Funkce - definiční obor - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FCE_VCETNE_INTERVALU.pdf ·...

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu

ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Funkce

Definiční obor a obor hodnot



Opakování – definice funkce

Funkce je předpis, který každému číslu

z definičního oboru, který je podmnožinou

množiny všech reálných čísel R, přiřazuje

právě jedno reálné číslo.

Funkci značíme obvykle písmenkem f, ale nic nebrání tomu, abychom použili i jiná písmenka, např. g, h…

Obvykle ji zapisujeme ve tvaru:

nebo ve tvaru:

y = f(x), např. y = x2

f: y = x2

kde proměnná x je argument funkce.



Funkce – definice

Funkce je předpis, který každému číslu

z definičního oboru, který je podmnožinou

množiny všech reálných čísel R, přiřazuje

právě jedno reálné číslo.

f: y = x2

kde proměnná x je argument funkce neboli

nezávisle proměnná.

Nezávislost je dána tím,

že její hodnotu můžeme

libovolně měnit, ovšem

jen v rámci definované

množiny, definičního

oboru.



Opakování – definiční obor funkce

U každé funkce také musíme určit definiční obor.

Je to množina všech přípustných hodnot argumentu x,

tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x

pro danou funkci nabývat.

Značí se: D(f) Definiční obor může být dle typu funkce zadán jako

množina všech reálných čísel:

D(f) = R nebo jinak zapsáno xR,

nebo jako část této množiny, tedy její podmnožina:

např. D(f) = R+ nebo

x > 0 nebo x(0;).

Za chvíli si typy

definičních oborů

a možnosti jejich zápisů

rozebereme podrobněji.



Opakování – obor hodnot funkce Ke všem přípustným hodnotám argumentu x přísluší

právě jedna funkční hodnota. Ty všechny dohromady

tvoří obor hodnot (obor funkčních hodnot).

Obor hodnot je množina všech reálných čísel, které

dostaneme jako výstupní hodnoty funkce f, jestliže

za x dosadíme všechny přípustné hodnoty z D(f).

Značí se: H(f)

Hodnota závisle

proměnné je pro danou

funkci jednoznačně

určena hodnotou

argumentu x - proto

„závisle“ proměnná.

Funkční hodnota neboli závisle proměnná je číslo,

které funkce přiřadí konkrétnímu argumentu x.

Jinak řečeno – výstupní hodnota funkce.

Obvykle ji značíme y nebo f(x).

I obor hodnot, podobně jako

definiční obor, může být

množinou všech reálných čísel

či jen její podmnožinou a platí

pro něj stejné možnosti zápisu

jako pro obor definiční. Tak se

na ně nyní společně podívejme.



Opakování Nejdříve si ale ještě připomeňme, jaké známe číselné obory a co znamenají.

Množiny čísel, na kterých definujeme početní operace

Množina se dá chápat jako soubor prvků (v našem případě čísel). Každá množina

tedy obsahuje určitý počet prvků, který může být konečný i nekonečný. Nemusí

také obsahovat žádný prvek, pak mluvíme o prázdné množině.

N N

… Přirozená čísla: 1; 2; 3; 4; 5…

… Celá čísla: … -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3…

… Racionální čísla: -8; 0; 34; 1000000; 2/9; 0,01; 2,3…

… Reálná čísla: -8; 0; 34; 1000000; 2/9; 0,01; 2,3; ¶; 13

Z Z Q Q R R 1

2

3

4 5 0

-1

-2

-3

-57

2/9

1000000,008

0,01

-2,357

-1/3

¶

13



Funkce – zápis definičního oboru Definiční obor udává množinu prvků (čísel), pro které

máme funkci řešit (učit funkční hodnoty, obor hodnot,

sestrojit graf).

Určení definičního oboru bývá obvykle již součástí zadání

příkladu.

Pokud tomu tak není, předpokládá se, že máme funkci zkoumat

v množině všech reálných čísel.

V takovém případě si však musíme dát pozor na to, abychom

z této množiny vyčlenili prvky (čísla), pro které funkce

definována není!

Např. funkce není definována pro x = 0,

protože, vycházíme-li z našich dlouholetých znalostí, nulou

nelze dělit.

xxf

1)(

Např. tato

funkce:

je definována

pro všechna

reálná čísla,

nebo není?



Funkce – zápis definičního oboru

Definičním oborem je množina všech reálných čísel:

D(f) = R nebo xR nebo x(−;)

Definičním oborem je množina všech kladných reálných čísel:

D(f) = R+ nebo x > 0 nebo

x(0;)

Zápis

pomocí

intervalu

Interval zleva otevřený,

což znamená, že funkce

není pro nulu definována

a první platnou číslicí

definičního oboru je číslo

„0,0000000… a až někde

v nekonečnu 1“.




Definičním oborem je množina všech nezáporných reálných

čísel:

D(f) = R0+ nebo x ≥ 0 nebo

x0;)

Čísla kladná

plus nula

Interval zleva

uzavřený, což

znamená, že funkce

je definována

i pro nulu.




Definičním oborem je množina všech záporných reálných

čísel:

D(f) = R- nebo x < 0 nebo

x(−;0)

Interval zprava otevřený,

což znamená, že funkce

není pro nulu definována

a poslední platnou číslicí

definičního oboru je

číslo „-0,0000000… a až

někde v nekonečnu 1“.




Definičním oborem je množina všech nekladných reálných

čísel:

D(f) = R0- nebo x ≤ 0 nebo

x(−;0

Čísla

záporná

plus nula

Interval zprava

uzavřený, což

znamená, že funkce

je definována

i pro nulu.



Funkce – zápis definičního oboru Prozatím jsme zkoumali jen obory tvořené podmnožinou

reálných čísel omezenou jen z jedné strany. Nyní se tedy

zaměříme na zápis podmnožin omezených z obou stran.

−4 < x < 2

Zápis můžeme

rozdělit na dva

samostatné zápisy

platící zároveň.

x > −4 x < 2 Čísla, která odpovídají

oběma podmínkám

současně a jsou prvky

zadaného definičního oboru,

tvoří průnik obou

podmnožin a tvoří interval…

x(−4;) x(−;2)

x(−4;2)

Čteme:

x je větší než –4

a zároveň x je

menší než 2.

Otevřený

interval: čísla -4 a 2 jsou

jeho krajními body,

ale do definičního

oboru nepatří.




−4 ≤ x ≤ 2 I tentokrát můžeme

zápis rozdělit

na dva samostatné

zápisy platící

zároveň.

x ≥ −4 x ≤ 2 Čísla, která odpovídají

oběma podmínkám





x−4;) x(−;2

x−4;2

Uzavřený

interval: čísla -4 a 2 jsou

opět jeho krajními

body, v tomto

případě však patří

i do definičního

oboru.

Poznali jste, čím

se toto zadání liší

od předchozího?

Čteme:

x je větší nebo

rovno –4

a zároveň x je menší

nebo rovno 2.




−4 ≤ x < 2 Opět můžeme zápis

rozdělit na dva

samostatné zápisy


x ≥ −4 x < 2 Čísla, která odpovídají

oběma podmínkám





x−4;) x(−;2)

x−4;2)

Polouzavřený

interval: čísla -4 a 2 jsou opět

jeho krajními body, ale

do definičního oboru

patří jen číslo -4.

A do třetice...

Poznali jste

i tentokrát, čím se

toto zadání liší

od předchozích? Čteme:

x je větší nebo

rovno –4

a zároveň x je

menší než 2.



Funkce – zápis definičního oboru Objevit se může i situace, kdy máme funkci „vyšetřovat“

pro definiční obor určený jen výčtem několika konkrétních

prvků, čísel.

Např. pro čísla −2; −1; 0; 1; 2 a 3.

x{−2;−1;0;1;2;3}

V takovém případě se používá množinový zápis

pomocí složených závorek:




Objevit se samozřejmě může i situace, kdy definičnímu

oboru nevyhovuje žádný prvek, žádné číslo:

Např. 3 < a −7

a > 3 a −7

Prázdná množina.

Definiční obor

neobsahuje

žádné číslo,

žádný prvek.

Množiny nemají

společný průnik,

neexistuje

společná množina.

x(3;) x(−;−7

x



Funkce – příklady

−5 ≤ x ≤ 4 Zapiš definiční obor pomocí intervalu:




−5 ≤ x ≤ 4 Opět můžeme zápis

rozdělit na dva

samostatné zápisy


x ≥ −5 x ≤ 4 Čísla, která odpovídají

oběma podmínkám





x−5;) x(−;4

x−5;4

Čteme:

x je větší nebo

rovno –5

a zároveň x je menší

nebo rovno 4.

Uzavřený

interval: čísla -5 a 4 jsou jeho

krajními body a patří

do definičního oboru.

Zapiš definiční obor pomocí intervalu:




−5 ≤ x ≥ 4 Opět můžeme zápis

rozdělit na dva

samostatné zápisy


x ≥ −5 x ≥ 4 Čísla, která odpovídají

oběma podmínkám



tvoří opět průnik obou


x−5;) x4;)

x4;)

Zapiš definiční obor pomocí intervalu:




x ≤ −2

Zapiš definiční obory pomocí intervalu:

0 < x

x > 12 x 0




x ≤ −2


0 < x

x > 12 x 0

x(−;−2 x(0;)

x(12;) x0;)




−1 ≤ x < 8


−7 < x < 0

2 ≤ x ≤ 15 −1 ≥ x ≥ 1




−1 ≤ x < 8


−7 < x < 0

2 ≤ x ≤ 15 −1 ≥ x ≥ 1

x−1;8) x(−7;0)

x2;15 x

Funkce - definiční obor - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FCE_VCETNE_INTERVALU.pdf ·...

Documents

Transcript of Funkce - definiční obor - ZSBROKzsbrok.cz/wp-content/uploads/FCE_VCETNE_INTERVALU.pdf ·...