Física 3 (EMB5043): Potencial elétrico
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Física 3 (EMB5043): Potencial elétricoMATERIAL DE APOIO PARA CURSO PRESENCIAL
Prof. Diego Alexandre DuarteUniversidade Federal de Santa Catarina | Centro Tecnológico de Joinville
Sumário• Energia potencial elétrica
• Potencial elétrico
• Superfícies equipotenciais
• Potencial elétrico • PRODUZIDO POR CARGAS PONTUAIS
• DIPOLO ELÉTRICO• DIPOLO ELÉTRICO
• Campo elétrico• CALCULADO PELO POTENCIAL ELÉTRICO• DIPOLO ELÉTRICO
• RESOLUÇÃO NA PLATAFORMA PhET
• Potencial elétrico • PRODUZIDO POR CORPOS EXTENSOS
• Resolução de problemas da Lista 4
Material para estudos
• Capítulo 24 do Halliday volume 3 e capítulo 4 do Moysés volume 3.
• Estudar os problemas da Lista 4 que está disponível em diegoduarte.paginas.ufsc.br.
Energia potencial elétricaConsidere uma carga q com velocidade v0 que está se aproximando de uma carga Q.
A força de repulsão sobre q é dada por:
2
0
ˆ4
qQF r
rπε=�
W F dr= ⋅∫� �
+Q
q F
em que r é a posição de q no instante da análise. A carga
Q está na origem. O trabalho realizado sobre q é dado por:v0
W F dr= ⋅∫� �
+
Qr
em que dr é um elemento de caminho percorrido pela carga q e que
tem sentido oposto ao da força F:
( ) ( )2 2 2
0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ4 4 4
qQ qQ qQ drW r rdr r r dr
r r rπε πε πε
= ⋅ = ⋅ = ∫ ∫ ∫O sinal negativo será
implementado no sentido
de integração
Energia potencial elétricaA força F realiza trabalho entre dois raios quaisquer r1 e r2 (r1 > r2):
indicando, pelo teorema do trabalho e da energia cinética, que a energia cinética da
partícula q está reduzindo:
2
1
1 2
2
0 0 2 1 0 1 2
1 10
4 4 4
r
r
r rqQ dr qQ qQW
r r r r rπε πε πε
− = =− − =− < ∫
=∆ = − <
(1)
até entrar em repouso. Em seguida, na mesma distância, a força realiza trabalho
positivo com o mesmo módulo:
indicando que a força elétrica é conservativa...
0 0W K K K=∆ = − <
1
2
2 1
2
0 0 1 2 0 1 2
1 10
4 4 4
r
r
r rqQ dr qQ qQW
r r r r rπε πε πε
− = =− − =− > ∫
Energia potencial elétrica...pois a integral no caminho fechado é zero:
mostrando, pelo princípio da conservação de energia, que ela converte energia
potencial elétrica em energia cinética e vice-versa. Assim, o trabalho pode ser
escrito também da seguinte forma:
2
0
04
C
qQ drW
rπε= =∫�
( )=−∆ =− −
em que U é a energia potencial elétrica armazenada no campo elétrico. Com (1) em
(2), temos:
Considerando que a partícula q vem do infinito (r1 → ∞) até uma posição r2 = r, a
energia potencial elétrica fica escrita como:
( )0W U U U=−∆ =− − (2)
0
0 2 1
1 1
4
qQU U
r rπε
− = −
Energia potencial elétrica
onde o termo U0 = 0 é a energia potencial elétrica de referência.
04
qQU
rπε=
Potencial elétricoConsidere uma carga elétrica q com uma energia potencial elétrica U num ponto P
do espaço. A quantidade de energia potencial para cada unidade de carga recebe o
nome de potencial elétrico V:
representado em joule por coulomb (J/C) ou volt (V) no SI. Considerando que a
partícula está num campo conservativo, a variação da energia potencial indica a
realização de trabalho:
UV
q=
realização de trabalho:
0 00
U U UU WV V V
q q q q
−∆ = − = − = =−
2
0
1
4
rQ dr
V F dr E drq rπε
∞
∆ =− ⋅ =− ⋅ =−∫ ∫ ∫� �� �
+
E�
F�
O sentido de dr no produto escalar foi
definido no sentido de integração
Superfícies equipotenciaisque fornece:
em que V0 = 0 no infinito. Assim:
0 04 4
r
Q QV
r rπε πε∞
∆ = =
04
QV
rπε=
Potencial elétrico
gerado por uma carga
pontual
E�
dr�
+
V3
V2
V1
V E dr∆ =− ⋅∫� �
Quando o caminho de integração é perpendicular ao campo elétrico,
a d.d.p. é zero, dando origem às superfícies equipotenciais.
