Formule diIntegrazione Numerica

Integrazione numerica: generalità

Problema: valutare l’integrale definito:

Si utilizzano opportune tecniche numeriche quando:• la primitiva di f(x) non e’ esprimibile in forma chiusa (ad

esempio f(x)=sin(x)/x, f(x)=exp(-x2));

• difficoltà nel calcolare analiticamente la primitiva F in ae/o b (ad es. F può essere espressa in forma integrale);

• i valori di f(x) sono noti solo in alcuni nodi xi=0,…,n (ad esempio a seguito di misure sperimentali).

)()(d)()( aFbFxxffIb

a−== ∫

Formule di quadraturaNoti i valori assunti dalla funzione integranda f(x) in un insieme di nodi xi=0,…,n distinti in [a,b], si definisce formula di quadratura o di integrazione numerica una formula del tipo:

)()()()(d)( *

0fRfSfRxfcxxf nnn

n

iii

b

a+=+=∑∫

=

Pesi o coefficienti{ } nici ,...,0=

∑=

=n

iiin xfcfS

0

* )()(

)()()( * fSfIfR nn −=

Somma o parte approssimante ideale

Resto o errore di troncamento

Errore di propagazione

I dati iniziali possono essere affetti da errore:

)()()()(d)( *

00fRfRfSfRcfcxxf nnn

n

iii

n

iii

b

a++=++= ∑∑∫

==

ε

∑=

=n

iiin fcfS

0)(

∑=

=n

iiicfR

0

* )( ε

Somma o parte approssimante

Errore di propagazione sui dati

nifxf iii ,...,0)( =+= ε

In assenza di errori di approssimazione sui calcoli:

Formule di quadratura interpolatoria

Le formule di quadratura interpolatorie sono basate sulla sostituzione della funzione integranda con il suo polinomio interpolatore, su un insieme “opportuno” di nodi xi=0,…,n.

Criteri di scelta della distribuzione dei nodi in [a,b]:• i nodi di interpolazione sono fissati come dato del problema

• nodi equispaziati in [a,b] ⇒ formule di Newton-Cotes• nodi situati opportunamente in [a,b], in modo da ottenere

precisione massima ⇒ formule di quadratura gaussiane.

Formule di quadratura interpolatorieA prescindere dalla distribuzione dei nodi, ed utilizzando l’espressione di Lagrange per il polinomio interpolatore:

nixxlcfRfcxxfb

a iin

n

iiii

b

a,...,0d)()()(d)(

0==++= ∫∑∫

=

ε

)()()()( *

0xExExlfxf nn

n

iii ++=∑

=

⇓

+==

∫∫∫

+

b

a nn

b

a

n

nb

a nn

xxxxfx

xn

xfxxxExR

d],...,,[)(

d!1

))(()(d)()(

0

)1(

π

ξπ

Grado di precisione

Definizione: una formula di quadratura a n+1 nodi si dice che ha grado di precisione υ se:

≠

=

0)(

0)(

fR

fR

n

n

1)(

,...,0)(+=

==

ν

ν

xxf

kxxf kper

per

Data la linearità dell’operatore di integrazione, si ha grado di precisione υ se la formula è esatta per tutti i polinomi di grado k≤υ mentre esiste almeno un polinomio di grado υ+1, per il quale la formula di quadratura non è esatta.

Grado di precisione

L’interpolazione polinomiale su n+1 nodi è esatta per polinomi di grado m≤n (cioè En(x)=0), quindi la formula di quadratura interpolatoria è esatta per ogni polinomio di grado m≤n (cioèRn(x)=0), quindi υ≥n. Inoltre:

12 +≤≤ nn ν

[ ] ℜ∈∀≥−−−=Π xxxxxxxx n 0)())(()( 210 L

0)()()()(d)(0

0

0>⇒=+Π=Π<

=

=∑∫ fRfRfRxcxx nnn

n

iii

b

a43421

Cioè esiste un polinomio di grado 2n+2 per cui la formula di quadratura non è esatta. In definitiva per il grado di precisionedelle formule di quadratura interpolatorie su n+1 nodi si ha:

Formule di Newton-Cotes

Le formule di Newton-Cotes sono formule di quadratura interpolatorie su nodi equispaziati:

nabhniihaxi

−==+= ,,0 K

Possono essere di tipo aperto o chiuso a seconda se nei nodi di interpolazione sono compresi o meno gli estremi (si costruisce il polinomio di interpolazione sui nodi xi i=1,…,n-1).

