GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ - Hoc360.net

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.Giới hạn hữu hạn

a. Định nghĩa 1

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( ) ( )0 0; ,x b x R . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải là

số thực L khi dần đến 0x (hoặc tại điểm 0x )nếu với mọi dãy số bất kì ( )nx những số thuộc khoảng

( )0;x b mà 0lim nx x= ta đều có ( )lim nf x L= . Khi đó ta viết

( )0

limx x

f x L+→

= hoặc ( )f x L→ khi 0x x +→ .

b. Định nghĩa 2

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( ) ( )0 0; ,a x x R . Ta nói rằng hàm số có giới hạn bên trái là số

thực L khi x dần đến 0x (hoặc tại điểm 0x ) nếu với mọi dãy bất kì ( )nx những số thuộc khoảng

( )0;a x mà 0lim nx x= ta đều có ( )lim nf x L= Khi đó ta viết

( )0

limx x

f x L−→

= hoặc ( )f x L→ khi 0x x −→ .

Chú ý:

a) ( ) ( ) ( )0 0 0

lim lim limx x x x x x

f x L f x f x L− +→ → →

= = = .

b) Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng khi thay 0x x→ bởi 0x x −→ hoặc 0x x +→ .

2. Giới hạn vô cực

a) Các định nghĩa ( )0

limx x

f x−→

= + , ( )0

limx x

f x−→

= − , ( )0

limx x

f x+→

= + và ( )0

limx x

f x+→

= − được phát

biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2.

b) Các chú ý 1 và 2 vẫn đúng nếu thay L bởi + hoặc − .

B. PHƯƠNG PHÁP

1. Bấm máy tính

- Nhập hàm số ( )f x .

https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/



11

11

0 0 11

0 0 11

0 0 11

10

10

1

10

1

10

1

10

x CALC x

x CALC x

x x CALC x x

x x CALC x x

x x CALC x x

+

−

→+ =

→ − = −

→ =

→ = +

→ = −

CÁCH ĐỌC KẾT QUẢ:

...

...

...

.....10 0

.....10

.....10

KQ

KQ

KQ

−

+

+

→ =

+ → = +

− → = −

2. Giải tự luận

- Sử dụng các định lý và phương pháp tính giới hạn của hàm số tại một điểm.

- Lưu ý:

( )0

0

0 0; , 0

x xx x

x x x

+

→ +

( )0

0

0 0; , 0

x xx x

x x x

−

→ −

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Dang 1: Tìm giới hạn 1 bên của các hàm đa thức, phân thức, căn thức, … và hàm trên từng khoảng.

Câu 1. Tính3

3lim

5 15x

x

x−→

−

−

A. 1

5 B.

1

5

− C. 0 D. −

Lời giải

Chọn B.

3 3 3

3 3 1lim lim lim

5 15 5 15 5x x x

x x

x x− − −→ → →

− − + −= =

− −




Câu 2. Tính0

2limx

x x

x x+→

+

−

A.+ . B. − . C.1. D. 1− .

Lời giải

Chọn D.

( )( )0 0 0

2 12 2 1 1lim lim lim 1

111x x x

x xx x x

x x xx x+ + +→ → →

++ + −= = = = −

− −−

Câu 3. Tính( )

2

3 21

4 3lim

x

x x

x x+

→ −

+ +

+.

A.+ . B. 1− . C.1. D. 0 .

Lời giải

Chọn D.

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )2

3 2 2 21 1 1

1 3 1 34 3 0lim lim lim 0.

11x x x

x x x xx x

x x x x x+ + +

→ − → − → −

+ + + ++ += = = =

+ +

Câu 4. Cho hàm số ( )4 2

3

5 6 1

3 1

x x x xf x

x x x

− − =

− + . Tính ( )

1lim .x

f x−→

A. không tồn tại. B. 2 . C. 2− . D. 0 .

Lời giải

Chọn B.

( ) ( )3

1 1lim lim 3 1 3 2x x

f x x x− −→ →

= − + = − + = .

Câu 5. Tính

2

2

3 2lim

2x

x x

x→

− +

−.

A. không tồn tại. B. 1. C. 1− . D.+ .

Lời giải

Chọn A.

( )( ) ( )( )( )

2 2 2

2 1 2 1lim lim lim 1 1

2 2x x x

x x x xx

x x+ + +→ → →

− − − −= = − =

− −.

