FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione...
-
Upload
renzo-valentino -
Category
Documents
-
view
227 -
download
2
Transcript of FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione...
![Page 1: FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione presenta due variabili indipendenti e viene normalmente.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081516/5542eb4c497959361e8b9d9c/html5/thumbnails/1.jpg)
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• Una funzione di più variabili viene indicata come:
con• Se n=2 la funzione presenta due variabili
indipendenti e viene normalmente scritta come:
• La sua rappresentazione grafica si realizza introducendo un sistema cartesiano di riferimento riportando sull’asse verticale (!!!) i valori della variabile dipendente z.
BAf : nRA
),( yxfz
![Page 2: FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione presenta due variabili indipendenti e viene normalmente.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081516/5542eb4c497959361e8b9d9c/html5/thumbnails/2.jpg)
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• Esempio 1• Il grafico della funzione
• è:
xyyyxxz 22 334320
02
46
810
x
02
46
810
y
050
100150200250
![Page 3: FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione presenta due variabili indipendenti e viene normalmente.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081516/5542eb4c497959361e8b9d9c/html5/thumbnails/3.jpg)
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• La funzione di Cobb-Douglas:
• dove:• P=produzione totale• C=produzione unitaria• L=unità di lavoro impiegato• K=unità di capitale investito• =costante compresa tra 0 ed 1
1LCKP
![Page 4: FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione presenta due variabili indipendenti e viene normalmente.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081516/5542eb4c497959361e8b9d9c/html5/thumbnails/4.jpg)
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• Sezionando il grafico di una funzione di due variabili con un piano parallelo al piano xy si ottengono le curve di livello. Considerando la funzione dell’esempio 1 e proiettando le curve di livello sul piano xy si ottiene:
0
2
4
6
8
10
y
2 4 6 8 10x
![Page 5: FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione presenta due variabili indipendenti e viene normalmente.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081516/5542eb4c497959361e8b9d9c/html5/thumbnails/5.jpg)
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• Una funzione è omogenea di grado “s” se:
• La funzione di Cobb-Douglas è omogenea di grado s=1:
•
),(),( yxfvvyvxf s
1)()(),( vLvKCvLvKP
),(1111 LKvPLCKvvLvKCv
![Page 6: FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione presenta due variabili indipendenti e viene normalmente.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081516/5542eb4c497959361e8b9d9c/html5/thumbnails/6.jpg)
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• L’estensione del concetto di limite di una funzione non è immediata. Infatti la modalità di avvicinamento nel piano xy di un punto di coordinate ad un punto di accumulazione per il dominio della funzione non è unica ma anzi può avvenire seguendo un numero infinito di traiettorie. Vale il risultato:
• Il è uguale ad “l” se, per ogni successione che converge a
la successione converge ad “l”.
),( oo yx),( yx
),(),(lim
oo yxyx ),( yxf
),( nn yxn ),( oo yx
),( nn yxfn
![Page 7: FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione presenta due variabili indipendenti e viene normalmente.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081516/5542eb4c497959361e8b9d9c/html5/thumbnails/7.jpg)
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• L’estensione della definizione di derivata di una funzione (continua) non è immediato. Infatti il limite del rapporto incrementale
non ha significato in quanto rapporto di un numero (il numeratore) con una coppia di numeri(il denominatore)!
)0,0(),(lim
yx ),(
),(),(
yx
yxfyyxxf
![Page 8: FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione presenta due variabili indipendenti e viene normalmente.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081516/5542eb4c497959361e8b9d9c/html5/thumbnails/8.jpg)
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• Considerando la variazione della funzione (continua) generata dalla variazione di una variabile alla volta:
si ottengono (con le stesse attenzioni delle funzioni di una variabile) le derivate parziali rispetto ad x e rispetto ad y : e
0limx x
yxfyxxf
),(),(
0limy y
yxfyyxf
),(),(
),( yxf x ),( yxf y
![Page 9: FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione presenta due variabili indipendenti e viene normalmente.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081516/5542eb4c497959361e8b9d9c/html5/thumbnails/9.jpg)
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• Il vettore che contiene le derivate parziali della funzione viene denominato gradiente della funzione e viene indicato:
• Le derivate parziali per la funzione di C-D sono:•
y
f
x
ff
11),( LKCK
PLKPK
K
P
LKCL
PLKPL )1(),(
L
P1
![Page 10: FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione presenta due variabili indipendenti e viene normalmente.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081516/5542eb4c497959361e8b9d9c/html5/thumbnails/10.jpg)
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• L’elasticità della produzione rispetto al capitale è:
• ovvero
• L’elasticità della produzione rispetto al lavoro è:
• ovvero
K
P
P
K
K
PK
P
EK
L
P
P
L
L
PL
P
EL
KE
1LE
![Page 11: FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione presenta due variabili indipendenti e viene normalmente.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081516/5542eb4c497959361e8b9d9c/html5/thumbnails/11.jpg)
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• Derivate di ordine successivo. Le derivate parziali prime in quanto funzioni possono essere derivate a loro volta (naturalmente se soddisfano le condizioni già ricordate), ottenendo:
),(),(),(
2
2yxf
x
yxf
x
yxf
x xx
x
yxf
y
),(),(
),(2yxf
yx
yxfxy
),(),(),( 2
yxfxy
yxf
y
yxf
x yx
),(),(),(
2
2yxf
y
yxf
y
yxf
y yy
![Page 12: FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione presenta due variabili indipendenti e viene normalmente.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081516/5542eb4c497959361e8b9d9c/html5/thumbnails/12.jpg)
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• Le derivate parziali seconde possono essere organizzate in una matrice denominata matrice Hessiana.
