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Esboco de GraficosFuncoes com simetria
Operacoes com Funcoes
Funcoes - Aula 06
Alexandre Nolasco de CarvalhoUniversidade de Sao Paulo
Sao Carlos SP, Brazil
18 de Marco de 2020
Primeiro Semestre de 2020Turma 2020114
Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 0353 Calculo I
Esboco de GraficosFuncoes com simetria
Operacoes com Funcoes
Dilatacao e o Esboco de GraficosReflexoes e o Esboco de Graficos
Dilatacao e o Esboco de Graficos
Exemplo (Dilatacao em y)
Considere as funcoes
f (x) =√
1− x2 g(x) = 2f (x) h(x) =1
2f (x)
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 0353 Calculo I
Esboco de GraficosFuncoes com simetria
Operacoes com Funcoes
Dilatacao e o Esboco de GraficosReflexoes e o Esboco de Graficos
Exemplo (Dilatacao em x)
Considere as funcoes
f (x) =√
1− x2 g(x) = f (2x) h(x) = f (x/2)
-2 -1 1 2
-0.5
0.5
1.0
1.5
-2 -1 1 2
-0.5
0.5
1.0
1.5
-2 -1 1 2
-0.5
0.5
1.0
1.5
Note que g(x) =√
1− 4x2 e h(x) =√4−x22
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Operacoes com Funcoes
Dilatacao e o Esboco de GraficosReflexoes e o Esboco de Graficos
Resumo das propriedades
Os exemplos anteriores ilustram o seguinte:
Seja k > 1
• kf (x) dilata o grafico de f por um fator k no eixo y
• 1k f (x) contrai o grafico de f por um fator 1/k no eixo y
• f (kx) contrai o grafico de f por um fator 1/k no eixo x
• f (x/k) dilata o grafico de f por um fator k no eixo x
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Operacoes com Funcoes
Dilatacao e o Esboco de GraficosReflexoes e o Esboco de Graficos
Reflexoes e Esboco de Graficos
Note que:
• O ponto (a,−b) e a reflexao do ponto (a, b) em relacao ao eixo x.
• O ponto (a, b) e a reflexao do ponto (−a, b) em relacao ao eixo y.
• Se refletimos o ponto (a, b) em relacao ao eixo x , e depois emrelacao ao eixo y , produzimos o ponto (−a,−b), que e a reflexaodo ponto (a, b) em relacao a origem (0, 0).
Propriedades da reflexao
• g(x) = −f (x) reflete o grafico de f relativamente ao eixo x
• g(x) = f (−x) reflete o grafico de f relativamente ao eixo y
• g(x)=−f (−x) reflete o grafico de f relativamente a origem (0, 0)
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Dilatacao e o Esboco de GraficosReflexoes e o Esboco de Graficos
Exemplo (Reflexao)
Considere as funcoes
f (x) =√x g(x) = −
√x h(x) =
√−x j(x) = −
√−x
0 2 4 6 80.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
2 4 6 8
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
-8 -6 -4 -2 0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
-8 -6 -4 -2
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
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Operacoes com Funcoes
Funcoes com simetria
No que segue, consideraremos f : Df → R uma funcao.
Definicao (Funcoes Pares e Impares)
Diremos que
f e par ⇐⇒ f (−x) = f (x), ∀ x ∈ Df ;
f e ımpar ⇐⇒ f (−x) = −f (x), ∀ x ∈ Df .
Observacao: Geometricamente,
• o grafico de uma funcao par e simetrico em relacao ao eixo y e
• o grafico de uma funcao ımpar e simetrico em relacao a origem.
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Operacoes com Funcoes
Exemplo
f (x) = x2 e par;
a funcao identidade I (x) = x e ımpar;
f (x) = 2x − x2 = x(2− x) nao e par nem ımpar.
Exercıcio: Determine se f e par, ımpar ou nenhuma das duas:
(a) f (x) = x5 + x ,
(b) f (x) = 1− x4,
(c) f (x) = 3x3 + 2x2 + 1.