( )( ) ( )( )( )

2 2 2

2 1 2 1lim lim lim 1 1

2 2x x x

x x x xx

x x− + +→ → →

− − − − −= = − = −

− −




( )( ) ( )( )2 2

2 1 2 1lim lim

2 2x x

x x x x

x x− +→ →

− − − −

− −

Câu 6. Tính 2

2lim 4x

x+→

− .

A.+ . B. 0 . C. 2 . D. Không tồn tại.

Lời giải

Chọn D.

Tập xác định của hàm số là 2;2− , hàm số không xác định trên ( )2, , 2b b nên không tồn tại

2

2lim 4x

x+→

− .

Câu 7. Tính ( ) 21

5lim 1

2 3x

xx

x x+→

+−

+ −.

A.+ . B. − . C. 0 . D. 1− .

Lời giải

Chọn C.

Với mọi 1x ta có : ( ) ( )2 2

5 51 1

2 3 2 3

x xx x

x x x x

+ +− = − −

+ − + −

( ) ( )

( )( )

( )( )2

1 5 1 5

1 3 3

x x x x

x x x

− + − += − = −

− + +.

Vậy ( )( )( )

21 1

1 55lim 1 lim 0

2 3 3x x

x xxx

x x x+ +→ →

− ++− = − =

+ − +.

Câu 8. Tính2

2

1 1lim

2 4x x x−→

−

− − .

A.+ . B. − . C. 0 . D. 1− .

Lời giải

Chọn B.

22

1 1lim

2 4xL

x x−→

= −

− −




( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2

1 1 2 1 1lim lim lim

2 2 2 2 2 2 2x x x

x x

x x x x x x x− − −→ → →

+ − += − = = − − + − + − +

Ta có ( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2 0 lim 2 0 , lim 1 3 , lim 2 4x x x

x x x x x x− − −

− −

→ → →→ − − = + = + = .

Kết luận L = − .

Câu 9. Tính ( )1

limx

f x→

với ( )2

3, 1

13, 1

1 7 2, 1

x khi x

f x x khi x

x khi x

−

= = − =− +

.

A. 13− . B. 2− . C. 4− . D. 1− .

Lời giải

Chọn B.

Ta có

( )

( ) ( )1 1

2

1 1

lim lim( 3) 2

lim lim 1 7 2 2

x x

x x

f x x

f x x

− −

+ +

→ →

→ →

= − = −

= − + = −

Vậy ta có

( ) ( ) ( )11 1

lim lim 2 lim 2xx x

f x f x f x− + →→ →

= = − = −

.

Câu 10. Tính ( )

2

23

2 5 3lim

3x

x x

x+→−

+ −

+.

A.+ . B. − . C. 0 . D. 7− .

Lời giải

Chọn B.

( )

( )( )

( )

2

2 23 3 3

2 1 32 5 3 2 1lim lim lim

33 3x x x

x xx x xL

xx x+ + +→− →− →−

− ++ − −= = =

++ +

Ta có ( )3

3 3 3 0 lim 3 0x

x x x x+

+ +

→−→− − + + = , và ( )

3lim 2 1 7.

xx

+→−− = −

Kết luận L = − .

Câu 11. Tính ( )

( )2

limx

f x−

→ −

với ( )

22 3 2

5 2

3 1 2

x x

f x x

x x

−

= =

−

.




A. không tồn tại. B. − . C.5 . D. 7− .

Lời giải

Chọn D.

( ) ( )( 2) ( 2)

lim lim 3 1 7x x

f x x− −→ − → −

= − = − .

Câu 12. Tính ( )

( )2

limx

f x+

→ −

với ( )

22 3 2

5 2

3 1 2

x x

f x x

x x

−

= =

−

.

A. không tồn tại. B. − . C.5 . D. 7− .

Lời giải

Chọn C.

( )( )

( )( )2

2 2

lim lim 2 3 5.x x

f x x+ +

→ − → −

= − = .

Câu 13. Tính ( )2lim 2 1x

x x→−

+ + .

A. 0 . B. − . C.+ . D. 7− .

Lời giải

Chọn C.

