G02. Estática Estructural. Momento de Inercia.pdf

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Asignatura: Esttica Estructural

Cdigo: CBES01/G02/Momento de Inercia

Direccin de Construccin Pgina 1

Unidad de Aprendizaje N3:

Centro de Gravedad y Momento de Inercia.

Aprendizajes Esperados

1. Calcula el momento de inercia de un cuerpo, segn su seccin, relacionndolo con perfiles

estructurales que forman parte de una Obra de Construccin.

1. OBJETIVOS.

El objetivo de esta actividad es:

- Calcula el momento de inercia de un cuerpo, segn su seccin, analizando el efecto de la

magnitud del momento de inercia de cuerpos geomtricos simples que representen

estructuras de una Obra de Construccin.

2. ANTECEDENTES GENERALES.

Momento de una Fuerza.

El momento de una fuerza con respecto a un punto o eje proporciona una medida de la tendencia

de la fuerza a ocasionar que un cuerpo gire alrededor del punto o eje.

Por ejemplo, considere la fuerza horizontal Fx, que acta perpendicularmente al mango de la llave

y est localizada a una distancia dy del punto O.

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La fuerza tiende a girar el tubo alrededor del eje z. Entre mayor es la fuerza o la distancia dy,

mayor es el efecto de rotacin. A esta tendencia a la rotacin causada por Fx ocasionalmente se le

llama torque, pero ms a menudo se denomina momento de una fuerza o simplemente momento

(Mo)z.

El eje de momento (z) es perpendicular al plano sombreado (x-y) que contiene Fx y dy, y que este

eje interseca al plano en el punto O.

Ahora si aplicamos la fuerza Fz a la llave. Esta fuerza no girar el tubo con respecto al eje z .

En vez de eso, tiende a girarlo alrededor del eje x. Tenga en mente que aunque pueda no ser

posible "girar" realmente el tubo de esta manera, Fz an crea la tendencia de rotacin y se

produce as el momento (Mo)x' Como antes, la fuerza y la distancia dy se encuentran en el plano

sombreado (y-z) que es perpendicular al eje de momento (x).

De igual forma, si una fuerza Fy es aplicada a la llave, no se produce ningn momento con respecto

al punto O.

Esto resulta en una ausencia de giro ya que la lnea de accin de la fuerza pasa por O y, por tanto,

ninguna tendencia a rotar es posible.

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Como conclusin el momento Mo con respecto al punto O, o con respecto a un eje que pase por O

y sea perpendicular al plano, es una cantidad vectorial puesto que tiene magnitud y direccin

especficas.

Magnitud. La magnitud de Mo es:

=

Donde d es referido como brazo de momento o distancia perpendicular del eje en el punto O a la

lnea de accin de la fuerza. Las unidades de la magnitud del momento son el producto de la

fuerza multiplicada por la distancia, esto es, N . m o lb . pies.

Direccin. La direccin de Mo ser especificada usando la "regla de la mano derecha".

Para hacer esto, los dedos de la mano derecha son enrollados en forma tal que sigan el sentido de

rotacin que ocurrira si la fuerza pudiese rotar alrededor del punto O. El pulgar seala entonces a

lo largo del eje de momento de manera que da la direccin y el sentido del vector momento, que

es hacia arriba y perpendicular al pIano sombreado que contiene a F y d.

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El sentido de rotacin, siempre puede ser determinada observando en qu direccin "orbitara" la

fuerza presente alrededor del punto O.

El momento siempre acta con respecto a un eje que es perpendicular al plano que contiene F y d,

Y que este eje interseca al plano en el punto (O).

Momento resultante de un sistema de Fuerzas Coplanares.

Si un sistema de fuerzas se encuentra en un plano x-y, entonces el momento producido por cada

fuerza con respecto al punto O estar dirigido a lo largo del eje z.

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En consecuencia, el momento resultante MRo del sistema puede ser determinado sumando

simplemente los momentos de todas las fuerzas algebraicamente ya que todos los vectores

momento son colineales. Esta suma vectorial puede escribirse en forma simblica como:

+ =

La flecha curva que va en sentido contrario al de las manecillas del reloj y trazada junto a la

ecuacin indica que, por la convencin escalar de signos, el momento de cualquier fuerza ser

positivo si est dirigido a lo largo del eje + z, mientras que un momento negativo est dirigido a lo

largo del eje -z.

