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FisicaSperimentaleNucleareeSubnucleare

AA2019/2020,UniTS

MonteCarlo- VProf.MarinaCobal

UniversitàdiUdineeINFNTrieste

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Definizione

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Definizione

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Definizione

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Ilmetodo MonteCarlo

• Unatecnicanumericapercalcolareleprobabilitàelerelativequantitàusandosequenzedinumericasuali.

• Sequenzaoperazioni:1. Sigeneralasequenzar1,r2,...,rm uniformein[0,1].2. Siutilizzaquestasequenzaperprodurreun'altrasequenzax1,x2,

...,xn distribuitasecondoalcunipdff (x)acuisiamointeressati(xpuòessereunvettore).

3. Siutilizzanoivalorixperstimarealcuneproprietàdif (x),adesempiolafrazionedivalorixcona<x<bdà→CalcoloMC=integrazione(almenoformalmente)

• ValorigeneratidaMC="datisimulati"→utilizzatipertestareleprocedurestatistiche

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Esempio:stima delp

• Sesi è dei giocatori scadenti difreccette,esi vuole colpire la

regione blu adestra,si vedrà che ditutte lefreccette che

colpiscono il quadrato disegnato,quelleche colpiranno l’area blu

nella figura asnistra saranno proporzionali all’area blu.

# @ABCCBDDB EF ABGEHFB IJK

# @ABCCBDDB EF LKMNAMDH=MABM NBJJM ABGEHFB IJK

MABM LKMNAMDH

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Esempio:stima delp

# /01221331 45 0164751 89:# /01221331 45 ;:<=0<37 =

?@ p 0A0A

p =4# /01221331 45 0164751 89:# /01221331 45 ;:<=0<37

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Esempio:stima delp

(x, y)

• x=(random)y=(random)

• distanza =sqrt(x^2+y^2)• Seladistanza dall’origine è <=r->hits=hits+1.0

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Esempio:stima delp

(x, y)

• Con105 puntisiottengonoleprimeduecifredecimali.• Conunmiliardodipuntiprecisioneallaquartacifradecimale,(tempo~55secondi.)

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Storiadelmetodo MonteCarlo

(x, y)

• Dadoveprende il suo nome lasimulazione MonteCarlo?o Ilnome egli sviluppi delMonteCarlosi fanno risalire al1940,

nell’ambito delProgetto Manhattano Maanche primac’erano stati degli approcci almetodo

• Nella2ndametà del18esimosecolo,diversepersoneeffettuarono esperimenti incuigettavano casualmente unagodilungjhezza l su unpianoconlineparallele ecalcolavan laprobabilità che l’ago toccasse una delle line(agodiBuffon)o Ilproblma si poteva risolvere conlageometria integrale,evidenziando

dipendeza dapo Utilizzato comeMonteCarloperinferire il valore dip -

• x=distanzacentroago– lineavicina• Funzionedidensitàdiprob.dix:

• Funzionedidensitàdiprob.diq: tra0ep/2

• xe q: variabilialeatorieindipendenti->densitàdiprob totale:

• L’agoattraversalalinease:

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Storiadelmetodo MonteCarlo

(x, y)fra0et/2

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Storiadelmetodo MonteCarlo

(x, y)• Integrandolaf(x,q)sihalaprob.p chel’agoattraversiunalinea• Se t>=l,

• Siricavaquindi: cioè

conn=#esperimentiem=#esperimenticonintersezione

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Storiadelmetodo MonteCarlo

(x, y)

• Nel1850 Wolf lanciò5000aghiconunrapportol/t=0,8 e trovò2532intersezioni,

• p =3,15955conerrore0,57%

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Storiadelmetodo MonteCarlo

(x, y)

• Goal:generarevaloriuniformementedistribuitiin{0,1}/o Lanciareunamoneta,peresempioperunnumerocon32

bit.(stancante).→‘generatoredinumerirandom’=algoritmosucomputerpergenerarer1,r2,...,rn.

• Esempio:multiplicative linearcongruential generator(MLCG)ni+1=(ani)mod m,doveni=interoa=moltiplicatorem=modulon0=seed (valoreiniziale)N.B.mod =modulo(resto),e.g.27mod 5=2.o Questaproceduraproduceunasequenzadinumeri:n0,n1,...