( )2 2

2 2

1 1lim 2 1 lim 2 lim 2 1x x x

x x x x xx x→− →− →−

+ + = + + = − + + = +

Vì

2

lim

1lim 2 1 1 2 0

x

x

x

x

→−

→−

= −

− + + = −

Câu 14. Tính 2

2 3lim

5x

x

x x→−

+

+ +.

A. 0 . B. − . C. 2 . D. 2− .

Lời giải




Chọn C.

2

2 2

322 3 2 3

lim lim lim 21 5 1 55

1 1x x x

x x x

x xx

x x x x

→− →− →−

− ++ − += = =

+ +− + + − + +

Câu 15. Tính 6

3

2lim

3 1x

x

x→−

+

−.

A. 1

3− . B. − . C.

1

3. D.+ .

Lời giải

Chọn A.

6 36 36 3

33 3

33 3

2 221 112 1

lim lim lim lim11 13 1 3

33 3x x x x

x xx xx x

xx x

xx x

→− →− →− →−

+ − +− +

+ − = = = =

− −− −

Câu 16. Tính ( )2lim 4x

x x x→+

− −

A. 2− . B. − . C. 0 . D.+ .

Lời giải

Chọn A.

( )2 2

2

22

4 4 4 4lim 4 lim lim lim lim 2

4 1 141 1 1 1 1

x x x x x

x x x x xx x x

x x xx x x

x x x

→+ →+ →+ →+ →+

− − − − −− − = = = = = −

− + − + − + − +

Câu 17. Cho hàm số ( )

2 11

1

2 2 1

xkhi x

f x x

x khi x

+

= − −

. Khi đó ( )1

limx

f x−→

bằng:

A. 0 B. 2 C. − D. +

Lời giải

Chọn D.

( )2

1 1

1lim lim

1x x

xf x

x− −→ →

+= = +

−.




Câu 18. Tính 3 2

1lim

1 1x

x x

x x+→

−

− + −.

A. 1− . B. 0 . C. 1. D. + .

Lời giải

Chọn C.

( )

( ) ( ) ( )

23 2

21 1 1 1

1 1lim lim lim lim 1

1 1 1 1 1 1 11 1x x x x

x xx x x x x

x x x x xx x+ + + +→ → → →

−− −= = = =

− + − − − − − −− − −

.

Câu 19. Chọn kết quả đúng của 2 3

0

1 2limx x x−→

−

.

A. − . B. 0 . C. + . D. Không tồn tại.

Lời giải

Chọn C.

2 3 30 0

1 2 2lim limx x

x

x x x− −→ →

− − =

( )0

lim 2 2 0x

x−→

− = −

Khi

30 0 0x x x−→

Vậy

30

2limx

x

x−→

− = +

.

Câu 20. Cho ( )

2

2

4 2 2

42

2

x x

f x xx

x

− −

= −

−

. Tính ( )2

limx

f x+→−

.

A. 0 . B. 4 . C. + . D. Không tồn tại.

Lời giải

Chọn A.

( ) 2

2 2lim lim 4 0

x xf x x

+ +→− →−= − = .




Dạng 2: Tìm tham số để hàm số có giới hạn tại 1 điểm cho trước

Câu 1. [1D4-2]Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số ( )2

0

1 0

x m khi xf x

x khi x

+ =

+ có giới

hạn tại 0x = .

A. 1m = − . B. 2a = . C. 2a = − . D. 1m = .

Lời giải

Chọn D.

Ta có:

( ) ( )0 0

lim limx x

f x x m m− −→ →

= + = ; ( ) ( )2

0 0lim lim 1 1x x

f x x+ +→ →

= + = .

Hàm số có giới hạn tại 0x = ( ) ( )0 0

lim lim 1x x

f x f x m− +→ →

= = .

Câu 2. [1D4-2]Tìm các giá trị thực của tham số a để hàm số ( )2 3 2

1 2

x khi xf x

ax khi x

− + =

− để

tồn tại ( )2

limx

f x→

.

A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1.

Lời giải

Chọn A.

Ta có:

( ) ( )2 2

lim lim 1 2 1x x

f x ax a− −→ →

= − = − ; ( ) ( )2 2

lim lim 2 3 3x x

f x x+ +→ →

= − + = .


lim lim 2 1 3 2x x

f x f x a a− +→ →

= − = = .

Câu 3. [1D4-2]Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số ( )2

3 1

2 13 1

1 7 2 1

m khi x

f x m khi x

x khi x

−

= − =− +

để

tồn tại ( )1

limx

f x→

.

