6x - 11y

SOLUCION

a. (7x2- 5xy + 3y

2)(6x - 11y) b.(

2

3𝑎 −

2

9𝑏) (

3

4𝑎 −

5

4𝑏)

Primero se indica la multiplicación, utilizando la propiedad distributiva. Así,

7x2(6x – 11y) - 5xy(6x - 11y) + 3y

2(6x -11y)

= (7x2)(6x) - (7x

2)(11y) - (5xy)(6x) + (5xy)(11y) + (3y

2)(6x) - (3y

2)(11y)

= 42x3 - 77x

2y - 30x

2y + 55xy

2 + I8xy

2 - 33y

3

Por último, se reducen los términos semejantes. Así,

= 42x3 - 77x

2y - 30x

2y + 55xy

2 + I8xy

2 - 33y

3

= 42x3 - 107x

2y + 73xy

2 - 33y

3

b. (2

3𝑎 −

2

9𝑏) (

3

4𝑎 −

5

4𝑏)

= (2

3𝑎) (

3

4𝑎 −

5

4𝑏) − (

2

9𝑏) (

3

4𝑎 −

5

4𝑏)

= (2

3𝑎) (

3

4𝑎) − (

2

3𝑎) (

5

4𝑏) − (

2

9𝑏) (

3

4𝑎) + (

2

9𝑏) (

5

4𝑏)

1

2𝑎2 −

5

6𝑎𝑏 −

1

6𝑎𝑏 +

5

18𝑏2

RECORDAR

Para multiplicar dos o más potencias de igual base,

se deja la misma base y se suman los exponentes.

Esto es, 𝑎𝑚 × 𝑏𝑛= am+n

RECORDAR QUE Propiedad

distributiva…

a(b + c) = ab + ac

= −(𝟏𝟏𝒂𝟐𝒏)(𝟓𝒂𝟑) + (𝟏𝟏𝒂𝟐𝒏)(𝟗𝒂𝟐𝒏) − (𝟏𝟏𝒂𝟐𝒏)(𝟕𝒂𝒏)

+ 𝟐(𝟏𝟏𝒂𝟐𝒏)

a. 𝟑𝒙𝟐 𝒑𝒐𝒓 𝟖𝒙𝟑 − 𝟕

(𝟑𝒙𝟐)(𝟖𝒙𝟑) − (𝟑𝒙𝟐)(𝟕) = 𝟐𝟒 𝒙𝟓 − 𝟐𝟏𝒙𝟐

b. (𝟏𝟏𝒂𝟐𝒏)(−𝟓𝒂𝟑 + 𝟗𝒂𝟐𝒏 − 𝟕𝒂𝒏 + 𝟐)




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1

2𝑎2 − 𝑎𝑏 +

5

18𝑏2

Otra forma de efectuar productos entre polinomios es colocándolos uno debajo del otro después de ordenarlos. Luego,

se multiplican término a término, se escribe cada producto de tal manera que queden columnas de términos semejantes. Por último, se reducen dichos términos.

Ejercicio resuelto

Efectuar los siguientes productos:

(2x2

− 3 )( 2x3 − 3x2 + 4x)

3. Encontrar una expresión algebraica para determinar el área del rectángulo de la figura,

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES QUE INCLUYEN PRODUCTOS

Para simplificar una expresión con productos indicados se realiza el siguiente procedimiento:

Primero, se deben resolver dichos productos.

Luego, se deben reducir los términos semejantes que haya presentes en ella.

Si la expresión presenta signos de agrupación, estos deben eliminarse de dentro hacia fuera, efectuando las

operaciones y cambios de signos respectivos.

1Simplificar la siguiente expresión:

6(a2 - 5) + 5(2a - 3) - 3(2a

2+ a - 1)

Se efectúan los productos indicados aplicando la propiedad distributiva. Luego, se reducen los términos semejantes.

