Funciones - Recinto Universitario de...
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Funciones
Dra. Karen R. Ríos-Soto
Departamento de Ciencias MatemáticasUniversidad de Puerto Rico - Mayaguez
AFAMaC, 6 de septiembre de 2010
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Outline
1 Funciones Crecientes y Decrecientes
2 Otros tipos de funcionesFunción RecíprocaFunción a TrozosFunción Valor Absoluto
3 Combinación de FuncionesOperaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
4 TransformacionesTraslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Definición
DefinitionSea I un intervalo que pertenece al dominio de la función f .Entonces,
f es creciente en un intervalo I si f (b) > f (a) siempre queb > a en I.f es decreciente en un intervalo I si f (b) < f (a) siempreque b > a en I.f es constante en un intervalo I si f (b) = f (a) para todo a yb en I.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Definición
DefinitionSea I un intervalo que pertenece al dominio de la función f .Entonces,
f es creciente en un intervalo I si f (b) > f (a) siempre queb > a en I.f es decreciente en un intervalo I si f (b) < f (a) siempreque b > a en I.f es constante en un intervalo I si f (b) = f (a) para todo a yb en I.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Definición
DefinitionSea I un intervalo que pertenece al dominio de la función f .Entonces,
f es creciente en un intervalo I si f (b) > f (a) siempre queb > a en I.f es decreciente en un intervalo I si f (b) < f (a) siempreque b > a en I.f es constante en un intervalo I si f (b) = f (a) para todo a yb en I.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Definición
DefinitionSea I un intervalo que pertenece al dominio de la función f .Entonces,
f es creciente en un intervalo I si f (b) > f (a) siempre queb > a en I.f es decreciente en un intervalo I si f (b) < f (a) siempreque b > a en I.f es constante en un intervalo I si f (b) = f (a) para todo a yb en I.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Ejemplo Función Creciente
La función y = 2x + 5 es creciente en los números reales.
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Ejemplo Función Decreciente
La función y = −x3 + 1 es decreciente en los números reales.
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Combinación de FuncionesTransformaciones
Ejemplo 1
Hallar los intervalos donde la función es creciente odecreciente.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Función RecíprocaFunción a TrozosFunción Valor Absoluto
Outline
1 Funciones Crecientes y Decrecientes
2 Otros tipos de funcionesFunción RecíprocaFunción a TrozosFunción Valor Absoluto
3 Combinación de FuncionesOperaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
4 TransformacionesTraslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Función RecíprocaFunción a TrozosFunción Valor Absoluto
Definición y Ejemplo Función Recíproca
Definition
Una función recíproca para f (x) es definida de la forma 1f (x)
siempre que f (x) 6= 0.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Función RecíprocaFunción a TrozosFunción Valor Absoluto
Outline
1 Funciones Crecientes y Decrecientes
2 Otros tipos de funcionesFunción RecíprocaFunción a TrozosFunción Valor Absoluto
3 Combinación de FuncionesOperaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
4 TransformacionesTraslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Función RecíprocaFunción a TrozosFunción Valor Absoluto
Función por Partes
DefinitionUna función definida a trozos es aquella cuya expresióncontiene más de una fórmula para distintos valores del dominio.
Ejemplos de la vida real:
Enviar paquetes por correo dependiendo del peso, elorigen y el destino.Población de alguna ciudad como función del tiempo.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Función RecíprocaFunción a TrozosFunción Valor Absoluto
Función por Partes
DefinitionUna función definida a trozos es aquella cuya expresióncontiene más de una fórmula para distintos valores del dominio.
Ejemplos de la vida real:
Enviar paquetes por correo dependiendo del peso, elorigen y el destino.Población de alguna ciudad como función del tiempo.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Función RecíprocaFunción a TrozosFunción Valor Absoluto
Función por Partes
DefinitionUna función definida a trozos es aquella cuya expresióncontiene más de una fórmula para distintos valores del dominio.