A. 1m = − . B. 1m = . C. 5m = . D.11

2m = .

Lời giải

Chọn B.

Ta có

( ) ( )

( ) ( )1 1

2

1 1

lim lim 3 3

lim lim 1 7 2 2

x x

x x

f x m m

f x x

− −

+ +

→ →

→ →

= − = −

= − + = −

Vậy ta có ( ) ( )1 1

lim lim 3 2 1x x

f x f x m m− +→ →

= − = − =




Câu 4. [1D4-2]Tìm các giá trị thực của tham số b để hàm số ( )

2

3

13

6

3 3

xx

f x x x

b x

+

= − +

+

có giới

hạn tại 3x = .

A. 3 . B. 3− . C. 2 3

3. D.

2 3

3− .

Lời giải

ChọnD.

( )2

33 3

1 1lim lim

6 3x x

xf x

x x+ +→ →

+= =

− +.

( )3

lim 3x

f x b−→

= + .

Hàm số có giới hạn tại 3x =1

33

b + =1 2

33 3

b−

= − + = .

Câu 5. [1D4-2] Biếthàm số ( )3 , 1

, 1

x b khi xy f x

x a khi x

+ −= =

+ −có giới hạn tại 1x = − . Giá trị của a b−

bằng

A. 1− . B. 2− . C. 2 . D.1.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Tại điểm 1x = − ta có:

( )( )

1

limx

f x−

→ − ( )( )

1

lim 3x

x b−

→ −

= + 3 b= − + ( )1f= − .

( )( )

( )( )

1 1

lim lim 1x x

f x x a a+ +

→ − → −

= + = − + .

Hàm số có giới hạn tại 1x = − khi và chỉ khi ( )

( )( )

( )1 1

lim limx x

f x f x− +

→ − → −

=

Điều này tương đương với 3 1 2b a a b− + = − + − = − .

Vậy khi hàm số liên tục trên thì 2a b− = − .

Câu 6. [1D4-2]Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số ( )

3

2 2

1 1

1

1

xkhi x

h x x

mx x m khi x

+ −

= + − + −

để

hàm số có giới hạn tại 1x = − .

A. 1m = − ; 2m = . B. 1m = − ; 2m = − . C. 1m = ; 2m = − . D. 1m = ; 2m = .

Lời giải

Chọn C.




Ta có ( ) ( )

( ) ( )

32

1 1 1

2 2 2

1 1

1lim lim lim 1 3

1

lim lim 1

x x x

x x

xh x x x

x

h x mx x m m m

− − −

+ +

→− →− →−

→− →−

+= = − + =

+ = − + = + +

Hàm số có giới hạn tại 1x = − khi và chỉ khi ( ) ( )1 1

lim limx x

h x h x− +→− →−

=

2 21

3 1 2 02

mm m m m

m

== + + + − =

= −.

Câu 7. [1D4-2]Cho hàm số ( )

2 3 2 2

2

2

x xx

f x x

a x

− +

= −

. Với giá trị nào của a thì hàm số đã

cho có giới hạn tại điểm 2x = ?

A. 1a = − . B. 2a = . C. 2a = − . D. 1a = .

Lời giải

Chọn D.

Ta có ( )( )( )

( )2

2 2 2 2

1 23 2lim lim lim lim 1 1

2 2x x x x

x xx xf x x

x x+ + + +→ → → →

− −− += = = − =

− −.

( )2

limx

f x a−→

=

Hàm có giới hạn tại 2x = khi và chỉ khi ( ) ( )2 2

lim lim 1x x

f x f x a+ −→ →

= =

Câu 8. [1D4-2]Tìm các giá trị thực của tham số a để hàm số ( )3

31 2

3

xx

f x x

m x

−

= + −

nÕu

nÕu

để

tồn tại ( )3

limx

f x→

.

A. 1m = − . B. 4m = . C. 4m = − . D. 1m = .

Lời giải

Chọn C.

Ta có

( )

( )

3 3

3 3

lim lim

3lim lim 4

1 2

x x

x x

f x m m

xf x

x

− −

+ +

→ →

→ →

= = −

= = −+ −

Vậy ta có ( ) ( )3 3

lim lim 4x x

f x f x m− +→ →

= = − .

