GIẢI TÍCH I - moon.vn trinh Toan... · Bài tập hoàn toàn đƣợc tập trung dồn vào...

TLTK: LT – TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1 (NĂM HỌC 2016 -2017)

GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/597/7 1

TÀI LIỆU THAM KHẢO

TOÁN CAO CẤP A2 - GIẢI TÍCH 1


NĂM HỌC: 2016 -2017

TRANG CHỦ:

http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7




LỜI NÓI ĐẦU

CHƢƠNG TRÌNH GIẢNG DẠY TOÁN CAO CẤP

TRÊN MOON.VN NĂM HỌC 2016 - 2017

Chúc mừng các bạn đã bƣớc vào một ngƣỡng cửa mới của cuộc đời.

Việc đỗ Đại học mở ra cho các em một trang mới với đầy cơ hội nhƣng

không kém thách thức. Thách thức không chỉ ở việc học xa nhà hoặc ở môi

trƣờng mà cơ hội tiếp xúc để hỏi đáp với Giảng viên rất hạn chế trên những

giảng đƣờng lớn hàng trăm Sinh viên mà ở khối lƣợng kiến thức đồ xộ.

Tại bậc học Đại học, một môn học đƣợc chia ra làm các phân môn (hay

còn gọi là học phần). Các học phần có tính độc lập tƣơng đối về nội dung

kiến thức nên đƣợc tổ chức học và đánh giá kết quả học tập độc lập hoàn.

Bài tập hoàn toàn đƣợc tập trung dồn vào cuối chƣơng hoặc chuyên đề

chứ không theo bài (các buổi học). Các bài tập cũng đƣợc giải theo tính chủ

động học tập của Sinh viên. Rất nhiều bạn Sinh viên ngỡ ngàng với việc học

ở bậc Đại học nên kết quả học tập các môn học Đại cƣơng thƣờng thấp hơn

những môn học chuyên ngành ở năm thứ 3, thứ 4 (hoặc thứ 5).

Tuy nhiên, chƣơng trình giảng dạy Toán Cao Cấp tại Moon.vn vấn thiết

kế bài tập tại cuối các bài học lý thuyết (qua Video theo truyền thống ở

Moon.vn) và cuối các chƣơng (Phần luyện tập chuyên đề). Cũng nhằm để làm

quen với cách học ở Đại học, một số video bài tập đƣợc đƣa ra với mục đích

hƣớng dẫn các em cách làm bài tập và trình bầy ở bậc Đại học.




Thầy thiết kế chƣơng trình với lịch phát sóng sớm để các em có cơ hội

tiếp cận sớm với kiến và kỹ năng làm bài tập tốt. Hy vọng với sự chuẩn bị

sớm và tốt, các em sẽ thành đạt bởi theo kinh nghiệm: 95% thành công do

việc chuẩn bị.

Để các bạn Sinh viên tiện theo dõi chƣơng trình học, Thầy thiết kế

chƣơng trình đào tạo đƣợc đánh mã số chi tiết theo các phân đoạn đơn vị kiến

thức tuần tự để các em dễ dàng theo dõi. Các em có thể vào đƣờng link sau để

biết rõ về toàn bộ chƣơng trình: http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7

Tại bậc Phổ thông, các em học một chƣơng trình Toán duy nhất còn đối

với Toán Cao Cấp thì sự khác biệt rất lớn đƣợc thể hiện ở từng Trƣờng, thâm

chí từng khối ngành học trong Trƣờng.

Đối với các khối ngành Kỹ thuật, Khoa học (Sƣ phạm, KHTN), Công

nghệ, chƣơng trình Toán Cao Cấp đƣợc học là Toán A gồm có 4 học

phần riêng biệt với đƣờng link chính cho Toán A

(http://moon.vn/Pro/7/212):

o Toán A1: Đại số tuyến tính

o Toán A2: Giải tích 1



Đối với các khối ngành Nông – Lâm – Y – Dƣợc, chƣơng trình Toán

Cao Cấp đƣợc học là Toán B gồm có 2 học phần riêng biệt với đƣờng

link chính cho Toán B (http://moon.vn/Pro/7/213):

o Toán B1: Đại số tuyến tính

o Toán B2: Giải tích

Đối với các khối ngành Kinh tế, Thƣơng mại, Tài chính, Ngân hàng,

Luật hoặc Quản trị kinh doan ... chƣơng trình Toán Cao Cấp đƣợc học

là Toán C gồm có 2 học phần riêng biệt với đƣờng link chính cho Toán

C (http://moon.vn/Pro/7/214):

o Toán C1: Đại số tuyến tính

o Toán C2: Giải tích

http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7

http://moon.vn/Pro/7/212






Tại Moon.vn, kiến thức lý thuyết đã đƣợc bố trí với các nội dung chi tiết

cho từng khối ngành thông qua hệ thống video bài giảng cùng giáo trình đầy

đủ cũng nhƣ các tóm tắt lý thuyết vận dụng để nhanh chóng có thể giải bài

tập cho cả Toán A, Toán B và Toán C. Đi kèm lý thuyết cơ bản là một kho dữ

liệu khổng bài tập đƣợc tổng hợp từ các Đề thi giữa và cuối Học kỳ các năm

gần đây của các khối ngành:

Toán A1, A2, A3 và A4: hơn 3500 bài tập

Toán B1 và B2: gần 2000 bài tập

Toán C1 và C2: gần 2000 bài tập

Các bài tập trọng yếu đƣợc quay Video đi kèm lời giải giúp các em ôn tập

dễ dàng, tiếp cận phƣơng pháp giải nhanh chóng và chính xác.

Thầy và đội ngũ các Supper Mods (cũng đều là các Giảng viên dạy Đại

học) rất vui đƣợc trao đổi trên diễn đàn Toán cao cấp tại Moon.VN trên

Facebook với đƣờng link sau: https://www.facebook.com/groups/TCC.moon/

Các em cũng có thể thắc trực tiếp với thầy tại trang Facebook cá nhân với

đƣờng link sau: https://www.facebook.com/Thay.Trung.Toan

Chúc các em nhanh chóng thu lƣợm đƣợc những kiến thức, hoàn thiện kỹ

năng và vận dụng sáng tạo !

https://www.facebook.com/groups/TCC.moon/

https://www.facebook.com/Thay.Trung.Toan




MỤC LỤC

CHƢƠNG I: GIỚI HẠN DÃY SỐ ................................................................. 7

§1: SỐ THỰC ............................................................................................ 7

§2: SỐ PHỨC ............................................................................................ 9

§3:GIỚI HẠN DÃY SỐ ........................................................................... 20

§4: MỘT SỐ VÍ DỤ ................................................................................ 25

CHƢƠNG II: HÀM SỐ MỘT BIẾN ............................................................ 33

§1: KHÁI NIỆM HÀM MỘT BIẾN SỐ ................................................... 33

§2:GIỚI HẠN HÀM SỐ .......................................................................... 35

§3: SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ .......................................................... 41

§4: MỘT SỐ VÍ DỤ ................................................................................ 45

CHƢƠNG III: VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ ........................................... 53

§1:ĐẠO HÀM ......................................................................................... 54

§2:VI PHÂN ............................................................................................ 57

§3:ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO ................................................. 58

§4:CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN ..................... 59

§5:ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN ......................................... 62




CHƢƠNG IV:PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN ........................ 65

§1: TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH.................................................... 65

§2:TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ................................................................... 71

§3 :TÍCH PHÂN SUY RỘNG ................................................................. 77




CHƢƠNG I: GIỚI HẠN DÃY SỐ

§1: SỐ THỰC

1) Sự cần thiết mở rộng tập hợp số hữu tỉ : Trong thực tế và nghiên cứu số

hữu tỷ không đáp ứng đƣợc,nên nhất thiết phải mở rộng tập hợp số

Ví dụ: Tìm số hữu tỷ (nếu có) mà khi bình phƣơng số đó đƣợc kết quả bằng 2

2) Định nghĩa:

1. Số thập phân vô hạn không tuần hoàn đƣợc xem là biểu diễn một số vô

tỷ

2. Nếu gọi tập hợp số hữu tỷ là và tập hợp số vô tỷ là I.thì tập hợp số

thực

đƣợc xác định bởi I .

Nếu với mỗi tập X x có một số M sao cho x M thì nói tập X bị

chặn trên bởi số M.Trái lại nếu có số m để x m thì nói tập X bị chặn dƣới

.Tập bị chặn trên(dƣới) có thể không bị chặn dƣới(trên).Số M hay m đƣợc gọi

là cận trên hay dƣới của tập X.

Nhận xét:Một tập bị chặn trên(dƣới) có vô số cận trên(dƣới).

3. Định nghĩa

Số bé nhất trong các cận trên đƣợc gọi là cận trên đúng và đƣợc gọi

làx X

M = SupX

.

Số lớn nhất trong các cận dƣới đƣợc gọi là cận dƣới đúng đƣợc gọi là

x Xm = inf X

.

3) Định lý




Số M đƣợc gọi là cận trên đúng của tập

X o ox X sao cho x M .

Số m đƣợc gọi là cận dƣới đúng của tập

X o ox X sao cho x m .




§2: SỐ PHỨC

2.1.Dạng đại số của số phức.

-Định nghĩa số i: Số i đƣợc gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho 2i 1.

-Định nghĩa số phức: Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó

z a bi đƣợc gọi là số phức. Số thực a đƣợc gọi là phần thực và số thực b đƣợc

gọi là phần ảo của số phức z. Phần thực của số phức z a bi đƣợc kí hiệu là

Re(z). Phần ảo của số phức z a bi đƣợc kí hiệu là Im(z).

-Khi cộng (trừ) hai số phức ta cộng (trừ) phần thực và phần ảo tƣơng ứng.

-Khi nhân hai số phức ta thực hiện giống nhƣ nhân hai biểu thức đại số với

chú ý 2i 1.

-Muốn chia hai số phức ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu.

-Số phức z a bi đƣợc gọi là số phức liên hợp của số phức z a bi.

*Tính chất của số phức liên hợp:

Cho z và w là hai số phức, z và w là hai số phức liên hợp tƣơng ứng. Khi đó:

(i) z z là một số thực.

(ii) z.z là một số thực.

(iii) z z khi và chỉ khi z là một số thực.

(iv) z w z w

(v) z.w z.w

(vi) z z




(vii) n

nz z với mọi n .

2.2.Dạng lƣợng giác của số phức.

Modun của số phức z a bi là một số thực dƣơng đƣợc định nghĩa nhƣ sau

2 2mod(z) z a b

Nếu coi số phức z a bi là một điểm có tọa độ a,b thì

2 22 2z a b a 0 b 0 là khoảng cách từ điểm a,b đến gốc tọa độ.

Góc đƣợc gọi là argument của số phức z và đƣợc kí hiệu là arg(z) .