6(a2 - 5) + 5(2a - 3) - 3(2a

2+ a - 1)

6a2 - 30 + 10a - 15 - 6a

2 - 3a + 3 = 7a - 42

Producto de 2𝑥2 − 5𝑥 + 3 𝑝𝑜𝑟 𝑥

Producto de 2𝑥2 − 5𝑥 + 3 𝑝𝑜𝑟 − 7

𝑚2 − 3𝑚 + 7

𝑚 + 8

m3- SOLUCION

El área del rectángulo está dada por el producto de su base por su altura. Así,

A = (m2 — 3m + 7)(m + 8)

m2 - 3m +7

3m m - 8____

m3 - 3m

2 +7m

___8m2 – 24m +56

m3 + 5m

2 - 17m + 56

Luego, el área del rectángulo es m3 + 5m

2 - 17m + 56




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DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO

Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio

respectivo y se tienen en cuenta las leyes para la división de monomios.

EJERCICIO RESUELTO

Resolver las siguientes divisiones:

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN POLINOMIO

Para dividir un polinomio entre otro polinomio, es necesario tener en cuenta los siguientes pasos:

1. Se ordenan los polinomios en forma descendente con respecto a una de las variables.

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. El resultado será el primer término

del cociente.

3. Dicho término se multiplica por cada uno de los términos del divisor. Cada producto se resta de su semejante en el

dividendo y se tienen en cuenta los respectivos cambios de signo. Si alguno de estos productos no tiene término

semejante en el dividendo, se escribe en el lugar correspondiente conforme al orden del dividendo.

4. Se baja el siguiente término del dividendo. Se divide el primer término del dividendo parcial entre el primer

término del divisor. El resultado será el segundo término del cociente.

5. Se continúa el proceso hasta que el residuo tenga un grado menor que el grado del divisor.

EJERCICIO RESUELTO

1. Dividir 21x + x 3 – 8 x

2 + 20 entre x - 3.

SOLUCIÓN

Se ordenan los polinomios respectivos de forma descendente con respecto a x.

x 3- 8x

2 + 21 x + 20

Se divide x3 entre x. El resultado será el primer

término del cociente

x 3

- 8x2 + 21 x + 20

Se multiplica x2 por cada uno de los términos del

cociente. El resultado se resta del dividendo.

x 3- 8x

2 + 21 x + 20

Se baja el término 21x del dividendo y se divide -5x2

entre x. El resultado será el segundo término del

cociente.

x 3- 8x

2 + 21 x + 20

SOLUCION Dividiendo los términos de cada polinomio entre el monomio respectivo y

aplicando las leyes para la división entre monomios, se tiene:

x - 3 - 8x + 2lx + 20

x - 3 - 8x + 2lx + 20

x2

x - 3 - 8x + 2lx + 20

x2

-x 3+3x

2

x - 3 - 8x + 2lx + 20

x2 -5x

-x 3+3x

2

-5x2+ 21 x

0x 3

-5x2




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3x2 - 3x + 8y

2 - x

2 + 7x

2 + y - 4x

2 + 12

Se multiplica -5x por cada uno de los del cociente.

El resultado se resta del dividendo.

x 3- 8x

2 + 21 x + 20

Se baja el término 20 del dividendo y se divide 6x

entre x. El resultado será el tercer término del

cociente.

x 3- 8x

2 + 21 x + 20

Se multiplica 6 por cada uno de los términos del

cociente. El resultado se resta del dividendo. En

este paso la división finaliza, puesto que el grado

del residuo (0) es menor que el grado del divisor

(1).

x 3- 8x

2 + 21 x + 20

ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN

ACTIVIDAD 1. SUMA Y RESTA DE MONOMIOS

1. Encerrar, en cada polinomio, los términos semejantes al término

Reducir los términos semejantes en cada polinomio.