Câu 9. [1D4-3]Tìm các giá trị thực của tham số a để hàm số ( )

3 3 2 2khi 2

2

1khi 2

4

xx

xf x

ax x

+ − −=

+

để

tồn tại ( )2

limx

f x→

.

A. 0a = . B. 3a = . C. 2a = . D. 1a = .

Lời giải




Chọn A.

Ta có

( )( )

( )

3

22 2 2 33

2 2

3 2 2 3 1lim lim lim

2 43 2 2 3 2 4

1 1lim lim 2

4 4

x x x

x x

xf x

x x x

f x ax a

+ + +

− −

→ → →

→ →

+ −= = =

− + + + +

= + = +

.


1 1lim lim 2 0

4 4x xf x f x a a

+ −→ → = + = = .

Câu 10. [1D4-3] Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số

( )( )

2 2

2

; 2

2 ; 2

a x xf x

a x x

=

−

có giới hạn tại 2x = . Tổng các giá trị của S là

A. 3 . B. 0 . C.1. D. –1.

Lời giải

Chọn D.

( )( )

( )( ) ( )2

2 2

lim lim 2 2 2x x

f x a x a+ +

→ →

= − = − ; ( )

( )( )

2 2 2

2 2

lim lim 2x x

f x a x a− −

→ →

= = .

Để hàm số có giới hạn tại 2x =( )

( )( )

( )2 2

lim limx x

f x f x+ −

→ →

= ( )22 2 2a a = − 2 2 0a a + − =

1

2

a

a

=

= −.

Vậy 1; 2S = − .


1 3

3 5

7 5

x

f x ax b x

x

= +

. Xác định a , b để hàm số có giới hạn tại

3x = và 5x = .

A. 3a = , 8b = − . B. 3a = − , 8b = . C. 3a = − , 8b = − . D. 3a = − , 8b = .

Lời giải

Chọn A.

+ Tại 3x = :

Ta có ( )3 3

lim lim1 1x x

f x− −→ →

= = và ( ) ( )3 3

lim lim 3x x

f x ax b a b+ +→ →

= + = + .

Do đó hàm số có giới hạn tại 3x = khi và chỉ khi ( ) ( ) ( )3 3

lim lim 3 1 1x x

f x f x a b− +→ →

= + = .

+ Tại 5x =




Ta có ( )5

lim 5x

f x a b−→

= + và ( )5

lim 7x

f x+→

= .

Do đó hàm số có giới hạn tại 5x = khi và chỉ khi ( ) ( ) ( )5 5

lim lim 5 7 2x x

f x f x a b− +→ →

= + = .

Từ ( )1 và ( )2 suy ra:3 1 3

5 7 8

a b a

a b b

+ = =

+ = = − .


3 2

khi 11

khi 1

1 khi 1

x xx

x

f x n x

mx x

−

−= = +

. Biết hàm số ( )f x liên tục tại 1x = . Giá

trị của m , n là

A. 1n = − và 0m = . B. 1n m= = . C. 0n = và 1m = . D. 1n = và 0m = .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có ( ) ( )1 1

lim lim 1 1x x

f x mx m− −→ →

= + = + .

( )( ) 23 2

2

1 1 1 1

1lim lim lim lim 1

1 1x x x x

x xx xf x x

x x+ + + +→ → → →

−−= = = =

− −.

( )1f n= .

Để hàm số liên tục tại 1x = thì ( ) ( ) ( )1 1

lim lim 1x x

f x f x f− +→ →

= = . Ta chọn 1n = và 0m = .


2 2

2 6

4 6

x x

f x ax b x

x x

−

= + +

. Biết hàm số ( )f x có giới hạn tại 3x =

và 5x = . Hệ thức nào sau đây là đúng?

A. 2 0a b− = . B. 2 0a b+ = . C. 2 0a b− = . D. 2 0a b+ = .

Lời giải

Chọn B.

+ Tại 2x = :

( )2

lim 2 1 0x

f x−→

= − = ; ( )2

lim 2x

f x a b+→

= + .

Hàm số có giới hạn tại 2x = khi và chỉ khi ( ) ( ) ( )2 2

lim lim 2 0 1x x

f x f x a b− +→ →

= + = .

+ Tại 6x = :




( )6

lim 6 4 10x

f x+→

= + = ; ( )6

lim 6x

f x a b−→

= + .

