Fungsi Kepadatan Probabilitas

Fungsi Kepadatan Probabilitas

Achmad BasukiPoliteknik Elektronika Negeri Surabaya

2004

Gambaran Permasalahan FungsiDistribusi Data Dalam Statistik [1]

Perusahaan jasa penjualan telur ayam kampung yang dikelolasendiri oleh Pak Hadi, mempunyai 3 orang karyawan. Setiap

bulannya pak Hadi membayar upah setiap karyawannya sebesar 1 juta rupiah, dia sendiri setiap bulannya mengambil bayaran sebesar

9 juta rupiah. Kemudian dia mengatakan bahwa rata-rata upahdalam perusahaannya adalah 3 juta rupiah

Perhitungan statistikHadi Rp. 9 jtKaryawan 1 Rp. 1 jtKaryawan 2 Rp. 1 jtKaryawan 3 Rp. 1 jtRata2 = Rp. 12 jt /4 orang

= Rp. 3 jt/orang

Apakah ini masuk akal ?Kalo iya, karyawan yang mana

yang mendapat upah 3 jt rupiah?Kenyataannya tidak ada

seorang karyawanpun yang mendapat upah 3 juta


Coba kita perhatikan masalah ini lebih jauh dengan mengamatidistribusi data dari upah karyawan, dimana:

1 orang mendapat bayaran 9 juta rupiah, dan 3 orang mendapatupah 1 juta rupiah, sehingga dapat kita gambarkan distribusi data

besarnya upah sebagai berikut:Besarnya upah Jumlah karyawan

1 juta 32 juta 03 juta 04 juta 05 juta 06 juta 07 juta 08 juta 09 juta 1

Distribusi Data Upah

00.5

11.5

22.5

33.5

1juta

2juta

3juta

4juta

5juta

6juta

7juta

8juta

9juta

Besarnya upah

Jum

lah

Kar

yaw

an Rata2 disini

Distribusi data seperti ini adalah suatu kejadian dimana nilai rata-rata (statistik parametrik) tidak dapat menunjukkan hasil yang

dapat menggambarkan kenyataan sesungguhnya.


Data hasil ujian pemrograman dari 20 mahasiswaJurusan TI adalah seperti tabel di sebelah kanan.

Dapat dinyatakan bahwa nilai rata-rata programming adalah 69.

Kesimpulan:Pemrograman mahasiswa TI rata-rata lemah,

karena tidak mencapai nilai 75 sebagai standard yang sudah ditentukan sebelumnya.

Kenyataannya adalah:Hanya beberapa orang yang lemah, sedang

sebagian besar (13 mhs) yang nilainya di atas 75.

no.mhs Nilai1 902 703 204 805 106 1007 608 809 9010 8011 2012 8013 10014 2015 9016 2017 10018 9019 9020 90


Coba kita perhatikan distribusi nilai pemrogramandari mahasiswa TI ini.

no.mhs Nilai1 902 703 204 805 106 1007 608 809 9010 8011 2012 8013 10014 2015 9016 2017 10018 9019 9020 90

Nilai Jumlah Mhs10 120 430 040 050 060 170 180 490 6

100 3

Distribusi Data Nilai

01234567

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Nilai

Jum

lah

Mhs

Dengan distribusi data ini, nilai rata-rata tidakdapat menunjukkan keadaan sebenarnya.

Bagaimana cara menunjukkandistribusi data agar kesimpulan yang diambil dapat menunjukkan keadaan

sesungguhnya ?

Fungsi KepadatanProbabilitas

Definisi• Fungsi kepadatan probabilitas atau

probability density function (pdf) menyatakannilai probabilitas dari setiap kejadian X dandituliskan dengan p(X)

• Karena p(X) menyatakan nilai probabilitasmaka 0≤p(X)≤1

• Untuk semua kejadian maka jumlah nilaiprobabilitasnya adalah satu atau dituliskandengan: 1)( ==∑

nnxXp

Ciri-ciriFungsi Kepadatan Probabilitas

• X={x1, x2, x3, …, xn} menyatakan semuakejadian yang mungkin

• 0 ≤ p(X) ≤ 1• Nilai probabilitas untuk semua kejadian:

1)( ==∑n

nxXp

Grafik dari Fungsi Kepadatan Probabilitas

• Grafik yang menyatakan nilai kemungkinandari setiap kejadian.

• Absis menyatakan kejadian yang mungkin.• Ordinat menyatakan nilai kemungkinan p(xi)

X = Semua kejadian yang mungkin

p(X)

Kontinu vs DiskritPada dasarnya fungsi-fungsi di dalam statistik berdasarkan sifat kejadiannyadibedakan menjadi dua macam yaitu kontinu dan diskrit.

• Kontinu: kejadian yang mungkin jumlahnya tak berhinggadan operasionalnya dilakukan dalam bentuk kalkulus, misalkan untuk menghitung jumlah peluang semuakejadian dituliskan dengan:

• Diskrit: kejadian yang mungkin jumlahnya berhingga dandapat berarti dilakukan secara berkala, operasionalnyamenggunakan operasional fungsi diskrit, misalkan untukmenghitung jumlah peluang semua kejadian dituliskandengan:

∫∀

=x

dxxf 1)(

1)( ==∑n

nxXp

Pembahasan banyak dilakukan pada model diskrit

Contoh 1

• X adalah suatu kejadian seseorang akan berangkat ke kantor: kemungkinan dia berangkat naik mobil adalah 0.1, kemungkinannaik kendaraan umum 0.3, kemungkinan naik sepeda motor 0.5 dan kemungkinan tidak berangkat 0.1

• Fungsi kepadatan probabilitas dinyatakan dengan: p(x1)=0.1, p(x2)=0.3, p(x3)=0.5 dan p(x4)=0.1 dimana X={x1,x2,x3,x4} menyatakan kejadian-kejadian yang mungkin.

• Nilai probabilitas dari semua kemungkinan adalah0.1+0.3+0.5+0.1 = 1

00.10.20.30.40.50.6

1 2 3 4

Kejadian Berangkat Ke Kantor

Kem

ungk

ian

Setia

p Ke

jadi

an

Contoh 2

• Dari hasil pencatatan jumlah mobil bemo yang lewat setiap setengahjam di depan ITS diperoleh: tidak ada yang lewat: 4 kali, 1 bemolewat: 5 kali, 2 bemo lewat: 8 kali, 3 bemo lewat: 9 kali, 4 bemo lewat: 6 kali, 5 bemo lewat: 3 kali, 6 bemo lewat: 1 kali, 7 bemo lewat: 1 kali.

• Absis (X) menyatakan jumlah bemo lewat dalam setengah jam• Ordinat (Y) menyatakan kemunculan atau frekwensi kejadian dibagi

dengan jumlah seluruh kejadian (37)

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0 1 2 3 4 5 6 7

Jumlah Bemo lewat

PDF

HISTOGRAM

• Histogram adalah suatu teknik untukmenyatakan jumlah munculnya setiapkejadian dari semua kejadian yang muncul.

• H(xn) menyatakan jumlah munculnyakejadian xn.

• Fungsi kepadatan probabilitas p(xn) dapatdinyatakan sebagai :

∑=

= n

jj

ii

xH

xHxp

1)(

)()(

Histogram

0

2

4

6

C B A

Nilai

Jum

lah

Mhs

Contoh 3Data nilai test dasarpemrograman yang diikuti oleh 10 orangmahasiswa adalahsebagai berikut:

no. mhs nilai1 A2 B3 B4 B5 A6 B7 C8 C9 B10 C

Berdasarkan nilai yang diperoleh dapatdinyatakan bahwa yang mendapat nilai C sebanyak 3 orang, yang mendapat nilai B

sebanyak 5 orang dan yang mendapatnilai A sebanyak 2 orang. Nilai-nilai

kemunculan ini disebut denganhistogram dari nilai ujian.

Nilai JumlahC 3B 5A 2

Nilai pdfC 0.3B 0.5A 0.2

PDF

0

0.2

0.4

0.6

C B A

Nilai

Jum

lah

Mhs

Diagram Pareto

• Suatu diagram yang digunakan untuk mencatatkemunculan setiap kejadian.

• Model diagram Pareto ini banyak digunakanuntuk pencatatan kerusakan produksi.

• Diagram Pareto ini dapat juga disebut dengandiagram counting.

• Diagram Pareto ini banyak digunakan untukmenghasilkan nilai histogram dari suatu kejadiansecara manual.

Contoh 4Diagram Pareto

Pencatatan Kerusakan Produksi Tempe Setiap 1000 BungkusTempe Standard

Jenis Kerusakan Counting JumlahKurang Masak IIII IIII IIII IIII III 24Kedelai Terlalu Busuk IIII IIII IIII I 16Kedelai Hancur IIII IIII 10Tempe Pecah IIII III 8

Histogram dan pdf dari kejadian di atas adalah:Jenis Kerusakan Histogram PDF

Kurang Masak 24 0.4138Kedelai Terlalu Busuk 16 0.2759Kedelai Hancur 10 0.1724Tempe Pecah 8 0.1379

Distribusi Frekwensi

• Distribusi frekwensi adalah suatu model perhitungan histogram dengan menggunakanpengelompokan data.

• Satu kelompok dapat dinyatakan sebagai saturange nilai dengan nilai tengah dianggapsebagai nilai yang mewakili kelompok tersebut.

• Kemunculan suatu kelompok dinamakandengan frekwensi.

Contoh 5Data penjualan telor kampung setiap harinya pada toko MAJU MAKMUR dicatat selama 30 hari adalah sebagai berikut:

30 25 18 15 21 12 0 15 6 120 10 15 24 6 18 27 12 0 15

12 15 20 3 9 25 12 15 6 15

Distribusi frekwensi dengan range 5 adalah sebagai berikut:Range Median Frekwensi

0 - 4 2 45 - 9 7 4

10 - 14 12 615 - 19 17 920 - 24 22 325 - 29 27 330 - 35 32 1

PDF dapat dihitung denganfrekwensi dibagi dengan jumlah

seluruh kejadian (30)

00.05

0.10.15

0.20.25

0.30.35

0 - 4 5 - 9 10 - 14 15 - 19 20 - 24 25 - 29 30 - 35

Fungsi Kepadatan Kumulatif

• Fungsi Kepadatan Kumulatif atau Cumulative Density Function (CDF) adalah fungsi yang menjumlahkan nilai kemungkinan sampaisuatu kejadian tertentu. Atau dituliskandengan p(X≤xi)

• Bila X={x1, x2, x3, …, xn}, maka fungsikepadatan kumulatif untuk X=xk dituliskandengan:

∑=

=≤

+++=≤

k

iik

kk

xpxXp

atauxpxpxpxXp

1

21

)()(

)(...)()()(

Contoh 6

Diketahui frekwensijumlah pelanggan yang melalui pintu kasiruntuk setiap 5 menitsebuah supermarket adalah sebagai berikut:

Jumlah Plg Frekwensi0 51 82 93 64 45 26 17 1

Perhitungan PDF dan CDF adalahsebagai berikut:

Jumlah Plg Frekwensi0 5 5/36 = 0.14 0.141 8 8/36 = 0.22 0.14+0.22 = 0.362 9 9/36 = 0.25 0.36+0.25 = 0.613 6 6/36 = 0.17 0.61+0.17 = 0.784 4 4/36 = 0.11 0.78+0.11 = 0.895 2 3/26 = 0.06 0.89+0.06 = 0.946 1 1/36 = 0.03 0.94+0.03 = 0.977 1 1/36 = 0.03 0.97+0.03 = 1.00

PDF CDF

PDF

0.000.050.100.150.200.250.30

0 1 2 3 4 5 6 7

CDF

0.000.200.400.600.801.001.20

0 1 2 3 4 5 6 7

Contoh Aplikasi [1]Pengamatan terhadap nilai matematika mahasiswa Jurusan TI

Nilai matematika 2 dari 30 mahasiswa Jurusan TI (kelas 2 TI-a) adalah sebagai berikut:

Nyatakan Histogram, PDF dan CDF dari data nilai mahasiswa di atas

no.mhs nilai no.mhs nilai no.mhs nilai1 B 11 C 21 C2 C 12 C 22 B3 C 13 A 23 A4 B 14 B 24 D5 A 15 C 25 C6 C 16 B 26 B7 B 17 B 27 B8 C 18 C 28 B9 D 19 B 29 A

10 B 20 B 30 C

Contoh Aplikasi [2]

Nilai Jumlah mhs yangmendapat nilai

A 4B 13C 11D 2

Diagram distribusifrekwensi dari data nilai matematikatersebut adalah

Histogram, PDF dan CDF diperolehsebagai berikut:

Nilai Histogram PDF CDFA 4 0.13 0.13B 13 0.43 0.57C 11 0.37 0.93D 2 0.07 1.00

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

A B C D

PDFCDF

Tugas 1

Anda lakukan survey terhadap 20 orang teman anda yang dipilih secaraacak. Tanyakan jenis acara TV yang sering ditonton oleh mereka dari

acara-acara TV berikut ini:(1) Olahraga(2) Info Selebriti(3) Berita(4) Horor dan Misteri(5) Film(6) Film Kartun(7) Komedi(8) Sinetron

Buatlah Histogram, PDF dan CDF dari hasil survey tersebut, dan jangan lupasebutkan segmen mahasiswa yang anda pilih berdasarkan jenis kelamin

(berapa laki2 dan berapa wanita).

Fungsi Kepadatan Probabilitas

Documents

Transcript of Fungsi Kepadatan Probabilitas