GEOMETRIA ANALÍTICA · Se P pertence ao eixo das abcissas, suas coordenadas são (a,0) Se P...
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Tópicos a serem estudados
1) O ponto (Noções iniciais - Reta orientada ou eixo – Razão de segmentos – Noções Simetria – Plano Cartesiano – Abcissas e Ordenadas – Ponto Médio – Baricentro - Cálculo de Determinantes – Condição de Alinhamento de Três Pontos)
2) A reta (Equações – Coeficiente Angular – Posições entre retas – Perpendicularidade – Projeções – Ângulos entre retas* - Inequações do 1º grau* - Distâncias entre Ponto e Reta - Bissetrizes*)
3) Circunferências (Equações – Posições relativas entre Ponto e Circunferência – Posições relativas entre Reta e Circunferência – Posições relativas entre duas Circunferências – Problemas de Tangência - Inequações do 2º grau*)
4) Cônicas* (Elipses – Hipérboles – Parábolas – Posições Relativas)
* EsPCEx
1) O ponto – Razão de Segmentos Orientados
Razão de secção de um segmento orientado
Exemplo resolvido:
1) O ponto - Plano Cartesiano
Sistema Cartesiano Ortogonal
É constituído de dois eixos, chamados 𝑶𝒙 e 𝑶𝒚,
perpendiculares entre si.
1) O ponto - Plano Cartesiano
Sistema Cartesiano Ortogonal
Se P pertence ao eixo das
abcissas, suas coordenadas
são (a,0)
Se P pertence ao eixo das
ordenadas, suas coordenadas
são (0,b)
1) O ponto – Plano Cartesiano
Sistema Cartesiano Ortogonal
Se P pertence à bissetriz dos
1º e 3º quadrantes, suas
coordenadas são iguais.
Se P pertence à bissetriz dos
2º e 4º quadrantes, suas
coordenadas são simétricas.
1) O ponto – Distância entre dois pontos
Distância entre dois pontos no plano cartesiano
Logo, a distância entre os pontos A e B será dada por:
1) O ponto – Exercícios
01) Determine os valores reais de 𝒙 para que o ponto 𝑨(𝒙 + 𝟏, 𝟐𝒙 − 𝟓) pertença ao quarto quadrante.
02) Dê as coordenadas dos pontos simétricos dos pontos 𝑨(𝟑, 𝟒) e 𝑩(−𝟐, 𝟓) em relação:
a) ao eixo x b) ao eixo y c) à origem
03) Determine 𝒙 para que o ponto 𝑷(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙, 𝟏𝟓) pertença à bissetriz do:
a) 2º e 4º quadrantes b) 1º e 3º quadrantes
04) Calcule a distância entre os pontos 𝑨(−𝟏, 𝟒) e 𝑩(𝟑, 𝟐).
05) Sabe-se que o ponto 𝑷(𝒂, 𝟐) é equidistante dos pontos 𝑨(𝟑, 𝟏) e 𝑩(𝟐, 𝟒). Calcule a abcissa do ponto 𝑷:
06) Que tipo de triângulo temos, se seus vértices são os pontos 𝑨(𝟐, −𝟐), 𝑩(−𝟑, −𝟏) e 𝑪(𝟏, 𝟔):
07) Determine os valores de m para os quais a distância entre 𝑨(𝒎 − 𝟏, 𝟑) e 𝑩(𝟐, −𝒎) é 𝟔.
1) O ponto – Ponto Médio
Ponto Médio de um Segmento Considere o seguinte segmento 𝑨𝑩:
A coordenada do ponto médio 𝑴 será dada por:
1) O ponto – Baricentro
Coordenadas do Baricentro de um triângulo Considere o seguinte triângulo ABC:
As coordenadas do Baricentro serão dadas por:
1) O ponto – Ponto Médio - Exercícios
08) Determine as coordenadas do ponto médio 𝑴 de um segmento 𝑨𝑩,
sendo dados 𝑨(−𝟏, 𝟒) e 𝑩(𝟓, 𝟐).
09) Ache o valor de 𝒙 de modo que 𝑴(𝟐, 𝟑) seja o ponto médio entre
𝑨(𝒙, 𝟓) e 𝑩(𝟑, 𝒙).
