G.M. - Edile A 2002/03

Applicazio

ne

• Si consideri un punto materiale– posto ad un altezza h dal suolo, – posto su un piano inclinato liscio di altezza h,– attaccato ad un filo di lunghezza h il cui altro estremo è attaccato ad un soffitto che dista h dal suolo: quando il filo si trova in posizione verticale, il corpo sfiora il pavimento,– posto su una guida liscia di forma qualsiasi di altezza h

• In tutti e quattro i casi, inizialmente il corpo si trova ad altezza h, e viene abbandonato con velocità nulla da questa posizione• Determinare la velocità con cui il corpo raggiunge il pavimento.

h

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Applicazio

ne

• Nel primo caso– Agisce solo la forza peso (che è conservativa)

– Posso applicare la conservazione dell’energia

h

ΔE =0 ⇒ Ei =Ef

K i +Ui =K f +Uf

K i =0

U i =mgh

K f =12mvf

2

U f =0

Abbiamo scelto il pavimento come punto di riferimento ed assegnato al pavimento energia potenziale nulla

0+mgh=12 mvf

2 +0

vf = 2gh

L’energia potenziale iniziale viene trasformata in energia cinetica

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Applicazio

ne

• Nel secondo caso agiscono– Sia la forza peso, che è conservativa, – E la reazione vincolare del piano inclinato,

• Solo la componente normale, perché per ipotesi il piano è liscio

• Possiamo applicare la relazione lavoro energia:

h

ΔE =Wnc ⇒ Wnc=WN

La normale è perpendicolare allo

spostamento: quindi il suo lavoro è nullo

ΔE =Wnc=0 ⇒ Ei =Ef

Si ritorna la caso precedente K i +Ui =K f +Uf

K i =0

U i =mgh

K f =12mvf

2

U f =00+mgh=1

2 mvf2 +0 vf = 2gh

La velocità finale è la stessa del caso precedente

N

P

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Applicazio

ne

• Nel terzo caso agiscono– Sia la forza peso, che è conservativa,

– E la tensione nella corda.

• Possiamo applicare la relazione lavoro energia: h

P

TΔE =Wnc ⇒ Wnc=WT

dWT =r T ⋅d

r r =0 perchè

r T ⊥d

r r

Il lavoro infinitesimo fatto dalla tensione

T è nullo, ma anche il lavoro complessivo ΔE =Wnc=0 ⇒ Ei =Ef

Si ritorna la caso precedente K i +Ui =K f +Uf

K i =0

U i =mgh

K f =12mvf

2

U f =00+mgh=12 mvf

2 +0 vf = 2gh

La velocità finale è la stessa del caso precedente

dr r

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Applicazio

ne

• Nell’ultimo caso agiscono– Sia la forza peso, che è conservativa, – E la reazione vincolare della guida,

• Solo la componente normale, perché per ipotesi la guida è liscia

• Possiamo applicare la relazione lavoro energia:

h d

r r

N

P

ΔE =Wnc ⇒ Wnc=WN

dWN =r N ⋅d

r r =0 perchè

r N ⊥d

r r

Il lavoro infinitesimo fatto dalla Normale

N è nullo, ma anche il lavoro complessivo

ΔE =Wnc=0 ⇒ Ei =Ef

Si ritorna la caso precedente K i +Ui =K f +Uf

K i =0

U i =mgh

K f =12mvf

2

U f =00+mgh=12 mvf

2 +0 vf = 2gh

Conclusione: la velocità finale è sempre la stessa in tutti e quattro i casi esaminati.

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Consigli sull’uso della conservazione dell’energia nella risoluzione dei problemi

• Utilizzare la conservazione dell’energia ogni volta che è possibile (quando non è richiesto di determinare intervalli di tempo o trovare funzioni del tempo (legge oraria))– L’approccio energetico è più semplice della seconda legge della dinamica:

• la conservazione dell’energia è un’equazione scalare mentre le seconda legge di Newton è vettoriale corrispondente a ben tre equazioni scalari

• la seconda legge di Newton è un’equazione differenziale del secondo ordine, la conservazione dell’energia è solo del primo ordine.

• Introdurre un sistema di riferimento inerziale

• Individuare tutte le forze agenti sul punto materiale o sui punti materiali

– Ricercare i corpi dell’ambiente circostante che possono esercitare forze

• Tener presente che alcune forze agiscono a distanza• Altre agiscono per contatto

– Attenzione ai corpi a contatto

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Consigli sull’uso della conservazione dell’energia nella risoluzione dei problemi

• Separare le forze tra forze conservative e forze non conservative.

• le forze conservative– Forza peso

– Forza elastica

– Forza di gravitazione universale

– Forza di Coulomb

• Tutte le altre forze vanno considerate non conservative

• Scrivere l’equazione della conservazione dell’energia meccanica totale.– E = 0 se tutte le forze sono conservative

– E = Wnc se non tutte le forze sono conservative

U x,y,z( ) =−GmM

r

U(x,y,z) =12

kx2

U x,y,z( ) =mgy=mgh

U x,y,z( ) =1

4πεo

q1q2

r

h = quota

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Consigli sull’uso della conservazione dell’energia nella risoluzione dei problemi

• Scegliere l’istante iniziale e quello finale tra cui valutare la conservazione dell’energia

– Ottimizzate i calcoli e la precisione del risultato

– Partite sempre istanti iniziali e finali i cui dati sono derivabili dalla traccia.

• Valutare il lavoro delle forze non conservative (se presenti)– La forza di attrito statico non fa lavoro

– La forza di attrito dinamico fa sempre un lavoro negativo

– La Normale compie lavoro nullo perché perpendicolare allo spostamento

– La tensione nelle corde con uno dei capi fissi compie lavoro nullo (caso del pendolo)

– Il lavoro complessivo delle tensioni ai due capi di una corda ideale è nullo• Ad un capo la forza e lo spostamento sono concordi (lavoro positivo)• All’altro capo sono discordi (lavoro negativo)• Nelle corde ideali le forze ai due capi della corda sono uguali così come gli

spostamenti dei due capi.

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Consigli sull’uso della conservazione dell’energia nella risoluzione dei problemi

• Valutare l’energia cinetica e potenziali negli stati selezionati come iniziale e finale.– Per calcolare l’energia potenziale occorre fissare il punto di riferimento

(arbitrariamente) a cui assegnare un valore arbitrario dell’energia potenziale (solitamente il valore zero).

– Mi raccomando: il punto di riferimento e il valore arbitrario assegnato all’energia potenziale del punto di riferimento deve essere lo stesso sia nel calcolo delle quantità iniziali che per quelle finali.

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L’integrale primo del moto• La legge di conservazione dell’energia può anche essere usata per

determinare la legge oraria quando le forze agenti sono conservative.

• Con un certo numero di vantaggi sulla seconda legge della dinamica– Equazione scalare e non vettoriale

– Equazione differenziale del primo ordine e non del secondo

• Come si fa?– Consideriamo un moto unidimensionale: l’energia potenziale sarà solo

funzione di x, U(x).

E =K +U(x) =costante E =12mvx

2 +U(x)

vx =±2 E −U(x)( )

mdxdt

=±2 E −U(x)( )

m

dx

±2 E −U(x)( )

m

=dtChe può essere integrata separando le variabili

E è una costante

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P

N

Fel

Il diagramma dell’energiadell’oscillatore armonico

Felxdx=−dU Felx =−dUdx

U =12

kx2

L’energia meccanica totale

Punto di equilibrio stabile

La normale N e la forza peso non fanno lavoro

K<0Punti di inversione del moto

K<0

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La determinazione della forza dall’energia potenziale

• Nota l’espressione dell’energia potenziale possiamo determinare la forza (direzione verso ed intensità)

• Superfici equipotenziali– Sono il luogo dei punti in cui l’energia potenziale assume lo stesso valore

• Forza peso: piani orizzontali (h=cost)• Forza elastica: piani perpendicolari all’asse x (x=cost)• Forza di gravitazione universale e forza di Coulomb: superfici sferiche con centro

nell’origine della forza.

• La forza è perpendicolare alle superfici equipotenziale– Consideriamo un qualsiasi spostamento infinitesimo su una superficie

equipotenziale (dr tangente alla superficie).– Poiché la superficie è equipotenziale dU=0

dU=−dW=−r F ⋅d

r r =0 ⇒

r F ⊥d

r r

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La determinazione della forza dall’energia potenziale

• Per uno spostamento che avviene lungo l’asse x:

dU=−dW=−Fxdx ⇒ Fx =−dUdx

• Per uno spostamento che avviene lungo l’asse y:

dU=−dW=−Fydy ⇒ Fy =−dUdy

• Per uno spostamento che avviene lungo l’asse z:

dU=−dW=−Fzdz ⇒ Fz =−dUdz

r F =−gradU=−

dUdx

r i −

dUdy

r j −

dUdz

r k

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Il diagramma dell’energia

Fx =−dUdx

Punti di equilibrio instabile

Punti di equilibrio stabile

equilibrio indifferente