Relaciones y Funciones Especiales
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Mag. Mat. Juan C. Damián Sandoval
Un bebé pesa 2.8 kilos al nacer y 3 años después su peso es de 8.5 kilos.Suponga que le peso P (en kilos) y la edad T (en años) están relacionados linealmente:
a) Exprese P en términos de T.
b) ¿ Cuál será el peso del niño en su cuarto cumpleaños?
c) ¿ A qué edad el niño pesará 20 kilos?
d) Grafique la función para 0 12T≤ ≤
2. La actividad física produce a largo plazo un aumento del peso del hígado y volumen del corazón. Suponga que se tiene un hígado de 280 gramos cuyo volumen cardíaco es de 850 ml , y que para un hígado de 350 gramos el volumen cardíaco es de 990 ml. Suponiendo que existe una relación lineal entre la masa hepática y el volumen del corazón, determine la función del volumen cardíaco en términos de la masa hepática.
1. PAR ORDENADO: Se llama así a toda dupla deelementos escritos de la forma:
Donde: “a” es la primera componente“b” es la segunda componente
1.1Propiedad:
EjemploSi encuentre “x + y”
{ } { }{ }( ; ) ; ;a b a a b=
( ; ) ( ; )a b c d a c b d= ⇔ = ∧ =
( 5;6) (11; 5)x y− = −
2. PRODUCTO CARTESIANO: El producto cartesianoentre dos conjuntos A y B, es el conjunto de paresordenados que se forma haciendo corresponder a cadaelemento del conjunto A con cada elemento del conjunto B.
3. PLANO CARTESIANO{ }( ; ) /A B a b a A b B× = ∈ ∧ ∈
x: Eje de las abscisasy: Eje de las ordenadas
EJEMPLO1. Dados los conjuntos
a) Encuentre el producto cartesiano
{ } { }2;5;7 3;4;5;6A B= =
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2;3 , 2;4 , 2;5 , 2;6
5;3 , 5;4 , 5;5 , 5,6
7;3 , 7;4 , 7;5 , 7;6
A B
× =
( ) ( ) ( ) 12n A B n A n B× = × =
b) Representar en un diagrama sagital
c) Representar en un plano cartesiano
4. RELACIONES: Sean los conjuntos A y B entonces sedefine la Relación como un subconjunto del productocartesiano.Simbólicamente:
EJEMPLOS 1.Dados los conjuntos
Encuentre las siguientes Relaciones
:R A B R A B→ ⇔ ⊂ ×
{ } { }3;5;7 2;4;6A B= =
{ }{ }
( ; ) /
( ; ) / 9
R x y A B x y
S x y A B x y
= ∈ × <
= ∈ × + =
1.1 DEFINICIÓNUna función es una relación o correspondencia entre dosmagnitudes, de manera que a cada valor de la primeracomponente le corresponde un único valor de la segundacomponente, que se llama imagen, es decir:
es la regla de correspondencia.Además se cumple:i)
ii)
:f A B→ { }( ; ) / ( )f x y A B y f x= ∈ × =
( )y f x=
f A B⊂ ×
( ) ( ); ;a b f a c f b c∈ ∧ ∈ → =
1.2 DOMINIO Y RANGO• El dominio de una función está dado por el conjunto de
valores que puede tomar “x”
• El rango de la función está dado por el conjunto de
valores que puede tomar “y”
( ){ }( ){ }
( ) / ; ;
( ) / ; ;
Dom f x A y B x y f A
Ran f y B x A x y f B
= ∈ ∃ ∈ ∈ ⊂
= ∈ ∃ ∈ ∈ ⊂
EJEMPLOS1. Determina cuál de los siguientes diagramas determina una función.
2. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a unafunción.
3. Encuentre si f es una función
4. Si g es una función
Encuentre , dominio y rango
2 2" "b a−
{ }3(3;5), (2; ), (3; ), (2;8), (4;1)f a a b= −
{ }(1;4), (5; ), (3;2), (1; ), (5;3), (3; )g a b b c c= + + −
" "a b c+ +
5. Encuentre el dominio y rango de cada función en losgráficos representados
Dom f
Ranf
1.3 CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
a) Función Creciente: Una función “f” es creciente en
el intervalo “I”,
1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ,Si x x f x f x x x I< ⇒ < ∀ ∈
b) Función Decreciente: Una función “f” es decreciente en el intervalo “I”,
1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ,Si x x f x f x x x I< ⇒ > ∀ ∈
Ejemplos1. Determine si las funciones dadas son crecientes o
decrecientes en los intervalos indicados.
2. Dada la siguiente gráfica, indique los intervalos decrecimiento y de decrecimiento
] ][ ]
2
2
) ( ) ( 1) , 0;5
) ( ) (2 ) , 2;6
a f x x x
b g x x x
= + ∈
= − − ∈
c) Función Positiva y Negativa:
[ [] ]
) ( ) 0, ( ) es ;
) ( ) 0, ( ) es ;
i f x f x negativa x a b
ii f x f x positiva x b c
< ⇔ ∈
> ⇔ ∈
d) Función Par e impar: Una función es par si
Una función es impar si
EjemplosVerificar si las funciones dadas son pares e impares
( ) ( ) f x f x x Domf− = ∀ ∈
( ) ( ) f x f x x Domf− = − ∀ ∈
4 2
3
) ( ) 3 5) ( ) 2
a f x x xb f x x x
= − +
= +
1.4 VALOR NUMÉRICO.Consiste en evaluar una determinada función en el puntoindicado, dentro del dominio.
Ejemplos1.Si
Encuentre
2. Si Calcular
{ }2
(2;3), (4;7), (1;5), (7;9)
( ) 3 1
f
h x x x
=
= + +
(7) (2)5 (0) (1)f hPh f
+=
+2( ) 1f x x= +
( (0)) ( (1))3 ( ( 1))
f f f fEf f
−=
−
3. Si encuentre el valor de
4.Calcule el valor de
5. Dada la siguiente gráfica
2( ) 1f x x= +( ) ( )f x h f x
h+ −
2 ( 2) 5 2, ( 1) 5, ( 1) 1Si f x x g x x h x x− = − − = + + = −
23 (3) 6 (2) [ ( 2)] (3) ( 1)E f h f g h= + − − + − −
( )y f x=
a) Determine el valor de
(5) ( 12)(0) (3)
f fEf f
+ −=
+
b) Dominio y rango.c) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.d) Los intervalos donde la función positiva y negativae) Los puntos de intersección con los ejes coordenados.f) Donde la función es constante.