yyyx
xyxx
ff
ffH
![Page 13: FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione presenta due variabili indipendenti e viene normalmente.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081516/5542eb4c497959361e8b9d9c/html5/thumbnails/13.jpg)
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• Massimi e minimi relativi (liberi) e selle.
-4-2
02
4
x
-4-2
02
4
y
102030405060
-4-2
02
4
x
-4-2
02
4
y
-40-30-20-10
010
-4-2
02
4
x
-4-2
02
4
y
-200-100
0100200
![Page 14: FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione presenta due variabili indipendenti e viene normalmente.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081516/5542eb4c497959361e8b9d9c/html5/thumbnails/14.jpg)
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
Le condizioni necessarie e sufficienti sono :
Condizione sufficiente per avere un massimo relativo 1. detH oo yx , >0
2. xxf oo yx , <0
Condizione sufficiente per avere un minimo relativo 1. detH oo yx , >0
2. xxf oo yx , >0
Condizione sufficiente per avere una sella detH oo yx , <0
Condizione necessaria
0),(
0),(
y
yxfx
yxf
oo
oo
![Page 15: FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione presenta due variabili indipendenti e viene normalmente.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081516/5542eb4c497959361e8b9d9c/html5/thumbnails/15.jpg)
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• Esempio 2. • Determinare la natura dei punti critici della
funzione:
• Dalle condizioni necessarie:
• si determinano i candidati: (-2,3) e (2,3).• La matrice Hessiana è:
5126),( 23 xyyxyxf
062
0123 2
y
x
20
06xH
![Page 16: FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione presenta due variabili indipendenti e viene normalmente.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081516/5542eb4c497959361e8b9d9c/html5/thumbnails/16.jpg)
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
Sostituendo le coordinate del primo punto si ha:
e quindi in (-2,3) la funzione presenta un max. Sostituendo le coordinate del secondo punto si ha:
e quindi in (2,3) la funzione presenta una sella.
detH=24>0 xxf (-2,3)= -12
detH= -24 xxf (2,3)=12
yyf (2,3)=-2
![Page 17: FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione presenta due variabili indipendenti e viene normalmente.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081516/5542eb4c497959361e8b9d9c/html5/thumbnails/17.jpg)
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
Massimi e minimi vincolatiMassimi e minimi vincolati.• La struttura del problema è la seguente:
• Per risolvere il problema di massimo (minimo) vincolato si introduce la funzione lagrangiana:
• dove è il moltiplicatore di Lagrange.• Il massimo (libero) della funzione di Lagrange (se
esiste) equivale al massimo (vincolato) della funzione di partenza .
),(max
yx),( yxf 0),( yxg
),(),(),,( yxgyxfyxL
),( yxf
![Page 18: FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione presenta due variabili indipendenti e viene normalmente.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081516/5542eb4c497959361e8b9d9c/html5/thumbnails/18.jpg)
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
Le condizioni necessarie per la funzione sono:
Il soddisfacimento della prima condizione equivaleal soddisfacimento del vincolo, infatti:
),,( yxL
0
0
0
y
Lx
L
L
L 0),(),(),( yxgyxgyxf
![Page 19: FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione presenta due variabili indipendenti e viene normalmente.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081516/5542eb4c497959361e8b9d9c/html5/thumbnails/19.jpg)
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
TeoremaTeoremaSia una soluzione del sistema di equazioni che esprimono le condizioni del primo ordine. Se la funzione lagrangiana è dotata di derivate parziali seconde e il determinante della matrice hessiana in è positivo (negativo), allora in la funzione presenta un massimo (minimo) relativo e soddisfa il vincolo.
),,( ooo yx
),,( ooo yx),( oo yx ),( yxfz
![Page 20: FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione presenta due variabili indipendenti e viene normalmente.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081516/5542eb4c497959361e8b9d9c/html5/thumbnails/20.jpg)
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• Il moltiplicatore di Lagrange rappresenta “ il costo opportunità del vincolo”.
Si supponga che si voglia massimizzare la funzione dei ricavi e che il vincolo rappresenti il vincolo di spesa sui mezzi di produzione. Se si aumenta di 1 unità il budget allora i ricavi crescono di circa unità.
Questo risultato consente di valutare se conviene aumentare (diminuire) le risorse investite.
)( o
o
![Page 21: FUNZIONI DI DUE VARIABILI Una funzione di più variabili viene indicata come: con Se n=2 la funzione presenta due variabili indipendenti e viene normalmente.](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081516/5542eb4c497959361e8b9d9c/html5/thumbnails/21.jpg)
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
•