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MARTIN-LUTHER-UNIVERSITÄT

HALLE-WITTENBERG

FACHBEREICH PHYSIKGRUNDPRAKTIKUM

Physikpraktikum

FÜR

GEOLOGEN

1. AUFLAGE (2006)

Inhaltsverzeichnis

EINFÜHRUNG

Laborordnung für das Praktikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Hinweise zum Ablauf des Praktikums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Richtlinien für die Protokollführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Hinweise zur Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

MECHANIK

M 2 Dichtebestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10M 13 Dehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13M 19 Ultraschallverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

WÄRMELEHRE

W 1 Lineare Ausdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20W 6 Spezifische Wärme von Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21W 16 Wärmeleitung von Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

ELEKTRIZITÄTSLEHRE

E 4 Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27E 7 Innenwiderstand von Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29E 8 Leitfähigkeit von Elektrolyten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

OPTIK UND ATOMPHYSIK

O 6 Gitterspektrometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36O 10 Polarimeter und Refraktometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39O 16 Radioaktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

ANHANG

Kurzanleitung zur Software ORIGIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Einige Naturkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

´Vorwort

Das Physikalische Grundpraktikum für Geologen findet im Wintersemester (in der Regel im 3.Fachsemester) statt. Es ist entsprechend der Studienordnungen Angewandte Geowissenschaften(BSc) und Geologie/Paläontologie (Diplom) Teil der Physikausbildung in diesen Studiengängenan der Martin-Luther-Universität. Das Praktikum hat einen Zeitumfang von 4 SWS und wirdmit 4 Leistungspunkten bewertet. Vor dem Physikpraktikum sollte eine Physikvorlesung mitÜbungen besucht worden sein. Die bestandene Klausur zu dieser Vorlesung (oder eineäquivalente Leistung) ist Voraussetzung für die Zulassung zum Praktikum.

Nach Einschreibung zum Praktikum sind innerhalb der Vorlesungszeit des Semesters 12Versuche vollständig durchzuführen. Das Praktikum kann an der Martin-Luther-UniversitätHalle-Wittenberg als Ganzes einmal wiederholt werden.

In den einführenden Kapiteln des Praktikumsheftes finden Sie Hinweise zu Praktikumsablaufund Leistungskontrollen, Versuchsführung sowie zur Protokollierung und Auswertung derMessergebnisse. Kontrollfragen und Literaturangaben am Ende jeder Versuchsanleitung sindals Hilfestellung zur Vorbereitung gedacht. Weitere Hinweise finden Sie auch auf der Webseitedes Praktikums.

Martin-Luther-Universität Halle-WittenbergFachbereich PhysikPhysikalisches Grundpraktikum

http://www.physik.uni-halle.de/Lehre/Grundpraktikum

Herausgeber:Martin-Luther-Universität Halle-WittenbergFachbereich Physik, GrundpraktikumTel.: 0345 55-25471, -25470Fax.: 0345 55-27300Mail: [email protected]

Autoren:K.-H. Felgner, W. Fränzel, J. Leschhorn, M.Stölzer

Praktikumsleiter: Dr. Mathias Stölzer

1. Auflage Halle, August 2006,

Inhaltsverzeichnis

EINFÜHRUNG

Laborordnung für das Praktikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Hinweise zum Ablauf des Praktikums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Richtlinien für die Protokollführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Hinweise zur Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

MECHANIK

M 2 Dichtebestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10M 13 Dehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13M 19 Ultraschallverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

WÄRMELEHRE

W 1 Lineare Ausdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20W 6 Spezifische Wärme von Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21W 16 Wärmeleitung von Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

ELEKTRIZITÄTSLEHRE

E 4 Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27E 7 Innenwiderstand von Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29E 8 Leitfähigkeit von Elektrolyten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

OPTIK UND ATOMPHYSIK

O 6 Gitterspektrometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36O 10 Polarimeter und Refraktometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39O 16 Radioaktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

ANHANG

Kurzanleitung zur Software ORIGIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Einige Naturkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Einführung Laborordnung für das Praktikum

1

Laborordnung für das Praktikum

Allgemeines Verhalten

1 Die Praktikanten haben sich in denPraktikumsräumen so zu verhalten, dassPersonen nicht gefährdet sowie Einrichtun-gen, Geräte und Versuchsaufbauten nichtbeschädigt werden.

2 Die von den betreuenden Assistenten,vom Praktikumspersonal sowie die in denVersuchsanleitungen gegebenen Hinweise zurHandhabung der Geräte und Versuchsanord-nungen sind unbedingt zu beachten.

3 Auftretende Störungen und Unregel-mäßigkeiten bei der Durchführung der Versu-che, Beschädigungen und Funktionsstörungenan Geräten und Einrichtungen sowie Unfällesind sofort zu melden. Es ist nicht zulässig,Geräte selbst zu reparieren!

4 Für fahrlässig verursachte Schäden anGeräten und Arbeitsmaterialien können diePraktikanten zur Verantwortung gezogenwerden.

5 Den Praktikanten steht jeweils nur dieam Arbeitsplatz befindliche Ausrüstung zurVerfügung. Es ist nicht gestattet, Geräte vonfremden Arbeitsplätzen zu benutzen.

6 Nach Beendigung des Versuches ist derArbeitsplatz aufgeräumt und sauber zu verlas-sen. Haben Sie einen PC benutzt, so müssenSie sich an diesem wieder abmelden.

7 Essen und Trinken ist in den Prakti-kumsräumen nicht erlaubt. Rauchen ist imgesamten Praktikum (auch im Flur vor denPraktikumsräumen) untersagt.

8 Die Benutzung von Handys ist in denPraktikumsräumen untersagt!

9 Das Praktikum beginnt pünktlich zu derim Stundenplan angegebenen Zeit. Mehr als15 Minuten nach Praktikumsbeginn könnenkeine Versuche mehr begonnen werden.

10 Für einen erfolgreichen Abschlussmüssen Sie alle Praktikumstermine wahr-nehmen. In sehr dringenden Fällen sowie beiKrankheit können mit dem Praktikumsperso-nal Ersatztermine innerhalb der regulärenZeiten des Physikpraktikums vereinbartwerden.

Arbeiten mit elektrischen Schaltungen

11 Der Auf- und Abbau elektrischer Schal-tungen hat stets im spannungslosen Zustandzu erfolgen (Stromversorgungsgeräte aus,Batterien und Steckernetzteile nicht an-geschlossen). Die Schaltungen sind übersicht-lich aufzubauen.

12 Bei elektrischen Messgeräten ist auf dierichtige Polung, auf die Einstellung desrichtigen Messbereiches und die Verwendungder richtigen Messeingänge zu achten. (Über-lastungsgefahr!)

13 Elektrische Schaltungen müssen vor derInbetriebnahme vom zuständigen Assistentenüberprüft werden!

14 Unter Spannung stehende Anlagenmüssen ständig überwacht werden.

15 Spannungsführende Teile dürfen nichtberührt werden. Gefährliche Spannungen(> 42 V) sind in jedem Fall durch Schutzvor-richtungen vor Berührung gesichert. Es istuntersagt, solche Schutzvorrichtungen außerBetrieb zu setzen!

16 Bei Unfällen ist die Spannung sofortabzuschalten (Notausschalter: gelb-roteTastschalter in jedem Raum). Der Unfallmuss unverzüglich gemeldet werden.

Arbeiten mit Chemikalien

17 Bei der Arbeit mit Chemikalien ist aufgrößtmögliche Sauberkeit zu achten. Verwen-

Einführung Hinweise zum Ablauf des Praktikums

2

den Sie Trichter zum Umfüllen und Fließ-papierunterlagen beim Abwiegen von Chemi-kalien!

18 Mit dem Versuchszubehör ausgegebeneArbeitsschutzmittel (z. B. Schutzbrille)müssen getragen werden!

19 Bei Unfällen oder beim Verschüttengefährlicher Substanzen (z. B. Quecksilber)muss sofort ein Assistent verständigt werden!Es sind keine eigenständigen Beseitigungs-versuche zu unternehmen!

20 Alle Chemikalien befinden sich inGefäßen mit eindeutiger Kennzeichnung desInhaltes. Dies ist besonders zu beachten,wenn Chemikalien nach der Verwendung indie Aufbewahrungsgefäße zurückgegossenwerden müssen.

21 Nach Beendigung des Versuches sindalle verwendeten Gefäße (außer Vorrats-gefäßen) sorgfältig auszuspülen.

Arbeiten mit radioaktiven Präparaten

22 Die radioaktive Präparate zum Versuch„Radioaktivität“ (174 kBq Co-60) sind fürSchülerversuche bauartzugelassen. DieStrahlenbelastung während eines Versuchesist 100...1000 mal geringer als bei einerRöntgenaufnahme.

23 Vermeiden Sie trotzdem jede unnötige

Bestrahlung. Abstand ist der beste Strahlen-schutz! Halten Sie radioaktive Präparate nichtunnötig in der Hand. Halten Sie während derMessung einen Abstand von 0,5 m zumPräparat ein.

24 Es ist untersagt, die Präparate aus ihrenAcrylglashüllen zu entfernen.

Brandschutz

25 Bunsenbrenner und elektrische Heizge-räte sind so aufzustellen, dass sich keinebenachbarten Gegenstände entzünden kön-nen. Offene Flammen und eingeschalteteHeizgeräte müssen ständig beaufsichtigtwerden!

26 Abgebrannte Streichhölzer gehören nichtin Papierkörbe! Noch glimmende Streich-hölzer dürfen nicht weggeworfen werden.

27 Vorsicht beim Umgang mit brennbarenFlüssigkeiten (z. B. Ethanol)! Sie sind vonoffenen Flammen fernzuhalten.

28 Wird ein Brand bemerkt, so ist diessofort zu melden und es sind nach Möglich-keit Löschmaßnahmen einzuleiten.

29 Jeder Praktikant hat sich über die Lageund Funktionsweise der Handfeuerlöschersowie über die vorhandenen Fluchtwege zuinformieren.

Hinweise zum Ablauf des Praktikums

1 Vorbereitung

Das Versuchsthema ist der Praktikums-Homepage im Internet oder dem Aushang imPraktikum (nur am vorherigen Praktikumstag)zu entnehmen.

Zu Hause werden die physikalischen Grund-lagen zum Versuch studiert (Literaturangabenam Ende jeder Versuchsanleitung) und das

Protokoll vorbereitet (siehe auch „Richtlinienfür die Protokollführung“).

2 Versuchsausgabe

Das benötigte Zubehör wird an der Ausgabegegen Hinterlegung eines Studentenaus-weises pro Versuchsgruppe abgeholt.

Einführung Hinweise zum Ablauf des Praktikums

3

3 Kontrolle der Versuchsvorbereitung

Vor Versuchsbeginn erfolgt die Kontrolle derProtokollvorbereitung und ein kurzes mündli-ches Antestat beim zuständigen Assistenten.Bei ungenügender Vorbereitung darf derVersuch nicht durchgeführt werden und musszu einem späteren Termin innerhalb derVorlesungszeit des laufenden Semestersnachgeholt werden. Hierzu ist ein Termin zuvereinbaren!

4 Versuchsdurchführung

Die Versuche werden in der Regel vonZweiergruppen durchgeführt. Dreiergruppensind nicht zulässig. Jeder Student führt eineigenes Protokoll.

Aufbau des Versuches.

Elektrische Schaltungen müssen vor In-betriebnahme vom zuständigen Assistentenüberprüft werden!

Durchführung der Messungen und Protokoll-führung (siehe „Richtlinien zur Protokoll-führung“).

Kontrolle der Messwerte und Kurzunter-schrift des Assistenten am Tage der Ver-suchsdurchführung (falls die Auswertungnicht am gleichen Tag abgeschlossen wird).

5 Versuchsauswertung

Die Versuchsauswertung wird, wenn mög-lich, während der Praktikumszeit durch-geführt bzw. begonnen. Sie ist bis zumnächsten Praktikumstermin fertigzustellen.

Hinweise zur Auswertung geben die „Richt-linien zur Protokollführung“.

Es werden Taschenrechner, Lineal, evtl.Kurvenlineal und Millimeterpapier benötigt.Computer können eingesetzt werden undstehen im Praktikum zur Verfügung. Milli-meterpapier und zu manchen Versuchenerforderliche Spezialpapiere können imPraktikum erworben werden.

6 Kontrolle der Versuchsauswertung

Die Bestätigung der erfolgreichen Versuchs-durchführung incl. Auswertung erfolgt durchdie Eintragung von Note, Datum und Lang-unterschrift des betreuenden Assistenten indas Protokollheft (in der Regel zum nächstenPraktikumstermin).

Liegt die Auswertung nicht spätestens amübernächsten Praktikumstag vor, so ver-schlechtert sich die Bewertung um eine Notefür jede weitere angefangene Woche.

7 Fehlversuche

Zum Nachholen versäumter oder nicht be-standener Versuche werden jedem Studieren-den zwei zusätzliche Praktikumsterminegarantiert. (ein “Nachhol-Termin” für alle amSemesterende, weitere Termine nach Mög-lichkeit im laufenden Semester) In jedem Fallmüssen Sie den Termin an der Versuchsaus-gabe vereinbaren, damit sichergestellt ist,dass der Arbeitsplatz frei ist! Zu einemPraktikumstermin kann jeweils nur einVersuch durchgeführt werden.

Studenten, die mit mehr als zwei Versuchenin Verzug sind, können das Praktikum indiesem Semester nicht beenden und erhaltenkeinen Schein.

8 Leistungskontrollen

Das Bestehen eines kurzen Antestates zuBeginn des Praktikums (siehe oben) ist Vor-aussetzung für die Zulassung zum Versuch.

Zu jedem Versuch wird während der Prakti-kumszeit ein benotetes mündliches Testatdurchgeführt ohne Wiederholmöglichkeit.Für jeden Versuch wird eine Gesamtnotezwischen 1 und 5 gebildet, wobei die Testat-note sowie die Einschätzung der Versuchs-durchführung und der Versuchsauswertungdurch den betreuenden Assistenten berück-sichtigt werden.

Einführung Richtlinien für die Protokollführung

4

9 Abschluss des Praktikums

Aus den Gesamtnoten der Versuche wird eineAbschlussnote für das Praktikum gebildet.Das Praktikum gilt als erfolgreich absolviert,wenn alle Versuche vollständig durchgeführtwurden und 80% der Versuche mit einerNote von 4 oder besser bewertet wurden.

Der erfolgreiche Abschluss des Praktikumswird bescheinigt.

Wird das Praktikum nicht innerhalb derVorlesungszeit eines Semesters erfolgreichabsolviert, so ist die komplette Wiederholungin einem anderen Semester erforderlich.

Richtlinien für die Protokollführung

Allgemeines

1 Jeder Student führt während des Versu-ches und unmittelbar ein Protokoll. DasProtokoll enthält (neben Vorbereitung undAuswertung) alle Messwerte und Beobach-tungen in chronologisch richtiger Reihenfol-ge.

2 Für die Protokollführung wird ein HeftDIN A4 gefordert. Protokolle in Heftern oderauf losen Blättern werden nicht anerkannt!

3 Die Protokollführung erfolgt mit nichtlöschbarem Stift. Bleistift ist nur für Dia-gramme und Skizzen zulässig. Fehlmessun-gen werden mit Angabe des Grundes durch-gestrichen und dürfen nicht unlesbar gemachtwerden.

4 Lose Blätter (z. B. Diagramme, Compu-terausdrucke) sind mit Name und Datum zubeschriften und in das Protokollheft ein-zufügen.

Vorbereitung zu Hause

5 Jedes Protokoll muss einleitend enthal-ten: - Datum, - Versuchsbezeichnung und Aufgaben-

stellung (wörtlich), - kurze Beschreibung des Versuches mit

geplanter Durchführung (z. B. Schalt-skizze) und vorgesehener Auswertung ein-schließlich der dafür benötigten Formeln,

- vorbereitete Urlisten (Tabellen) für dieAufnahme der Rohmessdaten.

Dieser Teil des Protokolls ist Bestandteil derVersuchsvorbereitung und wird vor Ver-suchsbeginn vom Assistenten kontrolliert.

Protokollführung während des Versuches

6 Es werden alle Versuchsgeräte registriert(Versuchsaufbau).

7 Bei der Protokollführung muss eineübersichtliche Trennung der einzelnen Teil-schritte bzw. Teilmessungen erfolgen.

8 Alle physikalischen Größen in Tabellen,Diagrammen und Gleichungen sind voll-ständig mit Zahlenwert und Einheit anzuge-ben. Tabellen und Diagramme sind mit einerLegende zu beschriften.

9 Es werden alle Messdaten vor jeglicherrechnerischer Aufbereitung in entsprechendenUrlisten erfasst.

10 Das Messprotokoll ist nur dann voll-ständig, wenn nur mit seiner Hilfe auch einePerson, die den Versuch nicht selbst durch-geführt hat, die vollständige Auswertung desVersuches vornehmen kann!

11 Wenn die Auswertung nicht während derPraktikumszeit erfolgt, muss das Messproto-koll vom Assistenten mit Datum und Kurz-unterschrift abgezeichnet werden.

Einführung Hinweise zur Fehlerrechnung

5

Zur Auswertung

12 Alle Rechnungen müssen anhand derFormeln und der Messdaten im Protokollnachvollziehbar sein.

13 Diagramme werden auf Millimeterpapiermit Lineal bzw. Kurvenlineal gezeichnet odermit dem Computer erstellt. Es sind geeigneteübersichtliche Maßstäbe zu wählen und dieAchsen sind mit Größe und Einheit zu be-schriften. In der Regel ist eine Legendeerforderlich.

14 Zu jedem Versuch gehört eine Fehler-diskussion. Fehler (geschätzt oder mit statisti-schen Mitteln berechnet) sind immer quanti-tativ anzugeben; bei manchen Versuchen

wird eine Fehlerrechnung gefordert. (Detailsim Kapitel “Fehlerrechnung“)

15 Die Versuchsergebnisse werden ineinem verbalen Ergebnissatz zusammenge-fasst, eingeschätzt (z. B. bezüglich ihrerMessgenauigkeit) und, wenn möglich, mitLiteraturwerten verglichen.

16 Das komplette Protokoll wird in derRegel (siehe „Hinweise zum Ablauf desPraktikums”) am nächsten Praktikumstagdem betreuenden Assistenten vorgelegt, vondiesem durchgesehen und bewertet. Durch dieGesamtnote, das Datum und die Langunter-schrift wird der erfolgreiche Versuchsab-schluss bescheinigt.

Fehlerrechnung

Jede Messung einer physikalischen Größe istmit mehr oder weniger großen Messfehlernbehaftet. Misst man eine Größe mehrmals, soweichen die Ergebnisse im Allgemeinensowohl voneinander als auch vom zu be-stimmenden „wahren Wert“ ab. Ziel derFehlerrechnung ist das Ermitteln des bestenSchätzwertes für den wahren Wert (Mess-ergebnis) und für die Größe der Abweichung(Messunsicherheit).

1 Begriffsbestimmungen

Messgröße:Die zu messende physikalische Größe, z.B. Spannung U, Strom I, Masse m

Messwert:Der gemessene Wert einschließlich Ein-heit, z. B. U = 220 V, I = 2 A, m = 2 kg

Messergebnis:Das aus mehreren Messwerten berechneteErgebnis, z. B. P = U · I = 220 V · 2 A =440W

Messabweichung (früher Fehler genannt):Differenz zwischen Messwert (odereinem aus mehreren Messungen gewon-nenen Wert) und wahrem Wert. Manunterscheidet zufällige und systematischeMessabweichungen. Die Messabwei-chung ist im Allgemeinen nicht genaubekannt, weil der wahre Wert nicht genaubekannt ist.