a. 2x - 3x + 6x - 4X + 15x b. 2pq2 - 3pq

2 - 11pq

2 + 8pq c. -7b

2c + lbb

2c - 2lb

2c - 3b

2c

3x2 - 3x + 8y

2 - x

2 + 7x

2 + y - 4x

2 + 12

3wz3 wz

3-8w

3z + 11 w

3 - 2 wz

3+ 9wz

2,1cd4+ 11cd

4 - 6cd

4 + 1,7cd

4 - 8c

5d

−𝟑𝑾𝒁𝟑

−𝑪𝒅𝟒

−𝟔𝑿𝟐 5a3 - 2a + 11a

3 - 4a

2+ 6a - 10a

3

3wz3 wz

3-8w

3z + 11 w

3 - 2 wz

3+ 9wz

8an-1

- 3an - 2

+ 4an - 16a

n - 1

- 8an + 19a

n-1

−𝟓𝒎𝟐𝒏

𝟏𝟔𝒂𝒏−𝟏

𝟑𝒂𝟑

x - 3 - 8x + 2lx + 20

x2 -5x+6 -x

3+3x

2

-5x2+ 21 x

-5x2

-15 x

6 x

x - 3 - 8x + 2lx + 20

x2 -5x+6 -x

3+3x

2

-5x2+ 21 x

-5x2

-15 x

6 x + 20

-6 x + 18

x - 3 - 8x + 2lx + 20

x2 -5x+6 -x

3+3x

2

-5x2+ 21 x

-5x2

-15 x

6 x + 20

38




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d. -14mn + 11mn - 9mn-6 e. 8x

3 y

2 - 14x

3y

2- 5 + x

3y

2 + 8 e. 5ab - 3ab - 7 + 2ab + 11

f. 2

3𝑥2𝑦2 −

3

4𝑥2𝑦2 −

1

3𝑥2𝑦2 −

1

2 g.

1

4𝑤𝑧 −

2

7+

3

5+

2

5𝑤𝑧 h.

1

2𝑎2 +

7

5−

1

8𝑎2 −

1

10+ 2𝑎2

3. Organizar las siguientes fichas de tal manera que en los lados consecutivos se encuentren términos semejantes.

ACTIVIDAD 2. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE MONOMIOS

1. Unir cada producto con su resultado

a. (−8𝑝𝑞2𝑥)(𝑝2𝑞𝑟3) −2

5𝑥6𝑟11𝑝7𝑞

b. (-5pxr)(7x2q)(

3

11x

2rq

2p

2)

7

5𝑥7𝑟9𝑝4𝑞2

c. (3

7𝑥2𝑟5) (−

7

3𝑥3𝑝4𝑞) (

2

5𝑥𝑟6𝑝3) −8𝑝3𝑞3𝑝4𝑥𝑟3

d. (2𝑝5𝑞)(−13𝑝𝑥5) (−𝑝𝑞4𝑟3𝑥) −24𝑥2𝑞9𝑟9𝑝9

e. (3

4𝑥6𝑟2) (−

7

2𝑝4𝑟7) (

2

3𝑥𝑞2) 26𝑝7𝑞5𝑝𝑥6𝑟3

f. (6𝑥𝑞3𝑟𝑝6)(−4𝑝3𝑞6𝑥𝑟8) −𝑝3𝑥5𝑞3𝑟2

2. Realizar los siguientes productos.

a. (-5a2b)(3a

4b

2)

b. (-10w4y

2z)(-3wy

3z

2)

c. (m2)(m

4)(-m

6)

d. (-2,3a4b){1,4b

2ca

3)

e. (0,8wz3y)(2,8w

4y

2z

7)

f. (3

4𝑥3𝑦3) (

2

3𝑥𝑦) (

5

4𝑥2𝑦3)

g. (1

10𝑡4𝑏5) (−

5

2𝑡𝑣7𝑤2)

3. Encontrar el cociente de los monomios

a. (75a11

b3) ÷ (-8a

8b

2)

b. (-42x6 yz) ÷ (6x

5y)