Tìm argument số phức

2 2

2 2

a acos

r a b

b bsin

r a b

hoặc b

tana

với 0 2

Dạng lƣợng giác của số phức z a bi là z r cos isin




Nhân hai số phức ở dạng lƣợng giác: modun nhân với nhau và argument

cộng lại.

Chia hai số phức ở dạng lƣợng giác: modun chia cho nhau và argument trự

ra.

2.3.Dạng mũ của số phức.

Định lý Euler: ie cos isin .

2.4.Nâng số phức lên lũy thừa.

Lũy thừa bậc n của i: Giả sử n là số tự nhiên, khi đó n ri i với r là phần dƣ

của n chia cho 4.

Ví dụ: Tính 1987z i

31987 4.496 3 z i i

Công thức De-Moivre: Cho r 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó

n nr cos isin r cosn isinn

Khai căn bậc n của số phức

n nnk

2k 2kz r cos isin z r cos isin

n n

2.5.Định lý cơ bản của đại số.

Đa thức P z bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội.

Ví dụ: Giải phƣơng trình sau trong 9: z i 0

9 9 9z i z i z cos isin2 2




k

k2 k22 2z cos isin , k 0,1,...,8

9 9

2.6. Một số ví dụ số phức

Ví dụ 1: Tìm số phức z biết 3

2 2 1z z i i (1)

Giải:

Giả sử z a bi z a bi

(1) 3 2 2 32( ) (2 3.2 3.2 )(1 )a bi a bi i i i i

2 2 (8 12 6 )(1 ) (11 2)(1 )a bi a bi i i i i i

23 11 11 2 2 13 9a bi i i i i

133 13 13

939 3

9

a az i

bb

Ví dụ 2: Cho 1 22 3 , 1z i z i . Tính 1 23z z ; 1 2

2

z z

z

; 3

1 23z z

Giải:

+) 1 23 2 3 3 3 5 6z z i i i 2 2

1 23 5 6 61z z

+) 1 2

2

2

3 4 13 4 7

1 1 2

i iz z i i

z i i

1 2

2

49 1 5 2

4 4 2

z z

z

+) 3 2 3

1 23 8 36 54 27 3 3 49 6z z i i i i i 3

1 23 2437z z




Ví dụ 3: Tìm môđun của z biết

2(1 2) 1

2 (1)2

i iz z

i

Giải:

Giả sử ,z a bi a b

(1) 2 2a bi a bi 2 2(1 2) 1 2 2 2 2

2 2

i i i i i

i i

2

(2 2 2) 2 (4 2 2) 4 2 23

4 5

i i ia bi

i

4 2 2 4 2 2;

15 5a b

32 4 16 2 144 72 144 2 225 128 2

225 15z

Ví dụ 4: Tìm tất cả các số phức z, biết 22 (1)z z z

Giải:

Giả sử ,z a bi a b

2 2 2 2 2 2 2 2(1) 2a bi a b a bi a b i abi a b a bi

2

2

1 1;

2 22 0

2 2 0 0; 02 0

1 1;

2 2

a b

b ab a bi abi b a

b ab

a b




Vậy 1 1 1 1

0; ;2 2 2 2

z z i z i

Ví dụ 5: Tìm các căn bậc hai của số phức 5 12z i

Giải:

Giả sử ( ) ;m ni m n là căn bậc hai của z

Ta có: 2( ) 5 12m ni i

2 2 2 2 22 5 12 2 5 12m mni n i i m mni n i

2 22 2 5(1)

56

2 12 (2)

m nm n

mn mn

Thay (2) vào (1) ta có:

2

2 4 265 36 5n n n

n

4 2 2 25 36 0 4; 9( )n n n n loai

2 3

2 3

n m

n m

Vậy z có hai căn bậc hai là 3 2i và 3 2 .i

Ví dụ 6: Tìm các căn bậc hai của số phức 164 48 5z i

Giải:




Giả sử ( ) ;m ni m n là căn bậc hai của z

Ta có: 2( ) 164 48 5m ni i

2 22 164 48 5m mni n i

2 22 2 164(1)

16424 5

2 48 5 (2)

m nm n

mn nm

Thay (2) vào (1) ta có: 2 2 4 224 5

( ) 164 164 2880 0m m mm

2 216; 180( )m m loai 4 6 5

4 6 5

m n

n m

Vậy z có hai căn bậc hai là 4 6 5 , 4 6 5i i

Ví dụ 7: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho 2 3z i

uz i

là

một số thuần ảo.

Giải:

Giả sử ( , )z a ib a b R , khi đó

2 2

2 3 ( 2 ( 3) )( ( 1) )

( 1) ( 1)

a bi i a b i a b iu

a b i a b

Tử số bằng 2 2 2 2 3 2(2 1)a b a b a b i




u là số thuần ảo khi và chỉ khi

2 2 2 22 2 3 0 ( 1) ( 1) 5

2 1 0 ( ; ) (0;1), ( 2; 3)

a b a b a b

a b a b

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đƣờng tròn tâm ( 1; 1)I , bán

kính bằng 5 , khuyết 2 điểm (0;1) và (-2;-3).

Ví dụ 8: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn

) 3z

az i

) 3 4b z z i ) 4c z i z i

Giải:

a) Đặt ,z x yi x y

Ta có: 2

22 2 2 2 9 93 9 1

8 64z z i x y x y x y

Vậy tập hợp các điểm M là đƣờng tròn tâm 9

0;8

I

, bán kính 3

.8

R

b) Đặt ,z x yi x y

Ta có 2 22 23 4 3 4 6 8 25z z i x y x y x y

Vậy tập hợp các điểm M là đƣờng thẳng 6x 8 25.y

c) Đặt ,z x yi x y

Ta có 2 22 24 1 1 4z i z i x y x y




22

2 2 22 2 2

22 22

2 2 2 22

22

2 2

1 4

1 16 8 1 1

1 16 1 16

4 4 8 4 8 162 1 4

1 16 1

1 23 4

4 3

x y

x y x y x y

x y x y

x y y y yx y y

x y

x y

y

Ta thấy các điểm nằm trong hình tròn (1) và trên elip (2) và tung độ các điểm

nằm trên elip luôn thỏa mãn điều kiện 4.y

Vậy tập hợp các điểm M là elip có phƣơng trình 2 2

1.3 4

x y

Ví dụ 9: Viết số phức sau dƣới dạng đại số:

9

5

3

1

iz

i

Giải:

+ Xét 1

3 13 2 2 os isin

2 2 6 6z i i c

9 9 9

1

9 92 os isin 2 os isin

6 6 2 2z c c

+ Xét 2

1 11 2 2 os isin

4 42 2z i i c




5

5

2

5 5 5 52 os isin 4 2 os isin

4 4 4 4z c c

9

1

5

2

3 3 1 164 2 os isin 64 2 64 64

4 4 2 2

zz c i i

z

Ví dụ 10: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:

2008

2009

2 6

5sin isin

3 6

iz

Giải:

2008

2008

2009 2009

1 32 2

2 6 2 2

5sin isin os isin

3 6 6 6

ii

z

c

2008

2009

2 2 os isin3 3

os isin6 6

c

c

2008 2008 2008

2 2 os isin3 3

2009 2009cos isin

6 6

c

2008 2008 2009 2008 2009

2 2 os isin3 6 3 6

c




3012 3012669 6692 os isin 2

2 2c i

Do đó: phần thực bằng 0; phần ảo bằng -23012

.




§3:GIỚI HẠN DÃY SỐ

1) KHÁI NIỆM:

Cho dãy số 1 2 n 1 nx ,x ,.....,x ,x ,..

Số a đƣợc gọi là giới hạn của dãy biến nx nếu bắt đầu từ một chỗ nào

đó tức là đối với mọi số thứ tự n khá lớn biến nx sai khác a nhỏ bao nhiêu

cũng đƣợc.

Hoặc: số a đƣợc gọi là giới hạn của dãy nx nếu 0, N( ) N 0 sao

cho n N đều thỏa mãn nx a nnlim x a

. Khi đó ta có thể viết

nx a hoặc nlim x = a.

Khi đó ta nói dãy nx hội tụ đến a.Đặc biệt khi nx = a với mọi n thì lim nx = a.

Từ (1) có n nx a a x a và khoảng mở (a ,a ) đƣợc

gọi là lân cận của điểm a.Nhƣ vậy với lân cận bé bất kỳ của điểm a,tất cả các

giá trị của nx bắt đầu từ một giá trị nào đấy của n cần phải rơi vào lân cận đó.

Ví dụ

a. Chứng minh rằng 2n

n 1lim 0

n 2

Chứng minh: để 2 2

n 1 n 10

n 2 n 2

hay

2

1 1

n n hay

2 2n

n

Chọn 2

N 1

vậy với n N ta có

2

n 10

n 2

tức là

2n

n 1lim 0

n 2

b. Chứng minh rằng 2

2n

n 1 1lim

33n 2

Để 2

2

2 2

n 1 1 1 1 1 23n 2 n

3 3 33n 2 3n 2




Chọn 1 2

N 13 3

thì khi đó với mọi n > N ta có điều phải chứng minh.

1. Đại lƣợng vô cùng bé (gọi là vô cùng bé - VCB): biến nx đƣợc gọi là đại

lƣợng

vô cùng bé nếu lim nx = 0.

Ví dụ: n 1

n n n

1 1 ( 1)x ;x ;x

n n n

đó là các vô cùng bé

2. Đại lƣơng vô cùng lớn (VCL): Dãy nx đƣợc gọi là VCL nếu với các

giá trị n

khá lớn , nó sẽ trở nên và mãi mãi có giá trị tuyệt đối lớn hơn một số A > 0

lớn tùy ý cho trƣớc. Hay nnlim x

với A 0 đủ lớn

0 0 nN 0 sao cho n N x A

Ví dụ: nnx q khi q 1 là một VCL

Chú ý : + Số 0 không phải là một VCB,cũng nhƣ 2310 cũng không phải là

VCL

+ Nghịch đảo của một VCB (VCL) là một VCL (VCB)

2) CÁC TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN DÃY

1. Định lý:

n 0 0 n nnlim x a ,a p(a q) N 0 sao cho n N : x p(x q)

Chứng minh: chọn a p a p thì n nnlim x a a x a

0 nkhi n N x p tƣơng tự cho trƣờng hợp a < q

2. Định lý 2: nnlim x a

thì a là duy nhất.




Chứng minh: Giả sử nnlim x a

và a a r :a r a

Do nnlim x a

nên có 1 1 nN 0 ; n N x r

và nnlim x a

nên có 2 2 nN 0 ; n N x r

Chọn N = max 1 2 n nN ,N n N x r ;x r .Điều này vô lý , nên a= a .

