Fénypont a falon – 5. Legutóbbi írásunkban, a Fénypont a falon című dolgozat - sorozatunk 2. részéhez fűzött Kiegészítés - ben egy az eredeti feladat módosított változatáról írtunk, melyet Hajdu Endre oldott meg, szerkesztő - számító eljárással. Most ezt a feladatot és meg -oldását vesszük át részletesen, mintegy hiánypótlásképpen.

A feladat Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!

1. ábra Itt azt látjuk, hogy egy O ponton átmenő, a rajz síkjára merőleges tengely körül ω = konst. szögsebességgel forog az R hosszúságú kar, melyre egy F fényceruzát szerel -tünk, a karra merőleges tengellyel. A fényceruzából kilépő fénysugár az O - tól d tá -volságra lévő, a forgástengellyel párhuzamos síkot egy P pontban találja el. Meghatározandó a P pont helyzete, sebessége és gyorsulása a t idő függvényében.

A megoldás Feladatunkat kétféleképpen is megoldjuk; elnevezzük ezeket I. és II. megoldásnak. Az I. megoldásnál csak számítással, a II. megoldásnál számítással és szerkesztéssel is dolgozunk. Szerkesztés alatt a sebességi és gyorsulási vektorábrák elkészítését értjük. A megoldás során az eredményeket az idő függvényében állítjuk elő, vagyis az 1. áb -rának megfelelően keressük a P( t ) pont helyzetét, annak v( t ) sebességét és a( t ) gyorsulását. Az 1. ábrán az időszámítás kezdetén – tehát a t = 0 időpontban – előálló helyzetet is feltüntettük.

2

I. Megoldás A közvetlen megoldáshoz tekintsük a 2. ábrát is!

2. ábra A 2. ábra alapján közvetlenül felírhatjuk a P pont elmozdulás - függvényét:

( ) ( )cos sin tg ,x R d Rϕ = ⋅ ϕ − − ⋅ ϕ ⋅ ϕ ( 1 )

a φ szögkoordinátával. Erre a feladat feltételei miatt írható, hogy

( ) ( )0

0

, .

0 ,

t tt t

ϕ = ϕ + ω⋅ → ϕ = ω⋅ϕ =

( 2 )

Most ( 1 ) és ( 2 ) - vel:

( ) ( ) ( ) ( )cos sin tg .x t R t d R t t = ⋅ ω⋅ − − ⋅ ω⋅ ⋅ ω⋅ ( 3 )

A ( 3 ) képlet írja le a P pont x tengely menti elmozdulását, az idő függvényében. Kicsit pontosítva – a P pont helyvektora:

( ) ( ) ,t x t d= ⋅ + ⋅r i j ( 4 )

ahol i , j : az x és y tengely menti egységvektorok.

3

A P pont sebességvektor - függvényét ( 4 ) - ből kapjuk:

( ) ( ) ,d

t x tdt

= = ⋅rv iɺ ( 5 )

ahol az idő szerinti deriválást ponttal is jelöljük. Most a közvetett függvény ismert differenciálási szabálya szerint:

( ) ,dx dx d dx

x tdt d dt d

ϕ= = ⋅ = ⋅ωϕ ϕ

ɺ ( 6 )

majd ( 1 ) - ből:

( ) ( )

( ) 2

2

cos sin tg

1 sin cos tg sin

cos

sin sin sin ,

cos

dx dR d R

d d

R R d R

d RR R

ϕ = ⋅ ϕ − − ⋅ ϕ ⋅ ϕ = ϕ ϕ

= − ⋅ ϕ − − ⋅ ϕ⋅ ϕ + − ⋅ ϕ ⋅ = ϕ

− ⋅ ϕ= − ⋅ ϕ + ⋅ ϕ −ϕ

tehát:

2

sin ;

cos

dx d R

d

− ⋅ ϕ= −ϕ ϕ ( 7 )

most ( 6 ) és ( 7 ) - tel:

( ) ( )( )2

sin ;

cos

d R tx t

t

− ⋅ ϕ= −ω⋅

ϕɺ ( 8 )

majd ( 2 ) és ( 8 ) - cal:

( ) ( )( )2

sin ;

cos

d R tx t

t

− ⋅ ω⋅= −ω⋅

ω⋅ɺ ( 9 )

ezzel a P pont sebesség vektora ( 5 ) és ( 9 ) szerint:

( ) ( )( )2

sin .

cos

d R tt

t

− ⋅ ω⋅= −ω⋅ ⋅

ω⋅v i ( 10 )

A P pont gyorsulásvektor - függvényét ( 10 ) - ből kapjuk:

4

( ) ( ) ( ) .d t

t x tdt

= = ⋅v

a iɺɺ ( 11 )

Most ( 9 ) differenciálásával:

( ) ;dx dx d dx

x tdt d dt d

ϕ= = ⋅ = ⋅ωϕ ϕ

ɺ ɺ ɺɺɺ ( 12 )

majd ( 8 ) - ból, a tört differenciálási szabálya szerint:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