1

4𝑥𝑧2𝑦3

−2ℎ𝑘2𝑚3 −5𝑚𝑛2 −7𝑚2𝑛 3

7𝑦𝑧2𝑥3

8ℎ2𝑘𝑚3 4 1

2ℎ3𝑘3𝑚3

3

5𝑚2𝑛

−5𝑥𝑦3𝑧82 3

11𝑝𝑞2

ℎ3𝑘3𝑚3 −5ℎ3𝑘3𝑚3

2𝑝𝑞2 9ℎ3𝑘3𝑚3 6𝑚3𝑛2𝑝

ℎ𝑘2𝑚3 8

3𝑥𝑦2𝑧3

12𝑚3𝑛2𝑝

-𝑦𝑧2𝑥3

H. (6,5df 7) ÷ (2,5df

3)

I. (𝟏

𝟖𝒉𝟓𝒌𝟑) ÷ (

𝟑

𝟏𝟔𝒉𝒌)

J. (−𝟓

𝟒𝒂𝟐𝒃𝟐𝒄) ÷ (

𝟐𝟎

𝟖𝒂𝒃)

K. (−𝟏𝟐

𝟓𝒎𝟏𝟏𝒏𝟓𝒓𝟐) ÷ (

𝟔

𝟏𝟎𝒎𝟑𝒏𝟐𝒓𝟐)




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PÁGINA: 13 de 17

c. (-27w

15v

13) ÷ (-3w

14v

7)

d. (16h21

k17

) ÷ (64h18

k 15

)

e. (6p2q

4r) ÷ (-6p

2q

3r)

f. (75a8b

12c

14) ÷ (25a

6b

12c)

g. (0,81w2y

6) ÷ (0,9wy

5)

4. Hallar el área de cada polígono

ENCONTRAR POSIBILIDADES

5. Completar el cuadrado mágico, en el cual el producto de las filas y las columnas siempre es igual a 𝑊15𝑋11𝑍12

𝑊8𝑋3𝑍2

𝑊5𝑋2𝑍

𝑊3𝑋4𝑍6

SOLUCIONES O CONJETURAS

Plantear un ejemplo que satisfaga el enunciado y analizar si la conclusión siempre se cumple.

6. Al multiplicar un monomio de grado 7 por otro de grado 4, se obtiene un monomio de grado 11.

7. En una división, si los exponentes de las variables del dividendo y el divisor son iguales, entonces, el resultado de

esta división es un número entero.

ACTIVIDAD 3. ADICION Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

5x

7 6x 4x




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PÁGINA: 14 de 17

1. Realizar las siguientes sumas.

3.Resolver

a. 7x2 + 3y - 4; 10y - 5x

2 + 6; -x

2 - 2y – 3

b. 6m3 - 2m

¿ + 5; 3m

z + 8m

á - 2; 14m

c. p7 - 5p

3q

2 + 8p; -5p

7 - 11p + 4p

3q

2; -15p

7+ 7p

d. -10nm - 7m2n; -3mn + 12m

2n; -mn- mn

2

5. Eliminar los signos de agrupación en los siguientes polinomios.

a. -(5x+ 2y - 9) b.- (-7a2b - a

2b - 5) c. -[-(4mn + 13n - 8)] d.-.[-( -(-(6w+ 2z)))] e. – (−

1

2𝑤4𝑦 −

3

4𝑤2𝑦3)

6. Realizar las siguientes restas.

a. (-13a5b

2 + 16a

3b

3 - 14) - (-3a

3b

3 + 17 - 19a

5b

2)

b. (27bx + 3b – 8x - 6) - (12bx + 3b + 5x - 13)

c. (5,3m4n

3 - 2,5m

3n

4 + 2,8m

2n

5) - (-3,lm

3n

4 + l,3m

4n

3 - 0,8m

8n

5)

d. (5

8ℎ2 −

2

3ℎ −

1

2𝑘 + 34) − (−

3

2ℎ −

5

8𝑘 +

5

16ℎ2 − 67)

ACTIVIDAD 4. COMBINACIÓN DE ADICION Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

1. Encontrar el polinomio que resulta en cada expresión si

A = 4a2 + 3ab + 7b

2, B = 25a

3 + 2ab + 8a

2 - 3b

2, C = 4a

3 + a

2 - 11ab y D = 7a

2 - 9b

2 +12ab

A = A - B + C 2 . D - C - B + A 3. D - (B — C) 4. {B - D) + (A - C)