Producto Cruz.

El momento de una fuerza ser formulado usando vectores cartesianos en la siguiente seccin. Sin

embargo, antes de hacerlo, es necesario ampliar nuestro conocimiento del lgebra vectorial e

introducir el mtodo del producto cruz de la multiplicacin vectorial.

El producto cruz de dos vectores A y B da el vector e, el cual se escribe como:

=

y se lee "C es igual a A cruz B".

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Magnitud. La magnitud de e se define como el producto de las magnitudes de A y B Y el seno del

ngulo entre sus colas (0 180).

As, C = AB sen .

Direccin. El vector e tiene una direccin perpendicular al plano que contiene a A y B de manera

tal que e se especifica mediante la regla de la mano derecha; es decir, enrollando los dedos de la

mano derecha desde el vector A (cruz) hacia el vector B, el pulgar seala entonces la direccin de

C.

Conociendo la magnitud y la direccin de C, podemos escribir:

= = ( sen )

Donde el escalar AB sen define la magnitud de C y el vector unitario Ue define la direccin de C.

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Principio de Momentos.

Un concepto usado a menudo en mecnica es el principio de momentos, al cual se le llama a veces

teorema de Varignon ya que fue originalmente desarrollado por el matemtico francs Varignon

(1654-1722).

Este principio establece que el momento de una fuerza con respecto a un punto es igual a la suma

de los momentos de las componentes de la fuerza con respecto al punto. La prueba se obtiene

directamente de la ley distributiva del producto cruz. Para mostrar esto, considere la fuerza F y

dos de sus componentes rectangulares, donde F = F1 + F2.

Tenemos:

= ( 1) + ( 2) = (1 + 2) =

Este concepto tiene importantes aplicaciones en la resolucin de problemas y pruebas de los

teoremas que siguen, ya que es a menudo ms fcil determinar los momentos de las componentes

de una fuerza que el momento de la propia fuerza.

Aspectos Importantes:

- El momento de una fuerza indica la tendencia de un cuerpo a girar con respecto a un eje

que pasa por un punto especfico O.

- Usando la regla de la mano derecha, el sentido de rotacin queda indicado por los dedos y

el pulgar es dirigido a lo largo del eje de momento, o lnea de accin del momento.

- La magnitud del momento se determina mediante Mo = F d, donde d es la distancia

perpendicular o ms corta desde el punto O hasta la lnea de accin de la fuerza F.

- En tres dimensiones, use el producto cruz para determinar el momento, es decir, Mo = r X

F. Recuerde que r est dirigido desde el punto O hacia cualquier punto sobre la lnea de

accin de F.

- El principio de momentos establece que el momento de una fuerza con respecto a un

punto es igual a la suma de los momentos de las componentes de la fuerza con respecto al

punto. ste es un mtodo muy conveniente para usarlo en dos dimensiones.

Ejemplo:

Ejercicio.

Determinar la intensidad de la fuerza F4 segn los datos del grfico.

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Datos:

F1 = 80 Kgf

F2 = 120 Kgf

F3 = 75 Kgf

d1 = 60 cm + 70 cm = 130 cm = 1,30 m

d2 = 70 cm = 0,70 m

d3 = 80 cm + 1,40 m = 0,80 m + 1,40 m = 2,20 m

d4 = 1,40 m

Desarrollo:

Planteando la condicin de equilibrio.

= 0

(120 0,7 ) + (80 1,3 ) (4 1,4 ) (75 2,2 ) = 0

(4 1,4 ) = (120 0,7 ) + (80 1,3 ) (75 2,2 )

4 =(120 0,7 ) + (80 1,3 ) (75 2,2 )

1,4 = 16,43

Respuesta.

La intensidad de la fuerza F4, para que el sistema est en equilibrio es 16,43 kgf

Centro de Gravedad.