22

2

4

2

3

2

sin

cos

sin ' cos sin cos '

cos

cos cos sin 2 cos sin

cos

cos sin 2 sin

cos

cos 2 sin si

dx d d R

d d

d R d R

R d R

R d R

R d R

− ⋅ ϕ= −ω⋅ = ϕ ϕ ϕ

− ⋅ ϕ ⋅ ϕ − − ⋅ ϕ ⋅ ϕ= −ω⋅ =

ϕ

− ⋅ ϕ⋅ ϕ − − ⋅ ϕ ⋅ ⋅ ϕ⋅ − ϕ= −ω⋅ =

ϕ⋅ ϕ + − ⋅ ϕ ⋅ ⋅ − ϕ

= ω⋅ =ϕ

⋅ ϕ − ⋅ ϕ⋅ − ⋅= ω⋅

ɺ

( )

( ) ( )

( )

2 2

3 3

2 2 2

3 3

2

3

n cos 2 sin 2 sin

cos cos

1 sin 2 sin 2 sin 1 sin 2 sin

cos cos

2 sin 1 sin ,

cos

R d R

R R d R d

d R

ϕ ⋅ ϕ − ⋅ ⋅ ϕ + ⋅ ⋅ ϕ= ω⋅ =ϕ ϕ

⋅ − ϕ + ⋅ ⋅ ϕ − ⋅ ⋅ ϕ ⋅ + ϕ − ⋅ ⋅ ϕ= ω⋅ = ω⋅ =

ϕ ϕ

⋅ ⋅ ϕ − ⋅ + ϕ= −ω⋅

ϕ tehát:

( )2

3

2 sin 1 sin ;

cos

d Rdx

d

⋅ ⋅ ϕ − ⋅ + ϕ= −ω⋅

ϕ ϕɺ

( 13 )

majd ( 12 ) és ( 13 ) - mal:

( )2

23

2 sin 1 sin ,

cos

d Rx

⋅ ⋅ ϕ − ⋅ + ϕ= −ω ⋅

ϕɺɺ ( 14 )

ezután ( 2 ) és ( 14 ) - gyel a skaláris gyorsulás - függvény:

5

( ) ( ) ( )( )

2

23

2 sin 1 sin .

cos

d t R tx t

t

⋅ ⋅ ω⋅ − ⋅ + ω⋅ = −ω ⋅ω⋅

ɺɺ ( 15 )

Végül ( 11 ) és ( 15 ) - tel a P pont gyorsulásvektora:

( ) ( ) ( )( )

2

23

2 sin 1 sin .

cos

d t R tt

t

⋅ ⋅ ω⋅ − ⋅ + ω⋅ = −ω ⋅ ⋅ω⋅

a i ( 16 )

Számpélda

Adatok – átvéve Hajdu Endrétől – : R = 2 cm, d = 6 cm, ω = π / 6 rad / s, t* = 3 / 2 s. ( A ) Eredmények:

( )( )( ) 2

3,17 cm ;

4,80 cm/s ;

4,25 cm/s .

x t

v t

a t

∗ ≅ −∗ ≅ − ∗ ≅ −

( 17 )

Ezek közül a 2. és a 3. jól egyezik – az előjeltől eltekintve – Hajdu Endre eredménye -ivel; az 1. természetesen nem, mert itt másként vettük fel az alaphelyzetet.

II. Megoldás A közvetett megoldáshoz felfrissítjük a Mechanikában tanultakat. Ehhez segítségül hívjuk az [ 1 ] munkát is. Ebben a tankönyvben viszonylag kevés matematikával, a fizikai szemlélet alapján, egyszerűen, érthetően levezetik az itt is használatba veendő összefüggéseket. A probléma lényege: egy térbeli mozgás legfőbb jellemzőinek leírása egy K nyugvó, és a hozzá képest tetszőlegesen mozgó K’ koordi - náta - rendszerben. Ehhez tekintsük a 3. ábrát is!

3. ábra – forrása: [ 1 ]

6

Felírják, illetve levezetik az alábbi összefüggéseket ~ a P pont térbeli helyvektorára:

,0r = r + r' ( a ) ~ sebességekre:

,0 fv = v + v + v' ( b ) ~ a gyorsulásokra:

( ) ;⋅0a = a + a'+ 2 ω× v'+ω× ω×r' + ω×r'ɺ ( c )

az alkalmazott jelölések:

~ 0r : az 'OO�����

helyvektor;

~r' : az 'O P�����

helyvektor;

~ 0v : a K’ rendszernek a K - ra vonatkoztatott transzlációs sebessége;

~ fv : az O’ ponton átmenő, tetszőleges állású forgástengely körül végzett, ω szög - sebességű forgás sebessége;

~ v' : a K’ - höz képesti mozgás ( relatív ) sebessége;