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Operacoes com Funcoes
Soma, Produto e QuocienteComposicaoFuncoes Inversas
Soma, Produto e Quociente de Funcoes
Definicao (Soma, Produto e Quociente)
Dadas duas funcoes f : Df → R e g : Dg → R, podemos definir asoperacoes:
soma: (f + g)(x) = f (x) + g(x), x ∈ Df+g = Df ∩ Dg ;
produto: (fg)(x) = f (x)g(x), x ∈ Dfg = Df ∩ Dg ;
quociente:
(f
g
)(x)=
f (x)
g(x), x ∈ D f
g={x ∈Df ∩Dg :g(x) 6=0}.
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Operacoes com Funcoes
Soma, Produto e QuocienteComposicaoFuncoes Inversas
Exemplo
Se f (x) =√
7− x e g(x) =√x − 2, entao
Df = (−∞, 7],
Dg = [2,+∞),
Df ∩ Dg = [2, 7].
Logo,
(a) (f + g)(x) =√
7− x +√x − 2, 2 ≤ x ≤ 7,
(b) (fg)(x) =√
7− x√x − 2 =
√(7− x)(x − 2), 2 ≤ x ≤ 7,
(c)
(f
g
)(x) =
√7− x√x − 2
=
√7− x
x − 2, 2 < x ≤ 7.
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Composicao
Definicao (Composicao)
Dadas funcoes f : Df → R e g : Dg → R, definimos a funcaocomposta
h : Dg◦f → R
porh(x) = g(f (x)), ∀ x ∈ Dg◦f ,
onde Dg◦f ={x ∈Df : f (x)∈Dg}. Neste caso, escrevemos h=g ◦f .
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Exemplo
Se f (x) = 2x + 1 e g(x) = x2 + 3x , entao
(a) g ◦ f (x) = g(2x + 1) = (2x + 1)2 + 3(2x + 1) = 4x2 + 10x + 4,
(b) f ◦ g(x) = f (x2 + 3x) = 2(x2 + 3x) + 1 = 2x2 + 6x + 1.
Observacao: Em geral, f ◦ g 6= g ◦ f .
Exemplo
Encontre f ◦ g ◦ h se f (x) =x
x + 1, g(x) = x10 e h(x) = x + 3.
Solucao:
f ◦g ◦h(x)= f (g(h(x)))= f (g(x + 3))= f ((x + 3)10)=(x+3)10
(x+3)10+1.
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Soma, Produto e QuocienteComposicaoFuncoes Inversas
Exercıcio: Se f (x) =√x e g(x) =
√2− x , encontre e determine
o domınio das funcoes:
(a) f ◦ g(x) = 4√
2− x , Df ◦g = (−∞, 2]
(b) g ◦ f (x) =
√2−√x , Dg◦f = [0, 4]
(c) f ◦ f (x) = 4√x , Df ◦f = [0,+∞)
(d) g ◦ g(x) =
√2−√
2− x , Dg◦g = [−2, 2].
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Funcoes Inversas
Definicao
Uma funcao f : A→ B sera dita invertıvel, se existir g : B → A(denotada por f −1) tal que g ◦ f = IA e f ◦ g = IB .
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Proposicao
Uma funcao f : A→ B e invertıvel se, e somente se, e bijetora.
De fato: Mostremos que se f e invertıvel entao f e bijetora.
(1) f (x)= f (y)⇒ x = f −1(f (x)) = f −1(f (y)) = y (f e injetora)
(2) Se b∈B e a= f −1(b)⇒ f (a)= f ◦ f −1(b)=b (f e sobre).
Agora mostremos que se f : A→ B e bijetora entao f e invertıvel.Dado b ∈ B, como f e bijetora, existe um unico a ∈ A tal quef (a) = b. Defina f −1(b) := a. Assim, f (f −1(b)) = f (a) = b, paratodo b ∈ B, e f −1(f (a)) = f −1(b) = a, para todo a ∈ A.
Neste caso, a funcao inversa esta definida por
f −1(y) = x ⇐⇒ f (x) = y , ∀ y ∈ B.
D(f −1) = Im(f ) e Im(f −1) = D(f )
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Exemplo
A funcao f (x) = x3 e injetora e a inversa de f sobre sua imagem ea funcao que denotamos por f −1(x) = x1/3.
De fato: Mostremos a injetividade de f (x) = x3. Note que:
0≤(x ± y)2 = x2 ± 2xy + y2 implica que |xy | ≤ x2 + y2
2.
Logo
• x2 + xy + y2 ≥ x2 − |xy |+ y2 ≥ x2 + y2
2e
• x2 + xy + y2 = 0⇔ x = y = 0
Logo f (x)− f (y) = x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2) = 0 implicaque x = y e f e injetora. Segue que f e bijetora sobre sua imagem.
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Mostre que, se f (x) = x3, Im(f ) nao e limitada superiormentenem inferiormente. Mostraremos mais tarde que isto implica quef (x) = x3 e sobrejetora.
Alerta: Nao confunda f −1(x) com1
f (x)= [f (x)]−1.
Para achar a funcao inversa:
(1) Escreva y = f (x).
(2) Resolva essa equacao para x em termos de y .
(3) Troque x por y para expressar f −1 como funcao de x .
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Exemplo
Calcule f −1 para a funcao f (x) = 1 + 3x (A = B = R).
Solucao: Escrevemos y = 1 + 3x . Resolvemos para encontrar x
como funcao de y , ou seja, x =y − 1
3. E substituindo y por x ,
obtemos
f −1(x) =x − 1
3.
Exercıcio: Determine, quando possıvel, a funcao inversa de:
(a) f (x) = x2; (b) f (x) = x3 + 2.
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Observacao: Note que o ponto (b, a) e a reflexao do ponto (a, b)em torno da reta y = x .
-1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
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Observacao: Note que
G (f −1) ={
(y , f −1(y)) : y ∈ B}
= {(f (x), x) : x ∈ A} .
Segue da observacao anterior que G (f −1) e a reflexao de G (f ) emtorno da reta y = x .
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Exemplo: Esboce os graficos de f (x) =√−x − 1 e de sua inversa.
Solucao 1: Se g(x) =√x e h(x) =
√−x , entao f (x) = h(x + 1).
Logo, Gh e a reflexao de Gg em torno do eixo y .
Por sua vez, Gf e Gh transladado de uma unidade para a esquerda.
g(x) =√x h(x) =
√−x f (x) =
√−x − 1
0 1 2 3 4
0.5
1.0
1.5
2.0
-4 -3 -2 -1 0
0.5
1.0
1.5
2.0
-5 -4 -3 -2 -1 0
0.5
1.0
1.5
2.0
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A ilustracao a seguir mostra o grafico de f e de sua inversa f −1.Note que G (f −1) e a reflexao de G (f ) em torno da reta y = x .
-5 -4 -3 -2 -1 1 2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
Criterio de Invertibilidade: A reflexao do grafico em torno dadiagonal e um grafico.
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Exemplo: Esboce os graficos de f (x) =√−x − 1 e de sua inversa.
Solucao 2: Vamos primeiro encontrar a formula explıcita para f −1.Veremos que esta e uma funcao que conhecemos muito bem o seugrafico e, portanto, poderemos construir tambem o grafico de f .
Primeiramente, observe que
D(f ) = Im(f −1) = (−∞,−1] e Im(f ) = D(f −1) = [0,∞).
Para calcular f −1: Escrevemos y =√−x − 1. Resolvemos para
encontrar x como funcao de y : elevando ao quadrado x =−y2−1.Substituindo y por x , obtemos
f −1(x) = −x2 − 1, x ∈ [0,∞).
Desta forma, fica facil obter os graficos da pagina anterior.
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