0 se E dr= ⊥� �
Potencial elétricoPRODUZIDO POR CARGAS PONTUAIS: DIPOLO ELÉTRICO
Calcule o potencial elétrico num ponto P qualquer do plano
gerado pelo dipolo elétrico ao lado.
P
+q
z
+ r
r+
O potencial elétrico gerado no ponto P é a soma dos potenciais
gerados por cada carga:
d
–q
r
+
-
r−
0 0 0 0
1 1
4 4 4 4
r rq q q qV
r r r r r rπε πε πε πε
− +
+ − + − + −
−− = + = − =
θ
(2)
O potencial elétrico é uma grandeza escalar; desta forma, não há
necessidade de realizar decomposição vetorial!
Potencial elétricoPRODUZIDO POR CARGAS PONTUAIS: DIPÓLO ELÉTRICO
O termo r– – r+ representa a diferença entre as
distâncias das cargas até o ponto P. A distância r
representa a distância do CM até o ponto P.
Considerando que este ponto está numa distância r
muito maior que d, os segmentos r– e r+ tornam-se
aproximadamente paralelos e iguais. Desta forma,
escrevemos:escrevemos:
(3)cosr r d
r r r
θ− +
− +
− =
≈ ≈
Substituindo as equações (3) na equação (2), obtemos:
em que p = qd é o momento de dipolo elétrico.
2 2
0 0 0
cos 1 cos
4 4 4
r rq q d pV
r r r r
θ θ
πε πε πε
− +
+ −
− = ≈ = (4)
Campo elétricoCALCULADO PELO POTENCIAL ELÉTRICO
A partir da relação entre potencial e campo elétrico,
ou ,
em que é o elemento do caminho de integração e E tem direção radial, o campo elétrico
pode ser escrito como:
V E dr∆ =− ⋅∫� �
r
dVE
dr=−
dV E dr=− ⋅� �
dr�
Considerando um campo elétrico qualquer em coordenadas esféricas, por analogia, podemos
escrever:
o que permite representar o vetor campo elétrico:
dr
1 dVE
r dθ
θ=−
1
sin
dVE
r dφ
θ φ=−
ˆ ˆˆr
E E r E Eθ φθ φ= + +�
Campo elétricoCALCULADO PELO POTENCIAL ELÉTRICO
como:
1 1ˆ ˆˆsin
V V VE r
r r rθ φ
θ θ φ
∂ ∂ ∂ = − + − + − ∂ ∂ ∂
�
1 1ˆ ˆˆsin
E r Vr r r
θ φθ θ φ
∂ ∂ ∂ =− + + ∂ ∂ ∂ �
�
�������������������������������
onde o termo entre colchetes representa o operador gradiente:
A equação (5) traz um benefício muito interessante: como não há necessidade de análise
vetorial para o cálculo do potencial elétrico, podemos obter a direção do campo elétrico
resultante por meio da aplicação do gradiente no potencial. Desta forma, a informação
vetorial do campo é obtida automaticamente.
∇
�
�������������������������������
E V=−∇��
(5)
Campo elétricoDIPÓLO ELÉTRICO
No problema do dipolo elétrico, obtemos a seguinte expressão para o cálculo do potencial:
que é representado em coordenadas esféricas (r, θ, ϕ). Para determinar o campo elétrico, basta
aplicar o gradiente do potencial:
=−∇��
2
0
1 cos
4
pV
r
θ
πε
=
nestas coordenadas:
1 1ˆ ˆˆsin
V V VE r
r r rθ φ
θ θ φ
∂ ∂ ∂ =− − − ∂ ∂ ∂
�
E V=−∇��
( )2 3
0
1 1 ˆˆcos cos4
pE r
r r rθ θ θ
πε θ
∂ ∂ =− + ∂ ∂
�
Campo elétricoDIPÓLO ELÉTRICO
...que fornece a seguinte equação:
( ) ( )3
0
ˆˆ2cos sin4
pE r
rθ θ θ
πε = +
�
3
0
o
ˆ2
0
pE r
rπε
θ
=
=
�
3
0
o
ˆ4
90
pE
rθ
πε
θ
=
=
�
3
0
o
ˆ2
180
pE r
rπε
θ
=−
=
�
3
0
o
ˆ4
270
pE
rθ
πε
θ
=−
=
�
P
P
P
P
Campo elétricoDIPÓLO ELÉTRICO: RESOLUÇÃO NA PLATAFORMA PhET
Vamos resolver este problema no programa Cargas e Campos
da plataforma PhET...da plataforma PhET...
;)
Potencial elétricoPRODUZIDO POR CORPOS EXTENSOS
Calcule o potencial elétrico gerado no ponto P por um disco de raio R
carregado com densidade superficial uniforme σ.