~ 0a : a K’ rendszernek a K - ra vonatkoztatott transzlációs gyorsulása;

~ a' : a P pont K’ - ben mért ( relatív ) gyorsulása;

~ ⋅ = C2 ω× v' a : a Coriolis - gyorsulás;

~ ( ) = cpω× ω×r' a : a centripetális gyorsulás (v.ö.: [ 2 ]! );

~ ω×r'ɺ : a szöggyorsulásból származó gyorsulás. Megjegyzések: M1. Némi meglepetést okozhat, hogy a magyar nyelvű szakirodalomban kerülik a centripetális gyorsulás elnevezés használatát a relatív mozgás kinematikájában. A [ 3 ] alapvető tankönyvben ennek ellentettjét nevezik meg, centrifugális gyorsu -lásként. M2. Rendszerint úgy járnak el a szerzők, hogy csoportosítják a ( b ) és a ( c ) képletek tagjait, majd e csoportoknak adnak külön nevet, az alábbiak szerint:

~ ( b ) - ből: ( ) ,=0 f sz relv = v + v + v' v + v

tehát:

;sz relv = v + v ( d )

7

vagyis a P pont abszolút sebessége egyenlő a szállító / vezetési és a relatív sebességek vektori összegével; ~ ( c ) - ből:

( )( )( )

=

= ,

⋅

+ + + + ⋅ = C

0

0 sz rel

a = a + a'+ 2 ω× v'+ω× ω×r' + ω×r'

a ω×r' ω× ω×r' a' 2 ω× v' a + a + a

ɺ

ɺ

tehát:

;= Csz rela a + a + a ( e )

vagyis a P pont abszolút gyorsulása egyenlő a szállító / vezetési, a relatív és a Coriolis - gyorsulás vektori összegével. Feladatunk szempontjából több egyszerűsítés is lehetséges, az általános esethez képest. Esetünkben fennáll, hogy

, , , = = =0 0v 0 a 0 ω 0ɺ ( f ) így a maradó képletek az alábbiak: ~ a sebességekre:

,

= ,

' ;

d

dt

= = =

sz rel

sz f

rel

v = v + v

v v ω×r'

r'v v'

( g )

~ a gyorsulásokra:

( ) ,

,

2 ,

' .

d

dt

=

= = ⋅= =

C

C

sz rel

sz

rel

relrel

a a + a + a

a ω× ω×r'

a ω× v

va a'

( h )

A d’ ( ) / dt jelölés azt jelenti, hogy a K’ - re vonatkozó differenciálásról van szó, vagyis amikor K’ egységvektorai rögzítettek. M3. A vsz , asz, tehát az „sz” indexű vektor - jelölések elnevezései a műszaki mechanikában honos „ szállító”, míg az elméleti mechanikában rögzült „vezetési” jelzőkre utalnak. M4. A Coriolis - gyorsulást néha kis c - vel írják, legalábbis indexben – [ 4 ]. M5. A sebességek és a gyorsulások indexeit leginkább alul helyezik el.

8

Ezek után visszatérhetünk feladatunkhoz. A folytatáshoz tekintsük a 4. ábrát is!

4. ábra Itt azt látjuk, hogy külön feltüntettük a nyugvó Oxy, valamint az ω = konst. szögsebességgel forgó O1x1y1 derékszögű koordináta - rendszereket. Megemlítjük, hogy a mozgó rendszert itt nem vesszővel, hanem „1” lábindexszel különböztetjük meg az állótól. A P fénypont helyvektora a mozgó rendszerben, r’ ≡ r 1

P - vel:

1 1 ,P Px y= ⋅ + ⋅P1 1 2r e e ( 18 )

ahol a 4. ábra szerint is:

( )

( ) ( )( )

1

1

,

sin .

cos

P

P

x t R

d R ty t

t

=

− ⋅ ω⋅ = ω⋅

( 19 )

A forgó és az álló egységvektorok közötti összefüggések – 5. ábra:

5. ábra

( ) ( )( ) ( )

cos sin ,

sin cos .

t t

t t

= ω⋅ ⋅ + ω⋅ ⋅

= − ω⋅ ⋅ + ω⋅ ⋅

1

2

e i j

e i j ( 20 )

9

Most ( 18 ) és ( 19 ) - cel:

( ) ( )( )sin

.cos

d R tt R

t

− ⋅ ω⋅= ⋅ + ⋅

ω⋅P1 1 2r e e ( 21 )

Majd a ( g / 4) és ( 21 ) képletekkel a relatív sebesség:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )

2

2 2

2 2

' sin

cos

cos cos sin sin

cos

cos sin sin sin =

cos cos

sin =

cos

d t d R td

dt dt t

R t t d R t t

t

R t R t d t R d t

t t

d t R

− ⋅ ω⋅= = ⋅ = ω⋅

− ⋅ ω⋅ ⋅ ω⋅ − − ⋅ ω⋅ ⋅ − ω⋅= ⋅ω⋅ =

ω⋅

⋅ ω⋅ + ⋅ ω⋅ − ⋅ ω⋅ − ⋅ ω⋅= − ⋅ω⋅ = − ⋅ω⋅

ω⋅ ω⋅

⋅ ω⋅ −⋅ω⋅

P1

rel 2

2

2 2

2

rv e

e

e e

e( )2

,tω⋅

tehát:

( ) ( )( )2

sin .

cos

d t Rt

t

⋅ ω⋅ −= ω⋅ ⋅

ω⋅rel 2v e ( 22 )

Másképpen:

( ) ( )

( ) ( )( )2

,

sin .

cos

rel

rel

t v t

d t Rv t

t

= ⋅

⋅ ω⋅ − = ω⋅ ω⋅

rel 2v e

( 23 )

Számszerűen, az ( A ) adatokkal és ( 23 ) - mal:

( ) 2,35 cm / s .relv t∗ ≅ ( E 1 / 1 )

Ez jól egyezik Hajdu Endre megfelelő eredményével. Továbbá ( 23 / 1 ) és ( E 1 / 1 ) - gyel:

( ) 2,35 cm / s .t ∗ = ⋅rel 2v e ( E 1 / 2 )

Most a ( g / 2 ) és a ( 21 ) képletekkel a szállító sebesség:

10

( ) 1 1 1 1 ;P P P Pt x y x y = = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ P

sz 1 1 2 1 2v ω×r ω× e e ω×e ω×e ( 24 )

most figyelembe vesszük, hogy a 6. ábra szerint is:

6. ábra így ( 24 ) és ( 25 ) - tel:

( ) ( )1 1 1 1 .P P P Px y y x= ⋅ω⋅ + ⋅ −ω⋅ = ω⋅ − ⋅ + ⋅sz 2 1 1 2v e e e e ( 26 )

( 24 ) első egyenlőségéből közvetlenül kiolvasható, hogy

.⊥ Psz 1v r ( 27 )

Most ( 19 ) és ( 26 ) - tal a szállító sebesség vektora:

( ) ( )( )sin

.cos

d R tt R

t

− ⋅ ω⋅= ω⋅ − ⋅ + ⋅ ω⋅

sz 1 2v e e ( 28 )

E vektor nagysága / abszolút értéke:

( )( )

( )( )

2 2

2 2sz

sin sinv 1 ,

cos cos

d R t d R tR R

t R t

− ⋅ ω⋅ − ⋅ ω⋅= = ω⋅ + = ⋅ω⋅ + ω⋅ ⋅ ω⋅

szv

tehát:

( ) ( )( )

2

sz

sinv 1 .

cos

d R tt R

R t

− ⋅ ω⋅= ⋅ω⋅ + ⋅ ω⋅

( 29 )

Számszerűen, az ( A ) adatokkal és ( 29 ) - cel:

( )szv 3,55 cm / s ,t ∗ ≅ ( E 2 )

egyezésben Hajdu Endre megfelelő eredményével.

,

,

= ω⋅ = ω⋅ = ω⋅ = −ω⋅

1 3 1 2

2 3 2 1

ω×e e ×e e

ω×e e ×e e ( 25 )

11

A t = t* időpontra vonatkozó sebességi pillanatkép szerkesztését az ( E 1 / 2 ), ( 27 ) és ( E 2 ) eredmények szerint lehet elvégezni, ahogyan azt az előző dolgozatban már láttuk Hajdu Endre ábráin, ahol a gyorsulási pillanatkép is megszemlélhető. A relatív gyorsulás kifejezését ( h / 4 ) és ( 22 ) szerint írjuk fel:

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

2 2

22

4

22

sin sin' '

cos cos

cos cos sin 2 cos sin

cos

cos sin 2 sin

d t R d t Rd d d

dt dt t dt t

d t t d t R t t

t

d t d t R

⋅ ω⋅ − ⋅ ω⋅ −= = ω⋅ ⋅ = ω⋅ ⋅ = ω⋅ ω⋅

⋅ ω⋅ ⋅ ω⋅ − ⋅ ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ ⋅ − ω⋅ = ω ⋅ ⋅ =ω⋅

⋅ ω⋅ − ⋅ ω⋅ − ⋅ ⋅ − = ω ⋅ ⋅

relrel 2 2

2

2

va e e

e

e( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

3

2 22

3

2 2

23

2

23

cos

cos 2 sin 2 sin

cos

1 sin 2 sin 2 sin

cos

1 sin 2 sin ,

cos

t

t

d t d t R t

t

d t d t R t

t

d t R t

t

ω⋅ =ω⋅

⋅ ω⋅ + ⋅ ⋅ ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅= ω ⋅ ⋅ =

ω⋅

⋅ − ω⋅ + ⋅ ⋅ ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ = ω ⋅ ⋅ =ω⋅

⋅ + ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ = ω ⋅ ⋅ω⋅

2

2

2

e

e

e

tehát:

( ) ( ) ( )( )

2

23

1 sin 2 sin .

cos

d t R tt

t

⋅ + ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ = ω ⋅ ⋅ω⋅rel 2a e ( 30 )

Másképpen:

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

2

23

,

1 sin 2 sin .

cos

rel

rel

t a t

d t R ta t

t

= ⋅

⋅ + ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ = ω ⋅ ω⋅

rel 2a e

( 31 )

Számszerűen, az ( A ) adatokkal és ( 31 ) - gyel:

( ) 24,79 cm / s ;rela t∗ ≅ ( E 3 / 1 )

majd ( 31 / 1 ) és ( E 3 / 1 ) - gyel:

( ) 24,79 cm / s .t ∗ = ⋅rel 2a e ( E 3 / 2 )

Az ( E 3 / 1 ) eredmény jól egyezik a Hajdu Endre ábrájáról lemérhető eredménnyel.

12

A Coriolis - gyorsulás kifejezését ( h / 3 ) és ( 23 ) szerint írjuk fel:

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

22

2 2 2

sin 2 2 ,

cos

rel rel

rel

v t v t

d t Rv t

t

= ⋅ = ⋅ω⋅ ⋅ = ⋅ω⋅ ⋅ =

⋅ ω⋅ −= ⋅ω⋅ ⋅ − = − ⋅ω ⋅ ⋅

ω⋅

C rel 3 2 3 2

1 1

a ω× v e × e e ×e

e e

tehát:

( ) ( )( )

22

sin2 .

cos

d t Rt

t

⋅ ω⋅ −= − ⋅ω ⋅ ⋅

ω⋅C 1a e ( 32 )

Másképpen:

( ) ( )( )

22

,

sin2 .

cos

c

c

a

d t Ra t

t

= ⋅

⋅ ω⋅ − = − ⋅ω ⋅ ω⋅

C 1a e

( 33 )

Számszerűen, az ( A ) adatokkal és ( 33 / 2 ) - vel:

( ) 22,46 cm / s ;ca t∗ ≅ − ( E 4 / 1 )

ez – az előjeltől eltekintve – jól egyezik Hajdu Endre megfelelő részeredményével. Majd ( 33 / 1 ) és ( E 4 / 1 ) - gyel:

( ) 22,46 cm / s .t ∗ = − ⋅C 1a e ( E 4 / 2 )

A szállító gyorsulás kifejezését ( h / 2 ), ( 18 ) és ( 26 ) alapján írjuk fel:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

1 1

2 21 1 1 1

2 2 21 1 1 1

,

P P

P P P P

P P P P

y x

y x y x

y x x y

= = = ω⋅ ω⋅ − ⋅ + ⋅ =

= ω ⋅ − ⋅ + ⋅ = ω ⋅ − ⋅ + ⋅ =

= ω ⋅ − ⋅ − ⋅ = −ω ⋅ ⋅ + ⋅ = −ω ⋅

Psz 1 sz 3 1 2

3 1 2 3 1 3 2

P2 1 1 2 1

a ω× ω×r ω× v e × e e

e × e e e ×e e ×e

e e e e r

tehát: 2 .= −ω ⋅ P

sz 1a r ( 34 ) Ezután ( 18 ), ( 19 ) és ( 34 ) - gyel:

( )( )

2 sin ,

cos

d R tR

t

− ⋅ ω⋅= −ω ⋅ ⋅ + ⋅ ω⋅

sz 1 2a e e ( 35 )

13

majd képezve az abszolút értékét:

( )( )

( )( )

2

2 2 2sz

2

2

sina

cos

sin 1 ,

cos

d R tR

t

d R tR

R t

− ⋅ ω⋅= = = ω ⋅ + = ω⋅

− ⋅ ω⋅= ⋅ω ⋅ + ⋅ ω⋅

sz sza a

tehát:

( )( )

2

2sz

sina 1 .

cos

d R tR

R t

− ⋅ ω⋅= ⋅ω ⋅ + ⋅ ω⋅

( 36 )

Számszerűen, az ( A ) adatokkal és ( 36 ) - tal:

2sza 1,86 cm / s ;= ( E / 5 / 1 )

ez jól egyezik Hajdu Endre megfelelő eredményével. Az abszolút sebesség - és gyorsulásvektorok a ( d ) és ( e ) összegzési képletek szerint adódnak. Most elvégezzük ezeket az összegzéseket. Azt várjuk, hogy a ( 10 ) és ( 16 ) eredmények álljanak így is elő. Először: ( d ), ( 22 ) és ( 28 ) - cal:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2