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Centro de gravedad. El centro de gravedad G es un punto que ubica el peso resultante de un

sistema de partculas.

Si consideramos un sistema de n partculas fijo dentro de una regin del espacio, los pesos de las

partculas pueden reemplazarse por una nica (equivalente) resultante con un punto de

aplicacin G bien definido.

Centro de Gravedad

- Peso resultante = peso total de las n partculas

=

- Suma de los momentos de los pesos de todas las partculas respecto a los ejes x, y, z es el

momento del peso resultante respecto a esos ejes.

- Suma de momentos respecto al eje x,

= 1 1 + 2 2 + +

- Suma de momentos respecto al eje y,

= 1 1 + 2 2 + +

Aunque los pesos no producen momento sobre el eje z, podemos rotar el sistema de coordenadas

90 respecto al eje x (o y) con las partculas fijas y sumar los momentos respecto al eje x (o y),

= 1 1 + 2 2 + +

Podemos generalizar estas frmulas, y escribirlas simblicamente en la forma:

=

=

=

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Centro de Masas

- Ya que el peso es W = mg

=

=

=

- Esto implica que el centro de gravedad coincide con el centro de masas, las partculas

tienen peso solo bajo la influencia de una atraccin gravitatoria, mientras que el centro de masas es independiente de la gravedad.

Un cuerpo rgido est compuesto por un nmero infinito de partculas, si consideramos una partcula arbitraria de peso dW.

=

Centroide de un Volumen Consideremos un objeto subdividido en elementos de volumen dV. Para la localizacin del centroide,

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=

=

=

Centroide de un rea Para el centroide de la superficie de un objeto, tal como una placa o un disco, subdividimos el rea en elementos diferenciales dA

=

=

=

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Centroide de una Lnea Si la geometra de un objeto toma la forma de una lnea, el balance de los momentos de cada elemento diferencial dL respecto a cada eje, resulta.

=

=

=

Cuerpos Compuestos. Consisten en una serie de cuerpos ms simples (ej. rectangulares, triangulares o semicirculares) conectados entre s Un cuerpo puede ser seccionado en sus partes componentes, para un nmero finito de pesos tenemos:

=

=

=

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PROCEDIMIENTO DE ANLISIS La ubicacin del centro de gravedad de un cuerpo o del centroide de un objeto geomtrico compuesto representado por una lnea, un rea o un volumen, puede ser determinada usando el siguiente procedimiento. Partes componentes.

- Mediante un croquis, divida el cuerpo u objeto en un nmero finito de partes componentes que tengan formas ms simples.

- Si una parte componente tiene un agujero, o una regin geomtrica que no contenga material, entonces considrela sin el agujero y a ste como una parte componente adicional con peso o tamao negativos.

Brazos de momento.

- Establezca los ejes coordenados sobre el croquis y determine las coordenadas X, y, Z del centro de gravedad o centroide de cada parte.

Sumatorias.

- Determine X, y, Z aplicando las ecuaciones del centro de gravedad, o las ecuaciones anlogas del centroide.

- Si un objeto es simtrico con respecto a un eje, su centroide se encuentra sobre este eje. - Si se desea, los clculos pueden arreglarse en forma de tablas.

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Ejercicio: Localizar el centroide de la siguiente placa.

Primero es necesario dividir la placa en superficies ms simples y fciles de calcular.

Para simplificar los clculos confeccionamos una tabla.

Placa rea x y x A y A

1 ( 3 . 3)/2=4,5 1 1 4,5 4,5

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2 (2 . 3)= 6 -1,5 1,5 -6 9

3 (1. 1) = 1 -2,5 0,5 -2,5 0,5

Total 11,5 -4 14

Sumatoria.