3. Định lý 3 :Nếu nx có giới hạn thì nx giới nội

Chứng minh: n nnlim x a a 1 x a 1

Chọn 1 2 NM max a 1,x ,x ,....x thì nx M n

4. Định lý 4:

Cho n n nx y z và n n nn n nlim x lim z a lim y a

( nguyên lý bị kẹp giữa)

Chứng minh: n 1 1 nnlim x a 0, N n N a x a

n 2 2 nnlim z a 0, N n N a z a

1 2Khi N max N ,N

n n n n nn

a x y z a a y a lim y a

5. Định nghĩa: Dãy 1 2 n 1 nx ,x ,.....,x ,x ,..

Đƣợc gọi là dãy tăng nếu 1 2 n 1 nx x .....x x ,..

Đƣợc gọi là dãy tăng nghiêm ngặt nếu 1 2 n 1 nx x .....,x x ,..

Đƣợc gọi là dãy giảm nếu 1 2 n 1 nx x .....x x ,..

Đƣợc gọi là dãy giảm nghiêm ngặt nếu 1 2 n 1 nx x .....,x x ..

6. Định Lý n nCho x a;y b thì ta có các kết quả sau




xlim f (x)

n nx y a b khi , cosnt

n nx y ab

n

n

x akhi b 0

y b

n nx y a b

7. Định lý: Mọi dãy đơn điệu bị chặn đều hội tụ.Nếu nx đơn điệu

tăng(giảm) và

bị chặn trên(dƣới) thì hội tụ,

8. Dãy con: Cho dãy nx và một dãy k

nx đƣợc trích ra từ dãy nx ở đây

dãy kn

là dãy tăng và chỉ số chạy là k chứ không phải n.Dãy k

nx gọi là dãy con

của dãy nx .

Lƣu ý:

1. 0x:0 x x

2. Mỗi dãy là dãy con của chính nó

9. Định nghĩa:

Dãy n n 1

trong đó n n na ,b ; đƣợc gọi là dãy đoạn thắt nếu

n 1 n n 1,2,......

n nnlim (b a ) 0

10. Bổ đề: Nếu n n 1

là dãy các đoạn thắt thì tồn tại một điểm duy nhất




thuộc mọi đoạn của dãy.

Chứng minh: Do n 1 n n 1,2,...... nên

1 2 n na a ..... a .... b nên na là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên,nên

n n nnlim a a b n

. Giả sử có cũng thuộc mọi đoạn n ,

thế thì n n0 b a nhƣng n nnlim (b a ) 0

. Nên .

11. Bổ đề bônxanô-Vâystrat:Từ mọi dãy đoạn thắt luôn rút ra đƣợc một dãy

con

hội tụ.

Chứng minh :Giả sử nx có na x b n .Chia a,b thành hai phần bằng

nhau ,khi đó ít nhất có một đoạn chứa vô số các phần tử của nx gọi đoạn đó

là 1 .lại chia 1 thành hai hai phần bằng nhau và lại có một phần chứa vô số

các phần tử của nx gọi là 2 .Cứ tiếp tục nhƣ vậy ta thu đƣợc dãy đoạn thắt

n n 1

trong đó n n n

b ab a 0 khi n

2

.Nên có số thuộc mọi đoạn

n .Trong mỗi đoạn

n rút ra một phần tử bất kỳ,ký hiệu là k k

n nx và k

n n na x b nhƣng

n nn nlim a lim b

k

nnlim x

12. Định lý (Côsi):

Điều kiện cần và đủ để dãy nx hội tụ là

n m0, N sao cho n,m N: a a

Chứng minh :

n n mn

( )Do lim x a 0 N : x a n N; m N: x a2 2

n m n m n mx x x a x a x x




( ) Từ n mx x cố định một m thì hiển nhiên nx bị chặn nên tồn tại

dãy

con k

nx Thỏa mãn k

nnlim x

và do k k

n n n n nn

x x x x lim x

13. SỐ e:Cho dãy số

n

n

1x 1

n

tìm giới hạn của dãy số đó.

Chứng minh : Ta có

n

n 2 n

1 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2)..(n n 1) 1x 1 1 n. . ... .

n n 1.2 1.2.3..nn n

1 1 1 1 2 1 1 2 n 11 1 1 1 1 ... 1 1 ... 1

2! n 3! n n n! n n n

mặt khác

n 1

1 1 1 1 2 nx 1 1 1 ... 1 1 ... 1

2! n 1 (n 1)! n 1 n 1 n 1

Hiển nhiên n n 1x x và n 2 n

1 1 1 1x 2 ... .. 2 3

12 2 2 12

Tức là dãy nx đon điệu tăng và bị chặn trên,do đó nnlim x

và ngƣời ta

chứng minh đƣợc giới hạn đó là e = 2,718218828459015…đó là số vô tỷ.

§4: MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tính giới hạn dãy số với n :

a) 2

2

4 1lim

3 2

n n

n




b) 2

2

3 2 5lim

7 8

n n

n n

c)

3 2

5

2 3 1lim

1 4

n n

n

d) 3

3

3 2 5lim

1 2

n n

n

Giải

a)

2

2 2

22

2

1 14

4 1lim lim 2

33 22

nn n n n

nn

n

b)

2

22 2

22

22

3 2 5 2 53

3 2 5 3lim lim lim

1 87 87 8 77

n nn n n n n

n nn n

n nn

c)

3 2

53 2

55

5

2 13 1

2 3 1 27lim lim

21 4 44

nn n n n

nn

n

d)

3

3 2 3 2 3

33

33

2 5 2 53 33 2 5 3

lim lim lim111 2 2

22

nn n n n n n

nn

nn


a) 2

2

3 1lim

1 2

n n

n




b) 2

2

4 1lim

1 2

n n

n

c) 29 1

lim4 2

n n

n

Giải

a)

2

2

2 2

2

1 1 11 333 1

lim lim lim 011 2 1 2

2

nn n n n nn n n

n n

n

b) 2 2 2

2 2

1 14 4 1

4 1 1lim lim lim

11 2 1 2 22

n nn n n n

n n

n

c) 2 2 2

1 1 1 19 lim 9

9 1 3lim lim

2 24 2 44 lim 4

n n n n n n

n

n n


nn

n

2 3lim

4

Giải

n n nn

n

2 3 2 3lim lim 0

4 4


a) n n

n 1 n 1

5.2 3lim

2 3




b) 3 5.4

lim4 2

n n

n n

Giải

a)

n

n

n n n n

n 1 n 1 n n n

n

23 5 1

35.2 3 5.2 3 1lim lim lim

2 3 2.2 3.3 323 2 3

3

b)

33 lim 5543 5.4 54

lim lim 54 2 11 1

1 lim 12 2

nn

n n

nn n n


a) 2

n cos nlim 3

n

b) 2

3

n cos5nlim 5

n

Giải

a) 2

ncosn cosnlim 3 lim 3 3

n n

vì cos ncos n 1

n n n mà

1 cosnlim 0 lim 0

n n

b) 2

3

n cos5n cos5nlim 5 lim 5 5

n n

vì cos5ncos5n 1

n n n mà

1 cos5nlim 0 lim 0

n n





a) 2 2lim n n n 1

b) 2 2lim n n 1 n 2

c) 3 3lim n 2 n

Giải

a) 2 2 2 2

2 2

2 2

n n n 1 n n n 1lim n n n 1 lim

n n n 1

2 2

2

1n 1

n 1 1nlim lim

21 1n n n 1n 1 1

n n

b) 2 2 2 2

2 2

2 2

n n 1 n 2 n 1 n 2lim n n 1 n 2 lim

n 1 n 2

2 2

2 2 2 2

2 2

n n 1 n 2 3n 3n 3lim lim lim

21 2n 1 n 2 n 1 n 2n 1 1

n n




c)

2 3 23 3 3 33

3 3

2 3 23 33

3 33 3

2 3 23 33

2 3 23 33

2 3 23 33

n 2 n n 2 n 2 n n

lim n 2 n limn 2 n 2 n n

n 2 nlim

n 2 n 2 n n

n 2 nlim

n 2 n 2 n n

2lim 0

n 2 n 2 n n

Ví dụ 7: Chứng minh các giới hạn tiến đến 0:

a) nu n 1 n

b)

n

n n 1 n 1

1 1u

2 3

Giải

a) n 1 n n 1 n n 1 n

n 1 nn 1 n n 1 n

1

21 1 1 1

2 nn n 2 n

mà

1

21lim 0 lim n 1 n 0.

n

b)

n

n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n

1 1 1 1 1 1 1

2 3 2 3 2 2 2




mà

nn

n 1 n 1

11 1lim 0 lim 0.

2 2 3


a) 3lim 2n 3n 1 .

b) 2lim n n 1

Giải

a) 3 3

2 3

3 1lim 2n 3n 1 lim n 2

n n

b) 2 2

2

1 1lim n n 1 limn 1

n n

Ví dụ 9: Tìm giới hạn của các dãy số với n :

a) 3 2lim n 2n n 1

2b) lim n 5n 2

2c) lim n n n

2d) lim n n n

Bài giải

3 2 3

2 3

2 1 1a) lim n 2n n 1 lim n . 1

n n n

Vì 3

2 3

2 1 1limn , lim 1 1 0

n n n




2 2

2

5 2b) lim n 5n 2 lim n . 1

n n

Vì 2

2

5 2lim( n ) , lim 1 1 0

n n

2 2 1c) lim n n n lim n 1 n

n

1 1lim n. 1 n lim n. 1 1 0

n n

Vì 1

lim(n) , lim 1 1 0n

2 2 1d) lim n n n lim n 1 n

n

1 1lim n. 1 n lim n. 1 1

n n

Vì 1

lim(n) , lim 1 1 2 0n




CHƢƠNG II: HÀM SỐ MỘT BIẾN

§1: KHÁI NIỆM HÀM MỘT BIẾN SỐ

1) Khái niệm hàm số: Hàm số là ánh xạ f: X Y trong đó X ;Y .Ta

gọi X là

tập xác định , còn f (X) Y gọi là tập giá trị.

2) Cách cho hàm số:

Lập bảng

Đồ thị

Biểu thức giải tích

3) Một số lớp hàm quan trọng:

a) Hàm sơ cấp

Hàm đa thức: n n 1 n 2 n 3o 1 2 3 n 1 ny a x + a x a x a x .... a x a

Hàm hữu tỷ nguyên:

n n 1 n 2 n 3o 1 2 3 n 1 n

n n 1 n 2 n 3o 1 2 3 n 1 n

a x + a x a x a x .... a x ay

b x + b x b x b x .... b x b

Hàm lũy thừa: ay x với a là hằng số thực tùy ý.