10) Os vértices de um triângulo são os pontos 𝑨(𝟎, 𝟒), 𝑩(𝟐, −𝟔) e
𝑪(−𝟒, 𝟐). Calcule a medida da mediana 𝑨𝑴, do triângulo 𝑨𝑩𝑪
11) Determine as coordenadas do
baricentro do triângulo indicado na
Figura ao lado:
1) O ponto – Cálculo de Determinantes
Cálculo do Determinante de uma matriz 3X3 Para cálculo de determinantes desse tipo de matriz, podemos utilizar a regra de SARRUS.
Exemplo:
Det(B)=1.3.2 + 5.0.4 + (–2).8.(–1) – (–2).3.4 – 1.0.(–1) – 5.8.2
Det(B) = 6 + 0 + 16 – (–24) – 0 – 80
Det(B) = 22 – 56
Det(B) = – 34
1) O ponto – Condição de Alinhamento de três ponto X Área de um triângulo
Condição de Alinhamento de Três Pontos Consideramos inicialmente três pontos contidos na mesma reta no plano:
O que vai resultar em:
Logo, para constatar a colinearidade de três pontos, basta
verificar se o determinante de terceira ordem, contendo as
abcissas e ordenadas dos pontos, seja nulo.
OBS: a terceira coluna mantém sempre o número 1.
1) O ponto – Condição de Alinhamento de três ponto X Área de um triângulo
Área do triângulo
Caso o determinante da matriz com os pontos seja diferente de zero (𝐷 ≠ 0),
podemos calcular a área do triângulo formado por esses pontos da seguinte
forma:
𝑨 =𝑫
𝟐
ÁREA= MÓDULO DO DETERMINANTE DIVIDIDO POR 2
1) O ponto – Condição de Alinhamento x Triângulos - Exercícios
12) Determine o valor de 𝒙 para que os pontos 𝑨(𝟐, −𝟑), 𝑩(𝒙, 𝟕) e
𝑪(𝒙, 𝟏) sejam colineares
13) Determine o valor de 𝒂 para que os pontos 𝑨(𝟐, 𝟏), 𝑩(𝒂 + 𝟏, 𝟐) e
𝑪(−𝟑, −𝟏) sejam os vértices de um triângulo
14) Calcule a área do triângulo de vértices 𝑨(𝟏, 𝟑), 𝑩(𝟐, 𝟓) e 𝑪(−𝟐, 𝟒).
15) Se (𝒎 + 𝟐𝒏, 𝒎 − 𝟒) e (𝟐 − 𝒎, 𝟐𝒏) representam o mesmo ponto do
plano cartesiano, então 𝒎𝒏 é igual a:
1) O ponto – Exercícios de provas anteriores
(ESA 2011). Um quadrado ABCD está contido completamente no 1º quadrante do
sistema cartesiano. Os pontos A(5,1) e B(8,3) são vértices consecutivos desse
quadrado. A distância entre o ponto A e o vértice C, oposto a ele, é:
(A) 13 (B) 2 13 (C) 26 (D) 13 (E) 26
(ESA 2011). Seja 𝑨𝑩 um dos catetos de um triângulo retângulo e isósceles ABC,
retângulo em A, com A(1,1) e B(5,1). Quais as coordenadas cartesianas do vértice C,
sabendo que este vértice pertence ao primeiro quadrante?
(A) (5,5) (B) (1,5) (C) (4,4) (D) (1,4) (E) (4,5)
(ESA 2012). Os pontos 𝑴(−𝟑, 𝟏) e 𝑷(𝟏, −𝟏) são equidistantes do ponto 𝑺(𝟐, 𝒃). Desta
forma, pode-se afirmar que 𝒃 é um número:
(A) primo. (B) múltiplo de 3. (C) divisor de 10. (D) irracional. (E) maior que 7.
(ESA 2015). Dados três pontos colineares 𝑨(𝒙, 𝟖), 𝑩(−𝟑, 𝒚) e 𝑴(𝟑, 𝟓), determine o valor
de 𝒙 + 𝒚, sabendo que 𝑴 é ponto médio de 𝑨𝑩:
(A) 3 (B) 11 (C) 9 (D) - 2,5 (E) 5