LA FUNCIÓN LA FUNCIÓN EXPONENCIALEXPONENCIALPablo Abner Pagán RiveraPablo Abner Pagán Rivera

Gloria López NáterGloria López NáterMat. 133 Sección 3 (Pre-Cálculo)

Profesora M. Alonso

FUNCIONES

• Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre sí.

• Se hace uso de las funciones reales en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales. 

• Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. existen varios

TIPOS DE FUNCIONES• Función inversa• Función cuadrática• Función lineal • Función de raíz cuadrada• Función de raíz cúbica• Función de valor absoluto • Función Racional • Función de dominio partido • Función exponencial Función exponencial • Función logarítmica

¿Qué es la Función Exponencial?

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LA FUNCIÓN EXPONENCIALLA FUNCIÓN EXPONENCIAL

• La función exponencial se define mediante la forma:

F(x)= bx

en la cual b  y  x son números reales tal que b>0 y  b≠1.

En dicha función b es una constante llamada base y el exponente, dominio de f, es el conjunto de todos los números reales. Es necesario que b sea positivo para evitar números complejos.

FUNCIONES EXPONENCIALES

• Se denominan a menudo “funciones de crecimiento” debido a que se usan extensamente en la descripción de diversos tipos de fenómenos de crecimiento. 

• Se usan para describir el crecimiento de la población de las personas, animales, y bacterias; la desintegración radioactiva (crecimiento negativo), la formación de una sustancia nueva en una reacción química; el aumento o descenso de la temperatura de una sustancia que se calienta o se enfría; el aumento del capital con interés compuesto; la absorción de la luz (crecimiento negativo) cuando pasa por el aire, agua o vidrio; el descenso de la presión atmosférica cuando aumenta la altura;  y el aprendizaje de una destreza como la natación o la mecanografía, en función de la practica.

PROPIEDADES

• El dominio consiste de todos los números reales. • El rango consiste de todos los números positivos. • La función es creciente (la curva sube) cuando b>1 y es

decreciente (la curva baja) cuando 0<b<1.• La curva es cóncava hacia arriba cuando b>1 y cuando

0<b<1.• Es una función biunívoca { si f(x1)= f(x2) ; x1=x2 }. • El punto (0,1) pertenece a la curva. • En esta función no hay abscisa al origen. • El eje de x es una asíntota horizontal a la curva: hacia la

izquierda cuando b>1 y hacia la derecha cuando 0>b>1.

La Función Exponencial NaturalLa Función Exponencial Natural

• Esta se define como: F(x)=ex

en donde e es un número irracional que puede expresarse con cualquier grado de exactitud usando una serie infinita.

Con siete cifras decimales, el valor de e puede aproximarse a 2,7182818. Además de escribirse como ex, también se escribe como

y=exp. (x)

PROPIEDADES

• Su dominio lo son todos los números reales.• En su rango toda y>0.• Cuando la función es creciente la curva de esta

es cóncava hacia arriba.• Para poder determinar si esta es función

biunívoca se establece que:

si ex^1=ex^2 entonces x^1 = x^2 y que

0<e(x) <1, cuando x<0; e^0=1; cuando x>0 exK.

ENTREVISTA REALIZADA

• Entrevistado:

– Profesor Francisco Arencibia-Albite Universidad del Sagrado Corazón en Santurce, Puerto Rico

– Nos habló con respecto a la utilidad de la Función exponencial en la Biología.

¿Para qué utiliza usted la función exponencial en su área de estudios y enseñanza?

• “La utilizo para describir el comportamiento de los canales iónicos, ya que en las membranas existen unos polos en las proteínas integradas a la membrana de la célula que permiten la entrada y salida de sustancias. En esto es donde actualmente me estoy enfocando más. Esta función la utilizo y la modifico para saber un aproximado de la carga que pasa entre esos polos y por que es que pasa al uno abrirse por la carga que tengan; para describir el voltaje de dependencia de los canales iónicos. Estos canales pueden estar en dos estados, cerrado o abierto. Con esto se pueden provocar dos estímulos de las membranas. También en las transiciones químicas que provoco haciendo que el voltaje en las proteínas de las membranas cambie. La transición es cambiar de cerrado a abierto y vise-versa.”

¿Por qué es tan importante estudiar

estas estructuras?

• “Es muy importante debido a que la función exponencial nos ayuda a ver los canales de la membrana si están bien o si hubo un cambio o una mutación; acá le decimos que esa membrana se enfermo; debido a la carga de la compuerta o como en ingles se diría “Gating Charge’’. Además es también muy importante ya que gracias a esta función pudimos encontrar muchas enfermedades que ocurren en los canales iónicos de las proteínas de la membrana, tal como la Canalopatía.”

¿Sabe de alguna otra enfermedad que  se ha

encontrado gracias a la función exponencial?

• “Si, esta la fibrosis cística en donde los canales que permiten el flujo del ión de Cloro en las células epiteliales no lo hacen adecuadamente y la enfermedad hereditaria del reflejo del susto exagerado (“Startel Disease”) en donde los canales iónicos cuya apertura es regulada por glicina (neurotransmisor) ahora no responden a ella con la misma afinidad. Cuando haces este experimento es particular es bien gracioso porque ves como al asustar levemente al ratón hace un movimiento de susto exagerado que causa gracia. Es bien nítido este experimento.”

¿Cómo yo como estudiante puedo utilizar esta función en mi vida diaria?

