Generacija 2007 Optimalno projektovanje u mašinstvuttl.masfak.ni.ac.rs/CAD/Predavanje-11...

Dr Miomir Jovanović – OPTIMIZACIJA (autorizovana predavanja) 1

PREDAVANJE-11

Generacija 2007

Optimalno projektovanje u mašinstvu

1.1 UVOD U OPTIMALNO PROJEKTOVANJE

PREDMET OPTIMIZACIJE (ilustrativno):

• minimalna masa mašinskog sklopa, strukture, člana; • minimalna površina geometrijske forme (oblikovanja sudova), • minimalan otpor na pogonskom članu (kod minimizacije sila), • minimalna greška putanje (sinteza geometrije mehanizma), • maksimalna pouzdanost mašinskog sistema, • minimalan otpor kretanja (kod oblikovanja plašta letilica), • minimalna amplituda oscilovanja (rasporedjivanja mase vozila), • maksimalno iskorišćenje materijala (u naponskom smislu), • minimalno vreme izvršenja radnih funkcija mašina, • maksimalno iskorišćenje energije (kod sagorevanja).

DEFINICIJE OPTIMIZACIJE:

Optimizacija je postupak nalaženja najpovoljnijeg rešenja konstrukcije pri zadatim uslovima. U teoriji optimalnog projektovanja, optimizacijom se odredjuju konstruktivni parametri (geometrija) koji definišu ekstremna svojstva (minimum-maksimum) posmatranih mašina.

OPTIMIZACIJA je u matem. smislu, proces nalaženja uslova koji daju ekstremne vrednosti funkcija cilja. OPTIMIZACIJA je primenjena naučna disciplina koja metodama matematičkog programiranja, varijacionog računa, teorijom optimalnog upravljanja i metodama teorijske mehanike, definiše tražena tehnička svojstva konstrukcija.

OSTALE OBLASTI: Teorija optimalnog upravljanja, Teorija dinamički optimalnih konstrukcija, Stabilnost mašinskih sistema, Teorija otkaza (pouzdanost), su deo savremene teorije optimalnog projektovanja i predstavljaju nadgradnju osnovne teorije.

ISTORIJSKI POSMATRANO: tri etape:

• Period zdravog razuma i intuicije, • Period inženjerskih rešenja i • Period čisto analitičkih rešenja i tehničke kibernetike.

MATEMATIČKE PODLOGE OPTIMALNOG PROJEKTOVANJA:

OBLASTI: Klasična i numerička matematika, računarske i informacione tehnologije. Newton-a i Leibnitz-a (1646-1716), su postavili osnove diferencijalnog računa. U oblasti varijacionog računa, prve radove su dali Bernoulli, Euler (1707-1783) i Lagrange (metoda Lagranžeovih množilaca). Cauchy je postavio koncept neograničenog silaznog "spusta" ka minimumu. U oblasti numeričkih metoda (Velika Britanija): Dantzig je 1947. razvio metod optimizacije problema linearnog programiranja, Bellman je razvio princip optimalnosti kod dinamičkog programiranja, Kuhn i Tucker su 1951. definisali uslove za egzistenciju rešenja optimizacije.


Jedna opšta klasifikacija metoda optimizacije operacionih istraživanja prema [40]:

Slika 1.1 Metode optimizacije u širem smislu

1.2 METODE OPTIMIZACIJE U MAŠINSTVU ZAŠTO TOLIKO METODA: Jedinstven metodološki postupak za optimizaciju konstrukcija ne postoji jer i

sami zadaci nemaju jednak matematički model. Različiti matematički zahtevi proističu iz različitih matematičkih formulacija funkcija cilja i funkcija ograničenja.

Metode u mašinstvu optimalnog projektovanja konstrukcija, mogu se prokomentarisati:

Metoda diferencijalnog programiranja je klasična metoda analitičke algebre kod koje se

diferenciranjem konveksnih funkcija cilja i funkcija ograničenja, dobija ekstremum. Metode varijacionog računa se koriste kod funkcija cilja formulisanih u integralnom obliku. Metoda maksimuma se koristi kod funkcija cilja (FC) formiranih u obliku diferencijalnih jednačina sa ograničenjima u vidu nejednačina. Primenjuje se kod sinteze optimalnog upravljanja.

Metode linearnog programiranja [18] se široko koriste u planiranju i organizaciji proizvodnih sistema.

