GRE Recife Sul

2º ENCONTRO DE MATEMÁTICA 2015

RESOLUÇÃO DA LISTA DE MATEMÁTICAPARA O ENSINO MÉDIO – GRE RECIFE SULENCONTRO DE PROFESSORES MARÇO - 2015

Descritores com menos Percentual de acertos Estado de Pernambuco:

D26 : 13,6%

D04 : 18,5%

D23 : 19,0%

D08 : 19,3%

D22 : 19,4%

D27 : 19,5%

D07 : 20,7%

D12 : 20,1%

D11 : 22,2% D29 : 22,9%

Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função exponencial.

Identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de poliedros expressa em um problema.

Reconhecer a representação algébrica de uma função do 1º grau dado o seu gráfico, ou vice-versa.

Identificar a equação de uma reta apresentada a partir de dois pontos dados ou de um ponto e sua inclinação.

Reconhecer o gráfico de uma função polinomial de 1º grau por meio de seus coeficientes.

Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função logarítmica, reconhecendo-a como inversa da função exponencial.

Interpretar geometricamente os coeficientes da equação de uma reta.

Resolver problema envolvendo área de figuras planas.

Resolver problema envolvendo perímetro de figuras planas. Identificar gráficos de funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente) reconhecendo suas propriedades.

Descritores com baixo rendimento de acertos: até 25% .

D04 , D07e D08 Descritores trabalhados na lista do 1º encontro em 03/03/2015

D11 e D12 Descritores trabalhados na lista do 2º encontro em 24/03/2015

**

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1) GRE RCF SUL O princípio de Cavalieri permite afirmar que um Paralelepípedo e um cubo com áreas de suas bases equivalentes e mesma altura, tenham o mesmo volume. Assim, considere uma Indústria que produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos com volumes iguais. Sendo que, as arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura e 6 cm de espessura. Conforme figura abaixo, Assim, analisando as características dessas figuras geométricas podemos afirmar que o comprimento “c” da barra de chocolate que têm o formato de paralelepípedo é igual a:

6cm

3cm

c

6cm

Chocolate em Cubos Chocolate em Paralelepípedos

6cm

Pelo princípio de cavaliere, figuras geométricas diferentes, com áreas de bases iguais e mesma altura, produzem volume iguais

Vp = Vc

Vc=63 Pelo Volume : Sendo assim :

VP = a x b x c VP = 3 x 6 x c

216 = 3 x 6 x c

vc= 216 cm²

como

C = 12 cmResposta d

Área da base do cubo = 6x6 = 36 cm²

3 x c =36cm²

Área da base do paralelepípedo = 36cm²

c =12 cm

2) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A mediu um ângulo visual “ά” fazendo mira em um ponto fixo “P” da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto “B” de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2 ά . A figura ilustra esta situação: Suponha que o navegante tenha medido o ângulo ά  = 30° e ao chegar no ponto B verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2.000 m. Com base nestes dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será: a) 1.000 m. b)1.000 √3 m c) 2.000m. d) 2.000 √3m m. e)550m

Esta questão além de trabalhar Conteúdos da matriz de referênciaEla agrega os descritores D2 e D5 (34,5% de acertos) SAEPE

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Ainda pela figura Se ά = 30°: 2ά = 60°:

60º

2.000m

Caso o aluno não lembre das condições de congruência, pode aplicar-se a lei dos senos.

Sen ά BP = Sen β

AB

120º

( β=30º

Assim BP = AB X Sen 30º Sen 30º

BP = AB =2.000m

logo

A menor distância do barco até o ponto fixo P, sendo mantida a sua trajetória, será a medida do segmento de reta em vermelho na figura ao lado, que está perpendicular à sua trajetória:

- Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Nesta nossa figura o suplemento do ângulo de 60° é um ângulo de 120°

- Como a soma dos ângulos internos de um triângulo totaliza 180°, o outro ângulo interno deste triângulo também tem a medida de 30°

