Giros y revoluciones

UNPRG ING. CIVIL

Universidad Nacional:

“Pedro Ruiz Gallo”

GIROS

Responsables:

Arteaga Gómez, Luis Gustavo

Babastre Ramos, Victor José

Chunga More, Yony Raúl

De la Oliva Sánchez, Elizabeth Rocío

Profesor:

Ing. Marco Guzmán Vigo

Curso:

Geometría Descriptiva

Lambayeque, Junio del 2007

Geometría descriptiva GIROS

UNPRG ING. CIVIL

GIROS Y REVOLUCIONES

GENERALIDADES

Un objeto o figura cualquiera en el espacio y referidas a los planos

horizontal y frontal de proyección, no siempre puede aparecer en su

verdadera magnitud o en una de las formas que nosotros quisiéramos que

fuesen presentadas a nuestra vista para su estudio. Por lo tanto, para lograr

que un objeto se halle en posición favorable o conveniente existen en forma

general dos procedimientos:

a. Cambio de Posición del Observador, manteniendo fijo, el objeto,

de manera que se puede lograr una posición favorable al observar

la figura;

b. Cambio de Posición del Objeto, manteniendo fija la posición del

observador hasta lograr la posición deseada.

Evidentemente estos procedimientos, no pueden ser ejecutados en

forma arbitraria, sino para ser factible el estudio de estas posiciones,

existen reglas determinadas y normas que la reglan, y es esto lo que

determina los siguientes métodos:

1-a: Objeto fijo y Observador variable: Cambio de Planos.

1-b: Objeto variable y Observador fijo: Método de Giros.

1.- ELEMENTOS DE UN GIRO:

Para que un cuerpo del espacio tal como P efectúe un giro, es necesaria la

concurrencia de los siguientes factores:

a) Objeto de giro

b) Eje de giro

c) Plano de giro

d) Angulo de giro


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o

PH''-

oP'

Objeto girante 2º posición

UN SOLO GIRO

o

o

eP

Po

e1

Eje de Giro

Vértice Angulo de giro

VARIOS GIROS

P''e2

e

o

c

Po

e1

o

o P'

P

P'''e3

o

a). Objeto de giro: En geometría en general, es considerado como objeto

girante: un punto, una recta, un plano y en general una figura geométrica

cualquiera.

b). Eje de giro: Se llama así, a una recta cualquiera, alrededor del cual se

efectúa el giro. El eje de giro puede ser: exterior al objeto, o tener puntos

de contacto con el.

c). Plano de giro: Es el plano que generan los puntos del objeto al girar

alrededor de un determinado eje. Podemos observar que cada punto del

objeto generara un plano de giro. Este plano de giro es perpendicular al eje

de giro.


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d). Angulo de giro: Cuando un punto describe un giro alrededor de un eje,

barre una parte del plano de giro, que se llama ángulo del giro. Este ángulo

de giro tiene como vértice un punto del eje y como lados, las rectas que

unen el vértice con el objeto que gira en sus proyecciones inicial y final.

Eje de Giro

Vértice Angulo de giro

Angulo de Giro

bH

Objeto girante 2º posición

Plano de Giro

o

e'

cØ o

e

bH-

Objetos girante1º posición

HF

2.- PRINCIPIOS BASICOS DE LOS GIROS:

Primero: Todo objeto elemental P al girar alrededor de un eje, describe

una circunferencia o arco de circunferencia que se llama trayectoria t. El

centro C de la trayectoria se encuentra en el eje de giro e y su radio r es la

distancia existente entre el objeto P y el eje.

P= Objeto que giraG= Plano de girot= trayectoriaG'= Plano paralelo al plano de giroc= centro de giroe= eje de girot'= Proyección de la P

c

e

t'

t

Ø

t

t

P r

c

P= punto que girat= trayectoriar= radio de giro c= centro de giroe= eje de giro

P

r

e

bF

PH

-PH

bHbHsHs'H

FH

-bF

-

Segundo: Todo objeto P al girar alrededor de un eje, genera un plano G

llamado Plano de giro y que es perpendicular al eje de giro.


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P

Plano de Giro P

Ø

c

t

H

e

Tercero: La proyección de la trayectoria del giro de un objeto P sobre

cualquier plano paralelo al plano de giro G, se ve siempre en verdadera

magnitud: G’.

G'

GP

c

et

P= Objeto que giraG= Plano de girot= trayectoriaG'= Plano paralelo al plano de giroc= centro de giroe= eje de girot'= Proyección de la trayectoria, t sobre el punto G' t=t'

c'

e'

P'

t'

Cuarto: La proyección de la trayectoria de giro de un objeto P sobre un

plano perpendicular al plano de giro, es un segmento de recta cuya

verdadera magnitud es igual al diámetro de la trayectoria.


