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1 FORMULARIO DI CINEMATICA DEL PUNTO 1. CALCOLO VETTORIALE O x y z i k j A + + Terna cartesiana levogira con versori { } ; ; ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ = + + = z y x z y x A A A A A A k j i k j i A A (1) ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ z y x A A A = componenti del vettore A secondo gli assi x, y, z rispettivamente k j i = versori degli assi x, y, z rispettivamente Prodotto scalare B A α ( ) z z y y x x T B A B A B A B A + + = ⋅ = α ⋅ = × = cos C B A B A (C quantità scalare) (2)
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-
1
FORMULARIO DI CINEMATICA DEL PUNTO 1. CALCOLO VETTORIALE
O
x
y
z
i
k
j
A
+
+
Terna cartesiana levogira con versori
{ } ;;
=++=
z
y
x
zyx
A
A
A
AAA kjikji AA (1)
z
y
x
A
A
A
= componenti del vettore A secondo gli assi x, y, z rispettivamente
kji = versori degli assi x, y, z rispettivamente Prodotto scalare
BA
( ) zzyyxxT BABABABA ++==== cosC BABA (C quantit scalare) (2)
-
2
con: { }
==
z
y
x
zyxT
B
B
B
BAAAA
Prodotto vettoriale
B
A
C
( ) ( ) ( )xyyxxzzxyzzyzyx
zyx BABABABABABA
BBB
AAA +=
== kji
kji
detBAC (3)
+
BABA
BABA
BABA
yyx
xzzx
yzzy
= componenti lungo gli assi x, y, z del vettore prodotto vettoriale
( )= sinBAC
Prodotto misto: ( ) ( ) CBACBA = Doppio prodotto vettore: ( ) ( ) ( ) CBABCACBA = -
Vettore velocit angolare: { } kjikji =
= ++ zyx
z
y
x
(4)
-
3
Formule di Poisson (Velocit dei versori)
kj
kji
ii =
== yzzyxdtd
001
det (5)
ki
kji
jj =
== + xzzyxdtd
010
det (6)
ji
kji
kk =
== xyzyxdtd
100
det (7)
Derivata di un vettore rispetto al tempo Vettore A come descritto in eq. (1); vettore con descritto in eq. (4). Uso delle formule di Poisson. 1 caso terna fissa, versori fissi
dtdA
dtdA
dtdA
dtd zyx kji ++=A 2 caso terna mobile, versori mobili
dtdA
dtdA
dtdA
dtdA
dtdA
dtdA
dtd
zyxzyx kjikji +++++=A
AAA += &dtd essendo:
++=
++=
dtdA
dtdA
dtdA
dtdA
dtdA
dtdA
zyx
zyx
kji
kji
A
A
&
-
4
Rappresentazione di un vettore nel piano complesso
O Re
Im
z
O Re
Im
z1
1
2 z2
= ieZz i= numero immaginario = 1 formula di Eulero: += sincose ii velocit: zzz === &&& ii ieZ
dtd ( ( )t= = coordianta di rotazione)
Rotazione di un vettore di modulo costante in un sistema fisso
1e = iZ1z 2e = iZ2z += 12 ( ) + ==== iiiii eeeee 112 12 zz ZZZ
11 sincose 1 +== ZZZ ii1z 1111 sin;cos == ZZZZ yx ( ) ( ) ( ) ( )yxyxyx ZZZZZZ 111111 cossinsincossincose ++=++== iiii12 zz in forma matriciale:
=
=y
x
y
x
Z
Z
Z
Z
1
1
2
2
cossin
sincos
2z
Matrice di rotazione: [ ]
=
cossin
sincosR
-
5
2. CINEMATICA DEL PUNTO 2.1. MOTO NELLO SPAZIO
Coordinate parametriche di moto di un punto nello spazio:
( )( )( )
===
tzz
tyy
txx
(8)
t = tempo, variabile indipendente Velocit del punto (sottintesa la dipendenza dalla variabile indipendente tempo)
( )( )( )
=
=
=
dttdzz
dttdyy
dttdxx
&
&
&
(simbologia alternativa: zvyvxv zyx &&& === ;; )
in forma vettoriale { }
=
z
y
x
v
v
v
kjiv
222zxx vvv ++=v Modulo (=lunghezza =norma) del vettore velocit
Accelerazione del punto (sottintesa la dipendenza dalla variabile indipendente tempo)