Para calcular o potencial de corpos extensos, iniciamos com a mesma
lógica dos cálculos anteriores: definimos um elemento de carga dQ e
calculamos o potencial gerado em P:
dQ dQdV = =
em que dQ é um elemento de carga na superfície dA = 2πR’dR’ de um
anel de raio médio R’ e espessura dR’:
( )2 20
04 4 '
dVr R zπε πε
= =+
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
0 0 0
2 ' '
4 ' 4 ' 4 '
dQ dA R dRdV
R z R z R z
σ σ π
πε πε πε= = =
+ + +
A integral é resolvida com a mudança de variável: e ⸫' tanR z α= ( )2' secdR z dα α=
Potencial elétricoPRODUZIDO POR CORPOS EXTENSOS
( )
( )
( )
( )2 22
2 22 20 0
0 0
tan sec tan sec' 'tan sec
2 sec 22 ' 2 tan
z d z dR dR zdV d
R z z z
σ α α α σ α α ασ σα α α
ε α εε ε α= = = =
+ +
( )sindu dα α=−
( )2
0 00 0
sintan sec
2 2 cos
R Rz z
V d dσ σ α
α α α αε ε α
= =∫ ∫
Aplicando a segunda mudança de variável: e , temos:cosu α= ( )sindu dα α=−
( )2 2
2
0 00 0 0 000
'1 1
2 2 2 cos 2
R
R RR R zz du z z zV
u u z
σ σ σ σ
ε ε ε α ε
+=− = = =∫
( )2 2
02V R z z
σ
ε= + −
α
z
R’tan α = R’/z
Potencial elétrico
gerado no ponto P
Potencial elétricoPRODUZIDO POR CORPOS EXTENSOS
Com este resultado, podemos calcular o campo elétrico a partir da aplicação do
gradiente do potencial em coordenadas cilíndricas:
E V=−∇��
1 ˆˆ ˆV V V
E zz
ρ φρ ρ φ
∂ ∂ ∂ =− − − ∂ ∂ ∂
�
com o potencial sendo uma função apenas da coordenada z:
ˆ ˆE zz
ρ φρ ρ φ
=− − − ∂ ∂ ∂
( )2 2
2 20 0
ˆ ˆ ˆ12 2
dV d zE z R z z z z
dz dz R z
σ σ
ε ε
=− =− + − = − +
�
que é o mesmo resultado obtido via lei de Coulomb.
Resolução de problemasLISTA 4, PROBLEMA 2
Para mostrar que este campo independe do
caminho, as integrais da função ao longo dos
três caminhos devem ser iguais:
1 2 3C C C
F dl F dl F dl⋅ = ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫� � �� � �
Caminho 1: formado por um segmento horizontal com 0 ≤ x ≤ 1 em y = 0 e um segmentoCaminho 1: formado por um segmento horizontal com 0 ≤ x ≤ 1 em y = 0 e um segmento
vertical com 0 ≤ y ≤ 2 em x = 1:
( ) ( ) ( ) ( )1
1 22
0 0
0 1
1ˆ ˆ ˆ ˆ 0 1
2 2C
xF dl xy x y dx x dy y xdx dy
= =
⋅ = + ⋅ + = + = ∫ ∫ ∫ ∫
��
��������� ���������
Caminho 2: formado por um segmento horizontal com 0 ≤ x ≤ 1 em y = 2 e um segmento
vertical com 0 ≤ y ≤ 2 em x = 0:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 22
0 0
1 0
ˆ ˆ ˆ ˆ 2 0 12
C
xF dl xy x y dx x dy y xdx dy
= =
⋅ = + ⋅ + = + = ∫ ∫ ∫ ∫
��
��������� ���������
Resolução de problemasLISTA 4, PROBLEMA 2
Caminho 3: formado por um único segmento descrito por y = 2x.Caminho 3: formado por um único segmento descrito por y = 2x.
Se F é um vetor de força e o caminhos de integração representam distâncias, as integrais de
linha são o trabalho realizado sobre um corpo.
