Matemática Básica(Ing.)1 Definición y notación de funciones Continuidad Funciones crecientes y...

Matemática Básica(Ing.) 1

• Definición y notación de funciones• Continuidad• Funciones crecientes y

decrecientes• Acotamiento • Extremos locales y absolutos• Simetrías • Asíntotas

Sesión 2.2

Funciones: Conceptos Básicos


Información del curso

Tareas: ingresar al aula virtual e imprimir.

Talleres: Ver horarios en el panel (aula C -12)

Primera práctica calificada: sábado 29 de 9 a 11 AM.


Introducción: Salario mínimo por hora La siguiente tabla

muestra el crecimiento del salario mínimo por hora (SMH) de 1955 a 2005 en Estados Unidos y a la vez muestra el SMH ajustado al poder adquisitivo de dólares de 1996.

Año SMH AñoPoder

adquisitivo en dólares de 1996

19551960196519701975198019851990199520002005

0,751,001,251,602,103,103,353,804,255,155,15

19551960196519701975198019851990199520002005

4,395,306,236,476,125,904,884,564,384,694,15


1. ¿En cuál periodo de 5 años el SMH real aumentó

más?

2. ¿En qué año un trabajador que gano el SMH

disfrutó el máximo poder adquisitivo?

3. Un trabajador con salario mínimo en 1980

ganaba el doble de un trabajador con salario

mínimo en 1970 y, aún así, había gran presión

por subir nuevamente el salario mínimo. ¿Por

qué?

Introducción


A partir de la grafica determine:

• El dominio y el rango.• Los ceros de la función.• Intervalos de monotonía.• Cotas superior e inferior.• Puntos de discontinuidad.• Extremos locales y absolutos.• Simetrías.• Asíntotas.

Introducción


Habilidades 1. Define el concepto de función, así como el dominio y el

rango.2. Determina el dominio a partir de la ley de

correspondencia.3. Identifica si una curva representa una función mediante

el criterio de la recta vertical.4. Determina el rango a partir de la grafica.5. Identifica gráficamente los puntos de discontinuidad y los

clasifica.6. Determina los intervalos donde una función es creciente,

decreciente o constante.7. Identifica gráficamente si una función tiene cota superior,

inferior o esta acotada. 8. Identifica y determina de forma grafica los valores

extremos, y las asíntotas para una función.9. Identifica si una función es simétrica y si tiene asíntotas.10. Determina las ecuaciones de las asíntotas.


Definiciones:

Una función de un conjunto D a un conjunto R es una regla que asigna a cada elemento de D un único elemento en R.

El conjunto D de todos los valores de entrada es el dominio de la función.

El conjunto R de todos los valores de salida es el rango de la función.


Es útil comparar la función con una máquina en la cual para cada x que ingresa, la máquina produce la salida f(x).

fentrada salida

x f(x)

y = f(x) se lee “y es igual a f en x” o “el valor de f en x”, llamada regla de correspondencia de una función.Aquí, x es la variable independiente y y es la variable dependiente.


Ejemplo

3)() xxfa

1)()

t

ttgc

22)() xxxhd

5)()

xx

xfb

Determine el dominio de cada función


Gráfica de una función

Si f es una función con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de puntos

Dxxfx /))(;(

x

y

f(1) f(2) f(3)

(x; f(x))

f(x)

x


De las tres gráficas que se muestran, ¿cuál no es la gráfica de una función?

x

y

x

y

x

y

Ejemplo


Criterio de la recta vertical

Suponga que C es una curva en el plano XY.

C es la gráfica de una función si toda recta

vertical que la interseca lo hace una sola vez.

En el texto dice (página 87)

Una gráfica (conjunto de puntos (x; y)) en el

plano XY define a y como una función de x, si

y sólo si, ninguna recta vertical interseca a la

gráfica en más de un punto.


