Fundamentos de Matemática Financiera - TESUVA · Suponga usted es de esos afortunados que decide...
Transcript of Fundamentos de Matemática Financiera - TESUVA · Suponga usted es de esos afortunados que decide...
FUNDAMENTOS DEMATEMÁTICA FINANCIERA
Curso de Preparación y Evaluación de Proyectos
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
2
EVALUACIÓN DE PROYECTOS:
Introducción
Matemáticas Financieras
Flujo de Fondos
Criterios de Decisión
VANTIROtros
Temario
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
3
MATEMÁTICA FINANCIERA
Valor del dinero en el tiempo
Valor futuro y valor actual
Tasas de interés compuesta y simple
Anualidades
Inflación y tasas de interés
Temario
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
4
Corresponde a la rentabilidad que un agenteeconómico exigirá por no hacer uso del dineroen el periodo 0 y posponerlo a un periodofuturo
Valor del dinero en el tiempo
Sacrificar consumo hoy debe compensarse en el futuro.
Un monto hoy puede al menos ser invertido en el bancoganando una rentabilidad.
La tasa de interés (r) es la variable requerida paradeterminar la equivalencia de un monto de dinero en dosperiodos distintos de tiempo
La sociedad es un participante más que también tienepreferencia intertemporal entre consumo e inversiónpresente y futura.
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
5
Periodo 0(Año 0)
$1.000 $1.100
Si r = 10%Periodo 1(Año 1)
Valor del dinero en el tiempo ...continuación...
EjemploUn individuo obtiene hoy un ingreso (Y0) de $1.000 por una solavez y decide no consumir nada hoy. Tiene la opción de poner eldinero en el banco.
a) ¿Cuál será el valor de ese monto dentro de un año si la tasarentabilidad o de interés (r) que puede obtener en el banco es de10% ?
1.000 * (0,1) = 100 (rentabilidad)100 + 1000 = 1.100 (valor dentro de un año)
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
6
Valor del dinero en el tiempo ...continuación
Si : Sólo hay 2 periodos Ingreso sólo hoy (Y0=1.000) Puede consumir hoy o en un año
(C0, C1) Rentabilidad exigida por no
consumir hoy: r=10%
b) ¿ Cuál sería el monto final disponible para consumir dentro de un año si consume $200 hoy ?
Si C0=200, C1=(1000-200)*1,1= 880
EntoncesC1 = (Y0 – C0)*(1+r)
0
200
400
600
800
1.000
1.200
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1.0
00
Periodo 0
Pe
rio
do
1
(200, 880)
(500, 550)
(800, 220)
1.100
Consumo total= 200 + 880 = 1.080
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
7
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
31111* rVArrrVAVF
0 3
VF
Año:
VA
1 2
Si son 3 periodos
Caso General: nrVAVF 1*
VALOR FUTURO
rVAVF 1*
0 1
VFVA
Año:
Sólo 1 periodo
Donde:r = tasa de interés
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
8
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
311*1*1 r
VF
rrr
VFVA
0 3
VF
Año:
VA
1 2
Caso 3 periodos
Caso General: nr
VFVA
1
VALOR ACTUAL
...continuación...
r
VFVA
1
0 1
VFVA
Año:
Caso 1 periodo
Donde:
r = tasa de interés
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
9
Ejemplo VF :
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
a) Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%. ¿Cuál será su valor al final del tercer año?
Año 0: 1.000Año 1: 1.000 * (1+0,12) = 1.120Año 2: 1.120 * (1+0,12) = 1.254Año 3: 1.254 * (1+0,12) = 1.405
VF= 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405
Alternativamente:
...continuación...
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
10
Ejemplo VA:
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
b) Si en cuatro años más necesito tener $ 3.300 y la tasa deinterés anual es de 15%.¿Cuál es el monto que requiero depositar hoy para lograr la meta?
Año 4: 3.300Año 3: 3.300 / (1+0,15) = 2.869,6Año 2: 2.869,6 / (1+0,15) = 2.495,3Año 1: 2.495,3 / (1+0,15) = 2.169,8Año 0: 2.169,8 / (1+0,15) = 1.886,8
VA= 3.300 / (1+0,15)4 = 1.000 / 1,749 = 1.886,8
Alternativamente:
...continuación
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
11
Ejemplos VF y VA:
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
Caso especialc) Si los $1.000 de hoy equivalen a $1.643 al final del año 3.
¿Cuál será la tasa de interés anual relevante?
...continuación
VF= 1.000 * (1+r)3 = 1.643(1+r)3 = 1,64(1+r) = (1,64)1/3
1+r = 1,18r = 0,18
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
12
Tasas de interés compuesta y simple
Tasa de interés compuesta
Corresponde al mismo concepto asociado a la conversión de unvalor actual (VA) en un valor final (VF) y viceversa.
El monto inicial se va capitalizando periodo a periodo, así porejemplo, luego del primer periodo se suma el capital más losintereses ganados y este total es el que gana intereses para unsegundo periodo.
nrVAVF 1*
VF = Monto capitalizado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual)r = tasa de interés del periodon = número de períodos
(1+r) n : Factor de capitalización
nr
VFVA
1 : Factor de descuento1
(1+r) n
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
13
Tasas de interés compuesta y simple
Tasa de interés simple
Concepto poco utilizado en el cálculo financiero, es de fácil obtención, pero con deficiencias por no capitalizar la inversión periodo a periodo.
El capital invertido es llevado directamente al final sin que se capitalice periodo a periodo con los intereses ganados
)*1(* nrVAVF
VF = Monto acumulado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual)r = tasa de interés del periodon = número de períodos
(1+r*n) : Factor acumulación simple
nr
VFVA
*1 : Factor descuento simple
1(1+r*n)
...continuación...
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
14
Tasas de interés compuesta y simple
Ejemplo tasa interés compuesta versus tasa interés simple
Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%. ¿Cuál será su valor al final del tercer año?
Con tasa interés compuesta:
C = 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405
Con tasa interés simple:
C = 1.000 * (1+0,12*3) = 1.000 * 1,36 = 1.360
1000 14051120 1254
1+r 1+r 1+r
1000 1360
1+r*3
...continuación...
Intereses ganados:Año 1: $ 120Año 2: $ 134Año 3: $ 151
Intereses ganados:Año 1: $ 120Año 2: $ 120Año 3: $ 120
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
15
Tasas de interés compuesta y simple
Tasa de interés equivalente
Si se tiene una tasa de interés anual ra , la tasa deinterés mensual equivalente rm, puede ser calculadausando las siguientes expresiones:
12
rr
am
11 121
amrrCon interés compuesto:
Con interés simple:
Este ejemplo se hace extensivo a cualquier unidad de tiempo.
...continuación
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
16
Anualidades
Considere un flujo (F1) (anualidad) por montos igualesque se paga al final de todos los años por un período detiempo n a una tasa r
0 1 2 3 n-1 n
F1 F1 F1 F1 F1
Año:
FlujosActualizados:
F1
(1+r)
F1
(1+r)2
F1
(1+r)3
F1
(1+r)n-1
F1
(1+r)n
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
17
El Valor Actual de esa anualidad (F1) que implica lasuma de todos esos flujos actualizados al momento 0 sedefine como:
n
n
rr
rF
)1(*
1)1(*1
Anualidades...continuación...
r
rFVA
n
)1(1*1
n
r
F
r
F
r
FVA
)1(
1*1...
)1(
1*1
)1(
1*1 2
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
18
Como contrapartida al valor actual de un flujo se tiene:
El Valor Final de una anualidad (F1) que implica la sumade todos esos flujos llevados al periodo n y se definecomo:
Anualidades ...continuación...
r
rFVF
n 1)1(*1
1...1
)1(*1)1(*1 Fn
rFn
rFVF
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
19
Ejemplo anualidad:
Suponga usted pagó cuotas mensuales de $250.000 por la compra de un auto durante 2 años (24 meses) a una tasa de 1% mensual.
¿ Cuál fue el valor del préstamo?
Anualidades ...continuación...
508.186.301,0
)01,01(1*000.250
24
VA
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
20
Ejemplo anualidad:
Suponga usted trabajará durante 30 años, su cotización en laAFP será de $20.000 mensuales, si la AFP le ofrece unarentabilidad mensual de 0,5%
¿ Cuál será el monto que tendrá su fondo al momento de jubilar?
Anualidades ...continuación...
301.090.20005,0
1)005,01(*000.20
360
VF
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
21
Ejemplo anualidad:
Suponga usted comprará una casa que vale hoy $20.000.000 ysolicita al banco un crédito por el total del valor a 15 años plazo(180 meses). La tasa de interés es de 0,5% mensual.
¿ Cuál deberá ser el valor del dividendo mensual ?
Anualidades ...continuación...
r
rFVA
n
)1(1*1
Si: Entonces:nr
rVAF
)1(1*1
Así: 771.168)005,1(1
005,0*000.000.20
1801
F
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
22
Anualidades
PerpetuidadConsidérese un flujo (F1) (anualidad) por montos igualesque se paga a perpetuidad.Perpetuidad corresponde a un periodo de tiempo losuficientemente grande para considerar los flujos finalescomo poco relevantes dado que al descontarlos al año 0son insignificantes.
El Valor actual de esa anualidad se define como:
r
FVA 1
...continuación...
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
23
Ejemplo perpetuidad:
Suponga usted es de esos afortunados que decide jubilar a los50 años y recibirá una renta vitalicia de $50.000 mensualeshasta que muera. La tasa de interés relevante es de 1%mensual y la empresa que le dará la renta supone una “largavida” para usted (suponen podría llegar a los 90, o tal vez 95 oporqué no 100 años).
¿ Cuál es el valor actual del fondo que la empresa debe tenerpara poder cubrir dicha obligación?
Anualidades ...continuación
000.000.501,0
000.50VA
En rigor, usando la fórmula de valor actual de una anualidad (no perpetua) se tendría:Si vive 90 años: VA=$ 4.957.858Si vive 95 años: VA=$ 4.976.803Si vive 100 años: VA=$ 4.987.231
Todos muy cercanos a $5 millones
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
24
Inflación y tasas de interés
Aumento sostenido en el nivel general de precios. Normalmente medido a través del cambio en el IPC
Inflación:
En presencia de inflación (π) , la capacidad de compra o poder adquisitivo de un monto de dinero es mayor hoy que en un año más.
$100 $100Si π = 25%
Periodo 0(Año 0)
Periodo 1(Año 1)
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
25
Inflación y tasas de interés
La ecuación que relaciona las tasas nominal y real, esconocida en la literatura con el nombre de igualdad deFischer:
Donde i = tasa de interés nominal
r = tasa de interés real
= Tasa de inflación
ri 1*11
AB
La tasa de interés (conocida como tasa nominal) deberáincorporar:
A. La rentabilidad exigida para hacer indiferente un montoahora o en el futuro (valor dinero en el tiempo) (tasa real)
B. Diferencial que cubra la inflación y mantenga el poderadquisitivo (tasa inflación)
...continuación...
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
26
RESUMEN:2 conceptos: * Costo de oportunidad (tasa interés real)
* Poder adquisitivo (inflación)
Paso 1: Valora costo de oportunidad, tasa de interés de 10%
Paso 2: Valora costo de oportunidad y además;Mantiene poder adquisitivo, inflación de 25%
Inflación y tasas de interés
$1100 $1375
Año 1 Año 1Si π = 25%
$1000 $1100
Año 0 Año 1Si r = 10%
...continuación...
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
27
Inflación y tasas de interés
Si tengo $ 500 y un banco me ofrece una tasa de interésnominal anual del 37,5% y me encuentro en una economíadonde la inflación es del 25% anual.
¿ Cuál es la tasa real correspondiente ? ¿ Cuánto es mi capital nominal al final del año ?
Ejemplo:
...continuación...
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
28
Si: ( 1 + i ) = ( 1 + ) * ( 1 + r )
Donde =0,25 y i =0,375
Entonces: (1+0,375) = (1+0,25)*(1+r) (1+r) = 1,1r = 10%
Si el capital inicial es C0 = $ 500
Entonces: C1 = C0*(1+i)= 500*(1,375)
C1= $ 687,5
Inflación y tasas de interés...continuación...
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
29
Inflación y tasas de interés...continuación
La evaluación de proyectos utiliza tasas deinterés reales y por tanto flujos reales, de estaforma se evita trabajar con inflaciones quenormalmente tendrían que ser estimadas afuturo con el consiguiente problema deincertidumbre.
Nota importante
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
30
Inflación
Ejemplo: Inflactar
Si costos de inversión de un proyecto formulado en el año 2001 son$7.000 millones pero éste será ejecutado a partir de enero del 2003.
Se deberá actualizar (inflactar) dicho costo según variación en Indicede Precios al Consumidor (IPC):
Si: IPC promedio 2001 = 108,67IPC promedio 2002 = 111,38
11
t
t
IPC
IPCCambioIPC
Así: )1(*1 cambioIPCCostoCosto tt
7.174,6 )167,108
38,111(1(*000.7tCosto
• Ciclo
de vida
•Identifi-
cación
•Diagnós-
tico
•Evaluación
Temario
ILPES
31
Inflación
Ejemplo: DeflactarSi costos de inversión de un proyecto formulado en el año 2002 son$15.000 millones pero se necesita saber cual habría sido su costo realen el año 2001
Se deberá deflactar dicho costo según variación en Indice de Precios alConsumidor (IPC):
Si: IPC promedio 2001 = 108,67IPC promedio 2002 = 111,38
)1(1
cambioIPC
CostoCosto t
t
)1(*1 cambioIPCCostoCosto tt Así:
11
t
t
IPC
IPCCambioIPC
14.635
)167,108
38,111(1(
000.151tCosto