( )( )( )
=
=
=
2
2
2
2
2
2
dttzdz
dttydy
dttxdx
&&
&&
&&
(simbologia alternativa: zayaxa zyx &&&&&& === ;; )
in forma vettoriale { }
=
z
y
x
a
a
a
kjia
222zxx aaa ++=a Modulo (=lunghezza =norma) del vettore accelerazione)
nt aaa +=
ta = vettore accelerazione tangenziale alla traiettoria na = vettore accelerazione normale alla traiettoria
-
6
Parametri della TRAIETTORIA nello spazio
Versore tangente: ( ) { }
=
v
v
v
t
z
y
x
v
v
v
t kji (9)
Versore binormale: ( )avavb
=t (10) Versore normale principale: ( ) ( ) ( )ttt tbn = (11)
Curvatura: ( ) 3vav =tk (12)
Raggio di curvatura: ( ) ( ) avv==
31tk
t (13)
2.2. MOTO NEL PIANO Stesse espressioni del moto nello spazio con lovvia esclusione dei parametri cinematici relativi allasse z. Eccezione moto rotatorio nel piano:
{ } kkji =
=== z
z
zyx 00
00 ; ;
Parametri della TRAIETTORIA nel PIANO
Versore tangente: ( ) { }
=v
vt
y
x
v
v
t ji (14)
Versore normale: ( ) { }
=v
vnx
y
v
v
t ji (15)
Curvatura: ( ) ( )322 yxxyyx
vv
avavtk
+= (16)
-
7
Raggio di curvatura: ( ) ( )( )
xyyx
yx
avavvv
tkt
+==322
1 (17)
Componenti del vettore accelerazione
ttt a== taa = componente della accelerazione tangente alla traiettoria nnn a== naa = componente della accelerazione normale alla traiettoria
=2
nav
relazione tra accelerazione normale, velocit e raggio di curvatura della traiettoria
-
1
3. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO
FORMULAZIONE VETTORIALE FORMULAZIONE MATRICIALE NEL PIANO
w
Om
Of
mxP myP
fxP
fyP
p
o
s
i
z
i
o
n
e
wP += [ ]
+
=
P
Pm
fm
Om
Omf
P
Pf
y
xR
y
x
y
x
v
e
l
o
c
i
t
wwP +=+= &&&& [ ]
+
=
P
Pm
fm
Om
Omf
P
Pf
x
yR
y
x
y
x&
&
&
&
&
segue
-
2
FORMULAZIONE VETTORIALE FORMULAZIONE MATRICIALE NEL PIANO
a
c
c
e
l
e
r
a
z
i
o
n
e
( )
( ) normale accel.etangenzialaccel.
==
++=
ww
wwP
&
&&&&&
[ ] [ ]
[ ]
[ ] normale accel.
etangenzialaccel.
2
2
=
=
+
=
P
Pm
fm
P
Pm
fm
P
Pm
fm
P
Pm
fm
Om
Omf
P
Pf
y
xR
x
yR
y
xR
x
yR
y
x
y
x
&
&&
&&&&&
&&
&&
&&
-
3
4. CINEMATICA DEL MOTO RELATIVO DEL CORPO RIGIDO
FORMULAZIONE VETTORIALE FORMULAZIONE MATRICIALE NEL PIANO
w1
w2
w1
w2
p
o
s
i
z
i
o
n
e
21 wwP += [ ]
+
=
P
Pm
fm
Om
Omf
P
Pf
y
xR
y
x
y
x
segue
-
4
FORMULAZIONE VETTORIALE FORMULAZIONE MATRICIALE NEL PIANO v
e
l
o
c
i
t
relativavelocit
ntotrascinamevelocit
2222
21
2222121
==++=+
++++=+=
relmzmymx
mzmymx
www
www
www
wwwwP
&&&&&&
&&&&&&&&
kji
kji
[ ] [ ]
[ ]
[ ] relativavelocit
ntotrascinamevelocit
=
=
+
+
+
=
P
Pm
fm
P
Pm
fm
Om
Omf
P
Pm
fm
P
Pm
fm
Om
Omf
P
Pf
y
xR
x
yR
y
x
y
xR
x
yR
y
x
y
x
&
&
&&
&
&
&&
&
&
&
&
segue
-
5
FORMULAZIONE VETTORIALE FORMULAZIONE MATRICIALE NEL PIANO a
c
c
e
l
e
r
a
z
i
o
n
e
( )( )
Coriolisaccel.2
relativaaccel.
ntotrascinameaccel.
2
2
2
221
22221
==
=++
++++=
rel
rel
relrel
w
wwww
wwwwwP
&&&&
&&&&&&
&&&&&&&&&&&
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] Coriolis accel.2
relativa accel.
ntotrascinameaccel.
2
2
2
=
=
=
+
+
+
+
+
=
P
Pm
fm
P
Pm
fm
P
Pm
fm
P
Pm
fm
Om
Omf
P
Pm
fm
P
Pm
fm
P
Pm
fm
P
Pm
fm
Om
Omf
P
Pf
x
yR
y
xR
y
xR
x
yR
y
x
x
yR
y
xR
y
xR
x
yR
y
x
y
x
&
&&
&&
&&
&&&&&
&&
&
&&
&&
&&
&&&&&
&&
&&
&&