Determine el dominio y el rango a partir de las gráfica de las siguientes funciones

x

y

f(x) = 1/x

Ejemplo

x

y

-0.5


Concepto geométrico de función continua

x

y

Continua en toda x Discontinuidad removible Discontinuidad removible

xa

f(a)y

xa

y

x

y

a

Discontinuidad de salto Discontinuidad infinita

x

y

a

Resolver ejercicios 21, 22, 23 y 27. Pág. 102


Con base en las gráficas, ¿cuáles de las siguientes figuras muestran funciones que sean discontinuas en x = 2? ¿Algunas de las discontinuidades es removible?

x

y

23

)(

xx

xf

x

y

)2)(3()( xxxf

Ejemplo


x

y

24

)(2

xx

xf

EjemploCon base en las gráficas, ¿cuáles de las siguientes figuras muestran funciones que sean discontinuas en x = 2? ¿Algunas de las discontinuidades es removible?


Definiciones:

Una función f es creciente en un intervalo si, para cualquier dos puntos en el intervalo, un cambio positivo en x ocasiona un cambio positivo en f(x).

Una función f es decreciente en un intervalo

si, para cualquier dos puntos en el intervalo, un cambio positivo en x ocasiona un cambio negativo en f(x).

Una función f es constante en un intervalo si, para cualquier dos puntos en el intervalo, un cambio positivo en x ocasiona un cambio nulo en f(x).


Determine los intervalos en que f es creciente, decreciente o constante.

2)2()( xxf 1)(

2

2

xx

xf

Ejemplo


Concepto geométrico de acotamiento

No acotada por arribaNo acotada por debajo

x

y

Acotada por arribaNo acotada por debajo

x

y

No acotada por arribaAcotada por debajo

y

x

Acotada

x

y


Definiciones: Una función f está acotada por debajo si existe

algún número b que sea menor o igual a todo número en el rango de f. Cualquiera de estos números b se denomina cota inferior de f.

Una función f está acotada por arriba si existe

algún número B que sea mayor o igual a todo número en el rango de f. Cualquiera de estos números B se denomina cota superior de f.

Una función f está acotada si está acotada por arriba y por debajo.

Desarrolle: el ejemplo 7 (página 95). Resolver: ejercicios 21, 33 y 37. Pág. 102. Use Winplot o el Derive.


x

y

P

Q

R

Definiciones: Un máximo local de una función f, es un valor

f(c) que es mayor o igual a todos los valores del rango de f en algún intervalo abierto que contiene a c.

Si f(c) es mayor o igual que todos los valores del rango de f, entonces f(c) es el valor máximo absoluto de f.

Un mínimo local de una función f, es un valor f(c) que es menor o igual a todos los valores del rango de f en algún intervalo abierto que contiene a c.

Si f(c) es menor o igual que todos los valores del rango de f, entonces f(c) es el valor mínimo absoluto de f.

Desarrolle el ejemplo 8 (página 95) u otros similares. Use Derive o Winplot.


Simetría con respecto al eje Y

Forma gráfica Forma numérica Forma algebraica

x f(x)

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

)(

)()(

fdomx

xfxf

Las funciones con esta propiedad sonllamadas funcionesPARES

(-x; y) (x; y)


Forma gráfica Forma numérica Forma algebraica

x f(x)

-3 -27

-2 -8

-1 -1

1 1

2 8

3 27

)(

)()(

fdomx

xfxf

Las funciones con esta propiedad sonllamadas funcionesIMPARES

(x; y)

(-x; y)

Resolver el ejemplo 9 (página 98) u otros similares

Simetría con respecto al origen


Definiciones: La recta y = b es una asíntota

horizontal de la gráfica de una función y = f(x), si f(x) se aproxima a b como límite, cuando x tiende a +∞ o –∞.

En la notación de límites:

La recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de una función y = f(x), si f(x) tiende a +∞ o –∞, cuando x se aproxima a a por cualquier dirección.

En notación de límites:

)(lim xfax

)(lim xfax

bxfx

)(lim bxfx

)(lim


Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.

Ejercicios de la sección 1.2

Pág. 102 - 105

Sobre la tarea

Esta publicada en el AV Moodle

Importante

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