Zufällige oder statistische Messabweichun-gen (Fehler):

Sie treten unregelmäßig auf; sie schwan-ken in der Größe und im Vorzeichen.Hervorgerufen werden sie z. B. durchnicht beeinflussbare unsystematischeÄnderungen der Versuchs- und Umge-bungsbedingungen sowie durch Unvoll-kommenheiten beim subjektiven Erfassenvon Messwerten durch den Praktikanten.Durch mehrfaches Messen und Bildungdes arithmetischem Mittelwertes kann derEinfluss zufälliger Messabweichungenminimiert werden.


6

s

x x

n

ii

n

=

−

−=

∑ ( )

.

2

1

1

(2)

′ =ss

n. (3)

∆ x

x x

n n

ii

n

=

−

⋅ −=

∑ ( )

( ).

2

1

1

(4)

xn

xii

n

==

∑1

1

. (1)

Systematische Messabweichungen (Fehler):Sie beeinflussen bei gleichen Versuchs-bedingungen die Messung in der gleichenWeise. Hervorgerufen werden sie z. B.durch Unvollkommenheiten der Mess-geräte, der Maßverkörperungen und derMessverfahren sowie durch systematischeÄnderungen der Versuchsbedingungen.Sie setzen sich aus einem bekannten undeinem unbekannten Anteil zusammen.Das Messergebnis ist um bekannte sys-tematische Messabweichungen zu korri-gieren.

Messunsicherheit:Gibt einen Bereich (Intervall) an, in demder „wahre“ Wert einer Messgröße odereines Messergebnisses mit hoher Wahr-scheinlichkeit liegt. Sie wird auf derGrundlage von Messwerten (m. H. sta-tistischer Methoden) und vorliegenderKenntnisse zu systematischen Messab-weichungen geschätzt. Beispiel (für den Messwert U = 220 V):∆U = 2,4 V (absolute Messunsicher-heit), ∆U/U = 1,1% (relative Messunsi-cherheit)Der wahre Wert liegt mit großer Wahr-scheinlichkeit im Intervall (U!∆U,U+∆U).

Vollständiges MessergebnisMessergebnis mit Messunsicherheit; z.B.U = 220,0 V ± 2,4 VU = (220,0 ± 2,4) VU = 220,0 V und ∆U/U = 1,1 %

2 Ermittlung von Messunsicherheiten

2.1 Berechnung von Messunsicherheitenbei zufälligen Fehlern

Eine Messgröße x werde n mal gemessen; dieeinzelnen Messwerte xi (i = 1 ... n) streuen umeinen Mittelwert

Wenn bei dieser Messreihe nur zufällige(statistische) Fehler auftreten, so ist die Ver-teilung der Messwerte eine Normalverteilung(Gaußverteilung). Die graphische Darstellungeiner solchen Verteilung ergibt die soge-nannte „Glockenkurve“.Als Maß für die Streuung der Messwerte wirddie Standardabweichung s eingeführt:

Für die Gaußverteilung ergibt sich, dass68,3 % der Messwerte im Intervall ± sxliegen, d. h. die Wahrscheinlichkeit, einenMesswert in diesem Intervall anzutreffen,beträgt 68,3 %.Im Intervall ± 2s liegen 95,5 % und imxIntervall ± 3s 99,7 % aller Messwerte.xWerden von der Messgröße weitere Mess-reihen vom Umfang n aufgestellt, so sind diedazugehörigen Mittelwerte ebenfalls normal-verteilt; die Standardabweichung s' für dieStreuung der Mittelwerte ist dann:

Liegt bei der Bestimmung der Messgröße xeine Messreihe mit n $ 10 vor und könnendabei die systematischen Fehler gegenüberden zufälligen Fehlern vernachlässigt werden,so wird die Standardabweichung s' als Mess-unsicherheit ∆x für den Mittelwert ge-xwählt:

Ist die Messung eine Zählung zufälliger Er-eignisse (z. B. radioaktiver Zerfallsereig-nisse), x = N, so beträgt die Messunsicher-heit (bei Vernachlässigung systematischer

Fehler) ∆x = (siehe Versuch O16).N


7

y a b x= + ⋅ (5)

[ ]

F a b y

y a bx

i

n

i ii

n

( , )

( ) min.

=

= − + →

=

=

∑

∑

∆ 2

1

2

1

(6)

( )

( )

ax y x x y

n x x

ny b x

i i i i i

i i

i i

=−

−

= −

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

∑ ∑

2

22

1(7a)

( )b

n x y x y

n x x

i i i i

i i

=−

−

∑ ∑ ∑∑ ∑2

2 (7b)

2.2 Die Garantiefehlergrenze als Messun-sicherheit

Die Hersteller von Messgeräten geben in derRegel Garantiefehlergrenzen an (Beispiele:1,5 % vom Messbereich; 0,1 % vom Mess-wert + 2 Digit). Auf manchen Geräten ist dieGenauigkeitsklasse angegeben (maximalerAnzeigefehler in % vom Endwert des Mess-bereichs bzw. vom Wert der Maßverkörpe-rung). Bei einer Genauigkeitsklasse von 1,5und einem Messbereich von 30V beträgt dieGarantiefehlergrenze ∆U = (1,5 % von 30 V)= 0,45 V.

2.3 Angabe einer geschätzten oberenFehlergrenze als Messunsicherheit

Liegen keine Angaben vor, so ist die Mess-unsicherheit zu schätzen:- Faustregel beim Ablesen von Skalen: ∆x =

(0,5 ... 1) Skalenteil- Längenmessungen mit einem Messschieber

(Noniusablesung): ∆l = 0,1 mm- Messung einer Schwingungsdauer T an-

hand von 20 Schwingungen: ∆(20T) = 0,2s. Für ∆T ergibt sich dann ∆T = 0,01 s.

- Die Messunsicherheit bei digital anzei-genden Messgeräten beträgt mindestens 1Digit (Digitalisierungsfehler), ist abermeist größer.

3 Anpassung einer Funktion an eineMessreihe (Regression)

3.1 Lineare Regression

Häufig besteht zwischen verschiedenen Mess-größen x und y ein linearer Zusammenhang

oder es wird ein solcher Zusammenhang ver-mutet.

Beispiel:Bei der thermischen Ausdehnung von Metal-len (siehe Versuch W1) gilt für die Länge l =l0 + α@l0@∆T, α ist der lineare thermische

Ausdehnungskoeffizient, l0 die Länge bei derTemperaturdifferenz ∆T=0.

Die eigentliche Messaufgabe besteht in derBestimmung der (konstanten) Parameter a

und b. Grundsätzlich können a und b durchMessung von zwei Wertepaaren (x, y) be-stimmt werden. Meist wird jedoch eine ganzeMessreihe mit n Wertepaaren (xi, yi) (i = 1 ...n) aufgenommen, um den linearenZusammenhang nachzuweisen.Werden die Messwerte graphisch dargestellt,so streuen die Messpunkte wegen der unver-meidlichen statistischen Messabweichung umeine ausgleichende Gerade. Die Aufgabebesteht nun darin, die Gerade zu finden, die„am besten“ an die Messpunkte angepasst ist.(Es wird vereinfachend angenommen, dassnur die yi fehlerbehaftet sind.)Der Abstand eines Messpunktes von derGeraden in y-Richtung ist ∆y = yi - y(xi) = yi -(a+bxi).Nach der GAUßschen Methode der kleinstenQuadrate ist für die am besten angepassteGerade die Summe der Abstandsquadrateminimal:

Diese Summe ist eine Funktion der Parametera und b; zur Lösung des Problems sind alsodie partiellen Ableitungen MF/Ma = 0 undMF/Mb = 0 zu setzen. Dies führt zu demErgebnis


8

∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆

yy

xx

y

xx

y

xx

yy

xx

n

n

i

ii

n

= + + +

==

∑

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

11

22

1

...

.

(9)

( )s

y

n

x

n x xa

i i

i i

2

2 2

222

=− −

∑ ∑∑ ∑

∆(8a)

( )s

y

n

n

n x xb

i

i i

2

2

222

=− −

∑∑ ∑

∆. (8b)

wobei alle Summen von i = 1 bis n gehen.Die durch (5) und (7) bestimmte Gerade heißtRegressionsgerade oder Ausgleichsgerade.

Als Messunsicherheiten der Parameter a undb werden die entsprechenden Standardabwei-chungen verwendet, sofern die systemati-schen Messabweichungen gegenüber denzufälligen vernachlässigbar sind: ∆a = sa und ∆b = sb mit

3.2 Regression mit anderen Funktionen

Grundsätzlich kann die GAUßsche Methodeder kleinsten Quadrate (6) nicht nur auf einelineare Funktion (5), sondern auf beliebigeFunktionen mit mehreren Parametern ange-wendet werden. Im Allgemeinen ist diesesProblem jedoch nicht mehr analytisch lösbar,sondern muss mit Hilfe numerischer Metho-den iterativ gelöst werden. Die im Praktikumeingesetzten Computerprogramme Origin undCassyLab bieten diese Möglichkeit. (Stich-worte: non-linear curve fit bzw. Freie An-

passung)Einige Funktionen können durch Transfor-mation bequem in eine lineare Funktionüberführt werden. In solchen Fällen kann dielineare Regression mit der transformiertenFunktion durchgeführt werden.

Beispiel:Beim Durchgang radioaktiver Strahlungdurch Materie der Dicke d gilt für die Intensi-tät I = I0@e

-µd. Der Schwächungskoeffizient µkann aus mehreren gemessenen Wertepaaren(I, d) durch lineare Regression entsprechend ln I = ln I0 - µ @d bestimmt werden.

3.3 Praktische Hinweise

Lineare Regression lässt sich schon mit vielenTaschenrechnern durchführen. Dabei sind dien Wertepaare (xi, yi) einzugeben, danachkönnen die Werte a, b, n, Σxi, Σyi etc. abge-rufen werden. Die Standardabweichungen sa

und sb werden in der Regel nur von ent-sprechenden Computerprogrammen be-rechnet. In Programmen und in der Literatur werdendie Begriffe Regression, Ausgleichsrech-nung, Anpassung und Fit (englisch) synonymverwendet.Wenn keine geeigneten Rechenhilfsmittel zurVerfügung stehen, nimmt man die Anpassunggraphisch vor. Dabei wird die Regressions-gerade mit einem durchsichtigen Lineal „nachAugenmaß“ eingezeichnet, die Messunsi-cherheiten werden geschätzt.

4 Messunsicherheiten für Messergeb-nisse (Fehlerfortpflanzung)

Es sei y = f(x1, x2, ..., xn) ein Messergebnis,das aus den Messwerten x1, x2, ..., xn mit denMessunsicherheiten ∆x1, ∆x2, ..., ∆xn zuberechnen ist. Wie groß ist dann die Mess-unsicherheit ∆y des Messergebnisses?

4.1 Größtfehlergleichung

Für kleine Messunsicherheiten ∆xi kann mandie Unsicherheit des Messergebnisses alstotales Differential von y berechnen:

Dabei ist My/Mxi die partielle Ableitung von ynach der Messgröße xi. Bei dieser Art der Berechnung wird ange-nommen, dass sich die Einflüsse aller Mess-


9

∆ ∆yy

xx

ii

i

n

=

=

∑∂∂

2

2

1

. (10)

∆ ∆ ∆y

yn

x

xm

x

x= +1

1

2

2

(15)

∆ ∆ ∆y

yn

x

xm

x

x=

+

2 1

1

2

2 2

2

2

. (16)

y y y y± ∆ ∆und , (17)

y c x c x= +1 1 2 2 (11)

∆ ∆ ∆y c x c x= +1 1 2 2(12)

∆ ∆ ∆y c x c x= +12

12

22

22 . (13)

y c x xn m= ⋅ ⋅1 2

(14)

unsicherheiten auf die Unsicherheit desErgebnisses addieren - es ergibt sich diegrößtmögliche Messunsicherheit ∆y.

4.2 GAUßsches Fehlerfortpflanzungsge-setz

Wenn die Einzelmessungen voneinanderstatistisch unabhängig sind, so kann manerwarten, dass sich die Einflüsse der Einzel-Messunsicherheiten auf die Unsicherheit desErgebnisses teilweise gegenseitig aufheben.Die mathematische Behandlung dieses Pro-blems nach C. F. GAUß ergibt

Nach dieser Gleichung ist die Messunsi-cherheit des Ergebnisses in der Regel zuberechnen. Wenn die statistische Unabhän-gigkeit der Einzelmessungen nicht gesichertist, ist Gl. (9) zu verwenden.

4.3 Besonders einfache Fälle

Oft besitzt die Gleichung y = f(x1, x2, ..., xn)eine sehr einfache Struktur, dann lässt sichdie Messunsicherheit des Ergebnisses ∆y

ohne großen Rechenaufwand ermitteln. Für

(c1, c2 Konstanten) ergibt sich durch Ein-setzen in (9) bzw. (10) der Größtfehler

bzw. der GAUßsche Fehler

Für

(c reelle und n, m ganzzahlige Konstanten)ergibt sich aus (9) bzw. (10) der relativeGrößtfehler

bzw. der relative GAUßsche Fehler

Beispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewe-gung s = a/2 @ t2 ; Weg s und Zeit t werdengemessen und die Beschleunigung a ist zuberechnen:

as

t

aa

ss

tt

= ⋅ =

+ ⋅

2 22

2 2

, .∆ ∆ ∆

5 Angabe der Messergebnisse mit ihrenMessunsicherheiten

Es ist immer das vollständige Messergebnisanzugeben:

wobei die Messunsicherheit ∆y nur ein oderzwei zählende (signifikante) Ziffern habendarf. Entsprechend ist die Zahl der Ziffern fürdas Messergebnis y zu wählen.

Beispiele:

y = (531,4 ± 2,3) mm; ∆y/y = 0,43 %

U = (20,00 ± 0,15) V; ∆U/U = 0,12 %

R = 2,145 kΩ ± 0,043 kΩ; ∆R/R = 2,0 %

Mechanik M 2 Dichtebestimmung

10

Abb. 1:

Pyknometer

ρ =m

V. (1)

F m g V gA M M= ⋅ = ⋅ ⋅ρ . (2)

ρρ ρ

=−

−

m m

m m

W L

* **

* ** . (6)

m mL* .= ⋅ −

1

ρ

ρ(4)

m mW** = ⋅ −

1

ρ

ρ

(5)

m g m g V gL

* ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ρ (3)

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Dichte von drei Probekörpern istnach der Auftriebsmethode zu bestimmen.

1.2 Die Dichte von Ethanol ist mit Hilfeeines Pyknometers zu bestimmen.

1.3 Die Dichten von Ethanol und NaCl-Lösung sind mit der Dichtewaage nach Mohr-Westphal und mit dem Aräometer zu be-stimmen.

2 Grundlagen

Die Dichte ρ eines homogenen Stoffes ist dasVerhältnis seiner Masse m zu seinem Volu-men V :

2.1 AuftriebsmethodeJeder Körper, der sich in einem Medium(Flüssigkeit oder Gas) befindet, erfährt einenAuftrieb. Die Auftriebskraft FA ist gleich derGewichtskraft des vom Körper verdrängtenMediums (ARCHIMEDESsches Prinzip):

Dabei ist VM das Volumen des von demKörper verdrängte Mediums und g die Fall-beschleunigung (9,81 ms-2).Mit Hilfe des Auftriebes lässt sich relativeinfach die Dichte eines Körpers mit unbe-kanntem Volumen V bestimmen. Dazu wirdder Körper mit Hilfe einer Analysenwaage anLuft und in Wasser eingetaucht gewogen. Beieiner genauen Messung ist neben dem Auf-trieb in der Flüssigkeit auch der Auftrieb inLuft zu beachten.Zunächst wird der Körper in Luft gewogen.Mit dem Anzeigewert m* der Analysenwaageergibt sich die um den Auftrieb in Luft ver-

minderten Gewichtskraft des Probekörpers

(ρL - Dichte der Luft).Mit der Dichte ρ des Körpers ergibt sichgemäß (1)

Danach wird der Körper völlig unter Wassergetaucht und erneut gewogen, Anzeige m**:

(ρW - Dichte des Wassers).Aus den Gleichungen (4) und (5) folgt:

2.2 PyknometerEin Pyknometer ist ein Gefäß, mit dem einFlüssigkeitsvolumen sehr genau reproduzier-bar ist, da der durch die Krümmung derOberfläche verursachte Volumenfehler wegendes geringen Kapillarquerschnittes sehr kleinist (Abb.1). So kann man damit über eineMessung der Masse sehr einfach die Dichtevon Flüssigkeiten bestimmen. Dabei erfolgterst eine Messung mit Luft, um die Leermas-se m1 des Pyknometers zu erhalten.

Dichtebestimmung M 2


11

ρ ~ .1

VM

(12)

m m mL

Py

L

W

2 1 21 1* = −

+ −

ρ

ρ

ρ

ρ(8)

m m mL

Py

L

3 1 31 1* .= −

+ −

ρ

ρ

ρ

ρ(9)

Abb. 2: Mohr-Westphalsche Waage

Abb. 3:

Aräometer

m mL

Py

1 1 1* = −

ρ

ρ(7)

ρρ

=⋅m

m

W3

2

. (10)

( )ρ ρ ρ ρ=−

−− +

m m

m mW L L

3 1

2 1

* *

* *. (11)

Danach wird die Masse des Pyknometers mitdestilliertem Wasser m2 und dann die Massemit der Messflüssigkeit m3 bestimmt (m*

jeweils Anzeige der Waage):

Das Pyknometervolumen wird mit Hilfe derMasse m2 und der Dichte ρW des Wassersbestimmt. Damit ergibt sich dann:

Mit Hilfe der Gleichungen (7) bis (10) lässtsich ρ ermitteln:

2.3 Mohr-Westphalsche WaageDie Mohr-Westphalsche Waage ist eineungleicharmige Hebelwaage. Der rechteHebelarm ist durch Kerben in 10 gleicheTeile geteilt. Am Ende des Hebelarmesbefindet sich ein Senkkörper mit sehr genaudefiniertem Volumen. Wird der Senkkörperin eine Flüssigkeit getaucht, erfährt er einenAuftrieb, der durch die Gewichtskraft ent-sprechend aufgelegter Reiter kompensiertwerden kann. Zur original Mohr-Westphal-schen Waage (Abb. 2) gehören große, mitt-lere und kleine Reiter, deren Gewichtskräftesich wie 100 : 10 : 1 verhalten. Die relativeDichte ergibt sich aus der Position der Reiterin den Kerben 1 bis 10.Die moderneren, im Praktikum eingesetztenDichtewaagen verwenden einen in 100 Teile

eingeteilten Waagebalken, zwei Reiter imVerhältnis 100 : 1 und ein zusätzlichesAnhängegewicht. Die Dichte kann direkt ander Stellung der Reiter abgelesen werden.

2.4 AräometerMit Hilfe eines Aräometers (Abb. 3) kannebenfalls die Dichte einer Flüssigkeit be-stimmt werden. Schwimmt das Aräometer inder Messflüssigkeit, ist die Gewichtskraft desAräometers FG gleich der Auftriebskraft FA.Nach (2) folgt für die Dichte der Messflüssig-keit

Die Skala, die sich am Aräometer befindet,zeigt unmittelbar die den Eintauchtiefenentsprechende Dichte an.


12

3 Versuchsaufbau

3.1 Geräte zu Aufgabe 1:1 Analysenwaage mit Dichtebestimmungs-

einrichtung (Tauchkorb, Brücke, Becher-glas)

3 Probekörper1 Pinzette1 Spritzflasche mit H2O dest.

3.2 Geräte zu Aufgabe 2:1 Analysenwaage1 Pyknometer1 Pipette1 Spritzflasche mit H2O dest. 1 Flasche mit Ethanol

3.3 Geräte zu Aufgabe 3:1 Dichtewaage mit Senkkörper1 Senkglas (ca. 130 ml)2 Standzylinder (100 cm3)2 Aräometer2 Flaschen mit Ethanol und NaCl-Lösung1 Thermometer


Hinweise zur Handhabung der elektronischenWaage werden vom zuständigen Assistentengegeben bzw. der Gerätebeschreibung ent-nommen!