Hàm mũ: xy a với a 0 và a ≠ 1

Hàm lôgarit: ay log x với a 0 và a ≠ 1; x 0

Hàm lƣợng giác: y = sinx ; y = cosx ; y = tgx ; y = cotgx

Hàm hypebonic

x x x xe e e e shx chxshx ;chx ;thx ;coth x

2 2 chx shx




b) Hàm ngƣợc:Giả sử hàm y = f(x) đƣợc cho trong miền X nào đó,và giả

sử Y là

tập tất cả các giá trị mà hàm đó lấy khi x biến thiên trong miền X.

Với 0 0 0 0y Y x X:f (x ) y . Nhƣ thế với mỗi y Y sẽ ứng với một hay

một số giá trị x X .Nhƣ vậy trong Y ta có hàm x = g(y) đƣợc gọi là hàm

ngƣợc của hàm f(x).

Hàm lƣợng giác ngƣợc

y = arcsinx xác định trên 1,1 và nhận giá trị trên ,2 2

Còn Arcsinx arcsinx k2

y = arccosx xác định trên 1,1 và nhận giá trị trên 0, và

arccosx arcsin x2

vì cos(arccosx) cos arcsin x x sin(arcsin x)

2

y arctgx thỏa mãn arc tgx2 2

Ngoài ra ta còn có mối liên hệ giữa arctgx và arcsinx

2 2

x xarc tgx arcsin khi ( , ) V arcsin x arc tg khi ( 1 x 1)

1 x 1 x

y arccotgx có miền xác định ( , ) và miền giá trị (0, )

Mặt khác còn có mối liên hệ arccotgx arc tgx2

.

Ngoài ra còn các hàm ngƣợc của các hàm siêu việt




§2:GIỚI HẠN HÀM SỐ

1) Giới hạn hàm số tại một điểm: Cho hàm số f(x) xác định trên tập X và

nhận giá trị trên , 0x là một điểm giới hạn của tập X.

1. Định nghĩa : Số đƣợc gọi là giới hạn của hàm f(x) khi x dần tới 0x nếu

0, 0 0sao cho x : x x thì f (x) 0

x xlim f (x)

Ví dụ : chứng minh x 2lim (3x 3) 9

2. Định lý: Nếu 0

x xlim f (x) A

thì A là duy nhất.

Chứng minh : Giả sử 0

1x xlim f (x) A

và 1A A ,đặt

1 1A A 2 0 A A

Vì 0

x xlim f (x) A

nên 1 0 10 sao cho A f (x) A x :0 x x thì

A f (x) A

Ta cũng có 2 1 1 0 20 sao cho A f (x) A x :0 x x

thì 1 1A f (x) A

Chọn 1 2min( , ) ,khi đó với mọi x thỏa mãn

00 x x 1 11

f (x) AA A <>A A 2

f (x) A

vô lý.Vậy 1A A .

3. Định nghĩa : Ta gọi số là giới hạn trái của hàm f(x) khi 0x x 0

(nghĩa là 0x x nhƣng luôn bé hơn 0x ) nếu 0, 0 sao cho

0x:0 x x f (x) .Ký hiệu 0

0x x 0

lim f (x) f (x 0)




4. Định nghĩa :

Ta gọi số là giới hạn phải của hàm f(x) khi 0x x 0 (nghĩa là 0x x

nhƣng luôn lớn hơn 0x ), nếu

00, 0 sao cho x:0 x x f (x)

Ký hiệu 0

0x x 0

lim f (x) f (x 0)

5. Định lý :0 0 0

x x x x 0 x x 0lim f (x) lim f (x) lim f (x)

2) Giới hạn ở vô tận và giới hạn vô tận

6. Định nghĩa : Ta gọi số là giới hạn của hàm f(x) khi x

nếu 0 , M 0 sao cho f (x) xảy ra với mọi x > M. Ký

hiệuxlim f (x)

7. Định nghĩa : Ta gọi số là giới hạn của hàm f(x) khi x nếu 0

M 0 sao cho f (x) xảy ra với mọi x <- M. Ký hiệuxlim f (x)

8. Định nghĩa :Nếu A 0 , (A) 0 sao cho f (x) A với

0x:0 x x

thì ta viết 0

x xlim f (x)

3) TÍNH CHẤT VÀ CÁC PHÉP TOÁN

1. Định lý 1 :Nếu x alim f (x)

và A< <B thì tồn tại khoảng J chứa điểm a

sao cho

x C J,x a thì A f (x) B .

2. Định lý 2: x alim f (x)

và f (x)




3. Định lý 3 : x alim f (x)

và x alim g(x)

thỏa mãn thì tồn tại khoảng

J chứa a

sao cho f(x) > g(x) x C J , x a

4. Định lý 4: Cho hai hàm f(x) và g(x) cùng xác định trên tập C; f(x) > g(x)

x C . Nếu x alim f (x)

và x alim g(x)

thì

5. Định lý 5: Cho các hàm f(x) , h(x) và g(x) cùng xác định trên tập C,trong

đó

f(x) < h(x) < g(x) và x a x alim f (x) lim g(x)

thì x alim h(x)

Ví Dụ: Tìm

x

x

1lim 1

x

+ xét x :

Với mỗi x > 0 , luôn có số tự nhiên n thỏa mãn: n x n 1

n x n 11 1 1

khi n : n x n 1 1 1 1n 1 x n

n x n 1 x

x

1 1 1 1hay:e 1 1 1 e lim 1 e

n 1 x n x

Tƣơng tự cho trƣờng hợp x ta cũng có kết quả là e

Vậy

x

x

1lim 1

x

= e

Mở rộng: g(x)1

f (x)f (x) 0 g(x)

1lim 1 f (x) lim 1 e

g(x)

6. Định lý:Cho các hàm f(x) và g(x) xác định trên tập C và

x a x alim f (x), lim g(x)




Thì ta có các kết quả sau:

a) x a x a x alim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)

b) x a x a x alim f (x)g(x) lim f (x). lim g(x)

c) x a

x a x ax a

lim f (x)f (x)

lim khi lim g(x) 0g(x) lim g(x)

4)ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1. Định lý 1 : 0

x xlim f (x) A

là nx X , n 0nlim x x

thì nnlim f (x ) A

2. Định lý (Bônxanô-Côsi): f(x)xác định trên X khi đó

x alim f (x)

0, 0 x ,x :0 x a ;0 x a f (x ) f (x )

Chứng minh :

( ) Do x alim f (x) nên 0, 0, x :0 x a f (x)

2

với x ;x : 0 x a ;0 x a thì

f (x ) f (x ) f (x ) f (x )

( ) Ta đã có với 0 x a ;0 x a thì f (x ) f (x )

Lấy một dãy bất kỳ n n n nx (x X,x a);x a

Khi đó n mN :0 x a ;0 x a Và ta có n mf (x ) f (x )

Ta phải chứng minh rằng n n nn

x : x a lim f (x )

Thật vậy, giả sử có hai dãy n nx a; x a




và cùng có nnlim f (x )

và nnlim f (x )

nhƣng

1xsin khi x 0

f (x) x

0 khi x 0

.

Khi đó n n n nN sao cho n N : f (x ) ; f (x ) ; f (x ) f (x )3 3 3

n n n nf (x ) f (x ) f (x ) f (x )

Điều đó mâu thuẫn với .Vậy , tức là nnlim f (x )

3. Định lý 3:Cho hàm số f(x) xác định trên tập X.Thìxlim f (x)

0, N sao cho x ,x : x N; x N f (x ) f (x )

4. Định nghĩa

Hàm số f(x) x/định trên khoảng (a ,b) đƣợc gọi là một vô cùng bé , nếu

x alim f (x) 0 khi a (a,b)

hoặc xlim f (x) 0

.Ký hiệu là VCB

Hàm số f(x) x/định trên khoảng (a ,b) đƣợc gọi là một vô cùng lớn ,

nếu:x alim f (x) khi a (a,b)

hoặc xlim f (x)

. Ký hiệu là VCL

5. Định nghĩa:

Cho hai hàm số f(x) và g(x) là hai VCB (VCL) khi x a (a hữu hạn hoặc vô

hạn). và x a

f (x)lim ,(g(x) 0)

g(x) .Nếu:

a) 0 < <+ ,thì f(x) và g(x) là hai VCB (VCL) cùng bậc khi x a

đặc biệt khi = 1 thì f(x) và g(x) là hai VCB (VCL) cùng bậc khi x a

là hai VCB (VCL) tƣơng đƣơng khi x a và viết f(x) g(x) khi x a

b) = 0 thì g(x) gọi là VCB (VCL) bậc cao hơn f(x) khi x a




và viết g(x) = 0(f(x)) khi x a

c) = thì f(x) gọi là VCB (VCL) bậc cao hơn g(x) khi x a

Chú ý :

d) nghịch đảo của một VCB(VCL) là một VCL(VCB) khi x a

e) Tổng của hai VCB(VCL) khi x a là VCB(VCL) khi x a

f) Tích của VCB(VCL) với một đại lƣợng bị chặn là VCB(VCL)

g) Trong khi lấy giới hạn ta có thể thay bằng các VCB(VCL) tƣơng

đƣơng.

Một số giới hạn cần biết:

kx

x 0

a 11, lim lna (a 0)

kx

đặc biệt

kx

x 0

e 1lim 1

kx

;

f (x) 0

ln 1 f (x)2, lim 1

f (x)




§3: SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1) Định nghĩa 1:

Hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b) và 0x (a,b). Hàm số đó đƣợc gọi

là liên tại điểm 0x nếu: 0

0x xlim f (x) f (x )

Ví dụ: Xét sự liên tục của hàm

1xsin khi x 0

f (x) x

0 khi x 0

tại 0x 0


Hàm số liên tục trong khoảng (a, b),nếu liên tục tại mọi điểm trên (a, b)


Hàm số liên tục trong a,b ,liên tục trên khoảng (a,b) và liên tục phảitại a,

liên tục trái tại b,hay x a 0

lim f (x) f (a 0)

hoặcx b 0

lim f (x) f (b 0)

.

Ví dụ: Xét sự liên tục trái và phải của

2

2

x khi x 1f (x)

3x 1 khi x 1

tại 0x 1

4) Định nghĩa 4: Hàm f(x) xác định trong khoảng (a, b) đƣợc gọi là gián

đoạn tại

0x (a,b). Nếu hàm số không liên tục tại 0x ,hoặc không liên tục trái (phải)

tại đó.

II. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN HÀM SỐ LIÊN TỤC

1) Định lý 1: Tổng, tích, thƣơng (mẫu số ≠ 0) các hàm liên tục tại 0x là hàm

liên tục 0x




2) Định lý 2: Nếu hàm số f(x) liên tục tại 0x ,và hàm g(y) liên tục tại

0 0y f (x )

thì hàm hợp g f (x) liên tục tại 0x .

Chú ý: Hàm của một biểu thức toán học xác định ở đâu thì liên tục tại đó.