Ejemplos de la vida real:
Enviar paquetes por correo dependiendo del peso, elorigen y el destino.Población de alguna ciudad como función del tiempo.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Función RecíprocaFunción a TrozosFunción Valor Absoluto
Ejemplo de una Función por Partes
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Función RecíprocaFunción a TrozosFunción Valor Absoluto
Ejemplo 2
Grafique las siguientes funciones a trozos.
a. f (x) =
{−x si x < 02 si x ≥ 0
b. f (x) =
x2 si x ≤ −1x si − 1 < x ≤ 12 si x > 1
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Función RecíprocaFunción a TrozosFunción Valor Absoluto
Ejemplo 2
Grafique las siguientes funciones a trozos.
a. f (x) =
{−x si x < 02 si x ≥ 0
b. f (x) =
x2 si x ≤ −1x si − 1 < x ≤ 12 si x > 1
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Función RecíprocaFunción a TrozosFunción Valor Absoluto
Outline
1 Funciones Crecientes y Decrecientes
2 Otros tipos de funcionesFunción RecíprocaFunción a TrozosFunción Valor Absoluto
3 Combinación de FuncionesOperaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
4 TransformacionesTraslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Función RecíprocaFunción a TrozosFunción Valor Absoluto
Radicales con Varibles
La función valor absoluto es un ejemplo de una función atrozos.
DefinitionLa función valor absoluto está definida como
f (x) = |x | =
{−x si x < 0x si x ≥ 0
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Outline
1 Funciones Crecientes y Decrecientes
2 Otros tipos de funcionesFunción RecíprocaFunción a TrozosFunción Valor Absoluto
3 Combinación de FuncionesOperaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
4 TransformacionesTraslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Suma y Resta de Funciones
Para obtener la función f + g, resultado de sumar dosfunciones, f y g, sumamos, punto a punto, los valores desus ordenadas. Es decir: h(x) = (f + g)(x) = f (x) + g(x).Similarmente, para obtener la función f − g, resultado derestar dos funciones, f y g,restamos, punto a punto, losvalores de sus ordenadas. Es decir:h(x) = (f − g)(x) = f (x)− g(x).El dominio vive en la intersección de las funciones.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Suma y Resta de Funciones
Para obtener la función f + g, resultado de sumar dosfunciones, f y g, sumamos, punto a punto, los valores desus ordenadas. Es decir: h(x) = (f + g)(x) = f (x) + g(x).Similarmente, para obtener la función f − g, resultado derestar dos funciones, f y g,restamos, punto a punto, losvalores de sus ordenadas. Es decir:h(x) = (f − g)(x) = f (x)− g(x).El dominio vive en la intersección de las funciones.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Suma y Resta de Funciones
Para obtener la función f + g, resultado de sumar dosfunciones, f y g, sumamos, punto a punto, los valores desus ordenadas. Es decir: h(x) = (f + g)(x) = f (x) + g(x).Similarmente, para obtener la función f − g, resultado derestar dos funciones, f y g,restamos, punto a punto, losvalores de sus ordenadas. Es decir:h(x) = (f − g)(x) = f (x)− g(x).El dominio vive en la intersección de las funciones.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Ejemplo Suma y Resta
Si f (x) = x2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces,Suma:(f + g)(x) = f (x) + g(x) = x2 + 2 + 2x − 1 = x2 + 2x + 1Resta:(f −g)(x) = f (x)−g(x) = (x2 +2)− (2x −1) = x2−2x +3En ambos casos el dominio es todos los reales.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Ejemplo Suma y Resta
Si f (x) = x2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces,Suma:(f + g)(x) = f (x) + g(x) = x2 + 2 + 2x − 1 = x2 + 2x + 1Resta:(f −g)(x) = f (x)−g(x) = (x2 +2)− (2x −1) = x2−2x +3En ambos casos el dominio es todos los reales.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Ejemplo Suma y Resta
Si f (x) = x2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces,Suma:(f + g)(x) = f (x) + g(x) = x2 + 2 + 2x − 1 = x2 + 2x + 1Resta:(f −g)(x) = f (x)−g(x) = (x2 +2)− (2x −1) = x2−2x +3En ambos casos el dominio es todos los reales.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Ejemplo Suma y Resta
Si f (x) = x2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces,Suma:(f + g)(x) = f (x) + g(x) = x2 + 2 + 2x − 1 = x2 + 2x + 1Resta:(f −g)(x) = f (x)−g(x) = (x2 +2)− (2x −1) = x2−2x +3En ambos casos el dominio es todos los reales.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Multiplicación y Cociente de Funciones
Para obtener la función f · g, resultado de multiplicar dosfunciones, f y g, multiplicamos, punto a punto, los valoresde sus ordenadas. Es decir: h(x) = (f · g)(x) = f (x) · g(x).Similarmente, para obtener la función f
g , resultado dedividir dos funciones, f y g, dividimos, punto a punto, losvalores de sus ordenadas. Es decir:h(x) =
(fg
)(x) = f (x)
g(x) , siempre que g(x) 6= 0.
