Geometria 11º. Ano

Prof. Eva Figueiredo www.matematica.com.pt eva@matematica.com.pt tlm. 919 380 994

Definição: O produto escalar de dois vectores não nulos u

�� e v�

é

Também pode ser expresso em coordenadas:

( ) ( )( )1 2 3 1 2 3, , ; , ,u u u u v v v v= =�� �

Ângulo de dois vectores: Sempre que pretendemos calcular o ângulo de dois vectores usamos a fórmula:

se 0º 90ºu v≤ ≤

�� �ɵ

Ângulo de duas rectas:

Duas rectas r e s concorrentes e não perpendiculares, chama-se ângulo de duas

rectas ao menor ângulo (α ) por elas definido.

( ) .cos cos

u vu v

u vα = =

×

�� ���� �ɵ �� �

Rectas

Equação

Um vector

director da

recta

Um vector

director da recta

perpendicular

Equação vectorial ( ) ( ) ( )0 0 0 1 2 3, , , , , ,x y z x y z u u uλ= + ,

λ ∈ IR

( )1 2 3, ,u u u ( )2 1, , 0u u−

Equações

paramétricas

λλ λλ

= + = + ∈ = +

0 1

0 2

0 3

,

x x u

y y u IR

z z u

( )1 2 3, ,u u u ( )2 1, , 0u u−

Equações cartesianas 00 0

1 2 3

y yx x z zu u u

−− −= = ( )1 2 3, ,u u u ( )2 1, , 0u u−

Equação geral 0Ax By C+ + = ( ),B A− ( ),A B

Equação reduzida y m x b= + ( )1,m ( ),1m−

( ). cosu v u v u v= × ×�� � �� � �� �

ɵ

1 1 2 2 3 3.u v u v u v u v= + +�� �

( ) .cos

u vu v

u v=

×

�� ���� �ɵ �� �

Geometria 11º. Ano

Prof. Eva Figueiredo www.matematica.com.pt eva@matematica.com.pt tlm. 919 380 994

1 2 3 0n x n y n z d+ + + =

Posição relativa de duas rectas r e s:

Paralelas Concorrentes

Tipo de

Equações

Coincidentes Estritamente Perpendiculares

2πα =

Vec

tori

al ( )

( )

λ λ= + ∈

= + ∈

0 1 2 3

0 1 2 3

: , , ,

: , , ,

r P P u u u IR

s Q Q k v v v k IR

31 2

1 2 3

uu uv v v

= =

0 0P Q≡

31 2

1 2 3

uu uv v v

= =

0 0P Q≡

1 1 2 2 3 3

0

u v u v u v+ + ==

Ger

al

1 1 1

: 0

: 0

r Ax By C

s Ax B y C

+ + =

+ + =

1 1 1

B A CB A C

= =

1 1 1

B A CB A C

= ≠ 1 1 0AA B B+ =

Red

uzid

a

1 1

:

:

r y m x b

s y m x b

= +

= +

1

1

m m

b b

=

=

1

1

m m

b b

=

≠

1

1m

m= −

Notas: (para resolver exercícios)

1. Quando nos pedem para provar que um triângulo é rectângulo, basta provar que um

produto escalar de dois dos vectores, que se podem determinar usando os vértices do

triângulo, são nulos.

Determinar a distância de um ponto P a uma recta r:

1º) Determinar a equação de uma recta s que passa em P e é perpendicular a r;

2º) Determinar o ponto de intersecção (I) das duas rectas (resolve-se um

sistema com as equações das rectas r e s).

3º) Determinar a distância entre P e I ( ( ) ( )2 2

1 1 2 2PI i p i p= − + − )

Equação Geral do Plano:

( )1 2 3, ,n n n n�

é o vector normal do plano e 1 1 2 2 3 3d n a n a n a= − − − , sendo ( )1 2 3, ,A a a a um

ponto particular.

Notas:

Se uma das coordenadas do vector normal for nula, o vector será perpendicular a

esse eixo coordenado, logo o plano será paralelo a esse eixo.

Exemplo: 2 3 0x y− + = é paralelo a Oz.

Se duas coordenadas de n

� forem nulas o plano será paralelo aos dois eixos

coordenados, logo perpendicular ao terceiro.

Exemplo: 2 5 0x − = é perpendicular a Ox porque é paralelo a Oy e Oz.