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Stabilità esterna e analisi della risposta

Stabilità esterna e risposta a regimeRisposte di sistemi del I e II ordine

Stabilità esterna e analisi della risposta

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Stabilità esterna e risposta a regime

Relazioni fra rappresentazioni di sistemiStabilità esterna di sistemi dinamici LTIRisposta in regime permanenteEsempi di calcolo della risposta a regime

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Relazioni fra rappresentazioni di sistemi

La rappresentazione in variabili di stato(o rappresentazione interna) di un sistema dinamico LTI permette di analizzarne la proprietàdi stabilità interna nonché le proprietà strutturali (in particolare, la raggiungibilità e l’osservabilità)La rappresentazione mediante funzioni di trasferimento (o rappresentazione esterna) di un sistema dinamico LTI fornisce in generale una descrizione parziale del comportamento del sistema rispetto a quella ricavabile dalla rappresentazione interna, poiché permette di analizzarne solamente la risposta forzata ⇒ dipende soltanto dalla parte raggiungibile ed osservabile del sistema dinamico

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Sistema dinamico in forma minima

Un sistema dinamico LTI è detto in forma minimase e soltanto se è completamente raggiungibile e completamente osservabileLa rappresentazione interna di un sistema dinamico in forma minima contiene sempre il numero minimo di variabili di statoLa funzione di trasferimento di un sistema dinamico SISO in forma minima non presenta mai cancellazioni zero-polo ⇒ tutti gli autovalori della matrice di stato compaiono come poli della funzione di trasferimentoLa funzione di trasferimento di un sistema dinamico SISO non in forma minima presenta invece sempre almeno una cancellazione zero-polo

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Il seguente sistema dinamico LTI a tempo continuo

è completamente raggiungibile ed osservabile:

La sua funzione di trasferimento è:

Esempio di sistema in forma minima

[ ]⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1 2( ) ( ) ( ), ( ) 2 1 ( )

0 1 3x t x t u t y t x t

[ ]

ρ ρ

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⇒ = = =

2 5 2 1,

3 3 2 3

( ) ( ) 2

R O

R O

CM B AB M

CAM M n

− += − =

− +1 13

( ) ( )( 1)( 1)

sH s C sI A Bs s

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Il seguente sistema dinamico LTI a tempo continuo

è completamente raggiungibile ma non osservabile:

La sua funzione di trasferimento è:

Esempio di sistema non in forma minima

[ ]⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1 2( ) ( ) ( ), ( ) 0 1 ( )


[ ]

ρ ρ

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⇒ = = = <

2 5 0 1,

3 3 0 1

( ) 2, ( ) 1

R O

R O

CM B AB M

CAM n M n

− − − −= − = =

− + +1 3( 1) 3

( ) ( )( 1)( 1) 1

sH s C sI A Bs s s

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Stabilità esterna di sistemi dinamici LTI

Un sistema dinamico, a dimensione finita, LTI, inizialmente a riposo, è esternamente stabile oBIBO stabile (Bounded Input − Bounded Output) se la sua risposta forzata ad un qualsiasi ingresso limitato si mantiene sempre limitata nel tempo:

Per ipotesi, il sistema è inizialmente a riposo ⇒

con H (s ),H (z ): funzioni di trasferimento del sistema

{ }{ }

−

−

=

=

1

1

( ) ( ) ( ) (sistema a tempo continuo)

( ) ( ) ( ) (sistema a tempo discreto)

y t H s U sy k H z U z

L

Z

∀ ∈ ∞ ∃ ∈ ∞

≤ ∀ ≥ ⇒ ≤ ∀ ≥

(0, ), (0, ) :

( ) , 0 ( ) , 0

u yu t u t y t y t

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Condizioni per la stabilità esterna

Un sistema dinamico, a dimensione finita, a tempo continuo, LTI, inizialmente a riposo, è BIBO stabile se e solo se tutti i poli della funzione di trasferimento H (s ), dopo aver eseguito le cancellazioni zero-polo, sono a parte reale strettamente minore di 0Un sistema dinamico, a dimensione finita, a tempo discreto, LTI, inizialmente a riposo, è BIBO stabile se e solo se tutti i poli della funzione di trasferimento H (z ), dopo aver eseguito le cancellazioni zero-polo, sono in modulo strettamente minori di 1

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Relazioni fra stabilità interna ed esterna