Poznata metoda linearnog programiranja je Simplex metoda [38], Koristi se za rešavanje zadataka optimalnog rasporeda (borbenih sredstava, transportnog problema itd). Metode linearnog programiranja se mogu primeniti u optimalnom projektovanju ako je moguća linearna aproksimacija problema. To je onda linearno aproksimativno programiranje.

Metode nelinearnog programiranja [8] su osnovne metode za optimalno projektovanje konstrukcija u tehnici jer su funkcije cilja i funkcije ograničenja uglavnom nelinearne prirode. Složenost ili prekidnost funkcija koje opisuju problem, zahteva poboljšanje numeričke forme problema, pa se u tim slučajevima koriste metode nelinearnog aproksimativnog programiranja.

KLASIFIKACIJA ZADATAKA OPTIMIZACIJE: Zadaci sa i bez ograničenja.

Matematičke metode: metode bezuslovne i metode uslovljene minimizacije.

Pregled metoda za uslovljeno nelinearno programiranje, pokazuje slika 1.3.


Slika 1.3 Metode uslovljenog nelinearnog programiranja

1.3 MATEMATIČKE OSNOVE OPTIMIZACIJE FUNKCIJA CILJA: Cilj optimalnog projektovanja je funkcija nezavisnih parametara optimizacije zi:

)z,,z,z,(z(z) n321F = FC K (1.3.1)

Rezultat optimizacije je ekstremna vrednost funkcije cilja:

EXTR)z()z( FCFC =∗ (1.3.2)

Ekstremna vrednost funkcije cilja odredjuje specifične osobine projektovane konstrukcije, zbog čega se definiše optimalnom. Parametri optimizacije zi mogu biti različite fizičke i vremenske prirode. FUNKCIJE OGRANIČENJA Gj. U matematičkom smislu, mogu biti različitog oblika: polinoma, diferencijalnih i integralnih jednačina i mogu se uopšteno definisati:

)z,,z,z,zj()zj( n321G = G rK

rrrr (1.3.3)

Funkcije ograničenja: Opšte (metrički prostor) i posebne (fizičke osobine). Na osnovu ovako definisanih funkcija cilja i funkcija ograničenja, zadatak optimizacije u matematičkom smislu može se definisati zahtevom nalaženja takvih vrednosti nezavisnih parametara zi (u n-dimenzionom euklidskom prostoru Z), koje funkciji cilja FC, uz ograničenja Gj (j=1÷q), daju ekstremnu vrednost:

{ } { } q)-1=(j 0, G ,Rz = Z, Zz ,FCmin j(z)n

)z( ≥∈∈

MATEMATIČKI USLOV: rešivosti ovog zadatka je neprekidnost i diferencijabilnost funkcija, što se

u mašinskim sistemima uglavnom obezbedjuje vezama, uslovima sprezanja, kontinualnošću prostiranja napona i deformacija kroz kontinuum.


GLOBALNI OPTIMUM: Tačka Z)z( ∈∗r , je optimalna ako je )z()z(

FCFC ≤∗ za svako z ∈ Z.

Ovako odredjena tačka minimizacijom se naziva globalni optimum. VIŠE EKSTREMUMA: Složene funkcije cilja konveksnog tipa, mogu da imaju više ekstremuma.

Jedan ekstremum je najizraženiji i to je globalni, a ostali su lokalni z . Funkcije cilja sa više izraženih ekstremuma u matematičkom programiranju, nazivaju se multimodalnim funkcijama. Slika 1.4 interpretira neke od navedenih pojmova u 3D prostoru.

c. Multimodalna funkcija FC(z)

b. Sedlasta povrsina FC(z)

d. Jako izrazeni ekstremi FC(z)

a. Konveksna funkcija FC(z)

Slika 1.4 Geometrijska interpretacija funkcija cilja INVERZIJA ZADATKA: U realizaciji optimizacije moguće je tražiti minimume ili maksimume funkcije

cilja. Problem maksimizacije funkcije cilja FC1(z) u skupu Z, svodi se na problem minimizacije funkcije FC2(z) posredstvom relacije:

)z(1)z(2 FCFC −= (1.3.5)

USLOVE EGZISTENCIJE MINIMUMA definiše Slater-ov uslov i Kuhn-Tucker-ova teorema [38]. 1.4 ETAPE OPTIMALNOG PROJEKTOVANJA Postupak optimizacije konstrukcija ima strategiju koja se može sagledati sa slike 4.5. Prvo se opisno definiše optimizacioni zadatak (etapa 1: DEFINISANJE ZADATKA), čime se utvrdjuju nezavisni parametri i cilj optimizacije sa realnim ograničenjima zadatka. Naredna etapa je izbor kriterijuma optimizacije - formulacija karaktera funkcije cilja. Kriterijumi optimizacije mogu biti: tehničke, ekonomske i tehno-ekonomske prirode.