( ) ( ) ( )3
1 222 2
0 0
2/3 1/3
1ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1
2 8C
xF dl xy x y dx x dy y x dx y dy
= =
⋅ = + ⋅ + = + = ∫ ∫ ∫ ∫
��
��������� �����������
Resolução de problemasLISTA 4, PROBLEMA 5
O potencial em cada ponto é gerado pela soma dos potenciais individuais:
( ) ( )1 1
4 4 4A
q q qV
a b d a b dπε πε πε
− = + = − + +
e a diferença de potencial VA – VB é dada por:
( ) ( )0 0 04 4 4a b d a b dπε πε πε + +
( ) ( )0 0 0
1 1
4 4 4B
q q qV
a d b a d bπε πε πε
− = + = − + +
( ) ( )0
1 1 1 1
4A B
qV V
a b d a d bπε
− = − − − + +
Resolução de problemasLISTA 4, PROBLEMA 6
Para calcular o potencial dentro da esfera no ponto Pin vamos
utilizar a definição de potencial:
Pin
Pout
V E dr∆ =− ⋅∫� �
Considere o trabalho realizado na direção radial para trazer uma
partícula do infinito até o ponto Pin. Neste caminho, existe o campo
elétrico do infinito até a superfície da esfera e outro campo elétrico da
superfície da esfera até o ponto P :superfície da esfera até o ponto Pin:
out inV E dr E dr E dr∆ =− ⋅ =− ⋅ − ⋅∫ ∫ ∫� � �� � �
( ) ( )
out
2
0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ4 3
R r
R
V
q rV dr r r dr r r
r
ρ
πε ε∞
∆ =− ⋅ − ⋅ ∫ ∫�������������������
Item (a): o potencial
no ponto Pout é dado
por:
04
qV
rπε=
Resolução de problemasLISTA 4, PROBLEMA 6
Pin
Pout 2
0 04 3
R r
R
q rV dr dr
r
ρ
πε ε∞
∆ =− −∫ ∫
2
0 04 3
R r
R
q drV rdr
r
ρ
πε ε∞
∆ =− −∫ ∫
r
R∞
em que ρ é a densidade volumétrica de carga : 33 4q Rρ π=
2 2 2
3 2
0 0 0
11
4 4 2 2 4 2 2
q q r R q rV
R R R Rπε πε πε
∆ = − − = − +
2
2
0
3
4 2 2
q rV
R Rπε
∆ = −
Resolução de problemasLISTA 4, PROBLEMA 9
dQConsidere um elemento de carga dQ do balão que possui carga
total Q. A energia potencial deste elemento de carga é dada pela
equação:
( ) ( )2
0 0 0 04 4 4 4
Q dQ dQ dQQdQ QdQdU
R R R Rπε πε πε πε
−= = − ≈
�������
Somando as energia potenciais de todos os elementos de carga
dQ, a energia total será:
0 0 0 0
0
4 4 4 4R R R Rπε πε πε πε
≈�������
2
0 00
' '
4 8
QQ dQ Q
UR Rπε πε
= =∫
Resolução de problemasLISTA 4, PROBLEMA 11
a 04
QV
rπε=
x
O
( ) ( )( )( )4 4 4
cx dxdQ dxdV
a x a x a x
λ
πε πε πε= = =
− − −
L
( ) ( ) ( )0 0 04 4 4dV
a x a x a xπε πε πε= = =
− − −
( )
0
04L
c xdxV
a xπε−
=−∫
Realizando a troca de variável e :u a x= − du dx=−
( ) ( )0 0 0
0
0 0 0
( )ln
4 4 4 LL L L
c a u du c du cV a du a a x a x
u uπε πε πε −− − −
− =− =− − =− − − − ∫ ∫ ∫
Resolução de problemasLISTA 4, PROBLEMA 11
a
x
O
L
( ) ( ) ( ) ( ){ }0
ln ln ln4 4L
c cV a a x a x a a a a a L a L
πε πε− = − − + − = − + − − + + + ( ) ( ) ( ) ( ){ }
0 04 4Lπε πε−
0
ln 14
ac L LV
a aπε
= + −
Considerando L = 12,0 cm, c = 28,9 pC/m2, e a = 3,00 cm, obtemos: 18,6 mVV =−
Por que a tensão
é negativa?
A densidade linear cx é
negativa ao assumirmos
x negativo.
Resolução de problemasLISTA 4, PROBLEMA 11 – Observações
a
x
O
L
( ) ( )( )( )4 4 4
cx dxdQ dxdV
x a x a x a
λ
πε πε πε= = =
+ + +( ) ( ) ( )0 0 04 4 4x a x a x aπε πε πε+ + +
( )0 04
Lc xdx
Vx aπε
=+∫
Realizando a troca de variável e :u x a= + du dx=
( ) ( )0
0 0 00 0 0
( )ln
4 4 4
L L LLc u a du c du c
V du a x a a x au uπε πε πε
− = = − = + − + ∫ ∫ ∫
Resolução de problemasLISTA 4, PROBLEMA 11 – Observações
a
x
O
L
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0
ln ln ln4 4
Lc cV x a a x a L a a L a a a a
πε πε = + − + = + − + − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }
00 04 4πε πε
0
ln 14
ac L LV
a aπε
=− + −
Considerando L = 12,0 cm, c = 28,9 pC/m2, e a = 3,00 cm, obtemos:
18,6 mVV =+
Dúvidas?
Skype: diego_a_d
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