Funciones Especiales

Gráficas, dominios y rangos

Funciones Especiales

Las funciones que a continuación se presentan son de uso frecuente, por ello, es necesario recordar sus características. Entre estas funciones se consideran: Función Constante, Identidad; Lineal, Inversa y Valor Absoluto.

Debes considerar los conjuntos con los cuales se trabajará cada gráfica y por lógica si cambia los conjuntos, los gráficos tendrán algunas variaciones.

Dada la función y = ax + b, realizaremos una variación.

► Hacemos que a = 0 , entonces la función resultante es: y = b; a esta función se le denomina función constante ya que no presenta la variable.► Son ejemplos de este tipo de función: y = 3; y = -5; y = 2/3; h(x) = - 11; etc.

► La función constante y = b nos dice que todos sus pares ordenados tienen como segunda componente al número b.Ejemplo: La gráfica de y = 4 o de otra forma k(x) = 4 es: (observa los conjuntos de definición)

Atención:☼ El dominio de una función constante es R (Reales)☼ El rango de la función constante es: { b}☼ Su gráfica es una recta horizontal

Dada la función y = ax + b, realizaremos algunas variaciones .

► Hacemos que a = 1 y b = 0 , entonces la función resultante es: y = x; a esta función se le denomina función identidad ya que ambas variables toman valores idénticos.► La función identidad y = x nos dice que todos sus pares ordenados gozan de la característica siguiente: “su segunda componente es igual a su primera componente”Ejemplo: La gráfica de y = x o de otra forma f(x) = x es: (observa los conjuntos de definición)

Atención:☼ El dominio de una función identidad es R.☼ El rango de la función identidad es R☼ Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante

Es la función de la forma: y = ax + b o también expresada como h(x) ax + b; donde: a R – {0}, b R. Ejemplo: La gráfica de: y = 3x + 1; es:

x y = f(x) = 3x + 1 Pares ordenados

… … …

-2 y = 3(-2) +1 = -5 (-2;-5)

-1 y = 3(-1) +1 = -2 (-1;-2)

0 y = 3(0) +1 = 1 (0;1)

1 y = 3(1) +1 = 4 (1; 4)

… … …

Atención:☼ El dominio de una función lineal es: R (reales)☼ El rango de la función lineal es R☼ Su gráfico es una recta oblicua que intercepta al eje “y” en un punto de ordenada “b” (b 0 )

Una función lineal se puede delimitar su dominio al utilizar un subconjunto de R expresado por un intervalo. En este caso, su gráfica puede ser un segmento, rayo o semirrecta.

Para las siguientes gráficas debes observar muy bien los signos de los intervalos ya que ellos nos indicara el tipo de gráfica. Además sólo podemos tabular los valores de los extremos del intervalo y luego trazar la gráficaEjemplo:

a) y = x + 2 con x [-4;1]

x y = x + 2

-4 -2 cerrado

1 3 cerrado

Rango y [ -2; 3 ]

b) y = 2-x con x [-2;+ >

x y = 2 - x

-2 4 cerrado

5 -3 cerrado

Rango y <- ; 4 ]

c) y = 2 con x <- ; 3>

x y = 2

-5 2 cerrado

3 2 abierto

Rango y { 2 }

ilimitada por un lado

ilimitada por un lado

Para determinar la función inversa f-1 de una función inyectiva f se procede de la siguiente manera:► Se despeja x de la ecuación y = f(x).► Se intercambian las variables x e y.Observa como se resuelve el siguientes ejemplo.

Determinamos la función inversa f-1 de una función : , definida por f(x)= 3x.Resolución. ♪ De y = 3x despejamos x, resultando: x = y/3 ♪ Intercambiamos las variables en y = x/3, y obtenemos la función inversa de f, es decir: f-1 = x/3 ♪ Graficamos la función.

12xx/3…

363xx…

En toda función f: A B que tiene su correspondiente función inversa f-1 : B A, se cumple que:

◘◘◘◘

◘◘◘

A B

f

f-1

D(f) = R(f-1)R(f) = D(f-1)

Atención:Una función f de A en B ( f: A B) tiene su correspondiente función inversa (f-1 : B A) si y sólo si f: A B es inyectiva.

La función f y su respectiva inversa f-1

La función valor absoluto es una función real, definida por f(x) = |x| ó y = |x|, esta función puede expresarse de la siguiente manera:

Este menos nos indica el opuesto del valor que tome x

Esta notación se interpreta como la unión de dos funciones

Veamos el ejemplo básico:

y = x ; si x 0 y = - x ; si x < 0

Es cero o positivoEs negativo

x y = x Si: x 0

0 y = 0 (0,0) cerrado

1 y = 1 (1;1) cerrado

2 y = 2 (2;2) cerrado

…

x y = x Si: x< 0

-1 y = -(-1) (-1,1) cerrado

-2 y = -(-2) (-2;2) cerrado

-3 y = -(-3) (-3;3) cerrado

…

Luego: Dom = R Ran = [0; + >

Atención:La gráfica tiene la forma de “V” y cada brazo de la gráfica es simétrica a la otra

Otro ejemplo Hallar y graficar el dominio y el rango de la función: y = |x-2| + 1

Resolución.☼ De la definición de valor absoluto:

♪ Luego:

♪ Y finalmente:

♪Obtenemos:

Con la última expresión es que podemos interpretarlo como la unión de dos funciones, veamos:x y = x-1 Si: x 2

2 y = 2-1 = 1 (2,1) cerrado

3 y = 3-1 = 2 (3;2) cerrado

4 y = 4-1 = 3 (4;3) cerrado

…

x y = -x +3 Si: x< 2

1 y = -(1)+3 = 2 (1,2) cerrado

0 y = -(0)+3 = 3 (0;3) cerrado

-1 y = -(-1)+3 = 4 (-1;4) cerrado

…

Luego:Dom = RRan = [1; >

AUTOEVALUACIÓN1.- ¿Qué función tiene un solo elemento en el rango?

2.- Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen

3.- En una función Valor Absoluto cuya gráfica tiene la forma de “V” invertida, podemos afirmar que:

F. Constante

La variable toma valores negativos e incluido el cero.

F. Constante

F. Lineal F. Valor Absoluto F . Identidad

Los coeficientes de los términos son negativos

Se refiere al opuesto del valor absoluto

F. Valor Absoluto

F . Identidad F. Lineal

Gracias