III. TÍNH CHẤT HÀM LIÊN TỤC

1) Định lý: Nếu hàm số f liên tục tại điển a và f(a) > 0 (hay f(a) < 0) thì tồn

tại một

lân cận của a để sao cho với mọi x thuộc lân cận đó thì f(x) > 0(hay f(x) < 0)

2) Định lý Bônxanô-Côsi thứ nhất:Nếu f(x) xác định,liên tục trên a,b và

f (a)f (b) 0 .Khi đó c (a,b) để f(c) = 0

3) Định lý Bônxanô-Côsi thứ hai: Nếu f(x) xác định,liên tục trên a,b và f(a)

= A

f(b) = B,thì C: A C B c (a,b) : f (c) C

Chứng minh:Xét hàm g(x) = f(x) - C.Sau đó vận dụng Bônxanô-Côsi thứ nhất

4) Định lý (Vâyestrat thứ nhất):

Hàm f xác định, liên tục trên a,b thì bị chặn trên đó.

Chứng minh:Giả sử hàm f(x) không bị chặn trên a,b ,khi đó với mỗi

nn luôn x a,b nsao cho f (x ) n .

Từ k k

n n n 0x a,b x a,b : x x a,b và k

k

n 0nlim f (x ) f (x )

Nhƣng theo điều giả sử ở trên ta có k

n k 0 kf (x ) n f (x ) khi n (vô

lý).

Vậy f(x) bị chặn trên a,b .




5) Định lý (Vâyestrat thứ hai) Nếu hàm f xác định và liên tục trên a,b thì

đạt giá

trị lớn nhất và nhỏ nhất trên a,b .

Chứng minh:Do f(x) bị chặn trên a,b nên

x a,b

M sup f (x)

,giả sử f (x) M

vì nếu trái lại thì M không đạt đến đƣợc .

Xét hàm 1

(x)M f (x)

liên tục trên a,b .

Nên 1

f (x) M

(trái với M là cận trên đúng).Vậy

0 0x a,b : f (x ) M

Tức M là giá trị lớn nhất của f(x) trên a,b

Tƣơng tự đối với giá trị bé nhất.

6) Định nghĩa: Hàm f(x) đƣợc gọi là liên tục đều trên (a, b) ((a, b) là khoảng

hữu

hạn,vô hạn,đóng hoặc mở) nếu:

0, x ,x (a,b),sao cho ( ) 0: x x f (x ) f (x )

7) Đlý (Canto):

Nếu hàm f (x) xác định và liên tục trên a,b thì liên tục đều trên đó.

Chứng minh:Giả sử hàm f(x) không liên tục đều trên a,b .Tức là

0 n n n n n0 0, x ,x a,b : x x và nnlim 0

: n n 0f (x ) f (x )

Mặt khác các dãy nx và nx bị chặn nên có các dãy con k

nx và k

nx hội

tụ,




và k k k

n n nx x ;k

nnlim 0

sao cho k k

n n 0f (x ) f (x )

giả sử k

k

n 0nlim x x

vì k k

0 n nx x và k

nnlim 0

thì dãy con của dãy k

nx cũng hội tụ về 0x

Do f (x) liên tục trên a,b nên k

k


và ks

ks


Qua đó với ks

nx ,ks

nx thỏa mãn ks ks ks

n n nx x : 0 0 0f (x ) f (x ) 0

vô lý.Đpcm




§4: MỘT SỐ VÍ DỤ

1. Bài tập giới hạn hàm số

Ví dụ 1: Áp dụng định nghĩa tính

2

x 2

3x x 1lim

x 1

.

Giải :

+/ Hàm số 23x x 1

f (x)x 1

xác định trên \ 1 .

+/ Giả sử nx là dãy số tùy ý mà nx 2 .

Khi đó

2 2

n nn

n

3x x 1 3.2 2 1limf (x ) 11

x 1 2 1

+/ Vậy 2

x 2

3x x 1lim 11

x 1

.

Ví dụ 2: Áp dụng định nghĩa tính

2

2x 1

x 2x 3lim

2x x 1

.

Giải :

+/ Hàm số 2

2

x 2x 3f (x)

2x x 1

xác định trên 1

\ 1,2

.

+/ Giả sử nx là dãy số tùy ý mà nx 1 .

Khi đó




2n n

n 2n n

n n

n n

n

n

x 2x 3f (x ) lim

2x x 1

(x 1)(x 3)lim

12(x 1)(x )

2

x 3 4lim

1 32(x )

2

+/ Vậy 2

2x 1

x 2x 3 4lim

32x x 1

.

Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau

1/ 2

x 5

x 5lim

x 25

2/

2x 5

x 5lim

x 25

.

Giải :

1/ Ta có :

2

x 5 x 5 x 5

x 5 x 5 1 1lim lim lim

(x 5)(x 5) x 5 10x 25

.

2/ Ta có :

2

x 5 x 5 x 5

x 5 5 x 1 1lim lim lim

(x 5)(x 5) x 5 10x 25

.

Lƣu ý : Do 2 2

x 5 x 5

x 5 x 5lim lim

x 25 x 25

nên

2x 5

x 5lim

x 25

.

Ví dụ 4: Cho hàm số 27x 4x 3 khi x 1

f (x) 4x 2 khi x 1

.

Tính x 1limf (x)

.

Giải :




+/ Ta có hàm số f(x) xác định trên tập .

+/ 2

x 1 x 1limf (x) lim(7x 4x 3) 6

.

+/ x 1 x 1limf (x) lim(4x 2) 6

.

+/ Do x 1 x 1limf (x) limf (x) 6

nên

x 1limf (x) 6

.

Ví dụ 5: Tính các giới hạn sau

1/ 3 2x

1lim

3x x 2 3/

2

2x

x 7xlim (1 2x)(3 )

x 1

2/ 3

2x

3x x 1lim

x 3x 1

.

Giải :

1/ Ta có 3

3 2x x

3

11 xlim lim 0

1 23x x 2 3x x

.

3x

3x

1V× lim 0

x

1 2 lim 3 3.

x x




33 2 3

2x x 2

2

2 3

x

2

1 1x 3

3x x 1 x x2/ lim lim3 1x 3x 1

x 1x x

1 13

x xlim x3 1

1x x

= .

2

2x x

71

x 7x 1 x 3/ lim (1 2x)(3 ) lim x 2 31xx 1 1x

.

x

x x

V× limx

71

1 x lim 2 2, lim 3 2 .1x

1x

Ví dụ 6: Tính

1/ 2

x 0

(x 3) 27lim

x

2/

3

x 2

3 x 1lim

x 2

2/ 2x 1

9 5x 2lim

x 1

4/

3 2

2x 1

5 x x 7lim

x 1

.

Giải :

1/ Ta cã




2 3 2

x 0 x 0

2

x 0

(x 3) 27 x 9x 27xlim lim

x x

lim(x x 27x) 27.

2/ Ta có

2 2 2x 1 x 1

x 1

x 1

9 5x 2 5 5xlim lim

x 1 (x 1) ( 9 5x 2)

5(1 x)lim

(x 1)(x 1)( 9 5x 2)

5 5lim .

9(x 1)( 9 5x 2)

3

x 2 x 2 2 33

2x 2 33

3/ Tacã

3 x 1 (3 x) 1lim lim

x 2 (x 2) (3 x) 3 x 1

1lim

(3 x) 3 x 1

1 = .

3

4/ Ta có

3 32 2

2 2 2x 1 x 1

5 x x 7 5 x 2 x 7 2lim lim

x 1 x 1 x 1

.

Mặt khác




2x 1 x 1

x 1

5 x 2 1 xlim lim

x 1 (x 1)(x 1)( 5 x 2)

1 =lim

(x 1)( 5 x 2)

1 = .

8

3 2 2

2 3x 1 x 1 2 2 2 23

32 2 2x 1 3

x 7 2 x 1lim lim

x 1 (x 1) (x 7) x 7 2

1lim

(x 7) x 7 2

1 =

12

Vậy 3 2

2x 1

5 x x 7 1 1 5lim

8 12 24x 1

.

Ví dụ 7: Tính giới hạn sau theo a.

2

2x a

2 2 2

3 2x a

(x 3x 2) x a1/ lim

x 5x 4

x 2(a 1)x 2a 1 x a2/ lim

x 5x 4x

HD:

1/ Ta có

2

2x a x a

(x 3x 2) x a (x 2)(x a)I = lim lim

x 4x 5x 4

+/ Trƣờng hợp 1: a 4 x 4

I lim(x 2) 2.

+/ Trƣờng hợp 2: a 4 I 0.




+/ Vậy 2 khi a=4

I0 khi a 4

.

2/ Ta có: a 0 .

2 2 2

3 2x a

x a

x 2(a 1)x 2a 1 x aJ lim

x 5x 4x

(x 1)(x 2a 1)(x a)(x a)lim

x(x 1)(x 4)

+/ Trƣờng hợp 1: a 1

x 1

(x 1)(x 3)(x 4)I lim 0

x(x 4)

.


x 4

(x 1)(x 9)(x 4) 10I lim

x(x 1) 3


a 4

I 0 .

Vậy

10khi a 4

I 3

0 khi a 4 .

2. Bài tập hàm số liên tục

Ví dụ 1:




Ví dụ 2:

Ví dụ 3:

Ví dụ 4:




Ví dụ 5:




CHƢƠNG III: VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ

§1:ĐẠO HÀM

1) Định nghĩa : Hàm y = f(x) xác định trên (a, b), 0x (a,b) .Cho 0x một số

gia

x sao cho 0x x (a,b) nếu 0 0

x 0 x 0

f (x x) f (x ) ylim lim

x x

thì giới hạn

đó đƣợc gọi là đạo hàm của hàm f(x) tại 0x và viết 0y f (x ) hoặc

0

dyf (x )

dx .

Chú ý:

Từ 0 00

x 0

f (x x) f (x )lim f (x )

x

0 0 0f (x x) f (x ) f (x ) x O( x)

Nếu hàm số có đạo hàm tại 0x thì liên tục tại đó.Đạo hàm của hàm số tại một

điểm là hệ số góc của tiếp tuyến với đƣờng tại điểm đó.

2) Đạo hàm của hàm hợp: Giả sử u (x) có đạo hàm tại 0x và

x 0u (x ) ,hàm

y = f(u) có đạo hàm tại 0 0u (x ) là u u 0y f (u ) .Khi đó hàm hợp y f (x)

có đạo hàm tại 0x và x u 0 x 0y f (x ) (x ) ,hay gọn hơn x u xy f .u

3) Đạo hàm một phía : Nếu 0 00

x 0 0


x

thì đó đƣợc

gọi là

đạo hàm phải tại 0x . Còn nếu 0 00

x 0 0


x

thì đó đƣợc

gọi là đạo hàm trái tại 0x .