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e

GtP

mm'

e= eje de girot= trayectoriaG= plano de giroW= plano perpendicular al plano Gm-m'= proyección de la trayectoria t sobre el plano W

eW

Al girar el objeto P alrededor del eje e, describe la trayectoria t. La

proyección de dicha trayectoria sobre el plano W es el segmento mn’ cuya

longitud es igual al diámetro de la circunferencia descrita: siendo los puntos

m y m’ las posiciones sobre el plano W, del objeto P al girar.

Corolario: Las proyecciones del objeto P sobre el plano W al girar, siempre

estará comprendido entre los extremos m y m’ y además nunca podrá ser

exterior a el.

3.- GIROS EN EL SISTEMA ORTOGONAL H-F-P:

En este sistema, los giros pueden realizarse siempre empleando los

siguientes tipos de ejes:

a) Eje perpendicular al plano horizontal (punta vertical)

b) Eje perpendicular al plano frontal (punta normal)

c) Eje perpendicular a H-F

d) Eje cualquiera

Nomenclatura:

- El eje de giro será designado por el segmento ee’.

- El punto girado se le llamara con el mismo nombre del punto en su

posición original y con una rayita en la parte superior si ha efectuado

un solo giro; con dos rayitas si hubiese efectuado dos giros, y asi

sucesivamente.


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4.- GIRO DE PUNTOS:

4-a: Giro alrededor de un eje vertical:

Sea P un punto del espacio que debe girar alrededor del eje ee’

perpendicular al plano horizontal de proyección.

Por el segundo principio básico, el plano de giro es un plano no paralelo al

plano horizontal, por lo tanto la trayectoria se ve en el, en verdadera

magnitud.

Descripción del Giro en el espacio:

• Sea el eje de giro, la recta vertical ee’

• Llamemos P al punto del espacio que ha de girar, en su posición

inicial.

• La trayectoria del giro es la circunferencia t, cuya verdadera

magnitud es la circunferencia proyectada en el plano horizontal de

proyección.

• El centro de la trayectoria es el punto c.

• Indiquemos el sentido del giro, mediante un arco con una flecha en

su extremo.


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De la observación de la figura anterior, para obtener las proyecciones del

giro del punto, podemos deducir el siguiente procedimiento:

Depurado:

• Se unen las proyecciones horizontales eHeH’ del eje con la

proyección horizontal pH del punto que va a girar.

• Con centro en la proyección horizontal del eje de giro y un radio

igual al segmento que une las proyecciones horizontales del eje y

del punto, se describe un arco de circunferencia en el sentido

horario (o antihorario) hasta barrer el ángulo θ dado, llegando a la

posición que es pH, que será la proyección horizontal del punto ya

girado en su posición final.

• Para encontrar la proyección frontal del punto girado: por pH

trazamos una línea de referencia y por pF una paralela al eje H-F.

El punto de corte de estas dos líneas, determinaran la proyección

pF girado.


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4-b: Giro alrededor de un eje Normal:

Tratándose de un eje normal, o sea uno perpendicular al plano frontal, el

procedimiento es semejante al caso anterior y por estas razones, nos

limitaremos a describir el procedimiento general.

• Se unen las proyecciones frontales del eje de giro con la proyección

frontal del punto a girar, en su posición inicial.

• Con centro en la proyección frontal del eje y tomando como radio la

distancia al punto a girar, se describe un arco de circunferencia,

barriendo el ángulo θ dado y en la dirección señalada.

• Habiendo barrido el ángulo θ obtenemos la proyección frontal del

punto girado.

• Por la proyección frontal del punto girado, se traza una línea de

referencia; por la proyección horizontal del punto en su posición

inicial se traza una paralela al eje H-F.

• El punto de corte de las dos líneas antes trazadas, definirán la

proyección frontal del punto girado.

H

F

-PF

e'F

eF

PF

Ø

PH-

eHe'H

PH


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4-c: Giro alrededor de un eje paralelo al H-F:

Siendo el eje paralelo al eje H-F, el plano de giro deberá ser paralelo al

plano lateral de proyección, luego la trayectoria t del punto al girar, se vera

en verdadera magnitud en la proyección de perfil.

eHe'Ho

o

bH-

aH

o

-bH

Ø

PF

eF

PF

F P

e'FePe'P

HF -

eH

bF

PH

e'H

-PH

PP

PP

-

F

H

-bF

aF aFeFe'F

-

Procedimiento a emplear:

- Se halla la proyección de perfil del punto: pP

- Se determina la proyección de perfil del eje de giro: ePeP’.

- Con centro ePeP’ y una radio igual al segmento ePeP’pP se describe

un arco de circunferencia en el sentido fijado y barriendo el ángulo θ

dado, hasta llegar a la posición ya girado y representado por el punto

pP girado.

4-d: Giro alrededor de un eje cualquiera:

Cuando los ejes son perpendiculares a los planos de proyección, los giros se

efectúan directamente sobre el sistema H-F.

Pero tratándose de un eje que tiene una posición cualquiera, la trayectoria

del punto al girar no podrá verse en verdadera magnitud en forma directa

en sus proyección horizontal y frontal; por lo tanto, previo a la operación

del giro, se debe llevar el eje dado a una posición favorable mediante

obtención de una vista auxiliar para tener el eje transformado en uno de


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punta que puede ser vertical o normal. En este nuevo sistema, se ejecuta el

giro aplicando las reglas de los casos anteriores. Obtenido las proyecciones

del punto girado en el nuevo sistema, se debe efectuar el regreso al sistema

original y en el cual se debe dar la solución final.

Aplicación: Girar el punto p del espacio, alrededor de un eje cualquiera ee’,

en un cierto sentido y un determinado ángulo θ dado.

--

e'F

PF

H

F

eF

eH

PH e'H

PF- PF'

e'F

PH

PF'-

F'H

Ø

PH''

PH''

eH'e'H''

H''F' -

-

Procedimiento General:

• Se transforma el eje dado cualquiera, en uno que se vea vertical, de

modo que en el sistema final F’-H’’ tenemos el eje transformado en

vertical.

• Se obtienen las nuevas proyecciones del punto a girar, en el nuevo

sistema.

• Se efectúa el giro en el nuevo sistema, aplicando el proceso ya

conocido, obteniéndose así el punto girado.

• Con la nueva posición del punto, se regresa al sistema original,

obteniendo en esta forma la posición del punto girado alrededor del

eje dado, con el ángulo θ y la dilección señaladas.

5.- GIRO DE RECTAS:


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Elementalmente, una recta queda determinada por dos puntos cualquiera,

por lo tanto, el procedimiento general que se debe aplicar en el giro de una

recta dada alrededor de un cierto eje y en una dirección determinada, se

sigue en la siguiente forma:

• Se toman dos puntos cualesquiera de la recta dada.

• Se giran los puntos tomados, el ángulo dado y en el mismo sentido.

• Los puntos obtenidos ya girados, se unen, determinado en esta forma

la posición de la recta dada, ya girada.

Se deben considerar los dos siguientes sub-casos:

Sub-caso 5-a: Girar una recta cualquiera alrededor de un eje exterior a

ella: Girar la recta ab alrededor del eje ee’ un cierto ángulo.

aF -aF

F

H

aH

aH-

e'F

eFbF -

bF

Ø

eHe'HØ

bH

-bH

Procedimiento:

• El eje dado es de punta vertical.

• Se giran los puntos a y b en el sentido horario y el mismo ángulo θ.

• Se unen los puntos girados, que determinan las proyecciones de la

recta en su nueva posición.


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Sub-caso 5-b: Girar una recta cualquiera alrededor de un eje que tiene un

punto en común con la recta.

Este método es el mas empleado, ya que teniendo la recta y el eje un punto

en común, bastara con tomar otro punto de la recta y girarlo bajo las

condiciones dadas.

Aplicación: Girar la recta ab alrededor del eje ee’ que pase por un punto

de ella.

Se debe girar en cierto sentido y el ángulo θ.

bF

bF-

aF-

aF

H

F

H bH

F

eFe'FØ

aF

aH eH

bH-

-aH aH

-bHbH

e'H

Procedimiento:

● Se gira el puntob el ángulo propuesto y en el sentido señalado.

● Se une el punto girado obtenido, con el punto a , que no ha variado su

posición por pertenecer al eje, determinando en esa forma las

proyecciones de la recta ya girada.

6.-GIRO DE PLANOS


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Sabemos que en el caso más general, un plano está determinado por tres

puntos no situados en línea recta. Por lo tanto para girar un plano

cualquiera bajo ciertas condiciones, seguiremos el siguiente procedimiento:

● Se giran tres puntos cualesquiera del plano bajo las condiciones

establecidas.

● Se unen los puntos girados, determinando en esta forma el plano girado

Aplicación: Se da el plano abc. Girarlo alrededor del eje ee un ángulo θ y

en sentido horario.

aF-

bF

-aH

e'F

bF

aF

bF-

-cF cF

bHeHe'H

Ø

H

F

aH

eF

cH-

Ø

cH

-aH

eHe'HØ

bH

-bH

Nota: Normalmente, en este tipo de problemas, siempre es menester

emplear ejes que sean perpendiculares a los planos de proyección, y

además para mayor simplificación del trabajo, tomar siempre el eje de

manera que pase por algún punto del plano dado.


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APLICACIONES GENERALES DE LOS GIROS

Concentrándonos sólo en las aplicaciones generales de los giros, éstas la

vamos a dividir para su estudio en las siguientes partes:

6-A: Transformar una Recta a otra que sea paralela a los

Planos de Proyección: Verdadera Magnitud.