2

sin sin

cos cos

sin sin ,

cos cos

d R t d t RR

t t

d R t d t RR

t t

− ⋅ ω⋅ ⋅ ω⋅ −ω⋅ − ⋅ + ⋅ ω⋅ ⋅ = ω⋅ ω⋅

− ⋅ ω⋅ ⋅ ω⋅ − = ω⋅ ⋅ − + ⋅ + ω⋅ ω⋅

1 2 2

1 2

v = e e + e

e e

tehát:

( )( )

( )( )2

sin sin .

cos cos

d R t d t RR

t t

− ⋅ ω⋅ ⋅ ω⋅ − ω⋅ ⋅ − + ⋅ + ω⋅ ω⋅ 1 2v = e e ( 37 )

Most ( 20 ) és ( 37 ) - tel:

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )2

sincos sin

cos

sin sin cos ;

cos

d R tt t

t

d t RR t t

t

− ⋅ ω⋅ = − ⋅ ω⋅ ⋅ + ω⋅ ⋅ + ω ω⋅

⋅ ω⋅ − + + ⋅ − ω⋅ ⋅ + ω⋅ ⋅ ω⋅

vi j

i j

14

ezt tovább rendezve:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

sin sincos sin

cos cos

sin sin sin cos ;

cos cos

d R t d t Rt R t

t t

d R t d t Rt R t

t t

− ⋅ ω⋅ ⋅ ω⋅ − = ⋅ − ⋅ ω⋅ − + ⋅ ω⋅ + ω ω⋅ ω⋅

− ⋅ ω⋅ ⋅ ω⋅ −+ ⋅ − ⋅ ω⋅ + + ⋅ ω⋅ ω⋅ ω⋅

vi

j ( 38 )

az egyszerűbb írásmód kedvéért az egységvektorok szorzóit külön számítjuk ki:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

2

2

2 2 2

2 2 2

sin sincos sin

cos cos

sin sin sin sin

cos

sin sin cos sin sin 1

cos cos cos c

i

d R t d t Rs t R t

t t

d t Rd R t R t t

t

t t t t td R d R

t t t

− ⋅ ω⋅ ⋅ ω⋅ −= − ⋅ ω⋅ − + ⋅ ω⋅ = ω⋅ ω⋅

⋅ ω⋅ − = − − ⋅ ω⋅ − ⋅ ω⋅ − ⋅ ω⋅ = ω⋅

ω⋅ ω⋅ ω⋅ + ω⋅ ω⋅= − ⋅ + + ⋅ = − ⋅ + ⋅ ω⋅ ω⋅ ω⋅ ( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

2

2 2 2 2

os

sin sin sin1 ,

cos cos cos cos

t

t d R t d R td R

t t t t

=ω⋅

ω⋅ − + ⋅ ω⋅ − ⋅ ω⋅= − ⋅ + ⋅ = = −

ω⋅ ω⋅ ω⋅ ω⋅tehát:

( )( )2

sin .

cosi

d R ts

t

− ⋅ ω⋅= −

ω⋅ ( 39 )

Hasonlóképpen:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

2

2 2

2 2

sin sinsin cos

cos cos

sin sin sin cos

cos cos

sin sin cos sin

cos

sin cos

cos

j

d R t d t Rs t R t

t t

d R t d t Rt R t

t t

d t R t R t d t R

t

R t R t R

t

− ⋅ ω⋅ ⋅ ω⋅ −= − ⋅ ω⋅ + + ⋅ ω⋅ = ω⋅ ω⋅

− ⋅ ω⋅ ⋅ ω⋅ −= − ⋅ ω⋅ + ⋅ ω⋅ + =

ω⋅ ω⋅

− ⋅ ω⋅ + ⋅ ω⋅ + ⋅ ω⋅ + ⋅ ω⋅ −= =

ω⋅

⋅ ω⋅ + ⋅ ω⋅ −=

ω⋅( ) ( )

( )

( )

2 2sin cos

cos

0 ,cos

R t t R

t

R R

t

⋅ ω⋅ + ω⋅ − = =ω⋅

−= =ω⋅

tehát: 0 .js = ( 40 )

15

Most ( 38 ), ( 39 ) és ( 40 ) - nel:

( ) ( )( )

( )( )

2

2

sin0

cos

sin ,

cos

i j i j

d R ts s v v

t

d R t

t

− ⋅ ω⋅= ω⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = −ω⋅ ⋅ + ⋅ =

ω⋅

− ⋅ ω⋅= −ω⋅ ⋅

ω⋅

v i j i j i j

i

tehát:

( ) ( )( )2

sin ,

cos

d R tt

t

− ⋅ ω⋅= −ω⋅ ⋅

ω⋅v i ( 41 )

megegyezésben ( 10 ) - zel. ☺ Másodszor: az ( e ), ( 28 ), ( 30 ), ( 32 ) - vel:

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

2

2

23

22

sin

cos

1 sin 2 sin

cos

sin 2 ;

cos

d R tR

t

d t R t

t

d t R

t

− ⋅ ω⋅= −ω ⋅ ⋅ + ⋅ + ω⋅

⋅ + ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ + ω ⋅ ⋅ −ω⋅

⋅ ω⋅ −− ⋅ω ⋅ ⋅

ω⋅

1 2

2

1

a e e

e

e

( 42 )

csoportosítva:

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

2

2 3 2

2

2 3

1 sin 2 sinsin sin2

cos cos cos

1 sin 2 sinsin sin 2

cos cos cos

d t R td R t d t RR

t t t

d t R td t R d R tR

t t t

⋅ + ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ − ⋅ ω⋅ ⋅ ω⋅ − = − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ = ω ω⋅ ω⋅ ω⋅

⋅ + ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ ⋅ ω⋅ − − ⋅ ω⋅ = ⋅ − − ⋅ + ⋅ − + ω⋅ ω⋅ ω⋅

1 2 2 1

1 2

ae e e e

e e ;

( 43 ) segédjelöléseket bevezetve:

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

2

2

3

sin2 ,

cos

1 sin 2 sinsin .

cos cos

d t RA R

t

d t R td R tB

t t

⋅ ω⋅ −= − − ⋅ ω⋅

⋅ + ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅− ⋅ ω⋅ = − + ω⋅ ω⋅

( 44 )

majd ( 43 ) és ( 44 ) szerint:

16

2 ;A B= ⋅ + ⋅

ω 1 2

ae e ( 45 )

ezután ( 20 ) és ( 45 ) - tel:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2

cos sin sin cos

cos sin sin cos ,

A t t B t t

A t B t A t B t

= ⋅ ω⋅ ⋅ + ω⋅ ⋅ + ⋅ − ω⋅ ⋅ + ω⋅ ⋅ = ω = ⋅ ⋅ ω⋅ − ⋅ ω⋅ + ⋅ ⋅ ω⋅ + ⋅ ω⋅

ai j i j

i j

tehát:

( ) ( ) ( ) ( )2cos sin sin cos .A t B t A t B t = ⋅ ⋅ ω⋅ − ⋅ ω⋅ + ⋅ ⋅ ω⋅ + ⋅ ω⋅ ω

ai j ( 46 )

További egyszerűsítő jelölések bevezetésével:

( ) ( )( ) ( )

2 ,

cos sin ,

sin cos .

i j

i

j

S S

S A t B t

S A t B t

= ⋅ + ⋅ ω= ⋅ ω⋅ − ⋅ ω⋅ = ⋅ ω⋅ + ⋅ ω⋅

ai j

( 47 )

Most ( 44 ) és ( 47 / 2 ) - vel: ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

3

2

cos sin

sin2 cos

cos

1 sin 2 sinsinsin

cos cos

sin sincos 2 cos sin

cos cos

1 sin

iS A t B t

d t RR t

t

d t R td R tt

t t

d t R d R tR t t t

t t

d

= ⋅ ω⋅ − ⋅ ω⋅ =

⋅ ω⋅ −= − − ⋅ ⋅ ω⋅ − ω⋅

⋅ + ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅− ⋅ ω⋅ − − + ⋅ ω⋅ = ω⋅ ω⋅

⋅ ω⋅ − − ⋅ ω⋅= − ⋅ ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ + ⋅ ω⋅ −

ω⋅ ω⋅

⋅ +−

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2

3

2

3

2 sinsin

cos

sin sincos 2 sin

cos cos

1 sin 2 sinsin ;

cos

t R tt

t

d t R d R tR t t

t t

d t R tt

t

ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ ⋅ ω⋅ =ω⋅

⋅ ω⋅ − − ⋅ ω⋅= − ⋅ ω⋅ − ⋅ + ⋅ ω⋅ −

ω⋅ ω⋅

⋅ + ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ − ⋅ ω⋅ω⋅

folytatva az átalakításokat:

17

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

2 2

2

3

2 2

2

3

cos 2 sin 2 sin sin

cos

1 sin 2 sinsin

cos

cos sin 2 2 sin sin

cos

1 sin 2 sinsin

cos

sin

i

R t d t R d t R tS

t

d t R tt

t

R t t R d t d t

t

d t R tt

t

R d

− ⋅ ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ + ⋅ + ⋅ ω⋅ − ⋅ ω⋅= −

ω⋅

⋅ + ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ − ⋅ ω⋅ =ω⋅

− ⋅ ω⋅ + ω⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ + ⋅ ω⋅ = −ω⋅

⋅ + ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ − ⋅ ω⋅ =ω⋅

− ⋅=

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

2 2

3

2 2 2

3

2 2 3 2

3

2

1 sin sin 2 sin

cos cos

sin cos 1 sin sin 2 sin

cos

cos sin cos sin sin 2 sin

cos

1 sin 2 s

d t t R tt

t t

R d t t d t t R t

t

R t d t t d t d t R t

t

R t

⋅ + ω⋅ ⋅ ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ω⋅ − =ω⋅ ω⋅

− ⋅ ω⋅ ⋅ ω⋅ − ⋅ + ω⋅ ⋅ ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ = =ω⋅