4) Đạo hàm của hàm ngƣợc




Giả sử y = f(x) có đạo hàm tại 0x là 0f (x ) 0 và là hàm số có hàm ngƣợc

x (y) .Khi đó đạo hàm của x (y) tại 0 0y f (x ) là 0

1(y)

f (x )

.

ví dụ:Đạo hàm của một số hàm ngƣợc

1. y arcsin x 2

1y

1 x

2. y arccosx 2

1y

1 x

3. y arctgx 2

1y

1 x

4. y arccotgx 2

1y

1 x

5. ay log x lna

yx

6. Đặc biệt : y ln x 1

yx

5) Quy tắc lấy đạo hàm

1. (UV) U V UV

2. U V U V

3. 2

U U V UV

V V

6) Đối với hàm số cho dƣới dạng tham số

x x(t)

y y(t)




thì đạo hàm cấp một của hàm y theo biến x đƣợc xác định x

y (t)y

x (t)

và đạo hàm cấp hai hàm y theo biến x đƣợc xác định

x 3

y (t)

x (t) y (t)x (t) x (t)y (t)y

x (t) x (t)

cứ nhƣ vậy ta có các đạo hàm cấp 3, 4,….




§2:VI PHÂN

1) Định nghĩa

Từ 0 0 0f (x x) f (x ) f (x ) x 0( x) 0 0f (x ) f (x ) x 0( x)

Khi đó hàm f(x) đƣợc gọi là khả vi và 2 n

x x x xe 1 .... ..

1! 2! n! gọi là vi

phân của f(x) tại 0x .Ký hiệu 0dy f (x ) x

Đặc biệt nếu y = x thì dx dy nên ta có thể viết dy y dx .

Từ định nghĩa vi phân nên các quy tắc lấy vi phân tƣơng tự nhƣ các quy tắc

lấy đạo

hàm

2) Tính bất biến của vi phân: Giả sử có dx (t)dt và tdy y dt với

y f (t)

Thì ta cũng có t x tdy y dt y x dt nhƣng

dx (t)dt 2 4 2n 2n

n n

n 0

x x x xcosx 1 ... ( 1) ... ( 1)

2! 4! (2n)! (2n)!

,nhƣ vậy

biểu thức vi phân không thây đổi khi biên độc lập hay biến hàm.Đó gọi là

tính bất biến của

vi phân.




§3:ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO

1) Định nghĩa các đạo hàm cấp cao:Giả sử hàm f(x) có đạo hàm hữu hạn tại

x (a,b) khi đó y f (x) cũng là một hàm số và giả sử nó cũng có đạo

hàm,đƣợc gọi là đạo hàm cấp hai. ký hiệu 2

2

d yy f (x) hay

dx cứ tiếp tục nhƣ

vậy thì ta có đạo hàm cấp 2, 3,

3 5 2n 1 2n 1n n

n 0

x x x xarc tgx x ... ( 1) ..... ( 1)

3 5 2n 1 2n 1

hoặc n

n

d f (x)

dx

n 0,1,2,..

Quy ƣớc (0) (0)y f (x) f (x)

2) Quy tắc tính đạo hàm cấp cao hoàn toàn tƣơng tự nhƣ quy tắc đạo hàm

cấp 1

Vi phân cấp cao:Giả sử xdy y dx là vi phân của hàm f(x) trên (a, b) cũng là

một hàm số khả vi, vi phân của 2 3 nx x x

ln 1 x x ..... ..2 3 n

đƣợc

gọi là vi phân cấp hai (lƣu ý dx là một số tùy ý không phụ thuộc x):

2 2x xd(dy) d(y dx) d y y dx Cứ tiếp tục nhƣ vậy ta có các kết quả của vi

phân cấp cao và

n 1 (n 1) n 1 2 (n) nx xd(d y) d(y dx ) d y y dx

Lƣu ý:Các vi phân cấp cao không còn tính bất biến




§4:CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN

1) Các định lý giá trị trung bình:

1. Bổ đề Fecma:Giả sử hàm f(x) xác định trên khoảng (a, b) và đạt giá

trị lớn

nhất(nhỏ nhất) tại một điểm c trong (a, b).Nếu f (c) f (c) 0

2. Định lý Roll :Giả sử hàm f(x) liên tục trên a,b và khả vi trong (a,b) ,

f (a) f (b) Khi đó c (a,b) sao cho f (c) 0

Chứng minh: Do f(x) liên tục trên a,b nên đạt giá trị lớn nhất M và giá trị

nhỏ nhất m trên đoạn đó

Nếu M = m thì m f (x) M f (x) cosnt f (c) 0

Nếu M > m,do f(a) = f(b) nên hàm số không thể đạt cả hai giá trị tại

hai đầu

mút.Nên nó phải đạt ít nhất một trong hai giá trị đó tại c (a,b) ,theo Fecma

thì

f (c) 0 .

3. Định lý Lagrăng: Giả sử hàm f(x) liên tục trên a,b và khả vi trong

(a,b) ,

Khi đó f (b) f (a)

c (a,b) sao cho f (c)b a

.

Chứng minh: xét hàm f (b) f (a)

F(x) f (x) f (a) (x a)b a

thỏa mãn các điều

kiện

của định lý Roll nên c (a,b) sao cho F (c) 0 ,tức là f (b) f (a)

f (c) 0b a




hay f (b) f (a)

f (c)b a

.

Chú ý:Nếu thay a,b bởi đoạn x,x x f (x x) f (x) f (c) x đƣợc

gọi là

công thức số gia giới nội,ở đó c x x với 0 1

4. Định lý Cô si: G/sử hàm f(x) và g(x) liên tục trên a,b , khả vi trong

(a,b)

g (x) 0 x (a,b) .Khi đó f (b) f (a) f (c)

c (a,b) sao chog(b) g(a) g (c)

Chứng minh:xét hàm f (b) f (a)

F(x) f (x) f (a) g(x) g(a)g(b) g(a)

thỏa mãn các

Điều kiện của định lý Roll nên c (a,b) sao cho F (c) 0 hay

f (b) f (a) f (c) f (b) f (a)

f (c) g (c) 0g(b) g(a) g (c) g(b) g(a)

Chú ý: các số c đƣợc xác định là có trong các định lý trên và các định lý

không chỉ ra số lƣợng điểm c .

2) Công thức Taylo:

1. Công thức Taylo đối với hàm đa thức:Đối với đa thức n

kk

k 0

p(x) a x

đều viết đƣợc dƣới dạng n

kk

k 0

p(x) c (x a)

trong đó (k)

k

f (a)c k 0,n

k!

2. Công thức Taylo đối với hàm bất kỳ:

Cho một hàm f(x) xác định trên (a, b) (hữu hạn hoặc vô hạn) và có đạo hàm

đến

cấp n + 1 tại 0x (a,b) .Khi đó




2 30 0 00 0 0 0

f (x ) f (x ) f (x )f (x) f (x ) (x x ) (x x ) (x x ) ...

1! 2! 3!

+

(n)

n00

f (x )(x x )

n! +

(n 1)n 1

0

f (c)(x x )

(n 1)!

đƣợc gọi là công thức Taylo của f(x) tại 0x ,trong đó c nằm giữa 0x và x.

Đặt (n 1)

n 1n 0 n

n

f (c)r (x x ) lim r 0

(n 1)!

vì khi n thì 0 0x x c x

nr đƣợc gọi là phần dƣ Taylo,khi đó có thể viết lại công thức Taylo

(n)2 n n0 0 0

0 0 0 0 0

f (x ) f (x ) f (x )f (x) f (x ) (x x ) (x x ) ... (x x ) 0 (x x )

1! 2! n!

Chú ý: Nếu 0x 0 thì khai triển Taylo còn gọi là khai triển Macloranh

3. Một số khai triển Macloranh hàm sơ cấp cơ bản

a) 2 n

x x x xe 1 .... ..

1! 2! n!

b) 3 5 2n 1 2n 1

n n

n 0

x x x xsin x x ... ( 1) ... ( 1)

3! 5! (2n 1)! (2n 1)!

c) 2 4 2n 2n

n n

n 0

x x x xcosx 1 ... ( 1) ... ( 1)

2! 4! (2n)! (2n)!

d) 3 5 2n 1 2n 1

n n

n 0

x x x xarc tgx x ... ( 1) ..... ( 1)

3 5 2n 1 2n 1

e) 2 3 nx x x

ln 1 x x ..... ..2 3 n

f) n 1

n

n 0

xln(1 x) ( 1)

n 1




§5:ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN

1)Khảo sát hàm số:Việc khảo sát hàm số ta thực hiện nhƣ trong chƣơng

trình đã

học ở phổ thông trung học,nhƣng lƣu ý khi xét cực trị của hàm số mà gặp

trƣờng

hợp các đạo hàm của hàm số thỏa mãn (k)0f (x ) 0 với k 1,n 1 ,thì ta xét

theo

kết quả:

2)Định lý : Hàm f(x) xác định tại 0x (a,b) và (k)0f (x ) 0 với k 1,n 1

và (n)0f (x ) 0 .Nếu n lẻ thì hàm số không có cực trị, nếu n chẵn thì hàm số

có cực

trị tại 0x :

Khi 2 2

dx 1 x aln C a 0

2a x ax a

thì hàm số có cực đại tại

0x

Khi (n)0f (x ) 0 thì hàm số có cực tiểu tại 0x

Chứng minh : Trong khai triển Taylo của hàm f(x) tại

2 2

dx x xarcsin C arccos C

a aa x

ta có

(n)2 n n0 0 0

0 0 0 0 0

f (x ) f (x ) f (x )f (x) f (x ) (x x ) (x x ) ... (x x ) 0 (x x )

1! 2! n!

(n)n0

0 0

f (x )f (x) f (x ) (x x )

n!

Nếu n lẻ thì n0(x x ) đổi dấu khi x biến thiên qua 0x dẫn đến

0f (x) f (x ) đổi dấu khi x biến thiên qua 0x




Nếu n chẵn thì n0(x x ) nguyên mội dấu khi x biến thiên qua

0x dẫn đến 2

2 2 2 2x a xa x dx a x arcsin C (a 0)

2 2 a giữ

nguyên một dấu:

(n)0f (x ) 0 thì 0f (x) f (x ) ,hàm đạt cực đại tại 0x

(n)0f (x ) 0 thì 0f (x) f (x ) , hàm đạt cực tiểu tại 0x

3) Khử các dạng vô định 0

0:

1. Định lý:Các hàm f(x) và g(x) xác định trên a,b ,có các đạo hàm

f (x);g (x)

hữu hạn, trong đó g (x) 0 và x a x alim f (x) lim g(x) 0

.Đặc biệt x a

f (x)lim K

g (x)

.