Hàm số có giới hạn tại 6x = khi và chỉ khi ( ) ( ) ( )6 6

lim lim 6 10 2x x

f x f x a b− +→ →

= + = .

Từ ( )1 và ( )2 suy ra:

52 0

26 10

5.

a b a

a bb

+ = =

+ = = −

Câu 14. [1D4-4] Biết hàm số ( )

sin2

sin2 2

2 cos2

x x

f x a x b x

x x

−

= + −

+

có giới hạn tại 2

x

= − và

2x

= . Hệ thức nào sau đây là đúng?

A.3 0a b− = . B.3 0a b+ = . C. 3 0a b− = . D. 3 0a b+ = .

Lời giải

Chọn C.

+ Tại 2

x

= − ta có:

( )2 2

lim lim sin 1x x

f x x

− −

→ − → −

= = − ; ( ) ( )2 2

lim lim sinx x

f x a x b a b

+ +

→ − → −

= + = − + .

Hàm số có giới hạn tại 2

x

= − ( ) ( ) ( )2 2

lim lim 1 1x x

f x f x a b

+ −

→ − → −

= − + = − .

+ Tại 2

x

= ta có:

( ) ( )2 2

lim lim 2 cos 2x x

f x x

+ +

→ →

= + = ; ( ) ( )2 2

lim lim sinx x

f x a x b a b

− −

→ →

= + = + .

Hàm số có giới hạn tại 2

x

= ( ) ( ) ( )2 2

lim lim 2 2x x

f x f x a b

+ −

→ →

= + = .

Từ ( )1 và ( )2 suy ra:

1

1 2

2 3

2

ba b

a ba

=− + = −

+ = =

.




Câu 15. [1D4-4] Cho hàm số ( )

3

2

2 1 8 0

1 2 0

42

2

x xx

x

f x ax b x

xx

x

+ − −

= + − −

− − +

. Tìm a , b để hàm số cùng

có giới hạn tại 2x = − và 0x = .

A.61

24a = ,

25

12b = . B.

37

24a = ,

1

12b = . C.

61

24a = ,

1

12b = . D.

85

24a = ,

25

12b = .

Lời giải

Chọn A.

Tại 0x = ta có

( ) ( )0 0

lim lim 1 1.x x

f x ax b b− −→ →

• = + − = −

( )3 3

0 0 0

2 1 8 2 1 2 2 8lim lim limx x x

x x x xf x

x x+ + +→ → →

+ − − + − + − −• = =

Mà ( )

( )0 0 0

2 1 12 1 2 2lim lim lim 1.

1 11 1x x x

xx

x xx x+ + +→ → →

+ −+ −= = =

+ ++ +

Và

( )

3

20 0 3 3

2 8 8 8lim lim

4 2 8 8x x

x x

x x x x+ +→ →

− − − +=

+ − + −

( )20 3 3

1lim

4 2 8 8x

x x+→

=

+ − + −

1

12= .

Nên ( )3

0 0

2 1 8 1 13lim lim 1 .

12 12x x

x xf x

x+ +→ →

+ − −= = + =

Do đó hàm số có giới hạn tại 0x = khi và chỉ khi

( ) ( ) ( )0 0

13 25lim lim 1 . 1

12 12x xf x f x b b

− +→ →= − = =

Tại 2x = − :

( )( )

( )( )

2 2

lim lim 1 2 1x x

f x ax b a b+ +

→ − → −

= + − = − + − .

( )( )

( ) ( )( )

2

2 2 2

4lim lim lim 2 2 2 4

2x x x

xf x x

x− − −→ − → − → −

−= = − = − − = −

+.

Do đó hàm số có giới hạn tại 2x = − khi và chỉ khi

( )( )

( )( ) ( )

2 2

lim lim 2 1 4 2x x

f x f x a b− +

→ − → −

= − + − = −




Từ ( )1 và ( )2 suy ra: hàm số cùng có giới hạn tại 0x = và 2x = − khi và chỉ khi

2525

1212

612 1 4 .

24

bb

a b a

= =

− + − = − =

Vậy với 61

24a = ,

25

12b = thì hàm số cùng có giới hạn tại 0x = và 2x = − .


GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ - Hoc360.net

Documents

Transcript of GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ - Hoc360.net