Slika 1.5 Etape procesa optimizacije KRITERIJUMI OPTIMIZACIJE: Mogu biti potpuno definisani. Nasuprot tome kod složenih procesa, kriterijumi mogu dati različite ishode. Prema načinu vrednovanja, mogući su izbori sledećih kriterijuma:

• Deterministički kriterijumi, • Kriterijumi statističke verovatnoće i • Kriterijumi za uslove konfliktnih situacija.

RELATIVNI KRITERIJUMI OPTIMIZACIJE: Primena univerzalnih kriterijuma (najopštijih formulacija) nije moguća zato što to usložava računski aparat, uvećava broj parametara i zahteva iznova verifikaciju pouzdanosti matematičkog modela. Iz tih razloga, kod kompleksnih tehničkih optimizacija, izbor funkcije cilja nije strogo matematički već predstavlja kompromis mnoštva uticajnih faktora proisteklih iz matematičkog modeliranja, eksperimentalnih rezultata i intuitivnih opažanja. Ovako formirani kriterijumi optimalnosti su takozvani relativni kriterijumi optimalnosti. OPRAVDANOST: Sastavljanje kriterijuma optimalnosti je besmisleno za slučaj postojanja dovoljno tačnih matematičkih modela. Kod mnogih optimizacionih zadataka, ocena kvaliteta rešenja se ne vrši na osnovu samo jednog, već više kriterijuma. Tako formirane funkcije cilja predstavljaju kompleks kriterijuma optimizacije parcijalnih kriterijuma (ciljeva) optimalnosti. Tu složenost je moguće vektorski definisati izrazom (4.4.1):

{ }( )m3210 CF,,CF,CF,CFLCFr

Krrrr

= (1.4.1)

U kompleksu kriterijuma, potrebno je definisati važnost pojedinačnih kriterijuma što se realizuje uvodjenjem težinskih koeficijenata λj. Takva proizvoljna funkcija ima oblik:

( )∑∑ =λ−⋅λ=λ

1 ;)FC

FC1(L j

2

EXTR )z(j

)z(jm

jj),CF( r

rrr

(1.4.2)

IZBOR METODE OPTIMIZACIJE: Zavisi (etapa 4) od prirode optimizacionog problema (deterministički, stohastički, statički, dinamički), matematičke formulacije zadatka (linearan, nelinearan, sa ili bez ograničenja, sa ili bez izvoda), broja kriterijuma optimizacije (jednokriterijumski, višekriterijumski) i pristupa (analitičke, gde ima matematičke funkcije cilja i eksperimentalne, gde nema matematičke formulacije funkcije cilja). Izbor metode se završava izborom softvera (algoritma). REALIZACIJA OPTIMIZACIONE PROCEDURE (etapa 6: programska realizacija) je izvršni zadatak i realizuje se računarom kod najvećeg broja optimizacionih zadataka. Kako matematički algoritmi za optimizaciju obavljaju uglavnom iterativne postupke, ova etapa zahteva brze hardverske platforme, visoku numeričku tačnost i kapacitet obrade.


KLASIČNE METODE DIFERENCIJALNOG PROGRAMIRANJA Zadaci bezuslovnih minimizacija U tehničkom projektovanju koriste se metode bezuslovnih optimizacija kod zadataka gde nema funkcija ograničenja. U slučajevima gde postoje ograničenja, moguće je primeniti ove metode uz obaveznu interpretaciju rešenja (grafičku, funkcionalnu, logičku) čime se ocenjuje kvalitet rešenja. Takav pristup očigledno ne vodi brzom rešavanju, ali omogućuje lakše kretanje kroz n-dimenzioni prostor nepoznatih. Metode diferencijalnog programiranja zahtevaju da funkcije cilja budu neprekidne i diferencijabilne u oblasti rešenja. Koriste se kod zadataka sa malim brojem parametara i malom složenošću funkcija. U opštem slučaju se dobija sistem nelinearnih algebarskih jednačina koji se rešava računarom, nekom od numeričkih i aproksimativnih metoda. Klasične metode diferencijalnog programiranja definišu potreban uslov traženja ekstremuma jednačinama:

( )n,,3,2,1i,0z

FC

i

)z(K==

∂

∂

(2.5.1)

Karakter ekstremuma (minimum i maksimum) se ispituje proverom vrednosti (znaka) drugog izvoda za nadjeno rešenje iz uslova (2.5.1). Tamo gde je ispunjen uslov (2.5.2) radi se o minimumu, a gde je ispunjen uslov (2.5.3) o maksimumu.

( ),n,1,2,3,=i,0z

FC2i

)z(2

K≥∂

∂

(2.5.2)

( )n,1,2,3,=i,0z

FC2i

)z(2

K<∂

∂

(2.5.3)

Matrica (2.5.4), u slučaju minimuma, mora biti pozitivno odredjena u ∈ okolini rešenja ∗zr :

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=

nn2n1n

n22221

n11211

2n

)z(2

2n

)z(2

1n

)z(2

n2

)z(2

22

)z(2

12

)z(2

n1

)z(2

21

)z(2

21

)z(2

aaa

aaaaaa

z

FCzz

FCzz

FC

zzFC

z

FCzz

FC

zzFC

zzFC

z

FC

A

L

MLMM

L

L

L

MLMM

L

L

(2.5.4)

U matrici (2.5.4), sa aik su označeni parcijalni izvodi funkcije cilja po indeksiranim nezavisnim parametrima zk. Uslov pozitivne odredjenosti definiše se nalaženjem sopstvenih vrednosti p1, p2, p3, ..., pn, polinoma izvedenog iz matrice A, koji je dat relacijom (2.5.5):

0

)pa(aa

a)pa(aaa)pa(

nn2n1n

n22221

n11211

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

L

MLMM

L

L

(2.5.5)


Ako su sva rešenja p1, p2, p3, ... , pn veća od nule, matrica je pozitivno definitna (odredjena), pa posmatrani model ima jako izražen ekstremum. U slučaju da su neka rešenja jednaka nuli, tada se matrica definiše kao pozitivno poluodredjena i analizom rešenja ove jednačine, moguće je, zavisno od zadatka, odrediti mali ili veliki relativni ekstremum kao i apsolutni (globalni) ekstremum. Dovoljan uslov egzistencije minimuma može se klasično definisati Silvestrovim kriterijumom (2.5.6). U slučaju maksimuma, relacijama (2.5.7):

0

aaa

aaaaaa

,0aaaaaaaaa

,0aaaa

,0a

nn2n1n

n22221

n11211

K

333231

232221

131211

32221

12112111 >

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=∆>⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=∆>⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=∆>=∆

L

MLMM

L

L

0 ,0 ,0,0 ,0 ,0

642

531≥∆≥∆≥∆≤∆≤∆≤∆

(2.5.7)

Metoda Lagranžeovih množilaca Metoda Lagrange-ovih množilaca se primenjuje na više različitih postupaka determinističkog i stohastičkog traženja minimuma. U oblasti diferencijalnog programiranja, ova metoda se može upotrebiti za traženje ekstremuma uz prisustvo j=1÷m funkcija ograničenja Gj:

m),1,2,3,=(j ,0G=G )nz,,3z,2z,1zj()zj( KrK

rrrr = (2.5.8)

Nalaženje potrebnih uslova pri kojima egzistira rešenje, može se utvrditi primenom koeficijenata λj - Lagrange-ovi množioci. Lagrange-ova funkcija ima oblik:

)z( jm

1jj)z()z( GFCL rrr ⋅λ+= ∑

=

(2.5.9)

Uslov egzistencije ekstremuma: 0

zL

i

)z( =∂

∂

(4.5.10)

Uslovi (2.5.8) i (2.5.10) obrazuju sistem od m+n jednačina iz koga se odredjuje z nepoznatih i m Lagrange-ovih množilaca λj, za koje imamo ekstremnu vrednost funkcije FC(z), tj. EXTR )z()z( FCFC rr = . Karakter ekstremuma, odredjuju se na osnovu znaka drugog diferencijala Lagrange-ove funkcije:

∑ ∑ ∑= = = ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂⋅∂

∂⋅λ+

∂⋅∂

∂=

∂⋅∂

∂ n

1i

m

1k ki

)z(2m

1jj

ki

)z(2

ki

)z(2

zzG

zzFC

zzL

(2.5.11)


PRIMER: Odrediti optimalnu geometriju cilindričnog rezervoara zapremine 10 m3, tako da se utroši minimalno materijala.

R

H

POSTAVKE ZADATKA: Površina omotača rezervoara je funkcija cilja optimizacije. Ova funkcija je

definisana sa dva parametra optimizacije, poluprečnikom omotača R i visinom rezervoara H. Funkcije su neprekidne i diferencijabilne. Kako postoji jedno ograničenje (zapremina rezervoara), problem ima tri nepoznate (R,H,λ), pa se shodno tome može koristiti analitička metoda diferenc. programiranja (LG).

Funkcija cilja (površina rezervoara) i njeni izvodi po nepoznatim parametrima:

HR2R2PFCFCFC 2)H,R()2z,1z()z( ⋅π⋅⋅+π⋅⋅====

π⋅⋅=∂

∂⋅π⋅+π⋅⋅=

∂

∂R2

HFC

,H2R4R

FC )H,R()H,R(

Funkcija ograničenja je zapremina:

010HRVHRG ,HRV 22 )H,R(

2 )H,R( =−⋅π⋅=−⋅π⋅=⋅π⋅=

π⋅=∂

∂⋅π⋅⋅=

∂

∂ 2)H,R()H,R( RH

G ,HR2

RG

POSTAVKA: Sada je moguće oformiti sistem jednačina za rešavanje:

010HR,0G

0RR2,0H

G

H

FC

0HR2H2+ R4,0R

G

R

FC

2)H,R(

2)H,R()H,R(

)H,R()H,R(

=−⋅π⋅=

=π⋅⋅λ+π⋅⋅=∂

∂⋅λ+

∂

∂

=⋅π⋅⋅⋅λ+⋅π⋅π⋅⋅=∂

∂⋅λ+

∂

∂

Opšta rešenja zadatka optimalnosti mase cilindričnog rezervoara:

.

2V

V=H ,

2V2 ,

2V=R

32

3

3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π⋅⋅ππ⋅

−=λπ⋅


METODE NELINEARNOG PROGRAMIRANJA

U inženjerskim zadacima projektovanja optimalnih mašinskih sistema, koriste se dve grupe metoda nelinearnog matematičkog programiranja:

1. Metode traženja minimuma po strogim procedurama. To su determinističke metode. 2. Metode do čijih se rešenja dolazi metodama slučajnog traženja (stohastičke metode).

Druga podela po pristupu IZMENE PARAMETARA je:

1. Metode jednodimenzionog traženja gde se menja samo jedan parametar i za njegovu promenu utvrdjuje vrednost funkcije cilja.

2. Procedure višedimenzionog traženja.

Jednodimenzioni zadaci minimizacija (skeniranja): Kod formalnog jednodimenzionog pretraživanja hiper prostora (metode skeniranja), nezavisni parametri se određuju u dopustivoj oblasti za÷zb i mogu se diskretno menjati sa stalnom ili promenljivom dužinom koraka Hn. Vrednost funkcije cilja se odredjuje za diskretne vrednosti nezavisno promenljive. Izmedju dve susedne vrednosti zK i zK+1, nepoznata je vrednost funkcije cilja. Izabrani korak promene nezavisnih parametara Hn predstavlja interval neodredjenosti, a vrednost funkcije cilja poznata je samo na granicama tog intervala. Broj tačaka nezavisne promenljive n u dopustivom segmentu za÷zb može biti veći ili manji što zavisi od karaktera FC. Prema tome, interval neodredjenosti može se definisati:

1nzz2H ab

n −−

⋅= (2.6.1)

z

FC

∆z

∆FC

Hn

minz

zbza

OSOBINA: Ušteda mašinskog vremena rada računara zahteva primenu većeg (krupnijeg) koraka - intervala

neodredjenosti Hn. Sa druge strane, veliki interval neodredjenosti umanjuje kvalitet nadjenog ekstremuma, jer se on može naći unutar ovog intervala. Prema tome, optimalan izbor intervala neodredjenosti je:

( )[ ]MINMAXKn hH = (2.6.2) PROCEDURA: Metoda jednodimenzionog traženja se zasniva na podeli dozvoljene oblasti nezavisne

promenljive (a,b) na n tačaka (jednako udaljenih) i utvrdjivanju vrednosti funkcije cilja u njima. Poredjenjem vrednosti FC u diskretnim tačkama, odredjuje se položaj traženog ekstremuma. Očigledno da ova metoda nema privilegovanih pravaca i smerova promene nezavisne promenljive pa se, stoga, naziva metodom formalnog-pasivnog traženja.


U identifikovanoj oblasti rešenja, smanjenjem koraka nalazi se bolje rešenje. Na taj način se interval neodredjenosti značajno smanjuje, što daje za praktične inženjerske konstrukcije kvalitetna rešenja. Ovakav postupak daje mogućnost rešavanja zadataka i sa većim brojem nezavisnih parametara. Kod POSTUPNIH PROCEDURA MINIMIZACIJE, postupak izbora naredne vrednosti promenljive je usaglašen sa rezultatime prethodne iteracije. Ove metode su mnogo efikasnije jer se u svakom koraku iterira ka ekstremumu. Kod formalnih metoda to nije slučaj jer se njima pretražuje sav prostor i uporedjuju rešenja. Najpoznatije metode jednodimenzionog postupnog traženja su metoda polovljenja intervala neodredjenosti, Fibonaci metoda, metoda zlatnog preseka i druge. Ove metode su obično u sastavu programskih paketa za minimizaciju i koriste se kada pristup mnogodimenzionog traženja ne daje rezultate.

Mnogodimenzioni zadaci minimizacije bez ograničenja Iako su kod praktičnih zadataka gotovo uvek prisutna ograničenja, ove metode se mogu koristiti za analizu oblasti rešenja. Njihovo obeležje je uvećana računarska procedura, što u slučaju velikog broja nezavisnih parametara dovodi do neuspeha nalaženja rešenja. Kao i kod jednodimenzionih zadataka, mnogodimenzioni zadaci se mogu realizovati metodama pasivnog traženja i metodama postupnog traženja. METODA PASIVNOG TRAŽENJA odlikuje se podelom dopustive oblasti nezavisnih parametara na jednake intervale neodredjenosti. Na ovaj način, izgradjuje se mreža u n-dimenzionom euklidskom prostoru i u čvornim tačkama izračunava vrednost funkcije cilja FC. Slika 2.6 ilustruje dvodimenzioni prostor, podeljen intervalima neodredjenosti na podoblasti.

Z2=1

=1

Interval neodredjenosti

Oblast pretra`ivanja (odredjivanje FC u ~vorovima mre`e)

Z2

Z1Z1

Slika 2.6 Mreža tačaka dvodimenzionog prostora u kojima se odredjuje FC(z)

NORMIRANJE: Uslov stabilne procedure se obezbedjuje normiranjem. To je deljenje nezavisnih parametara zi sopstvenim intervalom promene vrednosti a-b, čime se prelazi na normirane vrednosti z :

1,2,3,...)(i ,abazz

ii

iii =

−−

= (2.6.3)

Primer METODA PASIVNOG TRAŽENJA U MINIMIZACIJI MASE NOSAČA Posmatrajmo kutijasti nosač dužine L, izradjen od debelih limova stabilne geometrije preseka od lokalnih nestabilnosti, slika 2.7. Nosač je opterećen na slobodnom kraju silama FH i FV. Debljina zida je fiksna, konstantna. Potrebno je naći optimalnu geometriju preseka BxH, tako da je masa nosača minimalna. Dat je materijal (čelik), raspon L, sile FH i FV i dozvoljeni ugib nosača f0.


L

δ

δ

Slika 2.7 Kuijasti nosač tražene optimalne geometrije BxH Izbor metode, nezavisnih parametara i odredjivanje funkcije cilja Zadatak se može rešiti numerički, analizom mogućih kombinacija nezavisnih parametara preseka, kada je njihov broj konačan. Postupak se onda svodi na primenu metoda pasivnog višedimenzionog traženja, pretraživanjem ograničene oblasti rešenja brzim računarima. Prednost ove metode je u analizi tačnog modela (bez aproksimacija) i jednostavnosti modela traženja. Sa druge strane, potencijalan broj kombinacija diskretne geometrije može biti prihvatljiv za računar. Za funkciju cilja je izabrana minimalna masa glavnog nosača čime se problem svodi na traženje minimalne zapremine. Približna zapreminu sandučastog nosača – funkcija cilja:

δ⋅+⋅≈⋅= )HB(2LAFC )H,B()H,B( (2.6.4) Funkcija ograničenja najvećih statičkih napona u preseku G1. Funkcija ograničenja je izvedena sa aproksimacijom da drugi naponi nisu dominantni (normalni i tangentni naponi u šavu zavarenog spoja). Najveći totalni napon u korenu kutijastog nosača rezultat je složenog naprezanja od savijanja i transferzalnih sila. Normalni naponi σxi, σyi potiču od naprezanja na savijanje.

Smičući naponi τsH i τsV potiču od transverzalnih - smicajnih sila. Funkcija ograničenja G1=σU1 najvećeg uporednog napona izračunava se primenom hipoteze Huber-Misses-Hencky (1904-1924) za ravanski problem, relacija (4.6.5a). Sredjenu funkciju ograničenja pokazuje (4.6.5b):

2st

2yixiui )(3)( τ+τ⋅+σ+σ=σ (2.6.5a)

AF

AF3

2B

ILF

2H

ILFG doz

22

VS

V2

HS

H2

yi

H

xi

V1 σ≤

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅

⋅+⋅

⋅=

(2.6.5b)

Realizacija zadatka optimizacije: Početne vrednosti parametara optimizacije H(0), B(0), oko kojih će bit formirana oblast pretraživanja (Hmin-Hmax, Bmin-Bmax) se odredjuju iz preporučenih vrednosti geometrije preseka nosača, na bazi potrebnih momenata inercije odredjenih iz spoljašnjih uticaja. Početne vrednosti nepoznatih optimalnih parametara su:

y2I3

xI5yI3

B ,y2

I3H x

x

y)0(

x)0( ⋅δ⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅=

⋅δ⋅⋅

= (4.6.13)


δ max

max Ovako definisana početna geometrija, zahteva proširenje na oblast pretraživanja, do iskustveno ekstremnih granica u kojima može rešenje da egzistira HMAX, HMIN, BMAX, BMIN. Oblast promene visina i širina nosača su izabrane u slobodnim granicama (HMAX-HMIN) = 50 cm, (BMAX-BMIN) = 50 cm. Korak promene širine i visine nosača, B i H, ∆H=∆B=0.5 cm, daje dovoljnu gustinu potencijalnih rešenja. Potencijalan broj osnovnih parametara preseka nosača (n1÷n2) i ukupan broj mogućih kombinacija N: n1 = (HMAX - HMIN )/ ∆H + 1 = (50)/0.5+1=101 n2 = (BMAX - BMIN )/ ∆B + 1 = (50)/0.5+1=101

.10201101101nnN 21 =⋅=⋅= (2.6.15) Algoritam programa za optimizaciju, dat je u Teoriji projektovanja konstrukcija računarom, autora M.Jovanovića, Mašinski fakultet Niš. Program je izvodljiv na PC-ju i zahteva 50 (kbyte) operativne memorije. Rezultate optimizacija pokazuje tabela T.2. Pored dobijenih geometrijskih karakteristika preseka H, B, data je i površina preseka A, ε - koeficijent rezervi naponskog iskorišćenja preseka, odgovarajući naponi σ1, σ4 u tačkama 1 i 4, i vrednost funkcije cilja.

Nosivost FV`=26 kN, FH =26 kN, Raspon L=1.0 m, lim δ =10 mm, Č 0561, f0=2 mm. Dozvoljeni naponi za Č 0561 σdoz= 24 kN/cm2, σSAVA= 17 kN/cm2

H B δ δ1 A ε σ1 σ4 FC

(mm) (mm) (mm) (mm) (cm2) (%) (kN/cm2) (kN/cm2) (cm3) 150. 150. 10. 10. 56. 0.9 14.5 14.5 5600

Generacija 2007 Optimalno projektovanje u mašinstvuttl.masfak.ni.ac.rs/CAD/Predavanje-11...

Documents

Transcript of Generacija 2007 Optimalno projektovanje u mašinstvuttl.masfak.ni.ac.rs/CAD/Predavanje-11...