Fundamentals of Texture Mapping and Image Warping

“Explained”A revisit of Paul Heckbert’s

M.Sc. Thesis

Um exemplo 1D

)(uf

u

)(ufc

Nk

kkkc uurwuf )()(

u

Sinal de entrada discreto

Textura discreta Textuta contínua

Deformação da textura (warping)

Nk

kkkc uurwuf )()(

)(ufc

u))(()( 1 xmfxg cc

)(xgc

x

)(umx

)(1 xmu

))(()( 1k

Nkkkc uxmrwxg

Textuta contínua deformadaTextuta contínua

Limitando a freqüência

)(xgc

))(()( 1 xmfxg cc

x

)(xgc

)()()(' xhxgxg cc

x

Filtro de re-amostragem

R

cc dttxhtmfxg )())(()(' 1

)()()(' xufxg kNk

kc

)()()(' xhxgxg cc

R Nk

kkkc dtuxmrwtxhxg ))(()()(' 1

R

kkk dtutmrtxhx ))(()()( 1

R

kkk duu

muurumxhx )())(()(

)(umt

duu

umdt

)(

Reconstrução, warping, filtragem e amostragem

Textura em imagem

v

ji

ijkijc rff,

)()()( uuuu

u

v

u

Textura em imagem

ji

ijkijc rff,

)()()( uuuu

v

u x

y)(umx

))(()( 1 xmx cc fg

)(1 xmu

Filtro de re-amostragem no espaço de destino (espaço da imagem)

A

cc dAhfg ttxtmx )())(()(' 1

)()()(',

xux ijji

ijc fg

)()()(' xxx hgg cc

A

tji

ijijijc dArfhg,

1 ))(()()()(' uxmutxx

A

ijijij dArh tutmtxx ))(()()( 1

destination space integral

Filtro de re-amostragem no espaço de origem (espaço da textura)

)()()(',

xux ijji

ijc fg

A

ijijij dArh tutmtxx ))(()()( 1

R

ijijij drh uu

muuumxx )())(()(

)(umt

R

ijijij drh uJuuumxx )())(()(

)(det)(

v

x

u

y

v

y

u

x

v

y

u

yv

x

u

x

ddd

u

u

umuJt

)(1 tmu

R

ijijij drh uJuuumxx )())(()(

Filtro de re-amostragem no espaço de origem (espaço da textura)

cJuculumx )()( 11111 )()( cxJcxlxmu

))(()(

))(()(1

1

uxmJumx

uxmmumx

ijijcJux

cJux

22

11

)( 2121 uuJxx

R

ijijij drh uuuuxmJJx )()))((()( 1

R

ijijij drh tttuxmJJx )()))((()( 1

ijuut ut dd tuu ij

R

ijijij drh tttuxmJJx )()))((()( 1

)()(' uJJu hh

R

ijijij drh tttuxmx )()))(((')( 1

))()('()( 1ijijij rh uxmx

Filtro de re-amostragem no espaço de origem (espaço da textura)

texture space integral

Mapeamentos lineares afins

11001

v

u

fed

cba

y

x

100

1

1

v

u

bdae

afcdab

cebfde

bdaev

u

ed

ba

v

y

u

yv

x

u

x

J

cJuculumx )()(

f

c

v

u

ed

ba

y

x

11111 )()( cxJcxlxmu

)()(' uJJu hh ),()(),(' evdubvauhdbaevuh

Elliptical Gaussian Resampling

Gaussiana

xVx

VV x1

1/22

1

||π21)(

T

eG

2

2

0

0

V

0

021

V

y

xyxT

2

21

10

01

xVx2

22

yx

2

22

222

1),(

yx

eyxG

2

2

2

2

1)(

x

exG

Gaussiana

2

22

222

1),(

yx

eyxG

2

2

2

2

1)(

x

exG

2

2

2

2

1)(

y

eyG

2

22

2

2

2

2

22

222 2

1

2

1)()(),(

yxyx

eeeyGxGyxG

Circulos e Elipses

v

u

dc

ba

y

x222 Ryx

2Ry

xyx

2R

v

u

dc

ba

db

cavu

2

22

22

Rv

u

dbcdab

cdabcavu

2

2

2 Rv

u

CB

BAvu

FCvBuvAu 22

Warping de domínios de Gaussianas

2

22

2

1),(

vu

evuG

xVx

VV x1

1/22

1

||π21)(

T

eG

CB

BA

2/

2/V

.22 contCyBxyAxT Vxx

Filtro Gaussiano de re-amostragem no espaço de origem (espaço da textura)

Exemplo de reconstrução com Gaussiana

Implementação do Filtro Gaussiano

IRH k

))(()( 1 kkk Tg uxmxIJJ

xVx

VV x1

1/22

1

||π21)(

T

eg

IJJV T1

Magnificação e mimificação

Regiões que mapeiam num quadrado ou círculo

Nosso problemaScreen space Texture space

Como tratar o caso geral

...)( Jucumx