• “Ahora mismo no es tan útil pero una vez que la conoces bien la puedes utilizar hasta para saber la gráfica del crecimiento de un árbol.  Las funciones permiten identificar los elementos de un fenómeno, y describen de manera efectiva la utilización de ese fenómeno en particular. Debes pasar un tiempo que es bastante largo para conocer bien esta función y aprender paso a paso la utilidad de las matemáticas para entonces poder ir aplicándolas; o sea que al principio lo vas a notar como que medio aburrido y hasta llegas a preguntarte ¿para que rayos quiero saber yo esto? Pero a la larga sabrás y entenderás el por qué.

¿Cuál es la importancia de esta función en las Matemáticas?

• “Es súper importante porque se utiliza en cualquier área en la que haya crecimiento. Esta función es medular para las estadísticas, o sea es fundamental y en la investigación no haces nada si no utilizas las estadísticas, así es que también utilizas la función exponencial. Un biólogo, un químico, un científico, etc. siempre utiliza esta función para ver el comportamiento del crecimiento de alguna planta, sustancia o algún animal, por lo tanto es súper importante para la vida de los que estudian algún tipo de ciencias y tenga que hacer alguna investigación por más mínima que sea.”

¿Donde usted utiliza más esta función?

• “La utilizo mas en mi especialidad que son las neuronas, las membranas de las neuronas. También se pueden utilizar en ecología para saber el crecimiento de las poblaciones ya sea de plantas, hongos o bacterias; pero donde mas me enfoco o utilizo es en la membrana de las neuronas. En fin la función exponencial esta básicamente en todas partes.”

Suposiciones del ModeloEJEMPLO - Considere una colonia de microorganismos de tamaño N^0 donde cada uno de sus miembros es capaz de duplicarse en un intervalo de tiempo relativamente fijo. Por ejemplo, una colonia de bacterias. Supongamos además, que esta colonia reside en un entorno en donde el espacio y los nutrientes son aproximadamente inagotables. Ahora, observemos la colonia durante un periodo de tiempo suficientemente amplio como para presentar un crecimiento significativo, pero que a su vez este sea de mucha menor duración para la expectativa de vida promedio de las bacterias. Estas precauciones son solo para asegurarnos de que el crecimiento observado sea el resultado de la tasa de nacimientos y no el resultado de la interacción de otras variables que pudieran estar afectando el curso temporal de crecimiento.

RESOLVIENDO FUNCIONES RESOLVIENDO FUNCIONES EXPONENCIALESEXPONENCIALES

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

VIDEO (FUNCIONES EXPONENCIALES)

Ejemplos para realizarEjercicios de Práctica

1. Suponga que tiene una población inicial de 25 bacterias y que la constante de duplicación es 4.5 horas,

¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 4 días?

2. Una persona se infecta con 10 bacterias de cierto tipo y el tiempo de duplicación de las mismas es 0.5 horas.

Como producto secundario de su metabolismo estas secretan una proteína que en ciertos individuos ocasiona reacciones

alérgicas severas cuando se acumula en altas concentraciones. Esta concentración cítrica suele alcanzarse

cuando la población de bacterias es de al menos un millón. Suponiendo que la persona infectada es alérgica a dicha proteína ¿en cuantos días, aproximadamente, esta

comenzara a presentar síntomas de alergia.

CONCLUSIÓN• Definitivamente es increíble y sorprendente como cada vez el

ser humano descubre muchísimos métodos más para poder alcanzar la respuesta a un sinnúmero de dudas y planteamientos que se realiza. Sin duda alguna, se puede decir ¿qué seriamos o que haríamos sin las matemáticas? ¿Cómo resolveríamos y descubriríamos todo lo que hasta ahora se ha logrado gracias a esta? En algo tan sencillo y que sucede todos los días como lo es el crecimiento ya sea de una población de personas, animales o bacterias y otros ejemplos ya antes citados, vemos lo esencial que es dentro de este campo matemático este tipo de función: la función exponencial. Ha cambiado totalmente nuestra manera de pensar en relación a lo que se nos enseña y aprendemos en clase ya que de nada nos sirve equiparnos con las herramientas que nos dicen que necesitamos si al fin y al cabo no sabremos como utilizarlas en el campo de trabajo.

CONCLUSIÓN• Queda claro ante nosotros que esta es imprescindible en

nuestro diario vivir porque nos ayuda en todo lo que realizamos. Seria nuestro deseo que todos los estudiantes se entusiasmaran a ver más de cerca todo lo que estudian y no conformarse con el simple hecho de querer aprender eso para quizás pasar el curso y llegar preparado a al curso próximo de mayor dificultad sino aprender para utilizar las herramientas de forma adecuada y ser de gran ayuda para todos y todo lo que nos rodea. Estamos seguros de que este método de utilización que hoy nosotros podemos entender mejor gracias a este trabajo especial nos ayudará a ser mejores estudiantes, ciudadanos, profesionales y seres humanos en nuestro diario vivir.

Definitivamente, la matemática no se limita a un salón de clases así que ¿por qué habríamos nosotros de hacerlo?

BIBLIOGRAFÍA

• Presentaciones en “Power Point” sobre las Funciones, Funciones Básicas y Funciones Exponenciales y Logarítmicas  de la Profesora Alonso.

• Entrevista al Profesor Arencibia (Profesor de la Universidad del Sagrado Corazón en Santurce, Puerto Rico).

• Documentos facilitados por el Prof. Arencibia (contenía ejemplos de los ejercicios en los que se utilizaba la función exponencial).

• Google - Símbolos Matematicos, Función Exponencial• Libro de Precalculo 5ta Edición de Max Sobel, Norbert Lerner. • http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml• http://www.educar.org/enlared/planes/paginas/

funcionexponentenatural.htm • http://www.vadenumeros.es/segundo/representar-funcion-

exponencial.htm