2. Marcar ✓ en los ejercicios que fueron realizados correctamente. Corregir los que no.

a. □ [-(5X + 4) - (8X - 5)] - [-9X+ (4x - 5)] = -8X + 6

b. □ [(7a4 - 3a

3 - 8a) + 5a

3] - [-(11a

4 + 2a

3)] = 18a

4 + 4a

3

c. □[-{-w2z + 4w- 5z) - (-6w - 7z) + [-8w

2z - 2w] = -5w

2z + 12z

d. □ [15bx2 - bx

2+ 2] - [-(13b

2X- 11) - 7bx

2] = 12b

2X + 18bx

2 – 9

e. □ [(13p3q

2 - 7p

2q) + pq] - [5p

2q - 6pq] = 13p

3a

2 + 12p

2q + 6pq

3. PROBLEMAS. Resolver.

a. Qué polinomio se debe sumar a 14x2y — 5xy + 3x - 12 para obtener 8x

2y + 17xy - 12x - 26?

b. Si el minuendo es 5X3 - X

2 + 7X - 15 y la diferencia es 4X

2 – 2X

3 – 8X + 6, ¿cuál es el sustraendo?

a. (3a - 2b + 7c) + (-4a + 3c + 2b)

b. (-9w2y

2+ 5w

2y - 8) + (-15w

2y + 9 - 12w

2y

2)

c. (7m3 + 6m

2n - n

3) + (-4m

2n + n

3 + 5mn

2+ 2m

3)

d. (x5- 3x

4y

2 - x

3y) + (2x

4y

2 - 2y

5) + (3x

3y + 5x

3y)

e. (l,2h4 - l,lk

7 - 2,3h

3k

2) + (0,9k

7 -0,5h

4 + 6,7h

3k

2-h

2)

f. (1

3𝑎𝑏 +

1

9𝑎2 −

1

6𝑏2)+(

3

4𝑏2 −

1

9𝑎𝑏 + 𝑎2 −

3

2𝑎𝑏)

5𝑥

2.Escribir los términos que hacen falta

____________________________________________

2𝑥3

7𝑥3

−4𝑥2

8𝑥

-2

4𝑥3 + 18𝑥2 + 6𝑥 − 15

4. Escribir la expresión y resolver.

a. La suma de 4mn -3n2 – m

2- 12 con 2mn - 7m

2+ n

2 +

b. resultado de sumar -7ab3 - 3b

2+ 2a - 18 con otro

polinomio es -3ab3 + 5b

2 - 7a - 4.

c. La suma de tres números consecutivos x, x + 1 y

x + 2 es un número múltiplo de 3.




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c. De la suma de 4m2 - 8m con 5m

2 - 3m + 12n restar la suma de 14m

2+ 7m + 4n con -6m

2-2m-9n

d. Restar de 25x 2 - 10xy + y

2 la suma de 11x

2 + xy - 6y

2; -5y

2 + 8xy + x

2; 7y

2 - 9xy.

ACTIVIDAD 5. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

4. Resolver los siguientes productos

a. 2m3n

2(5mn

3 - mn) b. -w

2z{—3w - 7z

2) c. 9x

2y{-7xy

2 + 2x - 5) d. 5a

2b

3(2ab - 3a - 1)

e. 3,8m3(2 - 6,6m + 0,5m

2) f. -7,4w

2z (2,6wz

3 -1,3z

2) g.

3

4𝑣2𝑤 (

2

3𝑣𝑤3 −

5

4𝑣2𝑤3 −

1

2𝑣𝑤)

h. 6

5𝑝2𝑞3 (

13

14𝑝 −

8

3𝑞 +

10

3) i.