4.1 Zur Bestimmung der Dichte festerKörper nach der Auftriebsmethode werdendie beiliegenden Probekörper zunächst inLuft gewogen (Bestimmung von m*). Danachwird das Becherglas mit Wasser auf dieBrücke gestellt, der Tauchkorb vorsichtigeingehängt und die Waage auf Null abgegli-chen (mit Tariertaste T). Jetzt stellt man denProbekörper mit der Pinzette auf den Tauch-korb, so dass der Körper völlig im Wassereintaucht. Das Ablesen der Waage ergibtm**. Dies ist für alle Probekörper durch-zuführen. Hinweis zur Fehlerbetrachtung: In Formel (5)ist nicht berücksichtigt, dass durch das Ein-tauchen des Probekörpers der Wasserspiegelim Becherglas steigt und somit ein geringer

zusätzlicher Auftrieb an den Halterungen desTauchkorbes entsteht.

4.2 Zur Ermittlung der Flüssigkeitsdichtesind der Tauchkorb und die Brücke mit demBecherglas zu entfernen. Es werden dieLeermasse des Pyknometers (m*1), die Massedes Pyknometers mit destilliertem Wasser(m*2) und die Masse des Pyknometers mit derMessflüssigkeit (m*3) bestimmt.

4.3 Messung mit der Dichtewaage:Zunächst wird die Nullpunktseinstellung derDichtewaage kontrolliert und ggf. nach-justiert. Verfahren Sie hierzu entsprechendder ausliegenden Bedienungsanleitung.Für die Bestimmung der Dichte der beidenFlüssigkeiten muss der Senkkörper voll-ständig in diese eingetaucht sein. VermeidenSie Luftbläschen sowie die Berührung derGefäßwand! Die Waage wird durch Ver-schieben der Reiter abgeglichen. Dabei bleibtfür Dichten < 1 g/cm3 das Anhängegewichteingehängt, für Dichten > 1 g/cm3 wird esausgehängt.Die Temperaturen der Messflüssigkeit sind zumessen.Bei der Dichtebestimmung mit dem Aräo-meter werden die Messflüssigkeiten in dieentsprechenden Standzylinder, in denen sichdie Aräometer befinden, gegossen und dieDichten abgelesen.

Die Messflüssigkeiten sind im Anschluss indie richtigen Behälter zurückzufüllen!

5 Auswertung

5.1 Die Dichte der Probekörper ist nach derGleichung (6) zu berechnen. Das Ergebnis istmit Tabellenwerten zu vergleichen. Umwelches Material könnte es sich bei denProbekörpern handeln?Die Dichte des Wassers kW für die Raum-temperatur wird einer Tabelle entnommen.Für die Dichte der Luft wird der bei Normal-druck geltende Wert kL = 0.0013 g/cm3

verwendet.

Mechanik M 13 Dehnung

13

Abb. 1: Dehnung (Zug) und Scherung

σ =FA

. (1)

ε =∆ l

l0

. (2)

5.2 Die Dichte der Flüssigkeit ist nachGleichung (11) zu berechnen und mit demErgebnis der anderen Methoden sowie mitdem Tabellenwert zu vergleichen.

5.3 Die Dichten, die nach den zwei Metho-den ermittelt wurden, sind zu vergleichen.

Die Messunsicherheiten der verschiedenenMethoden zur Bestimmung der Dichte sindeinzuschätzen.

6 Literatur

Grimsehl: Lehrbuch der Physik Bd.1. B.G.Teubner Verlagsgesellschaft

Geschke, D.: Physikalisches Praktikum. B.G.Teubner Stuttgart Leipzig

7 Kontrollfragen

7.1 Welche Methoden zur Bestimmung derDichte von festen Körpern und Flüssigkeitenkennen Sie?

7.2 Welchen Einfluss hat der Auftrieb inLuft auf Wägungen?

7.3 Erläutern Sie die Messmethode mit demPyknometer! Worauf ist dabei besonders zuachten?

1 Aufgabenstellung

Es ist der Elastizitätsmodul E von zweiMetallen und von Polyamid (Perlon) durchDehnungsmessungen zu bestimmen.

2 Physikalische Grundlagen

Eine wichtige Eigenschaft von Festkörpern istdie Elastizität. Ein Körper ist elastisch, wenner nach einer durch äußere Kräfte hervor-gerufenen Gestaltsänderung seine ursprüng-liche Gestalt wieder annimmt, sobald dieseKräfte wegfallen.Die elastischen Formänderungen könnendurch Dehnung, Stauchung, Biegung oderDrillung (Torsion) auftreten.Unter (mechanischer) Spannung versteht mandas Verhältnis aus Kraft und der Quer-schnittsfläche, an der die Kraft angreift:

Bei Normalspannungen σ steht die Kraft F

senkrecht auf der Fläche A (Abb.1 links), beiTangentialspannungen τ verläuft sie parallelzur Fläche (Abb.1 rechts). Normalspannun-gen können als Zug- oder Druckspannungenwirksam werden; Tangentialspannungen alsScher- oder Torsionsspannungen.Die relative Längenänderung ∆l/l0 bei Wir-kung einer Zugspannung (vergl. Abb.1) nenntman Dehnung:

Das elastische Verhalten bei Zug- und Druck-

Dehnung M 13


14

Abb. 2: Spannungs-Dehnungs-Diagramm

(schematisch)

1 Verhalten nach Hookeschem Gesetz

2 Metall im Bereich (a) elastischer und (b)

plastischer Verformung

3 Blutgefäß. (c) Verhalten nach Hookeschem

Gesetz, (d) Verfestigung

ε σ=1

E. (3)

belastungen wird im Spannungs-Dehnungs-Diagramm (Abb.2) dargestellt.

Innerhalb des Proportionalitätsbereiches giltdas HOOKEsche Gesetz:

Die elastische Verformung ist der verformen-

den mechanischen Spannung proportional.

Feste Körper haben eine Elastizitätsgrenze.Bei Überschreiten dieser Grenze kommt es jenach Material zu unterschiedlichen Abwei-chungen vom HOOKEschen Gesetz. BeiMetallen und Mineralien tritt meist eineirreversible Verformung auf (Plastizität). Beibiologischen Materialien und bei Polymerenist bei hohen Spannungen aufgrund desmakromolekularen Aufbaus oft eine Ver-festigung zu beobachten. Das Überschreitender Zerreißgrenze führt zum Materialbruch.Die meisten Polymere und viele Biomateria-lien (z. B. Muskelfasern) zeigen kein reineselastisches sondern sogenanntes viskoelasti-sches Verhalten. Im Materialinneren tretengeschwindigkeitsabhängige Reibungskräfteauf (vergl. Versuch M14: Viskosität). DieDehnung hängt nicht nur von der Spannungsondern auch von der Zeit ab, wobei diemaximale Dehnung bei Wirkung einer kon-

stanten Spannung exponentiell erreicht wird.

Der Elastizitätsmodul E ist eine Material-größe. Im Bereich der Gültigkeit des HOO-KEschen Gesetzes stellt sein Kehrwert denProportionalitätsfaktor zwischen der relativenDehnung ∆l/l0 eines Stabes und der anlie-genden mechanischen Spannung F/A dar:Mit (1) und (2) ergibt sich eine allgemeineForm des HOOKEschen Gesetzes zu:

Mit der Längenausdehnung verbunden isteine Verringerung des Querschnitts, die mitHilfe der elastischen MaterialkonstantenPOISSONsche Querkontraktionszahl beschrie-ben werden kann.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Wandhalterung mit Messuhr- 2 Metalldrähte und Perlonfaden mit Haken

und Messmarke- Bandmaß- Mikrometerschraube- Massestücke- mit Schaumstoff gefüllter Eimer

Der zu vermessende Draht bzw. Faden kannin die obere Aufhängung der Apparatureingehängt werden. Auf ihm ist eine Mess-marke befestigt, diese wird unter den Fühlerder Messuhr geklemmt. Dazu ist der Fühlervorsichtig von Hand anzuheben. Sollte derMessbereich der Messuhr (0 bis 10 mm) nichtausreichen, so kann sie mittels einer Klemm-schraube in der Höhe verstellt werden. Am unteren Ende des Drahtes ist ein Hakenzum Einhängen der Massestücke angebracht.


Der zu vermessende Metalldraht wird einge-hängt und mit einem Massestück von 500 gvorbelastet. Es ist darauf zu achten, dass der


15

Messbereich ausreicht, gegebenenfalls mussdie Messuhr in ihrer Höhe verstellt werden.Diese Stellung der Messuhr entspricht ∆l = 0.Die Anfangslänge l0 wird mit dem Bandmaßbestimmt (freie Drahtlänge von der Klemm-schraube der oberer Aufhängung bis zurKlemmschraube der Messmarke). Der Durch-messer des Drahtes d wird an 5 verschiedenenStellen mit der Mikrometerschraube be-stimmt.Nun wird der Draht mit verschiedenen Mas-sestücken (200g bis 2000g in 200g-Schritten)belastet und die zugehörigen Längenänderun-gen ∆l gemessen (∆l bezieht sich hierbeiimmer auf die Stellung der Messuhr imvorbelasteten Zustand l0).Der gesamte Messvorgang ist für beideMatalldrähte durchzuführen.

Die Längenänderung des Perlonfadens istwesentlich größer als die der Metalldrähte, siewird nicht mit der Messuhr sondern miteinem Lineal, Zeichendreieck oder mit demBandmaß gemessen. Der Perlonfaden wirdeingehängt und mit 100 g vorbelastet. SeinDurchmesser wird an 5 verschiedenen Stellenmit der Mikrometerschraube und die Länge l0

mit dem Bandmaß bestimmt.

Es kann vorkommen, dass der Perlonfadenreißt! Stellen Sie deshalb den Eimer mitSchaumstoff-Füllung unter die Apparatur,ehe Sie weitere Massestücke anhängen!

Der Abstand a zwischen der Messuhr-Halte-rung und der Messmarke ist mit einem Linealzu messen. Dieser Abstand entspricht ∆l=0.Danach wird der Faden schrittweise belastet(400 g bis 2000 g in 400 g-Schritten) und(nach 5 min) der Abstand a bestimmt. Unmittelbar nach dem Anhängen der Mas-sestücke kann man beobachten, dass dieLänge nicht sofort konstant ist, sondern,immer langsamer werdend, noch etwasanwächst (Viskoelastizität). Zwischen jederÄnderung der Gewichte und der Messung von

a ist deshalb eine Wartezeit von 5 min ein-zuhalten.

5 Auswertung

Aus den Mittelwerten der Drahtdurchmessersind die Querschnittsflächen zu berechnen.Im Fall des Perlonfadens sind aus den gemes-senen Abständen a die Längenänderungen ∆l

zu berechnen.Für jeden Messschritt werden die anliegendeZugspannung σ nach (1) und die Dehnung gnach (2) berechnet. Die Kraft in Gleichung(1) ist die Gewichtskraft der Massestücke(g=9.81 m/s2).Für jedes Material wird die Zugspannung σals Funktion der Dehnung des g grafischdargestellt und der Elastizitätsmodul E alsKurvenanstieg aus dem Diagramm ermittelt.Mit Hilfe der ausliegenden Tabelle ist aus denermittelten Werten auf das Material derMetalldrähte zu schließen.Der mit Hilfe einer Fehlerrechnung ermittelteMessfehler ist mit dem statistische Fehler ausder linearen Regression für den Elastizitäts-modul zu vergleichen.

6 Literatur

Grimsehl: Lehrbuch der Physik Bd.1. B.G.Teubner Verlagsgesellschaft

7 Kontrollfragen

7.1 Was bedeutet elastisches Material-verhalten? Welche Arten der elastischerVerformung gibt es?

7.2 Was besagt das HOOKEsche Gesetz?

7.3 Welche Formen nichtlinearen elasti-schen Verhaltens können auftreten?

Mechanik M 19 Ultraschall-Abbildungsverfahren

16

λ =cf

(1)

cE

L =−

+ −ρν

ν ν1

1 1 2( )( )(2)

y y x= ⋅ − ⋅0 e µ . (3)

1 Aufgabenstellung

1.1 Bestimmung der Schallgeschwindigkeitund der Wellenlänge von Longitudinalwellenin Polyethylen (PE), Berechnung des Elastizi-tätsmoduls von Polyethylen.

1.2 Bestimmung der Dämpfung der Schall-wellen in Polyethylen für zwei verschiedeneFrequenzen.

1.3 Bestimmung der Anzahl und Lage vonBohrlöchern in einem PE-Körper, Anferti-gung einer Lageskizze.

2 Grundlagen

Steht ein mechanischer Schwinger in Kontaktzu einem anderen Medium, so findet durchdie Kopplung zu diesem eine Energieüber-tragung statt, die sich als mechanische bzw.elastische Welle (Schallwelle) ausbreitet. Diein dem Medium entstehenden periodischenDruck- bzw. Dichteänderungen breiten sichmit einer Phasengeschwindigkeit (der Schall-geschwindigkeit) c aus. Die Wellenlänge λ imMedium wird nach

durch die Frequenz f der Schallquelle und dievon Stoffeigenschaften abhängige Aus-breitungsgeschwindigkeit c bestimmt. Diemechanischen Wellen treten in gasförmigenund flüssigen Stoffen infolge fehlenderScherelastizität stets als Longitudinalwellenauf, während in festen Körpern außer Longi-tudinalwellen auch Transversalwellen sowieVerkopplungen zwischen beiden (z.B. Ober-flächenwellen, Rayleighwellen) auftretenkönnen. In unendlich ausgedehnten, homogenen,isotropen Festkörpern ergibt sich die Schall-geschwindigkeit cL für Longitudinalwellenaus den mechanischen Eigenschaften desAusbreitungsmediums nach:

(E: Elastizitätsmodul, ν: POISSONscher Quer-kontraktionskoeffizient; ρ: Massendichte).

Durch inelastische Prozesse wird die Schall-welle im Medium gedämpft (absorbiert). Fürdie Abhängigkeit der Schwingungsamplitudey von der Ausbreitungsrichtung x gilt dasSchwächungsgesetz

Dabei ist y0 die Amplitude bei x = 0 und µ derSchwächungskoeffizient (auch Absorptions-koeffizient). Die Dämpfung kann in dermedizinischen Ultraschalldiagnostik zurUnterscheidung verschiedener Gewebeartendienen.

In der Akustik werden Frequenzen unterhalbdes menschlichen Hörbereichs (ca. 16 Hz -16 kHz) als Infraschall und oberhalb diesesBereiches als Ultraschall bezeichnet.Ultraschallwellen werden mit Hilfe despiezoelektrischen Effektes erzeugt. EineScheibe aus piezoelektrischer Keramik - derUltraschallwandler oder Transducer - wirdelektrisch zu Schwingungen angeregt. Sieschwingt mit ihrer Resonanzfrequenz fr undverursacht so eine sich im umgebendenMedium ausbreitende Schallwelle.Bei den in der Medizin und der Material-prüfung angewandten Impuls-Echo-Verfah-ren A-Bild und B-Bild und TM (die Bezeich-nungen kommen von den engl. BegriffenAmplitude, Brightness und Time Motion)wird der Ultraschallwandler durch einenelektrischen Spannungsimpuls zu einerkurzzeitigen mechanischen Dickenschwin-gung und zum Aussenden eines Ultraschall-impulses angeregt (reziproker piezoelektri-scher Effekt). Aus dem angekoppelten Medi-um auf denselben Wandler auftreffendeUltraschallwellen bewirken geringe Deforma-

Ultraschall-Abbildungsverfahren M 19


17

Z1 = ρ1@ c1

Z2 = ρ2@ c2

I0

IR

ID

Abb. 1: Reflexion von Ultraschall an einer

Grenzfläche zwischen zwei Stoffen unter-

schiedlicher Schallimpedanz

Z c= ⋅ρ . (4)

RI

I

Z Z

Z ZR= =

−

+

0

1 2

1 2

2

(5)

I I ID R= −0 . (6)

Abb. 2: Entstehung von A- und B-Bild

cl

t=

2(7)

tionen des Wandlers, die in dem piezoelektri-schen Material in elektrische Spannungenumgewandelt werden (direkter piezoelektri-scher Effekt).Ein und derselbe Wandler kann deshalbsowohl als Sender als auch als Empfängergenutzt werden. In der Nautik in der geologischen Erkundungwerden ähnliche Impuls-Echo-Verfahrenverwendet, die jedoch wegen der größereninteressierenden Abstände mit Hörschall oderInfraschall arbeiten.

Unter akustischer Impedanz (Schallkenn-impedanz, akustischer Widerstand) Z verstehtman das Produkt aus den MaterialkennzahlenMassendichte ρ und Schallgeschwindigkeit c:

Änderungen oder Sprünge der akustischenImpedanz (z.B. an Organgrenzflächen beimedizinischen Ultraschalluntersuchungen)längs der Ausbreitungsrichtung führen zueiner teilweisen Reflexion der Schallwelleund damit gleichzeitig zu einer Schwächungin Ausbreitungsrichtung (siehe Abb. 1). Fürden senkrechten Einfall einer Schallwelle aufeine Fläche gilt:

(R = Reflexionsgrad; I0, IR = einfallende undreflektierte Intensität; Z1, Z2 = akustischeImpedanzen).

Der durch die Fläche hindurchgehende AnteilID berechnet sich nach

Beim A-Bild-Verfahren wird die Amplitudeder vom Schallwandler gesendeten sowie derempfangenen und verstärkten akustischenImpulse auf dem Monitor in Abhängigkeitvon der Zeit dargestellt. Die Echos vonStrukturgrenzen im Medium, an denen sichdie akustische Impedanz ändert, erscheinenim Bild als Zacken (Abb.2). Der zeitlicheAbstand zwischen Sendeimpuls und Emp-fangsecho entspricht der doppelten Laufzeit tdes akustischen Impulses zwischen Wandlerund reflektierender Struktur. Bei bekannterSchallgeschwindigkeit c kann damit nach

die Entfernung l zwischen beiden gemessenwerden.

Beim B-Bild- oder Schnittbildverfahren wirddie Amplitude des eindimensionalen A-Bild-Verfahrens in Grauwerte (Brightness) einerzweidimensionalen Hell-Dunkel-Darstellungumgesetzt. Durch Bewegung des Schallwand-lers (siehe Abb.2) erhält man ein Schnittbild.Moderne Schallwandler für B-Bild-Gerätesind sogenannte Multielementwandler. Siebestehen aus einer Zeile von vielen einzelnenWandlerelementen. Eine Bewegung desSchallkopfes ist nicht mehr erforderlich, siewird ersetzt durch die elektronische Ans-


18

Abb. 3: Zum lateralen Auflösungsvermögen

[nach: Krestl, Bildgebende Systeme für die

medizinische Diagnostik]

teuerung der einzelnen Wandlerelemente.

Die Qualität des Ultraschallbildes wird durchdas Auflösungsvermögen charakterisiert.Darunter versteht man den Kehrwert deskleinstmöglichen Abstandes zweier reflektie-render Strukturen, die bei der Wiedergabegerade noch als getrennte Punkte dargestelltwerden können. Man unterscheidet das axiale(in Ausbreitungsrichtung) und das lateraleAuflösungsvermögen (quer zur Ausbreitungs-richtung), siehe Abb.3.

Während das axiale Auflösungsvermögen vorallem durch die Dauer des Schallimpulsesbestimmt wird, hängt das laterale Auflö-sungsvermögen stark von der Schallfeld-geometrie ab. So sind die Querabmessungendes Schallfeldes in einer bestimmten Entfer-nung vom Wandler minimal (Fokussierung),danach wird der Schallstrahl mit zunehmen-dem Abstand breiter und die Auflösungschlechter. Die Impulsdauer, der Querschnittdes Schallfeldes und der Abstand des Fokus-bereiches vom Wandler werden mit wachsen-der Frequenz geringer. Daher werden mithöherer Ultraschallfrequenz sowohl die axialeals auch die laterale Auflösung besser. Jedochwächst mit zunehmender Frequenz auch dieDämpfung der Ultraschallwellen, und damitwird der abbildbare Bereich (Eindringtiefe)kleiner.Die Interpretation eines Ultraschall-B-Bildeswird durch verschiedene Effekte erschwert:- Schallschatten entstehen hinter stark re-

flektierenden Strukturen. Objekte hinterder Struktur bleiben unsichtbar.