⋅ ω⋅ − ⋅ ω⋅ ⋅ ω⋅ − ⋅ ω⋅ − ⋅ ω⋅ + ⋅ ⋅ ω⋅= =

ω⋅

⋅ − ω⋅ + ⋅=

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 2 2

3

2

3

in sin cos 1 sin

cos

1 sin 2 sin ,

cos

t d t t t

t

R t d t

t

ω⋅ − ⋅ ω⋅ ⋅ ω⋅ + + ω⋅ =ω⋅

⋅ + ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ =ω⋅

tehát:

( ) ( )( )

2

3

1 sin 2 sin .

cosi

R t d tS

t

⋅ + ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ =ω⋅ ( 48 )

Hasonlóképpen ( 44 ) és ( 47 / 3 ) - mal:

( ) ( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

2

2

3

sin cos

sin2 sin

cos

1 sin 2 sinsincos ;

cos cos

jS A t B t

d t RR t

t

d t R td R tt

t t

= ⋅ ω⋅ + ⋅ ω⋅ =

⋅ ω⋅ −= − − ⋅ ⋅ ω⋅ + ω⋅

⋅ + ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅− ⋅ ω⋅ + − + ⋅ ω⋅ ω⋅ ω⋅

folytatva az átalakításokat:

18

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

2

2

2

2

2

2

2

sinsin 2 sin

cos

1 sin 2 sinsin

cos

sinsin sin 2 sin

cos

1 sin 2 sin

cos

sin2 si

cos

j

d t RS R t t

t

d t R td R t

t

d t RR t R t d t

t

d t R t

t

d t Rd

t

⋅ ω⋅ −= − ⋅ ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ −

ω⋅

⋅ + ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ − − ⋅ ω⋅ + = ω⋅

⋅ ω⋅ −= − ⋅ ω⋅ + ⋅ ω⋅ − − ⋅ ⋅ ω⋅ +

ω⋅

⋅ + ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ + =ω⋅

⋅ ω⋅ −= − − ⋅ ⋅

ω⋅( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2

2

1 sin 2 sinn

cos

cos 2 sin 2 sin sin 2 sin

cos

cos 2 sin 1 sin 2 sin 2 sin

cos

cos 1 sin

cos

d t R tt

t

d t d t R t d d t R t

t

d t t t R t R t

t

d t t

⋅ + ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ ω⋅ + =ω⋅

− ⋅ ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ + ⋅ ⋅ ω⋅ + + ⋅ ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅= =

ω⋅

⋅ − ω⋅ − ⋅ ω⋅ + + ω⋅ + ⋅ ⋅ ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ = =ω⋅

⋅ − ω⋅ + − ω⋅ =ω⋅( ) 0 ,

t=

tehát:

0 .jS = ( 49 )

Most ( 47 / 1 ), ( 48 ) és ( 49 ) - cel:

( ) ( )( )

2

2 3

1 sin 2 sin0 ,

cosi j

R t d tS S

t

⋅ + ω⋅ − ⋅ ⋅ ω⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ω ω⋅a

i j i j

innen:

( ) ( ) ( )( )

2

23

2 sin 1 sin ,

cos

d t R tt

t

⋅ ⋅ ω⋅ − ⋅ + ω⋅ = −ω ⋅ ⋅ω⋅

a i ( 50 )

egyezésben ( 16 ) - tal. ☺ Ezzel jelen dolgozatunkat befejeztük, mivel mostanra már az előző dolgozat mind -egyik – korábban esetleg nem eléggé megvilágított – részletére fény derülhetett. Emlékeztetünk arra a sajátos körülményre, hogy ~ a fénypontnak nincs tömege, valamint ~ a fény terjedési sebessége sokkal nagyobb az itteni sebességeknél.

19

Javasoljuk, hogy az Olvasó önállóan végezze el a már többször emlegetett sebesség - és gyorsulásábrák, azaz pillanatképek szerkesztését, a bemutatottak alapján! Itt „puskázni” is lehet – 7. ábra, melyet Hajdu Endrének köszönünk meg.

7. ábra Jó munkát! Irodalom: [ 1 ] – Nagy Károly: Elméleti mechanika Tankönyvkiadó, Budapest, 1985., 65. ~ 67. o. [ 2 ] – L. G. Lojcjanszkij ~ A. I. Lurje: Kursz teoreticseszkoj mehaniki,

Tom I.: Sztatika i kinematika 8. kiadás, Nauka, Moszkva, 1982., 277. o. [ 3 ] – Budó Ágoston: Mechanika 5. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1972, 71. o. [ 4 ] – Szerk.: M. Csizmadia Béla ~ Nándori Ernő: Mechanika mérnököknek Mozgástan Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1997. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2014. január 3.