3

7𝑥2𝑦3 (

7

3𝑥𝑦 −

1

3𝑥2𝑦 +

5

7)

5. RAZONAMIENTO. Determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Luego, justificar la respuesta.

a. Cuando se multiplican un monomio y un polinomio se aplica la propiedad distributiva.

b. Si se multiplica un monomio de grado 7 por otro de grado 3, se obtiene un monomio de grado 21.

c. El grado absoluto del producto de dos polinomios de grados m y n, es m n respectivamente.

d. Al multiplicar un monomio de grado par por otro monomio de grado impar se obtiene un monomio de grado

impar.

6.Resolver los siguientes productos

a. (2x - 5x2)(7x3 - 3x) b. (1

4𝑚 −

2

5𝑛) (

2

3𝑚 +

1

4𝑛) c. (6w

3z -1(-w

2z

2 + z) d. (7,lh

2 - 3,5k)(0,8h - 𝑘2)

e. (1,3a + ab)(-4,2b2 + 5,2b + 6) f. (x

n - 4x

n + 1 - 2)(x

n - 3) g. (m4

+ 2m2n + 3m

2n

2)(l,5mn

2 - 2,ln

3)

h. (3

8𝑎2𝑏 +

3

5𝑏2) (

6

5𝑎 −

1

6𝑏) i. (

1

2𝑥2𝑦3 −

3

8) (

5

2𝑥𝑦 +

4

3𝑥 − 𝑦)

EJERCITACIÓN. Hallar el área de los siguientes polígonos

ACTIVIDAD 6. SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES QUE INCLUYEN PRODUCTOS

Simplificar.

1. 5(2x + 3 ) + 4(x2 - 3x + 7 )

2. -7(m - n - 2 ) - 3(-m + n + 8)

3. 60 (x+ 2) - (x2 + 5x + 4) - 9(-x

2 + 4x)

4. - l ,6(a + b + c) - 3,2(2,7a - c) + 4,3(a + 2,5b)

5. 8(w2 + 5z

2 - 4wz) + 4(-z

2 - 6w

2 + wz)

6. 2(h2 + 4k - 3) - 5(-h

2 + 6k + h

2k+ 1)

7. -(m2 - n

2 + mn) - (2m

2 + 3n

2 + mn)

8. (a2 + 2ac + c

2) - 3,7(a

2 - 2ac + 7,3c

2)

9. x(y + z — 1) - y(x - z + 1)

10. 4m(m2 - 0,5mn + n

2) - 8(-m

2 + 0,3mn - 0,9n

2)

2. Suprimir los paréntesis y reducir los términos semejantes

( x a. ( x-1 )(x + 1) - 3x(x2 - 2x - 1) b. (a - 3b)(a + 2b) - 7(a + b) c.(0,7w + 2z)(3w - 0,6z) - 1,8(w + z)

d 2[- (a - 3b) - 2(-a - b)] e.-8(w - t) - [-4(2t + w - 3 ) ] . f (x2 - y

2)(2,6x - l,4y) – (x

3 - y

3)

2. RAZONAMIENTO. Hallar

a. El producto de 7xy por la suma de 2x2 - 4x+ 2y -x - 11y

b. El producto de -5ab2y [-b - a - (10 - 7b)].

c. El producto entre la suma de 3m2 - m + 13 y 6m

2 + 4m - 7

y la suma de 9m2 + 2m y -m - 4m

2+5

d. El producto de la diferencia entre 8x2 - 2xy - y

2 y 5x

2 +

6x - y2

y la diferencia entre 7x2 — 4xy y 3x

2+xy




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g.5

2𝑛2 + [−

2

5𝑚𝑛2 +

2

3𝑚2] −

1

4𝑚2 h. – (−

3

10𝑎2 −

1

4𝑎) −

3

5(𝑎2 + 𝑎)