Khi đó: x a x a

f (x) f (x)lim lim K

g(x) g (x)

Chứng minh:Theo Côsi ta có f (x) f (x) f (a) f (c)

g(x) g(x) g(a) g (c)

trong đó a < c < x

Khi x a thì c a nên x a c a

f (x) f (c)lim lim K

g(x) g (c)

Nếu vai trò của f (x);g (x) cũng nhƣ các hàm f(x) và g(x) thì ta có kết quả

tƣơng tự.

Tức là x a x a

f (x) f (x)lim lim K

g(x) g (x)

và quá trình này tiếp tục nếu các điều kiện

của giả

thiết đƣợc thỏa mãn.




2. Chú ý: Khi f (x)

g(x) có dạng khi x a

thì ta đã biết

1

f (x)và

1

g(x)là các

VCB khi x a .Nên ta lại quay về dạng 0

0.




CHƢƠNG IV:PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN

§1: TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH

1) Nguyên hàm: Hàm F(x) đƣợc gọi là nguyên hàm của hàm số f(x),nếu

F (x) f (x) .Nhƣvậy F(x) + C sẽ là họ nguyên hàm của f(x),với

C const .Khi đó

phép toán tìm họ nguyên hàm của hàm f(x) gọi là tích phân bất định của hàm

f(x)

và viết F(x) C f (x)dx

2) Các tính chất (Tự đọc)

3) Phƣơng pháp tính

1. Đổi biến số: đặt x (t) dx (t)dt thì f (x)dx f (t) (t)dt

2. Tích phân từng phần: UdV UV VdU

3. Tích phân truy hồi: thực tế là giải phƣơng trình tích phân,ví dụ nhƣ tính

tích phân

xI e sin xdx

4) Bảng nguyên hàm của một số hàm cơ bản:(Tự đọc)

Một số nguyên hàm khó nhớ

1. 2 2

dx 1 a xln C a 0

2a a xa x

2. 2 2

dx 1 x aln C a 0

2a x ax a

3. 2 2

dx x xarcsin C arccos C

a aa x




4. 2 2

2 2

dxln x x a C (a 0)

x a

5. 2

2 2 2 2x a xa x dx a x arcsin C (a 0)

2 2 a

6. 2

2 2 2 2 2 2x ax a dx x a ln x x a C

2 2

5) Một số dạng tích phân hàm thực

1. Tích phân dạng 1 2

dxI

ax bx c

Cách giải

2 22 b b 4ac

ax bx c a x2a 4ac

2 2 2

dx duI a

ax bx c u k

trong đó

22b b 4ac

x u; k2a 4ac

2. Tích phân dạng:

2 2 2

A Ab(2ax b) B

Ax Bx dx 2a 2aI dx

ax bx c ax bx c

2

2 2

A d(ax bx c) Ab dxB

2a 2aax bx c ax bx c

Ví dụ:3

2

2 2

x(2ax b) 1 2x x

1 2x x 1 2x x

2

22

1 d(x 1)ln x 2x 5 4

2(x 1) 6

21 6 x 1 6ln x 2x 5 ln C

2 3 x 1 6




3. Tích phân dạng: 32

dxI

ax bx c

Nếu a 0 :

thì 3 2x (2ax b)(1 2x x ) với b

u x2a

và còn k phụ thuộc vào dấu

của 2b 4ac

4ac

2 2

2 2

duI ln u u k C

u k

Nếu a 0 thì 2 2

1 du 1 uI arcsin C

ka ak u

Ví dụ:2

dxI

2 3x 2x

2 2

1 dx 1 du 1 4x 3I arcsin C

52 2 21 u25 3x

16 4

với 4x 3

u5

4. Tích phân dạng 1 5 19

a ;b ;c ; 43 6 6

Cách giải 2

2 2 2

(Ax B)dx A d(ax bx c) Ab dxI B

2a 2aax bx c ax bx c ax bx c

5. Tích phân dạng 52

dxI

(Ax B) ax bx c




Cách giải :Đặt

3 22

2 2

x dx 2x 5x 19 dxI 1 2x x 4

61 2x x 1 2x x

khi đó

By 1x

Ay

thì ta sẽ đƣợc tích phân dạng 3.

6. Tích phân dạng 26I ax bx c dx

Nếu 2 26a 0 I a u k du trong đó

bu x

2a

Nếu 2 26a 0 I a k u du trong đó

bu x

2a

7. Tích phân dạng 27I R(x, ax bx c)dx

Nếu 21 1ax bx c a(x x )(x x ) ,đặt 2

1ax bx c z(x x )

Nếu 2ax bx c có nghiệm ảo:

a) đặt 2ax bx c ax z khi a 0

b) đặt 2ax bx c xz c khi c 0

Ví dụ:

22

2 2

1 x x 1

I dxx x x 1

đặt 2

2

2t 1x x 1 xt 1 x

1 t

2

22

2t 2t 2dx dt

1 t

2 2

2 2

2 2

t t 1 2t tx x 1 ; 1 x x 1

1 t 1 t




2

22 2

2 22 2

1 x x 12t dt (1 t ) 1 1 t

I dx 2 dt 2t ln C1 t1 t 1 tx x x 1

22

2

2 x x x 1 1x x x 1 1

I ln Cx x x x 1 1

8. Tích phân dạng n8

2

P (x)dxI

ax bx c

trong đó là nP (x) đa thức bậc n

2n 1

2

dxI Q (x) ax bx c (3)

ax bx c

trong đó là n 1Q (x) đa thức bậc

n-1 và đƣợc xác định bằng cách lấy đạo hàm đẳng thức (3).Tính các hệ số

của

n 1Q (x) và bằng phƣơng pháp hệ số bất định.

Ví dụ:3

2

x dxI

1 2x x

32 2

2 2

x dx dxI (ax bx c) 1 2x x

1 2x x 1 2x x

32

2 2

x(2ax b) 1 2x x

1 2x x 1 2x x

3 2x (2ax b)(1 2x x )

3 3 2x 3ax (5a 2b)x (3b 2a c)x b c

1 5 19a ;b ;c ; 4

3 6 6




3 22

2 2

x dx 2x 5x 19 dxI 1 2x x 4

61 2x x 1 2x x

2

22x 5x 19 x 11 2x x 4arcsin C

6 2

9. Tích phân dạng I x (a bx ) dx

a) Nếu 1

ta đặt ka bx z trong đó k là mẫu của phân số

b) Nếu 1

ta đặt kax b z trong đó k là mẫu của phân số

Ví dụ :

12 23

3 2

xdxI x 1 x dx

1 x

ta có

1 1 13

2

3

đặt

2

231 x z

2 2 5 3

3 2

xdx 3I 3 (z 1) dx z 2z 3z C

51 x

với

3 2z 1 x

10. Tích phân hàm lƣợng giác:

Tích phân dạng 1I R(sin x,cosx)dx R là hàm hữu tỷ

a) để tính ta đặt 2

2 2

x 1 t 2ttg t cosx ;sin x

2 1 t 1 t

b) Nếu R(sin x, cosx) R(sin x,cosx) thì đặt sin x t

c) Nếu R( sin x,cosx) R(sin x,cosx) thì đặt cosx t

d) Nếu R( sin x, cosx) R(sin x,cosx) thì đặt tgx = t




§2:TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

1)Định nghĩa, điều kiện tồn tại tích phân xác định:

Cho hàm f(x) xác định trên đoạn a,b ,chia a,b bởi các điểm chia kx với

k 0,n thỏa mãn 0 1 na x x ... x b đặt k k 1 kx x x với

k 0,n .Đặt kmax x .Trên mỗi đoạn k k 1x ,x lấy bất kỳ điểm

k k k k 1: x x .

Lập tổng n

k k

k 0

f ( ) x

và đƣợc gọi là tổng tích phân của hàm f(x) trên

a,b ,nếu tồn tại giới hạn n

k k0

k 0

lim f ( ) x

mà không phụ thuộc vào phép

chia a,b thì giới hạn đó gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên a,b , và

viết

b

a

I f (x)dx .Khi đó hàm f(x) là hàm khả tích trên a,b .

Nếu ta gọi km và kM tƣơng ứng là cận dƣới và cận trên đúng của f(x) trên

k k 1x ,x

Tổng n

k k

k 0

s m x

và n

k k

k 0

S M x

đƣợc gọi là tổng Đacbu dƣới và trên

của hàm f(x) trên a,b s S .Ta đặt k k k 1 kS M (x x )

Nhận xét:

1. Nếu thêm các điểm chia mới thì tổng Đacbu dƣới chỉ có thể tăng lên và

tổng

Đacbu trên chỉ có thể giảm đi.




Chứng minh:Giả sử có k k 1x : x x x thì tổng Đacbu trên ở trên

k k 1x ,x là

k k k k k 1 k k k 1S M (x x ) M (x x ) do x ,x x ,x và

k 1 k k 1x ,x x ,x

nên k k k k k kM M ;M M S S

2. Mỗi tổng Đacbu dƣới không vƣợt quá mỗi tổng trên,mặc dù tổng trên

ứng

với cách chia khác nhau.

2) Định lý: Tích phân xác định tồn tại 0

lim (S s) 0

3) Các lớp hàm khả tích

1. Nếu hàm f(x) lien tục trên a,b thì khả tích trên đó.

2. Hàm f(x) giới nội trên a,b chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn,thì

khả tích trên a,b .

3. Hàm f(x) đơn điệu giới nội trên a,b thì khả tích trên đó.

4) Tính chất của tích phân xác định.

1.

b a

a b

f (x)dx f (x)dx

2.

b c b

a a c

f (x)dx f (x)dx f (x)dx

3.

b b

a a

kf (x)dx k f (x)dx khi k cosnt




4. b b b

a a a

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx

5. Với b

a

f (x) 0 khi x a,b f (x)dx 0

6. Nếu f(x) và g(x) khả tích và f (x) g(x) trên a,b thì

b b

a a

f (x)dx g(x)dx

7.

b b

a a

f (x)dx f (x) dx

8. Nếu

b

a

m f (x) M m(b a) f (x)dx M(b a)

9. Định lý giá trị trung bình:Nếu m f (x) M và khả tích trên a,b thì

b

a

f (x)dx (b a) khi m M

10. Nếu g(x) và f(x).g(x) khả tích trên a,b ; m f (x) M và g(x) giữ

nguyên

một dấu,thì

b b

a a

f (x)g(x)dx g(x)dx .Đặc biệt nếu f(x) liên tục trên a,b

thì c a,b để

b b

a a

f (x)g(x)dx f (c) g(x)dx

11. Nếu f(x) khả tích trên a,b thì

x

a

(x) f (t)dt , hàm (x) t/mãn các tính

chất sau:




a. (x) liên tục trên a,b

b. (x) f (x)

x x x x

a a x

(x x) (x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt x.f (x x)

(đl giá trị tr/

bình)

do đó x 0

(x x) (x)(x) lim f (x)

x

ở đó 0 1 .

