Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

78
EUREKA NR. 1 - 2006 Grunnleggende matematikk med illustrasjoner EUREKA FORLAG LÆREMIDDELSERIE ALV BIRKELAND

Transcript of Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

Page 1: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

EU

RE

KA

NR. 1 - 2006

Grunnleggende matematikk med illustrasjonerMatematikken har sitt eget språk. Det består av egne faguttrykk og symboler og har en lang utviklingshistorie.

For å forstå matematiske ideer som er uttrykt i et matematisk språk, må man forstå dette språket. Ved bruk av illustrerende figurer og eksempler kan denne boken bidra til å føre leseren inn i matematikkens verden.

Gjennom hele historien har nye faguttrykk og symboler kommet til. For eksempel ble likhetstegnet innført av Robert Recorde i hans bok om algebra: ”The Whetstone of Witte” fra 1557. Robert Recorde mente at likhetstegnet skulle være to parallelle linjestykker fordi, som han ut-trykte det, “noe 2 thynges can be moare equalle”.

Boken henvender seg først og fremst til studenter i lærerutdanningen som følger kurset Matematikk 1, men kan også brukes av andre stu-denter innenfor høgskolesystemet og av elever i videregående skole.

Al

v

Bi

rk

el

an

d

Gr

un

nl

eg

ge

nd

e

ma

te

ma

ti

kk

m

ed

i

ll

us

tr

as

jo

ne

r

Grunnleggende matematikkmed illustrasjoner

ALV BIRKELAND er høgskolelektor ved Høgskolen i Tromsø på avdeling for lærerutdanning, med Cand. Scient. graden i matematikk fra universitetet i Oslo. Han har vært seksjon-sleder i matematikkseksjonen og har undervist i det obligator-iske kurset Matematikk 1, samt i valgfagene Matematikk 2 og Matematikk 3. Han har også flere ganger vært sensor for ulike kurs i matematikk gitt ved Universitetet i Tromsø.

EUREKA LÆREMIDDELSERIENR. 1/2006

ISBN-13: 978-82-7389-087-0ISBN-10: 82-7389-087-2ISSN 0809-8034

E U R E K A F O R L A G

L ÆR E M

I DD

E L S E R I E

ALV BIRKELAND

EUREKA FORLAG

Page 2: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner
Page 3: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

ALV BIRKELAND

GRUNNLEGGENDE MATEMATIKK

MED ILLUSTRASJONER

EUREKA LÆREMIDDELSERIE 1/2006

��� ���� �� ���������� � ��� ����� ��� ��� ��� � ������� �� ������ ��� � ������� ��� ��� �� �� ���� ��� �� �������� ��� ��� ��� ������ ���������� ���������� �� ��� � ��������� � ���������� ���� �� �� ���� ��� ���������������������� ���� ��� ����������� ������� �� ����� ��������� ��� �� ���� �����

�� �������� ��� ��� ���� ����� �������� ��������� ��� ����� ����� ��������������������� �������� ��� ����� ����� �� � �� �� �������� � ������������������������ ����� �� ������� ��� ��� �� ����� ��������������� �� ����� �������� ����������� ������ ���� ��� � ����� ��������������� �������� ������� �������������� ������ ������������� �� ���� ��� �� ��� �� ������������ ��� ������ ���������� � � �������

����������������� ��� ��� ������ ��� ��� �� ����� ���������� ��� ������������ ����� ��� ������������������ � ������� ��� ����� ��� ��� �����  �� ������������ ����� ������� ������� ��� ����� ������ �� ��� ��� ������� ������������­� ���� ���� ��� �������������� ���� ������ ��� �� ���� � �������

������ ������� ������� ���������

Page 4: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

1. opplag 2006Utgiver: Eureka Forlag, Høgskolen i Tromsø, 9293 TromsøSentralbord: 77 66 03 00Telefaks: 77 68 99 56E-post: [email protected]://www.hitos.noTidligere utgivelser på Eureka Forlag: http://www.hitos.no/fou/eureka/publikasjonerTrykk og omslagslayout: Lundblad Media AS, Tromsø

Omslagsbilde: Margarita Philosophica of Gregor Reisch (1508)

The new versus the old aritmetic, Boethius against Pythagoras, Hindu-Arabic numerals versus the counting

board.

Eureka Læremiddelserie 01/2006ISBN-13: 978-82-7389-087-0ISBN-10: 82-7387-087-2ISSN: 0809-8034

Det må ikke kopieres fra denne boken i strid med åndsverkloven eller med avtaler om kopiering inngått medKopinor, interesseorganisasjon for rettighetshavere til åndsverk.

������������ �� �������� �� ����� ����� �� �������� ��������� �� ������

���� ������� ��� ��� ������ �� �� ���������� ����� ����� � �� �������� ���� ��������� ���������� �­�������� ��� ����� ������ ������ ��� �����­�������� �� ��� ����� �� �� ���� ������ �������� �� ��� �� �­������� ��� ���������� ��� ���� ������� ������� ���� ����������� ���� � ��������� ��� �� ������ �­�� �­������� ����� ��� ��� ����� ��� ��� ����� ������� ����� ��� �������� ��� ��� ����� �� ��� ������ ����� � ������� �����­������� ���� �� �������������� � ����� ������� ��� � ���� �������� ��������� ��� ��� � ���������� ����� ������������� � �������������� ������� � ������� ��� ������ ��� ��������������� ������ � ��� ��������� �������� ��� ���­� �� ������ �­������������ ������� � ���� ��� ���� �� ������ ����������� ����� ����� ������ ���������� ����� ��������  ����������� �� ������� ��� ��� ��� �­������� ��� � ������ �������� �� ��� ����� ����� ������ ��������  ���������� � ���������������� ��� �­������� �� ������� � ���� ����� �� �� ������������  ���������������� �� ������ ��� ��������  ���������� ����� �� ��­������ ����� ��� ���������������� ��� ������� �� ���������� ��� ������� ��� ��� ��� �­������ ����� ������� ��� ������� ������� �� ����� �������������������� ��� ����� ����� �� ������������ ���� ������������ � ����

������ � ��� ���������������� � ������� ������ ��������� � �� ������������� ����� ����� ������ ���� �� ��� �� ������� �� ������� ��� � �� �� ���� ��������� ��� ����� �������������� �� ������ ������ �������� ��� �� ��� ����� ���� ���­��� � �� ����� ����������� �� ��� ��������� ���������� ��� ���������� ����� ��� �� ���� ��� �������� �� ���� �� �� ������� �� ����������� ��������������� ��� �������� ���� ������� �� ���������� ��� ����� ���� �� ���� �� ���� �� ������ � ������������ ������ ��������� ��� ����� ���� �� ����� ����������������������� ������������ ��� ������ �� ������������� �� ��� ��� �� �� ���������� � ����������

��� ��� �� ������ ����������������� ��� ���­� �� �� ����� ���� ����������������������������� ��� ���� �� ����� ��� ��� ���­���� ��� ����� ������ ��� ������������ ����� � � ������ ���� ���������� � ��� ���������� ���������������� �� ����������� ������� �� ��� ��� �­��� ������� ��� ����� ����� �� �� �������  ���� ��� ��� � � ��� ����� ����������� ���� ������ ��������� � ���������� ����� ����� �� �� ���� ��������� ����� �������

��������� �� ��� ��� ����� ��� ��� ���� ��� � ��� ������� �������� ��� ��� ������������� �� �� ������ ���������� ���­������ � ������������� ����� ������ �������� �� ��� ������� �� ����� ����� � ������������ ���­� ����� ������� ��� ��������� �� ��� ����� ���� � �� �� ���� �� �­������� ����������������������� � ��� ��� �� ���� � �� �������� ���������������� �� ����� ������­������� ��� ����������� �������  ����� ��� �� �� ������ �� ��� ��� �������� �� ���� ������� �� ������ ������� ������� ����� ����� ������ ���� ��� ������������ ��� ����� ���� ��� �� ���� ��������� ��� ������ ����� ���� ��� ��� ��������������� ��������������� �� ��������������­������� �������� ��� ����� �� ������ ����������� ���

����������� ������� �� � ������������� �� ������������� � ���� ��� ��� �­��

Page 5: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

1. opplag 2006Utgiver: Eureka Forlag, Høgskolen i Tromsø, 9293 TromsøSentralbord: 77 66 03 00Telefaks: 77 68 99 56E-post: [email protected]://www.hitos.noTidligere utgivelser på Eureka Forlag: http://www.hitos.no/fou/eureka/publikasjonerTrykk og omslagslayout: Lundblad Media AS, Tromsø

Omslagsbilde: Margarita Philosophica of Gregor Reisch (1508)

The new versus the old aritmetic, Boethius against Pythagoras, Hindu-Arabic numerals versus the counting

board.

Eureka Læremiddelserie 01/2006ISBN-13: 978-82-7389-087-0ISBN-10: 82-7387-087-2ISSN: 0809-8034

Det må ikke kopieres fra denne boken i strid med åndsverkloven eller med avtaler om kopiering inngått medKopinor, interesseorganisasjon for rettighetshavere til åndsverk.

������������ �� �������� �� ����� ����� �� �������� ��������� �� ������

���� ������� ��� ��� ������ �� �� ���������� ����� ����� � �� �������� ���� ��������� ���������� �­�������� ��� ����� ������ ������ ��� �����­�������� �� ��� ����� �� �� ���� ������ �������� �� ��� �� �­������� ��� ���������� ��� ���� ������� ������� ���� ����������� ���� � ��������� ��� �� ������ �­�� �­������� ����� ��� ��� ����� ��� ��� ����� ������� ����� ��� �������� ��� ��� ����� �� ��� ������ ����� � ������� �����­������� ���� �� �������������� � ����� ������� ��� � ���� �������� ��������� ��� ��� � ���������� ����� ������������� � �������������� ������� � ������� ��� ������ ��� ��������������� ������ � ��� ��������� �������� ��� ���­� �� ������ �­������������ ������� � ���� ��� ���� �� ������ ����������� ����� ����� ������ ���������� ����� ��������  ����������� �� ������� ��� ��� ��� �­������� ��� � ������ �������� �� ��� ����� ����� ������ ��������  ���������� � ���������������� ��� �­������� �� ������� � ���� ����� �� �� ������������  ���������������� �� ������ ��� ��������  ���������� ����� �� ��­������ ����� ��� ���������������� ��� ������� �� ���������� ��� ������� ��� ��� ��� �­������ ����� ������� ��� ������� ������� �� ����� �������������������� ��� ����� ����� �� ������������ ���� ������������ � ����

������ � ��� ���������������� � ������� ������ ��������� � �� ������������� ����� ����� ������ ���� �� ��� �� ������� �� ������� ��� � �� �� ���� ��������� ��� ����� �������������� �� ������ ������ �������� ��� �� ��� ����� ���� ���­��� � �� ����� ����������� �� ��� ��������� ���������� ��� ���������� ����� ��� �� ���� ��� �������� �� ���� �� �� ������� �� ����������� ��������������� ��� �������� ���� ������� �� ���������� ��� ����� ���� �� ���� �� ���� �� ������ � ������������ ������ ��������� ��� ����� ���� �� ����� ����������������������� ������������ ��� ������ �� ������������� �� ��� ��� �� �� ���������� � ����������

��� ��� �� ������ ����������������� ��� ���­� �� �� ����� ���� ����������������������������� ��� ���� �� ����� ��� ��� ���­���� ��� ����� ������ ��� ������������ ����� � � ������ ���� ���������� � ��� ���������� ���������������� �� ����������� ������� �� ��� ��� �­��� ������� ��� ����� ����� �� �� �������  ���� ��� ��� � � ��� ����� ����������� ���� ������ ��������� � ���������� ����� ����� �� �� ���� ��������� ����� �������

��������� �� ��� ��� ����� ��� ��� ���� ��� � ��� ������� �������� ��� ��� ������������� �� �� ������ ���������� ���­������ � ������������� ����� ������ �������� �� ��� ������� �� ����� ����� � ������������ ���­� ����� ������� ��� ��������� �� ��� ����� ���� � �� �� ���� �� �­������� ����������������������� � ��� ��� �� ���� � �� �������� ���������������� �� ����� ������­������� ��� ����������� �������  ����� ��� �� �� ������ �� ��� ��� �������� �� ���� ������� �� ������ ������� ������� ����� ����� ������ ���� ��� ������������ ��� ����� ���� ��� �� ���� ��������� ��� ������ ����� ���� ��� ��� ��������������� ��������������� �� ��������������­������� �������� ��� ����� �� ������ ����������� ���

����������� ������� �� � ������������� �� ������������� � ���� ��� ��� �­��

Page 6: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

ALV BIRKELAND

GRUNNLEGGENDE MATEMATIKK

MED ILLUSTRASJONER

EUREKA LÆREMIDDELSERIE 1/2006

��� ���� �� ���������� � ��� ����� ��� ��� ��� � ������� �� ������ ��� � ������� ��� ��� �� �� ���� ��� �� �������� ��� ��� ��� ������ ���������� ���������� �� ��� � ��������� � ���������� ���� �� �� ���� ��� ���������������������� ���� ��� ����������� ������� �� ����� ��������� ��� �� ���� �����

�� �������� ��� ��� ���� ����� �������� ��������� ��� ����� ����� ��������������������� �������� ��� ����� ����� �� � �� �� �������� � ������������������������ ����� �� ������� ��� ��� �� ����� ��������������� �� ����� �������� ����������� ������ ���� ��� � ����� ��������������� �������� ������� �������������� ������ ������������� �� ���� ��� �� ��� �� ������������ ��� ������ ���������� � � �������

����������������� ��� ��� ������ ��� ��� �� ����� ���������� ��� ������������ ����� ��� ������������������ � ������� ��� ����� ��� ��� �����  �� ������������ ����� ������� ������� ��� ����� ������ �� ��� ��� ������� ������������­� ���� ���� ��� �������������� ���� ������ ��� �� ���� � �������

������ ������� ������� ���������

Page 7: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�������� ���������� �

� ���������� �� ��������

� ������ ��

��� ���������� ��� ����������� ����� �� ���� �

��� ����������������� �

��� ����������� ��������� ��

��� ������� ���������������� ��

� ����� �� ��������� �

��� ����� ��� �� ��

�� ������� ��

� ���������� ��

� ������������� ��

� ���������� �

� ����������� ��

��� ���������� �� ������� ��

����� ��

 ��������� ��

 ­���� ������ �  ­���� �� ������������� �� ��� ����� ������ �� ���� �� ��� ���� ������� �� � ���   ���� ������ �� � ���� �� ��� ������� ���  ­���� ������ � �� �������� ­��� ��� ��� ����� ������ ��� ��� ���� � ������ �� ���� �� ��� �� ������  ­�������

��� ��� ��� ��� ��� ��� � � �

�� ���� �  ­���� �������� �� ��� �� ��� � � �� �� �� � � � �����  ­���� �������� ����� ����� ���  ­���� �� ������������� ����� ��� �� �� � � �� �� � � �� ��

�� � �� � ���

�� � �� � ���

�� � �� � ���

���

���� � �� � �����

�� ��� �������  ­���� �� ������­��� ��� ���� � ��  �� �� ��

�� ��

��

���� �� ��������  ­���� �� ����������� ��� ���� ��  �� ���� � �

��

�� ��� �������  ­���� �� ����������� ��� ���� � ��� �������������� ��� �� ���� � ��

�� � �� � ��

�� � �� � ��

���

�� � ���� � ��

���� �� ������������ �� ��� �� ����� ���  ��� ��� ��� ����� ������������� �� ����������� �� ���� �� �� ��� ����  ­���� �� ����������� �� ��������  ���� ��� ��­����� ���� � ����� ����� �� �� ������� ��� ����� ����������� ���� � ����� �����  ��������� �������������  ­���� �� ��� �� ������� �� ������� �� ��� ������� ����������� ��� �� ��� �� ���� ��� ������

�� � � � � � � � � � � � � � � � �

��� ���� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� � ������  �� �� ��

��� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � ��

� �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � ��

� � � ��

Page 8: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

� ����������

�� ������� �� ������ ��� �� ������� ������ �� ��������� ���� �� �� �������

�� �� �� �� �� �� �� � � �

��� ��� � ����������� � � �� ���� ���� ������� ��� ���� ���� ����� �� ���������� ���� ����� �� �� �������� �� �� ����� �� ���� ����� �� ���������� ������� �������� �� �������������� �� ���� �� ������ �� ����������� ��

�� �� �� ��� ��� ��� ��� � � �

�� ���������� �� ��

� � �

� � � � �

� � � � � � �

� � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � � � ��

�� ����� �������� �� ������ �� ���������� �� ���� �� ������ �� ������������

�� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� � � �

����������� �� ���������� �� ��������� �� �������� ���� ����� ��� �� �������� �� ����������� ��� ������ ����� ��������� ����� �� �� ���������� �� ������������� �� ������ �� ����������

���

���

���

���

���

���

�� � � �

�� ����� �������� � ���� ������ �� ������ �� �������������

�� �� �� �� �� �� ��� ��� ��� ��� � � �

�� ���������� �� �� ����� ���� �� ������ �� � �� ��������� ������� � ����������� ���������� ��� ���� ���� ����� ��������� ��� ���� �� ����� ���� ������������� ��  ��� ��� ���� ��� ��­� ��� ���� �� ��� �� �� �� �������� ������ ������ �������� ��

�� � �� � � � ��� � �� � �� � � � �

�� � �� � �� � �� � � � ��� � �� � �� � �� � �� � � � �

�� � �� � �� � �� � �� � �� � � � ��

�� ��� �� ���� �� ���������� ���������� �� ���� ��

�������� ������ ����� �� ������� � �� ���� ��������� ��� ������� �� �� ��������� ����� � ���������� ��� ������� ��� �� ��� ���� �� �� ��� ������ �� ������������ ������ ��� ���� ��� ����� ��� ����� �� ��� ����������� �� ��

Page 9: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

� ����������

�� ������� �� ������ ��� �� ������� ������ �� ��������� ���� �� �� �������

�� �� �� �� �� �� �� � � �

��� ��� � ����������� � � �� ���� ���� ������� ��� ���� ���� ����� �� ���������� ���� ����� �� �� �������� �� �� ����� �� ���� ����� �� ���������� ������� �������� �� �������������� �� ���� �� ������ �� ����������� ��

�� �� �� ��� ��� ��� ��� � � �

�� ���������� �� ��

� � �

� � � � �

� � � � � � �

� � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � � � ��

�� ����� �������� �� ������ �� ���������� �� ���� �� ������ �� ������������

�� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� � � �

����������� �� ���������� �� ��������� �� �������� ���� ����� ��� �� �������� �� ����������� ��� ������ ����� ��������� ����� �� �� ���������� �� ������������� �� ������ �� ����������

���

���

���

���

���

���

�� � � �

�� ����� �������� � ���� ������ �� ������ �� �������������

�� �� �� �� �� �� ��� ��� ��� ��� � � �

�� ���������� �� �� ����� ���� �� ������ �� � �� ��������� ������� � ����������� ���������� ��� ���� ���� ����� ��������� ��� ���� �� ����� ���� ������������� ��  ��� ��� ���� ��� ��­� ��� ���� �� ��� �� �� �� �������� ������ ������ �������� ��

�� � �� � � � ��� � �� � �� � � � �

�� � �� � �� � �� � � � ��� � �� � �� � �� � �� � � � �

�� � �� � �� � �� � �� � �� � � � ��

�� ��� �� ���� �� ���������� ���������� �� ���� ��

�������� ������ ����� �� ������� � �� ���� ��������� ��� ������� �� �� ��������� ����� � ���������� ��� ������� ��� �� ��� ���� �� �� ��� ������ �� ������������ ������ ��� ���� ��� ����� ��� ����� �� ��� ����������� �� ��

Page 10: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�������� ���������� �

� ���������� �� ��������

� ������ ��

��� ���������� ��� ����������� ����� �� ���� �

��� ����������������� �

��� ����������� ��������� ��

��� ������� ���������������� ��

� ����� �� ��������� �

��� ����� ��� �� ��

�� ������� ��

� ���������� ��

� ������������� ��

� ���������� �

� ����������� ��

��� ���������� �� ������� ��

����� ��

 ��������� ��

 ­���� ������ �  ­���� �� ������������� �� ��� ����� ������ �� ���� �� ��� ���� ������� �� � ���   ���� ������ �� � ���� �� ��� ������� ���  ­���� ������ � �� �������� ­��� ��� ��� ����� ������ ��� ��� ���� � ������ �� ���� �� ��� �� ������  ­�������

��� ��� ��� ��� ��� ��� � � �

�� ���� �  ­���� �������� �� ��� �� ��� � � �� �� �� � � � �����  ­���� �������� ����� ����� ���  ­���� �� ������������� ����� ��� �� �� � � �� �� � � �� ��

�� � �� � ���

�� � �� � ���

�� � �� � ���

���

���� � �� � �����

�� ��� �������  ­���� �� ������­��� ��� ���� � ��  �� �� ��

�� ��

��

���� �� ��������  ­���� �� ����������� ��� ���� ��  �� ���� � �

��

�� ��� �������  ­���� �� ����������� ��� ���� � ��� �������������� ��� �� ���� � ��

�� � �� � ��

�� � �� � ��

���

�� � ���� � ��

���� �� ������������ �� ��� �� ����� ���  ��� ��� ��� ����� ������������� �� ����������� �� ���� �� �� ��� ����  ­���� �� ����������� �� ��������  ���� ��� ��­����� ���� � ����� ����� �� �� ������� ��� ����� ����������� ���� � ����� �����  ��������� �������������  ­���� �� ��� �� ������� �� ������� �� ��� ������� ����������� ��� �� ��� �� ���� ��� ������

�� � � � � � � � � � � � � � � � �

��� ���� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� � ������  �� �� ��

��� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � ��

� �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � ��

� � � ��

��� ����� ��� ��

�� ��

�� � � ��

�������� �� ����������� ��� � ���� ��� �� ��

�� � � � � � � � � � �� ��

����� �� �� ��� �������

�� � �� ��� �� � ��� �� � � � �� � � � � ��

������� ��� �� ��

��� � ��� �� � ��� �� � � � �� ��� ��

�� ��

�� ��� �� �

�� �� �� �� ������� �� ��� ����� ����� �� ���� ���� � ������ �� ������������

���������� ���� �� ��� ����� ������� � ��� �� ����� ������������� �� �� ��� ��� ��� ��� � � ��� �� �� �� ��� ��� ��� � � ��� �� �� �� �� ��� ��� � � ��� �� �� ��� ��� ���� � � �

�� ���� ��������� ������� ��� ���� ����������� ��� ������� ��

�� ������ �� �������� �������� �� �� �� �� �� �� � � ��� ����� ��� �� ��� ����� ������� � ������ �� ����������� ������� ������ �� �������� � �������� ��� ��� ���� �� ������� ������� ��� ������ �� ���������

�� ������ �� ������� �������� �� �� �� �� �� ��� � � ��� ����� ��� �� ��� ����� ������� � ������ �� ���������� ������� ������ �� ������� � �������� ��� ��� ���� �� ������� ������� ��� ������ �� ��������

 � ���� ��� �� ��������� ������� �� �� ������� ������� ��� ����������

����� ����� ����� ����� � � �

­� ���� ����� ����������

�� �� �� �� �� ��� ���� ����� � � �

����� �� �� ������� �� �� ��� � �� ���� ������� �� � ��� ���� �� ����� ������� � �� ������� �� � ��� �� �� ��� � �� � � ���� ������� �� � ����� ������������ �� ��� �� ������� ��   ���� � �� � ��� �� ������ ���� �������

��   ����� ����� ����� �� ������� ��  � �� ��� ��� ����� ����� ��� ��������������

����� �� �� ������ �� ������� �� � ������  � ����� ��� ����� ����� ������� ��������� �� ������� �� � ������  ���� ��� �� � �� ����� ���� ���� ��������� ­��  ���� ������� �� �� ��

��� �� �� �� �� ������� ����� �� � � � � � � � � �� �� �� �� ������� �� ���� �� �� ������� ����� ������ ������� ��� �� ������� �� �� ������� ��� ��� ������ ���� ������� �� �� ����� ��� �� �������� � ����� ���� �� ����

���� � ���� � ��� � �� � �

� � � ���� � � � ��� � � � �� � �� � ���� � �� � � ��� � �� � � �� � �� � �

� � � ��� � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � ��� � � � �� � � � � � �� � � � � � ��� � � ��� � � � �� � � � � � ���

����� ��� �� ������� �� �� � �� � � ��� ������� �� �� ����� �� �� ������� ���� � �� � � �� ������� �� �� ����� � �� ������� �� �� � �� � � � ������� ���� �� � � ��� � � � �� � � � � ���� ������� �� �� ����� �� �� ������� ��� � � ��� � � � �� � � � � � �� ���� ������� �� �� �� �� ­��  ������� ���� �� ��� ��� ������� � �� ������ �� ������� �� � � ������� �� � ��������������� ��� ��� ���� ��� �� �� �������� �� �� ������ ����� ��������

����� �� �� ������ �� ������� �� � ������ �� ����� ������� �� �� ��������� �� ������� �� � ������ �������� ��� ����� ������� ��� ������ ­��  ��   ��� ����� ������ ���� ������� ��  

��� ����� �� �� �� �� ���� � � � ����� ������� �� �� ���� �� � � � � � � � ��� �� �� ������� �� �� �� ����� �� ���� � � � ���� ���� �� ��� ��� ����� ������ �� ��� � ���� ������ ��� �� �� ��� ����� �� �� �� ���� � � � � � ���� ����� ��� ��� ���� ����� ����������� ����� �������

���������� �� ������ ������ ��� � �� ���� �� ������� �� ����� ��������� ��� ���� �� �� ������ �� ��� ������� ���� �� � �� ����� ��� ���� ���� ��� ���� ��� ��� �� ���� �������

���� ������� ����� �� ��� �� �� �� ���� ���� ���� ��� ���� ����� ��� �������� ���� �� ������� �� ������ ��� ���� ������ ��� � ��� ��� �� ������� �� ������ � ���� �� ��� ��� ����� �� � �� � �� �� ��� ����� ������ ���� ���� �� �� ������� �� �� ��� ����� �� ����� ��� ���� ��� ����� ��� ����� ������ �� ����

��

Page 11: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

��� ����� ��� ��

�� ��

�� � � ��

�������� �� ����������� ��� � ���� ��� �� ��

�� � � � � � � � � � �� ��

����� �� �� ��� �������

�� � �� ��� �� � ��� �� � � � �� � � � � ��

������� ��� �� ��

��� � ��� �� � ��� �� � � � �� ��� ��

�� ��

�� ��� �� �

�� �� �� �� ������� �� ��� ����� ����� �� ���� ���� � ������ �� ������������

���������� ���� �� ��� ����� ������� � ��� �� ����� ������������� �� �� ��� ��� ��� ��� � � ��� �� �� �� ��� ��� ��� � � ��� �� �� �� �� ��� ��� � � ��� �� �� ��� ��� ���� � � �

�� ���� ��������� ������� ��� ���� ����������� ��� ������� ��

�� ������ �� �������� �������� �� �� �� �� �� �� � � ��� ����� ��� �� ��� ����� ������� � ������ �� ����������� ������� ������ �� �������� � �������� ��� ��� ���� �� ������� ������� ��� ������ �� ���������

�� ������ �� ������� �������� �� �� �� �� �� ��� � � ��� ����� ��� �� ��� ����� ������� � ������ �� ���������� ������� ������ �� ������� � �������� ��� ��� ���� �� ������� ������� ��� ������ �� ��������

 � ���� ��� �� ��������� ������� �� �� ������� ������� ��� ����������

����� ����� ����� ����� � � �

­� ���� ����� ����������

�� �� �� �� �� ��� ���� ����� � � �

����� �� �� ������� �� �� ��� � �� ���� ������� �� � ��� ���� �� ����� ������� � �� ������� �� � ��� �� �� ��� � �� � � ���� ������� �� � ����� ������������ �� ��� �� ������� ��   ���� � �� � ��� �� ������ ���� �������

��   ����� ����� ����� �� ������� ��  � �� ��� ��� ����� ����� ��� ��������������

����� �� �� ������ �� ������� �� � ������  � ����� ��� ����� ����� ������� ��������� �� ������� �� � ������  ���� ��� �� � �� ����� ���� ���� ��������� ­��  ���� ������� �� �� ��

��� �� �� �� �� ������� ����� �� � � � � � � � � �� �� �� �� ������� �� ���� �� �� ������� ����� ������ ������� ��� �� ������� �� �� ������� ��� ��� ������ ���� ������� �� �� ����� ��� �� �������� � ����� ���� �� ����

���� � ���� � ��� � �� � �

� � � ���� � � � ��� � � � �� � �� � ���� � �� � � ��� � �� � � �� � �� � �

� � � ��� � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � ��� � � � �� � � � � � �� � � � � � ��� � � ��� � � � �� � � � � � ���

����� ��� �� ������� �� �� � �� � � ��� ������� �� �� ����� �� �� ������� ���� � �� � � �� ������� �� �� ����� � �� ������� �� �� � �� � � � ������� ���� �� � � ��� � � � �� � � � � ���� ������� �� �� ����� �� �� ������� ��� � � ��� � � � �� � � � � � �� ���� ������� �� �� �� �� ­��  ������� ���� �� ��� ��� ������� � �� ������ �� ������� �� � � ������� �� � ��������������� ��� ��� ���� ��� �� �� �������� �� �� ������ ����� ��������

����� �� �� ������ �� ������� �� � ������ �� ����� ������� �� �� ��������� �� ������� �� � ������ �������� ��� ����� ������� ��� ������ ­��  ��   ��� ����� ������ ���� ������� ��  

��� ����� �� �� �� �� ���� � � � ����� ������� �� �� ���� �� � � � � � � � ��� �� �� ������� �� �� �� ����� �� ���� � � � ���� ���� �� ��� ��� ����� ������ �� ��� � ���� ������ ��� �� �� ��� ����� �� �� �� ���� � � � � � ���� ����� ��� ��� ���� ����� ����������� ����� �������

���������� �� ������ ������ ��� � �� ���� �� ������� �� ����� ��������� ��� ���� �� �� ������ �� ��� ������� ���� �� � �� ����� ��� ���� ���� ��� ���� ��� ��� �� ���� �������

���� ������� ����� �� ��� �� �� �� ���� ���� ���� ��� ���� ����� ��� �������� ���� �� ������� �� ������ ��� ���� ������ ��� � ��� ��� �� ������� �� ������ � ���� �� ��� ��� ����� �� � �� � �� �� ��� ����� ������ ���� ���� �� �� ������� �� �� ��� ����� �� ����� ��� ���� ��� ����� ��� ����� ������ �� ����

��

Page 12: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�� ���� ��� ����� ������ � ����� ������������� ���� �� ������� � ������� ��� ����� �����������

� ������� � ����� ����� ������ ����� ������������ � ����� �� ���������� ��� �� �������� ������� ��� ��� ���� ��� ��������� ��� �� �� ����� � � ��������� ��� ���  �� ��� ­� ������� �� � ����������� ���������� ������� ��� ��� �� ����� ������� �� ���� ������ �� ����� ��� �� ��� ��� � �� ��� ��� ���� ���� �� ���������� ��� �� ������ ������� �� ��� ������ ������ ��� �� ���� �� ��� ��� �������� ������� ������ ��� ������ ������� � ����� ���� �� ­� �������� � �� �� ��� �� ����� �� ��� ���� ��� �� �� �������� �� ����� �� ������ ������� ��� ������������ ���� �� ��� � ��� ������ �� ��������� ��� ��� ����� ����� �� ��� � ���� �� ��� �� ��������� ��� ��� ����� ���� ��� ��� �� ����� ������������ ��� �� �� ������� ������ �� �������� �� � ����� �� ��� �� � �����

����� �� ���� � ���� �� � �� ����� ��� �� ��� ����� ��� ����� ������ �������������� ���

�� �� ��� ����� ��� � ����� �� ��� � ��� �� ��� � �� �� �� ����� ��� ����� ������  ����� ��� ���� �� �� ��� �� ���� � ���� ������ � ������  ����� ��� �� �� ��� ��� ���� � ����� ����� � ������  ����� ��� �� � ������� �� ���� ������� ������ �� ��� ���������� ���� ��� �������� ���

�� �� �� � � �

���� �� ��� ����� ������� � ����� ������������� ������� ������ �� ������� ������� ���� �� ������� ��� ���� ���� �� � �� ���� ��� ������� �� ����� �� ­� ������� ���

�� ���� �� ������� ������� ��� � �� � ������� ������� �� �� �� �� ��� � � ��� �� �� �� ��� ��� ��� � � ��� �� �� ��� ��� ��� � � ��� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� � � �

� ���������� �� ��������

��� � ������� �� �� ������ ��� � �� ����������� ����� ��� �� ������� ���� ������� ���� ��� ��� ����� � �� � ��� �� �������� ����� ��� �� ��� �� ��� ��� ����� ������� � �� � ������� ����� ��� �� ��� �� ��� ��� �� ������� ��� ��� ���� ����� �� ���� �� ��� �� ������� ��� ��� ����� �� �� ��� ��� � ��� ����� �� �� �������� � ���� ��� ����� ��������� �� ��� � �� � ��� � ���� ���� �� �������

� � � ���������� �� �� �� �� � � �

����� ���� �� � �� � ��� ���� ���� �� � ����������� ��� �����  ����� ������ �� ���� ���� � ���� �� � � ��� �� ���� � �� � �� ������� ��� ��

� �� � ������ ��� ��� �� �������� ��� �������� �� �� �� � ���� �� �� ������� �� ������� ��� ��� �� ��� �� ��� � � � ���� �� �������� ��

��� � ��� � � � �� � �� � � � �� � ��� ���� ������ ���� ��������� �� ��� ���������� �� �������� ������

���� � �� � �� � ��� ���� ���� ��� � ����������� ��� �����  ����� � ������ � �� �� �� � �� ��� � �� �������� ���� ���� ������ ��� ��

�� ��� ���� �� ��­ �� ������� ��� ��� ����� ��� � �� � ��� ������ � ��� ����­ �� ��� � ��� � ���� ������ � ��� �� ��­ �� ���� ��� ������� ��� ��������

��� � ��� � ��� � �� � �� � �� � �� � �� � ������� �������� ��� � ����� ��������

���� �� �� �� �� � ��� ���� ���� ��� � ����������� ��� �����  ����� � ��������� ��� � �� � �� ������� ��� �� �� �� �� � ���� ��� ������� ��� ��

 ��������� ������ ��­ �� ��� �� ���� ���� ��� � ����  ��������� ��������­ �� ��� �� ��� ������� ��� ��� �����

��� � ���� ��� � �� � ��� �� � �� � �� � ����������� ��� � �������� ������

���� �� �� �� �� � ��� ������� ��� � ����������� ��� �����  ����� � �� ���������� � �� � �� ������� ��� �� �� �� �� � ���� ��� ������� ��� ��

 �� ������ � ��� ���� �� � ���� ���� ��� ��� ��� � �� ���� ������� �� � ���� ������� ������ ��� �������� �� ������ ��� ��� ������� ��� � ����� ����� ������� ��  ���� ��� � �������� ��� ������� �� ��� ��

���� � ��� � �� � ��

Page 13: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�� ���� ��� ����� ������ � ����� ������������� ���� �� ������� � ������� ��� ����� �����������

� ������� � ����� ����� ������ ����� ������������ � ����� �� ���������� ��� �� �������� ������� ��� ��� ���� ��� ��������� ��� �� �� ����� � � ��������� ��� ���  �� ��� ­� ������� �� � ����������� ���������� ������� ��� ��� �� ����� ������� �� ���� ������ �� ����� ��� �� ��� ��� � �� ��� ��� ���� ���� �� ���������� ��� �� ������ ������� �� ��� ������ ������ ��� �� ���� �� ��� ��� �������� ������� ������ ��� ������ ������� � ����� ���� �� ­� �������� � �� �� ��� �� ����� �� ��� ���� ��� �� �� �������� �� ����� �� ������ ������� ��� ������������ ���� �� ��� � ��� ������ �� ��������� ��� ��� ����� ����� �� ��� � ���� �� ��� �� ��������� ��� ��� ����� ���� ��� ��� �� ����� ������������ ��� �� �� ������� ������ �� �������� �� � ����� �� ��� �� � �����

����� �� ���� � ���� �� � �� ����� ��� �� ��� ����� ��� ����� ������ �������������� ���

�� �� ��� ����� ��� � ����� �� ��� � ��� �� ��� � �� �� �� ����� ��� ����� ������  ����� ��� ���� �� �� ��� �� ���� � ���� ������ � ������  ����� ��� �� �� ��� ��� ���� � ����� ����� � ������  ����� ��� �� � ������� �� ���� ������� ������ �� ��� ���������� ���� ��� �������� ���

�� �� �� � � �

���� �� ��� ����� ������� � ����� ������������� ������� ������ �� ������� ������� ���� �� ������� ��� ���� ���� �� � �� ���� ��� ������� �� ����� �� ­� ������� ���

�� ���� �� ������� ������� ��� � �� � ������� ������� �� �� �� �� ��� � � ��� �� �� �� ��� ��� ��� � � ��� �� �� ��� ��� ��� � � ��� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� � � �

� ���������� �� ��������

��� � ������� �� �� ������ ��� � �� ����������� ����� ��� �� ������� ���� ������� ���� ��� ��� ����� � �� � ��� �� �������� ����� ��� �� ��� �� ��� ��� ����� ������� � �� � ������� ����� ��� �� ��� �� ��� ��� �� ������� ��� ��� ���� ����� �� ���� �� ��� �� ������� ��� ��� ����� �� �� ��� ��� � ��� ����� �� �� �������� � ���� ��� ����� ��������� �� ��� � �� � ��� � ���� ���� �� �������

� � � ���������� �� �� �� �� � � �

����� ���� �� � �� � ��� ���� ���� �� � ����������� ��� �����  ����� ������ �� ���� ���� � ���� �� � � ��� �� ���� � �� � �� ������� ��� ��

� �� � ������ ��� ��� �� �������� ��� �������� �� �� �� � ���� �� �� ������� �� ������� ��� ��� �� ��� �� ��� � � � ���� �� �������� ��

��� � ��� � � � �� � �� � � � �� � ��� ���� ������ ���� ��������� �� ��� ���������� �� �������� ������

���� � �� � �� � ��� ���� ���� ��� � ����������� ��� �����  ����� � ������ � �� �� �� � �� ��� � �� �������� ���� ���� ������ ��� ��

�� ��� ���� �� ��­ �� ������� ��� ��� ����� ��� � �� � ��� ������ � ��� ����­ �� ��� � ��� � ���� ������ � ��� �� ��­ �� ���� ��� ������� ��� ��������

��� � ��� � ��� � �� � �� � �� � �� � �� � ������� �������� ��� � ����� ��������

���� �� �� �� �� � ��� ���� ���� ��� � ����������� ��� �����  ����� � ��������� ��� � �� � �� ������� ��� �� �� �� �� � ���� ��� ������� ��� ��

 ��������� ������ ��­ �� ��� �� ���� ���� ��� � ����  ��������� ��������­ �� ��� �� ��� ������� ��� ��� �����

��� � ���� ��� � �� � ��� �� � �� � �� � ����������� ��� � �������� ������

���� �� �� �� �� � ��� ������� ��� � ����������� ��� �����  ����� � �� ���������� � �� � �� ������� ��� �� �� �� �� � ���� ��� ������� ��� ��

 �� ������ � ��� ���� �� � ���� ���� ��� ��� ��� � �� ���� ������� �� � ���� ������� ������ ��� �������� �� ������ ��� ��� ������� ��� � ����� ����� ������� ��  ���� ��� � �������� ��� ������� �� ��� ��

���� � ��� � �� � ��

Page 14: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

��� ����� ��� ��

�� ��

�� � � ��

�������� �� ����������� ��� � ���� ��� �� ��

�� � � � � � � � � � �� ��

����� �� �� ��� �������

�� � �� ��� �� � ��� �� � � � �� � � � � ��

������� ��� �� ��

��� � ��� �� � ��� �� � � � �� ��� ��

�� ��

�� ��� �� �

�� �� �� �� ������� �� ��� ����� ����� �� ���� ���� � ������ �� ������������

���������� ���� �� ��� ����� ������� � ��� �� ����� ������������� �� �� ��� ��� ��� ��� � � ��� �� �� �� ��� ��� ��� � � ��� �� �� �� �� ��� ��� � � ��� �� �� ��� ��� ���� � � �

�� ���� ��������� ������� ��� ���� ����������� ��� ������� ��

�� ������ �� �������� �������� �� �� �� �� �� �� � � ��� ����� ��� �� ��� ����� ������� � ������ �� ����������� ������� ������ �� �������� � �������� ��� ��� ���� �� ������� ������� ��� ������ �� ���������

�� ������ �� ������� �������� �� �� �� �� �� ��� � � ��� ����� ��� �� ��� ����� ������� � ������ �� ���������� ������� ������ �� ������� � �������� ��� ��� ���� �� ������� ������� ��� ������ �� ��������

 � ���� ��� �� ��������� ������� �� �� ������� ������� ��� ����������

����� ����� ����� ����� � � �

­� ���� ����� ����������

�� �� �� �� �� ��� ���� ����� � � �

����� �� �� ������� �� �� ��� � �� ���� ������� �� � ��� ���� �� ����� ������� � �� ������� �� � ��� �� �� ��� � �� � � ���� ������� �� � ����� ������������ �� ��� �� ������� ��   ���� � �� � ��� �� ������ ���� �������

��   ����� ����� ����� �� ������� ��  � �� ��� ��� ����� ����� ��� ��������������

����� �� �� ������ �� ������� �� � ������  � ����� ��� ����� ����� ������� ��������� �� ������� �� � ������  ���� ��� �� � �� ����� ���� ���� ��������� ­��  ���� ������� �� �� ��

��� �� �� �� �� ������� ����� �� � � � � � � � � �� �� �� �� ������� �� ���� �� �� ������� ����� ������ ������� ��� �� ������� �� �� ������� ��� ��� ������ ���� ������� �� �� ����� ��� �� �������� � ����� ���� �� ����

���� � ���� � ��� � �� � �

� � � ���� � � � ��� � � � �� � �� � ���� � �� � � ��� � �� � � �� � �� � �

� � � ��� � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � ��� � � � �� � � � � � �� � � � � � ��� � � ��� � � � �� � � � � � ���

����� ��� �� ������� �� �� � �� � � ��� ������� �� �� ����� �� �� ������� ���� � �� � � �� ������� �� �� ����� � �� ������� �� �� � �� � � � ������� ���� �� � � ��� � � � �� � � � � ���� ������� �� �� ����� �� �� ������� ��� � � ��� � � � �� � � � � � �� ���� ������� �� �� �� �� ­��  ������� ���� �� ��� ��� ������� � �� ������ �� ������� �� � � ������� �� � ��������������� ��� ��� ���� ��� �� �� �������� �� �� ������ ����� ��������

����� �� �� ������ �� ������� �� � ������ �� ����� ������� �� �� ��������� �� ������� �� � ������ �������� ��� ����� ������� ��� ������ ­��  ��   ��� ����� ������ ���� ������� ��  

��� ����� �� �� �� �� ���� � � � ����� ������� �� �� ���� �� � � � � � � � ��� �� �� ������� �� �� �� ����� �� ���� � � � ���� ���� �� ��� ��� ����� ������ �� ��� � ���� ������ ��� �� �� ��� ����� �� �� �� ���� � � � � � ���� ����� ��� ��� ���� ����� ����������� ����� �������

���������� �� ������ ������ ��� � �� ���� �� ������� �� ����� ��������� ��� ���� �� �� ������ �� ��� ������� ���� �� � �� ����� ��� ���� ���� ��� ���� ��� ��� �� ���� �������

���� ������� ����� �� ��� �� �� �� ���� ���� ���� ��� ���� ����� ��� �������� ���� �� ������� �� ������ ��� ���� ������ ��� � ��� ��� �� ������� �� ������ � ���� �� ��� ��� ����� �� � �� � �� �� ��� ����� ������ ���� ���� �� �� ������� �� �� ��� ����� �� ����� ��� ���� ��� ����� ��� ����� ������ �� ����

��

Page 15: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�� ������� �� �� �� �� � ���� ��������� ������ ���� ���� ��� �� ������ �� ���� ��� �� ���� �� ���� ��������� ��� ���� ������ ��� ���� �� ������� �� ���� �� � ���� ��������� ������ ���� ���� ��� �� ������ �� �� �� ��� �� ������ ���� ��������� �������� �� ���� ��� �� ���� �� ���� ���� � �������� �������� ��� � ���� ���� �� ���� �������� � �� ����

� � � � � � � � ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���

����������� ��� � � � ��� �  ­��� �� � � � ��� � �� � ����� ���� �� ������� ��� �� �� �� ����������� � ����� ���� �� ������ ���� �� � �� ����� �� ���� � �� �� � �� ����� �� ��� �� �������� � ��� �� � ����� ������ �� ���� ��� �� �� ����� ���� � ������ ��� ���� �� ���������

���������� ������ �� ����� �� ���� ������� �� ��� ����� ������� �� �� ������ �� � �� �� �� ����� � �� �� �� ��� ��� � � � � ��� ��� � � �� � �� ������ �� � � � ��� ��� � �

�� ������ �� ���� ������ �� ������� �� ��� �� �� � ����� � ��� � ����� ���������

�� ���� �� ��� �� ���� � ���� �� ���� � ����

�� ������ �� ������ ����� �� ������ �� � ����� ��� ������ �� ���� ������� ��� �� �� �� �� ��� ��� ����� �� �� ��� ����� �� ��� ��

����� � ��� � ��� � ������� ���� ��� � �������� � ����� �� �� �� ������� �� ������ �� � ����� ���

�� ������ �� ���� ������ �� ��������� ���� ����� ����������� ��� ��� ��� �� ��� �� ��� � ��� �� ��� � ���

�� �� ������� ������ ��� �� � ���� � ������� �� ���� ���������

� � � � � � � � ��� � � � � � � � ��� � � � � � � � ��� � � � � � � � ��

��

��� �� ����� �� ������ ��� � ����� ��� �� ��� �� � ������

�������� ������ �����­ � ��� �� �� ������� �� ��� ��� � ����� ��� ������� � � ���� ��� ����� �� ���� ��� �� ������� ����� �� �� ���� ������� ��� ����� �� ��� �� ��� �������� ��� � ��� �� ��� ��� � ����� � ���� ����� ��� �� ������� ��� ��� ����� ����� �� ��� ����� �� �� � � �� ������� � � ����� ���� ��� �� ��� � �� �� ���� �� ��� ������� ����� ������������ �� �������� �� ���������� �� ��� ����� �� ���� ��� �������� �� ��� �� ���� ��� ������ ����������

��� ��� �� �������� � ��� ���� � �� �� ������� ��� �� ��������� �� �� ������ �� ����������� ��� � � �� ������� ������� ��� �� �� �� �� �������� �� ����� ��� �� � ������ ����� �� ������� ������������� ���������� � � �������� � ������� �� �� � �� ��� ������� ����������� ����� ��� �� �� ­�� ��� ��� ��� �� ��� � ���� ������������ ���� ���� ��� ��� ���­� �� �� ����� ���� ������� �� � �� ���� �� �� ��� ������­� ��� ����� ����� ������� �� �� ������� ������� �� �� ���� �� �� �� ������� ��� ������� �� �� ���� ���� �� �� ���������� ��� ����� �� �������������� �� ��� ��� ��� �� ������ �� ��������� ������������� �� ����������� ��� �� ������ ������ �� ���� ��� ���� �­������� ��

�� ��� �� ���� �� �� �� ��� �� ����� ������� ����� ����������� ���������� ��� � �� � ����� ����� ��� ���� � ����� �� ��� ������� ��� ��������� �� �������� �� ����� ���������� � � ������ �������� �� ������������� ��

� � � � ��� � � ���� � � ��� ��� �������� � ���� ��

��� ������� � � ������ �� ����� ����� ����������� � ��� �� ��� ����� ������ ���� �� ����� ����

���� � ������ � ������� �� ����� � ������ ������ ����� ��������� ���� ����� �� ��� ���������� ���� �� ����������� ���� �� ������� �� �� ������� �� �� ��������������������� ���� ��� ���� � � ��� �� ������ ����� � �� ������� ����� �� �­������ ��� ��� ������� ������ ��� �������� �������

���� �������� ��� �� �� �� �������� �� ���� � �� �� ���� ���­���� �� �­�������

��������� ���������� �� � ���� � ������ � ������ �� �� �� ���� ���� �� ��­� �� ������ �� �� �� �� � ��� �� �� �������� �� �� ��� � ��� �� �� �������� �� � ��� �� ��� �� ������� �� ������������� �� � �� � �� ���� �� �� � ���������� ���� �� ���� ��� ��� ����� ����� �� �������� ���������� �� �� ����� ������ �� �� ������ � �� ������������ � ��� �� ��� � �� �� ����� ��� ��� �� ���� �� �� �� � ��� �� ��� �� ��� ��� ���� �

��� �� ��� �� ��� �� ������� �� ������� ������ �� ��� � �� ���� ��� ������� �� ���� �

�� � ��� �� �� ������� �� �� ��

��

Page 16: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�� ���� �� ������� ��� ����� ���� ��� ��� � ��� �� ����� �� ��� ��� � � �������

�� ��� �� �������� �������� ���� ��� ���� ��� ����� ������� ��� ����� ���� ��� ��� � ���� �� ���� �� ��� � � �������� ����� �� ��������� � �������� ���� �� �� �� ��� ������� �� ���� ��� �

��

� �������

����������� ����� � ������ � � �� � � � �� � ���� ��������� �� ����� �� ������� ���� ��  ������� ���  ­�� ��� ��������� ������� ����� �������������� � ��� �� �� ��� �� � � ���� ��� ��� � �������� ��� ��� ������� ������� �� ����������� ����� ������ �� ��������� ����������� � ����������� ��������������� �� ��� ���� ��� ��� �� ��� � �� ������ ��� �������������� �� ������������ ��� � � ��� ������ ��� �� ����� ��� � ��� ����� ��� ����� ���� �������� �� ����� �� �������� �� �� �� � ����� �� ��������������� ��� ��� ��� ����� � � ��� � ������� �� �� �� ��� �� ���� ��� �� ���� ����� �� ����� � �� �� ��� � �� �������� � ������ � �� ����� ����� ������������������ ��� ��� ��� ���� �������� ���� ���������� ���� ��� ���� ������ ��� ����� ����� ������ � �� ����� � ��� ����� ��������� �� � �������� ��� ��� ���� �������� � ���������� ����  �� �� ��� �� �� �� �������� � ���� ����� �� �� � ���� �������

��������� �� ��� �� �� ������ � ���� � �� �� ���� �� ��� �������� ������������� ����� �������� ���� � ��������� � ���� ���� ����� ��� ��� �����

� ������ � �������� � � � � ����� �� ������ ��� � �� ������ ��� ��� ����� ����� � � �� � � �� ����� ��� � ��� � � ����� � � ��������� �� ���������� � ���� ����� � � �� ����� � ���� �� ��� ��� ���� ��� ��� ����� ����� ���� � ��� ���� ��� �� ����� ���� ��� ��������� �� ������� ������ � ���� ����� � ���� �� ��� ��� ���� ��� ��� ���� �� ��� ���� ���� � �� �����

����� � �� ������� �� ��� ��� ����� �������� �������� ���� ��������� ������ �������� � �� ���� � ���� � � �� ������� �� ��� ����� ��� � �� ���� ���� � �� �� ����� �� � ���� ����� ��������� ���

�� � �� � ����

����� ��� ��������� ������ �� � ����� �� ������� �� �� ��� ���� �������� �������� �� � ������ ����� ����� � ������ ������ �� � ������� ����� �� ����������� � � ����� �������� �� � � ��� � ��������� �� ���� ������ �� � ������� ��� �� �� �� ��� � ����� ��� � ���� �������� �� �� �� ����������� ���� ������ � ����� ��� � �� ������� ����� � ��� � ���������� �� ����� ��� ��� ���� � �� ���� �� �����

�� ���� ����������� � �  ����� � �� �� ��������� � ����� � ��� ��� ���� � � ����� ��� ��� ������ � ����� �������� ���� ���� ��� � ������ �� ���� ����� ������ �� ����� ����� ��� � ��� ��� �� � ���� ���������

�� � �� � ��

����� ����� �� ���� �������� ����� ��� ��������� ������ ��� �� ���� � �������� �� ������� �� ��� ����� ��� ��� � ��� �� ���� � �� �������� �����

�� ��� �� ���� �� �� �����

��

Page 17: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�� ���� �� ������� ��� ����� ���� ��� ��� � ��� �� ����� �� ��� ��� � � �������

�� ��� �� �������� �������� ���� ��� ���� ��� ����� ������� ��� ����� ���� ��� ��� � ���� �� ���� �� ��� � � �������� ����� �� ��������� � �������� ���� �� �� �� ��� ������� �� ���� ��� �

��

� �������

����������� ����� � ������ � � �� � � � �� � ���� ��������� �� ����� �� ������� ���� ��  ������� ���  ­�� ��� ��������� ������� ����� �������������� � ��� �� �� ��� �� � � ���� ��� ��� � �������� ��� ��� ������� ������� �� ����������� ����� ������ �� ��������� ����������� � ����������� ��������������� �� ��� ���� ��� ��� �� ��� � �� ������ ��� �������������� �� ������������ ��� � � ��� ������ ��� �� ����� ��� � ��� ����� ��� ����� ���� �������� �� ����� �� �������� �� �� �� � ����� �� ��������������� ��� ��� ��� ����� � � ��� � ������� �� �� �� ��� �� ���� ��� �� ���� ����� �� ����� � �� �� ��� � �� �������� � ������ � �� ����� ����� ������������������ ��� ��� ��� ���� �������� ���� ���������� ���� ��� ���� ������ ��� ����� ����� ������ � �� ����� � ��� ����� ��������� �� � �������� ��� ��� ���� �������� � ���������� ����  �� �� ��� �� �� �� �������� � ���� ����� �� �� � ���� �������

��������� �� ��� �� �� ������ � ���� � �� �� ���� �� ��� �������� ������������� ����� �������� ���� � ��������� � ���� ���� ����� ��� ��� �����

� ������ � �������� � � � � ����� �� ������ ��� � �� ������ ��� ��� ����� ����� � � �� � � �� ����� ��� � ��� � � ����� � � ��������� �� ���������� � ���� ����� � � �� ����� � ���� �� ��� ��� ���� ��� ��� ����� ����� ���� � ��� ���� ��� �� ����� ���� ��� ��������� �� ������� ������ � ���� ����� � ���� �� ��� ��� ���� ��� ��� ���� �� ��� ���� ���� � �� �����

����� � �� ������� �� ��� ��� ����� �������� �������� ���� ��������� ������ �������� � �� ���� � ���� � � �� ������� �� ��� ����� ��� � �� ���� ���� � �� �� ����� �� � ���� ����� ��������� ���

�� � �� � ����

����� ��� ��������� ������ �� � ����� �� ������� �� �� ��� ���� �������� �������� �� � ������ ����� ����� � ������ ������ �� � ������� ����� �� ����������� � � ����� �������� �� � � ��� � ��������� �� ���� ������ �� � ������� ��� �� �� �� ��� � ����� ��� � ���� �������� �� �� �� ����������� ���� ������ � ����� ��� � �� ������� ����� � ��� � ���������� �� ����� ��� ��� ���� � �� ���� �� �����

�� ���� ����������� � �  ����� � �� �� ��������� � ����� � ��� ��� ���� � � ����� ��� ��� ������ � ����� �������� ���� ���� ��� � ������ �� ���� ����� ������ �� ����� ����� ��� � ��� ��� �� � ���� ���������

�� � �� � ��

����� ����� �� ���� �������� ����� ��� ��������� ������ ��� �� ���� � �������� �� ������� �� ��� ����� ��� ��� � ��� �� ���� � �� �������� �����

�� ��� �� ���� �� �� �����

��

Page 18: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�� ������� �� �� �� �� � ���� ��������� ������ ���� ���� ��� �� ������ �� ���� ��� �� ���� �� ���� ��������� ��� ���� ������ ��� ���� �� ������� �� ���� �� � ���� ��������� ������ ���� ���� ��� �� ������ �� �� �� ��� �� ������ ���� ��������� �������� �� ���� ��� �� ���� �� ���� ���� � �������� �������� ��� � ���� ���� �� ���� �������� � �� ����

� � � � � � � � ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���

����������� ��� � � � ��� �  ­��� �� � � � ��� � �� � ����� ���� �� ������� ��� �� �� �� ����������� � ����� ���� �� ������ ���� �� � �� ����� �� ���� � �� �� � �� ����� �� ��� �� �������� � ��� �� � ����� ������ �� ���� ��� �� �� ����� ���� � ������ ��� ���� �� ���������

���������� ������ �� ����� �� ���� ������� �� ��� ����� ������� �� �� ������ �� � �� �� �� ����� � �� �� �� ��� ��� � � � � ��� ��� � � �� � �� ������ �� � � � ��� ��� � �

�� ������ �� ���� ������ �� ������� �� ��� �� �� � ����� � ��� � ����� ���������

�� ���� �� ��� �� ���� � ���� �� ���� � ����

�� ������ �� ������ ����� �� ������ �� � ����� ��� ������ �� ���� ������� ��� �� �� �� �� ��� ��� ����� �� �� ��� ����� �� ��� ��

����� � ��� � ��� � ������� ���� ��� � �������� � ����� �� �� �� ������� �� ������ �� � ����� ���

�� ������ �� ���� ������ �� ��������� ���� ����� ����������� ��� ��� ��� �� ��� �� ��� � ��� �� ��� � ���

�� �� ������� ������ ��� �� � ���� � ������� �� ���� ���������

� � � � � � � � ��� � � � � � � � ��� � � � � � � � ��� � � � � � � � ��

��

��� �� ����� �� ������ ��� � ����� ��� �� ��� �� � ������

�������� ������ �����­ � ��� �� �� ������� �� ��� ��� � ����� ��� ������� � � ���� ��� ����� �� ���� ��� �� ������� ����� �� �� ���� ������� ��� ����� �� ��� �� ��� �������� ��� � ��� �� ��� ��� � ����� � ���� ����� ��� �� ������� ��� ��� ����� ����� �� ��� ����� �� �� � � �� ������� � � ����� ���� ��� �� ��� � �� �� ���� �� ��� ������� ����� ������������ �� �������� �� ���������� �� ��� ����� �� ���� ��� �������� �� ��� �� ���� ��� ������ ����������

��� ��� �� �������� � ��� ���� � �� �� ������� ��� �� ��������� �� �� ������ �� ����������� ��� � � �� ������� ������� ��� �� �� �� �� �������� �� ����� ��� �� � ������ ����� �� ������� ������������� ���������� � � �������� � ������� �� �� � �� ��� ������� ����������� ����� ��� �� �� ­�� ��� ��� ��� �� ��� � ���� ������������ ���� ���� ��� ��� ���­� �� �� ����� ���� ������� �� � �� ���� �� �� ��� ������­� ��� ����� ����� ������� �� �� ������� ������� �� �� ���� �� �� �� ������� ��� ������� �� �� ���� ���� �� �� ���������� ��� ����� �� �������������� �� ��� ��� ��� �� ������ �� ��������� ������������� �� ����������� ��� �� ������ ������ �� ���� ��� ���� �­������� ��

�� ��� �� ���� �� �� �� ��� �� ����� ������� ����� ����������� ���������� ��� � �� � ����� ����� ��� ���� � ����� �� ��� ������� ��� ��������� �� �������� �� ����� ���������� � � ������ �������� �� ������������� ��

� � � � ��� � � ���� � � ��� ��� �������� � ���� ��

��� ������� � � ������ �� ����� ����� ����������� � ��� �� ��� ����� ������ ���� �� ����� ����

���� � ������ � ������� �� ����� � ������ ������ ����� ��������� ���� ����� �� ��� ���������� ���� �� ����������� ���� �� ������� �� �� ������� �� �� ��������������������� ���� ��� ���� � � ��� �� ������ ����� � �� ������� ����� �� �­������ ��� ��� ������� ������ ��� �������� �������

���� �������� ��� �� �� �� �������� �� ���� � �� �� ���� ���­���� �� �­�������

��������� ���������� �� � ���� � ������ � ������ �� �� �� ���� ���� �� ��­� �� ������ �� �� �� �� � ��� �� �� �������� �� �� ��� � ��� �� �� �������� �� � ��� �� ��� �� ������� �� ������������� �� � �� � �� ���� �� �� � ���������� ���� �� ���� ��� ��� ����� ����� �� �������� ���������� �� �� ����� ������ �� �� ������ � �� ������������ � ��� �� ��� � �� �� ����� ��� ��� �� ���� �� �� �� � ��� �� ��� �� ��� ��� ���� �

��� �� ��� �� ��� �� ������� �� ������� ������ �� ��� � �� ���� ��� ������� �� ���� �

�� � ��� �� �� ������� �� �� ��

��

Page 19: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�� ������� �� �� �� �� � ���� ��������� ������ ���� ���� ��� �� ������ �� ���� ��� �� ���� �� ���� ��������� ��� ���� ������ ��� ���� �� ������� �� ���� �� � ���� ��������� ������ ���� ���� ��� �� ������ �� �� �� ��� �� ������ ���� ��������� �������� �� ���� ��� �� ���� �� ���� ���� � �������� �������� ��� � ���� ���� �� ���� �������� � �� ����

� � � � � � � � ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� �� �� �� ���

����������� ��� � � � ��� �  ­��� �� � � � ��� � �� � ����� ���� �� ������� ��� �� �� �� ����������� � ����� ���� �� ������ ���� �� � �� ����� �� ���� � �� �� � �� ����� �� ��� �� �������� � ��� �� � ����� ������ �� ���� ��� �� �� ����� ���� � ������ ��� ���� �� ���������

���������� ������ �� ����� �� ���� ������� �� ��� ����� ������� �� �� ������ �� � �� �� �� ����� � �� �� �� ��� ��� � � � � ��� ��� � � �� � �� ������ �� � � � ��� ��� � �

�� ������ �� ���� ������ �� ������� �� ��� �� �� � ����� � ��� � ����� ���������

�� ���� �� ��� �� ���� � ���� �� ���� � ����

�� ������ �� ������ ����� �� ������ �� � ����� ��� ������ �� ���� ������� ��� �� �� �� �� ��� ��� ����� �� �� ��� ����� �� ��� ��

����� � ��� � ��� � ������� ���� ��� � �������� � ����� �� �� �� ������� �� ������ �� � ����� ���

�� ������ �� ���� ������ �� ��������� ���� ����� ����������� ��� ��� ��� �� ��� �� ��� � ��� �� ��� � ���

�� �� ������� ������ ��� �� � ���� � ������� �� ���� ���������

� � � � � � � � ��� � � � � � � � ��� � � � � � � � ��� � � � � � � � ��

��

��� �� ����� �� ������ ��� � ����� ��� �� ��� �� � ������

�������� ������ �����­ � ��� �� �� ������� �� ��� ��� � ����� ��� ������� � � ���� ��� ����� �� ���� ��� �� ������� ����� �� �� ���� ������� ��� ����� �� ��� �� ��� �������� ��� � ��� �� ��� ��� � ����� � ���� ����� ��� �� ������� ��� ��� ����� ����� �� ��� ����� �� �� � � �� ������� � � ����� ���� ��� �� ��� � �� �� ���� �� ��� ������� ����� ������������ �� �������� �� ���������� �� ��� ����� �� ���� ��� �������� �� ��� �� ���� ��� ������ ����������

��� ��� �� �������� � ��� ���� � �� �� ������� ��� �� ��������� �� �� ������ �� ����������� ��� � � �� ������� ������� ��� �� �� �� �� �������� �� ����� ��� �� � ������ ����� �� ������� ������������� ���������� � � �������� � ������� �� �� � �� ��� ������� ����������� ����� ��� �� �� ­�� ��� ��� ��� �� ��� � ���� ������������ ���� ���� ��� ��� ���­� �� �� ����� ���� ������� �� � �� ���� �� �� ��� ������­� ��� ����� ����� ������� �� �� ������� ������� �� �� ���� �� �� �� ������� ��� ������� �� �� ���� ���� �� �� ���������� ��� ����� �� �������������� �� ��� ��� ��� �� ������ �� ��������� ������������� �� ����������� ��� �� ������ ������ �� ���� ��� ���� �­������� ��

�� ��� �� ���� �� �� �� ��� �� ����� ������� ����� ����������� ���������� ��� � �� � ����� ����� ��� ���� � ����� �� ��� ������� ��� ��������� �� �������� �� ����� ���������� � � ������ �������� �� ������������� ��

� � � � ��� � � ���� � � ��� ��� �������� � ���� ��

��� ������� � � ������ �� ����� ����� ����������� � ��� �� ��� ����� ������ ���� �� ����� ����

���� � ������ � ������� �� ����� � ������ ������ ����� ��������� ���� ����� �� ��� ���������� ���� �� ����������� ���� �� ������� �� �� ������� �� �� ��������������������� ���� ��� ���� � � ��� �� ������ ����� � �� ������� ����� �� �­������ ��� ��� ������� ������ ��� �������� �������

���� �������� ��� �� �� �� �������� �� ���� � �� �� ���� ���­���� �� �­�������

��������� ���������� �� � ���� � ������ � ������ �� �� �� ���� ���� �� ��­� �� ������ �� �� �� �� � ��� �� �� �������� �� �� ��� � ��� �� �� �������� �� � ��� �� ��� �� ������� �� ������������� �� � �� � �� ���� �� �� � ���������� ���� �� ���� ��� ��� ����� ����� �� �������� ���������� �� �� ����� ������ �� �� ������ � �� ������������ � ��� �� ��� � �� �� ����� ��� ��� �� ���� �� �� �� � ��� �� ��� �� ��� ��� ���� �

��� �� ��� �� ��� �� ������� �� ������� ������ �� ��� � �� ���� ��� ������� �� ���� �

�� � ��� �� �� ������� �� �� ��

��

������ �

���� �� ����� ��� ����� ���� �� ��� �� ���� � ��� ��� ���� �����

���� ����� ��� �� ��� ��� ���������

���

��� �

��

��� �

��

�� ���� � ��

����� ��������� ��� �� �� � �� �������� ���� ��� � ������ �� �� �� �� ����� ���� �� ������ ������� ��� ��� ��

��� ��� � ���� ��� � �� � ���� � ������ ��� �� ������ ��� ����� � �� ��

��� �� � ���� � ������ ������� �� ��� �� ����� ���� � �� ��

�� � ���� � ������ �� ���������� ��� �� ��

�� � �� � �������� ���� ����� �� �� � �� ����� ���� � ��� ��

� ��� � ����

�� �����

�� ������ �� ����� ��������� �� ��� � � � ����� ��� �� ����� �� ����� ������ ����� ������� � �� ������ �� ��� �� ����� ������ ��� �� �� ������� ������ ������ ����� ������� �� ������ � ����� ������� �� ��� ������ ���� ����� ��������� ���� �� ��� ������ ����� �� ��� ����� ���� �� �� ���������� ����� �� ��� ����� � �� ��� ������� ������ �� ��� ���� �� � ����� ������� ������ � �� �� �� ����������� � ����� ����� ��� ��� ����� � �� ����� ���� �� ��� �� ���� �� ��

��� ������� ���� ����� ����� ������ ��� �� ������  ��� ��� ����� ���� ���� �� � ����� ��� ����� ���� � � � ����� ��� ������ ����� ���� � ������ ����� ����� �� ������ ��� ��� ���� ��� ��� ��� ���� ����� ������������������ ������

­���� � �� �� � ���� �� ��������� �� ��� �� � ���� ��� ������� �� ��������� ���� ���������� ��� ��������� �� �� ����� ��� ���������� �� ���������� ­��� ���� ��

�� � ���� � ���� � ���� ��� � ������� ��������� ��������� ��� � ������ �� � ����� ����� ���������� �� �������� ��� ��� � � ���� ��������� �� ������ ��� ���������� �� ���������� ��� �� �� ������� ��� ������ ������� ������������ ��� ���� �� ���� �� ������������ ����� ������� ��� �� ���� � �������� � ����� �� � ��� �������� ������ ­� �� ��� ��� �������� �� ���������� �� ��������� ��� �� �� ����

��

�� � �� ���� �� ������� �� �� �� ��� �� � ��� ��� ������ �� ������ ��� � �� � �� ����� ��� ��� � ��� ������ � ��� �� � � � � �� ��� ������������� ��� �� ��� ��� � �� �� � �� �� ����� ����� �� �� ���� �� �� ������ �������� �� � � �� ������ ����� ��� �� � � ��� �� � �� ����� ������ �������� � � ���� � �� �������� ������� ��

�� � �� �

��� ���� � �

�� �� ������� ��� � ���� �� ����� ����� �� �� ����� ����� ��� ��

�� � �� ����� � �

��� � � ��� �� ������ � ��� ����� ���� �� ����� ���������

� � ��� � �� ������ � �

�� � ����� � �� ����� � �

� ���� � �

�� ����� �� � ���� � �� �������� ������� ��

� ���� � �

�� �� ������� ��� � ���� ���� �� � �� ��� � � ���� ��� ����� �� � �� ��

� � �� � ����� � � � ����� � �� � �� � ����� � � � �

��� ��� � ���� �� � � ���� �� ��� �� � ������ ��� � �� � �� �� �� ��� � ���� ������� �� ��� � � ��

� � ���� � �� �

�������� ������� ���� ���� � �� ��

������������ ������ � ���� �� ������ ���� ���� �� ��� �� �� �������� � �� �� ��� ����� �� ��� �� �� ���� � ��� �� �� � �� ��� ������ �����

� ��

��

��� �� �� ���� �� � � ��� ���� ����� ������ ����� �� ����� � ���� �� ������ ����� �� �� ���� �� ��� ��� � � ���� �� ���� ������� ��� �� ���� ������ ��� ���� �������� ��� �� �� ������� ��� � ���� ���� ����� �� ��� ���� �������� ��� �������� ����� ����� � ���� � �� ����� ��� ��� ���� ����� � ���� ������ �� ����� ����� ��� �� ����� ��������� �������

��

Page 20: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

����� �������� ����������� ���� ��� ����������� �� �� ���� ��������� ����������������� ��������� ����� �������� ��� ��� �� ��������� �� ����������� ���� ���� ��� ��� �� ������� �� �� ��� �� ���� ����� ����������� �������������� � ������ ������������ ��������� ��� ������� ������ �� ����� � ���� ����� ��� ������� ������������� ��������� ������ ���� ��������� �� ���� ��� ����� ��������������������� �� ����� �� �� ��� ���� ����� ����� ���� ����������� ������ �� ������������� ������������������� �� ����������� ��������� ����������������������� ������ ���� ��� � ���� ������������ � ���� ��������� �� ����� ����� �� ���

�� ��� �� �������� �� �� ������������������

�� � ��� � ��� � ���� � ��� �� � ��

��� ������ � ���� �� ������ ��� � ����� ���� �� ������ ��� ���� ��������� ����� ����� ����� ����� �������� ��� ­���� � �������� ����� �������������������� ��� �� ������� ����� �� ��� ���� � ���������� ��� ��������� �������� ���� ��� ���� ����� ��� �� �� ��������������� ��� ����� ���� �� ������������� �� ��� ����� ��� �������������������� ��� ��� ����� ��� ����� ���������������������� ��� ����� ������ � �� ������������ ��� ���� ������������ ������������ �� ���� �� ������������ ��������� � ���� �� ����� ���������������� ������ � �� ����� �� ������������������� ���� �� �������� ��� �� ��� ��������� ����������� � �� ���� ���� �� �� ����������� ����� ��� ����� �� ��� �������� � ���� �� ���������� ��� ��������� �� �������������������� ��� ��� �� ���� ����� �� �� ��������� ����� ������ �� � ����� ���� ��� �� ��������������������� ���� �� ���� �� ��������� �� ������������������� ���� ����� �������� ��� ������������� �� � �� ���� ���� �� � �� ���� �������� ��� ���� ���� ��������� ������

����� ��� ����� ������ ������ ��� � ������ ��� �� ����� �������� � ���� �������������� ��� ���� �� ��� � ����� ��� �� ����� ��� ����� ��� ��� � ������������� ��� ����������

��� ���������� ��� ����������������� �� ��

���� �� ������ ��� ��� ����� �� ��� ��� ���������� �� ���� ������ ��� � �� ������� ���������� ���������������� �� ���� ��� ��� ��������������� ������� �������� �������������� �� ������� �� ��������

�� ���� ������ �� �� ��������������� �� ��� �� ���� ��� ��� ��������� �� �� ����� �� �� ������� � ������� ��� �������� �� � � � � � � �� ����� ����� �� ��� �� ������ � ��� ­� �� ��� �� ��� ����� ��� ��� �� ������ ­ ��� ������������� �� �� ������� �� ���� ��� ����� ���� �� �� ����� �� �� ���������� ���������� ��������� �� � � � � � � �� ������ �� � ��� � ��� �� ��� �������� ��� �� ������ � ��� �� ����� ����� ��� ��������� �� �� ��

�� � � �� � �� �� � ��

��� ���� ���� � �� ��

�­

������ �� ��������� �� ��� �� � �� ��� ��� ������ ����� �������������� ���� �� ������� ��� �� �� ����������� �� ���� � �� � �� � ����� ��� ������ ��� �� ������� ������ �� � �� � ��� �� �� ��� �� ��� ����� ��� ��� �� �������� ��� ������ �� � �� �� �� ����� ���� �� ��� �������� � � �� � �� � �� � �� � ����� ���� �� ��� �� ������ � ��� ��������� �� � �� �� �� ��� �� ��� ����� ������ �� ������ ��������� �� � �� � ��� �� �������� �� �� ��

�� ��� �� � ��� �� � � �� � ���� � ���� �

��� ���� ���� �� �� ��

��������� �� �� �� �� �� ���� �� ��� ������������ �� ���� ��� �� ������ � ������ ���������� �� ������ ��� ���� ���� � ������� ���� ��� ��������� �� � ��� �� �� ������������ � ���   �� � ��� � �� ������ ����� �����������

� �� � �� � � � � � � � � � ���

� ���������� ���� �� ������ ��� �� ����� ���� ������ �� ���� ����� ������ � ���������� ��� ������ ���������� �� ����� �������� �� �� ��

� ��� �� � ��� ��

��� ��� ���������� ���� �� �� �� �� ��� �� ����� �� ���������� ����������� �� ��������������� � �� ��������� ��� ����� � �� ������ � � �� �� ��� �� ���� �������� �� ��� ����� �������������� ����������� ����� �� �� �� ������ �������� � �� � �� ����� ��� � � � � � � �� ������ ��� � �� � �� � � � � � � � �� �� ���� �����

���������� �� ���� �� �� ����������� �� ��� ����� ��� �������� ���������������� �� �� �� ��� �� �� ����� ������ �� � �� � �� ��� ��� ������� ���� ������ � � ����� ��� � ��� �� ����� ��� ������ � ���� �� ��� � ��� ��� �� ������ � ���������� ������� �� ���������� ������ ������� � �� � ��� ������ � ��� ��

������ ��� � ��� � �� �� ������� ��� ��� ���� ���� ��� �� � � � � � �������� � � ��

��

Page 21: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

����� �������� ����������� ���� ��� ����������� �� �� ���� ��������� ����������������� ��������� ����� �������� ��� ��� �� ��������� �� ����������� ���� ���� ��� ��� �� ������� �� �� ��� �� ���� ����� ����������� �������������� � ������ ������������ ��������� ��� ������� ������ �� ����� � ���� ����� ��� ������� ������������� ��������� ������ ���� ��������� �� ���� ��� ����� ��������������������� �� ����� �� �� ��� ���� ����� ����� ���� ����������� ������ �� ������������� ������������������� �� ����������� ��������� ����������������������� ������ ���� ��� � ���� ������������ � ���� ��������� �� ����� ����� �� ���

�� ��� �� �������� �� �� ������������������

�� � ��� � ��� � ���� � ��� �� � ��

��� ������ � ���� �� ������ ��� � ����� ���� �� ������ ��� ���� ��������� ����� ����� ����� ����� �������� ��� ­���� � �������� ����� �������������������� ��� �� ������� ����� �� ��� ���� � ���������� ��� ��������� �������� ���� ��� ���� ����� ��� �� �� ��������������� ��� ����� ���� �� ������������� �� ��� ����� ��� �������������������� ��� ��� ����� ��� ����� ���������������������� ��� ����� ������ � �� ������������ ��� ���� ������������ ������������ �� ���� �� ������������ ��������� � ���� �� ����� ���������������� ������ � �� ����� �� ������������������� ���� �� �������� ��� �� ��� ��������� ����������� � �� ���� ���� �� �� ����������� ����� ��� ����� �� ��� �������� � ���� �� ���������� ��� ��������� �� �������������������� ��� ��� �� ���� ����� �� �� ��������� ����� ������ �� � ����� ���� ��� �� ��������������������� ���� �� ���� �� ��������� �� ������������������� ���� ����� �������� ��� ������������� �� � �� ���� ���� �� � �� ���� �������� ��� ���� ���� ��������� ������

����� ��� ����� ������ ������ ��� � ������ ��� �� ����� �������� � ���� �������������� ��� ���� �� ��� � ����� ��� �� ����� ��� ����� ��� ��� � ������������� ��� ����������

��� ���������� ��� ����������������� �� ��

���� �� ������ ��� ��� ����� �� ��� ��� ���������� �� ���� ������ ��� � �� ������� ���������� ���������������� �� ���� ��� ��� ��������������� ������� �������� �������������� �� ������� �� ��������

�� ���� ������ �� �� ��������������� �� ��� �� ���� ��� ��� ��������� �� �� ����� �� �� ������� � ������� ��� �������� �� � � � � � � �� ����� ����� �� ��� �� ������ � ��� ­� �� ��� �� ��� ����� ��� ��� �� ������ ­ ��� ������������� �� �� ������� �� ���� ��� ����� ���� �� �� ����� �� �� ���������� ���������� ��������� �� � � � � � � �� ������ �� � ��� � ��� �� ��� �������� ��� �� ������ � ��� �� ����� ����� ��� ��������� �� �� ��

�� � � �� � �� �� � ��

��� ���� ���� � �� ��

�­

������ �� ��������� �� ��� �� � �� ��� ��� ������ ����� �������������� ���� �� ������� ��� �� �� ����������� �� ���� � �� � �� � ����� ��� ������ ��� �� ������� ������ �� � �� � ��� �� �� ��� �� ��� ����� ��� ��� �� �������� ��� ������ �� � �� �� �� ����� ���� �� ��� �������� � � �� � �� � �� � �� � ����� ���� �� ��� �� ������ � ��� ��������� �� � �� �� �� ��� �� ��� ����� ������ �� ������ ��������� �� � �� � ��� �� �������� �� �� ��

�� ��� �� � ��� �� � � �� � ���� � ���� �

��� ���� ���� �� �� ��

��������� �� �� �� �� �� ���� �� ��� ������������ �� ���� ��� �� ������ � ������ ���������� �� ������ ��� ���� ���� � ������� ���� ��� ��������� �� � ��� �� �� ������������ � ���   �� � ��� � �� ������ ����� �����������

� �� � �� � � � � � � � � � ���

� ���������� ���� �� ������ ��� �� ����� ���� ������ �� ���� ����� ������ � ���������� ��� ������ ���������� �� ����� �������� �� �� ��

� ��� �� � ��� ��

��� ��� ���������� ���� �� �� �� �� ��� �� ����� �� ���������� ����������� �� ��������������� � �� ��������� ��� ����� � �� ������ � � �� �� ��� �� ���� �������� �� ��� ����� �������������� ����������� ����� �� �� �� ������ �������� � �� � �� ����� ��� � � � � � � �� ������ ��� � �� � �� � � � � � � � �� �� ���� �����

���������� �� ���� �� �� ����������� �� ��� ����� ��� �������� ���������������� �� �� �� ��� �� �� ����� ������ �� � �� � �� ��� ��� ������� ���� ������ � � ����� ��� � ��� �� ����� ��� ������ � ���� �� ��� � ��� ��� �� ������ � ���������� ������� �� ���������� ������ ������� � �� � ��� ������ � ��� ��

������ ��� � ��� � �� �� ������� ��� ��� ���� ���� ��� �� � � � � � �������� � � ��

��

Page 22: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

������ �

���� �� ����� ��� ����� ���� �� ��� �� ���� � ��� ��� ���� �����

���� ����� ��� �� ��� ��� ���������

���

��� �

��

��� �

��

�� ���� � ��

����� ��������� ��� �� �� � �� �������� ���� ��� � ������ �� �� �� �� ����� ���� �� ������ ������� ��� ��� ��

��� ��� � ���� ��� � �� � ���� � ������ ��� �� ������ ��� ����� � �� ��

��� �� � ���� � ������ ������� �� ��� �� ����� ���� � �� ��

�� � ���� � ������ �� ���������� ��� �� ��

�� � �� � �������� ���� ����� �� �� � �� ����� ���� � ��� ��

� ��� � ����

�� �����

�� ������ �� ����� ��������� �� ��� � � � ����� ��� �� ����� �� ����� ������ ����� ������� � �� ������ �� ��� �� ����� ������ ��� �� �� ������� ������ ������ ����� ������� �� ������ � ����� ������� �� ��� ������ ���� ����� ��������� ���� �� ��� ������ ����� �� ��� ����� ���� �� �� ���������� ����� �� ��� ����� � �� ��� ������� ������ �� ��� ���� �� � ����� ������� ������ � �� �� �� ����������� � ����� ����� ��� ��� ����� � �� ����� ���� �� ��� �� ���� �� ��

��� ������� ���� ����� ����� ������ ��� �� ������  ��� ��� ����� ���� ���� �� � ����� ��� ����� ���� � � � ����� ��� ������ ����� ���� � ������ ����� ����� �� ������ ��� ��� ���� ��� ��� ��� ���� ����� ������������������ ������

­���� � �� �� � ���� �� ��������� �� ��� �� � ���� ��� ������� �� ��������� ���� ���������� ��� ��������� �� �� ����� ��� ���������� �� ���������� ­��� ���� ��

�� � ���� � ���� � ���� ��� � ������� ��������� ��������� ��� � ������ �� � ����� ����� ���������� �� �������� ��� ��� � � ���� ��������� �� ������ ��� ���������� �� ���������� ��� �� �� ������� ��� ������ ������� ������������ ��� ���� �� ���� �� ������������ ����� ������� ��� �� ���� � �������� � ����� �� � ��� �������� ������ ­� �� ��� ��� �������� �� ���������� �� ��������� ��� �� �� ����

��

�� � �� ���� �� ������� �� �� �� ��� �� � ��� ��� ������ �� ������ ��� � �� � �� ����� ��� ��� � ��� ������ � ��� �� � � � � �� ��� ������������� ��� �� ��� ��� � �� �� � �� �� ����� ����� �� �� ���� �� �� ������ �������� �� � � �� ������ ����� ��� �� � � ��� �� � �� ����� ������ �������� � � ���� � �� �������� ������� ��

�� � �� �

��� ���� � �

�� �� ������� ��� � ���� �� ����� ����� �� �� ����� ����� ��� ��

�� � �� ����� � �

��� � � ��� �� ������ � ��� ����� ���� �� ����� ���������

� � ��� � �� ������ � �

�� � ����� � �� ����� � �

� ���� � �

�� ����� �� � ���� � �� �������� ������� ��

� ���� � �

�� �� ������� ��� � ���� ���� �� � �� ��� � � ���� ��� ����� �� � �� ��

� � �� � ����� � � � ����� � �� � �� � ����� � � � �

��� ��� � ���� �� � � ���� �� ��� �� � ������ ��� � �� � �� �� �� ��� � ���� ������� �� ��� � � ��

� � ���� � �� �

�������� ������� ���� ���� � �� ��

������������ ������ � ���� �� ������ ���� ���� �� ��� �� �� �������� � �� �� ��� ����� �� ��� �� �� ���� � ��� �� �� � �� ��� ������ �����

� ��

��

��� �� �� ���� �� � � ��� ���� ����� ������ ����� �� ����� � ���� �� ������ ����� �� �� ���� �� ��� ��� � � ���� �� ���� ������� ��� �� ���� ������ ��� ���� �������� ��� �� �� ������� ��� � ���� ���� ����� �� ��� ���� �������� ��� �������� ����� ����� � ���� � �� ����� ��� ��� ���� ����� � ���� ������ �� ����� ����� ��� �� ����� ��������� �������

��

Page 23: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

������������ ������ ��� �� ����� ����� �� ��� ��� ������� �

���

���

��� ��� �� �������� ��������� �� ��� �� ��� ���� ��������� ��� � ��������� �� ��� ����� ��� ��������� � ������������� ��� ����������������� ����� ��� � ������ ����� ���� � ����� ����� � ������� ������ �� ������������������� � �� ����� � ������� �� ��������� � �� ������� ��� �� ����� ������� ������ �� ����� �� ����� �������������� � ��� ����� � ��������� �������������� ��� ��� � � ��� ����� �� ��� ��� � � ������� �� ������� ��� �� �������� �� ���� � � �

Fig. 3.1.2

�� �� �� ��

��� � �� � � �

���

�� ��� ���������� ��� �� ����� ����� ����� ��� ����� ���� �� ����� ����������� �� ������� ������ �� ��� �� � �

� ��� ��� � ������� �� �� ���������

� � ������������� �� ����� �� � ��� � ������ �� ��������� �� ������ ����������� �� �� � �� � ������� �� ��������� � ������� �� ���� � � � ��� �� ������

Fig. 3.1.3

������ �������� �� �������� �� ��� �� �������� ��� ������ �� ������ �� �������� � ������� �� ��� �� �������� ������ ��������

���

���

����

�����

���

� 

��������� �� �� ���� �� �� ���������� �� ��� ���� ���� ��� � ����������� ��� ��� �� ��­������ ���� �������� � ��� �� � �� ��� �

� ��� �� � � � �� � � � � ���

����� � � � ��� �� ��������� ���������� � ��� �� ��� ���� ��� ������� �������� ��� �� ������ � ��� ��������� ��� ����� �� ���� ��� ���������� ��� �� ��� � � � � �� �� ���� � ���� � � � � � �� �� ��� � � � � �� � � � �� ������ � ��­������� ������ � � � �� � � � �� ��� �� ��� �� � �� � � � � � � � ����� ����� � � �� �� ���� �� � � ��� �� � � � �� � � �� ������� ��� �� �

� ��� �� � ��� ��

��� � �� � �� ���������� ��� �� ��� �� ���������� �

� � ���� � � ��� �� � � � �� � � � � �� � � � ���

������� �������� ��� �� � � ���� � � ��� �� � �� �� � ��� ��� �������� �

� ���� � ����

����������� ��� �� ���� ����� � � ���

��� ��� ���������� ��� �� � �� �� ���� �� � ������� ��� ��� ����������� ���� �� ��� �� � ��­������� ������ ���� ���� �� � � ��

���� ����� � � � � ���� ���� � � ���� � ����� � �� ���� � � � � � ��

�� ���� � ��­������� ������ ���� ���� �� � �� �� ����� �� �� �� ���� ���� �� � � ������� �������� ��� �� �

���� ���� � ��

��� ��� ���������� ��� �� �

��

Page 24: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�� �� ���� ����� ���������� ������� ��� �� ���� ���� ������� �� � ���������� ��� ���� ������������� �� ��� �� �� ���������� �

� � �� � �� ��� ������������� � �� ���������������� ���� �� � ��� �� ����� �� ��������� �� ��� ���������� ���� �� ����������������� � ��� � ��� �� �� ��������� �� ��� ���� ������ ��� �� ��� �� �� ��� �� �� ��� ��� ������ �� �� ����� ��� �� ���� �����

Fig. 3.1.4

����� �� �� ��� ���� �� ��� ��� ���� �� �� ���� ���� �� ��� �� ��

�� ����

���

����� ������������� �� ������ �� �� � ������������ ������ �� ������ �� �������� �������� ��� ���� ��� ��� ������ �� ������ �� �� ��� �� �� ���������� �

� ���

����� ��� ���� ��������� ���������� �� �� ���� ��� �� ���� ��� �� ��� �������� ��� � ���� ���� �� �� ��� ���� ������ ��� � ���� ���� �� ��

���

���

��

��� ��� �� � �� �� � � � �� ���� ���� �� � �� �� � � � �� ���� ���� �� ��� ���������� �� ������ �� �� � ����� �� �� ����� �� ������ ��� ���� �� ��������� �� �� � ������ �� ������ �� ���� ���� �� ���

�� ����� ��� �� � ����������� ������������� �� ��� ���� �� ��� ��  �� ������� �������� ������ ����� ������ ���� �� �� ����� �������� ���� ���� ������������������������ ���� ��� �� ��� ���� ������������ ��� ������������� ��� ���������� ���� ��� � ��� ��� ���������� ��� ������������� ��� ����� ������������ �� ���� ���������� ������ �� �������� ���� � ���������� �� ����� �� �

� ���� �� � �

�� � �� �� �� � � ���� �� ������������� ��

� �� ���� �� � �� �������������� ��� �������� �������� ���� � ��� ��� �� ��� � ���� ���­� �� � � �

�� � ����� �� ������ �� ������� ��� ������� ��� ����� ������ ���� ���

�������� � � �� �� � �

�� � �� �� �� � � �� �� � � � �� ������ �� ���� ��

��������� � ���� �� �� �� ����� �� �� �� ��� �������� �������� ���� �� �� �� ���

��� �� � � � ���

��

� �� �� �� �������� � ���� �� � �� ����� �� ��� ������� �������� �� ��� ��

�� � � � � � ��

�� ���� �� ��������� ������ ��

��� �� � � � ��

�� ������� �� � �� ���� �������� ��� �� ����� � ������� �� �������� �� ��� ��

� ��� �� � � � ��

�� �� ����� ��� ��

�� � �� � �

��

����� ���­� ���

���

��� � �

��

������ ������� ���� ��� ����� ������� ��� �� ������� �� ��� � ��� ����������� ��� �������� ��� �� ��

���

��� � �� � � �

� � �� � � �

����

�����

���

����������� ��� �� ���� �� ����� ���� ������������� ��� ����� ��� ������ ���� � � �

� �� � ��� �� �� �� � � ��

�� � � � �� ������ �� ���� �� ��������� ������������� �� �� �� �� ����� �� ���������� �������� �� �� ��� ���� ���� � � ���� � �� �� �� ������������� �� �� � �� ����� �� �� �������� ���������� � ���� �� �� �� ��� � ���� � � � �  �� ��� ���� ���� � � � � ��� ����� ��� �� �� � ���� � � � � ��� ��� �������

�� �� � �� � � �

��� ���­� ���

�� ���� � �� � � �

���

�� ��� ���� ��� ��� ������ �� ��� �� �� �� ��������

���

��

����

��� � � � ��� � � � �

�� � �� � � �

��

�� ��� ����� ���

���

��� � �� � � �

��

�� ��� ���� �� ���� �� � ������������

�� ��

�� � ��� ���­� �� �� ��� ���� ������

�� ������ �� �� � ������������ �� �� ����� �� ������

��

Page 25: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�� �� ���� ����� ���������� ������� ��� �� ���� ���� ������� �� � ���������� ��� ���� ������������� �� ��� �� �� ���������� �

� � �� � �� ��� ������������� � �� ���������������� ���� �� � ��� �� ����� �� ��������� �� ��� ���������� ���� �� ����������������� � ��� � ��� �� �� ��������� �� ��� ���� ������ ��� �� ��� �� �� ��� �� �� ��� ��� ������ �� �� ����� ��� �� ���� �����

Fig. 3.1.4

����� �� �� ��� ���� �� ��� ��� ���� �� �� ���� ���� �� ��� �� ��

�� ����

���

����� ������������� �� ������ �� �� � ������������ ������ �� ������ �� �������� �������� ��� ���� ��� ��� ������ �� ������ �� �� ��� �� �� ���������� �

� ���

����� ��� ���� ��������� ���������� �� �� ���� ��� �� ���� ��� �� ��� �������� ��� � ���� ���� �� �� ��� ���� ������ ��� � ���� ���� �� ��

���

���

��

��� ��� �� � �� �� � � � �� ���� ���� �� � �� �� � � � �� ���� ���� �� ��� ���������� �� ������ �� �� � ����� �� �� ����� �� ������ ��� ���� �� ��������� �� �� � ������ �� ������ �� ���� ���� �� ���

�� ����� ��� �� � ����������� ������������� �� ��� ���� �� ��� ��  �� ������� �������� ������ ����� ������ ���� �� �� ����� �������� ���� ���� ������������������������ ���� ��� �� ��� ���� ������������ ��� ������������� ��� ���������� ���� ��� � ��� ��� ���������� ��� ������������� ��� ����� ������������ �� ���� ���������� ������ �� �������� ���� � ���������� �� ����� �� �

� ���� �� � �

�� � �� �� �� � � ���� �� ������������� ��

� �� ���� �� � �� �������������� ��� �������� �������� ���� � ��� ��� �� ��� � ���� ���­� �� � � �

�� � ����� �� ������ �� ������� ��� ������� ��� ����� ������ ���� ���

�������� � � �� �� � �

�� � �� �� �� � � �� �� � � � �� ������ �� ���� ��

��������� � ���� �� �� �� ����� �� �� �� ��� �������� �������� ���� �� �� �� ���

��� �� � � � ���

��

� �� �� �� �������� � ���� �� � �� ����� �� ��� ������� �������� �� ��� ��

�� � � � � � ��

�� ���� �� ��������� ������ ��

��� �� � � � ��

�� ������� �� � �� ���� �������� ��� �� ����� � ������� �� �������� �� ��� ��

� ��� �� � � � ��

�� �� ����� ��� ��

�� � �� � �

��

����� ���­� ���

���

��� � �

��

������ ������� ���� ��� ����� ������� ��� �� ������� �� ��� � ��� ����������� ��� �������� ��� �� ��

���

��� � �� � � �

� � �� � � �

����

�����

���

����������� ��� �� ���� �� ����� ���� ������������� ��� ����� ��� ������ ���� � � �

� �� � ��� �� �� �� � � ��

�� � � � �� ������ �� ���� �� ��������� ������������� �� �� �� �� ����� �� ���������� �������� �� �� ��� ���� ���� � � ���� � �� �� �� ������������� �� �� � �� ����� �� �� �������� ���������� � ���� �� �� �� ��� � ���� � � � �  �� ��� ���� ���� � � � � ��� ����� ��� �� �� � ���� � � � � ��� ��� �������

�� �� � �� � � �

��� ���­� ���

�� ���� � �� � � �

���

�� ��� ���� ��� ��� ������ �� ��� �� �� �� ��������

���

��

����

��� � � � ��� � � � �

�� � �� � � �

��

�� ��� ����� ���

���

��� � �� � � �

��

�� ��� ���� �� ���� �� � ������������

�� ��

�� � ��� ���­� �� �� ��� ���� ������

�� ������ �� �� � ������������ �� �� ����� �� ������

��

Page 26: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

������������ ������ ��� �� ����� ����� �� ��� ��� ������� �

���

���

��� ��� �� �������� ��������� �� ��� �� ��� ���� ��������� ��� � ��������� �� ��� ����� ��� ��������� � ������������� ��� ����������������� ����� ��� � ������ ����� ���� � ����� ����� � ������� ������ �� ������������������� � �� ����� � ������� �� ��������� � �� ������� ��� �� ����� ������� ������ �� ����� �� ����� �������������� � ��� ����� � ��������� �������������� ��� ��� � � ��� ����� �� ��� ��� � � ������� �� ������� ��� �� �������� �� ���� � � �

Fig. 3.1.2

�� �� �� ��

��� � �� � � �

���

�� ��� ���������� ��� �� ����� ����� ����� ��� ����� ���� �� ����� ����������� �� ������� ������ �� ��� �� � �

� ��� ��� � ������� �� �� ���������

� � ������������� �� ����� �� � ��� � ������ �� ��������� �� ������ ����������� �� �� � �� � ������� �� ��������� � ������� �� ���� � � � ��� �� ������

Fig. 3.1.3

������ �������� �� �������� �� ��� �� �������� ��� ������ �� ������ �� �������� � ������� �� ��� �� �������� ������ ��������

���

���

����

�����

���

� 

��������� �� �� ���� �� �� ���������� �� ��� ���� ���� ��� � ����������� ��� ��� �� ��­������ ���� �������� � ��� �� � �� ��� �

� ��� �� � � � �� � � � � ���

����� � � � ��� �� ��������� ���������� � ��� �� ��� ���� ��� ������� �������� ��� �� ������ � ��� ��������� ��� ����� �� ���� ��� ���������� ��� �� ��� � � � � �� �� ���� � ���� � � � � � �� �� ��� � � � � �� � � � �� ������ � ��­������� ������ � � � �� � � � �� ��� �� ��� �� � �� � � � � � � � ����� ����� � � �� �� ���� �� � � ��� �� � � � �� � � �� ������� ��� �� �

� ��� �� � ��� ��

��� � �� � �� ���������� ��� �� ��� �� ���������� �

� � ���� � � ��� �� � � � �� � � � � �� � � � ���

������� �������� ��� �� � � ���� � � ��� �� � �� �� � ��� ��� �������� �

� ���� � ����

����������� ��� �� ���� ����� � � ���

��� ��� ���������� ��� �� � �� �� ���� �� � ������� ��� ��� ����������� ���� �� ��� �� � ��­������� ������ ���� ���� �� � � ��

���� ����� � � � � ���� ���� � � ���� � ����� � �� ���� � � � � � ��

�� ���� � ��­������� ������ ���� ���� �� � �� �� ����� �� �� �� ���� ���� �� � � ������� �������� ��� �� �

���� ���� � ��

��� ��� ���������� ��� �� �

��

Page 27: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

����������� �� ������� ��� ����������� � ��� ���� ��� � ���� � �� � �� ������ �� ������������ �� � �� �� ��������� �� ����� �� ��

�� � �� � �����

��� �� ������� �� ���������� � �� ������� ��� ����������� �� ��� �� �� ������� ��

��� � � ���� � � � � ��� �� ��������� ��� �������� ��� � ��� ����� �

�� �� ����������� ��� ��� ��������� ���� �� ������ �� ��������� � �������������������� � ���������� � ��� �� �� ����������� ��� �� ���� � ����� ���������� �� ����

��� �� ��� ��

�� � �� � �� � ���� ������

������ �� ������������ ��� ������������������� ��� �� ������ �� �� � ����� ������������ �����������

�� � � � � �� ��� � � �

���������� �� ����� ��� �� ���������� ������� ��� � ��� ���������� �� �����

��� � ��� ���������� �� �� � ��� �� ��� �� ����� ������ ����� ������ ��� ���� �� ­� ��� ������� ����� ������ �� �� ��

� � �� ������ � � �

���� � ��� ���� � � �

����� � � ��� ���� � � �� �� ������ � � ���� � ��

� ���

����

���

��

�� ���� ����� �

�� � ��� �

�� �� ���� �

���� � � �� ��

��� � ���� �

�����

�� ���� ����� ���

��� ���������� �� �

��� ��

��� � ������ �� �� �

���� ���� �

����

��� ­ � ����� ������������� �

�� ���� � � �� ���

��� ������� �� �

��� ��

��� ���

����� ��

��� ���� �� ������ ��� �� ������� � ���� �� � �� ���� �� � � ������� ������� ����� ��� �� ��� ��������� �� ����� ��� ������ ��� � ������� ����� �� ������ ���� ���� ��������� �� ����� ����� ��� �� �� �� ��� � �� ����� � ��

��� ���� ����� �������������� ��� �� ��� ��� ��������� ������ �� ��������� ������ � � �� ���� �� ���� �� ������� � ��� ���������� � � � ������������ � � �� ��������� � �

��� ��� �� �� ���  ������ ���������� �� �������� ����

��� �

����

��� �� � ���� �� �������� �����

��

�������� � �� ����� ����������� ��� ���� ��������� � � ��� ������� �� �������

Page 28: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

������ ��� �� ������� ����� ������������� ��� �� ���� ��� ��������� ������ �������� �� ����������� ��� ��� ����� ��������� �� ��������� ������� ��� � ��� ��

������� ������ ��������� �� �������� �� �� ��������������� ��� ������� ��

� � �� ��� ��� ��� ��� ��� ��� � � � �

������� ������� ����� �� �� ����� ������ ����� ������� ���� ��� ��� ���������� �� ���� ��� ��������� ������ �� ������ ������ ��������� ���� �� ��� ���� ����������� ���� ��� ������� ��� ���������� ����������� ���� ��� ���� �� ��������������� ����������� ��������� �� ����������� ���� ������ ���� ������ ��� ���������� ��� ������ ��� ���� �������� �� �������� ����������� ��������� �� ���������� ���� ����� ��� � �� ��� �� ������ ��� ���� �� �������� ������ ����� �� �� ����� ������ ��� ���� �� �������� ������ ���� �� ������ ������� ��� �� �� ����� ��� ������� �� �� ���� ����� ���� �� ����

��� ���� ����� ��� � ����� ������ ������ ������ ����� �������� ������ �� �������������� ���� ��� ����� ��� �� ��� ���� ����� ��� � ��� ��� �� ������� ������� �������� ��� ����� �� �� ����������� ��� ������� ��� � ��� � �� ��� ����� ������������� � ������� ��� ����� ��� �������� ��� �� ����� ����� ���� ������ � �� � �� ���   � ­

��������������� ����� � ����������� ��� ����� ������� ��� � �� ��� ������ ���

�� �� �� ������������ ������������� ��� ����� �������� �� ���� ��������������� ��� ������������ �� �� ��� �� ������������������

� ��� ���� �� �� ���������� ��� ������� ���� ���� ������ �������� ������������� ���� ����� ����� ������ ��� ���� ���� ���� �� ��� ��� ���� ����� �

� �� ����� ���� �� ��� �� ������� ������ ���� �� ��

�� ���� �� ������ ��� ���

����� ��� �� ��� ��� �� ���� ��� ��� ���� �������� ����� � �� ���� ����������� ����� �� ����� ��� ���� ��� ��� ���� ��� ������ ������ ��� � �������������� � �� ���������� ������� �������� ��� ��� ��� ��������� ��������������� ������ ��� ��� �� �������� � ���� ������� ��� ������� ���

��� ������� ������������� �������� ����� ��� ���� ��� ���� �� ��������������� ��������� � �������� ������� ���������� ��� ��� ���������� �� �������

��

�������� ����� ����������� ��������� ��� ����� ���� �� ��� ������� �� ������ �������� ��� ����� ��� ���� ������ ��������� ������� ���� ��� �� ������� ����������� �� �� ����� ��������� �� ��������� �� ��� ���

� �� �� ����� ���� ��� �� ��� ��� �� �� ������������� ��

�� �� �� �����

��������� ��� ������ ���������� ������ ����� ������� ��� ��� ��� �� �� ����������� ������ �� �������� � ���� ����� ������� � ������ ������� ��� ��� ������� �� �� �������� �� �� �� ������� ���� ������ �� ��� ����� ������� �������� ������� ���

  �� �������� ���� � ������� ���� �� ���������������� �� ��������� ��������� ���� ���� �� �������� ��� �������� �� ���������� �� ��������� ���� �������� �� ��������� ������ �������� ������ ���� ������ ��� ����� �� ������ ��������� ������ ����� ��� ���� � ������������

�������� ����� ������� ������ �� ��� ������ ������� �� ��� �� �� ������������������ ������� ������������ ��� ��� ��������� ��� ����� �������� ���������� ����� ���

� �� ����� ��� ��� ����������� ����� ���� ��� ������ �� ���� ������� ���� �������� ��� ��� ��� �

� � ���������� ����� �� ������� ��� ������ ������� ���

�� �� ��� ��� �� �� �������� ��� ���� ������ �������� �

� �� ������� �� ��� ������������ ��� �

� �� ������ �� ����� ��� ������� ��� ��� ������ �� ����� ��������� ������� ��� ��� �� ������

� ���������� ������ ��� ������ ������ �� ��� �� ��� ����� ��� ������� ������ �� �� ������� ����� ��� �� ������� �� ��� ������

� �� ������ ����� �� ������ �� ��� �� ��� ����� ��� ��� ������ ������������ ������ �� �� ������� ����� ��� �� ������� �� ��� ������

­ ���� � �� ��� �� ��� ��� ��� � ��� �� ��� �� � ���� �� ��� ���� � ��� ��� ��� �� ��� �� � ��� �� ���� ���� ��� �� ��� �� � � ��� �� ��� �� ��� ���� � ��� �� ��� ��� ���� �� ��� ���� ��� �� ��� �� � � ��� �� ��� �� ��� �� � �

��

Page 29: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

������ ��� �� ������� ����� ������������� ��� �� ���� ��� ��������� ������ �������� �� ����������� ��� ��� ����� ��������� �� ��������� ������� ��� � ��� ��

������� ������ ��������� �� �������� �� �� ��������������� ��� ������� ��

� � �� ��� ��� ��� ��� ��� ��� � � � �

������� ������� ����� �� �� ����� ������ ����� ������� ���� ��� ��� ���������� �� ���� ��� ��������� ������ �� ������ ������ ��������� ���� �� ��� ���� ����������� ���� ��� ������� ��� ���������� ����������� ���� ��� ���� �� ��������������� ����������� ��������� �� ����������� ���� ������ ���� ������ ��� ���������� ��� ������ ��� ���� �������� �� �������� ����������� ��������� �� ���������� ���� ����� ��� � �� ��� �� ������ ��� ���� �� �������� ������ ����� �� �� ����� ������ ��� ���� �� �������� ������ ���� �� ������ ������� ��� �� �� ����� ��� ������� �� �� ���� ����� ���� �� ����

��� ���� ����� ��� � ����� ������ ������ ������ ����� �������� ������ �� �������������� ���� ��� ����� ��� �� ��� ���� ����� ��� � ��� ��� �� ������� ������� �������� ��� ����� �� �� ����������� ��� ������� ��� � ��� � �� ��� ����� ������������� � ������� ��� ����� ��� �������� ��� �� ����� ����� ���� ������ � �� � �� ���   � ­

��������������� ����� � ����������� ��� ����� ������� ��� � �� ��� ������ ���

�� �� �� ������������ ������������� ��� ����� �������� �� ���� ��������������� ��� ������������ �� �� ��� �� ������������������

� ��� ���� �� �� ���������� ��� ������� ���� ���� ������ �������� ������������� ���� ����� ����� ������ ��� ���� ���� ���� �� ��� ��� ���� ����� �

� �� ����� ���� �� ��� �� ������� ������ ���� �� ��

�� ���� �� ������ ��� ���

����� ��� �� ��� ��� �� ���� ��� ��� ���� �������� ����� � �� ���� ����������� ����� �� ����� ��� ���� ��� ��� ���� ��� ������ ������ ��� � �������������� � �� ���������� ������� �������� ��� ��� ��� ��������� ��������������� ������ ��� ��� �� �������� � ���� ������� ��� ������� ���

��� ������� ������������� �������� ����� ��� ���� ��� ���� �� ��������������� ��������� � �������� ������� ���������� ��� ��� ���������� �� �������

��

�������� ����� ����������� ��������� ��� ����� ���� �� ��� ������� �� ������ �������� ��� ����� ��� ���� ������ ��������� ������� ���� ��� �� ������� ����������� �� �� ����� ��������� �� ��������� �� ��� ���

� �� �� ����� ���� ��� �� ��� ��� �� �� ������������� ��

�� �� �� �����

��������� ��� ������ ���������� ������ ����� ������� ��� ��� ��� �� �� ����������� ������ �� �������� � ���� ����� ������� � ������ ������� ��� ��� ������� �� �� �������� �� �� �� ������� ���� ������ �� ��� ����� ������� �������� ������� ���

  �� �������� ���� � ������� ���� �� ���������������� �� ��������� ��������� ���� ���� �� �������� ��� �������� �� ���������� �� ��������� ���� �������� �� ��������� ������ �������� ������ ���� ������ ��� ����� �� ������ ��������� ������ ����� ��� ���� � ������������

�������� ����� ������� ������ �� ��� ������ ������� �� ��� �� �� ������������������ ������� ������������ ��� ��� ��������� ��� ����� �������� ���������� ����� ���

� �� ����� ��� ��� ����������� ����� ���� ��� ������ �� ���� ������� ���� �������� ��� ��� ��� �

� � ���������� ����� �� ������� ��� ������ ������� ���

�� �� ��� ��� �� �� �������� ��� ���� ������ �������� �

� �� ������� �� ��� ������������ ��� �

� �� ������ �� ����� ��� ������� ��� ��� ������ �� ����� ��������� ������� ��� ��� �� ������

� ���������� ������ ��� ������ ������ �� ��� �� ��� ����� ��� ������� ������ �� �� ������� ����� ��� �� ������� �� ��� ������

� �� ������ ����� �� ������ �� ��� �� ��� ����� ��� ��� ������ ������������ ������ �� �� ������� ����� ��� �� ������� �� ��� ������

­ ���� � �� ��� �� ��� ��� ��� � ��� �� ��� �� � ���� �� ��� ���� � ��� ��� ��� �� ��� �� � ��� �� ���� ���� ��� �� ��� �� � � ��� �� ��� �� ��� ���� � ��� �� ��� ��� ���� �� ��� ���� ��� �� ��� �� � � ��� �� ��� �� ��� �� � �

��

Page 30: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

����������� �� ������� ��� ����������� � ��� ���� ��� � ���� � �� � �� ������ �� ������������ �� � �� �� ��������� �� ����� �� ��

�� � �� � �����

��� �� ������� �� ���������� � �� ������� ��� ����������� �� ��� �� �� ������� ��

��� � � ���� � � � � ��� �� ��������� ��� �������� ��� � ��� ����� �

�� �� ����������� ��� ��� ��������� ���� �� ������ �� ��������� � �������������������� � ���������� � ��� �� �� ����������� ��� �� ���� � ����� ���������� �� ����

��� �� ��� ��

�� � �� � �� � ���� ������

������ �� ������������ ��� ������������������� ��� �� ������ �� �� � ����� ������������ �����������

�� � � � � �� ��� � � �

���������� �� ����� ��� �� ���������� ������� ��� � ��� ���������� �� �����

��� � ��� ���������� �� �� � ��� �� ��� �� ����� ������ ����� ������ ��� ���� �� ­� ��� ������� ����� ������ �� �� ��

� � �� ������ � � �

���� � ��� ���� � � �

����� � � ��� ���� � � �� �� ������ � � ���� � ��

� ���

����

���

��

�� ���� ����� �

�� � ��� �

�� �� ���� �

���� � � �� ��

��� � ���� �

�����

�� ���� ����� ���

��� ������ ���� �� �

��� ��

��� � ������ �� �� �

��� � ���� �

����

��� ­ � ����� ������������� �

�� ���� � � �� ���

��� ������� �� �

��� ��

��� ���

����� ��

��� ���� �� ������ ��� �� ������� � ���� �� � �� ���� �� � � ������� ������� ����� ��� �� ��� ��������� �� ����� ��� ������ ��� � ������� ����� �� ������ ���� ���� ��������� �� ����� ����� ��� �� �� �� ��� � �� ����� � ��

��� ���� ����� �������������� ��� �� ��� ��� ��������� ������ �� ��������� ������ � � �� ���� �� ���� �� ������� � ��� ���������� � � � ������������ � � �� ��������� � �

��� ��� �� �� ���  ������ ���������� �� �������� ����

��� �

����

��� �� � ���� �� �������� �����

��

�������� � �� ����� ����������� ��� ���� ��������� � � ��� ������� �� �������

Page 31: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

��� �����������������

�� �� ���� ����� ��� ����� � ��������� ������� ��� ������� �� ��� �� �� ����� �������� � � ����������� ��� ������� �������� ��� ��� � � �������� ��� ��� �� ����������� ��� ����� � � ���� �� ���� � ���� ���������� ���� �� �� �� ��� �� �� ������ ��

��� ���� �� � ���� ���

����� ������ ������ ��������������� ��� � ��� ���� �������� � � ���������� ����� � � � ��

��� ���� ��� �� ��� �� � ��� �� �� ��� �� �

� �� � ��� ��� �� � �� � ���� ���

������� ��� ����� � ����� ���� �� ��� �� �� ����� ����� � � �����

�������� � � ����������� ��� ��� �� ���� � �� ������� �������� � � � ����� � �� ������ �� ���� � ���� �������� �� �� �� ��� �� �� ������ ��

��� ��� � �� � ���� �������� ������ ����� ��������������� ��� � ��� ��� ���� �������� � � �������������� � � � � ��

��� ��� � ��� �� ��� �� � � ��� ��� � ��� ��� �� � ��� ��� �� � �� � ���� ���

�� �� ���� ������ ��� ����� �� ��������� � � �� ��� �� � � �������� � � ����������� ��� ��� �� ����������� ���� �� ������� �������� � � �������������� ������� �������� ��� ��� � � �� ������ ��� ��� �� �� ��� �� �� ��������

��� �� ��� �� � �� � ���

��

��� ����������� ���������

����������� � �� � �

������ �� ��������� ������� ���� �� ����� ��� ���� ��� �� ���� �� �� �� ������ ��� ���� ����� ����������  ��� �� ������ ��� ��������� ����� � ­��� ������������� �� ��� �� �� ���� �� ������ �� ��� �� ��� ���� ����� ��� ��� ������ ��������� �� ����� � � ���� �� �� ���� ����������� � ���� � � ��������� �� ���� ������ ��� ��� � ����� ���������� � � �� ������ ��� ���������

�� ��� �� �� ���� ������ �� �� ������� �� ������� ���� � ���� �������� ���� �

� � ����� �� ���������� � � � ������� �� ��������������� � ���� ��

� � ���

��

����� ������������ ���� � � � � ��� ��� �������

� � �� ���

����� ��� �� ����� ��� � �� ���������� ������������� ���

�� � �� �

��� �

��� �

��� �

�� �� � �

��

��

Page 32: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

����� ������ ������ ��������������� ��� ������ ���� �������� ��� ���������� ����� �� � �����

��� �� ��� �� � � ��� �� � � ��� ��� �� � ��� ��� ��� �� � ���

����������������� ����� �� �� ���� ��� ��� �� � �������� �������������� ���

����� �� � ����������� �� ��� �� �� �� ������� �� ��� ������

���������

��� ���� ��� ��� � ��� �� ��� �� �

�� ��� ������ ������ ��� �� ���� ������ �������������� �� ��� ��

��� ���� �� � ��� ��

�� ��� ����� ������ ��� �� ���� ����� �������������� ��� ��� ��

��� ��� � �� � ��� ����� ����� ������ ��� �� ���� ���� ���� �� ����������������� �� �� ������ ����� �� ���

��� �� ��� �� � � ��� �� � � ��� �� � �� � �� ��� � � �� � �� ���� ��� ��

��� ���� ��� ��� � ��� �� ��� ��

� �� � ��� � � �� � ��� �� ��� � �� ��

� �� � ��� ��

��

��������� ���� ��� ����� �� ������������������� �� � ��� � ��� ��� �� ��� ���

� ���� ��� ����� �� ������������������� ��� ��� � � ��� �

� ��� �

�� � ��� �� ��� ��

� ��� ��� � � ��� ��� � ��� �� ��� ��� ��� �� ��� ���� ��� ��� � � ��� ��� � � ���� �

� ���� �

�� � ��� ��

�� ��� ��� � ���� �� ��� �� � ��� �� ��� ��

  ­��� ����� ���������� �� ��������� �� ���������� ���� �� � ��� � � �� � ���� �� �� �� � ��� � �� �� � �

� ���� ����������������� ��� � �������� �������� �������

���������� � ����������� �� ��

����������� �� ����

����

��

Page 33: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

����� ������ ������ ��������������� ��� ������ ���� �������� ��� ���������� ����� �� � �����

��� �� ��� �� � � ��� �� � � ��� ��� �� � ��� ��� ��� �� � ���

����������������� ����� �� �� ���� ��� ��� �� � �������� �������������� ���

����� �� � ����������� �� ��� �� �� �� ������� �� ��� ������

���������

��� ���� ��� ��� � ��� �� ��� �� �

�� ��� ������ ������ ��� �� ���� ������ �������������� �� ��� ��

��� ���� �� � ��� ��

�� ��� ����� ������ ��� �� ���� ����� �������������� ��� ��� ��

��� ��� � �� � ��� ����� ����� ������ ��� �� ���� ���� ���� �� ����������������� �� �� ������ ����� �� ���

��� �� ��� �� � � ��� �� � � ��� �� � �� � �� ��� � � �� � �� ���� ��� ��

��� ���� ��� ��� � ��� �� ��� ��

� �� � ��� � � �� � ��� �� ��� � �� ��

� �� � ��� ��

��

��������� ���� ��� ����� �� ������������������� �� � ��� � ��� ��� �� ��� ���

� ���� ��� ����� �� ������������������� ��� ��� � � ��� �

� ��� �

�� � ��� �� ��� ��

� ��� ��� � � ��� ��� � ��� �� ��� ��� ��� �� ��� ���� ��� ��� � � ��� ��� � � ���� �

� ���� �

�� � ��� ��

�� ��� ��� � ���� �� ��� �� � ��� �� ��� ��

  ­��� ����� ���������� �� ��������� �� ���������� ���� �� � ��� � � �� � ���� �� �� �� � ��� � �� �� � �

� ���� ����������������� ��� � �������� �������� �������

���������� � ����������� �� ��

����������� �� ����

����

��

Page 34: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

��� �����������������

�� �� ���� ����� ��� ����� � ��������� ������� ��� ������� �� ��� �� �� ����� �������� � � ����������� ��� ������� �������� ��� ��� � � �������� ��� ��� �� ����������� ��� ����� � � ���� �� ���� � ���� ���������� ���� �� �� �� ��� �� �� ������ ��

��� ���� �� � ���� ���

����� ������ ������ ��������������� ��� � ��� ���� �������� � � ���������� ����� � � � ��

��� ���� ��� �� ��� �� � ��� �� �� ��� �� �

� �� � ��� ��� �� � �� � ���� ���

������� ��� ����� � ����� ���� �� ��� �� �� ����� ����� � � �����

�������� � � ����������� ��� ��� �� ���� � �� ������� �������� � � � ����� � �� ������ �� ���� � ���� �������� �� �� �� ��� �� �� ������ ��

��� ��� � �� � ���� �������� ������ ����� ��������������� ��� � ��� ��� ���� �������� � � �������������� � � � � ��

��� ��� � ��� �� ��� �� � � ��� ��� � ��� ��� �� � ��� ��� �� � �� � ���� ���

�� �� ���� ������ ��� ����� �� ��������� � � �� ��� �� � � �������� � � ����������� ��� ��� �� ����������� ���� �� ������� �������� � � �������������� ������� �������� ��� ��� � � �� ������ ��� ��� �� �� ��� �� �� ��������

��� �� ��� �� � �� � ���

��

��� ����������� ���������

����������� � �� � �

������ �� ��������� ������� ���� �� ����� ��� ���� ��� �� ���� �� �� �� ������ ��� ���� ����� ����������  ��� �� ������ ��� ��������� ����� � ­��� ������������� �� ��� �� �� ���� �� ������ �� ��� �� ��� ���� ����� ��� ��� ������ ��������� �� ����� � � ���� �� �� ���� ����������� � ���� � � ��������� �� ���� ������ ��� ��� � ����� ���������� � � �� ������ ��� ���������

�� ��� �� �� ���� ������ �� �� ������� �� ������� ���� � ���� �������� ���� �

� � ����� �� ���������� � � � ������� �� ��������������� � ���� ��

� � ���

��

����� ������������ ���� � � � � ��� ��� �������

� � �� ���

����� ��� �� ����� ��� � �� ���������� ������������� ���

�� � �� �

��� �

��� �

��� �

�� �� � �

��

��

Page 35: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�� �� ��������� �� ������� ��� �������� ���

�� � ��� �

��� �� ����� � ���� �� ��� ��

�� � � ��

����

��

�� �� � � �� ����� � � ��

� ��� � ��� �������� �� � ����� �� �� �� � � �� �� �

��� ��� ��� �� � � �� � �

� � � �� � � ��� � �

� � ��� ���������� �� �������� � � ��� � � ��� �� ��� �� �� �� ����� ��������

���������

��� � ��� � � ������� �� ��� �� ������ � ����� �� ����� �� ����� ��� � �� ���� ���� �� ����������� ���

�� � ��� � � ������� �� �� ��� �� ��������� ����� ������ ��� �� ������ ��

� � �� �

��� �� ��� ����� ��� ��� � �� ��

���������� ������ ��

� � � ��� �� � � � ���� ��������� �� ������ �� �� ���

�� � ��� �� ��� � � � � ��

������� �� ����� ������ ��� ��

�� � � � ��

������� �� � ��� ���� ���� ��� �� �� � �� ��� �� ������������ ��� �� � ��� ��

� � ���� ��� ��� ���������� � � � ��� �� � � ���� �� ��� �� ����� ������� ��� �� ��������������� ��� ����������

��������� ��� ���������� �� ��� ��� � � � ���� ��� � � �� �� � ��� � � ��� �� � ��� � � �

 �

��� �������� �� ����� ��� ���������� �� � � � � � � �� �� ��� �� ����� ��� � ������ ���� �� �� ��

�� � � ��

����� ����­���� ��� � ��� ������ ��� � �� �� ������� ���������� �� ��� ��

�� � � ��� �� � �

�� � � ��� �� � ��

��� �� ��� ����� ���

��� �� � �

�� � �

��� ����� �� ����� �� ��� �� � � �� ��� ��� ������ ��� � ��� ������� �� ����� �� ��� ��� � � � � �� � � ��� ��� ��

�� � �� ��� � �

� � ��

��� � � � �� � � � �� � � �� � ��� �� ����� �������� ��� �� �� � � �� � � ����������� �� ������ � � �� � � �� � � �� �� ����� �� ��������� ��� �� ��� ��

� � � � � � �

�� � � � � �

� � �� � � ��

����������������� �� ��� �� �� ��� ����� ������� �� �����

�� � � �

��� � � �

������ �� �� ������� ������� ���� �� ��� ������� ��������� ��� ������� ���� ����� ��������� �� ������ ������� ��­������� �� ��� ������� ��� ��­������� ����� �������� �� ������ ����������� ��� ��������� ��� ��

��� �� � ���� �� � � � �

�� � ��

� � �

��� ��� ��� ������� �� ���� ������� ������� �� � ���� �� ��� ��� � � ��� ��� � � � �� �� ������ ������� ���� ��� ������� ���� �� ��­�� ���� ��� ��­������ ����� �� �� ��������� �� ������ �������� �� ������ ��� �� �� ��� �����������

� � �

� � ��

 �

Page 36: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�� ��� ����� ���������� ��� ����������� ���������� �������� ���� � � � ����� � � � ������� � � �� ����� � �

�� ��� ����������

�� �� �� �

��� � ���

�� � � � ��

�� ��� ��������� ���������� ��� ������� ��� �������� �������� ��� ����� ����� ������ ��������� �� �� ����� ��������� �� ����� �� �� ����

�� �� ��������� �� �� ���� �� ���� �� ���� � ������� �� ������ �������������� ������ ����� ������� ��� ����������  ��� � ������ ­ �� ���� ��� ����� �������������� �� �� ���� ���� ������ ����

­� �� �� �� ��������� ������ ������������ �� �� ����������� ���� � ������� �� �������������  �� �� ����������� �� ������ ��� �� ������ �� �������� �� ������ ������������ �� ������ ���� � ����� � �� ���������� ������ ��� �������� ��� ���� ���������� ���� ���� ��������� ��� ��� ����� ���

�� ���� �� ���� ���� �� �� �� �� �� �� � �� �� �� �� ����� ����������� ��

��

��� ������� ����������������

������������� � ���� ����� ��� ��� ����� ��� ��� ����� ��� ����� �������� ����� �� �� �� �������� ���� ����� � �� ������ � ����� ���� ����� �� ������������� � ���� ����� �� ��� ������  �� ����� �� ������ ������ �� �� ����� ������ ������ ������ ��� �� ���� �� ����� �� ���  ��� �� ������ �� �� �������� �������� ������ ��� �� ���� �� ��� �� ���  �� �� ������ �� ��� �� �������������� ������ ��� �� ���� ��� �� ������ ��� �� ��� �� ��� ������  �� ��� �� ������  �� �� ��� �� ������ ������������� ��� �� �� ������ �� �� ��� �� ��� ������ �� �  ������ �� �� ��� ��

������ ������ �� � �� ������ �� �� ��� �� ������ ������ �� �� ��� ��� ��� ����� ����������

��� �� � � � ��

��� �� � � � ��

�� �� � �� � ���

�� ���� �� �� �� ������ ��� � ���� ����� ������������ ��� ��� ��� ������ ����������������� ������ �� ��� ����� ��������� ������� �� ��� �� � ������ �������� �� ��� ���� ����� � �� ����� ������  �� ������� �� �� �� ������� ���� ��������� �� ��� ����

�� � � �

��� � � ��

������������������� ��� ������� �� ����� �� ���������� �� �� � � �� ����� ������ ��� � �� ���� ���� �� ����� �� �� �� � � �� �� ����� ��������� ��� ���� ������ ��� � ��� �������� ���������� ��� ���

��� ��� �� � ��

����� ��������� ��� ��� �� ������  �� �� ����� � ����� �� ���

��� � � �

�� � ��

� � ��

�� �� � � �� � � �� ��������� �� � � �� � � �� �� ����� �� ��������� ��� �� ����� � � � � � �� �� � � � � � � �� �� ��� �� �� ���� ��� ���  �� �� �� ������������ �� ��� �������� �� ��� ��

�� � � � � �

�� � � � � �

�� � � � � ��

��

Page 37: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�� ��� ����� ���������� ��� ����������� ���������� �������� ���� � � � ����� � � � ������� � � �� ����� � �

�� ��� ����������

�� �� �� �

��� � ���

�� � � � ��

�� ��� ��������� ���������� ��� ������� ��� �������� �������� ��� ����� ����� ������ ��������� �� �� ����� ��������� �� ����� �� �� ����

�� �� ��������� �� �� ���� �� ���� �� ���� � ������� �� ������ �������������� ������ ����� ������� ��� ����������  ��� � ������ ­ �� ���� ��� ����� �������������� �� �� ���� ���� ������ ����

­� �� �� �� ��������� ������ ������������ �� �� ����������� ���� � ������� �� �������������  �� �� ����������� �� ������ ��� �� ������ �� �������� �� ������ ������������ �� ������ ���� � ����� � �� ���������� ������ ��� �������� ��� ���� ���������� ���� ���� ��������� ��� ��� ����� ���

�� ���� �� ���� ���� �� �� �� �� �� �� � �� �� �� �� ����� ����������� ��

��

��� ������� ����������������

������������� � ���� ����� ��� ��� ����� ��� ��� ����� ��� ����� �������� ����� �� �� �� �������� ���� ����� � �� ������ � ����� ���� ����� �� ������������� � ���� ����� �� ��� ������  �� ����� �� ������ ������ �� �� ����� ������ ������ ������ ��� �� ���� �� ����� �� ���  ��� �� ������ �� �� �������� �������� ������ ��� �� ���� �� ��� �� ���  �� �� ������ �� ��� �� �������������� ������ ��� �� ���� ��� �� ������ ��� �� ��� �� ��� ������  �� ��� �� ������  �� �� ��� �� ������ ������������� ��� �� �� ������ �� �� ��� �� ��� ������ �� �  ������ �� �� ��� ��

������ ������ �� � �� ������ �� �� ��� �� ������ ������ �� �� ��� ��� ��� ����� ����������

��� �� � � � ��

��� �� � � � ��

�� �� � �� � ���

�� ���� �� �� �� ������ ��� � ���� ����� ������������ ��� ��� ��� ������ ����������������� ������ �� ��� ����� ��������� ������� �� ��� �� � ������ �������� �� ��� ���� ����� � �� ����� ������  �� ������� �� �� �� ������� ���� ��������� �� ��� ����

�� � � �

��� � � ��

������������������� ��� ������� �� ����� �� ���������� �� �� � � �� ����� ������ ��� � �� ���� ���� �� ����� �� �� �� � � �� �� ����� ��������� ��� ���� ������ ��� � ��� �������� ���������� ��� ���

��� ��� �� � ��

����� ��������� ��� ��� �� ������  �� �� ����� � ����� �� ���

��� � � �

�� � ��

� � ��

�� �� � � �� � � �� ��������� �� � � �� � � �� �� ����� �� ��������� ��� �� ����� � � � � � �� �� � � � � � � �� �� ��� �� �� ���� ��� ���  �� �� �� ������������ �� ��� �������� �� ��� ��

�� � � � � �

�� � � � � �

�� � � � � ��

��

Page 38: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�� �� ��������� �� ������� ��� �������� ���

�� � ��� �

��� �� ����� � ���� �� ��� ��

�� � � ��

����

��

�� �� � � �� ����� � � ��

� ��� � ��� �������� �� � ����� �� �� �� � � �� �� �

��� ��� ��� �� � � �� � �

� � � �� � � ��� � �

� � ��� ���������� �� �������� � � ��� � � ��� �� ��� �� �� �� ����� ��������

���������

��� � ��� � � ������� �� ��� �� ������ � ����� �� ����� �� ����� ��� � �� ���� ���� �� ����������� ���

�� � ��� � � ������� �� �� ��� �� ��������� ����� ������ ��� �� ������ ��

� � �� �

��� �� ��� ����� ��� ��� � �� ��

���������� ������ ��

� � � ��� �� � � � ���� ��������� �� ������ �� �� ���

�� � ��� �� ��� � � � � ��

������� �� ����� ������ ��� ��

�� � � � ��

������� �� � ��� ���� ���� ��� �� �� � �� ��� �� ������������ ��� �� � ��� ��

� � ���� ��� ��� ���������� � � � ��� �� � � ���� �� ��� �� ����� ������� ��� �� ��������������� ��� ����������

��������� ��� ���������� �� ��� ��� � � � ���� ��� � � �� �� � ��� � � ��� �� � ��� � � �

 �

��� �������� �� ����� ��� ���������� �� � � � � � � �� �� ��� �� ����� ��� � ������ ���� �� �� ��

�� � � ��

����� ����­���� ��� � ��� ������ ��� � �� �� ������� ���������� �� ��� ��

�� � � ��� �� � �

�� � � ��� �� � ��

��� �� ��� ����� ���

��� �� � �

�� � �

��� ����� �� ����� �� ��� �� � � �� ��� ��� ������ ��� � ��� ������� �� ����� �� ��� ��� � � � � �� � � ��� ��� ��

�� � �� ��� � �

� � ��

��� � � � �� � � � �� � � �� � ��� �� ����� �������� ��� �� �� � � �� � � ����������� �� ������ � � �� � � �� � � �� �� ����� �� ��������� ��� �� ��� ��

� � � � � � �

�� � � � � �

� � �� � � ��

����������������� �� ��� �� �� ��� ����� ������� �� �����

�� � � �

��� � � �

������ �� �� ������� ������� ���� �� ��� ������� ��������� ��� ������� ���� ����� ��������� �� ������ ������� ��­������� �� ��� ������� ��� ��­������� ����� �������� �� ������ ����������� ��� ��������� ��� ��

��� �� � ���� �� � � � �

�� � ��

� � �

��� ��� ��� ������� �� ���� ������� ������� �� � ���� �� ��� ��� � � ��� ��� � � � �� �� ������ ������� ���� ��� ������� ���� �� ��­�� ���� ��� ��­������ ����� �� �� ��������� �� ������ �������� �� ������ ��� �� �� ��� �����������

� � �

� � ��

 �

Page 39: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

� ���� ��� ������� �� � ��� ����� ���� � ��� ��� ���������� � ���� ��� ������� ��� ��� ����� ���� � ��� ����� ���������� � �� �� � ���� ���� ���� ������ � ����� ���� �� ��� ������� �� ����� �� � � ���� ���� �� ��� ��������� � ��� ��

�� � � � � �

� � � � � ���

� ������ ��� ������������ �� ����� ��

�� � � � ��

��� ����� �� ��������� �� � ������ ������� ���� ��� ������� ���� �� �������� ������ ����� ��� �� ����� ����� ������ ���� ����������� ��� �� �� ��

�� � � � ��� ���� �� ��������� ��� ����������������� �� ����� ��� � ��� ����� ���������� �����

�� � � � � �

�� � � � � �

�� � � � � ��

�� ������� �� �� �������� �� ����� ��� ���������� �� ���

��� � � �� � ��� � � �� � � � �

�� � �

� � ��

����� �� ������� ��� ��������� ��� ��� ������� ��� ��

��� � � ��� ��� � � �� � �� ��� � �

� � ��

����� �� ������� ��� �������� ��� ��� ������� ��� ��

��� � � ��� ��� � � �� � �� ��� � �

� � ��

�� ��� ������� ��� � ���� ��������� ��� �������� ��� ����� ���������� � ��������

��� �� � � � ��

��� �� � � � ��

�� �� � �� � ���

��

�� ��� �����������������

��� �� � � � �

��� �� � �� � �

�� �� � �� � ��

�� ��� �����������������

��� �� � �� � �

��� �� � �� � ���� �� � �� � ��

�� ��� �����������������

��� �� � �� � ��

��� �� � � � �

��� �� � �� � �

� � ��� �����������������

��� �� � � � ��

��� �� � � � �

��� �� � �� � �

��

Page 40: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

������ �� ������� ��� ��������� ��� ��� �������� ��� ��

���� �� � ��� ���� �� � �� � ��� ���� � � ��

����� �� �� �� ��� � � � �� �� ���� �� �� ���� ������ �� ������������ ������������ ��� � ��� ��

��� �� � �� � ����

������ �� ������������ ��� �������� ��� ��� ��� ��

��� �� � �� � ����

������� �� ����� �� ��� ��

���� �� � ��� � ���� �� � ��� � ��� � �������� �� � ���

�� ��� �� �� �� ��� �� � � � �� �� ��

�� � � �

��� �� � ���

��� ������� �� �� � � � � �� ��� ��� ������ ��� � ��� ��������� �� ��� ��

� �� � �� � �� � ��

�� � �� � �� � ��

��� � ��

� ���

��

��� ����� ��� ��

� � � � � � � ���

����

��

��� � ����� ��� �������� ��� � � � � ��� ������� �� �� ��� �� ��� ���� ��� ��

� � ���� � � ��

�� � � ��

� ���

��

������ �� ���� � � ��� � � �

��� � � �

��� �

� ������ ��� �� ��� ����������

�� �� � �

�� �� � �

�� ��� �� ��� ����������

��� �� � ����� � � �

� ��� �� ��� ����������

��� �� � �

��� �� � ��

�� ������ �� ��� �� �� ��� ��� ������ � ��� �� �� ��� ����� ������ ������� �������� �� ������ �� ��� �� �� ��� ��� ������ � ��� �� �� ��� ����������� �������  ��� ��������

­� �� ��� ������ ��� �������� �� ������� ���� �� ��� ��� ���� ������ �� ���� ��� ���� �� ���� �� �� �� �� ���������� �� ��� �� ������� �� ��� � ��������� ��� �� � ��� ���� ��� ������ ��� ���� �� �� �� �� �������� ����� �� ���� ��� ��  ��� �� ���� ��� � ��������� ���� �� ��� ������

��  ��� ��� ���� �� ������ � ���� ��� ��� �� �� ��� ��� �� �� � �� �� �� ��� ��� �� �� � �� �� ��� ��� �� �� �� �� ��� ���������� �������� �� �� �� ��� ��� �� �� � ��� �� �� ��� ��� �� �� � �� �� ��� ����� �� �� ��� ���������� � �� �� �� ��� ��� �� �� � ��� �� �� ��� ��� ���� � �� �� �� ��� ��� �� �� �� ��� ����������

Page 41: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

������ �� ������� ��� ��������� ��� ��� �������� ��� ��

���� �� � ��� ���� �� � �� � ��� ���� � � ��

����� �� �� �� ��� � � � �� �� ���� �� �� ���� ������ �� ������������ ������������ ��� � ��� ��

��� �� � �� � ����

������ �� ������������ ��� �������� ��� ��� ��� ��

��� �� � �� � ����

������� �� ����� �� ��� ��

���� �� � ��� � ���� �� � ��� � ��� � �������� �� � ���

�� ��� �� �� �� ��� �� � � � �� �� ��

�� � � �

��� �� � ���

��� ������� �� �� � � � � �� ��� ��� ������ ��� � ��� ��������� �� ��� ��

� �� � �� � �� � ��

�� � �� � �� � ��

��� � ��

� ���

��

��� ����� ��� ��

� � � � � � � ���

����

��

��� � ����� ��� �������� ��� � � � � ��� ������� �� �� ��� �� ��� ���� ��� ��

� � ���� � � ��

�� � � ��

� ���

��

������ �� ���� � � ��� � � �

��� � � �

��� �

� ������ ��� �� ��� ����������

�� �� � �

�� �� � �

�� ��� �� ��� ����������

��� �� � ����� � � �

� ��� �� ��� ����������

��� �� � �

��� �� � ��

�� ������ �� ��� �� �� ��� ��� ������ � ��� �� �� ��� ����� ������ ������� �������� �� ������ �� ��� �� �� ��� ��� ������ � ��� �� �� ��� ����������� �������  ��� ��������

­� �� ��� ������ ��� �������� �� ������� ���� �� ��� ��� ���� ������ �� ���� ��� ���� �� ���� �� �� �� �� ���������� �� ��� �� ������� �� ��� � ��������� ��� �� � ��� ���� ��� ������ ��� ���� �� �� �� �� �������� ����� �� ���� ��� ��  ��� �� ���� ��� � ��������� ���� �� ��� ������

��  ��� ��� ���� �� ������ � ���� ��� ��� �� �� ��� ��� �� �� � �� �� �� ��� ��� �� �� � �� �� ��� ��� �� �� �� �� ��� ���������� �������� �� �� �� ��� ��� �� �� � ��� �� �� ��� ��� �� �� � �� �� ��� ����� �� �� ��� ���������� � �� �� �� ��� ��� �� �� � ��� �� �� ��� ��� ���� � �� �� �� ��� ��� �� �� �� ��� ����������

Page 42: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

� ���� ��� ������� �� � ��� ����� ���� � ��� ��� ���������� � ���� ��� ������� ��� ��� ����� ���� � ��� ����� ���������� � �� �� � ���� ���� ���� ������ � ����� ���� �� ��� ������� �� ����� �� � � ���� ���� �� ��� ��������� � ��� ��

�� � � � � �

� � � � � ���

� ������ ��� ������������ �� ����� ��

�� � � � ��

��� ����� �� ��������� �� � ������ ������� ���� ��� ������� ���� �� �������� ������ ����� ��� �� ����� ����� ������ ���� ����������� ��� �� �� ��

�� � � � ��� ���� �� ��������� ��� ����������������� �� ����� ��� � ��� ����� ���������� �����

�� � � � � �

�� � � � � �

�� � � � � ��

�� ������� �� �� �������� �� ����� ��� ���������� �� ���

��� � � �� � ��� � � �� � � � �

�� � �

� � ��

����� �� ������� ��� ��������� ��� ��� ������� ��� ��

��� � � ��� ��� � � �� � �� ��� � �

� � ��

����� �� ������� ��� �������� ��� ��� ������� ��� ��

��� � � ��� ��� � � �� � �� ��� � �

� � ��

�� ��� ������� ��� � ���� ��������� ��� �������� ��� ����� ���������� � ��������

��� �� � � � ��

��� �� � � � ��

�� �� � �� � ���

��

�� ��� �����������������

��� �� � � � �

��� �� � �� � �

�� �� � �� � ��

�� ��� �����������������

��� �� � �� � �

��� �� � �� � ���� �� � �� � ��

�� ��� �����������������

��� �� � �� � ��

��� �� � � � �

��� �� � �� � �

� � ��� �����������������

��� �� � � � ��

��� �� � � � �

��� �� � �� � �

��

Page 43: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

� ������ �� ���������

�� ������ ��� ���� �� ����� ���� �� ����� ������ ��� ���� ���������� �� ��������� ����� ������� ��� ��� ��� ������ ��� �������� �� ��� ����� ��������� �� ���� ����� �� ��� ��������� ������ ������ ��� �� ����� �� ��� ����� ����� ��������� �� ��� ����� �� � �� ������������ ������� �������� �� ������ ����� ��������� ��� ��������� ������� ����������� ������ ��� �� ���� ��� ���� ����� �� ������������ ������� �� ��� ����� ����� ������ ��� �� �� �� ������� ������� �������� ��� ����� ��� ������ ������ � ����� �� � � � �� � � �� ���� �� ����� ��� �� ��� ����� ����� �� ��� ��������� ������� � ����� ������� ��������� �� �� ������� ������ ����� ��� �� ��� ��� �� ����� �� ��� ��������� ������� �� ������ �� ������������� ����� ������� ����� ����� �� ��������� ��� ����� � �� ����� � ��� ������������ ������ �� ������� ������ �� ����� � ��� ����� ������� ��� �� ����� �������� ������� ����� ������� ���� ��� ��� ��������� ������ �� ��� ���������������� ��� ��� �� ����� �� ��� ��������� ������ �� �� ����� �� ��� ���������������� ������ �� �� �� ����� ��� � �� �� ����� ��� � ������� ��� ��� ������������� � ������� �� ������ � �� � ��� ������������ ��� ������� �� ���� �� �� ���� ��������������� � ��� ����� ������� ��� ������ �������� ��� � ������ ��� �������������� �� ����� ������ ������ �������� �� ���� �� �

�� ������ ��� �� �� �� �� ����� � �� ���� ��� �� ���������������� ­��������� �� ������ �� �� ����� � ������� ��� �� ����� ��� �� �� �� ����� ��� �� ����� ����� � ���� �� ������ ��� ������ � �� � � ���� �� �� ��������

��� ����� ������

�� �������� ������� �� ��� ����� ��� �� ����� ������� �� ��� ���� ��������� ������ ����� ������ ������� ������� � ���� ��� � � � �� � � �� �� � ���� ��� � � ��� � � �� �� � ��� �� ��������� ����� ����� �� ����� ������ ��� �����������

��

�� ��� ��� �� ��������� �� ������� �� �� �� � ���� ����� ������ ������ ��� ���� ��� ���������

��� ��� � �� � ��� � �������� �� ��������� �� ��� ��

�� � ��� � � �� � �� � � � ��­�� ��� �� ������ ��� � �� ��� ���� �� �� ��

�� � �� � ��� �� � � � ����� ���� ����� ��������� ��������

�� ������ ������� �� ����� ���� ��� ���������

�� � �� � ��� �� � � � ������� �� � ��� � � ��� ��� ��� ��������� �������

��� ��� � �� � �� � ������ ��� � �� ��� ���� �� ��� ���������� ��� ��� ��

��� ��� � �� � �� � � � ��

����� �� � �� � � � �� � ��� ��� ����� ��������� �������

��� ��� � �� � ��� � ���

��

Page 44: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

� �� �� �� ���� ������ �� ��� ����������� ����� ��� ���� �� ��������� �������� ������� �� �� � �� � ��� �� �� � ��� ��� � ��������� ��� ���� ����� �� �

��

������

������

��

����� �� � � � �� �� � �� �� �� � �� � �� �� � �� � ��� �� �� �� � � � ��� � �

�� ��� � � �

�� ��� ���������� � � � � ��� ��

��� ���� ��� ���������� � � �

������� �� �� ��� � ��

�����

����� ��� � � �

�� ���� � ������� ������������� �� �� ���� ����� �� � ������ � ������� ����

��� �� �� ����� �� ���� �� �� � ����� ���� � � �� �� �� � ������ �� � ��������� ������ ������� �� �� ���� � ������� ���� �� ���� �� � �� � ����� ������ ���� � �� ��� ������ ���� �������� ��� ������ ������� �� �� ���� � ������� ���� ������� ��� ������ ������ ����� ����� � ����

��

���������  � ��� ���������

��� �� � ��

�� �� � � � �� � � � �� �� ����� ���������� �� �� �� �

� � � � � � � � ��

������ �� ������ ����� ��� � ��������� ��� ��� ���� � ��������� ��� ��

� ��� �� � � �� � �� � ��

­������ �� � ��� �� ��� �� ����� ����� ��� �� �

� �� � �� � �� ��� �� �

������ �� � ���� �� ���� ��� �� ���� ��� � ��� �� �� ����� ������ �� ��� �� � � � ��� � � �

��

����� ���� �� �� �� � �� � �� � � �� �� �� ����� ��� � ������� ��� ��� ���

������� ���� � ��� �������� �� � � � �� � � �� ����� � ������� ���� ������ �� �� �� � �� �������� ������ ��� ������� ��� �� ������� �� ������

��� �� � �

��� ���� � �� ��� � ���� ���� �� �� ������

��������� �� � ������ ���� �� ��� �� � �� � � �� �� � � � �� �� ������� ������������� � ������ ���� ������������� � �� � ���� ��� �������� ����� �������� �� �� �� ���� �� ����� �� � �� �� ����� �� � ��� ��������������� ���

��� �� � �

��� � � ��

��������� �� �� � �� � � �� � ������������� � �� �� ��� � � � �� � � ��

��� �������

�� ��� ���� �� �� �� ������� �� ������ ��� �������� �� ������ ��� ������ �� ����� ��� � ���� � � ��� �������� �� � �� �� �� �� �� � � � � �� � � ������� ��������� ���� � �� �������� ��� �������� �� � �� �� �� ��� �������� �� ��� � ������� ��� ����� ���� � �� ������� �������� ������� � �� ���������� �������� ������� � �� �������� �� �� � ���� � �� �� ���� ������ �� ���� �� �� ������ ����� ��� ������ �� � �� � � ��� � �� ����� ��� ����� � ��������� �� ��� �� ����� �� ������ �� ����� ������ � �� ������� ��

��

Page 45: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

� �� �� �� ���� ������ �� ��� ����������� ����� ��� ���� �� ��������� �������� ������� �� �� � �� � ��� �� �� � ��� ��� � ��������� ��� ���� ����� �� �

��

������

������

��

����� �� � � � �� �� � �� �� �� � �� � �� �� � �� � ��� �� �� �� � � � ��� � �

�� ��� � � �

�� ��� ���������� � � � � ��� ��

��� ���� ��� ���������� � � �

������� �� �� ��� � ��

�����

����� ��� � � �

�� ���� � ������� ������������� �� �� ���� ����� �� � ������ � ������� ����

��� �� �� ����� �� ���� �� �� � ����� ���� � � �� �� �� � ������ �� � ��������� ������ ������� �� �� ���� � ������� ���� �� ���� �� � �� � ����� ������ ���� � �� ��� ������ ���� �������� ��� ������ ������� �� �� ���� � ������� ���� ������� ��� ������ ������ ����� ����� � ����

��

���������  � ��� ���������

��� �� � ��

�� �� � � � �� � � � �� �� ����� ���������� �� �� �� �

� � � � � � � � ��

������ �� ������ ����� ��� � ��������� ��� ��� ���� � ��������� ��� ��

� ��� �� � � �� � �� � ��

­������ �� � ��� �� ��� �� ����� ����� ��� �� �

� �� � �� � �� ��� �� �

������ �� � ���� �� ���� ��� �� ���� ��� � ��� �� �� ����� ������ �� ��� �� � � � ��� � � �

��

����� ���� �� �� �� � �� � �� � � �� �� �� ����� ��� � ������� ��� ��� � ��

������� ���� � ��� �������� �� � � � �� � � �� ����� � ������� ���� ������ �� �� �� � �� �������� ������ ��� ������� ��� �� ������� �� ������

��� �� � �

��� ���� � �� ��� � ���� ���� �� �� ������

��������� �� � ������ ���� �� ��� �� � �� � � �� �� � � � �� �� ������� ������������� � ������ ���� ������������� � �� � ���� ��� �������� ����� �������� �� �� �� ���� �� ����� �� � �� �� ����� �� � ��� ��������������� ���

��� �� � �

��� � � ��

��������� �� �� � �� � � �� � ������������� � �� �� ��� � � � �� � � ��

��� �������

�� ��� ���� �� �� �� ������� �� ������ ��� �������� �� ������ ��� ������ �� ����� ��� � ���� � � ��� �������� �� � �� �� �� �� �� � � � � �� � � ������� ��������� ���� � �� �������� ��� �������� �� � �� �� �� ��� �������� �� ��� � ������� ��� ����� ���� � �� ������� �������� ������� � �� ���������� �������� ������� � �� �������� �� �� � ���� � �� �� ���� ������ �� ���� �� �� ������ ����� ��� ������ �� � �� � � ��� � �� ����� ��� ����� � ��������� �� ��� �� ����� �� ������ �� ����� ������ � �� ������� ��

��

Page 46: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

� ������ �� ���������

�� ������ ��� ���� �� ����� ���� �� ����� ������ ��� ���� ���������� �� ��������� ����� ������� ��� ��� ��� ������ ��� �������� �� ��� ����� ��������� �� ���� ����� �� ��� ��������� ������ ������ ��� �� ����� �� ��� ����� ����� ��������� �� ��� ����� �� � �� ������������ ������� �������� �� ������ ����� ��������� ��� ��������� ������� ����������� ������ ��� �� ���� ��� ���� ����� �� ������������ ������� �� ��� ����� ����� ������ ��� �� �� �� ������� ������� �������� ��� ����� ��� ������ ������ � ����� �� � � � �� � � �� ���� �� ����� ��� �� ��� ����� ����� �� ��� ��������� ������� � ����� ������� ��������� �� �� ������� ������ ����� ��� �� ��� ��� �� ����� �� ��� ��������� ������� �� ������ �� ������������� ����� ������� ����� ����� �� ��������� ��� ����� � �� ����� � ��� ������������ ������ �� ������� ������ �� ����� � ��� ����� ������� ��� �� ����� �������� ������� ����� ������� ���� ��� ��� ��������� ������ �� ��� ���������������� ��� ��� �� ����� �� ��� ��������� ������ �� �� ����� �� ��� ���������������� ������ �� �� �� ����� ��� � �� �� ����� ��� � ������� ��� ��� ������������� � ������� �� ������ � �� � ��� ������������ ��� ������� �� ���� �� �� ���� ��������������� � ��� ����� ������� ��� ������ �������� ��� � ������ ��� �������������� �� ����� ������ ������ �������� �� ���� �� �

�� ������ ��� �� �� �� �� ����� � �� ���� ��� �� ���������������� ­��������� �� ������ �� �� ����� � ������� ��� �� ����� ��� �� �� �� ����� ��� �� ����� ����� � ���� �� ������ ��� ������ � �� � � ���� �� �� ��������

��� ����� ������

�� �������� ������� �� ��� ����� ��� �� ����� ������� �� ��� ���� ��������� ������ ����� ������ ������� ������� � ���� ��� � � � �� � � �� �� � ���� ��� � � ��� � � �� �� � ��� �� ��������� ����� ����� �� ����� ������ ��� �����������

��

�� ��� ��� �� ��������� �� ������� �� �� �� � ���� ����� ������ ������ ��� ���� ��� ���������

��� ��� � �� � ��� � �������� �� ��������� �� ��� ��

�� � ��� � � �� � �� � � � ��­�� ��� �� ������ ��� � �� ��� ���� �� �� ��

�� � �� � ��� �� � � � ����� ���� ����� ��������� ��������

�� ������ ������� �� ����� ���� ��� ���������

�� � �� � ��� �� � � � ������� �� � ��� � � ��� ��� ��� ��������� �������

��� ��� � �� � �� � ������ ��� � �� ��� ���� �� ��� ���������� ��� ��� ��

��� ��� � �� � �� � � � ��

����� �� � �� � � � �� � ��� ��� ����� ��������� �������

��� ��� � �� � ��� � ���

��

Page 47: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�� ��� �� �� ������ �� �� ������ ��� ������� � � � � �� � � � �� ��� ������ �����

��������� ��� ��� �������� � �� � � �� ��������������� �� ���� ������ ������

���� ���� ���������� ��� � ���� ��������� ��� ����� ����� ��������� � � � �� � � � ��� � �� � � � �� � � � ��� ��� � � � �� � � � ��� � �� � � � �� � � � ��� ��� � � �� �� � � � ��� � �� � � � �� � � � ��� �

�� ���� ���� ���������������� ������ �� ����� ������� ���� ���

��� �� � �

�� �� � �

�� ���� ���� ���������������� ������ �� ����� ������� ���� ���

��� � � �

��� �� � �

�� ���� ���� ���������������� ������ �� ����� ������� ���� ���

��� �� � �

��� �� � �

 � ���� ������� �� ������ � �������� ���� ���

�� � �� � �� � �

­� ���� ������� �� ������ � �������� ���� ���

�� � �� � ��� �� � � � �

�� ���� ������� �� ������ � �������� ���� ���

�� � �� � ��� �� � � � �

�� ��� �� ��� ����� ������ �� � ��� �� ������� ��� �������� �� � �� � �� ��

��� ������������������

��

­� ��� ��� � �� � �� �

�� ��� ���� � �� � � ��� �� ��� ��

�� ���� ����������� �������������� ��� ���������� � �� �������������� ��� ���� ������������

�� ��� ��� � �� � ��� � ��� �

�� ��� ���� � ��� � ��� � � ��� �� ��� �� ��� ��

�� ���� ����������� �������������� ��� ���������� � �� �������������� ��� ���� ������������

�­

Page 48: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

� ����������

���� �� ��� ���� �� �������� ������ �� � ���� ���� ������� �� ��� ������ ������� � ���������� ������� ���������� ���������

�� � �� � � ������ �� �� ���������� �������� �� ��� ���� ��� ��� � ����� � � � � �

� � ��� ����� ��� � �� � � �� �

� � ������� � ��������� ��� ������

������

�� � � �

�� � ���

�� �� �

�� � � �

�� ��

�� ��� �

�� ��

� � ���

�� ����� �� ���������� � � �� �

�� � � � � � ��

� ��� � ��� ������ �� ��� � � �

� ���������� ��� �� �� � � � � � �� � ��� �� � � �� ��� �� ����� � ���� � � ��� � ����� �� � � � � � � �� �� ���������� ��� ���������� ���� �� �������������� �������� �� � �� � ������ ��� �� �� � �� �� ������� � ����� �������� ��� �����

� � �� � �� �� ����� ����������� ������� �� �� ���� ���� ��� �� �� ����� �� �� �� ��� ���� �������� ��� � � �� ������� �� � �� ���� �� ��� ������ ������� ���� ���� �� ������� � � �� �� �� � � ��� �� ���� �������� ��� ����������� ������ �� �� � ������ ����� � � � ��� �� ���������� � �������� �������� �� �� ���������

���������� �� �������� ��� �������� ���������� � � �� ���� �������� ����� �� � ��� �� ������ ����� �� �� ������ �� � ������ �� ���� �� � ���� � ����� �� �� ���� �� �������� � ������� �� � �� ������� ��

� � � ��� �

�� ������ � �������� �������� � � �������� ���������

��������� �� �� ������� ������� �� �� ��������� �� ������������ ����������� � �� � ����� �� �� ��������� ������ � ����� �� �������� �������� � � ������ �� �� �� ������� � ��� ��� ����� ������������ ���� ������������ �� �� �� � ��� ���� � �� �� �� �� � � ��

�� �� � ��� ����

������� � � ����� �� �� �� ��

� ��� � �

���

��

������ � ��

��

��

���� � � �� �� �� � � �� �� ��� �� �� ��������  ������� ��� ��������� ������ � � ����� ��� ��� ������� � � �� � �� � � �� �������� �� �� � �� �������

� � ������� � � �� � �� ������ �������

�� � �� � � � � ��

�� ������� �� ����� ���������� �� �� ����� �� � � �� ����� �� �� � ����������������� ���� � �� ���� ­� ������� �� � � � � � � �� �� ����������� �� � � � ���� � � � �� �������� �� ��������� �� � � � � � � � � ��� ��� � ������� � �� �������� �� � ��� �� ����� � ����� ���� �� ��������� � ����� � � �� � ������ ������� �� ������ � ���� ��� � ������� ��������� � ������� ����� ­ ������� ���� ������ ��� ������ ��� � ��������

 ��������� ­��� �� ������ �� ������� �� �� ��������� ��� ������� �� ��� ����

� � ����� �� �� ��������� ������ � �����

�� �� �� ���������� ������ ���� �� ���������� �� ��������� ���� ��� ������� ���� ��� �� �� � ����� ������ ������� ��� �� ������� �� ���������� � ����������� ­��� �� ������ �� �� �� �� ����� � � ����� �� ��

�� ���� ����� � � �������� � ��� �������������

� ��� � ��� �� � ��� � ����� �

�� ���� ����� � � �������� � ��� ������������

� ��� � ��� � ��� � �� � �

�� ��� ��� � �� � �

�� ­��� � ���� �� � ��� � �� ����� ������ � �������� � ��� �������� ���� � ������� � �� ������������ �� ���� � ��� ������

��

Page 49: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

� ����������

���� �� ��� ���� �� �������� ������ �� � ���� ���� ������� �� ��� ������ ������� � ���������� ������� ���������� ���������

�� � �� � � ������ �� �� ���������� �������� �� ��� ���� ��� ��� � ����� � � � � �

� � ��� ����� ��� � �� � � �� �

� � ������� � ��������� ��� ������

������

�� � � �

�� � ���

�� �� �

�� � � �

�� ��

�� ��� �

�� ��

� � ���

�� ����� �� ���������� � � �� �

�� � � � � � ��

� ��� � ��� ������ �� ��� � � �

� ���������� ��� �� �� � � � � � �� � ��� �� � � �� ��� �� ����� � ���� � � ��� � ����� �� � � � � � � �� �� ���������� ��� ���������� ���� �� �������������� �������� �� � �� � ������ ��� �� �� � �� �� ������� � ����� �������� ��� �����

� � �� � �� �� ����� ����������� ������� �� �� ���� ���� ��� �� �� ����� �� �� �� ��� ���� �������� ��� � � �� ������� �� � �� ���� �� ��� ������ ������� ���� ���� �� ������� � � �� �� �� � � ��� �� ���� �������� ��� ����������� ������ �� �� � ������ ����� � � � ��� �� ���������� � �������� �������� �� �� ���������

���������� �� �������� ��� �������� ���������� � � �� ���� �������� ����� �� � ��� �� ������ ����� �� �� ������ �� � ������ �� ���� �� � ���� � ����� �� �� ���� �� �������� � ������� �� � �� ������� ��

� � � ��� �

�� ������ � �������� �������� � � �������� ���������

��������� �� �� ������� ������� �� �� ��������� �� ������������ ����������� � �� � ����� �� �� ��������� ������ � ����� �� �������� �������� � � ������ �� �� �� ������� � ��� ��� ����� ������������ ���� ������������ �� �� �� � ��� ���� � �� �� �� �� � � ��

�� �� � ��� ����

������� � � ����� �� �� �� ��

� ��� � �

���

��

������ � ��

��

��

���� � � �� �� �� � � �� �� ��� �� �� ��������  ������� ��� ��������� ������ � � ����� ��� ��� ������� � � �� � �� � � �� �������� �� �� � �� �������

� � ������� � � �� � �� ������ �������

�� � �� � � � � ��

�� ������� �� ����� ���������� �� �� ����� �� � � �� ����� �� �� � ����������������� ���� � �� ���� ­� ������� �� � � � � � � �� �� ����������� �� � � � ���� � � � �� �������� �� ��������� �� � � � � � � � � ��� ��� � ������� � �� �������� �� � ��� �� ����� � ����� ���� �� ��������� � ����� � � �� � ������ ������� �� ������ � ���� ��� � ������� ��������� � ������� ����� ­ ������� ���� ������ ��� ������ ��� � ��������

 ��������� ­��� �� ������ �� ������� �� �� ��������� ��� ������� �� ��� ����

� � ����� �� �� ��������� ������ � �����

�� �� �� ���������� ������ ���� �� ���������� �� ��������� ���� ��� ������� ���� ��� �� �� � ����� ������ ������� ��� �� ������� �� ���������� � ����������� ­��� �� ������ �� �� �� �� ����� � � ����� �� ��

�� ���� ����� � � �������� � ��� �������������

� ��� � ��� �� � ��� � ����� �

�� ���� ����� � � �������� � ��� ������������

� ��� � ��� � ��� � �� � �

�� ��� ��� � �� � �

�� ­��� � ���� �� � ��� � �� ����� ������ � �������� � ��� �������� ���� � ������� � �� ������������ �� ���� � ��� ������

��

Page 50: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�� ��� �� �� ������ �� �� ������ ��� ������� � � � � �� � � � �� ��� ������ �����

��������� ��� ��� �������� � �� � � �� ��������������� �� ���� ������ ������

���� ���� ���������� ��� � ���� ��������� ��� ����� ����� ��������� � � � �� � � � ��� � �� � � � �� � � � ��� ��� � � � �� � � � ��� � �� � � � �� � � � ��� ��� � � �� �� � � � ��� � �� � � � �� � � � ��� �

�� ���� ���� ���������������� ������ �� ����� ������� ���� ���

��� �� � �

�� �� � �

�� ���� ���� ���������������� ������ �� ����� ������� ���� ���

��� � � �

��� �� � �

�� ���� ���� ���������������� ������ �� ����� ������� ���� ���

��� �� � �

��� �� � �

 � ���� ������� �� ������ � �������� ���� ���

�� � �� � �� � �

­� ���� ������� �� ������ � �������� ���� ���

�� � �� � ��� �� � � � �

�� ���� ������� �� ������ � �������� ���� ���

�� � �� � ��� �� � � � �

�� ��� �� ��� ����� ������ �� � ��� �� ������� ��� �������� �� � �� � �� ��

��� ������������������

��

­� ��� ��� � �� � �� �

�� ��� ���� � �� � � ��� �� ��� ��

�� ���� ����������� �������������� ��� ���������� � �� �������������� ��� ���� ������������

�� ��� ��� � �� � ��� � ��� �

�� ��� ���� � ��� � ��� � � ��� �� ��� �� ��� ��

�� ���� ����������� �������������� ��� ���������� � �� �������������� ��� ���� ������������

�­

Page 51: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

� �������������

���������� ��� �� �������������� �� ���� �� � ��� ��� ���� ��� � �� � ��������� ��� ��� ����������� ��� ��� ��� �����

��������� �� � ���� ���������� ���� ���

� ��� ������� � �

����� ���������� �� ���� ������� ��� ���� ������ ����� ����� � ���������� ������� ������� ��� �� ���� ����� �������� ������� ��� �� �������� �� �������� ��������������� ��� ����� ��� ��� �� � �� ���� ����������� ��� �� ������ ��� �� ��������� ����� ������� ��� �� � ������ ��� �� ����� ������� ��� � ��������� ��� � � ���� ��� �� � ���� ��� ��� ����� ��� � ������ ��� ������� �� ��� � ��������� �� ��� ������� �� ��� ������ �� ������ ����� ��� ����� ������ �� ��� �������� ������ ������ ��� ��� ����� ��� ������� �� ������ ��� � ���� �� ������ ���� �� �� ����� ��������� �� ������ �� ��� ����� ������ ��� ��

�� ����

�� ����� ����������� �� ��� ��

������ � �

������ ��������� �� ������ �

�� � ���� �� ������

�� ��� ��

��� �� ������ ��

�����

��� �� ��� ������� ����� � ����� ������� �� ��� ������� ��� ��� ������ ��������� �������� ��� ����� ��� � �� ������� �� �������� ��� ����� ��� �� �������� ������� �� ����� ����� ��� �

� � ������������� �� ����� ��� ������� �� ������� ��� �� �� �

� � ����� �������

������

������ � �

��

 �� ���� ��� ��� ��� �������� ����� ����� ��� ��� ������� ����� ��� �� �� ����� ������� �� ���������� ��������� ��� �� ��� � �� ������� �� � ���� ���������������� �� �� ��� �� � �� ���� ����� ����������

��������� �� ���������� � ���� ���� ���

� ��� ��� � ����

����� ���������� �� ������� ��� ���� ������� �� � ����������� ��� ����� �� ��� �� � ��� ��� ����� ��� � ������ ��� ����� ����� ���� �� �� ����� ����������

�� � ����

��� ��� ��

��� �� ��

­�

��� ������� ����� ��� ��� ������� �� ������ � ������� �� � ����� ��� ����������� ��� � � ���� � ������ ������ ��� � ��� �������� �� �������� ��������������� � �� � ������ ��� ��������� ������� � ��� �� ������� ��� �� �������������� �� ����� ����� ������������ ��� � �� ���� ��� �� ������ ����� ��� ��� �� ����������� ����� ��� �� ��� � � � ���� ��� � ���� ������������ ��� � ����� � �� ������� ��� ������� ��� ������ � ������ ������ �� ������ �� �������� ��� ����������� ������� ��� � �� ���� ��� � � � ������� ����

�� � � ������� � ���

�� ��� ��������� � ���������������� ��� � ��� �� �� �� ��� �������� � �� ���������� ������ ��������� �� ���������������� �� ��������� � �� �� ��� �������� ��� � �����

���� �

��������� ��� ����� ����� ��� ������� �� �������� ������� � �� � �� ������������� ��������� �� �� �� ����� ��� ����� �� ��� �������� � ����� ��� ��� � ������� ������� �� ����� ����� ������ ��� �� ����������� ��� �� ��� �������� �� ���� �� �� ���������� �� ��������� �� ������

� ���� � �������

���� � ���

����

� ������� � ����� �

�� ������ � � ��� ��� ��������� �� � � ������ � �

��������� ��� ��� � ��

���������������� �� ����� �������� ��� �� �� ��

�� � � ������� � ��� � �� � � ��

�������� ������ �

� ������� � ����� � ��

������� �� ���� �� �������� ��� �� ������������� �� ����� ����� ����� ������

��� ���� �� �� ���� �� ��� ��� �� ��� ��������� �� � ��� ���� ������� �� ��

� � ��� � �

��� ���� ������� �� ��

��������� ��� ��� � ��

�� ���� � � ������� � ��� � ������� � � ���

��

Page 52: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

����� ��� �� ����� �� ����� � �� ����������� ��� ���� ��� �� �� � ���� ��� ������� �� ��

������

�� � ����

� ������

��� �� � ���������������� �� ����� �� ��� ����� �� ������� �� ���������� �� ������������ �� ��� ������� �� � �� ������������� ��� ���� �� ��� �� �� �� ������� ���

��������� �� ���������� � ���� ���� ���

� ��� ��

��

����� ���������� �� ������� ��� ���� ������ ���� �������� ��� ���� ��� ��� �� �� ����� �� ����� ��� ������� �� � ������ ���� ���� ������� ������� �� ������������ ���� ��� �� �� ����� � �� � ����� ������� �� � ������ ���� ���� ���������� ������� �� ���������� ���� ��� ���� �� ���� �� �� ������������� ��� ��������������� �� ���� ��� � ��� �� �������� �� �������

������

�� ��

����� ����� �� ������� �� ���������� ��� ���� ��������� ��� ���� ����� � ��������������� ����� �� ��� ��� ��� �� �� �� ��� �� ����� ��� � ��� ��� ���������� ��� ��� �� ��� � ��� �� ���� �������� �� ��� ���� ������������� �������� �� ������� �����

�������

�� ��

� ��� ������ ����������� ��� � � � ��� ������� �� ���������� ���� ��� ���������� �������� ������� � ��� ����� ����������� ��� �� �� ��� ������� ������������ ���� ��� ���� ������ �������� ������� ��� � ����� �������� ���������� �� ���������� ���� ��� ����

���������  ��� ��������������

�­ ������

���� �� �­ ������

���­ ������

��� �

��� � �­ ������

��� �

�� �

�  ��� ��������������

�­ ������

�� � �

��­ ������

�� � ��� � �­ ���

���

�� � ��� �

�  ��� ��������������

�­ ������

�� � �� ��� � �­ ���

���

��� �� ��

�­ ������

�� � ������ �

��

� ����������

�� ��� ���� �� ������� �� ��� ������� � �� ���� ����� �� �������� ����� �������� ����� ��� �� �������� ��� ���������� ��� �� �� ��� ���� �� �� � �� ���������� �������� ����� ��������� ��� ��� �� � �������� �� ��� ��������� ���������� �������� ����� ��������� �� �������� ������� �� ��� ��������� �������� ����� �� ������� ��� ������� ���������� ���������� ��� ���������� ���� ���� ��� � ��� � ���� �������� ����� ��� ����� ������ � � ��� � �� �������� ����� ��� ��� ���������� ���� ��� � ��� � ��� � ���� ��������� ����� �������� ������ � � ��� � �� �������� �� � � � ��� ���� �� �� ��������� �������� �� ����� �� ����� �� ����������

����� ���������� � �� �������������� �� ��� �� ��� �� ������������ ����� �� ����� ����������� ����� �� ������� �� ����� ������ ������ �� ���� ����������� ����� �������� �� ��������� � ����� ������ ��� �������� ����� �������� ��� �� ����� ������ �� ������� �� ������������ ���������� �� ����� ����� ��������� ������ ��� ��������� ����� ������� ������ ��� ��������� �� ��� ����� ���������������� �� ��� �������� ������� ������ �� �� ����� �� ������ �� ��� ������� ��� �� ������� � ����� ������� ����� ���� ���� ������ ��� �� ������� ���� ����� ������� ���������� �� � ��������� � ����� ������� �� �������� ������������� �� � �� �� �� ������� �� ��� ���� ��������� ��� �� ����� � �� ����

����� �� ������� �� � ����� �� ����� � �� ��� ���� ��������� � ����� ������� �� ���� � � ���� �� ����� ����� � �� ������ ���� ��������� �� ������� �� �������� ������ ������ ����� �� �������� ����� ����� ������ ��� ���� �� ������

��

Page 53: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

����� ��� �� ����� �� ����� � �� ����������� ��� ���� ��� �� �� � ���� ��� ������� �� ��

������

�� � ����

� ������

��� �� � ���������������� �� ����� �� ��� ����� �� ������� �� ���������� �� ������������ �� ��� ������� �� � �� ������������� ��� ���� �� ��� �� �� �� ������� ���

��������� �� ���������� � ���� ���� ���

� ��� ��

��

����� ���������� �� ������� ��� ���� ������ ���� �������� ��� ���� ��� ��� �� �� ����� �� ����� ��� ������� �� � ������ ���� ���� ������� ������� �� ������������ ���� ��� �� �� ����� � �� � ����� ������� �� � ������ ���� ���� ���������� ������� �� ���������� ���� ��� ���� �� ���� �� �� ������������� ��� ��������������� �� ���� ��� � ��� �� �������� �� �������

������

�� ��

����� ����� �� ������� �� ���������� ��� ���� ��������� ��� ���� ����� � ��������������� ����� �� ��� ��� ��� �� �� �� ��� �� ����� ��� � ��� ��� ���������� ��� ��� �� ��� � ��� �� ���� �������� �� ��� ���� ������������� �������� �� ������� �����

�������

�� ��

� ��� ������ ����������� ��� � � � ��� ������� �� ���������� ���� ��� ���������� �������� ������� � ��� ����� ����������� ��� �� �� ��� ������� ������������ ���� ��� ���� ������ �������� ������� ��� � ����� �������� ���������� �� ���������� ���� ��� ����

���������  ��� ��������������

�­ ������

���� �� �­ ������

���­ ������

��� �

��� � �­ ������

��� �

�� �

�  ��� ��������������

�­ ������

�� � �

��­ ������

�� � ��� � �­ ���

���

�� � ��� �

�  ��� ��������������

�­ ������

�� � �� ��� � �­ ���

���

��� �� ��

�­ ������

�� � ������ �

��

� ����������

�� ��� ���� �� ������� �� ��� ������� � �� ���� ����� �� �������� ����� �������� ����� ��� �� �������� ��� ���������� ��� �� �� ��� ���� �� �� � �� ���������� �������� ����� ��������� ��� ��� �� � �������� �� ��� ��������� ���������� �������� ����� ��������� �� �������� ������� �� ��� ��������� �������� ����� �� ������� ��� ������� ���������� ���������� ��� ���������� ���� ���� ��� � ��� � ���� �������� ����� ��� ����� ������ � � ��� � �� �������� ����� ��� ��� ���������� ���� ��� � ��� � ��� � ���� ��������� ����� �������� ������ � � ��� � �� �������� �� � � � ��� ���� �� �� ��������� �������� �� ����� �� ����� �� ����������

����� ���������� � �� �������������� �� ��� �� ��� �� ������������ ����� �� ����� ����������� ����� �� ������� �� ����� ������ ������ �� ���� ����������� ����� �������� �� ��������� � ����� ������ ��� �������� ����� �������� ��� �� ����� ������ �� ������� �� ������������ ���������� �� ����� ����� ��������� ������ ��� ��������� ����� ������� ������ ��� ��������� �� ��� ����� ���������������� �� ��� �������� ������� ������ �� �� ����� �� ������ �� ��� ������� ��� �� ������� � ����� ������� ����� ���� ���� ������ ��� �� ������� ���� ����� ������� ���������� �� � ��������� � ����� ������� �� �������� ������������� �� � �� �� �� ������� �� ��� ���� ��������� ��� �� ����� � �� ����

����� �� ������� �� � ����� �� ����� � �� ��� ���� ��������� � ����� ������� �� ���� � � ���� �� ����� ����� � �� ������ ���� ��������� �� ������� �� �������� ������ ������ ����� �� �������� ����� ����� ������ ��� ���� �� ������

��

Page 54: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

� �������������

���������� ��� �� �������������� �� ���� �� � ��� ��� ���� ��� � �� � ��������� ��� ��� ����������� ��� ��� ��� �����

��������� �� � ���� ���������� ���� ���

� ��� ������� � �

����� ���������� �� ���� ������� ��� ���� ������ ����� ����� � ���������� ������� ������� ��� �� ���� ����� �������� ������� ��� �� �������� �� �������� ��������������� ��� ����� ��� ��� �� � �� ���� ����������� ��� �� ������ ��� �� ��������� ����� ������� ��� �� � ������ ��� �� ����� ������� ��� � ��������� ��� � � ���� ��� �� � ���� ��� ��� ����� ��� � ������ ��� ������� �� ��� � ��������� �� ��� ������� �� ��� ������ �� ������ ����� ��� ����� ������ �� ��� �������� ������ ������ ��� ��� ����� ��� ������� �� ������ ��� � ���� �� ������ ���� �� �� ����� ��������� �� ������ �� ��� ����� ������ ��� ��

�� ����

�� ����� ����������� �� ��� ��

������ � �

������ ��������� �� ������ �

�� � ���� �� ������

�� ��� ��

��� �� ������ ��

�����

��� �� ��� ������� ����� � ����� ������� �� ��� ������� ��� ��� ������ ��������� �������� ��� ����� ��� � �� ������� �� �������� ��� ����� ��� �� �������� ������� �� ����� ����� ��� �

� � ������������� �� ����� ��� ������� �� ������� ��� �� �� �

� � ����� �������

������

������ � �

��

 �� ���� ��� ��� ��� �������� ����� ����� ��� ��� ������� ����� ��� �� �� ����� ������� �� ���������� ��������� ��� �� ��� � �� ������� �� � ���� ���������������� �� �� ��� �� � �� ���� ����� ����������

��������� �� ���������� � ���� ���� ���

� ��� ��� � ����

����� ���������� �� ������� ��� ���� ������� �� � ����������� ��� ����� �� ��� �� � ��� ��� ����� ��� � ������ ��� ����� ����� ���� �� �� ����� ����������

�� � ����

��� ��� ��

��� �� ��

­�

��� ������� ����� ��� ��� ������� �� ������ � ������� �� � ����� ��� ����������� ��� � � ���� � ������ ������ ��� � ��� �������� �� �������� ��������������� � �� � ������ ��� ��������� ������� � ��� �� ������� ��� �� �������������� �� ����� ����� ������������ ��� � �� ���� ��� �� ������ ����� ��� ��� �� ����������� ����� ��� �� ��� � � � ���� ��� � ���� ������������ ��� � ����� � �� ������� ��� ������� ��� ������ � ������ ������ �� ������ �� �������� ��� ����������� ������� ��� � �� ���� ��� � � � ������� ����

�� � � ������� � ���

�� ��� ��������� � ���������������� ��� � ��� �� �� �� ��� �������� � �� ���������� ������ ��������� �� ���������������� �� ��������� � �� �� ��� �������� ��� � �����

���� �

��������� ��� ����� ����� ��� ������� �� �������� ������� � �� � �� ������������� ��������� �� �� �� ����� ��� ����� �� ��� �������� � ����� ��� ��� � ������� ������� �� ����� ����� ������ ��� �� ����������� ��� �� ��� �������� �� ���� �� �� ���������� �� ��������� �� ������

� ���� � �������

���� � ���

����

� ������� � ����� �

�� ������ � � ��� ��� ��������� �� � � ������ � �

��������� ��� ��� � ��

���������������� �� ����� �������� ��� �� �� ��

�� � � ������� � ��� � �� � � ��

�������� ������ �

� ������� � ����� � ��

������� �� ���� �� �������� ��� �� ������������� �� ����� ����� ����� ������

��� ���� �� �� ���� �� ��� ��� �� ��� ��������� �� � ��� ���� ������� �� ��

� � ��� � �

��� ���� ������� �� ��

��������� ��� ��� � ��

�� ���� � � ������� � ��� � ������� � � ���

��

Page 55: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�������� ������ �

���� � ��

��� ����� �� ��� ��������� ��� � ��� � ��

�� ���� �� � ���� ��� ��������� ��������������������

��� ��������� �� �� ���� ��

� ��� � � ��� � � ��� �

�� ��

�� � � ������� � ���� � ������ � � ������� �� ��� � � ����� �� ������� � ���� � �� ������� � ����� ������

�������� ������ �

������� �

���� �

�����

��� �� �� �� �� ����� ��� �� ��

� � ��� � �� ��� � �� ��� �

��������� ��� ��� � �� ��

�� ��� �� � ��� � � � � ��� � � � ��������� ����� �������� �� �� ���� ���� �� ��� � � � �� ��� � �� ��� ����� ��� ��

� � ��� � � � � � ��

��� ��������� �� �� ��������� ��

� ��� � � ���� � ��� ��� ��� �� ���� ����������� ��

� � ��� � �� ���� �� ��� �

��� ��������� �� �� �� ����� ��

� ��� � � ��� � ��� �

��

��� ����� ����� ������� �� ��� � ��� ��� � ����� ���������������� �� ��� ��

� � ��� ��� ��� � ���� � ��� �� ���

�� ���

�� ���� ��� ��������� �� �������

��������� ��

� ��� ���� �

��� ��

��� �� �� ��������� �� �� � � ���� �� ��� ����� ��� �� ��� ����� �� �� � ����������� ��� � �

� � �� ��� � ��� � �� � � � � ��� � �� � � � ��������� ������������� �� �� ����� ��� ��� �� �� ��� � � � �� ��� � �� �� ��

� � ��� �� ���� ��� ���� �� �

���� ��� �

���� ��� �

��������� ��� ��� �

���

��� �� �� ���� �� ��� ������� �� � �� �� ������ ��� ����� �� � ���� ������������ ��� ����� ��������� ��� �� �� ������� ���� � ��

� ��� � ��� ����� � �

� �������� � ��� � ��� �� �� ������ �� ��� �� ��

�� ��� � ������ � � ��� � ��� � � ��� � � ��� � �� � ��� � ��� � �� � ���

���

����� ��� ��������� ��� � �� �� ��� ��� ��

�� � ����� � �

� � ��� ��

����

�������� � �������� �� ������� ��� � �� � ������ ���� � �� ��

�������� ��� ����� ������ ��� ������ � �������� ����� ������� � � ���� ���� ������� ����� ��������� �� �� �� �� �� ����� �� ��� �������� ��� ���������� � �������� ��� � � ��� ��� �� ������ � ��������� �� �������� �������������� ���� �� ��� ��������� �� ����� �� ���� ������� �� � � �� ������������ ��� ��������� � ����� ���� �� ����������� ���� ��������� � ��� �������� ���������� �� ������� � ����� ������������ ����� ��� ��������� �� ������� ��� ���������� ��� � ����� ���� ��������� ���� �������� � ����� ����������� ��������� �������� ��������������� ��� ��������� ������ ������ �� �� ����� �� � ��� �� ����� �� �� ��� 

����� ����� �� ������� �� �������� � ����� ������� ����� ��� ���������

�­

Page 56: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�� ��� �� ��

�� � � ������� � ���� � ������ � ������� � ��� � ���� �� ��� ���� �� ��� ����� � ��� � ���� ��� ��� � � ����� ������

�� ���� ����

��� ����� ��� ��

���� �

��� ��� � � ����� �������

������ ��� � � ���

���� �

�������

� ��� �� �� ��� �� � �� ��� ��� ��

� � ��� � �� ��� � ��� � � ��� �� ��� �

��������� �� ��� � ���

�� �� ������� ���� ��� �� ������ �� � ����� � ��� � � �� � ��� � �� �� ���� ��� � � �� �� ��� � �� ��� ��� ��

� � ��� � ��

��

�� ����� ���� ��� �� �� �� � ��� � ��� �� �� � � ��� � �� �� � �� �� ������������� �����

��������� �� ��� � ���� �� ��� �� �

�� ������ � ��� � ��� � �� � ��� � �� � �� �������� �� ������� ��� ��������� ��� ��� �� �� ��� � � �� �� ��� � �� �� ��

� � ��� � � ��� �� � ���� �� � � ��� ��

��������� �� ��� � ���

�� �� ������� �� ������� ��� �� ������ �� � ����� � ��� � � ��� ��� � �� �� �� �� ��� � � �� �� ��� � �� ��� ��� ��

� � ��� � �� � � ���

� ��� ������� �������� ��� � ��

�� � ����� � ��� � �� �� � ��� � �� �� ��� �� �� ��� � �� �� �� ��� � �� ��� �����

�� ��� � ������ �� � ����

��� ��������� �� �� ����� �

� ��� �� ���

� ���

�� � ��� �� �� �� ��� ��� � ��� � � ��� �

�� �������� ����� ���� �� ���

� � ��� � ��� � � ��� �� ��� � �� ��� �

����� ��� � ��� �� ��� �� ����� ���� �� ������������� ��� ���

� � ��� � ��� � �� ���� � ��� �� ��� ������ �� �� � ��� �� ����� ����� �� ��� �� ��

� � ��� ��� ���� � ��� �� ���

� ����

�������� ������ �� � � ��� � �������� � �������� ��� ���

� � ��� ��� ���� ����

������ ���

� ����

��

Page 57: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�� ��� �� ��

�� � � ������� � ���� � ������ � ������� � ��� � ���� �� ��� ���� �� ��� ����� � ��� � ���� ��� ��� � � ����� ������

�� ���� ����

��� ����� ��� ��

���� �

��� ��� � � ����� �������

������ ��� � � ���

���� �

�������

� ��� �� �� ��� �� � �� ��� ��� ��

� � ��� � �� ��� � ��� � � ��� �� ��� �

��������� �� ��� � ���

�� �� ������� ���� ��� �� ������ �� � ����� � ��� � � �� � ��� � �� �� ���� ��� � � �� �� ��� � �� ��� ��� ��

� � ��� � ��

��

�� ����� ���� ��� �� �� �� � ��� � ��� �� �� � � ��� � �� �� � �� �� ������������� �����

��������� �� ��� � ���� �� ��� �� �

�� ������ � ��� � ��� � �� � ��� � �� � �� �������� �� ������� ��� ��������� ��� ��� �� �� ��� � � �� �� ��� � �� �� ��

� � ��� � � ��� �� � ���� �� � � ��� ��

��������� �� ��� � ���

�� �� ������� �� ������� ��� �� ������ �� � ����� � ��� � � ��� ��� � �� �� �� �� ��� � � �� �� ��� � �� ��� ��� ��

� � ��� � �� � � ���

� ��� ������� �������� ��� � ��

�� � ����� � ��� � �� �� � ��� � �� �� ��� �� �� ��� � �� �� �� ��� � �� ��� �����

�� ��� � ������ �� � ����

��� ��������� �� �� ����� �

� ��� �� ���

� ���

�� � ��� �� �� �� ��� ��� � ��� � � ��� �

�� �������� ����� ���� �� ���

� � ��� � ��� � � ��� �� ��� � �� ��� �

����� ��� � ��� �� ��� �� ����� ���� �� ������������� ��� ���

� � ��� � ��� � �� ���� � ��� �� ��� ������ �� �� � ��� �� ����� ����� �� ��� �� ��

� � ��� ��� ���� � ��� �� ���

� ����

�������� ������ �� � � ��� � �������� � �������� ��� ���

� � ��� ��� ���� ����

������ ���

� ����

��

Page 58: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�������� ������ �

���� � ��

��� ����� �� ��� ��������� ��� � ��� � ��

�� ���� �� � ���� ��� ��������� ��������������������

��� ��������� �� �� ���� ��

� ��� � � ��� � � ��� �

�� ��

�� � � ������� � ���� � ������ � � ������� �� ��� � � ����� �� ������� � ���� � �� ������� � ����� ������

�������� ������ �

������� �

���� �

�����

��� �� �� �� �� ����� ��� �� ��

� � ��� � �� ��� � �� ��� �

��������� ��� ��� � �� ��

�� ��� �� � ��� � � � � ��� � � � ��������� ����� �������� �� �� ���� ���� �� ��� � � � �� ��� � �� ��� ����� ��� ��

� � ��� � � � � � ��

��� ��������� �� �� ��������� ��

� ��� � � ���� � ��� ��� ��� �� ���� ����������� ��

� � ��� � �� ���� �� ��� �

��� ��������� �� �� �� ����� ��

� ��� � � ��� � ��� �

��

��� ����� ����� ������� �� ��� � ��� ��� � ����� ���������������� �� ��� ��

� � ��� ��� ��� � ���� � ��� �� ���

�� ���

�� ���� ��� ��������� �� �������

��������� ��

� ��� ���� �

��� ��

��� �� �� ��������� �� �� � � ���� �� ��� ����� ��� �� ��� ����� �� �� � ����������� ��� ��

� � �� ��� � ��� � �� � � � � ��� � �� � � � ��������� ������������� �� �� ����� ��� ��� �� �� ��� � � � �� ��� � �� �� ��

� � ��� �� ���� ��� ���� �� �

���� ��� �

���� ��� �

��������� ��� ��� �

���

��� �� �� ���� �� ��� ������� �� � �� �� ������ ��� ����� �� � ���� ������������ ��� ����� ��������� ��� �� �� ������� ���� � ��

� ��� � ��� ����� � �

� �������� � ��� � ��� �� �� ������ �� ��� �� ��

�� ��� � ������ � � ��� � ��� � � ��� � � ��� � �� � ��� � ��� � �� � ���

���

����� ��� ��������� ��� � �� �� ��� ��� ��

�� � ����� � �

� � ��� ��

����

�������� � �������� �� ������� ��� � �� � ������ ���� � �� ��

�������� ��� ����� ������ ��� ������ � �������� ����� ������� � � ���� ���� ������� ����� ��������� �� �� �� �� �� ����� �� ��� �������� ��� ���������� � �������� ��� � � ��� ��� �� ������ � ��������� �� �������� �������������� ���� �� ��� ��������� �� ����� �� ���� ������� �� � � �� ������������ ��� ��������� � ����� ���� �� ����������� ���� ��������� � ��� �������� ���������� �� ������� � ����� ������������ ����� ��� ��������� �� ������� ��� ���������� ��� � ����� ���� ��������� ���� �������� � ����� ����������� ��������� �������� ��������������� ��� ��������� ������ ������ �� �� ����� �� � ��� �� ����� �� �� ��� 

����� ����� �� ������� �� �������� � ����� ������� ����� ��� ���������

�­

Page 59: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

������ ������� ��� � ���� ������� ��� � ���� �������� ��� ��� ������ ����� ��� ���� ���� �� ����� ��� � ���� ���������� � ��� ��� ������ � �� �� ����� ������ ������� �� � ��� ��� ��������� � ����� �������� ����������� ��� ��� ������� �� ������� ������ ��� ��������� ������ ������� ��� ������� ��� �������� ������� �� �� �� ���� ���������� �� ���� �� ������ ��� � ���� �� ��� ������������ �� �����

��������� �� ���� ��������� �� �� ������ �� �� �� ������ ��� ������������ ��� ���� ��� ��� ������

� ��� ����� � ��

��

��� �� � � �� �� ��� �������� ����� ��� ������ �� ���� ��� �� ������ ������������� �� ������ �� �������� �� �� �� ��������� ��� ��� �� ��� ��� � ��� ��� � �

��� � ��

��� � ��� � �� �� ��� �� ��� � �� �� �� ��� � �� � ��

� � ��� ���� � � ��� � ���

������� � �����

�� ��������� �� �������� ��� �� ��

� � ��� �� ��� �� ��� ��

���

��� � �� ��������� �� �� ���� �� �� ��� ��������� �� ������� �� ������� ������� �� ���������������� ��� � � � � � �� �� � � � �������� � �� ��� ������ �������� �� �������� �� ��� ��������� �������� ��� � � � �� �� �� � ��������� �� ��� �� ���� �������� �� �������� �� ��� ��������� ���� ��������  � ��������� �� ��� ������ �� ���������� ��� � � � � � �� �� ����� ��� � � �� ������� ��� �� ��� ������ �� �� ������� ��� � � �� �� ���� ������ �� ��� � � ��� �� �� �������� �� ��������� ����� �� �� ���� �� ������� ��� ���� ����������� ��� �������� ���� ���

��� ����� �� �����

­��������� ������ ����� ��� ���������� � ��� � ��� � �� � ��� � �� ��� � ��� � �� � �� � �� � ��� � �� � �� � �� �

�� ������ ����� ��� ���������� � ��� � ���� �� ���� �� �� � ��� � ��� �� ��� � ���� � ��� �

��� � �� �

���� �� �� � ��� � �

��� � �

���� ��

�� � ��� � ��� �� ��� �� ��� � �� �� � ��� � ��� ��� ��� ���

�� ������ ����� ��� ���������� � ��� � ���

��� ��� � �� � �� � ��� � ����� �� � ��� � ����

����

��

��� � �� �� �������� ���� ��� ��� ��� �� ��� ���������� ��� � ��� � ���

� ��� ��� � �

��������� �� � ��� � ��� � �������� �

��� � �

��� � �� �� �������� ����� ��� ��������� ��� � ��� � ���

�� �� � ��� � ����� ��� �� ��� �� ��������� �� ��� �� ��� ������ �� �� �� ����� ��� ��������

� ��� �� �� ��� ��� � � ���� �� �

�� ��� ���

�� ��� ��� ��

��� ��� � ��� ��� ��� ���

�� ��� �� ��� �� ��

� � ��� ���

� ��� ��

���

��� ��� ��

��� � ��� � � ��� �

��������� �� � ��� � �� ��� � ���� ��� �� �

� ��� ��

��� �

�����

������ � �

��� �

��� � ��

�� ����� ���� ��� �� ����� ���� � ���� �� �

�� ��� ���

�� ��� ��� ��

��������� �� � ��� � �� �� � ������ �� �� �

�����

����� � � �� �

��� � ��

­������������� ������������

�� ������ ��

����� �� �� ��

� �� � �� ��

���

�� ������� � �

��� ��

������ � �

���

�� ������ �� ��� �� �� ��

��� � ���

��� � �� ��

�� ������ ��� �� ��

���� �� ��� ��� ��

�� ���

����� ��

� �������

���

��

Page 60: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�� �� ���� �� ��� � ��� � �� �� �� � � ��� � �� �� �� ��� � ��� � �� �� ���� ��� � ����

�� �� � ��� � �� �� �� �� ����� �� � ��� � �� ��� � �� �� ������ �������� ����� ���������� ��� �� ���

������ �� �� ��� ���������� �� �� � ��� � ��� ��� ��������� �� ��

�� �� � ��� � �� � �� ��� ���� � �� �� � ��� � �� ����� �������� �� � ��� ���������� ������

������ ���� ��� ��������� �� � ��� ���� �������� ������ ��� ������ ��� ������������ ��� �� ����� �� ��������� � �� ���������������

�� �� � ��� � ��� ����� � ��� ��

�� ���� � �� �� � ��� � ���� ���� ��� ��������� �� � ��� ���� �������� ������ ��� ������ ��� ������������ ��� �� ����� �� ��������� � �� ���������������

�� �� � ��� � ��

������ ���� � �� �� � ��� � ���� ���� ��� ��������� �� � ��� ���� �������� ������ ��� ������ ��� ������������ ���� ������������� ���

�����

����

�� ��� �� ����� �� ��������� � �� ���������������

�� ���� ����� �� ������ � ��� �� ���� ��������� �� �� ��� ��� �� ������ �� ­� ����� �����

�� ����� �������� ��� ��������� ����� ����������� �� � �� � ���� �� ��� ��� �� ������ ��� ��� � ��� ��� �� ����� ���

� � ���� �

�� �� �� �� � ���� ��� ��� ��� �� ������ ��� ��� � ��� ��� � ��� ��� ������� ��� � � �����

��� ������� ����� ��� �� ���

��� �� �� ��� ��� �� ���� ��������� ��� �� ���� ������� ��� �� ����������� � �� ���� ������� ������ ��� �� ���� ����� �� ��� ��������� ��� ������������ �� ���� ������ ��� ��������� ��������� �� � �� ����� ����� �� �� �� �� ���� � ����� �� ��� �� �� � � �� �� � ��� ��� �� �� � �� ��� �� ��� ��� �� � ���� �� � ������ ��� �� ������������ �� ��������� �� ���� ��� ���������

� ��� ������ ����

�� ���� ��� ��������� �� ���� ��� ��� ��������� �� � ��� ������ � ��� �� ���� ��������� ��� ��

��������� � ���������

��

� �����������

���� �� ��������� �� �������� �� ��� �� �� �� �������� �� ��� ������ ���������� ����

� ��� � ���

��� ��������� �� ����� ��������� �� � � ��� � �� ��

� ��� � ��

�� � ��� ��� �� �� �������� �� �� ���������� �� ������� ���� �� ��� �� �� �� ���������� �� �������� �� �� �� �� �� � ��� �� ������� �� �� ��� ��������� ����� ����� ���������� ���� ��� ����� ��������� �� � ��� � �� �� �� � ��� � ��

�� �� ��������

���������� �� � � ��� ���� �� �������� �� ����� ��� ���� ��������� �� ��� ��������� �� � ��� �� �������� ������� �� � �� ��������

�� ��� ���

��� ����� �� �� �������� ������� �� � �� �� �������� �� �� ��� ����������� ����� ��������� �� ��������� �� �� ��� ���� ��

��� ��� ��

��� � ��� �

�� � ���� �� ���� �������� �� ���� �� � �� � ����� �� ��������� �� �� ������������ �� � � ��� ����� �� ���� � � ��� � � ��� �� �� �� ��� � � ���� ����������� ���������� ���� � �� � � ��� ��

�� ���� � ����� � �� ���� � � ��� � �������� ��� ��������� �� �� ������� �� ��� �� ��������� ��� ���� ����������� � ��� �� �� � ����� ��� � � ��� �� �������� ������� �� ��� �� ��� �������� ��

� ��� � � ��� � �

��� �� �������� ������� ���� � ���� �� �������� ������� �� � � �� ����� ��� ���� �������� �������

�� � �� �� ���� ���� ��� � ��� � � ��� � �� �� �������� �� ��� ���� ���� ��� �� � � ��� � �

��� � �� �� ��������

����� ��� �� � ��� � �� �� ������ �

��� � �

��

Page 61: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�� �� ���� �� ��� � ��� � �� �� �� � � ��� � �� �� �� ��� � ��� � �� �� ���� ��� � ����

�� �� � ��� � �� �� �� �� ����� �� � ��� � �� ��� � �� �� ������ �������� ����� ���������� ��� �� ���

������ �� �� ��� ���������� �� �� � ��� � ��� ��� ��������� �� ��

�� �� � ��� � �� � �� ��� ���� � �� �� � ��� � �� ����� �������� �� � ��� ���������� ������

������ ���� ��� ��������� �� � ��� ���� �������� ������ ��� ������ ��� ������������ ��� �� ����� �� ��������� � �� ���������������

�� �� � ��� � ��� ����� � ��� ��

�� ���� � �� �� � ��� � ���� ���� ��� ��������� �� � ��� ���� �������� ������ ��� ������ ��� ������������ ��� �� ����� �� ��������� � �� ���������������

�� �� � ��� � ��

������ ���� � �� �� � ��� � ���� ���� ��� ��������� �� � ��� ���� �������� ������ ��� ������ ��� ������������ ���� ������������� ���

�����

����

�� ��� �� ����� �� ��������� � �� ���������������

�� ���� ����� �� ������ � ��� �� ���� ��������� �� �� ��� ��� �� ������ �� ­� ����� �����

�� ����� �������� ��� ��������� ����� ����������� �� � �� � ���� �� ��� ��� �� ������ ��� ��� � ��� ��� �� ����� ���

� � ���� �

�� �� �� �� � ���� ��� ��� ��� �� ������ ��� ��� � ��� ��� � ��� ��� ������� ��� � � �����

��� ������� ����� ��� �� ���

��� �� �� ��� ��� �� ���� ��������� ��� �� ���� ������� ��� �� ����������� � �� ���� ������� ������ ��� �� ���� ����� �� ��� ��������� ��� ������������ �� ���� ������ ��� ��������� ��������� �� � �� ����� ����� �� �� �� �� ���� � ����� �� ��� �� �� � � �� �� � ��� ��� �� �� � �� ��� �� ��� ��� �� � ���� �� � ������ ��� �� ������������ �� ��������� �� ���� ��� ���������

� ��� ������ ����

�� ���� ��� ��������� �� ���� ��� ��� ��������� �� � ��� ������ � ��� �� ���� ��������� ��� ��

��������� � ���������

��

� �����������

���� �� ��������� �� �������� �� ��� �� �� �� �������� �� ��� ������ ���������� ����

� ��� � ���

��� ��������� �� ����� ��������� �� � � ��� � �� ��

� ��� � ��

�� � ��� ��� �� �� �������� �� �� ���������� �� ������� ���� �� ��� �� �� �� ���������� �� �������� �� �� �� �� �� � ��� �� ������� �� �� ��� ��������� ����� ����� ���������� ���� ��� ����� ��������� �� � ��� � �� �� �� � ��� � ��

�� �� ��������

���������� �� � � ��� ���� �� �������� �� ����� ��� ���� ��������� �� ��� ��������� �� � ��� �� �������� ������� �� � �� ��������

�� ��� ���

��� ����� �� �� �������� ������� �� � �� �� �������� �� �� ��� ����������� ����� ��������� �� ��������� �� �� ��� ���� ��

��� ��� ��

��� � ��� �

�� � ���� �� ���� �������� �� ���� �� � �� � ����� �� ��������� �� �� ������������ �� � � ��� ����� �� ���� � � ��� � � ��� �� �� �� ��� � � ���� ����������� ���������� ���� � �� � � ��� ��

�� ���� � ����� � �� ���� � � ��� � �������� ��� ��������� �� �� ������� �� ��� �� ��������� ��� ���� ����������� � ��� �� �� � ����� ��� � � ��� �� �������� ������� �� ��� �� ��� �������� ��

� ��� � � ��� � �

��� �� �������� ������� ���� � ���� �� �������� ������� �� � � �� ����� ��� ���� �������� �������

�� � �� �� ���� ���� ��� � ��� � � ��� � �� �� �������� �� ��� ���� ���� ��� �� � � ��� � �

��� � �� �� ��������

����� ��� �� � ��� � �� �� ������ �

��� � �

��

Page 62: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

������ ������� ��� � ���� ������� ��� � ���� �������� ��� ��� ������ ����� ��� ���� ���� �� ����� ��� � ���� ���������� � ��� ��� ������ � �� �� ����� ������ ������� �� � ��� ��� ��������� � ����� �������� ����������� ��� ��� ������� �� ������� ������ ��� ��������� ������ ������� ��� ������� ��� �������� ������� �� �� �� ���� ���������� �� ���� �� ������ ��� � ���� �� ��� ������������ �� �����

��������� �� ���� ��������� �� �� ������ �� �� �� ������ ��� ������������ ��� ���� ��� ��� ������

� ��� ����� � ��

��

��� �� � � �� �� ��� �������� ����� ��� ������ �� ���� ��� �� ������ ������������� �� ������ �� �������� �� �� �� ��������� ��� ��� �� ��� ��� � ��� ��� � �

��� � ��

��� � ��� � �� �� ��� �� ��� � �� �� �� ��� � �� � ��

� � ��� ���� � � ��� � ���

������� � �����

�� ��������� �� �������� ��� �� ��

� � ��� �� ��� �� ��� ��

���

��� � �� ��������� �� �� ���� �� �� ��� ��������� �� ������� �� ������� ������� �� ���������������� ��� � � � � � �� �� � � � �������� � �� ��� ������ �������� �� �������� �� ��� ��������� �������� ��� � � � �� �� �� � ��������� �� ��� �� ���� �������� �� �������� �� ��� ��������� ���� ��������  � ��������� �� ��� ������ �� ���������� ��� � � � � � �� �� ����� ��� � � �� ������� ��� �� ��� ������ �� �� ������� ��� � � �� �� ���� ������ �� ��� � � ��� �� �� �������� �� ��������� ����� �� �� ���� �� ������� ��� ���� ����������� ��� �������� ���� ���

��� ����� �� �����

­��������� ������ ����� ��� ���������� � ��� � ��� � �� � ��� � �� ��� � ��� � �� � �� � �� � ��� � �� � �� � �� �

�� ������ ����� ��� ���������� � ��� � ���� �� ���� �� �� � ��� � ��� �� ��� � ���� � ��� �

��� � �� �

���� �� �� � ��� � �

��� � �

���� ��

�� � ��� � ��� �� ��� �� ��� � �� �� � ��� � ��� ��� ��� ���

�� ������ ����� ��� ���������� � ��� � ���

��� ��� � �� � �� � ��� � ����� �� � ��� � ����

����

��

��� � �� �� �������� ���� ��� ��� ��� �� ��� ���������� ��� � ��� � ���

� ��� ��� � �

��������� �� � ��� � ��� � �������� �

��� � �

��� � �� �� �������� ����� ��� ��������� ��� � ��� � ���

�� �� � ��� � ����� ��� �� ��� �� ��������� �� ��� �� ��� ������ �� �� �� ����� ��� ��������

� ��� �� �� ��� ��� � � ���� �� �

�� ��� ���

�� ��� ��� ��

��� ��� � ��� ��� ��� ���

�� ��� �� ��� �� ��

� � ��� ���

� ��� ��

���

��� ��� ��

��� � ��� � � ��� �

��������� �� � ��� � �� ��� � ���� ��� �� �

� ��� ��

��� �

�����

������ � �

��� �

��� � ��

�� ����� ���� ��� �� ����� ���� � ���� �� �

�� ��� ���

�� ��� ��� ��

��������� �� � ��� � �� �� � ������ �� �� �

�����

����� � � �� �

��� � ��

­������������� ������������

�� ������ ��

����� �� �� ��

� �� � �� ��

���

�� ������� � �

��� ��

������ � �

���

�� ������ �� ��� �� �� ��

��� � ���

��� � �� ��

�� ������ ��� �� ��

���� �� ��� ��� ��

�� ���

����� ��

� �������

���

��

Page 63: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

��� ���������� �� �������

�� ���� ��� ����� �� �� ������� ��������������� ��� ����� ��� � ������� ��������� ����� ������� � ������� �� ������ ��� �� �� �� ��� �� ������

� � � ���

������� �� �� ��������� �� � ��� �� �� ��� �� ��������� �� ����������� �� � ��� ����� ���� �� �� ������ �������� ������� ��� ��� ��� � � � �� ��� �� � � �� �� � ���� ���� ����� ��� � � �� ���� �� ����� �� ����� ������������� ��� ���� �� ��

������ �� ����� �� ������ �� �� ��� �� ����� �� ������ �� �� �� ���� ����� ��� ��� �������� ��� ��� ��� � � � ��� ���� ����������� �� �� ��� �� �� �� �� ��������� �������� � ����� ���� ����������� �� �� ��� �� �� �� �� ��������� ��� ����� � ���������� ������������ ��� ��� �� ����� ����� �� ���������� ��� ����� ���������������� ���� ��� ��� ��� ��� �� ��������� ��� ����� � ����� �� ��� �� �� ������

� ���� ��� � ��� � � ���� ��� � ��� � � � �� � ���� ��� � ����� ������ ������ ��� �� ��� ��� ������� ������� �� ���� ������������ ������������ �� ���������� ����� ��� ����� ������������� �������� ������� ��� ­���­­�� ��� �� ������ �� ��������� ����������� ��� ��� ��� � � � �� �� ����������� ��� ��� � � � ��� �� �� ����������� �� ����� �� ������ ��� ��� �� �� �� ���� ����� ��� ��������� �������� ��� ��������������� ��� ������� �� ��������

��

��� ���� �������� �� ������� ����� ������������� ��� ����� �������� ��������������� �� ���� ��� � �� �

� �

���������� ������ �������� �� ����� ��������������� ����� � ��

���� �

� ��

�� � �� ��

���

��� ���� � ��

��� ��

� ����� � ��

���

��� ���� � ��

�� � ��

���

�� ��

����� ��

� ������ ��

��� � ��

���

 � �� � �� � ���� �� �� ���������

� ��� � �� � ��� �� ��� � ��� �

�� ���� ���������������� ������ �������������� ��� � �� � � ���� � �� � � ����� ������������������ �� �� �������������� �������� �� ������ ������ � ������� ���� �������

�� ����� �������

�� �� �������� � ���� ���� ���

� ��� ����

��� � ���

�� ���� ������ ������� �� ���� ���� ��������� ������������ � ���� �� ��� ��� ���� ��� ��������������� ��� ��� � ��� ��� � ��

��� � ��� ��� ����� ������ ��� ��������� ��� � ��� ���� ���� ������� �� ������ �� ����������� ��� �� ������ �� �������� � �� ������������������

� ��� � � ��

��� � �

� ���� ��� ��������� ��� �������� ���� ���� ������� ����� ������������� ��� � ���� ����������� �� ���� ���  ��� �� � ���� �� ���� �������� ����� ����� �� ����� ������� ����� �����������

��� ��� � ���� ����������� �� ���� ��� ���� ������ ������� �� ������� ����� ������������� ��� � ���� ����������� ��

���� ��� � ��� � ��� ��� ���������

­ 

Page 64: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

������ ������������� �� ��� ��� �� ������� ������ � ����� ������ ��������� ���������� � ���������� � �� ����� ����� ��� � ��� �� �� ������� ��� ��

� �

� ��� ���

��������� � �� �������� � �� �� ����� ��� �� ����� �� ������ ����� ��� �� �� ������� �� ������� �������� �������� �� �� �� ��������� ����� ��� �� ������������������� � �� ���������� � �� ������ � �� ����� ����� ��� � ��� �� �� ������������� ������������ �� � � � ��� �� ������ � � � � �� ����� ����� ��� � ��� � ��� ��� ����� ��� ���������� � ���������� � � �� ����� ����� ��� � ��� �� � ��������� ���������� �� ������ � �� ����� ����� ��� � ��� �� �� ������� ������������������ �� � � � ��� �� ������ � � � � �� ����� ����� ��� � ��� � ��� �������� ��� ����� ���������� � ���������� � � �� ����� ����� ��� � ��� ���� ��� �� ������� ����������

� ��� �

� �

� ��� ���

���������� � �� ���� �� ���������� � ���������� � � �� ����� ����� ��� � ��� ����� ���� �� � �� ������������������ �� �� ������� �� ���� �� �� ��� ���� ������� � ������� �� � �

�� � �� ��������� �� �� ���� �� � � �������� ���� �� ��� � ���� ���� �� ��� ��� �� ���� � ������ � �� ���� ���� �� �� �� ��� ����� ��� �������

­�

� ����������� � �� ����� ����� ��� � ��� ��� ��� ���� ���� � � �����

��� ��� ���� � � �������� ��� � � ������

����� � ��� �� �� ���� ����� � ������������� ��� � ������ �

� �������� ����� � � ��� �

��� � �� �� �� ��� ����� �� � ����� ��� �� �� � ��� ���� ��� � � ��� �

�� ��� ����� �� ��� ���� ���� ��� � �� � � ��� �� ��� ����� ��� �� � �� ��������� �������� � �� ���� �� � �� �� ������� �������� � � � �� �� � ��

� ��� � � ��� � ��

����� � �� �� � ��� � � �� � �� �� � ��� � � � �� ��� �� �� � � �� ������ ��� � � ����� ��

� ��� � � ���� � ��� ��������� ��� � �� �� � ��� � � ���� � ��� ��� ���� ��

� �

� ��� �� � � ���� � ��� �

��� �� ����� � ���� ���� ������

� ������ � � ���� � ��� ��� ���� �� � � �

� ��� �� � � ������ � � ���� � ��� �

����� ���� ��� � ����� � ����� ���������� � �� �������� � �� �� ����� ���� ����� ���� �� � ���� �� ������� ���������

��������� �� � ��� ���������� ���� ��

� ��� � ���

�� ��� ���� ���������� � � � �� ����� ����� ��� � ��� �� �� ��� ������� �

��� � �

��� ��� �� � �

���� �

��

������

��

��

­�

Page 65: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

������ ������������� �� ��� ��� �� ������� ������ � ����� ������ ��������� ���������� � ���������� � �� ����� ����� ��� � ��� �� �� ������� ��� ��

� �

� ��� ���

��������� � �� �������� � �� �� ����� ��� �� ����� �� ������ ����� ��� �� �� ������� �� ������� �������� �������� �� �� �� ��������� ����� ��� �� ������������������� � �� ���������� � �� ������ � �� ����� ����� ��� � ��� �� �� ������������� ������������ �� � � � ��� �� ������ � � � � �� ����� ����� ��� � ��� � ��� ��� ����� ��� ���������� � ���������� � � �� ����� ����� ��� � ��� �� � ��������� ���������� �� ������ � �� ����� ����� ��� � ��� �� �� ������� ������������������ �� � � � ��� �� ������ � � � � �� ����� ����� ��� � ��� � ��� �������� ��� ����� ���������� � ���������� � � �� ����� ����� ��� � ��� ���� ��� �� ������� ����������

� ��� �

� �

� ��� ���

���������� � �� ���� �� ���������� � ���������� � � �� ����� ����� ��� � ��� ����� ���� �� � �� ������������������ �� �� ������� �� ���� �� �� ��� ���� ������� � ������� �� � �

�� � �� ��������� �� �� ���� �� � � �������� ���� �� ��� � ���� ���� �� ��� ��� �� ���� � ������ � �� ���� ���� �� �� �� ��� ����� ��� �������

­�

� ����������� � �� ����� ����� ��� � ��� ��� ��� ���� ���� � � �����

��� ��� ���� � � �������� ��� � � ������

����� � ��� �� �� ���� ����� � ������������� ��� � ������ �

� �������� ����� � � ��� �

��� � �� �� �� ��� ����� �� � ����� ��� �� �� � ��� ���� ��� � � ��� �

�� ��� ����� �� ��� ���� ���� ��� � �� � � ��� �� ��� ����� ��� �� � �� ��������� �������� � �� ���� �� � �� �� ������� �������� � � � �� �� � ��

� ��� � � ��� � ��

����� � �� �� � ��� � � �� � �� �� � ��� � � � �� ��� �� �� � � �� ������ ��� � � ����� ��

� ��� � � ���� � ��� ��������� ��� � �� �� � ��� � � ���� � ��� ��� ���� ��

� �

� ��� �� � � ���� � ��� �

��� �� ����� � ���� ���� ������

� ������ � � ���� � ��� ��� ���� �� � � �

� ��� �� � � ������ � � ���� � ��� �

����� ���� ��� � ����� � ����� ���������� � �� �������� � �� �� ����� ���� ����� ���� �� � ���� �� ������� ���������

��������� �� � ��� ���������� ���� ��

� ��� � ���

�� ��� ���� ���������� � � � �� ����� ����� ��� � ��� �� �� ��� ������� �

��� � �

��� ��� �� � �

���� �

��

������

��

��

­�

Page 66: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

��� ���������� �� �������

�� ���� ��� ����� �� �� ������� ��������������� ��� ����� ��� � ������� ��������� ����� ������� � ������� �� ������ ��� �� �� �� ��� �� ������

� � � ���

������� �� �� ��������� �� � ��� �� �� ��� �� ��������� �� ����������� �� � ��� ����� ���� �� �� ������ �������� ������� ��� ��� ��� � � � �� ��� �� � � �� �� � ���� ���� ����� ��� � � �� ���� �� ����� �� ����� ������������� ��� ���� �� ��

������ �� ����� �� ������ �� �� ��� �� ����� �� ������ �� �� �� ���� ����� ��� ��� �������� ��� ��� ��� � � � ��� ���� ����������� �� �� ��� �� �� �� �� ��������� �������� � ����� ���� ����������� �� �� ��� �� �� �� �� ��������� ��� ����� � ���������� ������������ ��� ��� �� ����� ����� �� ���������� ��� ����� ���������������� ���� ��� ��� ��� ��� �� ��������� ��� ����� � ����� �� ��� �� �� ������

� ���� ��� � ��� � � ���� ��� � ��� � � � �� � ���� ��� � ����� ������ ������ ��� �� ��� ��� ������� ������� �� ���� ������������ ������������ �� ���������� ����� ��� ����� ������������� �������� ������� ��� ­���­­�� ��� �� ������ �� ��������� ����������� ��� ��� ��� � � � �� �� ����������� ��� ��� � � � ��� �� �� ����������� �� ����� �� ������ ��� ��� �� �� �� ���� ����� ��� ��������� �������� ��� ��������������� ��� ������� �� ��������

��

��� ���� �������� �� ������� ����� ������������� ��� ����� �������� ��������������� �� ���� ��� � �� �

� �

���������� ������ �������� �� ����� ��������������� ����� � ��

���� �

� ��

�� � �� ��

���

��� ���� � ��

��� ��

� ����� � ��

���

��� ���� � ��

�� � ��

���

�� ��

����� ��

� ������ ��

��� � ��

���

 � �� � �� � ���� �� �� ���������

� ��� � �� � ��� �� ��� � ��� �

�� ���� ���������������� ������ �������������� ��� � �� � � ���� � �� � � ����� ������������������ �� �� �������������� �������� �� ������ ������ � ������� ���� �������

�� ����� �������

�� �� �������� � ���� ���� ���

� ��� ����

��� � ���

�� ���� ������ ������� �� ���� ���� ��������� ������������ � ���� �� ��� ��� ���� ��� ��������������� ��� ��� � ��� ��� � ��

��� � ��� ��� ����� ������ ��� ��������� ��� � ��� ���� ���� ������� �� ������ �� ����������� ��� �� ������ �� �������� � �� ������������������

� ��� � � ��

��� � �

� ���� ��� ��������� ��� �������� ���� ���� ������� ����� ������������� ��� � ���� ����������� �� ���� ���  ��� �� � ���� �� ���� �������� ����� ����� �� ����� ������� ����� �����������

��� ��� � ���� ����������� �� ���� ��� ���� ������ ������� �� ������� ����� ������������� ��� � ���� ����������� ��

���� ��� � ��� � ��� ��� ���������

­ 

Page 67: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

������������� �

�� �� ��� ��� ��� � � � �� ��� ��� ��� � � � �� ��� ���� ���� � � ��� ���� ����� ����� � � ��� �� �� � �� �� � ���� � � �� � � �� �� � � ��� �� � �� �� � ���� � � �� � � �� �� � � ��� �� � �� �� � ������� � � �� �� � � ��� �� � �� �� � ������� � � �� �� � � ��� �� ��� ��� ��� � � � �� �� � �� �� � ���� � ��� �� � ��� � �� � � �� �� �� � � ��� �� ��� ��� ��� � � � �� �� � �� �� � ���� � ��� �� � �� �� � � �� �� �� � � �� ��� ���� ��� ��� � �� � �� �� � ���� ����� ���������� ��� ��� � �� � ������� �

�� �� �������� � � � �� �� � �� �� � ���������� �� ��� ��� � ��� � � � �� �� � ������� �� � � �� �� � � � �� �� � ������ � ���� � ������ �� � ��� �� �� � ��� ��� �� �� � �� � � �� �� � ���� ����� �� � � ��� ��

�������� �

�� �� ���� �� ���� �� ����� �� ���� �� ������ ���� �� �� ���� �� � �­ �� � �­ � �� � �� � �­ � �� � �­ ��� � �­ ��� ��� ���� ������ ��� � ������­ ��� �� ��� ���� ��� ���­��� �� ������� � ������­ ��� � ����� �� �� ��� �� ����� �� ��� ��� ­� ��

������� ��� � ������­ ��� � ����� ���� �� � ������ �� � ������ �� � ������ �� ���� � �������� ���� � ������ �� ���� � �������� �� ��� �� ��� ������ � ������ � ������­ ��� �� ��� ��� � ������ � ������ �

������­ ��� �� ��� � ���� ������ � ������­ ��� � �­ ��� ��� �� ������ � ������ � ������­ ��� ��� �� ��� �� ������ ������ ��� �� �� �� ������� �� ��� ��­� ������ ����� ��­ ���­� �� ��  �� ��� ����� ��­ ���­� �������

���� ��� ��� � �� ��­�� �� ��� � � �������

��

��

2.51.250-1.25-2.5

5

3.75

2.5

1.25

0

x

y

x

y

� �� � � �� � � ���� �� � � �� � � ���� �� � � �� � � �� � � ��

�������� �

�� �� �� � �� � �� �� �

�� �� � �� � �� ��� �� �� �� �� �

�������� �

�� �� � � ��� � � �� � � ��� � � �� � � ��� � ��� ��� � � ��� � ��� � ��� ��� �� � � ��� � ��� � � �� � � ��� � ��� � �� � � �� � � ��� � ��� �

��� � � ��� � ��� � ���� � �� �� � � ��� � ��� �� � � ��� � ��� � ���� �� � � ��� � � �

������ �� � �� � �� � � ��� � � ���������

�� � � ��� ���

�������

�� �� �� ��� � ��� �� �� ��� � �����

� �� � ��� � � �� � � ��� � � ���� � � ��� � ��� ��� � � �

� � ­� �� �������� ����

�� ��

� �

��

��

Page 68: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�������� �

������� ���

�� ������� ��� � ��� ������ �� �� �� ����� ����������� ����� �� ������� ��� �� � ������ �� �������� ������ � ���� ������ � ��� �� �� � �� � �� ��� � ��� �  � �� � ��� ��� ��� � ��� � ��� �� �� ���� � ��� �� �� ��� � ��� � �� �

� �� ��� �� ��������

����������  � ������������

­� �� ���������

���������� �� ��������������  � ���������

���������������

��� �� � � �� �� � � �  � � � �

��� ���� ��� � � ��������� ����� ��� �� ����� ���� �� � ��� �� ����� ������ �� � ��� �� ����� � ���� � � � ��������� ����� ��� ����

�� � �

���

��

� �� � �� �����  � ��

��� �� �� �� ��� �� ��

��� �� ���

���������� ����������� ��

������� ��

�� �� �� � ��� � �� �� � ��� �  � �� � ���� ��� �� ��� � �� � � �� ���� � ��� � �  � ���� � �� � � ��

��� � ���� ��� �� ��� ��� �� ��� ���  � ��� ��� �� ��� �� ��� ���� �� �����

��� �� ��������  � ���������� �� ��

��

������� ���

�� �� � � �� � � �� �� � � ��� � � ��  � � � �� �� � � �� �� � � ��� � � � �� � � ��� � � �

�  � � � ������� � � � �

� � � ���

�� � � ���� ������� �� �� �� �������� ������� �� �� ��� ���������

�� �� �� ������� � ��

�� �

����� �

������

������� ���

�� � � �� � � �

��

� � � �� � � ��� � � �� � � ��� ��� ��� ������ � ��

� �� ��� ���� ����� �

�� ���� ��� ���������� ����� ����� ���������� �� ��� ���� ����� �������������� �� � �� �� � �� �� � ���� � � �� � � �� � � � � � � ��� � � �� � � �­� � � ��� � � �� � � ���� � � �� � � �� � � �

�������� �

�� �� � � � � � �� �� � � � �  � � � �� � �� ��������������� � ���� ��� � � �� � � ��� ��������������� � ���� ��� � � �

� � � ���

�� ����� ����������������� ������ � � � �� � � �� ������ � � � ���� ������ � � � �� � � �� ������ � � � ���������� � � � �� � � �� ������ � � � �� � ���������������� �� � � �

��� � � �

��

�������� �

�� � ��� � � ���� ��� � ��� � �� ���� �����

52.50-2.5-5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

��

Page 69: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�������� �

������� ���

�� ������� ��� � ��� ������ �� �� �� ����� ����������� ����� �� ������� ��� �� � ������ �� �������� ������ � ���� ������ � ��� �� �� � �� � �� ��� � ��� �  � �� � ��� ��� ��� � ��� � ��� �� �� ���� � ��� �� �� ��� � ��� � �� �

� �� ��� �� ��������

����������  � ������������

­� �� ���������

���������� �� ��������������  � ���������

���������������

��� �� � � �� �� � � �  � � � �

��� ���� ��� � � ��������� ����� ��� �� ����� ���� �� � ��� �� ����� ������ �� � ��� �� ����� � ���� � � � ��������� ����� ��� ����

�� � �

���

��

� �� � �� �����  � ��

��� �� �� �� ��� �� ��

��� �� ���

���������� ����������� ��

������� ��

�� �� �� � ��� � �� �� � ��� �  � �� � ���� ��� �� ��� � �� � � �� ���� � ��� � �  � ���� � �� � � ��

��� � ���� ��� �� ��� ��� �� ��� ���  � ��� ��� �� ��� �� ��� ���� �� �����

��� �� ��������  � ���������� �� ��

��

������� ���

�� �� � � �� � � �� �� � � ��� � � ��  � � � �� �� � � �� �� � � ��� � � � �� � � ��� � � �

�  � � � ������� � � � �

� � � ���

�� � � ���� ������� �� �� �� �������� ������� �� �� ��� ���������

�� �� �� ������� � ��

�� �

����� �

������

������� ���

�� � � �� � � �

��

� � � �� � � ��� � � �� � � ��� ��� ��� ������ � ��

� �� ��� ���� ����� �

�� ���� ��� ���������� ����� ����� ���������� �� ��� ���� ����� �������������� �� � �� �� � �� �� � ���� � � �� � � �� � � � � � � ��� � � �� � � �­� � � ��� � � �� � � ���� � � �� � � �� � � �

�������� �

�� �� � � � � � �� �� � � � �  � � � �� � �� ��������������� � ���� ��� � � �� � � ��� ��������������� � ���� ��� � � �

� � � ���

�� ����� ����������������� ������ � � � �� � � �� ������ � � � ���� ������ � � � �� � � �� ������ � � � ���������� � � � �� � � �� ������ � � � �� � ���������������� �� � � �

��� � � �

��

�������� �

�� � ��� � � ���� ��� � ��� � �� ���� �����

52.50-2.5-5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

��

Page 70: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

������������� �

�� �� ��� ��� ��� � � � �� ��� ��� ��� � � � �� ��� ���� ���� � � ��� ���� ����� ����� � � ��� �� �� � �� �� � ���� � � �� � � �� �� � � ��� �� � �� �� � ���� � � �� � � �� �� � � ��� �� � �� �� � ������� � � �� �� � � ��� �� � �� �� � ������� � � �� �� � � ��� �� ��� ��� ��� � � � �� �� � �� �� � ���� � ��� �� � ��� � �� � � �� �� �� � � ��� �� ��� ��� ��� � � � �� �� � �� �� � ���� � ��� �� � �� �� � � �� �� �� � � �� ��� ���� ��� ��� � �� � �� �� � ���� ����� ���������� ��� ��� � �� � ������� �

�� �� �������� � � � �� �� � �� �� � ���������� �� ��� ��� � ��� � � � �� �� � ������� �� � � �� �� � � � �� �� � ������ � ���� � ������ �� � ��� �� �� � ��� ��� �� �� � �� � � �� �� � ���� ����� �� � � ��� ��

�������� �

�� �� ���� �� ���� �� ����� �� ���� �� ������ ���� �� �� ���� �� � �­ �� � �­ � �� � �� � �­ � �� � �­ ��� � �­ ��� ��� ���� ������ ��� � ������­ ��� �� ��� ���� ��� ���­��� �� ������� � ������­ ��� � ����� �� �� ��� �� ����� �� ��� ��� ­� ��

������� ��� � ������­ ��� � ����� ���� �� � ������ �� � ������ �� � ������ �� ���� � �������� ���� � ������ �� ���� � �������� �� ��� �� ��� ������ � ������ � ������­ ��� �� ��� ��� � ������ � ������ �

������­ ��� �� ��� � ���� ������ � ������­ ��� � �­ ��� ��� �� ������ � ������ � ������­ ��� ��� �� ��� �� ������ ������ ��� �� �� �� ������� �� ��� ��­� ������ ����� ��­ ���­� �� ��  �� ��� ����� ��­ ���­� �������

���� ��� ��� � �� ��­�� �� ��� � � �������

��

��

2.51.250-1.25-2.5

5

3.75

2.5

1.25

0

x

y

x

y

� �� � � �� � � ���� �� � � �� � � ���� �� � � �� � � �� � � ��

�������� �

�� �� �� � �� � �� �� �

�� �� � �� � �� ��� �� �� �� �� �

�������� �

�� �� � � ��� � � �� � � ��� � � �� � � ��� � ��� ��� � � ��� � ��� � ��� ��� �� � � ��� � ��� � � �� � � ��� � ��� � �� � � �� � � ��� � ��� �

��� � � ��� � ��� � ���� � �� �� � � ��� � ��� �� � � ��� � ��� � ���� �� � � ��� � � �

������ �� � �� � �� � � ��� � � ���������

�� � � ��� ���

�������

�� �� �� ��� � ��� �� �� ��� � �����

� �� � ��� � � �� � � ��� � � ���� � � ��� � ��� ��� � � �

� � ­� �� �������� ����

�� ��

� �

��

��

Page 71: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

52.50-2.5-5

4

2

0

-2

x

y

x

y

�� �� � ��� � � ��� � � ��� � � �� � � ��� � � ��� � ��� � ���� ��� �� ��� �� �������� �� � � �

��������

�� �� ����

�������� � �

����� ������ � �� ��� ��

����� ��� � �� ������� �� � � ��

�� �

������� �� ��������

�� �� ����

�� �

������ �

���� � ��

����� ��� ���

� ��� ����� � ��� ��

52.50-2.5-5

10

7.5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

��

52.50-2.5-5

4

2

0

-2

-4

x

y

x

y

� �� ��� � ����������

�� ������� ��� ���������� �� ���� ��� � �� �� ��� ������� ��� ���������� �� ���� ��� � �� ��

�����

�� ��� � ���

��

Page 72: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�� �� � ��� � � ��� � � ���� � � ��� � ��

�������

�� � ��� �� ������� ��� � � �� �� �� � ��� � � � ���

52.50-2.5-5

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

�� ��� ������ ���������� ��� ���� � �� ��� � �� � �������� �� ������ ��� ��� � ��� ��� � ��� ��� � ��� ��� �� ����� ��� � �

��������

��� �� ��� �� �� � �� � ����� ��� ��� �� � ����

�� ����������� �� �� ���������� �� ���� �� ��� ��� � � ��� ������ � �� ��� ������ � � ��� �

�� ��� ���

� � � �� � � �

��

��

�������� �

�� ������ � ��� � ��

����� �� �� � ��� � �� �

��� �� � �� ��

��� � �

��� � �

��� � �� �

�� ������� � �

��� � �� � ��� �

�������� � �

��� � �

��� � �

��� � �

�� ������ �� ��� �� �� � �

��� � �� �

���� � ���

��� � �� �� � �

��� � �

��� � �� � �� �

�� ������ ��� �� � �

��� � �� � �� �

������ �� ��� ��� �� � �

��� � �

��� � �

��� � �� �

�� ���

����� � �

��� � ��

� �������

��� � �

��� �

���� �

 �

­������ ���

�� ��� ����� � ��

���� � �

��� ��

�� � �� ��

��� � ��

��� ���� � ��

��� � �

�� ����� � ��

��� � �

��� ���� � ��

�� � ��

��� � ��

��

��� ��

����� � �

��� �

��� ������ ��

��� � ��

��� � �

�� �� ��������������� ��� ���� � � �� � � � �� � � ��� � � �����

52.50-2.5-5

10

7.5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

�� ���

�� �� � ��� � � ��� � � ��� ����������� ��� ������ ��� ����

�� � � ��� �����������������

� � ��� �� ������� ��� � � � ���� �� �� � ��� � � ��

��

��� �� ��� ��� �

�� ������� ��� � � ���� �� �� � ��� � ��

��

��

��

 �

Page 73: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

�� �� � ��� � � ��� � � ���� � � ��� � ��

�������

�� � ��� �� ������� ��� � � �� �� �� � ��� � � � ���

52.50-2.5-5

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

�� ��� ������ ���������� ��� ���� � �� ��� � �� � �������� �� ������ ��� ��� � ��� ��� � ��� ��� � ��� ��� �� ����� ��� � �

��������

��� �� ��� �� �� � �� � ����� ��� ��� �� � ����

�� ����������� �� �� ���������� �� ���� �� ��� ��� � � ��� ������ � �� ��� ������ � � ��� �

�� ��� ���

� � � �� � � �

��

��

�������� �

�� ������ � ��� � ��

����� �� �� � ��� � �� �

��� �� � �� ��

��� � �

��� � �

��� � �� �

�� ������� � �

��� � �� � ��� �

�������� � �

��� � �

��� � �

��� � �

�� ������ �� ��� �� �� � �

��� � �� �

���� � ���

��� � �� �� � �

��� � �

��� � �� � �� �

�� ������ ��� �� � �

��� � �� � �� �

������ �� ��� ��� �� � �

��� � �

��� � �

��� � �� �

�� ���

����� � �

��� � ��

� �������

��� � �

��� �

���� �

 �

­������ ���

�� ��� ����� � ��

���� � �

��� ��

�� � �� ��

��� � ��

��� ���� � ��

��� � �

�� ����� � ��

��� � �

��� ���� � ��

�� � ��

��� � ��

��

��� ��

����� � �

��� �

��� ������ ��

��� � ��

��� � �

�� �� ��������������� ��� ���� � � �� � � � �� � � ��� � � �����

52.50-2.5-5

10

7.5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

�� ���

�� �� � ��� � � ��� � � ��� ����������� ��� ������ ��� ����

�� � � ��� �����������������

� � ��� �� ������� ��� � � � ���� �� �� � ��� � � ��

��

��� �� ��� ��� �

�� ������� ��� � � ���� �� �� � ��� � ��

��

��

��

 �

Page 74: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

52.50-2.5-5

4

2

0

-2

x

y

x

y

�� �� � ��� � � ��� � � ��� � � �� � � ��� � � ��� � ��� � ���� ��� �� ��� �� �������� �� � � �

��������

�� �� ����

�������� � �

����� ������ � �� ��� ��

����� ��� � �� ������� �� � � ��

�� �

������� �� ��������

�� �� ����

�� �

������ �

���� � ��

����� ��� ���

� ��� ����� � ��� ��

52.50-2.5-5

10

7.5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

��

52.50-2.5-5

4

2

0

-2

-4

x

y

x

y

� �� ��� � ����������

�� ������� ��� ���������� �� ���� ��� � �� �� ��� ������� ��� ���������� �� ���� ��� � �� ��

�����

�� ��� � ���

��

Page 75: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

������������� ����� ����� ��� �� ����� ������������� �������� ��� ������ ��� ����������������� ���� ��������� ��� ���� �������������

��� ����� ��� �� ������������� ��������� �� ������ ��� ������ � ������ ­�������������� ��������� ������������

��� ����� ��� �� ������������� ��������� �� �� �������� ���� ��� ����� ������ ����� ­�������������� ��������� �������������

��� ������ ��� � �� ������������ �� ��� ������ �� ������������­����� �������� ����� ��� ���� ������������

��� ������� �� ���� �� ����� ��� ����� ����������� �������������­������� ��� ���� �������������

�� ��� ������ ��� ���������� � ������������� ���� ��������� ����� ���� �� � �� � ����� � ��

��

Page 76: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner
Page 77: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner
Page 78: Grunnleggende matematikk med illustrasjoner

EU

RE

KA

NR. 1 - 2006

Grunnleggende matematikk med illustrasjonerMatematikken har sitt eget språk. Det består av egne faguttrykk og symboler og har en lang utviklingshistorie.

For å forstå matematiske ideer som er uttrykt i et matematisk språk, må man forstå dette språket. Ved bruk av illustrerende figurer og eksempler kan denne boken bidra til å føre leseren inn i matematikkens verden.

Gjennom hele historien har nye faguttrykk og symboler kommet til. For eksempel ble likhetstegnet innført av Robert Recorde i hans bok om algebra: ”The Whetstone of Witte” fra 1557. Robert Recorde mente at likhetstegnet skulle være to parallelle linjestykker fordi, som han ut-trykte det, “noe 2 thynges can be moare equalle”.

Boken henvender seg først og fremst til studenter i lærerutdanningen som følger kurset Matematikk 1, men kan også brukes av andre stu-denter innenfor høgskolesystemet og av elever i videregående skole.

Al

v

Bi

rk

el

an

d

Gr

un

nl

eg

ge

nd

e

ma

te

ma

ti

kk

m

ed

i

ll

us

tr

as

jo

ne

r

Grunnleggende matematikkmed illustrasjoner

ALV BIRKELAND er høgskolelektor ved Høgskolen i Tromsø på avdeling for lærerutdanning, med Cand. Scient. graden i matematikk fra universitetet i Oslo. Han har vært seksjon-sleder i matematikkseksjonen og har undervist i det obligator-iske kurset Matematikk 1, samt i valgfagene Matematikk 2 og Matematikk 3. Han har også flere ganger vært sensor for ulike kurs i matematikk gitt ved Universitetet i Tromsø.

EUREKA LÆREMIDDELSERIENR. 1/2006

ISBN-13: 978-82-7389-087-0ISBN-10: 82-7389-087-2ISSN 0809-8034

E U R E K A F O R L A G

L ÆR E M

I DD

E L S E R I E

ALV BIRKELAND

EUREKA FORLAG