Formula del trapezio (n+1=2, υ=1)Formula del trapezio: si approssima la funzione con un polinomio di primo grado su due nodi equispaziati:

))(())((21

)()(

)()(

!2))(()()()()()()(

)2(10

01

01

10

10

)2(

21100

xfxxxxxxxxf

xxxxf

xfxxlfxlfxExlfxf on

n

iii

ξ

ξπ

−−+−−

+−−

=

=++=+=∑=

],[)(12

d))(())((21)(

2)(d

)()(

)()()(

)2(3

101

10

01

01

10

101

bafhxxfxxxxfR

ffhxxxxxf

xxxxffS

b

a

b

a

∈−=′′−−=

+=

−−

+−−

=

∫

∫

ττξ

⇓

Formula di Cavalieri-Simpson (n+1=3, υ=3)Formula di Cavalieri-Simpson o della parabola: la funzione èapprossimata con una parabola:

!3))(()()()()()(

)3(

322110xfxxlfxlfxlfxf o

ξπ+++=

],[)(90

d))(()(!3

1)(

)4(3

d)()(

)4(5

2

210

2

02

bafhxxfxfR

fffhxxlffS

b

a

b

ai

ii

∈−=′′′=

++==

∫

∫ ∑=

ττξπ

⇓

Formula dei 3/8 (n+1=4, υ=3)Formula dei 3/8: la funzione è approssimata con un polinomio di terzo grado:

],[)(803)33(

83d)( )4(

5

3210 bafhffffhxxfb

a∈−+++=∫ ττ

Formula di Milne-Boole (n+1=5, υ=5)Formula di Milne-Boole: la funzione è approssimata con un polinomio di quarto grado:

],[)(9458)73212327(

452d)( )6(

7

43210 bafhfffffhxxfb

a∈−++++=∫ ττ

Formule di Newton-Cotes: precisione

Il resto delle formule di Newton-Cotes assume l’espressione:

−−=

+=

∫

++

n

n

nn

nn

tnttt

nfhfR

0

)1(2

d)()1(

!1)()(

Lγ

ξγ

−−=

+=

∫

++

n

n

nn

nn

tnttt

nfhfR

0

2

)2(3

d)()1(

!2)()(

Lγ

ξγ

Grado di precisioneυ=nn+1 pari

n+1 dispariGrado di precisione

υ=n+1

Formule di Newton-Cotes: esempioEsempio 7.3.1: si approssimi il seguente integrale con

la formula del trapezio e di Cavalieri-Simpson:

84525)(d(x))( 241

0+−== ∫ xxxfxffI

Trapezio:

dove

2))1()0((21)(1 −=+= fffS

Cav.-Sim.: 7916.1)1(214)0(

61)(2 −=

+

+= ffffS

Nota: impiegare formule con un grado di precisione più elevato non vuol dire ottenere risultati più accurati!!!

• Esercizio consigliato [GL] 4.1, 7.3, 7.9

Formule di Newton-Cotes aperte

Le formule di Newton-Cotes aperte si ottengono utilizzando per la costruzione dei polinomi solo i nodi xi i=1,…,n-1, il grado di precisione diminuisce:

se n+1 è pari

−=

−=

1

2

n

n

ν

ν

se n+1 è dispari

Formula del punto centrale:

],[)(3

2d)( )2(3

1 bafhfhxxfb

a∈+=∫ ττ

Formule di Newton-Cotes generalizzate

• Per n>7 i coefficienti delle formule di Newton-Cotes hanno segni sia positivi che negativi, si dimostra che ciò può provocare instabilità numerica (aumento di R*(f)).

• Per evitare l’uso di formule di grado elevato e di perdere informazioni, si decompone l’intervallo in sottointervalli in ciascuno dei quali si utilizzano formule di quadratura di grado basso, formule di Newton-Cotes generalizzate.

Formula dei trapezi (υ=1)

L’intervallo di integrazione è decomposto in m sottointervalli:

mjm

abjaXXX jjj ,,0],[ 1 K=−

+=+

In ogni sottointervallo [Xj,Xj+1], j=0,…m-1 si applica la formula del trapezio con h=(b-a)/m:

],[)(12

)(2

d)(d)(

1

1

0

)2(31

01

1

0

1

+

−

=

−

=+

−

=

∈

−++=

==

∑∑

∑∫∫+

jjj

m

jj

m

jjj

m

j

x

x

b

a

xxfhffh

xxfxxf j

j

ττ

],[)(12

)(22

d)( )2(21

10 bafhabfffhxxf m

m

jj

b

a∈

−−

++= ∑∫

−

=

ττ

Formula delle parabole (υ=3)

L’intervallo di integrazione è decomposto in m sottointervalli:

mjm

abjaXXX jjj ,,0],[ 1 K=−

+=+

In ogni sottointervallo [Xj,Xj+1], j=0,…m-1 si applica la formula dei Cavalieri-Simpson con h=(b-a)/2m:

],[)(180

)(243

d)( )4(4

2

1

12

1

0120 bafhabffffhxxf m

m

jj

m

jj

b

a∈

−−

+++= ∑∑∫

−

=

−

=+ ττ

Teorema: Se f(x)∈Cυ+1[a,b], le formule di Newton-Cotes generalizzate tendono all’integrale I(f), quando il numero di nodi tende all’infinito.

Criterio di Runge: formula dei trapeziPer le formule generalizzate è possibile fornire una stima dell’errore di troncamento senza dover calcolare la derivata n+1 della funzione integranda.