12. Chú ý:

a. Nếu hàm f (x) là hàm số chẵn trên a,a thì

a a

a 0

f (x)dx 2 f (x)dx

b. Nếu hàm f (x) là hàm số tuần hoàn chu kỳ 2k thì

k a 2k

k a

f (x)dx f (x)dx

với a bất kỳ

5) Cách tính tích phân xác định:

1. Công thức Newton-Lepnit:Nếu f(x) liên tục trên a,b và có nguyên hàm

F(x) thì

bx b

x aa

f (x)dx F(x) F(b) F(a)

2. Khi tính nguyên hàm của f(x) ta áp dụng các cách tính tích phân đã biết

trong

tích phân không xác định.

6)Tính gần đúng tích phân xác định

7) ứng dụng của tích phân xác định:




1. Diện tích hình phẳng:Miền phẳng giới hạn bởi hai đƣờng cong f(x) và

g(x)

liên tục trên a,b đƣợc xác định bởi

b

a

S f (x) g(x) dx

2. Diện tích miền phẳng đƣợc cho bởi phƣơng trình tham số

x x(t)

y y(t)

trong đó 1 2t t t đƣợc xác định 2

1

t

t

1S x(t)y (t) x (t)y(t) dt

2

3. Trong tọa độ cực: Đƣờng cho bởi r r( ) với 1 2 đƣợc xác định

2

1

21S r ( )d

2

4. Độ dài đƣờng cong:

a. Xác định bởi y f (x) với a x b đƣơc tính

b2

a

L 1 f (x)dx

b. Xác định bởi x x(t)

y y(t)

với 1 2t t t đƣợc tính

2

1

t2 2

t

L x (t) y (t)dt

c. Trong tọa độ cực r r( ) với thì 2 2L r ( ) r ( )d

5. Thể tích vật thể:




a. Vật V có thể tích

b

a

V S(x)dx trong đó S = S(x) ( a x b ) là

thiết diện thẳng vuông góc với trục 0x

b. Do y f (x) (a x b) quay xung quanh 0x:

b2

0x

a

V f (x)dx

c. Do y f (x) 0 (a x b) quay xung quanh 0y:

b

0y

a

V 2 xf (x)dx

6. Diện tích mặt tròn xoay do đƣờng cong phẳng

y f (x) với

a k 1 a k 1 a k 1n 1 n 1 n 1

k 0 k 0 k 0a k a k a k

f (a k)dx f (x)dx f (a k 1)dx

quay xung quanh trục 0x:

b b2

0x

a a

S 2 f (x)ds 2 f (x) 1 f (x)dx

7. Diện tích mặt tròn xoay do đƣờng cong phẳng cho bởi phƣơng trình

tham số

x x(t)

y y(t)

với 1 2t t t quay xung quanh 0x :

2

1

t2 2

0x

t

S 2 y(t) x (t) y (t)dt




§3 :TÍCH PHÂN SUY RỘNG

1) Tích phân với cận vô tận:

1. Đ/nghĩa:Cho hàm số y f (x) khả tích trong đoạn a,b với số hữu

hạn

b a .Ta gọi giới hạn

b

ba

lim f (x)dx

(nếu nó tồn tại) là tích phân suy rộng của

hàm y f (x) trên a, và ký hiệu

b

ba a

f (x)dx lim f (x)dx

.

Khi đó tích phân

a

f (x)dx

là hội tụ, trái lại thì

a

f (x)dx

gọi là phân kỳ.

Hoàn toàn tƣơng tự ta cũng có định nghĩa

b b

aa

lim f (x)dx f (x)dx

và

b

aab

lim f (x)dx f (x)dx

khi các giới hạn tồn

tại.

Chú ý: Ta cần có sự so sánh về sự tƣơng tác giữa chuỗi số và tích phân suy

rộng

2. Các tính chất đơn giản

a. Tính chất 1:Nếu tích phân

a

f (x)dx

hội tụ thì tích

phân

A

f (x)dx

cũng

hội tụ và ngƣợc lại ( A a ).Ngoài ra

A

a a A





b. Tính chất 2: Nếu tích phân

a

f (x)dx

hội tụ thì A

A

lim f (x)dx 0

c. Tính chất 4: Nếu tích phân

a

f (x)dx

và

a

g(x)dx

hội tụ thì

a

f (x) g(x) dx

hội tụ và a a a

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx

d. Định lý 1: Điều kiện ắt có và đủ để

a

f (x)dx

hội tụ là 00 A đủ

lớn

và 0A a sao cho với 1 0A A và 2 0A A thì

2 1 1

2

A A A

a a A


3. Điều kiện hội tụ:Ta xét những hàm f (x) 0 (liên hệ với chuỗi số

dƣơng)

a. Định lý 2:Điều kiện ắt có và đủ để

a

f (x)dx

trong đó f (x) 0

và

a x hội tụ là tích phân

A

a

f (x)dx bị chặn ( A a )

b. Định lý 3:Giả sử 0 f (x) (x) khi a x và các hàm

f (x) ; (x)




khả tích trong mọi đoạn a,b với a b .Nếu

a

(x)dx

hội tụ thì

a

f (x)dx

hội tụ và

a a

f (x)dx (x)dx

.Ngƣợc lại

a

f (x)dx

phân kỳ thì

a

(x)dx

phân kỳ.

Ví dụ:Xét sự hội tụ của x

1

x e dx

với const

Chứng minh:Ta có

x

2

xlim x e 0

(quy tắc Lôpitan)nên với x đủ lớn

:

x

2x e 1

do đó

x x xx 2 2 2x e x e e e

và

x

2

1

e dx

hội tụ, suy ra x

1

x e dx

hội tụ.

c. Định nghĩa :Tích phân

a

f (x)dx

đƣợc gọi là hội tụ tuyệt đối, nếu

a

f (x) dx

hội tụ.Nhƣ vậy khi

a

f (x) dx

hội tụ thì

a

f (x)dx

cũng hội tụ

d. Định lý 4: Cho y f (x) khả tích trong đoạn a,b với số hữu hạn

b a 0

Nếu 1 ,với C const 0 thỏa mãnC

f (x)x

thì

a

f (x)dx

hội tụ tuyệt đối




Nếu 0 1 và với x đủ lớn 1

f (x)x

, thì

a

f (x)dx

phân kỳ.

e. Định lý 5 (Abel) Giả sử f (x) và g(x) xác định trên a, hơn nữa

- Tích phân

a

f (x)dx

hội tụ

- Hàm g(x) đơn điệu bị chặn

thì tích phân

a

g.f dx

hội tụ

f. Định lý 6 (Dirichlet):Cho 0 và a 0 ;hàm số (x) liên tục với

x a .

Nếu tồn tại C const 0 sao cho a b :

b

a

(x)dx C thì

a

(x)dx

x

hội tụ.

2) Tích phân của hàm số không bị chặn:

1. Định nghĩa: Cho hàm f (x) khả tích trên mọi đoạn a ,b với

0 b a ,

xác định trên a,b nhƣng không bị chặn tại lân cận x a .Nếu tồn tại

b

0a

lim f (x)dx

thì giới hạn đó gọi là tích phân của hàm không bị chặn

f (x) trên a,b và ký hiệu :

b

a

f (x)dx .

2. Định nghĩa: Cho hàm f (x) khả tích trên mọi đoạn 1a,c ;

2c ,b ,




trong đó 10 c a ; 20 b c và không bị chặn ở lân cận điểm c.Khi tồn

tại các tích phân suy rộng

c

a

f (x)dx và

b

c

f (x)dx tức là tồn tại các giới hạn sau

1

1

c c

0a a

lim f (x)dx f (x)dx

và

2

2

b b

0c c

lim f (x)dx f (x)dx

khi đó ta có

b

a

f (x)dx =

c

a

f (x)dx +

b

c

f (x)dx

và ta có

b

a

f (x)dx hội tụ,trái lại thì tích phân gọi là phân kỳ.

Lƣu ý:

Trong tích phân

b

a

f (x)dx nếu hàm số f (x) không xác định tại x a hoặc x b

nhƣng tồn tại x a 0

lim f (x)

hoặc x b 0

lim f (x)

thì

b

a

f (x)dx vẫn tồn tại.

3. Mối liên hệ giữa hai loại tích phân suy rộng:Giả sử Cho hàm f (x) khả

tích

trên mọi đoạn a ,b với 0 b a ,xác định trên a,b nhƣng không bị

chặn tại lân cận x a .Do đó

b b

0a a

f (x)dx lim f (x)dx

Đặt 1

x ay




ta có

1 1

b

21 1a

b a b a

1 dyf (x)dx f (a ) (y)dy

y y

trong đó 2

1 1(y) f (a )

yy

Khi đó

1

b

01 1a

b a b a

f (x)dx lim (y)dy (y)dy

4. Điều kiện hội tụ:Từ phân tích trình bày ở trên ta có các định lý sau

a. Định lý 1’:Điều kiện ắt có và đủ để

b

a

f (x)dx trong đó

f (x) 0; x a,b hội tụ là tích phân

b

a

f (x)dx

bị chặn với

0 ( 0 b a )

b. Định lý 2’:Giả sử 0 f (x) (x) khi a x b

Nếu

b

a

(x)dx hội tụ thì

b

a

f (x)dx hội tụ và

b b

a a

f (x)dx (x)dx .Ngƣợc lại

b

a

f (x)dx phân kỳ thì

b

a

(x)dx phân kỳ

c. Định lý 3’: Đ/kiện ắt có và đủ để

b

a

f (x)dx hội tụ là 0 0 :

10 và 20 thì 2

1

a

a

f (x)dx




d. Định nghĩa :Tích phân

b

a

f (x)dx đƣợc gọi là hội tụ tuyệt đối, nếu

b

a

f (x) dx hội tụ.Nhƣ vậy khi

a

f (x) dx

hội tụ thì

a

f (x)dx

cũng hội tụ

e. Định lý 4:

Nếu 0 1 và x a đủ gần a mà 1

f (x)(x a)

thì

b

a

f (x)dx hội tụ tuyệt đối

Nếu 1 và x a đủ gần a để 1

f (x)(x a)

thì

b

a

f (x)dx phân kỳ.

g. Định lý 5:Cho 0 và a 0 ;hàm số (x) liên tục với x a .Nếu

tồn tại

C const 0 sao cho:

b

a

(x)dx C

thì

b

a

(x a) (x)dx hội tụ.

GIẢI TÍCH I - moon.vn trinh Toan... · Bài tập hoàn toàn đƣợc tập trung dồn vào...

Documents

Transcript of GIẢI TÍCH I - moon.vn trinh Toan... · Bài tập hoàn toàn đƣợc tập trung dồn vào...