30°

- Visto que os ângulos A e P são congruentes, a medida do segmento AB é igual à medida do segmento BP

d

60ºd Aplicando as relações trigonométricas, a menor distância d será

Sen60º = d 2000

√3 d 2 2000

= d = 1.000 √3m

3) Adaptada GRE RCF SUL Balões de ar quente são usados para promover e divulgar milhares de produtos e serviços, é uma verdadeira e potencial ferramenta de marketing, Diversas empresas no Brasil já implementaram esta ação de mercado. Um balão desperta muita atenção, As pessoas ficam completamente paralisadas pelo impacto visual e a beleza plástica que os balões proporcionam, e assim, seguidamente vão parando para observar, tirar fotos, essas pessoas chegam até a ligar para os amigos para participar do espetáculo. Isto por que a visão de um balão cria uma impressão duradoura, de uma maneira poderosa, em milhares de pessoas; se for para vôo então! Fica fácil imaginar agora, quais as possibilidades de negócios e fixação da marca para a promoção de produtos e vendas o que o balonismo proporciona. Um balão de ar quente cria em síntese uma atenção emocional duradoura, . (Fonte: WWW. Balonista.com.br).Agora, suponha que um balão de ar quente seja lançado de uma rampa inclinada. Utilizando um plano cartesiano, a figura abaixo descreve a situação de maneira simplificada. Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos pontos P e Q,mantendo-o fixo no ar. Assim as coordenadas do ponto P, indicado na figura, são respectivamente:, a) (21,7). b) (22,8). c) (24,12). d) (25,13). e) (26,15).m)

a) (21,7). b) (22,8). c) (24,12). d) (25,13). e) (26,15).

Esta questão além dos Conteúdos da matriz de referência ela trabalha: os Descritores D6 – D7 – D8 e D9

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73,13

:

73,13

u

ṭ

As retas “t” e “u” são perpendiculares e o ponto P é comum as duas,Ou seja , em “P” as duas retas se igualam.

Obs. Além da resolução abaixo, poderíamos trabalhar com o conceito de matrizes

Na reta “t” temos os pontos : O(0,0) Q(10,5)

Podemos determinar a sua equação, a partir do coeficiete angular: y – y0

x - xo

m = mt = 5 – 0 10 - 0 mt=1/2

A partir do coeficiente angular: temos a equação da reta t:

= mty – y0 (x - xo)

A partir do coeficiente angular da reta “u” temos também a sua equação :

m(u) = - 1 m(t)

logo m(u )=

ṭ

= 1 2

y – 0 (x - 0) y = 1 x 2 Equação a reta t

u

Como a reta “u” é perpendicular a “t” temos :

n(20,20)

- 112

m(u )= -2 Temos o ponto n(20,20)

A partir de m(u)= -2, e do ponto n(20,20) , temos: y – y0 = m (x - xo)

y – 20 = -2 (x - 20) y + 2x = 60 Equação a reta u

O ponto P representa o ponto de encontro entre as retas “u” e “t” :

5y =60X=24

y=12

24,12

O(0,0)

Y = -2 x + 60II

I

x = 2yDe I De II Y = -2 (2y) + 60

(10,5)

4. (Ufsj 2012) Considere a função polinomial definida por P(x) = x4 – 3x 3 – 3x² + 11x –6, neste caso, é CORRETO afirmar que em relação a P(x):a) P(10) é um número de cinco algarismos.b) P(x) tem quatro raízes distintas.c) na divisão por x + 2, P(x) apresenta resto igual a 4.d) Px) é divisível por x – 1.

Esta questão além dos Conteúdos da matriz de referência ela trabalha: os Descritores D25

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a) Valor numérico de um Polinômio : P(10) = 104 - 3 (10)3 – 3(10)² + 11 (10) -6 P(10) = 10.000 - 3000 – 300 + 110 - 6 P(10) = 6804 ( número de 04 algarismos)

b) Teorema das Raízes Racionais : Seja a equação polinomial de coeficientes inteiros: anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0, com a diferente de 0 . Se o racional p/q, (p e q primos entre si) é raiz dessa equação, então: p é divisor de a0 e q é divisor de an

Na equação dada a0 = -6 e an = 1 a n = 1, então, “q” serão os Divisores de an , q = {1, -1}

a0 = -6, então, “p” serão os Divisores de a0 , p = {-1,-2,-3,-6}

Logo as possíveis raízes racionais da equação polinomial : x4 – 3x 3 – 3x² + 11x –6, serão os números racionais gerados na forma (p/q) : { 1,-1, 2, -2, 3, -3, 6,-6} Para serem raízes P(x) = 0; então é só verificar cada valor numérico na equação dada:

P( 1) = 14 – 3(1)3 – 3(1)² + 11(1) – 6, P(1) = 0

Equação : x4 – 3x 3 – 3x² + 11x –6,

1 – 3 – 3 + 11 – 6,

P( 2) = (2)4 – 3(2)3 – 3(2)² + 11(2) – 6, P(2) = -4 P( 3 ) = (3)4 – 3(3)3 – 3(3)² + 11(3) – 6, P(3) = 0

Com Duas Raízes : aplica Briou Ruffini :

1 1 -2 -5 6 0

x4 – 3x 3 – 3x² + 11x –6,

x3 – 2x 2 – 5x + 6,

1 1 -2 0 x2 –x – 2

x2 + x – 2 Por Girard : Qual o nº cuja soma é igual a (-1) e cujo produto é -2

X1 = 1 e x2 = -2

Logo x=1 tem multiplicidade 2 e as raízes são : { -2; 1 e 3} ou seja três raízes distintas

3

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P( -2) = (-2)4 – 3(-2)3 – 3(-2)² + 11(-2) – 6, P(-2) = 0 (logo é uma raiz do polinômio ) . Portanto o resto é zero e não “ 4”

C) na divisão por x + 2, P(x) apresenta resto igual a 4.

Pelo teorema do resto : se o divisor de uma equação polinomial é de grau 1; então o resto da equação polinomial p(x), será determinado a partir do valor numérico da raíz do divisor em p(x). assim:Se x + 2 = 0 Então, x = -2 Aplicando na equação polinomial x = - 2

d) Px) é divisível por x – 1. Para ser divisível por x-1 x = 1 é raiz Então :

P( 1) = 14 – 3(1)3 – 3(1)² + 11(1) – 6, P(1) = 0 logo x -1 é divisível por p(x) Letra “d” está correta

A

2 4 00 2 13 0 2

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5. (UERJ) Um ciclista e um corredor começam, juntos, uma competição. A curva abaixo, cuja equação é dada por e = t3 + at2 + bt + c, representa a posição e, em metros, do ciclista, em função do tempo t, em segundos, em que a, b e c são números reais fixos. No instante em que o ciclista parte da posição zero, o corredor inicia um movimento, descrito pela equação e = 4t, na mesma pista e no mesmo sentido. Podemos afirmar que a posição mais afastada da origem na qual o ciclista e o corredor voltam a se encontrar é igual a :.

a) 20metros b) 25metros c) 30 metros d) 35metros

Esta questão além dos Conteúdos da matriz de referência ela trabalha: os Descritores D25

Curva do ciclista: uma raiz simples t1 =0 outra com multiplicidade 2 ou raiz dupla t2 = t3 = 3

Ou seja :

t(t - 3) (t - 3 ) = 0

t (t2 – 6t +9 ) = 0

t3 – 6t2 +9t = 0

No instante do encontro do ciclista com o corredor, temos : t3 – 6t2 +9t = 4t t3 – 6t2 +5t = 0

t (t– 1) ( t- 5) = 0

t1 = 0 seg.

t2 = 1 seg.

t3 = 5 seg.

Da equação “2” : e=4t

Logo e=4x5 Logo e=20mPosição mais afastada

Pela curva da figura dada:

Ou seja a= -6 b=9 c=0

Decompondo em fatores de 1º grau

Soluções:

e = 4t

5

20

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RespostA Letra d

6.. Sabe-se que dado um polinômio de coeficiente real, se z= a +bi é raiz desse polinômio com b≠0, então, o conjugado z = a – bi também é raiz do polinômio, concomitantemente, um polinômio de coeficientes racionais; se (a + √b) é raiz desse polinômio com b 0 então a raíz (a - √b) , também é raiz desse polinômio, neste caso, ≭considere o polinômio: P(x) = x5 – 9x4 +22x3 -14x² +21x -5 ; tendo duas de suas raízes que são : i e 2+√3 podemos afirmar que as demais raízes são :a) (–i , 2 -√3 e -5) b) (2i , 2 -√3 e -5) C) (–i, -√3, -3) d) C) (–i, 2-√3, 5)

c) (–i , 2 -√3 e -3) d) (–i , 2 -√3 e 5)

Logo : 5 é raizSe i é raiz pela definição –i também é raiz

Se 2+√3 é raiz pela definição 2 -√3 também é raiz

Separando uma das opções de raízes : x=5 Aplicando Broiut Ruffini, temos:

1 -9 22 -14 21 -5

5 1 - 4 2 - 4 1 0

Pelo teorema do quociente, As opções de uma quinta raíz será : 5 , -5,

P(x) = x5 – 9x4 +22x3 -14x² +21x -5

7. (Ufrj) Em um jogo de sinuca,uma mesa está localizada com centro na origem do plano complexo, conforme mostra a figura a seguir. Após uma tacada do centro O, a bola preta segue na direção de Z=1+i, bate em A, indo em seguida até B e parando, Conforme demonstra a figura a seguir, Neste caso, Encontre o ponto Z = a+bi, onde a bola preta teria parado se a tacada tivesse sido dada, com a mesma intensidade, na direção e sentido do conjugado de Z.

{Parte real do complexo

{Parte imaginária do complexo

Módulo do complexo

Módulo : distância da origem ao afixo = ı z ı =√ a2 + b²

Afixo

ı z ı

θ

argumento

Re

im

ı z ı =√ a2 + b²

z = 1 + i

ı z ı =√ 1² + 1² ı z ı =√ 2

√ 2

θ

Cos θ x √ 2√ 2

Cos θ = √ 2

Θ = 45º

Se n =

p1

√ 2

Ap1 45 =

√ 2

Ap1 2

√ 2 Ap1 = 2

= 2

√ 2

Por semelhança :

2

2

1

x

x = 1 Parte real no afixo B = 1

Parte imaginária no afixo B = 3i

logo zB = 1 + 3i

distância da origem ao afixo “A” = ı z ı =√ a2 + b²

8. Considere as seguintes Proposições: I) Dada a figura abaixo Podemos afirmar que o número complexo z = x + yi será representado no plano argand

Gaus, na forma z= r (sen θ + i cós θ ). Onde r = √(x² + y²)

l Z l = r : Módulo do complexo

II) Dados os números complexos z1 = 6∙(cos30o + i∙sen 30o) e z2 = 3∙(cos15o + i∙sen 15o), o valor de z1 ∙ z2 é igual a :

18∙(cos45o - i∙sen 45o )III) Dados z = 22∙(cos120o + i∙sen 120o) e c = 11∙(cos90o +i∙sen 90o), o valor de z/c é igual a 2(cos30o +i∙sen 30o),

a) Apenas a 1ª Proposição está Correta b) As proposições I e III estão corretas b) c) Apenas a proposição III está correta d) Apenas a proposição II está correta

Z = a +bi

Podemos chamar :

Z = P (Afixo)x = ay = b

θ = argumento do complexo p

Z = x +yi cosθ = x r

x = r cos θ senθ = y r

y = r senθ

Z = r cos θ + r i senθ Z = r (cos θ + i senθ )

I Z I² = x² +y² I Z I = √x² +y²Em relação ao módulo, por pitágora:

I)

II) 6∙(cos30o + i∙sen 30o) 3∙(cos15o + i∙sen 15o)z1 ∙ z2 X = 18( cos45º + isen45ºz1 ∙ z2

III)z1

z2

22∙(cos120o + i∙sen 120o)

11∙(cos90o +i∙sen 90o)= 2∙(cos30o - i∙sen 30o)

(I) Verdadeira

(II) Falsa

(III) Falsa Resposta Letra A

9. Na figura, abaixo, estão representados um sistema de equações e os gráficos de duas retas.4x – 3y = P X + 3y = Q Os valores de P e Q para que o gráfico corresponda à solução do sistema sãoA) 12 e 2. B) – 9 e 6. C) – 36 e 6. D) – 6 e 4.

A solução do sistema, corresponde ao ponto de intersecção das duas retas, neste caso:X= -9 e y=0 ; Aplicando em P e Q: P= 4(-6) - 3(4) = -36 Q= -6 + 3(4) = 6

Resposta Letra C

10. Dentre as equações abaixo, pode-se afirmar que a de uma circunferência é:a) ( x – 1)² + y² = 25 b) x² - y -4x = - 3 c) x² + y² = - 16 d) x² - y -9 = 0e) x² - y² - 4x =9

a) ( x – 1)² + y² = 25 ( x – 1)² + (y- 0)² = 5² C( 1,0) e r =5 correto

x² - y -4x = - 3 a # b Erradab)

x² + y² = - 16 “ r “ negativo

Errada

c)

x² - y -9 = 0d) a # b

Erradax² - y -4x = 9e) a # b

Errada

Resposta A

11. A figura, abaixo, representa a planta de uma praça triangular. Ela é contornada por uma calçada e há um atalho, representado na figura pelo caminho RQ, perpendicular a um dos lados. Para ir do ponto M ao ponto P, Júlia percorreu o trecho MQRP, andando sempre sobre a calçada. o perímetro percorrido por Júlia foi igual a :A) 35 m. B) 48 m. C) 52 m. D) 72 m.

13m

12m

X

13² = 12² + x²

X² = 13² - 12²

X² = 169 - 144

X² = 25 X = 5m 5m

Calculando PR , por semelhança, temos:

52m

p

N

M13 +X_

20m20 5 = 13 + X

12

5( 13 + X ) = 20 x 12

65 + 5x = 240 5x = 175 x = 35

x = 35

Logo: MQRP :12 + 5 + 35 = 52m

Resposta C

12. (Concurso público – Eletrobrás). A figura abaixo representa a planta de um apartamento. A área total é de (m2):

(A) 56; (B) 58; (C) 62; (D) 64; (E) 80.

A1 = 8 X 4 = 32m

A2

A3

A1

A2 = 6 X 3 = 18m

A3 = 4 X 2 = 8m

Área Total = 32 + 18 + 8

Área Total = 58m Resposta B

Dividindo as partes da planta, temos:

13 . A figura, abaixo, representa um “silo”, muito utilizado nas fazendas para armazenar grãos. Ele é composto de um cone e um cilindro e suas dimensões estão indicadas na figura abaixo. A capacidade máxima de armazenagem de grãos nesse silo é de

A) 20π m3.B) 24π m3. C) 32π m3. D) 96π m3.

O silo é composto de duas figuras geométricas:- Cilindro- Cone

VC = Volume do Cilindro = π r² x h

r = 2m h = 5m VC = π 2² x 5 VC = 20π m3

VCN = Volume do Cone= 1/3 π r² x h

VCN = Volume do Cone= 1/3 π 2² x 3

r = 2m h = 3m

VCN = 4π m3

Volume Total = VT VT = 20 + 4 Volume Total = 24π m3

Resposta B

14 . (SADEAM). Observe a reta numérica abaixo Considerando que – 4 < x < 4, um dos pontos que x poderá assumir é (A) I (B) P (C) M (D) H (E) Q

Resposta C

M= -2

15. Em Aposentolândia foi implantada a chamada “fórmula 96”. Por essa fórmula, um trabalhador tem direito à aposentadoria, quando a soma de sua idade com o número de anos trabalhados é igual a 96. Nesse país, qual a idade mínima de aposentadoria para uma pessoa que comece a trabalhar com 24 anos de idade?

S + T = 96S = soma das Idades

T = Número de anos trabalhados

Sendo S = 24

T = 96 - S

T = 96 - 24 T = 72 Anos

Resposta B

GRE Recife Sul

Obrigado a todos!

Um abraço!