- Mehrfachbilder können durch Mehrfach-reflexion des Schalls zwischen einer stark

reflektierenden Struktur und der Oberflä-che auftreten.

- Abbildungsfehler (Lagefehler) könnendurch Brechung der Schallwellen an Struk-turen mit unterschiedlicher Schallge-schwindigkeit entstehen.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Ultraschallgerät integriert in Computer- 2 Schallköpfe (1 MHz; 2 MHz)- PE-Körper mit Fehlstellen- Messschieber

3.1 Die für den Versuch notwendige Elek-tronik befindet sich in einem Ultraschallgerät,das in einen Computer integriert ist. Esermöglicht ein A-Bild sowie (durch manuelleBewegung des Schallkopfes) ein einfaches B-Bild. Die Darstellung erfolgt auf demComputerbildschirm.Zum Messen von Zeiten (bzw. Abständen) imA-Bild dienen zwei farbige Marker, die mitder Maus verschoben werden können. DieMessung der Amplitude erfolgt mit demMaus-Cursor.Regler an der Frontplatte des Computersdienen der Einstellung von (Sende-) Leistungund (Empfangs-) Verstärkung sowie derLaufzeit-Abhängigen Verstärkung (LAV). Weitere Hinweise zur Bedienung und Funk-tionsweise sind der am Platz ausliegendenBedienungsanleitung zu entnehmen.


Die Schallköpfe sind an der Vorderseite desComputers anzuschließen. Die Ankopplungder Schallwandler an den PE-Körper erfolgtmit Wasser. (Es ist nur ein dünner Wasser-film erforderlich!)

4.1 Für die Bestimmung der Schallge-schwindigkeit sind mit einem Messschieberdie Dicke l des PE-Körpers und aus der Zeit-skala bei aufgesetztem Schallkopf der zeitli-che Abstand t zwischen dem Beginn desSende- (oder Initial-) Echos und dem Beginn


19

µ =−

⋅1

2 2 1

1

2( )ln .

x x

y

y(8)

des Endecho (Rückwandecho) zu bestimmen.

4.2 Zur Bestimmung der Dämpfung ist fürjeden der beiden Schallköpfe die Größe desRückwandechos für zwei verschiedeneDicken des PE-Körpers (in Längs- undQuerrichtung) zu messen. Dabei muss dieLAV so eingestellt werden, dass die Ver-stärkung für beide Rückwandechos gleichgroß ist.

4.3 Der PE-Körper ist mit beiden Schall-köpfen auf Fehlstellen zu untersuchen.Um die Messungen zu erleichtern, wird zuerstdie Schallgeschwindigkeit berechnet (siehe5.1) und im Menüpunkt 'Einstellungen'eingeben. Danach wird die x-Achse (durchKlick auf den Button 'Tiefe') von Laufzeit aufAbstand umgestellt. Kontrollieren Sie, ob dieTiefe des Rückwandechos gleich der gemes-senen Dicke des PE-Körpers ist!

Ein Schallkopf wird über die seitlichenFlächen des PE-Körpers geführt. Am Gerätsind dabei die Einstellungen für LAV, Lei-stung und Verstärkung nach folgenden Ge-sichtspunkten zu variieren:

- Das gewünschte Echo darf nicht vomInitialecho überdeckt werden.

- Die mit zunehmender Eindringtiefe verbun-dene Schwächung muss ausgeglichenwerden.

- Das Echosignal darf nicht übersteuert sein,damit eine genaue Lokalisation auf demSchirm möglich ist.

Wenn Reflexe von Bohrlöchern gefunden undalle Einstellungen optimiert sind, schalten Sieum in den B-Bild-Modus. Mit dem B-Bildgewinnt man schnell einen Überblick über dieLage der Löcher. Stellen Sie die ungefähre Größe des Körperssowie Anfangs- und Endwert der Farbskalerichtig ein, drücken Sie den Start/Stop-Buttonund führen Sie den Schallkopf langsam undgleichmäßig über den PE-Körper. Die Mes-sung muss mit dem Start/Stop-Button been-det werden. Eventuell müssen Sie für eingutes Bild ein wenig üben und alle Einstel-lungen weiter verbessern.Das B-Bild kann ausgedruckt werden.

Bitte drucken Sie für jede Frequenz undpro Student nur einmal!

Die genaue Messung der Lage der Bohrlöchermuss im A-Bild erfolgen. Für alle Löchersind die Abstände von der Oberfläche zubestimmen. Die zweite Koordinate jedesLoches wird ermittelt, indem man die Mes-sung nach Drehen des PE-Körpers um 90o

wiederholt. Mit Hilfe des höherfrequentenSchallkopfes (besseres Auflösungsvermögen)ist nachzuprüfen, ob die gefundenen Fehl-stellen möglicherweise zusätzlich strukturiertsind.

5 Auswertung

5.1 Die Schallgeschwindigkeit ist nachGleichung (7) zu berechnen. Die Berechnungder Wellenlänge λ erfolgt für beide Wandlerüber die Gleichung (1). Der Elastizitätsmodulist nach Gleichung (2) zu errechnen.(ν = 0,45; ρ = 0,932 g cm-3)

5.2 Aus Gl. (3) ergibt sich für zwei ver-schiedene Dicken x1 und x2:

Aus den gemessenen Amplituden y1 und y2

sind mit Gl. (8) die Schwächungskoeffizien-ten für die Frequenzen der beiden Schallköpfezu berechnen.

5.3 Es ist auf Millimeterpapier im Maßstab1 : 1 ein Schnitt des PE-Körpers mit Ein-zeichnung der Fehlstellen (Bohrungen)darzustellen.Das B-Bild ist auf Artefakte (Schallschatten,Mehrfachbilder) zu untersuchen.

6 Literatur

Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum, Springer, Berlin etc. 2001

Fercher, A.F.: Medizinische Physik, Springer,1992

Millner, R.: Wissensspeicher Ultraschall-technik, Leipzig: Fachbuchverlag 1987

Wärmelehre W 1 Lineare Ausdehnung

20

( )[ ]( )[ ]

l l T T

l l T T

1 0 1 0

2 0 2 0

1

1

= + −

= + −

α

α(2)

l lT T

T T2 12 0

1 0

11

=+ −

+ −

αα

( )( )

. (3)

∆ l l T T0 0 0= −α ( ) (1)

( )[ ]l l T T2 1 2 11= + −α , (4)

∆∆

l

lT

1

= ⋅α . (5)

7 Kontrollfragen

7.1 Welche physikalische Größe ist auf derSkale des Ultraschallgerätes dargestellt?

7.2 Warum ist eine Ankopplung von Ultra-schallwandlern mittels Wasser oder Gel

notwendig?

7.3 Welche Wellenlänge hat eine Ultra-schallwelle in Polyethylen bei einer Frequenzvona) 1 MHz b) 2 MHz ?

1 Aufgabenstellung

Der lineare Ausdehnungskoeffizient zweierunbekannter Materialien ist zu bestimmen.

2 Grundlagen

In Festkörpern und Flüssigkeiten führen dieTeilchen (Atome bzw. Moleküle) temperatur-abhängige Schwingungen aus. Wegen derunsymmetrischen Potentialkurve der zwi-schenatomaren Bindung werden die mittlerenAtomabstände mit zunehmender Schwin-gungsamplitude größer. Das äußert sich ineiner Volumenausdehnung, in festen Körpernauch in einer Längenausdehnung. Diese ist inhomogenen und isotropen Festkörpern (Me-tall, Polymere, Glas) in alle Richtungengleich groß.Bei der Erwärmung bzw. Abkühlung einesStabes ändert sich seine Länge mit der Tem-peratur T. Ist l0 die Länge des Stabes bei derTemperatur T0 = 0EC, so ist die Längen-änderung ∆l0 = l - l0

Dabei ist α der lineare Ausdehnungskoeffi-zient (SI-Einheit: 1/K), eine Materialgröße,die für das verwendete Metallrohr im Bereichvon 0EC bis 100EC nur geringfügig von derTemperatur abhängt. Ist l1 die Länge bei derTemperatur T1 und l2 die Länge bei derTemperatur T2, so ergibt sich:

und damit

Da α sehr klein ist, kann näherungsweise für(3) gesetzt werden:

bzw. mit ∆l = l2 - l1

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Messuhr- Bandmaß- Halterung mit zwei eingespannten Rohren- Umwälzthermostat

3.1 Die Rohre sind einseitig eingespannt. ImAbstand l1 von der Einspannung drückt jedesRohr gegen den Stift einer Messuhr, so dassdie Längenänderung ∆l mit einer Genauigkeitvon 1/100 mm gemessen werden kann. DieTemperaturveränderungen werden mit Hilfeeines Thermostaten erzeugt, der das tempe-rierte Wasser durch die Rohre pumpt.

Lineare Ausdehnung W 1

Wärmelehre W 6 Spezifische Wärme von Metallen

21


Studieren Sie die am Arbeitsplatz ausliegendeKurzanleitung zum Thermostaten. SchaltenSie zu Beginn auf keinen Fall die Thermostat-heizung ein, das Wasserbad benötigt viel Zeitum wieder abzukühlen!

Der Thermostat wird ohne Heizung (vor-gewählte Temperatur unterhalb der Raum-temperatur) in Betrieb genommen, damit dieRohre die Temperatur annehmen, die dasThermometer am Thermostaten anzeigt.Diese Temperatur wird abgelesen und dieMessuhr auf Null gestellt.Die Längen l1 zwischen der Einspannung undder Stirnseite der Rohre ist mit dem Bandmaßzu messen.Danach ist am Thermostat eine Temperatureinzustellen, die um ca. 10 K höher liegt alsdie Ausgangstemperatur. Etwa 5 min nachErreichen der Solltemperatur werden dieTemperatur T und die dazugehörigen Län-genänderungen ∆l abgelesen.Die Temperatur wird in Schritten von ca.10 K weiter erhöht; dabei sind jeweils dieTemperatur und die Längenänderungen ingleicher Weise zu messen, bis eine Tempera-tur von ca. 80EC erreicht ist.

Während der gesamten Messungen müssenErschütterungen vermieden werden!

5 Auswertung

Entsprechend der Gleichung (5) ist die relati-ve Längenänderung ∆l/l1 in Abhängigkeit vonder Temperatur T graphisch darzustellen. Ausdem Anstieg dieser Geraden ist der lineareAusdehnungskoeffizient α zu ermitteln.Es ist eine Fehlerrechnung durchzuführen.Anhand des Ausdehnungskoeffizienten istdas Material der Rohre zu bestimmen.

6 Literatur

Gerthsen, Kneser, Vogel: Physik. SpringerVerlag 1989

Bergmann, L., Schaefer, C., Lehrbuch derExperimentalphysik Bd.1. de Gruyter 1990

7 Kontrollfragen

7.1 Welche physikalischen Phänomenewerden zur Temperaturmessung genutzt?

7.2 Weshalb ist die Wärmekapazität einesThermometers für die Temperaturmessungvon Bedeutung?

7.3 Wie groß etwa ist der lineare bzw. derVolumen-Ausdehnungskoeffizient vonMetallen, Polymeren, Gasen, Wasser?

1 Aufgabenstellung

Die spezifische Wärmekapazität von dreiverschiedenen Metallen ist zu bestimmen.

2 Grundlagen

Die Aufnahme oder Abgabe einer bestimmtenWärmemenge Q ist mit der Temperatur-

änderungen eines Körpers verbunden, sofernnicht chemische Reaktionen oder Änderungendes Aggregatzustandes erfolgen. Dabei kannder Wärmetransport von einem Körper zumanderen über Wärmeleitung (Konduktion),Wärmeströmung (Konvektion) und Wärme-strahlung erfolgen. Betrachtet man ein abgeschlossenes System(kein Stoff- und Energieaustausch mit derUmgebung), dann gilt der Energieerhaltungs-

Spezifische Wärme von Metallen W 6


22

Zeit

1

2

Abb. 1: Temperatur-Zeit-Diagramm

cC

m

Q

m T= =

∆. (1)

( )( ) ( )

Q Q Q

m c T T

m c T T m c T T

M W K

M M H

W W K K

= +

− =

− + −

2

2 1 2 1

(3)

( )( )( )

cm c m c T T

m T TM

W W K K

M H

=+ −

−

2 1

2

. (4)

( )Q C T T m c T= ⋅ − = ⋅ ⋅2 1 ∆ (2)

satz, d. h. die Summe der Wärmeenergienaller am Wärmeaustausch beteiligten Körperist konstant. Ein Kalorimeter stellt die nä-herungsweise experimentelle Umsetzungeines abgeschlossenen Systems dar.

Die Wärmekapazität C ist definiert als dasVerhältnis zwischen der dem Körper zu-geführten Wärme Q und der dadurch hervor-gerufenen Temperaturerhöhung ∆T. Diespezifische Wärme c ist die Wärmekapazitätpro Masseneinheit:

Um eine Substanz der Temperatur T1 auf eineTemperatur T2 = T1 + ∆T zu erwärmen, mussihr die Wärmemenge

zugeführt werden.

Die Messung der spezifischen Wärme ge-schieht in einem Mischungskalorimeter.Das Kalorimetergefäß hat die Masse mK unddie spezifische Wärmekapazität cK. Im Kalo-rimetergefäß befindet sich Wasser der MassemW und der spezifischen Wärmekapazität cW.Gefäß und Wasser haben zunächst die Tem-peratur T1. Dann wird ein heißes Metallstückder Masse mM mit der Temperatur TH in dasKalorimeter eingeführt. Durch Wärmeaus-tausch stellt sich nach einiger Zeit die Misch-temperatur T2 ein.Bei diesem Vorgang gibt der Metallkörper dieWärmemenge QM ab, das Wasser nimmt dieWärmemenge QW und das Kalorimeter dieWärmemenge QK auf. Nach dem Energie-erhaltungssatz gilt:

Für die spezifische Wärmekapazität cM desMetalls ergibt sich daraus:

Ein reales Kalorimeter ist kein vollständigabgeschlossenes System, sondern gibt imVerlaufe des Experiments Wärme an dieUmgebung ab bzw. nimmt Wärme auf. DerFehler, der durch den Wärmeaustausch mitder Umgebung entsteht, kann minimiertwerden, wenn man die Temperaturen T1 undT2 entsprechend Abb.1 graphisch aus einemTemperatur-Zeit-Diagramm bestimmt. Dazu wird der Temperaturverlauf im Kalori-meter während des gesamten Experiments inAbhängigkeit von der Zeit aufgetragen. In dasDiagramm wird dann eine Senkrechte soeingetragen, dass die entstehenden FlächenABC und CDE etwa gleich groß sind. DieTemperaturen T1 und T2 ergeben sich dannaus den Schnittpunkten der an die gemesseneKurve angelegten Tangenten mit der Senk-rechten (siehe Abb.1). Die Senkrechte repräsentiert einen idealisier-ten adiabatischen Prozess, der in einem sehrkurzen Zeitraum (∆t60) abläuft, so dasswährend dieser Zeit kein Wärmeaustauschmit der Umgebung stattfinden kann.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Kalorimeter- Magnetrührer, Rührstäbchen- Digitalthermometer- 3 Probekörper- Gefäß zur Erwärmung der Probekörper


23

- Laborkocher- Stoppuhr- Waagen (0,1 g und 0,001 g Auflösung)

3.1 Das Kalorimeter besteht aus eineminneren und einem äußeren Gefäß mit Deckelzur Wärmeisolierung.Das Temperaturmessgerät hat eine Mess-genauigkeit von 0,2 K und eine Auflösungvon 0,1 K. Durch langes Drücken der TasteTn wird die Differenz zur augenblicklichenTemperatur mit einer Auflösung von 0,01 Kangezeigt.


Zunächst werden die Massen der Probekörper(mM) und die Masse des Kalorimeters mK

(inneres Gefäß) bestimmt. Das innere Gefäß des Kalorimeters wird mitetwa 600 ml Wasser gefüllt. Die Wassermas-se ist mit einer geeigneten Waage zu be-stimmen. Die Wassertemperatur sollte etwa2…3 K unter der Raumtemperatur liegen.Protokollieren Sie die Anfangstemperatur desWassers und schalten Sie dann das Digital-thermometer auf 1/100 K -Anzeige um.Üben Sie einmal, einen Probekörper mög-lichst schnell und ohne anzustoßen in dasKalorimeter einzuhängen.

Die Probekörper sind in siedendem Wasserzu erwärmen. Es ist darauf zu achten, dass dieKörper vollständig eintauchen und genügendlange (etwa 10 min) im Wasserbad verweilen,damit die Zuordnung der Siedetemperatur beigegebenem Luftdruck zur Körpertemperaturdes erwärmten Probekörpers gerechtfertigt ist.Die Probekörper dürfen weder den Rand nochden Boden des Gefäßes berühren.Während des gesamten Experiments mussDer Rührer gleichmäßig laufen.

Bei der Bestimmung der Temperaturen T1 undT2 für alle drei Probekörper soll der Wärme-austausch zwischen Kalorimeter und Umge-bung entsprechend Abb.1 berücksichtigtwerden. Deshalb ist der Temperaturverlauf imKalorimeter über einen längeren Zeitraum zu

registrieren, indem in Abständen von 30Sekunden die Anzeige des Thermometersprotokolliert wird. Am besten geht man nachfolgendem Plan vor:

t / min

0 Beginn der Temperaturmessung(Vorperiode)

5 Körper 1 in Kalorimeter tauchen

10 Körper 1 herausnehmen


16 Körper 2 herausnehmen


23 Ende der Messung (Nachperiode)

Für die Bestimmung der Siedetemperatur TB

wird der Luftdruck am Barometer (an derWand an der Fensterseite) abgelesen undentsprechend der Umrechnungstabelle dieSiedetemperatur ermittelt.

5 Auswertung

Der Temperaturverlauf im Kalorimeter wirdin Abhängigkeit von der Zeit graphischdargestellt (vergl. Abb1). Die Bestimmungvon T1 und T2 kann für alle drei Probekörperin einem Diagramm vorgenommen werden. Die spezifische Wärmekapazität der Metalleist nach Gleichung (4) zu berechnen. Dabeisind folgende Werte zu verwenden:

spezifische Wärmekapazität des Wassers: cW = 4187 J kg-1 K-1

spezifische Wärmekapazität des Gefäßes: cK = 920 J kg-1 K-1

Für die Masse mK des Kalorimeters ist dieSumme aus der Masse des inneren Gefäßesund der Masse des Rührers einzusetzen. Die Siedetemperatur des Wassers ist anhanddes gemessenen Luftdrucks einer Tabelle zuentnehmen.

Mit Hilfe der Messergebnisse sind die unbe-kannten Metalle zu bestimmen.

Wärmelehre W 16 Wärmeleitung von Metallen

24

Abb. 1: Stationärer Temperaturgradient

Φ =ddQ

t(1)

Φ = − λ ATx

dd

. (2)

6 Literatur

Geschke, D. (Begr. von W. Ilberg): Physika-lisches Praktikum. B.G. Teubner StuttgartLeipzig 1998

Bergmann, L., Schaefer, C., Lehrbuch derExperimentalphysik, 10 Aufl., de GruyterBerlin-New York 1990

7 Kontrollfragen

7.1 Erläutern Sie die Begriffe Wärmekapa-zität, Temperatur, abgeschlossenes thermo-dynamisches System, thermodynamischesGleichgewicht!

