PARADA TeÓRICA

14 Expresiones algebraicas. Polinomios

Una expresión algebraica es una combinación cualquiera y finita de números, de letras, o de números,letras, ligados entre sí con la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciacióny radicación.

3 1 ~ rz: x5- 4 ~ r: 2 4a) 2x + 34 b) 5x + 6x - - e) i + V 3x d) -- e) V 2 x - - x3 x2 5

Los números son los coeficientes, y las letras, las variables o indeterminadas.En este capítulo se estudiarán expresiones algebraicas con una sola variable (x).

Si la variable no está afectada por una raíz o como divisor, las expresiones algebraicas son enteras y_::denominan polinomios.

Los ejemplos e) y d) no son polinomios; sí lo son a), b) ye).

Según la cantidad de términos, un polinomio se denomina:

• .. 1" (1 5)mcnemio, SI tiene un so o termino "2x ;

binomio, si tiene dos términos (4i + 5);

trinomio, si tiene tres términos (3x - 8 + x3) y

euatrinomio, si tiene cuatro términos (2x5 - 2x + 7 - x2).

Los términos que tienen la misma variabley exponente son semejantes.

L ' ' 42 12 2 'os términos x, -"2x y x son semejantes.

a) S(x) = x + 5x3 - 2x4; coeficiente principal: -2. b) T(x) = x5

- 8x4 + x; coeficiente princip

Se denomina grado al mayor exponente que tiene la variable de los términos con coeficientes no nulosun polinomio.

a) p(x) = 7x + 6x2 - x5; grado: 5. b) Q(x) = 4 - x + x3; grado: 3. e) T(x) = 5; grado O.

Se /lama coeficiente principal al que multiplica a la variable de mayor exponente.

Al polinomio cuyo coeficiente principal es 1 se lo denomina normalizado.Un polinomio está ordenado si sus términos están ordenados en forma creciente o decreciente respect

los exponentes de la variable.

) ()4 13 12 ) () 12 13 5 2a H x = 3x +"2x -"2x + x - 1 b J x = 4 + x +"2x - 3'x e) Z(x) = x - 2x + 7

Un polinomio está completo si tiene todas las potencias decrecientes del grado.

a) R(x) = 6x4- 5x3 + i - 3x - 1; está completo. b) Q(x) = x4

- t/ - 3; está incompleto.

Para completar un polinomio se agregan los términos que faltan con coeficiente cero.

a) M(x) = x5 + 3x3 - 1 = x5 + Ox4 + 3x3 + O/ + Ox - 1b) N(x) = 4x4 + 2i = 4x4 + Ox3 + 2/+ Ox + Oe) K(x) = x6 - 3 = x6 + Ox5 + Ox4 + Ox3 + Ox2 + Ox - 3

b) 6 5 + 1 5 + 5 _ lS 5X 2X x - 2X e) x + x + x + x + x = Sx

Adición y sustracción de polinomiosLa suma de varios monomios semejantes es otro monomio semejante al dado, cuyo coeficiente es la su~:

de los coeficientes de los monomios dados.

Para restar dos monomios, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

Reducir un poJinomio es sumar o restar sus términos semejantes.

a) 2x + 3x4 + X - x4 = 2x4 + 3x b) x5 - lx4 + x4 + x3 - 6x3 = x5 + Ix4 - Sx33 3Para sumar varios polinomios entre sí, se completan y ordenan, luego se encolumnan sus términos serne-

jantes y se suman.

a) Dados; {P(X) = -3 + 2i- Sx3+ x4

Q(x) = -9x3 + x2 + X - 1p(x) + Q(x)

Para restar dos polinomios, se suma al minuendo el opuesto del sustraen do.

a) Dados: {M(X) = 2/ + x - 2 b) Dados: {A(X) = -2x + 3x2

- ~x3 - 7

N(x) = / + 1 (x) = 3x - si - x4 + 2M(x) - N(x) A(x) - (x)

2x2 + x - 2 Ox4 - 1x3 + 3i - 2x - 7+ -x2 + Ox - 1 2+ x4 - Ox3 + 5i - 3x - 2

i + x - 34 1 3 2

X - -x + 8x - Sx - 92

Para resolver una suma algebraica de polinomios, se opera en el orden en que aparecen los términos.

2/+ Ox - 3/+ x - 1+

3i + x - 4

b) Dados: {R(X) = / - x + 1

T(x) = -x + 2 - 5/R(x) + T(x)

+/ - x + 1

-si - x + 2

-4/ - 2x + 3

Dados: p(x) = 6/ + 2x - 1, Q(x) = / + 3x - 2 Y R(x) = 2x2 + x + 5.

a) p(x) + Q(x) + R(x)

-p(x) = 6/ + 2x - 1Q(x) = / + 3x - 2R(x) = 2/ + x + S

p(x) + Q(x) + R(x) = 9x2 + 6x + 2

b) p(x) + Q(x) - R(x)

6/ + 2x - 1+ / + 3x - 2

p(x) + Q(x) = 7/ + Sx - 3.+ [-R(x)] -2/ - x - 5

p(x) + Q(x) - R(x) = S/ + 4x - 8

Multiplicación de polinomiosPara multiplicar dos monomios se deben multiplicar los coeficientes y las indeter-

minadas entre sí, aplicando la regla de los signos y las propiedades de la potenciación.x".xm = X -

a) (3x)(2x) = 6/

Para multiplicar un polinomio por un número real, se aplica la a(b ± e) ::;:;ab ±propiedad distributivo de la multiplicación respecto de la suma y resta.

-3(X3 + 2/ + tx - 4) = -3x3 + (-3)2/ + (-3)%x - (-3).4 = -3x3- 6/ - x + 12

Para multiplicar dos polinomios se aplica lapropiedad distributiva, efectuando luegola multiplicación de monomios.

(a + b)(e + d) = ae + ad + be + bd

Dados: p(x) = 2x2 -;- 5x + 2 Y Q(x) = 3/ - x.

p(x).Q(x) = (2/ - 5x + 2)(3/ - x)

= (2/)(3x2) + 2/(-x) + (-5x)(3x2) + (-5x)(-x) + 2(3/) + 2(-x)

p(x).Q(x) = 6x4 - 17x3 + 11/ - 2x

Producto de la suma de dos términos por su diferenciaEl producto de la suma de dos términos por la diferencia de los mismos, es igual a la diferencia de :

cuadrados de dichos términos.(a + b)(a - b) = 02 - ab + ba - b2 = 02 - b2

a) (x + 4)(x - 4) = x2 - 4x + 4x - 16 = x2 - 16

. -,.(a + b)(a - b) = a2

- b2

) ( 2 )( 2 ) 4 3 3 2 4 2b x + 5x x - 5x = x - 5x + 5x - 25x = x - 25x

) ( 5 1 3)( 5 1 3) 10 2 8 2 8 1 6 10 1 6e 2x + S"x 2x - S"X = 4x - S"X + Sx - EX = 4x - EX

)(

1 2 )( 1 2 ) 1 4 7 3 7 3 2 1 4 2d -'P + 7x - 2x - 7x = ¡X +'P -'P - 49x = ¡X - 49x

Operaciones combinadasLas operaciones combinadas entre polinomios se resuelven aplicando los mismos procedimientos

propiedades que con números reales.

Dados: p(x) = 5x2 + 6x + 2; Q(x) =2x3 - X + 6 Y R(x) = x2 + l.

P(x).R(x) + Q(x) = (5x2 + 6x + 2)V + 1) + 2x3 - X + 6

= 5x4 + 5/ + 6x3 + 6x + 2x2 + 2 + 2x3- X + 6

4 3 2 .P(x).R(x) + Q(x) = 5x + 8x + 7x + 5x + 8

Para dividir dos monomios se deben dividir los coeficientes y las indeterminadasentre sí, aplicando la regla de los signos y las propiedades de la potenciación.

n m_ n-mx:x - X

PARADA TeÓRICA

17 División de polinomios

e) -6x5:(3/) = (-6:3)(x5j) = -2x3

d) (-10x8):(-2x3) = [-10:(-2)](x8j) = 5x5

Para dividir un polinomio por un monomio, se aplica la propiedad distributivo. (a ± b):e = o:e ± b:e

a) (24x5 - 16x3 + 12/ - 4x):(-4x) = 24:(-4)V:x) -16:(-4)V:x) + 12:(-4)(/:x) + (-4):(-4)(x:x

= -6x4 + 4x2 - 3x + 1

) ( 6 5 3 1 2 ) (1) 5 4 2b 2x + 5x + x +'P + 6x :'p = 4x + 10x + 2x + x + 12

Para dividir dos polinomios:• El grado del polinomio dividendo debe ser mayor o igual que el grado del polinomio divisor.• El p6linomio dividendo debe estar completo y ordenado en forma decreciente.• El polinomio divisor debe estar ordenado.

Dividendo'\J

p(x)

R(x)7'

Resto

Divisor¿

~C(x)

<,Cociente

p(x) = C(x).Q(x) + R(x)

Dados: p(x) = 2x - 3 + 2x4 y Q(x) = -2x + /.Hallar p(x):Q(x).

El dividendo debe estar completo y ordenado: p(x) = 2x4 + Ox3 + O/ + 2x - 3.El divisor debe estar ordenado: Q(x) = / - 2x.

2X4 + Ox3 + O/ + 2x - 3- 4 32x - 4x

4x3 + Ox2

4x3 - 8/8x2 + 2x8x2 - 16x

18x - 3 ~ Resto: R(x)

I / - 2x2/ + 4x + 8

1-Cociente: ((x)

C(x) = 2X2 + 4x + 8R(x) = 18x - 3

PARADA TEÓRICA

18 Regla de Ruffini. Teorema del restoLa Regla de Ruffini es un método práctico que se utiliza para dividir un polinomio p(x) por otro cuya

forma sea x + a.

b) (%x4- 3/ + l}(X + 1)

%x4 + Ox3 - 3/ + Ox + 1 ~ Dividendo

El resto de la división de un polinomio por otro de la forma x + a, es el valor que resulta de reemplazar lavariable del dividendo por el valor opuesto al término independiente del divisor.

a) Dados: p(x) = 2x3 + 5x2 - X - 5 y Q(x) = x + 2. b) Dados: p(x) = / - 2x - 3 y Q(x) = x - 3.

Dados: p(x) = 2x3 + 5/ - x - 5 Y Q(x) = x + 2.Hallar p(x):Q(x), aplicando la regla de Ruffini.

El polinomio dividendo debe estar completo y ordenado.

Se escriben alineados los coeficientes del dividendo.

El coeficiente principal se "baja" sin ser modificado;luego se lo multiplica por el opuesto del término indepen-diente del divisor y se suma con el segundo coeficiente; yasí sucesivamente hasta llegar al resto.

Los números que se obtienen son los coeficientes delcociente y el último valor es el resto.

El polinomio cociente es un grado menor que elpolinomio dividendo.-------------------------a) V - x + 2):(x - 2)

1x3 + Ox2 - lx + 2 ~ Dividendo

o -1 2

2 2 4 62 3 81

Cociente ~ x2 + 2x + 3

Resto ~ 8

Teorema del resto

El resto de la división p(x):Q(x), se obtiene:

p( -2) = 2(-2)3 + S( -2)2 - (-2) - Sp( -2) = -16 + 20 + 2 - 5 = 1El resto de la división es 1.

Dividendo2 x3 + 5 x2 - 1 x - 5

~~~~1 __ ~-3 1

C(,) = 2,' + 1<-1 R(,) = tCociente Resto

1O -3 O 13

-1 1 1 8 83 3 3 3

1 1 8 8 53 3 3 3 3. 13128 8Cociente ~ -x - -x - -x + -3 3 3 3

5Resto ~ -- 3

Divisorx + 2

El resto de la división p(x):Q(x), es:

P(3) = 32 - 2.3 - 3P(3) = 9 .- 6 - 3 = OSi el resto es O (cero): p(x) es divisible por Q(x).

Para resolver la potencia de un monomio, se debe aplicar la propiedad distributivode la potenciación respecto de la multiplicación y la potencia de otra potencia.

(a.bY = a".b"( ")m _ n.mX - X

PARADA TEÓRICA

19 Potenciación de polinomiosPotencia de un monomio

e) (_2:./)3 = (_2:.)3 (/)3 = __8 il5 5 . 125

Cuadrado de un binomio

Al elevar al cuadrado un binomio se obtiene un trinomio cuadrado perfecto.

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = 00 + ab + ba + bb = 02 + 2ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2. --v-- -~

Cuadrado de un binomio Trinomio cuadrado perfectob

a

b a

a) (x + 3)2 = x2 + 2.3x + 32 = x2 + 6x + 9

b)(~X - 5)2 = (txY + 2· t(-5)X + (-5)2 = ti - 5x + 25

(3 2)2 (3)2 (3) 2 2 2 9 2 3 4c) -Z"x + x = -Z"x + 2 -Z"x x + (x) = ¡X - 3x + x

d) (-x - 3)2 = (-x)2 + 2(-3)(-x) + (-3)2 = i + 6x + 9

Cubo de un binomio

Al elevar al cubo un binomio se obtiene un cuatrinomio cubo perfecto.

(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + bf(a + b) = (02 + 2ab + b2)(a + b)(a + b)3 = 0

2.0 + a2.b + 2aba + 2abb + b2.a + b2.b = 0

3 + a2.b + 2a2.b + 2ab2 + b2.a + b3

b) (2x - 3)3 = (2x)3 + 3(-3)(2x)2 + 3.2x(-3)2 + (_3)3 = 8x3 - 36x2 + 54x - 27

d) (-x - 2)3 = (_x)3 + 3(-2)(-x)2 + 3(-x)(-2)2 + (_2)3 = _x3 - 6i - 12x - 8