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Generatori dinumerirandom

(x, y)

• Sfortunatamente lasequenzaèperiodica!

Esempio:a=3,m=7,n0=1

• Siscelgonoa,mperottenereperiodilunghi(massimo=

m- 1);mdisolitoèvicinoalpiùgrandeinterochepuò

essereappresentatonelcomputer.

• Siutilizzapoisolounsottoinsiemediunsoloperiodo

dellasequenza

Lasequenzasiripete!

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Generatori dinumerirandom

(x, y)

• ri=ni/m sonocompresiin[0,1]masono«random»?• Siscelganoa,mcosìcheri passivaritestdicasualità:

o DistribuzioneUniformein[0,1]o Valoriindipendenti(nessunacorrelazionetralecoppie)

• Disponibiligeneratorimigliori,e.g.TRandom3,basatosultwister algorithm diMarsenne ,diperiodo=219937 – 1.

•F.James,Comp.Phys.Comm.60(1990)111;BrandtCh.4

• L’Ecuyer,Commun.ACM31(1988)742suggerisce:a=40692m=2147483399

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Ilmetodo della trasformazione

(x, y)

• Datir1,r2,...,rn uniformiin[0,1],sitrovinox1,x2,...,xnche seguono f (x)trovandounafunzioneadattax(r )

• Sirichiede:

• Si pone: F(x) = r esi risolve per x(r)

xr

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Esempio trasformazione

(x, y)

• pdfesponenziale:

• Sipone:esirisolveperx(r)

• ->

xr

r x(r)

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Metodo accettanza-reiezione

(x, y)

• Sichiudelapdfinuna«box»

(1)Sigeneraunnumerocasualex,uniformein[xmin,xmax],i.e.conr1uniformein[0,1].

(2)Sigeneraunsecondonumerocasualeindependente uuniformementedistribuitotra0efmax,i.e.u– r2fmax

(3)Seu<f (x),allorasiaccettax.Altrimentisirifiutax esiripete.

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Esempio accettanza-reiezione

(x, y)

• Seipuntisonosottolacurva,si usa x per l’istogramma

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Accettanza-reiezione:efficienza

(x, y)

• La frazionedei punti accettati èugualealla frazione dell’areadellaboxsottolacurva.

• Per distribuzionimoltopiccate,questafrazionepuòesserebassaequindil’algoritmopuòesserelento.

• Sipuo migliorarerinchiudendolapdff(x)inunacurveCh(x)chesiavvicinapiùallaf(x),doveh(x)èlapdfdallaqualesigeneranoivaloricasualieCè una costante.

Sigeneranopuntiuniformemente sopraCh(x).Seilpuntoèsottof(x),siaccettax.

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MonteCarlo:generatore dieventi

(x, y)

• Esempiosemplice:e+e- ->µ+µ-• Sigeneranocosq ef:

• Meno semplice: generatori di eventi per varie interazioni

e+e- ->µ+µ- ,adroni…pp ->adroni,DY,SUSY

• Esempi:Pythia,Herwig,Madgraph,MC@NLO...

• Output=eventi.Perciascunolistadiparticelle,momentietc..

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Unevento simulato

(x, y)

Pythia MCpp -> gluino-gluino

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MonteCarlo:simulazione rivelatore

(x, y)

• Prendecomeinputdalgeneratorelistaparticelleemomenti• Simulalarispostadelrivelatore

o Scattering multiplodiCoulomb(generaunangolodiscattering)o Decadimentidi particelle(generavitemedie),o Perdite di energia per ionizzazioneo Sciamiadronicieelettromagnetici,o Produzionedisegnali,rispostadell’electronica ...

• Output=datiraw simulati→inputalsoftwarediricostruzioneo Ricercaditracce,fit..

• Predicequelchesivedealivellodelrivelatoredataunacertaipotesialivellodelgeneratore.Siconfrontaconidati.

• Sistimal’‘efficienza’=#eventitrovati/#eventigenerati.

• Programmingpackage:GEANT