6-B: Transformar una Recta a otra que sea perpendicular a los planos de

Proyección: Rectas de Punta.

6-C: Transformar un Plano a otro que sea Perpendicular a los Planos de

Proyección: Planos de- Canto.

6-D: Transformar un Plano a otro que sea Paralelo a los Planos de

proyección: Verdadera Magnitud.

6-A: TRANSFORMAR UNA RECTA A OTRA QUE SEA PARALELA A LOS

PLANOS DE PROYECCIÓN: Verdadera Magnitud de la Recta.

Las transformaciones a realizar pueden ser los siguientes:

6-A-a: Transformar una recta cualquiera a Horizontal:

Transformar la recta ab en horizontal.

F

eFe'F

eFe'FaF

--bF

bF

bF-

bF aF-

aF

HF

H bH

bF-bF

F

eFe'FØ

aF

aH eH

bH-

e'HeHe'HaH

H

--bH

-aH aH

eHbH

-bHbH

e'H


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Procedimiento

● Empleando un eje perpendicular1 al plano frontal: Eje Normal ee.

Hacemos pasar dicho eje por el punto b de la recta dada.

● Se gira el punto a alrededor del eje dado, de modo que la proyección

frontal de los puntos de la recta, queden situados en una misma paralela

al eje H-F, determinando en esta forma la proyección frontal de la recta

ya girada: FF ba .

● La proyección horizontal de la recta girada, queda determinada al unir

las proyecciones horizontales de los puntos girados HH ba y que han

sido determinados por el procedimiento general conocido.

6- A - b: Transformar una recta cualquiera a Frontal:

Transformar la recta ab en frontal.

eHe'H

eFaF

bF-

H bH

bF-bF

F

eFe'FØ

aF

aH eH

bH-

bH

aH

e'F

-aF aF

F

aH

H

-

Procedimiento:

● Empleamos un eje perpendicular al plano horizontal de proyección: eje

Vertical ee.

● Hacemos pasar el eje por el punto a de la recta.

● Giramos el punto b de la recta, alrededor del eje dado, de modo que las

proyecciones horizontales de los puntos queden situados en una misma


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paralela al eje H-F. Uniendo los puntos girados obtenemos la proyección

horizontal HH ba y de la recta girada.

● La proyección frontal de la recta girada, queda determinada al unir las

proyecciones frontales de los puntos gira -dos que son FF ba y y que

han sido hallados por el método general.

6-A-c: Transformar una recta cualquiera a Perfil:

Transformar la recta ab a una eme sea de perfil.

eHe'H

eFaF

eHe'H aF-

aH

e'F

-aF

aF--

aF

F

aH

H

-

bFeFe'F

-aH-

aF aF-

H

F

aH

bF

-aH

e'F

bF

aF

bF-

-cF cF

aH

bHeHe'H

Ø

H

F

aH

eF

cH-

Ø

cH

-aH

eHe'HØ

bH

Procedimiento:

● Se hace pasar un eje vertical por un punto de la recta: lo hacemos pasar

por el punto b.

● Se gira el punto a alrededor del eje ee, de modo que la proyección

horizontal de los puntos do la recta, se sitúen en una misma

perpendicular al eje H-F. En esta forma queda determinado la proyección

horizontal HH ba de la recta.

● La proyección frontal de la recta girada, queda determinada al. unir las

proyecciones frontales de los puntos girados FF ba y que previamente

han sido hallados por el método general de puntos. La proyección

frontal de la recta también debe ser perpendicular al eje H-F.


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6-B: TRANSFORMAR RECTAS A OTRAS QUE SEAN PERPENDICULARES

A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN: Rectas de punta:

Los casos a estudiar serán los siguientes:

6-B-a: Transformar una recta cualquiera a Vertical: Se deben

emplear en este caso dos giros:

1. La recta dada se transforma primero en Frontal, mediante un giro

alrededor de un eje vertical.

2. Empleando un nuevo eje, ahora normal, se transforma la Frontal

anterior en Vertical.

Aplicación: La recta ab transformarla a Vertical median el empleo de los

giros.

eHe'H

eFaF

H bH

bF-bF

F

bH-

eHe'H -

aH

e'F

-aF

aF--

aF

F

aH

H

-

bFeFe'F

-aH-

aF aF-

H

F

aH

bF

-aH

aF

aH

bHeHe'HH

F

aH

-aH

Procedimiento:

Primer Paso: La recta dada ab la transformamos a frontal girando en la

forma ya conocida alrededor del eje vertical ee.

Segundo Paso: La recta vertical ba (girada una vez) la transformamos a

vertical, girándola alrededor del eje normal que hacemos pasar por el


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punto b , de modo que la proyección frontal de la recta girada sea

perpendicular al eje H-F.

La proyección horizontal de la recta ya vertical, se determina mediante el

procedimiento conocido.

Aclaraciones en el Depurado

● Proyección horizontal del eje vertical es eHeH. La proyección frontal del

eje no se dibuja por no ser necesaria y sobre todo para no recargar el

depurado. Se gira aH alrededor del eje, hasta que está en una paralela

al eje H-F y que será la proyección horizontal de la recta ya girada.

● En el segundo giro, se ha hecho pasar el eje por el punto b y cuya

proyección frontal es sFsF cuya proyección horizontal no se ha dibujado

por razones obvias.

● Se ha girado la proyección frontal aF hasta que quede situado en una

perpendicular al eje H-F y que viene a ser la proyección frontal de la

recta ya girada y que ya es vertical.

6-B-b: Transformar una recta cualquiera a Normal:

Se deben efectuar también en este caso Dos giros:

1. La recta dada se transforma en recta horizontal mediante el giro

alrededor de un eje normal.

2. Mediante un segundo giro, esta vez alrededor de un eje vertical, se

transforma la horizontal anterior, en recta normal.


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Aplicación: Transformar la recta ab en normal.

FF

eFe'F

bF

bF-

eFe'FaF

--bF

bF aF-

aF

e'H

-cFaF

H

-bH bH

eHe'HaH

H

mF cF--

PF

--bH

-aH aH

eHbH

e'F

Procedimiento:

Primer Paso: La recta dada ab ha sido transformada a horizontal,

girándola alrededor del eje normal ee, obteniendo la recta cuya proyección

frontal FF ba es paralela al eje H-F.

Segundo paso: La recta horizontal ba , se vuelve a girar, esta vez

alrededor de un eje vertical ss que hacemos pasar por el punto girado a ,

de modo que la proyección horizontal del punto girado dos veces ba quede


La proyección frontal de la recta (pe. ya es un punto) se encuentra por el

procedimiento general.

Aclaraciones en el depurado

● El primer eje de giro es ee que se ha hecho pasar por el punto a de la

recta dada, de modo que la proyección frontal FF ee se confunde con aH. La proyección horizontal del eje no se dibuja por no ser necesario.

● Se ha girado la proyección bF, alrededor del eje, hasta que con la

proyección frontal del punto a quede situado en una paralela al eje H-P,


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formando en esta forma la proyección frontal FF ba de la recta

girada.

● El segundo eje está representado por ss que hacemos pasar por el punto

a de la recta, Su proyección horizontal es HHS S que se confunde con aH. Análogamente, la proyección frontal de dicho eje no se ha trazado.

● Alrededor del nuevo eje, se gira el punto b , hasta que su proyección

horizontal Hb se sitúe en una misma perpendicular con Ha al eje H –

F. La proyección frontal de la recta que ya es normal, se halla en la

forma conocida.

6-B-c: Transformar una recta cualquiera a paralela al eje H – F

Como ya sabemos, una recta paralela al eje H-P es paralela

simultáneamente a los dos planos de proyección, luego es la vez horizontal

y frontal. Por lo tanto, para efectuar esta transformación emplearemos dos

giros.

Aplicación: Transformar la recta ab a paralela al eje H – F

-

HF

PF

ØePe'P

e'H

-

eH

PH

PH

PP-

sHs'H

F

H

aFeFe'F

bF

-bF

aF -

aH

bHbH- aH

- G

G'

P

e

c

t

Procedimiento:

Primer paso: La recta ab se transforma a horizontal mediante un giro

alrededor de un eje normal, obteniendo la nueva recta girada ba .


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Segundo paso: La recta horizontal ba , se transforma ahora a frontal,

mediante un giro alrededor de un nuevo eje vertical, obteniendo la recta

ba que ya es paralela al eje H-F.

Nota aclaratoria

● El primer eje es ee cuya proyección horizontal no figura en el depurado

por no ser necesario.

● El segundo eje es la recta ss y cuya proyección frontal tampoco se traza

por no ser necesaria.

6-C: TRANSFORMAR UN FLANO CUALQUIERA A OTRO QUE SEA

PERPENDICULAR A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN:

En general, ya conocemos cuales son los procedimientos generales, para

transformar un plano cualquiera a otros que sean perpendiculares a los

planos de proyección (ver Primera Parte). Por esta razón, solamente nos

limitaremos a enunciar los procedimientos generales, trazando el depurado

de la solución de cada problema con una ligera explicación.

6-C-a: Transformar un Plano cualquiera a ano que sea de Canto

Vertical (perpendicular al plano Horizontal).

Transformar el plano abc cualquiera a uno que sea de Canto Vertical.

PH

PF-

-cFaF

aF

mF

mF cF-

-PF

--bH

eF

aH-

F

H

aH

mH

cH

e'FeFbFF

H

eH

PH

cH

bHmH-

-

-

PF'

e'F

PF'-

HF'

e'H


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Procedimiento:

● Se toma en el plano dado, una recta frontal tal como bm.

● Mediante un giro se transforma la recta bm en una que sea de punta

vertical

● Girando el mismo ángulo y en el mismo sentido a los otros puntos del

plano, se obtiene finalmente el plano y convertido a vertical (proyección

horizontal una recta).

Depurado:

● Se ha tomado un eje normal ee que pasa por el punto b

● Se transforma bm a recta vertical, habiendo girado para esto un ángulo

de valor θ.

● Los puntos a y c se han girado el mismo ángulo y en el mismo sentido.

● La proyección horizontal del plano girado es una recta.

6-C-b: Transformar un plano cualquiera a uno de Canto Normal:

Transformar el plano mns cualquiera a uno que sea de Canto Normal

(perpendicular al plano Frontal).

-

PP

nF nF

-aF-

mF

eHe'HmH

F

H

sF-

aF

sF

nHaH

nH- -

sH-

sH

aH


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Procedimiento

● Se toma en el plano dado, una recta horizontal tal como am.

● Mediante un giro, se transforma la recta am en una de punta normal.

● Girando el mismo ángulo y en el mismo sentido a los demás puntos del

piano, se obtendrá el plano que ya es de posición normal (proyección

frontal es una recta).

Depurado:

● Se toma el eje vertical ee que hacemos pasar por el punto del plano: m.

● Se transforma la recta am en normal, determinando en este giro el

valor del ángulo θ.

● Los otros puntos del plano, o sea n y s se giran en el mismo sentido y el

mismo ángulo anterior.

● La nueva proyección frontal del plano girado debe ser una recta.

6-C-c: Transformar un plano cualquiera a paralele al eje H – F

Transformar el plano abc cualquiera a uno que sea paralelo al eje H- F

(perpendicular al plano lateral)

--

bH

--- cHcH

sH bH

aH-

o -

-bH-

aH-

aF

FH

aF

aH-

cF-

cF

-

HF

e'H

PF

Plano de Giro

PH-

-bF

bF

bH-bH

eH

PH

P

co

sH

cH-

cH

e


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Procedimiento:

● Tomamos en el plano una recta frontal tal como as.

● Esta recta frontal, mediante un giro se transforma a una que sea

paralela al eje H – F (Ver 7-B-c) o sea que es perpendicular al plano

lateral de proyección

● Los otros puntos del plano, también se giran en el mismo sentido y el

ángulo θ determinado en el primer giro.

● Se obtiene los puntos a, b y c girados que van a formar el nuevo plano,

que por tener la recta as que es paralela al eje H-F, también lo es.

Depurado:

• Tomamos la frontal del plano: as.

• Hacemos pasar por el punto s un eje vertical ee’

• La frontal as se gira liaste que quede paralela al eje H-F, barriendo

en esta operación el ángulo 0. Se determina las nuevas proyecciones

horizontal y frontal, obtenemos las nuevas proyecciones giradas que

forman el plano que ya es paralelo al eje H-F o sea perpendicular al

plano lateral de proyección.

6-D: TRANSFORMAR UN PLANO CUALQUIERA A OTRO QUE SEA

PARALELO A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN: "Verdadera magnitud

de un plano

Prácticamente, el hecho de que un plano sea transformado a uno que sea

paralelo a uno de los planos de proyección, significa determinar su

verdadera magnitud, o sea encontrar su verdadera extensión, de manera

que cualquier figura contenida en dicho plano se vea en su verdadera

magnitud (Se recuerda que estos conceptos ya se habían visto en la

Primera Parte: Vistas Auxiliares).

6-D-a: Transformar un plano cualquiera a otro que sea paralelo al

plano frontal de proyección:

Transformar el plano abc a uno que sea paralelo al plano frontal de

proyección.


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-

aF

bF-bF

--

aF

aF

-cF

mF

bF

H

F

mF cF--

e'FeFbF

aH

--cF

H

F

-cH-

bH

--cF

cF-

aF

--- cHcH

sH

aH

mH

bH

cH

aH-

Ø -

-bH-

aH-

aF

aF

cF-

cF

-

bHmH-

cH-

-bF

bF

Procedimiento:

• Con el empleo primeramente de un eje de giro normal, que pasa por

el punto a, transformamos la recta frontal bs del plano en una

vertical, para que el plano dado sea perpendicular al placo horizontal

de proyección,

• Tomando un segando eje vertical, se transforma al plano de canto

vertical a paralelo al plano frontal* de proyección (haciendo girar su

proyección horizontal hasta que quede paralelo al eje H-P.)

• Determinando las proyecciones frontales de los puntos girados,

obtenemos la proyección frontal del plano en su verdadera magnitud

(figura a rayas).

Depurado:

• Se toma la recta frontal bs en el plano dado.

• Por el punto s pasamos el primer eje Normal

• Se transforma la recta sb en frontal, girando en sentido horario el

ángulo Q. Los demás puntos también se giran en igual forma» En


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esta forma, el "plano ya ha sido transformado en uno de canto

vertical (proyección aHbHcH una recta)

• Tomamos un segundo eje, esta vez, vertical que pase por el punto a

(la proyección horizontal del eje pasa por aH).

• Se gira el plano hasta que la proyección horizontal quede paralelo al

eje H--P (giro en sentido horario el ángulo θ').

• Se determinan las proyecciones frontales del plano, obteniendo en su

verdadera magnitud (aFbFcF).

6-D-b: Transformar un plano cualquiera a otro que sea paralelo al

Plano "horizontal" de proyección:

Transformar el plano abc a uno paralelo al plano horizontal de proyección.

e'F

PH''

eH'e'H''o

aF

P

e'F

H''F'PH''-

-PF

e'PFcF

F

H

aH

PeF

c

-t

H

-bF

aF

bF

wF

-

cF

aF--

--

aH--

cF

aH- cH

bH-bH

-- aHbHwH

bH

cH-


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Procedimiento:

• Con un primer giro, tenemos que transformar el plano dado en

uno de canto normal (perpendicular al plano frontal). El eje

empleado en este caso es vertical

• Ejecutando un segundo giro alrededor de un eje normal, se

transforma el plano normal en Horizontal. El plano en referencia

se verá en verdadera magnitud en proyección horizontal.

Depurado:

• Tomemos la recta horizontal aw en el plano dado. -Mediante un giro

alrededor del eje vertical que pasa por el punto w se transforma la

recta aw en normal. Con esta .operación el planos se ha

transformado en uno de canto normal (la proyección frontal aFbFcF es

una recta).

• Empleando un segundo eje normal (que pasa por el punto c) se gira

el piano normal, hasta que queda paralelo al plano horizontal de

proyección. El ángulo girado en este caso es θ’. La proyección frontal

aFbFcF queda paralela al eje H-F.

• La proyección horizontal aHbHcH del plano queda en verdadera

magnitud.

6-D-c: Transformar un plano cualquiera a otro que sea paralelo al

plano Lateral de proyección:

Siendo este tipo de plano, perpendicular simultáneamente a los dos planos

de proyección, es de advertir que basta que, mediante dos giros, se

transforme el plano dado en normal primero, y luego en vertical; o también

en su defecto primero en vertical y luego en normal. En ambos casos

deberá emplearse los ejes convenientes y efectuar los giros en la forma

reglamentaria.

Deberá tenerse en cuenta que al final del trabajo, las proyecciones

horizontales y frontales del plano deberán quedar en una misma línea



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Aplicación: Dado el plano abc, transformarlo en paralelo al plano lateral de

proyección de proyección mediante giros.

Indicaciones generales y simplificaciones para la ejecución de

problemas generales con aplicación de los giros:

Hacemos las siguientes indicaciones:

1.- AI emplear un eje vertical, no necesitamos indicar la proyección frontal

del eje, porque no cumple ninguna función.

2.- En el empleo de ejes normales, la puede prescindir de su proyección

horizontal.

3.- Al emplear varios giros, sólo es conveniente poner nombres a los

elementos en sus posiciones finales.

4.- Siempre emplear el eje en posición que ayude a simplificar los giros.

5.- No es necesario indicar los ejes con sus respectivos nombres. Basta con

indicar el centro del giro en la proyección respectiva" con un pequeño

circulito, que indicará que en dicho lugar se encuentra la proyección del eje

como un punto.

6.- Cuando se emplee un eje que tiene una posición arbitraria, siempre es

necesario emplear una vista auxiliar y obtener el eje en una posición de

punta.

7.- A veces será conveniente combinar el empleo de giros y cambio de

planos, para poder simplificar algunos trabajos. Explicar esto siempre en

forma clara para justificarse del método empleado.

7.-EMPLEO GENERAL PE LOS GIROS:

En la solución de los numerosos problemas que se pueden presentar en

cualquier ocasión, también se pueden resolver empleando el procedimiento

de giros. A continuación resolveremos empleando giros, los problemas que

más comúnmente se presentan. Queremos dejar constancia, que en todos

ellos emplearemos las simplificaciones anotadas anteriormente, dando una

explicación clara del procedimiento seguido, de modo que el estudiante se

familiarizo como se trabaja en la práctica.


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7-A: LONGITUD PE UNA LINEA:

Para determinar la longitud de una línea cualquiera, basta con transformar

ella, a horizontal o frontal con empleo del eje respectivo,

Aplicación: Determinar la verdadera longitud del segmento de línea mn.

EJE VERTICAL

mH

nH

mF

nF

HF

Procedimiento:

Se ha empleado un eje de punta vertical, que pasa por el punto n,

transformando la línea en frontal. La verdadera magnitud de la línea se ve

en proyección frontal: (en los textos se indica con las letras T.L.).

7-B: LONGITUD DE VARIAS LINEAS QUE PASAN POR UN PUNTO:

Aplicación: Determinar la verdadera magnitud de las líneas ab, at, an, az.


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aH

bH

nH

tH

zH zH

bH

nH

tH

tF nF aF bF zF

nF bF

Procedimiento:

Empleando un eje vertical, hemos transformado la recta ab en paralela al

plano frontal de proyección. En esta forma, obtenemos la verdadera

magnitud del ángulo θ buscado, en la proyección frontal.

7-D: ÁNGULO DE PENDIENTE O GRADIENTE DE UN PLANO:

Nosotros sabemos (Primera Parte) que el ángulo que forma un plano

cualquiera con el plano horizontal de proyección o con un plano paralelo a

este, es lo que se llama Ángulo de pendiente o gradiente del plano dado.

Este ángulo se verá en verdadera magnitud, cuando el plano sea

perpendicular al plano Frontal de Proyección.

Aplicación: Hallar el ángulo de pendiente o gradiente del plano abc.


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EJE VERTICAL

mH

nH

mF

nF

HFF

H

aH aH

bH

bF bF

Ø

aF

FH

aH

Ø

aF

bH_ bH

sH

cH

aH

_sH

HF

Ø

_bF

aF_

_cF

cF

sFsF_

bF

ANGULO BUSCADO

Procedimiento:

Basta con transformar el plano dado en uno de canto normal. En la

proyección frontal, veremos el valor verdadero del ángulo Φ buscado.

El ángulo encontrado podrá ser de pendiente o gradiente, según las

necesidades que tenemos.


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EJERCICIOS

1. ROTAR EL PUNTO A ALREDEDOR DEL EJE VERTICAL E HAST

HACERLO CONTENER EN EL PLANO RST.

RH

OH

AH

EF

AFOF

RF

SF

HF

AH

AF

EH

TH

SH

TF

1H

2H

1F2F

SOLUCION:

SETRAZA POR A EL PLANO DE GIRO

EL PLANO DE GIRO SE INTERSECTA CON EL PLANO RST

SE CORTA A (RADIO DE GIRO OA) HASTA QUE CORTE A 12.


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2. MEDIR EL ANGULO QUE DEBE ROTAR EL PUNTO X ALREDEDOR DE LA

RECTA AB PARA QUE EL APARTAMIENTO DEL PUNTO ROTADO SEA

DE 77.62 INDICAR TAMBIEN LA POSICION DEL PUNTO ROTADO.

XF

XF

AF

XH

BF

H

XHAH

BH

P

P

F

F

AP

XP

F´

XP

XP´

P´

F´

XF´

XF´

BF´

AF´

BP

XP´

AP´BP´

SOLUCION:

SE PONE AB A VM CON EL APARTAMINETO DE X (77.62) HASTA CORTAR AL

PLANO DE GIRO, SE OBTIENE XF´ (VER PROYECCION F´) SE LLEVA AB DE

PUNTA Y SE OBTIENE EL ANGULO DE ROTACION.


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3. SE FDA LA PROYECCION HORIZONTAL DE UN PUNTO P; DETERMINAR

SU PROYECCION FRONTAL DE MANERA QUE SE LE HACE GIRAR

ALREDEDOR DEL EJE e. PUEDE SER COLOCADA SOBRE LA RECTA

MN.

H

NH

NF

F

MH PH

MF

F´

EF

EH

PF

H

MF´

NF´

PF´

PF´

PF´ PH

r

SOLUCION:

SI EL PUNTO P ES POSIBLE DESPLAZARLO HASTA TOMAR LA POSICION P

EN LA RECTA MN, ES QUE HA TENIDO UN DEZPLAZAMIENTO DESDE P A P

´ ALREDEDOR DE EJE DE GIRO e. ESTE DESPLAZAMIENTO LO REALIZA EN

UN PLANO PERPENDICULAR A DICHO EJE , EL QUE CORTA A MN EN P . EN

EL PLANO H EL EJE DE GIRO SE PROYECTA EN VM, Y EL PLANO DE GIRO DE

CANTO Y CONTENIENDOA P Y P . EN EL PLANO F´ EL EJE SE PROYECTA

COMO UN PUNTO Y EL DESPLAZAMIENTO CIRCULAR DE RADIO r (r = eF´PF


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´) EN VM ENCNTRANDOSE DOS SOLUCIONES P Y P´ QUE SATISFACEN LAS

CONDICIONES DEL PROBLEMA .


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Bibliografía

- www.google.com

- Héctor Chumbiray Calderón

Geometría Descriptiva

- Geometría Descriptiva

Nakamura

- Biblioteca de Consulta Microsoft ® Encarta ® 2005. © 1993-2004

Microsoft Corporation.


http://www.google.com/

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