=

=

4

11,5= 0,348

=

=

14

11,5= 1,217

En Resumen. Centro de Gravedad. Es un punto que ubica el peso resultante de un sistema de partculas. Centro de Masa. Es el punto geomtrico que dinmicamente se comporta como si en l estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. Centroide. Es el punto que define el centro geomtrico de un objeto. MOMENTO DE INERCIA El momento de inercia (smbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso ms general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripcin tensorial es necesaria para el anlisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscpicos. El momento de inercia refleja la distribucin de masa de un cuerpo o de un sistema de partculas en rotacin, respecto a un eje de giro. El momento de inercia slo depende de la geometra del

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cuerpo y de la posicin del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempea un papel anlogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un slido rgido. Momentos de Inercia para reas. El Centroide de un rea se determina por el primer momento de un rea respecto a un eje El segundo momento de un rea respecto a un eje se conoce como momento de inercia El Momento de Inercia se origina siempre que uno relaciona la fuerza normal o la presin (fuerza por unidad de rea con el momento)

Si consideremos el rea A en el plano x-y, el momento de inercia del elemento de rea dA respecto a los ejes x, y resulta:

= 2

=

2

Para el rea completa los momentos de inercia son:

= 2

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= 2

Teorema de los ejes paralelos para un rea Si el momento de inercia para un rea se conoce con respecto a un eje que pasa a travs de su centroide, lo que a menudo es el caso, es conveniente determinar el momento de inercia del rea con respecto a un eje paralelo correspondiente usando el teorema de los ejes paralelos.

Un elemento diferencial dA est ubicado a una distancia arbitraria y' del eje centroidal x', mientras que la distancia fija entre los ejes paralelos x y x' es definida como dy- Puesto que el momento de inercia de dA con respecto al eje x es dIx = (y' + dy? dA, entonces, para toda el rea,

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= (` + )

0 = `2

+ 2 `

+ 2

La primera integral representa el momento de inercia del rea con respecto al eje centroidal Ix. La segunda integral es cero ya que el eje x' pasa a travs del centroide e del rea. Ejemplo. Calcular el momento de inercia respecto al eje x.

El rea compuesta de la figura se obtiene sustrayendo el crculo del rectngulo. Es necesario localizar el centroide de cada parte.

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Tenemos dos figuras un crculo y un rectngulo. Momento de Inercia del Crculo.

= + 2

= 1

4 4

= (1

4 252) + ( 252 752) = 11,4 (106) 4

Momento de Inercia del Rectngulo.

= + 2

= 1

12 3

= (1

12 100 1503) + (100 150 752) = 112,5 (106) 4

El momento de Inercia del rea resultante es:

= 112,5 (106) 4 11,4 (106) 4 = 101,1 (106) 4

Ejercicio: Calcular los momentos de inercia de la seccin rectangular que se muestra a continuacin.

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El clculo del momento de inercia Iy (respecto del eje y) se realiza fcilmente considerando la subdivisin de la seccin segn los mismos diferenciales de rea.

= 2 = 2

0

( ) = [3

3]

0

= 1

3 3

Una vez se ha obtenido el momento de inercia respecto al eje y, se puede transportar al eje

(que pasa por el centroide de la seccin) mediante el teorema de los ejes paralelos:

= (

2)

2

= 1

12 3

3. DESARROLLO

1. Determinar los momentos de Inercia de las siguientes secciones.

- Crculo.

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- Triangulo. - Cuadrado. - Parbola.

2. Una viga en voladizo est cargada como se indica. La viga est empotrada en su extremo izquierdo y libre el derecho. Determinar la reaccin en el empotramiento.

Respuesta: La reaccin en el empotramiento consiste en una fuerza vertical hacia arriba de 1400 N y un par en sentido anti horario de 4000 N m.

3. Determine los momentos de inercia del rea sombreada con respecto a los ejes x y y.

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Respuesta: = , (

) ; = , ()

4. Determine el momento de inercia del rea de la seccin transversal de la viga con respecto

al eje x.

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Respuesta. = , ()

4. INSUMOS

5. EQUIPAMIENTO

6. BIBLIOGRAFA.

- www.portaleso.com

- Mecnica Vectorial para Ingenieros. Esttica 10 edicin. R. C. Hibbeler.

- Fsica Tomo I, SERWAY, Cuarta Edicin. McGRAW HILL

- Mecnica Vectorial para Ingenieros. Esttica. Beer Johnston.

Materiales. Unidad. Cantidad. # Alumnos.

Papel Bond resma 0,25 20

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ALUMNOS

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