Formula dei trapezi:

( ) )(12

)()()()()( )2(2 τfhabfSfRfSfI hhh−

−=+=

)(212

)()()()()( )2(2

2/2/2/ σfhabfSfRfSfI hhh

−

−=+=

Passo h →

Passo h/2 →

( ))()(31)(4/)()( 2/2/2/ fSfSfRfRfR hhhhh −≅⇒≅

Se f(2)(x) varia poco in [a,b] )()( )2()2( στ ff ≅⇒

Criterio di Runge: formula delle paraboleFormula delle parabole:

( ) )(180

)()()()()( )4(4 τfhabfSfRfSfI hhh−

−=+=

)(2180

)()()()()( )4(4

2/2/2/ σfhabfSfRfSfI hhh

−

−=+=

Passo h →

Passo h/2 →

( ))()(151)(16/)()( 2/2/2/ fSfSfRfRfR hhhhh −≅⇒≅

Se f(4)(x) varia poco in [a,b] )()( )4()4( στ ff ≅⇒

Estrapolazione di RichardsonIl criterio di Runge permette di stimare il resto della formula di quadratura con passo h/2, tramite le parti approssimanti valutate con passo h e h/2; si può usare questa stima per fornire una approssimazione più accurata dell’integrale.

Formula dei trapezi:

( ))()(31)()()()( 2/2/2/2/ fSfSfSfRfSfI hhhhh −+≅+=

( ))()(151)()()()( 2/2/2/2/ fSfSfSfRfSfI hhhhh −+≅+=

Formula delle parabole:

Estrapolazione di Richardson: esempio

Esempio 7.5.1: tramite il metodo delle parabole e l’estrapo-lazione alla Richardson, calcolare il seguente l’integrale:

7182818.11d)(1

0

1

0≅−=== ∫ eexeeI xxx

Estrapolazione di Richardson: esempio

( ) 7188611.1461)()( 12/10

2/1 ≅++== eeefSfSh

( )( ) 7183188.124121)()( 12/14/34/10

4/12/ ≅++++== eeeeefSfSh

( ) 42/2/ 1036.0)()(

151 −−≅−= fSfSR hhh

7182826.1)1036.0(7183188.1)( 42/2/ ≅−+≅+= −

hhx RSeI

Somme approssimate con passo h e h/2:

Criterio di Runge, stima del resto con passo h/2:

Estrapolazione alla Richardson:

≅

≅

≅

⇒−

−

−

6

42/

3

108.0

1037.0

1058.0

Rich

h

h

R

R

RValore esatto:

KK7182818.1)( =xeI

Formule di quadratura: esercizioEsercizio 4.2:Valutare con 4 cifre decimali esatte il valore

di π/4, mediante integrazione numerica dell’integrale:

4)arctan(d

11 1

0

1

0 2

π==

+= ∫ xx

xI

utilizzando una formula delle parabole basata sulla tavola:

0.9411760.25

0.8767120.375

0.80.5

1.00.0

0.984615f(xi)0.125xi

0.5663720.875

0.7191010.625

0.640.75

0.5f(xi)1.0xi

Scegliendo il passo e trascurando l’errore di propagazione.

• Esercizio consigliato [GL] 4.4,

Convergenza delle formule di quadratura

Una formula di quadratura è detta convergente se la succes-sione delle parti approssimanti che si ottiene aumentando il numero dei nodi converge al valore esatto dell’integrale, ovvero se all’aumentare dei nodi il resto tende a zero:

0)(lim)()(lim =⇔=∞→∞→

fRfIfS nnnn

• le formule di Newton-Cotes generalizzate verificano la proprietà di convergenza;

• il polinomio interpolatore potrebbe non convergere (feno-meno di Runge) e quindi neanche la formula di quadratura;

• le formule di quadratura interpolatorie sono convergenti in tutti i casi in cui lo è il polinomio interpolatore

Convergenza delle formule di quadratura

Teorema: se f(x)∈C∞[a,b], con [a,b] limitato, posto |f(k)(x)|≤Mk, k=0,1,…, x∈[a,b] (ad es. funzione con derivate equilimitate), risulti:

)()(lim0!

)(lim fIfSMk

abnnk

k

k=⇒=

−∞→∞→

Nota: la convergenza è una conseguenza diretta della convergenza del polinomio interpolatore.

Convergenza delle formule di quadratura

Teorema: se f(x)∈C[a,b], con [a,b] limitato, sia {Sn(f)}una successione di formule di quadratura interpolatorie:

)()(lim fIfSnn=

∞→allora:

Nota: una successione di formule di quadratura a coefficienti positivi è convergente (ad esempio formule gaussiane).

∑=

=n

iiin fcfS

0)(

se esiste una costante positiva M tale che:

nMcn

ii ∀≤∑

=0

Convergenza: esempioEsempio 7.9.1: si approssimi il seguente integrale con

una successione di formule di Newton-Cotes con n+1dispari:

6516.2arctg(4)2arctg(x)d1

1 4

4

4

4 2 ≅==+ −−∫ x

x

5956.3)(9411.1)(3288.3)(2776.2)(4902.5)(

10

8

6

4

2

=====

fSfSfSfSfS

Si ha la successione: