Gli studi fluidodinamici di laboratorio e la tecnica...
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Gli studi fluidodinamici di
laboratorio e la tecnica PIV
Massimiliano Manfrin - Turlab, Dip. Fisica, Università di Torino - [email protected]
• Campi applicativi che spaziano dalla fisica dei fluidi
all’ingegneria (meccanica, aeronautica e aerospaziale,
civile, ...), dalla medicina alla meteorologia, dalla
biologia all’oceanografia……
Fluidodinamica: studio delle forze che agiscono sui fluidi
(gas e liquidi).
L’equazione «omnicomprensiva» è quella di Navier-Stokes.
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Si ricordi che :
• La fisica studia le equazioni del moto.
• Se si determinano i campi di velocità, e lo si riesce a fare nel tempo, il problema dello studio del fenomeno è potenzialmente risolto.
• Posso ottenere le accelerazioni e quindi le forze; posso descrivere il moto.
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Necessità per gli studi in laboratorio di avere anche
apparecchiature rotanti.
Perché una vasca rotante ?
Sulla Terra i processi atmosferici che
coinvolgono i fluidi (atmosfera e oceano)
si svolgono in un sistema di riferimento
rotante.
Presenza della forza di Coriolis: agisce
solo su una particella in moto perturban-
done la direzione del vettore velocità, ma
non il modulo.
Forza particolarmente importante su
grandi scale e per alte velocità.
Finestre per
permettere
di
fotografare il
flusso
Tubo per
l’aggiunta di
acqua
Collettore
strisciante
per la
trasmissione
dei dati
Aspetto unico: canali di vetro sul fondo che permettono la
creazione di lame verticali potenti e ben definite.
Laser verde a diodi allo stato solido: potenza massima 15 W
trasmessa direttamente (senza fibra ottica).
DiametroDiametroDiametroDiametro vascavascavascavasca 5 5 5 5 mmmm
AltezzaAltezzaAltezzaAltezza massimamassimamassimamassima acquaacquaacquaacqua 0.8 0.8 0.8 0.8 mmmm
VelocitVelocitVelocitVelocità rotazionerotazionerotazionerotazione 0000----20 20 20 20 rpmrpmrpmrpm
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I flussi nella vasca possono essere generati con
pompe oppure, con, in generale migliori risultati,
variando bruscamente il periodo di rotazione
dello strumento dopo che si è ottenuta la
condizione di rotazione solida
Tini > Tfin spin-up Tini < Tfin spin-down
Il flusso risultante ha una velocità che decresce
esponenzialmente e il cui valore massimo è dato da:
Umax=2π(1/Tfin-1/Tini)r
(r distanza dal centro )
Il moto della vasca è generato
da un motore elettrico ed il
sistema di rotazione si basa
sulla tecnologia del velo
d’olio ad alta pressione che
riduce gli attriti e le
vibrazioni.
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1 Mikrotron MC1310:
CMOS
1-500 Hz a piena
risoluzione 1280x1024;
501- 1000 Hz at 1/2 ris …
8 bit
2 Dalsa 1M60P: 1-60 Hz
CCD 1024x1024
12-10-8 bit
2 Dalsa 4M60P: 1-60 Hz
CMOS 2352x1728
10-8 bit
1 Flare2MC320:
CMOS,
1-280 Hz,
a colori,
2048x1088,
8 bit
A causa dell’attrito sul fondo il flusso nello
strato limite diviene
cross-isobarico
Dovendo conservarsi la massa si
sviluppa una circolazione
secondaria (Ekman pumping)
Spin-down Spin-up
Convergenza (L) Divergenza (H)
Tipi di Circolazione
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E’ la nota Spirale di Ekman in
cui il vettore velocità è ruotato
verso sinistra avvicinandosi al
suolo e contemporaneamente il
modulo del vettore diminuisce.
Andamento della velocità nel fluido in moto in una vasca in rotazione.
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Importanza di poter riprodurre i fenomeni
naturali in laboratorio:
- Maggiore possibilità di controllare le condizioni
sperimentali e al contorno;
- Possibilità di eliminare o ridurre l’importanza di alcune
delle forze (analisi di scala) in azione potendo così scindere il
problema in sotto-problemi di più semplice interpretazione;
- Possibilità di variare alcuni parametri per verificarne
l’influenza/importanza;
- Fornire misure sperimentali per validare i modelli numerici;
- Ripetibilità dell’esperimento;
• Esperimenti in laboratorio devono quindi riprodurre opportunamente le
condizioni naturali.
• Le tecniche di misura non dovrebbero essere intrusive né perturbative.
• La misura di per sé comporta una perturbazione che deve essere
minimizzata per «non» influenzare il fenomeno osservato.
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Fenomeni naturali (prototipo) e riproduzioni in
laboratorio (modello): rappresentazione in
laboratorio di fenomeni naturali a scale molto
diverse: dalla microscala alla scala sinottica, quindi
dai cm alle migliaia di km.
Come far sì che lo studio di laboratorio sia
rappresentativo del prototipo naturale?
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• Si dice che esiste similarità fra due quantità
quando è possibile metterle in relazione
attraverso una costante adimensionale
(indipendente dal sistema di coordinate)
Teoria della similitudine
La tecnica della Similitudine
Nella riproduzione dinamica su modello di unfenomeno naturale occorre che il pattern del flussonel prototipo sia una copia ingrandita e non distortadel “pattern” del flusso nel modello.
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Si ha similitudine geometrica fra due sistemi quando è
possibile far coincidere uno di essi con l’altro mediante un
opportuno cambiamento di unità di misura delle lunghezze
(è la meno importante fra le similitudini possibili).
Si dice che due “oggetti” sono cinematicamente simili se è possibile trovare due SR, tali che gli “oggetti”siano geometricamente simili per
ogni t e che il rapporto di similitudine geometrica sia indipendente da t.
Se le rispettive masse
stanno fra loro in un
rapporto costante μ,
allora essi sono anche
materialmente simili
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è necessario che, in corrispondenza di punti
geometricamente similari, le forze agenti sulle
particelle siano in rapporti fissi ad istanti omologhi
di tempo.
Similarità dinamica
Se esiste similarità dinamica fra dueprocessi fisici, è possibile trasferire irisultati ottenuti per il primo al secondo, eviceversa («più facile a dirsi che non afarsi»……)
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Questo si traduce nella conservazione di alcune quantità
adimensionali che vengono individuate da opportuni rapporti di forze
(le variabili sono variabili di scala).
Numero di Rossby: importanza della rotazione [U/(f*L)];
Numero di Reynolds: importanza della viscosità [UL/υ]
Ad esempio, nel moto dei grandi sistemi atmosferici, anticicloni apportatori di
bel tempo e depressioni apportatrici di vento e pioggia, si ha, alle nostre
latitudini,
U= 10 m/s L= 1000 Km f=10-4
Ro=0.1
Se si vuole riprodurre su scale di laboratorio tale moto, riducendo la velocità a
0.1 m/s e la lunghezza a 10 m, f deve essere 0.1.
Come posso determinare i campi di velocità ?
Uso di traccianti passivi: determinazione del moto nel
tempo
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Se voglio fare delle valutazioni quantitative ho bisogno di un
approccio che mi registri qualcosa permettendomi una
analisi successiva, in qualsiasi momento, indipendente
dall’acquisizione e dall’acquisitore.
Conviene riprendere con una
foto/telecamera e poi analizzare
quanto catturato.
Devo fare anche in modo che il
risultato sia scientificamente
indipendente da chi effettua le
misure o le analisi.
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Due approcci:
Euleriano LagrangianoSeleziono un tracciante ,
«etichettandolo» e lo seguo nelle
sue evoluzioni.
Seleziono un’area di mio interesse
ed eseguo le misure in quell’area
valutando sempre nuovi traccianti
che entrano ed escono dal campo
di misura
Ho un’ottima visione d’insieme
nell’area di misura, che però è
limitata:
Ho un’ottima valutazione del moto
di quel particolare elemento nello
spazio e nel tempo ma perdo la
visione d’insieme:
PIV/LIF
Particle Image
Velocimetry / Laser
Induced Fluorescency
PTV
Particle Tracking
VelocimetryMeno usata perché richiede zone di
misura molto ampie e/o sistemi di
inseguimento complessi.
Fornisce informazioni solo in
pochissimi punti: è limitante!
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Permettono misure quantitative
-Densità =1.03 g/cm3
-Diametro: 5-1000 micron
-Necessitano di un agente
bagnante per renderle
sospensibili
-Buona riflettività
-Forma simil-sferica
-Economiche
Approcci sperimentali
Le più piccole (5-10 micron) rimangono in
sospensione, in acqua dolce, per alcune
decine di ore; quelle di grandi dimensioni
(1000 micron) per qualche minuto.
ParticelleInchiostri
Permettono misure qualitative
-Gestione molto più
semplice e veloce
-Normali o fluorescenti
-Utili per studi di diffusione
PIV
(Particle Image Velocimetry)
Abilità di definire campi di flusso istantanei su aree e volumi che
possono spaziare di diversi ordini di grandezza.
Possibile identificare strutture spaziali in flussi non stazionari e studiarli
quantitativamente.
Tecnica recente, nata negli anni 70.
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Le riprese possono essere bidimensionali (una telecamera; setup
molto più «semplici») o tridimensionali (due o più telecamere; setup
molto più complessi).
Come devono essere i traccianti ?
PICCOLI !!!
RIFLETTENTI (in realtà è uno scattering di Mie)
Possibilmente in equilibrio idrostatico con il fluido
Rappresentazione «fedele» di un elemento fluido
Quando vengono illuminati da una opportuna luce
diventano visibili (come la polvere in controluce)19
- è facile da maneggiare (comporta qualche rischio però);
- può avere potenze ben regolabili ed elevate;
- l’assorbimento da parte dell’acqua è minimizzato;
- è fra le lunghezze d’onda più facilmente creabili;
Nelle riprese, bisogna stare molto attenti alle aberrazioni:
- introdotte dagli obiettivi e/o dal passaggio di mezzi
diversi (rifrazione),
- dalle deformazioni prospettiche,
- dalla luminosità di background (le particelle devono
essere ben distinguibili le une dalle altre, risaltare rispetto
al bg, avere una distribuzione di luminosità simil-gaussiana
con bordi definiti ma sfumati (tecniche di blurring).
Utilizzata luce verde laser:
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E’ poi molto importante definire bene a priori (deve essere
studiata in anticipo la fisica che si vuole riprodurre) i tempi di
acquisizione e quindi la differenza temporale tra due
immagini successive; e definire i tempi di esposizione per
evitare «l’effetto cometa» (sovraesposizione).
Ci deve essere un buon seeding: non poche (pochi punti, radi
e poco «legati»), non troppe (punti sufficienti, ma rischio di
eccessiva luminosità e sovrapposizione).
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I tempi devono
essere grandi
abbastanza da
avere un moto
«sensibile», ma
piccoli a
sufficienza da non
perder di vista le
particelle
inquadrate nella
prima immagine.
Due possibili approcci di acquisizione:
- In continua (vantaggio di poter «scegliere»
l’accoppiamento dei campi e di non dover sapere con
troppa precisione la fisica in anticipo; svantaggio di avere
una grande mole di dati);
- A bursts: si scelgono 2-7 tempi di acquisizione
consecutivi con intervalli che consentano la massima
flessibilità temporale; poi pausa di consistente lunghezza.
Inizialmente la ripresa veniva effettuata con camere analogiche su
rullino (solo con il secondo approccio) .
Grandissima risoluzione ma problemi nell’analisi che doveva
essere fatta a mano su una o due coppie di immagini
considerando «particella a particella»; tempi di valutazione di
qualche giorno, fino anche a qualche settimana !!22
Con l’avvento delle telecamere digitali è aumentato
enormemente il numero di immagini acquisite (sebbene
almeno all’inizio a prezzo di risoluzioni e sensibilità molto
inferiori).
I tempi sarebbe esplosi se non si fosse provveduto ad
elaborare tecniche digitali di analisi.
In questo modo si possono decidere i parametri inizialmente
e poi i computer si occupano di iterare l’analisi lungo tutta la
serie (le condizioni fisiche non devono mutare troppo !!).
Come si può mappare lo spazio delle immagini (in pixel) nello
spazio fisico reale?
E come si può valutare lo spostamento dei traccianti?23
Problema: Le equazioni del moto sono
espresse in unità fisiche e non in pixel
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Prima di passare all’implementazione via software della PIV è necessario mappare le posizioni delle particelle nel piano dell’immagine (pixel) al piano della lama laser (cm).
Il primo step per effettuare la
calibrazione è l’allineamento
della lama laser con un
bersaglio dalle dimensioni
note (ideale struttura
quadrettata o crocettata),
assicurandosi che sia ben
centrato.
La calibrazione
L’informazione data
dall’immagine è in pixel, ma il
numero di questi dipende
strettamente dal tipo di obiettivo.
Acquisita un’immagine è necessario localizzare il centro delle croci. I software in uso sfruttano un procedimento simile alla tecnica usata nella PIV.Sono però imprecisi, essendo automatici.
La localizzazione
manuale del centro di
tutte le croci reca
ottimi risultati in
termini di calibrazione,
ma richiede tempi
lunghissimi.
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I centri celle croci opportunamente mappati nella realtà fisica vengono
poi fittati da una superficie curva che minimizza gli scarti e fornisce alcuni
parametri del tipo di ripresa (distanza focale, centro ottico,….)
Il risultato permette di
avere una funzione
definita in tutto lo
spazio inquadrato e di
stimare le possibili
deformazioni dovute a
difetti delle lenti, alla
loro curvatura, a
problemi di parallasse,
…..
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La disposizione angolare ha un inconveniente: produce campi di immagini
stirati in modo opposto.
Essendo la distorsione delle
due telecamere diversa, è
impossibile sovrapporre
direttamente le due aree di
interrogazione senza aver
prima interpolato i dati su
una griglia comune!
Calibrazione Stereo
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Bersaglio «raddrizzato» mediante la
calibrazione.
Bersaglio come osservato dalla
telecamera di destra in un approccio
stereo
PIV
Analisi di coppie di immagini legate temporalmente (se si è sbagliata la
fase sperimentale, a questo livello non resta che rifare tutto….).
Tra le due immagini è necessario che le particelle si spostino di alcuni pixels (best tra 5 e 15).
x x
z
Lo spostamento osservato dipende da frame rate di acquisizione, dalla velocità del fluido, dalla risoluzione e dalle dimensioni del campo.
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Partendo dalle intensità luminose (a maggiore risoluzione in bit dell’immagine corrisponde maggior accuratezza del risultato) relative a ciascun pixel (in toni di grigio), viene calcolato il coefficiente di cross-correlazione tra le pattern box dell’immagine a e b.
Esistono diverse possibili implementazioni della PIV. Quella adottata è chiamata CIV (Correlation Image Velocimetry) e si basa sul calcolo diretto (più lento, ma più preciso del calcolo tramite FFT) della cross-correlazione (normalizzata):
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Si valuta il valore di tale funzione per ogni pattern-box
possibile all’interno della search box della seconda immagine,
generando una superficie topografica di cross-correlazione, di
cui viene individuato il massimo.
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X
Origine del
vettore
velocitàSearch box
Pattern box
Il vettore velocità è assegnato temporalmente all’immagine a della coppia, mentre il suo punto di applicazione è posto nel punto intermedio del segmento congiungente il punto corrispondente al
centro della pattern box nella prima immagine
ed il
centro della pattern box della seconda immagine
dtW
yy
dtU
xx
a
a
2
2
+=
+=
Dal massimo di correlazione si ricava lo spostamento più probabile e,
conseguentemente, il vettore della velocità (si conosce il tempo trascorso tra
le due immagini).
Sono poi utilizzati algoritmi gaussiani di interpolazione subpixel che migliorano
la risoluzione a 0.1 px. 34
Lo spostamento identificato in questo modo ha risoluzioni di 1 pixel (px).
t
t +∆t
L’analisi viene poi ripetuta per tutte le possibili pattern box
identificabili all’interno delle immagini.
Quante sono le possibili pattern box?
Dipende da chi fa le analisi.
Si può avere overlapping da 0 e fino al 50 %; oltre, i punti
sono così correlati da non presentare più informazione e
proporre invece problemi in fase di elaborazione.
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Nel corso del calcolo PIV vengono computati anche alcuni
flag associati ad ogni vettore e che ne caratterizzano la
qualità: soprattutto valore del coefficiente di correlazione e
localizzazione del massimo di correlazione (un massimo sui
bordi può non essere un massimo).
E’ una analisi statistica: lo spostamento indicato non è
verità assoluta, ma il numero che ha la massima
probabilità di rappresentare lo spostamento vero.
L’errore finale è, nel migliore dei casi (immagini
«perfette»), dell’ordine di qualche decimo di px (in
termini «fisici» l’errore dipende dalla risoluzione).
Quali sono gli errori di questo tipo di analisi?
Non si può valutare analiticamente, ma solo stimare da
medie di ensemble o metodi montecarlo (creazione di
immagini sintetiche dalla fisica nota, processing,
valutazione delle differenze).
Si ricordi che:
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- Definire l’area media (pattern box) contenente almeno cinque
particelle: ad ogni area corrisponderà un vettore del campo di
velocità; dimensioni possono essere diverse lungo le due direzioni; le
box possono essere rettangolari.
- Stabilire un grigliato con su cui centrare le finestre;
- Definire l’area (search box; indicativamente circa 30 px più grande
della pattern box) entro la quale si muoverà la finestra per calcolare il
coefficiente di correlazione (bidimensionale);
- Dimensioni delle box sempre dispari in modo da assegnare il centro ad
un px reale e non interpolato.
Analisi PIV
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Tutto questo processo può (e «deve») venire iterato più
volte portando così ad un miglioramento del risultato:
Il passaggio precedente viene utilizzato per imporre uno
spostamento piccolo nel suo intorno e non muoversi più su
tutta l’area identificata dalla search box.
Al secondo passaggio vengono introdotti inoltre algoritmi di
stretching e di convect flow.
Non è però possibile utilizzare le analisi direttamente a
cascata a causa della presenza di vettori errati.
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Interfaccia grafica matlab per analisi, filtraggio e patch, sviluppata presso Coriolis-Legi - Grenoble
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1) Utilizzo di alcuni flag computati in fase di
analisi.
Necessità di eliminare tali vettori errati.
Il campo calcolato contiene vettori errati dovuti a:
possibili problemi di illuminazione, seeding non uniforme,
agglomerati di particelle, poche particelle, parallassi, non buona
messa a fuoco, ….
Scartare i vettori ad «occhio» è relativamente semplice e molto
accurato (soprattutto nel caso di flussi ben definiti), ma farlo per
5000 vettori per campo e in 1000, 10000 campi può essere una
faccenda lunghetta…….
Si usano quindi software da impostare e poi applicare
iterativamente: è un metodo molto meno accurato ma molto più
veloce (…. e meno alienante…).
Un approccio molto rapido è:
- valutazione dei valori di correlazione (valori bassi
caratterizzano vettori spesso errati) calcolati in fase di
analisi;
- localizzazione dei massimi (sui bordi della finestra i vettori
possono essere errati, ma solo qualche volta).
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Questo tipo di filtraggio può essere svolto attraverso l’interfaccia
precedente o quella qui presente che prepara ad un approccio più
raffinato
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Scatter plot (o istogramma) nel piano
(u,v): permette di identificare (alcune
volte) aree non fisiche e quindi di
eliminare i punti che vi cadono.
2) Creazione di uno scatter plot
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3) Filtraggio su base locale, utilizzando intorni
di opportuna grandezza di cui vengono valutati
media/mediana, std dev, abs dev (possibili
anche filtraggi tramite FFT)
Confronto della consistenza di ogni vettore con un suo
intorno (magari definito di dimensioni diverse, sia nello
spazio che nel tempo).
Approccio più raffinato ma decisamente più lungo e
soggetto alla scelta, soggettiva, di numerosi parametri.
Calcolo di valori medi, mediani e std,
massimi assoluti.
I vettori filtrati vengono scartati (non rimossi dai
campi). Il campo risultante non è più omogeneo e non
è neanche su un grigliato regolare (questo già
dall’inizio per l’utilizzo del punto di applicazione).
Per evitare problemi in fase dell’applicazione delle
equazioni, si procede alla sostituzione dei vettori
scartati e alla regolarizzazione della griglia con
processi di interpolazione eseguiti su sottodomini (in
modo da preservare al massimo eventuali
disomogeneità del flusso) effettuati mediante spline
(che garantiscono anche la continuità delle derivate).
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