4. RAZONAMIENTO. Encerrar los errores que se cometieron al realizar cada paso del ejercicio.

Luego, resolverlos correctamente. 3{-4[-5(-y + z) -2(z + y)] – 5(-z - y ) }

= 3{-4[5y - z - 2z - 2y + 5(-z - y)]}

= 3{-20y + 4z + 8z + 8y - 20(-z - y ) }

= 3{-l2y + 12z + 20z + 20y}

= 3{8y + 32z}

= 24y + 96z

ACTIVIDAD 6. DIVISION DE POLINOMIOS

1. EJERCITACIÓN. Realizar las siguientes operaciones:

a. (21x3 + 14 x

2) ÷ 7 X

b. (- 42p7q

4 - 7p

8q

6) ÷ (-6p

4q)

c. (-6a8b

8 - 3a

5b

6 + 12a

3b

3) ÷ 3a

2b

3

d. (30m3n

4p

2 + 15m

2n

3) ÷ l5m

2n

2

e. (90a4 - 54a

5b

5 + 72a

4b

6) ÷(-9a

4b

3 )

f. (-22 x3+ 110 x

2 + 99xw) ÷ (−11 x)

g. (5mn - 10mn) ÷5mn

h. (90 a6 b

8 - 54 a

5 b

5 + 72 a

4 b

6 ) ÷9 a

4 b

3

2. Completar la tabla

DIVIDENDO DIVISOR COCIENTE RESIDUO

6x2 + 5y - 7y

2 3x + 3y

3a + 4 5a+ 7 58

10m2 - 7n

2m + n

4 - 8 2m - n2

2 x 4

- 9 x 3 - 36 x

2 - 12 x + 16 x2 - 6x - 8

I0w5 + 6w

4 - 28w

3 - 40w

2 - 58w 2w3 + 4w2 - 8

1

6a

3 -

5

8a

2b - b

3 +

5

3ab

2

1

47 𝑎 -

5

8a2b

3. RAZONAMIENTO. Determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Luego, justificar la respuesta.

1. Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del polinomio entre el monomio.

2. En la división de polinomios entre polinomios, no se sigue el algoritmo de la división numérica.

EJEMPLOS Y CONTRAEJEMPLOS

Escribir un ejemplo o un contraejemplo para cada afirmación.

1. El grado del residuo debe ser menor que el grado del divisor.

2. Un polinomio dividido entre su opuesto da como cociente 21.En la división de polinomios el elemento neutro

es x

PLANTEAR LA OPERACION

Escribir en cada paréntesis la expresión que verifica la igualdad.

a. (x - 3)(x + 4)( ) = 2x3 - 3x

2 - 29x + 60

b. (y+ 3) ( )(y - 5) = y3- 25y + 3y

2 - 75

c. ( )(x + 8)(x + 1) = x4 + 9x

3 + 5x

2 - 27x - 24

d. ( w + 3)(w - 7)( ) = w3 - 5w

2 - I7w + 21

e. (z + 8) ( )(z - 8) = z3 - 64z - 4z

2 + 256




CÓDIGO:PA-01-01

VERSIÓN: 2.0

FECHA: 19-06-2013

PÁGINA: 17 de 17

COMPLETAR LOS DATOS DE UNA TABLA

FIGURA ÁREA PERIMETRO DIMENSION

A=3x + 17x + 20

P= Altura=

A= P= 8m2- 4m + 12 Lado =

A =2z

2 + 2Az + 40

A =

ATOTAL=

P= Altura=

A =10y2 - 29y + 21

A =

ATOTAL=

P=

base=

-vw

SOCIALIZACIÓN

Resolver algunos ejercicios en el tablero para aclarar las dudas presentadas.

COMPROMISO

Resolver Todos los ejercicios de la guía en el cuaderno y entregarlo una vez se termine la guía según las fechas

determinadas por el docente.

ELABORÓ REVISÓ APROBÓ

NOMBRES

YAIRA LIZETH RINCON

AURA ALEXANDRA

URBE ROZO

CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico

DD

07

MM

04

AAAA

2014

10

04 2014 DD MM AAAA

3X+5

2Z+6

Z+10

Z-2

2Y-3

2Y-4

3Y-

5

GUÍA DIDÁCTICA · SUMA Y RESTA DE MONOMIOS SEMEJANTES Dos o más monomios son semejantes cuando...

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