7.2 Nennen Sie Temperaturmessverfahren!

7.3 Erläutern Sie den ersten und zweitenHauptsatz der Thermodynamik!

1 Aufgabenstellung

1.1 Bestimmung der Wärmeleitfähigkeitvon Eisen und Messing nach dem stationärenAbsolutverfahren.

1.2 Bestimmung der Wärmeleitfähigkeitvon Messing nach dem stationären Ver-gleichsverfahren.

2 Grundlagen

Auf der ungeordneten, thermischen Bewe-gung der Moleküle eines Körpers (BROWN-sche Bewegung) beruhen zwei grundlegendephysikalische Phänomene, die allgemein alsTransportvorgänge bezeichnet werden: dieWärmeleitung und die Diffusion. Während bei der Wärmeleitung thermischeEnergie vom wärmeren zum kälteren Bereichtransportiert wird, handelt es sich bei derDiffusion um einen auf einen Konzentrations-ausgleich gerichteten makroskopischenTeilchenstrom. Beide Prozesse sind mit einerZunahme an Entropie verbunden.Als Wärmestrom

bezeichnet man die pro Zeiteinheit trans-portierte Wärmemenge Q.

Besteht in einem Material ein Temperatur-gradient (in x-Richtung), so fließt durch einenQuerschnitt A der Wärmestrom

Das Minuszeichen in (2) berücksichtigt, dassdie Wärmeleitung entgegengesetzt zumTemperaturgradient erfolgt. Die Materialkon-stante λ heißt Wärmeleitfähigkeit und hat dieSI-Einheit

Wärmeleitung von Metallen W 16


25

Abb. 2: Messanordnung zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit

[ ]λ = =J m

s m KW

K m .2 (3)

Φ = −−

−λ A

T T

x x2 1

2 1

. (4)

∆ T UT= ⋅1α

(5)

Gleichung (2) ist analog zur Diffusionsglei-chung (1. FICKsches Gesetz).In Abb.1 sind zwei Wärmereservoire unter-schiedlicher aber fester Temperatur T1 und T2

(T1 > T2) gezeigt, die über einen Stab derLänge ∆x = x2 - x1 thermisch miteinanderverbunden sind. Nach einiger Zeit stellt sichein stationäres Temperaturgefälle (T2-T1)/(x2-x1) über die gesamte Stablänge ein, d. h. derTemperaturgradient dT/dx = ∆T/∆x ist orts-unabhängig und der Wärmestrom ist zeitlichkonstant. Damit wird aus (2):

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Anordnung von Metallstäben mit Thermo-

elementen und Heizung (Abb.2)- Stromversorgungsgerät- 2 Vielfachmesser- Nanovoltmeter

- Messstellenumschalter- Verbindungsleitungen- Thermometer

3.1 Den Aufbau der Messanordnung zeigtAbb2. Mit Hilfe des Heizers wird ein kon-stanter Wärmestrom Φ erzeugt, der durch denEisen- und Messingstab in die große Metall-platte (großes Wärmereservoir) fließt und sofür ein nahezu konstantes Temperaturgefällesorgt. Mit Hilfe der fest eingebauten Kupfer-Konstantan-Thermoelemente werden dieTemperaturdifferenzen ∆T = T2 - T1 ent-sprechend (4) gemessen, ∆x ist der Abstandzwischen den Lötstellen der Thermoelemente.Die Temperaturdifferenzen ergeben sich ausden mit einem hochempfindlichen Nanovolt-meter gemessenen Thermospannungen UT

entsprechend

(siehe auch Versuch E10). Der schwachtemperaturabhängige Seebeck-Koeffizient αist einer Grafik zu entnehmen.


26

Φ = ⋅U I . (6)

λ =U I x

A T

∆

∆. (7)

Φ∆

∆= − λFe

Fe Fe

Fe

A T

x. (8)

λ λMs Fe

Fe Fe Ms

Ms Ms Fe

A T x

A T x=

∆ ∆

∆ ∆. (9)


Die Schaltung nach Abb.2 wird aufgebaut.Die Messungen werden bei zwei verschiede-nen Heizleistungen durchgeführt. Zuerst wirdeine Heizspannung von etwa 10 V eingestellt.Alle 2 Minuten sind die ThermospannungenUT, Fe und UT, Ms der beiden Thermoelementezu protokollieren. Nach Erreichen des statio-nären Zustandes (nach mindestens 30 min)sind die Temperatur am Messaufbau sowieStrom I und Spannung U am Heizer zumessen. Die Temperaturdifferenzen ∆TFe und∆TMs werden nach (5) ermittelt, wobei derSeebeck-Koeffizient α bei der geschätztenmittleren Temperatur des Eisen- bzw. desMessingstabes einzusetzen ist.Die Messung wird bei einer Heizspannungvon etwa 20 V zu wiederholt. (Dabei musswieder der stationäre Zustand abgewartetwerden.)

5 Auswertung

Bei der gegebenen Versuchsanordnung gibtes dazu zwei Möglichkeiten:

5.1 Beim stationären Absolutverfahren gehtman davon aus, dass die elektrisch erzeugteHeizleistung nahezu vollständig durch Wär-meleitung durch den Eisen- und Messingstaban die Grundplatte abgeführt wird:

Damit ergibt sich aus (4):

5.2 Beim stationären Vergleichsverfahrennutzt man die Tatsache, dass der Eisen- undder Messingstab thermisch in Reihe ge-schaltet sind. Sie werden im stationärenZustand vom gleichen Wärmestrom durch-flossen. Ist die Wärmeleitfähigkeit von Eisenbekannt, so ergibt sich der Wärmestrom zu

Setzt man Φ in Gleichung (4) ein, so erhältman

Die Wärmeleitfähigkeiten von Eisen undMessing sind für beide Heizleistungen nachbeiden Verfahren (5.2 nur für Messing) zuberechnen.Die Ergebnisse sind miteinander und mitLiteraturwerten zu vergleichen. Die für beideVerfahren unterschiedlichen systematischenFehler sind abzuschätzen.

Für die Berechnung sind folgende Werte zuverwenden:dFe = dMs = 30 mm (Durchmesser der Stäbe)

∆xFe = 4,0 cm; ∆xMs =5,0 cm

λFe = 52,3 W m-1 K-1 (für 5.2).

6 Literatur

Bergmann-Schäfer: Lehrbuch der Experimen-talphysik. de Gruyter Lehrbuch, 11. Auflage1998

Geschke, D. (Hrsg.): Physikalisches Prakti-kum. B.G. Teubner Stuttgart Leipzig 1998

7 Kontrollfragen

7.1 Was ist Wärmeleitung? Welche Prozes-se spielen dabei eine Rolle?

7.2 Welche systematischen Fehler erkennenSie in der Messanordnung?

7.3 Erklären Sie die Funktionsweise einesThermoelements!

Magnetfeld E 4 Magnetfeld

27

B Hr= ⋅ ⋅µ µ0 (1)

N I H s H sL L Fe Fe⋅ = ⋅ + ⋅ , (2)

B B B H HL Fe L r Fe= = = ⋅, ,µ (3)

HN Is

s B

sFeFe

L

Fe

=⋅

−⋅

⋅ µ 0

, (4)

µµr

Fe

L

B s

N I B s=

⋅

⋅ ⋅ − ⋅0

. (5)

Abb.1: Hysteresekurve

1 Aufgabenstellung

1.1 Für einen magnetischen Eisenkreis mitLuftspalt ist die Hysteresekurve aufzuneh-men.

1.2 Die magnetische Induktion sowie diemagnetischen Feldstärken im Eisen und imLuftspalt sind zu bestimmen.

1.3 Die Remanenzinduktion und die Koerzi-tivfeldstärke sind zu ermitteln.


Für Stoffe, die sich in einem magnetischenFeld befinden, gilt:

Es bedeutenB: magnetische Induktion (MagnetischeFlussdichte), SI-Einheit 1 Vs/m2 = 1 Tesla;H: magnetische Feldstärke, SI-Einheit A/m,µ0 = 1,257@10-6 Vs/Am (Induktionskonstante,magnetische Feldkonstante),µ r: relative Permeabilität.

Für nicht ferromagnetische Stoffe ist dierelative Permeabilität µ r eine Materialkon-stante.Für ferromagnetische Stoffe ist die relativePermeabilität µ r nicht konstant, sie hängt vonH ab. Der Zusammenhang zwischen dermagnetischen Induktion B und der magneti-schen Feldstärke H wird durch die Abb.1wiedergegeben. (Hysteresekurve).Von 0 bis P1 wächst zunächst die Induktionmit der Feldstärke, bis bei P1 eine Sättigungerreicht ist (Neukurve). Wird nun H wiederverkleinert, so ergibt sich der Verlauf P1 - P2 - P3 - P4. Bei H = 0 (P2) bleibt der Stoff magnetisch, erbesitzt die Remanenzinduktion BR. Dieseremanente Magnetisierung kann durch die

Koerzitivfeldstärke HC (HC < 0) kompensiertwerden; in P3 ist B = 0. Wird von P4 aus dieFeldstärke vergrößert, so ergibt sich dieKurve P4 - P5 - P6 - P1.

Betrachtet man einen magnetischen Eisen-kreis mit einem Luftspalt (Abb.2), so geltenfür die Feldstärke im Luftspalt HL und für dieFeldstärke im Eisenkern HFe folgende Bezie-hung:

N = Windungszahl; sFe = mittlere Länge imEisen; sL = Länge des Luftspaltes; µ r = relativePermeabilität des Eisens; für Luft wirdangenommen µ r = 1.

Magnetfeld E 4

Magnetfeld E 4 Magnetfeld

28

Abb.2: magnetischer Eisenkreis mit Luftspalt

Abb.3: Versuchsaufbau

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Elektromagnet (Eisenkern mit Spule)- Permanentmagnet- Motor mit Induktionsspule- Teslameter mit Hallsonde- Stromversorgungsgerät- 2 Digitalmultimeter- Widerstand- Umschalter (Polwender)- Verbindungsleitungen

3.1 Die Schaltung für den Versuchsaufbauzeigt die Abb.3. Das Stromversorgungsgerätliefert die Spannungen U0 = 40 V für dieMagnetspule und UM = 18 V für den Betriebdes Motors. Mit dem Widerstand R kann dieStromstärke I, die das Magnetfeld in derSpule erzeugt, eingestellt werden. Die Rich-tung des Stromes lässt sich durch den Schal-ter S (Polwender) umkehren.Die magnetische Induktion B wird im Luft-spalt L gemessen mit Hilfe der Induktions-

spule IS, die durch den Motor M in Rotationversetzt wird. Die induzierte Spannung Uind

ist mit dem Voltmeter V zu messen.Zur Kalibrierung dieser Messeinrichtung wirdein Permanentmagnet verwendet. Die Induk-tion B' des Permanentmagneten ist mit Hilfeder Hallsonde des Teslameters zu bestimmen.


4.1 Die Schaltung nach Abbildung 3 istaufzubauen.Zur Kalibrierung der Induktionsmessein-richtung wird der Permanentmagnet so an denunteren Schenkel des Eisenkerns Fe an-gebracht, dass die Induktionsspule IS frei indem entstandenen Luftspalt rotieren kann.Die Motorspannung (UM = 18 V) wird einge-schaltet, die induzierte Spannung U'ind ge-messen.Danach ist der Motor mit der Induktionsspuleaus dem Luftspalt zu entfernen und diemagnetische Induktion B' des Permanent-magneten mit der Hallsonde zu bestimmen.Anschließend wird der Polschuh A wiederangeschraubt und der Motor mit der Induk-tionsspule in den Luftspalt gebracht.Zur Aufnahme der Hysterese-Kurve musszunächst ein definierter Anfangszustand des

Eisenkerns (I = 0; Kurve ) erreichtP P5 6−

werden. Dies geschieht, indem man denStrom I langsam von 0 bis 500 mA ver-größert, danach wieder aus 0 bringt, dieStromrichtung umkehrt (Umschalter S), bis-500 mA einstellt und wieder zurück bis der

Elektrizitätslehre E 7 Innenwiderstand von Spannungsquellen

29

B BU

Uind

ind

= ′ ⋅′

, (6)

Strom I = 0 ist. Danach kann die Aufnahme der Hysterese-Kurve beginnen. Dazu wird die Stromrich-tung wieder umgepolt, die Stromstärke von 0bis 500 mA in 50 mA-Schritten eingestelltund die jeweilige induzierte Spannung Uind

gemessen (Kurve P5 !P6 !P1). In der gleichenWeise wird der Kurvenverlauf P1 !P2 !P3 !P4

sowie P4 !P5 ermittelt. Beim Einstellen derStromstärke darf diese nur vergrößert odernur verringert werden. (Ausnahme bei I =500 mA).Beim Protokollieren sind die Vorzeichen derMessdaten (Abb.1) zu beachten!

5 Auswertung

Als Hysterese-Kurve wird die magnetischeInduktion B in Abhängigkeit von der magne-tischen Feldstärke im Eisen HFe graphischdargestellt. Die Induktion B errechnet sichnach

die Feldstärke HFe nach Gleichung (4).Aus der Hysterese-Kurve sind die Remanenz-induktion BR und die Koerzitivfeldstärke HC

zu ermitteln.Für I = 400 mA sind (mit den entsprechenden

Messunsicherheiten) zu bestimmen:

- die relative Permeabilität µ r für den Eisen-kern,

- die magnetische Feldstärke HFe im Eisen-kern,

- die magnetische Feldstärke HL im Luftspalt,

- die magnetische Induktion B.

Der vorliegende magnetische Eisenkreisbesitzt folgende Daten:

Windungszahl N = 5455

mittlerer Eisenweg sFE = (430 ± 4) mm

Länge des Luftspaltes sL = (8,0 ± 0,5) mm

6 Literatur


7 Kontrollfragen

7.1 Was versteht man unter Dia-, Para- undFerromagnetismus?

7.2 Wie ist die Induktion einer Spannung inder Spule IS (Abb.3) zu erklären?

7.3 Was ist eine Hallsonde?

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Strom-Spannungs-Kennlinienverschiedener Gleichspannungsquellen sindaufzunehmen.

1.2 Die Innenwiderstände dieser Spannungs-quellen sind zu bestimmen.

2 Grundlagen

Bei der Messung elektrischer Spannungen(besonders bei sehr kleinen Spannungen wieBiopotentialen) hängen die Messergebnisseentscheidend von der Wahl des Messverfah-rens ab. Genauso wie bei Spannungsmessun-gen an Akkumulatoren oder Batterien, kannauch bei Messungen an biologischen Objek-ten (z.B. EKG-Ableitung) nicht ohne Rück-

Innenwiderstand von Spannungsquellen E 7


30

Abb.2: Strom-Spannungs-Kennlinie einer

Spannungsquelle mit konstantem Innenwider-

stand.

Abb.1: Ersatzschaltbild einer Spannungs-

quelle

U I R I Ri L0 = ⋅ + ⋅ (1)

U I RK L= ⋅ . (2)

U U I RK i0 = + ⋅ . (3)

IU

R RL i

=+

0 . (4)

wirkung auf die Spannung gemessen werden.Zwischen der zu messenden Spannungsquelle(U0 - Urspannung) und den Klemmen desMessgerätes (UK - Klemmenspannung)besteht ein zusätzlicher Innenwiderstand Ri,der vom “Innenleben” der Spannungsquelleabhängt. Der innere Widerstand des an-geschlossenen Messgerätes stellt den Last-widerstand RL dar, mit dem die Spannungs-quelle während der Messung belastet wird.Dieser Zusammenhang wird im allgemeinenErsatzschaltbild für eine Spannungsquelledargestellt (Abb.1).Mit dem Maschensatz (ÿ KIRCHHOFFscheGesetze) folgt für diesen einfachen Strom-kreis:

mit I als fließendem Strom.Der Spannungsabfall am Lastwiderstand istgleich der Klemmenspannung:

Damit lässt sich (1) schreiben als:

Der Innenwiderstand kann aus der Abhängig-keit der Klemmenspannung UK vom Strombestimmt werden. Wenn die Größenordnung des Innenwider-standes bekannt ist, dann kann man meist eingeeignetes Spannungsmessverfahren (bzw.Messgerät) auswählen, bei dem RL » Ri ist.Dann gilt I@Ri « UK bzw. UK . U0, d. h. dieUrspannung U0 (auch Leerlaufspannunggenannt) wird nahezu unverfälscht gemessen.Mit Hilfe einer Kompensationsschaltung ist

es auch möglich, die Leerlaufspannungunmittelbar (bei I = 0) zu messen.

Entsprechend Gl. (3) liegt an den Polen einerSpannungsquelle im unbelasteten Zustand,das heißt wenn der Quelle kein Strom ent-nommen wird, die Urspannung U0 oderLeerlaufspannung (früher auch als elektro-motorische Kraft bezeichnet) an. Wird nun andie Spannungsquelle ein “Verbraucher”angeschlossen, so dass ein Strom fließt, sowird die Spannung an den Polen der Quelleauf einen Wert sinken, der als Klemmen-spannung UK bezeichnet wird.Für den Laststrom folgt aus (3):

Aus Gleichung (3) ist zu erkennen, dass dieKlemmenspannung linear mit der Strombela-stung sinkt. Die graphische Darstellung desZusammenhangs zwischen Klemmenspan-nung und Strom wird als Strom-Spannungs-Kennlinie einer Spannungsquelle bezeichnet.Abbildung 2 zeigt eine solche Kennlinie füreine Spannungsquelle mit konstantem Innen-widerstand. Aus der Darstellung geht hervor,dass bei I = 0 die Klemmenspannung UK

gleich der Urspannung U0 ist. Mit abnehmen-dem Lastwiderstand RL steigt der Strom unddie Klemmenspannung sinkt, bis der Span-nungsabfall über Ri den Wert der Urspannungerreicht hat. Jetzt ist der Lastwiderstand Nullund der Spannungsabfall am InnenwiderstandRi ist gleich der Urspannung U0. Diesen Fallnennt man Kurzschluss. Im Kurzschlussfall


31

Abb.3: Versuchsschaltung

P P PU

R Rg i L

i L

= + =+

02

. (8)

η = =+

=

+

P

P

R

R R R

R

L

G

L

i L i

L

1

1.

(9)

P U IL K= ⋅ (5)

( )P

U

R RRL

i L

L=+

⋅02

2 . (6)

( )P

U

R RRi

i L

i=+

⋅02

2 . (7)

wird UK Null und es fließt der maximalmögliche Strom, der als Kurzschlussstrombezeichnet wird.Derartige Kennlinien weisen zum BeispielTrockenbatterien oder Akkumulatoren auf, dasie einen relativ konstanten Innenwiderstandbesitzen.Die von einer Spannungsquelle gelieferteelektrische Energie soll der Verbraucher(Widerstand RL) nutzen. Da der Verbraucher-oder Laststrom I aber auch durch die Span-nungsquelle fließt, nimmt diese (über denInnenwiderstand Ri) einen Teil der am ge-samten Umsatz beteiligten Leistung auf. Diean den Verbraucher abgegebene Leistung

kann mit Hilfe der Gleichungen (2) und (4)umgeformt werden zu:

Analog gilt für die in der Spannungsquelleverbrauchte Leistung:

Die gesamte von der Spannungsquelle gelie-ferte Leistung ist damit:

Für den Wirkungsgrad η, das Verhältnis vonNutzleistung zur Gesamtleistung, folgt:

Nach Gleichung (9) steigt der Wirkungsgradmit wachsendem Verhältnis von RL zu Ri an.Um die innerhalb der Spannungsquelleverbrauchte Leistung gering zu halten, solltedie Bedingung RL >> Ri eingehalten werden,d.h. es muss in Leerlaufnähe gearbeitetwerden. Diese Forderung gilt für Primär- und

Sekundärelemente wegen deren endlicherKapazität (entnehmbare Ladung), die übli-cherweise in Ah (Amperestunden) angegebenwird und die nicht mit der Kapazität einesKondensators verwechselt werden sollte.Anders ist die Situation bei Solarzellen, dadie Sonne ja ständig Energie nachliefert. Hierbesteht das Ziel darin, dem Verbraucher einemöglichst hohe Leistung zuzuführen. DerLastwiderstand RL, für den die Leistung PL

maximal wird, kann bestimmt werden indemdie erste Ableitung von Gleichung (6)dPL/dRL = 0 gesetzt wird. Es ergibt sich dieeinfache Beziehung RL = Ri. In diesem Fallspricht man von (Leistungs-) Anpassung.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:verschiedene Gleichspannungsquellen:

Trockenbatterie, Bleiakku, Solarzellen-modul

verschiedene Lastwiderstände:1 Schiebewiderstand 140 Ω, 1 Dreh-widerstand 5 Ω, 4 Dekadenwiderstände1/10/100/1000 Ω

2 Digitalmultimeter1 SchalterVerbindungsleitungen

3.1 Schaltungsaufbau:Für die Aufnahme der Strom-Spannungs-Kennlinie wird die Schaltung nach Abb.3aufgebaut. Als Spannungsmesser wird einMessgerät mit hohem Eingangswiderstandverwendet, so dass die Spannungsquelle beigeöffnetem Schalter nur mit einem minimalenStrom belastet wird.