Se un sistema dinamico, a dimensione finita, LTI, è asintoticamente stabile ⇒ è esternamente stabile. Infatti, i poli della funzione di trasferimento sono in generale soltanto un sottoinsieme degli autovalori della matrice di stato, che in questo caso sono tutti asintoticamente stabili per ipotesiSe un sistema dinamico, a dimensione finita, LTI, è in forma minima ed esternamente stabile ⇒è asintoticamente stabile. Infatti, gli autovalori della matrice di stato in questo caso coincidono proprio con i poli della funzione di trasferimento, che sono tutti asintoticamente stabili per ipotesi

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Il sistema dinamico LTI a tempo continuo

considerato in precedenza è in forma minima e la sua funzione di trasferimento è:

I poli di H (s ) sono +1, −1, e coincidono con gli autovalori della matrice di stato A del sistema ⇒ il sistema non è esternamente (o BIBO) stabile, mentre è (internamente) instabile

Esempio di sistema non BIBO stabile

[ ]⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1 2( ) ( ) ( ), ( ) 2 1 ( )


− += − =

− +1 13

( ) ( )( 1)( 1)

sH s C sI A Bs s

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Il sistema dinamico LTI a tempo continuo

considerato in precedenza non è in forma minima e la sua funzione di trasferimento è:

Dopo aver eseguito tutte le cancellazioni zero-polo, H (s ) ha un polo in −1, che è uno dei due autovalori (+1, −1) della matrice di stato A del sistema ⇒il sistema risulta esternamente (o BIBO) stabile, mentre è (internamente) instabile

Esempio di sistema BIBO stabile

[ ]⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1 2( ) ( ) ( ), ( ) 0 1 ( )


− − − −= − = =

− + +1 3( 1) 3

( ) ( )( 1)( 1) 1

sH s C sI A Bs s s

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Si consideri il sistema dinamico, a dimensione finita, a tempo continuo, LTI, proprio, descritto da

Il movimento x(t ), soluzione dell’equazione di stato, può essere espresso come:

xomog (t ) è una soluzione dell’equazione omogenea associata all’equazione di stato, in cui u (t ) = 0xpart (t ) è una soluzione particolare dell’equazione di stato e dipende dall’ingresso u(t ) applicato

La risposta y(t ) può essere allora espressa come:

Risposta in regime permanente (1/6)

= + =( ) ( ) ( ), ( ) ( )x t Ax t Bu t y t C x t

= +( ) ( ) ( )omog partx t x t x t

⎡ ⎤= + = +⎣ ⎦( ) ( ) ( ) ( ) ( )omog omogpart party t C x t x t y t y t

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Come conseguenza dei risultati dell’analisi modale, il termine yomog(t ) è combinazione lineare dei modi propri del sistema ⇒ dipende dagli autovalori λi (A )della matrice di stato A :

Se il sistema è asintoticamente stabile, cioè se tutti gli autovalori hanno Re(λi (A )) < 0, allora:

⇒ per tempi sufficientemente grandi, cioè tende a una risposta in regime permanente


( ) ( )( )

μμ μ μ

λμμ

α

λ ϕ

′′ ′ ′= =

′−′

= =

= +

∑ ∑1 1 , ,e1

,

( ) ( ) ( )

( ) cos m

i

i i i

ii

i

nomog omog i i i

ti i i

y t C x t m t

m t t e tI

→∞=lim ( ) 0omogt

y t

≅( ) ( ),party t y t

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Il termine ypart (t ) dipende sempre dal particolare ingresso u(t ) applicato e, nel caso in cui il sistemadinamico sia asintoticamente stabile, costituisce la risposta in regime permanente cui l’uscita y(t ) tende per tempi sufficientemente grandi:

Se l’ingresso è costante:l’uscita y (t ) del sistema tende all’uscita di equilibrioy se il sistema è asintoticamente stabile (A è infatti invertibile poiché d ) ⇒è costante anche la risposta in regime permanente:

Si può calcolare y anche col teorema del valore finale:


ε= ⋅ ⇒( ) ( )u t u t

−= − 1y CA B u

ε ε−= ⋅ = − 1( ) ( ) ( )party t y t CA B u ty

λ= ≠∏det( ) ( ) 0i iA A

→∞ → →= = = =

0 0lim ( ) lim ( ) lim ( ) (0)t s s

uy y t sY s s H s H us

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Il termine ypart (t ) dipende sempre dal particolare ingresso u(t ) applicato e, nel caso in cui il sistemadinamico sia asintoticamente stabile, costituisce la risposta in regime permanente cui l’uscita y(t ) tende per tempi sufficientemente grandi:

Se l’ingresso è sinusoidale: uè sinusoidale anche la risposta in regime permanentecui tende y (t ) se il sistema è asintoticamente stabile:

essendo H(s ) la funzione di trasferimento del sistema


ω θ ε= + ⇒0 0( ) sin( ) ( )u t u t t

ω ϕ ε

ωϕ ω θ

= +

== +

⋅0

0

0 0

( ) sin( ) ( )

( )arg ( )

party t y t t

y H jH j

u

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Se un sistema dinamico è asintoticamente stabile (oppure esternamente stabile ed in forma minima), la sua risposta y(t ) ad un qualsiasi ingresso u(t ) può quindi essere scomposta in:

Un transitorio iniziale, che risente anche del contributo del termine yomog (t )Una risposta in regime permanente, coincidente con il solo termine ypart (t )

Esempio: dato il sistema BIBO stabile in forma minima

la risposta in regime permanente a u(t ) = 0.5ε(t ) è:


+ += 2

2

0.5 1( )

s sH s

ε ε ε ε= = = ⋅ =( ) ( ) (0) ( ) 2 0.5 ( ) ( )party t y t H u t t t

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-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

y (t )

u (t )

ypart (t )

yomog (t )

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Dato il sistema dinamico in forma minima avente

calcolare, qualora sia possibile, la risposta in regime permanente ad un ingresso costante di ampiezza 2Tutti i poli di H(s ) hanno parte reale strettamente minore di 0, in quanto valgono −2 e −10⇒ il sistema è BIBO stabile nonché in forma minima⇒ il sistema è asintoticamente stabile ⇒ esiste la risposta in regime permanentePoiché u(t ) = uε(t ) = 2ε(t ) ⇒ la risposta a regime è:

Esempio #1

+ +=

1( 2)( 10)

( )s s

H s

ε ε ε ε= = = =1

( ) ( ) (0) ( ) 2 ( ) 0.1 ( )20party t y t H u t t t

u

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calcolare, qualora sia possibile, la risposta in regime permanente all’ingresso u(t ) = 2 sin(0.5t ) ε(t )Il sistema è asintoticamente stabile (v. Esempio #1) ⇒ esiste la risposta in regime permanentePoiché u(t ) = u sin(ω0t +θ0) ε(t ) = 2 sin(0.5t ) ε(t ) ⇒ la risposta in regime permanente è sinusoidale:

Esempio #2 (1/2)

+ +=

1( 2)( 10)

( )s s

H s

u

ω ϕ ε ϕ ε

ωϕ ω θ

= + = +

= ⋅ == + =

0

0

0 0

( ) sin( ) ( ) sin(0.5 ) ( )

( ) 2 ( 0.5)arg ( ) arg ( 0.5)

party t y t t y t t

y H j u H jH j H j

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calcolare, qualora sia possibile, la risposta in regime permanente all’ingresso u(t ) = 2 sin(0.5t ) ε(t )

Esempio #2 (2/2)

+ +=

1( 2)( 10)

( )s s

H s

( ) ( )− − −

− −

= + + = + + =

= = =+ +

1 1 1

1 12 2 2 2

( 0.5) ( 0.5 2)( 0.5 10) 0.5 2 0.5 10

0.5 2 0.5 10 4.25 100.25 0.0484

H j j j j j

[ ]( ) ( ) ( )

( ) ( )

= =+ +

= − + − + == − − = −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1arg ( 0.5) arg( 0.5 2)( 0.5 10)

arg arg 0.5 2 arg 0.5 100 arctan 0.5 2 arctan 0.5 10 0.2949rad

1

H jj j

j j

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calcolare, qualora sia possibile, la risposta in regime permanente ad un ingresso costante di ampiezza 2Il denominatore di H(s ) ha una variazione di segno ⇒ per la regola di Cartesio, H(s ) ha:un polo con parte reale strettamente minore di 0 e un polo con parte reale strettamente maggiore di 0⇒ il sistema non è BIBO stabile⇒ il sistema non solo non è asintoticamente stabile, ma addirittura risulta (internamente) instabile⇒ non esiste una risposta in regime permanente

Esempio #3

+ −= 2

1

6( )

s sH s

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