El dominio vive en la intersección de las funciones.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Multiplicación y Cociente de Funciones
Para obtener la función f · g, resultado de multiplicar dosfunciones, f y g, multiplicamos, punto a punto, los valoresde sus ordenadas. Es decir: h(x) = (f · g)(x) = f (x) · g(x).Similarmente, para obtener la función f
g , resultado dedividir dos funciones, f y g, dividimos, punto a punto, losvalores de sus ordenadas. Es decir:h(x) =
(fg
)(x) = f (x)
g(x) , siempre que g(x) 6= 0.
El dominio vive en la intersección de las funciones.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Multiplicación y Cociente de Funciones
Para obtener la función f · g, resultado de multiplicar dosfunciones, f y g, multiplicamos, punto a punto, los valoresde sus ordenadas. Es decir: h(x) = (f · g)(x) = f (x) · g(x).Similarmente, para obtener la función f
g , resultado dedividir dos funciones, f y g, dividimos, punto a punto, losvalores de sus ordenadas. Es decir:h(x) =
(fg
)(x) = f (x)
g(x) , siempre que g(x) 6= 0.
El dominio vive en la intersección de las funciones.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Ejemplo Multiplicación y Cociente
Si f (x) = x2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces,Suma:(f ·g)(x) = f (x)·g(x) = (x2+2)·(2x−1) = 2x2−x2+4x−2y el dominio es todos los reales.
Resta:(
fg
)(x) = f (x)
g(x) = (x2+2)(2x−1) en este caso el dominio es
todos los reales excepto x = 12 .
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Ejemplo Multiplicación y Cociente
Si f (x) = x2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces,Suma:(f ·g)(x) = f (x)·g(x) = (x2+2)·(2x−1) = 2x2−x2+4x−2y el dominio es todos los reales.
Resta:(
fg
)(x) = f (x)
g(x) = (x2+2)(2x−1) en este caso el dominio es
todos los reales excepto x = 12 .
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Ejemplo Multiplicación y Cociente
Si f (x) = x2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces,Suma:(f ·g)(x) = f (x)·g(x) = (x2+2)·(2x−1) = 2x2−x2+4x−2y el dominio es todos los reales.
Resta:(
fg
)(x) = f (x)
g(x) = (x2+2)(2x−1) en este caso el dominio es
todos los reales excepto x = 12 .
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Ejemplo 3
Halle la suma, resta, multiplicación y cociente de las siguientesfunciones. Para cada uno de los casos establecer el dominio.
a. f (x) = x + 5 y g(x) = 3b. f (x) = x2 y g(x) = 1
x
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Ejemplo 3
Halle la suma, resta, multiplicación y cociente de las siguientesfunciones. Para cada uno de los casos establecer el dominio.
a. f (x) = x + 5 y g(x) = 3b. f (x) = x2 y g(x) = 1
x
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Outline
1 Funciones Crecientes y Decrecientes
2 Otros tipos de funcionesFunción RecíprocaFunción a TrozosFunción Valor Absoluto
3 Combinación de FuncionesOperaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
4 TransformacionesTraslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Composición
DefinitionDada las funciones f (x) y g(x), la composición de f con g, estádada por (f ◦ g)(x) = f (g(x)) donde g(x) es el dominio de f (x).
DefinitionDada las funciones f (x) y g(x), la composición de g con f , estádada por (g ◦ f )(x) = g(f (x)) donde f (x) es el dominio de g(x).
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Composición
DefinitionDada las funciones f (x) y g(x), la composición de f con g, estádada por (f ◦ g)(x) = f (g(x)) donde g(x) es el dominio de f (x).
DefinitionDada las funciones f (x) y g(x), la composición de g con f , estádada por (g ◦ f )(x) = g(f (x)) donde f (x) es el dominio de g(x).
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Diagrama Composición
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Ejemplo Composición
Si f (x) = x2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces,(f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (2x−1) = (2x−1)2+2 = 4x2+4x+3(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 2) = 2(x2 + 2)− 1 = 2x2 + 3.En ambos casos el dominio es todos los reales.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Ejemplo Composición
Si f (x) = x2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces,(f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (2x−1) = (2x−1)2+2 = 4x2+4x+3(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 2) = 2(x2 + 2)− 1 = 2x2 + 3.En ambos casos el dominio es todos los reales.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Ejemplo Composición
Si f (x) = x2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces,(f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (2x−1) = (2x−1)2+2 = 4x2+4x+3(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 2) = 2(x2 + 2)− 1 = 2x2 + 3.En ambos casos el dominio es todos los reales.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Ejemplo Composición
Si f (x) = x2 + 2 y g(x) = 2x − 1 entonces,(f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (2x−1) = (2x−1)2+2 = 4x2+4x+3(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 2) = 2(x2 + 2)− 1 = 2x2 + 3.En ambos casos el dominio es todos los reales.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Ejemplo 4
Halle las composiciones f ◦g, g ◦ f , g ◦g y f ◦ f de las siguientesfunciones. Para cada uno de los casos establecer el dominio.
a. f (x) = x + 5 y g(x) = 3b. f (x) = x2 y g(x) = 1
x
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Ejemplo 4
Halle las composiciones f ◦g, g ◦ f , g ◦g y f ◦ f de las siguientesfunciones. Para cada uno de los casos establecer el dominio.
a. f (x) = x + 5 y g(x) = 3b. f (x) = x2 y g(x) = 1
x
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Ejemplo 5
Halle los valores de (f ◦ g)(8) y (g ◦ f )(9), para las funciones:
f (x) =√
x , g(x) = x + 1.
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Ejemplo 6
Halle la composición de tres funciones,f (x) = x
x+1 , g(x) = x10, h(x) = x + 3,esto es halle (f ◦ g ◦ h)(x).
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Reconociendo Composiciones de Funciones
Dado una función debemos reconocer cuando es unacomposición identificando sus componentes.Por ejemplo en dado F (x) = 1
3x+7 hallar f y g tal queF (x) = (f ◦ g)(x).En este caso f (x) = 1
x y g(x) = 3x + 7.VerificandoF (x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (3x + 7) = 1
3x+7 .
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Reconociendo Composiciones de Funciones
Dado una función debemos reconocer cuando es unacomposición identificando sus componentes.Por ejemplo en dado F (x) = 1
3x+7 hallar f y g tal queF (x) = (f ◦ g)(x).En este caso f (x) = 1
x y g(x) = 3x + 7.VerificandoF (x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (3x + 7) = 1
3x+7 .
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Reconociendo Composiciones de Funciones
Dado una función debemos reconocer cuando es unacomposición identificando sus componentes.Por ejemplo en dado F (x) = 1
3x+7 hallar f y g tal queF (x) = (f ◦ g)(x).En este caso f (x) = 1
x y g(x) = 3x + 7.VerificandoF (x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (3x + 7) = 1
3x+7 .
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Reconociendo Composiciones de Funciones
Dado una función debemos reconocer cuando es unacomposición identificando sus componentes.Por ejemplo en dado F (x) = 1
3x+7 hallar f y g tal queF (x) = (f ◦ g)(x).En este caso f (x) = 1
x y g(x) = 3x + 7.VerificandoF (x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (3x + 7) = 1
3x+7 .
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Ejemplo 7
Dado las siguientes funciones hallar f y g tal queF (x) = (f ◦ g)(x).
a. F (x) =√
8x + 5b. F (x) = |x2 + 1|c. F (x) = (10x + 1)3
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Ejemplo 7
Dado las siguientes funciones hallar f y g tal queF (x) = (f ◦ g)(x).
a. F (x) =√
8x + 5b. F (x) = |x2 + 1|c. F (x) = (10x + 1)3
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Operaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
Ejemplo 7
Dado las siguientes funciones hallar f y g tal queF (x) = (f ◦ g)(x).
a. F (x) =√
8x + 5b. F (x) = |x2 + 1|c. F (x) = (10x + 1)3
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Traslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
Outline
1 Funciones Crecientes y Decrecientes
2 Otros tipos de funcionesFunción RecíprocaFunción a TrozosFunción Valor Absoluto
3 Combinación de FuncionesOperaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
4 TransformacionesTraslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Traslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
Desplazamiento Vertical
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Traslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
Ejemplo de Desplazamiento Vertical
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Traslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
Ejemplo 8
Dibujar las gráficas de:a. f (x) = x2 + 3b. g(x) = x3 − 1c. h(x) = |x |+ 2
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Funciones
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Traslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
Ejemplo 8
Dibujar las gráficas de:a. f (x) = x2 + 3b. g(x) = x3 − 1c. h(x) = |x |+ 2
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Traslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
Ejemplo 8
Dibujar las gráficas de:a. f (x) = x2 + 3b. g(x) = x3 − 1c. h(x) = |x |+ 2
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Traslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
Desplazamiento Horizontal
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Traslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
Ejemplo de Desplazamiento Horizontal
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Traslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
Ejemplo 8
Dibujar las gráficas de:a. f (x) = (x + 3)2
b. g(x) = (x − 1)3
c. h(x) = |x + 2|
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Traslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
Ejemplo 8
Dibujar las gráficas de:a. f (x) = (x + 3)2
b. g(x) = (x − 1)3
c. h(x) = |x + 2|
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Traslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
Ejemplo 8
Dibujar las gráficas de:a. f (x) = (x + 3)2
b. g(x) = (x − 1)3
c. h(x) = |x + 2|
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Traslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
Outline
1 Funciones Crecientes y Decrecientes
2 Otros tipos de funcionesFunción RecíprocaFunción a TrozosFunción Valor Absoluto
3 Combinación de FuncionesOperaciones Básicas de FuncionesComposición de Funciones
4 TransformacionesTraslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Traslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
Reflexión de una Función
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Traslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
Ejemplo de Reflexión
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Traslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
Ejemplo 9
Dibujar las gráficas de:a. f (x) = −x2
b. g(x) =√−x
b. h(x) = −√
x
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Traslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
Ejemplo 9
Dibujar las gráficas de:a. f (x) = −x2
b. g(x) =√−x
b. h(x) = −√
x
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Funciones Crecientes y DecrecientesOtros tipos de funciones
Combinación de FuncionesTransformaciones
Traslaciones Verticales y HorizonalesReflexión
Ejemplo 9
Dibujar las gráficas de:a. f (x) = −x2
b. g(x) =√−x
b. h(x) = −√
x
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