32

Abb.4: Bestimmung des Innenwiderstandes

einer Spannungsquelle mit Hilfe der linearen

Regression.


Achtung!Bleiakkus liefern sehr hohe Ströme. Durcheinen Kurzschluss können Kabel ver-schmelzen! Falsch angeschlossene Mess-geräte können beschädigt werden! LassenSie die Schaltung vor dem Anschließen derSpannungsquellen kontrollieren!

Machen Sie sich zunächst mit der Funktions-weise der zu verwendenden Lastwiderständevertraut. Dazu stehen Ihnen die Multimeterzur Verfügung, mit denen Widerstände direktgemessen werden können.Messen Sie die Leerlaufspannungen U0 fürden Bleiakku und für die Trockenbatterie.Damit diese beiden Spannungsquellen wäh-rend der Messung nicht zu stark entladenwerden, muss der Strom begrenzt werden auf3 A für den Bleiakku und 200 mA für dieTrockenbatterie. Berechnen Sie aus diesenWerten die erforderlichen Lastwiderstände RL

und entscheiden Sie dann, welche Wider-stände Sie für die Batterie und den Akkuverwenden wollen. Für das Solarzellenmodulwerden die vier Dekadenwiderstände (0 …10000 Ω) verwendet. Stellen Sie die ver-änderlichen Widerstände (den Schiebewider-stand bzw. die Dekadenwiderstände) vorBeginn der Messung so ein, dass die genann-ten Ströme in keinem Fall - auch nicht bei zuvernachlässigendem Innenwiderstand -überschritten werden.Zur Aufnahme der I-U-Kennlinie wird dieSchaltung nach Abbildung 3 aufgebaut. Für die Kennlinie des Akkus werden minde-stens 10 etwa äquidistante Messpunktezwischen 0 und 3 A gewählt. Die dazugehöri-gen Klemmenspannungen Uk sowie dieUrspannung U0 (bei I = 0) sind zu messen.Für die Kennlinie der Batterie werden min-destens 10 etwa äquidistante Messpunktezwischen 0 und 200 mA gewählt. Die da-zugehörigen Klemmenspannungen Uk sowiedie Urspannung U0 (bei I = 0) sind wieder zumessen.Für das Solarzellenmodul ist die gesamte I-U-Kennlinie, d.h. von der Leerlaufspannung bis

zum Kurzschlussstrom, aufzunehmen. Eswerden mindestens 20, bezüglich der Stroms-tärke möglichst äquidistante Punkte gemes-sen. Hier sind neben der Stromstärke I undder Klemmenspannung Uk auch die Werte derzugehörigen Lastwiderstände RL zu erfassen.

5 Auswertung

Für alle Gleichspannungsquellen werden dieStrom-Spannungs-Kennlinien graphischdargestellt.Für die beiden galvanischen Spannungs-quellen sind die Innenwiderstände aus demAnstieg der Regressionsgeraden in dengraphischen Darstellungen zu ermitteln. Dazuwird durch die Messpunkte in der graphi-schen Darstellung eine Gerade gelegt und aufder Gerade entsprechend Abb.4 dieSpannungs- und Stromdifferenz abgelesen.Aus dem Schnittpunkt der Geraden mit derOrdinate wird die Urspannung U0 bestimmtund dann aus diesen beiden Werten derKurzschlussstrom berechnet. Vergleichen Siedie so bestimmte Urspannung mit dem ge-messenen Wert! Wie ist die Genauigkeit desberechneten Kurzschlussstromes zu be-werten?Für den Solarzellenmodul werden die Innen-widerstände anhand der Messpunkte nachGleichung (3) und die abgegebene LeistungPL nach (5) berechnet. Der Innenwiderstand

Elektrizitätslehre E 8 Leitfähigkeit von Elektrolyten

33

Abb.1: WHEATSTONE-Brückenschaltung

R

R

R

RX

1 3

4

= . (1)

Ri, der Lastwiderstand RL sowie die LeistungPL sind in Abhängigkeit vom Strom grafischdarzustellen. Zeichnen Sie alle drei Kurven inein Diagramm (linke y-Achse: Widerstand,rechte y-Achse: Leistung)!

6 Literatur

Geschke, D.: Physikalisches Praktikum. B.G.Teubner Stuttgart Leipzig 1998

Walcher, W.: Praktikum der Physik. B.G.Teubner Stuttgart 1989

7 Kontrollfragen

7.1 Erklären Sie den Unterschied zwischender Klemmenspannung und der Urspannungeiner Spannungsquelle!

7.2 Erläutern Sie das Ersatzschaltbild einerSpannungsquelle!

7.3 Erläutern Sie die Begriffe Leerlauf,Kurzschluss und Anpassung.

7.4 Sie haben die Aufgabe, an einer Span-nungsquelle mit Innenwiderstand von ca.500 kΩ die Urspannung mit einer Genau-igkeit von 1% zu bestimmen. Wie groß mussder Innenwiderstand des Messgerätes sein?

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Zellenkonstante Κ einer elektrolyti-schen Zelle ist zu bestimmen.

1.2 KCl -Lösungen verschiedener Konzen-tration sind herzustellen und ihre elektrischeLeitfähigkeit σ ist zu bestimmen.

1.3 Die Äquivalentleitfähigkeit Λ der Lösun-gen ist zu berechnen.

2 Grundlagen

2.1 Für eine genaue Widerstandsmessungund für die Bestimmung von kleinen Wider-ständen werden häufig Brückenschaltungenverwendet. Die Grundschaltung jeder Mess-brücke ist die Wheatstone-Brücke (Abb.1). Zwischen den Punkten A und B sowie zwi-schen C und D liegt die Spannung U an.Ohne Galvanometer zwischen den Mess-punkten E und F wird das Potential in diesenPunkten durch die Verhältnisse R1 : RX sowieR3 : R4 bestimmt (Spannungsteiler zwischenA und B sowie zwischen C und D).

Besteht zwischen E und F kein Potential-unterschied, so sagt man, Brücke ist abgegli-chen. Über das Galvanometer (ein hoch-empfindliches Amperemeter) wird dann keinStrom fließen. In diesem Fall muss die fol-gende Bedingung erfüllt sein:

Wenn zwischen E und F ein Potentialunter-schied besteht, so fließt über das Galvano-meter ein Strom. Das Prinzip der Brücken-messung besteht darin, durch Änderung derbekannten Widerstände R1, R3 und R4 den

Leitfähigkeit von Elektrolyten E 8


34

RlA

= ⋅ρ , (3)

C

C

R

Rx

1

3

4

= . (2)

GAl

= ⋅σ , (4)

GR K

= = ⋅1 1

σ . (5)

Λ =σcq

(6)

cz n

V

m z

M Vq =⋅

=⋅⋅

(7)

σ =K

Rx

. (8)

abgeglichenen Zustand der Brücke zu finden.Die Größe des unbekannten Widerstandes RX

lässt sich dann nach (1) berechnen. Soll eine Messbrücke mit Wechselstrombetrieben werden, so ist eine mögliche Pha-senverschiebung zwischen Strom und Span-nung zu berücksichtigen. Für den Brücken-abgleich müssen in diesem Fall Betrag undPhase der Spannung zwischen E und F abge-glichen werden. Zu diesem Zweck wird dieeinfache Wheatstone-Schaltung durch zusätz-liche Kapazitäten ergänzt, siehe Versuchs-schaltung Abb.2.Da die elektrolytische Zelle neben demWiderstand Rx auch eine Kapazität Cx besitzt,müssen für den Abgleich der Brücke zweiBedingungen erfüllt sein: der Amplituden-abgleich (1) und der Phasenabgleich

(1) und (2) gelten gleichzeitig, wenn dieBrücke vollständig abgeglichen ist.

2.2 Der elektrische Widerstand eines Leitersmit der Länge l und dem Querschnitt A ist

er wird neben den geometrischen Größen l

und A durch eine Materialkonstante, denspezifischen elektrischen Widerstand ρ,bestimmt. Der Kehrwert des elektrischenWiderstandes G = 1/R heißt elektrischerLeitwert, seine SI-Einheit ist das Siemens:[G] = 1/Ω = S. Analog zu (3) schreibt man

σ = 1/ρ heißt spezifische elektrische Leit-fähigkeit und hat die Einheit [σ] = S/m. DieAngabe eines Leitwertes ist insbesondere beielektrisch leitenden Flüssigkeiten üblich.

Elektrolyte sind elektrisch leitende Flüssig-keiten, bei denen der Ladungstransport durchIonen erfolgt.Eine elektrolytische Zelle, die mit einemElektrolyten gefüllt ist, hat den elektrischen

Widerstand R. Für den elektrische Leitwert Gder Zelle schreibt man

In dieser Gleichung wurden gegenüber Gl. (4)die Größen A und l zur Zellkonstanten K

zusammengefasst. Ihre Einheit ist ”Κ› =1/m.Die Zellkonstante K wird nur vom Aufbau(Größe und Form) der elektrolytischen Zellebestimmt, während die elektrische Leitfähig-keit σ von der Art des gelösten Stoffes, vonder Konzentration und von der Temperaturdes Elektrolyten abhängt. Bei schwachen,verdünnten Elektrolyten nimmt die Leitfähig-keit mit der Temperatur zu und bei wachsen-der Verdünnung ab.

Die Äquivalentleitfähigkeit Λ ist

wobei cq die Äquivalentkonzentration (Nor-malität eines Elektrolyten) ist:

Dabei bedeuten: m = Masse, V = Volumen,M = Molmasse in g/mol, n = m/M = Stoff-menge (Anzahl der Mole), z = Wertigkeit(Ladungszahl). Die SI-Einheit von Λ istS m2/mol, die von cq ist mol/m3, meist wirdjedoch mol/l verwendet.Die Äquivalentleitfähigkeit wird durch denDissoziationsgrad des gelösten Salzes be-stimmt. Bei starken Elektrolyten, in denen dieSalze im allgemeinen vollständig in Ionengespalten sind, wird die Beweglichkeit derIonen durch Wechselwirkungen ihrer elektri-schen Ladungen beeinflusst. Die Äquivalent-leitfähigkeit hängt daher von der Konzen-tration der Lösung ab. Zur Bestimmung der elektrischen Leitfähig-keit σ wird der Widerstand Rx der elektrolyti-schen Zelle gemessen. Aus (5) ergibt sich


35

Abb.2: Schaltung zur Leitfähigkeitsmessung

in Elektrolyten.

Die Zellkonstante Κ kann durch Messungeines Elektrolyten bekannter Leitfähigkeit(hier gesättigte NaCl-Lösung) ermitteltwerden.Die Leitfähigkeit von Elektrolyten mussgrundsätzlich mit Wechselstrom gemessenwerden, damit das Messergebnis nicht durchdie Elektrodenpolarisation verfälscht wird.Die Widerstände Rx der gefüllten elektrolyti-schen Zelle werden deshalb mit Hilfe einerWechselstrombrücke (Abb.2) ermittelt.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- elektrolytische Zelle mit Halterung- Generator 1 kHz- Vielfachmesser- Kurbelwiderstand (R 1)- Kapazitätsdekaden (C 1) - 2 Festwiderstände 100 Ω (R3, R4)- Thermometer- Flasche mit NaCl-Lösung- Flasche mit KCl- 3 Messzylinder 100 ml, 25 ml, 10 ml- Becherglas, Trichter, Spatel, Glasstab

3.1 Als Spannungsquelle dient ein Wechsel-spannungs-Generator mit der festen Frequenz1 kHz und einer Spannung von Ueff = 2 V.Für die Widerstände R3 und R4 werden zweigleiche Festwiderstände mit je 100 Ω und fürden Widerstand R1 ein Kurbelwiderstandverwendet. Die Kapazität C1 kann zwischen1 nF und 999 nF variiert werden. Zur Anzeige

des Brückenstromes dient ein empfindlicherVielfachmesser mit veränderlichen Mess-bereichen.


Die Brückenschaltung ist nach Abb.2 auf-zubauen.

4.1 Bestimmung der Zellkonstante: Dieelektrolytische Zelle wird mit der gesättigtenNaCl-Lösung gefüllt, die Temperatur T derLösung ist zu messen. Am Vielfachmesserwird zunächst ein unempfindlicher Mess-bereich (z.B. 100 mA) eingestellt; Generatorund Vielfachmesser sind einzuschalten. Nunwerden der Widerstand R1 und die KapazitätC1 abwechselnd verändert, bis der Brücken-strom ein Minimum erreicht, wobei dieMessbereiche am Vielfachmesser immerempfindlicher geschaltet werden. Wenn dieBrücke abgeglichen ist, sollte der Brücken-strom kleiner als 3 µA sein. Der dazugehörigeWiderstand R1 = Rx (folgt aus (1), wennR3 = R4) ist abzulesen und zu protokollieren.

Achtung! Nach jeder Widerstandsmessungmuss am Vielfachmesser wieder ein un-empfindlicher Messbereich eingestelltwerden, damit beim Wechsel der Elek-trolyte keine Überlastung des Messgerätesauftritt.

4.2 Bestimmung der elektrischen Leitfähig-keit von KCl-Lösungen der Konzentration1N; 0,5N; 0,2N; 0,1N; 0,05N und 0,02N:Zunächst werden 100 ml KCl-Lösung mit derÄquivalentkonzentration cq = 1 mol/l (1Noder 1-normale Lösung) hergestellt. DieMolmasse von KCl beträgt 74,55 g/mol. Dieerforderliche Menge KCl ist abzuwiegen undim Messzylinder in etwa 90 ml destilliertemWasser aufzulösen (Rühren mit Glasstab).Danach wird die Lösung mit destilliertemWasser auf 100 ml aufgefüllt.Die elektrolytische Zelle ist mit dieser Lö-sung zu füllen, der dazugehörige Widerstandwird wie oben beschrieben gemessen. DieTemperatur der Lösung wird gemessen.

Optik und Atomphysik O 6 Gitterspektrometer

36

Anschließend wird die KCl-Lösung zurweiteren Verwendung in einem Becherglasaufbewahrt.Je 100 ml KCl-Lösung der Konzentration0,5N; 0,2N; 0,1N; 0,05N und 0,02N werdendurch Verdünnung eines Teils der 1N KCl-Lösung hergestellt. Der Widerstand und dieTemperatur dieser Lösungen in der elek-trolytischen Zelle werden gemessen. An-schließend sind die Lösungen zu verwerfen.Alle gemessenen Werte sind übersichtlichtabellarisch zu erfassen.

Hinweis:Es muss sauber gearbeitet werden. Die elek-trolytische Zelle und die Elektroden sind beijedem Umfüllen sorgfältig zu spülen.Die gesättigte NaCl-Lösung wird nach derMessung in die Vorratsflasche zurückgegos-sen.

5 Versuchsauswertung

5.1 Die Zellenkonstante K ist mittels (8) zuberechnen. Die elektrische Leitfähigkeit σ dergesättigten NaCl-Lösung ist anhand dergemessenen Temperatur T einer Tabelle zuentnehmen.

5.2 Die elektrischen Leitfähigkeiten σ derKCl-Lösungen werden nach Gl. (8), dieÄquivalentleitfähigkeiten Λ nach (6) be-rechnet.Die Leitfähigkeit und die Äquivalentleitfähig-keit sind in Abhängigkeit von der Äquivalen-konzentration (Normalität) der KCl-Lösunggrafisch darzustellen und zu diskutieren.

6 Literatur


Beier, W.; Pliquett, F.: Physik für das Studi-um der Medizin, Biowissenschaften, Veteri-närmedizin, J.A.Barth, Leipzig 1987

7 Kontrollfragen

7.1 Erläutern Sie das Prinzip der Wider-standsmessung mit einer Brückenschaltung!

7.2 Was versteht man unter Amplitude undPhase eines Wechselstromes?

7.3 Wie wird die Äquivalentleitfähigkeitdefiniert, und welche Eigenschaft des gelös-ten Salzes wird hierüber charakterisiert?

1 Aufgabenstellung

1.1 Ein Gitterspektrometer ist zu justieren.

1.2 Die Wellenlängen der Spektrallinien vonHelium sind zu bestimmen


Die Beugung ist einer der Effekte, die dieWellennatur des Lichtes belegen. Sie kannmit Hilfe des HUYGENS-FRESNELschen

Prinzips beschrieben werden, wonach jederPunkt einer Wellenfront als Ausgangspunkteiner Elementarwelle (Kugelwelle) aufgefasstwird. Die sichtbare Wellenerscheinungentsteht dann durch Überlagerung (Interfe-renz) dieser Elementarwellen. Trifft eineebene Lichtwelle auf eine Hindernis, so kannsich danach die ebene Wellenfront nicht mehrvollständig formieren, weil diejenigen Ele-mentarwellen fehlen, die auf die lichtun-durchlässigen Bereiche getroffen sind; esentstehen Beugungserscheinungen.

Gitterspektrometer O 6


37

a

gebeugtes Licht

b

einfallende ebene Welle

Abb.1: Zur Berechnung des Gangunterschie-

des gebeugter Lichtstrahlen an einem Gitter

Abb. 2: Prinzip des Gitterspektrometers

δ ϕ= ⋅b sin . (1)

δ λ= ⋅ =k k( ; ; ; ...) .0 1 2 (2)

δλ

= + ⋅( )2 12

k (3)

sin .ϕλ

k

kb

=⋅

(4)

λϕ

=⋅b

kksin

. (5)

A =λλ∆

. (6)

A N k= ⋅ . (7)

Abb.1 zeigt dies für ein optisches Gitter(Transmissionsgitter). In ihr bedeuten: a =Spaltbreite, b = Abstand der Spalte (Gitter-konstante), φ = Beugungswinkel.Es wird vereinfachend angenommen, dassjeder Spalt Ausgangspunkt nur einer Elemen-tarwelle ist.

Der Gangunterschied zwischen den Elemen-tarwellen zweier benachbarter Spalte ist

In der Überlagerung der Elementarwellentreten bei Beobachtung aus großer Entfernung(FRAUENHOFERsche Beobachtungsweise) In-tensitätsmaxima (Beugungsmaxima; kon-struktive Interferenz) in den Richtungen φk

auf, für die der Gangunterschied ein ganz-zahliges Vielfaches der Wellenlänge ist:

Intensitätsminima entstehen in den Richtun-gen, in denen der Gangunterschied

beträgt. Hierbei ist k eine Laufzahl, dieBeugungsordnung. Das ungebeugt durch dasGitter gehende Licht bezeichnet man auch alsnullte Beugungsordnung (k = 0).Aus (1) und (2) folgt für die Beugungsmaxi-ma:

Diese Maxima sind umso intensiver undschärfer, je mehr Elementarwellen an dieserStelle konstruktiv interferieren, d.h., je größerdie Zahl der Gitterspalte ist.Aus Gleichung (4) geht hervor, dass die Lageder Beugungsmaxima von der Wellenlängeabhängt (Dispersion). Rotes Licht wirdstärker gebeugt als blaues, so dass weißesLicht in seine Spektralfarben zerlegt werdenkann.Mit Hilfe der Beugungswinkel φk könnenWellenlängen des Lichtes bestimmt werden:

Die Leistungsfähigkeit eines Spektralappara-tes wird durch sein Auflösungsvermögencharakterisiert:

Dabei ist ∆λ die kleinste Wellenlängendiffe-renz, die mit dem Spektralapparat nochgetrennt wahrgenommen werden kann. Ist Ndie Anzahl der Gitterspalte (d.h. nach obigerBetrachtung der Elementarwellen), die zurInterferenz beitragen, so ist

Das theoretische Auflösungsvermögen einesGitters ist folglich proportional zur Beu-gungsordnung und zur Anzahl N der ausge-leuchteten Gitterspalte.

Abb.2 zeigt den prinzipiellen Aufbau einesGitterspektrometers. Der von der Lichtquellebeleuchtete Spalt muss sich in der Brenn-ebene der Kollimatorlinse befinden, damitparalleles Licht das Spaltrohr verlässt und auf


38

ϕϕ ϕ

k =′ − ′rechts links .

2(8)

das Gitter trift. Die parallelen (d.h. scheinbaraus dem Unendlichen kommenden) gebeug-ten Lichtstrahlen werden mit einem Fernrohrbeobachtet oder auch mit einer Sammellinse(Projektiv) auf einem Schirm, einer Fotoplat-te oder einer CCD-Zeile abgebildet.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Einkreis-Reflex-Goniometer mit Trafo- Gitter im Diarahmen, ca. 140 Str./mm- Helium-Lampe mit Vorschaltgerät- Handlampe mit Trafo- Hilfsspiegel

3.1 Zur Messung der Beugungswinke φ wirdein Einkreis-Reflex-Goniometer ERG 3verwendet. Es besteht im wesentlichen auseinem Kollimator (Spaltrohr) mit einstell-barem Spalt und Kollimatorlinse, einemdrehbaren Tisch mit dem Gitter und einemschwenkbaren Fernrohr mit einer Winkel-messeinrichtung, die es gestattet, Winkel miteiner Genauigkeit von 0,5 ' (Bogenminuten)zu messen.Als Lichtquelle dient eine Helium-Lampe, dieüber ein Vorschaltgerät betrieben wird.


Machen Sie sich zuerst mit der Bedienungdes Goniometers vertraut. Notieren Sie dieGitterkonstante, die auf dem Gitter steht.

4.1 Justierung des Gitterspektrometers:Ziel der Justierung ist es, das Gitter senkrechtzum Strahlengang auszurichten und mitparallelem Licht zu beleuchten, sowie denSpalt und das Fadenkreuz im Fernrohr scharfzu sehen.

Fernrohr: Durch Verschieben des Okularswird das Fadenkreuz scharfgestellt. Danachwird das Fernrohr auf unendlich eingestellt,indem - bezogen auf den Abstand zum Gitter- sehr weit entfernte Gegenstände (z.B. die

Bäume vor dem Fenster) scharf und paral-laxefrei in der Ebene des Fadenkreuzesabgebildet werden.

Kollimator: Zur Justierung des Kollimatorswerden Fernrohrachse und Kollimatorachsezur Übereinstimmung gebracht, indem derSpalt beleuchtet und scharf sowie symme-trisch zum Fadenkreuz abgebildet wird. DieScharfstellung erfolgt durch Verschieben desSpaltes. Das Fernrohr wird arretiert.

Gitter: Um das Gitter senkrecht zur gemein-samen Achse von Fern- und Spaltrohr auszu-richten, wird das Fadenkreuz mit Hilfe desGAUSSschen Okulars beleuchtet. Das Lichttrifft auf das Gitter und wird von diesempartiell reflektiert, so dass im Fernrohr dashell beleuchtete Fadenkreuz und sein schwar-zes Spiegelbild beobachtet werden können.Da das Gitter nur eine relativ geringe Mengedes Lichtes reflektiert, kann zur besserenEinstellung vorübergehend ein ebener Spiegelvor dem Gitter befestigt werden. Erscheintdas Spiegelbild nicht scharf, so kann dasFernrohr geringfügig nachjustiert werden; esist dann genau auf unendlich eingestellt,wenn das Bild scharf und parallaxefrei er-scheint.Durch Justierung des Gittertisches werdendas Fadenkreuz und sein Spiegelbild zurDeckung gebracht. Der Tisch wird arretiert,die Beleuchtung des GAUSSschen Okularsausgeschaltet und das Fernrohr entarretiert.

4.2 Zur Messung der Beugungswinkel φk

wird das Fadenkreuz des Fernrohrs nachein-ander mit den He-Spektrallinien zur Deckunggebracht und die dazugehörigen Winkelstel-lungen φ' werden abgelesen.Es werden 6 Spektrallinien jeweils in derersten, zweiten und dritten Beugungsordnungvermessen, und zwar sowohl links als auchrechts bezogen auf die nullte Beugungs-ordnung. Die Beugungswinkel ergeben sichdann aus:

Optik und Atomphysik O 10 Polarimeter und Refraktometer

39

Abb.1: Lage des elektrischen und magneti-

schen Feldstärkevektors für einen Wellenzug

5 Auswertung

Die Beugungswinkel φk werden nach Glei-chung (8) und daraus die Wellenlängen mitHilfe von Gleichung (5) berechnet.In einem Diagramm ist für jede Beugungs-ordnung die Wellenlänge als Funktion derBeugungswinkel graphisch darzustellen(Dispersionskurven).

6 Literatur

Bergmann, L., Schaefer, C., Lehrbuch derExperimentalphysik, Bd. 3, de Gruyter, 1987

Gerthsen, C., Kneser, H., Vogel, H., Physik,Springer Berlin, 1989

7 Kontrollfragen

7.1 Welche Interferenzerscheinungen tretenam Gitter auf?

7.2 Wie funktioniert ein Gitterspektrometer?

7.3 Wie erklärt sich dessen Auflösungsver-mögen?

7.4 Was ist und wie entsteht Licht?

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Konzentration einer wässrigenZuckerlösung (Saccharose) ist mit demPolarimeter zu bestimmen.

1.2 Die Brechzahl von Glycerol-Wasser-Gemischen ist in Abhängigkeit von derKonzentration mit dem Refraktometer zubestimmen.

1.3 Von einem vorgegebenen Glycerol-Wasser-Gemisch ist die Konzentration zuermitteln.

1.4 Die Kalibrierung des Refraktometers istmit Hilfe eines Vergleichskörpers zu über-prüfen.

2 Grundlagen

Lichtwellen gehören zu den elektromagneti-schen Wellen. Jeder Lichtstrahl besteht dabeiaus einer Vielzahl einzelner Wellenzüge. Einsolcher Wellenzug besteht aus einem elektri-schem und damit verkoppelten magnetischemWechselfeld, deren Lage jeweils transversal

(senkrecht) zur Ausbreitungsrichtung ist.Elektrische und magnetische Feldstärkeschließen einen Winkel von 90° ein (Abb.1).Besteht ein Lichtstrahl aus natürlichem(unpolarisiertem) Licht, können die elektri-schen und magnetischen Felder in beliebige,dabei aber immer zur Ausbreitungsrichtungtransversale Richtungen schwingen. Lichtheißt linear polarisiert, wenn alle elektrischenFelder nur noch in einer transversalen Rich-tung schwingen. Die zugehörigen magneti-

Polarimeter und Refraktometer O 10


40

Abb.2: Strahlengang der Brechung für n2>n1 . links: allgemeiner Fall, rechts:streifender Lichteinfall

nc

c= 0 . (2)

ϕ = ⋅ ⋅k l c . (1)

n n1 2⋅ = ⋅sin sin .α β (3)

schen Felder liegen dann senkrecht dazu auchnur noch in einer Richtung.Die Richtung der elektrischen Feldstärkevek-toren heißt Schwingungsrichtung oder Polari-sationsrichtung des Lichtes.

2.1 Aus normalem, unpolarisiertem Lichterzeugt man linear polarisiertes Licht durchReflexion an einem durchsichtigen Stoffunter dem BREWSTERschen Winkel, durchDoppelbrechung (NICOLsches Prisma, sieheLiteraturangaben) oder mit Hilfe von Polari-sationsfiltern auf der Basis dichroitischerFolien.Unter Dichroismus versteht man die Eigen-schaft mancher doppelbrechender Stoffe,einen der beiden senkrecht zueinander linearpolarisierten Teilstrahlen zusätzlich stark zuabsorbieren, während der andere fast un-geschwächt hindurchgeht. Dichroismus lässtsich künstlich erzeugen in Polymerfilmen,deren Makromoleküle parallel ausgerichtetsind (Formdoppelbrechung, siehe VersuchO4). Damit lassen sich preiswerte Polarisa-tionsfilter herstellen, die einen Polarisations-grad von bis zu 99% aufweisen.

Optisch aktive Substanzen sind Stoffe, diebeim Durchgang von linear polarisiertemLicht dessen Schwingungsrichtung drehen.Diese optische Aktivität kann hervorgerufenwerden durch asymmetrische Molekülstruktu-ren (z.B. bei asymmetrischen Kohlenstoff-atomen) oder durch die schraubenförmigeAnordnung von Gitterbausteinen. MancheSubstanzen, von denen zueinander spiegel-bildliche Isomere existieren (chirale Verbin-dungen), gibt es in einer rechtsdrehenden (+)und einer linksdrehenden (!) Variante.Beispiele sind die verschiedenen Zucker undMilchsäure.Bei Lösungen von optisch aktiven Substanzenhängt der Drehwinkel von der Art des Stoffes,von der Dicke der durchstrahlten Schicht(Länge l des Polarimeterrohrs), von derKonzentration c und von der Wellenlänge λab. Diese Wellenlängenabhängigkeit nenntman Rotationsdispersion. Blaues Licht wirdstärker gedreht als rotes.

Für den Drehwinkel φ gilt:

Die Materialgröße k heißt spezifische Dre-hung oder spezifisches Drehvermögen, siehängt von der Wellenlänge ab.

2.2 Die Brechzahl n eines Stoffes ist de-finiert als das Verhältnis der Lichtgeschwin-digkeit im Vakuum c0 zur Lichtgeschwindig-keit c im Stoff:

Sie ist abhängig vom Material und von derWellenlänge λ des Lichtes (Dispersion). Ineiner Lösung ist die Brechzahl von der Kon-zentration (d. h. vom Mischungsverhältnis)abhängig. Die Messung der Brechzahl eignetsich deshalb in manchen Fällen für genaueund einfach durchführbare Konzentrations-messungen. Anwendungen sind z. B. dieBestimmung des Gesamteiweißgehaltes imBlutserum in der Medizin oder die Bestim-mung des Zuckergehaltes in Traubensaft inder Winzerei.

Beim Übergang des Lichtes von einemoptisch dünneren Medium mit der Brechzahln1 zu einem optisch dichteren Medium mitder Brechzahl n2 (n2 > n1) werden die Licht-strahlen zum Einfallslot hin gebrochen(Abb.1). Bezeichnet man den Einfallswinkelmit α und den Brechungswinkel mit β, solautet das Brechungsgesetz:


41

Abb.4: Dreigeteiltes Gesichtsfeld im Polari-

meter

sin .βGr

n

n= 1

2

(4)

Abb.3: Strahlengang am Abbe-Refraktometer

Für den größtmöglichen Einfallswinkelα = 90° (streifender Lichteinfall) ergibt sichein maximaler Brechungswinkel βGr. Den Strahlengang in Abb.2 kann man auchumkehren: vom optisch dichteren Medium(n2) zum optisch dünneren Medium (n1),Einfallswinkel β, Ausfallswinkel α. Fürβ > βGr wird kein Licht in das optisch dünnereMedium gebrochen, denn das Brechungs-gesetz (3) kann nicht erfüllt werden. Stattdessen wird das Licht an der Grenzflächevollständig reflektiert. βGr heißt deshalbGrenzwinkel der Totalreflexion. Aus dem Brechungsgesetz ergibt sich:

Bei bekannter Brechzahl n2 (Messprisma desRefraktometers) kann somit durch die Mes-sung des Grenzwinkels βGr die Brechzahl n1

des anderen Mediums (der Messflüssigkeit)bestimmt werden.Zur Messung des Grenzwinkels beleuchtetman die Grenzfläche durch eine Mattscheibemit rauer Oberfläche (siehe Abb.3). DieLichtstrahlen treffen dann unter allen mögli-chen Einfallswinkeln zwischen 0E und 90Eauf die Grenzfläche. Somit können alleBrechungswinkel zwischen 0E und βGr auf-treten. Wenn man durch ein Fernrohr unterdem Winkel βGr auf die Grenzfläche blickt,sieht man eine Hell-Dunkel-Grenze; dieselässt sich leicht ausmessen.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Polarimeter mit Natrium-Spektralleuchte- Polarimeterrohr

- Flasche mit Zuckerlösung- Refraktometer nach ABBE

- 2 Büretten mit Glycerol und aqua dest.- diverse Glasgeräte- Fläschchen mit Glycerol-Wasser-Gemisch unbekannter Konzentration

3.1 Das Polarimeter besteht aus einer mono-chromatischen Lichtquelle (Na-D-Licht,λ = 589,3 nm), einem Polarimeterrohr, einemPolarisator und einem drehbaren Analysatormit Winkelmesseinrichtung. Stehen die Schwingungsrichtungen (Durch-lassrichtungen) von Polarisator und Analysa-tor senkrecht zueinander (gekreuzt), so ist dasGesichtsfeld im Polarimeter dunkel.Bringt man dann zwischen Polarisator undAnalysator das Polarimeterrohr mit derLösung des optisch aktiven Stoffes (Zuckerlö-sung), so wird das Gesichtsfeld aufgehellt, dadie Schwingungsrichtung des linear polari-sierten Lichtes um den Winkel φ gedrehtwurde. Dreht man den Analysator um diesenWinkel φ nach, so ist das Gesichtsfeld wiederdunkel. Auf diese Weise lässt sich der Dreh-winkel φ messen.Da die Einstellung des Gesichtsfeldes aufmaximale Dunkelheit oder Helligkeit ohneVergleich sehr ungenau ist, benutzt man imPolarimeter ein dreigeteiltes Gesichtsfeld(siehe Abb.2). Dazu besteht der Polarisatorzwei um 10E gegeneinander versetztenPolarisationsfolien (Halbschattenpolari-meter). Während des Messvorganges wird derDrehwinkel des Analysators so eingestellt,dass sich die drei Teile des Gesichtsfeldsnicht unterscheiden (gleiche Resthelligkeit)und die Trennlinien nahezu verschwinden.


42

ϕ ϕ ϕ= −m 0 . (5)

Bei einer geringen Drehung in eine Richtungmuss der mittlere Teil heller und bei geringerDrehung in die entgegengesetzte Richtungdunkler als die äußeren Teile werden.Zur genauen Ablesung des Winkels für denUmschlagpunkt ist die Winkelmesseinrich-tung am Analysator mit einem Nonius ausge-stattet, mit dessen Hilfe der Winkel auf 0,05Egenau abgelesen werden kann.

3.2 Das Refraktometer besteht im wesentli-chen aus

- einem Beleuchtungsprisma mit einer rauenOberfläche,

- einem Messprisma, dessen Brechzahl n2

größer sein muss als die Brechzahl n1 derMessflüssigkeit,

- einem schwenkbaren Fernrohr mit Winkel-messeinrichtung, wobei auf der gemäß (4)kalibrierten Skale Brechzahlen abgelesenwerden können,

- einer Einrichtung (AMICI-Prismenpaar) zurKompensation der Dispersion (Farbsäume).

Der streifend einfallende Lichtanteil (α.90E)wird unter dem Grenzwinkel βGr gebrochenund im Fernrohr als Grenzlinie zwischenHell- und Dunkelfeld beobachtet.


4.1 Zu Beginn wird die Na-Spektralleuchteeingeschaltet; nach ca. 5 min erreicht dieLampe ihre maximale Helligkeit.Die Nullstellung des Polarimeters wirdbestimmt, indem man ohne Polarimeterrohrdie Einstellung des Gesichtsfeldes wie in 3.1beschrieben vornimmt (Umschlagpunkt ein-stellen) und den dazugehörigen Winkel φ0

abliest. Die Messung ist 5 mal zu wiederho-len.Das Polarimeterrohr soll möglichst blasenfreimit Zuckerlösung gefüllt werden. Dazu hältman das Rohr senkrecht und füllt es voll-ständig. Das Glasfenster (ohne Schraubkap-pe) wird seitlich über die Öffnung geschobenund überflüssige Lösung mit Zellstoff ent-

fernt. Danach wird das Rohr (nicht zu fest)zugeschraubt und in das Polarimeter einge-legt. Eine verbleibende kleine Blase kann indie Verdickung des Polarimeterrohres ge-bracht werden. Nun wird der Analysator nachgedreht underneut der Umschlagpunkt eingestellt; derzugehörige Winkel φm ist abzulesen. Auchdiese Messungen werden 5 mal durchgeführt.Der Drehwinkel φ ergibt sich dann als Diffe-renz der Mittelwerte von φm und φ0:

Die Länge des Polarimeterrohres ist zumessen.Nach den Messungen wird die verwendeteZuckerlösung in die Flasche zurückgefülltund das Polarimeterrohr mit Wasser ausge-spült; das Rohr ist offen zu lassen.

4.2 Die beiden Prismen des Refraktometersmüssen sich auf der rechten Seite befinden,die Lichteintrittsöffnung der Skalenbeleuch-tung (links oben) muss aufgeklappt sein.Die Prismen werden auseinander geklappt dasBeleuchtungsprisma mit der rauen Oberfläche(unten) wird etwa waagerecht eingerichtet.Nun bringt man 1-2 Tropfen der Messflüssig-keit auf das Beleuchtungsprisma, danach wirddas Beleuchtungsprisma auf das Messprismageklappt und der Riegel geschlossen. Der Beleuchtungsspiegel ist so einzurichten,dass die rechteckige Lichteintrittsöffnungausgeleuchtet wird. Nun wird die Grenzliniezwischen Hell- und Dunkelfeld im Fernrohraufgesucht. Sie wird mit Hilfe des großenRändelknopfes auf die Mitte des Faden-kreuzes eingestellt und die dazugehörigeBrechzahl im Ablesemikroskop abgelesen.Die Scharfstellung auf das Fadenkreuz undauf die Skalen erfolgt durch Drehen derentsprechenden Okularlinsen am Fernrohrbzw. am Ablesemikroskop. Ein evtl. vorhan-dener Farbsaum lässt sich durch Verstellender AMICI-Prismen (kleiner Rändelknopf)weitgehend beseitigen.Es werden die Brechzahlen für folgendeFlüssigkeiten gemessen:

Optik und Atomphysik O 16 Radioaktivität

43

- aqua dest.,

- reines Glycerol,

- 5 Glycerol-Wasser-Gemische: 4:1, 4:2, 4:4, 4:8, 4:16 und

- ein Glycerol-Wasser-Gemisch unbekannterKonzentration.

Für das Gemisch 4:1 nimmt man 4 ml Glyce-rol und 1 ml aqua dest., die weiteren Ge-mische werden durch Verdünnung mit Was-ser hergestellt.Jede Brechzahl ist 5 mal zu messen (jeweilsNeueinstellung mit großem Rändelknopf).Bei Wechsel der Messflüssigkeit und amEnde sind die Prismen sorgfältig zu reinigen.

4.3 Die Brechzahl des Glycerol-WasserGemisches unbekannter Zusammensetzungist ebenfalls fünf mal zu messen.

5 Auswertung

5.1 Die Konzentration c (in g/l) der Zucker-lösung wird nach den Gleichungen (1) und(5) berechnet.Das spezifisches Drehvermögen von Sac-charose (C12H22O11) beträgt bei λ = 589,3 nmk = 66,456 grad ml dm-1 g-1.Es ist eine Fehlerrechnung durchzuführen.Für die Messunsicherheit des Drehwinkels ist

die Summe der Standardabweichungen vonNullstellung und Drehwinkel einzusetzen.

5.2 Die Brechzahlen sind in Abhängigkeitvon der Volumenkonzentration grafischdarzustellen.

5.3 Mit Hilfe des Diagramms aus 5.2 wirddie Konzentration des unbekannten Glycerol-Wasser-Gemisches bestimmt. Die Konzen-tration ist in Vol.-% Glycerol anzugeben.

6 Literatur

Grimsehl, E.: Lehrbuch der Physik. Bd 3,B.G. Teubner, Leipzig 1978

Geschke, D.: Physikalisches Praktikum. B.G.Teubner Stuttgart Leipzig 1998

7 Kontrollfragen

7.1 Was ist Licht?

7.2 Wie kann linear polarisiertes Lichterzeugt werden?

7.3 Was ist Brechung, wann tritt Totalrefle-xion auf?

7.4 Welche störenden Effekte kann Disper-sion im Refraktometer hervorrufen?

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Abhängigkeit der Strahlungsintensi-tät vom Abstand zur Strahlenquelle ist zuermitteln.

1.2 Der Schwächungskoeffizient und dieHalbwertsdicke von Blei für die Gamma-strahlung von Co-60 sind zu bestimmen.

1.3 Die Häufigkeitsverteilung der Zähl-

rohrimpulse (Zählstatistik) ist zu untersuchen.


Unter Radioaktivität versteht man die Eigen-schaft bestimmter Atomkerne, sich infolgeungünstiger Proton-Neutron-Verhältnissespontan in andere Atomkerne oder Atomker-ne anderen Energieinhalts unter Emission

Radioaktivität O 16


44

d dN N t= − ⋅ ⋅λ (2)

N t Nt( ) = ⋅

− ⋅

0 e λ (3)

I Ix

= ⋅−µ⋅

0 e . (5)

AN

t=

dd

. (1)

I I IP L= − , (4)

d1 2

2/

ln.=

µ(7)

µ µ µ µ µ= + + +S Ph C P . (6)

charakteristischer radioaktiver Strahlungumzuwandeln. Sie kommt natürlich vor, kannaber auch künstlich erzeugt werden (durchBeschuss stabiler Atomkerne). Abhängig vonder Art der Umwandlung entsteht dabei:α-Strahlung (Heliumkerne, bestehend aus 2Protonen und zwei Neutronen),β!-Strahlung (Elektronen),β+-Strahlung (Positronen),γ-Strahlung (elektromagnetische Wellen miteiner Quantenenergie über 100 keV),Neutronen und (selten) Protonen.γ-Strahlung entsteht als Folge von Kernre-aktionen, bei denen der Kern in einen ange-regten Zustand gelangt ist. Aus diesem kehrter durch Aussendung von γ-Strahlung wiederin den Grundzustand zurück.

2.1 In einem radioaktiven Präparat ist dieZahl der sich pro Zeiteinheit umwandelndenAtomkerne proportional zur Zahl der vorhan-denen Kerne. Die (mittlere) Anzahl derKernumwandlungen pro Sekunde nennt manAktivität A:

Da alle Atomkerne mit der gleichen Wahr-scheinlichkeit zerfallen folgt, dass währenddes folgenden Zeitintervalls dt die Zahl derradioaktiven Kerne um

(λ - Zerfallskonstante) abnehmen wird. Fürdie Anzahl N gilt daher das Zerfallsgesetz

mit N0 der Zahl der radioaktiven Atomkernezur Zeit t = 0.

Mit Strahlungsdetektoren wie dem Geiger-Müller-Zählrohr werden Impulsraten gemes-sen. Sie sind der Strahlungsintensität propor-tional. Die Impulsrate I ist die pro Zeiteinheitregistrierte Anzahl von Impulsen N. Sie ergibtsich aus der Differenz der Impulsraten, diemit und ohne Präparat gemessen werden:

wobei IP die Messrate und IL den Leerwert(Nulleffektrate) bezeichnet. Der Nulleffektwird durch kosmische und Umgebungs-strahlung sowie durch Detektorstörimpulsebewirkt. Die Impulsrate ist ein Maß für dieIntensität der Strahlung; sie hängt außerdemvon den Eigenschaften des Zählrohres undvon der Energie der Strahlung ab.

2.2 Beim Durchgang durch Materie wird dieIntensität der Gamma-Strahlung (gemessenals Impulsrate I) in Abhängigkeit von derDicke x des durchstrahlten Stoffes und ver-mindert (Schwächungsgesetz):

I0 ist die Intensität der einfallenden und I dieIntensität der austretenden Strahlung. µ heißtSchwächungskoeffizient und hängt vom Stoffund von der Energie der Gamma-Quanten ab.Für die Schwächung sind neben der elasti-schen Streuung (µS) drei Absorptionseffektewesentlich: Der Photoeffekt (µPh), die une-lastische Streuung (Comptoneffekt, µC) undder Paarbildung (µP):

Der Einfluss dieser einzelnen Effekte auf denSchwächungskoeffizienten ist energieabhän-gig, wobei die elastische Streuung und derPhotoeffekt bei niedrigen und der Paar-bildungseffekt bei den höchsten Energiendominieren.Unter der Halbwertsdicke d1/2 eines Stoffesversteht man die Schichtdicke, nach der dieIntensität der Strahlung auf die Hälfte abge-sunken ist. Aus der Gleichung (5) folgt damit

2.3 Der radioaktive Zerfall eines Kerns istein Quantenprozess. Die Vorhersage einesgenauen Zeitpunktes für ein Zerfallsereignisist grundsätzlich nicht möglich, lediglich dieWahrscheinlichkeit des Zerfalls in einemgewissen Zeitraum ist bekannt. Die Anzahlder mit einem Zählrohr pro Zeiteinheit ge-messenen Impulse ist deshalb aus grundle-


45

( )P nN

np pN

n N n

( ) =

−

−1 (8)

P nn

n

( )!

=−ν νe (9)

σ = ≈∆ n n . (10)

P nn

( )( )

=−

−1

2

2

2

πν

ννe (11)

genden physikalischen Gründen (und nichtetwa wegen der Messunsicherheit der Geräte)eine Zufallszahl. Dies merkt man besondersbei kleinen Impulsraten bzw. kurzen Mess-zeiten.Ist N die Anzahl der radioaktiven Kerne undp die Wahrscheinlichkeit für den Zerfall einesKerns, so ist die Wahrscheinlichkeit für dasAuftreten von n Zerfällen

mit dem Mittelwert ν = n @ p (auch Erwar-tungswert genannt). Für N÷4 und p÷0, washier in sehr guter Näherung gegeben ist, gehtdie Binomialverteilung (8) über in einePOISSONverteilung

mit dem Mittelwert ν.Die Poissonverteilung hat die Eigenschaft,dass ihre Varianz σ2 gleich dem Mittelwertist. Misst man eine große Anzahl von zufälligenEreignissen in einer Zeiteinheit (n > 100), sogilt aus diesem Grund für die Standardabwei-chung des Messergebnisses immer

Außerdem kann für große n die POISSON-verteilung durch eine GAUßverteilung

angenähert werden.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Radioaktives Präparat Co-60 (γ-Strahler

1,17 MeV und 1,33 MeV; A = 74 kBq 1999)- Geiger-Müller-Zählrohr- Digitalzähler- PC mit Software “Digitalzähler”- verschieden dicke Absorberplatten aus Blei

3.1 Das radioaktive Präparat Co-60 befindetsich in einer Bohrung in einem Acrylglas-block, der auf einem beweglichen Schlittenbefestigt ist. Zur Messung der Strahlungs-intensität (Impulsrate) wird ein Fensterzähl-rohr verwendet, das ein selbstlöschendesGeiger-Müller-Zählrohr zum Nachweis derGamma-Strahlung ist. Die Impulse werdenvon einem elektronischen Zähler registriert,der gleichzeitig die Betriebsspannung für dasZählrohr liefert. Präparat und Zählrohr sindso auf einer optischen Schiene angeordnet,dass die zu messende Strahlung vom Präparatdurch eine Öffnung im Acrylglasblock aufdas Fenster des Zählrohres trifft. In denStrahlengang können Absorberplatten einge-bracht werden.


Die Co-60 - Quelle ist ein bauartgenehmigtes,für Schülerversuche zugelassenes Präparat.Die Strahlenbelastung bei der Durchführungdes Versuches ist typischerweise 200 malkleiner als bei einer medizinischen Röntgen-aufnahme.

4.1 Für das Zählrohr ist eine Betriebsspan-nung von 480 V einzustellen. Die Messzeitbeträgt 60 s. Alle Messungen werden jeweilsfünf mal durchgeführt.Zu Beginn ist der Nulleffekt IL durch Mes-sung ohne radioaktives Präparat zu bestim-men.

Strahlenschutz

Entsprechend der Strahlenschutzver-ordnung ist jede Bestrahlung, auch un-terhalb der zulässigen Grenzwerte, zuminimieren. Abstand ist der beste Strah-lenschutz! Deshalb: Halten Sie das Präpa-rat nicht unnötig in der Hand. Halten Siebeim Experimentieren einen Abstand vonetwa 0,5 m zum Präparat ein.


46

ln ln

lg lg lg .

I I x

I I x

= − ⋅

= − ⋅ ⋅

0

0

µ

µ

oder

e

Zur Ermittlung der Abhängigkeit der Impuls-rate vom Abstand r wird das Präparat in denAbständen 40; 50; 70; 100; 140; 190 und 250mm zum Zählrohr positioniert und die zu-gehörigen Impulsraten werden bestimmt.Dabei sind die Abstände auf der optischenSchiene an den Innenkanten der Halter ab-zulesen.

4.2 Zur Bestimmung des Schwächungs-koeffizienten µ für Blei wird das Präparat ineinem Abstand von 10 cm vom Zählrohrpositioniert und zwischen ihnen die Absor-berhalterung eingesetzt. Bleiplatten ver-schiedener Dicken x werden in den Strahlen-gang gebracht und die dazugehörigen Impuls-raten gemessen. Die Messungen sind für x =1; 2; 5; 10; 20; 30 mm je fünfmal durch-zuführen. Die Messung für x = 0 wurdebereits in 4.1 durchgeführt.

4.3 Die Messung der Häufigkeitsverteilungkann weitgehend unbeaufsichtigt z.B. wäh-rend des Testatgespräches oder während derAuswertung anderer Versuchsteile am PCerfolgen.Die Software zum Digitalzähler gleicht demProgramm CassyLab; Bedienhinweise hierzubefinden sich im Anhang.Das Präparat wird in 10 cm Abstand vomZählrohr platziert, der Digitalzähler aufRatenmessung mit einer Torzeit von 1 sgestellt und das Programm “Digitalzähler”gestartet. Die Messung wird entweder amZählgerät oder im Programm gestartet undmindestens 10 Minuten lang aufgezeichnet.Eine zweite Messreihe ist mit einem Präpara-teanstand von 5 cm aufzunehmen.

5 Auswertung

Aus den jeweils fünf Einzelmessungen in 4.1und 4.2 wird der Mittelwert gebildet. AlleWerte für die Impulsraten werden durchAbzug des Nulleffektes korrigiert.

5.1 Zur Bestimmung des AbstandsgesetzesI = I(r) werden die Impulsraten in Abhängig-

keit vom Abstand r doppelt logarithmischdargestellt. Aus dem Anstieg ist der Exponentdes Abstandsgesetzes zu bestimmen. Verglei-chen Sie diesen mit dem theoretischen Wert!

Zusatzaufgabe: Passen Sie das vermuteteAbstandsgesetz mittels nichtlinearer Regres-sion an die Messwerte an. BerücksichtigenSie dabei, dass die Messung des Abstandesmit einem unbekannten systematischen Fehlerbehaftet ist, da weder der genaue Ort derradioaktiven Substanz innerhalb der Umhül-lung noch der Mittelpunkt des wirksamenZählrohrvolumens genau bekannt sind.

5.2 Zur Bestimmung des Schwächungs-koeffizienten µ für Blei werden die Impuls-raten in Abhängigkeit von den Absorberdi-cken x graphisch dargestellt. Es ist einehalblogarithmische Darstellung zu wählen(Zählrate logarithmisch als Ordinate, Dickelinear als Abszisse). Alternativ kann ln(I)berechnet und linear (d. h. auf normalemMillimeterpapier) dargestellt werden.Aus (5) erhält man durch Logarithmieren:

Der Schwächungskoeffizient µ ergibt sichfolglich aus dem Anstieg der Kurve. Die Halbwertsdicke von Blei ist nach Gl. (7)zu berechnen.

5.3 Für beide Messreihen sind jeweilsMittelwert und Standardabweichung σ zunberechnen. Die Häufigkeitsverteilungen(Histogramme) sind graphisch als Balkendia-gramme darzustellen. An die Histogramme isteine Poisson- und eine Normalverteilunganzupassen und als Kurven in die Diagrammeeinzuzeichnen.Diese Aufgaben lassen sich am einfachstenim Programm “Digitalzähler” lösen, suchenSie hierzu im Kontextmenü der Histogramm-darstellung den Menüpunkt “Anpassung”.Die Ergebnisse sind zu diskutieren und die

Vorhersage ist zu prüfen.σ = n


47

6 Literaturangaben

Eichler, Kronfeldt, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum. Springer Verlag, 2001

Gerthsen, C., Kneser, H., Vogel, H., Physik,Springer Berlin, 1989

7 Kontrollfragen

7.1 Was ist der Unterschied zwischenRöntgen- und γ-Strahlung?

7.2 Was versteht man unter den Begriffen„Halbwertsdicke“ und „Halbwertszeit“?

7.3 Nach welchem Gesetz nimmt die Strah-lungsintensität mit der Entfernung ab?

7.4 Wie groß ist die Messunsicherheit beider Messung von Impulsraten?

Anhang Kurzanleitung zur Software ORIGIN

48

Kurzanleitung zur Software ORIGIN

Für die Auswertung von Messergebnissen und die Anfertigung grafischer Darstellungen steht inallen Physikpraktika die professionelle Visualisierungs- und Datenanalysesoftware Origin 7.5zur Verfügung. Die Uni Halle besitzt eine Campuslizenz dieser Software, die sich auch vonzuhause aus nutzen lässt. Einzelheiten hierzu stehen auf der Praktikums-Homepage imNewsarchiv.Der Umgang mit Software ist nicht Gegenstand der Physikausbildung. Origin ist lediglich einAngebot an Sie. Sie können alle Auswertungen und Grafiken auch von Hand in Tabellen bzw.auf Millimeterpapier anfertigen oder beliebige andere Software (z.B. Microsoft Excel)verwenden, wenn Sie diese besitzen.

1. Grundsätzliches

• Alle Daten, Rechnungen und Grafiken werden zusammen in einer Projektdatei gespeichert.Ein leeres Projekt (bei Programmstart) enthält nur das Worksheet Data1 mit einer x- undeiner y-Spalte zur Eingabe der Daten. Weitere Spalten können mit Add New Column oder

. hinzugefügt werden, weitere Worksheets mit File - New oder .

• Eine Grafik erhält man am schnellsten, indem man eine oder mehrere y-Spalten markiert (in

den Spaltenkopf klicken) und Plot wählt oder auf einen der Buttons klickt.

• Alle Objekte (z.B. Spaltennamen, Beschriftungen von Achsen, Skalierung von Achsen,Aussehen einer Kurve, Legende) kann man bearbeiten, indem man darauf doppelklickt.

2. Arbeiten mit Worksheets

• Die Dateneingabe ist Windows-typisch. Weitere Spalten erhält man mit .

• Benennung von Spalten: Doppelklick in Spaltenkopf, Column Label eingeben. DieSpaltennamen werden automatisch in die Legende einer Grafik übernommen.

• Denominierung von Spalten als x oder y: Rechtsklick in Spaltenkopf und Set As wählen.

• Rechnen mit Spalten: Rechtsklick in Spaltenkopf und Set Column Values... wählen.

Syntax: Spalte A ! Spalte B col(A) !col(B)

a b / (c + d) a * b / (c + d)

x2 x^2

%&x sqrt(x)

ex exp(x)

π pi

Anhang Kurzanleitung zur Software ORIGIN

49

3. Arbeiten mit Grafiken

• Verschönern einer Grafik: Doppelklick auf die zu ändernden Dinge (siehe oben).

• Hinzufügen einer weiteren Kurve zu einer bereits existierenden Grafik:

Weg1: Im Worksheet die zu zeichnenden Spalten auswählen (markieren); in das gewünschteKoordinatensystem (“Layer”) klicken; im Menü Graph - Add Plot to Layer wählen.

Weg 2: Doppelklick auf das “layer icon” links oben im Graph; Plottype, x-Spalte und y-Spalte wählen; Add Button klicken.

• Hinzufügen eines weiteren Koordinatensystems oder einer zweiten Achse zu einer bestehen-

den Grafik: Edit - New Layer(Axes) wählen oder einen der Buttons drücken.

• Eine Legende hinzufügen oder die bestehende Legende aktualisieren: Graph - New Legend

wählen oder drücken.

• Beliebigen Text in eine Grafik schreiben: drücken und in die Grafik klicken. Text

formatieren mit Format-Buttonleiste (z.B. hoch, tief, griechisch mit )

• Werte aus einer Grafik ablesen mit dem Screen Reader .

• Glatte (runde) Kurven durch die Messpunkte zeichnen: Kurve doppelklicken; den Plot Type“Line + Symbol” wählen; Line - Connect - Spline oder B-Spline einstellen.

• Lineare Regression: Analysis - Fit Linear wählen. Bei mehreren Kurven vorher im MenüData die richtige Kurve auswählen. Soll nur ein Teil der Kurve angepasst werden, dann

vorher mit . den Bereich einschränken.

4. Ausdruck von Grafiken und Worksheets

• Prüfen Sie Ihre Grafiken vor dem Ausdruck genau, vermeiden Sie mehrfache Korrektur-drucke! Im Praktikum werden mehrere 10.000 Seiten pro Jahr gedruckt - das kostet Geld undbelastet die Umwelt. Worksheets mit sehr vielen Daten (mehrere Seiten) sollen imPraktikum nicht gedruckt werden. Ein Worksheet mit zwei Zahlen können Sie abschreiben!

• Mehrere Grafiken und/oder Worksheets und Text auf einem A4-Blatt anordnen:

File - New... Layout Wählen oder klicken; Rechtsklick auf die Layoutseite um Grafikenoder Worksheets hinzuzufügen.

• druckt eine Grafik oder ein Worksheet oder ein Layout unmittelbar auf ein A4-Blatt.

Anhang Naturkonstanten

50

Einige Naturkonstanten

Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c = 2,997 924 58 @ 108 m/s. 300 000 km/s

Gravitationskonstante γ = 6,673 9 @ 1011 N m2 kg!2

Elementarladung e0 = 1,602 177 33 @ 10!19 C

Elektronenruhemasse me = 9,109 389 7 @ 10!31 kg

Atomare Masseneinheit u = 1,660 277 @ 10!27 kg

elektrische Feldkonstante ε0 = 8,854 187 817 @ 10!12 A s V!1 m!1

(Dielektrizitätskonstante des Vakuums)

magnetische Feldkonstante µ0 = 1,256 637 1 @ 10!6 V s A!1 m!1

(Permeabilität des Vakuums)

Planck-Konstante h = 6,626 075 5 @ 10!34 J s(Planckschen Wirkungsquantum) = 4,135 7 @ 10!15 eV s

Avogadro-Konstante NA = 6,022 136 7 @ 1023 mol!1

Boltzmann-Konstante k = 1,380 658 @ 10!23 J/K

Gaskonstante R = 8,314 510 J mol!1 K!1

Faraday-Konstante F = 9,648 4 @ 104 As/mol

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